Vấn đề nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học

quốc tế. Đặc điểm nổi bật của nền kinh tế tri thức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệ trong sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách là nguồn lực cơ bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền kinh tế. Do vậy, trong nền kinh tế hiện đại luôn luôn xuất hiện các yếu tố phi tuyến, có nghĩa là những mô hình không thể giải được nếu chỉ vận dụng các công cụ suy luận phân tích và tính toán định lượng của toán học truyền thống. ở đây, để toán học phát huy được sức mạnh của mình trong việc giải quyết các nhiệm vụ kinh tế - xã hội hiện đại thì nhất thiết trong quá trình xây dựng các mô hình, toán học phải có sự kết hợp với các phương pháp khoa học khác (chẳng hạn như phương pháp tin học). Nếu thực hiện được sự kết hợp đó, thì những khó khăn nảy sinh do sự xuất hiện các yếu tố phi tuyến sẽ được khắc phục nhờ các phương pháp mô hình hóa và mô phỏng bằng đồ họa máy tính. Điều đó có nghĩa là năng lực nhận thức của con người được phát triển nhờ vào sự trực cảm và sự suy luận định tính. Thực trạng trên đã chứng tỏ rằng, toán học có vai trò to lớn trong nhận thức khoa học. Nhưng lý do nào đã làm cho toán học có được sức mạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt là ở chỗ, đối tượng của toán học có những nét đặc thù rất khác biệt so với các đối tượng của các khoa học khác. Chính vì vậy, hơn lúc nào hết, chúng ta phải phân tích được một cách đúng đắn, nghiêm túc và rõ ràng bản chất của đối tượng toán học từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng. Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã hội, của khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản thân đối tượng của toán học cũng không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ cao hơn. Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội. Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng hiện thực của toán học là các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực, chúng ta đi đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của toán học dù có trừu tượng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực khách quan và mọi tri thức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng đắn, sáng tạo hiện thực khách quan đó. Đồng thời, cũng xuất phát từ thực tiễn phát triển của toán học, trong đó đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học là các hệ thống những khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn tại trong hiện thực khách quan, mà giữa các trường phái triết học khác nhau, thậm chí cả trong giới toán học với nhau đã diễn ra không ít các cuộc tranh luận về bản chất của đối tượng toán học cũng như vai trò của toán học trong quá trình nhận thức. Vì vậy, vấn đề đặt ra trong luận án luôn luôn là một vấn đề mang tính thời sự không phải chỉ riêng đối với toán học, mà là đối với tất cả các lĩnh vực khoa học nói chung. Từ đó, việc làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi phân tích đối tượng của toán học sẽ góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò của sự phát triển toán học nói riêng và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện nay của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại. Đồng thời, việc làm đó cũng chính là cơ sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toán học với thực tại khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thức của toán học thông qua đối tượng của nó. Điều này phù hợp với nhận xét của Lênin: "Tất cả các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" [25, tr. 179]. Chính vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài "Vấn đề nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học" làm đề tài cho luận án của mình. 2. Tình hình nghiên cứu đề tài Xung quanh vấn đề triết học trong toán học (trong đó có vấn đề nhận thức luận) ở Việt Nam và nước ngoài đã có nhiều công trình đề cập tới và nghiên cứu trên nhiều góc độ khác nhau. Các công trình đó bao gồm các tác phẩm kinh điển của chủ nghĩa Mác - Lênin, các sách tham khảo, các bài viết trong các tạp chí khoa học và các kỷ yếu khoa học trong và ngoài nước. Trong số các tác phẩm kinh điển có các tác phẩm chính như: "Các bản thảo toán học" của C. Mác; "Biện chứng của tự nhiên", "Chống Đuy-rinh" của Ph.Ăngghen; "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán", "Bút ký triết học" của V.I. Lênin. Trong số các tác phẩm nghiên cứu có các cuốn: "Một số vấn đề triết học về cơ sở của toán học" của V.N. Mơlôtsi; "Sự phát triển của nhận thức và toán học" của A. Nưsanbaev và G. Shliakhin (tiếng Nga); "Về bản chất của tri thức toán học" của G.I. Ruzavin (tiếng Nga); "Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học" (hai tập) của Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn; "Kỷ yếu hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất" của Hội Toán học Việt Nam - Bộ Công nghiệp (2000), v.v.. Chúng ta có thể khái quát những tư tưởng chính của các công trình đó ở các khía cạnh sau đây: Thứ nhất, các công trình đó đã tập trung vào phân tích khả năng ứng dụng to lớn của toán học trong các ngành khoa học khác nhau. Thứ hai, các công trình đó đã đề cập đến vấn đề mối quan hệ của toán học với thế giới hiện thực. Thứ ba, vai trò nhận thức của toán học được đề cập đến thông qua việc khẳng định toán học như một công cụ của các khoa học cụ thể khác trong việc khám phá ra những tri thức mới. Thứ tư, ý nghĩa của toán học đối với sự phát triển của các khoa học khác, của kỹ thuật và kinh tế - xã hội v.v.. Thứ năm, toán học với tư cách là ngôn ngữ của khoa học. Tác giả của luận án kế thừa những thành quả nghiên cứu của các tác giả đi trước, đi sâu vào phân tích nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, khai thác ý nghĩa triết học của các tri thức toán học, chủ yếu là vấn đề nhận thức luận. 3. Mục đích và nhiệm vụ của luận án Mục đích của luận án là làm sáng tỏ nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học từ lập trường duy vật biện chứng, đồng thời chỉ ra vai trò của toán học trong nhận thức khoa học, những yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển của đối tượng toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của toán học. Để thực hiện mục đích trên, luận án tập trung giải quyết những nhiệm vụ sau đây: Phân tích và làm rõ bản chất đối tượng của toán học, chỉ ra được mối quan hệ chặt chẽ giữa toán học với thế giới hiện thực cũng như giữa toán học với các khoa học khác theo lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng. Phân tích vai trò của tri thức toán học đối với nhận thức khoa học thông qua các quan điểm khác nhau trong lịch sử triết học cũng như thực tế vận dụng của toán học trong các khoa học cụ thể. Phân tích những ảnh hưởng của hoàn cảnh thực tiễn xã hội, khả năng phát triển nội tại cũng như các lĩnh vực hoạt động khoa học khác với tư cách là động lực của sự phát triển toán học. Từ đó xác định được con đường biện chứng của sự phát triển các tri thức toán học. 4. Cơ sở lý luận, thực tiễn và phương pháp nghiên cứu của luận án - Luận án dựa trên cơ sở lý luận chủ nghĩa duy vật biện chứng về vị trí và vai trò của các khoa học đối với quá trình phát triển của xã hội. - Luận án được trình bày dựa trên thực tiễn hoạt động của các nhà toán học qua các thời đại lịch sử khác nhau, dựa vào các tác phẩm kinh điển, sách báo, tạp chí, những công trình khoa học trong nước và ngoài nước. - Luận án vận dụng phương pháp luận chung là phương pháp duy vật biện chứng và các phương pháp khác như mô tả, phân tích, tổng hợp, lôgíc và lịch sử, so sánh v.v.. 5. Những đóng góp mới về mặt khoa học của luận án Trước hết, chúng tôi phải khẳng định rằng, cái mới của luận án ở đây không phải là một phát minh khoa học độc đáo hoặc một vấn đề hoàn toàn mới mẻ chưa hề được đề cập đến. Cái mới mà luận án đạt được là ở chỗ, xuất phát từ lập trường duy vật biện chứng tác giả đã phân tích một cách có hệ thống và cô đọng những vấn đề về nguồn gốc, bản chất và quá trình phát triển của đối tượng toán học. Từ đó, tác giả làm rõ tính độc lập tương đối của nhận thức toán học trong quá trình nhận thức nói chung. Tính độc lập tương đối của nhận thức toán học được thể hiện ở chỗ, toán học là một khoa học có tính trừu tượng rất cao nhưng nó lại thể hiện sự phản ánh tích cực, sáng tạo của con người về thế giới khách quan; ở lôgic phát triển nội tại của mình, đặc biệt là ở nét đặc thù trong việc kiểm nghiệm tính chân lý của toán học. Tất cả các điều nói trên được luận án làm sáng tỏ đã khẳng định giá trị nhận thức của toán học thông qua sự phân tích đối tượng của nó, đặc biệt là trong điều kiện phát triển mạnh mẽ và phức tạp của khoa học hiện đại. 6. ý nghĩa của luận án - Những kết quả nghiên cứu của luận án đã góp phần làm sáng tỏ quan điểm khoa học của chủ nghĩa duy vật biện chứng về sự khẳng định toán học là một bộ môn khoa học rất hiện thực. Từ đó làm rõ vai trò của toán học trong nhận thức khoa học và tính quy luật trong sự phát triển của đối tượng toán học. Luận án có thể dùng làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu, giảng dạy và học tập các bộ môn Lý luận Mác - Lênin, đặc biệt là triết học trong khoa học tự nhiên ở các trường đại học, cao đẳng. Luận án có thể dùng làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên, nhất là đối với những giáo viên giảng dạy và nghiên cứu toán học. 7. Kết cấu của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận án bao gồm 3 chương, 7 tiết. Chương 1 quan điểm duy vật biện chứng về đối tượng của toán học 1.1. Đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học xét từ quan điểm duy vật biện chứng 1.1.1. Khái lược về lịch sử hình thành và phát triển của đối tượng toán học Toán học là một trong những khoa học được hình thành rất sớm. Từ thời cổ đại đến nay, toán học đã trải qua nhiều thời kỳ phát triển khác nhau. Mỗi thời kỳ đó được đánh dấu bởi mức độ phát triển của đối tượng toán học nói riêng và khoa học nói chung. Theo quan điểm duy vật biện chứng, đối tượng của toán học là các hình thức không gian và các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực. Quan điểm trên chỉ được luận chứng trên cơ sở xem xét một cách cô đọng và có hệ thống các thời kỳ phát triển khác nhau của lịch sử toán học. ở thời kỳ đầu, còn gọi là giai đoạn toán học kinh nghiệm, bắt đầu từ thời cổ đại đến thế kỷ thứ VII - VI (Trước công nguyên), các hiểu biết toán học gắn liền với các yêu cầu của cuộc sống kinh tế. Có thể nói rằng, ở ngay thời kỳ đầu của sự phát triển xã hội, khi con người còn sống thành bầy đàn, nhờ vào hái lượm, săn bắn để sinh tồn, thì đời sống vật chất cũng đã đòi hỏi những sự cân đối, đồng bộ trong việc phân công, sử dụng công cụ lao động và phân chia sản phẩm. Phép đếm đã nảy sinh từ nhu cầu cần thiết là xác định số lượng động vật trong một bầy và số lượng sản phẩm thu hoạch mùa màng. Khi con người đã biết sản xuất thì nhu cầu về sự cân đối, đồng bộ ngày càng tăng, chỉ có đếm chưa đủ, cần phải cân, đong, đo đạc, so sánh và sắp xếp thứ tự. Lúc đầu, nhu cầu chính xác còn thấp, số lượng việc đong, đo, ước lượng chưa nhiều, người ta có thể đong đo trực tiếp hoặc ước lượng bằng kinh nghiệm, chẳng hạn như dùng nước hay cát để đong mà so sánh các thể tích. Chính sự đo lường các đại lượng là nguyên nhân xuất hiện các phân số. Đồng thời các nhu cầu đơn giản nhất về đo diện tích các khu đất, đo thể tích các