Về sự hội tụ có điều kiện cho tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc

Tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện 19 3.1. Các định nghĩa về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện . . . . . . . 19 3.2. Các tính chất về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện . . . . . . . 20 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học cũng như trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp các biến cố ngẫu nhiên. Đó là các hiện tượng mà ta không thể dự đoán một cách chắc chắn rằng chúng xảy ra hay không xảy ra. Tính ngẫu nhiên hiện diện ở khắp mọi nơi, mọi lúc và tác động đến chúng ta, nó chính là một phần tất yếu của cuộc sống. Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật chi phối và đưa ra các phương pháp tính toán xác suất của các hiện tượng ngẫu nhiên. Ngày nay lý thuyết xác suất trở thành một ngành toán học quan trọng cả về phương diện lý thuyết và ứng dụng. Nó là một công cụ không thể thiếu được mỗi khi cần đánh giá cơ may, cũng như nguy cơ rủi ro. Chúng tôi quan tâm tới các khái niệm độc lập có điều kiện, phụ thuộc dưới âm có điều kiện của các biến ngẫu nhiên, strong-mixing. Khái niệm phụ thuộc dưới âm có điều kiện đã được nghiên cứu bởi E.L. Lehmann năm 1996. Khái niệm strong-mixing cho dãy các biến ngẫu nhiên được giới thiệu bởi M. Rosenblatt năm 1956. Dựa trên những kết quả đã có chúng tôi muốn nghiên cứu sâu hơn và cố gắng mở rộng cho trường hợp các phần tử ngẫu nhiên trên không gian Banach. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài "Về sự hội tụ có điều kiện cho tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc". Kết quả mà chúng tôi thu được liên quan tới tính h-khả tích có dư có điều kiện, h-khả tích mạnh có dư có điều kiện, strong-mixing trong trường hợp có điều kiện. Khóa luận được chia làm 3 chương: Chương 1. Kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan chính đến nội dung của các chương sau. Cụ thể, chúng 3tôi trình bày các khái niệm, ký hiệu và tính chất cơ bản của khái niệm độc lập có điều kiện của các biến cố, của các biến ngẫu nhiên, phụ thuộc dưới âm có điều kiện. Chương 2. Tính h-khả tích có dư có điều kiện. Chúng tôi trình bày những khái niệm, tính chất của tính h-khả tích có dư có điều kiện và B-strong-mixing. Các khái niệm này đều là đối tượng nghiên cứu chính trong khoá luận. Các kết quả phong phú trong khoá luận được trình bày, chứng minh một cách chi tiết. Chương 3. Tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện. Trong chương cuối này, chúng tôi đưa ra khái niệm, các tính chất cơ bản về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện. Khái niệm này mạnh hơn khái niệm về tính h-khả tích có dư có điều kiện được đưa ra trong Chương 2. Khoá luận được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và hết sức nghiêm khắc của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy, người đã chỉ dạy cho tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoa học và cả trong cuộc sống. Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng, các thầy cô Khoa Toán. Tác giả xin cảm ơn thầy giáo ThS. Dương Xuân Giáp cùng các anh chị trong nhóm Seminar "Xác suất thống kê " đã giúp đỡ tận tình cho tác giả. Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện tốt để tác giả thực hiện khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 05 năm 2011 Tác giả 4CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này chúng tôi giới thiệu định nghĩa và các kiến thức cơ bản liên quan đến khóa luận. Trong suốt khóa luận này, tất cả các biến cố và các biến ngẫu nhiên được xác định trên cùng một không gian xác suất (Ω,A,P). Giả sử B là σ-đại số con của A. Ta kí hiệu EB(X) là kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X đối với B và PB(A) là xác suất có điều kiện của biến cố A ∈ A đối với B. 1.