Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình

ợc ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận án Lê Thị Phương Ngọc LỜI CÁM ƠN Tôi vô cùng biết ơn PGS. TS. Lê Hoàn Hoá, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thầy đã giảng dạy, hướng dẫn và tận tình giúp đỡ tôi về mọi mặt trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy thật sự là Người Cha nghiêm khắc của tôi trong việc chỉ bảo và rèn luyện cho tôi những đức tính cần có của người làm khoa học. Tôi biết ơn sâu sắc TS. Nguyễn Thành Long, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp. HCM, về sự giúp đỡ tận tình và sự chỉ bảo vô cùng quý báu cũng như rất nghiêm khắc của Thầy cho tôi trong nghiên cứu khoa học. Thầy đã cho tôi cơ hội để tham gia đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ bản và sinh hoạt học thuật theo các hướng nghiên cứu mà Thầy đang chủ trì, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt luận án. Tôi xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Nhà Khoa học là các thành viên trong các Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn và cấp Nhà nước, là các chuyên gia Phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét, đánh giá và bình luận quý báu cùng với những chỉ bảo, đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận án một cách tốt nhất. Tôi kính gửi đến Quý Thầy Cô trong và ngoài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đồng kính gửi đến Ban Tổ chức các hội nghị khoa học về Toán học lời cám ơn trân trọng, trong suốt thời gian qua, tôi luôn nhận được sự giúp đỡ của Quý Thầy Cô trong học tập, trong nghiên cứu cũng như cho tôi điều kiện thuận lợi để tìm kiếm tài liệu và tham dự các hội nghị khoa học. Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Toán Giải tích và Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và bảo vệ luận án, những lời cám ơn chân thành và trân trọng. Tôi chân thành và trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô và các chuyên viên ở Vụ Đại học và Sau Đại học của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn tất các thủ tục quan trọng trong quá trình bảo vệ luận án. Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trường, Ban Chủ nhiệm Khoa Tự nhiên và các Phòng Ban khác của Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang, nơi tôi giảng dạy, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về vật chất cũng như tinh thần để tôi hoàn thành tốt các nhiệm vụ của nghiên cứu sinh, những lời cám ơn sâu sắc và trân trọng. Tôi thành thật cám ơn các Anh Chị đồng nghiệp và các Người thân của tôi đã giúp đỡ tôi về mọi mặt. Gia đình tôi cũng là nguồn động viên to lớn của tôi. Tôi thật sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tất cả những Người đã chỉ bảo, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt. Nghiên cứu sinh Lê Thị Phương Ngọc BẢNG CÁC KÝ HIỆU Đà SỬ DỤNG N Tập hợp các số tự nhiên. N∗ Tập hợp các số tự nhiên khác 0. R Tập hợp các số thực. R+ Tập hợp các số thực khơng âm. Rn Khơng gian Euclide thực n-chiều. ∂Ω Biên của Ω. Ω Bao đĩng của Ω. coM Bao lồi của M . A×B Tích Đềcác của hai tập hợp A và B. (X, |.|n) Khơng gian vectơ X với họ nửa chuẩn đếm được |.|n. (X, d) Khơng gian metric X với metric d. (E, |.|) Khơng gian Banach E với chuẩn |.|. ‖ · ‖X Chuẩn trên khơng gian Banach X. X ′ Khơng gian đối ngẫu của X. C[a, b] Khơng gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]. C1[a, b] Khơng gian các hàm số thực khả vi liên tục trên đoạn [a, b]. C0(Ω) ≡ C(Ω) Khơng gian gồm các hàm số u : Ω → R liên tục trên Ω, Ω là tập mở trong Rn. Cm(Ω) Khơng gian các hàm số u ∈ C0(Ω) sao cho Dαu ∈ C0(Ω), với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m. Cm(Ω) Khơng gian các hàm số u ∈ Cm(Ω) sao cho Dαu bị chặn và liên tục đều trên Ω, với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m. C([a, b];E) Khơng gian các hàm