Vai trò của tham số tự do và tính hội tụ của sơ đồ vòng lặp trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hyđrô

kiến thức bổ ích và đóng góp những kinh nghiệm quý báu để em thực hiện khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm. Em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm nay và cụ thể là qua những kết quả khóa luận này đã phần nào thể hiện. Em xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 cũng như các bạn khác và những người thân đã giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận. Trong quá trình thực hiện đề tài không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót, em rất mong nhận được sự góp ý tận tình của quý thầy cô. Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe và thành công! Sinh viên thực hiện Mai Thị Đắc Khuê Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 2 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ 1 MỤC LỤC ..................................................................................................... 2 MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 4 1 Tình hình nghiên cứu ........................................................................ 4 2 Lí do chọn đề tài ............................................................................... 4 3 Mục tiêu của đề tài............................................................................ 6 4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được...................... 6 5 Cấu trúc của luận văn....................................................................... 7 NỘI DUNG.................................................................................................... 9 Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO ......................................................................................................... 9 1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro................................ 9 1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro ................................ 9 1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro .................................................... 11 1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro ....................................................... 12 1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro ......................... 13 1.2.1 Toán tử động năng .......................................................................... 14 1.2.2 Toán tử thế năng ............................................................................. 15 1.2.3 Toán tử hamilton............................................................................. 16 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính............................................. 17 Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO............... 19 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn............................................................... 19 2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử.............................................. 22 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 3 2.2.1 Tính bổ chính bậc một..................................................................... 22 2.2.2 Tính bổ chính bậc hai...................................................................... 22 2.3 Nhận xét ......................................................................................... 35 Chương 3 VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO..... 36 3.1 Vai trò của tham số tự do trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro .......................................................... 36 3.2 Sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến phân .................................................................................... 36 3.3 Nhận xét ......................................................................................... 40 Chương 4 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO ........................................ 42 4.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp.................................................... 42 4.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp.................................................................. 42 4.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro ứng với k=4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp ....................................................... 44 4.4 Nhận xét ............................................................................................... 46 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ....................................... 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48 PHỤ LỤC..................................................................................................... 48 Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều.................................................. 48 Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn ........... 51 Phụ lục 3 Toán tử thế năng .......................................................................... 53 Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của Hˆ .................................................... 58 Phụ lục 5 Chương trình viết bằng Fortran ..................................................... 61 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 4 MỞ ĐẦU 1 Tình hình nghiên cứu Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn. Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu. Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,… Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:  Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán.  Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ. Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 5 2 Lí do chọn đề tài Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng. Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu… Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của trường ngoài nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn. Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp áp dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh. Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 6 sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai số mong muốn thì dừng lại. Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần tìm ứng với sai số đã chọn. Nội dung bài khóa luận này sẽ trình hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. 3 Mục tiêu của đề tài Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:  Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm… Kết hợp phương pháp toán tử, lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.  Tìm hiểu vai trò của thông số biến phân được đưa vào trong toán tử sinh, hủy cũng như khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến đó.  Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho những bài toán có phức tạp hơn. 4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện khóa luận này. Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 7 lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Dự kiến kết quả đạt được:  Tính bổ chính bậc hai cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử.  Thấy được vai trò của tham số tự do đưa vào trong toán tử sinh hủy trong việc tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Dùng lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi tính tới bổ chính bậc hai.  Tính toán bằng số trên máy tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp. Qua đó thấy được sự hội tụ và tính ưu thế của hướng tiếp cận này so với hướng tiếp cận lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân bằng phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. 5 Cấu trúc của luận văn Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm 3 phần chính:  Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc.  Phần nội dung: gồm 4 chương Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng… Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro và dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính. Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 8 Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử. Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Vai trò của thông số biến phân trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro. Khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến phân. Chương 4: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Nêu mục đích của sơ đồ lặp. Thiết lập sơ đồ vòng lặp. Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Nhận xét kết quả thu được.  Phần kết luận: tóm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát triển sắp tới của đề tài. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 9 NỘI DUNG Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro[2], [4], [6] 1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro Thế năng của một hạt khối lượng mo chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r). Do đó hamilton của hạt có dạng: 2 2ˆ ( ) 2 O H U r m      (1.1) Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc vào khoảng cách 1 2r r giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác 1 2( )U r r rút về bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực U(r). Trong trường hợp nguyên tử hydro .e p e p m m m m    với mp, mn tương ứng là khối lượng của proton và electron. Vì p em m nên em  . Nếu bỏ qua kích thước của proton, nguyên tử hydro sẽ được coi như gồm hạt electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên. Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là: 2 ( ) ZeU r r   (CGS) (1.2) Trong đó: Ze là điện tích của hạt nhân. U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với nguyên tử hydro phương trình Schrodinger là phương trình dừng. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 10 Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng:  2 2 ( ) 0em E U r      (1.3) Trong tọa độ cầu, toán tử  có dạng ,2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1sin sin sin 1 1 1sin sin sin r r r r r r r r r                                                   (1.4) Thay vào ta được:  2 ,2 2 2 21 1( ) ( ) 0emr E U r r r r r                 (1.5) Do 2 , 2 Lˆ      ta viết lại như sau:   2 2 2 2 2 2 ˆ 21 ( ) ( ) 0emLr E U r r r r r               (1.6) Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử 2Lˆ và ˆzL với Hˆ . Trong trường hợp này Hˆ có dạng: 2 2 2 2 2 ˆ1ˆ ( ) ( ) 2 2 e LH r U r r r r m r             (1.7) Ta thấy 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ 0HL L H  ; 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ 0Z ZHL L H  (1.8) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 11 Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc ,  nên giao hoán với các toán tử lấy vi phân theo r. Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình phương mômen 2Lˆ và hình chiếu mômen ˆZL . Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta viết nghiệm của phương trình dưới dạng ,( , , ) ( ). ( , )nlm n l mr R r Y     (1.9) Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng 2ˆ ( 1)lm lmLY l l Y  ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm ( )nlR r của hàm sóng ( , , )nlm r   :   2 2 2 2 2 2 121 ( ) 0 2 e e l lmd dR Zer E R r r dr dr r m r                (1.10) 1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyên tử hydro 4 2 2 22n me ZE E n      (CGS) (1.11) Trong hệ không thứ nguyên 1m e   thì: 2 22n ZE E n     (1.12) Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực. Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất 1 13,6E eV  . Khi n càng tăng thì các mức nE liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n  thì 0nE  . Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 12 Một số mức năng lượng kích thích: 2 33, 4 ; 1,5 ;...E eV E eV     Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với năng lượng 2 4 22 m Z e   và kết thúc ứng với năng lượng 0.  Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2,... , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng  1L l l   (1.13)  Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng      , , ,nlm nl lmr R r Y     gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị , 1,..., 1,0,1,..., 1,m l l l l      . Tất cả có  2 1l  giá trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z zL m  Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng En là   1 2 0 2 1 n l l n     (1.14) Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản 1E không suy biến, mức kích thích thứ nhất 2E suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai 3E suy biến bậc 9... Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 22 n . 1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hydro có dạng:      , , ,nl m nl lmr R r Y     Với 2 2 2 o o Zr và a na me     (1.15) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 13 a0: là bán kính Bohr thứ nhất Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần  , ,nl m r   của các hệ giống hydro ứng với các giá trị n=1, 2, 3,… n l m  , ,nl m r   1 0 0 3 / 20 0 1 ( / ) exp( / 2 )Z a Zr a   2 2 2 0 1 1 0 0 1 3 / 2 0 0 0 1 ( / ) (1 / 2 ) exp( / 2 ) 2 2 Z a Zr a Zr a    3 / 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 2 ) cos 4 2 Z a Zr a Zr a    3 / 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 2 ) sin exp( ) 8 Z a Zr a Zr a i     3 3 3 3 3 3 0 1 1 2 2 2 0 0 1 0 1 2 3/ 2 2 2 2 0 0 0 0 1 ( / ) (1 2 / 3 2 / 27 )exp( / 3 ) 3 3 Z a Zr a Z r a Zr a     3/ 2 0 0 0 0 2 2 ( / ) (1 / 6 )( )exp( / 3 ) cos 27 Z a Zr a Zr a Zr a      3/2 0 0 0 0 2 ( / ) (1 / 6 )( / )exp( /3 )sin 27 iZ a Zr a Zr a Zr a e     3 / 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 3 )(3cos 1) 81 6 Z a Z r a Zr a     3/ 2 2 2 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 3 )sin cos 81 iZ a Z r a Zr a e     3 / 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 3 ) sin 162 iZ a Z r a Zr a e    Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 14 1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro[12] Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrodinger viết cho nguyên tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng: 2 2 0 Δψ( ) ( ) ( ) 2 4 Zer r E r m r           (1.16) Trong đó ,m e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số điện tích. Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt 0x a x , 0y a y , 0z a z với 2 20 04 /a me  là bán kính Bohr. Khi đó phương trình (1.17) có dạng không thứ nguyên: 1 Δ ψ( ) ( ) 2 Z r r r          (1.17) Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là 0a và 2 20 /ma  . Ta có thể viết dưới dạng tường minh như sau: ˆ ( , , ) ( , , )H x y z x y z   (1.18) Với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1ˆ 2 ZH x y z x y z                (1.19) Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:  1 1, 2 2 a a                                (1.20) với , ,x y z  , trong đó  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau. Dễ dàng thấy rằng  , 1a a       (1.21) (Phụ lục1trang 51) Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta viết lại các thành phần trong hamilton Hˆ trong biểu thức (1.19) qua biểu diễn các toán tử sinh huỷ này. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 15 1.2.1 Toán tử động năng 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1ˆ 2 2 TH x y z                      (1.22) Từ (1.20) ta có:  2 2a a a a                      Suy ra        2 2 2 2 1 2 2 2 a a a a a a a a                                     (1.23) Ta thay (1.23) vào (1.22) ta được      2 21ˆ 1 24TH a a a a              (1.24) Đặt    2 2 , ,A a A a N a a               (1.25) Thay (1.25) vào (1.24), ta được: 1 1 ˆ ˆˆ ˆ1 2 4 4 TH N A A                   (1.26) với , ,x y z  1.2.2 Toán tử thế năng Với số hạng liên quan đến tương tác Coulomb thì các toán tử sinh huỷ sẽ nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể sử dụng trong tính toán. Dùng phép biến đổi laplace ta có thể viết thành phần thế năng dưới dạng: 2 2 2( ) 02 2 2 1ˆ t x y zU Z ZH dt e tx y z            (1.27) (Phụ lục 2 trang 51) Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:   0 0 ', 1 ˆ ˆˆ U n k Z dt t H S S        (1.28) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 16 với:  0ˆ xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử  0ˆ xS khi tác dụng lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.               2 0 2 2 2 2 1 1 , 1 1 11 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 !1 2 ! ! ! m i m m m i i i i m i m i x x x x x x x x x x x m i i mx i l l i S N A A A N A m i i m                             (1.29) 'ˆ xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử 'ˆ xS khi tác dụng lên vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.                 ' , 1 1 1 , 1 , 1 , , 1 1 1 11ˆ ˆ ˆ ˆˆ ! ! ! !1 2 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ! ! ! ! ! ! ! m l l i l m m l l l i i x x x x x x x x x ml l ix i l i m i l m i l i l i m i m i l m i m x x x x x x x x x x x x i l i m i l m l i l i S N A A A ml l i A A A N A N A i l i m i l m                                                       l     (1.30) (Phụ lục 3 trang 53) 1.2.3 Toán tử hamilton Thay (1.26), (1.28) vào biểu thức ˆ ˆ ˆT UH H H  , ta được:                  0 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 0' ' 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 4 4 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ1 2 4 4 x y z x y z x y z Z dt t Z dt t H N A A S S N A A S S S S S S S S S                                                                    0 0 0 0 0' ' ' ' ' ' ' ' ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y z x y z x y z x y z x y zS S S S S S S S S S S S S S S     (1.31) Toán tử hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai thành phần: 0ˆ ˆ ˆH H V  (1.32)  Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử hamilton  0H trong bài toán không nhiễu loạn, với: (0) (0) (0)0 , , 0 1 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 1) ( ) 4 x y zx y z ZH N S S S dt t          (1.33) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 17  Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán tử nhiễu loạn V , với:     0 ' ' ' 0 ' ' ' 0 0 0 ' 0 ' 0 ' 0 0 ' ' '22 1 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1ˆ 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y zS S S SS S SS S S S S S S S SS S S S SZV a a dt t                       (1.34) Dùng các toán tử ˆ ˆ ˆˆ ˆ, , , ,a a A A N  và qua quá trình tính toán ta tính được các yếu tố ma trận của Hˆ : ˆnkH n H k m 2i-1 2i (0) 2 1/2 , 2 m=1 i=1 =0 =1 2i m2i-1 2i ,2 1/2 2 i=1 m=1=0 =1 (-1) 1ˆ {1+ [ ( ) ( 2 )] m! (i!) (-1) (-1)[ ( ) ( 2 )] ( 2 ) } (i!) m! 1 2 m m i n k n ki m S k k k i k k i k i                                                  (1.35) Suy ra 2 2 00 2 1/ 2 (2 )! (2 2 )!( !) 12 | |2 , (1 2 ) 2(1 2 ) k i i k k k i i k k S k k                   n , 2 n , 2 m l 2l-1 ' 1/2 m=0 l=1 =0 i m 2i 1/2 i=1 m=0 =1 i m l 2 i=1 m=0 l=1 =0 (-1) (-1)ˆ { [ ( )] ( 2 ) m! l! (-1) (-1) [ ( )] i! m! (-1) (-1) (-1) [ ( i! m! l! k l k i m l m i m m i m l S k k l k k                                                       n , 2 2 l-1 2i 1/2 m 1/2 =1 1)] (k -2l) [ ( 2 )] } 1+2k l i k k l                 (Phụ lục 4 trang 58) (1.36) Suy ra 1/ 2 1/ 2min( , ) 2 2 0' 1/ 2 (2 )! (2 )!( 1) . ( )!( )! (2 )! (2 )! 1ˆ2 2 . (1 2 )(1 2 ) , 2 2 k n k n i k n i i k n k n k i n i i i n S k k n k n                                            Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 18 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính   0(0)0 , , 0 0 0 1 1/ 20 2 , , 1000 000 000 2 1 000 4 ˆ ˆ ˆ000 000 (1 2 ) x y z x y z x y z E H N S S SZ dt t                   Do tính chất đối xứng x y z nên biểu thức năng lượng bậc không trở thành: (0) 0 1 30 2 3 1 4 1 ZE dt tt                 Ta đã đặt 2 2 t dt d       (0)0 1 3 0 2 2 2 3 12 4 (1 2 ) ZE d             Suy ra (0)0 3 2 4 E     (1.37) Vì mức là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng: (0) 0 3 160 0 0.56588424210451677 4 9 dE Z d            Thay 16 9    vào (0)0E ta được: (0) 0 4 -0.42441318157838759 3 E     . (1.38) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 19 Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[6], [10] Phươ._.ng trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nó có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,… Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải được một cách chính xác. Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung lý thuyết nhiễu loạn như sau: Xét phương trình Schrodinger: ˆ ( ) ( )H x E x   (2.1) ta tách toán tử hamilton của bài toán thành hai thành phần: 0ˆ ˆ ˆH H V  (2.2) Trong đó: Thành phần 0Hˆ là toán tử hamilton có nghiệm riêng chính xác 0ˆ n n nH    (2.3) Thành phần Vˆ còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với 0Hˆ , Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 20 0 ˆ ˆV H . Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (2.1). Lúc này chúng ta xem n và n là nghiệm gần đúng bậc zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của Vˆ thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của  . Ta giả thiết rằng các trị riêng của Hˆ là không suy biến và có phổ gián đoạn, hệ hàm riêng n của 0Hˆ là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng n , với 0,1,2,...n  . Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của 0Hˆ như sau: 0 ( ) ( )k k k x C x     (2.4) Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái n như sau: 0 ( ) ( ) ( ) ( )n n k k k k n x x C x         (2.5) Thay vào phương trình (2.1) ta có: 0 0, 0, ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n k k n n k k k k n k k n H V x C x E x C x                            (2.6) Nhân hai vế của (2.6) với *( )n x rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta được: * * 0 0, 0, ˆ ˆ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n k k n n n k k k k n k k n x H V x C x x E x C x                              hay Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 21 * * * * 0 0 0, 0, * * 0, ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). n n n n n k k n k k k k n k k n n n n n n k k k k n x H x x V x x H C x x V C x x E x x E C x                                Ta có: 0 ( ) nn nn k nk n k k n H V C V E        (2.7) Bây giờ làm tương tự như trên cho *( ),j x j n  ta có: * *0 0, 0, ˆ ˆ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j n k k j n n k k k k n k k n x H V x C x x E x C x                              Hay: * * * * 0 0 0, 0, * * 0, ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). j n j n n j k k j k k k k n k k n j n n j n k k k k n x H x x V x x x H C x x V C x x E x x E C x                                 Ta có: 0 ( ) j jj jn k jk n j k k n C H V C V E C        (2.8) Ta viết (2.7) và (2.8) lại như sau: 0, n nn nn k nk k k n E H V C V         (2.9) 0 ( )n jj j jn k jk k k n E H C V C V         ,  j n (2.10) Với ký hiệu các yếu tố ma trận: * 0ˆ( ) ( )kk k kH x H x dx      * ˆ( ) ( )jk j kV x V x dx      (2.11) Hệ phương trình đại số (2.9) - (2.10) có thể xem tương đương với phương trình Schrodinger (2.