Về điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ưu cấp 2

AI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2009 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỤC LỤC Trang Mục lục.................................................................................................. Mở đầu................................................................................................... 1 2 Chƣơng 1 ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU 1.1. Các khái niệm và định nghĩa.......................................................... 4 1.2. Các tập tiếp tuyến cấp một và cấp hai.............................................. 8 1.3. Điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ƣu cấp hai.................. 15 Chƣơng 2 ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU 2.1. Kiến thức chuẩn bị........................................................................... 33 2.2. Điều kiện cần tối ƣu cho bài toán đa mục tiêu với ràng buộc tập... 37 2.3. Điều kiện cần tối ƣu Fritz John....................................................... 41 2.4. Điều kiện tối ƣu Kuhn-Tucker....................................................... 45 KẾT LUẬN............................................................................................. 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................... 51 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỞ ĐẦU Lý thuyết các điều kiện tối ƣu trong tối ƣu đơn mục tiêu và đa mục tiêu trơn và không trơn phát triển rất mạnh mẽ và thu đƣợc nhiều kết quả đẹp đẽ và phong phú. Lý thuyết các điều kiện tối ƣu cấp 2 là một bộ phận quan trọng của lý thuyết các điều kiện tối ƣu. Từ các điều kiện cần ta có đƣợc tập các điểm dừng mà trong đó bao hàm các nghiệm của bài toán tối ƣu. Các điều kiện đủ tối ƣu cấp 2 cho phép ta tìm ra nghiệm của bài toán đó. Thông thƣờng ngƣời ta đƣa vào các tập tiếp tuyến cấp 2, các tập tuyến tính hoá cấp 2 và các điều kiện chính quy cấp 2 và từ đó dẫn tới các điều kiện tối ƣu cấp 2 kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker. J. F. Bonnans, R. Cominetti và A. Shapiro [3] đã nghiên cứu các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, các khái niệm chính quy cấp 2 và chính quy cấp 2 ngoài. Từ đó, các tác giả đã thiết lập các điều kiện cần tối ƣu cấp 2 với điều kiện chính quy Robinson, và các điều kiện đủ tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn với ràng buộc nón. G. Bigi và M.Castellani [4] đã nghiên cứu tập các phƣơng giảm cấp 2. Tập các phƣơng chấp nhận đƣợc cấp 2 tập tiếp liên cấp 2 và các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard. Từ đó, các tác giả dẫn các điều kiện cần tối ƣu Fritz John cấp 2 trên cơ sở phát triển một định lý luân phiên kiểu Motzkin, và các điều kiện cần tối ƣu Kuhn-Tucker cấp 2 với các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard. Luận văn tập trung trình bày các điều kiện chính quy cấp 2 và các điều kiện tối ƣu cấp 2 dƣới ngôn ngữ tập tiếp tuyến cấp 2, tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hoá cấp 2 và các đạo hàm theo phƣơng cấp 2. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chƣơng 1: Trình bày các nghiên cứu của J. F. Bonnans, R. Cominetti và A. Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, điều kiện chính quy cấp 2 và điều kiện chính quy cấp 2 ngoài. Với điều kiện chính quy Robinson, các điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu với ràng buộc nón không trơn đƣợc trình bày cùng với các điều kiện đủ tối ƣu cấp 2. Chƣơng 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu của G. Bigi và M.Castellani [4] về điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho cực tiểu yếu địa phƣơng của bài toán tối ƣu đa mục tiêu có ràng buộc trên cơ sở phát triển một định lý luân phiên Motzkin không thuần nhất. Các nghiên cứu về tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hoá cấp 2, các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard đƣợc trình bày cùng với các điều kiện cần cấp 2 Fritz John và Kuhn-Tucker. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp Cao học Toán K15 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2009 Nguyễn Thị Lan Anh 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chƣơng 1 ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU Chƣơng 1 trình bày các nghiên cứu của J.F.Bonnans, R.Cominetti và A.Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, điều kiện chính quy cấp 2 ngoài và điều kiện chính quy cấp 2 cùng với các điều kiện cần và đủ tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu với ràng buộc nón. 1.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Bài toán Ta xét bài toán tối ƣu có dạng (P) x X min f(x), G(x) K,   trong đó X là không gian hữu hạn chiều, Y là không gian Banach, K là một tập con lồi đóng của Y , hàm mục tiêu f : X R và ánh xạ ràng buộc :G X Y đƣợc giả thiết là khả vi liên tục hai lần. Kí hiệu 1: ( )G K  là tập chấp nhận của bài toán ( )P . Một số bài toán tối ƣu có thể phát biểu dƣới dạng bài toán ( )P . Khi pY   và  0 p qK  R . Tập chấp nhận đƣợc của ( )P đƣợc xác định bởi một số hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, và ( )P trở thành bài toán quy hoạch phi tuyến. Ví dụ khác, ta xét không gian ( )Y C  gồm các hàm liên tục : ¡ xác định trên không gian metric compăc  trang bị chuẩn sup. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên : sup ( )        . Lấy K : C ( ) là nón của các hàm nhận giá trị không âm, tức là      C ( ): C( ): ( ) 0,      . Trong trƣờng hợp này, ràng buộc G( x ) K tƣơng ứng với g( x, ) 0  với mọi   , trong đó g( x,.) : G( x )(.) . Nếu tập  là vô hạn, ta nhận đƣợc một số vô hạn các ràng buộc, và (P) trở thành bài toán quy hoạch bán vô hạn. Một cách tiếp cận khác để nghiên cứu điều kiện tối ƣu là xét các bài toán tối ƣu có dạng x X min g( F( x )),  (1.1) trong đó  :g Y   R là hàm lồi chính thƣờng nửa liên tục dƣới và F : X Y . Bài toán này tƣơng đƣơng với bài toán tối ƣu sau (xem [7]):  ( x ,c ) X min c, R (1.2) ( F( x ),c ) epi( g ), trong đó     epi( g ): ( y,c ) Y : g( y ) cR là trên đồ thị của g và do đó nó đƣợc xét nhƣ một trƣờng hợp riêng của bài toán (P). Điều ngƣợc lại cũng đúng, có nghĩa là bài toán (P) có thể biểu diễn dƣới dạng (1.1) bằng cách lấy Kg( r,y ) r I ( y )  và F( x ) ( f ( x ),G( x )) , trong đó KI ( y ) 0 , nếu y K và bằng  nếu y K (xem [7]). Cho nên hai cách tiếp cận là tƣơng đƣơng. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.1.2. Các khái niệm và định nghĩa Giả sử    h :Y     R là hàm giá trị thực mở rộng. Giả sử (.)h là hữu hạn tại điểm y Y ta kí hiệu 'h ( y,d ) là đạo hàm theo phƣơng của nó tại điểm y theo phƣơng d Y ' t 0 h( y td ) h( y ) h ( y;d ) : lim t    . Nhắc lại [5] rằng nếu h(.) lồi, giá trị hữu hạn tại y, chính thƣờng trên Y,y dom h thì 'h ( y;d ) tồn tại và hữu hạn. Ta cũng sử dụng đạo hàm theo phƣơng dƣới sau: d ' d t 0 h( y td') h( y ) h ( y;d ) liminf t       . Chú ý rằng trên đồ thị của h ( y,.) đóng và h ( y,.) là hàm nửa liên tục dƣới. Nếu (.)h là lồi, nhận giá trị hữu hạn và liên tục tại y và do đó là liên tục Lipschitz trong một lân cận của y , thì 'h ( y,.) h ( y,.)  . Nói chung, nếu h là lồi, có thể gián đoạn, thì bao đóng của trên đồ thị của 'h ( y,.) trùng với trên đồ thị của h ( y,.) . Khi 'h ( y,d ) tồn tại và là hữu hạn, ta kí hiệu ''h ( y ;d , ) và ''h ( y ;d , ) là đạo hàm parabolic cấp hai trên và dƣới [3], tƣơng ứng của h tức là 2 ' '' t 0 2 1 h( y td t ) - h( y ) - th ( y,d ) 2h ( y ;d , ) : liminf 1 t 2       7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 ' '' t 0 2 1 h( y td t ) h( y ) th ( y,d ) 2h ( y ;d , ) : limsup 1 t 2         Ta nói rằng h(.) là khả vi theo phƣơng cấp hai tại y theo phƣơng d, nếu '' '' +h ( y ;d , ) = h ( y ;d , )  và hữu hạn với mọi Y . Trong trƣờng hợp này, giá trị chung đó đƣợc ký hiệu ''h ( y ;d , ) . Khi h( y ) và h ( y,d ) hữu hạn, đạo hàm parabolic cấp hai dƣới đƣợc định nghĩa nhƣ sau 2 ' 2t 0 , ' 1 h( y td t ) h( y ) th ( y,d ) 2h ( y ;d , ) : liminf 1 t 2               Chú ý rằng nếu h(.) là liên tục Lipschitz gần y, thì ''h ( y ;d , ) h ( y ;d , )  . Nói riêng, điều này đúng, nếu h(.) lồi, hữu hạn, và liên tục, và do đó là liên tục Lipschitz tại y. Kí hiệu *Y là không gian đối ngẫu của Y và *y ,y giá trị *y ( y ) của hàm tuyến tính * *y Y tại y Y . Với ánh xạ tuyến tính liên tục A: X Y ta kí hiệu * * *A :Y X là ánh xạ liên hợp, tức là, * * *A y ,x y ,Ax , với mọi * *x X ,y Y  . Với tập T Y kí hiệu (.,T ) là hàm tựa của T, tức là * * y T ( y ,T ) : sup y ,y   . Ký hiệu  dist .,T là hàm khoảng cách   z T dist y,T : inf y z    . 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2Df ( x ),D f ( x ) tƣơng ứng là đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm f ( x ) ;  YB : y Y : y 1   là hình cầu đơn vị trong Y ;    y : ty : t R là không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y (một chiều nếu y  0). 1.2. CÁC TẬP TIẾP TUYẾN CẤP MỘT VÀ CẤP HAI Giả sử K là tập con đóng của không gian Banach Y . Nón tiếp tuyến cấp 1 của K tại điểm y K đƣợc định nghĩa nhƣ sau:    KT ( y ): h Y : dist(y + th, K) = o(t), t 0 . (1.3) Nhắc lại [2] các khái niệm giới hạn trên và dƣới của hàm đa trị : X  2Y (từ không gian định chuẩn X vào họ các tập con của Y) theo nghĩa Painlevé - Kuratowski:                               0 0 n 0 n n n x x n 0 n n n x x limsup x y Y : x x sao cho y x ,y y , liminf x y Y : x x , y x ,y y . Theo định nghĩa của giới hạn tập hợp dƣới, ta có thể viết  K t 0 K y T y liminf t   . (1.4) Ta biết rằng khi K là lồi thì cũng có K t 0 K y T ( y ) limsup t   . ( 1.5) Chú ý rằng nếu K là nón lồi và y K , thì  KT ( y ) cl K y    , trong đó  y ký hiệu không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y và cl ký hiệu bao đóng theo tôpô chuẩn của Y . 