Về tính Cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________ Đinh Quang Đức VỀ TÍNH COFINITE CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________ Đinh Quang Đức VỀ TÍNH COFINITE CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI NÓI ĐẦU Mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng được nhà toán học Herzog đưa ra đầu tiên năm 1974. Cho R là một vành Noether, giao hoán có đơn vị là 1 ≠ 0, I là một ideal của R; M và N là các R- mô đun, khi đó: ),/(lim),( NMIMNM niR i I ExtH n→ = được gọi là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của N ứng với M. Đây là sự tổng quát hóa mô đun đối đồng điều địa phương của Grothendieck. Bên cạnh đó khái niệm mô đun cofinite được Hartshone đưa ra cũng nhằm giải quyết vấn đề cũng do chính Grothendieck đặt ra trước đó năm 1962: “Khi nào thì mô đun Hom RAR(A/I, HPiPRIR(M)) hữu hạn sinh với mọi ideal I của A và với mọi mô đun hữu hạn sinh M?”. Sau đó, các vấn đề về mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng và mô đun cofinite đã được các nhà toán học nghiên cứu và phát triển: Suzuki, Yassemi, Zamani, Gu, Hartshone, K-I. Kawasaki, K-I. Yoshida, Nguyễn Tự Cường, Trần Tuấn Nam,...Hiện nay, nó đang trở thành một đề tài hấp dẫn đối với các nhà toán học. Nhiều tính chất của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng đã được tìm ra nhưng vẫn còn nhiều tính chất mà các nhà toán học chưa khám phá hết. Trong đó, tính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng là vấn đề còn khá mới và hấp dẫn. Luận văn giới thiệu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng, phần sau đó là giới thiệu về tính cofinite của nó. Cuối cùng, Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS Trần Tuấn Nam, người đã trực tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Văn Tấn, TS. Phan Dân, Tổ Toán, Trường Đại học Giao thông Vận tải Tp. Hồ Chí Minh đã động viên, tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tôi làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp, các bạn đồng nghiệp và Lãnh đạo Trường Đại học Giao thông Vận tải Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt để tác giả hoàn thành tốt chương trình học. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn này không tránh khỏi nhiều thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn. Thành phố Hồ Chí Minh tháng 08 năm 2011 Đinh Quang Đức Mục Lục 5TMục Lục5T ........................................................................................................................................................... 5 5TChương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ5T ........................................................................................................................ 6 5T1. Giới hạn thuận, giới hạn ngược, Ideal nguyên tố liên kết và giá.5T .......................................................... 6 5T2. Số chiều – chiều cao – dãy các phần tử chính quy – độ sâu5T .................................................................... 8 5T3. Chiều nội xạ - chiều xạ ảnh – bao nội xạ5T ............................................................................................... 10 5T4. Mô đun đối đồng điều địa phương – biến đổi ideal5T .............................................................................. 11 5T . Phức Koszul – dãy phổ5T........................................................................................................................... 14 5TChương 25T ......................................................................................................................................................... 19 5T ính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng5T .......................................................................... 