Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2- Mê tric

ý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong không gian 2-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2MỞ ĐẦU Không gian mêtric và sự tồn tại các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là các đối tượng nghiên cứu cơ bản của toán Giải tích. Có rất nhiều hướng nghiên cứu tìm cách mở rộng khái niệm không gian mêtric và các ứng dụng của nó. Các hướng nghiên cứu này đã thu được nhiều lớp không gian tổng quát hơn không gian mêtric hoặc là các lớp không gian có cấu trúc tương tự. Các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian mêtric được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại không gian mêtric khác nhau. Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phương trình vi tích phân... Năm 1963, S. Ga¨hler (xem [4]) đã đưa ra một lớp không gian tương tự không gian mêtric là không gian 2-mêtric. Sau đó, các vấn đề hội tụ, liên tục của ánh xạ, sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ co,... trên lớp không gian này đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học khác (xem [5], [6],...). Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có hệ thống về không gian 2- mêtric và sự tồn tại điểm bất động cho một số lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian này, tôi chọn đề tài cho khoá luận là: Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2- mêtric. Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm, tính chất cơ bản về không gian 2-mêtric và đưa ra một số dạng định lý điểm bất động đối với ánh xạ co suy rộng cho đối với không gian 2-mêtric. Với nội dung trên, khoá luận 3được viết thành 2 chương: Chương 1. Không gian mêtric và không gian 2-mêtric. Chương 2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2- mêtric. Các kết quả chính của khoá luận được trình bày từ bài báo [3]. Khoá luận được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn chu đáo, tận tình của Thầy giáo Th.S . Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, các bạn sinh viên lớp 47A- Toán và tất cả bạn bè đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô và những góp ý của bạn đọc để khoá luận được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 05 năm 2010 Hoàng Thị Thuỷ 4CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC Chương này trình bày một số vấn đề cơ bản của không gian mêtric và không gian 2-mêtric. 1.1. Không gian mêtric và ánh xạ co Trong mục này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả cơ bản về không gian mêtric và các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian mêtric. 1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d : X ×X → R được gọi là một mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1) d(x, y) > 0, với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y. 2) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X. 3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) ,với mọi x, y, z ∈ X. Khi đó, (X, d) được gọi là một không gian mêtric. 1.1.2 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ tới x ∈ X và ký hiệu là xn → x,(x được gọi là giới hạn của dãy {xn}), nếu lim n→∞ d(xn, x) = 0. Trong không gian mêtric giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất. 1.1.3 Định nghĩa. Không gian mêtric X được gọi là compact nếu mọi dãy thuộc X đều có dãy con hội tụ trong X. 1.1.4 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. 5Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim m,n→∞ d(xm, xn) = 0. Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của X đều hội tụ trong X. 1.1.5 Định nghĩa. Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh xạ f : X → X. 1) ánh xạ f được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {xn} ⊂ X và xn → x thì f(xn) → f(x). 2) ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) sao cho: ρ(fx, fy) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ. Ta chứng minh được mọi ánh xạ liên tục đều là liên tục. Mệnh đề ngược lại là không đúng. 1.1.6 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. ánh xạ f : X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho: d ( fx, fy ) 6 qd(x, y), ∀x, y ∈ X. Dễ dàng kiểm tra được mọi ánh xạ co là liên tục đều. 1.1.7 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ f : X → X. Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu fa = a. 1.1.8 Định lý. (Banach, [1]) Mọi ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ đều có duy nhất một điểm bất động. Chứng minh. Cố định x0 ∈ X và xác định dãy {xn} bằng quy nạp như sau xn+1 = fxn, n = 0, 1, 2, . . . Ta có d(x1, x2) = d(fx0, fx1) 6 qd(x0, x1) d(x2, x3) = d(fx1, fx2) 6 qd(x1, x2) 6 q2d(x0, x1). 6Do đó bằng quy nạp ta chứng minh được d(xn, xn+1) 6 qnd(x0, x1), ∀n = 1, 2, . . . Từ đó suy ra d(xn, xn + p) 6 d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + · · ·+ d(xn+p−1, xn+p) 6 (qn + qn+1 + · · ·+ qn+p−1)d(x0, x1) 6 q n 1− qd(x0, x1) với mọi n, p ∈ N∗. Vì 0 6 q < 1 nên lim n→∞ d(xn, xn+p) = 0, tức là {xn} là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Đặt a = lim n→∞xn. Do tính liên tục của ánh xạ f , ta có a = lim n→∞xn+1 = limn→∞ fxn = f( limn→∞xn) = fa. Vậy a là điểm bất động của f . Bây giờ, giả sử b là điểm bất động của f . Từ bất đẳng thức d(a, b) = d(fa, fb) 6 qd(a, b) và q ∈ [0, 1) ta suy ra d(a, b) = 0 hay a = b. Vậy f có duy nhất điểm bất động. Ví dụ sau cho thấy trong nguyên lý ánh xạ co của Banach nếu thay điều kiện ánh xạ co bởi điều kiện d(fx, fy) 6 d(x, y), ∀x, y ∈ X (1.1) thì kết luận là không đúng. 1.1.9 Ví dụ. Trên tập số tự nhiên N ta xét mêtric d(m,n) = 0 nếu m = n1 + 1 m + n nếu m 6= n. 7Dễ dàng kiểm tra được (N, d) là không gian mêtric đầy đủ. Xét ánh xạ f : N → N được cho bởi fn = n + 1. Rõ ràng f không có điểm bất động. Tuy nhiên d(fm, fn) < d(m,n), ∀m 6= n. Thật vậy, nếu m 6= 0 thì d(fm, f0) = d(m + 1, 1) = 1 + 1 m + 2 < 1 + 1 m = d(m, 0). Nếu m 6= n và mn 6= 0 thì d(fm, fn) = d(m + 1, n + 1) = 1 + 1 m + n + 2 < 1 + 1 m + n = d(m,n). Nếu X là không gian mêtric compact thì điều kiện (1.1) là chấp nhận được. Ta thu được nguyên lý ánh xạ co của Brower cho không gian mêtric compact. 1.1.10 Định lý. (Brower, [1]) Cho X là một không gian mêtric compact và ánh xạ f : X → X. Nếu d(fx, fy) < d(x, y), ∀x, y ∈ X và x 6= y (1.2) thì f có duy nhất một điểm bất động. Chứng minh. Từ điều kiện (1.2) dễ dàng suy ra f là ánh xạ liên tục. Bây giờ xét hàm thực ϕ(x) = d(fx, x), x ∈ X. Vì f và d liên tục nên ϕ là hàm liên tục. Từ X là không gian mêtric compact nên ϕ đạt giá trị nhỏ nhất tại a ∈ X. Giả sử fa 6= a. Khi đó d(f2a, fa) < d(fa, a). Do đó ϕ(fa) < ϕ(a). Mâu thuẫn với ϕ đạt giá trị bé nhất tại a. Vậy fa = a hay a là điểm bất động của f . 8Bây giờ, giả sử b 6= a là điểm bất động của f . Khi đó d(a, b) = d(fa, fb) < d(a, b). Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy f có duy nhất một điểm bất động. 1.2. Không gian 2-mêtric 1.2.1 Định nghĩa. Cho X là tập hợp gồm ít nhất 3 điểm. Một 2-mêtric trên X là một ánh xạ : ρ : X ×X ×X → R thoả mãn các điều kiện sau: i) Với mỗi cặp điểm a, b ∈ X mà a 6= b, tồn tại một điểm c nào đó thuộc X thoả mãn ρ(a, b, c) 6= 0. Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0. ii) ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b),∀a, b, c ∈ X. iii)ρ(a, b, c) 6 ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(d, b, c),∀a, b, c, d ∈ X. Khi đó, (X, ρ) được gọi là một không gian 2-mêtric. 