Xây dựng đường cong chỉnh hình với một số tập vô hạn số khuyết

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình. . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Các hàm Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình. . . . . . . . 17 2 Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết 20 2.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết. . 31 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo 42 1 Lời mở đầu Lý thuyết Nevanlinna ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20 và đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Lý thuyết Nevanlinna cổ điển nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình f thông qua hàm đặc trưng T (f, a, r) - hàm đo cấp tăng của hàm phân hình, hàm đếm N(f, a, r) - đếm số lần hàm f nhận giá trị a trong đĩa bán kính r, và hàm xấp xỉ m(f, a, r) - đo độ gần đến a của hàm f (xem Định nghĩa 1.1.3, 1.1.1, và 1.1.2). Trọng tâm của lý thuyết này là hai định lý cơ bản. Định lý cơ bản thứ nhất thể hiện sự độc lập của hàm đặc trưng với mọi giá trị a ∈ C∪{∞}. Định lý cơ bản thứ hai nói rằng với hầu hết các giá trị a, hàm đếm N(f, a, r) trội hơn hẳn hàm xấp xỉ m(f, a, r). Điều này dẫn đến định nghĩa số khuyết của hàm f tại giá trị a như sau δ(f, a) := lim inf r→∞ {1− N(f, a, r) T (f, a, r) }. Giá trị a được gọi là giá trị khuyết cho hàm f nếu δ(f, a) > 0. Quan hệ số khuyết là một dạng phát biểu khác của Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna, cụ thể là Nevanlinna đã chứng minh rằng∑ a∈C∪{∞} δ(f, a) 6 2. Mặt khác, Định lý cơ bản thứ nhất cho ta thấy rằng số khuyết của hàm phân hình tại một giá trị nào đó nằm trong đoạn [0, 1]. Hơn nữa người ta đã chứng minh được rằng tập các giá trị khuyết là đếm được. Như vậy một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, giả sử {δi} là dãy các số thực không âm sao cho 0 < δi ≤ 1, ∑ i δi ≤ 2. 2 3Giả sử ai, là các số phân biệt trong C ∪ {∞}. Tồn tại hay không hàm phân hình f trên C thỏa mãn δ(f, ai) = δi, và δ(f, a) = 0 cho mọi a /∈ {ai}? Câu hỏi trên còn được biết như là bài toán ngược của Nevanlinna. Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu bài toán ngược của Nevanlinna, cụ thể Nevanlinna [9], Lê Văn Thiêm [11], Hayman [4],... đã giải quyết bài toán này cho một số trường hợp đặc biệt. Đến năm 1976 vấn đề trên đã được giải quyết trọn vẹn bởi D. Drasin trong [3]. Trong công trình này, Drasin không chỉ xét bài toán ngược của Nevanlinna cho số khuyết mà còn cho số khuyết rẽ nhánh. Vậy, bài toán về sự tồn tại của hàm phân hình với hữu hạn hay vô hạn giá trị khuyết đã được nghiên cứu khá trọn vẹn. Như ta đã biết hàm phân hình có thể được xem là đường cong chỉnh hình từ C vào P1(C). Do đó, việc mở rộng lý thuyết Nevanlinna cổ điển cho các đường cong chỉnh hình vào Pn(C) với n > 2 là một điều tự nhiên. H. Cartan [1] đã chứng minh định lý sau (được gọi là định lý Nevanlinna- Cartan cho đường cong chỉnh hình cắt các siêu phẳng) Định lý. Cho đường cong chỉnh hình f : C → Pn(C). Cho H1, . . . , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh Pn(C). Khi đó q∑ j=1 δ(Hj, f) 6 n+ 1. Tương tự với trường hợp hàm phân hình, người ta cũng nghiên cứu tính chất của số khuyết của đường cong chỉnh hình. Với n > 2, các ví dụ về đường cong chỉnh hình với hữu hạn giá trị khuyết đã được đưa ra bởi nhiều tác giả, trong khi đó, việc xây dựng đường cong chỉnh hình có vô hạn giá trị khuyết không dễ chút nào. Năm 2004, N. Toda [12] đã nghiên cứu và đưa ra các ví dụ cho đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn giá trị khuyết. Mục đích chính của luận văn là trình bày lại những kết quả đó của N. Toda một cách có chọn lọc theo bố cục riêng của tác giả nhằm trả lời một phần các câu hỏi trên. Luận văn được chia thành 2 chương. Chương1. Kiến thức chuẩn bị. Được trình bày với mục đích cung cấp các kiến thức cần thiết để cho người đọc dễ theo dõi chứng minh các kết quả của chương sau. Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số tính chất cơ 4bản của lý thuyết Nevanlinna: Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình và cho đường cong chỉnh hình, quan hệ số khuyết cho hàm phân hình và những kiến thức liên quan, và chứng minh rằng tập hợp các giá trị a sao cho hàm số khuyết của một hàm phân hình tại điểm a dương là đếm được. Chương 2. Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết. Đây là chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng các đường cong chỉnh hình có vô số số khuyết dương. Chương này được chia thành hai phần. Phần thứ nhất, chúng tôi đưa ra các kết quả bổ trợ như xây dựng lại khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng, số khuyết, giá trị khuyết,... cho đường cong chỉnh hình và một số tính chất cơ bản, dễ thấy nhưng tương đối quan trọng vì nó được sử dụng nhiều khi chứng minh những kết quả sâu hơn ở những phần sau. Phần thứ hai, trình bày các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết. Kết quả chính của chương này là Định lý 2.2.8 và Định lý 2.2.9. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của TS. Tạ Thị Hoài An. Dưới sự hướng dẫn của cô, tôi đã bước đầu làm quen và say mê hơn trong nghiên cứu toán. Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới cô. Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, khoa Sau đại học ĐHSPTN, Viện Toán học Việt Nam, các thầy, cô giáo đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập, đặc biệt là thầy Hà Trần Phương. Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp của tôi ở trường THPT Lương Thế Vinh Thái Nguyên, các anh, chị học viên lớp cao học khoá 14 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập. Nhân đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Tuấn Long đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình: bố, mẹ, và em gái đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn này. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số tính chất cơ bản của lý thuyết Nevanlinna và những kiến thức liên quan khác nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi. Các khái niệm và kết quả của chương này được trích dẫn từ [2], [5], [6], [9], ... 1.1 Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình. Giả sử f là hàm phân hình trong đĩa bán kính R và r < R. Kí hiệu n(f,∞, r), (tương ứng, n(f,∞, r)), là số các cực điểm tính cả bội, (tương ứng, không tính bội), của hàm f trong đĩa đóng bán kính r. Giả sử a ∈ C, ta định nghĩa n(f, a, r) = n ( 1 f − a,∞, r ) , n(f, a, r) = n ( 1 f − a,∞, r ) . 1.1.1 Định nghĩa. Hàm đếm tính cả bội N(f, a, r), (tương ứng, hàm đếm không tính bội N(f, a, r)), của hàm f tại giá trị a được định nghĩa như sau N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r + ∫ r 0 ( n(f, a, t)− n(f, a, 0) )dt t , 5 6(tương ứng, N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r + ∫ r 0 ( n(f, a, t)− n(f, a, 0) )dt t ). Vì thế, nếu a = 0 ta có N(f, 0, r) = (ord+0 f) log r + ∑ z∈D(r) z 6=0 (ord+z f) log | r z |, trong đó D(r) là đĩa có bán kính r và ord+z f = max{0, ordzf} là bội của không điểm. 1.1.2 Định nghĩa. Hàm xấp xỉ m(f, a, r) của hàm f tại giá trị a ∈ C được định nghĩa như sau m(f, a, r) = ∫ 2pi 0 log+ ∣∣∣ 1 f(reiθ)− a ∣∣∣dθ 2pi , và m(f,∞, r) = ∫ 2pi 0 log+ | f(reiθ) | dθ 2pi , trong đó log+ x = max{0, log x}. Hàmm(f,∞, r) đo độ lớn trung bình của log |f | trên đường tròn |z| = r. 1.1.3 Định nghĩa. Hàm đặc trưng T (f, a, r) của hàm f tại giá trị a ∈ C được định nghĩa như sau T (f, a, r) = m(f, a, r) +N(f, a, r), T (f, r) = m(f,∞, r) +N(f,∞, r). Xét về mặt nào đó, hàm đặc trưng Nevanlinna đối với lý thuyết hàm phân hình có vai trò tương tự như bậc của đa thức trong lý thuyết đa thức. Từ định nghĩa hàm đặc trưng ta có T (f, a, r) ≥ N(f, a, r) +O(1), trong đó O(1) là một đại lượng bị chặn khi r →∞. 