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng nE Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 22 và các hệ số jC , nghĩa là tìm được hàm sóng ( )n x qua công thức (2.5). Ta có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn như sau: (0) ( ) 1 s s n n s E E E      (2.12) (0) ( ) 1 ,s sj j j s C C C j n       (2.13) Ở đây ta ký hiệu (0) (0),n jE C là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn ( ) ( ), , 1s sn jE C s   là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Thay (2.12) và (2.13) vào (2.10), (2.11) sau đó đồng nhất hai vế theo bậc s ta được: (0) (0), 0n nn jE H C  , (1) (1) (0), ( ) jn n nn j n jj V E V C j n E H       ; 2 :s  ( ) ( 1) 0 s s n nk k k k n E V C        , 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) (0) 0 1 1 ( ) s s s s t t j jk k n j k tn jj k n C V C E C j n E H                          (2.14) Giá trị riêng và hàm sóng ở gần đúng (s) bất kỳ: ( ) ( ) 2 s s t n nn n t E H E     (2.15) Phương trình (2.14) và (2.15) gọi là sơ đồ Rayleigh-Schrodinger cho lý thuyết nhiễu loạn dừng (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn). 2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử[11] 2.2.1 Tính bổ chính bậc một (1)0 000 000 0ˆE  V (2.16) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 23 Do thế nhiễu Vˆ không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma trận trên đường chéo chính của Vˆ bằng 0. 2.2.2 Tính bổ chính bậc hai Xét ở bổ chính bậc hai (s=2) thì từ (2.14) ta được hiệu chính cấp hai cho mức năng lượng của hệ là: (2) (0) 0 nk kn n k n kk k n V VE E H     . (2.17) Hiệu chính cấp hai cho mức năng lượng cơ bản sẽ là một đại lương âm phụ thuộc vào đặc tính của nhiễu loạn. Như vậy, với độ chính xác đến các số hạng có độ bé cấp hai, năng lượng của hệ suy ra từ (2.14), (2.15), (2.17), được tính bằng: 2 (0) (0) 0 nk n nn k n kk k n V E E H E H        (2.18) Trong bài toán tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, gọi k=kx +ky +kz thì biểu thức (2.17) được viết lại như sau: , 2 (2) 0 (0) (0) , 000 0 000 ˆ x y x y z z x y z k k k k k k k k k E E E      V (2.19) Ta tính các yếu tố ma trận của Vˆ , thấy rằng 000 0ˆ x y zk k k V nếu k lẻ. 2 2 2 2 2 2 (2) 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 200 000 020 000 002 000 400 000 040 000 004 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 200 000 020 000 002 000 400 000 040 000 004 E E E E E E E E E E E E E                          V V V V V V 2 2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 220 000 202 000 022 000 600 000 060 000 006 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 220 000 202 000 022 000 600 000 060 000 006 E E E E E E E E E E E E                    V V V V V V 2 2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 420 000 402 000 240 000 204 000 042 000 024 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 420 000 402 000 240 000 204 000 042 000 024 E E E E E E E E E E E E             V V V V V V 2 (0) (0) 000 222 ˆ000 222 ... V E E      Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 24 Do tính chất đối xứng ta được: 2 2 2 (2) 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 200 000 400 000 220 2 4 2 (0) 000 6 ˆ ˆ ˆ000 200 000 400 000 220 3 3 3 ˆ000 600 3 bac bac E E E E E E E E E                            V V V V 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) 00 000 420 000 222 6 ˆ ˆ000 420 000 222 6 ... bac E E E E            V V (2.20)  Các yếu tố ma trận của Vˆ  Các yếu tố ma trận của Vˆ ứng với bậc 2 theo k       1' (0) (0) 2 02 00 00 1 5 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 2ˆ000 200 4 4 (1 2 ) 2 2 4 3 x y zS S SZV dt d t                           Các yếu tố ma trận của Vˆ ứng với bậc 4 theo k       3' (0) (0) 2 04 00 00 1 7 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 6ˆ000 400 2 3 10(1 2 ) x y zS S SZ ZV dt d t                           3' ' (0) 2 02 02 00 1 7 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 2ˆ000 220 . 51 2 x y zS S SZV dt d t                    Các yếu tố ma trận của Vˆ ứng với bậc 6 theo k       5' (0) (0) 2 06 00 00 1 9 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 5ˆ000 600 2 5 2 . 14(1 2 ) x y zS S SZ ZV dt d t                         5' ' (0) 2 04 02 00 1 9 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 6 3ˆ000 420 141 2 x y zS S SZV dt d t                         5' ' ' 2 02 02 02 1 9 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 4 2ˆ000 222 . 141 2 x y zS S SZV dt d t                  Các yếu tố ma trận của Vˆ ứng với bậc 8 theo k Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 25       7' (0) (0) 2 08 00 00 1 11 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 70ˆ000 800 70 2 . 72(1 2 ) x y zS S SZ ZV dt d t                           7' ' (0) 2 06 02 00 1 11 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 2 10ˆ000 620 361 2 x y zS S SZV dt d t                           7' ' (0) 2 04 04 00 1 11 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 6 2ˆ000 440 121 2 x y zS S SZV dt d t                           7' ' ' 2 04 02 02 1 11 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 4 3 6ˆ000 422 361 2 x y zS S SZ ZV dt d t                    Các yếu tố ma trận của Vˆ ứng với bậc 10 theo k       9' (0) (0) 2 010 00 00 1 13 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 63 3 7ˆ000 1000 2 88(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                       9' ' (0) 2 08 02 00 1 13 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 35 35ˆ000 820 2 2 88(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                       9' ' (0) 2 06 04 00 1 13 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 6.5 30ˆ000 640 2 88(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                       9' ' ' 2 06 02 00 1 13 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 4 5 5ˆ000 622 2 44(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                         9' ' ' 2 04 04 02 1 13 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 6 2. 