Về iđêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 Lời Cảm Ơn Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo TS. Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS.TS Bùi Xuân Hải và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và lý thuyết số khóa 19 của Trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh. Tôi cũng rất biết ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường THPT Hòa Hội, Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu nơi tôi công tác và tất cả các bạn cùng khóa đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt. Phạm Đăng Minh i Mở Đầu Cho R là vành Noether, I là iđêan của R, M là R−môđun. Một vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i, H iI(M) của M là hữu hạn. Nếu R là vành địa phương chính quy chứa trong một trường thì H iI(R) là hữu hạn với i ≥ 0. Điều này đã được chứng minh bởi các nhà toán học Huneke và Sharp (với i > 0) sau đó Lyubeznik chứng minh với i = 0. Cho đến ngày nay vấn đề này vẫn còn nhiều điều chưa được biết, chẳn hạng như tập các iđêan nguyên tố liên kết của H iI(R) có là hữu hạn sinh với bất kỳ vành Noether tùy ý và với bất kỳ iđêan của nó hay không. Trong trường hợp R là vành Noether không địa phương thì Singh đã chỉ ra một ví dụ với một iđêan I nào đó thì H3I (R) không là hữu hạn sinh. Khi đi nghiên cứu các vấn đề trên Hartshorne, Huneke và Koh đã đưa ra định nghĩa tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương. Một R−môđun N được gọi là I − cofinite nếu Supp(M) ⊆ V (I) và ExtiR(R/I,M) là hữu hạn sinh với bất kì i ≥ 0, ở đây V (I) được hiểu là tập các iđêan nguyên tố chứa I. Từ đây cũng thu được một kết quả quan trọng: Nếu R là vành chính quy địa phương đầy đủ M là R−môđun hữu hạn sinh thì ii iii H iI(M) là I − cofinite nếu như dimR/I ≤ 1, gần đây T. Marley, K-I. Kawasiki, K-I. Yoshida, S. Yassemi, Trần Tuấn Nam,... tiếp tục nghiên cứu và cho ra những kết quả đẹp. Nội dung của luận văn gồm hai chương cụ thể như sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái niệm và một số kết quả về vành và môđun, iđêan nguyên tố liên kết và giá, số chiều - độ sâu - chiều cao, môđun đối đồng điều địa phương, đồng điều Koszul. Chương 2: Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương. Đầu tiên chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cofinite, tìm hiểu các tính chất của môđun Cofinite và các điều kiện để một môđun là môđun Cofinite. Môđun Cofinite được Harshorne định nghĩa trong [31] như sau: Định nghĩa 2.1.1 Cho R là vành, I là iđêan của R và M là R−môđun, M được gọi là I−cofinite nếu Supp(M) ⊂ V (I) và ExtiR(R/I,M) là hữu hạn sinh với mọi i. D. Delfino đã thiết lập sự thay đổi vành chính cho tính cofinite ([5],Proposition 2) Mệnh đề 2.1.7 Cho đồng cấu ϕ : A → B, I là iđêan của R. Một B−môđun M là IB−cofinite (tương ứng với iđêan IB) khi và chỉ khi M là A−môđun I−cofinite (tương ứng với iđêan I). Sử dụng định lý trên, D. Delfino tổng quát hóa kết quả trước đó của Harshorne ([5], Theorem 1). Cụ thể: Vành R là Neother địa phương, I là iđêan nguyên tố của R sao cho iv dimR/I = 1 thì H iI(M) là I-cofinite với mọi i và với mọi R-môđun hữu hạn sinh M . Trong mục này chúng tôi đưa ra các tiêu chuẩn để một môđun là môđun cofinite, cũng như các điều kiện tương đương: Mệnh đề 2.1.9 Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M) ⊂ V (I). Nếu 0 :M x và M/xM là I−cofinite thì M là I−cofinite. Mệnh đề 2.1.15 Cho (R,m) là vành địa phương với iđêan tối đại m và I là một iđêan của R với số chiều một hoặc là iđêan chính. Cho A là một R−môđun Artin và M là một R−môđun hữu hạn sinh. Thì ExtiR(A,H j I (M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0. Mệnh đề 2.1.16 Nếu M là môđun I−cofinite thì M có chiều Goldie hữu hạn. Mệnh đề 2.1.12 cho chúng ta các điều kiện tương đương của môđun cofinite. Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm AF -môđun và FA- môđun. Định nghĩa 2.2.1 R-môđun M được gọi là FA môđun nếu tồn tại R-môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là Artin. R-môđun M được gọi là AF môđun nếu tồn tại R-môđun con Artin A của M sao cho M/A là hữu hạn sinh. Từ định nghĩa trên cùng với bổ đề 2.2.2 chúng tôi chứng minh được định lý 2.2.3, qua đó chúng ta đã đưa ra được tính hữu hạn của tập ExtiR(K,H j I (M)) bởi định lý 2.2.5 Định lí 2.2.5 v(i). NếuM vàK là FAmôđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thìExtiR(K,HjI (M)) là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0. (ii). NếuM vàK làAF môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thìExtiR(K,HjI (M)) là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0. Trong phần tiếp theo chúng tôi tìm hiểu về Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương. Các mệnh đề 2.3.4, 2.3.7 cho chúng ta điều kiện để HsI (M) là I- cofinite. Về mối liên hệ giữa môđun FA và tính cofinite chúng tôi phát biểu và chứng minh mệnh đề 2.3.10 như sau Mệnh đề 2.3.10 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R, s là số nguyên dương sao cho H iI(M) là FA với mọi i < s. Khi đó H iI(M) là I-cofinite với mọi i < s và HomR(R/I,H s I (M)) là hữu hạn sinh. Tiếp đó ta có mối liện hệ giữa môđun cofinite và tính hữu hạn của tập HomR(R/I,H s I (M)) được phát biểu trong định lý 2.3.11. Định lí 2.3.11 Cho I là một iđêan của vành Noether R. Cho s là số nguyên không âm. M là R-môđun sao cho ExtiR(R/I,M) là R- môđun hữu hạn với mọi i ≤ s, chẳn hạng M phải là R-môđun hữu hạn. Nếu H iI(M) là I-cofinite với mọi i < s thì HomR(R/I,H s I (M)) là hữu hạn. Tiếp đó chúng ta có mệnh đề 2.3.12 như sau: Giả sử M là R-môđun sao cho Ext1R(R/I,M) và Ext 2 R(R/I,ΓI(M)) là các môđun hữu hạn. Khi đó HomR(R/I,H 1 I (M)) là hữu hạn. Từ đây chúng ta có hệ quả 2.3.14 nêu lên tính hữu hạn của AssR(H s I (M)) Hệ quả 2.3.14 Giả sử M là R-môđun hữu hạn. Gọi s là số nguyên vi không âm sao cho H iI(M) là hữu hạn với mọi i < s. Khi đó AssR(H s I (M)) là tập hữu hạn. Khi xem xét (R,m) là vành Noether địa phương từ định nghĩa 2.3.15, định lý 2.3.16, các hệ quả 2.3.17, 2.3.18 chúng ta có định lý 2.3.19 như sau Định lí 2.3.19 Cho M là R-môđun hữu hạn. Khi đó phát biểu dưới đây đúng q(I,M) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM} Cuối cùng và cũng là nội dung chính của luận văn chúng tôi tiếp tục tìm hiểu các điều kiện để AssR(H s I (M)) là tập hữu hạn. Trong phần này chúng tôi xuất phát từ bổ đề 2.4.1 chỉ ra được rằng tập {x ∈ R|Mx là Rx − môđun hữu hạn sinh} là một iđêan của R, tiếp đó chúng ta có bổ đề 2.4.6 được phát biểu như sau Bổ đề 2.4.6 Cho R là vành địa phương và là ảnh đồng cấu của một vành Cohen−Macaulay, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Đặt n = dimM và r = dimM/IM . Giả sử rằng (i). M là đẳng chiều và (ii). M thỏa điều kiện Serre′s Sl với l ≤ n− r − 1. Thì H iI(M) là hữu hạn sinh với i < l + 1. Từ các mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 và nhận xét 2.4.3 chúng ta có định lý sau 2.4.12 được phát biểu như sau Định lí 2.4.12 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh có số chiều là n. Đặt D := D(I,M) và vii giả sử rằng một trong các điều kiện dưới đây đúng: (i). dimM ≤ 3; (ii). dimR = 4 và R là miền nguyên chính; (iii). R là vành thương của vành Cohen−Macaulay, dimM/IM ≤ 2 và hoặc là dimM ≤ 4 hoặc thỏa mãn điều kiện Serre′s Sn−3; (iv). R là vành địa phương không rẽ nhánh, dimR/I ≤ 3 và M thỏa Sd−3 ở đây d = dimR = dimM . thì dimR/D ≤ 1. Từ định lý trên khi đi xem xét (R,m) là vành địa phương chúng ta có định lý 2.4.15 được phát biểu như sau Định lí 2.4.15 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh n chiều. Giả sử rằng một trong các điều kiện dưới đây được thỏa mãn: (i). dimM ≤ 3; (ii). dimR = 4 và m− adic đầy đủ của R là một UFD; (iii). R là vành thương của vành Cohen −Macaulay, dimR/I ≤ 2 và hoặc dimM ≤ 4 hoặc M thỏa mãn điều kiện Sn−3; (iv). R là vành chính quy địa phương không rẽ nhánh, dimR/I ≤ 3 và M thỏa điều kiện Sd−3 trong đó d = dimR = dimM . Lúc đó với mọi R−môđun hữu hạn sinh N sao cho SuppRN ⊆ V (I). Tập AssRExt i R(N,H j I (M)) là hữu hạn với mọi i, j. Đặc biệt AssRH i I(M) là tập hữu hạn với mọi i. viii Các kết quả tiếp theo chỉ cho chúng ta thấy tính không hữu hạn sinh của tập HomR(R/I,H d−1 I (R)). Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Tiến sĩ Trần Tuấn Nam, người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Do thời gian và khả năng còn hạn chế, bản thân vừa giảng dạy vừa nghiên cứu nên khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi xin ghi nhận và chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của thầy cô, bạn bè đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh hơn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2011. Phạm Đăng Minh Mục lục Mở Đầu ii 1 Kiến Thức Chuẩn Bị 1 1.1 Các khái niệm về vành và môđun . . . . . . . . . . . 1 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Số chiều - Chiều cao - Độ sâu . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . 12 1.5 Đồng điều Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương 19 2.1 Môđun Cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 FA and AF môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương . 40 2.4 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương . . . . . . . . . . 51 ix xKết Luận 68 Tài Liệu Tham Khảo 69 Chương 1 Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Các khái niệm về vành và môđun Định nghĩa 1.1.1. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại số nguyên m ≥ 1 sao cho am = 0 ∈ R. Bổ đề 1.1.2. Giả sử S là tập con nhân của R và S không chứa 0. Khi đó trong R tồn tại một iđêan tối đại trong tập các iđêan không giao với S, và mọi iđêan như thế đều nguyên tố. Mệnh đề 1.1.3. Phần tử a ∈ R là phần tử lũy linh nếu và chỉ nếu a nằm trong mọi iđêan nguyên tố của vành R. Định nghĩa 1.1.4. Cho R là vành giao hoán và I là một iđêan của R. Radical của I, kí hiệu là √ I hoặc radR(I), tập các phần tử a ∈ R sao cho am ∈ I với m là số nguyên dương nào đó. Radical radR(I) của iđêan I là một iđêan, như vậy chúng ta có thể viết √ I = {a ∈ R|am ∈ I,m ∈ N∗} 1 2Hệ quả 1.1.5. Phần tử a ∈ R nằm trong radR(I) khi và chỉ khi nó nằm trong mọi iđêan nguyên tố chứa I. Định nghĩa 1.1.6. Cho R-môđun M và x ∈ M khi đó linh hóa tử của x trong R được kí hiệu là annR(x) và được xác định annR(x) = {a ∈ R|ax = 0} Định nghĩa 1.1.7. Cho R-môđun M khi đó linh hóa tử của M trong R được kí hiệu là annR(M) và được xác định annR(M) = {a ∈ R|ax = 0,∀x ∈ M} Để ý rằng annR(x) và annR(M) là các iđêan của R. Mệnh đề 1.1.8. Cho R-môđun M và annR(x) là linh hóa tử của phần tử x ∈ M . Khi đó ta có đẳng cấu R/(annR(x)) ∼= Rx Bổ đề 1.1.9. Giả sử x ∈ M và annR(x) là linh hóa tử của nó. p là một iđêan nguyên tố. Khi đó (Rx)p 6= 0 khi và chỉ khi annR(x) ⊆ p. Giả sử a ∈ R và M là R-môđun nào đó, đồng cấu x 7→ ax, x ∈ M gọi là đồng cấu chính liên kết với a và còn được ký hiệu là aM . Định nghĩa 1.1.10. Đồng cấu aM được gọi là lũy linh địa phương nếu với mỗi x ∈ M tồn tại số nguyên n(x) ≥ 1 sao cho an(x)x = 0. Mệnh đề 1.1.11. Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì đồng cấu aM là lũy linh địa phương nếu và chỉ nếu aM là lũy linh. 3Mệnh đề 1.1.12. Giả sử M là R-môđun và a ∈ R. Khi đó aM là lũy linh địa phương nếu và chỉ nếu a nằm trong mọi iđêan nguyên tố p mà Mp 6= 0. Định nghĩa 1.1.13. Giả sử M là một R-môđun. Môđun con Q của M được gọi là nguyên sơ nếu Q 6= M và a ∈ R bất kỳ đồng cấu aM/Q hoặc là đơn cấu hoặc lũy linh. Nhận xét: Cho R là vành và p là một iđêan của R. Khi đó p là nguyên sơ nếu và chỉ nếu a, b ∈ R sao cho ab ∈ p mà a 6∈ p thì bn ∈ p với n ≥ 1, n ∈ Z nào đó. Mệnh đề 1.1.14. Giả sử Q là môđun con nguyên sơ của M và p là iđêan gồm tất cả các a ∈ R sao cho aM/Q lũy linh. Khi đó p là iđêan nguyên tố. Mệnh đề 1.1.15. Giả sử M là R-môđun và Q1, Q2, ..., Qr là các môđun con p-nguyên sơ đối với cùng một iđêan nguyên tố p. Khi đó môđun con Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qr cũng là p-nguyên sơ. Định nghĩa 1.1.16. Sự phân tích N = Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qr trong đó Qi là các môđun con nguyên sơ của M được gọi là sự phân tích tối giản nếu N không thể biểu diễn dưới dạng giao của một họ con thực sự các môđun con nguyên sơ {Q1, Q2, ..., Qr} và Qi là pi-nguyên sơ trong đó pi 6= pj với i 6= j. Định lí 1.1.17. Giả sử N là môđun của M và có hai sự phân tích nguyên sơ tối giản N = Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qr = Q′1 ∩Q′2 ∩ ... ∩Q′s 4Khi đó r = s. Tập các iđêan nguyên tố tương ứng với Q1, Q2, ..., Qr và Q′1, Q ′ 2, ..., Q ′ r là như nhau. Nếu {p1, p2, ..., pm} là tập các iđêan nguyên tố cô lập tương ứng với các sự phân tích đó thì Qi = Q ′ i với mọi i = 1, 2, ...,m; hay nói khác đi, các môđun nguyên sơ thuộc vào các iđêan nguyên tố cô lập được xác định duy nhất. Định lí 1.1.18. Mọi môđun con N của R-môđun Noether M đều có sự phân tích nguyên sơ. 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một R-môđun. Iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan liên kết với M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M mà annR(x) = p. Để ý p 6= R nên x 6= 0. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là Ass(M); Giá của môđun M kí hiệu là Supp(M) = {p ∈ Spec(R)|Mp 6= 0}. Đặt V (I) = {p ∈ Spec(R)|I ⊂ p} Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì Supp(M) = V (ann(M)) Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì Supp(R/I) = V (I) Mệnh đề 1.2.2. Giả sử M là R-môđun khác 0 và p là phần tử tối đại trong tập các iđêan linh hóa các phần tử 0 6= x ∈ M . Khi đó p là một iđêan nguyên tố. 5Hệ quả 1.2.3. Nếu R là vành Noether và M là R-môđun khác 0, thì tồn tại một iđêan nguyên tố liên kết với M . Hệ quả 1.2.4. Nếu R là vành Noether và M là R-môđun Noether khác 0. Khi đó tồn tại chuỗi các môđun con 0 = Mr ⊂ Mr−1 ⊂ ... ⊂ M2 ⊂ M1 = M sao cho mỗi môđun thương Mi/Mi+1 đẳng cấu với R/pi, trong đó pi là một iđêan nguyên tố nào đó của R. Mệnh đề 1.2.5. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun khác 0 (i). Phần tử tối đại của F = {ann(x)|x ∈ M} là iđêan nguyên tố liên kết của M . Hay Ass(M) 6= ∅. (ii). Tập các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M . Mệnh đề 1.2.6. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu hạn sinh, N là một R−môđun bất kì. Khi đó Ass(HomR(M,N)) = Ass(N) ∩ Supp(M) Mệnh đề 1.2.7. Cho R là một vành Noether, M là một R−môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Khi đó Supp(M) ⊂ V (I) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho IkM = 0. Mệnh đề 1.2.8. Cho M,N là các R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó Supp(M ⊗R N) = Supp(M) ∩ Supp(N) 6Hệ quả 1.2.9. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan bất kì của R, khi đó Supp(M/IM) = V (I) ∩ V (ann(M)) = V (I + ann(M)) Mệnh đề 1.2.10. Cho M,N,P là các R−môđun. Nếu ta có dãy khớp 0 −→ M −→ N −→ P −→ 0 thì ta có các kết quả sau: (i). Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪ Ass(P ); (ii). Supp(N) = Supp(M) ∪ Supp(P ) Mệnh đề 1.2.11. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có: (i). Ass(M) là tập hữu hạn. (ii). Ass(M) ⊂ Supp(M). (iii). Phần tử tối tiểu của Ass(M) và Supp(M) giống nhau. Định nghĩa 1.2.12. Cho R là vành giao hoán, S là một tập con nhân của R và M là một R - môđun. Trên tập M ×S ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau: Với mọi (m, s) , (m′, s′) ∈ M × S: (m, s) ∼ (m′, s′) ⇐⇒ ∃t ∈ S : (ms′ −m′s)t = 0 Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S. Kí hiệu tập thương M × S/∼ là S−1M và lớp tương đương của (m, s) 7là m/s. Tập S−1M có cấu trúc môđun trên vành S−1R với phép toán sau: m s + m′ s′ = s′m + sm′ ss′ , r s m′ s′ ′ = rm′ ss′ thì S−1M là S−1R - môđun được gọi là môđun các thương của M đối với S. Đặc biệt, nếu p là một iđêan nguyên tố của R, S = R\p thì môđun S−1M thường được kí hiệu là Mp. Mệnh đề 1.2.13. Cho R là vành giao hoán và M là một R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó: (i). SuppR(M) = {p ∈ spec(R) : (0 : M) ⊆ p} = V (annR(M)). (ii). Với S là tập con nhân của R thì SuppS−1R ( S−1M ) = SuppR(M) ∩ Spec(S−1R) (iii). Với I là iđêan của R, ta có: SuppR(M) ⊂ V (I) ⇐⇒ ∃ k ∈ N ∗ : IkM = 0 (iv). Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì SuppR(R/I) = V (I) (v). Với I là iđêan của R thì SuppR(M/IM) = V (I) ∩ V (ann(M)) = V (I + ann(M)) Mệnh đề 1.2.14. Giả sử rằng R là vành Noether và a ∈ R. M là R-môđun. Khi đó đồng cấu aM là đơn cấu khi và chỉ khi a không nằm trong một iđêan nguyên tố nào liên kết với M . 8Mệnh đề 1.2.15. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun và a ∈ R. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương: (i). aM lũy linh địa phương; (ii). a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố liên kết với M ; (iii). a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố p mà Mp 6= 0. Hệ quả 1.2.16. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương: (i). Tồn tại chỉ một iđêan nguyên tố liên kết với M ; (ii). M 6= 0 và với mọi a ∈ R, đồng cấu aM hoặc là đơn cấu hoặc là lũy linh địa phương. Khi thỏa các điều kiện đó, tập các phần tử a ∈ R sao cho aM lũy linh địa phương trùng với iđêan nguyên tố liên kết với M . Mệnh đề 1.2.17. Giả sử M là R-môđun và N là môđun con của M . Khi đó (i). Mọi iđêan nguyên tố liên kết với N cũng liên kết với M . (ii). Một iđêan nguyên tố bất kỳ liên kết với M cũng liên kết hoặc với N hoặc M/N . Định lí 1.2.18. Giả sử R và M đều là Noether. Môđun con Q của M là nguyên sơ khi và chỉ khi có đúng một iđêan nguyên tố p liên kết với M/Q. Trong trường hợp đó p tương ứng với Q, tức là Q là p-nguyên sơ. 9Định lí 1.2.19. Giả sử R và M đều là Noether. Các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M đúng là các iđêan nguyên tố tương ứng với các môđun nguyên sơ trong sự phân tích nguyên sơ tối giản của 0 trong M . Đặc biệt tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M là hữu hạn. 1.3 Số chiều - Chiều cao - Độ sâu Một dãy các môđun con của môđun M là dãy (Mi)0≤i≤n các môđun con của M thỏa M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0. Chiều dài của dãy là n. Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của M tức là không thể thêm vào một môđun con nào nữa. Điều này tương đương với việc nói rằng các môđun thương Mi/Mi+1 là đơn. Độ dài của chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không thay đổi và được kí hiệu là l(M) và gọi là độ dài của môđun M . Mệnh đề 1.3.1. Cho R là vành Noether, M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương (i). l(M) < ∞ (ii). Mọi iđêan nguyên tố p ∈ Ass(M) đều là iđêan tối đại của R (iii). Mọi iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M) đều là iđêan tối đại của R. Hệ quả 1.3.2. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu hạn sinh, N là R−môđun bất kì. Nếu l(N) < ∞ thì l(HomR(M,N)) < ∞. Do đó nếu N là R−môđun Artin thì HomR(M,N) cũng là R−môđun Artin. 10 Mệnh đề 1.3.3. Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành độ dài n. Khi đó mọi dãy con của M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp thành. Mệnh đề 1.3.4. M là chuỗi hợp thành khi và chỉ khi M vừa là dãy điều kiện tăng vừa là dãy điều kiện giảm. Mệnh đề 1.3.5. Cho dãy khớp ngắn 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0, khi đó ta có l(M ′)− l(M) + l(M ′′) = 0 Định nghĩa 1.3.6. Số chiều của một vành R, kí hiệu dimR là chiều dài lớn nhất n của dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn các iđêan nguyên tố của R. Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài vô hạn thì ta kí hiệu dimR = ∞. Định nghĩa 1.3.7. Cho R là một vành khác 0, p là một iđêan nguyên tố của R. Chiều cao của iđêan nguyên tố p là độ dài lớn nhất của dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p, kí hiệu là htp. Từ định nghĩa trên nếu htp = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R. Cho I là một iđêan của vành R, ta định nghĩa chiều cao của I là chiều cao nhỏ nhất của các iđêan nguyên tố chứa I, htI = inf{htp|p ∈ V (I)} Số chiều của vành R cũng có thể được định nghĩa là sup của chiều cao của tất cả các iđêan nguyên tố của R dimR = sup{htp|p ∈ SpecR} 11 Số chiều này còn được gọi là số chiều Krull của R. Số chiều của R−môđun M , kí hiệu là dimM = dim(R/annM) nếu M 6= 0 và ta kí hiệu dimM = −1 nếu M = 0. Mệnh đề 1.3.8. Cho R là vành Noether và M 6= 0 là một R−môđun hữu hạn sinh thì các điều kiện dưới đây là tương đương: (i). M có độ dài hữu hạn. (ii). Vành R/annM là Artin. (iii). dimM = 0. Mệnh đề 1.3.9. Cho R là vành Noether. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương: (i). R là vành Artin. (ii). Mọi iđêan p ∈ Spec(R) đều là iđêan tối đại của R. (iii). Mọi iđêan p ∈ Ass(R) đều là iđêan tối đại của R. Cho M là một R−môđun, phần tử r ∈ R được gọi là M−chính qui nếu rx 6= 0,∀x 6= 0, x ∈ M. Định nghĩa 1.3.10. Một dãy các phần tử a1, a2, ..., an của R gọi là M−dãy nếu nó thỏa hai điều kiện sau: (i). a1 là M−chính qui, a2 là M/a1M−chính qui,..., an là M/(a1, ..., an−1)M -chính qui. (ii). M/(a1, ..., an)M 6= 0. 12 Định nghĩa 1.3.11. Cho M là một môđun hữu hạn sinh khác 0 trên vành Noether địa phương (R,m), chiều sâu của M trên R là độ dài lớn nhất của M−dãy trong m, kí hiệu là depthRM hay depthM . 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.4.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan khác không của R. Với mỗi R - môđun M , tập ΓI(M) = ⋃ n∈N (0 :M I n) = {x ∈ M : ∃n ∈ N, Inx = 0} gọi là tập các phần tử của M được linh hóa bởi lũy thừa nào đó của I. Khi đó ΓI(M) là một môđun con của M . Cho f : M → N là đồng cấu R-môđun thì ta có f (ΓI(M)) ⊆ ΓI(N). Do đó có ánh xạ cảm sinh ΓI(f) : ΓI(M) → ΓI(N) là ánh xạ thu hẹp của f trên ΓI(M). Hơn nữa, với g : M → N và h : N → L là hai đồng cấu R-môđun và r ∈ R thì ΓI(h ◦ f) = ΓI(h) ◦ ΓI(f), ΓI(f + g) = ΓI(f) + ΓI(g) ΓI(rf) = rΓI(f), ΓI(IdM) = IdΓI(M) Do đó hàm tử ΓI(−) là hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R-môđun vào chính nó. Hàm tử ΓI(−) được gọi là hàm tử I-xoắn. Bổ đề 1.4.2. Nếu 0 → L f−→ M g−→ N → 0 là một dãy khớp của các R- môđun và các R-đồng cấu thì 0 → ΓI(L) ΓI(f)−−−→ ΓI(M) ΓI(g)−−−→ ΓI(N) → 0 cũng là một dãy khớp. 13 Định nghĩa 1.4.3. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R môđun. + M gọi là I−không xoắn khi ΓI(M) = 0. + M gọi là I−xoắn khi ΓI(M) = M . Bổ đề 1.4.4. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R−môđun. (i). Nếu M là R− môđun hữu hạn sinh thì M là I−không xoắn khi và chỉ khi I chứa một phần tử M−chính quy. (ii). M/ΓI(M) là I−không xoắn. Định nghĩa 1.4.5. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R−môđun. Nếu M là môđun nội xạ thì dãy khớp chính tắc sau đây là chẻ: 0 → ΓI(M) → M → M/ΓI(N) → 0 Định nghĩa 1.4.6. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R−môđun. Xét phép giải nội xạ của M : N : 0 −→ M α−→ N 0 d0−→ N 1 −→ ... −→ N i di−→ N i+1 −→ ... Phức thu gọn tương ứng của N là: N ∗ : 0 d −1−−→ N 0 d0−→ N 1 −→ ... −→ N i di−→ N i+1 −→ ... Đưa hàm tử ΓI(−) vào phức này ta được dãy nửa khớp sau: ΓI(N ∗) : 0 ΓI(d−1)−−−−→ ΓI(N 0) ΓI(d0)−−−−→ ... −→ ΓI(N i) ΓI(di)−−−→ ΓI(N i+1) −→ ... 14 gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương tương ứng với I, kí hiệu là H iI. Với mọi số tự nhiên i, môđun đối đồng điều thứ i của phức này H i(ΓI(N ∗)) = Ker ( ΓI ( di ))/ Im ( ΓI ( di−1 )) gọi là môđun đối đồng điều địa phương bậc i của M đối với I, kí hiệu là H iI(−). Ta có ΓI(M) = H 0 I (M). Mặt khác do hàm tử ΓI(−) là hiệp biến nên H iI(−) cũng là hàm tử hiệp biến. Mệnh đề 1.4.7. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I và J là hai iđêan khác không của R sao cho √ I = √ J thì với mọi R−môđun M , H iI(M) = H iJ(M) với mọi i > 0. Mệnh đề 1.4.8. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Nếu 0 → L f−→ M g−→ N → 0 là một dãy khớp của các R−môđun và các R−đồng cấu thì với mỗi i ta luôn có dãy sau đây là khớp: 0 → H0I (L) H0I (f)−−−→ H0I (M) H0I (g)−−−→ H0I (N) → H1I (L) H1I (f)−−−→ ... ... → H iI(L) HiI(f)−−−→ H iI(M) HiI(g)−−−→ H iI(N) → H i+1I (L) Hi+1I (f)−−−−→ ... Mệnh đề 1.4.9. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R−môđun. Nếu M là I−xoắn thì H iI(M) = 0 với mọi i > 0. Mệnh đề 1.4.10. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan khác không của R. Với mỗi R−môđun M , phép chiếu pi : M → M/ΓI(M) cảm sinh đẳng cấu H i I(pi) : H i I(M) → H iI(M/ΓI(M)) với mọi i > 0. 15 Mệnh đề 1.4.11. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan khác không của R. Với mỗi R−môđun M , H iI(ΓI(M)) = 0 với mọi i > 0. Mệnh đề 1.4.12. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan khác không của R. Khi đó: (i). Với mỗi R−môđun M , SuppH iI(M) ⊂ V (I) với mọi i. (ii). Supp(M) ⊂ V (I) ⇐⇒ H0I (M) ∼= M và H iI(M) = 0 với mọi i > 1. Mệnh đề 1.4.13. Cho R là vành Noether giao hoán, M là R−môđun khác không hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM 6= M thì depth(I,M) = min { i : H iI(M) 6= 0 } . Mệnh đề 1.4.14. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, I là iđêan hữu hạn sinh của R và M là R−môđun. Nếu (0 :M I) là Artin và M là môđun I−xoắn thì M là Artin. Mệnh đề 1.4.15. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R−môđun khác không hữu hạn sinh. Khi đó H im(M) là Artin với mọi i > 0. Mệnh đề 1.4.16. Cho R là vành Noether, I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu với mọi i > 0 mà H iI(M) là hữu hạn sinh với mọi j < i thì Ass H iI(M) là tập hữu hạn. Mệnh đề 1.4.17. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó: (i). AssH iI(M) = Ass(HomR(R/I,H i I(M)) 16 (ii). AssHnI (M) = Ass(Ext n R(R/I,M)) với n = depth(M) 1.5 Đồng điều Koszul Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành địa phương giao hoán và x ∈ R. Phức 0 → R x−→ R → 0 gọi là phức Koszul sinh trên R bởi x và được kí hiệu là K(x;R). Nếu x1, x2, ..., xn là các phần tử của R. Ta định nghĩa phức Koszul sinh trên R bởi x1, x2, ..., xn là K(x1;R)⊗K(x2;R)⊗ ...⊗K(xn;R) và được kí hiệu là K(x1, x2, ..., xn;R). Cho M là R−môđun và x1, x2, ..., xn là các phần tử của R. Ta định nghĩa phức Koszul sinh trên R bởi x1, x2, ..., xn theo M là K(x1;R)⊗ K(x2;R)⊗...⊗K(xn;R)⊗M và được kí hiệu là K(x1, x2, ..., xn;M). Đồng điều của phức Koszul K(x1, x2, ..., xn;M) gọi là đồng điều Kozul và được kí hiệu là Hi(x1, x2, ..., xn;M). Mệnh đề 1.5.2. Cho R là vành, x1, x2, ..., xn là dãy trong R và M là R−môđun. Khi đó ta có các kết quả sau: (i). H0(x1, x2, ..., xn;M) ∼= M/ (x1, x2, ..., xn)M . (ii). Hn(x1, x2, ..., xn;R) ∼= (0 :M (x1, x2, ..., xn)). (iii). Nếu I = (x1, x2, ..., xn) là iđêan của R thì IHi(x1, x2, ..., xn;M) = 0 với mọi i > 0. Mệnh đề 1.5.3. Cho R là vành, x1, x2, ..., xn là dãy trong R và 0 → U → M → N → 0 là dãy khớp các R−môđun. Khi đó dãy sau 17 là khớp: ... → Hi(x1, ..., xn;U) → Hi(x1, ..., xn;M) → Hi(x1, ..., xn;N) → → Hi−1(x1, ..., xn;U) → ... Hệ quả 1.5.4. Cho R là vành, x1, x2, ... , xn là dãy trong R và M là R-môđun. Khi đó dãy sau là khớp: ... ±xn−−→ Hi(x1, ..., xn−1;M) → Hi(x;M) → Hi−1(x1, ..., xn−1;M) ±xn−−→ ±xn−−→ Hi−1(x1, ..., xn−1;M) → ... Mệnh đề 1.5.5. Cho R là vành, x = x1, x2, ..., xn là dãy trong R, M là R−môđun. Nếu I = (x) chứa M−dãy chính quy yếu y = y1, y2, ..., ym thì Hn+1−i(x,M) = 0 với mọi i = 0, ...,m và Hn−m(x;M) ∼= HomR(R/I,M/yM) ∼= ExtmR (R/I,M). Mệnh đề 1.5.6. Cho R là vành Noether, x1, x2, ..., xn là dãy trong R, M là R−môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sinh bởi x1, x2, ..., xn. Khi đó: (i). Hi(x,M) = 0,∀i = 0, ..., n ⇔ M = IM . (ii). Nếu tồn tại i sao cho Hi(x,M) 6= 0 thì depth(I,M) = n− Sup {i |(Hi(y1, y2, ..., yn;M)) 6= 0} Mệnh đề 1.5.7. Cho (R,m) là vành Noether địa phương, M là R−môđun khác không hữu hạn sinh và I ⊂ m là iđêan sinh bởi các phần tử x1, x2, ... , xn. Khi đó các điều sau là tương đương: (i). depth(I,M) = n 18 (ii). Hi(x1, ..., xn;M) = 0,∀i > 0 (iii). H1(x1, ..., xn;M) = 0 (iv). x1, x2, ... , xn là M−dãy chính quy. Chương 2 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương 2.1 Môđun Cofinite Định nghĩa 2.1.1. Cho R là vành, I là iđêan của R và M là R−môđun, M được gọi là I−cofinite nếu Supp(M) ⊂ V (I) và ExtiR(R/I,M) là hữu hạn sinh với mọi i. Sau đây, ta nghiên cứu một số tính chất của môđun Cofinite. Mệnh đề 2.1.2. M là R−môđun hữu hạn sinh sao cho SuppR(M) ⊂ V (I). Khi đó M là I−cofinite. Chứng minh: Vì R là Noether nên R/I là R−môđun hữu hạn sinh, theo ([6], §7, Proposition 8) có phép giải tự do: F∗ : ... −−→ Fn δ−−→ ... δ−−→ F0 −−→ R/I −−→ 0 với Fi là hữu hạn sinh. Khi đó, Hom(Fi,M) hữu hạn sinh với mọi 19 20 i. Xét phức: 0 −−−→ Hom(R/I,M) δ∗−−−→ Hom(F0,M) δ ∗−−−→ ...Hom(Fn,M) −−−→ ... Vì ExtiR(R/I,M) ∼= Kerδ∗i /Imδ∗i−1 nên hữu hạn sinh với mọi i. Từ đó M là I−cofinite. Mệnh đề 2.1.3. Cho dãy khớp ngắn các R−môđun: 0 −−→ M ′ χ−−→ M σ−−→ M” −−→ 0 Nếu hai trong số ba môđun của dãy là I−cofinite thì môđun thứ ba cũng là I−cofinite. Chứng minh: Theo mệnh đề [1.2.10(ii)] thì Supp(M) = Supp(M ′)∪ Supp(M”). Từ đó 2 trong số 3 môđun M ′,M,M” có giá chứa trong V (I) thì môđun thứ 3 cũng vậy. Tính hữu hạn của ExtiR(R/I,M) được suy ra từ dãy khớp dài sau: ... −−−→ ExtiR(R/I,M ′) χ∗−−−→ ExtiR(R/I,M) σ∗−−−→ ExtiR(R/I,M”) −−−→ ... Chẳng hạn giả sửM ′,M” là môđun I−cofinite, khi đó ExtiR(R/I,M ′), ExtiR(R/I,M”) là hữu hạn sinh với mọi i. Từ tính khớp của dãy trên ta có: ExtiR(R/I,M) / imχ∗ = ExtiR(R/I,M) / kerσ∗ ∼= imσ∗ ⊂ ExtiR(R/I,M”) ExtiR(R/I,M”) hữu hạn sinh, vì Ext._. i R(R/I,M ′) hữu hạn sinh nên imχ∗ cũng hữu hạn sinh. Từ đó ExtiR(R/I,M) hữu hạn sinh với mọi i. Vậy M là I−cofinite.  