Xây dựng trường các số phức P-Adic Cp

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hồn thành nhờ quá trình tích lũy kiến thức, tích lũy kinh nghiệm lâu dài ở khoa Tốn trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và đặc biệt là ở lớp cao học tốn khĩa 19, chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số của trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Lời đầu tiên trong luận văn này tơi xin gửi đến TS. Nguyễn Đình Lân, PGS. TS Mỵ Vinh Quang – người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn với lịng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Xin chân thành cảm ơn các thầy: TS. Trần Huyên, PGS. TS Bùi Tường Trí, PGS. TS Bùi Xuân Hải, TS. Lê Hồn Hĩa, TS. Đậu Thế Cấp, TS. Trần Tuấn Nam cùng với tất cả các thầy cơ khác đã trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tơi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tơi xin cảm ơn các anh chị ở phịng Khoa học cơng nghệ và sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè và đặc biệt là Ban giám hiệu trường THPT Bình Phú đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập trong suốt thời gian qua và hồn thành luận văn này. Một lần nữa xin chân thành cảm ơn! TP.Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2011 Võ Thanh Tú Mục lục LỜI CẢM ƠN ............................................................................................. 3 Mục lục ........................................................................................................ 4 MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 5 1.Lý do chọn đề tài: ................................................................................................... 5 2.Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu: ............................................................ 5 3.Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: .............................................................. 5 4.Cấu trúc của luận văn: ............................................................................................ 5 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................. 7 1.1 Chuẩn trên một trường ........................................................................................ 7 1.2 Xây dựng trường số p-adic p ......................................................................... 16 Chương 2 : XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P–ADIC p ... 25 2.1 Xây dựng trường các số phức p-adic p .......................................................... 25 2.2 Một số tính chất của trường p , sự giống nhau và khác nhau giữa trường các số phức p-adic p và trường các số phức  .......................................................... 40 2.3 Cấu trúc của nhĩm nhân *p ............................................................................. 45 KẾT LUẬN ............................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 52 MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài: Từ năm 1897, các số p-adic đã được Kurt Hensel (1861 – 1941) mơ tả, hơn một trăm năm qua các số p-adic dần phát triển rất mạnh, xâm nhập vào các lĩnh vực khác nhau của tốn học như lý thuyết số, tơpơ đại số, giải tích…và cả trong vật lý đặc biệt là vật lý lượng tử. Giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ vào khoảng những năm 40 của thế kỷ XX và trở thành một chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện những mối liên hệ giữa giải tích p- adic với các vấn đề lớn của hình học đại số và số học. Giải tích p-adic được xây dựng trên cơ sở trường các số phức p-adic p . Bởi vậy, sự nghiên cứu đầy đủ và chính xác các số phức p-adic là việc làm cần thiết và thú vị. Việc xây dựng luận văn này là sự nghiên cứu và xây dựng đầy đủ, chi tiết các tính chất của trường số phức p-adic p , đặc biệt tìm tịi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau của trường các số phức p-adic p và trường các số phức  . Bởi vậy, chúng tơi quyết định chọn đề tài “Xây dựng trường các số phức p-adic p ”. 