vật thể khác nhau, đo các chi tiết kiến trúc, đã mang lại sự tích lũy tài liệu thực tế to lớn về hình học. Có thể nói rằng, lượng tài liệu khổng lồ về hình học đã được tích lũy ở thời Ai Cập cổ đại. Lịch sử còn ghi lại việc phải đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lụt của sông Nin khiến cho lưu vực sông Nin là cái nôi sinh ra môn hình học. Những tài liệu toán học ở Babylon cổ đại chủ yếu là chỉ ra các phương pháp khác nhau để giải các bài toán số học, trong đó có cả các phương pháp không liên quan trực tiếp đến nhu cầu kinh tế. Do đó, chúng ta có đầy đủ cơ sở để khẳng định rằng, một phần công việc hệ thống hóa và tinh chế lý thuyết các tư liệu thực tế về số học và hình học đã bắt đầu được thực hiện ngay trong toán học tiền Hy Lạp, đặc biệt là toán học Babylon và Ai Cập. Nói tóm lại, đây là thời kỳ hình thành những khái niệm đầu tiên của toán học. Các tri thức toán học của thời kỳ này gắn liền với những nhu cầu của đời sống kinh tế. Các khái niệm như số và hình xuất phát trực tiếp từ những khách thể hiện thực, tức là từ những sự vật cụ thể, cảm tính. Toán học chưa được xem là một khoa học lý thuyết trừu tượng, vì thế thời kỳ này được coi là thời kỳ phôi thai và ra đời của toán học, hay nói chính xác hơn, đây là thời kỳ hình thành toán học như là một khoa học. Đối tượng của toán học thời kỳ này gắn liền với các khách thể cụ thể. Thời kỳ thứ hai trong sự phát triển của toán học bắt đầu từ những người cổ Hy Lạp và kéo dài liên tục cho đến đầu thế kỷ XVII. Thời kỳ này được gọi là thời kỳ phát triển toán học về các đại lượng không đổi. Vào thời kỳ này sức sản xuất đã phát triển mạnh mẽ, sản phẩm dư thừa tăng lên, vì vậy nhu cầu về trao đổi, lưu thông hàng hóa trở nên cấp thiết. Đồng thời, phương pháp cân, đong, đo, đếm trực tiếp không còn thích hợp nữa. Trước thực trạng đó, con người bắt đầu chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng trong cùng một vấn đề và từ đó rút ra kết luận là trong việc cân, đong, đo, đếm, ta chỉ cần thực hiện một số công đoạn nhất định rồi dùng lập luận mà suy ra các kết quả khác. Chẳng hạn, trong lĩnh vực hình học xuất hiện lý luận về so sánh các hình dựa trên sự so sánh một số đoạn thẳng hay góc nào đó (ví dụ như trường hợp bằng nhau hay đồng dạng của các tam giác). Trong đại số xuất hiện các công thức, các phương trình để tìm các số chưa biết theo các số đã biết. Nhưng chính những sự phát triển đó trong toán học lại là nguyên nhân xuất hiện những mâu thuẫn mới, chẳng hạn, như sự bế tắc trong việc tính chính xác độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh là đơn vị, sự bất lực trong việc tìm nghiệm của phương trình x + 1 = 0, v.v.. Mặt khác, kinh nghiệm của cuộc sống cũng cho thấy, có những đại lượng có thể tính theo hai chiều như đường đi thì có ngược xuôi, chiều cao thì có trên dưới, tiền nong thì có lỗ, lãi, v.v.. Những mâu thuẫn nói trên đòi hỏi phải bổ sung thêm vào các số tự nhiên và phân số những loại số mới như: số âm, số vô tỷ. Chính khái niệm số thực cũng từ đó mà sinh ra. Thực tế cuộc sống đã thúc đẩy việc nghiên cứu các số tự nhiên theo chiều sâu, đụng chạm đến các vấn đề như số nguyên tố, ước số, bội số, các phương trình với nghiệm số nguyên v.v.. Có thể nói rằng, từ một loạt các phương pháp khác nhau để giải các bài toán thực tế, các nhà toán học thời kỳ đó đã xây dựng số học thành một khoa học về các số và các phép tính trên các số đó. Hình học cũng đạt được trình độ cao của sự hoàn thiện về mặt logic. Điều đó được thể hiện rõ nhất ở việc lần đầu tiên người ta đã xây dựng nó bằng phương pháp tiên đề. Trong số các tác phẩm lý luận về toán học, tiêu biểu nhất là tác phẩm "Cơ sở" của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Ơclít. Tác phẩm này xuất hiện vào thế kỷ thứ ba trước công nguyên, những nguyên lý nổi tiếng trong đó là nguồn cung cấp tri thức toán học cho các thế hệ sau đó trong suốt một thời gian dài. Đồng thời, nó cũng là một tác phẩm mẫu mực về cách lập luận toán học một cách sáng sủa. Tóm lại, ở giai đoạn này, toán học từ trình độ kinh nghiệm đã tiến lên trình độ lý luận. Tuy vậy, lý luận này mới chỉ dừng ở chỗ phát hiện ra những mối liên hệ có tính quy luật được thể hiện trong các định lý, các công thức, trong những sự vật và hiện tượng tĩnh tại, riêng lẻ. Do sự kìm hãm của chế độ phong kiến, cơ học và vật lý chưa phát triển được, vì thế vận động lúc đó chưa thể đi vào toán học được, chính vì thế mà từ tác phẩm "Cơ sở" của Ơclít trở đi đến hết thế kỷ XVI, toán học không tiến xa hơn được bao nhiêu, chỉ đến thế kỷ XVII toán học mới bắt đầu vượt xa hơn thời kỳ cổ đại. Giai đoạn thứ ba trong sự phát triển của toán học được bắt đầu từ thế kỷ thứ XVII. Thời kỳ Phục hưng ở châu Âu đã giải phóng cho xã hội loài người thoát khỏi những sự kìm hãm của chế độ phong kiến, mở đường cho khoa học và công nghệ phát triển. Nhu cầu nghiên cứu các dạng vận động cơ học và vật lý đã thúc đẩy toán học bước sang một giai đoạn mới. Những vấn đề như vận tốc, gia tốc tức thời, thêm vào đó là phương pháp tọa độ của Đêcactơ đã làm nảy sinh và phát triển mạnh mẽ các phép tính vi phân, tích phân. Có thể nói rằng, vào thời kỳ này sự vận động đã thực sự đi vào toán học. Trọng tâm của toán học hướng vào việc nghiên cứu sự biến thiên của các hàm số theo các biến số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyên hàm và tích phân. Phương pháp tọa độ đã cho phép biểu diễn các hàm số bằng đồ thị, chính điều đó làm nảy sinh ra hình học giải tích rồi hình học vi phân. Những khái niệm như đạo hàm, tích phân được liên hệ chặt chẽ với các khái niệm tiếp tuyến, độ cong, độ dài, diện tích, thể tích, v.v.. Những bài toán cơ học, vật lý làm nảy sinh vấn đề tìm các hàm số chưa biết căn cứ vào các mối liên hệ giữa các hàm số đó và các đạo hàm của chúng do các định luật cơ học, vật lý cung cấp. Từ đó các phương trình vi phân thường và các phương trình đạo hàm riêng ra đời. Ăngghen viết: "Đại lượng khả biến của Đêcactơ đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học. Với đại lượng đó, vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân và tích phân đã lập tức trở thành cần thiết" [30, tr. 756]. Sự sáng lập các phép tính vi phân và tích phân gắn liền với tên tuổi của các nhà bác học Niutơn và Lepnitxơ, chính là bước quyết định trong sự phát triển của toán học về các đại lượng biến thiên. Nhờ đó, khoa học đã nhận được một công cụ rất mạnh cho việc nghiên cứu định lượng các quá trình. Trong mối liên hệ đó, vào thời kỳ cận đại, việc áp dụng toán học vào tự nhiên học chính xác tăng lên rất nhiều. Giải tích toán học từ đó trở thành cái kênh chính, qua đó toán học ảnh hưởng đến khoa học tự nhiên. Tư tưởng biến thiên còn ảnh hưởng đến hình học về phương diện xem xét các phép biến hình; điểm mấu chốt là ở đây đã lợi dụng các bất biến trong các phép biến hình để biến một bài toán khó thành một bài toán dễ hơn bằng cách thay hình đã cho bằng ảnh của nó qua một phép biến hình hợp lý để giữ nguyên các quan hệ đang xem xét nhưng đem lại nhiều thuận lợi nhất cho việc giải bài toán thông qua ảnh đó. Mở đầu là việc xem xét những bất biến qua các loại phép chiếu trong hội họa và kiến trúc trong việc vẽ bản đồ, v.v., rồi từ những bất biến đó mà phân loại các khái niệm, các tính chất ra thành những khái niệm, tính chất kèm theo các tính từ như Mêtric, afin, xạ ảnh, bảo giác, v.v.. Sự phân loại này tạo ra nhiều thuận lợi cả trong những bài toán lý thuyết, những bài toán quỹ tích và dựng hình. Một điểm đáng lưu ý trong thời kỳ này là việc nghiên cứu sự phụ thuộc số lượng giữa các đại lượng khác nhau vẫn chiếm vị trí hàng đầu. Chính vì thế, nhiều nhà bác học lúc đó đã xem toán học như là khoa học về các đại lượng. Chẳng hạn, nhà toán học Alembecxơ nhận xét rằng, toán học như là một khoa học nghiên cứu các tính chất của các đại lượng, bởi vì chúng đếm được và đo được. Nhưng đồng thời trong thời gian đó, các nhà bác học có tầm nhìn xa hơn lại cho rằng, đối tượng của toán học không thể hạn chế trong việc nghiên cứu các đại lượng. Chẳng hạn, Đêcactơ, mặc dù thừa nhận toán học là khoa học về đại lượng và đo lường, nhưng đồng thời ông cũng nhấn mạnh giá trị to lớn của quan hệ thứ tự đối với nó. Nhìn chung, Đêcactơ, Lepnitxơ và một số các nhà toán học khác đã nhìn thấy bản chất của toán học trong phương pháp suy diễn của nó nhiều hơn là trong nội dung của nó. Chính vì vậy, các ông đều cho rằng, toán học có thể được áp dụng không chỉ đối với các đại lượng, mà còn đối với các đối tượng muôn hình muốn vẻ khác, trong đó bao gồm cả các suy luận, song những ý tưởng đó đã vượt xa thời đại của mình, nên chúng đã không được thừa nhận và phổ biến. Tóm lại, với sự phát triển của cơ học, thiên văn, vật lý, vận động đã đi vào trong toán học làm nảy sinh ra các phép tính vi phân, tích phân làm nền tảng cho lý thuyết các hàm số thực và số phức, lý thuyết các phương trình vi phân thường và các phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các chuỗi, hình học giải tích và hình học vi phân cùng với các phép biến đổi hình học. Toán học đã phát triển rực rỡ trong các thế kỷ XVII và XVIII, nhưng đối tượng của nó vẫn là các số và các hình theo nhận thức thông thường. Toán học đó mới chỉ phục vụ chủ yếu cho cơ học, thiên văn học, vật lý học cổ điển và cho các lĩnh vực kỹ thuật vận dụng ba lĩnh vực khoa học này. Ph.Ăngghen viết: Trước hết là thiên văn học, một ngành đã vì thời tiết mà tuyệt đối cần thiết cho những dân tộc chăn nuôi và làm ruộng. Thiên văn học chỉ có dựa vào toán học mới phát triển được. Do đó mà người ta phải nghiên cứu cả toán học - Sau đó, đến một giai đoạn phát triển nhất định của nông nghiệp và trong những khu vực nhất định (đưa nước lên để tưới ruộng ở Ai Cập), và nhất là cùng với sự xuất hiện những thành phố, những công trình xây dựng lớn, và cùng với sự phát triển của thủ công nghiệp thì cơ học cũng phát triển theo. Chẳng bao lâu, cơ học lại trở nên cần thiết cho cả hàng hải và chiến tranh. Cơ học cũng cần sự giúp đỡ của toán học và do đó thúc đẩy toán học phát triển [30, tr. 659]. Thời kỳ thứ tư của sự phát triển toán học, còn gọi là giai đoạn toán học hiện đại, bắt đầu từ thế kỷ XIX và tiếp tục cho đến ngày nay. Đây chính là giai đoạn mà toán học được coi là khoa học nghiên cứu về các cấu trúc toán học trừu tượng. Giai đoạn đầu của thời kỳ này gắn liền với các phát minh của nhà toán học người Nga vĩ đại là Lôbasepxki và nhà toán học người Hunggari là Bôliai về hình học phi Ơclít. Những phát minh này có thể được xem như là bước ngoặt quyết định toàn bộ kiểu cách tư duy toán học của thế kỷ XIX. ý nghĩa có tính nguyên tắc của các phát minh này là ở chỗ chúng mang lại khả năng mở rộng và tổng quát hóa một cách cơ bản đối tượng của các nghiên cứu hình học. Điều đó đã được thể hiện ở mấy điểm sau đây: Thứ nhất, khi ta thay một số tiên đề của Ơclít bằng các tiên đề khác, ta có thể nhận được các hệ thống hình học phi Ơclít khác nhau. Chẳng hạn, Lôbasepxki và Bôliai khi thay tiên đề về đường thẳng song song của Ơclít bằng một tiên đề đối lập lại (qua một điểm cho trước ta có thể kẻ được ít nhất hai đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước trên một mặt phẳng) các ông đã xây dựng được hệ tiên đề của hình học phi Ơclít mà người ta thường gọi là hình học Hypebôlic. Cũng như vậy, trong hình học Eliptic của Rieman thì hoàn toàn không tồn tại các đường thẳng song song. Thứ hai, chúng ta có thể gắn cho các khái niệm cơ sở và các