Về các radical trong PI. Đại số

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH Nguyeãn Thaønh Nam VEÀ CAÙC RADICAL TRONG PI. ÑAÏI SOÁ Chuyeân ngaønh : Ñaïi soá vaø lyù thuyeát soá Maõ soá : 60 46 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: PGS.TS. BUØI TÖÔØNG TRÍ Thaøn phoá Hoà Chí Minh 2008 LÔØI CAÛM ÔN Tröôùc tieân, toâi xin baøy toû loøng bieát ôn thaønh kính ñeán Thaày PGS. TS. BUØI TÖÔØNG TRÍ ñaõ taän tình chæ baûo toâi trong quaù trình thöïc hieän luaän vaên naøy. Toâi cuõng xin voâ cuøng bieát ôn caùc Thaày: PGS. TS. BUØI XUAÂN HAÛI, PGS.TS. MÎ VINH QUANG, TS. TRAÀN HUYEÂN, TS. NGUYEÃN VIEÁT ÑOÂNG vaø caùc Thaày coâ trong khoa Toaùn Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh ñaõ tröïc tieáp höôùng daãn toâi hoïc taäp, nhöõng ngöôøi ñaõ ñöa toâi ñeán ngöôõng cöûa cuûa khoa hoïc vaø giuùp toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Cho pheùp toâi ñöôïc kính chuùc PGS.TS. BUØI TÖÔØNG TRÍ, PGS. TS BUØI XUAÂN HAÛI, PGS.TS. MÎ VINH QUANG, TS. TRAÀN HUYEÂN, TS. NGUYEÃN VIEÁT ÑOÂNG vaø taát caû quyù thaày coâ trong Khoa Toaùn, Phoøng Khoa Hoïc Coâng Ngheä vaø Sau Ñaïi Hoïc Tröôøng ÑHSP TP. Hoà Chí Minh lôøi chuùc söùc khoûe, cuøng vôùi loøng tri aân saâu saéc nhaát cuûa toâi. Qua ñaây, toâi xin ñöôïc göûi lôøi caûm ôn ñeán taát caû caùc baïn hoïc vieân cao hoïc khoùa 16 ñaõ tieáp söùc vaø giuùp ñôõ toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp taïi tröôøng. Cuoái cuøng, toâi xin baøy toû loøng thaønh kính bieát ôn ñeán toaøn theå moïi ngöôøi trong gia ñình toâi. TP. Hoà Chí Minh, ngaøy thaùng 9 naêm 2008 Taùc giaû luaän vaên NGUYEÃN THAØNH NAM MÔÛ ÑAÀU 1. Lí do choïn ñeà taøi Trong thôøi gian theo hoïc ôû tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh, chuùng toâi ñöôïc nghe giaûng moät soá chuyeân ñeà veà lyù thuyeát vaønh cuûa Thaày PGS.TS BUØI TÖÔØNG TRÍ. Chuû ñeà ñöôïc trình baøy döïa treân neàn taûng cuûa cuoán saùch: Introducton to Commutative Algebra cuûa M.F. ATIYAH vaø I.G.MACDONALD, cuoán saùch NONCOMMUTATIVE RINGS cuûa I.N.HERSTEIN, cuoán saùch STRUCTURE OF RINGS cuûa NATHAN JACOBSON, vaø cuoán saùch LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441- PI ALGEBERAS AN INTRODUCTION cuûa NATHAN JACOBSON. Qua tìm hieåu, toâi nhaän ra ñöôïc söï quan troïng cuûa PI. Ñaïi soá trong nhieàu lónh vöïc cuûa ñaïi soá noùi chung vaø trong vieäc xaây döïng caâu truùc vaønh noùi rieâng. Töø ñaây, toâi ñaõ ñi saâu tìm hieåu veà moät chuû ñeà nhoû cuûa lyù thuyeát vaønh laø: Veà caùc Radical trong PI. Ñaïi soá. Luaän vaên taäp trong nghieân cöùu caáu truùc cuûa caùc Radical treân caùc treân caùc vaønh vaø moái lieân heä giöõa chuùng treân caùc caáu truùc ñaïi soá khaùc nhau. 2. Muïc ñích Heä thoáng laïi toaøn boä caùc khaùi nieäm veà Radical vaø töø nhöõng khaùi nieäm ñoù chuùng toâi ñi nghieân cöùu veà moái quan heä giöõa chuùng treân caùc ñaïi soá giao hoaùn vaø khoâng giao hoaùn. 3. Ñoái töôïng vaø noäi dung nghieân cöùu Caáu truùc cuûa caùc ñaïi soá giao hoaùn vaø khoâng giao hoaùn. Moái quan heä giöõa caùc Radical treân caùc caáu truùc ñaïi soá khaùc nhau. 4. YÙ nghóa khoa hoïc thöïc tieãn Hình thaønh heä thoáng loâgíc caùc caáu truùc veà Radical vaø vaän duïng chuùng trong vieäc xaây döïng caùc caáu truùc ñaïi soá . 5. Noäi dung cuûa luaän vaên Chöông 1. Caùc kieán thöùc cô baûn Trong chöông naøy, taùc giaû luaän vaên ñaõ ñöa ra heä thoáng nhöõng kieán thöùc veà: Vaønh, ideal treân vaønh, moâ ñun treân vaønh, ñaïi soá treân vaønh vaø ñoàng nhaát thöùc treân ñaïi soá. Taát caû nhöõng kieán thöùc treân ñöôïc ñöa ra vöøa ñuû ñeå laøm kieán thöùc neàn cho chöông 2, 3. Chöông 2. Xaây döïng caùc loaïi Radical Trong chöông naøy, taùc giaû luaän vaên ñaõ tieán haønh xaây döïng caùc loaïi radical theo caùc chuû ñeà chính sau: - Xaây döïng Radical treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò. - Xaây döïng Radical Jacobson treân vaønh khoâng giao hoaùn. - Nghieân cöùu Radical Jacobson treân caùc vaønh ñaëc bieät khaùc. - Nghieân cöùu veà Radical treân ñaïi soá A, Coù 4 loaïi radical: Levitzki nil radical, Upper nil radical, lower nil radical, Jacobson radical. Chöông 3. Caùc Radical Trong caùc PI- ñaïi soá Trong chöông naøy, taùc giaû luaän vaên ñaõ tieán haønh xaây döïng moái quan heä bao haøm giöõa caùc loaïi radical treân caùc caáu truùc nhö sau: Treân ñaïi soá A, treân PI-ñaïi soá, PI- ñaïi soá phoå duïng. Töø ñaây, taùc giaû ñaõ ñöa ra moät soá keát quaû khaù toång quaùt veà moái quan heä bao haøm giöõa caùc radical. Luaän vaên ñöôïc hoaøn thaønh trong söï coá gaéng cuûa taùc giaû luaän vaên cuøng vôùi söï giuùp ñôõ heát söùc taän tình cuûa thaày giaùo höôùng daãn PGS.TS BUØI TÖÔØNG TRÍ. Vì thôøi gian nghieân cöùu luaän vaên khoâng ñöôïc nhieàu neân luaän vaên coøn coù nhieàu vaán ñeà chöa khai thaùc ñöôïc moät caùch trieät ñeå vaø cuõng khoâng theå traùnh khoûi nhöõng sai soùt. Vì vaäy, toâi raát chaân thaønh ghi nhaän nhöõng yù kieán ñoùng goùp cuûa quyù thaày trong khoa toaùn cuûa tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh, caùc ñoàng nghieäp vaø taát caû moïi ngöôøi. Chöông 1. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 1.1. Vaønh, Moñun Vaø Ideal 1.1.1. Ñònh nghóa Vaønh Vaønh R laø taäp hôïp  ñöôïc trang bò hai pheùp toaùn hai ngoâi, pheùp coäng vaø pheùp nhaân sao cho: i/ R cuøng vôùi pheùp toaùn coäng laø nhoùm Abel  Phaàn töû trung hoøa kyù hieäu laø o  x A, toàn taïi phaàn töû ñoái, kyù hieäu –x. ii/ pheùp nhaân coù tính keát hôïp: x(yz) = ( xy)z,x, y, z R iii/ pheùp nhaân phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng: ( x +y)z = xz +yz, x(y+z) = xy + xz,x, y, z R * Neáu R thoûa maõn theâm hai tính chaát: iv/ pheùp nhaân coù tính giao hoaùn: xy = yx, x, y R v/ Toàn taïi phaàn töû ñôn vò, kyù hieäu 1: x1=1x =x,x R Thì R ñöôïc goïi laøvaønh giao hoaùn coù ñôn vò. Trong luaän vaên naøy, neáu khoâng noùi gì theâm, caùc vaønh ñöôïc xeùt thuoäc lôùp vaønh ñôn giaûn nhaát: Vaønh khoâng giao hoaùn vaø khoâng nhaát thieát phaûi chöùa ñôn vò. 1.1.2. Ñònh nghóa Moâñun Moät R – moâñun laø moät nhoùm coäng Abel M cuøng vôùi taùc ñoäng ngoaøi töø R vaøo M, töùc laø moät aùnh xaï töø MxR vaøo M sao cho: caëp (m,r) bieán thaønh mr R sao cho: i/ m( a+b) = ma +mb ii/ (m+n)a =ma + na iii/ (ma)b = m(ab), vôùi moïi m, n  M vaø moïi a, b R. Neáu R laø vaønh coù chöùa ñôn vò 1 vaø m1 = m thì M goïi laø moâñun Unitary. 1.1.3. Ñònh nghóa moâñun trung thaønh Moät R- moâñun M ñöôïc goïi laø trung thaønh neáu: Mr = keùo theo r = 0 1.1.4. Ñònh nghóa caùi linh hoùa Caùi linh hoùa cuûa R-moâñun M, kyù hieäu laø: annR(M) =   0/ MrRr  Neáu M laø R-moâñun trung thaønh thì annR(M) =. 1.1.5.