20 5T§ 1. Mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng5T .......................................................................................... 20 5T§ 2. Tính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng5T ................................................................ 38 5TKết luận5T .......................................................................................................................................................... 49 5T ài liệu tham khảo5T ......................................................................................................................................... 50 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Giới hạn thuận, giới hạn ngược, Ideal nguyên tố liên kết và giá. Giới hạn thuận Tập thứ tự bộ phận và thở với mọi ,i j I∈ thì tồn tại k I∈ sao cho i k≤ và j k≤ được gọi là tập định hướng. Cho tập định hướng ,I Ω là phạm trù các môđun trên vành R, ( )i i IM ∈ là họ các R – môđun. Với mọi cặp ,i j I∈ sao cho i j≤ , giả sử có một đồng cấu R – môđun :ij i jM Mϕ → thỏa: i i idϕ = i j i k k jϕ ϕ ϕ= với mọi i j k≤ ≤ Họ các R – môđun MRiR và các đồng cấu ijϕ được gọi là hê thuận trên tập định hướng I. Cho hệ thuận các đồng cấu ( )ijϕ . Xét phạm trù mới mà vật là cặp ( ), iM ϕ với :i iM Mϕ → sao cho sơ đồ sau giao hoán i i j i j j M M M ϕ ϕ ϕ → ] [ Vật khởi đầu trong phạm trù trên được gọi là giới hạn thuận của họ đông cấu ( )ijϕ . Kí hiệu: lim ii IC M∈= uuur Tính phổ dụng của giới hạn thuận chính là tính phổ dụng của vật khởi đầu. Giới hạn ngược Trong phạm trù các R – môđun, cho họ các R – môđun ( )i i IM ∈ trên tập định hướng I. Với mọi cặp ,i j I∈ sao cho j i≤ , giả sử có một đồng cấu R – môđun :ji j iM Mϕ → thỏa: i i idϕ = j i j k k iϕ ϕ ϕ= với mọi ,j i k i≤ ≤ Trong phạm trù mới mà vật là cặp ( ), iM ϕ với :i iM Mϕ → sao cho sơ đồ sau giao hoán i i j j i j M M Mϕ ϕ ϕ → [ ] Vật tận cùng trong phạm trù trên được gọi là giới hạn ngược của hệ trên. Kí hiệu: lim ii IC M∈= suuu Tính phổ dụng của giới hạn ngược chính là tính phổ dụng của vật tận cùng. Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành, M là R – môđun, idean nguyên tố P được gọi là idean nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại ( ), 0 :x M x P ann x∈ ≠ = . Tập các idean nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là ( )Ass M Giá của môđun M, ký hiệu là Đặt ( ) ( ){ }0V I P Spec R I P= ∈ ⊂ ≠ . Nếu M là R – môđun hữu hạn sinh thì ( ) ( )( )Supp M V ann M= Nếu R là vành Noether và I là một idean của R thì Mệnh đề 1.1.2. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh, I là một idean của R. Khi đó ( ) ( )Supp M V I⊂ khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho 0kI M = . Mệnh đề 1.1.3. Cho M,N là các R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó, Hệ quả 1.1. 4. Cho M là R – môđun hữu hạn sinh, I là một idean của R., khi đó ( ) ( ) ( ) ( )/Supp M IM V I V annM V I annM= = +I Mệnh đề 1.1.5. Cho R là vành Noether, M là R – môđun khác 0 • Phần tử tối đại của ( ){ }F ann x x M= ∈ là idean nguyên tố liên kết của M hay • Tập các ước của không của M là hợp các idean nguyên tố liên kết của M Mệnh đề 1.1.6. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh, N là R – môđun bất kỳ. Khi đó, Mệnh đề 1.1.7. Cho , ,M N P là các R – môđun. Nếu dãy khớp thì • ( ) ( ) ( )Ass N Ass M Ass P⊂ I • ( ) ( ) ( )Supp N Supp M Supp P= I Mệnh đề 1.1.8. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó, ta có: ( ) ( ){ }0PSupp M P Spec R M= ∈ ≠ ( ) ( )/Supp A I V I= ( ) ( ) ( )RSupp M N Supp M Supp N⊗ = I ( ) 0Ass M ≠ ( )( ) ( ) ( ),RAss Hom M N Ass N Supp M= I 0 0M N P→ → → → • ( )Ass M là tập hữu hạn. • ( ) ( )Ass M Supp M⊂ • Phần tử tối tiểu của ( )Ass M và ( )Supp M là giống nhau. 2. Số chiều – chiều cao – dãy các phần tử chính quy – độ sâu Một dãy các môđun con của M là dãy các môđun con của M thỏa mãn . Chiều dài của dãy là n. Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của M tức là không thể thêm vào một môđun con nào nữa. Điều đó tương đương với việc nói rằng môđun 1/i iM M + là đơn. Độ dài của các chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không đổi và được ký hiệu là và được gọi là độ dài của môđun M. Mệnh đề 1.2.1. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là tương đương: i. ii. Mọi idean nguyên tố thuộc ( )Ass M đều là idean tối đại của R. iii. Mọi idean nguyên tố thuộc ( )Supp M đều là idean tối đại của R. Hệ quả 1.2.2. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh, N là R – môđun bất kỳ. Nếu thì ( )( ),Rl Hom M N < +∞ . Do đó, nếu N là R – môđun Artin thì ( ),RHom M N cũng là R – môđun Artin. Mệnh đề 1.2.3. Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành độ dài n. Khi đó mọi dãy môđun con của M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp thành. Mệnh đề 1.2.4. M là chuỗi hợp thành khi và chỉ khi M vừa là dãy điều kiện tăng vừa là dãy điều kiện giảm. Mệnh đề 1.2.5. Cho dãy khớp ngắn 0 ' '' 0M M M→ → → → , khi đó ta có Định nghĩa 1.2.6. Số chiều của một vành R, ký hiệu , là chiều dài lớn nhất n của dãy các idean nguyên tố của R. Nếu có một dãy vô hạn các idean nguyên tố như trên thì ta ký hiệu dim R = +∞ ( )0i i nM ≤ ≤ 0 1 ... 0nM M M M= ⊃ ⊃ ⊃ = ( )l M ( )l M < +∞ ( )l M < +∞ ( ) ( ) ( )' '' 0l M l M l M− + = dim R 0 1 ... nP P P⊂ ⊂ ⊂ Định nghĩa 1.2.7. Cho R là một vành khác 0, P là một idean nguyên tố của R. Chiều cao của một idean nguyên tố P là độ dài lớn nhất của dãy các idean nguyên tố , ký hiệu. Từ định nghĩa ta thấy nếu thì P là idean nguyên tố tối tiểu của vành R. Nếu I là một idean của R, ta định nghĩa chiều cao của I là chiều cao nhỏ nhất của các idean nguyên tố chứa I, ( ){ }infhtI htP P V I= ∈ Số chiều của R có thể được định nghĩa là ( ){ }dim supR htP P Spec R= ∈ và nó được gọi là số chiều krull của R. Số chiều của R – môđun M, ký hiệu ( )dim dim /M P annM= nếu 0M ≠ và ta ký hiệu dim 1M = − nếu 0M = . Mệnh đề 1.2.8. Cho R là vành Noether, 0M ≠ là R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là tương đương: i. M có độ dài hữu hạn. ii. Vành /R annM là Artin iii. dim 0M = Mệnh đề 1.2.9. Cho R là vành Noether. Khi đó các điều sau là tương đương: i. M là vành Artin ii. Mọi idean thuộc ( )Spec R đều là idean tối đại của R iii. Mọi idean thuộc ( )Supp M đều là idean tối đại của R Định nghĩa 1.2.10. Cho M là R – môđun. Một phần tử r R∈ được gọi là M – chính quy nếu 0, , 0.rx x M x≠ ∀ ∈ ≠ Một dãy các phần tử 1 2, ,..., na a a của R là một M – dãy (hay là một M – dãy chính quy) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: i. 1a là M – chính quy, 2a là 1/M a M – chính quy, 3a là ( )1 2/M a a M – chính quy,…, na là ( )1 2 1/ ... nM a a a M− – chính quy ii. ( )1 2 1/ ... 0n nM a a a a M− ≠ 0 1 ... nP P P⊂ ⊂ ⊂ 0htP = Chú ý rằng khi hoán vị csac vị trí của các ia của một M – dãy thì có thể nó chưa chắc là M – dãy. Định nghĩa 2.2.11. Cho M là một môđun hữu hạn sinh khác 0 trên vành Noether địa phương ( ),R m , chiều sâu của M trên R là độ dài lớn nhất của M – dãy trong m, kí hiệu Rdepth M hay 3. Chiều nội xạ - chiều xạ ảnh – bao nội xạ Chiều nội xạ - chiều xạ ảnh Nếu M là một R – môđun mà có một phép giải xạ ảnh P • với 0nP = khi n d> nhưng 0dP ≠ với mọi cách chọn phép giải xạ ảnh của M. Khi đó ta nói M có chiều xạ ảnh là d, kí hiệu PdM d= . Nếu không có số d thoả mãn điều kiện trên ta viết PdM = ∞ . Nếu M