tiên đề của hình học Ơclít những sự giải thích rất khác nhau và do đó, có thể xem chúng như là các cấu trúc trừu tượng nào đó. Bản thân Ơclít chỉ cho một sự giải thích duy nhất đối với các tiên đề. Ông xem hình học của mình như là một lý thuyết mô tả các tính chất toán học của không gian xung quanh chúng ta. Việc từ bỏ quan điểm hẹp hòi như thế, thừa nhận khả năng có các sự giải thích khác nhau đối với các hệ tiên đề có một ý nghĩa hết sức to lớn cho sự tổng quát hóa đối tượng hình học. Thứ ba, sự tổng quát hóa đối tượng hình học có thể đạt được theo con đường tăng số chiều của không gian. Cùng với không gian ba chiều thông thường, ta có thể xây dựng các loại không gian nhiều chiều khác nhau, thậm chí vô hạn chiều trừu tượng. Các không gian trừu tượng nhiều chiều và vô hạn chiều đã được áp dụng có hiệu quả trong nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết và hóa lý. Điều kiện chín muồi để xuất hiện tư tưởng có thể thay thế tiên đề về đường thẳng song song của Ơclít bằng một tiên đề phủ định nó, còn có cơ sở triết học sâu sắc của nó. Như chúng ta đã biết, xét về mặt triết học, vào thời kỳ đó quan niệm về không gian đã có những thay đổi căn bản. Không gian không còn được quan niệm đơn giản như là một cái lồng bao la nhốt chúng ta, mà là một hình thức tồn tại của vật chất, nên tính chất của không gian ở vùng nào thì tùy thuộc vào quy luật bố trí các phần tử vật chất ở trong vùng đó; chẳng hạn, nếu các phần tử vật chất được bố trí theo hình cầu thì ta có hình học cầu, còn nếu bố trí theo mặt phẳng thì ta có hình học phẳng. Thời kỳ mới của sự phát triển toán học cũng đã làm thay đổi về chất khoa đại số học. Nếu như trước đây đại số ưu tiên nghiên cứu các vấn đề gắn liền với việc giải các phương trình, thì bây giờ trung tâm chú ý của nó là nghiên cứu các phép toán đại số khác nhau được cho trong các tập hợp với bản chất tùy ý. Đương nhiên, không phải trước kia đại số không nghiên cứu các phép toán, cộng, trừ, nhân, chia, v.v., nhưng trước đây người ta cho rằng các phép toán này chỉ liên quan tới các đại lượng, còn đối tượng của lý thuyết đại số hiện đại thì là các cấu trúc khác nhau đủ loại. Trong mối liên hệ đó, không ít các đại số được sáng tạo một cách đặc biệt với các quy tắc tính hoàn toàn khác đối với các quy tắc tính trên các số. Tất cả các điều đó cho ta khả năng mở rộng rất nhiều phạm vi ứng dụng của các phương pháp đại số. Phương pháp trừu tượng như thế đối với các đối tượng nghiên cứu của đại số và hình học đã nhận được sự biểu đạt đầy đủ nhất trong lý thuyết tập hợp. Trong lý thuyết đó các phần tử của tập hợp có thể là các đối tượng tùy ý nào đó, nên đối tượng của một bộ môn toán học bất kỳ có thể được xác định nhờ một hệ tiên đề nào đó biểu diễn quan hệ giữa các phần tử này. Thời kỳ hiện đại của sự phát triển toán học chứng tỏ một cách hết sức rõ ràng rằng, cách nhìn cũ xem toán học như một khoa học về các đại lượng, không thể coi là đúng đắn được nữa. Đối với toán học hiện đại, cách tiếp cận tổng quát đối với đối tượng nghiên cứu là một đặc điểm rất rõ nét. ở đây chỉ có bản thân cấu trúc các quan hệ số lượng của các đối tượng được nghiên cứu là quan trọng. Các nhà toán học hiện đại coi các cấu trúc toán học là đối tượng cơ bản. Tất cả các cấu trúc đó đều có cái chung là được áp dụng cho các tập hợp đối tượng khác nhau, mà bản chất cụ thể của chúng còn chưa rõ ràng và chưa phân biệt đối với mục đích nghiên cứu toán học. Trong toán học hiện đại, để xây dựng một cấu trúc, thông thường người ta chỉ ra một số vấn đề cơ bản như sau: Thứ nhất, chỉ ra một hoặc một số quan hệ mà các phần tử của nó nằm trong đó. Các quan hệ này cũng có thể khác nhau. Chẳng hạn, trong cấu trúc đại số của lý thuyết nhóm thì quan hệ như thế có thể là quy luật hợp thành, quy luật cho ta khả năng tìm phần tử thứ ba như là hàm của hai phần tử khác. Trong các cấu trúc số, thì điều đó có thể là quan hệ thứ tự, v.v.. Thứ hai, quan hệ được xét trong cấu trúc được coi là thỏa mãn các điều kiện nào đó được diễn đạt dưới dạng hệ tiên đề. Khi đó, việc xây dựng lý thuyết cho một cấu trúc đã cho chung quy là rút ra các hệ quả lôgíc từ các tiên đề đã thừa nhận. Trong khi nghiên cứu quá trình và các hiện tượng thực tế, nhà toán học có thể sử dụng các cấu trúc này như là các công cụ sẵn có. Trong khi khẳng định rằng, các yếu tố của hoàn cảnh thực tế được xét, thỏa mãn các tiên đề của một cấu trúc xác định, thì sau đó nhà toán học có thể sử dụng tất cả các định lý được rút ra từ các tiên đề. Điều này đã làm giảm nhẹ rất nhiều quá trình nghiên cứu. ở đây, một câu hỏi được đặt ra: Vì sao các cấu trúc toán học lại phù hợp với "thực tế thực nghiệm"? Chúng ta chỉ có thể nhận được câu trả lời đúng đắn cho vấn đề này, nếu ta xuất phát từ sự thừa nhận nội dung khách quan của các cấu trúc toán học và đối tượng toán học nói chung. Chính các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực được phản ánh trong các cấu trúc toán học. Chúng hoàn toàn không phải là những sự sáng tạo tùy ý, mà bản thân chúng có tính chất khách quan, tồn tại một cách độc lập với ý thức của chúng ta. Hoàn toàn rõ ràng rằng, trong thực tế, các cấu trúc toán học không tồn tại một cách riêng biệt dưới dạng thuần túy. Nhưng trong nghiên cứu khoa học, chúng ta có thể tạm thời lãng quên điều đó và xem xét chúng một cách riêng biệt. Có thể nói rằng, tính hợp lý của phương pháp nêu trên có cơ sở trong chính bản thân hiện thực. Chúng ta có thể trừu tượng hóa được các đặc tính về chất của các đối tượng và các quá trình là do trong bản thân thế giới khách quan, trong bản thân các đối tượng và các quá trình tồn tại các quan hệ mà trong phạm vi đã biết không phân biệt về chất. Cấu trúc của các quan hệ như thế là như nhau, hoặc như các nhà toán học thường nói đó là đẳng cấu đối với các sự vật rất khác nhau về nội dung cụ thể. 1.1.2. Đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học Trong khoảng thời gian nhiều thế kỷ giữa những người đại diện cho quan điểm duy vật và duy tâm về đối tượng của toán học đã diễn ra một cuộc đấu tranh rất quyết liệt. Nhưng dù ở đâu và cho dù cuộc đấu tranh ấy mở rộng đến đâu đi chăng nữa, nó vẫn xoay quanh vấn đề: Đối tượng của toán học là gì? Mối quan hệ giữa toán học với thế giới hiện thực diễn ra như thế nào? Như chúng ta đã biết, đối với các nhà duy tâm chủ quan, những khái niệm cơ bản và những quy luật toán học chỉ là sản phẩm sáng tạo tự do của tư duy thuần túy, là những ký hiệu thuận tiện cho hoạt động nhận thức và thực tiễn, còn đối với các nhà duy tâm khách quan thì chúng có bản chất riêng, tồn tại độc lập với thế giới hiện thực. Theo quan điểm duy vật biện chứng, những khái niệm và quy luật của toán học chính lá kết quả thu được nhờ sự trừu tượng hóa và khái quát hóa từ những sự vật cụ thể và những tính chất của chúng. Trong tác phẩm "Biện chứng của tự nhiên", Ăngghen đã đưa ra định nghĩa kinh điển về đối tượng hiện thực của toán học như sau: "Đối tượng của toán học thuần túy là những hình không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực" [30, tr. 59]. Để hiểu rõ bản chất của định nghĩa này, chúng ta hãy đi sâu tìm hiểu một số thuật ngữ trong đó như: Số lượng, quan hệ, hình dạng v.v.. Theo quan điểm duy vật biện chứng, "số lượng" là phạm trù triết học dùng để chỉ độ lớn nhỏ, quy mô, trình độ, tốc độ... của sự vật. Số lượng là tính quy định khách quan của sự vật, nhờ đó ta có thể phân chia nó (trên thực tế hoặc trong tư duy) thành những bộ phận cùng loại và có thể tập hợp các bộ phận đó lại làm một. "._.Quan hệ" cũng là một phạm trù triết học nói lên sự phụ thuộc lẫn nhau của các yếu tố trong một hệ thống nhất định, đó là một trong những hình thức của sự thống nhất của các đối tượng và các thuộc tính của chúng. Như vậy, quan hệ số lượng là quan hệ để chỉ mối liên hệ giữa các phần tử hay giữa các bộ phận cấu thành các sự vật và hiện tượng của thế giới hiện thực. "Hình dạng" là đường viền tưởng tượng bao quanh một vật thể hữu hình, cho ta cảm nhận chung về sự hiện diện trước mắt, còn "không gian" dưới góc độ triết học được quan niệm là hình thức tồn tại cơ bản của vật chất. Khái niệm "không gian" dùng để chỉ sự cùng tồn tại và tính tách biệt của các sự vật với nhau, quảng tính, tính có cấu trúc và trật tự phân bố của chúng. Xuất phát từ những quan niệm trên chúng ta nhận thấy rằng, đối tượng của toán học có nguồn gốc từ thế giới hiện thực và định nghĩa của Ăngghen là hoàn toàn có cơ sở khoa học. Để giải quyết vấn đề cơ sở của toán học, Ăngghen đã đứng trên lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng khẳng định rằng, lao động giữ vai trò quyết định trong quá trình phát triển tư duy của con người. Đồng thời, theo Ăngghen, cơ sở chủ yếu nhất và gần gũi nhất của tư duy con người chính là sự cải tạo tự nhiên do hoạt động thực tiễn của con người, cùng với điều đó, trí tuệ của con người được phát triển phù hợp với việc họ đã học tập cách thức cải tạo tự nhiên như thế nào. Trên cơ sở đó, khi giải quyết vấn đề đối tượng của toán học, Ăngghen đã chú ý đến tính hai mặt của nó. Theo ông, toán học là một khoa học trừu tượng, nó nghiên cứu những đối tượng trừu tượng, mặc dù những đối tượng ấy suy cho cùng đều phản ánh hiện thực khách quan. Các trừu tượng toán học như số, điểm, đường, các nhóm, các cấu trúc v.v. chính là đối tượng trực tiếp của toán học. Đồng thời, Ăngghen cũng nhấn mạnh rằng, sự nghiên cứu các đối tượng trừu tượng không phải là mục đích tự thân của toán học, mà chung quy lại toán học có nhiệm vụ của mình là phản ánh hiện thực. Từ đó, đối tượng trực tiếp của toán học có mối liên hệ chặt chẽ với sự nghiên cứu những hình thể xác định của các mặt của thế giới hiện thực, đó là: Tự nhiên, xã hội và nhận thức của con người. Tất cả những cái đó có thể xem như là đối tượng gián tiếp của toán học. Tóm lại, đối tượng trực tiếp của toán học chính là các hệ thống các trừu tượng toán học, nó được hiểu là tập hợp các đối tượng trừu tượng cùng với các quan hệ tồn tại giữa chúng. Những đối tượng nói trên được lý tưởng hóa, có nghĩa là chúng là những đối tượng lý tưởng không tồn tại trong hiện thực khách quan, mà toán học thiết lập chúng để phản ánh thế giới hiện thực. Đối tượng trực tiếp của toán học rất trừu tượng, phong phú và đa dạng, nhưng chúng ta có thể nhận biết được nó nhờ các tính chất có trong định nghĩa của nó. Nếu như đối tượng trừu tượng là cái tương tự với đối tượng hiện thực, thì nó chỉ mô tả một số khía cạnh nhất định của khách thể vật chất bằng các tính chất đặc biệt nào đó được trừu tượng hóa khỏi tất cả các tính chất còn lại của đối tượng vật chất đó. Những đối tượng vật chất là những khách thể tồn tại một cách khách quan, chúng luôn luôn có nội dung và hình thức xác định. Trong toán học mối quan hệ giữa nội dung và hình thức được thể hiện một cách độc đáo. Những khái niệm toán học đã được hình thức hóa và khái quát hóa ở mức độ rất cao, chính vì vậy chúng có thể phản ánh rất nhiều nội dung thuộc các lĩnh vực khác nhau. Do vậy, có thể nói rằng, trong toán học chúng ta tạm lãng quên nội dung để tìm thấy nội dung mới ở trình độ cao hơn. Ăngghen viết: Nhưng để có thể nghiên cứu những hình thức và những quan hệ ấy dưới dạng thuần túy thì người ta phải hoàn toàn tách chúng ra khỏi nội dung của chúng, gạt nội dung ấy sang một bên và coi nó như một cái gì đó không quan trọng, làm như vậy, ta có được những điểm không có kích thước, những đường không có chiều dài và chiều rộng, những a và