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản về độc lập có điều kiện 1.1.1 Định nghĩa. Một dãy {Gn, n ≥ 1} gồm các họ các biến cố được gọi là độc lập có điều kiện đối với B (viết tắt là B-độc lập) nếu ∀n ≥ 2 và với mọi cách chọn k1, k2, ..., kn ∈ N sao cho ki 6= kj với i 6= j, mọi cách chọn Ai ∈ Gki, 1 ≤ i ≤ n thì: PB( n⋂ i=1 Ai) = n∏ i=1 PB(Ai) hầu chắc chắn (viết tắt là h.c.c). Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là độc lập có điều kiện đối với B (viết tắt là B-độc lập) nếu dãy σ-đại số sinh bởi chúng {σ(Xn), n ≥ 1} là B-độc lập. Người ta chứng minh được rằng dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} là B-độc lập nếu và chỉ nếu với mọi (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn: PB(Xi ≤ xi, i = 1, 2, ..., n) = n∏ i=1 PB(Xi ≤ xi) h.c.c. 5Chứng minh xem [2], Định lí 2.1. Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là B-độc lập đôi một nếu mỗi cặp biến ngẫu nhiên của dãy là B-độc lập. Nếu B = {∅,Ω} thì B-độc lập trở thành độc lập thông thường. 1.1.2 Mệnh đề. Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y là khả tích và B-độc lập thì: EB(XY) = EB(X)EB(Y) h.c.c. Ta cũng có kết quả tương tự cho hữu hạn biến ngẫu nhiên. Chứng minh xem [2], Mệnh đề 3.8. 1.2 Các định nghĩa và tính chất cơ bản về phụ thuộc dưới âm có điều kiện 1.2.1 Định nghĩa. Các biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ thuộc dưới âm có điều kiện ứng với σ-đại số B (viết tắt là B-CLCND) nếu với mọi x, y ∈ R PB[X ≤ x, Y ≤ y] ≤ PB[X ≤ x].PB[Y ≤ y] h.c.c. Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là đôi một phụ thuộc dưới âm có điều kiện ứng với σ-đại số B nếu mọi cặp biến ngẫu nhiên của dãy là B-CLCND. Ta có các tính chất sau đây của phụ thuộc dưới âm có điều kiện: 1.2.2 Bổ đề. Cho {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên đôi một B-CLCND có moment bậc hai hữu hạn. Khi đó, ∀i, j ≥ 1, i 6= j ta có: EB(XiXj) ≤ EB(Xi)EB(Xj) h.c.c. 1.2.3 Bổ đề. Cho {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên đôi một B-CLCND và hai dãy hằng số {an, n ≥ 1} và {bn, n ≥ 1} thỏa mãn an < bn, ∀n ∈ N. Khi đó, dãy {Yn, n ≥ 1} xác định bởi Yn = XnI[an ≤ X ≤ bn] + anI[Xn bn], n ≥ 1 cũng là một dãy các biến ngẫu nhiên đôi một B-CLCND. 6Chứng minh. Mỗi cách chọn n, p ∈ N mà n 6= p, ta có: PB(Yn ≤ yn) =  0 nếu yn < an PB[Xn ≤ yn] nếu an ≤ yn < bn 1 nếu yn ≥ bn, PB(Yp ≤ yp) =  0 nếu yp < ap PB[Xp ≤ yp] nếu ap ≤ yp < bp 1 nếu yp ≥ bp, và PB[Yn ≤ yn, Yp ≤ yp] = { 0 = PB[Yn ≤ yn].PB[Yp ≤ yp] nếu yn < an hoặc yp < ap 1 = PB[Yn ≤ yn].PB[Yp ≤ yp] nếu yn ≥ bn hoặc yp ≥ bp, Ta xét 3 trường hợp còn lại như sau : (1) Nếu an ≤ yn < bn và ap ≤ yp < bp thì: PB[Yn ≤ yn, Yp ≤ yp] = PB[Xn ≤ yn, Xp ≤ yp] ≤ PB[Xn ≤ yn].PB[Xp ≤ yp], (2) Nếu an ≤ yn < bn và yp ≥ bp thì: PB[Yn ≤ yn, Yp ≤ yp] = PB[Yn ≤ yn] = PB[Yn ≤ yn].PB[Yp ≤ yp], do PB[Yp ≤ yp] = 1. (3) Nếu yn ≥ bn và ap ≤ yp < bp thì: PB[Yn ≤ yn, Yp ≤ yp] = PB[Yp ≤ yp] = PB[Yn ≤ yn].PB[Yp ≤ yp], do PB[Yn ≤ yn] = 1. Do đó {Yn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên đôi một B-CLCND. 