2.Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu: o Xây dựng một cách đầy đủ, hệ thống, hồn chỉnh trường các số phức p-adic p . o Nghiên cứu, tìm tịi các tính chất tơpơ đại số …của trường các số phức p-adic p . Đặc biệt là so sánh, tìm tịi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau giữa trường các số phức p-adic p và trường các số phức  . o Xây dựng nhĩm nhân *p và nghiên cứu một số tính chất của nĩ. 3.Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: Luận văn sẽ làm sáng tỏ hơn thuộc tính, tính chất tơpơ và đại số cơ bản của trường số phức  ; cũng như sự giống nhau và khác nhau giữa trường số phức  và trường các số phức p-adic p . Qua đĩ, giúp cho việc nghiên cứu các bài tốn giải tích p-adic dễ dàng hơn. 4.Cấu trúc của luận văn: Nội dung luận văn gồm:  Phần mở đầu  Nội dung chính: gồm hai chương Chương 1: Các kiến thức cơ bản Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về: chuẩn trên một trường, xây dựng trường số p-adic p , vành các số nguyên p-adic p , các tính chất tơpơ và đại số của p và p ,…và các vấn đề liên quan cần cho chương 2. Chương 2: Xây dựng trường các số phức p-adic p Chương này sẽ xây dựng một cách đầy đủ, hệ thống, hồn chỉnh trường các số phức p-adic p . Nghiên cứu, tìm tịi các tính chất tơpơ đại số …của trường các số phức p- adic p . Đặc biệt là so sánh, tìm tịi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau giữa trường các số phức p-adic p và trường các số phức  . Đồng thời xây dựng nhĩm nhân * p và nghiên cứu một số tính chất của nĩ. Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về: chuẩn trên một trường, xây dựng trường số p-adic p , vành các số nguyên p-adic p , các tính chất tơpơ và đại số trên p và p ,…và các vấn đề liên quan cần cho chương 2. Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, cĩ thể tìm các chứng minh đĩ trong phần tài liệu tham khảo. 1.1 Chuẩn trên một trường 1.1.1 Định nghĩa Cho F là một trường. Ánh xạ : F →  được gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa các điều kiện sau: ) 0, , 0 0 ) , , ) , , i x x F x x ii xy x y x y F iii x y x y x y F ≥ ∀ ∈ = ⇔ = = ∀ ∈ + ≤ + ∀ ∈ 1.1.2 Ví dụ 1) F F= ∨ =  , giá trị tuyệt đối thơng thường là chuẩn trên F 2) F =  , mơđun của một số phức là chuẩn trên F 3) F là một trường. Xét ánh xạ: → ≠ =  =   : 1 nếu 0 0 nếu 0 F x x x x Dễ thấy là một chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường. 1.1.3 Tính chất Cho là một chuẩn trên trường F cĩ đơn vị 1. Với mọi x thuộc F ta cĩ: 11 ) 1 1 1 ) , ) , 0 nn i ii x x n iii x x x−− = − = = ∀ ∈ = ≠  Chứng minh i) 2 2Ta cĩ 1 1.1 1 1 1= = ⇒ = và 22 1 1.1 1 1 1= = = 21 1⇒ = Mà 1 0 1 0≠ ⇒ ≠ 1 1⇒ = Lập luận hồn tồn tương tự, ta được 1 1− = . = = =  - thừa số ) . ... . .. nn n ii x x x x x x x x 11 1 1) Ta cĩ . . 1 1iii x x x x x x −− − −= = = ⇒ = .  1.1.4 Nhận xét Nếu F là trường hữu hạn thì trên F chỉ cĩ duy nhất một chuẩn là chuẩn tầm thường. Chứng minh Xét là một chuẩn trên trường F. Giả sử F cĩ q phần tử, thế thì nhĩm nhân F* cĩ cấp q – 1. Khi đĩ, *x F∀ ∈ ta cĩ 1 1qx − = 1 1qx −⇒ = 1 1qx −⇔ = 1x⇒ = . Vậy là chuẩn tầm thường trên F.  1.1.5 Định nghĩa Cho là một chuẩn trên trường F. Ta định nghĩa hàm :d F F× →  như sau: ( , ) , ,d x y x y x y F= − ∀ ∈ . Do là một chuẩn trên F nên ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F và do đĩ (F, d) là một khơng gian mêtríc. 