Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông

NGUYÊN Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Bùi Văn Nghị Ngƣời phản biện: Phản biện 1: Nguyễn Anh Tuấn Phản biện 2: Cao Thị Hà Luận văn sẽ đƣợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn Họp tại trƣờng Đại học sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên Vào hồi 15 giờ, ngày 25 tháng 10 năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn tại Thƣ viện trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên THAI NGUYEN UNIVERSITY THAI NGUYEN TEACHER TRAINING COLLEGE –––––––––––––––––––––––––––– DANG KHAC QUANG APPLYING TEACHING METHOD OF DISCOVERY WITH GUIDING IN TEACHING INEQUALITY AT HIGH SCHOOL Limited speciality: Argument and Teaching Method Code: 60.14.10 SUM UP EDUCATIONAL AND SCIENTIAL M.A. ESSAY THAI NGUYEN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––– ĐẶNG KHẮC QUANG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– ĐẶNG KHẮC QUANG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT Chuyên ngành: LL&PP DẠY HỌC TOÁN Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI VĂN NGHỊ THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 1. Lý do chọn đề tài......................................................................................... 1 2. Giả thuyết khoa học..................................................................................... 3 3. Mục đích nghiên cứu................................................................................... 3 4. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................. 3 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 4 6. Cấu trúc luận văn......................................................................................... 4 Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN......................................... 6 1.1. Dạy học bằng các hoạt động khám phá có hướng dẫn............................. 6 1.1.1. Khái quát............................................................................................... 6 1.1.2. Tổ chức các hoạt động học tập khám phá............................................. 7 1.1.3. Điều kiện thực hiện............................................................................... 8 1.2. Các hoạt động và hoạt động thành phần.................................................. 9 1.2.1. Khái quát............................................................................................... 9 1.2.2. Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung......................... 12 1.2.3. Phân tích các hoạt động thành các hoạt động thành phần................... 13 1.2.4. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích............................................... 14 1.3. Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya..................... 15 1.4. Thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thức ở trường phổ thông..... 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Kết luận chƣơng 1....................................................................................... 22 Chƣơng 2. VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT.................................................................... 23 2.1. Khám phá vận dụng bất đẳng thức đã biết............................................. 23 2.2. Khám phá hàm số trong chứng minh bất đẳng thức.............................. 34 2.3. Khám phá ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức............................... 51 2.4. Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện................................. 64 2.5. Khám phá các sai lầm trong lời giải và sửa chữa.................................. 75 Kết luận chƣơng 2....................................................................................... 84 Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM................................................ 86 3.1. Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sư phạm............................... 86 3.2.Các giáo án thực nghiệm sư phạm.......................................................... 87 3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm.............................................................. 103 Kết luận chƣơng 3..................................................................................... 105 KẾT LUẬN................................................................................................ 106 Tài liệu tham khảo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS - TS Bùi Văn Nghị, đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn: - Phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên. - Các thầy giáo ở Viện Toán học Việt Nam, trường ĐHSP Hà Nội, trường ĐHSP Thái Nguyên, đã hướng dẫn chúng tôi học tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. - Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ toán trường THPT Lạng Giang số 2 - Bắc Giang đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành đề tài của mình. - Bạn bè và gia đình đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Thái nguyên, tháng 10 năm 2009 Học viên Đặng Khắc Quang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN [?] : Câu hỏi và bài tập kiểm tra [!] : Dự đoán câu trả lời hoặc cách xử lý của học sinh BĐT : Bất đẳng thức GV : Giáo viên HS : Học sinh NXB : Nhà xuất bản PPDH : Phương pháp dạy học THPT : Trung học phổ thông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Luật giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên" (chương I, điều 4). "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh" (chương I, điều 24). Những quy định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu nói chung của phương pháp giáo dục ở nước ta hiện nay. Mâu thuẫn này đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với định hướng đổi mới PPDH là: PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Định hướng này có thể gọi tắt là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, hay ngắn gọn hơn là hoạt động hoá người học [6]. Đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, nhằm khơi dậy và phát triển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập, sáng tạo, rèn luyện kỹ năng vận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Có thể kể ra một số phương hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông hiện nay là: - Phát triển tư duy và rèn luyện các hoạt động trí tuệ. - Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. - Sử dụng đa phương tiện để giải quyết vấn đề, minh họa cho học sinh tìm tòi từ tình huống, nghiên cứu, phát hiện vấn đề … - Bồi dưỡng phương pháp tự học, phương pháp đọc sách. - Đổi mới phương pháp đánh giá, kết hợp đánh giá của thầy, với tự đánh giá của trò. - Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập tương tác: hoạt động theo nhóm… - Tăng cường các hoạt động hỗ trợ: tự học, chuyên đề, hội thảo, báo cáo thực hành. - Rèn luyện phong cách hòa nhập với cộng đồng. Nhìn chung tư tưởng chủ đạo của phương pháp đổi mới là: tập trung vào các hoạt động của trò; trò tự nghiên cứu, tìm tòi, khám phá; tăng cường giao lưu trao đổi giữa trò và trò. Các định hướng này phù hợp với quan điểm tâm lý học cho rằng hoạt động có ảnh hưởng trực tiếp tới sự hình thành và phát triển nhân cách, phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học Macxit: Con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động. Vấn đề dạy học khám phá có hướng dẫn dựa trên các hoạt động của học sinh do giáo viên tạo ra trên lớp, đã được khá nhiều thầy giáo quan tâm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 nghiên cứu. Tuy nhiên việc khai thác ứng dụng những lý luận này vào thực tế giảng dạy môn toán ở trường phổ thông nước ta còn nhiều hạn chế, vì hầu hết các thầy cô giáo chưa thấy hết được tác dụng to lớn của phương pháp này nên chưa được coi trọng và áp dụng vào thực tế giảng dạy. Ngoài ra giáo viên cũng chưa có nhiều kinh nghiệm và thiếu những cơ sở lý luận để xây dựng các hoạt động tương thích với nội dung, chưa được huấn luyện một cách có hệ thống, chưa có nhiều tài liệu tham khảo… Mặt khác trong chương trình môn toán ở trường phổ thông bất đẳng thức là một nội dung khó đối với nhiều học sinh. Nhiều giáo viên cũng gặp trở ngại, khó khăn khi giảng dạy phần này . Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài là: “Vận dụng phƣơng pháp dạy học khám phá có hƣớng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trƣờng THPT ”. 2. Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng hợp lý phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy bất đẳng thức ở trường THPT, thì HS học tập một cách chủ động, tích cực, sáng tạo hơn, qua đó phát triển trí tuệ hơn và nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông. 3. Mục đích nghiên cứu Xây dựng một số giáo án dạy học bất đẳng thức ở trường THPT vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Phân tích làm sáng tỏ tính ưu việt của phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn - Nghiên cứu lý luận đổi mới phương pháp dạy học, sách giáo khoa và thực tế việc dạy học theo quan điểm mới để vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn vào một số nội dung cụ thể. - Nghiên cứu thực tế vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn ở trường THPT. - Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: đọc và nghiên cứu các tài liệu viết về lí luận dạy học môn toán và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài để làm sáng tỏ về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn. Phương pháp quan sát điều tra: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp dạy giỏi toán, có kinh nghiệm, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy bất đẳng thức ở một số trường phổ thông. Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm giảng dạy một số giáo án tại trường THPT Lạng Giang số 2 nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 6. Cấu trúc luận văn Mở đầu Chƣơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn Chƣơng II: Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT Chƣơng III: Thực nghiệm sư phạm Kết luận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Chương này sẽ trình bày các vấn đề lý luận về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn, các hoạt động và hoạt động thành phần trong khám phá, các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya. Ứng với mỗi phần lý luận đều có các ví dụ minh hoạ cụ thể. Chương này được viết dựa trên các tài liệu [6], [15]. 