Ñònh nghóa Ideal Moät ideal phaûi(traùi) cuûa vaønh R laø vaønh con cuûa vaønh R sao cho: R   (hay R   ). Nghóa laø: xy Rx , , y  (hay yx Rx,  , y  ). Moät ideal vöøa laø ideal traùi vöøa laø ideal phaûi thì goïi laø ideal hai phía. 1.1.6. Ñònh nghóa moâñun baát khaû quy M ñöôïc goïi laø R moâñun baát khaû quy neáu: MR  0 vaø M khoâng coù moâñun con thöïc söï naøo. 1.1.7. Boå ñeà M laø R- moâñun baát khaû quy  /RM , vôùi  laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy. 1.1.8. Ñònh nghóa  laø ideal phaûi cuûa R, kyù hieäu: ( :R ) =   Rx/Rx 1.1.9. Boå ñeà a/ Neáu  laø ideal phaûi chính quy thì ( :R ) laø ideal hai phía lôùn nhaát cuûa R naèm trong  b/ Neáu laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy thì annR(M)= ( :R ); M = R/ c/ Neáu  laø ideal phaûi chính quy cuûa R (  R) thì  naèm trong ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy naøo ñoù. 1.1.10. Ñònh nghóa moâñun hoaøn toaøn khaû quy A laø R – moâñun hoøan toaøn khaû quy neáu noù thoûa maõn moät trong caùc meänh ñeà sau: a/ A =  Ii iA , vôùi Ai laø R-moâñun con baát khaû quy cuûa A b/ A= iIi A , vôùi Ai laø R-moâñun con baát khaû quy cuûa A c/ vôùi Ai laø R-moâñun con cuûa A laø haïng töû tröïc tieáp cuûa A. 1.1.11. Ñònh nghóa ñoàng caáu moâñun Goïi M, N laø caùc R- Moâñun. Moät ñoàng caáu moâñun treân R (hay R-ñoàng caáu) laø aùnh xaï f: M ->N thoûa maõn: i/ f(x +y) = f(x) + f(y) ii/ f(ax) = af(x)  x, y  M, a  R khi ñoù: * Aûnh cuûa ñoàng caáu f laø taäp hôïp Imf = f(M) * Haït nhaân cuûa ñoàng caáu f laø taäp hôïp: Kerf = f-1(  0 ) =  0)x(f/Mx  1.1.12.Ñònh nghóa Ideal nguyeân toá Moät ideal P cuûa vaønh R ñöôïc goïi laø ideal nguyeân toá neáu: P  R vaø x, y R, ta coù: xyP xP hoaëc yP Ñònh nghóa Ideal toái ñaïi: moät ideal m cuûa vaønh R ñöôïc goïi laø ideal toái ñaïi neáu m  R vaø vôùi moïi ideal  cuûa R thoûa maõn   R, m  thì  =m. 1.1.13. Ñònh nghóa Ideal chính Moät ideal  cuûa vaønh R ñöôïc goïi laø ideal chính neáu toàn taïi a  , sao cho  = . 1.1.14.Ñònh nghóa i/ moät phaàn töû a R ñöôïc goïi laø luõy linh neáu an = 0, vôùi soá n töï nhieân naøo ñoù. ii/ moät ideal phaûi ( traùi, hai phía )  cuûa R laø nil ideal neáu moïi phaàn töû cuûa noù ñeàu luõy linh. iii/ Moät ideal phaûi( traùi, hai phía )  cuûa R laø luõy linh neáu toàn taïi soá töï nhieân m: a1a2 …..am =0, vôùi moïi a1, ….am  . Hay: moät ideal phaûi cuûa R laø luõy linh khi vaø chæ khi m = vôùi moät soá töï nhieân m naøo ñoù.  Nhaän xeùt Trong khi moïi ideal luõy linh ñeàu laø nil ideal thì coù nhöõng nil ideal khoâng nhaát thieát luõy linh. 1.1.15. Ñònh nghóa 1/ moät phaàn töû a R ñöôïc goïi laø töïa chính quy phaûi neáu: toàn taïi phaàn töû a’ R sao cho: a + a’ +aa’ = 0. Ta goïi a’ laø töïa nghòch ñaûo phaûi cuûa a. 2/ Ideal phaûi cuûa R laø töïa chính quy phaûi neáu moïi phaàn töû cuûa noù ñeàu töïa chính quy phaûi 1.1.16. Ñònh nghóa ideal chính quy Moät ideal phaûi  cuûa R ñöôïc goïi laø chính quy neáu toàn taïi a R: x –ax  , x R. * Phaàn töû chính quy cuûa A laø phaàn töû khoâng coù öôùc cuûa khoâng beân phaûi hay beân traùi. 1.1.17. Ñònh nghóa (nil radical cuûa vaønh R) Moät ideal m cuûa vaønh R laø nil radical neáu vaø chæ neáu: * m laø moät nil ideal * R/m khoâng chöùa ideal luõy linh khaùc khoâng naøo. 1.1.18. Ñònh nghóa(Vaønh nil radical ) Vaønh R laø vaønh nil (hay luõy linh) chöùa ideal B sao cho B vaø R/B laø nil( hay luõy linh) thì R laø nil(hay luõy linh) vaø khi ñoù R cuõng ñöôïc goïi laø nil radical. 1.1.19. Ñònh nghóa taâm cuûa R Cho vaønh R, taäp hôïp:C = {c  R / cr = rc,  r  R ñöôïc goïi laø taâm cuûa vaønh R. 1.2. Ñaïi Soá Treân Vaønh Ñeå tieän cho vieäc trình baøy ñöôïc ngaén goïn, ta quy öôùc: - Vaønh A ñöôïc hieåu laø vaønh khoâng giao hoaùn, coù ñôn vò. - Vaønh K laø vaønh giao hoaùn, coù ñôn vò vaø ñöôïc duøng laøm vaønh cô sôû - I deal khoâng ñöôïc kyù hieäu laø - Ideal ñöôïc hieåu laø ideal hai phía 1.2.1. Ñònh nghóa ñaïi soá A A ñöôïc goïi laø ñaïi soá treân vaønh K giao hoaùn coù ñôn vò neáu: - A laø K – moñun - A laø vaønh - vôùi moïi k K; vôùi moïi a, b  A : k(ab) =(ka) =a(kb) Töø ñaây neáu khoâng noùi gì theâm, ñaïi soá A ñöôïc hieåu laø ñaïi soá coù ñôn vò treân vaønh K 1.2.2. Ñònh nghóa ñaïi soá ñoái A0 Ñaïi soá ñoái cuûa ñaïi soá A laø ñai soá: * A0 = A nhö laø K- moâñun * Pheùp nhaân treân A0, kyù hieäu *, ñöôïc xaùc ñònh: vôùi moïi a, b A0, a*b =b.a 1.2.3. Ñònh nghóa Neáu A, B laø K- ñaïi soá thì A B k  cuõng laø ñaïi soá 1.2.4. Ñònh nghóa ñaïi soá con Cho ñaïi soá A vaø BA vôùi 1A B. B ñöôïc goïi laø ñaïi soá con cuûa A neáu B laø K- ñaïi soá vôùi pheùp toaùn caûmsinh treân A 1.2.5. Ñònh nghóa ñoàng caáu ñaïi soá Cho A, B laø k- ñaïi soá. AÙnh xaï f: A -> B goïi laø ñoàng caáu ñaïi soá khi f vöøa laø ñoàng caáu vaønh, vöøa laø ñoàng caáu moâñun. 1.2.6. Ñònh nghóa tích tröïc tieáp ( Ai ) iI laø hoï k – ñaïi soá. Tích tröïc teáp cuûa hoï ñaïi soá (Ai ) iI kyù hieäu:  Ii iA laø tích cuûa caùc taäp Ai, treân ñoù ñöôïc trang bò moät caáu truùc ñaïi soá. 1.2.7. Tích tröïc tieáp con 1.2.7.1. Ñònh nghóa Ñaïi soá A goïi laø tích tröïc tieáp con cuûa hoï ñaïi soá Ai neáu toàn taïi moät ñôn caáu    Ii iAA: sao cho: i laø toaøn caáu trong ñoù: i Ii ii AA:    laø toaøn caáu chieáu. 1.2.7.2. Ñònh lyù Cho ñaïi soá A laø tích tröïc tieáp con cuûa hoï ñaïi soá (Ai) iI luùc ñoù:   0 Ii i vaø Ai A/ i . Trong ñoù: i = Ker  i 1.2.7.3. Ñònh lyù Cho ñaïi soá A vaø ( i ) i I laø hoï caùc ideal trong A sao cho:   0 Ii i .Luùc ñoù A ñaúng caáu vôùi tích tröïc tieáp con cuûa( Ai ) iI, vôùi Ai A/ i . I.2.8. Ñaïi soá nguyeân toá 1.2.8.1. Ñònh nghóa Moät ñaïi soá goïi laø ñaïi soá nguyeân toá khi laø ideal nguyeân toá 1.2.8.2. Ñònh lyù A laø ñaïi soá. Luùc ñoù caùc meänh ñeà sau laø tuông ñöông: a/ A laø ñaïi soá nguyeân toá b/ vôùi moïi a, b A ; aAb = a =0 hoaëc b = 0. c/ linh hoùa phaûi cuûa ideal phaûi laø ideal d/ linh hoùa traùi cuûa ideal traùi laø ideal e / vôùi B,C laø hai ideal cuûa A vaø neáu B.C = thì B = hay C = 1.2.8.3 Ñònh lyù Taâm cuûa ñaïi soá nguyeân toá laø mieàn nguyeân 1.2.9. Ñaïi soá nöûa nguyeân toá 1.2.9.1 Ñònh nghóa Moät ñaïi soá goïi laø nöûa nguyeân toá khi noù khoâng chöùa ideal luõy linh naøo khaùc ideal 1.2.9.2 Ñònh lyù Cho A laø ñaïi soá. Caùc meänh ñeà sau laø töông ñöông: a/ A laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá b / laø ideal luõy linh duy nhaát cuûa A c / vôùi B, C laø hai ideal khaùc cuûa A vaø BC= thì BC = d / A laø tích tröïc tieáp con cuûa caùc ñaïi soá nguyeân toá 1. 2.9.3 Ñònh lyù a/ Moïi ñaïi soá nguyeân toá ñeàu laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá b/ Moïi ñaïi soá khoâng chöùa nil ideal khaùc laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá I.2.9.4. Ñònh lyù A laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá,  laø ideal toái tieåu phaûi khaùc . Luùc ñoù: eA , vôùi e  , e 0 , e2 = e. 1.2.10. Ñaïi soá nguyeân thuûy 1.2.10.1. Ñònh nghóa Moät ñaïi soá goïi laø ñaïi soá nguyeân thuûy khi noù coù moâdun baát khaû quy trung thaønh 1. 2.10.2. Ñònh lyù Ñaïi soá nguyeân thuûy laø ñaïi soá nguyeân toá 1.2.11. Ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy 1.2.11.1.Ñònh nghóa Moät ñaïi soá goïi laø ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy khi noù coù moâñun hoaøn toaøn khaû quy vaø trung thaønh. 1.2.11.2. Ñònh lyù Moïi ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy khi vaø chæ khi noù laø tích tröïc tieáp cuûa caùc ñaïi soá nguyeân thuûy. 