1.1.6 Định nghĩa Cho 1 2 , là hai chuẩn trên trường F. ta nĩi rằng hai chuẩn này tương đương nếu: { }nx là dãy Cauchy theo chuẩn 1 khi và chỉ khi { }nx là dãy Cauchy theo chuẩn 2 . Chú ý rằng: { }nx là dãy Cauchy theo chuẩn , nghĩa là: , 0m nm nx x →+∞− → . Hay 0 00, : , , m nn n m n x xε ε∀ > ∃ ∈ ∀ > − < 1.1.7 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F là một trường và 1 2 , là hai chuẩn trên trường F. Khi đĩ, các điều sau là tương đương: 1) 1 2 , 1 1x F x x∀ ∈ < ⇔ < 2) 1 2 , 1 1x F x x∀ ∈ ≤ ⇔ ≤ 3) * 2 1 : , cc x F x x+∃ ∈ ∀ ∈ = 4) Các tơpơ sinh bởi 1 và 2 là trùng nhau. 5) 1 tương đương với 2 ( )1 2 1.1.8 Hệ quả Cho 1 2 , là hai chuẩn trên trường F. Nếu tồn tại hai số dương 1 2,c c sao cho ≤ 11 2c và ≤ 22 1c thì khi đĩ 1 2= . Sau đây ta định nghĩa chuẩn phi Asimet 1.1.9 Định nghĩa Cho là một chuẩn trên trường F. Chuẩn được gọi là chuẩn phi Acsimet trên F nếu nĩ thỏa thêm điều kiện: ) max{ , }, ,iii x y x y x y F′ + ≤ ∀ ∈ Chuẩn thỏa iii) nhưng khơng thỏa iii’) được gọi là chuẩn Acsimet. Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Acsimet. Thật vậy, nếu 0x y+ = thì { }0 max ,x y x y+ = ≤ Nếu 0x y+ ≠ thì 0x ≠ hoặc 0y ≠ , do đĩ { }1 max ,x y x y+ = ≤ . Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi \{0}x∈ , ta luơn cĩ ( ) , , ( , ) 1; ( , ) 1; ( , ) 1mx p m n m n m p n p n α= ∈ = = = α gọi là p-số mũ của x, ký hiệu ( )pord x =α . Quy ước: (0) ,pord a= ∞ ∞ ± = ∞ . 1.1.10 Mệnh đề Cho p là một số nguyên tố, ,x y∀ ∈ ta cĩ ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) min{ ( ), ( )} p p p p p p i ord xy ord x ord y ii ord x y ord x ord y = + + ≥ Chứng minh i) Giả sử ,m ux p y p n v = =α β . Khi đĩ, muxy p nv += α β suy ra ( ) ( ) ( )p p pord xy ord x ord y= + = +α β ii) Ta xét các trường hợp sau +) 0x y+ = : Khi đĩ, ( ) ( ) min{ ( ), ( )}p p p pord x y ord x y ord x ord y+ = ∞⇒ + ≥ +) 0 0x y= ∨ = : Nếu x = 0 thì ( ) ( )p pord x y ord y+ = và ( )pord x = ∞ . Vì ( )pord x = ∞ suy ra ( ) ( ) min{ ( ), ( )} ( ). Mà ( ) ( ) ( ) min{ ( ), ( )} p p p p p p p p p p ord y ord x ord x ord y ord y ord x y ord y ord x y ord x ord y ≤ ⇒ = + = ⇒ + = +) 0 0x y≠ ∧ ≠ : Khơng mất tính tổng quát, giả sử ,m ux p y p n v = =α β , với ( ) ( )p pord x ord y= ≤ =α β . Thế thì mv p unx y p nv −+ + = β α α . Khi đĩ suy ra ( ) min{ ( ), ( )}p p pord x y ord x ord y+ ≥ =α . Vậy ( ) min{ ( ), ( )}p p pord x y ord x ord y+ ≥ .  1.1.11 Mệnh đề Cho ρ là một số thực thỏa 0 1< <ρ và p là một số nguyên tố. Ánh xạ ( ) : pord xx x → =    ρ ρ ρ là một chuẩn phi Acsimet trên  với quy ước 0∞ =ρ . Chứng minh Ta chứng minh bằng định nghĩa i) Rõ ràng 0,x x≥ ∀ ∈ ρ . Mặt khác, ( )0 0 ( ) 0pord x px ord x x= ⇔ = ⇔ = ∞⇔ =ρ ρ ii) +∀ ∈ = = = = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , .p p p p pord xy ord x ord y ord x ord yx y xy x y iii) ( ) min{ ( ), ( )}, , p p pord x y ord x ord yx y x y +∀ ∈ + = ≤ ρ ρ ρ ( ) ( )max{ , }p pord x ord y≤ ρ ρ { }max ,x y x y⇒ + ≤ρ ρ ρ  Chú ý 1) 1 2 1 20 , 1< < ⇒ ρ ρρ ρ Chứng minh Với mọi x∈ , ta cĩ: ( ) ( ) 12 11 22 1 2 ( ) log loglog( ) ( ) 1 2 2 p p p ord xord x ord xx x= = = = ρ ρρ ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ Đặt 2 1 log 0c = >ρ ρ , ta được 1 2 cx x= ρ ρ . Vậy 1 2  ρ ρ . 2) Với mỗi số nguyên tố p, ta cĩ chuẩn ( ) 1 , pord x p x x p   = ∀ ∈     Chuẩn p được gọi là chuẩn p-adic hay chuẩn p. Rõ ràng chuẩn p là chuẩn phi Acsimet. 