1.2.2 Chú ý. Dễ dàng thấy ρ không âm.Thật vậy, trong iii) cho a = c ta được ρ(a, b, a) 6 ρ(a, b, d) + ρ(a, a, d) + ρ(d, b, a), ∀a, b, d ∈ X ⇔ 0 6 2ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X. ⇔ 0 6 ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X. 1.2.3 Ví dụ. Cho X = (a, b, c, d). Ta xác định ánh xạ ρ : X×X×X → R như sau ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3, ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6, 9và ρ(x, y, z) = 0 nếu x, y, z có ít nhất 2 phần tử bằng nhau. Khi đó, (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Thật vậy, X là tập hợp nhiều hơn 3 điểm thoả mãn: i) Với mỗi cặp điểm (x, y) ∈ X mà x 6= y, tồn tại một điểm z nào đó thuộc X thoả mãn: ρ(x, y, z) 6= 0. Mặt khác ρ(x, y, z) 6= 0,∀x, y, z ∈ X (do không tồn tại 2 điểm nào bằng nhau). ii) ρ(x, y, z) = ρ(y, z, x) = ρ(z, x, y),∀x, y, z ∈ X iii) Bất đẳng thức ρ(x, y, z) 6 ρ(x, y, t) + ρ(x, z, t) + ρ(t, y, z) luôn đúng với ∀x, y, x, t ∈ X. 1.2.4 Ví dụ. Trên tập số tự nhiên N ta xét mêtric: ρ(a, b, c) = { 1 nếu a, b, c khác nhau đôi một 0 nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau. i) Lấy a, b ∈ N ; a 6= b thì luôn tồn tại c ∈ N, c 6= a, c 6= b sao cho: ρ(a, b, c) = 1 6= 0. Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0. ii) Với mọi a, b, c ∈ N thì ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b). iii) Lấya, b, c, d ∈ X - Nếu có ít nhất 2 trong 3 điểm a, b, c bằng nhau thì hiển nhiên 0 = ρ(a, b, c) + ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d). - Nếu a, b, c khác nhau đôi một thì ρ(a, b, c) = 1 6 ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d),∀a, b, c, d ∈ N, (do (a, b, d), hoặc (a, c, d), hoặc(b, c, d) khác nhau đôi một). Vậy (N, ρ) là một không gian 2-mêtric. 10 1.2.5 Ví dụ. (R2, ρ) là một không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) là diện tích tam giác tạo bởi 3 đỉnh x, y, z ∈ R2. Thật vậy, xét ánh xạ: ρ : R2 × R2 × R2 → R (A, B, C) 7→ SABC . i) Lấy (A,B) ∈ R2 × R2 là hai điểm phân biệt. Khi đó: ∃C ∈ R2 sao cho A,B,C không thẳng hàng thì: ρ(A,B,C) = SABC > 0. Khi có ít nhất 2 điểm trong 3 điểm A,B,C trùng nhau thì 4ABC suy biến nên SABC = 0. Tức là ρ(A,B,C) = 0. ii) Rõ ràng ta luôn có: SABC = SBCA = SCAB,∀(A,B,C) ∈ R2 × R2 × R2. iii) Lấy (A,B,C) ∈ R2 × R2 × R2. Trường hợp 1: Nếu SABC = 0 thì hiển nhiên 0 = SABC 6 SABD + SACD + SBCD,∀D ∈ R2. Trường hợp 2: Nếu SABC > 0 : LấyD bất kỳ, D ∈ R2, có 3 khả năng sau xảy ra: KN1: D không nằm miền ngoài tam giác ABC (D nằm miền trong hoặc nằm trên các cạnh, Hình 1) thì SABC = SABD + SACD + SBCD. KN2: D nằm ở miền (1),(3),(5) như Hình 2. Không mất tính tổng quát, giả sử D ∈ miền (1). Khi đó SABC = SCBD − SCDA − SBAD < SABD + SACD + SBCD. KN3: D nằm ở miền (2),(4),(6) và biên như Hình 3. Không mất tính tổng quát, giả sử D ∈ miền (2). Khi đó SABC = SABD + SACD − SBCD < SABD + SACD + SBCD. 11 Vậy (R2, ρ) là không gian 2-mêtric. A B C D A B C D B C A D(1) (3) (5) (2) (4) (6) Hình 1 Hình 2 Hình 3 1.2.6 Định nghĩa. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim n→∞ ρ(xn, x, a) = 0, với mọi a ∈ X. 1.2.7 Mệnh đề. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Khi đó 1)Nếu dãy {xn} ⊂ X hội tụ tới x ∈ X và {xn} ⊂ X hội tụ tới y thì x = y. 2) Nếu dãy {xn} hội tụ tới x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới x. Chứng minh. 1) Giả sử x 6= y. Khi đó, tồn tại z ∈ X sao cho ρ(x, y, z) 6= 0. Mặt khác, ta có ρ(x, y, z) 6 ρ(xn, x, z) + ρ(xn, y, z) + ρ(xn, x, y), với mọi n = 0, 1, 2 . . . Vì xn hội tụ tới x và xn hội tụ tới y nên lim n→∞ ρ(xn, x, z) = limn→∞ ρ(xn, y, z) = limn→∞ ρ(xn, x, y) = 0. Do đó ρ(x, y, z) = 0. Ta nhận được sự mâu thuẫn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 12 2) Giả sử dãy {xn} hội tụ tới x trong không gian 2-mêtric (X, ρ) và {xnk} ⊂ {xn}. Ta chứng minh xnk → x khi k → ∞. Thật vậy, do {xnk} là một dãy con của {xn} nên ta có thể chọn cách đánh số sao cho nk > k, ∀k ∈ N. Vì xn → x nên: ∀ε > 0,∃ no ∈ N : ρ(xk, x, a) no. Khi đó,với nk > k, ∀ k ∈ N ta có ρ(xnk, x, a) no, ∀ a ∈ X. Từ đó suy ra lim n→∞ ρ(xnk, x, a) = 0, ∀ a ∈ X. Tức là ta có xnk → x ∈ X. Như vậy, tương tự không gian mêtric, giới hạn của dãy trong không gian 2-mêtric nếu có là duy nhất. 1.2.8 Mệnh đề. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Nếu {xn} ⊂ X hội tụ tới x thì ρ(xn, a, b) → ρ(x, a, b) khi n → ∞, với mọi a, b ∈ X. Chứng minh. Giả sử xn hội tụ tới x. Khi đó ρ(xn, x, a) → 0 khi n → ∞ với mọi a ∈ X. Với mọi a, b ∈ X ta có ρ(xn, a, b) 6 ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b) + ρ(x, a, b) ⇔ ρ(xn, a, b)− ρ(x, a, b) 6 ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b). (1.3) Tương tự, ta có ρ(x, a, b) 6 ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b) + ρ(xn, a, b) ⇔ −ρ(xn, x, a)− ρ(xn, x, b) 6 ρ(xn, a, b)− ρ(x, a, b). (1.4) Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra |ρ(xn, a, b)− ρ(x, a, b)| 6 ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b). Cho n → ∞ ta nhận được điều cần chứng minh. 13 1.2.9 Định nghĩa. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim m,n→∞ ρ(xm, xn, a) = 0, với mọi a ∈ X. 1.2.10 Nhận xét. Sử dụng Mệnh đề 1.2.8 ta dễ dàng chứng minh được dãy hội tụ trong không gian 2-mêtric là dãy Cauchy. Thật vậy, giả sử xn hội tụ tới x ∈ X, ta luôn có lim n→∞ ρ(xn, x, a) = 0, ∀a ∈ X. Khi đó theo tính chất của không gian 2-mêtric ta có 0 6 ρ(xm, xn, a) 6 ρ(xn, x, a) + ρ(xm, x, a) + ρ(xm, xn, x), ∀a ∈ X. Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức trên khi m,n → ∞ ta được lim m,n→∞ ρ(xm, xn, a) = 0. Do đó, {xn} là dãy Cauchy trong không gian 2-mêtric X. 1.2.11 Định nghĩa. Không gian 2-mêtric (X, ρ) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. 1.2.12 Ví dụ. (R2, ρ), trong đó ρ(x, y, z) là diện tích tam giác với các đỉnh x, y, z là không gian 2-mêtric đầy đủ. Chứng minh. Gọi ρ1 là mêtric khoảng cách trong mặt phẳng. Giả sử x = (x1, x2), y = (y1, y2) thì ρ1(x, y) = √ |x1 − y1|2 + |x2 − y2|2. Kí hiệu xy là đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ R2 và d(a/xy) là khoảng cách từ điểm a ∈ R2 đến đường thẳng xy. Ta có: ρ(x, y, a) = 1 2 d(a/xy).ρ1(x, y), ∀a ∈ R2. 14 Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong (R2, ρ). Khi đó, với mọi a ∈ R2 ta có ρ(xn, xm, a) → 0 khi m,n → ∞. Do đó 1 2 d(a/xnxm).ρ1(x n, xm) → 0 khi m,n → ∞. Vì a là tuỳ ý nên ρ1(x n, xm) → 0 khi m,n → ∞. Từ đó suy ra: {xn} là một dãy Cauchy trong (R2, ρ1). Mặt khác ρ1 là một mêtric đầy đủ trong R2 nên khi n → ∞ ta suy ra xn → x ∈ R2 theo mêtric ρ1. Khi đó, dễ dàng kiểm tra được xn → x theo 2-mêtric ρ. Vậy (R2, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ. 1.2.13 Định nghĩa. Cho (X, ρ), (Y, d) là các không gian 2-mêtric. 1).ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi dãy {xn} ⊂ X hội tụ tới x thì dãy f(xn) hội tụ tới f(x) trong Y . 2)ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x ∈ X. Trong định nghĩa trên ta có thể thay (Y, d) là không gian mêtric. 