liên tục u : [a, b] → E. C(R+;E) Khơng gian các hàm liên tục u : R+ → E. f : X → Y, f |A Ánh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập A ⊂ X. L1[a, b] Khơng gian các hàm số thực x(t) sao cho |x(t)| khả tích Lebesgue trên [a, b]. Lp(0, T ;X), 1 ≤ p ≤ ∞ Khơng gian các hàm đo được u : (0, T ) → X sao cho ‖u‖Lp(0,T ;X) = ( ∫ T 0 ‖u(t)‖pXdt )1/p < ∞ với 1 ≤ p < ∞, ‖u‖L∞(0,T ;X) = ess sup0<t<T ‖u(t)‖X với p = ∞. u′′ + f(t, ut, u′(t)) = 0 Phương trình vi phân hàm cấp hai được xét trong chương 2, u là ẩn hàm theo t, ut là hàm cĩ đối số chậm, u′, u′′ lần lượt chỉ đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 của u theo t. u(t) ≡ u(r, t) Hàm theo hai biến r, t xét trong chương 3, u′(t) = ut(t) = u˙(t) ∂u∂t (r, t), u′′(t) = utt(t) = u¨(t) ∂ 2u ∂t2 (r, t), ur(t) = ∇u(t) ∂u∂r (r, t), urr(t) ∂2u ∂r2 (r, t).  Kết thúc chứng minh. ? Kết luận của chương. 1MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của Giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder (1930). Nguyên lý điểm bất động Brouwer được Brouwer chứng minh dựa trên lý thuyết bậc tơpơ của ánh xạ liên tục trong khơng gian hữu hạn chiều. Đây cũng là một định lý được xem là thành tựu sớm nhất của tơpơ đại số và làm nền mĩng cho các hướng nghiên cứu tiếp theo của nhiều nhà Tốn học, dẫn đến các kết quả cơ bản khác. Định lý điểm bất động Schauder chính là một mở rộng của nguyên lý điểm bất động Brouwer cho khơng gian vơ hạn chiều (áp dụng cho khơng gian Banach). Một mở rộng khác là định lý Tychonoff (1935, áp dụng cho khơng gian vectơ tơpơ lồi địa phương),v.v. Định lý điểm bất động Brouwer cịn được mở rộng cho ánh xạ đa trị bởi các nhà Tốn học như Kakutani (1941), Bohnenblust và Karlin (1950), Ky Fan (1960/61). Năm 1929, ba nhà Tốn học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng, Bổ đề KKM, đem đến một cách chứng minh đơn giản nguyên lý điểm bất động Brouwer và đặc biệt hơn nữa, bổ đề KKM và nguyên lý điểm bất động Brouwer là hai kết quả tương đương nhau. Từ sự xuất hiện của bổ đề KKM, cùng những kết quả sâu sắc trong các cơng trình nghiên cứu của Ky Fan làm nền tảng, lý thuyết KKM hình thành, phát triển và được sử dụng rộng rãi như một cơng cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị, lý thuyết biến phân, tốn kinh tế, v.v. Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong khơng gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động đĩ, nguyên lý điểm bất động Banach cùng các hệ quả và các mở rộng của nĩ đã được vận dụng rất phổ biến và thành cơng trong chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các bài tốn thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích. Trên cơ sở nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểm bất động và tìm cách mở rộng chúng để giải các bài tốn trong các lớp khơng gian khác nhau, lý thuyết điểm bất động được phát triển khơng ngừng thành một lý thuyết đa dạng, phong phú bao gồm nhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ như ánh xạ co, nén, ánh xạ khơng giãn, ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều mở rộng 2của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị, trong mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biến phân Ekland, nguyên lý min-max, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tơpơ, v.v., tổng quan về các vấn đề này cĩ thể tìm thấy trong các tài liệu như [12, 17, 18, 44] và trong nhiều cơng trình nghiên cứu của các nhà Tốn học mà tiêu biểu là S. Park [48, 50, 54], S. Park, Đ. H. Tân [51, 52], S. Park , B.G. Kang [49], L.A.Dung, Đ. H. Tân [15]. Chính từ sự phát triển đĩ, cùng với các tác động tích cực của các lý thuyết khác, mà lý thuyết điểm bất động luơn được xem là cơng cụ quan trọng trong việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, hố học, sinh học, cơ học. Việc ứng dụng lý thuyết điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân và tích phân được mở đầu bằng những kết quả nổi tiếng của Picard và Peano vào cuối thế kỷ 19, trong đĩ xét bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân với vế phải thoả mãn điều kiện Lipschitz (định lý Picard) hoặc điều kiện liên tục (định lý Peano). Ứng với hai bài tốn này, hai định lý điểm bất động của Banach và Schauder thật sự là cơng cụ hữu hiệu. Nguyên lý ánh xạ co của Banach: [17] Cho (M,ρ) là khơng gian metric đầy đủ và T : M → M là ánh xạ co, nghĩa là: Tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho ρ(Tx, Ty) ≤ kρ(x, y),∀x, y ∈ M. Khi đĩ T cĩ duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ M. Hơn nữa với mỗi x0 ∈ M cho trước, dãy lặp {T nx0} hội tụ về x∗. Định lý Schauder: [25] Cho K là tập con khác rỗng, lồi, đĩng của khơng gian Banach E và T : K → K là ánh xạ liên tục sao cho bao đĩng T (K) của T (K) là tập compact. Khi đĩ T cĩ ít nhất một điểm bất động. Kết hợp hai định lý đĩ, Krasnosel’skii đã chứng minh được: Định lý Krasnosel’skii: [61] Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đĩng và bị chặn của khơng gian Banach X. Giả sử U : M → X là ánh xạ co và C : M → X là tốn tử compact, nghĩa là: C liên tục và C(M) chứa trong một tập compact, sao cho U(x) +C(y) ∈ M, ∀x, y ∈ M. Khi đĩ U + C cĩ điểm bất động. Sau khi xuất hiện định lý Krasnosel’skii, người ta đã xét đến sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân chứa tổng hai số hạng với các hàm dưới dấu tích phân tương ứng thoả điều kiện Lipschitz và điều kiện liên tục, mở ra nhiều cơng trình nghiên cứu về các định lý điểm bất động kiểu 3Krasnosel’skii và ứng dụng, chẳng hạn như [3, 4, 7, 8, 13, 21, 53]. Áp dụng định lý Schauder, lý thuyết bậc và lý thuyết dựa trên các ánh xạ cốt yếu - "Topological Transversality", Leray và Schauder đã chứng minh các định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder, trong đĩ nguyên lý về sự loại trừ phi tuyến cho ánh xạ compact "Nonlinear alternative" là cơng cụ quan trọng để thiết lập các nguyên lý tồn tại nghiệm của một số bài tốn giá trị biên [46]. Các ứng dụng cụ thể khác của các định lý điểm bất động trong việc nghiên cứu tính giải được của các lớp phương trình như phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn như [12, 17, 18, 25, 46, 61], trong các cơng trình khoa học cơng bố trên nhiều tạp chí của rất nhiều tác giả, như: Abdou [1], Avramescu [3, 4], Burton [7, 8], Henriquez [20], Liu, Naito, N.V. Minh [28], Pavlakos, Stratis [55], Raffoul [13], cịn cĩ thể tìm thấy nhiều cơng trình khác đăng trên các tạp chí Tốn học trong và ngồi nước đã sử dụng phương pháp điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm. Để dễ truy cập, chúng tơi xin nêu các bài số 06/2000, 24/2001, 71/2002, 04/2003, 22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 13, 19, 21, 22, 24, 34, 36, 57 thuộc Vol. 2006, v.v., trong "Electronic J. Differential Equations" làm ví dụ, ở đĩ các định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định lý Krasnosel’skii trên một nĩn, định lý Darbo, v.v., được áp dụng. Ngồi ra, cịn cĩ các tạp chí chuyên về lĩnh vực này mới được xuất bản gần đây, chẳng hạn như "Fixed Point Theory and Applications" năm 2004 của nhà xuất bản Hindawi, "Journal of Fixed Point Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer. Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tơi nghiên cứu là cần thiết và cĩ ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng. Trong luận án này, chúng tơi áp dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý luận về tính compact thơng dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm và các vấn đề liên quan đến nghiệm cho ba bài tốn thuộc lý thuyết phương trình tích phân, vi phân và đạo hàm riêng sau đây: - Phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra; - Bài tốn giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ đối số chậm; - Bài tốn hỗn hợp cho phương trình sĩng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff trên màng trịn đơn vị. Sau đây là phần giới thiệu tổng quát về ba bài tốn nĩi trên. 41. Bài tốn thứ nhất đề cập đến phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra: x(t) = q(t) + f(t, x(t)) + ∫ t 0 V (t, s, x(s))ds + ∫ t 0 G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+, (0.0.1) ở đây E là khơng gian Banach với chuẩn |.