3) Cho on là số tự nhiên lớn hơn 1. Với mỗi x∈ , ta luơn cĩ 1 s o o s ox a a n a n= + + + (*) trong đĩ, 0 1, 0i o sa n a≤ < − ≠ . Biểu diễn (*) được gọi là biểu diễn on - phân của x. Ta dễ dàng chứng minh được 1s so on x n +≤ < và do đĩ, log 1 on s x s≤ < + nên log on s x =   1.1.12 Định lý (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet) Cho F là một trường, là một chuẩn trên F. Các điều sau là tương đương i) là chuẩn phi Acsimet ii) 2 1≤ iii) ≤ ∀ ∈ = = ∈ −1, { .1/ ,1 đơn vị của }n n N n n n F iv)  bị chặn. Nghĩa là, 0 : ,c n c n∃ > ≤ ∀ ∈ 1.1.13 Hệ quả Nếu F là trường đặc số p thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Acsimet. Chứng minh Với mọi m∈ , ta cĩ ,0 1m pq r r p= + ≤ ≤ − suy ra .1 .1 .1 .1m pq r r= + = . Do đĩ, {0,1,.. 1}p= − , tức  bị chặn. Vậy mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Acsimet.  1.1.14 Các tính chất cơ bản của chuẩn phi Acsimet Cho F là một trường với chuẩn phi Acsimet . Ta cĩ các khẳng định sau: i. , , max{ , }x y F x y x y x y∀ ∈ ≠ ⇒ + = . Nghĩa là, mọi tam giác đều cân trong khơng gian mêtríc sinh bởi chuẩn . ii. Các tập ( ) { : } ( ) { : } ( ) { : } a a a B r x F x a r B r x F x a r S r x F x a r = ∈ − < = ∈ − ≤ = ∈ − = là các tập vừa đĩng vừa mở. iii. Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm của nĩ. Nghĩa là, ( ) ( ) ( )a a bb B r B r B r∀ ∈ ⇒ = iv. Dãy { }nx F⊂ là dãy Cauchy 1lim 0n nn x x+→∞⇔ − = v. Nếu { }nx là dãy Cauchy. Khi đĩ, +) 0nx → thì 0nx → +) 0nx → thì { }nx là dãy dừng. Nghĩa là: 1 2: , n n nN n N x x x+ +∃ ∈ ∀ ≥ = = =  vi. Ký hiệu { : 1}, { : 1}A x F x M x F x= ∈ ≤ = ∈ < . Khi đĩ, +) A là vành con chứa đơn vị của F +) M là iđêan tối đại của A. Do đĩ, A M là một trường, gọi là trường thặng dư của F đối với chuẩn . Chứng minh i) Khơng mất tính tổng quát, giả sử x y> . Khi đĩ, max{ , }x y x y x x y x+ ≤ = ⇔ + ≤ (1) = + − ≤ +Mặt khác, max{ , }.x x y x x y x Mà > ⇒ + = +max{ , }x y x y x x y . Nên suy ra ≤ +x x y (2) Từ (1) và (2) suy ra max{ , }x y x x y+ = = ii) Rõ ràng ( )aB r là tập mở. Ta chỉ cịn phải chứng minh ( )aB r là tập đĩng, tức ( )ax B r∀ ∉ , ta chứng minh 0, ( ) ( )a xB r B∃ > ∩ =∅ε ε . Giả sử ngược lại: Chọn 2 r =ε , giả sử ( ) 2a x ry B r B  ∃ ∈ ∩     ta suy ra 2 ry x− < và y a r− < Khi đĩ, max{ , }x a x y y a x y y a r x a r− = − + − ≤ − − < ⇔ − < ( )ax B r⇒ ∈ (mâu thuẫn) Vậy ( ) ( )a xB r B∩ =∅ε , tức ( )aB r là tập đĩng. iii) ( )ab B r∀ ∈ ta chứng minh ( ) ( )a bB r B r= . ( )ax B r x a r x b b a r∀ ∈ ⇔ − < ⇔ − + − < max{ , } (do ) ( )bx b b a r x b r b a r x B r⇔ − − < ⇔ − < − < ⇔ ∈ ( ) ( )a bB r B r⇔ = . iv) Giả sử { }nx là dãy Cauchy. Khi đĩ, 1 10, : , lim 0n n n nnN n N x x x x+ +→∞∀ > ∃ ∀ > − < ⇒ − =ε ε . Ngược lại, 1 1lim 0 0, : ,n n n nn x x N n N x x+ +→∞ − = ⇒∀ > ∃ ∀ > − , giả sử rằng m n> ta cĩ 1 1 2 1 1 1max{ , }m n m m m m n n m m n n m n x x x x x x x x x x x x x x − − − + − +− = − + − + − ≤ − − < ⇔ − <   ε ε { }nx⇒ là dãy Cauchy. v) 0 0 0n n nx x x→ ⇔ − = → 0 0n nx x→ ⇔ → suy ra 0∃ >ε và dãy con { }kn sao cho knx < ε . Mặt khác, { }nx là dãy Cauchy nên : , , n mN m n N x x∃ ∀ > −  Cố định kn N> , ta cĩ: max{ , }( ))k k k km m n n m n nx x x x x x x theo i= − + = − , kn x m N= ∀ > Vậy { }nx là dãy dừng. vi) A là vành con chứa đơn vị của trường F. Với mọi ,x y A∈ , ta cĩ { }max , 1 1 1 1 1 x y x y x y A xy x y xy A A − ≤ ≤ ⇒ − ∈ ≤ ≤ ⇒ ∈ = ⇒ ∈ Suy ra A là vành con chứa đơn vị của F. Bây giờ ta chứng minh M là iđêan tối đại của A. Rõ ràng M là iđêan của A, ta chỉ cịn phải chứng minh tính tối đại của nĩ. Giả sử M I A ≠ ⊂ ⊆ , ta chứng minh I = A. Vì M I ≠ ⊂ nên \a I M A∃ ∈ ⊂ , suy ra 1a ≥ , mà 1a A a∈ ⇒ ≤ 1 11 1a A a a ⇒ = ⇒ = ⇒ ∈ 11 .a I I A a ⇒ = ∈ ⇒ = . Vậy I là iđêan tối đại của A.  1.1.15 Định lý Ostrowski: Mọi chuẩn khơng tầm thường trên trường số hữu tỷ  hoặc tương đương với chuẩn p ( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thơng thường trên  . Chứng minh Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: : 1n n∃ ∈ > Gọi { }0 min / 1n n n= ∈ > . Vì 0 1n > nên 00 0 0 ( = log >0)nn n nα α= Ta viết n trong hệ đếm 0n như sau: 0 2 0 1 0 2 0 0 0... (a ,0 a , 0, log ) s s i i s nn a a n a n a n n a s n = + + + + ∈ ≤ < ≠ =   . Khi đĩ: 2 0 1 0 2 0 0 2 0 1 0 2 0 0 ... = ... s s s s n a a n a n a n a a n a n a nα α α ≤ + + + + + + + + Do 0 , iia n< ∀ nên 1ia ≤ ( theo cách chọn 0n ). Suy ra: 2 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 11 ... 1 ...s s sn n n n n n n n α α α α α α α   ≤ + + + + = + + + +    Đặt 2 0 0 0 1 1 11 ... ...sc n n nα α α = + + + + + . Rõ ràng, c là cấp số nhân lùi vơ hạn nên c là hằng số. Vì thế: 0. . (do a 0) s sn c n c n α α≤ ≤ ≠ Vậy với mọi k ta cĩ : .( ) . . k k kn c n c n n c nα α α≤ ≤ ⇒ ≤ Cho k →∞ thì n nα≤ (1) Như vậy ta đã cĩ: 0 0 ( n) n n n n α α  ≤ ∀  = Suy ra 1 1 0 0 1 ( 1) 0 0 ( )s s s s n n n n n n α α + + + +  − ≤ −  = Vậy : 1 1 ( 1) 1 0 0 0 0 ( 1) 1 ( 1) 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) 1 1 s s s s s s s s n n n n n n n n n n n n α α α α α α + + + + + + + ≥ − − ≥ − −     ≥ − − = − −      Đặt 0 1' 1 1c n α    = − −      thì ( 1)0'. '. sn c n c nα α+≥ > Vậy với mọi k ta cĩ : '.( ) '. '. k k kn c n c n n c nα α α> ≤ ⇒ > Cho k →∞ thì n nα≥ (2) Từ (1) và (2) ta cĩ n nα= Do đĩ: , , : m m n n n n n mm m n n nm m α α α +∀ ∈ ∈ ∈  − = = ⇒ = = =    Vậy:  Trường hợp 2: 1,n n≤ ∀ ∈ Gọi 0n là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa 0 1n < Giả sử 0n khơng là số nguyên tố. Khi đĩ: 0 1 2 1 2 0. ( , )n n n n n n= < Do cách chọn 0n nên 1 2 =1 n n= . Suy ra 0 1n = (vơ lý) Vậy 0n = p là số nguyên tố. Ta sẽ chỉ ra rằng 1q = với mỗi số nguyên tố q khác p. Thật vậy : Giả sử tồn tại : 1q q∈ < (q là số nguyên tố). Khi đĩ, với số tự nhiên M, N đủ lớn, ta cĩ : 1 1, 2 2 N MN Mq q p p= < = < Do ( ), 1N Mq p = nên ta cĩ thể tìm được hai số nguyên m, n sao cho: 1M Nmp nq+ = Suy ra : 1 1 1 1 1 (vơ lý) 2 2 M N M N M N M N mp nq mp nq m p n q p q = = + ≤ + = + ≤ + < + = Vậy 1q = với mỗi số nguyên tố q khác p. Với x là số hữu tỷ bất kỳ, x được phân tích duy nhất dưới dạng . , ( , ) 1;( , ) 1mx p m p n p n α= = = Đặt 1p ρ= < . Ta cĩ: . m x n αρ= Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác p nên chuẩn của các số nguyên tố đĩ bằng 1. Vì thế: 1 pord xm n x αρ ρ= = ⇒ = = Vậy: p   1.2 Xây dựng trường số p-adic p 1.2.1 Mở đầu Từ Định lý Ostrowski, ta thấy giá trị tuyệt đối khơng tầm thường trên  là giá trị tuyệt đối thơng thường , hoặc là giá trị thuyệt đối phi Acsimet p . Mặt khác ta biết rằng làm đầy đủ  theo giá trị tuyệt đối thơng thường ta được trường số thực  . Vậy làm đầy đủ  theo p ta sẽ được trường mới mà ta sẽ gọi là trường các số p-adic p . Cụ thể cách xây dựng như sau: Xét p là chuẩn p-adic trên  ; ( ) 1 , pord x p x x p   = ∀ ∈     . Ký hệu S là tập tất cả các dãy Cauchy trong  theo chuẩn p . Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau: { },{ } ,{ } ~ { } lim( ) 0n n n n n nnx y x y x y→∞∀ ⊂ ⇔ − = . Ký hiệu { }{ }:{ } Cauchy trong theo ~p n n pS x x= =  . Ta sẽ trang bị hai phép tốn cộng và nhân cho p để nĩ trở thành một trường. Phép cộng: { }, { } , { }n n p n nx x y y x y x y∀ = = ∈ + = + Phép nhân: { }, { } , . { . }n n p n nx x y y x y x y∀ = = ∈ = Ta dễ dàng chứng minh được với hai phép tốn cho như trên p là một trường với: Phần tử khơng: 0 { 0}nx= = Phần tử đơn vị: 1 { 1}nx= = Phần tử đối: { } { }n nx x x x= ⇒ − = − Phần tử nghịch đảo: Với { } 0 0 0 : , 0n n nx x N n N x a≠ ⇒ ⇒ ∃ > ∀ > = ≠/ . Khi đĩ dãy { }ny với 1 0, ,n n n N y x n N− ≤ =  > là một dãy Cauchy trong  theo chuẩn p , và dễ thấy { }.