b, x và y, những hằng số và những biến số và chỉ sau cùng người ta mới đi đến những sản vật của sự sáng tạo tự do và những tư tưởng tự do của bản thân lý tính, tức là những số ảo [30, tr. 59]. Như vậy, rõ ràng rằng, trên thực tế cả khái niệm và cả đối tượng trừu tượng được thiết lập nhờ khái niệm đó đều dựa vào cùng một số dấu hiệu xác thực. Vì vậy, chúng ta có thể suy luận về các đối tượng trừu tượng trên cơ sở định nghĩa các khái niệm tương ứng. Ví dụ, chúng ta có thể suy luận về hình vuông dựa vào định nghĩa khái niệm hình vuông. Trên cơ sở đó, trong toán học người ta thường nhận được những tri thức mới bằng con đường suy luận lôgíc từ những định nghĩa và từ những khái niệm về các hình dạng tương ứng. Như vậy, toán học thuần túy có tính chất suy luận trừu tượng một cách thuần túy. Các đối tượng trực tiếp của toán học không chỉ đơn thuần là những đối tượng trừu tượng mà chúng còn là những đối tượng được lý tưởng hóa. Những đối tượng được lý tưởng hóa là những đối tượng trừu tượng, chúng được xác định dựa vào các dấu hiệu, mà các dấu hiệu này có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Trong toán học, sự lý tưởng hóa thường có ở việc đưa các đặc điểm số lượng của các đối tượng hiện thực tới những giới hạn nhất định. Ví dụ, đối tượng là điểm thì cả ba kích thước của khách thể hiện thực được đưa tới 0, còn đối với đường thì một kích thước đi tới vô hạn, còn hai kích thước tiến tới 0. Trên thực tế, sự lý tưởng hóa ở các mức độ khác nhau thường diễn ra trong tất cả các khoa học. Điều này được giải thích rằng, các khoa học trong khi nghiên cứu các đối tượng vật chất, đã thiết lập trực tiếp các quy luật của mình cho các đối tượng được lý tưởng hóa ở một mức độ nhất định nào đó. Khoa học càng chính xác thì sự lý tưởng hóa các đối tượng được nghiên cứu bởi nó càng có tính chất hệ thống hơn. Chẳng hạn, cơ học cổ điển chỉ có quan hệ với các trừu tượng hóa của vật thể như: điểm vật chất, vật thể rắn tuyệt đối và chất lỏng lý tưởng. Như vậy, trong toán học sự lý tưởng hóa có ý nghĩa đặc biệt, bởi vì đối tượng của toán học chỉ là các quan hệ số lượng và hình thức không gian của thế giới hiện thực được tách ra ở dạng thuần túy, có nghĩa là được trừu tượng hóa khỏi nội dung của chúng. Nhà toán học người Nga là Alecxanđrov đã nhận xét rằng, hình thức được trừu tượng hóa khỏi nội dung với tư cách như một khách thể độc lập, do đó, đối tượng trực tiếp của toán học chính là những số, chứ không phải tổng số các đối tượng và là những hình hình học chứ không phải là vật thể hiện thực trong tự nhiên. Ví dụ, trong tự nhiên có những mối liên hệ đa dạng của các đại lượng biến thiên, dạng thuần túy của mối liên hệ đó được thể hiện trong toán học như là những đối tượng lý tưởng - đó là hàm số, v.v.. Trong lịch sử toán học, vấn đề tồn tại của đối tượng toán học luôn luôn được nhiều trường phái triết học quan tâm đến, chẳng hạn, các số 1, các không gian n chiều và vô số chiều tồn tại theo nghĩa nào, v.v.. Từ quan điểm mácxít về đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học, lẽ đương nhiên, chúng ta không thể quy đối tượng toán học về các đồ vật đơn nhất được tri giác cảm tính như quan điểm duy tâm chủ nghĩa. Về vấn đề này, trong tóm tắt "Các bài giảng về lịch sử triết học của Hêghen", Lênin đã phê phán quan điểm của trường phái Pitago về sự tồn tại của đối tượng toán học, trong đó ông phủ nhận sự đồng nhất của các số với những cái cụ thể. Đồng thời, những thói quen coi đối tượng toán học như các đồ vật của thế giới hiện thực, tồn tại không phụ thuộc vào nhà toán học đã gây ra rất nhiều trở ngại, thậm chí sai lầm nghiêm trọng không những về nhận thức mà còn cả về phương diện lôgíc. Chính thói quen đó là nguồn gốc của những bế tắc trong việc xây dựng cơ sở và thiết lập các lý thuyết toán học. Chẳng hạn, nhà khoa học người Đức H. Hecxơ đã từng nói về đối tượng của toán học như sau: "Không thể loại bỏ được sự cảm nhận rằng, các công thức toán học tồn tại không phụ thuộc vào chúng ta và có lý trí riêng, rằng chúng khôn ngoan hơn chúng ta, khôn ngoan hơn ngay cả những người tìm ra chúng, rằng chúng ta khai thác được ở chúng nhiều hơn cái lúc đầu chúng ta đặt vào đó" [77, tr. 112]. Nếu quan niệm như trên thì việc đi tới chỗ thừa nhận "vật chất biến mất" chỉ "còn lại những phương trình" là một khoảng cách rất gần. Xét về bản chất, đối tượng trực tiếp của toán học khác cơ bản với đối tượng của các khoa học khác. Nếu đối với các khoa học tự nhiên, việc chỉ ra đối tượng nghiên cứu của chúng ít nhiều đơn giản, thì trong toán học công việc đó phức tạp hơn nhiều. Trình độ của tính gián tiếp và tính trừu tượng của các khái niệm và lý thuyết trong toán học cao hơn nhiều ở các khoa học tự nhiên. Mỗi khái niệm toán học là một cái gì đó trừu tượng so với hình ảnh cụ thể, cảm tính của các đồ vật và với tư cách là cái như vậy, nó là sản phẩm của sự vận động cụ thể trong hiện thực đến trừu tượng trong ý thức. Chẳng hạn, khi đếm số lượng các ghế trong phòng, chúng ta chỉ quan tâm đến số của chúng chứ không quan tâm đến hình dạng, màu sắc, kích thước, có nghĩa là chúng ta chỉ quan tâm đến một điều là liệu có đủ ghế cho một số người xác định ngồi hay không. Chủ nghĩa duy vật mácxít cho rằng, các đối tượng toán học trừu tượng không tồn tại giống như đối tượng độc lập nằm giữa chủ thể và đối tượng hiện thực, bởi vì chúng chỉ là những hình thức thể hiện của hiện thực và bản thân hiện thực xuất hiện không phải là tập hợp các sự vật đơn nhất, mà xuất hiện như một tổng thể phức tạp phân chia thành các bộ phận bên trong nó. Nếu chúng ta biến các phương tiện để biểu diễn đối tượng toán học thành bản thân các đối tượng hiện thực là không đúng. Các đối tượng toán học trừu tượng không phải là đối tượng của nhận thức, mà là cái cần có trong đầu óc con người để trong thực tế có thể nhìn thấy khía cạnh này hay khía cạnh khác của các quan hệ số lượng và các hình thức không gian. Như vậy, sự tồn tại của các đối tượng trực tiếp toán học luôn luôn gắn liền với sự phản ánh các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực. Quan điểm cho rằng toán học chỉ quan hệ với thực tại thông qua các đối tượng trừu tượng của bản thân toán học sẽ đóng khung các nhà khoa học trong khuôn khổ của các mảnh thực tại đã được lý tưởng hóa và không thể giải thích được sự kiện gia tăng của các tri thức toán học. Nhận thức toán học quan hệ không phải với các đối tượng trừu tượng, mà là với các hình thức không gian và quan hệ số lượng của thực tại. Nếu chúng ta chỉ thao tác một cách độc lập các đối tượng toán học trừu tượng, mà không liên hệ gì với hiện thực khách quan thì không thể đi tới những kết quả mới. Bản thân các đối tượng toán học trừu tượng chỉ là sản phẩm "tĩnh tại" của nhận thức và chỉ khi nào gắn liền với mặt này hay mặt khác của thực tại, chúng mới trở nên sinh động, phong phú. Đối tượng trực tiếp của toán học đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành các quy luật của lý thuyết toán học, bởi vì, các mối quan hệ trong toán học luôn luôn hiện diện một cách trực tiếp như là hệ thống các mối quan hệ giữa các đối tượng trừu tượng nào đó. Ví dụ, các tiên đề hình học được thiết lập một cách trực tiếp để phản ánh các mối quan hệ như tính liên thuộc, tính thứ tự, tính song song, tính liên tục, tính toàn đẳng, v.v. của các đối tượng hình học lý tưởng như điểm, đường, mặt, v.v.. Những mối quan hệ đó đã phản ánh một cách gần đúng mối quan hệ của các vật thể hiện thực. Từ lập trường duy vật mácxít, chúng ta nhận thấy rằng, toán học cũng như tất cả mọi khoa học, suy cho cùng đều nghiên cứu thế giới vật chất thực tại, chính vì thế trong các khái niệm và các quy luật của toán học đã phản ánh tính quy luật của thế giới đó. Nhưng trên thực tế, sự nghiên cứu của toán học có những nét đặc thù. Điều đó được thể hiện ở chỗ, trong khi các khoa học khác nhau về tự nhiên nghiên cứu hoặc là một dạng riêng biệt của vận động vật chất (như cơ học) hoặc một số dạng liên hệ với nhau (như sinh hóa), toán học không nghiên cứu một dạng đặc biệt nào của vận động vật chất. Điều này đã được Ph.Ăngghen khẳng định trong định nghĩa kinh điển: Đối tượng của toán học thuần túy là những hình không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực. Như vậy, đặc thù của toán học với tư cách là một khoa học riêng biệt là ở chỗ, toán học tách riêng một cách đặc biệt các quan hệ số lượng và các hình dạng không gian vốn có trong tất cả các đối tượng và các hiện tượng, đồng thời biến chúng thành đối tượng nghiên cứu của mình. Như vậy, toán học có một bình diện áp dụng hết sức rộng rãi, chính điều này đã gắn liền với tính trừu tượng và phiến diện của toán học. Từ việc xem xét toán học như là khoa học về các quan hệ số lượng và các hình dạng không gian của thế giới hiện thực đã cho chúng ta khả năng hiểu một cách đúng đắn nội dung khách quan của đối tượng toán học, cũng như khả năng nắm được xu hướng chung của sự phát triển toán học. Để làm sáng tỏ thực chất của vấn đề, trước hết chúng ta cần phải hiểu một cách khoa học các quan hệ số lượng và số lượng nói chung. Trước đây, đã từng có một thời kỳ khá dài, có thể nói đến giữa thế kỷ XIX, người ta vẫn hiểu số lượng là đại lượng. Điều này có nguyên nhân của nó, bởi vì trên thực tế mỗi đại lượng thông qua đơn vị đo lường đã chọn đều có thể biểu thị bởi một số, nên đã có rất nhiều sự mô tả về đại lượng liên tưởng với khái niệm số. Từ cách nhìn đó, toán học được định nghĩa như là một khoa học nghiên cứu những sự phụ thuộc khác nhau giữa các đại lượng hoặc giữa các số biểu thị chúng. Nhưng có một thực tế rất rõ ràng là: Cho dù các loại đại lượng khác nhau, và sự phụ thuộc giữa chúng có quan trọng đến đâu đối với các ứng dụng hiện thực của toán học, thì chúng cũng không thể bao trùm toàn bộ sự đa dạng của các quan hệ số lượng và hình dạng không gian khác nhau. Trong toán học nói chung, các khái niệm của số và hình phản ánh quan hệ về lượng đơn giản nhất, bởi vì, các hình trong không gian thông thường là đối tượng đầu tiên của sự nghiên cứu hình học, cho nên theo thói quen, các quan hệ và các tính chất mà hình học nghiên cứu được thừa nhận là các dạng không gian. Nhưng rõ ràng các hình trong không gian trừu tượng nhiều chiều hoặc vô hạn chiều không thể đồng nhất với các hình của không gian ba chiều thông thường. Mặc dù những hình đó phản ánh các tương quan thực tế nào đó của thế giới thực tại, nhưng không phải là các dạng không gian theo ý nghĩa thông thường của ngôn ngữ. Nhà toán học hiện đại người Nga là A.N. Kolmôgôrôv cho rằng, chúng ta có thể xem các dạng và các quan hệ không gian bất kỳ như là trường hợp riêng của các quan hệ số lượng, bởi vì chúng biểu thị đặc tính của đối tượng và hiện tượng chỉ ở bề ngoài, không phân biệt về nội dung cụ thể của chúng. Việc tách biệt các dạng không gian từ lớp tổng quát các quan hệ về lượng chỉ nhấn mạnh đặc điểm của các dạng này và chỉ ra tính độc lập tương đối của hình học trong hệ thống toán học. Với quan điểm đó, chúng ta có thể xác định một cách ngắn gọn rằng, toán học là một khoa học về các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực, tức là các quan hệ mà trong phạm vi nhất định không tùy thuộc nội dung cụ thể của các đối tượng và các hiện tượng. Tóm lại, tư tưởng về tập hợp, ánh xạ, đẳng cấu với phương pháp tiên đề hiện đại là tư tưởng lớn của thời đại, đặc trưng cho giai đoạn "toán học hiện đại". Theo quan điểm duy vật biện chứng, đối tượng trực tiếp của toán học