1.2.12 Ñaïi soá ñôn 1.2.12.1 Ñònh nghóa Ñaïi soá A goïi laø ñaïi soá ñôn khi A khoâng chöùa ideal con naøo khaùc vaø A. 1.2.12.2. Ñònh lyù Taâm cuûa ñaïi soá ñôn laø moät tröôøng 1.2.13. Ñaïi soá Artin Ñaïi soá A goïi laø ñaïi soá Artin neáu thoûa maõn moät trong hai ñieàu kieän: a/ moãi taäp con khoâng roãng caùc ideal cuûa A ñeàu coù phaàn töû toái tieåu b/ moãi daõy giaûm caùc ideal cuûa A ñeàu döøng sau moät soá höõu haïn böôùc 1.2.14. Ñaïi soá ñòa phöông Ñaïi soá dòa phöông laø ñaïi soá coù moät ideal toái ñaïi duy nhaát 1.2.15. Ñònh nghóa Cho ñaïi soá A. khi ñoù: i/ A ñöôïc goïi laø ñaïi soá luõy linh neáu toàn taïi m: Am = ii/ A ñöôïc goïi laø ñaïi soá luõy linh ñòa phöông neáu moïi taäp con höõu haïn cuûa noù ñeàu sinh ra moät ñaïi soá con luõy linh. iii/ Moät ideal cuûa A ñöôïc goïi laø luõy linh ( luõy linh ñòa phöông, nil ideal ) neáu xem laø ñaïi soá thì noù laø ñaïi soá luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ñaïi soá). 1.3. Ñoàng Nhaát Thöùc Treân Ñaïi Soá Ñeå ñònh nghóa khaùi nieäm ñoàng nhaát thöùc ña thöùc cuûa moät ñaïi soá vaø moät PI – ñaïi soá tröôùc tieân ta xeùt ñaïi soá töï do trong moät taäp sinh ñeám ñöôïc treân vaønh giao hoùan coù ñôn vò K. Giaû söû X laø vò nhoùm töï do sinh bôûi taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû x1, x2, ……. Thì K  X laø taäp sinh bôûi 1, riii xxx ...21 cuûa caùc ñôn thöùc phaân bieät. Hai ñôn thöùc baèng nhau: riii xxx ... 21 = sjjj xxx ... 21      ,.....ji sr 11 Pheùp nhaân ñöôïc ñònh nghóa sao cho 1 laø phaàn töû ñôn vò vaø ( riii xxx ... 21 )( sjjj xxx ...21 ) = riii xxx ...21 sjjj xxx ...21 Xeùt K  X laø ñaïi soá vò nhoùm cuûa X treân K. K  X vöøa coù caáu truùc moâñun vöøa coù caáu truùc vaønh suy ra K  X laø ñaïi soá töï do vôùi taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû sinh xi. Tính chaát cô baûn cuûa K  X laø neáu A laø ñaïi soá baát kyø treân K vaø  laø aùnh xaï töø X ñeán A thì toàn taïi duy nhaát ñoàng caáu : K  X -> A sao cho bieåu ñoà sau giao hoaùn: K  X sao cho  = i A i   Vaø neáu f  K  X , f  K m1 x,...,x ñaïisoá con sinh bôûi taäp höõu haïn  m1 x,.....x vôùi m naøo ñoù. Ta vieát f = f( x1, …..xm ) aûnh cuûa ña thöùc naøy döôùi ñoàng caáu : K  X -> A bieán xi thaønh ai ( 1  i ) ñöôïc kyù hieäu: f(a1, ….,am), Aa i  . 1.3.1. Ñònh nghóa ñoàng nhaát thöùc f = f( x1, …..xm) laø ñoàng nhaát cuûa A neáu f(a1, …, am) = 0, Aa i  . 1.3.2 Ñònh nghóa ñoàng nhaát thöùc söï Ña thöùc f ñöôïc goïi laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï cuûa A neáu f laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A vaø toàn taïi moät heä soá cuûa f khoâng linh hoùa A. * Nhaän xeùt Neáu f laø ñoàng nhaát thöùc maø trong ñoù coù heä soá laø 1 hoaëc -1 thì f laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï. 1.3.3. Ñònh nghóa ñoàng nhaát thöùc chính quy maïnh: Ñoàng nhaát thöùc f cuûa A ñöôcï goïi laø ñoàng nhaát thöùc chính quy maïnh neáu f  0 vaø caùc heä soá khaùc 0 cuûa noù ñeàu laø caùc phaàn töû khaû nghòch cuûa K. 1.3.4 Ñònh nghóa PI-ñaïi soá Moät ñaïi soá A treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K ñöôïc goïi laø PI –ñaïi soá hay ñaïi soá vôùi ñoàng nhaát thöùc ña thöùc neáu toàn taïi moät ña thöùc f (a1, …, am )  K  X laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï ñoái vôùi moïi aûnh ñoàng caáu khaùc cuûa A. 1.3.5. Ñònh nghóa ñoàng nhaát thöùc chuaån Trong K  nxx ,...,1 ñoàng nhaát thöùc chuaån n bieán laø: f( x1, ……,xn)= Sn( x1, …, xn) =     )n(Sym )n()1( Sg x.....x.)1( * Chuù yù: Toång naøy coù n! ñôn thöùc. Sym(n) laø nhoùm ñoái xöùng baäc n ( )n(Sym = n!);  chaïy khaép trong Sym(n); (-1)Sg baèng 1 hoaëc -1 tuøy thuoäc vaøo  laø pheùp theá chaün hay leû. 1.3.6. Ñònh nghóa toaùn töû sai phaân Cho f = f( x1, …..,xm )  K  X . Khi ñoù toaùn töû sai phaân fij trong K  X xaùc ñònh bôûi fij ( x1, …..,xm) = f(x1,..,xi-1, xi+xj, xi+1,..xm) – f(x1,..,xi-1, xi,xi+1,..,xm) – f(x1,..,xi-1, xj, xi+1,..,xm) vôùi 1 mi  1.3.7. Ñònh nghóa ña thöùc taâm Moät ña thöùc f( x1, …..,xm) ñöôïc goïi laø ña thöùc taâm cuûa ñaïi soá A neáu f( x1, …..,xm ) khoâng laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A Vaø [ f( x1, …..xm), xm+1] laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A. 1.3.8. Ñònh lyù Kaplansy –Amitsur Neáu A laø ñaïi soá nguyeân thuûy thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thöïc söï baäc d thì taâm C cuûa A laø tröôøng, A ñôn vaø [ A:C] 2 2 d    . 1.3.9. Ñònh lyù Amitsur – Levitzky Ña thöùc chuaån S2n laø ñoàng nhaát thöùc cuûa Mn(K). 1.3.10. Ñònh lyù Kaplansky- Amitsur – Levitzky A laø ñaïi soá nguyeân thuûy. Khi ñoù A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thöïc söï khi vaø chæ khi A laø ñaïi soá ñôn vaø höõu haïn chieàu treân taâm C cuûa noù. Neáu d laø baäc nhoû nhaát cuûa ñoàng nhaát thöùc thöï söï cuûa A thì d = 2n laø soá chaün vaø [A:C ]= n2 ñoàng thôøi A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc chuaån Sd. Chöông 2. XAÂY DÖÏNG CAÙC LOAÏI RADICAL Trong chöông naøy, chuùng toâi seõ ñi vaøo trình baøy veà vieäc xaây döïng caùc loaïi Radical treân: Vaønh giao hoaùn coù ñôn vò, vaønh khoâng giao hoaùn (khoâng nhaát thieát coù ñôn vò) vaø ñoàng thôøi cuõng laø treân ñaïi soá A . ÔÛ ñaây, khi noùi ñeán ñaïi soá A treân vaønh K giao hoaùn coù ñôn vò ta coù theå goïi taét laø ñaïi soá A ñeå tieän cho vieäc trình baøy. Maët khaùc, khi noùi ñeán Radical treân vaønh khoâng giao hoaùn hay moät ñaïi soá naøo ñoù thì ta cuõng coù theå hieåu laø Radical cuûa ñaïi soá treân vaønh cô sôû cuûa noù. 2.1. Radical Jacobson & Nil Radical (Treân vaønh Giao Hoaùn Coù Ñôn Vò) 2.1.1. Ñònh nghóa nil radical Nil radical cuûa vaønh R (R laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò) laø taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû luõy linh trong R, kyù hieäu: Nil(R) 2.1.2. Boå ñeà Neáu R laø vaønh giao hoaùn vaø N laø giao cuûa taát caû caùc ideal nguyeân toá Thì N laø Nil radical cuûa R. Chöùng minh: Ñaët N =  p,  p laø ideal nguyeân toá cuûa R. Goïi L laø Nil radical cuûa R. Ta caàn chöùng minh L = N. * Tröôùc tieân ta chöùng minh: L  N. Laáy f  L  f luõy linh  nN*: fn =0 p (p laø ideal nguyeân toá tuøy yù cuûa R) f.fn-1 p  fp hay fn-1 p. + TH 1: neáu f p thì L N + TH2: neáu fn-1 p thì f.fn-2 p,.., cöù tieáp tuïc nhö theá sau n-1 böôùc ta luoân coù: fp,  p laø ideal nguyeân toá tuøy yù cuûa R hay f N. Vaäy L  N (1) * Tieáp theo ta chöùng minh: N L. Laáy f N, ta caàn chöùng minh f luõy linh. Baèng phaûn chöùng giaû söû fn 0,  n N*. Goïi  laø taäp hôïp caùc ideal  coù tính chaát:  n > 0, fn  . Theá thì    Vì  , vôùi quan heä bao haøm thoûa maõn Boå ñeà Zorn vì  ...21 Ta ñaët  =  Ii i   thì  laø ideal cuûa R. Ta coù fn   ,  nN* ( do fn  j ,  j ). Vaäy   vaø  laø caän treân cuûa ...21  . Khi ñoù, theo Boå ñeà Zorn trong  coù phaàn töû lôùn nhaát q. Ta caàn chöùng minh q laø ideal nguyeân toá. Thaät vaäy, neáu x,y q thì caùc ideal q+ , q+ thöïc söï chöùa q, do ñoù q+ , q+  suy ra: h, k sao cho: fh q+ , fk q+  fh+k  q+ q+    xy  q. Vaäy toàn taïi ideal nguyeân toá q maø f q  f N (!) maâu thuaãn  f L N L (2). Töø (1) vaø (2) suy ra L = N hay N laø Nil radical cuûa R. 2.1.3. Boå ñeà Giaû söû R laøvaønh giao hoaùn coù ñôn vòù. f = a0 +a1t + ……………+antn laø ña thöùc khaû nghòch trong R[t] thì a0, khaû nghòch trong R vaø a1, a2, …,an luõy linh trong R. Chöùng minh *Vì f khaû nghòch trong R[t]  g = b0 + b1t + …..bmtm R[t] sao cho f.g = 1  a0b0 + c1t + ……+cktk = 1         kji jikk 00 bac,0c 1ba a0 khaû nghòch trong R * Ta caàn chöùng minh: a1, a2, …, an luõy linh trong R. laáy p laø ideal nguyeân toá baát kyø cuûa R, goïi p[t] laø taäp hôïp caùc ña thöùc heä soá trong p khi ñoù p[t] laø ideal cuûa vaønh R[t] vaø R[t]/ p[t]   ]t[p/R vì  : R[t]   ]t[p/R Sao cho: f = a0 +a1t + ……………+antn  nn10 ta....taaf  Khi ñoù:  laø toøan caáu vaø ker =p[t] neân theo ñònh lyù Nô te ta coù: R[t]/ p[t]   ]t[p/R . Nhöng R/p laø mieàn nguyeân (vì p laø nguyeân toá ) neân caùc phaàn töû khaû nghòch duy nhaát cuûa vaønh ña thöùc laø ña thöùc baäc 0 vaø khaû nghòch trong R/p. Do vaäy, neáu f = a0 +a1t + ……………+antn khaû nghòch trong R[t]aûnh cuûa noù qua ñoàng caáu  laø nhöõng phaàn töû khaû nghòch.  