71.1.4 Định nghĩa. Cấp của hàm phân hình f được định nghĩa bởi công thức ρ(f) = lim sup r→∞ log T (r, f) log r . Nếu ρ(f) = ∞ thì f được gọi là có cấp vô hạn, nếu 0 < ρ(f) < ∞ thì f được gọi là có cấp hữu hạn. Giả sử 0 < ρ(f) <∞, đặt C = lim sup r→∞ T (r, f) rρ . Ta nói f có dạng tối đại nếu C =∞, có dạng trung bình nếu 0 < C <∞, có dạng tối tiểu nếu C = 0. 1.1.5 Ví dụ. Nếu f là hàm hữu tỷ thì T (f, r) = O(log r), do đó hàm hữu tỷ có cấp 0. Nếu f = ez thì T (f, r) = r/pi + O(1), do đó ez có cấp 1, dạng trung bình. Hàm ee z là hàm có cấp vô hạn. Công thức Poisson - Jensen 1.1.6 Định lý. Giả sử f(z) 6≡ 0,∞ là một hàm phân hình trong hình tròn D = {|z| ≤ R} với 0 < R <∞. Giả sử aà, à = 1, ...,M là các không điểm của f trong D, mỗi không điểm được kể một số lần bằng bội của nó. bν, (ν = 1, 2, ..., N) là các cực điểm của f trong trongD, mỗi cực điểm được kể một số lần bằng bội của nó. Khi đó, với mỗi z = reiθ ∈ D sao cho f(z) 6= 0, f(z) 6=∞ ta có log |f(z)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiφ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(θ − φ) + r2dφ+ + M∑ à=1 log ∣∣∣∣R(z − aà)R2 − aàz ∣∣∣∣− N∑ ν=1 log ∣∣∣∣R(z − bν)R2 − bνz ∣∣∣∣. (1.1) 8Chứng minh. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong {|z| ≤ R}, z = 0. Khi đó ta cần chứng minh log |f(0)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ. Do f(z) 6= 0 trong D nên log f(z) là hàm chỉnh hình trong D. Theo Định lý Cauchy, ta có: log f(0) = 1 2pii ∫ |z|=R log f(z) dz z = 1 2pi 2pi∫ 0 log f(Reiϕ)dϕ. Lấy phần thực hai vế ta có: log |f(0)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ. Trường hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong {|z| ≤ R}, với z tuỳ ý, z = reiθ(0 < r < R) . Xét ánh xạ bảo giác: {|ξ| 6 R} → {ω 6 1} z 7→ 0 ξ 6= z 7→ ω = R (ξ − z) R2 − zξ Như vậy |ς| = R tương ứng với |ω| = 1, vì |ω| = R |ξ − z||R2 − zξ| 9và |ξ| = R⇒ ξξ = |ξ|2 = R2 suy ra |ω| = R |ξ − z|∣∣ξξ − zξ∣∣ = R |ξ − z||ξ| ∣∣ξ − z∣∣ = 1. Do log f(z) là chỉnh hình trong |ξ| ≤ R, theo định lý Cauchy, ta có log f(z) = 1 2pii ∫ |ξ|=R log f(ς) dξ ξ − z . (1.2) Mặt khác 1 2pii ∫ |ξ|=R log f(ξ) zdξ R2 − zξ = 1 2pii ∫ |ξ|=R log f(ξ) −dξ ξ − R 2 z = 0. (1.3) Do |z| = |z| < R nên ∣∣∣∣R2z ∣∣∣∣ > R nghĩa là điểm R2z nằm ngoài |ξ| ≤ R nên hàm log f(ξ) 1 ξ − R 2 z là hàm chỉnh hình. Kết hợp với (1.2) và (1.3) ta có log f(z) = 1 2i ∫ |ξ|=R log f(ξ) [ 1 ξ − z + 1 ξ − R2z ] dξ = 1 2i ∫ |ξ|=R log f(ξ) [ 1 ξ − z + z R2 − zξ ] dξ, với 1 ξ − z + z R2 − zξ = R2 − zξ + zξ − zz (ξ − z) (R2 − zξ) = R2 − r2 (ξ − z) (ξξ − zξ) = R2 − r2ξ |ξ − z|2 . 10 Mặt khác ξ = Reiϕ = R cosϕ+ iR sinϕ, z = reiθ = r cos θ + ir sin θ, ξ − z = (R cosϕ− r cos θ) + i (R sinϕ− r sin θ) , |ξ − z|2 = (R cosϕ− r cos θ)2 + (R sinϕ− r sin θ)2 = R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ− θ). Vậy log f(z) = 1 2pi 2pi∫ 0 log f(Reiφ) R2 − r2 R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ. (1.4) Lấy phần thực hai vế của (1.4) ta được log |f(z)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ. Trường hợp 3: Hàm f(z) có không điểm và cực điểm trên biên {|z| = R} nhưng không có không điểm và cực điểm ở trong miền {|z| < R}. Ta có số không điểm và cực điểm của hàm f(z) trên biên {|z| = R} là hữu hạn. Thật vậy, giả sử f(z) có vô hạn không điểm {zk} , khi đó {|ξ| = R} compact, do đó { zkj } hội tụ đến zk0 ∈ {|ξ| = R} và f(zkj) = 0, do đó f = 0 trên một tập hợp có điểm giới hạn. Điều này kéo theo f ≡ 0 suy ra vô lý. Giả sử có vô hạn không điểm {zk} , khi đó tồn tại { zkj } → z0 ∈ {|ξ| = R}, z0 là điểm bất thường; vì f là hàm phân hình nên z0 là cực điểm nghĩa là trong một lân cận của z0 hàm f chỉnh hình chỉ trừ tại z0 suy ra vô lý vì { zkj }→ z0 nên trong mọi lân cận của z0 đều chứa zkj nào