là các hệ thống những đối tượng trừu tượng được lý tưởng hóa, không tồn tại trong hiện thực khách quan, chúng phản ánh nội dung phong phú của toán học. Chủ nghĩa duy tâm đã vin vào điều này để khẳng định tính thứ nhất của tư tưởng và hình thành quan niệm duy tâm triết học về toán học. Bởi vậy, trong lịch sử phát triển của khoa học không phải ngẫu nhiên mà số lượng những nhà toán học nổi tiếng, thậm chí rất lỗi lạc là những nhà duy tâm triết học lại lớn hơn rất nhiều so với số lượng những nhà duy tâm của các khoa học tự nhiên khác. Điều này cũng dễ hiểu, bởi vì các khoa học như vật lý học, hóa học, sinh vật học v.v. khác với toán học ở chỗ, đối tượng trực tiếp của chúng là những khách thể vật chất cụ thể trong thế giới khách quan. Chính vì vậy, việc xem xét các đối tượng của chúng dễ hơn rất nhiều so với đối tượng trừu tượng của toán học. Xuất phát từ quan niệm về tính thứ nhất của tư tưởng, triết học duy tâm đã khẳng định rằng, đối tượng trực tiếp của toán học tồn tại độc lập với thế giới vật chất, có trước thế giới vật chất, thậm chí sinh ra thế giới vật chất, do đó đối tượng trực tiếp của toán học không liên hệ gì với hiện thực khách quan. Chẳng hạn, Platon quan niệm rằng, những khái niệm toán học ở vị trí trung gian giữa thế giới của các vật có tri giác và thế giới của những ý niệm, đồng thời chúng là những hình bóng yếu ớt của những ý niệm đó. Điều này chứng tỏ rằng, triết học duy tâm đã đưa ra cách giải quyết vấn đề mối liên hệ của toán học với hiện thực khách quan hoàn toàn trái ngược với triết học mácxít. Ví dụ, theo quan điểm của Hê-ghen, tất cả các định nghĩa toán học và mọi sự phân chia các đối tượng thực tế do ý thức thực hiện đều không phù hợp cho bản thân đối tượng, mà chúng được ý thức đem đến một cách tùy ý và đều ở ngoài các đối tượng đó. Ông khẳng định rằng, các số kết hợp lại và phân chia ra như thế nào, điều đó hoàn toàn chỉ phụ thuộc vào sự giả định của người nhận thức. Trong thời kỳ cổ đại, khuynh hướng nổi bật là khuynh hướng coi toán học và các đối tượng của nó không phải như là những kiến tạo có cái gì đó xa lạ với thế giới hiện thực được tri giác cảm tính, mà trái lại như là các bộ phận cấu thành thế giới đó. Quan điểm này thể hiện đặc biệt rõ nét trong quan niệm của trường phái Pitago về các số. Thời cổ đại, trường phái Pitago coi các số là khởi thủy của toàn bộ những cái đang tồn tại. Những người thuộc trường phái này đã cố gắng chỉ ra trong các số và các quan hệ về số những nét tương tự với các hiện tượng của thế giới bên ngoài được tri giác cảm tính. Đối với họ, tất cả các sự vật cảm giác được, đều do các số hợp thành. Còn đối với Platon, trong các đối thoại của ông đã thể hiện rất rõ khuynh hướng xây dựng vũ trụ theo mẫu các dạng thức toán học và những mẫu tương tự với chúng. Trong khi phê phán quan điểm duy tâm của trường phái Pitago, trong "Tóm tắt các bài giảng về lịch sử triết học của Hê-ghen" Lênin viết: "Các số, chúng ở đâu? phân cách bởi không gian, liệu tự chúng có gia nhập vào bầu trời của các ý niệm không? chúng không phải trực tiếp là bản thân đồ vật bởi vì đồ vật lại là cái gì khác với số - đồ vật không có tí gì giống với số" [25, tr. 225]. Theo quan điểm của chủ nghĩa kinh viện, toán học được xem là khoa học tiên nghiệm hoàn toàn độc lập với kinh nghiệm, thậm chí có trước kinh nghiệm. Nếu quan niệm trên mà đúng thì mọi tri thức toán học hoàn toàn tách rời với những hoạt động thực tiễn của con người. Do vậy, quan điểm đó không thể đưa ra được những cơ sở khách quan để xem xét mối quan hệ của toán học với thế giới hiện thực. Ăngghen, trong khi phê phán triết học duy tâm về toán học, đã chỉ ra một tình tiết rất quan trọng để đi tới một quan niệm đúng đắn về mối quan hệ của toán học và hiện thực. Tình tiết đó được thể hiện ở chỗ, những quan hệ số lượng trong thế giới khách quan được tách ra ở dạng thuần túy đòi hỏi phải được trừu tượng hóa khỏi nội dung như là một đối tượng nghiên cứu. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là sự tồn tại của những quan hệ số lượng hoàn toàn ở ngoài nội dung và ở ngoài hiện thực khách quan. Trong khi trừu tượng hóa nội dung, chủ nghĩa duy tâm đã tuyệt đối hóa khả năng trừu tượng hóa hình thức khỏi nội dung, thậm chí xem việc nghiên cứu hình thức là riêng biệt. Từ đó, chủ nghĩa duy tâm đã hoàn toàn tách rời các quan hệ số lượng khỏi thế giới hiện thực và coi chúng là tiên nghiệm, là độc lập tuyệt đối với hiện thực. Chẳng hạn, Poanhcarê là một nhà toán học, lý học người Pháp nổi tiếng, nhưng trong triết học ông lại có những quan điểm duy tâm. Chẳng hạn, ông đã đưa ra những luận điểm: "Không phải giới tự nhiên đem lại cho chúng ta (hay ép buộc chúng ta phải nhận) những khái niệm về không gian và thời gian, mà chính chúng ta đem những khái niệm ấy lại cho giới tự nhiên"; "phàm cái gì, không phải là tư tưởng đều là hư vô thuần túy" [24, tr. 312]. Xuất phát từ cơ sở đó, ông quan niệm rằng, toán học chỉ là sản phẩm của hoạt động tự do của trí tuệ con người. Như vậy, nếu như quan điểm duy tâm là đúng thì bắt buộc chúng ta phải thừa nhận rằng, lịch sử toán học cũng như lịch sử của toàn bộ khoa học không phải là một quá trình hợp quy luật. Đồng thời cũng phải thừa nhận rằng, sự phát triển của toán học là một dãy những khám phá ngẫu nhiên, cái nọ theo sau cái kia, không một ai và không khi nào có thể thấy trước được tính chất liên tục và vị trí của chúng. Tóm lại, nếu như toán học chỉ là sản phẩm của tư duy thuần túy, là tiên nghiệm, là không cần phải liên quan gì đến các tính chất và các mối quan hệ của thế giới hiện thực, thì câu hỏi xác đáng sau đây sẽ được trả lời ra sao: Vì sao toán học lại được áp dụng một cách rộng rãi để giải quyết những nhiệm vụ thực tiễn khác nhau? Từ lập trường của chủ nghĩa duy tâm, chúng ta không thể nói gì về bất cứ mối liên hệ nào giữa toán học với hiện thực và do đó đành phải thừa nhận rằng, nếu có mối liên hệ thì đó chỉ là ngẫu nhiên. Sự thật là toán học không nghiên cứu các quan hệ trực tiếp giữa các đối tượng hiện thực và chính bản thân các đối tượng đó, mà chỉ nghiên cứu các đối tượng trừu tượng. Chính điều này đã là nguyên nhân đưa nhiều nhà khoa học giỏi về chuyên môn nhưng yếu kém về triết học đi đến những kết luận duy tâm về mối tương quan giữa toán học và hiện thực khách quan. Ví dụ, chủ nghĩa trực giác tuyên bố rằng, toán học là khoa học hoạt động sáng tạo, phong phú về sự thiết lập các cấu trúc tưởng tượng, mà không phải là khoa học nghiên cứu khía cạnh này hay khía cạnh khác của thế giới vật chất. Một trào lưu triết học khác là chủ nghĩa quy ước luận khẳng định rằng, các đối tượng nghiên cứu của toán học không có quan hệ gì với thế giới vật chất, mà chúng chỉ là sự thỏa thuận có điều kiện của các nhà toán học với nhau, chúng không phải là cái gì khác, mà chỉ là các quy tắc của trò chơi độc đáo. Theo lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, suy cho cùng toán học cũng như các khoa học khác chỉ là sự phản ánh hiện thực. Chính vì vậy, những khái niệm toán học đều có nguồn gốc từ thế giới hiện thực và liên hệ chặt chẽ với thế giới hiện thực. Trong tác phẩm "Chống Đuy rinh", Ph.Ăngghen viết: "Những khái niệm về số lượng và hình dáng không thể rút ra từ đâu khác, mà chỉ là từ thế giới hiện thực mà thôi. Mười ngón tay mà người ta dùng để tập đếm, nghĩa là để làm bài toán số học đầu tiên, có thể là gì cũng được, nhưng không phải là sản phẩm mà lý tính tự do sáng tạo ra" [30, tr. 58]. Từ đó chúng ta nhận thấy rằng, bản chất của toán học như là một khoa học nhận thức chính là ở sự phản ánh các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực, những quan hệ này được tách khỏi hiện thực để nghiên cứu ở dạng thuần túy. Nếu chỉ bằng cảm xúc thì chúng ta không thể nhận thấy được những quan hệ đó, mà ta chỉ có thể tách chúng ra nhờ tư duy trừu tượng trên cơ sở tổng hợp và lý tưởng hóa. Để có được một quan niệm đúng đắn về đối tượng của toán học, cùng với việc phê phán chủ nghĩa duy tâm, chúng ta cũng cần phải chỉ ra những sai sót cơ bản của cách tiếp cận siêu hình về bản chất của các lý thuyết toán học. Theo quan điểm duy vật biện chứng, sự áp dụng rộng rãi của toán học vào việc giải quyết những vấn đề cụ thể của thực tiễn và của các khoa học khác đã được quy định bởi tính thống nhất vật chất của thế giới, bởi mối quan hệ qua lại của các mặt: Nội dung và hình thức, cụ thể và trừu tượng, số lượng và chất lượng, v.v.. Toán học nghiên cứu các quan hệ số lượng và các hình dạng không gian của thế giới hiện thực, những quan hệ và hình dạng này phù hợp với những phạm vi đặc trưng về phương diện chất lượng của hiện thực. Đồng thời, chính những quan hệ rất đa dạng về mặt chất lượng đã yêu cầu những lý thuyết toán học được thiết lập phải mô tả chúng một cách phù hợp. Như vậy, sự thống nhất, mối liên hệ qua lại và tính toàn vẹn tồn tại trong thế giới khách quan đã tìm được sự thể hiện của mình trong sự thống nhất và đa dạng của tri thức toán học. Sự đa dạng về chất của các hiện tượng trong thế giới hiện thực, mối liên hệ và sự thống nhất của chúng đã tìm được sự mô tả gián tiếp của mình trong các bộ môn toán học khác nhau. Chẳng hạn, toán học sơ cấp nghiên cứu các quan hệ số lượng giữa những đại lượng bất biến. Việc chuyển sang nghiên cứu những đại lượng biến thiên đã dẫn đến sự ra đời bộ môn giải tích toán học. Toán học hiện đại có thể được định nghĩa như một khoa học về các quan hệ cấu trúc số lượng với bản chất đa dạng nhất. Trong phạm vi mỗi giai đoạn phát triển của toán học, ta có thể phân ra những bộ môn và những phần tương ứng. Chẳng hạn, số học và hình học, đại số và giải tích, tôpô học và lý thuyết tập hợp, v.v.. Một vấn đề cần phải lưu ý là, trong khi xem xét sự đa dạng về chất của các lý thuyết toán học, chúng ta thường nhận thấy nổi lên một số sai lầm cơ bản do quan niệm siêu hình. Thứ nhất, đằng sau sự đa dạng đó, người ta không nhìn thấy sự thống nhất và mối liên hệ chặt chẽ giữa các lý thuyết toán học. Từ đó những nhà triết học siêu hình đi đến kết luận rằng, dường như toán học hiện đại đã bắt đầu nghiên cứu những đặc điểm chất lượng của các đối tượng và các quá trình. Trong khi nhìn thấy một cách đích thực những biến đổi cơ bản trong toán học ngày nay, những nhà siêu hình đã quên mất một điều, trong toán học hiện đại và tất cả toán học các giai đoạn trước đó, những đối tượng trực tiếp của chúng đã được trừu tượng hóa khỏi nội dung cụ thể của mình, đồng thời họ cũng quên luôn cả mối liên hệ và sự phân biệt sâu sắc đang tồn tại trong việc nghiên cứu các đại lượng và các đối tượng toán học trừu tượng hơn. Một sai lầm nữa của các nhà siêu hình là ở chỗ xem thường sự phân biệt về chất giữa những quan hệ số lượng được nghiên cứu bởi những lý thuyết toán học khác nhau. Từ đó, họ đã bỏ qua luôn những sự phân biệt vốn có về chất trong chính các quan hệ số lượng. ở đây cần phải thấy rằng, cách tiếp cận đúng đắn và khoa học đối với vấn đề đã cho là xem xét một cách biện chứng mối quan hệ không những giữa toán học và các khoa học khác, mà còn giữa chính các lý thuyết toán học với nhau. Cách nhìn nhận như thế đòi hỏi phải tính đến các mối liên hệ, sự thống nhất và sự phân biệt giữa các lý thuyết toán học và các môn khoa học khác. Điều này đã được thể hiện rất rõ trong tác phẩm "Biện chứng của tự nhiên" của Ăngghen: Phép biện chứng được coi là khoa học về những quy luật phổ biến nhất của mọi vận động. Điều đó có nghĩa là những quy luật ấy phải có hiệu lực đối với vận động