là một R – môđun mà có một phép giải nội xạ I • với 0nI = khi n d> nhưng 0dI ≠ mọi cách chọn phép giải nội xạ của M. Khi đó ta nói M có chiều nội xạ là d, kí hiệu IdM d= . Nếu không có số d thoả mãn điều kiện trên ta viết IdM = ∞ Rõ ràng nếu M là môđun xạ ảnh thì 0PdM = , nếu N là môđun nội xạ thì Bao nội xạ Cho M là một môđun con của R – môđun L. i. Ta nói L là một mở rộng cốt yếu của M nếu 0B M ≠I với mọi B là môđun con của L. Hay ta có thễ nói cách khác: L là mở rộng cốt yếu của M nếu với mọi m M∈ tồn tại r R∈ sao cho 0 rm L≠ ∈ . ii. Ta nói L là bao nội xạ của M nếu L là nội xạ và củng là mở rộng cốt yếu của M. iii. M là nội xạ khi và chỉ khi mở rộng cốt yếu của M là chính nó. iv. Nếu L là bao nội xạ của M, :g M K→ là một đơn cấu R – môđun từ M vào một R – môđun nội xạ thì có một đồng cấu ' :g L K→ sao cho biểu đồ giao hoán 0 ' M L g g K ⊆→ → ↓ [ Vì và vì L là bao nội xạ của M nên ' 0Kerg = . Do đó là đơn cấu. v. Mỗi R – môđun đều có một bao nội xạ và sai khác nhau một đẳng cấu. Kí hiệu ( )E M là bao nội xạ của M. depthM 0IdM = ' 0Kerg M Kerg= =I R – môđun M là không phân tích được nếu M không là tổng trực tiếp của hai môđun con. Mệnh đề 1.3.1. Cho R là vành Noether và i. là không phân tích được ii. Mọi môđun nội xạ không phân tích được đều đẳng cấu với một ( )/E R Q iii. Nếu thì phép nhân với x cảm sinh một từ đẳng cấu của ( )/E R P iv. Nếu P Q≠ thì ( )/E R P không đẳng cấu với v. Mọi phần tử ( )/x E R P∈ đều bị linh hoá bở một luỹ thừa của P vi. Nếu Q P⊂ thì là một pR −môđun và ( ) ( )/ /pR p p RE R Q E R Q≅ Mệnh đề 1.3.2. Cho R là vành Noether i. Tổng trực tiếp của các môđun nội xạ là môđun nội xạ. ii. Mọi môđun nội xạ là tỗng trực tiếp của các môđun nội xạ không phân tích được ( ) ( ), / P SpecR I M P E R Pµ ∈ = ⊕ trong đó ( ) ( ) ( )( ), dim ,PR Pk PM P Hom k P Mµ = với ( ) /P Pk P R PR= Phép giải nội xạ J •của môđun N được gọi là phép giải nội xạ nhỏ nhất nếu ( )0J E N= và ( )( ) ( )1 1 2i i i iJ E d J E cokerd− − −= = Phép giải nội xạ nhỏ nhất của một môđun luôn tồn tại 4. Mô đun đối đồng điều địa phương – biến đổi ideal • Mô đun đối đồng điều địa phương Trong phần này, vành R được xem là vành Noether, có đơn vị là 1 0≠ và I là một idean của R. Tác giả chỉ nêu một số tính chất và kết quả của môđun đối đồng điều địa phương. Định nghĩa 1.4.1. Với mỗi R – môđun M, tập ( ) ( )0 : nI M n M I ∈ Γ = ¥ U , là tập các phần tử của M bị linh hoá bởi một luỹ thừa nào đó của idean I của R. Chú ý rằng ( )I MΓ là môđun con của M. Với mỗi R – đồng cấu môđun :f M N→ ta có ( )( ) ( )( )I If M f NΓ ⊂ Γ do đó có đồng cấu ( ) ( ) ( ):I I If M NΓ Γ ⊂ Γ là thu hẹp của f trên ( )I MΓ . ( ),P Q Spec R∈ ( )/E R P \x R P∈ ( )/E R Q ( )/E R Q Nếu :g M N→ và :f N L→ là các đồng cấu R – môđun và r R∈ , khi đó ( ) ( ) ( )I I Ih g h gΓ = Γ Γo o , ( ) ( ) ( ) ,I I If g f gΓ + = Γ + Γ ( ) ( )I Irf r fΓ = Γ , và ( ) ( )II M MId IdΓΓ = . Do đó IΓ trở thành hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R – môđun vào chính nó. IΓ còn được gọi là hàm tử I – xoắn. Mệnh đề 1.4.2. Cho I, J là hai idean của vành R, nếu I J= thì I JΓ = Γ Mệnh đề 1.4.3. Hàm tử I – xoắn ( ) ( ):I R RΓ Μ →Μ là hàm tử khớp trái. Ta có ( ) ( )lim / , n i n I RM Ext R I M→Γ ≅ . Định nghĩa 1.4.4. với mọi *i∈¥ , hàm tử dẩn xuất phải thứ i của IΓ được kí hiệu là i IH và được gọi là hàm tử đối đồng đều địa phương thứ i tương ứng với I. Ta nói M là I – không xoắn nếu ( ) 0I MΓ = và nếu M tử I – xoắn là khi ( )I M MΓ = . Ta kiểm tra được ( ) ( )lim / , n i i n I RH M Ext R I M→≅ và được gọi là môđun đối đồng đều địa phương thứ i của môđun M theo idean I. Mệnh đề 1.4.5. Cho M là R – môđun i. Nếu I chứa một phần tử không là ước của 0 đối với M, khi đó M là I – không