Về một phương trình sóng phi tuyến trong miền hình vành khăn với điều kiện biên hỗn hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Võ Thị Bích Khuê VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TRONG MIỀN HÌNH VÀNH KHĂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi đến Thầy Nguyễn Thành Long, người Thầy hết lòng vì học trò, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Thầy đã rất ân cần và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi nắm được từng bước nghiên cứu khoa học, giải đáp những thắc mắc, khó khăn khi tôi gặp phải. Từ Thầy, tôi càng hiểu thêm được ý nghĩa, hứng thú và lòng say mê của việc nghiên cứu Toán học tưởng chừng như rất khô khan và ít ứng dụng. Tôi xin khắc ghi những lời dạy, sự chỉ bảo ân cần của Thầy trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Tôi chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô đã đóng góp các ý kiến chân tình và bổ ích cho luận văn đồng thời cũng giúp cho tôi hiểu thêm một cách sâu sắc về bài toán. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, Cô trong và ngoài khoa Toán- Tin học, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức cũng như các hỗ trợ về tinh thần, tư liệu cho tôi trong suốt thời gian học tập. Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng không thể quên gửi lời biết ơn chân tình đến gia đình, bạn bè tôi, các anh chị cùng lớp cao học giải tích khóa 16, các anh chị trong nhóm Semina, những người luôn ở bên tôi những lúc khó khăn, giúp đỡ tôi trong quá trình tôi học và hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008. Võ Thị Bích Khuê. MỞ ĐẦU Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong nhiều bài toán về phương trình sóng phi tuyến là đề tài được quan tâm bởi nhiều tác giả, chẳng như trong [1 –17] và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán về một phương trình sóng phi tuyến trong miền hình vành khăn với điều kiện biên hỗn hợp sau (0.1)   21 1( , ), 1 , 0 ,       ptt rr rrv v v v v f r t r R t T (0.2) (1, ) 0,v t (0.3) ( , ) ( ) ( , ), rv R t h t v R t (0.4) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tv r v r v r v r  trong đó 1, 1R p  là các hằng số không âm cho trước; 0 1 1, , ,v v f h là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Ta xét màng phẳng hình vành khăn 2 2 2 2 1 {( , ) : 1 }x y x y R      được giới hạn bởi hai đường tròn, gồm một đường tròn nhỏ 2 2 21 {( , ) : 1}    x y x y và gồm một đường tròn to 2 2 2 2{( , ) : }.    R x y x y R Bài toán (0.1) - (0.4) xuất phát từ bài toán cho phương trình sóng phi tuyến trong màng phẳng hình vành khăn 1 (0.5) 1( ) ( , , ), ( , ) , 0 ,      ttu u F u f x y t x y t T với điều kiện biên (0.6) 10, ( , ) , 0 ,u x y t T    (0.7) ( ) ( , , ), ( , ) , 0 ,     R u h t u x y t x y t T v và điều kiện đầu (0.8) 0 1 1( , ,0) ( , ), ( , ,0) ( , ), ( , ) ,  tu x y u x y u x y u x y x y trong đó v là vectơ pháp tuyến đơn vị trên biên 2 2 2 , 1x y R R   hướng ra ngoài, 0 1( ), ( , , ), ( , ), ( , )h t f x y t u x y u x y là các hàm số cho trước thỏa một số điều kiện nào đó ta sẽ chỉ rõ sau đó. Ký hiệu  để chỉ toán tử Laplace hai chiều xx yyu u u   . - ( , , )u x y t là độ dịch chuyển của màng 1 tại điểm 1( , )x y  ở thời điểm t, với 0 .t T  - ( , , ) ( )f x y t F u là ngoại lực tác động lên màng 1. - Điều kiện biên (0.6) cho biết màng 1 bị giữ chặt trên đường tròn 1 . - Điều kiện biên (0.7) trên đường tròn R mô tả sự ràng buộc đàn hồi. Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát bài toán với các số hạng ( , , ),f x y t 0 ( , ),u x y 1( , )u x y chỉ phụ thuộc vào 2 2 .r x y  (0.9) 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 1 1 ( ) , khi 2, ( , , ) ( , ), ( , ) ( ), ( , ) ( ). pF u u u p f x y t f x y t u x y v x y u x y v x y          Bằng cách đổi ẩn hàm 2 2( , , ) ( , ) ( , )u x y t v r t v x y t   với chú ý (0.10) 1( , ) ( , ),  xx yy rr rru u v r t v r t (0.11) ( , )r u v R t v   trên 2 2 .  r x y R Khi đó, bài toán (0.5) -(0.8) được chuyển về bài toán (0.1)-(0.4) đã nêu ban đầu với ẩn hàm cần tìm là ( , ).v v r t Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán (0.1) – (0.4), thuật giải xấp xỉ tuyến tính và sự hội tụ của thuật giải về nghiệm yếu của bài toán (0.1) –(0.4). Toàn bộ luận văn sẽ được chia thành các chương sau đây. Chương 1. Trình bày các ký hiệu, công cụ, không gian hàm, tính chất các phép nhúng có liên quan. Chương 2. Khảo sát sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (0.1) –(0.4). Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin, có sử dụng định lý Schauder, đánh giá tiên nghiệm kết hợp với sự hội tụ yếu. Chương 3. Với việc tăng cường giả thiết về điều kiện đầu 0 1, ,v v cùng với các điều kiện phụ, chương nầy đã cho một khảo sát về tính trơn của nghiệm yếu của bài toán (0.1) –(0.4), tương ứng với trường hợp ( ) .h t h Chương 4. Khảo sát một thuật giải xấp xỉ tuyến tính và sự hội tụ của thuật giải về nghiệm yếu của bài toán (0.1) –(0.4), tương ứng với trường hợp đặc biệt ( ) .h t h Chương 5. Cho một khảo sát về ảnh hưởng của số hạng nhiễu phi tuyến lên nghiệm của bài toán và chỉ ra một khai triển tiệm cận nghiệm theo một tham số bé đến cấp hai. Sau cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1. Các không gian hàm. Ta đặt các ký hiệu (1, ), (0, ), 0.    TR Q T T Ta cũng dùng các ký hiệu ( ), ( ) ( ),  tv t v t v t ( ) ( ),  ttv t v t ( ),rv t ( )rrv t để lần lượt chỉ 2 2( , ), ( , ), ( , ), v vv r t r t r t t t     ( , ),   v r t r 2 2 ( , ).   v r t r Ta cũng bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: ( ),mC ( ),pL ( ),mH  , ( ).m pW Có thể xem trong [17, 18]. Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau: ( ) , p pL L ,2( ) ( ) ,   m m mH W H , ,( ) .m p m pW W  Ta định nghĩa 2 2 ( ) L L là không gian Hilbert với tích vô hướng: (1.1.1) 1 ( , ) ( ) ( ) R v w v r w r dr  Ký hiệu  để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.1), nghĩa là: (1.1.2) 2 2 2 ( ) 1 ( , ) ( ) R L v v v v r dr v        và định nghĩa (1.1.3)  1 2 2:  rH v L v L là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.1.4) 1 1( , ) ( , ) ( , ), , .  r rHv w v w v w v w H Ký hiệu 1 H để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.4), nghĩa là (1.1.5)   121 1 2 2 1( , ) , .   rH Hv v v v v v H Ta đặt (1.1.6)  10 : (1) 0 .  V v H v Khi đó 0V là không gian con đóng của 1,V H do đó 0V cũng là không gian Hilbert đối với cùng một tích vô hướng của 1.H Ngoài ra trên 2 ( )L  ta có thể sử dụng một tích vô hướng có trọng như sau: (1.1.7) 1 , ( ) ( ) . Rv w rv r w r dr Ký hiệu 0  để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.7) (1.1.8) 1 2 2 0 1 , ( ) .       