Hệ quả 2.1.4. Nếu f : M → N là một đồng cấu giữa các R−môđun I−cofinite và một trong ba môđun Kerf, Imf,Cokerf là I−cofinte thì tất cả ba môđun đó đều là I−cofinite. Chứng minh: Áp dụng mệnh đề trên với các dãy khớp sau: 21 0 → Kerf → M → Imf → 0 0 → Imf → N → Cokerf → 0 Mệnh đề 2.1.5. Cho đồng cấu giữa hai vành Noether f : A → B, I là iđêan của A và IB là iđêan mở rộng của I trong B,M là A−môđun và M ⊗R B là B−môđun mở rộng. Khi đó: (i). Nếu f là A−phẳng, M là I−cofinite thì M ⊗A B là B−môđun IB−cofinite. (ii). Nếu f là A−phẳng trung thành thì M⊗AB là B−môđun IB−cofinite khi và chỉ khi M là A−môđun I−cofinite. Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét SuppA(M) ⊂ V (I) ⇐⇒ SuppB(M ⊗A B) ⊂ V (IB) (i). Nếu f là A−phẳng thì theo [[11], Chapter 2, §3, (3.E)], với mọi i, ta có đẳng cấu ExtiA(A/I,M) ∼= ExtiB(B/I ⊗A B,M ⊗A B) Và I ⊗A B ∼= IB theo [[11], Chapter 2, §3, Theorem 1, (3)]. Suy ra: ExtiB(B/IB,M ⊗A B) ∼= ExtiA(A/I,M)⊗A B Vậy M là I−cofinite thì M ⊗A B là B−môđun IB−cofinite. (ii). Do f là A−phẳng trung thành nên theo [[1], Chapter I, §6, Proposition 11 ], một A−môđun N là hữu hạn sinh khi và chỉ khi N ⊗A B là B−môđun hữu hạn sinh. Áp dụng, do ExtiA(A/I,M)⊗A B ∼= ExtiB(B/IB,M ⊗A B) nên ta có thể suy ra M ⊗A B là B−môđun IB−cofinite khi và chỉ khi M là A−môđun I−cofinite.  22 Bổ đề 2.1.6. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh và N là R−môđun bất kì. Giả sử với một số tự nhiên p nào đó ExtiR(M,N) là hữu hạn sinh với mọi i ≤ p. Khi đó với bất kì R−môđun hữu hạn sinh L thỏa Supp(L) ⊂ Supp(M), ExtiR(L,N) là hữu hạn sinh với mọi i ≤ p. Chứng minh: Theo định lí Gruson’s trong [45], với bất kìR−môđun hữu hạn sinh L thỏa Supp(L) ⊂ Supp(M), tồn tại một cái lọc hữu hạn: 0 = L0 ⊂ L1 ⊂ ... ⊂ Ln = L sao cho Li/Li−1 đẳng cấu với tổng trực tiếp của hữu hạn các bản sao của M . Ta chứng minh bằng qui nạp theo p. Trường hợp p = 0, theo định lí Gruson’s có dãy khớp ngắn 0 → Ln−1 → M t → Ln = L → 0 với t là số nguyên dương nào đó. Suy ra dãy 0 → HomA(L,N) → HomA(M t, N) là khớp. Suy ra: HomA(L,N) ⊂ HomA(M t, N) = (HomA(M,N))t : hữu hạn sinh Giả sử mệnh đề đúng với mọi i ≤ p − 1, ExtiR(M,N) là hữu hạn sinh với mọi i ≤ p và L là R−môđun hữu hạn sinh thỏa Supp(L) ⊂ Supp(M) và có cái lọc có độ dài n. Ta chứng minh ExtpR(L,N) hữu hạn sinh bằng qui nạp theo n. Trường hợp n = 1 là hiển nhiên. Giả sử ExtpR(K,N) là hữu hạn sinh với mọi R−môđun hữu hạn sinh K có Supp(K) ⊂ Supp(M) và K có cái lọc có độ dài n− 1. Theo định lí Gruson’s có dãy khớp ngắn 0 → Ln−1 → M t → L → 0, với số nguyên dương t nào đó. 23 Dãy khớp ngắn này cảm sinh dãy khớp dài: ... → Extp−1R (Ln−1, N) → ExtpR(L,N) → ExtpR(M t, N) → ... Vì Supp(Ln−1) ⊂ Supp(L) ⊂ Supp(M), Ln−1 có cái lọc có độ dài n−1 nên Extp−1R (Ln−1, N) hữu hạn sinh theo giả thiết qui nạp. Mặt khác, theo [[13], §7, Theorem 7.13] ExtpR(M t, N) ∼= (ExtpR(M,N))t nên ExtpR(M t, N) hữu hạn sinh do giả thiết ExtpR(M,N) hữu hạn sinh. Suy ra ExtpR(L,N) là hữu hạn sinh.  Mệnh đề 2.1.7 (Định lí chuyển đổi vành chính). Cho đồng cấu ϕ : A → B, I là iđêan của R. Một B−môđun M là IB−cofinite (tương ứng với iđêan IB) khi và chỉ khi M là A−môđun I−cofinite (tương ứng với iđêan I). Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét SuppA(M) ⊂ V (I) ⇐⇒ SuppB(M) ⊂ V (IB) Xét dãy phổ Grothendieck: Ep,q2 = Ext p B(Tor A q (B,A/I),M) =⇒ Extp+qA (A/I,M) Giả sử M là IB−cofinite, khi đó Ep,02 = ExtpB(B ⊗A A/I,M) ∼= ExtpB(B/BI,M) là hữu hạn sinh với tất cả p. Vì Supp(Tor A q (B,A/I)) ⊂ Supp(B/IB) với tất cả q, áp dụng bổ đề [2.1.6] ta có Ep,q2 là hữu hạn sinh với tất cả p và q. Dãy phổ là bị chặn nên ExtnA(A/I,M) là hữu hạn sinh với mọi n. Ngược lại, giả sử M là I−cofinite. Ta dùng qui nạp theo n để chỉ ra 24 rằng En,02 = Ext n B(B/IB,M) là hữu hạn sinh. Trường hợp n = 0 thì E0,02 = HomB(B/BI,M) ∼= HomA(A/I,M) là hữu hạn sinh. Giả sử n > 0, Ep,02 là hữu hạn sinh với tất cả p < n. Do bổ đề [2.1.6], E p,q 2 là hữu hạn sinh với mọi p < n và q ≥ 0. Vì Hn = ExtnA(A/I,M) là hữu hạn sinh nên En,02 là hữu hạn sinh. Mệnh đề 2.1.8. Giả sử S và T là hai hàm tử cộng tính giữa các phạm trù Abel A và B, S là phạm trù con Serre của B. Giả sử mọi dãy khớp ngắn 0 −−→ X ′ u−−→ X v−−→ X” −−→ 0 có thể mở rộng đến dãy khớp SX ′ Su−−→ SX Sv−−→ SX” −−→ TX ′ Tu−−→ TX Tv−−→ TX” Nếu f : M → N là đồng cấu trong A sao cho TKerf và SCokerf thuộc S. Khi đó KerTf và CokerSf cũng thuộc S. Hơn nữa, nếu có thêm Tf = 0 (tương ứng Sf = 0) thì TM (tương ứng SN) cũng thuộc S. Chứng minh: Kí hiệu: K = Kerf, I = Imf,C = Cokerf và f = h ◦ g. Do giả thiết các dãy khớp ngắn: 0 −−→ K i−−→ M g−−→ I −−→ 0 0 −−→ I h−−→ N −−→ C σ−−→ 0 cảm sinh các dãy khớp: SK Si−−→ SM Sg−−→ SI −−→ TK Ti−−→ TM Tg−−→ TI SI Sh−−→ SN −−→ SC −−→ TI Th−−→ TN Tσ−−→ TC 25 Suy ra CokerSg là vật con của TK, và do đó thuộc S. KerTg là thương của TK nên cũng thuộc S. Hoàn toàn tương tự, xét dãy khớp thứ hai ta suy ra được KerTh và CokerSh thuộc S. Vì f = h ◦ g nên Tf = Th ◦ Tg và Sf = Sh ◦ Sg. Suy ra các dãy sau là khớp: 0 → KerTg → KerTf → KerTh CokerSg → CokerSf → CokerSh → 0 Từ đây KerTf và CokerSf thuộc S. Đặc biệt nếu Tf = 0 (tương ứng Sf = 0) thì TM = KerTf (tương ứng SN = CokerSf) thuộc S.  Cho vành R, lấy r ∈ Z(R) và M là R−môđun thì ánh xạ f : M → M định nghĩa bởi m 7→ rm là đồng cấu, gọi là tích bởi r. Hàm tử T được gọi là bảo toàn tích nếu fr : M → M là tích bởi r, với r ∈ Z(R) thì Tfr : TM → TM cũng là tích bởi r. Ta có kết quả ([13], §7, Theorem 7.16): Cho f : M → M là tích bởi r, khi đó f ∗ : ExtnR(M,N) → ExtnR(M,N) cũng là tích bởi r. Kết quả trên vẫn đúng đối với biến thứ 2. Hơn nữa ([13], §7, Theorem 7.6): Nếu M là giao hoán và rM = 0 thì rTM = 0. Mệnh đề 2.1.9. Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M) ⊂ V (I). Nếu 0 :M x và M/xM là I−cofinite thì M là I-cofinite. Chứng minh Xét đồng cấu: f : M → N m 7→ xm 26 Ta cóKerf = 0 :M x,Cokerf = M/xM . Kí hiệu T = Ext i R(R/I,_), S = Exti−1R (R/I,_), do Kerf và Cokerf là I−cofinite nên TKerf và SCokerf là hữu hạn sinh. Mặt khác, x ∈ I nên Tf = 0 theo [[13], §7, Theorem 7.6]. Phạm trù các R−môđun hữu hạn sinh là phạm trù con Serre của phạm trù các R−môđun. Theo mệnh đề [2.1.8], TM = ExtiR(R/I,M) hữu hạn sinh với mọi i. Suy ra M là I−cofinite.  Mệnh đề 2.1.10. Cho I là iđêan của vành R, u : F → G là đồng cấu giữa hai môđun tự do, hữu hạn sinh, khác 0 sao cho u(F ) ⊂ IG. M là R−môđun, đặt f = Hom(u,M) và giả sử rằng SuppR(M) ⊂ V (I). Nếu Kerf và Cokerf là R−môđun I−cofinite thì M là R−môđun I−cofinite. Chứng minh: Bởi vì f = Hom(u,M) nên ta có thể viết f =∑ jk ajkfj,k với ajk ∈ I và fjk : Hom(F,M) → Hom(G,M). Với mỗi i > 0, kí hiệu T = ExtiR(R/I,_), S = Ext i−1 R (R/I,_). Do Kerf, Cokerf là I−cofinite nên TKerf, SCokerf là hữu hạn sinh. Mặt khác, do tính cộng tính của hàm tử T nên: Tf = ExtiR(R/I, f) = ∑ jk ajkExt i R(R/I, fjk) = 0 (ajk ∈ I với mọi j, k nên ExtiR(R/I, fjk) = 0 theo [[13], §7, Theorem 7.6] với mọi i). Áp dụng mệnh đề [2.1.8], TM = ExtiR(R/I,M) là hữu hạn sinh với mọi i. Suy ra M là I−cofinite.  Mệnh đề 2.1.11. Cho M là R−môđun với Supp(M) ⊂ V (I). Giả 27 sử tự đồng cấu f ∈ EndR(M) thỏa phương trình đa thức: fn + a1f n−1 + ... + an = 0 với aj ∈ I, 1 ≤ j ≤ n Nếu Kerf và Cokerf là I−cofinite thì M là I−cofinite. Chứng minh: Trước hết ta nhận xét rằng nếu u là một tự đồng cấu của môđun X nào đó, thì Keru là hữu hạn sinh khi và chỉ khi Kerun là hữu hạn sinh với mọi n, khi và chỉ khi Kerun là hữu hạn sinh với một n nào đó. Tương tự với Cokeru. Từ: fn + a1f n−1 + ... + an = 0 Do tính cộng tính của hàm tử ExtiR(R/I,_), ta được: ExtiR(R/I, f n) = n∑ j=1 −ajExtiR(R/I, fn−j) Kí hiệu T = ExtiR(R/I,_), S = Ext i−1 R (R/I,_), do aj ∈ I nên Tfn−j = 0 với mọi j [ [13], §7, Theorem 7.6], suy ra Tfn = 0. Hơn nữa Kerf, Cokerf là I−cofinite nên TKerf, SCokerf là hữu hạn sinh. Từ đó TKerfn, SCokerfn là hữu hạn sinh. Theo mệnh đề [2.1.8], TM = ExtiR(R/I,M) là hữu hạn sinh với mọi i. Vậy M là I−cofinite.  