n,1i;0a i  ai p, p laø ideal cuûa vaønh R ai  p ( p ideal cuûa vaønh R) maø N = p ( p ideal cuûa vaønh R) = Nil(R). Suy ra ai luõy linh. 2.1.4. Ñònh nghóa Radical Jacobson(treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò) Radical Jacobson cuûa vaønh A (A laø vaønh giao hoùan coù ñôn vò) laø giao cuûa taát caû caùc ideal toái ñaïi cuûa A. kyù hieäu laø J(A).  Nhaän xeùt: i/ Töø ñònh nghóa veà Radical Jacobson vaø Nil radical cuûa vaønh giao hoaùn coù ñôn vò A thì ta luoân coù: Nil(A)  J(A). ii/ Treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò A, trong khi moïi ideal luõy linh ñeàu laø nil ideal thì coù nhöõng nil ideal khoâng nhaát thieát luõy linh.Thaät vaäy: Ví duï1 - Laáy ñaïi soá giao hoaùn A = ii 21   - Laáy B = { x=(x1,…..,xj,…)A/ xj laø luõy thöøa cuûa  2 , j =1,2,…} - Khi ñoù: deã thaáy B laø nil radical cuûa A. - Giaû söû B luõy linh, khi ñoù toàn taïi m sao cho: Bm = hay (x1.x2…..xm)m =(0,….,0,..), vôùi moïi x1,…, xm thuoäc B. Khi ñoù: toàn taïi k > m sao cho: xi = ( xi1,…..,xik,0,…0,…) vaø ta laàn löôït laáy: x’i = ( xi1,…..,xik,  2 ,…0,…) thuoäc B, vôùi moïi i =1,2,…,m. Khi ñoù: (x’1.x’2…..x’m)m =(0,….,0, m 2 ,0,…) (0,…,0,…) maâu thuaãn vôùi giaû thieát. Vaäy: B khoâng luõy linh. 2.1.5. Meänh ñeà x J(A)  1 – xy khaû nghòch trong A,  y A. Chöùng minh  / giaû söû 1 – xy khoâng khaû nghòch trong A,  y A.nhöng moãi phaàn töû khoâng khaû nghòch ñeàu thuoäc moät soá ideal toái ñaïi m naøo ñoù. maët khaùc x  J(A)m do ñoù xy  m  1  m (!) maâu thuaãn vì m laø ideal toái ñaïi suy ra 1-xy khaû nghòch trong A,  y A (1).  / Giaû söû x  m, vôùi moät soá ideal toái ñaïi m naøo ñoù. Khi ñoù m vaø x sinh ra ideal (1), vì vaäy ta coù u + xy = 1, vôùi moät soá naøo ñoù u m, vaø y A 1-xy m. suy ra: 1 – xy khoâng khaû nghòch trong A( maâu thuaãn vôùi giaû thieát). Vaäy x m, m laø ideal toái ñaïi cuûa A hay x J(A). (2) Töø (1) vaø (2) suy ra: ñieàu phaûi chöùng minh. 2.1.6. Meänh ñeà Trong vaønh caùc ña thöùc moät aån K[x], K laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò, ta coù: J(K[x]) = Nil(K[x]) Ñeå chöùng minh meänh ñeà naøy, ta caàn nhaéc ñeán moät soá keát quaû trong vaønh giao hoaùn.  Boå ñeà 2.1.6.1: i/ Cho x laø phaàn töû luõy linh cuûa K. Khi ñoù 1 +x khaû nghòch trong K ii / Toång cuûa moät phaàn töû khaû nghich vaø moät phaàn töû luõy linh laø khaû nghòch.  Boà ñeà 2.1.6.2. Cho f =a0 + a1x +….+ anxn K[x] . Khi ñoù: f khaû nghòch trong K[x]  a0 khaû nghòch trong K vaø a1, a2,….an laø luõy linh trong K.  Boå ñeà 2.1.6.3. Nil(K[x]) = {f = a0 +a1x +…+anxn K[x] / a0, …, an luõy linh trong K} Chöùng minh: (Meänh ñeà 2.1.6) *Chöùng minh: J(K[x])  Nil(K[x]). Thaät vaäy: Ta coù:+J(K[x]) laø giao cuûa caùc ideal toái ñaïi cuûa K[x] +Nil(K[x]) laø giao cuûa taát caû caùc ideal nguyeân toá cuûa K[x] + Maø ideal toái ñaïi laø ideal nguyeân toá Vaäy: J(K[x])  Nil(K[x]) (1) * Chöùng minh: J(K[x]) Nil(K[x]) Laáy f  J(K[x]), f = a0 +a1x +…+anxn 1-fk khaû nghòch trong K[x], k K[x] . Khi ñoù choïn k = x thì: 1-fk = 1 – (a0x +a1x2 + …+anxn+1) khaû nghòch trong K[x]  a0,…, an luõy linh trong K  fNil(K[x]). Vaäy: J(K[x])  Nil(K[x]) (2) Töø (1) vaø (2). Ta suy ra: J(K[x]) = Nil(K[x]) 2.1.7. Meänh ñeà Treân vaønh ña thöùc K[x1, x2] = (K[x1])[x2], vôùi K laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò. Ta luoân coù: J(K[x1,x2]) = Nil(K[x1,x2]) Ñeå chöùng minh meänh ñeà naøy tröôùc tieân ta caàn chöùng minh boå ñeà sau: * Boå ñeà II.1.7.1 i/ f khaû nghòch trong K[x1, x2]  heä töû töï do khaû nghòch trong K vaø caùc heä töû coøn laïi luõy linh trong K ii/ f luõy linh trong K[x1, x2] f0 khaû nghòch trong K[x1] vaø f1,…,fn luõy linh trong K[x1].Trong ñoù:f= f0 +f1x2+ …+ fnx2n, vôùi fi K[x1], ni ,0 vaø fi =   im 0j ijb . Chöùng minh: i/ f laø khaû nghòch trong K[x1, x2]  f0 khaû nghòch trong K[x1] vaø f1, …., fn luõy linh trong K[x1]  b00 khaû nghòch trong K, b0j luõy linh trong K, 0m,1j  vaø bij luõy linh trong K, im,1j   heä töû töï do khaû nghòch trong K vaø caùc heä töû coøn laïi luõy linh trong K. ii / f luõy linh trong K[x1, x2]  f0,…, fn luõy linh trong K[x1]  caùc heä töû cuûa f luõy linh trong K. Chöùng minh: (Meänh ñeà 2.1.8)  Chöùng minh: J(K[x1,x2])  Nil(K[x1,x2]). Thaät vaäy: + Nil(K[x1, x2]) giao cuûa taát caû caùc ideal nguyeân toá cuûa K[x1, x2] + J(K[x1, x2]) laø giao cuûa taát caû caùc ideal toái ñaïi cuûa K[x1, x2] + Maø ideal toái ñaïi laø ideal nguyeân toá. Vaäy: J(K[x1,x2])  Nil(K[x1,x2])  Chöùng minh: J(K[x1,x2]) Nil(K[x1,x2]). Laáy f  J(K[x1,x2]), giaû söû f = f0 +f1x2 +…+fnx2n, fi K[x1],  i = n,0 1 – fk khaû nghòch trong K[x1, x2],  k K[x1, x2]. Khi ñoù choïn k = x2, ta coù: 1-fx2 = 1 – f0x2 +f1x22 + …+fnx2n+1 khaû nghòch trong K[x1, x2]  f0, f1, …, fn luõy linh trong K[x1]  caùc heä töû cuûa f luõy linh trong K  f Nil(K[x1, x2])  J(K[x1,x2]) Nil(K[x1,x2]). Vaäy: J(K[x1,x2]) = Nil(K[x1,x2]). Baèng phöông phaùp quy naïp ta suy ra ñöôïc keát quaû cuûa meänh ñeà sau: 2.1.8. Meänh ñeà Trong vaønh caùc ña thöùc K[x1,…,xn], K laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò. Ta luoân coù: Nil(K[x1,…,xn]) = J(K[x1,…,xn]) 2.1.9. Meänh ñeà Trong vaønh Artin A, vôùi A laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò. Ta luoân coù: Nil(A) = J(A). Chöùng minh Xeùt   laø ideal nguyeân toá cuûa A thì B = A/ laø mieàn nguyeân Artinian. Goïi x B, x  0 vaø do söï toàn taïi phaàn töû toái tieåu trong taäp hôïp caùc ideal cuûa A neân ta coù: = , vôùi n laø soá nguyeân duông naøo ñoù. Do ñoù xn = xn+1y, vôùi y B. Vì B laø mieàn nguyeân vaø x  0 neân ta coù theå ñôn giaûn xn ñeå coù ñöôïc: xy = 1. Do vaäy x coù phaàn töû nghòch ñaûo trong B vaø luùc ñoù B laø tröôøng. Vì vaäy  laø ideal toái ñaïi cuûa A. Maø: + Nil(A) laø giao cuûa taát caû caùc ideal nguyeân toá cuûa A + J(A) laø giao cuûa taát caû caùc ideal toái ñaïi cuûa A + Trong tröôøng hôïp naøy ideal nguyeân toá cuõng laø ideal toái ñaïi Vaäy: J(A) = Nil(A). Ví duï 2: Veà söï khaùc bieät giöõa nil radical vaø Radical Jacobson. Cho K laø tröôøng. Ñaët K[[x]] = i i i i 0 g(x) a x / a K ¥ = ì üï ïï ï= Îí ï ïï ïî å . Luùc ñoù K[[x]] laø ñaïi soá nguyeân toá ñia phöông thoûa maõn f vaø J(K[[x]])¹ . Thaät vaäy, vì K laø moät tröôøng neân K[[x]] laø ñaïi soá caùc ideal chính thoûa maõn f. Baây giôø ta seõ chöùng minh K[[x]] laø ñaïi soá ñòa phöông. Treân K[[x]], ideal laø ideal toái ñaïi vì x laø ña thöùc baát khaû quy treân K[[x]] ta seõ chöùng minh laø ideal toái ñaïi duy nhaát. Goïi g(x) ÎK[[x]], luùc ñoù g(x) = ii i 0 a x ¥ = å coù heä töû töï do a0 ¹ 0, vì neáu a0 = 0 thì g(x) Î. Maët khaùc, vì a0 Î K neân $a0-1 1 0 0K;a a 1 -Î = . Baây giôø ta xaây döïng ña thöùc h(x) nhö sau: Ñaët h(x) = i i i 0 b x ¥ = å trong ñoù caùc heä töû bi ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 0 2 0 1 1 1 n 0 n 0 1 n 1 b a b a a b b a (a b a b ) .......... b a (a b a b ) ............ - - - - - = =- =- + =- + Luùc ñoù: h(x).g(x)=1. Suy ra g(x) khaû nghòch trong K[[x]]. Khi ñoù:  xm vôùi m laø ideal naøo ñoù cuûa K[[x]] mxg  )( : g(x)  g(x) khaû nghòch m  K[[x]]. Vaäy laø ideal toái ñaïi duy nhaát cuûa K[[x]]. Suy ra: K[[x]] laø ñaïi soá ñòa phöông coù J(K[[x]])= ¹ =nil(K[[x]]) (vì K[[x]] laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá ). Ñieàu naøy daãn ñeán söï bao haøm nghieâm ngaët giöõa nil radical vaø Radical Jacobson cuûa moät ñaïi soá nguyeân toá ñòa phöông. 2.2. Radical Jacobson Cuûa Vaønh Vaø Ñaïi Soá Khoâng Giao Hoaùn: Nhaän xeùt: Baát kyø vaønh R khoâng giao hoaùn ñeàu coù theå xem laø ñaïi soá treân vaønh soá nguyeân Z. Tuy nhieân, khi ta goïi ñaïi soá A treân vaønh giao hoaùn coù ._. ñôn vò K thì ta ñaõ coá ñònh vaønh K ( goïi laø vaønh cô sôû) vaø thöôøng ñöôïc goïi taét laø ñaïi soá A. Chính vì vaäy, khi ta noùi Radical treân moät vaønh khoâng giao hoaùn naøo ñoù cuõng coù nghóa laø Radical cuûa ñaïi soá treân vaønh cô sôû cuûa noù. 2.2.1. Xaây döïng Radical Jacobson cuûa vaønh vaø ñaïi soá khoâng giao hoaùn: 2.2.1.1. Ñònh nghóa Radical jacobson cuûa vaønh R, kyù hieäu J(R) hoaëc Rad( R ), laø taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû cuûa R linh hoùa ñöôïc taát caû caùc moâñun baát khaû quy treân R J( R) =   0/ MaRa vôùi M laø R – moñun baát khaû quy. +Neáu R khoâng coù moñun baát khaû quy, ñaët J(R) =R, luùc ñoù R ñöôïc goïi laø vaønh Radical. +Ta coù annR(M) =  0/ MrRr vôùi moïi M laø R–moñun baát khaû quy. Suy ra: * J(R)= )(MannR , vôùi moïi M laø R – moñun baát khaû quy. * J(R) laø ideal hai phía cuûa R (vì annR(M) laø ideal hai phía cuûa R ) * Vì M ñöôïc hieåu nhö R – moñun phaûi neân J(R) ñöôïc goïi laø Radical Jacobson phaûi. * Töông töï ta cuõng ñònh nghóa cho Radical jacobson traùi. * Goïi A laø ñaïi soá coù ñôn vò treân vaønh giao hoaùn K coù ñôn vò . Phaàn giao cuûa taát caû caùc ideal toái ñaïi phaûi (hoaëc traùi ) cuûa ñaïi soá A goïi laø Radical Jacobson cuûa ñaïi soá A, kyù hieäu: J(A) hay Rad(A). Hay: J(A) =  =  ' (  , ' laàn löôït laø caùc ideal phaûi toái ñaïi, ideal traùi toái ñaïi cuûa ñaïi soá A ) Ta cuõng coù ñònh nghóa khaùc laø: cho M laø A – moñun baát khaû quy, Radical Jacobson cuûa A ñöôïc ñònh nghóa laø: J(A) =  annA(M), M laø A- moñun baát khaû quy cuûa A. Trong ñoù: annA(M)=  0/ aMAa goïi laø caùi linh hoùa cuûa A vaø laø taäp hôïp caùc phaàn töû cuûa A linh hoùa toaøn boä M ( vôùi M laø A -moñun baát khaû quy ). Tieáp theo chuùng ta ñi moâ taû caáu truùc Radical jacobson cuûa vaønh khoâng giao hoaùn R baèng caùc boå ñeà vaø ñònh lyù: 2.2.1.2.Boå ñeà M laø R- moñun baát khaû quy khi vaø chæ khi M ñaúng caáu vôùi R/ (vaønh thöông) trong ñoù  laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy. Chöùng minh: => / Giaû söû M laø R – moñun baát khaû quy => MR  . Ñaët S =  0/ uRMu , ta deã daøng kieåm tra ñöôïc S laø moät moñun con cuûa M. Neáu S  {0} suy ra S = M (vì M laø R- moñun baát khaû quy) daãn ñeán MR = (!) maâu thuaãn,Vaäy S =  0 . Do doù: 0u,Mu  thì uR  maø uR laø moñun con cuûa M vaø M laø R- moñun baát khaû quy cho neân uR = M. Nhö vaäy, vôùi u  M cho tröôùc vaø moãi r R ta coù duy nhaát moät phaàn töû ur  M. Ñieàu naøy cho pheùp ta thieát laäp moät aùnh xaï  :R->M, ñònh bôûi coâng thöùc  (r) = ur. Ta deã daøng kieåm tra ñöôïc  laø ñoàng caáu. Maët khaùc uR = M neân  laø toaøn caáu. Ñaët  = ker thì  laø ideal phaûi cuûa R. Ta chöùng minh  laø ideal phaûi toái ñaïi cuûa R. Thaät vaäy, giaû söû coù  laø ideal phaûi cuûa R chöùa thöïc söï  . Theo ñònhlyù Noether tacoù: Im =M R/ ( do  laø toaøn caáu ) suy ra  / laø moät moñun con cuûa R/ khaùc . Do M baát khaû quy neân R/ cuõng baát khaû quy   / = R/  =R(!). Vaäy  laø ideal phaûi toái ñaïi cuûa R. Töø ñaúng thöùc uR = M  aR: ua = u  xR, uax = ux u(x-ax) = 0 x-axker=    laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy. <= / Ngöôïc laïi, neáu  laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R. khi ñoù, ta coù: (R/ )R  . Thaät vaäy, giaû söû (R/   )R =   xR,  yR, (y+ )x = 0 yx   . Maët khaùc,  xR, aR: x – ax   neân cho ta ax   x  . Vaäy:   R  = R (!) maâu thuaãn.Vaäy (R/ )R . Do  toái ñaïi neân R/ laø R – moñun baát khaû quy. (ñpcm )  Nhaän xeùt: 1/ Neáu R laø vaønh Radical thì treân R khoâng coù ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R. 2/ Neáu R coù ñôn vò thì R khoâng theå laø vaønh Radical ( vì moïi Radical ñeàu laø chính quy treân vaønh coù ñôn vò ). 2.2.1.3. Ñònh lyù J(R) =  R: trong ñoù  laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R vaø ( :R) laø ideal hai phía lôùn nhaát cuûa R chöùa trong  . Chöùng minh  Deã daøng kieåm tra ñöôïc ( : R) laø ideal hai phía cuûa R.  x( :R) Rx   ax  , laïi do  chính quy neân x-ax  . Do ñoù: x  . Vaäy ( : R)  .  ( : R) laø ideal hai phía lôùn nhaát naèm trong  . Thaät vaäy, giaû söû a1 laø ideal hai phía naøo ñoù cuûa R naèm trong . Ta coù: xa1 Rxa1   x ( : R) a1 ( :R) .  Neáu  ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy vaø giaû söû: M = R/ . Khi ñoù, ta coù: annR(M) =   0)/(: xRRx  =  yx0x)y(,Rx:Rx =     )R:(Rx:Rxyx,Ry:Rx  Nhö vaäy: J(R ) =  annR(M) = ( :R) trong ñoù:` M laø R – moñun baát khaû quy treân R   chaïy khaép moïi  ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy. 2.2.1.4. Ñònh lyù: J(R)=   , vôùi  laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy. Chöùng minh: Theo 2.1.3. Ta coù J(R ) =  annR(M) = ( :R)    ( vì: ( :R) laø ideal hai phía lôùn nhaát cuûa R chöùa trong  ) J(R )    (1). Ta caàn chöùng minh bao haøm ngöôïc laïi, ñaët T =   .  xT, xeùt taäp S =  Ry/yxy  vaø deã daøng kieåm tra ñöôïcS laø ideal phaûi chính quy cuûaR. Tính chính quy ñöôïc suy ra töø vieäc laáy phaàn töû a = -x R   yR, y-ay = y+xy S. Do ñoù seõ toàn taïi ideal phaûi toái ñaïi chính quy 0 cuûa R sao cho: S  0 . Ta seõ chöùng minh S R baèng phöông phaùp phaûn chöùng. Thaät vaäy, giaû söû S  R. laáy x T =   0 xy 0 vaø y+xy 0 y 0 R= 0 (!) maâu thuaãn vôùi 0 laø ideal toái ñaïi. Vaäy S R. Do ñoù  xT =  S =  Ry/yxy  R. Nhö vaäy,  xT luoân toàn taïi w R thoûa maõn: xw+ w = -x hay x+w +xw = 0. (vaø ñaây coù theå xem laø thuoäc tính quan troïng cuûa T). * Baây giôø ta chöùng minh:    J ( R) baèng phöông phaùp phaûn chöùng. Giaû söû ngöôïc laïi T =    J ( R)  toàn taïi R –moñun M khoâng bò T linh hoùa, töùc laø: MT   mM: mT  . Ta deã daøng thaáy mT laø moñun con cuûa M, cho neân mT = M (do M baát khaû quy )   t T: mt = -m. laïi do t T  sR: t +s+ ts = 0 m(t +s+ ts) = 0 mt +ms +mts =0  -m +ms – ms = 0 m = 0 (!) maâu thuaãn vôùi mT  . Vaäy: T =    J(R ) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra: J (R) =   ( ñpcm ). Nhaän xeùt Khi R laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò thì J(R) laø giao cuûa taát caû caùc ideal toái ñaïi cuûa R. 2.2.1.5. Ñònh nghóa Phaàn töû aR ñöôïc goïi laø töïa chính quy phaûi neáu a’R: a + a’ + aa’ = 0. Phaàn töû a’goïi laø töïa nghòch ñaûo phaûi cuûa a. *Töông töï ta cuõng ñònh nghóa cho phaàn töû töïa chính quy traùi. *Löu yù: Neáu vaønh R coù ñôn vò 1 thì phaàn töû a R laø töïa chính quy phaûi  1 +a coù nghòch ñaûo trong R. Thaät vaäy: Neáu a töïa chính quy phaûi 1+a+a’+aa’ = 1 (1+a)(1+a’)=11+a coù nghòch ñaûo phaûi trong R. Ngöôïc laïi, neáu 1+a coù nghòch ñaûo phaûi x R, töùc laø: (1+a)x=1 x-1+ax=0. Ñaët a’ = x – 1 a’ + a(a’+1) = 0 a+a’ + aa’ = 0  a laø töïa chính quy phaûi. 