1.1. Dạy học bằng các hoạt động khám phá có hƣớng dẫn 1.1.1. Khái quát Học tập là quá trình lĩnh hội tri thức mà loài người đã tích lũy được các kiến thức sách giáo khoa và các bài giảng của thầy chủ yếu mang lại cho học sinh những kiến thức đã có sẵn. Thường thì GV ít làm rõ nguồn gốc của các tri thức cho học sinh (phát minh vào lúc nào và bằng cách nào) mà cố gắng truyền đạt để HS hiểu rõ nội dung các kiến thức. Trong học tập, HS cũng cố gắng hiểu rõ các kiến thức mà thầy giáo truyền đạt và sau đó vận dụng vào làm các bài tập đó là cách dạy và học bằng phương pháp thuyết trình: thầy giảng, trò nghe. Phương pháp này làm cho HS tiếp thu một cách thụ động thiếu hứng thú trong học hành. Các nhà nghiên cứu giáo dục, các nhà giáo đang quan tâm tới những phương pháp dạy học làm cho HS luôn tích cực, hứng thú. Những phương pháp này chủ yếu dựa vào các hoạt động của HS do thầy giáo tạo ra trên lớp; trong đó phải kể đến phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn. Đó là phương pháp dạy học thông qua các hoạt động do thầy dẫn dắt, HS tự khám phá ra các kiến thức. Nếu làm được như vậy HS sẽ thông hiểu, ghi nhớ và vận dụng những gì mình đã nắm được qua hoạt động chủ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 động, tự lực khám phá của chính mình. Tới một trình độ nhất định thì sự học tập tích cực, sự khám phá sẽ mang tính nghiên cứu khoa học và người học cũng tạo ra những tri thức mới. Khác với khám phá trong nghiên cứu khoa học, khám phá trong học tập không phải là một quá trình tự phát mà là một quá trình có hướng dẫn của GV, Trong đó GV đã khéo léo đặt HS vào địa vị người phát hiện lại, người khám phá lại tri thức của loài người. 1.1.2. Tổ chức các hoạt động học tập khám phá Hoạt động khám phá trong học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình độ thấp lên trình độ cao, tuỳ theo trình độ năng lực tư duy của người học và được tổ chức hoạt động theo cá nhân, nhóm nhỏ hoặc nhóm lớn, tuỳ theo độ phức tạp của vấn đề cần khám phá. Các hoạt động khám phá học trong học tập có thể là: + Trả lời câu hỏi. + Điền từ, điền bảng, tra bảng... + Lập bảng, biểu đồ, đồ thị... + Thử nghiệm, đề xuất giải quyết, phân tích nguyên nhân, thông báo kết quả. + Thảo luận, tranh cãi về một vấn đề. + Giải bài toán, bài tập. + Điều tra thực trạng, đề xuất giải pháp cải thiện thực trạng, thực nghiệm giải pháp lớn. + Làm bài tập lớn, chuyên đề, luận án, luận văn, đề án... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Quyết định hiệu quả học tập là những gì HS làm chứ không phải những gì GV làm. Vì vậy phải thay đổi quan niệm soạn giáo án, từ tập trung vào thiết kế các hoạt động của GV chuyển sang tập trung vào thiết kế các hoạt động của HS. Tuy nhiên không nên cực đoan, có tham vọng biến toàn bộ nội dung bài học thành chuỗi các nội dung bài học khám phá. Số lượng hoạt động và mức độ tư duy đòi hỏi ở mỗi hoạt động trong mỗi tiết học phải phù hợp với trình độ HS để có đủ thời lượng cho thầy trò thực hiện các hoạt động khám phá. 1.1.3. Điều kiện thực hiện Việc áp dụng dạy học khám phá đòi hỏi các điều kiện sau: HS phải có những kiến thức kỹ năng cần thiết để thực hiện các hoạt động khám phá do GV tổ chức. Sự hướng dẫn của GV trong mỗi hoạt động phải ở mức cần thiết không quá ít không quá nhiều, đảm bảo cho HS phải hiểu chính xác mình phải làm gì trong mỗi hoạt động khám phá. Muốn vậy GV phải hiểu rõ khả năng HS của mình. Hoạt động khám phá phải được GV giám sát trong quá trình HS thực hiện. GV cần chuẩn bị một số câu hỏi gợi mở từng bước để giúp HS tự đi tới mục tiêu của hoạt động. Nếu là hoạt động tương đối dài, có thể từng chặng yêu cầu một vài nhóm HS cho biết kết quả tìm tòi của mình. Xét về khía cạnh tìm tòi, khám phá thì phương pháp dạy học này rất gần với phương pháp dạy học đàm thoại Ơrixtic và dạy học phát hiện, giải quyết vấn đề, dạy học kiến tạo, chỉ khác nhau về cách tổ chức các hoạt động học tập. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Ví dụ 1: Trong dạy học bài toán “Cho ba số dương a, b, c và thoả mãn 1abc  . Chứng minh rằng 3 3 3a b c a b c     ”, ta có thể thiết kế các hoạt động khám phá thông qua chuỗi câu đàm thoại phát hiện như sau: - Hãy nhìn vào một ẩn, ẩn a chẳng hạn: vế trái là 3a , vế phải là a , làm thế nào để “hạ bậc” từ 3a xuống a (so sánh giữa 3a và a )? (áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương: 3a , 1, 1) - Nếu áp dụng cho ba số dương 3a , 2, 4 có được không, vì sao? (cũng được nhưng không đi đến kết quả) - Đẳng thức xảy ra khi nào? Điều này có ảnh hưởng gì đến việc chọn số thích hợp? (đẳng thức xảy ra khi 1a b c   , nên chọn hai số 1 là phù hợp) - Vận dụng tương tự với 3b và 3c rồi so sánh cái đã có với yêu cầu của bài toán. (áp dụng tương tự với 3b và 3c suy ra 3 3 3 3( ) 6a b c a b c      ) - Xem xét lại yêu cầu của bài toán (so sánh với yêu cầu của bài toán ta cần chứng minh 3a b c   ) - Bạn đã dùng hết giải thiết chưa? Tổng và tích 3 số , ,a b c liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức nào? (bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm: 33a b c abc   ) Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Trong ví dụ này, học sinh đã học bất đẳng thức Côsi và có kỹ năng cần thiết để chứng minh một bài toán bất đẳng thức. Giáo viên gợi ý ở mức độ vừa phải để học sinh hiểu rõ mình phải làm gì trong mỗi hoạt động khám phá. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 1.2. Các hoạt động và hoạt động thành phần 1.2.1. Khái quát Hoạt động và hoạt động thành phần là một trong những thành tố cơ sở quan trọng nhất của phương pháp dạy học. Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Phát hiện những hoạt động tiềm tàng trong mỗi nội dung là cụ thể hoá được mục đích dạy học nội dung đó, chỉ ra được cách kiểm tra việc thực hiện mục đích này, đồng thời vạch ra được con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những mục đích dạy học khác. Cho nên điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác được những hoạt động tiềm tàng trong nội dung để đạt được mục đích dạy học. Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ hữu cơ giữa nội dung, mục đích và phương pháp dạy học. Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động. Quá trình dạy học là quá trình điều khiển hoạt động và giao lưu của HS nhằm đạt được mục đích dạy học. Đây là quá trình điều khiển con người, chứ không phải điều khiển máy móc, vì vậy cần quan tâm đến yếu tố tâm lý, chẳng hạn HS có sẵn sàng, có hứng thú thực hiện hoạt động này, hoạt động khác hay không. Xuất phát từ nội dung dạy học, ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó, rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà chọn lựa để tập luyện cho học sinh một số những hoạt động đã phát hiện được. Việc phân tích các hoạt động thành các hoạt động thành phần cũng giúp ta tổ chức cho HS tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ. Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt động mà chủ thể thực hiện một cách tự giác và tích cực. Vì vậy, cần cố gắng gợi động cơ để học sinh ý thức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 rõ vì sao thực hiện hoạt động này hay hoạt động khác. Trong hoạt động đôi khi kết quả của hoạt động trước lại là tiền đề cho hoạt động tiếp theo. Theo [15] tư tưởng chủ đạo về quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học như sau: + Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học. + Gợi động cơ cho các hoạt động học tập. + Dẫn dắt HS chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả của hoạt động. + Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học. Trên đây là những tư tưởng chủ đạo giúp người thầy giáo điều khiển quá trình học tập của HS. Những tư tưởng chủ đạo này cũng là những luận điểm phân biệt với quan điểm thực dụng phản diện, chỉ quan tâm đến những hoạt động thụ động máy móc. Khác với quan điểm đó, ở đây chúng ta chú ý đến mục đích, động cơ, đến tri thức phương pháp, đến trải nghiệm thành công, nhờ đó đảm bảo được tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của hoạt động học tập nói riêng. Những tư tưởng chủ đạo trên cũng thể hiện tính toàn diện của mục đích dạy học việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kỹ năng, hình thành một thái độ, cũng là nhằm giúp HS hoạt động trong học tập cũng như trong đời sống. Như vậy những mục đích thành phần được thống nhất trong hoạt động, điều này thể hiện mối liên hệ hữu cơ giữa chúng với nhau. Tri thức, kỹ năng, thái độ một mặt là điều kiện và mặt khác là đối tượng biến đổi của hoạt động. Hướng vào hoạt động theo các tư tưởng chủ đạo trên không hề làm phiến diện mục đích dạy học mà trái lại, còn đảm bảo tính toàn diện của mục dích đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 1.2.2. Phát hiện những hoạt động tƣơng thích với nội dung Xuất phát từ nội dung dạy học, trước hết cần phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung này. Một hoạt động là tương thích với một nội dung nếu nó góp phần đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. Kết quả ở đây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với kết quả tạo ra ở môi trường bên ngoài. Chẳng hạn: khi một người xây nhà thì kết quả bên ngoài là ngôi nhà xây được, còn kết quả bên trong là những tri thức được kiến tạo, những kỹ năng được rèn luyện, là sự trưởng thành của chủ thể trong quá trình xây dựng này. Việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau: khái niệm, định lý hay phương pháp về những con đường khác nhau để lĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn con đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, con đường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý. Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, ta cần chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau, trên những bình diện khác nhau. Những hoạt động sau đây cần được chú ý: + Nhận dạng và thể hiện, + Những hoạt động toán học phức hợp, + Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, + Những hoạt động trí tuệ chung, + Những hoạt động ngôn ngữ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Ví dụ 2: Trong dạy học bài toán “Cho  , , 0;1a b c thoả mãn 1a b c   . Chứng minh rằng 2 2 2 1a b c   ” ta có thể khai thác một số hoạt động và hoạt động thành phần như sau: - Khai thác giả thiết để so sánh 2a và a (ta có: 20 1a a a    ). - Vận dụng tương tự với ẩn b và c, so sánh giữa cái đã có và yêu cầu của bài toán (suy ra 2 2 2 2 2 2 1a b c a b c a b c         ). - Hoạt động thành phần: dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (dấu đẳng thức xảy ra  ( , , ) (1,0,0), (0,0,1), (0,1,0)a b c  ). - Nhìn bất đẳng thức ở phương diện khác: điều kiện 1a b c   gợi ta nhớ đến phương trình mặt phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz. Còn 2 2 2a b c  chính là bình phương khoảng cách từ O đến điểm ( ; ; )M a b c , giả thiết  , , 0;1a b c suy ra điểm M thuộc hình lập phương. Từ đó ta có điểm M thuộc thiết diện của mặt phẳng và hình lập phương. Qua ví dụ này ta thấy trong mỗi nội dung ẩn chứa những hoạt động, giáo viên cần khai thác, hướng dẫn HS phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung nhằm góp phần đem lại kết quả giúp HS chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. 1.2.3. Phân tích các hoạt động thành các hoạt động thành phần Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiện như một thành phần của hoạt động khác, phân tích được một hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho HS hoạt động toàn bộ, vừa chú ý cho HS tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Ví dụ 3: Tìm trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác nhọn ABC, các điểm M, N, P sao cho chu vi của tam giác MNP nhỏ nhất. Hoạt động giải bài tập này có thể tách ra thành các hoạt động thành phần tương ứng với việc giải bài toán trong những trường hợp riêng, từ dễ đến khó. - Cho tam giác ABC và điểm M cố định trên AB, điểm N cố định trên BC. Tìm điểm P trên AC sao cho chu vi của tam giác MNP nhỏ nhất. - Cho tam giác ABC và điểm M cố định trên AB, tìm N, P lần lượt thuộc BC, CA tương ứng sao cho tam giác MNP có chu vi nhỏ nhất. - Bài toán tương tự: Cho điểm M thuộc xOy, tìm trên Ox, Oy các điểm N, P tương ứng sao cho chu vi tam giác MNP là nhỏ nhất . Như vậy là khi phân tích hoạt động giải bài toán trên thành các hoạt động thành phần, đưa HS về giải một số bài toán đơn giản hơn. 1.2.4. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích Mỗi nội dung đều tiềm tàng nhiều hoạt động. Tuy nhiên nếu khuyến khích tất cả những hoạt động như thế thì có thể xa vào tình trạng dàn trải, làm cho HS rối ren. Để khắc phục tình trạng này, cần phải sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số mục đích nhất định. Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại. Ví dụ 4: Cho 2 điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm điểm ( )M P sao cho 2 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Cần lựa chọn các hoạt động của học sinh tập trung vào các hoạt động sau đây: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 - HS hiểu và biết vận dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác. - HS hiểu và nắm vững tính chất hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. - Rèn luyện cho HS năng lực dự đoán, phân tích. - Cho HS luyện tập các hoạt động nhận dạng, thể hiện. 1.3. Quy trình giải một bài toán theo bốn bƣớc của Polya Một nhà khoa học đã nói: một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nhưng ngay cả trong việc giải một bài toán cũng có ít nhiều phát minh. Bài toán mà anh giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò và buộc anh phải sáng tạo, và nếu tự mình giải lấy bài toán đó thì anh sẽ có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi. Những tình cảm như vậy đến một độ tuổi nào đó, có thể khuấy động sự ham thích công việc trí óc và mãi mãi để lại dấu vết trong cá tính người làm toán. Khi HS đã có sự đam mê đối với toán học, lúc đó người thầy giáo hãy chỉ cho HS một cách học hợp lý. Đứng trước một bài toán, có phải sau khi tìm được một lời giải đẹp, trình bày sạch sẽ là gấp sách lại hay không? Để HS tự tìm được lời giải bài toán người thầy cần hướng dẫn cho học sinh cách giải bài tập theo các bước của Polya như sau: I- Hiểu rõ bài toán - Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thoả mãn điều kiện hay không? Điều kiện có đủ để xác định ẩn không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 - Vẽ hình. Sử dụng một kí hiệu thích hợp. - Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể biểu diễn các phần đó thành công thức không? II- Xây dựng chương trình giải - Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác? - Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không? Một định lí có thể dùng được không? - Xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự. - Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không? - Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? - Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra hãy thử giải một bài toán có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? - Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng mọi điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? III- Thực hiện chương trình giải Khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra lại từng bước bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không? Bạn có thể kiểm tra tính đúng sai của kết quả không? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 IV- Khảo sát lời giải đã tìm được - Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không? Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp kết quả không? - Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không? Ví dụ 5: Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng ( )( )( )abc a b c b c a c a b       (1) Bước 1. (Tìm hiểu nội dung đề bài ) [?] Bài toán cho gì? yêu cầu gì? [!] , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác Cần chứng minh ( )( )( )abc a b c b c a c a b       Bước 2. Xây dựng chương trình giải [?] Vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh gợi cho ta nghĩ đến công thức diện tích nào? [!] 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a c a b S                        28 ( )( )( ) S a b c b c a c a b p         Với 2 a b c p    [?] Vế trái của bất đẳng thức (1) là tích 3 cạnh của tam giác gợi cho các bạn công thức diện tích nào? [!] 4 4 abc S abc RS R    [?] Hãy viết lại bất đẳng thức cần chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 [!] 28 4 2 S S R RS ._.p p     2 2 R r R r   [?] Hãy nhớ lại hệ thức liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn đó? [!] 2 2 2OI R Rr  (O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC ) [?] Xét dấu 2OI và từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh [!] 2 20 2 0 2OI R Rr R r      [?] Đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Đẳng thức xảy ra khi 0OI O I ABC    đều. Bước 3. Trình bày lời giải Kí hiệu ,R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC ; ,S p lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác ABC. Sử dụng công thức diện tích , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 28 4 S RS p  . Mặt khác S pr nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 2R r . Mặt khác gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác ABC ta có 2 2 2OI R Rr  . Mà 2 20 2 0 2OI R Rr R r      Đẳng thức xảy ra O I ABC   đều. Bước 4. Khảo sát lời giải đã tìm được Có thể tìm kết quả một cách khác không? [?] 3 cạnh của tam giác có mối quan hệ gì? [!] 0, 0, 0a b c b c a c a b         Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 [?] Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến trung gian như thế nào? [!] Nếu đặt ; ;x a b c y b c a z c a b         , thì 2 ;2 ;2a x z b x y c y z      [?] Phát biểu bài toán theo ẩn mới. [!] Cho , ,x y z là các số dương . Chứng minh rằng ( )( )( ) 8x y y z z x xyz    [?] Giả thiết , ,x y z dương gợi cho các bạn nghĩ đến điều kiện của bất đẳng thức nào? Hãy áp dụng bất đẳng thức đó vào bài toán? [!] Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có 2 ; 2 ; 2x y xy y z yz z x zx      . Nhân theo từng vế, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh [?] Tích hai số a b c  và c a b  có đặc điểm gì? [!] 2 2 2( )( ) ( )a b c c a b a b c a       2( )( )a b c c a b a      [?] Áp dụng tương tự với ( )( )a b c b c a    và ( )( )b c a c a b    [!] 2( )( )a b c b c a b     ; 2( )( )b c a c a b c     . Nhân theo từng vế, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh [?] Tổng của hai trong ba số hạng , ,a b c b c a c a b      có đặc điểm gì đặc biệt? [!] ( ) ( ) 2a b c b c a b      ; ( ) ( ) 2b c a c a b c      ; ( ) ( ) 2a b c c a b a      [?] Tổng và tích 2 số dương liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 [!] 2x y xy  hay 2 2 x y xy        [?] Vận dụng vào bài toán này như thế nào? [!] 2( )( )a b c b c a b     ; 2( )( )b c a c a b c     ; 2( )( )a b c c a b a     Nhân theo từng vế, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh [?] Nghiên cứu sâu lời giải . Nếu , , 0a b c  thì tổng của 2 trong 3 số hạng , ,a b c b c a c a b      đều không âm nên chỉ có nhiều nhất một số âm trong 3 số hạng trên Nếu trong 3 số hạng trên có một số âm thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. Vậy ở ví dụ trên các bạn thấy chỉ cần điều kiện , ,a b c không âm là đủ. [?] Bạn có thể sử dụng kết quả này cho một bài toán nào khác không? [!] Nếu , , 0a b c  thì có thể viết (1) tương đương với bất đẳng thức 1 1 1 1 a b b c c a c c a a b b                   (2). Đặt ; ; 1; , , 0 a c b x y z xyz x y z c a       và (2) trở thành 1 1 1 1 1 1 1x y z y z x                   Ta có bài toán “Cho , ,a b c là các số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1a b c b c a                   ”. 1.4. Thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thức ở trƣờng phổ thông Điều tra thực tiễn chúng ta sử dụng bài kiểm tra 45 phút để đánh giá kỹ năng chứng minh bất đẳng thức của HS. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Đối tượng là HS lớp 1 2 310 ,10 ,10A A A , trường trung học phổ thông Lạng giang số 2, tỉnh Bắc giang. Mỗi lớp có 40 HS, các em học theo chương trình nâng cao. Đề bài: Câu 1. Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ. Chứng minh rằng 2 2 2a b c ab bc ca     . Câu 2. Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3( 2)a b c a b c      Câu 3. Cho a, b, c, d là 4 số thực bất kỳ. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c b d       Dụng ý sư phạm là: - Đánh giá kiến thức cơ bản. - Đánh giá kỹ năng vận dụng bất đẳng thức cơ bản. - Đánh giá khả năng sáng tạo. - Đánh giá khả năng khám phá. - Thống kê kết quả: tính theo số HS làm được bài Bài 1 Bài 2 Bài 3 110A 38 25 10 210A 35 24 8 310A 39 26 8 Phân tích kết quả: kết quả kiểm tra cho thấy đa số HS đều nắm vững kiến thức cơ bản, nhưng còn hạn chế về khả năng khám phá. Chẳng hạn ở bài 3, HS thường làm theo phương pháp biến đổi tương đương, rất ít HS Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 khám phá ra phương pháp hình học. Nếu biết sử dụng phương pháp hình học thì lời giải bài toán đơn giản hơn nhiều. Giả sử ( ; ); ( ; )M a b N c d thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng OM ON MN  , đây là bất đẳng thức đúng. Dấu đẳng thức xảy ra  O, M, N thẳng hàng và O nằm giữa M, N. Kết luận chƣơng 1 Chương này trình bày một số vấn đề về dạy học bằng các hoạt động khám phá có hướng dẫn. Phân tích các hoạt động, hoạt động thành phần và nghiên cứu kỹ quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya. Điều cơ bản trong PPDH này là giáo viên tạo tình huống hướng dẫn HS khám phá tri thức mới, bằng cách đưa ra một số câu hỏi gợi mở từng bước giúp HS tự đi tới mục tiêu của hoạt động. Để làm được điều này giáo viên cần gợi cho HS phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, phân tích được một hoạt động thành những hoạt động thành phần, cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số mục đích nhất định. Qua việc tìm hiểu thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thức ở trường phổ thông, chúng tôi nhận thấy còn nhiều hạn chế về khả năng khám phá của HS, đồng thời nhiều giáo viên chưa chú trọng vào phương pháp dạy học tích cực này. Việc vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong chứng minh bất đẳng thức sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. Những cơ sở lí luận trình bày trong chương này sẽ định hướng cho quá trình vận dụng cụ thể ở chương 2. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Chƣơng 2 VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT 2.1. Khám phá vận dụng các bất đẳng thức đã biết (Côsi, Bunhiacopxki..) Vấn đề là khám phá ra cái gì chung về nhận dạng, về định hướng vận dụng sau khi nghiên cứu một loạt bài toán này. Ví dụ 6: Cho 0, 0a b  . Chứng minh rằng 3 3 3 3 1 1a a b b a b a b      . Hoạt động khám phá: - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để từ 3 1 a làm xuất hiện 1 a ? Bất đẳng thức Côsi cho số 3 1 a và hai số nào đó. - Đẳng thức xảy ra khi nào? chọn hai số đó là số nào? Đẳng thức xảy ra khi 1a b  , nên chọn hai số đó là 1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 3 1 3 1 1 a a    . - Vận dụng tương tự với 3 3 a b và 3b và so sánh với BĐT cần chứng minh? 3 3 3 3 1 1 3( ) 6 a a b b a b a b       . - Để chứng minh bất đẳng thức ban đầu ta phải chứng minh bất đẳng thức nào? 1 1 3( ) 6 a a b b a b a b       hay 1 3 a b a b    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Côsi, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ này cho thấy: có thể sử dụng BĐT Côsi để "hạ bậc" (từ a3 xuống a). Ví dụ 7: Cho , , 0a b c  và 3 4 a b c   . Chứng minh rằng 3 3 33 3 3 3a b b c c a      Hoạt động khám phá: - Căn bậc 3 gợi cho ta nghĩ tới bất đẳng thức nào? Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương , ,x y z . 3 3 x y z xyz         - Đẳng thức xảy ra khi nào? chọn hai số đó là số nào? Đẳng thức xảy ra khi 1 4 a b c   và 3 1a b  . Vậy 2 số còn lại là số 1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 3 3 33 3 3a b b c c a     3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 3 3 a b b c c a            4( ) 6 3 3 a b c     Ví dụ 8: Cho , ,x y z là các số thực dương và có tích bằng 1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 x y z y z z x x y          Hoạt động khám phá: - Vai trò , ,x y z bình đẳng nên cần áp dụng đều cho , ,x y z - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử dạng mẫu số (1 )(1 )y z  Bất đẳng thức Côsi 3 (1 ) (1 ) 3 (1 )(1 ) x y z x y z        . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? ( khi 1x y z   ), hãy sửa lại để phù hợp với nhận xét này? 3 1 1 3 (1 )(1 ) 8 8 4 x y z x y z        . - Vận dụng tương tự với 3 3 , (1 )(1 ) (1 )(1 ) y z z x x y    và so sánh với BĐT cần chứng minh? 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 4 x y z x y z y z z x x y             . - Khi đó cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 3 3 3 2 4 4 x y x x y z         Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Côsi ( vì 1xyz  ), suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ này cho thấy: giữa mẫu số của các biểu thức và tổng của các mẫu số đó có mối liên quan, khi đó ta có thể sử dụng BĐT Côsi để khử mẫu số. Ví dụ 9: Cho , 0a b  và 1ab  . Chứng minh rằng 3 3 1 1 1 a b b a     Hoạt động khám phá: - Vai trò ,a b bình đẳng nên cần áp dụng đều cho ,a b . - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử dạng mẫu số 1 b , để ý tử số chứa lập phương Bất đẳng thức Côsi cho 3 số: 3 ,1 1 a b b   và một số nào đó? - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? ( khi 1a b  ), hãy sửa lại để phù hợp với nhận xét này 3 1 1 3 1 4 2 2 a b a b      . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 - Vận dụng tương tự với 3 1 b a và so sánh với BĐT cần chứng minh? 3 3 5 3 ( ) 1 1 4 2 a b a b b a       . - Khi đó ta cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 5 3 ( ) 1 4 2 a b   hay 2a b  ( Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Côsi vì 1ab  ). Tổng quát: cho , 0a b  và 1ab  . Chứng minh rằng a) 1 1 1 n n n m a b b a     ; b) 3 3 2 1 a b k b k a k      Ví dụ này cho thấy: có thể "khử" các mẫu số bằng cách "thêm, bớt" các số hạng bằng mẫu số. Ví dụ 10: Cho a, b là hai số bất kỳ và x, y là hai số dương. Chứng minh rằng 2 2 2( )a b a b x y x y     (*) Hoạt động khám phá: - Trước hết ta có thể vận dụng phương pháp biến đổi tương đương (*) 2 2 2( ) ( ) ( )a y x y b y x y xy a b      2 2 2 2 2a y b x axby   2( ) 0y bx   Bất đẳng thức sau cùng hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra a b x y   - Tiếp theo, có thể khám phá ra một cách chứng minh nữa bằng cách hướng dẫn HS nhìn BĐT đã cho có gần gũi với BĐT quen thuộc nào không? BĐT Bunhiacopxki 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 - Từ đó ta có một cách chứng minh nữa như sau: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 2 2( ) ( ) a b x y a b x y          2 2 2( )a b a b x y x y      Ví dụ 11: Cho a, b,c là ba số bất kỳ và x, y,z là ba số dương. Chứng minh rằng zyx cba z c y b x a    2222 )( Hoạt động khám phá: - Tạm thời chứng minh bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn, với hai số hạng, xem có phát hiện ra cách chứng minh bài toán đã cho hay không? Bài toán đơn giản hơn đó chính là ví dụ 10 ở trên: 2 2 2( )a b a b x y x y     - Từ đó ta có lời giải sau: Sử dụng bất đẳng thức 2 2 2( )a b a b x y x y     ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c a b c a b c a b c a b c x y z x y z x y z x y z x y z                     (**). Đẳng thức xảy ra a b c x y z    - Hai ví dụ trên là hai trường hợp cụ thể của BĐT Côsi - Svac. Tổng quát hóa hai bất bất đẳng thức trên, ta có bài toán: Cho 1 2, , , na a a là n số bất kỳ và 1 2, , , nx x x là n số dương. Chứng minh rằng 2 22 2 1 21 2 1 2 1 2 ( )n n n n a a a aa a x x x x x x           Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Ví dụ 12: Cho a, b,c, 1 1 1, ,x y z là các số dương bất kì. Chứng minh rằng 2 1 1 1 1 1 1 ( )a b c a b c x y z ax by cz        Hoạt động khám phá: - BĐT này có tương tự BĐT nào đã gặp hay chưa? Đó chính là Ví dụ 11 ở trên, từ đó có cách chứng minh như sau: Bất đẳng thức (**) 2( ) . . . a b c a b c x y z x y z a b c a b c a b c         Đặt 1 1 1, , x y z x y z a a a    , ta được bất đẳng thức. 2 1 1 1 1 1 1 ( )a b c a b c x y z ax by cz        (***) trong đó 1 1 1, ,ax by cz là 3 số dương Đẳng thức xảy ra 1 2 3x x x   . Ví dụ 13: (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ năm 2005) Cho các số dương , ,x y z thoả mãn 1 1 1 4 x y z    . Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z          Hoạt động khám phá: - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? (Chú ý từng hệ thức) Đó chính là bất đẳng thức 2 2 2( )a b a b x y x y     hay 2 2 2( )a b a b x y x y     - Có thể sử dụng kết quả của nó không? (Lưu ý vai trò của , ,x y z như nhau) 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( )x y z x y x z            2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 4 4 x y x z x y x z                                 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 x y x z                           1 2 1 1 16 x y z         - Vận dụng tương tự với các hệ thức còn lại: 1 1 2 1 1 ; 2 16x y z x y z           1 1 1 1 2 2 16x y z x y z           - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: cộng từng vế ba bất đẳng thức trên và sử dụng 1 1 1 4 x y z    1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4x y z x y z x y z x y z                   Đẳng thức xảy ra 3 4 x y z    Qua ví dụ này ta thấy: dạng "tổng nghịch đảo" là hệ quả của BĐT: 2 2 2( )a b a b x y x y     hay ) 11 ( 4 baba   Ví dụ 14: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1995) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn 1abc  . Chứng minh rằng 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b       . Hoạt động khám phá: - Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? (lưu ý 1abc  ) 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 b c c a a b a b c b c a c a b       - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Đó chính là bất đẳng thức zyx cba z c y b x a    2222 )( Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) b c c a a b a b c b c a c a b      2( ) 2( ) 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca         - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: Ta phải chứng minh 3 3 2 ab bc ca   - Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? 