trong giới tự nhiên và trong lịch sử loài người cũng như đối với vận động của tư duy. Một quy luật như thế có thể được nhận thức trong hai lĩnh vực của ba lĩnh vực đó, hay thậm chí trong cả ba lĩnh vực, mà anh chàng siêu hình cổ hủ vẫn không thể biết được rằng anh ta chỉ gặp cùng một quy luật mà thôi [30, tr. 768]. Theo V.I. Lênin, sự nhận thức của con người không đi theo đường thẳng, mà theo một đường cong tiến dần vô hạn tới một loạt các vòng tròn, theo một đường xoắn ốc. Trên đường cong ấy, một đoạn bất kỳ, một mảnh, một mẩu của nó cũng có thể biến thành một đường thẳng độc lập một cách phiến diện. Nếu như lúc ấy chúng ta đứng ở đằng sau những cây lớn không thể nhìn thấy rừng, nó sẽ dẫn ta tới một vùng lầy, đến những định kiến tôn giáo thần bí. Đồng thời, V.I. Lênin nhấn mạnh rằng, tính chất theo đường thẳng và phiến diện, tính mộc mạc và thoái hóa, chủ nghĩa chủ quan và sự mù quáng chủ quan, đó là những nguồn gốc của chủ nghĩa duy tâm. Tóm lại, chúng ta không thể đồng ý với những quan điểm phi mácxít về việc xem xét sự nhận thức của toán học hoàn toàn tách khỏi tự nhiên và tách khỏi những hoạt động thực tiễn của con người. Vấn đề bản chất của đối tượng toán học chỉ được làm sáng tỏ khi đặt nó trong mối quan hệ với thế giới hiện thực. Tách rời toán học với hiện thực cũng có nghĩa là làm cho toán học không còn sức sống và mất hết khả năng ứng dụng. 1.2. Các phương pháp trừu tượng hóa toán học và sự thiết lập những khái niệm xuất phát của toán học Như chúng ta đã biết, đối tượng của toán học chính là các hình thức không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực. Đó là những hình dạng và những quan hệ được tách ra ở dạng thuần túy và hoàn toàn được trừu tượng hóa khỏi nội dung của chúng. Vì vậy, ở đây có một vấn đề cần phải làm sáng tỏ, đó là: Những quan hệ số lượng và những hình thức không gian được tách ra một cách thực sự khỏi nội dung của chúng bằng cách nào? Chính việc khảo sát các phương pháp cơ bản của sự trừu tượng hóa trong toán học, mà nhờ đó ta có thể thiết lập được những khái niệm xuất phát của toán học như số, hình, v.v., đã cho phép chúng ta khả năng hiểu tốt hơn quan hệ của các khái niệm toán học với hiện thực, đồng thời phân biệt được sự trừu tượng hóa trong toán học với sự trừu tượng hóa trong các khoa học khác. Từ việc xem xét quá trình lịch sử phát triển của toán học, chúng ta nhận thấy rằng, các phương pháp trừu tượng hóa phổ biến nhất trong toán học là sự trừu tượng đồng nhất hóa, sự trừu tượng phân tích hoặc cô lập và các sự trừu tượng khác nhau về khả năng thực hiện được, nhưng trong đó sự trừu tượng đồng nhất hóa là phương pháp cơ bản nhất, nhờ đó ta suy ra được tính chất hoặc quan hệ chung cho tất cả các đối tượng được xét. Chính vì vậy, trừu tượng đồng nhất hóa thường được gọi là trừu tượng khái quát hóa. Đứng trên quan điểm của lý thuyết kinh nghiệm về trừu tượng hóa, quá trình tách các tính chất toán học của các đối tượng như là số và hình được thực hiện ở việc tước bỏ dần dần tất cả những tính chất không toán học và cuối cùng đi đến các tính chất toán học phải tìm. Nhưng phương pháp đó cực kỳ đơn giản hóa bức tranh thực tế, bởi vì, sự vật có một tập hợp vô số các tính chất, đồng thời các tính chất toán học lại không tồn tại dưới dạng "thuần túy" trong bản thân các đối tượng. Hạn chế này của lý thuyết kinh nghiệm đã bị các nhà duy tâm sử dụng để chống đối quan điểm duy vật đối với toán học. Trong khi đó, việc nghiên cứu chi tiết các phương pháp trừu tượng hóa để hình thành các khái niệm toán học đã chứng tỏ một cách rõ ràng tính chất duy vật biện chứng của các phương pháp này và sự sai l._.ột số các hệ quả lôgic của chúng, tức là thử nghiệm các định lý. Khi thực hiện điều đó, chúng ta giả sử đã cho hệ tiên đề được xét cùng với sự minh họa của nó, tức là về thực chất ta đã chuyển từ lĩnh vực toán học thuần túy sang lĩnh vực toán học ứng dụng. ở đây, chính toán học thuần túy và lôgic cho phép chúng ta nhận được các hệ quả, trong đó có một số hệ quả có thể kiểm tra được bằng thực nghiệm. ý nghĩa to lớn của các hệ quả trong quá trình xác lập chân lý toán học chính là ở chỗ đó. Nhưng việc làm đó không phải là cốt yếu trong quá trình thử nghiệm các lý thuyết toán học. ở đây hoàn toàn không có sự biến các khẳng định của toán học thuần túy thành các khẳng định của khoa học thực nghiệm. Chẳng hạn, trong vật lý thì không thể có một sự thử nghiệm nào về lý thuyết toán học trừu tượng. Thông thường, để kiểm tra người ta chọn các hệ quả của các tiên đề và biến chúng thành các giả thuyết thí nghiệm, mà những giả thuyết đó cho phép ta kiểm tra được bằng thực nghiệm. Ví dụ, trong hình học người ta thường dùng định lý về tổng các góc trong một tam giác để kiểm tra thực nghiệm. Phương pháp thử nghiệm gián tiếp các khái niệm xuất phát và các tiên đề toán học không phải là một đặc điểm gì riêng biệt của tri thức toán học. Trong các khoa học khác, các nguyên lý xuất phát cũng không thể kiểm tra trực tiếp được bằng thực nghiệm. Chẳng hạn như trong cơ học cổ điển của Niu tơn, chúng ta đã gặp một nguyên lý như thế ở định luật quán tính. Định luật này nói rằng, một vật thể bất kỳ nếu không có ngoại lực tác động lên thì nó sẽ giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động đều. Điều hiển nhiên là trong bất cứ thí nghiệm nào, chúng ta cũng không thể loại trừ hoàn toàn ảnh hưởng của các ngoại lực và như vậy không thể kiểm tra được tính đúng đắn của định luật thứ nhất của chuyển động. Nhưng chúng ta có thể nhận được các hệ quả từ các định luật cơ bản của cơ học, một số trong chúng có thể kiểm tra được bằng thực nghiệm. Phương pháp kiểm tra gián tiếp như vậy chẳng qua là sự áp dụng cụ thể phương pháp giả thuyết suy diễn, nó đóng vai trò quan trọng trong vật lý và trong các khoa học phát triển khác. ở đây, một số các giả thuyết được sử dụng với tư cách là các tiên đề của kết luận. Trên cơ sở xác nhận các hệ quả của các giả thuyết này mà chúng ta có thể phán đoán về tính chân lý của bản thân các giả thuyết. Phương pháp thử nghiệm như thế đã được sử dụng rộng rãi trong khoa học hiện đại. Nhà khoa học nổi tiếng Anhxtanh đã chỉ ra rằng, hệ thống hoàn thiện của vật lý lý thuyết gồm các khái niệm, các nguyên lý cơ bản liên quan đến các khái niệm đó và các hệ quả rút ra từ chúng bằng con đường suy diễn lôgic. Chính các hệ quả này phải phù hợp với từng thí nghiệm của chúng ta. Có thể nói rằng, để kiểm nghiệm tính chân lý của các mệnh đề toán học bằng thực nghiệm, trước hết chúng ta phải đưa vào sự giải thích tương ứng để biến các tiên đề toán học thành các giả thuyết trung gian, mà tính chất đúng hoặc sai của chúng được xác lập bằng thực nghiệm. Ví dụ, với cách giải thích vật lý, các tiên đề toán học trở thành giả thuyết vật lý, từ đó xác lập tính đúng hoặc sai của các giả thuyết đó bằng thực nghiệm. Để làm được điều đó, thông thường người ta kiểm tra bằng thực nghiệm một số các hệ quả của các giả thuyết. Nhưng cần nhớ rằng, sự xác nhận hoặc phủ định các hệ quả đó chứng tỏ sự xác nhận hoặc phủ nhận một cách trực tiếp các giả thuyết, chứ không phải là sự xác nhận hoặc phủ định bản thân các tiên đề toán học. Chính sự xác nhận bằng thực nghiệm các hệ quả của tiên đề đã mang lại cho chúng ta một bằng chứng gián tiếp về sự phù hợp của các hệ thống toán học đối với việc nghiên cứu các tính chất và các quan hệ của thực tại. Như vậy, trong toán học con đường đi từ thực nghiệm đến lý thuyết tỏ ra rất phức tạp, nó phải trải qua các lý thuyết trung gian có tính chất tự nhiên học, bởi vì các lý thuyết này đứng "gần" thực tại hơn so với toán học. Khi chúng ta nói về sự xác nhận bằng thực nghiệm các hệ quả được rút ra một cách lôgic từ hệ tiên đề nào đó, hoặc từ những nguyên lý cơ bản của khoa học này hay khoa học khác, thì không thể coi sự xác nhận như thế là xong hẳn mà không cần phải xem xét lại, sửa chữa và làm chính xác thêm nữa. Xét từ góc độ lôgic thì rõ ràng không có một thí dụ nào được đưa ra để minh họa một giả thuyết (thậm chí cả một tổng bất kỳ những thí dụ) mà lại có thể xác nhận giả thuyết đó một cách hoàn toàn được, cho dù chỉ cần một thí dụ mâu thuẫn với nó là có thể gây nên một sự xáo trộn rất lớn, thậm chí dẫn tới một cuộc khủng hoảng trong khoa học. Chẳng hạn, các nghịch lý xuất hiện trong quan niệm về đại lượng vô cùng bé hoặc nghịch lý xuất hiện trong lý thuyết tập hợp của Cantor. Đương nhiên, càng nhiều thí dụ xác nhận giả thuyết thì càng thể hiện sự chắn chắn nó là chân lý. Nhưng cũng hiển nhiên chúng ta không thể khẳng định rằng, giả thuyết đó bắt buộc phải là chân lý thực sự. Một sự tổng quát hóa thực nghiệm, hoặc một giả thuyết không bao giờ là hệ quả lôgic của các tiên đề của chúng. Sự thực, chúng luôn luôn bao hàm một cái gì đó nhiều hơn, chính vì vậy kết luận rút ra ở đây không có tính chất chắc chắn hoàn toàn. Cùng với thời gian, một điều có thể xảy ra là các kết quả của thí nghiệm và quan sát mới sẽ làm giảm bớt mức độ xác nhận giả thuyết hoặc thậm chí hoàn toàn phủ nhận nó. Như vậy, sự xác nhận các hệ quả của các giả thuyết chỉ có thể xem như là chứng tỏ giả thuyết có nhiều phần chắc là đúng, chứ tuyệt nhiên không thể coi đó là chứng tỏ tính xác thực của giả thuyết đó. Điều này có ý nghĩa phương pháp luận rất quan trọng, bởi vì nó chỉ ra tính tương đối của sự xác nhận một giả thuyết khoa học bất kỳ. Điều này rất phù hợp với luận điểm của Lênin về tính tương đối của tiêu chuẩn thực tiễn với tính cách là tiêu chuẩn của chân lý. Chẳng hạn như trong cơ học cổ điển thì khối lượng m của mọi vật thể được coi là một đại lượng bất biến trong mọi trường hợp, nhưng từ khi thuyết tương đối của Anhxtanh ra đời, một kết luận quan trọng đã được rút ra là khối lượng của một vật không phải là một đại lượng bất biến, mà được thay đổi theo tốc độ vận tốc của nó theo công thức Trong đó: - m: khối lượng của vật khi nó chuyển động với vận tốc v. - m0: là khối lượng của vật khi đứng yên. Chúng ta hoàn toàn nhận thấy rằng điều vừa nêu trên áp dụng cho tất cả những khẳng định, trong đó có các tiên đề toán học, thông qua một sự giải thích xác định, chúng được biến thành các giả thuyết nào đó của các khẳng định ấy. Nhưng ở đây, chúng ta không thể nói gì trực tiếp về bản thân các tiên đề toán học mà không xem xét theo sự giải thích như thế được. Quá trình thử nghiệm lý thuyết toán học, nhất là các lý thuyết có nội dung phong phú, còn mang tính chất phức tạp hơn nhiều. Như chúng ta đã biết, một lý thuyết toán học có nội dung phong phú là một hệ thống suy diễn các mệnh đề. Một số trong các mệnh đề đó cho phép một sự kiểm tra thực nghiệm, vì thế chúng là các khẳng định với mức độ trừu tượng thấp hơn so với các khẳng định mà từ đó chúng được rút ra. Về nguyên tắc, trong thành phần của lý thuyết hoàn toàn có thể có những khẳng định mà mức độ trừu tượng của chúng vượt xa các khẳng định có thể kiểm tra được bằng thực nghiệm. Đồng thời, những khẳng định có mức độ trừu tượng cao sẽ chỉ đóng vai trò phụ, là tiên đề của các kết luận có mức độ tổng quát thấp hơn. Như vậy, rõ ràng không phải tất cả mọi lý thuyết toán học đều phải có ứng dụng thực tế. Khi nói về sự thử nghiệm một lý thuyết thì người ta không chú ý tới các bộ phận riêng biệt của nó, mà người ta xét nó trong toàn thể, người ta nắm lấy phần cốt lõi của chúng. Để đảm bảo tính hài hòa lôgic trong bản thân lý thuyết, có khi cần phải đưa vào những khâu nào đó không cho phép kiểm tra được bằng thực nghiệm. Trong thực tế, bản thân tính chất