Xác định tối ưu vị trí đặt các nhà máy công nghiệp dựa trên các yêu cầu về môi trường

nhà máy công nghiệp đó ở đâu để mức độ ô nhiễm do nhà máy đó gây ra là nhỏ nhất đối với môi trường xung quanh. Sự phát triển công nghiệp nhanh chóng trên toàn thế giới đã đặt ra một bài toán cho toàn bộ loài người đó là giải quyết nguồn độc hại mà nhà máy công nghiệp đó gây ra đối với hệ sinh thái và ảnh hưởng trực tiếp đến con người. Hiện nay nhiều thành phố trên thế giới đã ở trong tình trạng báo động về mức độ ô nhiễm. Và càng ngày mức độ độc hại đó càng tăng do đó dẫn đến không khí bị ô nhiễm và sức khoẻ của con người bị ảnh hưởng nghiêm trọng. Rất nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu vấn đề này và đã tìm rất nhiều các phương pháp tối ưu để đặt các nhà máy công nghiệp sao cho mức độ độc hại do nhà máy công nghiệp đó gây ra cho con người là nhỏ nhất. Đây là một bài toán rất phức tạp và khó giải quyết. Một trong những công cụ toán học hữu hiệu nhất để giải bài toán đó là dùng phương trình truyền tải và khuyếch tán, đặc biệt là phương trình liên hợp của nó. Ngày nay khi khoa học phát triển rất mạnh mẽ, đặc biệt là sự ra đời của máy tính đã hỗ trợ rất nhiều cho việc tính toán, đã giảm được rất nhiều khối lượng tính toán và có độ chính xác cao hơn. Kết quả chính trong luận án là cách xác định tối ưu vị trí đặt các nhà máy công nghiệp dựa trên các yêu cầu về môi trường. Luận án bao gồm các phần chính như sau: Chương I. Cơ sở toán học Mục đích chính của chương này là nêu nên cơ sở toán học thuần tuý, cụ thể là phương trình truyền tải và khuyếch tán vật chất trong không khí, đồng thời cũng đưa ra dạng phương trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất và cách giải bài toán đó. Chương II. Mô hình xác định vị trí tối ưu đặt nhà máy công nghiệp Trong chương này nêu nên cách xác định vị trí đặt nhà máy sao cho tối ưu nhất theo nghĩa là mức độ ảnh hưởng do nhà máy đó gây ra cho các vùng xung quanh là thoả mãn yêu cầu về độ ô nhiễm môi trường cho trước. Chương III. Chương trình và kết quả thử nghiệm Chương này đưa ra một chương trình minh hoạ phương pháp giải bài toán truyền tải và khuyếch tán, chương trình được viết bằng ngôn ngữ Pascal, chương trình tính được nồng độ tạp chất trong một miền G cho trước. Chương IV. Kết luận. Cuối cùng là phần phụ lục có đưa ra một số cơ sở toán để áp dụng trong quá trình tính toán và mô hình tổng quát. Em xin cảm ơn PGS.TS Bùi Minh Trí, TS Nguyễn Lương Bách cùng các bạn trong nhóm đã giúp đỡ, góp ý để em có thể hoàn thành tốt đồ án tốt nghiệp này. Hà nội 2003 Mục lục Lời nói đầu.........................................................................................................1 Mục lục..............................................................................................................3 Chương I Cơ sở toán học...................................................................................................5 I.1. Phương trình truyền tải và khuyếch tán vật chất...............................5 I.1.1. Phương trình mô tả sự truyền tải mức độ ô nhiễm trong không khí. Tính duy nhất của nghiệm.....................................................5 I.1.2. Sự xấp xỉ khuyếch tán và tính duy nhất của nghiệm của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất...................................................8 I.1.3. Phương trình khuyếch tán đơn giản...................................15 I.1.4. Phương trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều..............20 I.2. Phương trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất........................................................................................................22 I.2.1. Phương trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán đơn giản ..........................................................................................22 I.2.2. Phương trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán hai chiều..........................................................................................29 I.2.3. Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp......................32 I.3. Thuật toán giải phương trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất trong trường hợp hai chiều...................................34 I.4. Tính ổn định của lược đồ sai phân và tính không âm của nghiệm bài toán........................................................................................................36 I.4.1. Tính ổn định của lược đồ sai phân.....................................36 I.4.2. Tính không âm của nghiệm bài toán ................................38 Chương II Mô hình xác định đặt nhà máy công nghiệp ..................................................40 II.1. Phát biểu bài toán .........................................................................40 II.2. Trường hợp chỉ có một nhà máy cần đặt trong miền G ................42 II.1.1. Đặt bài toán .....................................................................42 II.2.1 Chuyển bài toán tối ưu về dạng liên hợp ..........................46 II.3. Các mở rộng khác..........................................................................49 II.3.1. Trường hợp cần đặt nhiều nhà máy công nghiệp trong miền G...................................................................................................49 II.3.2. Đánh giá sự mất cân bằng sinh thái do các tác động của chất thải công nghiệp.............................................................................56 Chương III Chương trình và Kết quả thử nghiệm...............................................................60 III.1. Chương trình minh họa phương pháp giải bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất..............................................................................60 III.2. Kết quả thử nghiệm .....................................................................64 Chương IV. Kết luận........................................................................................71 Phụ lục.............................................................................................................72 Tài liệu tham khảo ..........................................................................................77 CHương I. Cơ sở toán học I.1. Phương trình truyền tải và khuyếch tán vật chất Sự ô nhiễm vật chất đang lan trong không gian theo sức gió bao gồm một số sự thay đổi nhất định. Sự thay đổi trung bình của vật chất đã làm cho dòng đối lưu thay đổi, và sự thay đổi trung bình của nó có thể được xét như là sự khuyếch tán trở lại mặt đất của dòng khí. Vấn đề của chúng ta là xét đến những mô hình tham biến cho sự truyền tải và khuyếch tán vật chất. Cơ sở toán học mô tả quá trình này là phương trình truyền tải và khuyếch tán vật chất. I.1.1. Phương trình mô tả sự truyền tải mức độ ô nhiễm trong không khí. Tính duy nhất của nghiệm. Cho f(x,y,z,t) là nồng độ tạp chất trong không khí. Xét bài toán trong một miền hình trụ G với biên S có tiết diện mặt bên hình trụ là G, tiết diện đáy là G0 (tại z=0), và tiết diện mặt trên là GH (tại z=H). Chúng ta viết vectơ dòng chảy theo một hướng nhất định, đây là một hàm của x,y,z,t, là (với ,, là vectơ đơn vị của các trục x,y,z tương ứng). Sự truyền tải vật chất được mô tả bởi phương trình sau: =0 Dạng khai triển của phương trình này là: (1.1.1) Phương trình để đảm bảo tính trơn sau: (1.1.2) Từ đó chúng ta có phương trình: +divf=0 (1.1.3) Dưới