{ } 1n nx y = . Tức phần tử nghịch đảo của { }nx là phần tử { }ny . Xét : , ( ) { },p nx x x x→ = = ∀ ∈  θ θ , ta chứng minh được θ là đơn cấu trường. Do đĩ, ta cĩ thể coi p⊂  . Với mỗi { }n px x= ∈ , ta định nghĩa lim np pnx x→∞= . Định nghĩa này hợp lý vì: 1) Luơn tồn tại lim n pn x→∞ + Nếu 0 0 0n n ppx x x→ ⇒ → ⇒ = + Nếu 0 0,n n n pp px x a n N x a x a→ ⇒ = ≠ ∀ > ⇒ → ⇒ =/ 2) p x khơng phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện. Giả sử { } { }n nx x y= = thế thì lim( ) 0n n n nxx y x y→∞⇒ − = . Mặt khác, ta luơn cĩ n n n np p p p x y x y− ≥ − suy ra lim( ) 0n np pn x y→∞ − = hay lim limn np pn nx y→∞ →∞= . Ta dễ dàng chứng minh được p định nghĩa như trên là một chuẩn trên p . Hơn nữa, mọi dãy Cauchy trong ( , ) p  đều hội tụ trong ( , )p p ,tức ( , )p p là một mở rộng của ( , ) p  . Tĩm lại: +) ( ) 1 , pord x p x x p   = ∀ ∈     +) { }{ }:{ } Cauchy trong theo ~p n n pS x x= =  +) { }n px x= ∈ , lim np pnx x→∞= 1.2.2 Nhận xét Với mọi { }n px x= ∈ , ta luơn cĩ lim nx x x→∞ = . Chứng minh 0∀ >α , do { }nx là dãy Cauchy nên 0 : , , m n pN n m N x x ε∃ > ∀ > − < . Khi đĩ, lim , limn i n n np p pi nx x x x x x n N x xε ε→∞ →∞− = − ≤ ⇔ − ≤ ∀ > ⇔ =  1.2.3 Định nghĩa Với , pa b∈ ta định nghĩa quan hệ đồng dư trong p là: (mod )n na b p a b p≡ ⇔ −  1.2.4 Nhận xét Với , pa b∈ , (mod ) n n p a b p a b p−≡ ⇔ − ≤ . 1.2.5 Bổ đề Cho , 1p px x∈ ≤ . Khi đĩ, , : ( {0,1,.. 1}) n n p n r x r p r p−∀ ∈ ∃ ∈ − < ∈ −  1.2.6 Định lý Cho , 1p px x∈ ≤ . Khi đĩ, x cĩ một đại diện là 1,{ }n na = +∞ thỏa hai điều kiện 1) ,0 ( 1,2,...)nn na a p n∈ ≤ < = 2) 1(mod ), 1,2,... n n na a p n+≡ = 1.2.7 Nhận xét Với , 1p px x∈ ≤ , theo Định lý 1.2.6, tồn tại dãy Cauchy { }na trong  thỏa hai điều kiện ,0 ( 1,2,...)nn na a p n∈ ≤ < = và 1(mod ), 1,2,... n n na a p n+≡ = để { }nx a= . Khi đĩ, với mỗi n∈ ta cĩ các khai triển p – phân 1 1 1 1 1 1 , 0, 1 , 0, 1 n n o n i n n n o n n i a b b p b p b p a b b p b p b p b p − − − − ′ ′ ′ ′= + + = − = + + + = −   Mặt khác, 1 1(mod ) n n n n n na a p a a p+ +≡ ⇔ −  nên suy ra 1 1 1 1 1 1 n n o n o nb b p b p b b p b p − − − −′ ′ ′+ + = + +  1 1 1 n n o na b b p b p − −⇒ = + + 1 0 0 lim lim n i i n i in n i i x a b p b p − +∞ →∞ →∞ = = ⇒ = = =∑ ∑ Tĩm lại với mọi 0 , 1, {0,1,.., 1}: np i np n x x b p x b p +∞ = ∈ ≤ ∃ ∈ − =∑ , gọi là khai triển p-adic của x. Nhận xét +) Nếu 0 n n n x b p +∞ = = ∑ mà 1 1 0, 0o m mb b b b−= = = = ≠ thì mpx p= +) Nếu , ( )mp px x p m∈ = ∈  thì , {0,1,.., 1} i i i i m x b p b p +∞ =− = ∈ −∑ 1.2.8 Định nghĩa Ta định nghĩa *{ : 1}; { : 1}; { : 1}p p p p p pp p px x x x M x x= ∈ ≤ = ∈ = = ∈ <     Chú ý 1) *\p p p pM p= =   2) pM là iđêan tối đại của vành p . Và trường thặng dư của ( , )p p là p p p pM p =    . Ta cĩ các mệnh đề sau là một số tính chất của vành p 1.2.9 Mệnh đề p p p Fp p≅ =     . Nghĩa là, trường thặng dư của ( , )p p là pF p=   Chứng minh Xét tương ứng : ,p p p f a p a pp p→ + +       . Ta sẽ chứng minh f là đẳng cấu vành. +) f là ánh xạ đơn ánh: , , ( ) ( )pa b a b pc p c a b pc p c∀ ∈ − = ∈ ∈ ⇔ − = ∈ ∈     . Thật vậy, c∈ thì rõ ràng pc∈ . Ngược lại, pc∈ . Ta cĩ: 1 11p p p p a ba bc c a b p a b p c p p − −− = ⇒ = ≤ ⇒ − ≤ ⇔ − ⇒ ∈  Vậy f là ánh xạ đơn ánh. +) f là tồn ánh: p p p a p p∀ + ∈    , vì