2.2.1.6. Ñònh lyùù J(R) laø ideal phaûi, töïa chính quy phaûi cuûa R. J(R ) chöùa moïi ideal phaûi töïa chính quy phaûi cuûa R Chöùng minh *Tröôùc tieân ta chöùng minh: caùc töïa nghòch ñaûo traùi, töïa nghòch ñaûo phaûi cuûa moät phaàn töû thuoäc R laø baèng nhau. Thaät vaäy, giaû söû aR coù caùc töïa nghòch ñaûo traùi c, töïa nghòch ñaûo phaûi b, töùc laø:     0caca 0abba      0cabcbab 0cabcbca      cacaabba abca b = c * Tieáp theo ta caàn chöùng minh:  a  J(R) a vöøa töïa chính quy phaûi, vöøa töïa chính quy traùi. Thaät vaäy: neáu a  J(R ) a laø töïa chính quy phaûi  a’ R: a+a’ +aa’ = 0 (1) a = -a-aa’ a  J(R )( do J(R ) laø ideal phaûi ) vaø a  J(R )  a’ töïa chính quy phaûi  a” R sao cho: a+a”+aa” = 0. Nhö vaäy a’ coù a laø töïa nghòch ñaûo traùi, a” laø töïa nghòch ñaûo phaûi, do ñoù: a = a” a+a’+a’a = 0 (2).Töø (1) vaø (2) suy ra a  J(R ) vöøa töïa chính quy phaûi, vöøa töïa chính quy traùi. * Cuoái cuøng ta caàn chöùng minh raèng:   J(R ),   laø ideal phaûi, töïa chính quy phaûi cuûa R. Thaät vaäy: Giaû söû   J(R) M laø R – moñun baát khaû quy sao cho M   m M: m   . Vì m laø moñun con cuûa moñun baát khaû quy M neân m=M   t   : mt = - m vaø t laø töïa chính quy phaûi neân  t’ R: t + t’ + tt’ = 0  m(t + t’ + tt’) = 0 mt+mt’ +mtt’ = 0  -m+mt’ –mt’ = 0 m = 0 m  = (!) maâu thuaãn vôùi m  . Vaäy:   J(R). 2.2.1.7. Nhaän xeùt i/ Neáu  laø ideal luõy linh thì noù laø nil ideal nhöng chieàu ngöôïc laïi khoâng ñuùng. ii/ Moïi phaàn töû luõy linh ñeàu töïa chính quy. Thaät vaäy: giaû söû a R laø phaàn töû luõy linh m: am = 0. Ñaët b = - a + a2 –a3 + ….+(-1)m-1am-1  ab= -a2 +a3+……+(-1)m-2 am-1 b+ab=-a hay a+b+ab = 0 a laø töïa chính quy phaûi. Vaäy moïi nil ideal phaûitrong R ñeàu laø ideal töïa chính quy phaûi. 2.2.1.8. Boå ñeà J(R) chöùa moïi nil ideal moät phía Chöùng minh  Theo ñònh lyù 2.1.6 J(R ) chöùa moïi ideal phaûi töïa chính quy  heo nhaän xeùt 2.1.7 moïi nil ideal phaûi ñeàu laø ideal phaûi töïa chính quy.Vaäy: Boå ñeà ñöôïc chöùng minh 2.2.1.9. Ñònh lyù J(R/J(R)) = Chöùng minh Vì J(R ) laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy phaûi cuûa R R/(J(R)M laø R-moñun baát khaû quy moïi ideal phaûi,toái ñaïi, chính quy cuûa R/(J(R) ñeàu baèng (0)(theo caùch lyù luaän cuûa cuûa boå ñeà 2.1.2).Vaäy: J(R/J( R)) = . 2.2.1.10. Ñònh lyù Cho A laø ñaïi soá treân tröôøng K, khi ñoù Radical Jacobson cuûa ñaïi soá A truøng vôùi Radical Jacobson cuûa vaønh A. Chöùng minh: Giaû söû  laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa A thì  laø vaønh con cuûa A treân tröôøng K, töùc laø: K   . Thaät vaäy: giaû söû K   thì K +  = A ( do  laø ideal phaûi, toái ñaïi vaø K laø ideal phaûi cuûa A ). Maët khaùc,ta coù:A2 = (K +  )A  (K )A + A  A   . Vì  laø chính quy neân coù a A sao cho: x – ax   ,xA nhöng ax A2   x  ,xA  = A ( !) maâu thuaãn vôùi  laø ideal toái ñaïi. Do ñoù: moïi ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa A vôùi tö caùch laø moät vaønh cuõng chính laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa A vôùi tö caùch laø ñaïi soá. Vaäy: Jvaønh(A)  Jñaïi soá (A). 2.2.1.11. Toùm Taét Quaù Trình Xaây Döïng Radical Jacobson: Tacoù: J(R) =   0/ MaRa vôùi moïi M laø R – moñun baát khaû quy. * J(R)= )(MannR , vôùi moïi M laø R – moñun baát khaû quy * J(R) =  R: trong ñoù  laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R * J(R) =  ,  chaïy khaép caùc ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R. * J(R) laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy phaûi duy nhaát cuûa R. Nhaän xeùt Cho A laø ñaïi soá treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K. i/ Ta thaáy raèng J(A) laø ideal hai phía vì laø giao cuûa taát caû caùc ideal hai phía (  :A) ,   laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R. ii/ a  J(A), vì J(A) laø töïa chính quy phaûi neân a’A : a + a’+aa’ = 0(1). Vì a, aa’ J(A) neân a’ J(A). Laïi do a’ J(A) neân a’’: a’ +a’’+a’a’’= 0(2). Töø (1) vaø (2) suy ra: a a’’ + a’a’’+aa’a’’= 0 vaø aa’ +aa’’+ aa’a’’= 0 aa’ = a’a’’  a = a’’ thay vaøo (2) suy ra ñöôïc a laø töïa chính quy traùi. Nhö vaäy J(A) laø töïa chính quy traùi. iii/ J(A) laø ideal hai phía, töïa chính quy hai phía, chöùa moïi ideal phaûi töïa chính quy phaûi vaø chöùa moïi ideal traùi töïa chính quy traùi cuûa A. Hay Jt(A)=Jp(A) vôùi Jt(A), Jp(A) laàn löôït laø giao cuûa taát caû caùc ideal traùi, toái ñaïi, chính quy cuûa A vaø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R. . 2.2.2. Caùc Tính Chaát Cuûa Radical Jacobson Treân Vaønh Vaø Ñaïi Soá : 2.2.2.1. Ñònh nghóa vaønh nöûa nguyeân thuûy: Vaønh R ñöôïc goïi laø nöûa nguyeân thuûy neáu J(R) = 2.2.2.2. Ñònh lyù Vôùi moïi vaønh R thì R/J(R) laø vaønh nöûa nguyeân thuûy Chöùng minh Ñaët R = R/J(R),  laø ideal phaûi, toái ñaïi,chính quy cuûa R. khi ñoù:  J(R) vaø = )R(J/ laø ideal phaûi toái ñaïi cuûa R .  laø chính quy vì neáu x-ax  xax , x R . Maët khaùc: J(R) =   ,  chaïy khaép caùc ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R, khi ñoù:  0 , vôùi  chaïy khaép caùc ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R. Nhöng J( R ) =  (taát caû caùc ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R )   0 . Vì vaäy: J(R/J(R)) = Hay R/J(R) laø vaønh nöûa nguyeân thuûy. 2.2.2.3. Ñònh lyù: Neáu A laø moät ideal hai phía cuûa vaønh R thì J(A)= J(R) A Chöùng minh Goïi a  J(R) A  a J(R)a laø töïa chính quy phaûi vaø phaàn töû töïa nghòch ñaûo a’ = a – aa’ A ( vì A laø ideal cuûa R ). Do ñoù J(R) A laø ideal töïa chính quy cuû A vaø vì vaäy: J(R) A J(R) (1) Baây giôø ta giaû söû  la ø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R. ñaët A = A  . Neáu A  thì cho ta keát quaû A+= R vaø A A A AA/R   Vì R/ laø baát khaû quy neân ta coù A laø ideal phaûi toái ñaïi cuûa A. Maët khaùc: do  chính quy neân x-bx , xR, vôùi bR vaø b = a +r vôùi a A, r . Do ñoù: x-bx = x-(a+r)x = x-ax-rx x-ax . Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät thì: xA, aA x-ax A  A laø chính quy trong A. Ta coù: J(A)  A ,  la ø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R khoâng chöùa A. Hay noùi caùch khaùc: J(A)   A =(  )A=J(R) A (   la ø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy cuûa R khoâng chöùa A.) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra: J(A) = J(R) A 2.2.2.4. Heä quaû Neáu R laø vaønh nöûa nguyeân thuûy thì moïi ideal cuûa R cuõng nöûa nguyeân thuûy (hayA laø ideal cuûa R vaø J(R) =  J(A)= )  Nhaän xeùt: keát quaû cuûa ñònh lyù 2.2.3 khoâng coøn ñuùng neáu A laø ideal moät phía cuûa A. Thaät vaäy: Laáy R laø vaønh caùc ma traän vuoâng caáp 2 treân tröôøng F. vì R laø vaønh nöûa nguyeân thuûy neân J(R)= . Laáy A =         F ,/ 00 laø ideal phaûi cuûa R. Laáy x =     00 0  A vaø vì x2 =    00 00 x luõy linh x töïa chính quy hay         F/ 00 0 laø nil ideal cuûa A  J(A)        00 00 ( vì J(A) chöùa moïi nil ideal moät phía cuûa A ). Vì vaäy: J(A) J(R) A 2.2.2.5. Ñònh lyù Neáu kyù hieäu Rm laø vaønh taát caû caùc matraän vuoâng caáp mm vôùi caùc heä töû thuoäc R thì ta luoân coù: J(Rm) = (J(R))m Chöùng minh Laáy M laø R – moñun baát khaû quy, Ñaët M(n) =   Mm/m,...m,m in21  ta caàn chöùng minh M(n) laø Rn –moñun baát khaû quy. Thaät vaäy: vì M laø R- moñun baát khaû quy MR  mM, rR: mr 0 Khi ñoù: ( m, …….m)    r0 0....r  =( 0,…..,0). Vaäy: M (n)Rn . * Chöùng minh M(n) khoâng coù moñun con thöïc söï:giaû söû N laø moñun con cuûa M(n), N  , ta coù:  (m1, …….,mn) M(n) vaø vì N neân  (b1,….,bn) N sao cho: (b1,….,bn)  (0,…., 0). Khi ñoù:  i0: 0ib  0, i0 1,..,n. Ta deã thaáy: 0i b M laø moät moñun con  cuûa M  0i b R = M ( vì M baát khaû quy)   riR: 0ib .ri = mi, mi M. Vaäy: (m1, …., mn) = (b1,….,bn)           0.....00 ........ r...rr ........ 0.....00 n21    doøng i0  ( m1, …., mn) N M(n) = N.Vaäy M(n) laø Rn – moñun baât khaû quy. Tieáp theo ta chöùng minh: J(Rn)  (J(R))n.   ij J(Rn) =  annRn(M(n)), M(n) laø Rn - moñun baát khaû quy   ij  annRn(M(n)), vaø  ij linh hoùa M(n)  ( m1, …,mn) M(n):  ( m1, …,mn)  ij =(0,..,0). Do ñoù mM, ta coù: (0,…,0) = (0,..,0,m,0,..,0)  ij =  n1 ii m,...,m  ( m ôû vò trí thöù i ) m ij = 0,  I,j, mM M ij =  ij annR(M), M laø R – moñun baát khaû quy  ij  annR(M) = J(R)  J(Rn)  (J(R))n.(1) * Cuoái cuøng ta chöùng minh: J(Rn)  (J(R))n. Ta chæ caàn chöùng minh (J(R))n laø ideal töïa chính quy cuûa Rn. Xeùt:                  )R(J/ 0.......0 0...........0 ...... ij n111 1  thì 1 laø ideal phaûi cuûa Rn. Do 11 J(R) neâ 11 laø töïa chính quy phaûi  '11 : 11 + '11 + 11 '11 = 0 ñaët X          0.......0 0...........0 ....... n111   1 vaø Y =         0.......0 0...........0 0......0'11   vaø W = X + Y + XY thì W laø moät ma traän tam giaùc nghieâm ngaët.Do ñoù: Wm =         0.......0 0...........0 0...........0  vôùi m naøo ñoù W luõy linh W töïa chính quy  Z Rn: W+Z+WZ =         0.......0 0...........0 0...........0  X+(Y+Z+YZ) + X(Y+Z+YZ) =         0.......0 0...........0 0...........0  X laø töïa chính quy phaûi cuûa Rn hay 1  J(Rn). Hoaøn toaøn töông töï ta cuõng coù theå chöùng minh ñöôïc raèng:                 )R(J/ 0.......0 ... 0...........0 ijiii n1   laø moät ideal phaûi töïa chính quy phaûi cuûa Rn hay n,1i)R(J ni  . Maët khaùc do J(Rn) ñoùng kín ñoái vôùi pheùp coäng caùc matraän neân ta coù: )R(J... nn21   J(Rn) (J(R))n (2) Töø (1) vaø (2), Ta keát luaän raèng: J(Rm) = (J(R))m 2.2.2..6. Ñònh nghóa Vaønh R ñöôïc goïi laø vaønh Artin phaûi neáu moïi taäp khaùc roãng caùc ideal phaûi cuûa noù ñeàu coù phaàn töû toái tieåu.  Ñeå ngaén goïn ta thöôøng goïi vaønh Artin phaûi laø vaønh Artin  Ta coù theå suy ra ñöôïc caùc keát quaû sau: i/ Vaønh R laø vaønh Artin khi vaø chæ khi moïi daõy giaûm caùc ideal phaûi cuûa noù ñeàu döøng sau höõu haïn böôùc ii/ Tröôøng, theå, vaø caùc vaønh höõu haïn laø vaønh Artin iii/ Toång tröïc tieáp cuûa moät soá höõu haïn vaønh Artin laø vaønh Artin. iv/ aûnh ñoàng caáu cuûa vaønh Artin laø vaønh Artin. 2.2.2.7. Ñònh lyù Neáu R laø vaønh Artin thì J(R) laø ideal luõy linh Chöùng minh Ñaët J= J(R), ta xeùt daõy giaûm caùc ideal phaûi: J  J2 …. Jn … Vì R laø vaønh Artin neân toàn taïi n N: Jn = Jn+1 = …..=J2n =… Do ñoù: neáu xJ2n = thì xJn = . Ta caàn chöùng minh raèng Jn = . Baèng phöông phaùp phaûn chöùng ta giaû söû: Jn  vaø ñaët W =   0/ nxJJx khi ñoù W laø ideal cuûa R * Neáu W  Jn thì JnJn =  Jn=J2n = (ñieàu phaûi chöùng minh ) * Neáu Jn  W thì R = R/W, nJ  .Khi ñoù: neáu x nJ = thì xjn W = xJnJn = xJ2n = xJn xW  x = 0 nghóa laø: x nJ = 0  x=0 Maët khaùc: vì nJ  neân nJ chöùa moät irel phaûi toái tieåu   cuûa R . Nhöng trong tröôøng hôïp naøy  laø R - moñun baát khaû quy. Do ñoù noù bò linh hoùa bôûi J( R ) Hôn nöõa, do nJ  J( R ) neân ta coù:  nJ = ( vì  J( R ) = ) Töø ñaây ta suy ra raèng  = ( !) maâu thuaãn vôùi giaû thieát   Vaäy: trong moïi tröôøng hôïp ta luoân coù W  Jn hay Jn = (ñpcm). 2.2.2.8. Heä quaû Trong vaønh Artin, moïi nil ideal ñeàu laø ideal luõy linh. 2.2.2.9. Heä quaû Neáu vaønh R coù ideal moät phía luõy linh khaùc thì seõ coù ideal luõy linh hai phía khaùc . 2.2.2.10. Ñinh nghóa Phaàn töû e, e  0 ñöôïc goïi laøluõy ñaúng neáu e2 = e. 2.2.2.11. Boå ñeà Cho R laø vaønh khoâng coù ideal luõy linh khaùc , giaû söû   laø ideal phaûi toái tieåu cuûa vaønh R. khi ñoù  laø ideal chính sinh bôûi phaàn töû luõy ñaúng naøo ñoù trong R: = eR. (e laø phaàn töû luõy ñaúng trong R ). 2.2.2.12. Boå ñeà Cho R laø vaønh tuøy yù, aR sao cho: a2 – a luõy linh. Khi ñoù hoaêc chính a luõy linh hoaëc toàn taïi ña thöùc q(x) vôùi heä soá nguyeân sao cho: e = aq(a) laø phaàn töû luõy ñaúng khaùc khoâng. 2.2.2.13. Ñònh lyù Neáu R laø vaønh Artin vaø   laø ideal phaûi khoâng luõy linh cuûa R thì  chöùa phaàn töû luõy ñaúng khaùc 0. 2.2.2.14. Ñònh lyù Neáu R laø vaønh tuøy yù vaø e laø phaàn töû luõy ñaúng trong R Thì J(eRe) = eJ(R)e. Chöùng minh * Tröôùc tieân ta caàn chöùng minh: J( eRe) eJ(R)e. Laáy M laø R –moñun baát kyø: + TH1: Me =  =MeJ( eRe)= MJ( eRe) +TH2: Me  m M: me 0. Do M laø baát khaû quy vaø me  0 neân meR = M me(eRe) = me2Re = meRe = Me Me laø eRe – moñun baát khaû quy  J( eRe) anneRe(Me) MeJ(eRe) = MJ( eRe) =  J( eRe) annR(M), M laø R- moñun baát khaû quy  J( eRe)   annR(M), M laø R- moñun baát khaû quy J( eRe) J(R)  J( eRe)= eJ( eRe)eeJ(R)e (e laø phaàn töû ñôn vò cuûa eRe). Hay: J(eRe)eJ(R)e.(1)  Tieáp theo ta chöùng minh: J( eRe)  eJ(R)e. Laáy a  eJ(R)e a J(R)  a töïa chính quy traùi vaø phaûi  a’ R: a+ a’+a a’ = 0 eae + e a’e +ea a’e = 0. Maø e laø ñôn vò cuûa eRe neân eae = a. Do ñoù: a + e a’e + ae a’e = 0 ( vì eae-eae = e(ae-ea)e = 0 ) e a’e laø töïa nghòch ñaûo phaûi cuûa a. Do töïa nghòch ñaûo cuûa moät phaàn töû laø duy nhaát neân a’ = e a’e eRe. Ñieàu naøy chöùng toû raèng a laø töïa chính quy trong eRe. Nghóa laø: eJ(R)e laø ideal töïa chính quy trong eRe  eJ(R)e  J( eRe) ( theo ñ/lyù II.1.6 )(2) Vaäy töø (1) vaø (2), suy ra: J( eRe) = eJ(R)e. (ñpcm) 2.2.2.15. Ñònh nghóa Vaønh R ñöôïc goïi laø vaønh nguyeân thuûy neáu coù moät R – moñun baát khaû quy trung thaønh.  Nhaän xeùt: i/ Neáu R laø vaønh nguyeân thuûy thì J(R) = ii/ R laø moät vaønh thì R/annR(M) laø vaønh nguyeân thuûy 2.2.2.16. Ñònh lyù R laø vaønh nguyeân thuûy    laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy trong R sao cho ( :R) =. Trong tröôøng hôïp ñoù R laø vaønh nöûa ñôn vaø hôn nöõa neáu R laø vaønh nguyeân thuûy giao hoaùn thì R laø moät tröôøng. 2.2.2.17. Ñònh nghóa Vaønh R ñöôïc goïi laø vaønh nöûa nguyeân thuûy neáu R2 vaø trong R khoâng coù ideal thöïc söï ngoaøi vaø R. 2.2.2.18. Moät soá keát quaû: i/ Neáu R laø vaønh ñôn coù ñôn vò thì R laø vaønh nöûa nguyeân thuûy. (vì R coù ñôn vò neân R khoâng theå baèng J(R) neân J(R) = ). ii/ Neáu R vöøa laø vaønh ñôn vöøa laø vaønh Artin thì R laø vaønh nöûa nguyeân thuûy hay J(R) = . Thaät vaäy: Giaû söû R laø vaønh ñôn R2  maø R2 laø ideal cuûa RR2= R (vì R laø vaønh ñôn ).Ta caàn chöùng minh J(R) = Baèng phaûn chöùng: giaû söû J(R)  maø J(R) laø ideal cuûa R  J(R)=R       0≠)(⇒)( 22 RRRJRRRJ nn R khoâng coù phaàn töû luõy linh khaùc  J(R) = R laø vaønh ñôn hay J(R) = . iii / Neáu vaønh R vöøa ñôn vöøa nöûa nguyeân thuûy thì R laø vaønh nguyeân thuûy. Thaät vaäy: Ta coù ( :R) laø ideal cuûa R ( laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy trong R ) vaø do R laø vaønh ñôn neân ( :R) = hoaëc ( :R) = R. Neáu ( : R) = R   ( : R) = R (!) maâu thuaãn vôùi giaû thieát R laø vaønh nöûa ñôn. Vaäy: ( :R) = . Theo ñònh lyù II.3.2 suy ra: R laø vaønh nguyeân thuûy iv /Neáu R laø vaønh Artin ñôn thì J(R)= .Hôn nöõa R laøvaønh nguyeân thuûy. Thaät vaäy: vì R laø vaønh Artin  J(R) laø ideal luõy linh cuûa R, töùc laø nN:  n)R(J =. Maët khaùc, do R ñôn neân R2  maø R2 laø ideal cuûa R  R2 = R  n, Rn =R  R khoâng luõy linh J(R)  R maø J(R) laø ideal hai phía cuûa R J(R) =. Khi ñoù: R laø vaønh nöûa ñôn vaø cuõng laø vaønh ñôn neân R laø vaønh nguyeân thuûy (theo keát quaû caâu iii). 