|,R+ = [0,∞), q : R+ → E; f : R+ × E → E;G, V : ∆ × E → E được giả sử là các hàm liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+, s ≤ t}. Trường hợp E = Rd và hàm V (t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba, phương trình (0.0.1) đã được nghiên cứu bởi Avramescu và Vladimirescu [4]. Các tác giả đã áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trong [3, Định lý K”’] để chứng minh sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân: x(t) = q(t) + f(t, x(t)) + ∫ t 0 V (t, s)x(s)ds + ∫ t 0 G(t, s, x(s))ds , t ∈ R+, (0.0.2) q : R+ → Rd; f : R+ × Rd → Rd;V : ∆ → Md(R), G : ∆× Rd → Rd được giả sử là liên tục, ∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+, s ≤ t} và Md(R) là tập hợp các ma trận thực cấp d× d. Trường hợp (0.0.1) cĩ f = 0 và V (t, s, x(s)) = V (s, x(s)), sự tồn tại nghiệm của phương trình đã được nghiên cứu bởi Hĩa và Schmitt [21], cũng bằng cách sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii. Phương trình (0.0.1) cĩ tính tổng quát hơn cho lớp phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra được xét trong [4, 21]. Để thu được sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, chúng tơi đã chứng minh một định lý kiểu Krasnosel’skii làm cơng cụ kết hợp với việc sử dụng định lý Banach trong khơng gian Fréchet và giải các bất phương trình tích phân Volterra phi tuyến. Kết quả này chứa các kết quả tương ứng trong [4, 21] như các trường hợp riêng và đã được cơng bố trong [N4]. Một ví dụ minh hoạ về sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (0.0.1) trong khơng gian Banach E = C[0, 1], trong đĩ f 6= 0, V (t, s, x) khơng tuyến tính theo biến thứ ba, cho thấy kết quả đạt được mạnh hơn kết quả trước đĩ. 5Ngồi ra, áp dụng định lý Krasnosel’skii - Perov về tính compact và liên thơng của tập các điểm bất động, chúng tơi nghiên cứu tính compact và liên thơng của tập nghiệm hay cịn gọi là tính chất Hukuhara-Kneser. Kiểu cấu trúc này của tập nghiệm cũng được nghiên cứu trong [5, 11, 43, 58, 59] dựa trên định lý Aronszajn hoặc định lý về tính compact và liên thơng của tập các điểm bất động được nêu bởi Deimling, [12, tr. 212]. Kết quả thu được ở đây chứa đựng một kết quả đã cơng bố trong [N3] như một trường hợp riêng, ứng với q = 0, f = 0, V (t, s, x(s)) = V (s, x(s)), và đã gửi cơng bố trong [N8]. Nhờ tính chất của tập liên thơng trong khơng gian Banach ([25, tr.316]), tính liên thơng của tập nghiệm của (0.0.1) cĩ một ý nghĩa quan trọng. Đĩ là, nếu (0.0.1) cĩ hai nghiệm phân biệt thì sẽ cĩ một lực lượng continuum các nghiệm khác nhau. Về điều này, một ví dụ minh hoạ được trình bày, trong đĩ nêu ra được 3 nghiệm phân biệt. Mặt khác, sự mở rộng của bài tốn đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng tơi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình: x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(pi(t))) + ∫ t 0 V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds + ∫ t 0 G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+ (0.0.3) và với pi(t) = t, hay nĩi cách khác f(t, x(t), x(pi(t))) = f(t, x(t)) sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, đồng thời tính compact, liên thơng của tập nghiệm của (0.0.3) cũng được chỉ ra. Kết quả này đã trình bày trong [N4, N8]. 