R v v v rv r dr Khi đó chuẩn sinh bởi tích vô hướng của 1( )H  được ký hiệu như sau: (1.1.9)     12122 2 2 21 0 0 1 ( ) ( ) . R r rv v v r v r v r dr        Ta có các bổ đề Bổ đề 1.1.1. Phép nhúng 1H ↪ 0 ( )C là compact và (1.1.10) 0 1 1( ) 2 , .C Hv v v H    Chứng minh bổ đề 1.1.1 có thể tìm thấy trong [17, 18].  Bổ đề 1.1.2. Đồng nhất 2L với 2 2( ) 'L L (đối ngẫu của 2L ). Khi đó ta có (1.1.11) 1H ↪ 2 2( ) 'L L ↪ 1( )H với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.  Chú thích 1.1.1. Từ bổ đề 1.1.2, ta dùng ký hiệu tích vô hướng ,  trong 2L để chỉ cặp tích đối ngẫu  1 1,,   H H giữa 1H và 1( ) .H Chuẩn trong 2L được ký hiệu bởi . Ta cũng ký hiệu X  để chỉ chuẩn trong không gian Banach X và gọi X  là không gian đối ngẫu của X. Bổ đề 1.1.3. Trong 2 ,L các chuẩn 0 ,v v v v  là tương đương. Cũng tương tự cho các chuẩn 1 1,Hv v v v  là tương đương trong 1.H Hơn nữa, ta còn có các bất đẳng thức (i) 2 0 , ,   v v R v v L (ii) 1 1 11 , .   H Hv v R v v H Chứng minh bổ đề 1.1.3 không khó khăn.  Bổ đề 1.1.4. Phép nhúng 0V ↪ 0 ( )C là compact. Hơn nữa ta còn có (1.1.12) 0 0( ) 1 , ,    rCv R v v V (1.1.13) 0 1 ( 1) , , 2    rv R v v V (1.1.14) 00 1 ( 1) , , 2 rv R R v v V£ - " Î (1.1.15) 1 2 0 ( 1)1 , , 2r rH Rv v v v V-£ £ + " Î (1.1.16) 2 00 1 0 11 ( 1) , , 2r r v v R R v v V£ £ + - " Î (1.1.17) 2 22 1( ) , , 0,rv R v C v v Hee e£ + " Î " > với 1 1 .1C Re e= + - Chứng minh. Phép nhúng 0V ↪ 0 ( )C là compact, có được là do phép nhúng 1H ↪ 0 ( )C là compact và 0V đóng trong 1.H Chứng minh (1.1.12). Cho 1( ), (1) 0, 1 ,v C v r R     ta có (1.1.18) 1 ( ) ( ) . r rv r v x dx Do đó (1.1.19) 1 1 2 2 1 2 22 1 1 1 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 .                        r r r r r R r r v r v x dx dx v x dx r v x dx R v Vậy (1.1.12) được chứng minh. Chứng minh (1.1.13). Từ (1.1.14), ta có (1.1.20) 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) .              r r r rv r v x dx r v x dx Tích phân theo biến r và sau đó đổi thứ tự lấy tích phân, ta được (1.1.21) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) R R r R r r r R R r x v r dr dr v x dx r dr v x dx v x dx r dr                       2 2 21 12 2 1 ( ) ( 1) ( 1) R rv x dx R x    2212 1 ( 1) ( ) .  R rR v x dx Suy ra 1 2 2 1 1( ) ( 1) . 2       R rv v r dr R v Vậy (1.1.13) được chứng minh. Chứng minh (1.1.14). 0 1 ( 1) . 2 rv R v R R v£ £ - Vậy (1.1.14) được chứng minh. Chứng minh (1.1.15). 1 2 2 2 22 2( 1) ( 1)1 . 2 2 r rH r r r v v v v R Rv v v £ £ + - -£ + = + Vậy (1.1.15) được chứng minh. Chứng minh (1.1.16). ( )1/22 20 1 0 0 1/2 2 22 0 2 0 1 ( 1) 2 11 ( 1) . 2 r r r r r v v v v R R v v R R v £ = + æ ö÷ç ÷£ - +ç ÷ç ÷çè ø £ + - Vậy (1.1.16) được chứng minh. Chứng minh (1.1.17). 2 2 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) , [1, ], .     R r r v R v r v s v s ds r R v H Tích phân hai vế theo r 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( 1) ( ) ( ) 2( 1)                  R R R r r R R r r R r r R v R v r dr dr v s v s ds v dr v s v s ds v s v s v s ds v R v v Do đó 22 1( ) 2 1 r v R v v v R   2 22 1 1 1 r v v v R    22 1 1 , 1 r v v R        với 1 1 . 1 C Re e = + - Vậy (1.1.17) được chứng minh. Vậy bổ đề 1.1.4 được chứng minh xong.  Chú thích 1.1.2. Từ (1.1.13) ta cũng suy ra được rằng trong 0V , các chuẩn ,rv v 1 ,Hv v 1v v là tương đương. 