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tƣơng tự (1.4) và (1.5), ta xét biến phân cấp hai của tập K tại điểm y K theo phƣơng d 2 K t 0 2 K - y - td T ( y,d ) : liminf 1 t 2   , (1.6) 2 K t 0 2 K y td O ( y,d ) : lim sup 1 t 2     . (1.7) Ta gọi 2 2 K KT ( y,d ),O ( y,d ) tƣơng ứng là các tập tiếp tuyến cấp hai trong và ngoài. Các tập tiếp tuyến này có thể viết dƣới dạng sau: 2 2 2 K 2 2 2 K n n n n 1 T ( y,d ) Y: dist (y+td+ t , ) = o(t ),t 0 , 2 1 O ( y,d ) : t 0 : dist (y+t d+ t ,K) = o(t ) . 2                      Từ định nghĩa trên ta thấy rằng 2 2 K KT ( y,d ) O ( y,d ) , và các tập tiếp tuyến cấp hai này khác rỗng chỉ nếu Kd T ( y ) . Cả hai tập 2 2 K KT ( y,d ),O ( y,d ) đóng. Nếu K lồi, thì tập 2 KT ( y,d ) lồi; Tập tiếp tuyến cấp hai ngoài 2 KO ( y,d ) có thể không lồi. Ví dụ dƣới đây chứng minh rằng không giống nhƣ các nón tiếp tuyến cấp một, các tập tiếp tuyến cấp hai trong và ngoài có thể khác nhau. Ví dụ 1.1 Ta xây dựng một hàm tuyến tính từng khúc lồi y ( x ),x R , dao động giữa hai parabol 2y x và 2y 2x . Ta xây dựng ( x ) thoả mãn: 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên    ( x ) ( x ), (0 ) 0,    và với dãy đơn điệu giảm đến không xk nào đó, hàm ( x ) là tuyến tính trên mỗi đoạn   2k 1 k k kx ,x , ( x ) x  và đƣờng thẳng đi qua các điểm k k( x , ( x )) và   k 1 k 1x , x  là tiếp xúc với đƣờng cong 2y 2x . Nhƣ vậy với điểm kx 0 , xét đƣờng thẳng đi qua điểm 2 k k( x ,x ) và tiếp xúc với đƣờng cong 2y 2x . Đƣờng thẳng này giao với đƣờng cong 2y x tại điểm k 1x  rõ ràng k k 1x x 0  , và có kx 0 . Đặt  2K : ( x,y ) : y ( x )  R . Khi đó với phƣơng d : (1,0 ) ta có   2KT (0,d ) x,y : y 4  ,  2KO (0,d ) ( x,y ) : y 2  . Với mỗi R , '' (0;1, )=2  và '' +(0;1, )=4  và do đó (.) là không khả vi theo phƣơng cấp hai tại điểm 0 . Ta nói rằng tập K là khả vi theo phƣơng cấp hai tại y K theo phƣơng d , nếu 2 2 K KT ( y,d ) O ( y,d ) . Mệnh đề 1.1 Giả sử tập K được xác định như sau  K y Y : h( y ) 0   , 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên trong đó  h :Y   R là hàm lồi chính thường. Giả sử h( y ) 0 ,  h y,d 0  , và giả sử rằng tồn tại y sao cho h( y ) 0 (điều kiện Slater). Khi đó,  2KO ( y,d ) : h ( y;d , ) 0   . (1.8) Nếu giả thiết thêm h(.) là liên tục tại y, thì  2 ''K +T ( y,d ) : h ( y;d , ) 0   . (1.9) Chứng minh Ta chỉ chứng minh (1.8) đúng, còn chứng minh (1.9) là tƣơng tự. Xét 2 KO ( y,d ) và chọn dãy n nt 0 ,   sao cho 2 n n n 1 y t d t K 2    , và do đó, 2 n n n 1 h( y t d t ) 0 2    . Khi đó, 2 n n n n 2 n 1 h( y t d t ) 2h ( y ;d , ) liminf 0 1 t 2       . Ngƣợc lại, giả sử h ( y ;d , )<0 . Khi đó, với nt 0  và n  nào đó, ta có 2 2 2 n n n n n 1 1 h( y t d t ) t h ( y ;d , ) + o(t ) 2 2    . 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Do đó, 2 n n n 1 h( y t d t ) 0 2    với n đủ lớn. Vì vậy, 2 n n n 1 y t d t K 2    . Từ đó suy ra 2 KO ( y,d ) . Bây giờ giả sử h ( y;d , )=0 , và do đó tồn tại nt 0  và n  sao cho 2 2 n n n n 1 h( y t d t ) o( t ) 2    . Lấy '0, Y   . Đặt ' ': ( y y )     . Do tính lồi của h , với 't 0 đủ nhỏ ta có 2'11 t 0 2   và       2 2 2' ' ' ' ' ' '1 1 1h( y t d t ) (1 t ) ( t , ) t h y 2 2 2     , (1.10) trong đó 2 2 2' ' ' ' 1 ' ' 11 1 1( t , ) : h( y t ( 1 t ) d t ( 1 t ) ) 2 2 2          . Đặt:   21' ' 1t (1 t ) t , n n n2  tức là n n 2 n 2t t' (1 1 2 t )    , và   2' ' n n n 1 (1 t ) 2    . Khi đó, ' ' 2 2 n n n n n n 1 ( t , ) h( y t d t ) ( t ) 2       . 