2. Bài tốn thứ hai đề cập đến phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ chậm: u′′ + f(t, ut, u′(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, (0.0.4) ở đây f : [0, 1]×C ×R → R là hàm liên tục, với một trong những điều kiện biên u0 = φ, u(1) = u(η), (0.0.5) u0 = φ, u(1) = α[u ′(η)− u′(0)], (0.0.6) hoặc với điều kiện đầu u0 = φ, u ′(0) = 0, (0.0.7) trong đĩ φ ∈ C = C([−r, 0];R), 0 < η < 1, α ∈ R. Bài tốn giá trị biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình 6vi phân hàm đã được nhiều tác giả nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau trong đĩ cĩ sử dụng phương pháp điểm bất động, chúng tơi xin giới thiệu các tác giả của [19, 39, 45, 46, 57, 62] và các tài liệu tham khảo nêu ra ở đĩ. Trong [45], Ntouyas chứng minh sự tồn tại nghiệm cho phương trình vi phân hàm d dt [x′(t)− g(t, xt)] = f(t, xt, x′(t)), 0 ≤ t ≤ 1, x0 = φ, x(1) = η, ở đây f : [0, 1] × C × Rn → Rn, g : [0, 1] × C → Rn là các hàm liên tục, φ ∈ C, η ∈ Rn. Trong [62], sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào một tham số thực α của bài tốn sau đây đã được Bo Zhang thiết lập ( Λ(t)x′(t))′ = f(t, xt, x′(t)), 0 ≤ t ≤ T, x0 = φ, Ax(T ) + Bx ′(T ) = v, trong đĩ Λ(t) là một ma trận thực cấp n× n phụ thuộc liên tục theo t trên [0, T ], A và B là các ma trận hằng cấp n×n, v ∈ Rn, φ ∈ C = C([−r, 0];Rn). Và gần đây, Ma [39] và Yong-Pin Sun [57] đã nghiên cứu bài tốn giá trị biên u′′ + f(t, u) = 0, 0 < t < 1, ở đây f : [0, 1] × R → R là hàm liên tục, liên kết với một trong những điều kiện biên u(0) = 0, u(1) = αu(η), hoặc u′(0) = 0, u(1) = αu′(η). Các bài tốn cho phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ chậm: (0.0.4)- (0.0.5), (0.0.4)- (0.0.6) là các bài tốn ba điểm biên ở một dạng khác, cĩ thể xem đĩ là một mở rộng của [39, 57] - f chứa thêm thành phần cĩ chậm, trên cơ sở dạng bài tốn cĩ chậm được nêu trong [45, 62]. Ở các bài báo [45, 62], các tác giả đã nghiên cứu bài tốn cĩ chậm với vế trái tổng quát hơn và với điều kiện biên dạng khác. So với [45]- chỉ xét vấn 7đề tồn tại nghiệm, và [62]- xét sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cho bài tốn hai điểm biên, thì vấn đề chúng tơi nghiên cứu ở đây cĩ phần đa dạng hơn. Tiếp thu ý tưởng và kỹ thuật trong các bài báo nĩi trên, ngồi nghiên cứu về tồn tại nghiệm bằng cách áp dụng định lý Leray-Schauder, chúng tơi cịn đề cập đến sự tồn tại duy nhất nghiệm - bằng cách áp dụng nguyên lý ánh xạ co và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cho bài tốn ba điểm biên (0.0.4)- (0.0.5) và bài tốn giá trị đầu (0.0.4)- (0.0.7). Sự tồn tại nghiệm của bài tốn giá trị biên hỗn hợp (0.0.4)- (0.0.6) cũng được thiết lập. Ngồi ra, tiếp tục sử dụng định lý Krasnosel’skii - Perov, chúng tơi nghiên cứu tính chất Hukuhara-Kneser của tập hợp nghiệm của bài tốn giá trị đầu. Tồn bộ các kết quả này đã được cơng bố trong [N2]. 3. Bài tốn thứ ba là bài tốn hỗn hợp cho phương trình sĩng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff: utt −B ( t, ||u||20, ||ur||20, ||ut||20 ) (urr + 1 rur) = f(r, t, u, ur), 0 < r < 1, 0 < t < T,∣∣ limr→0+ √rur(r, t)∣∣ < +∞, ur(1, t) + hu(1, t) = 0, u(r, 0) = u˜0(r), ut(r, 0) = u˜1(r), (0.0.8) trong đĩ hằng số h > 0, ‖u‖20 = 1∫ 0 r |u(r, t)|2 dr, ‖ur‖20 = 1∫ 0 r |ur(r, t)|2 dr, ‖ut‖20 = 1∫ 0 r |ut(r, t)|2 dr và các hàm số B, f, u˜0, u˜1 là cho trước. Đây là một sự tiếp nối của các cơng trình nghiên cứu về phương trình sĩng như [6, 14, 23, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 47]. Trong các cơng trình này, các tác giả đã sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với phương pháp điểm bất động và lý luận về tính compact thơng dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn. Sự tồn tại nghiệm địa phương được chứng minh dựa vào định lý Schauder và nĩi chung chưa được trình bày tường minh. Bài tốn (0.0.8) được xét gồm hai phần. Phần thứ nhất về tồn tại và duy nhất nghiệm được nghiên cứu bằng phương pháp tương tự trên nhưng ở bước xấp xỉ tuyến tính (hoặc khơng tuyến tính khi xét một trường hợp riêng) thì