pa∈ nên 1 0 1 n n n o n n n a a p a p a p +∞ +∞ − = = = = +∑ ∑ 1 1 1 1 . à ( ) ( ) n n o n n p o p p o p n n o o p a a p a p M a p a a p a p a p f a p f a p a p +∞ +∞ − − = = ⇒ − = ∈ ⇒ − ∈ ⇒ + = + = + ⇔ + = + ∑ ∑        Vậy f là tồn ánh. +) f là đẳng cấu: kiểm tra trực tiếp ta được f là đồng cấu vành, do đĩ, f là đẳng cấu. Vậy: p p p Fp p≅ =      1.2.10 Mệnh đề p là vành chính và tập các iđêan của p lập thành một dây chuyền. Cụ thể: 2 0np p p pp p p⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃      . Chứng minh Giả sử I là một iđêan khơng tầm thường của p . Với mỗi \{0}x I∈ , do 1 p x ≤ suy ra ,m p x p m−= ∈ . Gọi a là phần tử của I sao cho m p a p−= lớn nhất. Ta chứng minh m pI p=  . +) m pI p⊆  : , m m xx I x p p ∀ ∈ = , trong đĩ, 1 m p pm m mm p p xx p x p p pp − −= ≤ = ⇒ ∈ m m p px p I p⇒ ∈ ⇒ ⊆  +) m pp I⊆ : m px p∀ ∈  , với a I∈ đã chọn ở trên, ta phân tích . xx a a = . Ta cĩ , ( ) . Mà 1 p pm m m m p p mp p p p m pm p x xxx p x p c c x p c p a a p x p x a p a − − − − − ∈ = ∈ ⇒ = ≤ = = ⇒ ≤ = ⇒ ∈    . Mà , . , mp p xa I x a I x I p I a ∈ = ⇒ ∈ ⇒ ⊆  Như vậy m pI p=  , với min{ : , } m p m m a I a p−= ∈ ∃ ∈ = . Hay p là vành chính và tập các iđêan của p lập thành một dây chuyền. Cụ thể: 2 0np p p pp p p⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃      .  1.2.11 Mệnh đề p là tập compăc Chứng minh Giả sử { }nx là một dãy trong p . Ta cĩ 0 , {0,1,.., 1}in in in i x a p a p +∞ = = ∈ −∑ . Xét dãy 0 0,{ }n na = +∞ . Vì 0 {0,1,.., 1}na p∈ − nên cĩ vơ hạn chỉ số n để 0na bằng nhau và đều bằng 0 {0,1,.., 1}b p∈ − Lại xét dãy 1 0,{ }n na = +∞ . Vì 1 {0,1,.., 1}na p∈ − nên cĩ vơ hạn chỉ số n để 0na bằng nhau và đều bằng 1 {0,1,.., 1}b p∈ − . Bằng quy nạp ta cĩ thể xây dựng được dãy con chỉ số con jn sao cho ,0 jkn k x b k j= ≤ < . Ta sẽ chứng minh 0 j j i kn i i x x b p +∞→+∞ = → =∑ . Thật vậy, 0 j j j j j kn knp x x p x x →+∞ →+∞ −− < → ⇒ → Vậy p là tập compăc.  1.2.12 Mệnh đề p compăc địa phương Chứng minh Với mọi px∈ , ta chứng minh x cĩ một lân cận mở compăc. Xét tập (1)xpx B+ = là một lân cận mở của x. Ta sẽ chứng minh (1)xpx B+ = là compăc. Thật vậy, vì : ,p pf x a a x→ + +   là phép đồng phơi với 1 : ,p pf x y y x − + → −   , mà p là tập compăc nên px + là compăc. Vậy p compăc địa phương.  1.2.13 Mệnh đề *, , ( , ), ( , )x r B x r B x r∀ ∈ ∀ ∈  là compăc Chứng minh Ta cĩ m pP  đồng phơi với p vì các ánh xạ : là các song ánh liên tục. Do đĩ, , m pm p∀ ∈  compăc, mà (0, ) m m pp B p −= (0, )mB p−⇒ compăc Mặt khác, * , : (0, ) (0, )mr m B r B p−∀ ∈ ∃ ∈ ⊂  . Suy ra, (0, )B r compăc *, , ( , ), ( , )x r B x r B x r⇒∀ ∈ ∀ ∈  compăc.  Sau đây là một số tính chất tơpơ khác của p , trước tiên ta cĩ định nghĩa: 1.2.14 Định nghĩa • Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp ( ) { }, :p pB a r x x a r= ∈ − < • Hình cầu đĩng tâm a bán kính r là tập hợp [ ] { }, :p pB a r x x a r= ∈ − ≤ • Mặt cầu tâm a bán kính r là tập hợp ( ) { }, :p pD a r x x a r= ∈ − = Từ định nghĩa ta thấy p là hình cầu mở tâm 0, bán kính bằng 1 và * p là mặt cầu tâm 0 bán kính bằng 1. 1.2.15 Mệnh đề: a) Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều là những tập vừa mở vừa đĩng. b) Hai hình cầu bất kỳ trong p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau. c) Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều cĩ vơ số tâm. Mọi hình cầu đều cĩ vơ số bán kính. d) p chỉ cĩ một số đếm được các hình cầu và mặt cầu. Tiếp theo ta phát biểu Bổ đề Hensel 1 f fm p p p m m p x p x p x − − → →     Cho đa thức 21 2( ) [ ], 0 n o n p nf x c c x c x c x x c= + + + + ∈ ≠  . Ta cĩ 1 1 2( ) 2 n nf x c c x nc x −′ = + + + . 