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Bởi vì ' ' n nt 0 , ( y y )       và h( y ) 0 , từ (1.10) ta suy ra với mọi 0  , h ( y;d , ) h( y ) 0    . Vì vậy, 2 KO ( y,d )  . Vì 2 KO ( y,d ) đóng, cho 0  ta nhận đƣợc 2 KO ( y,d ) . Do đó (1.8) đƣợc chứng minh. Nếu h(.) là lồi và liên tục tại y , thì các đạo hàm cấp hai ''h ( y,d ,.),h ( y,d ,.)  là nhƣ nhau. Khi đó, từ mệnh đề trên, với điều kiện Slater, ta suy ra K là khả vi theo phƣơng cấp hai tại điểm y theo phƣơng d khi và chỉ khi các tập mức  '': h ( y ;d , ) 0   và  '': h ( y ;d , ) 0   trùng nhau. Đặc biệt, K là khả vi theo phƣơng cấp hai nếu h(.) là khả vi theo hƣớng cấp hai. Mệnh đề 1.2 Với mọi Ky K,d T ( y )  , ta có K T ( y )K 2 2 K T ( y ) KT ( y,d ) T ( d ) T ( y,d ) T ( d )   , (1.11) K K 2 2 K T ( y ) K T ( y )O ( y,d ) T ( d ) O ( y,d ) T ( d )   . (1.12) Nhắc lại [5] rằng tập A X lồi khác  đƣợc gọi là lùi xa theo phƣơng 0d  , nếu   0A d A     . Tập các vectơ d X thoả mãn   0A d A     và vectơ d = 0 đƣợc gọi là nón lùi xa của A. 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Từ mệnh đề trên ta suy ra K ( y )T T ( d ) là nón lùi xa của 2 KT ( y,d ) và  2KO y,d khi mà các tập hợp này khác rỗng. Hơn nữa, nếu 2 K0 O ( y,d ) , thì  K 2 K T ( y )O ( y,d ) T ( d ) và khi 2 K0 T ( y,d ) thì ba tập này trùng nhau: K 2 2 K K T ( y )T ( y,d ) O ( y,d ) T ( d )  . Chú ý rằng    KT ( y ) K T ( d ) cl T ( y ) d  , trong đó  Kd T y ; KT ( y ) T ( d ) là rỗng, nếu  Kd T y . Theo công thức (1.14) và (1.15) dƣới đây cho ta một quy tắc để tính các xấp xỉ tiếp tuyến cấp hai của tập chấp nhận đƣợc 1: G ( K )  của ( P ) dƣới ngôn ngữ xấp xỉ tiếp tuyến cấp hai của K . Công thức này đúng với điều kiện chính quy Robinson:  0 00 int G(x ) DG( x )X K   . (1.13) Mệnh đề 1.3 ([3]) Lấy 1 0x : G ( K )   và giả sử điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng. Khi đó, với mọi h X , 2 1 2 2 0 0 K 0 0 0T ( x ,h ) DG( x ) T ( G( x ),DG( x )h ) D G( x )( h,h )      , (1.14) 2 1 2 2 0 0 K 0 0 0O ( x ,h ) DG( x ) O ( G( x ),DG( x )h ) D G( x )( h,h )      . (1.15) 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.3. ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI Phần này trình bày các điều kiện tối ƣu cấp hai cần và đủ cho bài toán ( P ) . Với bài toán ( P ) , ta định nghĩa hàm Lagrange nhƣ sau:    *L( x, ) : f ( x ) ,G( x ) , Y  . Hàm Lagrangian suy rộng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:    * *L ( x, , ) : f ( x ) ,G( x ) , ( , ) Y      R. Giả sử 0x là nghiệm tối ƣu địa phƣơng của bài toán ( P ) . Khi đó, các điều kiện tối ƣu kiểu cấp một Fritz John có dạng: tồn tại *( , ) Y ,( , ) (0,0 )     R sao cho * x 0 K 0D L ( x , , ) 0, 0, N (G( x )).      (1.16) Ở đây    * * *KN ( y ) : y Y : y ,z y 0 , với mọi z K là nón pháp tuyến của K tại y . Kí hiệu * 0( x ) là tập hợp các nhân tử Lagrang suy rộng ( , ) (0,0 )   thỏa mãn điều kiện (1.16). Chú ý rằng với không gian Banach Y tập hợp * 0( x ) có thể rỗng. Điều kiện tối ƣu Fritz John ở trên là điều kiện cần cho nghiệm tối ƣu địa phƣơng, tức là * 0( x )  . Ta chú ý hai trƣờng hợp quan trọng. Cụ thể là khi Y là không gian hữu hạn chiều, hoặc khi K có phần trong khác rỗng. Nếu nhân tử  trong (1.16) khác không thì ta có thể lấy 1  , và vì vậy điều kiện cần cấp 1 trở thành  x 0 K 0D L( x , ) 0, N (G( x )) . (1.17) Với điều kiện chính quy Robinson (1.13), tập hợp 0( x ) các nhân tử Lagrange thỏa mãn (1.17) là khác rỗng và bị chặn (xem [8]). 