7CHƯƠNG 2 TÍNH H-KHẢ TÍCH CÓ DƯ CÓ ĐIỀU KIỆN 2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản về tính h-khả tích có dư có điều kiện Lưu ý lại rằng trong chương này tất cả các biến ngẫu nhiên đều được xác định trên cùng một không gian xác suất (Ω,A,P) và B, Bn, n ≥ 1 là các σ-đại số con của A. Trong chương này, ta chọn {un, n ≥ 1} và {vn, n ≥ 1} là hai dãy các số nguyên (không cần dương hay hữu hạn, mà chỉ cần điều kiện vn > un,∀n ≥ 1 và vn − un →∞ khi n→∞). Hơn nữa, {h(n), n ≥ 1} sẽ là dãy các hằng số dương thỏa mãn h(n) ↑ ∞ khi n→∞. Khi đó ta có định nghĩa về tính h-khả tích có dư có điều kiện đối với dãy {Bn} như sau: 2.1.1 Định nghĩa. Giả sử {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} và {Ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1 } là hai mảng các biến ngẫu nhiên. Mảng {Xnk} được gọi là h-khả tích có dư có điều kiện đối với Bn (viết tắt là Bn-CR-h-khả tích) liên quan đến mảng {Ank} nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (a) sup n≥1 vn∑ k=un |Ank|EBn|Xnk| <∞ h.c.c. (b) lim n→∞ vn∑ k=un |Ank|EBn (|Xnk| − h(n)) I[|Xnk| > h(n)] = 0 h.c.c. 2.1.2 Định nghĩa. Cho {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là một mảng các biến ngẫu nhiên và {ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là một mảng các hằng số. Mảng {Xnk} được 8gọi là h-khả tích có dư (viết tắt là R-h-khả tích) liên quan tới mảng hằng số {ank} nếu thỏa mãn điều kiện sau: (a) sup n≥1 vn∑ k=un |ank|E|Xnk| <∞, (b) lim n→∞ vn∑ k=un |ank|E (|Xnk| − h(n)) I [|Xnk| > h(n)] = 0. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu một số định lí hội tụ trung bình có điều kiện của mảng các biến ngẫu nhiên B-CR-h-khả tích có trọng số ngẫu nhiên dưới một số điều kiện của phụ thuộc có điều kiện. Cụ thể là chúng ta xem xét sự phụ thuộc có điều kiện theo hàng của các mảng sau đây: phụ thuộc dưới âm có điều kiện, liên kết không dương có điều kiện, và strong-mixing có điều kiện. Trong định lí đầu tiên này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng với một mảng các biến ngẫu nhiên đôi một phụ thuộc dưới âm có điều kiện, việc chứng minh nó ta sử dụng kỹ thuật chặt cụt - kỹ thuật dùng riêng cho mảng phụ thuộc dưới âm có điều kiện, có thể dùng để thu được một số định lý hội tụ trung bình có điều kiện. 2.1.3 Định lý. Cho {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên đôi một Bn-CLCND. Cho {Ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên không âm sao cho với mỗi n ∈ N, mảng {Ank, un ≤ k ≤ vn} là Bn-đo được. Giả sử rằng: (a) {Xnk} là Bn-CR-h-khả tích liên quan tới mảng {Ank}, (b) h(n)( sup un≤k≤vn Ank)→ 0 h.c.c. khi n→∞. Đặt Sn = vn∑ k=un Ank(Xnk − EBnXnk), n ≥ 1 thì EBn|Sn| → 0 h.c.c khi n→∞. Chứng minh. Với mỗi n ∈ N và un ≤ k ≤ vn ta xác định: Ynk = XnkI[|Xnk| ≤ h(n)]− h(n)I[Xnk h(n)]. 9Vì {Xnk} là dãy các biến ngẫu nhiên đôi một B-CLCND nên {Ynk} cũng là dãy biến ngẫu nhiên đôi một B-CLCND. Sử dụng phương pháp chặt cụt ta có: Đặt: S1n = vn∑ k=un Ank.(Xnk − Ynk) (2.1) S2n = vn∑ k=un Ank.(Ynk − EBnYnk) (2.2) S3n = vn∑ k=un Ank.E Bn(Ynk − Xnk) (2.3) (+) Nếu un, vn hữu hạn ta có : S1n + S2n + S3n = vn∑ k=un Ank(Xnk − Ynk + Ynk − EBnYnk + EBnYnk − EBnXnk) = vn∑ k=un Ank(Xnk − EBnXnk) = Sn, n ≥ 1. (+) Nếu un, vn vô hạn, thì kỳ vọng có điều kiện tương ứng của các chuỗi S1n, S2n, S3n hội tụ tuyệt đối nên ta cũng có Sn = S1n + S2n + S3n, n ≥ 1. Vậy ta có thể viết Sn = S1n + S2n + S3n, n ≥ 1. Ta sẽ chứng minh EBnSn → 0 khi n→∞ hay EBn(S1n + S2n + S3n)→ 0 khi n→∞, nghĩa là (EBnS1n + EBnS2n + EBnS3n)→ 0 khi n→∞. Với n ≥ 1: |EBnS1n| = |EBn vn∑ k=un Ank(Xnk − Ynk)| = | vn∑ k=un EBnAnk(Xnk − Ynk)| = | vn∑ k=un EBnEBnAnk(Xnk − Ynk)| = | vn∑ k=un EBnAnkEBn(Xnk − Ynk)| = | vn∑ k=un AnkE Bn(Xnk − Ynk)| = | vn∑ k=un AnkE Bn(Ynk − Xnk)|. (2.4) 10 |EBnS3n| = |EBn vn∑ k=un AnkE Bn(Ynk − Xnk)| = | vn∑ k=un EBnAnkEBn(Ynk − Xnk)| = | vn∑ k=un EBn(Ynk − Xnk)EBnAnk| = | vn∑ k=un AnkE Bn(Ynk − Xnk)|. (2.5) (Ta có EBnAnk = Ank vì Ank là Bn-đo được.) Từ (2.3), (2.4), (2.5) ta được: 0 ≤ |EBnS1n| = |EBnS3n| = |S3n| ≤ vn∑ k=un |AnkEBn(Xnk − Ynk)| = vn∑ k=un AnkE Bn|Xnk − Ynk|. (2.6) Mặt khác ta lại có ∀n ∈ N thì: |Xnk − Ynk| =  0 nếu |Xnk| ≤ h(n) |Xnk + h(n)| nếu Xnk < −h(n) |Xnk − h(n)| nếu Xnk > h(n), =  0 nếu |Xnk| ≤ h(n) −Xnk − h(n) nếu Xnk < −h(n) Xnk − h(n) nếu Xnk > h(n), = { 0 nếu |Xnk| ≤ h(n) |Xnk| − h(n) nếu |Xnk| > h(n), ⇒ vn∑ k=un AnkE Bn|Xnk − Ynk| = vn∑ k=un AnkE Bn (|Xnk| − h(n)) I[|Xnk| > h(n)] → 0 h.c.c khi n→∞. (2.7) Từ (2.6) và (2.7)⇒ EBnS1n → 0 h.c.c khi n→∞ và EBnS3n → 0 h.c.c. khi n→∞. (2.8) 11 Để chứng minh EBnS2n → 0 khi n → ∞ ta sẽ chứng minh EBnS22n → 0 khi n→∞. Với n ≥ 1 ta có: 0 ≤ EBnS22n = EBn[ vn∑ k=un Ank(Ynk − EBnYnk)]2 = EBn[ vn∑ k=un A2nk(Ynk − EBnYnk)2] + ∑ i 6=j Ani(Yni − EBnYni).Anj(Ynj − EBnYnj) = vn∑ k=un EBnA2nk(Ynk − EBnYnk)2 + ∑ i 6=j Ani.Anj(YniYnj − YnjEBnYni − YniEBnYnj + EBnYni.EBnYnj) = vn∑ k=un A2nkE Bn[Y2nk − 2YnkEBnYnk + (EBnYnk)2] + ∑ i6=j Ani.Anj[E BnYniYnj − EBnYniEBnYnj] = vn∑ k=un A2nk[E BnY2nk − (EBnYnk)2] + ∑ i6=j Ani.Anj[E BnYniYnj − EBnYni.EBnYnj] ≤ vn∑ k=un A2nkE BnY2nk + 2 ∑ i6=j Ani.Anj[E BnYniYnj − EBnYni.EBnYnj] = B1n + B2n. Ta có: B1n = vn∑ k=un A2nkE BnY2nk Do Y2nk = { X2nk nếu |Xnk| ≤ h(n) h2(n) nếu |Xnk| > h(n) nên B1n = vn∑ k=un A2nkE Bn [X2nkI[|Xnk| ≤ h(n)] + h2(n)I[|Xnk| > h(n)]] =  ∑vn k=un A 2 nkE BnX2nk = B1n1 nếu |Xnk| ≤ h(n)∑vn k=un A 2 nkh 2(n) = B1n2 nếu |Xnk| > h(n) 12 mà B1n1 = vn∑ k=un A2nkE BnX2nk ≤ vn∑ k=un Ank[ sup un≤k≤vn Ank]E Bn (|Xnk|h(n)) = h(n)[ sup un≤k≤vn Ank]. vn∑ k=un AnkE Bn|Xnk| B1n2 = vn∑ k=un A2nkh 2(n) ≤ vn∑ k=un Ank[ sup un≤k≤vn Ank]E Bn (|Xnk|h(n)) = h(n)[ sup un≤k≤vn Ank]. vn∑ k=un AnkE Bn|Xnk| ⇒ 0 ≤ B1n ≤ h(n)[ sup un≤k≤vn Ank]. vn∑ k=un AnkE Bn|Xnk| → 0 h.c.c. khi n→∞ (theo (2.1.1 (a) và 2.1.3 (b)). Xét B2n ta có : E Bn(YniYnj)− EBnYni.EBnYnj < 0, ∀i 6= j, h.c.c ∀n ∈ N. ⇒ B2n < 0 h.c.c ⇒ 0 ≤ EBnS22n ≤ B1n → 0 h.c.c khi n→∞ ⇒ EBnS22n → 0 h.c.c khi n→∞ Do ϕ(x) = x2 là hàm lồi, liên tục nên ta có: E(ϕ(S22n)) ≥ ϕ(ES2n) nghĩa là ES22n ≥ (ES2n)2 nên (EBnS2n)2 → 0 khi n→∞ hay EBn|S2n| → 0 khi n→∞. Kết hợp với (2.8) ta có điều phải chứng minh.  2.1.4 Định lý. Cho {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên không âm với CovBn(Xnj, Xnk) < 0,∀j 6= k, ∀n ≥ 1 và cho {Ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên không âm sao cho với mỗi n ∈ N thì {Ank, un ≤ k ≤ vn} là Bn-đo được. Giả sử rằng: (a) {Xnk} là mảng Bn-CR-h-khả tích liên quan đến mảng {Ank}, (b) h(n)( sup un≤k≤vn )Ank → 0 h.c.c khi n→∞. Đặt Sn = vn∑ k=un Ank(Xnk − EBnXnk), n ≥ 1 thì EBn|Sn| → 0 h.c.c. khi n→∞. 13 Chứng minh. Chứng minh tương tự Định lý 2.1.3. Với mỗi n ∈ N và un ≤ k ≤ vn ta đặt : Ynk = XnkI[Xnk ≤ h(n)] + h(n)I[Xnk > h(n)] và S1n, S2n, S3n được định nghĩa như ở phần chứng minh của Định lí 2.1.3. Trong trường hợp này, Xnk − Ynk = (Xnk − h(n))I[Xnk > h(n)] và vì vậy: EBn|S1n| = EBnS1n = −S3n ≤ vn∑ k=un AnkE Bn(Xnk − h(n))I[Xnk > h(n)]→ 0 h.c.c khi n→∞. Với S2n, ta sẽ chứng minh E BnS22n → 0 h.c.c khi n → ∞. Lưu ý rằng EBnS22n = B1n + B2n như trong Định lý 2.1.3, và B1n → 0 h.c.c khi n → ∞ như cách đã chứng minh ở Định lý 2.1.3. Tiếp theo, đủ để chứng tỏ rằng lim sup n→∞ B2n ≤ 0 h.c.c suy từ tính không âm của các biến ngẫu nhiên Xnk và Ank và giả thiết không dương của tương quan có điều kiện. Chúng ta có: B2n = ∑ j 6= k AnjAnk [ EBn(YnjYnk)− EBnYnjEBnYnk ] ≤ ∑ j 6= k AnjAnk [ EBn(XnjXnk)− EBnYnjEBnYnk ] ≤ ∑ j 6= k AnjAnk [ EBnXnj.EBnXnk − EBnYnjEBnYnk ] ≤ vn∑ j,k=un AnjAnk [ (EBnXnj − EBnYnj)EBnXnk + (EBnXnk − EBnYnk)EBnYnj ] = vn∑ j=un vn∑ k=un AnjAnkE Bn(Xnj − Ynj).EBnXnk + vn∑ j=un vn∑ k=un AnjAnkE Bn(Xnk − Ynk).EBnYnj 14 = ( vn∑ j=un AnjE Bn(Xnj − Ynj) )( vn∑ k=un AnkE BnXnk ) + ( vn∑ j=un AnjE BnYnj )( vn∑ k=un AnjAnkE Bn(Xnk − Ynk) ) = ( vn∑ j=un AnjE Bn(Xnj − h(n)I[Xnj > h(n)] )( vn∑ k=un AnkE Bn(Xnk) ) + ( vn∑ j=un AnjE Bn(Ynj) )( vn∑ j=un AnkE Bn(Xnk − h(n))I[Xnk > h(n)] ) ≤ 2 ( vn∑ j=un AnjE BnXnj )( vn∑ j=un AnkE Bn(Xnk − h(n))I[Xnk > h(n)] ) → 0 h.c.c khi n→∞. 