1.2.16 Bổ đề Cho o pa ∈ , tồn tại duy nhất dãy số tự nhiên 1 2, ,.., ,..na a a thỏa ba điều kiện i) 1 *1 (mod ), n n na a p n + + ≡ ∀ ∈ ii) 1 *0 ,nna p n +≤ < ∀ ∈ iii) 1( ) 0(mod )nnf a p +≡ 1.2.17 Bổ đề Hensel Cho đa thức 1( ) [ ], 0 n o n p nf x c c x c x x c= + + ∈ ≠  . Nếu tồn tại phần tử o pa ∈ thỏa điều kiện ( ) 0(mod ) ( ) 0(mod ) o o f a p f a p ≡  ′ ≡/ Thì tồn tại duy nhất pa∈ để (mod ) ( ) 0 oa a p f a ≡  = Tiếp theo ta định nghĩa “đại diện Teichmüller” được đề cập trong chương 2 1.2.18 Định nghĩa Ta chứng minh được rằng p luơn chứa p nghiệm 0 1 1, ,.., pa a a − của phương trình px x= trong đĩ, (mod )ia i p≡ . Các nghiệm đĩ gọi là “đại diện Teichmüller” của {0,1,2,.., 1}p − và đơi khi sử dụng trong khai triển p-adic thay cho {0,1,2,.., 1}p − . Thật vậy, Đặt ( ) pf x x x= − , ta cĩ 1( ) 1pf x px −′ = − . Với mỗi {0,1,.., 1}i p∈ − thì ( , ) 1i p = , theo định lý Fermat nhỏ, (mod ) 0(mod )p pi i p i i p≡ ⇔ − ≡ ( ) 0(mod )f i p⇔ ≡ 1( ) 1 1(mod ) ( ) 0(mod )pf i pi p f i p−′ ′= − ≡ − ⇒ ≡/ Theo Bổ đề Hensel ( ) 0 ! , (mod ) i i p i f a a a i p = ⇒∃ ∈  ≡  Tức ia là nghiệm của phương trình px x= . Mà {0,1,.., 1}i p∈ − nên phương trình px x= cĩ p nghiệm 1 1, ,..,o pa a a − thỏa (mod )ia i p≡ . Ví dụ: Khi p > 2, ta tìm “đại diện Teichmüller” hữu tỉ của p Xét phương trình 0px x x  − =  ∈  (*) Rõ ràng x = 0 là một nghiệm của (*). Giả sử 0,( , ) 1mx m n n = ≠ = . Ta cĩ 10 1 1 1 11 1 px p p p p p mx x x m n n −≠ − − − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ = | { 1;1} | m n m n x n m  ⇒ ⇒ = ± ⇒ ∈ −  Vậy p chỉ cĩ ba “đại diện Teichmüller” hữu tỉ là 0, 1, -1.  Chương 2 : XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P–ADIC p 2.1 Xây dựng trường các số phức p-adic p Ta biết rằng trường các số phức  là mở rộng của trường các số thực  cĩ hai tính chất khá tốt là: đĩng đại số và compăc địa phương. Vậy trong trường hợp chuẩn phi Acsimet liệu cĩ tồn tại trường nào là mở rộng của trường p và cĩ hai tính chất trên khơng ? Câu trả lời là phủ định. Trước tiên ta cần Bổ đề sau: 2.1.1 Bổ đề: Với ( ), , 1m m p∈ = , ký hiệu { }1 : 1mm z F z= ∈ = . Khi đĩ, nếu 1, 1mz z∈ ≠ thì 1 1 p z − = Chứng minh Ta cĩ, { }1 max , 1 1p p pz z− ≤ = . Giả sử 1 1pz − < . Đặt 1 0a z= − ≠ thì 0 1pa≠ < và z = a + 1. Khi đĩ, ( ) 1 1 11 1 1 ...mm m m mm mz a C a C a a− −= = + = + + + + Suy ra ( )1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 ... 0 ... 0 ... 0 m m m m m m m m m m m m m mp p C a C a a a C C a a a m C a a − − − − − − − − + + + = ⇒ + + + = ⇒ + + + = Ta lại cĩ, ( ), 1m p = nên 1pm = và do 1pa < nên ta cũng cĩ 11 1, 2,3,..., .ii i im m p pp pC a C a a i m −− = ≤ < ∀ = Do đĩ, theo nguyên lý tam giác cân, ta cĩ 1 2 1... 1m m mm pm C a a − − −+ + + = Suy ra, 0 0 1 p a a z= ⇒ = ⇒ = . Ta gặp mâu thuẫn Vậy 1 1 p z − = .  2.1.2 Định lý: Khơng tồn tại một trường F với chuẩn phi Acsimet mở rộng của trường p với chuẩn p cĩ hai tính chất: đĩng đại số và compăc địa phương. Chứng minh Giả sử tồn tại trường F với chuẩn phi Acsimet p là mở rộng của trường p với chuẩn p thỏa hai tính chất: đĩng đại số và compăc địa phương. Ta cĩ, tập { }1 : 1mm z F z= ∈ = cĩ m phần tử và 1pz = Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu F compăc địa phương sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Ta ký hiệu 1 1m m U ∞ = =  . Khi đĩ, vì 1m cĩ m phần tử nên U cĩ vơ hạn phần tử. Bây giờ ta chứng minh: nếu 1 2,z z U∈ và 1 2z z≠ thì 1 2 1z z− = . Thật vậy, với 1 2z z≠ bất kỳ, giả sử 1 21, 1m nz z∈ ∈ . Khi đĩ, ta cĩ 1 2 1mnz z ∈ Nên theo Bổ đề 2.1.1 ta cĩ: 1 2 1 1 p z z − = ⇒ 11 ._.