đó mà tại đó f có cực điểm. 11 Vậy f(z) có hữu hạn không điểm và cực điểm trên biên {|z| = R} . Giả sử Z0 là không điểm hoặc cực điểm cấp k của f(ξ), Z0 ∈ ∂D. Trong một lân cận nào đó của Z0, ta có khai triển sau: f(ξ) = a(ξ − Z0)k + . . . , a 6= 0. Khi đó, log |f(ξ)| = k log |ξ − Z0|+ o(|ξ − Z0|). Xét vòng tròn Cδ tâm Z0, bán kính δ đủ nhỏ. Thay vòng tròn |ξ| = R bởi vòng tròn Cδ, khi đó f không có không điểm và cực điểm trên biên của miền mới nhận được. Quay lại trường hợp 2, ta có tích phân bên phải của bước 2 chỉ khác tích phân ở trên vòng tròn |ξ| = R một đại lượng∑ Cδ 1 2pi ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| . Ta có ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| = Cδ. log δ.δ. Do đó, ∑ Cδ 1 2pi ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ. Cho δ → 0 ta có∑ Cδ 1 2pi ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| → 0. Công thức được chứng minh. Trường hợp 4: Bây giờ ta xét trong trường hợp f(z) có các không điểm và cực điểm trong |z| ≤ R. Xét hàm ψ(z) = f(z) ∏N γ=1 R(z−bγ) R2−bγz∏M à=1 R(z−aà) R2−aàz . 12 Khi đó ψ(z) suy ra không có không điểm và cực điểm ở trong |ξ| 6 R vì giả sử ngược lại ψ(z0) = 0 suy ra f(z0) = 0. Do đó ψ(ξ) bị khử đi mẫu số. Tương tự ψ(ξ) cũng không có cực điểm. áp dụng công thức đã chứng minh ta có: log |ψ(z)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ. Nên log |f(z)|+ N∑ γ=1 log ∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz ∣∣∣∣− M∑ à=1 log ∣∣∣∣R(z − aà)R2 − aàz ∣∣∣∣ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ. Khi |z| = R thì ∣∣∣R(z−bγ) R2−bγz ∣∣∣ = 1, và ∣∣∣R(z−aà)R2−aàz ∣∣∣ = 1. Suy ra nếu |z| = R thì |ψ(z)| = |f(z)| . Do đó log |f(z)|+ N∑ γ=1 log ∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz ∣∣∣∣− M∑ à=1 log ∣∣∣∣R(z − aà)R2 − aàz ∣∣∣∣ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ. Vậy log |f(z)| = 1 2pi ∫ 2pi 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ + M∑ à=1 log ∣∣∣∣R(z − aà)R2 − aàz ∣∣∣∣− N∑ γ=1 log ∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz ∣∣∣∣. 13 Từ Công thức Poisson-Jensen ta có định lý sau đây. 1.1.7 Định lý (Định lí cơ bản thứ nhất). Giả sử f là hàm phân hình, a là một số phức tuỳ ý. Khi đó ta có m(f, a, r) +N(f, a, r) = T (f, r)− log |f(0)− a|+ (a, r), trong đó (a, r) ≤ log a+ log 2. Ta thường dùng Định lý cơ bản thứ nhất dưới dạng T (f, a, r) = T (f, r) +O(1), trong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi r →∞. Định lý cơ bản thứ nhất cho ta thấy vế trái trong công thức không phụ thuộc a với sai khác một đại lượng bị chặn. 1.1.8 Định lý (Định lí cơ bản thứ hai). Giả sử f(z) là hàm phân hình trong C và a1, . . . , aq là q số phức phân biệt. Khi đó, (q − 2)T (f, r) ≤ q∑ i=1 N(f, ai, r)−Nram(f, r) +O ( log T (r, f) ) , cho r →∞ bên ngoài tập hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn và N ram (f, r) = N(f ′, 0, r) + 2N(f,∞, r)−N(f ′,∞, r). 1.2 Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình Quan hệ số khuyết là một dạng phát biểu khác của Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna. Số khuyết liên quan chặt chẽ đến bài toán ngược của Nevanlinna trong [9]. Trước hết ta nhắc lại định nghĩa số khuyết. 14 1.2.1 Định nghĩa. Số khuyết của hàm f tại điểm a được định nghĩa bởi δ(f, a) = lim inf r→∞ { 1− N(f, a, r) T (f, r) } . Số khuyết rẽ nhánh của hàm f tại điểm a được định nghĩa bởi θ(f, a) = lim inf r→∞ {N(f, a, r)−N(f, a, r) T (f, r) } . Số khuyết bị chặt của hàm f tại điểm a được định nghĩa bởi Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) = lim inf r→∞ { 1− N(f, a, r) T (f, r) } . 1.2.2 Định nghĩa. Cho a ∈ C∪{∞}, giá trị a được gọi là giá trị khuyết của hàm f nếu δ(f, a) > 0; giá trị a được gọi là giá trị khuyết cực đại của hàm f nếu δ(f, a) = 1. 