1.2. Không gian hàm (0, ; ), 1 .pL T X p   Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là . X Ta ký hiệu (0, ; ), 1pL T X p   là không gian các lớp tương đương chứa hàm : (0, )u T X đo được sao cho 0 ( ) , 1 . T p X u t dt p     hay 0 : ( ) , . . (0, ), X M u t M a e t T    với .p   Ta trang bị cho (0, ; ), 1pL T X p   chuẩn như sau 1 (0, ; ) 0 ( ) , 1 p p T p L T X X u u t dt p        và   (0, ; ) sup ( ) inf 0 : ( ) , . . (0, ) , . pL T X X X u ess u t M u t M a e t T p        Khi đó ta có các bổ đề dưới đây mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy trong Lions [19]. Bổ đề 1.2.1. (Lions [19]) (0, ; ), 1pL T X p   là không gian Banach.  Bổ đề 1.2.2. (Lions [19]) Gọi X  là đối ngẫu của .X Khi đó, với , 1    pp p 1  p thì (0, ; )pL T X  là đối ngẫu của (0, ; ).pL T X Hơn nữa, nếu X là không gian phản xạ thì (0, ; )pL T X cũng phản xạ.  Bổ đề 1.2.3. (Lions [19])  1(0, ; ) (0, ; ).L T X L T X  Hơn nữa, các không gian 1(0, ; ), (0, ; )L T X L T X không phản xạ.  Chú thích 1.2.1. Nếu ( )pX L  thì (0, ; ) ( (0, )).p pL T X L T  1.3. Phân bố có giá trị vectơ trong không gian Banach. Định nghĩa 1.3.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ  (0, )D T vào X được gọi là một phân bố (hàm suy rộng) có giá trị trong X. Tập hợp các phân bố có giá trị trong X ký hiệu là    (0, ; ) (0, ); : (0, ) :D T X L D T X f D T X f   tuyến tính, liên tục}. Chú thích 1.3.1. Ta ký hiệu (0, )D T thay cho  (0, )D T hoặc  (0, )cC T để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn lần và có giá compact trong (0, ).T Định nghĩa 1.3.2. Cho (0, ; ).f D T X Ta định nghĩa đạo hàm df dt theo nghĩa phân bố của f bởi công thức , , , (0, ).df d f D T dt dt      Tính chất (i) Ta làm tương ứng với mỗi (0, ; )pv L T X bởi một ánh xạ : (0, )vT D T X như sau 0 , ( ) ( ) , (0, ). T vT v t t dt D T     Ta có thể nghiệm lại rằng (0, ).vT D T Thật vậy - Ánh xạ : (0, )vT D T X là tuyến tính. - Ta chứng minh : (0, )vT D T X liên tục. Giả sử   (0, ),i D T  sao cho 0i  trong (0, )D T ta có 1 1 0 0 0 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, .                    p p T T v j j j XX X T T pp jX T v t t dt v t t dt v t dt t dt j     Do đó , 0v j XT  trong X khi .j  Vậy (0, ; ).vT D T X (ii) Ánh xạ vv T là một đơn ánh, tuyến tính từ (0, ; )pL T X vào (0, ; ).D T X Do đó, ta có thể đồng nhất .vT v Khi đó ta có kết quả sau Bổ đề 1.3.1. (Lions [19]) (0, ; ) (0, ; )pL T X D T X với phép nhúng liên tục. Bổ đề 1.3.2. (Lions [19]) Nếu , (0, ; ), 1   pf f L T X p thì f bằng hầu hết với một hàm thuộc 0 ([0, ]; ).C T X Chứng minh của bổ đề 1.3.2 có thể tìm thấy trong Lions [19].  1.4. Bổ đề về tính compact của Lions. Cho ba không gian 0 1, ,X X X với 0 1X X X  với các phép nhúng liên tục sao cho (1.4.1) 0 1,X X là phản xạ, (1.4.2) Phép nhúng 0X ↪ X là compact. Với 0 , 1 , 0,1.iT p i       Ta đặt  0 10 1(0, ) (0, ; ) : (0, ; )p pW T v L T X v L T X   Ta trang bị cho (0, )W T chuẩn như sau 0 1 0 1(0, ) (0, ; ) (0, ; ) . p pW T L T X L T Xv v v Khi đó (0, )W T là không gian Banach. Hiển nhiên (0, )W T ↪ 0 (0, ; ).pL T X Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact. Bổ đề 1.4.1. (Bổ đề về tính compact của Lions [19]). Với giả thiết (1.4.1), (1.4.2) và nếu 1 , 0,1ip i    thì phép nhúng (0, )W T ↪ 0 (0, ; )pL T X là compact. Chứng minh bổ đề 1.4.1 có thể tìm thấy trong Lions [19].  Bổ đề dưới đây cho kết quả về sự hội tụ yếu trong ( )qL Q và chứng minh nó có thể tìm thấy trong Lions [19]. Bổ đề 1.4.2. Cho Q là tập mở bị chặn của N và ( ), 1 ,   qmG L Q q sao cho ( ) ,qm L QG C trong đó C là hằng số độc lập với m và mG G . .