đây chúng ta xét div=0, sau đó giả sử rằng: w=0, tại z=0, z=H (1.1.4) Từ (1.1.3) sử dụng đồng nhất thức sẽ được: (1.1.5) điều này là hợp lý nếu hàm f và là khác nhau. Với các giả thiết trên ta có thể đưa (1.1.5) trở thành: (1.1.5’) Đây là một mối tương quan rất quan trọng và nó sẽ được sử dụng thường xuyên trong các phần sau. Phương trình (1.1.3) thoả mãn điều kiện đầu là: f=f0 tại t=0 (1.1.6) và điều kiện trên biên S của miền G là: f=fS trên S với un<0 (1.1.7) với f0 và fS là hàm đã cho và un là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy trên vectơ pháp tuyến ngoài của biên S. Điều kiện (1.1.7) định nghĩa mức độ ô nhiễm trong miền G. Nghiệm chính xác của bài toán được cho bởi phương trình (1.1.3) là xác định được nếu hàm u,v,w là biết được trong không gian và thời gian. Phương trình (1.1.3) có thể được tổng quát hoá. Ví dụ, nếu hệ số phân huỷ, lắng đọng s³0 trong miền G, khi đó phương trình sẽ trở thành: +divf+sf=0 (1.1.8) Nghiệm này sẽ được cụ thể nếu u=v=w=0 trong phương trình (1.1.8). Bây giờ ta xét phương trình +sf=0, và nghiệm của nó là f=f0exp(-st) nghiệm có dạng hàm mũ, còn f0 là giá trị ban đầu. Nếu miền nghiệm chứa nguồn thải được mô tả bởi hàm f(x,y,z,t), khi đó phương trình (1.1.8) trở thành: +divf+sf=f (1.1.9) Bây giờ chúng ta trở lại nghiên cứu bài toán đã phát biểu ở trên và điều kiện để dẫn tới (1.1.9). Bằng cách nhân (1.1.9) với f và lấy tích phân trên toàn miền xác định [0,T] và G ta được: (1.1.10) áp dụng công thức Ostrogradsky-Gauss như sau: (1.1.11) Với tính chất (1.1.4) un sẽ triệt tiêu khi z=0, z=H, do đó tích phân trên S trong (1.1.11) có thể được thay thế bởi tích phân trên bề mặt hình trụ G, có để ý đến điều kiện (1.1.4). Điều kiện đầu và điều kiện biên của bài toán bây giờ trở thành: f=f0 tại t=0 f=fS trên S cho un<0 (1.1.12) trong đó f0 và fS là cho trước, từ phương trình (1.1.10) chúng ta có được (1.1.13) với ={un,nếu un>0, hoặc 0 nếu un<0} =un- Đẳng thức (1.1.13) là cơ sở để chứng minh tính duy nhất của nghiệm bài toán được mô tả bởi phương trình (1.1.9) và (1.1.12). Thực vậy, giả sử chúng ta có hai nghiệm khác nhau gọi là f1 và f2 thoả mãn phương trình (1.1.9) và điều kiện (1.1.12). Khi đó bài toán cho độ lệch w=f1-f2 là: +divw+sw=0 (1.1.14) w=0 tại t=0, w=0 trên S nếu un<0 (1.1.15) Phương trình (1.1.13) cho hàm w sẽ có dạng (1.1.16) Nếu wạ0, thì tất cả các tích phân bên vế trái đều dương, do đó đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi w=0, tức là f1=f2. Vì vậy bài toán có nghiệm duy nhất. Trong trường hợp các thành phần của vectơ hướng gió là các hàm khác nhau thì chúng ta cũng chứng minh tương tự được nó có duy nhất nghiệm và nghiệm đó luôn luôn tồn tại. Từ đó ta đi tới bài toán như sau: +divf+sf=f (1.1.17) f=f0 tại t=0 f=fS trên biên S với un<0 (1.1.18) bài toán này cũng nó có nghiệm duy nhất. I.1.2. Xấp xỉ sự khuyếch tán và tính duy nhất nghiệm của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất Những mô hình cho sự truyền tải các chất gây ô nhiễm trong không gian từ nguồn chất thải được xét đến ở đây không để ý đến các yếu tố tác động bên ngoài như sức gió, nguồn ô nhiễm từ bên ngoài..., các mô hình đó chỉ mới xét đến trường hợp u=v=w=0, do đó bài toán trở nên đơn giản hơn. Khi đó bài toán truyền tải vật chất trở thành: +sf=f (1.2.1) f=f0 tại t=0 Nếu f không phụ thuộc vào t, nghiệm sẽ là f=f0e-st+ (1.2.2) nếu t đủ lớn thì bài toán sẽ được xấp xỉ thành sf=f, tức là f=f/s. Đây cũng là nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.2.1). Mô hình đơn giản này không mô tả được tính chất chính của sự truyền tải vật chất trong không gian của hàm nguồn f. Trên thực tế, chúng ta chỉ biết được sự ô nhiễm trong không khí nếu nó đang phân tán trong phạm