Chúng ta có một số tính chất đặc trưng của môđun cofinite Mệnh đề 2.1.12. Cho I = (x1, ...xk) là iđêan của R, M là R−môđun sao cho Supp(M) ⊂ V (I). Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i). M là I−cofinite. 28 (ii). M là J−cofinite với mọi iđêan J của R sao cho J ⊃ I. (iii). ExtiR(N,M) là hữu hạn sinh với mọi i và tất cả các R−môđun hữu hạn sinh N thỏa I ⊂ ann(N). (iv). ExtiR(N,M) là hữu hạn sinh với mọi i và tất cả các R−môđun hữu hạn sinh N thỏa Supp(N) ⊂ V (I). (v). M là R−môđun In-cofinite với mọi n ∈ N . (vi). Với mọi ρ ∈ Min(I), R−môđun M là ρ-cofinite. (vii). Với mọi iđêan tối đại m của R, H0m(M) và M/H 0 m(M) là I−cofinite. (viii). Tồn tại một iđêan tối đại m của R sao cho H0m(M) và M/H 0 m(M) là I−cofinite. (ix). Môđun đối đồng điều Koszul H i(x1, ..., xk,M) là R−môđun hữu hạn sinh với mọi i = 1, ..., n. Chứng minh: (i) ⇒ (ii). Do bổ đề [2.1.6], (ii) ⇒ (vi), (v) ⇒ (i), (iii) ⇒ (i), (vii) ⇒ (viii) : hiển nhiên. (vi) ⇒ (i). R là Noether nên theo [ [27], §6, Exercises 9 ], Min(I) là hữu hạn, giả sử Min(I) = ρ1, ..., ρn, đặt N = R/ρ1⊕A...⊕A/ρn là R−môđun hữu hạn sinh do A/ρj hữu hạn sinh với mọi 1 ≤ j ≤ n. Vì ExtiR(R/ρj,M) là hữu hạn sinh nên ExtiR(N,M) =⊕ 1≤j≤n Ext i R(R/ρj,M) hữu hạn sinh với mọi i. Mặt khác, Supp(R/I) = Supp(N) nên theo bổ đề [2.1.6] ta có ExtiR(R/I,M) hữu hạn sinh với mọi i. 29 (iii) ⇔ (iv). Gọi α = ann(N), do N hữu hạn sinh nên từ mệnh đề [1.2.13] suy ra Supp(N) ⊂ V (I) ⇔ V (α) ⊂ V (I). (i) ⇒ (iii). Ta chứng minh bằng qui nạp theo i. Vì I ⊂ ann(N) nên N là R/I-môđun hữu hạn sinh, theo [[27], §2, Proposition 2.3] N đẳng cấu với nhóm thương của (R/I)n với số nguyên dương n nào đó. Ta có dãy khớp ngắn các R/I-môđun: 0 → K → (R/I)n → N → 0 Suy ra dãy sau khớp: 0 → Hom(N,M) → Hom((R/I)n,M) Do vậy Hom(N,M) ⊂ Hom((R/I)n,M) ∼= (Hom(R/I,M)n : hữu hạn sinh. Giả sử ExtiR(X,M) hữu hạn sinh với mọi R−môđun X thỏa I ⊂ ann(X) và với mọi i ≤ k. Xét dãy khớp dài: ... → ExtkR(K,M) → Extk+1R (N,M) → Extk+1R ((R/I)n,M) → ... Vì R/I là R-môđun hữu hạn sinh nên (R/I)n là R−môđun tự do, do đó ExtiR((R/I) n,M) = 0 với mọi i. Từ dãy khớp trên ta có Extk+1R (N,M) ∼= ExtkR(K,M). Hơn nữa ann(K) ⊃ ann(R/I)n ⊃ I nên ExtkR(K,M) hữu hạn sinh theo giả thiết qui nạp. Vậy Extk+1R (N,M) là hữu hạn sinh. (i) ⇒ (v). Chứng minh qui nạp theo n. Trường hợp n = 1 là hiển nhiên. Giả sử M là môđun In-cofinite, In/In+1 là R−môđun hữu 30 hạn sinh và I ⊂ ann(In/In+1) nên ExtiR(In/In+1,M) hữu hạn với mọi i theo (iii). Xét dãy khớp ngắn: 0 → In/In+1 → R/In+1 → R/In → 0 Dãy khớp trên cảm sinh nên dãy khớp dài: ... → ExtiR(R/In,M) → ExtiR(R/In+1,M) → ExtiR(In/In+1,M) → ... Vì ExtiR(R/I n,M) và ExtiR(I n/In+1,M) hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 nên ExtiR(R/I n+1,M) hữu hạn với mọi i ≥ 0. (i) ⇒ (vii). Vì M là I−cofinite nên H0m(M) là I−cofinite với mọi iđêan nguyên tố m của R. Dãy khớp ngắn các R−môđun: 0 → H0m(M) → M → M/H0m(M) → 0 cảm sinh dãy khớp dài: ... → ExtiR(R/I,M) → ExtiR(R/I,M/H0m(M)) → Exti+1R (R/I,H0m(M)) → ... Vì ExtiR(R/I,M) và Ext i+1 R (R/I,H 0 m(M)) hữu hạn sinh nên ta cũng có ExtiR(R/I,M/H 0 m(M)) hữu hạn sinh. Hơn nữa từ dãy khớp ngắn trên ta có Supp(M) = Supp(H0m(M)) ∪ Supp(M/H0m(M)), từ đây suy ra M/H0m(M) là I−cofinite. (viii) ⇒ (i). Có được từ dãy khớp dài: ... → ExtiR(R/I,M) → ExtiR(R/I,M/H0m(M)) → Exti+1R (R/I,H0m(M)) → ... (i) ⇔ (ix). Nhắc lại, phức Koszul tương ứng với dãy (x1, ..., xk): K∗(x,M) : 0 −−→ K(x)k... −−→ K(x)j d(x)j−−−→ K(x)j−1... −−→ 31 K(x)0 −−→ 0 Với K(x)j = ∧j(Rk), j = 1, ..., k và K(x)0 = 0. Tác động hàm tử Hom(_,M) lên phức trên ta được phức: 0 −−→ Hom(K(x)0,M) d(x) ∗ 0−−−→ Hom(K(x)1,M) d(x) ∗ 1−−−→ ... Môđun đối đồng điều thứ i của phức Koszul: H i(x1, ..., xk;M) = Kerd(x) ∗ j/Imd(x) ∗ j−1. Nhận xét, nếu ϕ : A → B là đồng cấu vành, khi đó M có cấu trúc B−môđun, hơn nữa H i(x1, ..., xk;M) ∼= H i(ϕ(x1), ..., ϕ(xk);M) với mọi i. Thật vậy, theo [[8], p. 95], với mọi R−môđun N có đẳng cấu tự nhiên: ∧ A (N)⊗A B ∼= ∧ B (N ⊗A B) Suy ra các đẳng cấu: HomA( ∗∧ A (An),M) ∼= HomB( ∗∧ A (An)⊗A B,M) ∼= HomB( ∗∧ B (An ⊗A B),M) ∼= HomB( ∗∧ B (Bn),M) Từ đây: H i(x1, ..., xk;M) ∼= H i(ϕ(x1), ..., ϕ(xk);M) Chứng minh (i) ⇔ (ix). Xét đồng cấu: ϕ : R[X1, ..., Xk] → R (2.1) Xi 7→ xi (2.2) 32 Do ϕ là đồng cấu nên M có cấu trúc R[X1, ..., Xk]-môđun. Vì dãy X1, ..., Xk là chính qui trong R[X1, ..., Xk] nên với mỗi i có đẳng cấu: ExtiR[X1,...,Xk](R[X1, ..., Xk]/(X1, ..., Xk),M) ∼= H i(X1, ..., Xk;M) Theo nhận xét trên, ta có H i(x1, ..., xk;M) ∼= H i(X1, ..., Xk;M). Mặt khác, từ định lí chuyển đổi vành chính ta có ExtiR[X1,...,Xk](R[X1, ..., Xk]/(X1, ..., Xk),M) hữu hạn sinh khi và chỉ khi ExtiR(R/I,M) hữu hạn sinh. Vậy H i(x1, ..., xk;M) hữu hạn sinh với mọi i khi và chỉ khi M là I−cofinite.  Từ mệnh đề trên ta có hệ quả trực tiếp: Hệ quả 2.1.13. Lấy I là iđêan của vành R, x1, ..., xn là các phần tử sinh của I, R−môđun M là I−cofinite khi và chỉ khi SuppRM ⊂ V (I) và tất cả các môđun đối đồng điều Koszul H i(x1, ..., xn;M) là hữu hạn sinh. Hệ quả 2.1.14. Cho I là iđêan của vành Noether R. Nếu R−môđun M là I−cofinite thì M/IM là R−môđun hữu hạn sinh. Chứng minh: Vì M/IM ∼= Hn(x1, ..., xn;M) với I = (x1, ..., xn).  Hệ quả 2.1.15. Cho (R,m) là vành địa phương với iđêan tối đại m và I là một iđêan của R với số chiều một hoặc là iđêan chính. Cho A là một R−môđun Artin và M là một R−môđun hữu hạn sinh. Thì ExtiR(A,H j I (M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0. 33 Nhắc lại, một môđun không chứa một tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác không được gọi là có chiều Godie hữu hạn. Nếu M là R−môđun có chiều Godie hữu hạn trên vành R thì bao nội xạ E(M) của M có thể phân tích thành tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun nội xạ không thể phân tích: E(M) = r⊕ i=1 E(R/ρi) ni Với ni là các số nguyên dương, ρ1, ..., ρr là các iđêan nguyên tố liên kết khác nhau của M . Mệnh đề 2.1.16. Nếu M là môđun I−cofinite thì M có chiều Goldie hữu hạn. Chứng minh: Ta có 0 :M I ∼= HomR(R/I.M) và do đó 0 :M I là môđun con hữu hạn của M. Lấy x là phần tử khác 0 cùa M , vì SuppR(M) ⊂ V (I) nên có một số n > 0 sao cho Inx = 0 và In−1x 6= 0 . Từ đó 0 6= In−1x ⊂ Rx ∩ 0 :M I. Ngược lại mọi môđun con của M có một môđun con có giao khác rỗng với 0 :A I thì là môđun con hữu hạn của M , cốt yếu trong M .  Mệnh đề 2.1.17. Nếu SuppRM ⊂ V (I), J là iđêan của R, J ⊂ I và ExtiR(R/J,M) là I−cofinite với mọi i thì M là I−cofinite. Chứng minh: Lấy I là ảnh của I trong R = R/J . Áp dụng định lý chuyển đổi vành chính (mệnh đề 2.1.7), R−môđun ExtiR(R/J,M) là I−cofinite. Xét phép giải nội xạ của M : 0 −−→ M −−→ E0 δ0−−→ E1 δ1−−→ E2 δ2−−→ ... 