( , )a e x t trong Q. Khi đó ( )qmG G trong L Q yếu.  Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán sau: (2.1)   21 1( , ) ( , ) ( , ), 1 , 0 ,ptt rr rrv v r t v r t v v f r t r R t T        (2.2) (1, ) 0,v t (2.3) ( , ) ( ) ( , ), rv R t h t v R t (2.4) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tv r v r v r v r  trong đó 1, 1R p  là các hằng số không âm cho trước; 0 1 1, , ,v v f h là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Nghiệm yếu của bài toán (2.1)–(2.4) được thành lập từ bài toán biến phân sau: Tìm 0(0, ; ),v L T V  với 2(0, ; )tv L T L sao cho v thỏa bài toán biến phân sau: (2.5) 2 1 1 0 ( ), ( ( ), ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ), , . . (0, ), , R p t d v t w a v t w Rh t v R t w R r v r t v r t w r dr dt f t w a e t T w V         với điều kiện đầu (2.6) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ), tv r v r v r v r trong đó, ta ký hiệu (2.7) 1 1 , ( , ) ( ) , ( , ) , ( , ) ( ) .   R Rr r r rv w rv r t w r dr a v w v w rv r t w r dr Trước hết ta thành lập các giả thiết sau: (A1) 20 0 1, , v V v L (A2) 21 ( ), (0, ),T Tf L Q Q T  (A3) 1,1W (0, ), ( ) 0.h T h t  Khi đó ta có các định lý sau. Định lý 2.1. Cho 0T  và giả sử rằng các giả thiết (A1) – (A3) đúng. Khi đó, nếu 1p  thì bài toán (2.1) – (2.4) có một nghiệm yếu v sao cho: (2.8) 20(0, ; ), (0, ; ).tv L T V v L T L    Hơn nữa, nếu 2p  thì nghiệm là duy nhất. Chứng minh. Chứng minh gồm nhiều bước. Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu trong các không gian thích hợp nhờ một số phép nhúng compact. Trong phần này định lý Schauder được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin. Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. (được giới thiệu bởi Lions [19]). Xét một cơ sở đếm được { }jw của 0V . Ta tìm nghiệm xấp xỉ trong theo dạng (2.9) 1 ( ) ( ) ,   mm mj j j v t c t w trong đó các hàm hệ số mjc thỏa hệ phương trình vi phân thường sau đây (2.10)   2 1 1 ( ), ( ), ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ), , 1 , m i m i m i R p m m i i v t w a v t w Rh t v R t w R r v r t v r t w r dr f t w i m        (2.11) 0 1(0) , (0) ,m m m mv v v v  trong đó (2.12) 0 0 1 m m mj j j v w v    mạnh trong 0 ,V (2.13) 1 1 1 m m mj j j v w v    mạnh trong 2.L Ta chứng minh hệ (2.10)–(2.11) có nghiệm duy nhất ( )mu t trên khoảng 0 .mt T T   Ta xét { }jw là một cơ sở đếm được trực chuẩn của 0V . Hệ (2.10), (2.11) được viết lại như sau (2.14) 1 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m j i mj mj j i mj j j j w w c t c t Rh t w R w R c t           1 1 ( , ) ( ) ( ), (1 ), R m i irF v r t w r dr f t w i m    (2.15) (0) , (0) , 1 ,   mi mi mi mic c i m  (2.16)   2( , ) ( , ) ( , ).pm m mF v r t v r t v r t Ta bỏ qua chỉ số m trong các cách viết và ta viết 1 ( ) ( ) ( ) ,   m j j j v t c t w t ( ),ic t ,i i lần lượt thay cho 1 ( ) ( ) , ( ), , .   mm mj j mi mi mi j v t c t w c t   Từ (2.14) – (2.16) ta suy ra (2.17)    ( ) ( ) ( ) , ( ) , (0) , (0) ,       Ac t I Rh t B c t G t c t c c  trong đó I là ma trận đơn vị cấp m, (2.18) ( ), , , ( ), ( ) ( ),   ij ij i j ij ij i jA a a w w B b b w R w R (2.19)  1( ) ( ),..., ( ) , Tmc t c t c t (2.20)            1 1 1 , ( ) , ( ) ,..., , ( ) , , ( ) ( , ) ( ) ( ), , 1 .       