vi lân cận của nguồn thải f. Xét trường hợp đơn giản như sau: Giả định rằng chúng ta chia hàm a thành tổng của hai thành phần là giá trị trung bình và thành phần sai số a’, tức là a=+a’, với a’<< (1.2.3) điều này có nghĩa rằng sự sai số của a là rất nhỏ. Ta lại giả sử rằng giá trị trung bình của a được tính theo công thức sau = (1.2.4) và (1.2.5) Nếu như quá trình xử lý thoả mãn điều kiện (1.2.3)-(1.2.5), chúng ta có thể áp dụng phương pháp dưới đây để xác định được sự truyền tải vật chất trong không gian trong các trường hợp khác nhau. Lấy tích phân của phương trình (1.1.8) trên khoảng tÊtÊt+T =0 (1.2.6) Giả sử rằng f= và , như trong phương trình (1.2.4), chúng ta nhận được từ (1.2.6) như sau (1.2.7) hoặc tương đương với (1.2.8) Tiếp theo ta viết các hàm nồng độ như sau:, f’=af’. Với giả sử rằng f’Ê, thế thì a<<L và có a/L=e<<1. Do đó phương trình (1.2.8) được viết lại là (1.2.9) với o(1) sai phân bậc một của f’. Khi đó vế phải của (1.2.9) là nhỏ bởi vì có tham biến e/T, và có thể bỏ qua. Kết quả sẽ thu được là (1.2.10) Nếu hàm (t) biến thiên nhỏ trong khoảng thời gian T, chúng ta có thể thay bằng vi phân từ đó đi tới phương trình cho các thành phần trung bình như sau (1.2.11) phương trình này khác với (1.1.8) là có sự xuất hiện của . Nếu các thành phần của vectơ dòng chảy có dạng sau thì nghiệm của bài toán được xác định: , , (1.2.12) ở đây m³0 và n³0 là hệ số khuyếch tán theo chiều ngang và chiều đứng tương ứng, các hệ số này là xác định. Thế (1.2.12) vào (1.2.11), chúng ta có thể xấp xỉ sự khuyếch tán của các chất gây ô nhiễm trong không khí là (1.2.13) với (1.2.14) Tất nhiên phương trình (1.2.13) cần phải có điều kiện trơn sau div=0 (1.2.15) và điều kiện ban đầu sau tại t=0 (1.2.16) với những điều kiện biên cho trước thì bài toán trên có nghiệm duy nhất. Chúng ta nhân (1.3.13) với hàm f rồi lấy tích phân trong khoảng 0ÊtÊT và miền G: (1.2.17) ở đây fT=f(T), f0=f(0), là đạo hàm riêng theo hướng vectơ pháp tuyến của bề mặt ồ. Gọi lại rằng S là tổng số bề mặt của miến G, G là bề mặt hình trụ, GH là phần mặt cắt ngang hình trụ khi z=H, G0 là phần mặt cắt ngang của hình trụ khi z=0. Phương trình (1.2.17) được viết thành: (1.2.18) Xét điều kiện biên dưới đây: f=fS trên G khi un<0 =0 trên G khi un³0 (1.2.19) trên G0, trên GH ở đây a³0 là hàm định nghĩa sự tác động của chất ô nhiễm dưới lớp bề mặt. Ngoài ra ta còn có: w=0 tại z=0, z=H (1.2.20) Sử dụng các điều kiện (1.2.19), (1.2.20) và điều kiện đầu (1.2.16) ta thu được mối tương quan sau: (1.2.21) ở đây S được thay bằng G . Bây giờ chúng ta chứng minh rằng nghiệm của nó là duy nhất. Bằng phương pháp phản chứng, giả sử rằng có hai nghiệm f1 và f2 khác nhau thoả mãn (1.2.13), điều kiện ban đầu (1.2.16), điều kiện biên (1.2.19) và các điều kiện khác. Do đó hàm độ lệch w=f1-f2 được viết dưới dạng phương trình như sau: +divw+sw=Dw (1.2.22) với điều kiện ban đầu w=0 tại t=0 (1.2.23) và điều kiện biên w=0 trên ồ khi un<0, trên ồ khi un³0 (1.2.24) trên ồ0 trên ồH Với bài toán này thì (1.2.21) được viết lại thành (1.2.25) Vì các giá trị , m, n, s, a trong phương trình (1.2.25) là không âm, nên chỉ có trường hợp w=0 tức là f1=f2 thì đẳng thức trên mới xảy ra. Do đó nghiệm của bài toán là duy nhất. Để cho đơn giản, có thể giả sử rằng ở đây hàm f=0. Khi đó sự ảnh hưởng của một nguồn thải sẽ được tính như trong phần trên. Khi công xuất nguồn thải khác 0, bài toán được xét cũng có nghiệm duy nhất trong sự xấp xỉ khuyếch tán, miễn là các dữ liệu đầu vào phải thoả mãn các điều kiện đủ trơn. Khi đó bài toán có dạng như sau: f=f0 tại t=0 f=fS trên ồ khi un<0 =0 trên ồ khi un³0 (1.2.26) trên ồ0, trên ồH Giả sử rằng vectơ vận tốc không thay đổi trong một khoảng thời gian nhất định tức là