1.2.14 Định nghĩa. Không gian 2-mêtric (X, ρ) được gọi là compact theo dãy nếu mọi dãy {xn} ⊂ X đều chứa dãy con hội tụ trong X. 1.2.15 Ví dụ. Cho X = (a, b, c, d). Ta xác định ánh xạ ρ : X×X×X → R như sau ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3, ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6, và ρ(x, y, z) = 0 nếu x, y, z có ít nhất 2 phần tử bằng nhau. 15 Khi đó, dễ dàng chứng minh được (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ. Ngoài ra, X compact theo dãy. Tổng quát, nếu X hữu hạn thì (X, ρ) compact theo dãy với mọi 2-mêtric ρ. 1.2.16 Định lý. Mọi ánh xạ liên tục từ không gian 2-mêtric compact theo dãy (X, ρ) vào R (với mêtric thông thường) đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Chứng minh. Giả sử (X, ρ) là không gian 2-mêtric compact theo dãy và f : X → R là ánh xạ liên tục. Đầu tiên, ta chứng minh f(X) là tập bị chặn. Giả sử ngược lại f(X) không bị chặn. Khi đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ X sao cho yn = f(xn) → ∞.Vì X là compact theo dãy nên tồn tại dãy con {xnk} của {xn} sao cho xnk hội tụ tới x ∈ X. Vì f liên tục nên f(xnk) → f(x). Từ đó suy ra: f(x) = ∞.Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy f(X) là tập bị chặn. Gọi m = inf f(X) và M = sup f(X). Khi đó: tồn tại các dãy {yn}, {zn} ⊂ f(X) sao cho yn → m ∈ f(X); zn → M ∈ f(X). Do f là ánh xạ nên tương ứng tồn tại các dãy {xn}, {x′n} ⊂ X sao cho f(xn) = yn; f(x ′ n) = zn. Vì X là không gian 2-mêtric compact theo dãy nên tồn tại các dãy con {xnk} ⊂ {xn}; {x′nk} ⊂ {x′n} sao cho xnk → x0, x′nk → x′0. Do f liên tục nên f(xnk) → f(x0); f(x′nk) → f(x′0). (1.5) 16 Mặt khác f(xnk) = ynk → m; f(x′nk) = znk → M. (1.6) Từ (1.5) và (1.6) suy ra f(x0) = m; f(x ′ 0) = M. Vậy, m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f trên X. 17 CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO CÁC ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC Chương này trình bày một số kết quả về định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trong không gian 2-mêtric. 2.1. Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trong không gian 2-mêtric Mục này trình bày các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2-mêtric. Đây là sự tương tự của các nguyên lý ánh xạ co đối với không gian mêtric. 2.1.1 Định nghĩa. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. ánh xạ f : X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho ρ(fx, fy, a) 6 qρ(x, y, a), ∀x, y, a ∈ X. (2.1) Định lý sau là một tương tự của nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric. 2.1.2 Định lý. Nếu (X, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ và f : X → X là một ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bất động. Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và lập dãy x1 = fx0 x2 = fx1, . . . , xn = fxn−1 = fnx0, . . . 18 Ta chứng minh ρ(xn+2, xn+1, xn) = 0 với mọi n. Thật vậy 0 6 ρ(xn+2, xn+1, xn) = ρ(fxn+1, fxn, xn) 6 qρ(xn+1, xn, xn) = 0 Từ đó suy ra ρ(xn+2, xn+1, xn) = 0 với mọi n = 0, 1, 2 . . . (2.2) Tiếp theo, với mọi a ∈ X ta có ρ(xn, xn+1, a) = ρ(fxn−1, fxn, a) 6 qρ(xn−1, xn, a), ∀n > 1. Từ đây suy ra ρ(xn, xn+1, a) 6 qnρ(x0, x1, a), ∀n > 1. Với m = n + p > n, từ tính chất của 2-mêtric suy ra ρ(xm, xn, a) = ρ(xn+p, xn, a) 6 ρ(xn, xn+1, a) + ρ(xn+1, xn+2, a) + · · ·+ ρ(xn+p−1, xn+p, a) 6 (qn + qn+1 + · · ·+ qn+p)ρ(x0, x1, a) < qn 1− qρ(x0, x1, a). Từ 0 6 q < 1 suy ra ρ(xm, xn, a) → 0 khi m,n → ∞.Vậy {xn} là dãy Cauchy. Vì X là không gian 2-mêtric đầy đủ nên xn hội tụ tới x ∈ X. Từ đó suy ra xn+1 → x khi n → ∞. Ta chứng minh x là điểm bất động của f . Với mọi a ∈ X, ta có 0 6 ρ(x, fx, a) = lim n→∞ ρ(xn+1, fx, a) = limn→∞ ρ(fxn, fx, a) 6 q lim n→∞ ρ(xn, x, a) = 0. Ta nhận được ρ(x, fx, a) = 0 với mọi a ∈ X, tức là fx = x. Để kết thúc chứng minh, ta chỉ ra x là điểm bất động duy nhất của f . Giả sử y là điểm bất động của f . Khi đó, với mọi a ∈ X ta có ρ(x, y, a) = ρ(fx, fy, a) 6 qρ(x, y, a). Từ q ∈ [0, 1) ta suy ra ρ(x, y, a) = 0 với mọi a ∈ X, tức là x = y. 19 Định lý sau là một tương tự của Định lý điểm bất động của Brower. 