34 Ta chẻ phức trên thành các dãy khớp ngắn như sau: 0 → M i → Ei → Ei+1 → 0 với M i = Kerδi, i = 0, 1, ... Suy ra với mỗi i 6= 0 ta có: Exti+1R (R/I,M) ∼= ExtiR(R/I,M) Exti+1R (R/J,M) ∼= ExtiR(R/J,M) Ta chứng minh bằng qui nạp theo i rằng Extj R (R/I, 0 :M i J) là R−môđun hữu hạn sinh với mọi j ≥ 1. Vì M 0 ∼= M và 0 :M J là I-môđun nên khẳng định là đúng với i = 0. Giả sử đúng với i nào đó. Xét đồng cấu R−môđun sau: fi : 0 : i E J → 0 :i+1M J Ta có:Kerfi = 0 : i M J và Cokerfi ∼= Ext1R(R/J,M i) ∼= Exti+1R (R/J,M). Suy ra các R−môđun Extj+1 R (R/I,Kerfi) và Ext j R (R/I, Cokerfi) là hữu hạn sinh với mọi j ≥ 0. Theo hệ quả 2.1.4 CokerExtj R (R/I, fi) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi j ≥ 0. Với j = 0 ta có: Ext1R(R/I,M i) ∼= Exti+1R (R/I,M) hữu hạn sinh. Vì 0 :iE J là R−môđun nội xạ nên ExtjR(R/I, 0 :iE J) = 0 với mọi j ≥ 1. Từ đây: CokerExtj R (R/I, fi) ∼= ExtjR(R/I, 0 :1+1M J) với j ≥ 1 Dùng qui nạp tương tự ta chứng minh được ExtjR(R/J,M) là hữu hạn sinh với mọi j ≥ 1. Trường hợp j = 0 thì dễ dàng kiểm tra được. Vì HomR(R/I,M) ∼= HomR(R/I,HomR(R/J,M)) nên ta suy ra được M là I−cofinite.  35 Sau đây chúng ta có mệnh đề thể hiện mối liên hệ giữa tính Artin và môđun cofinite: Mệnh đề 2.1.18. Cho M là một R-môđun Artin, I là iđêan thực sự của R. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) M là I-cofinite. (ii) 0 :M I có độ dài hữu hạn, và khi R đầy đủ thì (iii) Với mỗi iđêan nguyên tố liên kết ρ của M , iđêan I + ρ là m- nguyên sơ. Chứng minh: Kí hiệu R̂ tương ứng là m-đầy đủ của R. Vì M là Artin nên theo [[33], Lemma 2.1], R có cấu trúc R̂-môđun và M ∼= M⊗R R̂. Ta có ánh xạ R → R̂ là phẳng trung thành, áp dụng mệnh đề [2.1.5(ii)] ta có thể giả sử ngay từ đầu R là đầy đủ. Lấy ρ1, ..., ρr là iđêan nguyên tố liên kết của M . Vì √ AnnA(M) = ⋂r i=1 ρi nên iđêan I + ρi là m-nguyên sơ với mọi i khi và chỉ khi tồn tại số n sao cho mn ⊂ I + Ann(M). (i) ⇒ (ii). Vì M là I-cofinite nên 0 :M I ∼= HomA(A/I,M) hữu hạn sinh, từ đó là Noether theo [[11],§1, Theorem 3.1 (ii)], và là Artin do M là Artin. Suy ra 0 :M I có độ dài hữu hạn. (ii) ⇒ (iii). Lấy D(M) = HomR(M,E) là đối ngẫu Matlis của M , vì M là Artin, R là đầy đủ nên theo [[26], §10, Matlis Duality Theorem 10.2.12], D(M) là Noether, từ đó hữu hạn sinh. Hơn nữa 36 AnnR(D(M)) = AnnR(M) theo [[26], §10, Remarks 10.2.2 (ii)]. Áp dụng [[26], §10, 10.2.15 (ii)], ta có D(0 :R I) ∼= D(M)/ID(M). Vì (0 :R I) có độ dài hữu hạn nên D(0 :R I) có độ dài hữu hạn theo [[26], §10, 10.2.13], suy ra D(M)/ID(M) có độ dài hữu hạn. Từ đó Supp(D(M)/ID(M)) ⊂ m. Theo mệnh đề 1.2.13 ta có Supp(D(M)/ID(M)) = V (I + D(M)), suy ra có số n sao cho mn ⊂ I + AnnRD(M). Theo nhận xét bên trên, ta có (iii). (iii) ⇒ (i). Giả sử có n sao cho mn ⊂ I + AnnR(N), khi đó với mọi j, môđun Artin ExtjR(R/I,M) được linh hóa bởi m n và do đó có độ dài hữu hạn. Từ đó M là I-cofinite.  Hệ quả 2.1.19. Nếu M là Artin và I-cofinite thì Γm(M) là Artin và I-cofinite. Chứng minh: Đặt L = Γm(M), do M là Artin và I-cofinite nên 0 :M I có độ dài hữu hạn theo mệnh đề 2.1.18. Vì 0 :L I ⊂ 0 :M I nên cũng có độ dài hữu hạn. Theo [[11], Theorem 6.10], L là Artin, và từ đó là I-cofinite theo mệnh đề 2.1.18.  Hệ quả 2.1.20. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun với SuppRM ⊂ V (I). M là Artin và I-cofinite khi và chỉ khi 0 :M I có độ dài hữu hạn. Nếu có x ∈ I sao cho 0 :R x là Artin và I-cofinite thì M là Artin và I-cofinite. Chứng minh: Nếu 0 :M I là Artin và Supp(M) ⊂ V (I) thì M là Artin theo [[20], Theorem 1.3]. Từ đây theo mệnh đề 2.1.18 ta có khẳng định thứ nhất của mệnh đề. 37 Nếu L = 0 :M x là Artin và I-cofinite thì 0 :L I là tập hữu hạn. Mặt khác 0 :M I = 0 :L I nên ta suy ra M là Artin và I-cofinite.  2.2 FA and AF môđun Trong mục này chúng ta xét (R,m) là vành địa phương với iđêan tối đại là m và I là một iđêan của R với số chiều 1 hoặc là iđêan chính. Định nghĩa 2.2.1. R-môđun M được gọi là FA môđun nếu tồn tại R-môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là Artin. R-môđun M được gọi là AF môđun nếu tồn tại R-môđun con Artin A của M sao cho M/A là hữu hạn sinh. Bổ đề 2.2.2. Nếu K là FA môđun sao cho SuppR(K) ⊆ V (I) và M là R-môđun hữu hạn sinh thì ExtiR(K,H j I (M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0. Nếu K là AF môđun sao cho SuppR(K) ⊆ V (I) và M là R-môđun hữu hạn sinh thì ExtiR(K,H j I (M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0. Chứng minh: Giả sử K là FA môđun khi đó ta có dãy khớp ngắn 0 −→ N −→ K −→ A −→ 0 trong đó N là hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Từ đây ta thu được dãy khớp dài ... −→ ExtiR(A,HjI (M)) −→ ExtiR(K,HjI (M)) −→ ExtiR(N,HjI (M)) −→ ... 38 Theo hệ quả [2.1.15] ta có ExtiR(N,H j I (M)) là hữu hạn sinh. Vì N là hữu hạn và SuppR(N) ⊆ V (I) chúng ta có ExtiR(A,HjI (M)) là hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.  Giả sử K là AF môđun khi đó ta có dãy khớp ngắn 0 −→ A −→ K −→ N −→ 0 trong đó A là R-môđun Artin và N là hữu hạn sinh. Từ đây ta thu được dãy khớp dài ... −→ ExtiR(N,HjI (M)) −→ ExtiR(K,HjI (M)) −→ ExtiR(A,HjI (M)) −→ ... Theo hệ quả [2.1.15] ta có ExtiR(N,H j I (M)) là hữu hạn sinh. Vì N là hữu hạn và SuppR(N) ⊆ V (I) chúng ta có ExtiR(A,HjI (M)) là hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.  Định lí 2.2.3. Nếu M là FA hoặc AF môđun thì HjI (M) là I- cofinite môđun với mọi j > 0. Chứng minh: Nếu M là AF môđun thì tồn tại dãy khớp ngắn 0 −→ A −→ M −→ N −→ 0 trong đó A là Artin và N là R-môđun hữu hạn sinh. Do A là Artin chúng ta có HjI (A) = 0 với mọi j > 0, do vậy chúng ta thu được dãy khớp dài của các môđun đối đồng điều địa phương với HjI (M) ∼= HjI (N) với mọi j > 0. Từ đây ta có điều cần chứng minh. Nếu M là FA môđun thì ta có phép chứng minh của R. Belshoff, S.-P. Slattery and C.Wickham trong [[2], Theorem 2].  Hệ quả 2.2.4. Nếu A là một R-môđun Artin và M là FA hoặc 39 AF môđun thì ExtiR(A,HjI (M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0. Chứng minh: Dựa vào định lý [2.2.3] và hệ quả [2.1.15]  Định lí 2.2.5. Chúng ta có các khẳng định sau (i). Nếu M và K là FA môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì ExtiR(K,HjI (M)) là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0. (ii). Nếu M và K là AF môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì ExtiR(K,HjI (M)) là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0. Chứng minh: (i). Chúng ta có dãy khớp ngắn sau đây 0 −→ N −→ K −→ A −→ 0 trong đó N là hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Từ đây chúng ta thu được dãy khớp dài ... −→ ExtiR(A,HjI (M)) −→ ExtiR(K,HjI (M)) −→ ExtiR(N,HjI (M)) −→ ... Theo hệ quả [2.1.15] ta có ExtiR(N,H j I (M)) là hữu hạn sinh. Vì N là hữu hạn và SuppR(N) ⊆ V (I) chúng ta có ExtiR(A,HjI (M)) là hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.  (ii). Chúng ta có dãy khớp ngắn sau đây 0 −→ A −→ K −→ N −→ 0 trong đó N là hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Từ đây chúng ta thu được dãy khớp dài ... −→ ExtiR(N,HjI (M)) −→ ExtiR(K,HjI (M)) −→ ExtiR(A,HjI (M)) −→ ... 40 Theo hệ quả [2.1.15] ta có ExtiR(N,H j I (M)) là hữu hạn sinh. Vì N là hữu hạn và SuppR(N) ⊆ V (I) chúng ta có ExtiR(A,HjI (M)) là hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.  Định lí 2.2.6. Nếu M là FA môđun thì Bass numbers của HjI (M) là hữu hạn với mọi j > 0. Chứng minh: Theo định lý [2.2.5] ta có ExtiR(R/m,H j m(M)) là hữu hạn sinh. Bây giờ nếu p không phải là iđêan tối đại thì Mp là FA môđun. Khi đó với mỗi I ⊆ p chúng ta có (theo [[26], 4.3.3]) (ExtiR(R/p,H j I (M)))p ∼= Exti Rp (k(p), HjIRp(Mp)) Bây giờ nếu I 6⊆ p thì ta có µi(p,HjI (M)) = 0. Trong cả hai trường hợp trên chúng ta đều có Bass numbers của HjI (M) là hữu hạn với mọi j > 0.  