T m R i i i G t c t G t c t G t c t G t c t rF v r t w r dr f t w i m Ma trận ( ) ijA a khả đảo, ta nhân 2 vế của (2.17) với 1A thì được (2.21)    1 1( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 , (0) , (0) .          c t A I Rh t B c t A G t c t t T c c  Tích phân (2.21) ta được (2.22)    1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( ) , t s t s c t ds A I Rh B c d t ds A G c d                0 . t T Chú ý rằng (2.23) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) .   t s tds H d t H d     Khi đó, ta viết lại (2.22) như sau (2.24)     1 0 1 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 .              t t c t t t A G c d t A I Rh B c d t T           Bổ đề 2.1. Tồn tại  0,mT T sao cho hệ (2.24) có nghiệm ( )c t trên khoảng 0 mt T  . Chứng minh Bổ đề 2.1. Ta viết lại hệ (2.24) thành phương trình điểm bất động. (2.25) ( ) ( )( ), 0 .mc t Uc t t T   trong đó (2.26)     1 0 1 0 ( )( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,            t t Uc t t t A G c d t A I Rh B c d           với      1 1 , ( ) ( , ) ( ) ( ), ( ) ( ), R i i i i iG t c t rF v r t w r dr f t w H c t t        2 1 2 1 11 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , R p i i pR m m j j j j i j j H c t r v r t v r t w r dr r c t w r c t w r w r dr          1( ) ( ), .i it f t w  Biểu thức   ( )Uc t được viết lại thành (2.27)  ( ) ( ) ( ) ( ),  Uc t q t Lc t Nc t với               1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 ( ) ( ),..., ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , (2.28) ( ) ( ),..., ( ) , ( ) ( ), , ( ) ( ( )),..., ( ( )) , ( ( )) ( , ) t T m t t T m i i T m i i c t c t c t q t t t A d Lc t t A I Rh B c d Nc t t A H c d t t t t f t w H c t H c t H c t H c t rF v r t w                                        2 1 1 2 1 11 ( ) ( , ) ( , ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 . R R p i pR m m j j j j i j j r dr r v r t v r t w r dr r c t w r c t w r w r dr i m              Xét  [0, ]; mmX C T là không gian Banach các hàm liên tục :[0, ]mc T  m đối với chuẩn (2.29) 1 1 0 1 sup ( ) , ( ) ( ) , .       m m jX t T j c c t c t c t c X Ký hiệu  :M XB c X c M   là quả cầu đóng tâm O, bán kính M. Sử dụng định lý điểm bất động Schauder, ta chứng minh tồn tại các hằng số  0, 0,mM T T  sao cho : M MU B B có một điểm bất động. Điểm bất động này cũng chính là nghiệm của hệ (2.10) –(2.11). (i) Ta chứng minh U là ánh xạ từ MB vào chính nó : M MU B B . Do      ( ) ( ) ( ) ( )ii i iUc t q t Lc t Nc t   xác định theo (2.28) nên   ( )iUc t liên tục theo biến , 1, .t i m  Tức là .Uc X Mặt khác ta có (2.30)          ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i ii i i i iUc t q t Lc t Nc t q t Lc t Nc t        1 0 ( ) ( ) ( )   ti i i iq t t t A d      Đặt   1 1 , 0, ( ), max , 1, , 0, , max ( ), max .             ij iji j m ij ijt T A a a a i j i j h h t b b  Ta có 10 1 10 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )                   T m i i i ij j j T m i i j j T m i i j j q t T T a d T a T f w d T a T f w d                 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) .             Tm i i j j T i i T a w T f d T am T f d           Do đó (2.31) 2 11 1 1 0 ( ) ( ) ( ) .   Tq t T am T f d         1 0 ( ) ( ) ( ) ( )       t i i Lc t t A I Rh B c d      10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    t m ij ij i j j t a Rh w R w R c d     10 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )        mT m m i j j T a Rh w R w R c d    10 2 1 ( ) 1 1 1 2                mT m m ij X j m m ij X j T a Rh b c d T a Rh b c    21 1 . 