xoắn tức là ( ) 0I MΓ = ii. Giả sử M là hữu hạn sinh. Khi đó M là I – không xoắn khi và chỉ khi I chứa không là ước của 0 đối với M. Mệnh đề 1.4.6. Với mọi R – môđun M, môđun ( )/ IM MΓ là I – không xoắn. Mệnh đề 1.4.7. Nếu M là R – môđun nội xạ thì ( )I MΓ là nội xạ. Hệ quả 1.4.8. Cho M là R – môđun nội xạ thì dãy khớp ( ) ( )0 / 0I IM M M M→Γ → → Γ → chẻ ra. Hệ quả 1.4.9. Cho M là R – môđun I – xoắn. Khi đó có một phép giải nội xạ của M trong đó các thành phần cũa dãy là các R – môđun I – xoắn. Hệ quả 1.4.10. i. Cho M là R – môđun I – xoắn. Khi đó ( ) 0iIH M = ii. Với mọi R – môđun N, đồng cấu chiếu tự nhiên ( ): / IN N Nπ → Γ cảm sinh đẳng cấu ( ) ( ) ( )( ): /i i iI I I IH H N H N Nπ → Γ với 0i > Bổ đề 1.4.11. Giả sử M là một R – môđun I – xoắn và ( )0 :M I là Artin. Khi đó M cũng là Artin. Định lý 1.4.12. Giả sử ( ),R m là vành địa phương, M là một R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó R – môđun ( )imH M là Artin với mọi i∈¥ . Định lý 1.4.13. Giả sử ( ),R m là vành địa phương, M là một R – môđun hữu hạn sinh có số chiều n. Khi đó R – môđun ( )iIH M là Artin với mọi i∈¥ . • Biến đổi ideal Định nghỉa 1.4.15. Cho hàm tử hiệp biến, R tuyến tính ( )lim , n n I RD Hom I→= • từ phạm trù các R – môđun vào chính nó. ID được gọi là hàm tử I – biến đổi hay biến đổi theo idean I. Với mọi R – môđun M, ta gọi ( )lim , n n I RD Hom I M→= là biến đổi idêan của M tương ứng với I hay con gọi là I – biến đổi của M. Với mọi *i∈¥ ., kí hiệu i IR D là hàm tử dẩn xuất phải thứ i của hàm tử ID , khi đó ta có sự tương đương tự nhiên của các hàm tử ( ) ( ): lim , n i i i n I I RR D Ext Iψ →− ≅ − Mệnh đề 1.4.16. Dãy ( ) ( ) ( )0 10 0M M MI I IM M D M H Mξ η ς→Γ → → → → là khớp. Mệnh đề 1.4.17. Với i∈¥ và M là R – môđun. Với mọi , đồng cấu nối ( ) ( )1, : , / ,i i n i nn M R RExt I M Ext R I Mβ +→ là đẳng cấu và chuyển qua giới hạn thuận ta có đẳng cấu Do đó, ta có sự tương đương tự nhiên của các hàm tử 1:i i iI IR D Hγ +→ Với mọi R – môđun M có một đơn cấu ( ) ( ): /M I IM M D Mθ Γ → , cảm sinh bởi Mη làm cho dãy ( ) ( ) ( )0 10 / 0M MI I IM M D M H Mθ ς→ Γ → → → là khớp. n∈¥ ( ) ( )1, : lim , lim / , n n i i n i n n M R RExt I M Ext R I Mβ + → → → Từ dãy khớp ( ) ( ) ( )10 0I I IM M D M H M→Γ → → → → ta có kết quả sau: Hệ quả 1.4.18. Cho M là R – môđun, cho ( ): / IM M Mπ → Γ là toàn cấu chính tắc. Khi đó ta có các điều sau: i. ( )( ) 0I ID MΓ = ii. ( ) ( ) ( )( ): /I I I ID D M D M Mπ → Γ là đẳng cấu. iii. ( ) ( ) ( ) ( )( ):II M I I ID MD D M D D Mη η= → là đẳng cấu. iv. ( )( ) ( )( )10I I I ID M H D MΓ = = v. ( ) ( ) ( )( ):i i iI M I I IH H M H D Mη → là đẳng cấu với 1i > 5. Phức Koszul – dãy phổ • Dãy phổ Một môđun phân bậc là một họ các môđun { }pM M p= ∈¢ . Cho các môđun phân bậc { }pM M= và { }pN N= và một số nguyên r cố định khi đó có một dãy các đồng cấu { }:p p p rf f M N += → là đồng cấu của cấp r. Ta viết :f M N→ Một môđun song phân bậc là một họ các môđun hai chỉ số ( ){ }, ,p qM M p q= ∈ ×¢ ¢ . Nếu { },p qM M= và { },p qN N= là các môđun song phân bậc và nếu ( ),a b là một cặp sắp thứ tự các số nguyên, khi đó có một họ các đồng cấu { }, ,p q p a q bf M N + += → là đồng cấu của song cấp ( ),a b . Ta viết :f M N→ . Cho :F →B C là một hàm tử. Vật B trong B là F – không tuần hoàn phải nếu ( ) 0pR F B = với mọi 1p ≥ , với pR F là hàm tử dẫn xuất phải thứ p của F. Vật B trong B là F – không tuần hoàn trái nếu ( ) 0pL F B = với mọi 1p ≥ , với pL F là hàm tử dẫn xuất trái thứ p của F. Một cặp khớp là một cặp các môđun song phân bậc D và E và các đồng cấu , ,α β γ (mỗi đồng cấu đều song cấp) sao cho tại mỗi đỉnh của tam giác sau là khớp. D D E α γ β → ] [ Xét cặp khớp và các đồng cấu song cấp , ,α β γ có