thử nghiệm về tri thức toán học không phải là bất biến trong quá trình phát triển của khoa học và thực tiễn xã hội. Nếu ở các giai đoạn trước kia của sự phát triển xã hội, toán học đã liên hệ chặt chẽ với sản xuất, thì về sau này mối liên hệ đó trở nên phức tạp hơn nhiều. Nền sản xuất xã hội ngày càng ảnh hưởng vào toán học qua các nhu cầu của các khoa học tự nhiên và khoa học kỹ thuật. Phép tính vi phân và tích phân đã trao cho các nhà khoa học một công cụ có hiệu lực để giải nhiều bài toán quan trọng của cơ học các thiên thể và của các vật thể đã từng tồn tại trên trái đất. Đến lượt mình, việc nghiên cứu các định luật chuyển động cơ học ở thế kỷ thứ XVII và XVIII là do các vấn đề cấp bách của sự phát triển sản xuất và kỹ thuật thúc đẩy. Cùng với sự thay đổi tính chất mối liên hệ của toán học với sản xuất, sự kiểm tra tính chân lý của các lý thuyết toán học bây giờ đã được thực hiện thông qua hầu hết các khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Như chúng ta đã biết, trong thời kỳ đầu của sự phát triển giải tích toán học, khi mà các nguyên lý cơ bản của nó chưa được hiểu thấu một cách tường tận, người ta đã nhìn thấy tính đúng đắn của các kết luận nhận được chính là trong sự phù hợp của chúng với thí nghiệm và thực tế. Các kết luận này phù hợp với các kết quả của cơ học và khoa học tự nhiên chính xác nói chung. Cùng với thời gian, mối liên hệ của toán học với tự nhiên học và kỹ thuật không hề bị suy giảm, mà trái lại ngày càng được tăng cường. Mối liên hệ đó gắn bó đến mức ta có thể nói rằng, đến một thời kỳ nào đó toán học được phát triển và thử nghiệm trên tài liệu của khoa học mà trước hết là của khoa học tự nhiên và kỹ thuật, chứ không phải là của thực tế. Nhưng chính mối liên hệ đó lại chứng minh sự phụ thuộc của quá trình phát triển của toán học với các đòi hỏi của thực tiễn xã hội vật chất của loài người. Nhưng sẽ là sai sót, nếu chúng ta cố quy toàn bộ sự phát triển của toán học về việc phục vụ các vấn đề sản xuất và các khoa học gần với toán học. Về vấn đề này, chủ nghĩa duy vật biện chứng, trong khi khẳng định thực tiễn chính là cơ sở quyết định của nhận thức đã hoàn toàn không phủ nhận tính độc lập tương đối của sự phát triển lý thuyết. Trong khi nói về thực tiễn như là tiêu chuẩn của chân lý, nếu chúng ta lại khẳng định luôn rằng mỗi một lý thuyết toán học mới có thể được thực tiễn xác nhận ngay lập tức, thì đó là một nhận thức không đúng. Thực tiễn có khi nói lên rất chậm tiếng nói quyết định của mình, bởi vì bản thân thực tiễn cũng tự phát triển và có cái mà hôm nay nó không thể làm nổi thì ngày mai nó có thể khắc phục được. Khi Lôbasepxki phát triển hình học Hybecbôlic thì thực tiễn của thời đại bấy giờ không thể khẳng định được tính chân thực của nó. Hơn nữa, thực tiễn có vẻ như chỉ xác nhận tính chân thực của hình học Ơclít. Đó là một trong những lý do cơ bản đã làm cho ngay cả những nhà toán học vĩ đại nhất ở cuối thế kỷ XIX cũng có thái độ thận trọng hoặc là phản đối rõ rệt đối với hình học Hypecbôlíc. Nhưng chẳng bao lâu sau khi Lôbasepxki từ trần nhà toán học Bentrami đã phát hiện ra rằng, trong không gian Ơclít, với những mẩu mặt có độ cong âm không đổi, hình học của Lôbasepxki được thực hiện, trong đó "đường thẳng" ở đây là những "đường trắc địa". Sau đó ông đã xây dựng được một mẫu hoàn chỉnh về hình học không gian ba chiều của Lôbasepxki từ những đối tượng của hình học Ơclít và do đó đã chứng minh rằng những mệnh đề của hình học Hypecbolic cũng khách quan như là những chân lý khách quan của hình học Ơclít. Ngoài ra, về sau này tính chân thực và giá trị thực tiễn của hình học phi Ơclít không những chỉ được toán học xác nhận mà còn được vật lý học xác nhận nữa (như thuyết tương đối; học thuyết về cấu tạo vật chất v.v.). Như vậy, mặc dù xem thực tiễn là tiêu chuẩn cao nhất của chân lý, chúng ta cũng không thể tuyệt đối hóa điều đó một cách siêu hình để rồi đi đến chỗ phủ nhận tiêu chuẩn lôgic của chân lý toán học. Luận điểm về tính tương đối của tiêu chuẩn thực tiễn với tính cách là tiêu chuẩn của chân lý đã được Lênin trình bày một cách rất sinh động trong tác phẩm nổi tiếng "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán". Trong khi khẳng định quan điểm về đời sống, về thực tiễn phải là quan điểm thứ nhất và cơ bản nhất của lý luận về nhận thức, Lênin đã nhấn mạnh: Dĩ nhiên không nên quên rằng tiêu chuẩn thực tiễn, xét về thực chất, không bao giờ có thể xác nhận hoặc bác bỏ một cách hoàn toàn một biểu tượng nào đó của con người, dù biểu tượng ấy là thế nào chăng nữa. Tiêu chuẩn đó cũng khá "không xác định" để cho phép các hiểu biết của con người trở thành một cái "tuyệt đối"; đồng thời nó cũng khá xác định để có thể tiến hành đấu tranh quyết liệt chống tất cả các thứ chủ nghĩa duy tâm và bất khả tri [24, tr. 167]. Đó là một sự bổ sung hết sức quan trọng vào lý luận mácxít về vai trò của thực tiễn với tính cách là tiêu chuẩn của chân lý. Từ lập trường đó chúng ta nhận thấy rằng, trong một khoa học trừu tượng như toán học, đặc điểm nêu trên của sự phát triển lý thuyết càng hết sức rõ nét. Sự phát triển độc lập tương đối của lý thuyết diễn ra theo các quy luật được quyết định bởi đối tượng nghiên cứu và biểu thị cụ thể trong lôgic vận động của các khái niệm của nó. Xuất phát từ các tài liệu khoa học sẵn có, các nhà khoa học đã tổng quát hóa hoặc hạn chế một số các nguyên lý và các kết luận của lý thuyết, đồng thời nêu ra các giả thuyết và các nguyên lý mới thay cho chúng. Nếu các nguyên lý này là đúng, thì lý thuyết dựa trên chúng cũng phù hợp với thực tiễn, bởi vì nó được suy ra từ các tiên đề đúng bằng các quy luật và các quy tắc của suy luận lôgíc. Nhưng như trên ta đã nói, nhiều lý thuyết mới của toán học không thể dễ dàng được công nhận ngay, mà chỉ sau nhiều năm, thậm chí hàng trăm năm nó mới được xác nhận và có được một sự ứng dụng cụ thể. Điều đó đã khẳng định rằng sự phát triển của toán học có thể đi trước ứng dụng thực tế của nó trong một thời gian dài. Như vậy, dù khoa học toán học rất trừu tượng và có vẻ xa rời thực tại, song tính chân lý của nó hoàn toàn được khẳng định bởi luận điểm nổi tiếng của chủ nghĩa Mác: Thực tiễn là tiêu chuẩn chung của chân lý của tri thức chúng ta. Mác viết: Vấn đề tìm hiểu xem tư duy của con người có thể đạt tới một chân lý khách quan hay không, hoàn toàn không phải là một vấn đề lý luận mà là một vấn đề thực tiễn. Chính trong thực tiễn mà con người phải chứng minh chân lý, nghĩa là chứng minh tính hiện thực và sức mạnh, tính trần tục của tư duy của mình. Sự tranh cãi về tính hiện thực hay tính không hiện thực của tư duy tách rời thực tiễn, là một vấn đề kinh viện thuần túy [3, tr. 9-10]. Kết luận chương 3 Giống như trong mọi khoa học khác, đối tượng của toán học cũng có quá trình hình thành, phát triển và ngày càng hoàn thiện. Trình độ phát triển của đối tượng toán học phụ thuộc vào phạm vi ứng dụng của toán học trong các khoa học, trong kinh tế, kỹ thuật v.v.. Điều đó có nghĩa là muốn đánh giá trình độ phát triển của toán học, chúng ta phải căn cứ vào mức độ trừu tượng của đối tượng toán học. Chủ nghĩa duy vật mácxít cho rằng mặc dù đối tượng toán học rất trừu tượng và có vẻ xa rời hiện thực, nhưng càng trừu tượng thì nó lại càng phản ánh hiện thực sâu sắc hơn. Trong chương này của luận án, tác giả đã tập trung giải quyết vấn đề cốt lõi nhất, đó là chỉ ra và phân tích những yếu tố có ảnh hưởng đến sự phát triển của đối tượng toán học. Sự phân tích đối tượng của toán học qua các thời kỳ phát triển khác nhau của nó đã cho phép ta khẳng định rằng vai trò của các yếu tố bên ngoài, của các yếu tố bên trong và sự tác động qua lại của chúng chính là động lực thúc đẩy sự phát triển của đối tượng toán học. Điều căn bản là trong luận án đã chỉ ra các yếu tố nêu trên đã ảnh hưởng đến sự phát triển của đối tượng toán học bằng những con đường nào. Để đáp ứng nhu cầu phát triển của sản xuất, kinh tế, khoa học - kỹ thuật, v.v., trong toán học thường nảy sinh những ngành toán học mới, trong đó sự xuất hiện những khái niệm toán học mới giữ vai trò chủ chốt. Đồng thời trong toán học nhu cầu phát triển nội tại sinh ra logic nội tại của sự phát triển đối tượng toán học là một nét đặc trưng rất khác biệt của toán học của toán học so với khoa học khác. Sự phát triển của đối tượng toán học là một quá trình chứa đầy mâu thuẫn. Việc giải quyết những mâu thuẫn phát sinh trong toán học đã góp phần thúc đẩy đối tượng của nó phát triển lên một trình độ mới. Các cuộc khủng hoảng xảy ra trong lịch sử toán học và sự khắc phục chúng là một thực tế rất sinh động cho luận điểm nêu trên. Vấn đề chân lý luôn luôn là một bộ phận của lý luận nhận thức trong triết học mácxít, chính vì vậy trong chương này tác giả đã dành một phần không nhỏ để phân tích bản chất của chân lý toán học. Xuất phát từ đặc trưng của đối tượng toán học, tác giả đã làm rõ một số vấn đề về tiêu chuẩn của các chân lý toán học như tiêu chuẩn lôgíc, tiêu chuẩn thực tiễn. Qua đó nhìn toàn cục nội dung kiến thức được trình bày trong chương này là làm rõ mối quan hệ qua lại giữa toán học với các khoa học khác, đồng thời góp phần làm sáng tỏ tính độc lập tương đối của nhận thức toán học. Kết luận Sự phân tích một cách tỉ mỷ, sâu sắc, toàn diện và có hệ thống các đối tượng của toán học có ý nghĩa to lớn không chỉ đối với riêng ngành toán học, tức là không chỉ nhằm mục đích khẳng định một cách có cơ sở khoa học vị trí và vai trò của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển của các khoa học khác, mà còn góp phần xác nhận tính đúng đắn của triết học duy vật mácxít với tư cách là phương pháp luận cho sự phát triển của khoa học nói chung. Vấn đề không phải đơn giản ở chỗ chỉ ra được nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, mà điều căn bản là làm nổi bật những vấn đề triết học nói chung, đặc biệt là vấn đề nhận thức khoa học thông qua sự phân tích nói trên. Bản thân các đối tượng toán học rất trừu tượng, nếu chỉ nhìn vào hình thức, chẳng hạn như các số phức, các cấu trúc đại số, hình học phi Ơclít, v.v. chúng ta dễ bị cảm nhận một điều là những đối tượng đó hoàn toàn xa rời hiện thực, tồn tại độc lập như những khách thể tinh thần trừu tượng và không có mối quan hệ gì với thế giới hiện thực. Nhưng tất cả những vấn đề triết học được rút ra trong quá trình khảo sát các đối tượng của toán học qua các thời kỳ lịch sử phát triển khác nhau, đã mang lại cho chúng ta một giá trị nhận thức to lớn. Những kết luận triết học rút ra về vai trò "tác chiến" của các kí hiệu toán học, về ý nghĩa của các đại lượng toán học biến thiên cùng với việc ra đời của bộ môn lý thuyết xác suất thống kê, cho phép ta nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên là những bằng chứng sinh động để khẳng định vai trò của toán học trong quá trình nhận thức thế giới khách quan. Một sự thật không thể bỏ qua là toán học ngày càng thâm nhập sâu vào các ngành khoa học khác nhau, góp phần tích cực vào việc củng cố và thúc đẩy các khoa học đó phát triển, như vật lý học, toán học, sinh học v.v.. Việc toán học hóa các khoa học trong thời đại ngày nay đang diễn ra cả về chiều rộng lẫn chiều sâu đã xác nhận một vấn đề có ý nghĩa thời đại đó là khả năng ứng dụng và sức sáng tạo của toán học trong nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội. Các đối tượng của toán học có quá trình hình thành và phát triển gắn liền với sự vận động của xã hội loài người. Điều đó đã chứng