2 3 2ˆ000 442 881 2 x y zS S SZV dt dt t                 Các yếu tố ma trận của Vˆ ứng với bậc 12 theo k Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 26       11' (0) (0) 2 012 00 00 1 15 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 231 231ˆ000 1200 2 208(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                        11' ' (0) 2 08 04 00 1 15 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 70.6 105ˆ000 840 2 2 208(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                      11' ' ' 2 08 02 00 1 15 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 70 70ˆ000 822 2 208(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                         11' ' ' 2 010 02 00 1 15 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 63.2 3 14ˆ000 1020 2 208(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                         11' ' (0) 2 06 06 00 1 15 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 5ˆ000 660 20 2 . 104(1 2 ) x y zS S SZ ZV dt dt t                        11' ' ' 2 06 04 00 1 15 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 4 15 15ˆ000 642 2 104(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                           11' ' ' 2 04 04 04 1 15 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 6 6 2 3 6ˆ000 444 2081 2 x y zS S SZ ZV dt dt t                   Các yếu tố ma trận của Vˆ ứng với bậc 14 theo k       13' (0) (0) 2 014 00 00 1 17 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 42042 858ˆ000 1400 2 4807 (1 2 ) x y zS S SZV dt d t                       13' ' ' 2 06 06 00 1 17 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 20 2 2ˆ000 662 2 48(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                       13' ' ' 2 08 04 02 1 17 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 70.6.2 210ˆ000 842 2 480(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 27       13' ' (0) 2 08 06 00 1 17 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 70.5 14ˆ000 860 2 96(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                       13' ' (0) 2 06 04 00 1 17 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 12 5 5ˆ000 644 2 80(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                       13' ' ' 2 010 02 02 1 17 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 4 63 7ˆ000 1022 2 80(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                       13' ' (0) 2 010 04 00 1 17 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 63.6 42ˆ000 1040 2 160(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                       13' ' (0) 2 012 02 00 1 17 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 231.2 462ˆ000 1220 2 480(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                  Các yếu tố ma trận của Vˆ ứng với bậc 16 theo k       15' (0) (0) 2 016 00 00 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 16! 3 1430ˆ000 1600 2 21768! (1 2 ) x y zS S SZV dt d t                        15' ' (0) 2 014 02 00 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 14! 2! 858 2ˆ000 1420 2 7! 1088(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                      15' ' (0) 2 012 04 00 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 12! 4! 231.6ˆ000 1240 2 6!2! 1088(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                      15' ' ' 2 012 02 02 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 12!2!2! 231ˆ000 1222 2 6! 544(1 2 ) x y zS S SZV dt d t                          15' ' ' 2 010 06 00 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 10!6! 2 3 7.5ˆ000 1060 5!3! 5441 2 x y zS S SZV dt dt t                  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 28         15' ' ' 2 010 04 02 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 10!4!2! 2 3 7.6.2ˆ000 1042 5!2! 10881 2 x y zS S SZV dt dt t                       15' ' ' 2 08 08 00 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 8!8! 2 35ˆ000 880 4!4! 10881 2 x y zS S SZV dt dt t                       15' ' ' 2 08 06 02 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 8!6!2! 2 70.5.2ˆ000 862 4!3! 10881 2 x y zS S SZV dt dt t                       15' ' ' 2 08 04 04 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 8!4!4! 2 3 70ˆ000 844 4!2!2! 10881 2 x y zS S SZV dt dt t                       15' ' ' 2 06 06 04 1 19 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 6!6!4! 2 5 6ˆ000 664 3!3!2! 5441 2 x y zS S SZV dt dt t                Các yếu tố ma trận của (0) x y zn n n E  Các yếu tố ma trận của (0) x y zn n n E ứng với bậc 2 theo k   (0) (0) (0) (0) (0) 200 1 , , 0 2 2 1 7 0 2 2 ˆ ˆ ˆ200 2001ˆ ˆ200 200 200 2 1 200 4 1 27 7 19 2 4 4 15(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                 Các yếu tố ma trận của (0) x y zn n n E ứng với bậc 4 theo k   (0) (0) (0) (0) (0) 400 1 , , 0 2 2 4 1 3 0 2 2 ˆ ˆ ˆ400 4001ˆ ˆ400 400 400 2 1 400 4 1 12 611 11 1321 2 4 4 1260(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                     (0) (0) (0) (0) (0) 220 1 , , 0 2 2 2 1/ 2 11/ 2 0 ˆ ˆ ˆ220 2201ˆ ˆ220 220 220 2 1 220 4 (1 2 )11 11 193 2 4 (1 2 ) 4 210 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 29  Các yếu tố ma trận của (0) x y zn n n E ứng với bậc 6 theo k   (0) (0) (0) (0) (0) 600 1 , , 0 2 2 4 6 1/2 15/2 0 ˆ ˆ ˆ600 6001ˆ ˆ600 600 600 2 1 600 4 1 30 90 2015 2 15 95353 4 (1 2 ) 4 120120 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                       (0) (0) (0) (0) (0) 420 1 , , 0 2 2 4 2 1 15/ 20 2 ˆ ˆ ˆ420 4201ˆ ˆ420 420 420 2 1 420 4 15 2 (1 12 6 ).