các song cấp tương ứng là ( ) ( ) ( )1, 1 , 0,0 , 1,0− − . Xây dựng 1 :d E E→ xác định như sau 1d γβ= , khi đó ta có 1 1 0d d = và E có nhóm đồng điều ( )1 1 1, /H E d kerd imd= mà ta thường kí hiệu ( )1,H E d là 2E và xem nó như một môđun song phân bậc. Chi tiết hơn ta có 1 , , 1, 1,:p q p q p q p qd E D E γ β − −→ → Vì thế 1d có song cấp là ( )1,0− . Theo định nghĩa của môđun thương song song bậc ta có 2 1 1 , , 1,/p q p q p qE kerd imd += Ta xây dựng một môđun song phân bậc thứ hai 2D imα= . Vì α có song cấp ( )1, 1− , theo định nghĩa ảnh song phân bậc cho ta ( )2, 1, 1 1, 1 1, 1 ,p q p q p q p q p qD D im Dα α− + − + − += = ⊂ Tiếp theo,ta xây dựng các đồng cấu 2 2 2, ,α β γ theo hình vẽ bên dưới 22 2 2 2 2 D D E α γ β → ] [ Thiết lập 2α như là sự thu hẹp của α (vì 2 2D im Dα= ⊂ ). Vì ánh xạ bao hàm :i im Dα → có song cấp ( )0,0 , đồng cấu 2 iα α= o có cùng song cấp như α là. Xây dựng 2 2 2: D Eβ → như sau: 2 1y yβ βα − =   với kí hiệu trong ngoặc vuông là lớp đồng điều và tiếp theo ta xây dựng 2 2 2: E Dγ → như sau: 2 , , , , 1,p q p q p q p q p qz y z Dγ −  = ∈  Ta kiểm tra được rằng 2γ được định nghĩa tốt và do đó 2γ có cùng song cấp với γ là ( )1,0− Ta quay lại 2β , nếu 2,p qy D∈ thì ( )1, 1 1, 1p q p qy xα − + − += ; ta xây dựng 2β ( )2 1 2, 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1:p q p q p q p q p q p qy x Eβ β α β−− + − + − + − + − + = → ∈  có song cấp ( )1,1− Định lí 1.5.1. Với các định nghĩa như trên thì 22 2 2 2 2 D D E α γ β → ] [ là một cặp khớp; 2α có song cấp ( )1, 1− , 2β có song cấp ( )1,1− và 2γ có song cấp ( )1,0− Định nghĩa 1.5.2. Cặp khớp ( )2 2 2 2 2, , , ,D E α β γ được gọi là cặp dẫn xuất của ( ), , , ,D E α β γ . Chúng ta lặp lại quá trình này và được một dãy các cặp khớp rr r r r r D D E α γ β → ] [ với cặp khớp thứ 1r + là dẩn xuất của cặp khớp thứ r. Định lí 1.5.3. Cho ( ), , , ,D E α β γ là một cặp khớp với , ,α β γ có các song cấp tương ứng là ( )1, 1− , ( )0,0 và ( )1,0− . Nếu cặp dẫn xuất thứ r là ( ), , , ,r r r r rD E α β γ thì i. rα có song cấp ( )1, 1− , rβ có song cấp ( )1 , 1r r− − và rγ có song cấp ( )1,0− ii. r r rd β γ= có song cấp ( ), 1r r− − và được cảm sinh bởi 1rβα γ− + iii. 1 , , 1/ r r r p q p r q rE kerd imd + + − += Định nghĩa 1.5.4. Một dãy phổ là một dãy { }, 1r rE d r ≥ của các môđun song phân bậc và các đồng cấu thoả 0r rd d = sao cho ( )1 ,r r rE H E d+ = như là các môđun song phân bậc. Ta có thể kí hiệu E là 1E . Do đó mổi cặp khớp xác định một dãy phổ. Ta xem mỗi rE như là môđun thương của 1E hay 2E (thực sự là môđun thương của các thành phần trước đó). Ta viết 2 2 2/E Z B= (chính xác hơn là 2 2 2, , ,/p q p q p qE Z B= ). Với 1 1,r r r rZ kerd B imd− −= = . Vì 3 3 3/E Z B= là môđun thương của 2E nên ta có thể giả sử 2 3 3 2 10 B B Z Z E⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Lập lại quá trình trên ta có 2 1 1 2 10 ... ... ...r r r rB B B Z Z Z E+ +⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Định nghĩa 1.5.5. , , , , , , ,; ; / r r p q p q p q p q p q p q p q r r Z Z B B E Z B∞ ∞ ∞ ∞ ∞= = =U U Môđun song phân bậc E∞ giới hạn của dãy phổ { }rE Chú ý rằng ta có thể khử các chỉ số âm như sau: ,, p q p qM M− − = . Ta cũng quy ước như vậy và áp dụng cho môđun song phân bậc, chú ý rằng r không đổi dấu: do đó ,, p q p q rE E− − = Đồng cấu :r r rd E E→ bây giờ có song cấp ( ),1r r− Định nghĩa 1.5.6. Cho Q là một phạm trù và cho A là một vật trong Q . Một lọc của A là một họ các vật con của A, { }pF A p∈¢ sao cho 1 1... ...p p pF A F A F A− +⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Có hai trường hợp đặc biệt. Nếu Q là các phức và các môđun phân bậc. Một lọc của một phức C là một họ các phức con { }pF C p∈¢ với 