2.3 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương Mệnh đề 2.3.1. Cho I, J là các iđêan của vành R sao cho √ I = √ J , khi đó với mỗi số nguyên dương i, H iI(M) là I-cofinite khi và chỉ khi H iJ(M) là J-cofinite. Chứng minh: Từ định nghĩa các hàm tử ΓI(_),ΓJ(_), ta có ΓI(M) = ⋃ n∈N (0 :M I n) và ΓJ(M) = ⋃ n∈N(0 :M J n). Suy ra: √ I = √ J ⇐⇒ ΓI(M) = ΓJ(M) DoH iI(_), H i J(_) là các hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI(_),ΓJ(_) 41 nên: √ I = √ J ⇐⇒ H iL(_) = H iJ(_) Mệnh đề 2.3.2. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun. Nếu H iI(M) là I-cofinite với mọi i (tương ứng với mọi i ≤ n) thì ExtiR(R/I,M) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i (tương ứng với mọi i ≤ n). Chứng minh: Đặt M = M/ΓI(M), ta có đẳng cấu: H iI(M) ∼=  0 nếu i = 0H iI(M) nếu i > 0 Xét dãy khớp ngắn các R-môđun: 0 → ΓI(M) → M → M → 0 Suy ra dãy khớp dài: ... → Exti−1R (R/I,ΓI(M)) → Exti−1R (R/I,M) → Exti−1R (R/I,M) → ... Ta có ΓI(M) = H 0 I (M) là I-cofinite nên Ext i−1 R (R/I,ΓI(M) và ExtiR(R/I,ΓI(M) là hữu hạn sinh. Suy ra Ext i R(R/I,M) hữu hạn sinh khi và chỉ khi ExtiR(R/I,M) hữu hạn sinh. Vậy không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ngay từ đầu là ΓI(M) = 0. Ta chứng minh mệnh đề bằng qui nạp theo n. Trường hợp n = 0 là hiển nhiên. Giả sử mệnh đề đúng với mọi i ≤ k và H iI(M) là I- cofinite với mọi i ≤ k+1. Lấy E là bao nội xạ của M , đặt L = E/M . Từ dãy khớp ngắn: 0 → M → E → L → 0 Ta có các dãy khớp dài: ... → ExtkR(R/I,M) → ExtkR(R/I,E) → ExtkR(R/I, L) → Extk+1R (R/I,M) → ... 42 ... → HkI (M) → HkI (E) → HkI (L) → Hk+1I (M) → ... Với i ≥ 1, H iI(E) = lim−−−→ n∈N ExtiA(A/I n, E) = 0 nên từ dãy khớp trên, HkI (L) ∼= Hk+1I (M). Suy ra H iI(L) là I-cofinite với mọi i ≤ k. Áp dụng giả thiết qui nạp, ExtiI(R/I, L) hữu hạn sinh với mọi i ≤ k. Mặt khác, E là nội xạ nên ExtkR(R/I,E) = 0,∀k, suy ra ExtkR(R/I, L) ∼= Extk+1A (A/I,M). Suy ra Extk+1R (R/I,M) hữu hạn sinh.  Từ chứng minh mệnh đề trên ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.3.3. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun sao cho Supp(M) ⊂ V (I) và H iI(M) là I-cofinite với mọi i. Khi đó M là I-cofinite. Mệnh đề 2.3.4. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun sao cho ExtiI(R/I,M) là hữu hạn sinh với mọi i và s là một số nguyên dương sao cho H iI(M) là I-cofinite với mọi i 6= s. Khi đó HsI (M) cũng là I-cofinite. Chứng minh: Ta chứng minh bằng qui nạp theo k. Đặt M = M/ΓI(M), ta có: H iI(M) ∼=  0 nếu i = 0H iI(M) nếu i > 0 Nếu s = 0 thì H iI(M) là I-cofinite với mọi i. Từ đó Ext i I(R/I,M) hữu hạn sinh với mọi i theo mệnh đề 2.3.2. Từ dãy khớp dài cảm sinh bởi dãy khớp ngắn 0 → ΓI(M) → M → M → 0, suy ra ExtiI(R/I,ΓI(M)) hữu hạn sinh với mọi i. Vậy ΓI(M) là I-cofinite. Giả sử mệnh đề đúng với mọi R-môđun N và mọi s > 0. Bởi vì 43 ΓI(M) là I-cofinite nên Ext i I(R/I,ΓI(M)) hữu hạn sinh với mọi i. Tương tự trên, từ dãy khớp dài cảm sinh bởi 0 → ΓI(M) → M → M → 0, ta suy ra ExtiI(R/I,M) hữu hạn sinh với mọi i khi và chỉ khi ExtiI(R/I,M) hữu hạn sinh với mọi i. Từ đây ta có thể giả sử ΓI(M) = 0. Kí hiệu E là bao nội xạ của M , M1 = E/M . Do E là mở rộng cốt yếu của M nên nếu ΓI(E) 6= 0 thì có x 6= 0, x ∈ ΓI(E)∩M . Suy ra x ∈ ΓI(M) (mâu thuẩn). Vậy ΓI(E) = 0 do đó HomI(R/I,E) = 0. Suy ra các đẳng cấuExtiI(A/I,M1) ∼= Exti+1I (A/I,M) vàH iI(M1) ∼= H i+1I (M) với mọi i ≥ 0 (bao gồm cả trường hợp i = 0). Áp dụng giả thiết qui nạp cho M1 ta có H s−1 I (M1) là I-cofinite. Suy ra H s I (M) là I-cofinite.  Hệ quả 2.3.5. Cho I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh sao cho H iI(M) = 0 với mọi i 6= s thì HsI (M) là I-cofinite. Chứng minh: Vì M là hữu hạn sinh nên ExtiI(R/I,M) là hữu hạn sinh với mọi i. H iI(M) là I-cofinite với mọi i 6= s nên áp dụng mệnh đề 2.3.4 ta có ngay kết quả.  Hệ quả 2.3.6. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R sinh bởi một M-dãy chính qui thì HsI (M) là I-cofinite với mọi i. Chứng minh: Giả sử I sinh bởi M -dãy chính qui x1, ..., xn. Khi đó I sinh bởi n phần tử nên H iI(M) = 0,∀i > n theo [[26], §3, Theorem 3.3.1]. Mặt khác x1, ..., xn là M -dãy chính qui nên H iI(M) = 0,∀i < n theo [[26], §1, 1.3.9 (iv)]. Từ đó HsI (M) là I-cofinite theo hệ quả 2.3.5.  44 Mệnh đề 2.3.7. Cho I là iđêan của R,M là R-môđun hữu hạn sinh, s là số nguyên dương bất kì, nếu HsI (M) Artin và H i I(M) là I-cofinite với mọi i < s thì HsI (M) là I-cofinite. Chứng minh: Theo hệ quả 2.1.20 ta chỉ cần chứng minh 0 :HtI(M)) I có độ dài hữu hạn. Xét dãy phổ Grothendieck: Ei,j2 = Ext i R(R/I,H j I (M)) −−→i Ext i+j R (R/I,M) Khi đó 0 :HtI(M)) I = HomR(R/I,H t I(M)) = E 0,t 2 . Vì E 0,t r ∼= E0,t∞ với r đủ lớn, E0,t∞ đẳng cấu với nhóm con của Ext t R(R/I,M) và hơn nữa Kerd0,tr−1 = Ker(E 0,t r−1 → Er−1,t−r+2r−1 ) nên Kerd0,tr−1 ∼= E0,t∞ với mọi r 6= 3. Suy ra Kerd0,tr−1 hữu hạn sinh với r đủ lớn. Với mọi r 6= 3 ta có dãy khớp: 0 → Kerd0,tr−1 → E0,tr−1 → Er−1,t−r+2r−1 Vì Er−1,t−r+2r−1 ⊂ Er−1,t−r+22 , từ giả thiết suy ra rằng E0,tr−1 hữu hạn sinh với r đủ lớn. Tiếp tục quá trình trên ta thấy E0,t2 là hữu hạn sinh. Mặt khác, R là Noether nên E0,t2 cũng là Noether, E 0,t 2 ⊂ H tI(M) nên là Artin. Từ đây suy ra E 0,t 2 có độ dài hữu hạn.  Hệ quả 2.3.8. I là iđêan của R sao cho R/I là Artin, R là R- môđun hữu hạn sinh. Khi đó H iI(M) là I-cofinite với mọi i. Chứng minh: Trước hết ta có chú ý là Supp(H iI(M)) ⊂ V (I),∀i và H iI(M) là Artin với mọi i theo [[26], §7, 7.1.4]. Vì H0I (M) = ΓI(M) = ⋃ n∈N(0 :M I n) ⊂ M nên hữu hạn sinh, từ đó là Noether do R là Noether. Suy ra 0 :H0I (M) I có độ dài hữu hạn. Theo hệ 45 quả 2.1.20, H0I (M) là I-cofinite. Áp dụng 2.3.4 ta được H i I(M) là I-cofinite với mọi i.  Hệ quả 2.3.9. Cho (R,m) là vành địa phương, M là R-môđun Artin và hữu hạn sinh. Khi đó H im(M) là m-cofinite với mọi i. Chứng minh: H im(M) là Artin với mọi i theo [[26], §7, 7.1.3] và H0m(M) = Γm(M) là m-cofinite theo hệ quả 2.1.20. Áp dụng mệnh đề 2.3.4 ta có ngay kết quả cần chứng minh.  Sau đây chúng ta có mối liên hệ giữa môđun FA và tính cofinite: Mệnh đề 2.3.10. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R, s là số nguyên dương sao cho H iI(M) là FA với mọi i < s. Khi đó H iI(M) là I-cofinite với mọi i < s và HomR(R/I,H s I (M)) là hữu hạn sinh. Chứng minh: Vì R là Noether, M là hữu hạn sinh nên theo [[17], Theorem 2.5], HomR(R/I,H s I (M)) và H i I(M) là hữu hạn sinh với mọi i < s. Lại vì 0 :HiI(M) I ⊂ H iI(M) nên cũng hữu hạn sinh với mọi i < s. Mặt khác, Supp(H iI(M)) ⊂ V (I),∀i, do đó các FA môđun H iI(M) là I-cofinite với mọi i < t theo mệnh đề 2.1.9  Định lí 2.3.11. Cho I là một iđêan của vành Noether R. Cho s là số nguyên không âm. M là R-môđun sao cho ExtiR(R/I,M) là R- môđun hữu hạn với mọi i ≤ s, chẳn hạng M phải là R-môđun hữu hạn. Nếu H iI(M) là I-cofinite với mọi i < s thì HomR(R/I,H s I (M)) là hữu hạn. Chứng minh: Chúng ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo s. Với s = 0 thì H0I (M) ∼= ΓI(M) và HomR(R/I,ΓI(M)) là hữu hạn 46 như là R-môđun HomR(R/I,M). Giả sử s > 0 và định lý đúng cho trường hợp s − 1. Từ ΓI(M) là I-cofinite chúng ta có ExtiR(R/I,ΓI(M)) là hữu hạn với mọi i. Sử dụng dãy khớp ngắn 0 −→ ΓI(M) −→ M −→ M/ΓI(M) −→ 0 chúng ta có được ExtiR(R/I,ΓI(M)) là hữu hạn với mọi i ≤ s. Mặt khác H0I (M/ΓI(M)) = 0 và H i I(M/ΓI(M)) ∼= H iI(M) với mọi i > 0. Do vậy chúng ta có thể giả thiết rằng ΓI(M)) = 0. Gọi E là bao nội xạ của M và lấy N = E/M thì ta có ΓI(E) = 0 và HomR(R/I,E) = 0. Từ đ._.