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Khi tập K là một nón lồi và y K , nón pháp tuyến KN ( y ) có dạng:  0* *KN ( y ) y K : y ,y   , trong đó  * * *K : y Y : y ,y 0, y K      là nón cực của nón K (đối ngẫu âm). Trong trƣờng hợp đó, điều kiện K 0N (G( x )) trở thành K  và 0,G( x ) 0  . Nhắc lại rằng: nón  0 0 K 0 0C( x ): h X : DG( x )h T (G( x )),Df ( x )h 0    (1.18) đƣợc gọi là nón tới hạn (critical cone) của bài toán ( P ) tại điểm 0x . Nón này biểu diễn các phƣơng tuyến tính hóa cấp một của ( P ) . Chú ý rằng khi tập 0( x ) các nhân tử Lagrange khác rỗng thì 0Df ( x )h 0 với mọi h X thỏa mãn 0 K 0DG( x )h T (G( x )) . Trong trƣờng hợp đó bất đẳng thức 0Df ( x )h 0 , trong định nghĩa của nón tới hạn có thể thay bởi đẳng thức 0Df ( x )h 0 . Điều đó là tƣơng đƣơng với 0,DG( x )h 0  với mọi 0( x )  . Bây giờ ta có thể phát biểu điều kiện cần tối ƣu cấp hai dựa trên sự phân tích đƣờng cong chấp nhận đƣợc parabol có dạng 2 2 0 1 x(t) = x th t + o(t ) 2   , (1.19) trong đó t 0 . Điều kiện cần này kết hợp với điều kiện đủ trong định lý 1.2 dẫn tới khái niệm chính quy cấp hai. 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Định lý 1.1 Giả sử 0x là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán ( P ) . Giả sử rằng điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng. Khi đó, với mọi 0h C( x ) và tập lồi bất kỳ T 2 K 0 0( h ) O (G( x ),DG( x )h ) ,  0 2 xx 0 ( x ) Sup D L( x , )( h,h ) ( ,       T ( )) 0h  . (1.20) Chứng minh Chú ý rằng nếu T (h)=  thì (., T (h)) =   và (1.20) đúng một cách tầm thƣờng. Ta giả sử T (h) và do đó tập 2 K 0 0O (G( x ),DG( x )h ) khác rỗng. Ta khẳng định rằng giá trị tối ƣu của bài toán: 2 0 0 X MinDf ( x ) +D f ( x )( h,h )  , (1.21) 2 2 0 0 K 0 0DG( x ) +D G( x )( h,h ) O (G( x ),DG( x )h )  là không âm. Thật vậy, nếu  là điểm chấp nhận đƣợc của bài toán này, sử dụng mệnh đề 1.3 ta nhận đƣợc 2 00 ( x ,h ) , trong đó: 1: G ( K )  . Vì thế ta có thể tìm đƣợc dãy kt 0 sao cho    2 2k 0 k k 1 x : x t h t + o(t ) 2  . 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Dãy kx là chấp nhận đƣợc của bài toán ( P ) và hội tụ đến cực tiểu địa phƣơng 0x . Do đó, k 0f ( x ) f ( x ) với mọi k đủ lớn. Sử dụng khai triển Taylor cấp hai ta có 2 2 2 0 k 0 k 0 k 0 0 k 1 f ( x ) f ( x ) f ( x ) t Df ( x )h t Df ( x ) +D f ( x )( h,h ) ( t ) 2        . Bởi vì 0Df ( x )h 0 , với bất kỳ 0h C( x ) , ta nhận đƣợc 2 0 0Df ( x ) +D f ( x )( h,h ) 0 . Nhƣ vậy, giá trị tối ƣu của bài toán (1.21) không âm. Bây giờ ta xét tập T(h) := cl {T (h) K 0T (G( x )) . Tập này là bao đóng tôpô của tổng hai tập lồi và vì thế là lồi. Hơn nữa, từ bao hàm thức (1.12) và sự kiện: các tập tiếp tuyến ngoài cấp hai đóng, ta suy ra 2 K 0 0T( h ) O (G( x ),DG( x )h ) . Rõ ràng nếu ta thay đổi các tập tiếp tuyến cấp hai ngoài trong (1.21) bằng tập con T( h ) của nó thì giá trị tối ƣu của bài toán tối ƣu sẽ lớn hơn hay bằng giá trị tối ƣu của (1.21). Do đó, giá trị tối ƣu của bài toán: 2 0 0 X MinDf ( x ) +D f ( x )( h,h )  , (1.22) 2 