1p pF C F C− ⊂ với mọi p∈¢ . Một lọc của các môđun phân bậc { }nH H n= ∈¢ là một họ các môđun con phân bậc { }pF H p∈¢ với 1p pF H F H− ⊂ với mọi p∈¢ . Định lí 1.5.7. Mỗi lọc { }pF C của phức C xác định một dãy phổ. Định nghĩa 1.5.8. Một lọc { }pF H của một môđun phân bậc H bị chặn nếu và với mọi n tồn tại ( )s s n= và ( )t t n= sao cho 0s nF H = và t n nF H H= Định nghĩa 1.5.9. Cho H là một môđun phân bậc. Một dãy phổ { }rE hội tụ đến H, kí hiệu 2 ,p q np E H⇒ , nếu có một lọc bị chặn { }pHΦ của H sao cho 1 , / p p p qE H H ∞ −= Φ Φ với mọi p, q và n p q= + Định lí 1.5.10. Cho :G →Q B và :F →B C là các hàm tử trong đó F khớp trái sao cho E là nội xạ trong Q suy ra GE là F – không tuần hoàn phải. Với A là môđun trong Q , có một dãy phổ góc phần tư thứ ba sao cho ( ) ( )( ) ( )( ),2p q p q npE R F R G A R FG A= ⇒ Định lí 1.5.11. Cho :G →Q B và :F →B C là các hàm tử trong đó F khớp phải sao cho P là xạ ảnh trong Q suy ra GP là F – không tuần hoàn trái. Với A là môđun trong Q , có một dãy phổ góc phần tư thứ nhất sao cho ( ) ( )( ) ( )( )2,p q p q npE L F L G A L FG A= ⇒ Định lí 1.5.12. Cho :G →Q B và :F →B C là các hàm tử trong đó F phản biến, khớp trái sao cho P là xạ ảnh trong Q suy ra GP là F – không tuần hoàn phải. Với A là môđun trong Q , có một dãy phổ góc phần tư thứ ba sao cho ( ) ( )( ) ( )( ),2p q p nq pE R F L G A R FG A= ⇒ Định lí 1.5.13. Cho :G →Q B và :F →B C là các hàm tử trong đó F phản biến, khớp trái sao cho P là nội xạ trong Q suy ra GP là F – không tuần hoàn phải. Với A là môđun trong Q , có một dãy phổ góc phần tư thứ nhất sao cho ( ) ( )( ) ( )( )2, p qp q npE R F R G A L FG A= ⇒ • Phức Koszul Cho là A vành Noether, I là Iđêan của A, 1 2, ,..., na a a là các phần tử sinh của A. Kí hiệu F là A – môđun tự do nA với mọi 1,2,...,i n= , kí hiệu ie là phần tử có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần khác đều bằng 0, u là số nguyên dương, phức koszul của A tương ứng vói dãy 1 2, ,..., u u u na a a , kí hiệu ( )uK a có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 00 ... ... 0 u k d au u u u n k k K a K a K a K a − → → → → → → → trong đó ( ) ( ) ( )0, 0,..., , 0 k k u n u k K a F A k n K a= = = =∧ ∧ Với mọi *,1k k n∈ ≤ ≤¥ , kí hiệu: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1 ,..., 1 1 2 ...kk n i i k i i i k nτ = ∈ ≤ < < < ≤¥ Khi đó, với ( ),i k nτ∈ : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )¶ ( )11 1 1 ... 1 ... ... k hu u i i k i h i i h i kk h d a e e a e e e e− = ∧ ∧ = − ∧ ∧ ∧ ∧ ∧∑ Ở đây kí hiệu ( ) ¶ i he chỉ thành phần ( )i he bị triệt tiêu. Dỉ nhiên ( ) 0u kK a = với { }\ 0,1,...,k n∈¢ Mệnh đề 1.5.14. Lấy , ,u v u v∈ ≤¥ . Khi đó có ánh xạ dây chuyền: ( ) ( )( ) ( ) ( ):v v u vu u k k K a K aϕ ϕ ∈= →¢ của phức các A – môđun và các A – đông cấu sao cho ( )vu nϕ là ánh xạ đồng nhất của n F∧ , ( )0vuϕ là tự đồng cấu của A xác định bằng cách lấy tích với ( )1 2, ,..., v u na a a − , và với ( )1,..., 1, ,k n i k nτ= − ∈ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 1... ... ... v u v u i i k j j j n k i i kk e e a a a e eϕ − −∧ ∧ = ∧ ∧ Với ( ),j n k nτ∈ − sao cho { } ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,..., 1 ,..., , 1 ,...,n i i k j j n k= − Mệnh đề 1.5.15. Hai hàm tử ( )( )0 : lim , _ , _unu H K aδ ∈uuuuur¥ và αΓ từ phạm trù các A – môđun vào chính nó là tương đương tự nhiên. Tổng quác hơn, có một đẳng cấu duy nhất: ( ) ( )( )( ) ( ): lim , _ , _i u in i Ii iu iH K a Hδ −∈ ∈∈ ∈ →uuuuur¥ ¥¥ ¥ Hệ quả, và mỗi u∈¥ và mỗi A – môđun thì: ( ) ( )( )lim ,i uI n iuH M H K a M−∈≅ uuuuur¥ Chương 2 Tính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng § 1. Mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng Phần đầu chương 2 