(1 2 ) 15 95353 4 4 120120.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                     (0) (0) (0) (0) (0) 222 1 , , 0 2 2 3 1/ 2 15/ 2 0 ˆ ˆ ˆ222 2221ˆ ˆ222 222 222 2 1 222 4 15 (1 2 ) 15 14737 2 4 (1 2 ) 4 20020 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                Các yếu tố ma trận của (0) x y zn n n E ứng với bậc 8 theo k   (0) (0) (0) (0) (0) 800 1 , , 0 2 2 4 6 8 1/2 15/2 0 ˆ ˆ ˆ800 8001ˆ ˆ800 800 800 2 1 800 4 19 2 1+56 +420 +560 +70 19 5931721 4 (1 2 ) 4 7001280 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                   (0) (0) (0) (0) (0) 620 1 , , 0 2 2 4 6 2 1 19/20 2 ˆ ˆ ˆ620 6201ˆ ˆ620 620 620 2 1 620 4 19 2 (1 30 90 20 ).(1 2 ) 19 8805289 4 4 12252240.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                       (0) (0) (0) (0) (0) 422 1 , , 0 2 2 4 2 2 1 19/20 2 ˆ ˆ ˆ422 4221ˆ ˆ422 422 422 2 1 422 4 19 2 (1 12 6 ).(1 2 ) 19 8038847 4 4 12252240.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                   Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 30   (0) (0) (0) (0) (0) 440 1 , , 0 2 2 4 2 1 19/20 2 ˆ ˆ ˆ440 4401ˆ ˆ440 440 440 2 1 440 4 19 2 (1 12 6 ) 19 1314641 4 4 1884960.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                 Các yếu tố ma trận của (0) x y zn n n E ứng với bậc 10 theo k   (0) (0) (0) (0) (0) 1000 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 1/ 2 23/ 2 0 ˆ ˆ ˆ1000 10001ˆ ˆ1000 1000 1000 2 1 1000 4 23 2 1 90 1260 4200 3150 252 23 97817443 4 (1 2 ) 4 124156032 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d Z                                         (0) (0) (0) (0) (0) 820 1 , , 0 2 2 4 6 8 2 1/ 2 23/ 2 0 ˆ ˆ ˆ820 8201ˆ ˆ820 820 820 2 1 820 4 23 2 (1 56 420 560 70 )(1 2 ) 23 12400173241 4 (1 2 ) 4 1862340480 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d Z                                         (0) (0) (0) (0) (0) 640 1 , , 0 2 2 4 6 2 4 1 23 0 2 2 ˆ ˆ ˆ640 6401ˆ ˆ640 640 640 2 1 640 4 23 (1 30 90 20 ).(1 12 6 ) 23 65992533 2 4 4 103463360 (1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                         (0) (0) (0) (0) (0) 622 1 , , 0 2 2 4 6 2 2 1/ 2 23/ 2 0 ˆ ˆ ˆ622 6221ˆ ˆ622 622 622 2 1 622 4 23 2 (1 30 90 20 )(1 2 ) 23 281330527 4 (1 2 ) 4 465585120 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d Z                                       (0) (0) (0) (0) (0) 442 1 , , 0 2 2 4 2 2 1 23/ 20 2 ˆ ˆ ˆ442 4421ˆ ˆ442 442 442 2 1 442 4 23 2 (1 12 6 ) .(1 2 ) 23 551803019 4 4 931170240.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z Zd                                    Các yếu tố ma trận của (0) x y zn n n E ứng với bậc 12 theo k   (0) (0) (0) (0) (0) 1200 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 2 1/2 27/2 0 ˆ ˆ ˆ1200 12001ˆ ˆ1200 1200 1200 2 1 1200 4 27 2 1 132 2970 18480 34650 16632 924 27 64164881316 4 (1 2 ) 4 8653299200 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d Z                                         Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 31   (0) (0) (0) (0) (0) 444 1 , , 0 2 2 4 3 1 27 / 20 2 ˆ ˆ ˆ444 4441ˆ ˆ444 444 444 2 1 444 4 27 2 (1 12 6 ) 27 54255501 4 4 100196096.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z Zd                                   (0) (0) (0) (0) (0) 642 1 , , 0 2 2 4 6 2 4 2 1 27/20 2 ˆ ˆ ˆ642 6421ˆ ˆ642 642 642 2 1 642 4 27 2 (1 30 90 20 )(1 12 6 )(1 2 ) 27 2618546951 4 4 4759314560 .(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z Zd                                           (0) (0) (0) (0) (0) 660 1 , , 0 2 2 4 6 2 1 27 / 20 2 ˆ ˆ ˆ660 6601ˆ ˆ660 660 660 2 1 660 4 27 2 (1 30 90 20 ) 27 13970291109 4 4 23796572800.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z Zd                                     (0) (0) (0) (0) (0) 840 1 , , 0 2 2 4 6 2 4 1 27/20 2 ˆ ˆ ˆ840 8401ˆ ˆ840 840 840 2 1 840 4 27 2 (1 56 420 560 )(1 12 6 ) 27 11329720657 4 4 19037258240.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z Zd                                         (0) (0) (0) (0) (0) 822 1 , , 0 2 2 4 6 2 2 1 27 /20 2 ˆ ˆ ˆ822 8221ˆ ˆ822 822 822 2 1 822 4 27 2 (1 56 420 560 )(1 2 ) 27 5389528059 4 4 9518629120.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z Zd                                       (0) (0) (0) (0) (0) 1020 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 2 1 27/20 2 ˆ ˆ ˆ1020 10201ˆ ˆ1020 1020 1020 2 1 1020 4 27 2 (1 90 1260 4200 3150 252 )(1 2 ) 27 29784110163 4 4 47593145600.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z Zd                                          Các yếu tố ma trận của (0) x y zn n n E ứng với bậc 14 theo k Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 32   (0) (0) (0) (0) (0) 1400 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 12 14 1/2 31/2 0 ˆ ˆ ˆ1400 14001ˆ ˆ1400 1400 1400 2 1 1400 4 31 2 1 82 6006 60060 210210 252252 84084 3432 4 (1 2 ) 31 104814 4 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                         954451 148912819200 Z     (0) (0) (0) (0) (0) 1022 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 2 2 1 31/ 20 2 ˆ ˆ ˆ1022 10221ˆ ˆ1022 1022 1022 2 1 1022 4 31 2 (1 90 1260 4200 3150 252 )(1 2 ) 4 .(1 2 ) 31 1336250281443 4 248436 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                        22003200 Z     (0) (0) (0) (0) (0) 1040 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 2 4 1 31/ 20 2 ˆ ˆ ˆ1040 10401ˆ ˆ1040 1040 1040 2 1 1040 4 31 2 (1 90 1260 4200 3150 252 )(1 12 6 ) 4 .