1.2.3 Mệnh đề. Với mọi a ∈ C ∪ {∞}, 0 ≤ δ(f, a), 0 ≤ θ(f, a), và Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) ≤ 1. Cho hàm phân hình f và các điểm phân biệt a1, . . . , aq trong C ∪ {∞}, ký hiệu S(f, {aj}qj=1, r) = (q − 2)T (f, r)− q∑ j=1 N(f, aj, r) +Nram(f, r). Khi đó, Định lý cơ bản thứ hai có thể được phát biểu ở dạng yếu hơn như sau. 1.2.4 Định lý. Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trên C và a1, . . . , aq là các phần tử phân biệt trong C ∪ {∞}. Khi đó lim inf r→∞ S(f, {aj}qj=1, r) T (f, r) ≤ 0. 15 1.2.5 Định lý. Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trong |z| < R0. Khi đó tập hợp các giá trị a mà δ(f, a) > 0 và θ(f, a) > 0 là đếm được, đồng thời ta có∑ a∈C∪{∞} {δ(f, a) + θ(f, a)} = ∑ a∈C∪{∞} Θ(f, a) 6 2. Chứng minh. Xét q điểm khác nhau a1, a2, ...., aq trong C ∪ {∞}. Khi đó q∑ j=1 (δ(f, aj) + θ(f, aj)) = lim inf r→∞ qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +∑qj=1N(f, aj, r)−∑qj=1 N¯(f, aj, r) T (f, r) . Rõ ràng N(f, aj, r) − N¯(f, aj, r) đếm số lần hàm f = a với bội lớn hơn 1 và do đó q∑ j=1 N(f, aj, r)− q∑ j=1 N¯(f, aj, r) ≤ Nram(f, r) + nram(f, 0) log+ 1 r . Như vậy q∑ j=1 (δ(f, aj) + θ(f, aj)) ≤ lim inf r→∞ qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r) T (f, r) = 2 + lim inf r→∞ (q − 2)T (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r) T (f, r) = 2 + lim inf r→∞ S(f, {aj}qj=1, r) T (f, r) ≤ 2, bởi áp dụng Định lý 1.2.4. Với mọi số nguyên dương k, tồn tại nhiều nhất hữu hạn giá trị a sao cho Θ(f, a) ≥ 1/k. Do {a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪∞k=1{a : Θ(f, a) ≥ 1/k}, ta có nhiều nhất đếm được a như vậy. 16 1.2.6 Hệ quả. Nếu f là hàm nguyên thì∑ a∈C Θ(f, a) 6 1. Chứng minh. Do f là hàm nguyên nên Θ(f,∞) = 1. Chúng ta có định lý sau là hệ quả trực tiếp của định lý quan hệ số khuyết. 1.2.7 Định lý (Định lý Picard). Giả sử f(z) là hàm phân hình, không nhận 3 giá trị 0, 1,∞ khi đó f là hàm hằng. Chứng minh. Giả sử f không phải là hàm hằng, do f(z) không nhận 3 giá trị 0, 1,∞ nên N(f, 0, r) = 0; N(f, 1, r) = 0; N(f,∞, r) = 0. Do đó Θ(f, 0) = 0; Θ(f, 1) = 1; Θ(f,∞) = 1. Như thế ∑ a∈C∪{∞} Θ(f, a) > 2, mâu thuẫn với định lý về số khuyết, như vậy f(z) phải là hàm hằng. Vấn đề ngược của Nevanlinna. Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, giả sử {δi} và {θi} là dãy các số thực không âm sao cho 0 < δi + θi ≤ 1, ∑ i (δi + θi) ≤ 2. Giả sử ai, 1 ≤ i < N là các điểm phân biệt trong C ∪ {∞}. Nevanlinna đã đưa ra câu hỏi sau: Tồn tại hay không hàm phân hình f trên C sao cho δ(f, ai) = δi, θ(f, ai) = θi, 1 ≤ i < N 17 và δ(f, a) = θ(f, a) = 0 cho mọi a /∈ {ai}? Vấn đề này đã được giải quyết trọn vẹn bởi Drasin trong [3]. 1.3 Các hàm Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình. Trước hết ta nhắc lại khái niệm không gian xạ ảnh. 1.3.1 Định nghĩa. Đặt (C∗)n+1 = Cn+1 \ (0, . . . , 0). Ta định nghĩa một quan hệ tương đương trên (C∗)n+1 như sau: (x0, . . . , xn) ∼ (y0, . . . , yn) nếu tồn tại 0 6= λ ∈ C sao cho (x0, . . . , xn) = λ(y0, . . . , yn). Không gian xạ ảnh n chiều trên C, ký hiệu là Pn(C) hay đơn giản là Pn, là không gian (C∗)n+1 với quan hệ tương đương ∼ . Ta có Pn = (C∗)n+1/ ∼ . Mỗi phần tử của không gian xạ ảnh Pn là một lớp (x0, . . . , xn) theo quan hệ tương đương ∼ . Mỗi phần tử P của không gian xạ ảnh Pn được gọi là một điểm, kí hiệu là P = (x0 : ã ã ã : xn) và (x0 : ã ã ã : xn) được gọi là tọa độ thuần nhất của điểm P . 1.3.2 Định nghĩa. ánh xạ f = (f0 : f1 : ã ã ã : fn) : C→ Pn(C) được gọi là đường cong chỉnh hình nếu fi là các hàm nguyên trên C. Ta có thể viết f = (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) trong đó f˜i là các hàm nguyên không có các không điểm chung. Khi đó (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) được gọi là biểu diễn rút gọn của đường cong f . Giả sử f : C→ Pn(C) là đường cong chỉnh hình. Giả sử f = (f0, . . . , fn) là biểu diễn rút gọn của f , trong đó f0, . . . , fn là các hàm nguyên trong C không có không điểm chung. Đặt ‖f(z)‖ = (|f0(z)|2 + ã ã ã+ |fn(z)|2) 12 . 