3 số dương a, b, c là 3 số dương thoả mãn 1abc  , gợi cho các bạn nghĩ tới bất đẳng thức nào? Bất đẳng thức Côsi: 3 2 2 23 3 3 2 2 ab bc ca a b c    Đẳng thức xảy ra 1a b c    Ví dụ 15: Cho các số dương a, b, c, p, q. Chứng minh rằng 3a b c pb qc pc qa pa qb p q        . Hoạt động khám phá: - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Đó chính là bất đẳng thức 2( )a b c a b c x y z ax by cz        - Có thể sử dụng kết quả của nó không? a b c pb qc pc qa pa qb      2( ) ( ) ( ) ( ) a b c a pb qc b pc qa c pa bq         2( ) ( )( ) a b c p q ab bc ca       - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Ta phải chứng minh 2( ) 3 a b c ab bc ca      - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? 2 2( ) 3 ( ) 3( ) a b c a b c ab bc ca ab bc ca            2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b b c a       . Bất đẳng thức đúng với mọi a, b, c dương. Đẳng thức xảy ra a b c   Ví dụ 16: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 2001) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng 2 2 2 1 8 8 8 a b c a bc b ca c ab       Hoạt động khám phá: - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Đó chính là bất đẳng thức 2( )a b c a b c x y z ax by cz        - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 28 8 8 a b c a bc b ca c ab      2 2 2 2 ( ) 8 8 8 a b c a bc b b ca c c ab         - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: Ta phải chứng minh 2 2 2 2 ( ) 1 8 8 8 a b c a a bc b b ca c c ab         hay 2 2 2 28 8 8 ( )a a bc b b ca c c ab a b c        - Bất đẳng thức này có gần gũi với bất đẳng thức quen thuộc nào không? Bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 2 2 2 2 2 2(ax+by+cz) ( )( )a b c x y z     - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 2 2( 8 8 8 )a a bc b b ca c c ab      Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 2 2 2 2( ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ))a a a bc b b b ca c c c ab      3 3 3( )( 24 )a b c a b c abc      - So sánh với bất đẳng thức cần chứng minh Ta phải chứng minh: 3 3 3 324 ( )a b c abc a b c      - Chứng minh bất đẳng thức trên như thế nào? 3 3 3 3( ) 3( )( ) 3a b c a b c a b c ab bc ca abc           3 3 3 3 2 2 233.3 .3 3a b c abc a b c abc     3 3 3 24a b c abc    .Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Đẳng thức xảy ra a b c   Ví dụ 17: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn 1a b c   . Chứng minh rằng 2 2 2 1 9 30Q a b c ab bc ca        . Hoạt động khám phá: - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Đó chính là bất đẳng thức 2 2 2( )a b a b x y x y     - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 (1 3) a b c ab bc ca a b c ab bc ca             - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c   . Vậy cách làm trên không sai nhưng chưa được gì. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 - Vai trò của a, b, c bình đẳng nên cần áp dụng đều cho a, b, c. Đẳng thức 1a b c   và các số hạng 2 2 2;a b c ab bc ca    gợi cho các bạn nghĩ tới đẳng thức nào? 2 2 2 22( ) ( )a b c ab bc ca a b c        - Suy nghĩ xem vận dụng bất đẳng thức tương tự nào? zyx cba z c y b x a    2222 )( - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c ab bc ca ab bc ca         2 2 2 2 (1 1 1) 2 2 2a b b c a         2 9 9 ( )a b c     Mặt khác 2 2 2 21 ( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca        1 3( ) 3 ab bc ca ab bc ca      Suy ra 9 7.3 30Q   . Đẳng thức xảy ra 1 3 a b c    . Ví dụ 18: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1993) Chứng minh với mọi số dương a, b, c, d ta có 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 a b c d b c d c d a d a b a b c             - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp chưa? Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, hãy thử giải một bài toán liên quan dễ hơn không? Đó chính là bất đẳng thức 2( )a b a b x y ax by     - Có thể sử dụng kết quả của nó không? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Vận dụng tương tự ta có 2( )a b c d a b c d x y z t ax by cz dt           Suy ra 2( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 4( ) a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c ab bc cd da ac bd                    - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: Ta phải chứng minh 2( ) 2 4( ) 3 a b c d ab bc cd da ac bd          - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? Bất đẳng thức cần chứng minh tương với 2 2 2 23( ) 2( )a b c d ab bc cd da ac bd         . Bất đẳng thức này đúng vì 2 2 2 22( ) 2( )a b c d ab bc cd da       và 2 2 2 2 2a b c d ac bd     Đẳng thức xảy ra a b c d    2.2. Khám phá hàm số trong chứng minh bất đẳng thức Điều quan trọng trong phương pháp này là phát hiện ra cần sử dụng hàm số nào, kinh nghiệm là: Dạng 1: Bất đẳng thức phụ thuộc một biến số duy nhất, ta có thể khảo sát hàm số (ẩn x) ngay đƣợc. Ví dụ 19: (dựa theo bài thi tuyển sinh vào ĐH Bách Khoa năm 1998) Cho tam giác ABC có 3 góc thoả mãn điều kiện A B C  .Chứng minh rằng sin sin sin sin sin sin sin sin x A x B A B x C x C A C         Hoạt động khám phá: - Khảo sát hàm số nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Xét hàm số sin sin ( ) sin sin x A x B f x x C x C       - Tìm tập xác định của hàm số? Ta có A B C a b c     2 sin 2 sin 2 sin sin sin sinR A R B R C A B C      . Vì thế tập xác định của hàm số là  ( ;sin ) sin ;C A   . Ta có 2 2 sin sin sin sinsin sin ( sin ) ( sin )sin sin ( ) sin sin sin sin 2 2 2 2 sin sin sin sin A C B Cx A x B x C x Cx C x C f x x A x B x A x B x C x C x C x C                               Vì sin sin sinA B C  nên ( ) 0f x  và ta có lim ( ) 2; lim ( ) 2 x x f x f x     - Lập bảng biến thiên của ( )f x và suy ra sin sin ( ) sin sin A B f x A C    Ví dụ 20: Chứng minh rằng với mọi x 0; 2       ta luôn có 2 2 4 4 sin x x x     Hoạt động khám phá: - Khảo sát hàm số nào? Xét hàm số 2 2 4 4 ( ) sf x inx x x    trên 0; 2       - Xét dấu ( )f x như thế nào? Tạm thời chưa xét dấu được ngay ( )f x , các bạn xét dấu "( )f x xem có phát hiện được dấu của ( )f x hay không? Ta có 2 8 ( ) cos 4 f x x x       và 2 8 ( )f x sinx      Suy ra 2 8 ( ) 0 sin (0; ) 2 f x x arc b        Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Vậy ( )f x là hàm số liên tục và đồng biến trên  0;b , nghịch biến trên ; 2 b       . Đồng thời, ta lại có (0) 0f   và ( ) 0 2 f    nên (0). ( ) 0f f b   , do đó tồn tại duy nhất số thực (0; )c b để ( ) 0f c  . - Lập bảng biến thiên và ta đi đến kết luận ( ) 0, 0; 2 f x x         Dấu đẳng thức xảy ra 0x  hoặc 2 x   . Từ đó ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 21: (dựa theo bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -2003) Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện (cot ) sin2 cos2f x x x  với mọi x thuộc khoảng (0; ) . Chứng minh rằng  1;1x   ta luôn có 1 4 34 ( ). (1 ) 25 f x f x    Hoạt động khám phá: - Biểu thức sin 2 ,cos2x x có mối liên hệ với cot x bởi công thức nào? 2 2 2 2cot cot 1 sin 2 ,cos2 cot 1 cot 1 x x x x x x      - Với mối liên hệ trên, có thể chuyển theo ẩn mới như thế nào? Đặt cot x t thì 2 2 2 1 ( ) 1 t t f t t     , vì (0; )x  t R  . - Tính tích ( ). (1 )f x f x Dẫn tới 2 2 2 2 (1 ) 8 (1 ) 2 ( ) ( ). (1 ) (1 ) 2 (1 ) 2 x x x x g x f x f x x x x x            với mọi x R . - Khảo sát hàm số ẩn x này như thế nào? Hàm số ( )g x khá phức tạp, nhưng cả tử và mẫu đều có chứa biểu thức nào, có thể chuyển theo biến trung gian nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 Đặt (1 )u x x  . Dễ thấy khi  1;1x  thì 1 2; 4 u        . Vì vậy từ ( )g x trở thành 2 2 8 2 ( ) 2 2 u u h u u u      - Khảo sát hàm số 2 2 8 2 ( ) 2 2 u u h u u u      trên 1 2; 4       , ta suy ra 1 4 34 ( ). (1 ) 25 f x f x    . Ví dụ 22: (bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1993) Tìm tất cả các giá trị của a sao cho bất đẳng thức 2ln(1 )x x ax   đúng với mọi 0x  . Hoạt động khám phá: - Khảo sát hàm số nào? 2( ) ln(1 )f x ax x x    trên  0; - Xét dấu ( )f x như thế nào? Ta có ( ) (2 2 1), 1 x f x ax a x      0x  thì ( )f x cùng dấu với ( ) 2 2 1g x ax a   - Hãy biện luận theo tham số dấu của ( )f x * Nếu a = 0 thì ( ) 0 1 x f x x      với mọi x > 0, suy ra f(x) nghịch biến nên ( ) (0) 0f x f  và (0) 0 0f x   * Nếu 0a  thì ( )g x có nghiệm 0 1 2 2 a x a   , do đó cần xét ba trường hợp sau với a. +) Với a < 0 thì 0 0x  và ( ) 0g x  với mọi 00x x  , từ (1) suy ra f(x) nghịch biến nên ( ) (0) 0f x f  và ( ) 0 0f x x   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 +) Với 1 (0; ) 2 a thì 0 0x  và ( ) 0g x  với mọi 00 x x  , từ (1) suy ra f(x) nghịch biến, ( ) (0) 0f x f  và ( ) 0 0f x x   . +) Với 1 2 a  thì 0 0x  và ( ) 0g x  với mọi x > 0, từ (1) suy ra f(x) đồng biến nên ( ) (0) 0f x f  và ( ) 0 0f x x   . Vậy ( ) 0f x  với mọi 1 0 2 x a   . Ví dụ 23: (bài thi Olympic Toán 30/4 năm 1999 ) Cho 0 2 x    . Chứng minh rằng 3sin cos 3 x x       . Hƣớng dẫn: Xét hàm số 3 ( ) sin 3! x f x x x   trên 0; 2      , ta suy ra được 3 sin , (0; ) 3! 2 x x x x      . Từ đó với mọi 0; 2 x       ta có 33 2 2 4 6sin 1 1 6 2 12 216 x x x x x x                (1) Mà 2 2 19 36 4 x x    hay 4 6 24 216 x x  . Như vậy 2 2 2 2 6 1 1 2 24 2 12 216 x x x x x       (2) Mặt khác 2 4 cos 1 2 24 x x x    (3) Từ (1), (2), (3) suy ra 3sin cos x x x       . Ví dụ 19: (bài thi Olympic Toán 30/4 năm 1998) Cho x > 0 và , (0; ), 2      . Chứng minh rằng x sin sinx sin sin x sin sin                   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Hoạt động khám phá: - Khảo sát hàm số nào? Xét hàm số ( ) x sin x sin f x x sin            trên  0; Ta có ( ) ln . ( ) x sin sin sin f x f x x sin x sin                       - Xét dấu ( )f x như thế nào? Xét hàm số ( ) ln x sin sin sin g x x sin x sin               trên  0; Có   2 2 ( ) ( ) 0 0; ( ) ( ) sin sin g x x x sin x sin               ( )g x là hàm nghịch biến trên  0; ; mà lim ( ) 0 x g x   .  ( ) 0, 0;g x x      '( ) 0, 0;f x x     ( )f x là hàm số đồng biến trên  0; ( ) (0)f x f  x sin sin x sin sin x sin sin                    . Dạng 2: Bất đẳng thức phụ thuộc nhiều biến số a) Quy về một ẩn để sử dụng hàm số. Ví dụ 25: (bài thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Chứng minh rằng 2 2 2 2( 1) ( 1) 2 2 3x y x y y         Hoạt động khám phá: - Biểu thức xuất hiện trong bài toán 2 2 2 2( 1) , ( 1)x y x y    giống biểu thức nào trong hình học? (biểu thức toạ độ nào?) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Khoảng cách giữa hai điểm hoặc độ dài của véc tơ. - Chọn véc tơ có toạ độ như thế nào để phù hợp với các biểu thức trên? ( 1; ), ( 1; )u x y v x y     , suy ra 2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y u v       - Bất đẳng thức nào thể hiện mối liên quan giữa hai véc tơ ,u v ? Đẳng thức xảy ra khi nào? u v u v   (1). Đẳng thức xảy ra khi ,u v cùng hướng. - Vận dụng vào bài này như thế nào? Áp dụng BĐT (1) ta có 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) 4 4 2 1x y x y y y         . Đẳng thức xảy ra 0x  . Khi đó 2 2 2 2 2( 1) ( 1) 2 2 1 2x y x y y y y           . - Ta chuyển về chứng minh bất đẳng thức ẩn y : 22 1 2 2 3y y     Xét hàm số 2( ) 2 1 2f y y y    +) Với 2y  ta có 2( ) 2 1 2f y y y    là hàm số đồng biến ( ) (2) 2 5f y f   +) Với 2y  ta có 2 2 2 ( ) 2 1 2 , ( ) 1 1 y f y y y f y y        . Giải phương trình ( ) 0f y  , ta được 1 3 y  . Lập bảng biến thiên và ta suy ra 2 3B   . Ví dụ 26: (dựa theo bài thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006) Cho 2 số thực x, y khác 0 thay đổi thoả mãn điều kiện 2 2( )x y xy x y xy    . Chứng minh rằng 3 3 1 1 16 x y   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 Hoạt động khám phá: - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? - Biểu thức 2 2( )x y xy x y xy    và 3 3 1 1 x y  đối xứng với hai ẩn ,x y . Ta quy về một ẩn số như thế nào? Ta có 3 3 1 1 A x y   2 22 2 3 3 ( )( ) 1 1x y x xy y x y x y xy x y                   . Đặt x ty , cũng từ giả thiết 2 2( )x y xy x y xy    suy ra 3 2 2( 1) ( 1)t ty t t y    Do đó 2 2 2 1 1 , 1 t t t t y x ty t t t          . Từ đó 22 2 2 1 2 1 1 t t A x y t t                Xét hàm số 2 2 2 1 ( ) 1 t t f t t t      có 2 2 2 3 3 ( ) ( 1) t f t t t       Giải phương trình ( ) 0f t  ta được 1t   . Lại có 2 2 2 1 ( ) 1 1t t t t lim f x lim t t        Lập bảng biến thiên và ta suy ra 2 (1) 16A f  Ví dụ 27: (dựa theo bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam năm 2004) Cho các số thực dương , ,x y z thoả mãn hệ điều kiện sau 4 2 ._.c Thái Nguyên 91 Kết luận chƣơng 2 Chương này trình bày việc vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT. Bao gồm: - Khám phá vận dụng bất đẳng thức đã biết - Khám phá hàm số trong chứng minh bất đẳng thức - Khám phá ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức - Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện - Khám phá các sai lầm trong lời giải và sửa chữa Các hoạt động khám phá được trình bày trong chương này chủ yếu được tiến hành thông qua các câu gợi mở, hướng dẫn của giáo viên. Qua đó học sinh không những có được lời giải các bài toán, mà còn học những cách khám phá ra các lời giải đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 92 Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sƣ phạm a) Mục đích thực nghiệm sƣ phạm - Để làm sáng tỏ thêm lý luận về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn đã trình bày. - Bước đầu kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT. b) Tổ chức thực nghiệm - Chọn lớp thử nghiệm: chúng tôi chọn hai lớp: 12A2 và 12A3 năm học 2009 - 2010 của trường THPT Lạng Giang số 2 - Bắc Giang để thử nghiệm sư phạm; lớp 12A2 là lớp thử nghiệm; lớp 12A3 là lớp đối chứng. Mặt bằng chung về trình độ nhận thức của đối tượng học sinh trong hai lớp là tương đương. - Tiến trình thử nghiệm: Số tiết dạy thử nghiệm là 8 tiết. Quá trình thực nghiệm được xếp vào một số tiết ôn tập, mỗi tuần 2 tiết vào tháng 8 năm học 2009 - 2010. c) Nội dung thực nghiệm - Chúng tôi đã tiến hành vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn và nội dung bài học như trong luận văn đã trình bày đối với lớp thực nghiệm và không áp dụng đối với lớp đối chứng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 93 - Các tiết dạy thực nghiệm là một số tiết ôn tập về chuyên đề bất đẳng thức ở THPT. Sử dụng các bài tập trong hệ thống bài tập đã xây dựng ở chương 2 và các giáo án sau. 3.2. Các giáo án thực nghiệm sƣ phạm Giáo án 1. BẤT ĐẲNG THỨC I. Mục tiêu bài giảng - Hiểu và vận dụng được bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki. - Rèn luyện cho học sinh các hoạt động khám phá có hướng dẫn tìm các lời giải bài toán. II. Chuẩn bị - Giáo viên: giáo án, bài tập - Học sinh: sách giáo khoa, các kiến thức liên quan III. Các hoạt động Bài 1. (Bất đẳng thức Côsi trong trường hợp n = 2 ) Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 a b ab   Hướng dẫn học sinh giải bài toán trên theo tư tưởng Polya Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng [?] Bài toán cho gì? Yêu cầu gì? [!] Cho , ; 0, 0a b R a b   Chứng minh: 2 a b ab   (1) Bài 1. (Bất đẳng thức Côsi trong trường hợp n = 2 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 94 [?] Theo định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức dạng A B ta phải làm gì? Vận dụng vào bài toán này thế nào. [!] Để chứng minh A B ta chứng minh 0A B  Khi đó (1) 0 2 a b ab     2 0a b ab    (2) Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 a b ab   [?] Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Dữ kiện đó có liên quan gì đến yêu cầu của bài toán? [!] 2 2 . 0; 0 ; ab a b a b a a b b         Lời giải. Cách 1 (1) 0 2 a b b     [?] Biến đổi tương đương bất đẳng thức (2)? [!] (2) 2( ) 0a b   luôn đúng 0; 0a b   suy ra bất đăng thức được chứng minh. 2 0a b ab    2( ) 0,a b   luôn đúng 0; 0a b   [?] Hãy cho biết dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Dấu “ = ” xảy ra 0a b   a b  0a b   Dấu “ = ” xảy ra 0a b   a b  0a b   [?] Hãy hoàn thiện lời giải theo ý tưởng trên? [?] Trên đây là cách giải thông thường mà hầu như học sinh nào cũng tìm ra. Bây giờ hãy nhìn lại bài toán từ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 95 góc độ khác để các em tìm ra một cách giải mới. [?] Hãy để ý vào vế phải của bất đẳng thức, trung bình nhân của 2 số a và b có gợi cho các em nhớ đến hệ thức nào trong hình học? (cụ thể là hệ thức lượng trong tam giác vuông ). [!] Trong tam giác vuông độ dài đường cao xuất phát từ góc vuông bằng trung bình nhân của độ dài 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông lên cạnh huyền. ABC vuông tại C, CH là đường cao, ta có .CH AH BH [?] Đặt HA = a, HB = b hãy biểu diễn ab và a + b theo độ dài các đoạn thẳng có trong tam giác? Hãy chuyển bất đẳng thức đại số về bất đẳng thức hình học? [!] ;CH ab AB a b   Bất đẳng thức (1) có dạng 2 AB CH Cách 2 + Nếu a, b dương, vẽ nửa đường tròn đường kính AB = a + b. Trên AB lấy điểm H thoả mãn AH = a, HB = b. [?] Hãy xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC [!] 2 AB R  Từ H kẻ đường vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại C thì .CH HA HB ab  [?] Hãy so sánh R và CH [!] CH không lớn hơn bán kính đường tròn CH R  vì CH không lớn hơn bán kính đường tròn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 96  2 a b ab   Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. nên 1 2 2 a b ab CH AB     [?] Hãy cho biết dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Đẳng thức xảy ra  CH là bán kính hay H trùng với tâm đường tròn điều này chính là a = b. đẳng thức xảy ra  CH là bán kính  H trùng với tâm đường tròn  a = b [?] Hãy hoàn thiện lời giải theo ý tưởng trên? + Nếu 0 0 a b    thì (1) đúng .Vậy (1) đúng 0; 0a b   [?] Bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm, vế trái là trung bình cộng, còn vế phải là trung bình nhân của 2 số. Nếu mở rộng bất đẳng thức (1) cho 3 số không âm thì phát biểu thế nào? [!] Cho 3 số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng 3 3 a b c abc    (3) Cho 3 số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng 3 3 a b c abc    (3) [?] Có thể áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức (2) không? Bất đẳng thức (1) áp dụng cho 2 số, [!] (3) 3a b c abc    3 4 4 a b c abc             3 abc (4) Áp dụng BĐT Côsi 1 4 2 a b ab   ; 3 31 4 2 c abc c abc   ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 97 còn vế trái của (2) là tổng 3 số, hãy viết lại bất đẳng thức (2) để vế trái có tổng các số là chẵn? 3 2 ab c abc  6 3.abc abc abc  [?] Hãy vận dụng liên tiếp bất đẳng thức (1) vào vế trái của bất đẳng thức (4) rồi cộng vế tương ứng của các bất đẳng thức cùng chiều? [!] 1 4 2 a b ab   ; 3 31 4 2 c abc c abc   ; 3 2 ab c abc  6.abc abc 3 abc Cộng vế tương ứng của 3 bất đẳng thức ta được (4) [?] Dấu “ = ” xảy ra khi nào? [!] Dấu đẳng thức xảy ra 3 3 a b c abc ab c abc        a b c   Dấu đẳng thức xảy ra 3 3 a b c abc ab c abc        a b c   [?] Bất đẳng thức (1), (3) là bất đẳng thức cosi cho 2 số, 3 số không âm. Tổng quát hãy phát biểu cho n số không âm? [!] Cho n số thực không âm 1 2, ,..., na a a 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n     Dấu đẳng thức xảy ra  1 2 ... na a a   Cho n số thực không âm 1 2, ,..., na a a 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n     Dấu đẳng thức xảy ra  1 2 ... na a a   Bài 2: Cho các số , , ,a b c d R . Hãy chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d    (1) ( BĐT Bunhiacopxki ). Hướng dẫn học sinh giải bài toán trên theo tư tưởng của Polya. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 98 [?] Bài toán cho gì? Yêu cầu gì? [!] Cho , , ,a b c d R . Chứng minh 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d    Bài 2: Cho các số , , ,a b c d R .Chứng minh bất đẳng thức: 2( )ac bd  2 2 2 2( )( )a b c d   (1) [?] Hãy biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho? [!] Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 2 2 2 2 2a c b d acbd   2 2 2 2 2 2 2 2 0a c a d b c b d    2 2 2 22 0adbc a d b c    (2) Cách 1. (1) 2 2 2 2 2a c b d acbd   2 2 2 2 2 2 2 2a c a d b c b d    22 2 22 0a d adbc b c    [?] Biến đổi tương đương bất đẳng thức (2)? [!] (2) 22 2 22 0a d abc b c    2( ) 0ad bc   , luôn đúng , , ,a b c d R  . Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. 2( ) 0ad bc   , luôn đúng , , ,a b c d R  Dấu “ = ” xảy ra 0ad bc   ;( , 0) a b c d c d    [?] Hãy cho biết dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Dấu “ = ” xảy ra 0ad bc ad bc     ;( , 0) a b c d c d    . [?] Hãy hoàn thiện lời giải theo ý tưởng trên? [?] Trên đây là cách giải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 99 rất thông thường mà hầu như học sinh nào cũng tìm ra. Bây giờ hãy nhìn bài toán từ góc độ khác để các em tìm ra một cách giải mới. [?] Hãy để ý vào vế phải của bất đẳng thức, tổng bình phương các đại lượng 2 2a b và 2 2c d có gợi cho các em về một ý nghĩa nào trong hình học không? [!] + Liên quan đến véc tơ. + Bình phương các đại lượng sẽ là bình phương độ dài của các véc tơ. Cách 2. Đặt ( , ) ( , ) u a b v c d     Khi đó 2 2 ,u a b  2 2v c d  [?] Hãy đưa vào bài toán các đại lượng vectơ thích hợp? [!] Đặt ( , ) ( , ) u a b v c d     , khi đó 2 2 2 2,u a b v c d    . ( )u v ac bd  mà ( , ) 1cos u v   . .u v u v [?] Hãy tìm mối liên hệ giữa hai vectơ ,u v giúp cho ta chứng minh bất đẳng thức? [!] . . . ( . )u v u v cos u v (3)  2( )ac bd  2 2 2 2( )( )a b c d   [?] Ta đã biết rằng: ( , ) 1cos u v  . Vậy thì đẳng thức (3) trở thành bất đẳng thức nào? [!] . .u v u v (4) Dấu “ = ” xảy ra  . , u cung phuong v u k v k R     Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 100 [?] Hãy tính: . ?, . ?u v u v  Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh [!] . ( )u v ac bd  2 2 2 2. ( )( )u v a b c d   . a kc b kd     a k c b k d        [?] Hãy cho biết dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] . , u cung phuong v u k v k R     ; ( , 0) a b c d c d    ; ( , 0) a b c d c d    [?] Hãy nhìn bất đẳng thức đã cho dưới dạng sau: 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d    0 . Rõ ràng nếu nhìn biểu thức vế trái bằng 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d    ta thấy nó giống với một biệt thức  của một tam thức nào đó đã được tính sẵn rồi. Vậy thì phải chăng nếu xây dựng được tam thức đó thì bài toán sẽ có một hướng giải mới? + a = b = c = d = 0 thì BĐT luôn đúng. + , 0a b   2 2 0a b  Xét tam thức 2 2 2( ) ( )f x a b x    2 22( ) ( )ac bd x c d    2 2( ) ( ) 0ax c bx d     ( ) 0,f x x   . [?] Bây giờ tôi đặc biệt hoá a = b = c = d = 0, các em hãy kiểm tra bất đẳng thức có đúng không? [!] Với a = b = c = d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vậy ta có ' 2( )ac bd    2 2 2 2( )( ) 0a b c d    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 101 [?] Nếu tồn tại một trường hợp là , , ,a b c d R sao cho , 0a b  . Khi đó cho biết dấu của 2 2a b ? [!] 2 2 0a b  Dấu “ = ” xảy ra  ; ( , 0) a b c d c d    [?] Hãy xây dựng tam thức bậc hai với các hệ số A, B, C nhận biểu thức VT là  ? Hãy kiểm tra dấu của f(x)? [!] 2 2;A a b  2( );B ac bd  2 2C c d  2 2 2( ) ( )f x a b x    2 22( ) ( )ac bd x c d    2 2( ) ( ) 0ax c bx d     Vậy ( ) 0,f x x  . [?] Khi đó áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai cho ta kết quả cần chứng minh. * BĐT Bunhiacopxki cho 6 số thực: a, b, c, x, y, z [?] Bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số thực hay cho hai cặp số (a; b), (c; d), với , , ,a b c d R . Nếu mở rộng bất đẳng thức (1) cho hai bộ ba số thì phát biểu thế nào? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Cho hai bộ ba số (a; b; c), (x; y; z) với , , , , ,a b c x y z R . Hãy chứng minh bất đẳng thức: 2( )ax by cz   2 2 2 2 2 2( )( )a b c x y z    (5). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c x y z   . Cho hai bộ ba số (a; b; c), (x; y; z) với , , , , ,a b c x y z R . Hãy chứng minh bất đẳng thức: 2( )ax by cz   2 2 2 2 2 2( )( )a b c x y z   (5).Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c x y z   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 102 [?] Bất đẳng thức (1), (5) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ hai, ba số. Nếu mở rộng bất đẳng thức (1) cho hai bộ n số thực 1 2( ; ; ; )na a a , 1 2( ; ; ; )nb b b thì phát biểu thế nào? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Với hai bộ n số 1 2( ; ; ; )na a a , 1 2( ; ; ; )nb b b , ta luôn có 2 1 1 2 2( )n na b a b a b   2 2 2 1 2( ).na a a    2 2 2 1 2( )nb b b   Dấu đẳng thức xảy ra  1 2 1 2 n n aa a b b b    . * BĐT Bunhiacopxki cho 2n số thực. Với hai bộ n số 1 2( ; ; ; )na a a , 1 2( ; ; ; )nb b b , ta có 2 1 1 2 2( )n na b a b a b   2 2 2 1 2( ).na a a    2 2 2 1 2( )nb b b   Dấu " " xảy ra  1 2 1 2 n n aa a b b b    . IV. Hệ thống bài tập. Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức. a) 1 1 4a b a b            , với mọi a, b dương. b) 2 2 2a b c ab bc ca     , với mọi a, b, c dương. c) 2 2 2 2 2 ( )a b c d e a b c d e        , với mọi a, b, c, d, e dương. d) Cho x, y, z >0, xyz = 1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 21 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx          . e) Cho x, y, z >0 và 1 1 1 4 x y z    . Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z          . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 103 Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức. a) Cho các số thực a, b, c thoả mãn 2 2 2 1a b c   . Chứng minh rằng 3 5 35a b c   . b) Cho các số thực a, b, c thoả mãn 4 ( 1) ( 1) ( 1) 3 a a b b c c      . Chứng minh rằng 4a b c   . c) Cho các số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 4. Chứng minh rằng 4 4 4 16 3 a b c   . d) Cho các số thực x, y thoả mãn 3x - 4y = 7. Chứng minh rằng 2 23 4 7x y  . e) Cho x, y, z là 3 số thực dương và 1x y z   . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z       . Hƣớng dẫn. Mức độ vận dụng ở các bài toán trên khó dần. Bài 3. a) Chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho 2 số. b) Phải ghép đôi vận dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số : 2a và 2b ; 2b và 2c ; 2c và 2a . Rồi cộng vế tương ứng của các bất đẳng thức cùng chiều. c) Phải biết tách 2 2 2 2 2 4 4 4 4 a a a a a     , rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi. d) Vừa áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số trong căn thức, vừa áp dụng cho 3 số hạng ở vế trái. e) Đòi hỏi vận dụng sáng tạo hơn: 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 16x y z x x y z       . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 104 Bài 4. a) Chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ 3 số: ( 1; 3; 5 ) và (a; b; c ) b) Phải biết biến đổi giả thiết: 2 2 21 1 1 25 2 2 2 12 a b c                        rồi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ 3 số ( 1; 1; 1 ) và 1 1 1 ( ; ; ) 2 2 2 a b c   . c) Phải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 lần. d) Cần viết lại bất đẳng thức phải chứng minh 2 2( 3 ) (2 ) 7x y  , rồi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ 2 số ( 3 ;2 )x y và ( 3; 2) . e) Đòi hỏi vận dụng sáng tạo: 2 2 1 1 9 82 x x x x         . Giáo án 2. BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Mục tiêu bài giảng - Biết chứng minh một số bất đẳng thức và vận dụng bất đẳng thức Cosi - Rèn luyện cho học sinh các hoạt động khám phá có hướng dẫn tìm các lời giải bài toán. II. Chuẩn bị - Giáo viên: giáo án, bài tập - Học sinh: các bài tập sách giáo khoa III. Các hoạt động Bài 1. Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng 3 3 ( )a b ab a b   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 105 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng [?] Bài toán cho gì? Yêu cầu gì? [!] Cho 0, 0a b  Chứng minh: 3 3 ( )a b ab a b   (1) Bài 1. Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng 3 3 ( )a b ab a b   (1) [?] Theo định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức dạng A B ta phải làm gì? Vận dụng vào bài toán này thế nào? [!] Để chứng minh A B ta chứng minh 0A B  Khi đó 3 3 ( )a b ab a b   3 3 ( ) 0a b ab a b     (2) 3 3 ( )a b ab a b   3 3 ( ) 0a b ab a b     Theo giả thiết 0, 0 0a b a b     [?] Biến đổi tương đương bất đẳng thức (2)? [!] (2) 2( )( ) 0a b a b    Mà 2( ) 0a b  suy ra 2( )( ) 0a b a b   [?] Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Dữ kiện đó có liên quan gì đến yêu cầu của bài toán? [!] 0, 0 0a b a b     suy ra 2( )( ) 0a b a b   (BĐT được chứng minh) Dấu “ = ” xảy ra a b  [?] Hãy cho biết dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Dấu “ = ” xảy ra a b  [?] Hãy hoàn thiện lời Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 106 giải theo ý tưởng trên? [?] Khám phá cách giải khác: có thể phát biểu bài toán một cách khác không? [!] 3 3a b a b ab    2 2a b a b b a    Lời giải khác: 3 3 (1) a b a b ab     2 2a b a b b a    [?] - Vai trò ,a b bình đẳng nên cần áp dụng đều cho ,a b . - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử dạng mẫu số, để ý tử số là bình phương [!] Bất đẳng thức Côsi cho hai số: 2a b và b 2 2 a b a b   ; 2 2 b a b a   Cộng vế tương ứng suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: 2 2 a b a b   ; 2 2 b a b a   Cộng vế tương ứng suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. [?] Bạn có thể sử dụng kết quả này cho một bài toán nào khác không? Thử áp dụng tương tự với các số dương b, c rồi c, a [!] 3 3b c b c bc    3 3c a c a ca    [?] Hãy phát biểu cho bài toán mới [!] Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 2( ) a b b c c a ab bc ca a b c          Bài 2. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh 3 3 3 3 3 3 2( ) a b b c c a ab bc ca a b c          Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 107 [?] Có thể viết bất đẳng thức (1) dưới dạng khác không? (Các số hạng 3 3,a b gợi cho các bạn nghĩ tới hằng đẳng thức nào?) [!] 3 3 3( ) 3 ( )a b a b ab a b     3 3 3(1) 4( ) ( )a b a b    [?] Áp dụng tương tự và hãy phát biểu cho bài toán mới. [!] 3 3 34( ) ( )b c b c   3 3 34( ) ( )c a c a   Bài 3. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh 3 3 3 3 3 3 8( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b b c c a         Bài 4. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc          [?] nhìn vào số hạng 3 3a b . Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? [!] 3 3 ( )a b ab a b   3 3 ( )a b abc ab a b c      3 3 1 1 ( )a b abc ab a b c       Áp dụng (1) suy ra 3 3 ( )a b abc ab a b c     hay 3 3 1 1 ( )a b abc ab a b c      [?] Hãy áp dụng tương tự cho các số hạng còn lại và so sánh với bất đẳng thức cần chứng minh. [!] 3 3 1 1 ( )b c abc ab a b c      3 3 1 1 ( )c a abc ab a b c      Cộng các vế tương ứng Tương tự ta có 3 3 1 1 ( )b c abc ab a b c      3 3 1 1 ( )c a abc ab a b c      Cộng các vế tương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 108 của ba BĐT trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. ứng của ba BĐT trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. [?] Nếu bổ xung giả thiết 1abc  thì bài toán được phát biểu như thế nào? [!] Cho a, b, c là ba số dương và 1abc  . Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a           Bài 5. Cho a, b, c là ba số dương và 1abc  . Chứng minh 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a           Bài 6. Cho a, b, c là ba số dương và 1abc  . Chứng minh rằng 5 5 5 5 5 5 1 ab bc ca a b ab b c bc c a ca          . [?] Giả thiết của bài toán gợi cho bạn nghĩ tới bài toán nào mà bạn đã gặp rồi? [!] Đó chính là bài 5 ở trên. Ta có 5 5 3 3 1 1 ab a b ab a b      [?] Có thể sử dụng kết quả của nó không? (Kết quả đó gợi cho bạn chứng minh BĐT nào? ) [!] 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ab bc a b ab b c bc ca c a ca a b b c c a                   4 4 2 2 ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 a b a b a b a b a b          BĐT này đúng với a, b dương. [?] Chứng minh BĐT trung gian này như thế nào? (Hãy nhìn vào từng số hạng) [!] Phải chăng: 5 5 3 3 1 1 ab a b ab a b      (*) Tương tự ta có 5 5 3 3 1 1 bc b c bc b c      [?] Chứng minh bất đẳng thức (*) như thế nào? [!] 4 4 2 2 (*) ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 a b a b a b a b a b          5 5 3 3 1 1 ca c a ca c a      Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 109 [?] Hãy áp dụng tương tự cho các số hạng còn lại và so sánh với bất đẳng thức cần chứng minh. [!] 5 5 3 3 1 1 bc b c bc b c      5 5 3 3 1 1 ca c a ca c a      Cộng các vế tương ứng của ba BĐT trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Cộng các vế tương ứng của ba BĐT trên và áp dụng bài 5 ở trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. [?] Bằng các hoạt động khám phá tương tự, HS có thể giải bài toán sau: Bài 7. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng a) 3 3 3 3 8 a b c b c c a a b                       ; b) 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ca c ab     . 3.3. Kết quả thử nghiệm a) Về phƣơng pháp và khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh Giáo viên đã tổ chức được các hoạt động khám phá cho học sinh trong giờ học, sử dụng phương pháp dạy học hợp lí. Học sinh có khả năng tiếp thu và nắm được cách chứng minh một số dạng bất đẳng thức ở trường THPT. Bằng các hoạt động khám phá, học sinh có thể giải phần lớn các bài tập trong luận văn. Sau đợt thực nghiệm, học sinh nắm bắt và vận dụng được các hoạt động trí tuệ cơ bản trong toán học như phân tích, so sánh, tương tự, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tượng hoá, phân chia trường hợp...Hạn chế được những khó khăn, sai lầm khi giải các bài toán về bất đẳng thức, phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 110 b) Về kết quả kiểm tra Đề kiểm tra: Câu 1. Cho ba số thực không âm , ,x y z thoả mãn 2000 2000 2000 3x y z   . Chứng minh rằng 2 2 2 3x y z   . Câu 2. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng sin sin sin tan tan tan 2A B C A B C      . Câu 3. Cho ba số dương , ,a b c nhỏ hơn 1 và thoả mãn 1ab bc ca   . Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 1 1 1 2 a b c a b c       Ý định sƣ phạm đề kiểm tra: Câu 1: Thuộc chủ đề vận dụng BĐT đã biết. Câu 2: Thuộc chủ đề vận dụng phương pháp hàm số, nhằm kiểm tra khả năng khám phá ra hàm số. Câu 3: Thuộc chủ đề vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhằm kiểm tra khả năng chuyển từ BĐT đại số sang BĐT lượng giác. Kết quả kiểm tra: Lớp Tổng số HS Nhóm điểm 1 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10 SL % SL % SL % SL % SL % 12A3(ĐC) 50 5 10 8 16 20 40 12 24 5 10 12A2(TN) 50 2 4 5 10 15 30 18 36 10 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 111 Qua bài kiểm tra ta thấy lớp thực nghiệm có kết quả cao hơn lớp đối chứng. Điều đó chứng tỏ rằng phương pháp này đã tác động rất hiệu quả tới quá trình học tập của học sinh. Kết luận chƣơng 3 Mặc dầu chúng tôi mới tiến hành thực nghiệm sư phạm được trên một phạm vi hẹp (một lớp thực nghiệm, một lớp đối chứng). Song, kết quả thực nghiệm sư phạm phần nào đã chứng tỏ: các phương pháp đề xuất có tính khả thi và tính hiệu quả; học sinh được học tập trong môi trường “động”, tức là học sinh được hoạt động, được giao lưu và tích cực tự khám phá các kiến thức, do vậy phương pháp này cần được nhân rộng ra các phần kiến thức khác nhau ở trường THPT. Từ đó chúng tôi cho rằng nếu thường xuyên áp dụng dạy học theo định hướng trên thì có tác dụng rất tốt trong việc gây hứng thú trong học tập cho học sinh, lôi cuốn học sinh vào các hoạt động học tập tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo, giúp học sinh rèn luyện các hoạt động trí tuệ trong khi giải toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 112 KẾT LUẬN Luận văn đã thu đƣợc những kết quả chính sau đây: 1. Luận văn đã minh hoạ làm sáng tỏ lý luận về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn theo quan điểm hoạt động; phương pháp giải bài toán theo bốn bước của Polya. Tìm hiểu thực tiễn qua bài kiểm tra, cho thấy HS còn yếu về kĩ năng chứng minh BĐT. 2. Luận văn đã trình bày việc vận dụng lí luận dạy học khám phá có hướng dẫn vào một số dạng BĐT thường gặp ở trường THPT. Đó là: - Khám phá vận dụng bất đẳng thức đã biết. - Khám phá hàm số trong chứng minh bất đẳng thức. - Khám phá ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức. - Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện. - Khám phá các sai lầm trong lời giải và sửa chữa. Những nội dung trên đây được phân tích, minh hoạ thông qua 55 ví dụ. 3. Luận văn trình bày việc tổ chức thực nghiệm ở hai lớp 12 của trường THPT Lạng Giang số 2 tỉnh Bắc Giang. Kết quả thực nghiệm phần nào kiểm nghiệm được tính khả thi và kết quả của đề tài. 4. Luận văn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên toán và sinh viên toán các trường Đại học - Cao đẳng Sư phạm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Trần Tuấn Anh ( 2005 ), Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, NXB tổng hợp TP.Hồ Chí Minh. [2]. Phan Đức Chính (1993), Bất đẳng thức, NXB Giáo dục, Hà Nội. [3]. Nguyễn Kế Hào (Chủ biên), Nguyễn Quang Uẩn (2006), Giáo trình tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [4]. Nguyễn Thị Phương Hoa (2006), Lý luận dạy học hiện đại, Tập bài giảng cho học viên cao học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [5]. Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức, Hà Nội. [6]. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn toán. NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [7]. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Bùi Huy Ngọc (2006), Phương pháp dạy học đại cương môn toán. NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [8]. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992),Phương pháp dạy học môn toán, tập 1, NXB giáo dục, Hà Nội. [9]. Nguyễn Bá Kim, Vương Dương minh (1998), Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở trường THCS, NXB Giáo dục, Hà Nội. [10]. Phan Huy Khải (1997), 500 Bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, NXB Hà Nội, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 114 [11]. I.Lerner (1997), Dạy học nêu vấn đề, Phạm Tất Đắc dịch, NXB Giáo dục, Hà Nội. [12]. Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng ( 2005), Các bài giảng về bất đẳng thức Côsi, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. [13]. Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2005), Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. [14]. Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2005), Các bài giảng về các bài toán trong tam giác, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. [15]. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội. [16]. Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. NXB Đại học sư phạm, Hà Nội. [17]. Ngô Thế Phiệt (2007), Một số phương pháp mới trong chứng minh bất đẳng thức, NXB Giáo dục, Hà Nội. [18]. G.Pôlya ( Hồ Thuần – Bùi Tường dịch ) (1997), Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục, Hà Nội. [19]. G.Pôlya ( Hà Sỹ Thế – Hoàng Chúng – Lê Đình Phi dịch ) (1976), Toán học và những suy luận có lý, NXB Giáo dục, Hà Nội. [20]. G.Pôlya ( Nguyễn Sỹ Tuyển – Phan Tất Đắc – Hồ Thuần dịch ) (1997), Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 115 [21]. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên )(2006), Đại số 10 nâng cao, Sách giáo khoa. NXB Giáo dục, Hà Nội. [22]. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên ), 2006, Đại số 10 nâng cao, Sách giáo viên. NXB Giáo dục, Hà Nội. [23]. Nguyễn Cảnh Toàn (Chủ biên), Nguyễn Kỳ, Lê Khánh Bằng, Vũ Văn Tảo (2002), Học và dạy cách học. NXB Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội. [24]. Nguyễn Cảnh Toàn (1997). Phương pháp duy vật biện chứng với việc dạy học và nghiên cứu toán học, NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội. [25]. Nguyễn Cảnh Toàn (1997). Tập cho học sinh giỏi là quen dần với nghiên cứu toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội. [26]. Nguyễn Cảnh Toàn (1997). Khơi dậy tiềm năng sáng tạo, NXB Giáo dục, Hà Nội. [27]. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 môn Toán ( 2006), NXB Giáo dục, Hà Nội. [27]. Tạp chí Toán học Tuổi trẻ cùng một số luận văn thạc sĩ. [28]. Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học Tuổi trẻ (1997), NXB Giáo dục, Hà Nội . [29]. Đảng cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thư IX, NXB Chính trị Quốc gia, Hà Nội 2001. ._.