2 m T a Rhmb M  Do đó (2.32)    2 1 1( ) 1 2 m Lc t mT a Rhmb M         1 0 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         t i i t m ij j j Nc t t A Hc d t a H c d       10 ( ) ( ( ))    m T m m j j T a H c d   với (2.33) 2 1 1 1 ( ( )) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) .   R Rp pj j jH c r v r t v r t w r dr R v r t w r dr Theo (2.9) ta có 0 0 0( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( , ) ( ) .         m m mj j j jXC C C j j j v r t c t w c w M w Suy ra 0 0 0 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 11 1 ( ( )) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) R p j j pR R m p j j jC C C j H c r v r v r w r dr R v r w dr R M w w dr                     0 0 1 ( ) ( ) 11 . pR m j jC C j R M w w dr         Suy ra 0 1 ( ) 1 1 ( ( )) ( 1) .          p m m p j j C j j H c R R M w (2.34)   ( )iNc t 10 ( ) ( ( ))    m T m m j j T a H c d   0 0 1 ( ) 10 2 1 ( ) 1 ( ) ( 1) 1 ( 1) . 2                    m pT m p m j C j p m p m j C j T aR R M w d T aR R M w   (2.35)   1 ( ) Nc t 02 1 ( ) 1 1 ( 1) . 2        p m p m j C j mT aR R M w Từ (2.30) –(2.32), (2.35) ta suy ra 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m i i Uc t Uc t q t Lc t Nc t      2 11 1 0 ( ) ( )   TT am T f d       02 1 ( ) 1 1 1 ( 1) . 2                p m p m j C j mT a Rhmb M R R M w Chọn 0M sao cho 2 11 1 0 1( ) ( ) . 2    TT am T f d M     Sau khi chọn ,M tiếp tục chọn mT sao cho   02 1 ( ) 1 1 11 ( 1) . 2 2               p m p m j C j mT a Rhmb M R R M w M Cuối cùng ta được  1( ) , 0, .   mUc t M t T Do đó 1 0 sup ( ) hay . m MX t T Uc Uc t M Uc B      Như vậy (i) được chứng minh. (ii) Chứng minh U liên tục trên .MB Cho dãy  ( ) ,k Mc B ( ) 0. k Xc c Ta chứng minh ( ) 0. k XUc Uc Trước hết ta viết. (2.36) ( ) ( ) ( )( ) .k k kUc Uc L c c Nc Nc     Ta chứng minh ( )( ) 0.k X L c c  (2.37)    ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] t k k i i L c c t t A I Rh B c c d            2 ( ) 1 1 1 . 2 m k m ij X j T a Rh b c c        Vậy (2.38)  ( ) 2 ( ) 1 1 1 0. 2 m k k m ij XX j L c c mT a Rh b c c          Ta chứng minh ( ) 0. k X Nc Nc Ta có (2.39)      ( ) 1 ( ) 0 ( ) 10 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ( )) ( ( )) . m t k k ii i T m k m j j j Nc t Nc t t A Hc Hc d T a H c H c d                    Xét (2.40)    ( ) ( ) ( )ki iH c H c  2 2( ) ( ) 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )       R p pk k irw r v r v r v r v r dr     0 2 2( ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . R p pk k i C R w v r v r v r v r dr      Sử dụng các bất đẳng thức sau Bổ đề 2.2. Ta có các bất đẳng thức sau. (2.41) 2 2 22 : ( 1) ,      p p pp x x y y p M x y 0, , [ , ],    M x y M M (2.42) 1 2 : p 2 2 1 , , .      p p px x y y x y x y Chứng minh bổ đề 2.2. Phép chứng minh sơ cấp và không khó khăn.  Mặt khác (2.43) 1 ( , ) ( ) ( ),  m j j j v r t c t w r ( ) ( ) 1 ( , ) ( ) ( ),  mk kj j j v r t c t w r (2.44) ( ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( ( ) ( )) ( ), m k k j j j j v r t v r t c t c t w r     (2.45) 0 ( ) 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) m m j j j j C j j v r t c t w r c t w      0 0 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) ,           m m j j C j j m jX XC j c t w c w W c WM trong đó  0 1 .  