2.2 Định nghĩa và các tính chất của strong-mixing 2.2.1 Định nghĩa. Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là strong- mixing nếu tồn tại dãy không âm {αi} hội tụ đến 0 và thỏa mãn |P(A ∩ B)− P(A)P(B)| ≤ αi, với mọi A ∈ σ(X1,X2, ...,Xk), B ∈ σ(Xk+i,Xk+i+1, ...) và k ≥ 1, i ≥ 1. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu về khái niệm strong-mixing cho trường hợp có điều kiện là mở rộng của khái niệm trên. 2.2.2 Định nghĩa. Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và B là σ-đại số con của A. Cho {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,A,P). Dãy {Xn, n ≥ 1} được gọi là strong-mixing có điều kiện (B-strong-mixing) nếu tồn tại dãy các biến ngẫu nhiên B-đo được, không âm αBi hội tụ đến 0 hầu chắc chắn khi i→∞ thỏa mãn: |PB(A ∩ B)− PB(A)PB(B)| ≤ αBi h.c.c. ∀A ∈ σ(X1, X2, ..., Xk),∀B ∈ σ(Xk+i, Xk+i+1, ...) với k ≥ 1, i ≥ 1. 15 Ta có bất đẳng thức về hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên B-strong- mixing như sau: 2.2.3 Bổ đề. Cho {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên B-strong-mixing với hệ số mixing là αBn xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P). Giả sử rằng biến ngẫu nhiên Y là đo được đối với σ(X1, X2, ..., Xk) và bị chặn bởi hàm B-đo được C, và Z là đo được đối với σ(Xk+i, Xk+i+1, ...) và bị chặn bởi hàm B-đo được D. Khi đó ta có: |EB(YZ)− EB(Y).EB(Z)| ≤ 4CDαBi h.c.c. Sau đây là định lí hội tụ trung bình cho những dãy các biến ngẫu nhiên B- strong-mixing có trọng số ngẫu nhiên: 2.2.4 Định lý. Cho {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là một mảng các biến ngẫu nhiên thỏa mãn với mỗi n ≥ 1 thì hàng {Xnk, un ≤ k ≤ vn} là một dãy các biến ngẫu nhiên B-strong-mixing với lim sup n→∞ vn−un∑ i=1 αBni <∞ h.c.c. Cho {Ank, un ≤ k ≤ vn} là một mảng các biến ngẫu nhiên không âm sao cho với mỗi n ∈ N thì {Ank, un ≤ k ≤ vn} là Bn-đo được. Giả sử rằng với mỗi n ∈ N thì {Ank} là dãy không tăng theo hàng h.c.c, nghĩa là Anj ≤ Ani h.c.c nếu i ≤ j. Giả sử thêm rằng: (a) {Xnk} là dãy Bn -CR-h-khả tích liên quan tới dãy {Ank}, (b) h2(n) vn∑ k=un A2nk → 0 h.c.c khi n→∞. Đặt Sn = vn∑ k=un Ank(Xnk − EBnXnk), n ≥ 1 thì EBn|Sn| → 0 h.c.c khi n→∞. Chứng minh. Chứng minh tương tự như trong Định lý 2.1.4 đối với S1n, S3n và 16 B1n. Vì vậy ta chỉ cần chứng tỏ: lim sup n→∞ vn∑ k,j=un k<j AnjAnk[E Bn(YnjYnk)− EBnYnj.EBnYnk] ≤ 0 h.c.c. Để kết thúc, với mọi n ≥ 1 thì: vn∑ k,j=un k<j AnjAnk[E Bn(YnjYnk)− EBnYnj.EBnYnk] = vn−un∑ i=1 vn−i∑ k=un AnkAn(k+i)[E Bn(YnkYn(k+i))− EBnYnk.EBnYn(k+i)] ≤ vn−un∑ i=1 vn−i∑ k=un A2nk.4h 2(n)αBni ≤ 4h2(n) vn∑ k=un A2nk vn−un∑ i=1 αBni → 0 h.c.c khi n→∞, và vì vậy EBn|Sn| → 0 h.c.c khi n→∞. Vậy định lý được chứng minh.  2.3 Định nghĩa và các tính chất của strong-mixing trên không gian Banach 2.3.1 Định nghĩa. Một dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} trên không gian Banach X được gọi là strong-mixing nếu tồn tại dãy không âm {αi} hội tụ đến 0 và thỏa mãn |P(A ∩ B)− P(A)P(B)| ≤ αi, với mọi A ∈ σ(X1,X2, ...,Xk), B ∈ σ(Xk+i,Xk+i+1, ...) và k ≥ 1, i ≥ 1. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu về khái niệm strong-mixing cho trường hợp có điều kiện là mở rộng của khái niệm trên. 2.3.2 Định nghĩa. Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và B là σ-đại số con của A. Cho {Xn, n ≥ 1} là một dãy các phần tử ngẫu nhiên trên không gian Banach 17 X. Dãy {Xn, n ≥ 1} được gọi là strong-mixing có điều kiện (B-strong-mixing) nếu tồn tại dãy các biến ngẫu nhiên B-đo được, không âm αBi hội tụ đến 0 hầu chắc chắn khi i→∞ thỏa mãn: |PB(A ∩ B)− PB(A)PB(B)| ≤ αBi h.c.c. ∀A ∈ σ(X1, X2, ..., Xk),∀B ∈ σ(Xk+i, Xk+i+1, ...) với k ≥ 1, i ≥ 1. Tương tự như trường hợp thực, ta cũng có bất đẳng thức về hiệp phương sai của các phần tử ngẫu nhiên B-strong-mixing trên không gian Banach như sau: 2.3.3 Định lý. Cho {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên B-strong-mixing trên đại số Banach X với hệ số mixing là αBn xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P). Giả sử rằng biến ngẫu nhiên Y là đo được đối với σ(X1, X2, ..., Xk) và bị chặn bởi hàm B-đo được C, và Z là đo được đối với σ(Xk+i, Xk+i+1, ...) và bị chặn bởi hàm B-đo được D. Khi đó ta có: ‖EB(YZ)− EB(Y).EB(Z)‖ ≤ 4CDαBi h.c.c. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét cho C = D = 1. Bằng phương pháp xấp xỉ thường dùng, nghĩa là chứng minh cho trường hợp các phần tử ngẫu nhiên đơn giản, sau đó chứng minh cho trường hợp các phần tử ngẫu nhiên rời rạc và cuối cùng là chứng minh cho trường hợp các phần tử ngẫu nhiên bất kì, do đó sau đây ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp các phần tử ngẫu nhiên đơn giản. Thật vậy, ta có: Y = ∑ i yi.IAi, Z = ∑ j zj.IBj , với yi, zj ∈ X; ‖yi‖, ‖zj‖ ≤ 1;Ai, Bj ∈ A; AkAh = BkBh = ∅,∀k 6= h;⋃ i Ai = ⋃ j Bj = Ω . 18 Đặt dij = P B(Ai ∩ Bj) − PB(Ai)PB(Bj), suy ra vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh chính là bằng ‖∑i yi∑j zjdij‖. Tiếp tục, ta có ‖ ∑ i yi ∑ j zjdij‖ ≤ ∑ i ‖yi‖.‖ ∑ j zjdij‖ ≤ ∑ i ‖yi‖ ∑ j ‖zjdij‖ ≤ ∑ i ‖yi‖ ∑ j ‖zj‖|dij| ≤ ∑ i ∑ j |dij|. Khi đó ∑ i ∑ j |dij| có thể biểu diễn dưới dạng ∑ i ξi ∑ j ηjdij với ξi nhận giá trị −1 hoặc 1 và phụ thuộc vào Ai, và ηj nhận giá trị −1 hoặc 1 và phụ thuộc vào Bj. Kí hiệu A (0) là hợp của các Ai mà ξi = 1, A (1) = Ω\A(0), B(0) là hợp của các Bj mà ηj = 1, B (1) = Ω\B(0). Từ đó, ta dễ dàng suy ra được rằng∑ i ξi ∑ j ηjdij ≤ ∑ u,v∈{−1,1} |PB(A(u) ∩ B(v))− PB(A(u))PB(B(v))| ≤ 4αn h.c.c. Định lý được chứng minh.  19 CHƯƠNG 3 TÍNH H-KHẢ TÍCH MẠNH CÓ DƯ CÓ ĐIỀU KIỆN Để có được kết quả về hội tụ mạnh có điều kiện, sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện đối với dãy {Bn}, với 0 < h(n) ↑ ∞. 3.1 Các định nghĩa về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện 3.1.1 Định nghĩa. Cho {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} và {Ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là hai mảng các biến ngẫu nhiên. Mảng {Xnk} được gọi là h-khả tích mạnh có dư có điều kiện đối với Bn (viết tắt là Bn-CSR-h-khả tích) liên quan với mảng {Ank} nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (a) sup n≥1 vn∑ k=un |Ank|EBn|Xnk| <∞ h.c.c, (b) ∞∑ n=1 vn∑ k=un |Ank|EBn(|Xnk| − h(n))I[Xnk > h(n)] <∞ h.c.c. Khi Ank ≡ ank là các dãy hằng số và Bn = {∅,Ω}, ∀n ∈ N thì tương tự định nghĩa trên ta có được định nghĩa mới về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện liên quan tới mảng các hằng số {ank} như sau: 3.1.2 Định nghĩa. Giả sử {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên và {ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các hằng số. Mảng {Xnk} được gọi là h-khả tích mạnh có dư có điều kiện (viết tắt là SR-h-khả tích) liên quan tới mảng 20 hằng số ank nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (a) sup n≥1 vn∑ k=un |ank|E|Xnk| <∞ h.c.c, (b) ∞∑ n=1 vn∑ k=un |ankE (|Xnk| − h(n)) I[|Xnk| > h(n)] <∞ h.c.c. Như vậy ta thấy rằng khái niệm Bn-CSR-h-khả tích là mạnh hơn khái niệm Bn-CR-h-khả tích. Cũng giống như vậy khái