div=0 và w=0 tại z=0, z=H Trong trường hợp như vậy thì bài toán (1.2.26) có dạng đơn giản hơn, và bài toán này đôi khi được sử dụng để tính toán, bài toán này cũng có nghiệm duy nhất. Dạng toán học như sau: (1.2.27) f=f0 tại t=0 f=fS trên ồ trên ồ0, trên ồH Để làm rõ hơn chúng ta biểu diễn toán tử D (đã được định nghĩa trong phương trình (1.2.14)) thành hai thành phần như sau D= Để dễ dàng cho việc phân tích và tính toán, chúng ta giả sử rằng hệ số khuyếch tán m không phụ thuộc vào cả không gian và thời gian. Bây giờ ta có thể xét bài toán ba chiều tổng quát, nhưng có nhiều trường hợp mà hai chiều (x,y) được xấp xỉ phù hợp với phương trình (1.2.26) hoặc (1.2.27). Ví dụ, đối với phương trình (1.2.27) khi ta lấy tích phân dọc theo chiều cao, ta có (1.2.28) Giả sử các thành phần theo chiều ngang u, v của vectơ dòng chảy không phụ thuộc vào độ cao đối với sự truyền tải và khuyếch tán vật chất, chúng ta có (1.2.29) Vì w triệt tiêu tại z=0 và z=H, nên (1.2.30) Khi đó chúng ta đi tới phương trình cân bằng như sau (1.2.31) Khi sử dụng điều kiện biên tại z=0 thì phương trình trên có thể viết gọn lại thành Nếu xấp xỉ nồng độ tạp chất tại z=0 bằng Thì sẽ thu được kết quả cuối cùng như sau (1.2.32) Biểu diễn độ ô nhiễm không khí và hàm nguồn qua tích phân mang tính phân phối như sau , Khi đó thay vào phương trình (1.2.28) ta thu được (1.2.33) với . ở đây là tổng độ lắng đọng của chất gây ô nhiễm trong không khí, còn () là độ lắng đọng trên bề mặt trái đất. I.1.3. Phương trình khuyếch tán đơn giản Ta xét bài toán đơn giản nhất của phương trình truyền tải và khuyếch tán vật chất đó là bài toán một chiều được mô tả toán học như sau (1.3.1) với -Ơ<x<+Ơ, Q là cường độ phun thải tại nguồn. Điều kiện biên trong trường hợp này là được giảm bớt đi để thoả mãn yêu cầu là bài toán có nghiệm trong toàn bộ miền đang xét. Chú ý rằng hàm nguồn f trong phương trình (3.1) có dạng đặc biệt, nó là tích của cường độ phun thải Q với một hàm dirac d(x-x0). Hàm dirac được định nghĩa như sau d(x-x0)= Chúng ta lấy tích phân phương trình (1.3.1) trong lân cận của điểm x0 ta được Cho e tiến dần đến 0, ta có (1.3.2) Chúng ta hãy xét hai khoảng nghiệm -Ơ<xÊx0 và x0Êx<+Ơ; các ngiệm tương ứng ký hiệu là f- và f+, khi đó các bài toán cần giải tương ứng là (1.3.3) f+=0 khi xđ+Ơ và (1.3.4) f-=0 khi xđ-Ơ Tổng hợp các nghiệm lại sẽ cho điều kiện biên tại x=x0 tại x=x0 (1.3.5) điều kiện dưới đây thể hiện tính liên tục của bài toán tại mọi điểm kể cả x=x0 f+=f- tại x=x0 (1.3.6) Ta có thể dễ dàng thấy nghiệm của bài toán (1.3.3) và (1.3.4) là f+=C+exp(, f-= C-exp( (1.3.7) Thế vào phương trình (1.3.5) và (1.3.6) ta thu được hai phương trình tuyến tính và thu được kết quả sau C+= C-= Do đó nghiệm của bài toán (1.3.1) được biểu diễn dưới dạng sau (1.3.8) và đồ thị của nó được minh hoạ trong hình 1 dưới đây f(x) x0 0 x y Hình 1. Đồ thị mô tả nghiệm của phương trình truyền tải và khuyếch tán khi vận tốc dòng chảy bằng không Ta có thể chứng minh dễ dàng rằng Bây giờ chúng ta xét trường hợp mà vectơ vận tốc dòng chảy là khác 0 và có thể coi làhằng số và dương. Khi đó ta sẽ có phương trình sau (1.3.9) với x chạy trong khoảng -Ơ<x<+Ơ. Bài toán (1.3.9) có thể chuyển tương đương với việc giải hai bài toán có điều kiện sau (1.3.10) và (1.3.11) Tổ hợp hai phương trình này lại ta được (1.3.12) Nghiệm của bài toán (1.3.10) và (1.3.11) lần lượt là (1.3.13) Thế vào phương trình (1.3.12), chúng ta được C+=C-=C và C+=C-=C= Nghiệm cuối cùng có dạng (1.3.14) đồ thị của nó có dạng sau f(x) x0 0 x y Hình 2. Đồ thị mô tả dáng điệu của nghiệm bài toán truyền tải và khuyếch tán khi vectơ vận tốc dòng chảy khác không Bây giờ chúng ta xét một bài toán phức tạp hơn đó là khi hướng gió thay đổi sau một