m i C i W w Tương tự (2.46) ( ) ( )( , ) . k k X v r t W c WM (2.47) ( ) ( )( , ) ( , ) .  k k X v r t v r t W c c Suy ra với 2p  thì (2.48) 2 2( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) ( , ) ( 1) .            p pk k p k p k X v r t v r t v r t v r t p R v r t v r t p R W c c Còn với 1 2 p thì (2.49) 2 2( ) ( ) 1 1( ) 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . p pk k p pk p k X v r t v r t v r t v r t v r t v r t W c c          Gộp cả hai trường hợp trên thì với 1p ta có (2.50) 2 2( ) ( ) 12 ( ) 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) . p pk k pp k p k X X v r t v r t v r t v r t p R W c c W c c           Từ (2.40) và (2.50), ta suy ra (2.51)    ( ) ( ) ( )ki iH c H c   0 2 2( ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )     R p pk k i C R w v r v r v r v r dr     0 12 ( ) 1 ( )( 1) ( 1) pp k p k i C X X R R w p R W c c W c c             . Do đó (2.52)    ( ) 1 ( ) ( )  m ki i i H c H c   0 12 ( ) 1 ( ) 1 12 ( ) 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) . m pp k p k i C X X i pp k p k X X R R w p R W c c W c c R R W p R W c c W c c                         Từ (2.39) và (2.52), ta suy ra (2.53)      ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] t k k ii i Nc t Nc t t A Hc Hc d       ( ) 10 12 ( ) ( ) 0 12 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 12 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( 1) ( ) ( 1) 1( 1) ( 1) 2 1 ( 1) ( 1) 2 1 ( 1) . 2 m m T m k m j j j T pp k k m X X pp k k m X X p k m X pk m X T a H c H c d R R W T ad p R W c c c c R R W aT p R W c c c c R R WaT p R W c c R R WaT c c                                           Do đó (2.54) ( ) 2 2 2 ( ) 12 ( ) 1 ( 1) ( 1) 2 1 ( 1) 0. 2 k p k mX X pk m X Nc Nc mR R W aT p R c c mR R WaT c c            Nghĩa là U liên tục trên .MB (iii) Chứng minh ( )MU B là tập tương đối compact của .X Cho  , , ' 0, , '.  M mc B t t T t t Từ (2.27), (2.28) ta có (2.55)     (1) (2) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .              Uc t Uc t q t q t Lc t Lc t Nc t Nc t L L L Đánh giá (1) ( ) ( ). L q t q t (2.56) (1) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )            t t t L t t t A d t t A d        (2.57)  (1) 1 11 11 2 2 .m mX XL t t A T t t A T t t             Vậy (2.58)  11 1( ) ( ) 2 .    mXq t q t A T t t  Đánh giá (2) ( ) ( ). L Lc t Lc t (2.59)     (2) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                t t t L Lc t Lc t t A I Rh B c d t t A I Rh B c d        (2.60)  (2) 111 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t L Lc t Lc t t A I Rh B c d            1 0 ( ) ( ) ( ) t t t A I Rh B c d            1 11 1 11 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t A I Rh B c d t t A I Rh B c d                    1 1 (0, )1 1 1 (0, )1 0 ( ) 1 1 t L T t t L T M t A R B h d M t t A R B h d                      1 1 (0, )1 2 1 .m L TMT A R B h t t        Vậy (2.61) 1 1 1 (0, )1 ( ) ( ) 2 1 .       m L TLc t Lc t MT A R B h t t Đánh giá (3) ( ) ( ). L Nc t Nc t (2.62)    (3) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . t t t L Nc t Nc t t A H c d t t A H c d                  Do đó (2.63)     (3) 11 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             t t t L Nc t Nc t t A H c d t t A H c d     . (2.64)      0 0 1 1 1 1 2 1._.