18 Hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan Tf(r) được định nghĩa bởi T (r, f) = 1 2pi ∫ 2pi 0 log ‖f(reiθ)‖dθ. Giả sửQ là đa thức thuần nhất bậc d với n+1 biến. Hàm xấp xỉm(r,Q, f) của ánh xạ f ứng với đa thức Q được định nghĩa là m(r,Q, f) = 1 2pi ∫ 2pi 0 log ‖f(reiθ)‖d |Q ◦ f(reiθ)|dθ. Ta gọi n(r,Q, f), (tương ứng, n(r,Q, f)), là số các không điểm tính cả bội, (tương ứng, không tính bội), của Q ◦ f trong đĩa |z| ≤ r. Hàm đếm tính cả bội N(r,Q, f), (tương ứng, hàm đếm không tính bội N(r,Q, f)), được định nghĩa như sau: N(r,Q, f) = ∫ r 0 n(t, Q, f)− nf(0, Q) t dt− n(0, Q, f) log r, (tương ứng, N(r,Q, f) = ∫ r 0 n(t, Q, f)− n(0, Q, f) t dt− n(0, Q, f) log r). Tương tự như đối với hàm phân hình, ta cũng có hai định lý cơ bản cho các đường cong chỉnh hình. 1.3.3 Định lý (Định lí cơ bản thứ nhất). Giả sử f : C → Pn(C) là đường cong chỉnh hình và Q là đa thức thuần nhất bậc d trong Pn(C). Giả sử Q ◦ f(C) 6≡ 0, thì với mọi 0 < r <∞ m(r,Q, f) +N(r,Q, f) = dT (r, f) +O(1), trong đó O(1) là đại lượng bị chặn không phụ thuộc vào r. 1.3.4 Định lý (Định lí cơ bản thứ hai). Giả sử f : C→ Pn(C) là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Giả sử L1, . . . , Lq là các đa thức tuyến tính Pn(C). Khi đó∫ 2pi 0 max K log ∏ j∈K ‖f(reiθ)‖‖Lj‖ |Lj(f)(reiθ)| dθ 2pi 6 (n+ 1)T (r, f) + o(T (r, f)), 19 trong đó maximum được lấy trên tất cả các tập con K của {1, . . . , q} sao cho Lj, j ∈ K là độc lập tuyến tính và ‖Lj‖ là maximum của các giá trị tuyệt đối của các hệ số trong Lj. Chương 2 Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết Trong Chương 1, ta đã chứng minh rằng tập hợp các giá trị a sao cho hàm số khuyết của một hàm phân hình tại điểm a dương là đếm được. Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng các đường cong chỉnh hình có vô số hàm số khuyết dương. Trước hết ta đưa ra các kết quả dùng để hỗ trợ cho việc xây dựng các đường cong chỉnh hình như vậy. 2.1 Các kết quả bổ trợ Cho a0z0 + ã ã ã + anzn = 0 là một dạng tuyến tính xác định một siêu phẳng H trong không gian xạ ảnh Pn. Khi đó, có tương ứng 1-1 giữa siêu phẳng H và điểm a = (a0, . . . , an) ∈ Cn+1 \ {(0, ..., 0)}. Do đó, ta có thể thay việc xét một siêu phẳng trong không gian xạ ảnh Pn bằng việc xét một điểm trong Cn+1 và ta ký hiệu ‖a‖ = (|a0|2 + ...+ |an|2) 12 , (a, f) = a0f0 + ...+ anfn, (a, f(z)) = a0f0(z) + ...+ anfn(z), 20 21 trong đó f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) là đường cong chỉnh hình khác hằng. Khi đó, hàm đếm, hàm xấp xỉ của Nevanlinna-Cartan được viết lại như sau 2.1.1 Định nghĩa. Với a ∈ Cn+1 − {0}, ta có m(r, a, f) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖a‖∥∥f(reiθ)∥∥ |(a, f(reiθ))| dθ, N(r, a, f) = N(r, 1/(a, f)). 2.1.2 Định nghĩa. Đường cong chỉnh hình f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) được gọi là không suy biến tuyến tính trên C nếu f0, ..., fn là độc lập tuyến tính trên C. 2.1.3 Định nghĩa. Đường cong f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) được gọi là siêu việt nếu f là không suy biến tuyến tính và lim r→∞ T (r,f) log r =∞. 2.1.4 Định nghĩa. ρ(f) = lim sup r→∞ log T (r, f) log r được gọi là cấp của f. 2.1.5 Định lý (Định lý cơ bản thứ nhất). Cho f : C → Pn(C) là ánh xạ chỉnh hình, a ∈ Cn+1 − {0} tuỳ ý. Khi đó ta có T (r, f) = m(r, a, f) +N(r, a, f) +O(1), (2.1) trong đó O(1) là đại lượng giới nội. 2.1.6 Định nghĩa. Cho f : C→ Pn(C) là ánh xạ chỉnh hình, a ∈ Cn+1−{0}. δ(f, a) = 1− lim sup r→∞ N(r, a, f) T (r, f) = lim inf r→∞ m(r, a, f) T (r, f) được gọi là số khuyết của f tại a. 22 Nhận xét. Từ công thức (2.1) ta có 0 6 δ(f, a) 6 1. Tương tự như đối với hàm phân hình, ta có các định nghĩa về giá trị khuyết như sau. 2.1.7 Định nghĩa. Cho a ∈ Cn+1 − {0}, giá trị a được gọi là giá trị khuyết của đường cong chỉnh hình f nếu δ(f, a) > 0; giá trị a được gọi là giá trị khuyết cực đại của hàm f nếu δ(f, a) = 1. 