khoảng thời gian nào đó ví dụ trong một khoảng thời gian dài với giá trị dương của x (u1>0) và đổi hướng ngược lại với giá trị âm u2<0. Khi đó ta sẽ có hai nghiệm sau (1.3.15) (1.3.16) Nếu chu kì dương là Dt1 ngày, còn chu kì âm là Dt2 ngày, khi đó nồng độ được tính theo công thức (1.3.17) Nghiệm (1.3.17) được minh hoạ trên hình dưới đây f(x) x0 0 x y Hình 3. Đồ thị mô tả nghiệm trong trường hợp vectơ hướng gió thay đổi ngược chiều nhau trong một khoảng thời gian nhất định Cuối cùng xét mô hình thống kê trong đó vectơ vận tốc dòng chảy được xác định bằng phương pháp thống kê. Cho vectơ vận tốc dòng chảy là u(x)= (1.3.18) với x là đại lượng ngẫu nhiên trong khoảng [0,1], và p(x) là mật độ phân phối chuẩn, tức là . Nếu dòng chảy không khí chịu ảnh hưởng của hướng gió thì nghiệm của bài toán (1.3.9) với điều kiện (1.3.18) được biểu diễn dưới dạng tích phân của các biến ngẫu nhiên sau (1.3.19) với (1.3.20) Cho mỗi giá trị cố định của x, ta sẽ tính được tích phân trong phương trình (1.3.19) được tính bằng phương pháp Monte-Carlo.[2] I.1.4. Phương trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều Trong phần này chúng ta hãy xét trường hợp riêng của bài toán tổng quát. Ta chỉ xét bài toán trong trường hợp hai chiều, đó là ta chỉ xét trên bề mặt trái đất mà ta không để ý đến sự thay đổi theo chiều thẳng lên trên. Miền được xét bây giờ là một miền phẳng G có biên G. Khi đó phương trình vi phân mô tả quá trình truyền tải và khuyếch tán vật chất có dạng sau: (1.4.1) trong đó f: nồng độ tạp chất =(u,v): vectơ vận tốc dòng chảy thoả mãn điều kiện: +=0 (1.4.2) s ³ 0 : hệ số phân huỷ, lắng đọng D=+ (1.4.3) f: hàm nguồn với các điều kiện đầu và điều kiện biên sau: f(x,y,0)= f0(x,y) (1.4.4) trong đó: G-: đoạn biên mà trên đó un< 0 G+: đoạn biên mà trên đó un³ 0 un là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy lên vectơ pháp tuyến của biên G. Nghiệm của bài toán (1.4.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên (1.4.4) có thể tìm dưới dạng: f=f1+f2, trong đó f1, f2 là nghiệm của bài toán sau: (1.4.5) với các điều kiện đầu và điều kiện biên sau: ; ; và (1.4.6) với điều kiện ; ; Khi ứng dụng vào quá trình tính toán xác định nồng độ của chất ô nhiễm thì chúng ta không dùng trực tiếp phương trình truyền tải và khuyếch tán vì có thể rất phức tạp và không chính xác. Do đó chúng ta đi nghiên cứu bài toán liên hợp của nó vì nó cho ta trực tiếp giá trị nồng độ ô nhiễm và đối với bài toán liên hợp thì việc tính phiếm hàm nồng độ sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Điều này đã được chứng minh.[2] Dưới đây chúng ta đi nghiên cứu bài toán liên hợp của phương trình truyền tải và khuyếch tán vật chất. I.2. Phương trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất I.2.1. Phương trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán đơn giản Xét phương trình khuyếch tán đơn giản sau (2.1.1) với điều kiện f=f0 khi t=0 (2.1.2) f0 là hàm của x cho trước và được giả sử rằng nghiệm f là tìm được trong khoảng -Ơ<x<Ơ. Đầu tiên ta định nghĩa không gian của hàm f, với không gian đó thì bài toán sẽ có nghiệm. Giả định rằng không gian này được xét theo hai chiều là theo thời gian t và theo trục x. Giả sử rằng các hàm này được giới hạn trong khoảng -Ơ<x<Ơ và hội tụ khi xđ±Ơ, do đó bảo đảm tổng bình phương là khả tích, tức là Chúng ta viết phương trình (2.1.1) dưới dạng Lf=f (2.1.3) với L=, f=Qd(x-x0) Xét f trong không gian Hilbert với tích vô hướng được định nghĩa (g,h)= Bây giờ ta đi tìm phương trình liên hợp của phương trình khuyếch tán này. Bằng cách nhân (2.1.1) với một hàm f* nào đó, sau đó lấy tích phân trên toàn bộ miền không gian và theo thời gian (2.1.4) Sử dụng công thức tích phân từng phần ta được (2.1.5) (2.1.6) Thế (2.1.5) và (2.1.6) vào (2.1.4) thu được như sau (2.1.7) Giả sử rằng f*=0 khi xđ±Ơ (2.1.8) khi đó (2.1.7) được rút gọn lại thành (2.1.9) Giả sử rằng f* thoả mãn phương trình =p (2.1.10) với điều kiện đầu f*=0 khi t=T (2.1.11) và điều kiện biên (2.1.8), ở đây p là hàm của x và t, được cho trước, khi đó bài toán này sẽ là bài toán liên hợp của phương trình đã cho. Ta có thể viết gọn phương trình (2.1.9) lại như sau (2.1.12) Đặt J= (2.1.13) là phiếm hàm tuyến tính của f và được tính từ nghiệm của bài toán (2.1.1) và (2.1.2). Từ (2.1.12) ta có thể tính phiếm hàm này theo nghiệm của bài toán liên hợp như sau J= (2.1.14) Điều này đúng với nguyên tắc đối ngẫu. Xét bài toán của những phiếm hàm. Phiếm hàm (2.1.13) có ý nghĩa vật lý là phiếm hàm cho biết nồng độ của chất ô nhiễm được phân bố như thế nào trong toàn bộ miền G. Trong trường hợp hàm p như sau p(x,t)= (2.1.15) Thế nó vào (2.1.13) ta được J=f(x,t) (2.1.16) Thì đây là giá trị của nghiệm tại x=x, t=t. Điều này cũng có thể được tính bằng công thức (2.1.14) nếu p trong bài toán liên hợp (2.1.10) và (2.1.11) được cho bởi công thức (2.1.15). Xét trường hợp khác, chúng ta cần tìm tổng số lượng vật chất trong khoảng aÊxÊb. Trong trường hợp này hàm p(x,t) sẽ có dạng p(x,t)= (2.1.17) Thế vào (2.1.13) ta được (2.1.18) phiếm hàm tương tự có thể được tìm bằng cách sử dụng (2.1.14). Sau đó, giả sử rằng ta đo được tổng của nồng độ tạp chất f trên [a,b] trong khoảng thời gian [t1, t2]. Cũng giả thiết thêm rằng nghiệm phụ thuộc vào x và t, tức là ta có thể biểu diễn bởi hàm x=V(t)X(x). Điều này là rất cần thiết để so sánh giá trị đo đạc được và giá trị tính toán của phiếm hàm. Do đó ta chọn hàm p(x,t) có dạng p(x,t)= (2.1.19) với giá trị hàm p như vậy thì ta đi tới phiếm hàm sau (2.1.20) Tập hợp các phiếm hàm thoả mãn đã được mở rộng. Điều này rất quan trọng để chú ý rằng trong cách này chúng ta có thể tính bất cứ một phiếm hàm tuyến tính nào của nghiệm và do đó đi tới xây dựng bài toán liên hợp của nó. Nếu xét một số phiếm hàm của nghiệm của các bài toán đã cho, ta có thể có được công thức riêng biệt của từng bài toán liên hợp đối với mỗi nghiệm của chúng. Bây giờ ta xét bài toán như sau Cần xử lý mức độ ô nhiễm trong một miền G=(-Ơ,Ơ) được mô tả bởi phương trình (2.1.1). Ta cần tìm một vùng wẻG sao cho phiếm hàm (2.1.16) – mức độ ô nhiễm tại điểm x=x1 và tại t=t1- không vượt quá một giá trị c nào đó cho trước (nguồn nước thải giả sử được đặt tại điểm x0ẻw). Trong bài toán này giá trị ban đầu có thể chọn bằng 0, tức là f=0 khi t=0 (2.1.21) Bài toán có thể giải ít nhất bằng hai cách. Cách thứ nhất là giải theo phương trình gốc (2.1.1) cho giá trị khác nhau của x0ẻG, giá trị của phiếm hàm (2.1.16) và do đó xác định được vùng w cần tìm. Mặc dù vậy trường hợp này sẽ cho một số lượng lớn bài toán dạng (2.1.1) và không phù hợp trong thực hành. Một phương pháp khác là dựa trên phiếm hàm (2.1.16) và sử dụng nghiệm của bài toán liên hợp. Với bài toán này thì phiếm hàm nồng độ có dạng sau (2.1.22) f* là nghiệm của phương trình (2.1.23) điều kiện đầu f*=0 tại t=T (2.1.24) Từ tính đối ngẫu ta có thể chọn được một vùng có thể đặt nguồn thải wèG bằng cách giải bài toán liên hợp của (2.1.1). Bài toán đặt ra là tìm hàm f* thoả mãn (2.1.23) và (2.1.24). Thực hiện đổi biến như sau t1=T-t, t1ẻ[0,T] (2.1.25) với phép đổi biến như vậy ta đưa bài toán (2.1.23), (2.1.24) về dạng sau (2.1.26) Nghiệm của bài toán (2.1.26) có dạng (2.1.27) trong đó là nghiệm thuần nhất của bài toán (2.1.26) q là hàm Heaviside q(t)= Dựa vào các biến trước đây nghiệm trên có thể viết là (2.1.28) Để phù hợp với (2.1.27), công thức đối ngẫu của phiếm hàm (2.1.16) là (2.1.29) hoặc (2.1.30) trong đó tj=jDt, Dt=t1/K. xét