(1 2 ) 31 83797862560571 4 1 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                          49061732019200 Z     (0) (0) (0) (0) (0) 1220 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 12 2 1 31/ 20 2 ˆ ˆ ˆ1220 12201ˆ ˆ1220 1220 1220 2 1 1220 4 31 2 (1 132 2970 18480 34650 16632 924 )(1 2 ) 4 .(1 2 ) 31 80459053 4 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                          28803 13551066547200 Z     (0) (0) (0) (0) (0) 644 1 , , 0 2 2 4 6 2 4 2 1 31/ 20 2 ˆ ˆ ˆ644 6441ˆ ˆ644 644 644 2 1 644 4 31 2 (1 30 90 20 )(1 12 6 ) 31 503222614465 4 4 993744880128.(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z Zd                                         (0) (0) (0) (0) (0) 662 1 , , 0 2 2 4 6 2 2 2 1 31/ 20 2 ˆ ˆ ˆ662 6621ˆ ˆ662 662 662 2 1 662 4 31 2 (1 30 90 20 ) (1 2 ) 31 6379165669237 4 4 24843622003200 .(1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z Zd                                     Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 33   (0) (0) (0) (0) (0) 842 1 , , 0 2 2 4 6 8 2 4 2 1 31/ 20 2 ˆ ˆ ˆ842 8421ˆ ˆ842 842 842 2 1 842 4 31 2 (1 56 420 560 70 )(1 12 6 )(1 2 ) 4 .(1 2 ) 31 245352803741 4 473211847680 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d Z                                              (0) (0) (0) (0) (0) 860 1 , , 0 2 2 4 6 8 2 4 6 1 31/ 20 2 ˆ ˆ ˆ860 8601ˆ ˆ860 860 860 2 1 860 4 31 2 (1 56 420 560 70 )(1 30 90 20 ) 4 .(1 2 ) 31 1093669431691 4 1987489760256 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d Z                                             Các yếu tố ma trận của (0) x y zn n n E ứng với bậc 16 theo k   (0) (0) (0) (0) (0) 1600 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 12 14 16 1/2 35/2 0 ˆ ˆ ˆ1600 16001ˆ ˆ1600 1600 1600 2 1 1600 4 35 2 1 240 10920 160160 900900 20180 168168 411840 12870 4 (1 2 ) x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                        35 1212644958676777 4 1895759463628800 Z       (0) (0) (0) (0) (0) 1420 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 12 14 2 1/2 23/2 0 ˆ ˆ ˆ1420 14201ˆ ˆ1420 1420 1420 2 1 1420 4 35 2 (1 182 6006 60060 210210 252252 84084 3432 )(1 2 ) 4 (1 2 ) 3 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                         5 57608158371683 4 101558542694400 Z      (0) (0) (0) (0) (0) 1240 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 12 2 4 1 35 0 2 2 ˆ ˆ ˆ1240 12401ˆ ˆ1240 1240 1240 2 1 1240 4 35 (1 132 2970 18480 34650 16632 924 ).(1 12 6 ) 2 4 (1 2 ) 35 1414 4 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                            048573231103 2640522110054400   Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 34   (0) (0) (0) (0) (0) 1222 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 12 2 2 1/2 35/2 0 ˆ ˆ ˆ1222 12221ˆ ˆ1222 1222 1222 2 1 1222 4 35 2 (1 132 2970 18480 34650 16632 924 )(1 2 ) 4 (1 2 ) 35 6761001 4 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                         40742261 1320261055027200 Z     (0) (0) (0) (0) (0) 1060 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 2 4 6 1 35/20 2 ˆ ˆ ˆ1060 10601ˆ ˆ1060 1060 1060 2 1 1060 4 35 2 (1 90 1260 4200 3150 252 ).(1 30 90 20 ) 4 .(1 2 ) 35 72490711 4 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                            02959 13897484789760 Z     (0) (0) (0) (0) (0) 1042 1 , , 0 2 2 4 6 8 10 2 4 2 1 35/20 2 ˆ ˆ ˆ1042 10421ˆ ˆ1042 1042 1042 2 1 1042 4 35 2 (1 90 1260 4200 3150 252 ).(1 12 6 ).(1 2 ) 4 .(1 2 ) 35 651282 4 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                            340298999 1320261055027200 Z     (0) (0) (0) (0) (0) 880 1 , , 0 2 2 4 6 8 2 1 35/ 20 2 ˆ ˆ ˆ880 8801ˆ ˆ880 880 880 2 1 880 4 35 2 (1 56 420 560 70 ) 4 .(1 2 ) 35 70078152027853 4 135411390259200 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d Z                                        (0) (0) (0) (0) (0) 862 1 , , 0 2 2 4 6 8 2 4 6 2 1 35/ 20 2 ˆ ˆ ˆ862 8621ˆ ˆ862 862 862 2 1 862 4 35 2 (1 56 420 560 70 ).(1 30 90 20 ).(1 2 ) 4 .(1 2 ) 35 213802182259759 4 44008 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d                                            7018342400 Z   Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 35   (0) (0) (0) (0) (0) 844 1 , , 0 2 2 4 6 8 2 4 2 1 35/ 20 2 ˆ ˆ ˆ844 8441ˆ ˆ844 844 844 2 1 844 4 35 2 (1 56 420 560 70 ).(1 12 6 ) 4 .(1 2 ) 35 84432151660319 4 176034807336960 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d Z                                            (0) (0) (0) (0) (0) 664 1 , , 0 2 2 4 6 2 2 4 1 35/ 20 2 ˆ ˆ ˆ664 6641ˆ ˆ664 664 664 2 1 664 4 35 2 (1 30 90 20 ) .(1 12 6 ) 4 .(1 2 ) 35 34900487521241 4 73347836390400 x y z x y z S S SZE H N dt t Z d Z                                        Thay 16 9    vào ta tính được bổ chính bậc hai ứng với các trường hợp k khác nhau ta được: Bảng 2.1 Bổ chính bậc hai ứng với các trường hợp k khác nhau khi 16 9    Tổng k (2)0E (0) (2)0 0 0E E E   2 -0.00000000000000000 -0.42441318157838759 4 -0.034703451862221735 -0.45911663344060933 6 -0.049416529636782768 -0.47382971121517036 8 -0.056813370780071474 -0.48122655235845906 10 -0.061569668570646253 -0.48598285014903384 12 -0.064712943020249048 -0.48912612459863665 14 -0.066913184271357377 -0.49132636584974497 16 -0.067797019939176342 -0.49221020151756393 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 36 2.3 Nhận xét Giá trị của bổ chính năng lượng bậc hai tăng khi k tăng, nhưng hội tụ về -0.5. Như vậy, bằng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn, ta tính được mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa tính bổ chính là (0)0 -0.42441318157838759E  , khá gần với kết quả thu được của bài toán chính xác 0E = - 0.5 . Khi bài toán có xét thêm bổ chính bậc hai thì giá trị củ._.