2.1.8 Định nghĩa. Cho X là một tập con của Cn+1 − {0} , và N là một số nguyên thoả mãn N > n. X được gọi là ở N - vị trí tổng quát nếu #X > N + 1 và N + 1 phần tử bất kỳ của X sinh ra Cn+1. Chúng ta nói rằng X là ở vị trí tổng quát nếu X ở n - vị trí tổng quát. Định lý sau đây là một mở rộng của Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna- Cartan cho họ các phần tử ở N - vị trí tổng quát. Kết quả này được chứng minh bởi Cartan [1] cho trường hợp N = n và bởi Nocka [10] cho N > n. 2.1.9 Định lý. Cho ánh xạ chỉnh hình f : C → Pn(C). Với q phần tử a1, ..., aq bất kỳ của X ở N - vị trí tổng quát. Khi đó q∑ j=1 δ(aj, f) 6 2N − n+ 1, trong đó 2N − n+ 1 6 q 6∞. Để xây dựng đường cong chỉnh hình có vô số giá trị khuyết, ta cũng cần các kết quả sau đây của lý thuyết dãy. Cho {ηv} là một dãy giảm thoả mãn ηv > 0, ∞∑ v=1 ηv = 1, η0 = η1. Đặt θ0 = 0, θk = pi k−1∑ v=0 ηv, (k = 1, 2, 3, ...). 23 Khi đó {θk} là một dãy tăng ngặt và tiến tới pi ∞∑ v=0 ηv = piη0 + pi ∞∑ v=1 ηv 6 2pi, khi k →∞. 2.1.10 Bổ đề. Giả sử k > 1, z = reiθ và θ thoả mãn θk − 1 3 piηk < θ 6 θk + 1 3 piηk. (2.2) Khi đó (a.) cos(θv − θ) 6 cos(23piηk) với ν 6= k. (b.) ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 er cos 23piηk với ν 6= k. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh khẳng định (a). Với v < n θ − θv > (θn − θn−1)− 1 3 piηn = pi(ηn−1 − 1 3 ηn) > 2 3 piηn, và với v > n ta có θv − θ > (θn+1 − θn)− 1 3 piηn = 2 3 piηn. Suy ra |θv − θ| > 2 3 piηn(mod2pi), (v 6= n). Vậy cos(θv − θ) 6 cos(23piηk). Ta tiếp tục chứng minh khẳng định (b). Sử dụng (a), ta có :∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θv) ∣∣∣ = er cos(θ−θv) 6 er cos 23piηk, (v 6= k). Vậy bổ đề được chứng minh. 24 Giả sử m là một số nguyên dương bất kỳ, {ak} là một dãy tuỳ ý các số phức trong đó có ít nhất 2 phần tử của {ak}k>m phân biệt và khác không, {bk} là một dãy các số dương thoả mãn: S1 = ∞∑ k=1 bk |ak| <∞, S2 = ∞∑ k=1 bk <∞. Đặt u(z) = ∞∑ k=1 bkake ze−iθk , vm(z) = ∞∑ k=m bke ze−iθk , và w0(z) ≡ 0, wm−1(z) = m−1∑ k=1 αke ze−iθk , (m > 2) với số phức αk bất kỳ. Hơn nữa ta đặt A0 ≡ 0, Am−1 = m−1∑ k=1 |αk|, (m > 2). Ta có các mệnh đề sau. 2.1.11 Mệnh đề. Cho z = reiθ. Khi đó 1. |u(z)| 6 S1er, 2. |vm(z)| 6 S2er, 3. |u(z) + wm−1(z)| 6 (S1 + Am−1)er, 4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 (S2 + Am−1)er. Chứng minh. Trước hết ta có:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er. Khi đó các khẳng định được chứng minh như sau: 1. |u(z)| = ∣∣∣∣ ∞∑ k=1 bkake ze−iθk ∣∣∣∣ = ∞∑ k=1 bk |ak| ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S1er. 25 2. |vm(z)| = ∣∣∣∣ ∞∑ k=m bke ze−iθk ∣∣∣∣ = ∞∑ k=m bk ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∞∑ k=1 bk ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S2er. 3. |wm−1(z)| = ∣∣∣∣m−1∑ k=1 αke ze−iθk ∣∣∣∣ = m−1∑ k=1 |αk| ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Am−1er, (m > 2), |u(z) + wm−1(z)| 6 |u(z)|+ |wm−1(z)| 6 S1er +Am−1er = (S1 +Am−1)er. 4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 |vm(z)|+ |wm−1(z)| 6 S2er + Am−1er = (S2 + Am−1)er. 2.1.12 Bổ đề. Cho θ thoả mãn (2.2) và k > m, z = reiθ. Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau: 1. ∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 23piηk. (2.3) 2. ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk. (2.4) 3. ∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 (S2 + Am−1)er cos 23piηk, (2.5) và với r đủ lớn 4. |u(z) + wm−1(z)| > 1 2 bk |ak| er cos 13piηk, (ak 6= 0). (2.6) 5. |vm(z)| > 1 2 bke r cos 13piηk. (2.7) 6. |vm(z) + wm−1(z)| > 1 2 bke r cos 13piηk. (2.8) 26 Chứng minh. Ta có∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣u(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 m−1∑ v=1 ∣∣∣αveze−iθv ∣∣∣+∑ v 6=k bv ∣∣∣aveze−iθv ∣∣∣ 6 m−1∑ v=1 |αv| ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣+ ∞∑ v=1 bv |av| ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 2 3piηk, khẳng định (1) được chứng minh. ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ∞∑ k=m bke ze−iθk − bkeze−iθk ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∣ ∞∑ k=1 bke ze−iθk − bkeze−iθk ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ ∑ v 6=k bve ze−iθv ∣∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∣ ∞∑ v=1 bve ze−iθv ∣∣∣∣∣ = ∞∑ v=1 bv ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk, bất đẳng thức (2) được chứng minh. ∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 Am−1er cos 2 3piηk + S2e r cos 23piηk = (S2 + Am−1)er cos 2 3piηk, đưa ra chứng minh cho bất đẳng thức (3). 27 Giả sử ak 6= 0, ta có∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− |u(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkakeze−iθk − (u(z) + wm−1(z))∣∣∣ = ∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 2 3piηk. Điều này kéo theo |vm(z) + wm−1(z)| > ∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− (S1 + Am−1)er cos 23piηk = bk |ak| er cos(θ−θk) − (S1 + Am−1)er cos 23piηk > bk |ak| er cos 13piηk − (S1 + Am−1)er cos 23piηk = er cos 1 3piηk(bk |ak| − (S1 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1 2 bk |ak| er cos 13piηk, khẳng định (4) được chứng minh. Bất đẳng thức (5) được chứng minh như sau:∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z)∣∣∣ = ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk, do đó, |vm(z)| > ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− S2er cos 23piηk > bker cos 13piηk − S2er cos 23piηk = er cos 1 3piηk(bk − S2er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1 2 bke r cos 13piηk. 28 Bất đẳng thức (6) được suy ra từ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z) + wm−1(z)∣∣∣ = ∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 (S2 + Am−1)er cos 2 3piηk, điều này kéo theo |vm(z) + wm−1(z)| > ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− (S2 + Am−1)er cos 23piηk > bker cos 1 3piηk − (S2 + Am−1)er cos 23piηk = er cos 1 3piηk(bk − (S2 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1 2 bke r cos 13piηk. Bổ đề được chứng minh. 2.1.13 Bổ đề. u(z) + wm−1(z) và vm(z) là độc lập tuyến tính trên C. Chứng minh. Trước hết từ bất đẳng thức (2.6) và (2.7) ta nhận thấy cả u(z) + wm−1(z) và vm(z) đều không đồng nhất bằng không. Giả sử u(z) + wm−1(z) và vm(z) là phụ thuộc tuyến tính trên C, khi đó tồn tại một hằng số a 6= 0 thoả mãn u(z)+wm−1(z)vm(z) ≡ a. Mặt khác do cách chọn dãy {ak} nên có ít nhất một k > m để ak 6= 0, ak 6= a, khi đó với θ thoả mãn (2.2), với z = reiθ và r đủ lớn ta có 29 0 6= |a− ak| = ∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− akvm(z)vm(z) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze −iθk − akvm(z) + bkakeze−iθk vm(z) ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣+ ∣∣∣akvm(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ |vm(z)| 6 (S1 + Am−1 + |ak|S2)e r cos 23piηk 1 2bke r cos 13piηk = 2 S1 + Am−1 + |ak|S2 bk er(cos 2 3piηk−cos 13piηk) = 2 S1 + Am−1 + |ak|S2 bk e−2r sin pi 6 ηk sin pi 2 ηk = 2 S1 + Am−1 + |ak|S2 bke2r sin pi 6 ηk sin pi 2 ηk r→∞−−−→ 0, (do sin pi6ηk sin pi 2ηk > 0.) Điều này mâu thuẫn. Vậy điều giả sử không, tức u(z) + wm−1(z) và vm(z) là độc lập tuyến tính trên C. Cho f := (f1 : ... : fn+1) là một đường cong chỉnh hình siêu việt; p là một số nguyên dương tuỳ ý, đặt P (z) = zp, chúng ta xét đường cong chỉnh hình f ◦ P = (f1 ◦ P, ..., fn+1 ◦ P ). Chú ý rằng f1 ◦P, ..., fn+1 ◦P không có không điểm chung và độc lập tuyến tính trên ._.