tỏ, những thành quả mà toán học có được chính là sự kết tinh của trí tuệ con người và thực tiễn cuộc sống sinh động. Xuất phát từ lập trường duy vật mácxít về đối tượng của toán học, tác giả luận án đã phân tích những cơ sở phát triển của toán học, trong đó đặc biệt quan tâm đến ảnh hưởng của những yếu tố bên trong và bên ngoài cùng với sự tác động qua lại của chúng. Thực chất của các yếu tố tác động đến sự phát triển của đối tượng toán học là sự phản ánh các mối quan hệ của toán học với các khoa học khác và với thế giới hiện thực. Qua đó giá trị nhận thức của toán học được thể hiện một cách rõ nét. Trong luận án, tác giả đã dành nhiều trang nói về vấn đề chân lý trong toán học. Nét đặc trưng và tiêu chuẩn thực tiễn của chân lý toán học đã thể hiện tính độc lập tương đối của nhận thức toán học, đồng thời góp phần khẳng định tính đúng đắn của quan điểm duy vật biện chứng về nhận thức thế giới khách quan. Các nội dung được trình bày trong luận án góp phần khẳng định vai trò của tư duy lý luận đối với sự phát triển của khoa học, đồng thời đặt ra trước mắt chúng ta một nhiệm vụ thực tiễn rất quan trọng, nó liên quan đến tương lại phát triển của nền toán học nước nhà. Ngành toán học của đất nước muốn phát triển một cách toàn diện và có hệ thống, tiến kịp trình độ toán học văn minh của nhân loại thì cần phải có sự đầu tư thích đáng của Nhà nước, sự quan tâm của toàn dân, để bồi dưỡng và tạo cơ hội cho những tài năng toán học vươn lên và cống hiến cho khoa học. Đó chính là việc làm mang ý nghĩa khoa học và nhân văn sâu sắc. Nói tóm lại, toàn bộ những khía cạnh triết học đề cập đến trong luận án góp phần làm sáng tỏ quan điểm duy vật biện chứng về sự khẳng định rằng, toán học là một khoa học có cơ sở từ hiện thực, có giá trị nhận thức to lớn, đồng thời phủ định các quan điểm duy tâm, siêu hình xem toán học chỉ là sản phẩm của tư duy thuần túy và hoàn toàn độc lập với thế giới hiện thực. Điều đó có ý nghĩa rất lớn đối với sự phát triển của toán học nói riêng và các khoa học nói chung. những công trình đã công bố của tác giả liên quan đến đề tài luận án Lê Văn Đoán (1999), "Đôi điều suy nghĩ về di sản phương pháp luận triết học của Lênin", Thông tin lý luận, 4(254), tr. 31-32, 10. Lê Văn Đoán (2000), "Cơ sở khách quan cho sự hình thành những khái niệm đầu tiên của toán học", Triết học, 2(114), tr. 49-52. Lê Văn Đoán (2000), "Tính chính xác toán học và tiêu chuẩn thực tiễn của chân lý toán học", Đại học và giáo dục chuyên nghiệp, (4), tr. 26-28. Lê Văn Đoán (2002), "Quan điểm duy vật biện chứng về khả năng phát triển của toán học", Triết học, 10(137), tr. 58-61. Lê Văn Đoán (2003), "Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học", Triết học, 6(145), tr. 51-57. Lê Văn Đoán (2004), "Toán học với những hiện tượng ngẫu nhiên và ý nghĩa thực tiễn của chúng", Triết học, 12(163), tr. 52-59. danh mục Tài liệu tham khảo Tạ Quang Bửu (1961), Về các cấu trúc của Bourbaki, Nxb Khoa học, Hà Nội. Nguyễn Trọng Chuẩn (1995), Triết học Tây Âu thế kỷ XVII - XVIII. R. Đêcactơ, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội. Nguyễn Trọng Chuẩn (chủ biên) (2000), Sức sống của một tác phẩm triết học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. Nguyễn Trọng Chuẩn - Nguyễn Văn Nghĩa - Lê Hữu Tầng (1973), C.Mác, Ph.Ăngghen, V.I.Lênin về mối quan hệ giữa triết học và khoa học tự nhiên, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội. Nguyễn Trọng Chuẩn (chủ biên) (1997), I.Cantơ - Người sáng lập nền triết học cổ điển Đức, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội. Phan Đình Diệu (2000), "Công nghệ thông tin và ứng dụng toán học", Kỷ yếu hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất, tập 1, tr. 41-52. Vương Tất Đạt (1999), Lôgíc học (Sách bồi dưỡng giáo viên phổ thông Trung học), Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Bá Đô - Hồ Châu (2001), Các câu chuyện toán học, tập 1, "Tất nhiên trong ngẫu nhiên", Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Bá Đô - Hồ Châu (2001), Các câu chuyện toán học, tập 2, "Cái đã biết trong cái chưa biết", Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Bá Đô - Nguyễn Mạnh Hùng - Nguyễn Văn Túc (2003), Các câu chuyện toán học, tập 3, "Khẳng định trong phủ định", Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Bá Đô (chủ biên) (2001), Các câu chuyện toán học, tập 4, "Hữu hạn trong vô hạn", Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Bá Đô (chủ biên) (2002), Các câu chuyện toán học, tập 5, "Đại lượng không đổi trong đại lượng biến đổi", Nxb Giáo dục, Hà Nội. S.L.EDENMAN (1981), Lôgic Toán, Người dịch: Nguyễn Mạnh Quý, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Đinh Văn Gắng (2003), Lý thuyết xác suất và thống kê, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Lê Văn Giạng (2000), Khoa học cơ bản thế kỷ XX đối với một số vấn đề lớn của Triết học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. Trần Diên Hiển (2000), Các bài toán về suy luận lôgic, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Cảnh Hồ (2000), Một số vấn đề triết học của vật lý học, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội. Nguyễn Văn Hộ (2001), Xác suất thống kê, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Hội toán học Việt Nam - Bộ Công nghiệp (2000), Kỷ yếu hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất, tập 1, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội. Tô Duy Hợp (chủ biên) (1985), C.Mác, Ph.Ăngghen, V.I.Lênin bàn về lôgic biện chứng, Nxb Thông tin lý luận, Hà Nội. Tô Duy Hợp - Nguyễn Anh Tuấn (1997), Lôgíc học, Nxb Đồng Nai. Tô Duy Hợp - Lê Doãn Tá - Vũ Trọng Dung (2004), Giáo trình Lôgíc học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội. V.I.Lênin (1980), Toàn tập, tập 18, Nxb Tiến bộ, Matxcơva. V.I.Lênin (1980), Toàn tập, tập 29, Nxb Tiến bộ, Matxcơva. V.I.Lênin (1980), Toàn tập, tập 45, Nxb Tiến bộ, Matxcơva. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 2, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 3, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 19, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 20, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 21, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 22, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 23, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 25, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 32, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. C.Mác và Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 45, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. V.N. Mơlôtsi (1962), Một số vấn đề triết học về cơ sở của toán học, Người dịch: Nguyễn Văn Bàng - Nguyễn Văn Thành - Hoàng Chúng, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Đức Nghĩa (1999), Tối ưu hóa (quy hoạch tuyến tính và rời rạc), Nxb Giáo dục, Hà Nội. K.M. Pha-ta-li-ep (1961), Chủ nghĩa duy vật biện chứng và khoa học tự nhiên, Người dịch: Nguyễn Gia Lộc, Nxb Sự thật, Hà Nội. Nguyễn Hoàng Phương (1995), Tích hợp đa văn hóa Đông Tây cho một chiến lược giáo dục lâu dài, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Trần Đức Quang (2002), Lý thuyết automat và ngôn ngữ hình thức, Nxb Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Trần Đức Quang (2003), Toán rời rạc cơ sở toán cho máy tính, Nxb Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. K.A.Rúp-ni-cốp (1967), Lịch sử toán học, tập I, Người dịch: Vũ Tuấn - Phạm Gia Đức - Hoàng Chúng, Nxb Giáo dục, Hà Nội. K.A.Rúp-ni-cốp (1967), Lịch sử toán học, tập II, Nxb Giáo dục, Hà Nội. W.W. SAWYEK (1979), Đường vào toán học hiện đại, Người dịch: Phan Văn Cự - Trần Trung, Nxb Khoa học và Kỹ thuật. Phương Kỳ Sơn (2001), Phương pháp nghiên cứu khoa học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. Hà Văn Sơn (Chủ biên) (2004), Giáo trình lý thuyết thống kê ứng dụng trong quản trị và kinh tế, Nxb Thống kê, Hà Nội. A.N.STEWART (1986), Những khái niệm của toán học hiện đại, tập 1, Người dịch: Phan Văn Cự, Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. Đinh Ngọc Thanh - Nguyễn Đình Phủ - Nguyễn Công Tâm - Đặng Đức Trọng (2002), Giải tích Hàm một biến, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Duy Thông (chủ biên) (1977), Vai trò của phương pháp luận Triết học Mác - Lênin đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội. Nguyễn Cảnh Toàn (1962), Cơ sở Hình học, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán, tập I, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán, tập II, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội. Từ điển Bách khoa Việt Nam 1 (1995), Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội. Từ điển Bách khoa Việt Nam 2 (2002), Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội. Từ điển Bách khoa Việt Nam 3 (2003), Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội. Từ điển toán học thông dụng (2002), Nxb Giáo dục, Hà Nội Từ điển Triết học (1986), Nxb Tiến bộ Matxcơva. Vũ Văn Viên (1990), "Khủng hoảng nghịch lý và một số bài học về nhận thức khoa học", Triết học, (3). Vũ Văn Viên (2002), "Quan điểm duy vật biện chứng về đối tượng của toán học", Triết học, (3). Vũ Văn Viên (2002), "Lôgíc hình thức và phương pháp của toán học", Triết học, (9). Viện Triết học (1972), Triết học và các khoa học cụ thể, tập I, Triết học và khoa học tự nhiên, Nxb Khoa học, Hà Nội. tiếng nga Aohpqmqej{ (1964), Leq`shghi`, Lmpib`. C.]. Cméuetmbhv (1990), "Qq`lmbjelhe h o`gbhqhe k`qek`qhvepimé qemohh", Thjmpmsh~ h M`ri`, (1), pqo. 93-100. Decej{ (1939), Omjlme pmao`lhe pmvhlelhé, qmk 4, Lmpib`. C.B. Drahl (2002), "N nohbedelhh i mvebhdlmpqh i`i dmi`g`qej{pqbe oe`j{lmpqh", Thjmpmsh~ h M`ri`, (4), pqo. 141-148. T.Ehwmj (1967), L`qek`qhi` h pmboekkellzé kho, Lmpib`. ].M. Fjhpeeb, ^.C. Q`vimb, M.C. Bejmb (1982), Omqmih hdeé h g`imlmkeolmpqh o`gbhqh~ epqepqbmgl`lh~, Kelhlco`d "M`ri`". L.W. H`jht`lmb (2002), "M`pqhclrqze hpqhlmé", Thjmpmsh~ h M`ri`, (2), pqo. 21-27. A.A. Helihl (2000), "Mmbzé nmdtmd i `l`jhgr nomajekz n`o`dmi pmb", Thjmpmsh~ h M`ri`, (10), pqo. 79-90. C.Heveq (1985), ]jekelq`ol`~ jmchi`, Lmpib` "Czpw`~ wimj`". ].C. Ij{elimb (1984), Eh`jeiqhvepi`~ jmchi`, Lmpib`, Igd`qej{pqbm nmjhqhvepimé jhqeo`qroz. I. J`lq (1966), Qmvhlelh~ b wepqh qmk`t, qmk 6, Lmpib`. T.Jjeél (1967), Fjekelq`ol`~ k`qek`qhi` p qmvih goelh~ bzpweé k`qek`qhih, qmk 1, Lmpib`. J. L`oip (1968), L`qek`qhvepihe orimnhph, Lmpib`. L`qek`qhi` b pmboekellmk khoe, (1967), Lmpib`. L`qek`qhvepihé |luhijmnedhvepihé pjmb`o{ (1988), Lmpib`. Q.R. Lej}thl (1985), Thjmpmspihe nomajekz epqepqbmgl`lh~, Lmpib` "Czpw`~ wimj`". A. Mzp`la`eb - Dwj~thl (1971), P`gbhqhe nmgl`lh~ h k`qek`qhi`, Igd`qej{pqbm "J`g`tq`l". D.I. Prg`bhl (1968), N nohomde k`qek`qhvepimcm gl`lh~, Igd`qej{pqbm "Lzpj{", Lmpib`. F.E. Qkholmb` (2000), "Kmchi` h shjmpmsh~", Cmnompz shjmpmshh, (12), pqo. 35-44. C.I. Qqen`lmb (1987), Qmuh`j{lze h keqmdmcmchvepihe nomajekz pmboekellmé l`rih, Lmpib`, "Lzpj{". N.C. Qrbmomb (2001), "Oomajek` pq`lmbjelh~ lmbzt g`imlmb b nomueppe |bmj}uhh bpejellmé", Thjmpmsh~ h M`ri`, (2), pqo. 111-116. Thjmpmspihé |luhijmnedhvepihé pjmb`o{ (1983), Lmpib`. A.A. Toeliej{ h B`o - Uhjjej (1966), Nplmb`lh~ qemohh klmfepqb, Igd`qej{pqbm "Lho", Lmpib`. I.R. Tomjmb (1987), Thjmpmsh~ h pmuhmjmch~ l`rih h qetlhih, Ffecmdlhi. Q.A. _lmbpi`~ (1963), "N k`qek`qhvepiht orimnhp~t k`oip`", Omd gl`kelek k`oiphgk`, (1), pqo. 54-65. ._.