phiếm hàm (2.1.29) như là hàm của J(x0) với x0ẻG và đồ thị của hàm này. Một vùng nguồn chất thải w sẽ được tìm từ bất phương trình sau J(x)<C. Ta có thể biểu diễn bằng đồ thị như sau x y C J(x) o Hình 4. Đồ thị mô tả vùng w có thể đặt nhà máy vùng w là hai đoạn thẳng trên trục hoành. Phân phối ô nhiễm tại mỗi điểm xẻw được xác định từ nghiệm của bài toán (2.1.1) và (2.1.2), sẽ có dạng sau (2.1.31) Theo cách đó, ta có thể xét bài toán không tĩnh. Nếu như bài toán cơ sở là tĩnh (2.1.32) thì bài toán liên hợp cũng tĩnh (2.1.33) Phiếm hàm tuyến tính J trong trường hợp này có dạng J= (2.1.34) hoặc J=Qf*(x0) (2.1.35) Nếu hàm p(x) có dạng p(x)=d(x-x) (2.1.36) khi đó nghiệm của bài toán liên hợp (2.1.22) là (2.1.37) Nếu tìm được nghiệm khi p(x) khác với (2.1.36), thì khi đó ta có f*(x)= (2.1.38) ở đây f*(x,x) là nghiệm thoả mãn (2.1.37). Trường hợp đặc biệt hàm p(x) được cho có dạng như (2.1.17), khi đó ta có f*(x)= Thế (2.1.37) vào ta thu được kết quả là f*(x)= (2.1.39) hàm này được minh hoạ trên đồ thị sau 0 x yx f*(x) Hình 5. Đồ thị mô tả dạng của nghiệm phương trình liên hợp Bây giờ xét một bài toán như sau (2.1.40) Tương tự như cách tính trước đây, phương trình liên hợp có dạng sau (2.1.41) Phiếm hàm cơ sở của bài toán là J= (2.1.42) và do tính đối ngẫu của nó ta có J= (2.1.43) I.2.2. Phương trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán hai chiều Điều quan tâm trong phương trình liên hợp đó là khả năng ứng dụng vào những phương trình đạo hàm riêng trong toán lý. Cấu trúc của phương trình liên hợp đã thu hút được sự quan tâm và chú ý của toán học, từ công thức đúng đắn của nó đã giải quyết được nhiều vấn đề. Xem xét bài toán được tìm cho một hàm tuyến tính hay một hàm không tuyến tính thì công thức liên hợp cũng cung cấp thuật toán để xác định tối ưu với những điều kiện đặc biệt, cả những cách phân tích bài toán và cách giải của nó. Những ứng dụng của phương trình liên hợp sẽ được xét trong phần này. Phương trình (1.4.5), với điều kiện (1.4.2) có thể được viết dưới dạng: (2.2.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên: ; ; Nhân cả hai vế của (2.2.1) với một hàm nào đó rồi lấy tích phân theo toàn miền xác định ta được: (2.2.2) áp dụng công thức tích phân từng phần, công thức Ostrogradsky-Gauss, công thức Green cùng các điều kiện: [xem phụ lục 1] div=0; m=const ta có: (2.2.3) Thay (2.2.3) vào (2.2.2) ta được: (2.2.4) Giả sử hàm thoả mãn phương trình: (2.2.5) Từ các điều kiện đầu và biên của (2.2.1) ta có: (2.2.6) Thay (2.2.5) vào (2.2.4), kết hợp với (2.2.6) ta có: (2.2.7) Nếu ta chọn điều kiện: ; ; Thì từ (2.2.6) ta thu được công thức đối ngẫu: (2.2.8) Phương trình: (2.2.9) với các điều kiện: ; ; Được gọi là phương trình liên hợp của (1.4.5). Nghiệm của bài toán (1.4.5) và bài toán (2.2.9) thoả mãn hệ thức đối ngẫu (2.2.8). Nếu đổi biến t1=T-t thì phương trình (2.2.9) trở thành: (2.2.10) với các điều kiện đầu và biên: ; ; I.2.3. Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp Chúng ta hãy chứng minh rằng nghiệm của bài toán liên hợp là duy nhất. Để giải quyết vấn đề này, nhân phương trình (2.2.15) với một hàm f* nào đó rồi lấy tích phân trên toàn bộ miền không gian và thời gian, khi đó ta sẽ thu được (2.3.1) Chuyển các tích phân này về dạng như sau (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4) với , . Sử dụng (2.3.2) – (2.3.4), có thể đưa (2.3.1) về dạng (2.3.5) Từ tính chu kì của bài toán, ta có (2.3.6) Sau đó với điều kiện f*=0 trên G khi un<0 (2.3.7) thì ta sẽ thu được =0 (2.3.8) và với điều kiện trên G khi un³0 (2.3.9) ta thu được (2.3.10) Xét điều kiện biên trên G0 và GH ta có , (2.3.11) với các kết quả từ (2.3.7) – (2.3.11), thì (2.3.5) có thể viết thành (2.3.12) Quan hệ (2._.