niệm SR-h-khả tích là mạnh hơn khái niệm R-h-khả tích. 3.2 Các tính chất về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập một loại mạnh hơn Định lí 2.1.3 (trong Chương 2) trong trường hợp B-CSR-h-khả tích, nghĩa là khi Bn,B là các σ-đại số con của A, ∀n ∈ N. 3.2.1 Định lý. Cho {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên B-CLCND theo hàng. Cho {Ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là một mảng các biến ngẫu nhiên B-đo được, không âm. Giả sử rằng: (a) {Xnk } là mảng B-CSR-h-khả tích liên quan tới mảng {Ank}, (b) ∞∑ n=1 h(n)( sup un≤k≤vn Ank) <∞ h.c.c. Khi đó ta có Sn = vn∑ k=un Ank(Xnk − EBXnk)→ 0 h.c.c khi n→∞. Chứng minh. Với mỗi n ∈ N, un ≤ k ≤ vn ta đặt Ynk, S1n, S2n, S3n như trong chứng minh của Định lý 2.1.3 và với việc đặt Bn ≡ B. Khi đó với mỗi n ∈ N, chúng ta có thể viết Sn = S1n + S2n + S3n và chúng ta sẽ đánh giá riêng lẻ mỗi số hạng này. 21 Thật vậy, vì {Xnk } là mảng B-CSR-h-khả tích liên quan tới mảng {Ank} nên ta có: ∞∑ n=1 vn∑ k=un |Ank|EB [(|Xnk| − h(n)) I[Xnk > h(n)]] <∞ h.c.c. ⇒ EB ( ∞∑ n=1 vn∑ k=un |Ank| (|Xnk| − h(n)) I[|Xnk| > h(n)] ) <∞ h.c.c. (Do Ank là B-đo được và không âm). Điều đó suy ra : ∞∑ n=1 vn∑ k=un |Ank|(|Xnk − Ynk|) = ∞∑ n=1 vn∑ k=un Ank(|Xnk| − h(n))I[|Xnk| > h(n)] <∞ h.c.c. ⇒ |S1n| ≤ vn∑ k=un Ank|Xnk − Ynk| → 0 h.c.c khi n→∞. Nên S1n → 0 h.c.c. khi n→∞. Tiếp theo, áp dụng điều kiện (a) lần nữa, chúng ta có: |S3n| ≤ vn∑ k=un AnkE B|Ynk − Xnk| → 0 h.c.c khi n→∞. Như vậy ta cũng có S3n → 0 h.c.c khi n→∞. Bây giờ, ta sẽ chứng minh S2n → 0 h.c.c khi n → ∞, áp dụng bất đẳng thức Markov cho trường hợp có điều kiện, ta có: ∀ε > 0 PB[|S2n| > ε] = PB[|S2n|2 > ε2] ≤ 1 ε2 EB|S2n|2, ∀n ≥ 1. ⇒ ∞∑ n=1 PB[|S2n| > ε] ≤ 1 ε2 ∞∑ n=1 EB|S2n|2 = 1 ε2 ∞∑ n=1 ( vn∑ k=un A2nkE B(Ynk − EBYnk)2 + ∑ i6=j AniAnj(E B(YniYnj)− EBYni.EBYnj)) h.c.c. 22 Theo Bổ đề 1.2.2 thì EB(YniYnj) ≤ EBYni.EBYnj h.c.c ∀i, j, n ≥ 1, i 6= j ⇒ EB(YniYnj)− EBYniEBYnj ≤ 0 h.c.c ∀i, j ≥ 1, i 6= j ⇒ 0 ≤ ∞∑ n=1 PB[|S2n| > ε] ≤ 1 ε2 ∞∑ n=1 vn∑ k=un A2nkE B(Ynk − EBYnk)2 (3.1) Tiếp theo ta sẽ chứng minh ∞∑ n=1 vn∑ k=un A2nkE B(Ynk − EBYnk)2 <∞ h.c.c. Thật vậy, ta có: ∞∑ n=1 vn∑ k=un A2nkE B(Ynk − EBYnk)2 ≤ ∞∑ n=1 vn∑ k=un A2nkE BY2nk = ∞∑ n=1 vn∑ k=un A2nkE B (X2nkI[|Xnk| ≤ h(n)] + h2(n)I[|Xnk| > h(n)]) ≤ ∞∑ n=1 vn∑ k=un A2nkE B(h(n)|Xnk|) ≤ ∞∑ n=1 h(n)( sup un≤k≤vn Ank) vn∑ k=un AnkE B|Xnk| <∞ h.c.c. (Do theo bài ra ∞∑ n=1 h(n)( sup un≤k≤vn Ank) <∞ h.c.c và vn∑ k=un A2nkE B|Xnk| <∞ h.c.c). Do đó kết hợp với (3.1) ta được: 0 ≤ ∞∑ n=1 PB[|S2n| > ε] <∞ h.c.c. áp dụng bổ đề Borel-Cantelli cho trường hợp có điều kiện ta có: PB(lim sup[|S2n| > ε]) = 0 h.c.c ⇒ S2n → 0 h.c.c khi n → ∞ (Sử dụng tính chất của hội tụ hầu chắc chắn và do tính chất đó đúng với P thì sẽ đúng với PB). Như vậy Sn = S1n + S2n + S3n → 0 h.c.c khi n→∞. Định lý được chứng minh.  Một trường hợp đặc biệt của các biến ngẫu nhiên đôi một B-CLCND là trường hợp các biến ngẫu nhiên đôi một B-độc lập. Vì vậy chúng ta suy ra hệ quả của Định lý 3.2.1 như sau: 3.2.2 Hệ quả. Cho {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là một mảng các biến ngẫu nhiên đôi một B-độc lập theo hàng. Cho {Ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là một mảng các 23 biến ngẫu nhiên B-đo được, không âm. Giả sử rằng: (a) {Xnk} là mảng B-CSR-h-khả tích liên quan tới mảng {Ank}, (b) ∞∑ n=1 h(n)( sup un≤k≤vn Ank) <∞ h.c.c. Khi đó Sn = vn∑ k=un Ank(Xnk − EBXnk)→ 0 h.c.c. khi n→∞. Như đã phát biểu ở trên, Định lý 3.2.1 là mở rộng của Định lý 2.1.3, tuy nhiên khi ta chú ý đọc chứng minh của nó ta sẽ thấy một điều rằng: ∞∑ n=1 vn∑ k=un A2nkE B(Ynk − EBYnk)2 <∞ h.c.c ta có thể chứng minh