được thực hiện theo nguyên lý ánh xạ co, thu được nghiệm duy nhất trên 8tồn đoạn [0, T ]. Trường hợp tổng quát, chúng tơi thu được một dãy lặp hội tụ mạnh (cấp một) về nghiệm của bài tốn trong các khơng gian hàm Sobolev cĩ trọng thích hợp. Để cĩ được sự hội tụ và đánh giá sai số là cấp hai, chúng tơi đã xét một trường hợp riêng và xây dựng một dãy lặp phi tuyến. Phần thứ hai chỉ ra một khai triển tiệm cận theo một tham số nhiễu xuất hiện ở các số hạng phi tuyến thuộc vế phải và vế trái của phương trình sĩng đến một cấp phụ thuộc vào cấp của tính trơn của dữ kiện. Kết quả nhận được tổng quát tương đối các kết quả trong [14, 33, 36, 37, 38] và được cơng bố trong [N5, N6], gửi cơng bố trong [N7]. Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chương chính (1-3), kết luận, danh mục các cơng trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Kết quả chúng tơi thu được ở trên cho ba bài tốn sẽ được trình bày lần lượt trong các chương 1, 2 và 3 với nội dung tĩm tắt như sau: Chương 1 trình bày một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và định lý này được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân dạng Volterra. Kết quả đạt được mạnh hơn những kết quả trước đĩ, điều này được minh họa bởi một ví dụ, đồng thời vẫn cịn đúng trong trường hợp tổng quát. Mặt khác, tính chất Hukuhara-Kneser của phương trình tích phân nĩi trên cũng được đề cập và một ví dụ được nêu ra về phương trình cĩ nhiều hơn hai nghiệm. Trong chương 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder về sự loại trừ phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co, chúng tơi chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài tốn ba điểm biên cho phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ đối số chậm. Cũng với phương pháp này, sự tồn tại nghiệm của bài tốn giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp và bài tốn giá trị đầu cho phương trình đang xét cũng được nghiên cứu. Đối với bài tốn giá trị đầu, sự duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cũng được thiết lập và hơn nữa, với các điều kiện đã cho, tập nghiệm khơng chỉ khác rỗng, mà cịn là tập compact và liên thơng. Chương 3 xét bài tốn giá trị biên-ban đầu cho phương trình sĩng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff. Trước hết, bài tốn được liên kết với một dãy quy nạp tuyến tính mà sự tồn tại nghiệm địa phương được chứng minh bằng phương pháp Galerkin, nguyên lý ánh xạ co và lý luận về tính compact thơng dụng trong các khơng gian Sobolev cĩ trọng thích hợp. Từ đĩ, tính giải được và giải được duy nhất của bài tốn được thiết lập. Tiếp theo, chúng tơi sẽ 9đặt các điều kiện để thu được một thuật giải lặp cấp hai hội tụ. Sau hết là khai triển tiệm cận theo tham số bé ε đến cấp N +1 cho nghiệm yếu của bài tốn. Tồn bộ các kết quả nêu ra trong luận án được cơng bố trong [N2-N6] và gửi cơng bố trong [N7, N8]. Ngồi ra, các nội dung và phương pháp nghiên cứu của luận án cũng được thể hiện, vận dụng cho các phương trình dạng khác và đã được cơng bố trong [N1, N9, N10]. Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo trong các hội nghị: - Hội nghị khoa học khoa Tốn-Tin học ĐHSP Tp. HCM, 22/12/2002. - The International Conference on Differential Equations and Applications, HCM City 22-25/08/2004. - Hội nghị tồn quốc lần thứ hai về Ứng dụng Tốn học, Hà Nội 23- 25/12/2005. Chương 1 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL’SKII VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.1 Giới thiệu. Trong chương này, chúng tơi xét phương trình tích phân Volterra phi tuyến: x(t) = q(t) + f(t, x(t)) + ∫ t 0 V (t, s, x(s))ds + ∫ t 0 G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+, (1.1.1) ở đây E là khơng gian Banach với chuẩn |.|,R+ = [0,∞), q : R+ → E; f : R+ × E → E;G, V : ∆ × E → E được giả sử là các hàm liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+, s ≤ t}. Chương này gồm 6 mục. Trong mục 1.2, một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii được chứng minh. Áp dụng định lý này, các mục 1.3, 1.4 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Cuối mục 1.4 chúng tơi trình bày một ví dụ minh hoạ các kết quả thu được khi các điều kiện đặt ra là đúng. Trong mục 1.5, với các giả thiết như ở mục 1.3, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (1.1.1) được chứng tỏ là tập hợp compact, liên thơng. Một ví dụ về phương trình (1.1.1) cĩ nhiều hơn hai nghiệm cũng được nêu. Cuối cùng, trong mục 1.6, một sự mở rộng của bài tốn đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng tơi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình: x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(pi(t))) + ∫ t 0 V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds + ∫ t 0 G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+ (1.1.2) 10 11 và với pi(t) = t, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận đồng thời tính compact, liên thơng của tập nghiệm của (1.1.2) cũng được trình bày. Kết quả thu được là tổng quát hơn các kết quả tương ứng trong [4, 21]. Phần lớn nội dung của chương đã được cơng bố trong [N4], riêng kết quả về cấu trúc tập nghiệm thì được cơng bố trong [N3] như một trường hợp riêng và gửi cơng bố trong [N8]. 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii. Các định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, như ([3, Định lý K”’]) và ([21, Định lý 3]), là sự mở rộng của định lý Krasnosel’skii. Một trong những hướng mở rộng định lý Krasnosel’skii là thay thế khơng gian Banach bởi một khơng gian tổng quát hơn, chẳng hạn là khơng gian Fréchet. Đĩ là khơng gian vectơ tơpơ lồi địa phương X với tơpơ được sinh ra bởi một metric d bất biến qua một phép tịnh tiến và (X, d) là đầy đủ. Một cách thuận lợi để xây dựng khơng gian Fréchet là dựa trên khái niệm nửa chuẩn [3, 10, 12, 60]. Mỗi một khơng gian vectơ X với một họ nửa chuẩn |.|n đếm được cĩ tính chất: ∀x ∈ X, x 6= 0,∃n ∈ N∗, |x|n 6= 0, sẽ là một khơng gian metric đầy đủ với metric d(x, y) = ∞∑ n=1 2−n |x− y|n 1 + |x− y|n và ta cĩ ( X, |.|n) là khơng gian Fréchet. Trong khơng gian này, định lý Banach được phát biểu như sau: Định lý Banach trong khơng gian Fréchet: ([3, Định lý B]) Cho (X, |.|n) là một khơng gian Fréchet, M ⊂ X đĩng và U : M → M là ánh xạ co, nghĩa là: ∀n ∈ N∗,∃kn ∈ [0, 1),∀x, y ∈ M, |Ux− Uy|n ≤ kn|x− y|n. Khi đĩ Ucĩ duy nhất một điểm bất động. Kết hợp hai định lý ([3, Định lý K”’]) và ([21, Định lý 3]), chúng tơi thu được định lý sau: Định lý 1.2.1. Giả sử (X, |.|n) là khơng gian Fréchet và U,C : X → X là hai tốn tử thoả mãn các điều kiện sau: 12 (i) U là tốn tử co, ứng với họ nửa chuẩn ||.||n tương đương với họ nửa chuẩn |.|n. (ii) C hồn tồn liên tục nghĩa là C liên tục và biến các tập bị chặn thành tập compact tương đối. (iii) lim |x|n→∞ |Cx|n |x|n = 0,∀n ∈ N∗. Khi đĩ U + C cĩ điểm bất động. Chứng minh định lý 1.2.1. Trước hết ta chú ý rằng, từ điều kiện (i), tốn tử (I − U)−1 được xác định và liên tục. Hai họ nửa chuẩn ||.||n, |.|n tương đương nên tồn tại các số thực K1n, K2n > 0 sao cho K1n||x||n ≤ |x|n ≤ K2n||x||n,∀n ∈ N∗. Suy ra (a) Tập hợp {|x|n, x ∈ A} bị chặn khi và chỉ khi {||x||n, x ∈ A} bị chặn, với A ⊂ X,∀n ∈ N∗; (b) Với mọi dãy (xm) trong X, với mọi n ∈ N∗, vì lim m→∞ |xm − x|n = 0 ⇔ limm→∞ ||xm − x||n = 0, nên (xm) hội tụ về x ứng với |.|n khi và chỉ khi (xm) hội tụ về x ứng với ||.||n. Từ đĩ (ii) cũng được thoả mãn ứng với (X, ||.||n). Mặt khác, ta cũng cĩ: K1n K2n ||Cx||n ||x||n ≤ K1n ||Cx||n |x|n ≤ |Cx|n |x|n ≤ K2n ||Cx||n |x|n ≤ K2n K1n ||Cx||n ||x||n , ∀x ∈ X,∀n ∈ N∗. Suy ra lim |x|n→∞ |Cx|n |x|n = 0 tương đương với lim||x||n→∞ ||Cx||n ||x||n = 0. Bây giờ ta chứng minh U + C cĩ điểm bất động. Với mỗi a ∈ X, ta định nghĩa tốn tử Ua : X → X bởi Ua(x) = U(x) + a. Dễ thấy rằng Ua là tốn tử co và do đĩ, với mỗi a ∈ X,Ua cĩ duy nhất một điểm bất động, ký hiệu là φ(a), thế thì Ua(φ(a)) = φ(a) ⇔ U(φ(a)) + a = φ(a) ⇔ φ(a) = (I − U)−1(a). 