2.3. Veà Caùc Nil Radical Treân Vaønh & Ñaïi Soá Khoâng Giao Hoaùn: 2.3.1. Moät soá meänh ñeà 2.3.1.1. Boå ñeà 1. Ñaïi soá con vaø aûnh ñoàng caáu cuûa ñaïi soá luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ñaïi soá) laø ñaïi soá luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil). 2. Neáu B laø ideal cuûa ñaïi soá A sao cho B vaø A/B laø caùc ideal luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ideal) thì A laø ñaïi soá luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ñaïi soá). (Phaàn chöùng minh: ñöôïc trình baøy khaù roõ trong taøi lieäu tham khaûo: Structure of rings cuûa Nathan Jacobson ). 2.3.1.2. Boå ñeà Neáu N1, N2 laø caùc ideal luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ideal) cuûa A thì N1+N2 cuõng vaäy. Chöùng minh Do ñaúng caáu: (N1+ N2)/N2  N1/(N1 N2) vaø keát hôïp boå ñeà II.3.1.6 treân ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. Baèng phöông phaùp chöùng minh quy naïp ta coù keát quaû cuûa boå ñeà sau: 2.3.1.3.Boå ñeà Neáu   IiiN  laø hoï caùc nil ideal (ideal luõy linh ñòaphöông ) cuûa A thì toång  Ii iN laø nil ideal ( ideal luõy linh ñòa phöông ). Khi ñoù: - Toång taát caû caùc nil ideal cuûa A laø nil ideal cuûa A. - Toång taát caû caùc ideal luõy linh ñòa phöông cuûa A laøideal luõy linh ñòa phöông cuûa A. - Toång taát caû caùc ideal luõy linh cuûa A laøideal luõy linh ñòa phöông cuûa A. 2.3.1.4. Ñònh lyù: Toàn taïi duy nhaát moät nil ideal toái ñaïi cuûa ñaïi soá A, chöùa moïi nil ideal cuûa ñaïi soá A. Toàn taïi duy nhaát moät ideal luõy linh ñòa phöông toái ñaïi cuûa ñaïi soá A, chöùa moïi ideal moät phía luõy linh ñòa phöông cuûa ñaïi soá A. Chöùng minh Neáu   IiiN  laø taäp caùc nil ideal cuûa ñaïi soá A, aùp duïng Boå ñeà Zorn thì coù moät coù moät nil ideal toái ñaïi L cuûa ñaïi soá A. Vôùi M laø nil ideal baát kyø cuûa ñaïi soá A thì M + L laø nil ideal cuûa ñaïi soá A vaø do L toái ñaïi neân L = L+M. Nhö vaäy M L. Giaû söû L laø ideal luõy linh ñòa phöông toái ñaïi vaø I laø ideal traùi luõy linh ñòa phöông baát kyø cuûa ñaïi soá A thì hieån nhieân I + IA laø ideal cuûa A. Baây giôø ta chöùng minh I +IA laø ideal luõy linh ñòa phöông cuûa A. Thaät vaäy, giaû söû T = {b1,…,bn} laø taäp höõu haïn baát kyø cuûa I + IA vaø ta vieát moãi bi döôùi daïng: bi = ci +  j ijij ac trong ñoù ci, cij I vaø aij A. Xeùt taäp höõu haïn S = { ci ; cij ; aijck ; aijckl} suy ra S  I, do ñoù seõ toàn taïi soá töï nhieân m sao cho tích cuûa m phaàn töû baát kyø thuoâc S baèng 0. Nhö vaäy, tích cuûa r phaàn töû baát kyø cuûa taäp T coù daïng    i ijijir s ssssss accbbb )(....21 (*). Ta thaáy raèng khi khai trieån veá phaûi cuûa ñaúng thöùc (*) noù chính laø moät toång, maø moãi haïng töû laø tích cuûa r phaàn töû thuoäc S hoaëc laø tích beân phaûi cuûa r phaàn töû thuoäc S vôùi phaàn töû thuoäc A. Do ñoù tích cuûa m phaàn töû daïng (*) cuõng phaûi baèng 0 vaø ta coù I +IA laø luõy linh ñòa phöông  I + IA L  I  L( ñpcm). 2.3.2. Levitzki-Nil – Radical 2.3.2.1. Ñònh nghóa Levitzki – Nil – Radical cuûa ñaïi soá A laø ideal luõy linh ñòa phöông toái ñaïi cuûa A, kyù hieäu: L(A) 2.3.2.1. Meänh ñeà Cho ñaïi soá A. khi ñoù, ta luoân coù L(A/L(A) = Chöùng minh Giaû söû B/L(A) laø ideal luõy linh ñòa phöông cuûa A/ L(A). Do L(A) vaø B/L(A) luõy linh ñòa phöông neân B luõy linh ñòa phöông (do boå ñeà 1.2.16 ). B L(A) B/L(A) = A/L(A) chæ coù laø ideal luõy linh ñòa phöông duy nhaát. Vaäy: L(A/L(A)) = 2.3.3. Upper – Nil – Radical 2.3.3.1. Ñònh nghóa Upper – Nil – Radical laø nil ideal toái ñaïi cuûa ñaïi soá A, kyù hieäu: Un(A). 2.3.3.2. Meänh ñeà Cho A laø ñaïi soá tuøy yù. Khi ñoù ta luoân coù: A/Un(A)khoâng chöùa nil ideal khaùc . Suy ra: Un(A/Un(A)) = . Chöùng minh Giaû söû B=C/Un(A) laø nil ideal cuûa A / Un(A). Ta caàn chöùng minh:B = Thaät vaäy,  x B  m: ( x )m = ( do B laø nil ideal) xm Un(A)  x =0 . Do ñoù: B = . Vaäy A/Un(A) khoâng chöùa nil ideal khaùc naøo. Suy ra: Un(A/Un(A)) = . 2.3.3.3. Meänh ñeà Trong PI-ñaïi soá A, moãi nil radical cuûa A ñeàu chöùa N( )vaø naèm trong toång U(cuûa taát caû caùc nil ideal cuûa A). Khi ñoù: N( )=ln(A) vaø U=Un(A). (Phaàn chöùng minh: ñöôïc trình baøy khaù roõ trong taøi lieäu tham khaûo: Structure of rings cuûa Nathan Jacobson ). 2.3.4. Lower – Nil –Radical: 2.3.4.1.Ñònh nghóa Treân ñaïi soá A xaây döïng daõy ideal sieâu haïn nhö sau: *Ñaët N(0) laø toång taát caû caùc ideal luõy linh cuûa A, suy ra:N(0) laø nil ideal * Neáu  laø soá sieâu haïn khoâng giôùi haïn,  = +1 thì N( ) laø ideal cuûa ñaïi soá A sao cho N( )/N( )laø toång taát caû caùc ideal luõy linh cuûa A/N( ) * Neáu  laø soá sieâu haïn giôùi haïn thì N( )=  )(N . Nhö theá neáu  < ' thì N( )N( ' ) cho neân toàn taïi soá sieâu haïn ñaàu tieân T sao cho: N(T) = N(T+1). Vì N(0) laø nil ideal neân: N(T) laø nil ideal vaø goïi laø: Lower – Nil – Radical cuûa A, kyù hieäu laø ln(A). 2.3.4.2.Ñònh lyù Treân ñaïi soá A, Lower –Nil – Radical cuûa A truøng vôùi giao cuûa taát caû caùc ideal nguyeâ toá cuûa A. Hay ln(A) = p,  p laø ideal nguyeân toá cuûa A. Chöùng minh: Tröôùc tieân ñeå chöùng minh ñònh lyù treân, ta ñi xeùt hai boå ñeà sau: Boå ñeà 1: Neáu B laø ideal cuûa A vaø   AI  laø hoï caùc ideal cuûa A chöùa B thì:   B/IB/I AA         (Boå ñeà naøy khaù hieån nhieân). Boå ñeà 2: C/B laø ideal nguyeân toá cuûa A/B khi vaø chæ khi C laø ideal nguyeân toá cuûa A chöùa B. Chöùng minh:  / Cho C/ B laø ideal nguyeân toá cuûa A/B. Ta caàn chöùng minh C laø ideal nguyeân toá. Thaät vaäy, giaû söû mn C khi ñoù mn+B C/B  (m+B)(n +B) C/B m+ B C/B hoaëc n + B C/B (do C/B laø ideal nguyeân toá )m C hoaëc n C. Vaäy C nguyeân toá.  / Ngöôïc laïi, giaû söû C laø ideal nguyeân toá cuûa A chöùa B. Ta caàn chöùng minh C/B laø ideal nguyeân toá. Thaät vaäy, neáu (m+B)(n+B) C/B, m,n C mn + B C/B mnC mC hoaëc n C ( do C laø ideal nguyeân toá ) m+B C/B hoaëc n+B C/B. Do ñoù C/B laø ideal nguyeân toá cuûa A/B. Baây giôø, chuùng ta böôùc vaøo chöùng minh ñònh lyù:  / Ñaët N’ =  p,  p laø ideal nguyeân toá cuûa A. Theo boå ñeà 1, boå ñeà 2 ta coù:      '' // NpNp  trong ñoù p  N’ vaø p/N’ laø ideal nguyeân toá cuûa A/N’ A/ N’ laø nöûa nguyeân toá  A/N’khoâng chöùa ideal luõy linh khaùc . Maët khaùc neáu N laø ideal luõy linh cuûa A thì (N+N’)/N’ N/(NN’) (N+N’)/N’laø ideal luõy linh cuûa A /N’ (N+N’)/ N’= N N’N(0) N’, vôùi N(0) laø toång caùc ideal kuõy linh cuûa A. Giaû söû N( )N’ thì baèng caùch chöùng minh töông töï ta coù N’ chöùa moïi ideal N  N( ) sao cho: N/N( ) laø luõy linh. Suy ra: N’  N(+1). Baèng pheùp quy naïp sieâu haïn cho ta: N’  N( ) = ln(A). (1)  /Ngöôïc laïi, do A/ N( ) = A/ln(A) khoâng chöùa ideal luõy linh khaùc neân A/ N( ) ñaïi soá nöûa nguyeân toá  0)(/ Np ,  p/ N( ) laø ideal nguyeân toá cuûa A/ N( )  p = N( ),  p laø ideal nguyeân toá trong A vaø p  N( )(do boå ñeà 2). Maø N’=p( p nguyeân toá trong A)  p= N( )( p laø ideal nguyeân toá trong A vaø p N._.