bằng cách thay thế điều kiện (b) và điều kiện sup n≥1 vn∑ k=un AnkE B|Xnk| <∞ h.c.c (trong định nghĩa của B-CSR-h-khả tích) bằng một điều kiện đơn giản hơn như sau: ∞∑ n≥1 h(n) vn∑ k=un A2nkE B|Xnk| <∞ h.c.c. Rõ ràng điều kiện này yếu hơn cả hai điều kiện trên. Vì vậy chúng tôi đưa ra một dạng mạnh hơn Định lý 3.2.1 như sau: 3.2.3 Định lý. Cho {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là một mảng các biến ngẫu nhiên đôi một B-CLCND theo hàng và {Ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các biến 24 ngẫu nhiên B-đo được, không âm. Giả sử rằng: (a) ∞∑ n=1 vn∑ k=un AnkE B(|Xnk| − h(n))I[|Xnk| > h(n)] <∞ h.c.c. (b) ∞∑ n=1 h(n) vn∑ k=un A2nkE B|Xnk| <∞ h.c.c. Khi đó Sn = vn∑ k=un Ank(Xnk − EBXnk)→ 0 h.c.c. khi n→∞. Từ định lý này ta cũng có được dạng tương tự của Hệ quả 3.2.2 cho Định lý 3.2.3. 25 KẾT LUẬN Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng, luận văn được hoàn thành, đã giải quyết các vấn đề chính sau đây: 1. Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản về độc lập có điều kiện và phụ thuộc dưới âm có điều kiện của dãy các biến ngẫu nhiên. 2. Trình bày các khái niệm, tính chất, các định lý, hệ quả về tính h-khả tích có dư có điều kiện, strong-mixing có điều kiện, tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện. Đây là phần chính của luận văn, phần này chúng tôi cung cấp kỹ thuật chặt cụt dùng cho chứng minh các định lý liên quan tới độc lập có điều kiện của dãy các biến ngẫu nhiên. 3. Chúng tôi định nghĩa và mở rộng Bổ đề 2.2.3 cho trường hợp các phần tử ngẫu nhiên trên không gian Banach, đây là chìa khoá để thiết lập sự hội tụ trung bình cho dãy các phần tử ngẫu nhiên B-strong-mixing với trọng số có tính chất ngẫu nhiên trên không gian Banach. Một số hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn: - Mở rộng các kết quả hội tụ cho trường hợp các phần tử ngẫu nhiên trên không gian Banach. - Mở rộng các kết quả hội tụ trên cho các biến ngẫu nhiên đa trị với các dạng hội tụ khác nhau, chẳng hạn hội tụ Mosco, hội tụ Wijsman, hội tụ theo khoảng cách Hausdorff, ... 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội tiếng anh [2] G.G. Roussas (2008), On conditional independence, mixing, and association, Stoch. Anal. Appl., 26, 1274-1309. [3] E.L. Lehmann (1996), Some concepts of dependence, Ann. Math. Statist.,37, 1137-1153. [4] D. Yuan, B. Tao (2008),Mean convergence theorems for weighted sums of ar- rays of residually h-integrable random variables concerning the weights under dependence assumptions, Acta Appl. Math., 103, 221-234. [5] T.K. Chandra, A. Goswami (2006), Cesafro α-integrability and laws of large numbers-II, J. Theoret. Probab.,19, 789-816. [6] M. Ordonez Cabrera, A.I. Volodin (2005), Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for weighted sums of random variables under a condition of weighted integrability, J. Math. Anal. Appl., 305, 644-658. [7] B.L.S. Prakasa Rao(2009), Conditional independence, conditional mixing and conditional association, Ann. Inst. Statist. Math., 61, 441-460 [8] M. Rosenblatt (1956), A central limit theorem and a strong mixing condition, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 42 43-47. 27 [9] T.K. Chandra, A. Goswami (1999), Cesfaro α-integrability and laws of large numbers- I , J. Theoret. Probab. 16, 655-669. [10] Y.S. Chow, H. Teicher(1997), Probability Theory: Independence, Inter- changeability, Martingales , xxii+488 pp, 3rd ed. Springer-Verlag, New York. [11] M. Ordonez Cabrera(1994), Convergence of weighted sums of random vari- ables and uniform integrability concerning the weights , Collect. Math., 45, 121-132. ._.