nói về môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được Herzog đưa ra năm 1974. Đó là sự mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của Grothendieck. Nó có một số thính chất như tính triệt tiêu, tính hữu hạn sinh, xác định tính hữu hạn, … Cho R là vành Noether có đơn vị là 1 0≠ , I là một iđêan của R, M và N là các R – môđun. Khi đó, với mọi số tự nhiên i, ( ) ( ), lim / , n i i n I RH M N Ext M I M N→≅ gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của môđun N tương ứng với M. Ta có ( ) ( ),i iI IH N H R N= với N là R – môđun. Tác giả giới thiệu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Mệnh đề 2.1.1. ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0, , ,I I IH M N H Hom M N Hom M H N≅ ≅ Chứng minh. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 , lim / , lim / , lim , / , , lim / , , n n n n n n I R n n I H M N Ext M I M N Hom M I M N Hom M Hom R I N Hom M Hom R I N Hom M H N → → → → ≅ ≅ ≅  ≅ ≅    ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 , lim / , lim / , , , n n n n I I H M N Hom M I M N Hom R I Hom M N H Hom M N → → ≅ ≅ ≅  Nếu I, J là các iđêan của R thì ( )( ) ( )I J I JM M+Γ Γ = Γ với mọi R – môđun M. Tiếp theo, ta sẽ khái quát đối với môđun đối đồng điều địa phương suy rộng như sau: Mệnh đề 2.1.2. Cho I, J là các iđêan của R. Khi đó ta có ( ) ( )( ) ( )( ), , ,I J I J J IM N M N M N+Γ = Γ Γ = Γ Γ với mọi R – môđun M, N. Chứng minh Từ mệnh đề 2.1.1, ta có Do đó ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ), , , ,I J R I J R I J I JM N Hom M N Hom M M M N+ +Γ = Γ = Γ Γ = Γ Γ Tương tự, ta có ( ) ( )( ), ,I J J IM N M N+Γ = Γ Γ .  Mệnh đề 2.1.3. Cho M là R – môđun hữu hạn sinh, N là R – môđun bất kì, là J • phép giải nội xạ của N. Khi đó với mọi 0i ≥ , ta có Chứng minh. ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0 0 , lim / , , , n i i n i I I i I H M N H Hom M I M J H H Hom M J H Hom M H J • • → •  = =    = ( ) ( )( ), ,I R JM N Hom M NΓ = Γ ( ) ( )( )( ) ( )( )( )0 0, , ,i i iI I IH M N H H Hom M J H Hom M H J• •≅ ≅  Mệnh đề 2.1.4. Cho I, J là các iđêan của R, N là R – môđun J – xoắn, M là R – môđun bất kì. Khi đó ( ) ( ), , i 0i iI J IH M N H M N+ = ∀ ≥ Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh ( ) ( ) i 0i iI J IH N H N+ = ∀ ≥ Lấy E• là phép giải nội xạ của N, trong đó các thành phần đều là các R – môđun J – xoắn 0 10 ...N E E→ → → → (*) Áp dụng hàm tử ( )JΓ − , ta có ( ) 0 10 ...J N E E→Γ → → → Áp dụng tiếp hàm tử , ta có Như vậy ta có ( ) ( ) 0i iI J IH N H N i+ = ∀ ≥ Theo mệnh đề 2.1.3, với mọi 0i ≥ ta có  Mệnh đề 2.1.5. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun bất kì. Khi đó i. Nếu ( ) 0I NΓ = hay N là I – không xoắn thì ( ), 0I M NΓ = ii. Nếu ( ) ( )1 0I IN H NΓ = = thì Chứng minh. i. Theo mệnh đề 2.1.1, ta có suy ra điều phải chứng minh. ii. Ta có khớp 0 0N J L→ → → → với J là môđun nội xạ. Áp dụng hàm tử và ( ),I MΓ − vào ta có và ( ) ( ) ( ) ( )10 , , , , 0I I I IM N M J M L H M N→Γ →Γ →Γ → → là các dãy khớp. ( )IΓ − ( ) 0 10 ...I J N E E+→ Γ → → → ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )0 0, , , ,i i i iI J R I J R I IH M N H Hom M H E H Hom M H E H M N• •+ += = = ( ) ( )1, , 0I IM N H M NΓ = = ( ) ( )( ), ,I R JM N Hom M NΓ = Γ ( )IΓ − ( ) ( ) ( ) ( )10 0I I I IN J L H N→Γ →Γ →Γ → → Theo giả thiết suy ra và do đó ( ),I M JΓ = . Từ dãy khớp thứ hai suy ra điều phải chứng minh. Mệnh đề 2.1.6. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun bất kì sao cho chứa một phần tử N chính quy. Khi đó ( ), 0I M NΓ = . Chứng minh. Vì chứa một phần tử N chính quy nên ( ), 0Hom M N = do đó theo mệnh đề 2.1.1, ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.1.7. Cho M, N là c._.