2.1.3 Định lý. Cho (X, ρ) là không gian 2-mêtric compact theo dãy. Nếu f : X → X thoả mãn ρ(fx, fy, a) < ρ(x, y, a), ∀x, y ∈ X, x 6= y thì f có duy nhất một điểm bất động. Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh f là ánh xạ liên tục. Ta cần chứng minh, nếu xn → x thì fxn → fx. Thật vậy: 0 6 ρ(fxn, fx, a) 6 ρ(xn, x, a) → 0, ∀a ∈ X. Ta được điều cần chứng minh. Bây giờ, với mỗi a ∈ X xét hàm thực ϕa(x) = ρ(x, fx, a), x ∈ X. Từ f liên tục và áp dụng Mệnh đề 1.2.8 suy ra ϕa là hàm liên tục. Do đó, theo Định lý 1.2.16, ϕ đạt giá trị nhỏ nhất trên X. Khi đó, tồn tại xa ∈ X sao cho ϕ(xa) = min x∈X ϕ(x). Ta chứng minh xa là điểm bất động của f . Thật vậy, giả sử fxa 6= xa. Khi đó ϕa(xa) 6 ϕa(fxa). Từ đó suy ra ρ(xa, fxa, a) 6 ρ(fxa, f2xa, a) 6 ρ(xa, fxa, a). Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy fxa = xa. Để chứng minh f có duy nhất điểm bất động, ta cần chứng minh xa = xb với mọi a, b ∈ X. Thật vậy, nếu xa 6= xb thì tồn tại c ∈ X sao cho: 0 < ρ(xa, xb, c) = ρ(fxa, fxb, c) < ρ(xa, xb, c). Ta nhận được sự mâu thuẫn. Định lý được chứng minh. 20 2.2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong không gian 2-mêtric Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ co suy rộng dựa trên một ánh xạ khác trong không gian 2-mêtric đầy đủ. 2.2.1 Định nghĩa. Cho (X, ρ) là một không gian 2- mêtric. 1) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy hội tụ nếu với mọi dãy {yn} sao cho dãy {Tyn} hội tụ thì dãy {yn} cũng hội tụ. 2) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy con hội tụ nếu với mọi dãy {yn} sao cho dãy {Tyn} hội tụ thì dãy {yn} có dãy con hội tụ. 2.2.2 Mệnh đề. Cho T : X → X là một song ánh. Khi đó: 1) Nếu T liên tục và dãy hội tụ thì T−1 liên tục. 2) Nếu T−1 liên tục thì T dãy hội tụ. Chứng minh. 1) Giả sử T là dãy hội tụ. Lấy {yn} là một dãy trong X sao cho yn → y ∈ X. Vì T là song ánh nên tồn tại duy nhất dãy {xn} ⊂ X, x ∈ X sao cho T (xn) = yn, ∀n = 1, 2 . . . và T (x) = y. Vì T liên tục và dãy hội tụ nên xn → x. Do đó T−1(yn) → T1(y). Điều này chứng tỏ T−1 liên tục. 2) Giả sử T−1 liên tục và T (xn) → y ∈ X. Khi đó, tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho y = T (x). Do T−1 liên tục nên ta kết luận được T−1 ( T (xn) )→ T−1(T (x)) hay xn → x. Điều này chứng tỏ T là dãy hội tụ. 2.2.3 Ví dụ. Xét không gian 2-mêtric (R2, ρ), với ρ(x, y, z) là diện tích tam giác tạo bởi các đỉnh x, y, z ∈ R2. 1) Lấy X = X1 ∪X2 ⊂ R2 xác định bởi X1 = {(x, 1) : x > 1}; X2 = {(1, y) : y > 1}. 21 Khi đó, X là không gian 2-mêtric đầy đủ với 2-mêtric cảm sinh từ R2. Ta xác định ánh xạ T : X → X như sau T (x, 1) = (lnx + 1, 1), ∀(x, 1) ∈ X1, T (1, y) = (1, lny + 1), ∀(1, y) ∈ X2. Dễ dàng chứng minh được T liên tục và dãy hội tụ. 2) Lấy Y = Y1 ∪ Y2 ⊂ R2 xác định bởi Y1 = {(x, 0) : x > 0}; Y2 = {(0, y) : y > 0}. Khi đó, Y là không gian 2-mêtric đầy đủ với 2-mêtric cảm sinh từ R2. Ta xác định ánh xạ T : Y → Y như sau T (x, 0) = (e−x, 0), ∀(x, 0) ∈ Y1, T (0, y) = (0, e−y), ∀(0, y) ∈ Y2. Dễ dàng chứng minh được T liên tục nhưng không phải là dãy hội tụ. Thật vậy, ta thấy rằng T (n, 0) → (0, 0) khi n → ∞ nhưng (n, 0) không hội tụ. Định lý sau đây đưa ra một kết quả về sự tồn tại điểm bất động đối với lớp ánh xạ co suy rộng. Đây là sự mở rộng thực sự một kết quả Lai và Singh (xem [7]). 2.2.4 Định lý. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ và ánh xạ T : X → X là song ánh, liên tục và dãy hội tụ. Nếu φ1, φ2 : X → X là hai ánh xạ thoả mãn với ∀x, y, a ∈ X, ρ ( T ( Φ1x ) , T ( Φ2y ) , Ta ) 6 a1ρ ( Tx, T ( Φ1x ) , Ta ) + a2ρ ( Ty, T ( Φ2y ) , Ta ) + a3ρ ( Tx, T ( Φ2y ) , Ta ) + a4ρ ( Ty, T ( Φ1x ) , Ta ) + a5ρ ( Tx, Ty, Ta ) , (2.3) 22 với a1, a2, a3, a4, a5 là các số thực không âm thỏa mãn 5∑ i=1 ai < 1 và (a1−a2)(a3−a4) > 0. Khi đó, φ1 và φ2 có một điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Với mỗi số thực x, kí hiệu [x] là phần nguyên của x. Đặt α := a1 + a3 + a5 1− a2 − a3 , β := a2 + a4 + a5 1− a1 − a4 . Ta có 1− αβ = 1− (a1 + a3 + a5 1− a2 − a3 )( a2 + a4 + a5 1− a1 − a4 ) = (a1 − a2)(a3 − a4)− a5 5∑ i=1 ai + [1− (a1 + a2 + a3 + a4)] (1− a2 − a3)(1− a1 − a4) > 0− a5 5∑ i=1 ai + 1− 4∑ i=1 ai (1− a2 − a3)(1− a1 − a4) > 1− 5∑ i=1 ai (1− a2 − a3)(1− a1 − a4) > 0. Từ đó suy ra αβ < 1. Lấy xo bất kỳ thuộc X và xác định các dãy như sau x2n+1 = φ1x2n, x2n+2 = φ2x2n+1, n = 0, 1, 2, . . . và yn = Txn, n = 0, 1, 2, . . . Đầu tiên, ta sẽ chứng minh {yn} là dãy Cauchy. Với bất kỳ số nguyên 23 không âm n, áp dụng (2.3) ta có ρ(y2n, y2n+1, y2n+2) = ρ ( T ( φ1x2n ) , T ( φ2x2n+1 ) , Tx2n ) 6 a1ρ ( Tx2n, T ( φ1x2n ) , Tx2n ) + a2ρ ( Tx2n+1, T ( φ2x2n+1 ) , Tx2n ) + a3ρ ( Tx2n, T ( φ2x2n+1 ) , Tx2n ) + a4ρ ( Tx2n+1, T ( φ1x2n ) , Tx2n ) + a5ρ ( Tx2n, Tx2n+1, Tx2n ) = a2ρ ( Tx2n+1, T ( φ2x2n+1 ) , Tx2n ) . Do đó: ρ(y2n, y2n+1, y2n+2) 6 a2ρ ( Tx2n+1, T ( φ2x2n+1 ) , Tx2n ) = a2ρ ( y2n, y2n+1, y2n+2 ) . Từ giả thiết 0 6 a2 < 5∑ i=1 ai < 1, ta suy ra ρ(y2n, y2n+1, y2n+2) = 0. Chứng minh tương tự ta có ρ(y2n+1, y2n+2, y2n+3) = 0. Mặt khác, vì T là một song ánh nên với mỗi a ∈ X, tồn tại duy nhất b ∈ Xsao cho Tb = a. Vì vậy, với mỗi a bất kỳ thuộcX ta có ρ(y2n+1, y2n+2, a) = ρ ( Tx2n+1, Tx2n+2, T b ) = ρ ( T ( Φ1x2n ) , T ( Φ2x2n+1 ) , T b ) 6 a1ρ ( Tx2n, T ( Φ1x2n ) , T b ) + a2ρ ( Tx2n+1, T ( Φ2x2n+1 ) , T b ) + a3ρ ( Tx2n, ( Φ2x2n+1 ) , T b ) + a4ρ ( Tx2n+1, T ( Φ1x2n ) , T b ) + a5ρ ( Tx2n, Tx2n+1, T b ) 24 = a1ρ(y2n, y2n+1, a) + a2ρ(y2n+1, y2n+2, a) + a3ρ(y2n, y2n+2, a) + a4ρ(y2n+1, y2n+1, a) + a5ρ(y2n, y2n+1, a) 6 a1ρ(y2n, y2n+1, a) + a2ρ(y2n+1, y2n+2, a) + a3 ( ρ(y2n, y2n+1, a) + ρ(y2n, y2n+1, y2n+2)+ ρ(y2n+1, y2n+2, a) ) + a5ρ(y2n, y2n+1, a). Kết hợp với ρ(y2n, y2n+1, y2n+2) = 0, ta có (1− a2 − a3).ρ(y2n+1, y2n+2, a) 6 (a1 + a3 + a5).ρ(y2n, y2n+1, a). Từ đó suy ra ρ(y2n+1, y2n+2, a) 6 (a1 + a3 + a5) (1− a2 − a3) ρ(y2n, y2n+1, a), tức là ρ(y2n+1, y2n+2, a) 6 αρ(y2n, y2n+1, a). (2.4) Bằng tính toán tương tự và sử dụng ρ(y2n+1, y2n+2, y2n+3) = 0 ta có ρ(y2n+2, y2n+3, a) 6 βρ(y2n+1, y2n+2, a). (2.5) Từ (2.4) và (2.5) suy ra ρ(y2n+1, y2n+2, a) 6 (1 + α)(αβ)[ 2n+1 2 ]ρ(y0, y1, a) và ρ(y2n+2, y2n+3, a) 6 (1 + α)(αβ)[ 2n+2 2 ]ρ(y0, y1, a). Do đó ρ(ym, ym+1, a) 6 (1 + α)(αβ)[ m 2 ]ρ(yo, y1, a), (2.6) với mọi m = 1, 2, . . . Ta sẽ chỉ ra ρ(y0, y1, ym) = 0,∀m = 0, 1, 2 . . . (2.7) Thật vậy, khi m = 0,m = 1 thì khẳng định trên hiển nhiên đúng. Giả sử công thức (2.7) đúng với mọi 0 6 m 6 k−1, tức là ta cần chứng minh ρ(yo, y1, yk) = 0. 25 Ta có ρ(y0, y1, yk) 6 ρ(y0, y1, yk−1) + ρ(y0, yk−1, yk) + ρ(yk−1, yk, y1) 6 (1 + α)(αβ)[k−12 ] ( ρ(y0, y1, y0) + ρ(y0, y1, y1) ) = 0. Từ đó suy ra ρ(y0, y1, yk) = 0. Như vậy (2.7) đã được chứng minh. Bây giờ, từ ρ(ym, ym+1, yn) 6 (1 + α)(αβ)[ m 2 ]ρ(y0, y1, yn), ta suy ra ρ(ym, ym+1, yn) = 0, ∀m,n = 1, 2 . . . (2.8) Từ đó suy ra ρ(ym, yn, a) 6 ρ(ym, ym+1, a) + ρ(ym, ym+1, yn) + ρ(ym+1, yn, a) = ρ(ym, ym+1, a) + ρ(ym+1, yn, a), ∀a ∈ X, ∀m < n Từ(2.6), (2.8) và điều kiện iii) mục 1.2.1, ta có ρ(ym, yn, a) 6 ρ(ym, ym+1, a) + ρ(ym+1, ym+2, a) + · · ·+ ρ(yn−1, yn, a) 6 (1 + α) ( (αβ)[ m 2 ] + (αβ)[ m 2 ] + · · ·+ (αβ)[m2 ] ) ρ(y0, y1, a). Vì αβ < 1 nên vế phải của bất đẳng thức trên hội tụ tới 0 khi m,n → ∞. Từ đó suy ra {yn} là dãy Cauchy. Vì X là không gian 2-mêtric đầy đủ nên yn hội tụ tới y ∈ X. Tức là lim yn = limTxn = y. Vì T là ánh xạ dãy hội tụ nên xn hội tụ tới x ∈ X. Từ T liên tục nên ta suy ra được Tx = y. Tiếp theo ta sẽ chứng minh x là điểm bất động chung duy nhất của 26 φ1 và φ2. Thật vậy, ρ ( Tx, T ( Φ1x ) , T b ) 6 ρ ( y2n+2, Tx, T ( Φ1x )) + ρ ( yn+2, Tx, T b ) + ρ ( yn+2, T ( Φ1x ) , T b ) = ρ ( y2n+2, Tx, T ( Φ1x )) + ρ ( y2n+2, Tx, T b ) + ρ ( T ( Φ1x ) , T ( Φ2x2n+1 ) , T b ) 6 ρ ( y2n+2, Tx, T ( Φ1x )) + ρ ( y2n+2, Tx, T b ) + a1ρ ( Tx, T ( Φ1x ) , T b ) + a2ρ ( Tx2n+1, T ( Φ2x2n+1 ) , T b ) + a3ρ ( Tx, T ( Φ2x2n+1 ) , T b ) + a4ρ ( Tx2n+1, T ( Φ1x ) , T b ) + a5ρ ( Tx, Tx2n+1, T b ) = ρ ( y2n+2, y, T ( Φ1x ) + ρ ( yn+2, y, T b ) + a1ρ ( Tx, T ( Φ1x ) , T b ) + a2ρ ( y2n+1, y2n+2, T b ) + a3ρ ( y, y2n+2, T b ) + a4ρ ( Tx2n+1), T ( Φx ) , T b ) + a5ρ ( y, y2n+1, T b ) . Lấy giới hạn khi n → ∞ của bất đẳng thức trên, kết hợp với lim n→∞ yn = y ta được ρ ( Tx, T ( φ1x ) , T b) 6 (a1 + a4)ρ ( Tx, T ( φ1x ) , T b ) . Từ giả thiết 0 < (a1 + a4) < 5∑ i=1 ai < 1, suy ra ρ ( Tx, T ( φ1x ) , T b ) = 0,∀b ∈ X. Vì a = Tb ∈ X nên ρ ( Tx, T ( φ1x ) , a ) = 0,∀a ∈ X. Từ đó suy ra T ( φ1x ) = Tx. Vì giả thiết T là song ánh nên ta kết luận được φ1(x) = x. 27 Chứng minh tương tự ta có φ2(x) = x. Như vậy, x là điểm bất động chung của φ1 và φ2. Ta sẽ chứng minh điểm bất động x là duy nhất. Thật vậy, nếu y là một điểm bất động của φ2 thì φ2(y) = y Khi đó, áp dụng (2.3) ta có ρ ( T ( φ1x ) , T ( φ2y ) , T b ) 6 a1ρ ( Tx, T ( φ1x ) , T b ) + a2ρ ( Ty, T ( φ2y ) , T b ) + a3ρ ( Tx, T ( φ2y ) , T b ) + a4ρ ( Ty, T ( φ1x ) , T b ) + a5ρ ( Tx, Ty, T b ) ⇒ ρ(Tx, Ty, T b) 6 (a3 + a4 + a5)ρ(Tx, Ty, T b). Từ giả thiết 0 < (a3 + a4 + a5) < 5∑ i=1 ai < 1, ta suy ra ρ(Tx, Ty, T b) = 0,∀b ∈ X. Do đó: Tx = Ty. Điều này chứng tỏ x là điểm bất động chung duy nhất của Φ2. Chứng minh tương tự ta cũng suy ra được x là điểm bất động chung của Φ1. Như vậy, Φ1 và Φ2 có một điểm bất động chung duy nhất. Định lý đã được chứng minh. Trong định lý trên nếu ta chọn T (x) = x thì ta nhận được hệ quả sau thuộc về Lai và Signh. 2.2.5 Hệ quả. ([7]) Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ. Giả sử φ1, φ2 : X → X là các ánh xạ thoả mãn với ∀x, y, a ∈ X, ρ(Φ1x,Φ2y, a) 6 a1ρ(x,Φ1x, a) + a2ρ(y,Φ2y, a) + a3ρ(x,Φ2y, a) + a4ρ(y,Φ1x, a) + a5ρ(x, y, a), (2.9) 28 trong đó a1, a2, a3, a4, a5 là các số thực không âm thỏa mãn 5∑ i=1 ai 0 Khi đó, Φ1 và Φ2 có một điểm bất động chung duy nhất. Ta nhận được hệ quả sau từ kết quả trên của Lai và Singh. 2.2.6 Hệ quả. ([5]) Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ và Φ1,Φ2 : X → X là các ánh xạ thoả mãn ρ(Φ1x,Φ2y, a) 6 Aρ(x,Φ1x, a) + Bρ(y,Φ2y, a) + C [ ρ(x,Φ2y, a) + ρ(y,Φ1x, a) ] + Dρ(x, y, a), (2.10) với mọi x, y, a ∈ X, trong đó A,B,C,D là các số thực không âm thoả mãn A + B + 2C + D < 1. Khi đó, Φ1 và Φ2 có duy nhất một điểm bất động. Ta dễ dàng nhận được từ Định lý 2.2.4 hệ quả sau là một mở rộng của Hệ quả 2.2.6. 2.2.7 Hệ quả. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ. Cho T : X → X là song ánh, liên tục và dãy hội tụ. Cho Φ1,Φ2 : X → X là hai ánh xạ thoả mãn ρ ( T ( Φ1x ) , T ( Φ2y ) , Ta ) 6 Aρ ( Tx, T ( Φ1x ) , Ta ) + Bρ ( Ty, T ( Φ2y ) , Ta ) + C [ ρ ( Tx, T ( Φ2y ) , Ta ) + ρ ( Ty, T ( Φ1x ) , Ta )] + Dρ ( Tx, Ty, Ta ) , (2.11) với mọi x, y, a ∈ X, trong đó A,B,C,D là các số thực không âm thoả mãn A + B + 2C + D < 1. Khi đó, Φ1 và Φ2 có duy nhất một điểm bất động. 29 Chứng minh. áp dụng Định lý 2.2.4, với a1 = A, a2 = B, a5 = D và a3 = a4 = C, ta nhận được kết quả. 2.2.8 Chú ý. Trong Định lý 2.2.4 ta có thể thay điều kiện T song ánh bởi điều kiện T đơn ánh thỏa mãn nếu ρ ( x, y, T (z) ) , ∀z ∈ X thì x = y. Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.4 là mở rộng thực sự từ Hệ quả 2.2.5 của Lai và Singh. 2.2.9 Ví dụ.._.