0 0DG( x ) +D G( x )( h,h ) T( h )  là không âm. Bài toán tối ƣu (1.22) lồi và đối ngẫu (tham số) của nó là:   0 2 xx 0 (x ) Max D L( x , )( h,h ) ( ,T( h ))      (1.23) Thật vậy, hàm Lagrange của (1.22) là 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 x 0 xx 0L( , )=D L( x , ) +D L( x , )( h,h )   . Bởi vì với bất kỳ z T( h ) , ta có K 0z T (G( x )) T( h ),  cho nên ( ,T( h ))    với mỗi  K 0 K 0T (G( x )) N (G( x ))  . Vì thế miền hữu hiệu của đối ngẫu tham số của (1.22) là nằm trong 0( x ) . Khi đó ta suy ra tính đối ngẫu. Hơn nữa, điều kiện chính quy Robinson (1.13) kéo theo 0 K 0DG( x )X T (G( x )) Y  . Bởi vì với bất kỳ z T( h ) thì K 0z T (G( x )) T( h )  , ta có 0z DG( x )X T( h ) Y   . Do đó (1.22) có một nghiệm chấp nhận đƣợc và điều kiện chính quy Robinson cho bài toán (1.22) cũng đúng. Do đó, không có lỗ hổng đối ngẫu giữa (1.22) và đối ngẫu (1.23) (xem [3]). Ta nhận đƣợc giá trị tối ƣu của (1.23) không âm. Bởi vì T (h) T( h ) , ta có ( ,  T (h)) ( ,T( h ))  . Vì vậy ta suy ra (1.20) và định lý đƣợc chứng minh. Nhận xét (i) Nhƣ chúng ta đã đề cập ở phần trƣớc, tập tiếp tuyến cấp hai ngoài 2 K 0 0O (G( x )),DG( x )h ) có thể không lồi. Tuy nhiên khi nó lồi ta có thể sử dụng tập này ở trong điều kiện cấp hai (1.20), và ta nhận đƣợc một điều kiện cần tốt hơn. Trong bất kỳ trƣờng hợp nào có thể lấy T (h) là tập tiếp tuyến cấp hai trong 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 K 0 0T (G( x )),DG( x )h . Nói chung, tập T (h) có thể lấy lớn hơn 2 K 0 0T (G( x ),DG( x )d ) và do đó định lý 1.1 là mạnh hơn. (ii) Chú ý rằng trong điều kiện cần tối ƣu cấp hai, giá trị tối ƣu của bài toán (1.21) là không âm. (iii) Nếu 2 K 0 00 O (G( x ),DG( x )h ) với mọi 0h C( x ) , nói riêng nếu tập K là một đa diện, thì K 0 2 K 0 0 T ( G( x )) 0O ( G( x ),DG( x )h ) T ( DG( x )h ) , và ( ,  T (h)) = 0 với mỗi 0( x )  , và T (h) 2 K 0 0: O (G( x ),DG( x )h ) . (iv) Giả sử  là tập hợp của các dãy  nt các số dƣơng hội tụ tới 0. Với bất kỳ  ns= t  , y K , và Kd T ( y ) ta có thể đƣa vào tập tiếp tuyến cấp hai dƣới đây: 2,s 2 2 K n 1 T ( y,d ) : :dist(y+t d t ,K)= (t ) 2         . Với bất kỳ s  , tập 2,s KT (y,d) là lồi và đóng. Rõ ràng giao của 2,s KT ( y,d ) theo tất cả s  là 2 KT (y,d) , và hợp của 2,s KT ( y,d ) lấy theo s  là 2 KO ( y,d ) . Một cách chọn T (h) là 2,s K 0 0T (G( x ),DG( x )h ) với bất kỳ s  . (v) Ta có thể phát biểu điều kiện cần cấp hai (1.20) dƣới dạng   0 2 xx 0 O(h) ( x ) inf sup D L( x , )( h,h ) ( ,T( h )) 0          , (1.24) T (h) 21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên trong đó O(h) kí hiệu tập tất cả các tập con lồi của 2 K 0 0O (G( x ), DG( x )h ) . Nói riêng, nếu ta lấy tất cả các tập con một phần tử của 2 K 0 0O (G( x ), DG( x )h ) thì điều kiện (1.24) kéo theo điều kiện cần dƣới đây   2 0K 0 0 2 xx 0 ( x )y O ( G( x ),DG( x )h ) inf sup D L( x , )( h,h ) ,y 0      . (1.25) Nếu 0( x ) là tập một phần tử, chẳng hạn  0 0( x )  , thì điều kiện (1.25) trở thành 2 2 xx 0 0 0 K 0 0D L( x , )( h,h ) ( ,O (G( x ),DG( x )h )) 0   . (1.26) Định nghĩa 1.1 Giả sử S  là tập các điểm chấp nhận được của bài toán ( P ) thoả mãn 0f ( x ) f với mỗi x S . Ta nói rằng điều kiện tăng trưởng cấp hai đúng tại S nếu tồn tại hằng số c 0 và lân cận N của S sao cho    2 0f ( x ) f c dist(x,S) với mọi x N  . (1.27) Nói riêng, nếu   0S x là tập một phần tử, điều kiện tăng trƣởng cấp hai (1.27) sẽ có dạng 2 0 0f ( x ) f ( x ) c x x   với mọi x N  . (1.28) Điều này rõ ràng kéo theo 0x là một nghiệm tối ƣu địa phƣơng của ( P ) . Hơn nữa, với giả thiết điều kiện Ronbinson (1.13) đúng, khi đó với bất kỳ 0h C( x ) giá trị tối ƣu của (1.21) là lớn hơn hay bằng 2 2c h . Vì 22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên thế điều kiện cần cấp hai (1.20) trở thành bất đẳng thức chặt với mọi 0h C( x ) khác không. Điều kiện cần cấp hai (1.20) đƣợc dựa trên đánh giá ƣớc lƣợng trên của hàm mục tiêu dọc theo đƣờng cong parabol chấp nhận đƣợc có dạng (1.19). Để đánh giá ƣớc lƣợng dƣới, và do đó để nhận đƣợc điều kiện đủ cấp 2 ta đƣa vào khái niệm sau. Định nghĩa 1.2 Giả sử Ky K,d T ( y )  và xét ánh xạ tuyến tính liên tục M : X Y . Ta nói rằng tập đóng K,MA ( y,d ) Y là xấp xỉ trên cấp 2 của K tại y theo phương d và theo M , nếu với bất kỳ dãy ky K có dạng 2 k k k k 1 y : y t d t r 2    , trong đó kt 0 và k k kr M a  với  ka là dãy hội tụ trong Y và  k X  thỏa mãn k kt 0  , điều kiện dưới đây đúng: k K ,M k limdist( r ,A ( y,d )) 0   . (1.29) Nếu điều kiện trên đúng với bất kỳ X và M , tức là (1.29) thỏa mãn với bất kỳ dãy   2k k k 1 y t d t r K 2 sao cho k kt r 0 , thì ta bỏ qua M và nói rằng tập KA ( y,d ) là tập xấp xỉ trên cấp hai của K tại điểm y theo phương d . Định nghĩa trên nhằm mục đích cho ta tập đủ lớn KA ( y,d ) sao cho nếu y td ( t )  là đƣờng cong trong K mà tiếp xúc với d với 23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ( t ) ( t )  , thì số dƣ cấp hai 2 ( t ) r( t ) : 1 t 2   tiến đến KA ( y,d ) khi t 0 . Chú ý rằng số dƣ r(t) và dãy k kr r( t ) có thể không bị chặn. Xấp xỉ trên cấp hai KA ( y,d ) không duy nhất. Rõ ràng, nếu KA ( y,d ) B , thì B cũng là xấp xỉ trên cấp hai. Nếu Ky K,d T ( y )  và y d K   thì Kd+ T ( y ) . Vì vậy, KT ( y ) T ( d ) . Do đó, KT ( y ) T ( d ) là tập xấp xỉ trên cấp hai. Từ định nghĩa suy ra tập tiếp tuyến cấp hai ngoài 2 KO ( y,d ) nằm trong các tập xấp xỉ trên cấp hai K ( y,d ) . Định lý 1.2 Giả sử 0x là điểm chấp nhận được của bài toán ( P ) thỏa mãn điều kiện tối ưu cấp một ( kiểu Fritz John) (1.16). Giả sử mỗi 0h C( x ) tương ứng với một tập xấp xỉ trên cấp hai trên K ,M 0( h ) : ( y ,d )  của tập K tại điểm 0 0y : G( x ) theo phương 0d : DG( x )h và theo ánh xạ tuyến tính 0M : DG( x ) . Giả sử rằng điều kiện cấp hai dưới đây thỏa mãn:   * 0 2 * xx 0 ( , ) ( x ) sup D L ( x , , )( h,h ) ( , ( h )) 0            (1.30) với mọi  0h C( x )\ 0 . Khi đó, điều kiện tăng trưởng cấp hai (1.28) đúng tại 0x , và vì vậy 0x là nghiệm tối ưu địa phương chặt của ( P ) . Chứng minh Ta chứng minh phản chứng. Giả sử rằng điều kiện tăng trƣởng cấp hai là không đúng tại 0x . Khi đó tồn tại dãy điểm chấp nhận đƣợc k k 0x ,x x  , hội tụ tới 0x và sao cho 24 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 k 0 kf ( x ) f ( x ) o( t )  , (1.31) trong đó k k 0t : x x  . Bởi vì không gian X là hữu hạn chiều, các tập con đóng bị chặn trong X là compact. Vì vậy ta có thể giả sử rằng k 0 k k x x h : t   hội tụ đến một vectơ h X . Rõ ràng h 1 , và vì vậy h 0 . Sử dụng khai triển Taylor cấp một, do kG( x ) K , ta nhận đƣợc 0 K 0DG(x )h T (G(._.