13 Gọi u0 là điểm bất động của U. Với mỗi x ∈ X, xét UmC(x)(u0),m ∈ N∗ ở đây UmC(x)(y) = UC(x)(U m−1 C(x) (y)) = U(U m−1 C(x) (y)) + C(x),∀y ∈ X. Với mỗi n ∈ N∗ cố định, với mọi m ∈ N∗, ta cĩ ||UmC(x)(u0)− u0||n = ||UC(x)(Um−1C(x) (u0))− U(u0)||n ≤ ||UC(x)(Um−1C(x) (u0))− U(Um−1C(x) (u0))||n + ||U(Um−1C(x) (u0))− U(u0)||n ≤ ||C(x)||n + kn||Um−1C(x) (u0)− u0||n, từ đĩ bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được với mọi m ∈ N∗, ||UmC(x)(u0)− u0||n ≤ (1 + kn + ... + km−1n )||C(x)||n ≤ α||C(x)||n, (1.2.1) trong đĩ α = 11−kn > 1. Như đã nĩi ở trên, (iii) được thoả mãn ứng với (X, ||.||n), nên với số 14α > 0, tồn tại M˜ > 0, (ta chọn M˜ > ||u0||n) sao cho ||x||n > M˜ ⇒ ||Cx||n < 1 4α ||x||n. Chọn một hằng số dương r1n > M˜ + ||u0||n. Thế thì, với mọi x ∈ X, cĩ hai trường hợp sau xảy ra. Trường hợp 1: ||x− u0||n > r1n. Vì ||x||n + ||u0||n ≥ ||x− u0||n > r1n > M˜ + ||u0||n ⇒ ||x||n > M˜, nên ||Cx||n < 1 4α ||x||n ≤ 1 4α [ ||x− u0||n + ||u0||n ] < 1 4α [ ||x− u0||n + ||x− u0||n ] = 1 2α ||x− u0||n. (1.2.2) Trường hợp 2: ||x− u0||n ≤ r1n. Do điều kiện (ii) cũng đúng ứng với ||.||n, ta suy ra rằng cĩ một hằng số dương β sao cho ||Cx||n ≤ β. (1.2.3) Ta tiếp tục chọn r2n > αβ. Đặt Dn = {x ∈ X : ||x− u0||n ≤ r2n}, D = ⋂ n∈N∗ Dn. 14 Khi đĩ u0 ∈ D và D là tập con lồi đĩng và bị chặn của X. Với mỗi x ∈ D và với mỗi n ∈ N∗, ứng với hai trường hợp trên, ta thấy: Nếu ||x− u0||n ≤ r1n thì bởi (1.2.1), (1.2.3) ta cĩ ||UmC(x)(u0)− u0||n ≤ α||C(x)||n ≤ αβ < r2n. (1.2.4) Nếu r1n < ||x− u0||n ≤ r2n thì bởi (1.2.1), (1.2.2) ta lại cĩ ||UmC(x)(u0)− u0||n ≤ α||C(x)||n ≤ α 1 2α r2n = 1 2 r2n < r2n. (1.2.5) Ta thu được UmC(x)(u0) ∈ D với mọi x ∈ D. Hơn nữa, do UC(x) là tốn tử co, dãy U m C(x)(u0) hội tụ về điểm bất động duy nhất φ(C(x)) của UC(x), khi m → ∞, ta suy ra được φ(C(x)) ∈ D, ∀x ∈ D. Như vậy, (I − U)−1C(D) ⊂ D. Áp dụng định lý Schauder, tốn tử (I−U)−1C cĩ điểm bất động trong D, đĩ cũng chính là điểm bất động của U + C trong D. Định lý 1.2.1 được chứng minh. 1.3 Sự tồn tại nghiệm. Giả sử X = C ( R+;E) là khơng gian gồm tất cả các hàm liên tục từ R+ vào E. Trên X xét họ nửa chuẩn |x|n = sup t∈[0,n] {|x(t)|}, n ≥ 1. Khi đĩ ( X, |x|n) là khơng gian metric đầy đủ với metric d(x, y) = ∞∑ n=1 2−n |x− y|n 1 + |x− y|n và ( X, |x|n) là khơng gian Fréchet. Xét trên X một họ nửa chuẩn khác là ||x||n được định nghĩa như sau: ||x||n = |x|γn + |x|hn, n ≥ 1, 15 ở đây |x|γn = sup t∈[0,γn] {|x(t)|}, |x|hn = sup t∈[γn,n] {e−hn(t−γn)|x(t)|}, γn ∈ (0, n) và hn > 0 là các số tuỳ ý. Hai họ nửa chuẩn |x|n, ||x||n là tương đương vì e−hn(n−γn)|x|n ≤ ||x||n ≤ 2|x|n,∀x ∈ X,∀n ≥ 1. Ta thiết lập các giả thiết sau: (A1) Tồn tại một hằng số L ∈ [0, 1) sao cho |f(t, x)− f(t, y)| ≤ L|x− y|,∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R+. (A2) Tồn tại một hàm liên tục ω1 : ∆ → R+ thoả mãn |V (t, s, x)− V (t, s, y)| ≤ ω1(t, s)|x− y|,∀x, y ∈ E, ∀(t, s) ∈ ∆. (A3) G là hồn tồn liên tục sao cho G(t, ., .) : I × J → E liên tục đều theo t trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý của [0,∞), với bất kỳ các tập bị chặn I ⊂ [0,∞) và J ⊂ E; nghĩa là: Trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý của [0,∞), với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho với mọi t1, t2 cùng thuộc đoạn bị chặn đĩ, |t1 − t2| < δ ⇒ |G(t1, s, ._.x)−G(t2, s, x)| < ε,∀(s, x) ∈ I × J. (A4) Tồn tại một hàm liên tục ω2 : ∆ → R+ sao cho lim |x|→∞ |G(t, s, x)| − ω2(t, s) |x| = 0, đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆. Định lý 1.3.1. Giả sử (A1) − (A4) đúng. Khi đĩ phương trình (1.1.1) cĩ ít nhất một nghiệm trên [0,∞). Chứng minh định lý 1.3.1. Chứng minh gồm các bước 1− 4. Bước 1. Trên X, xét phương trình x(t) = q(t) + f(t, x(t)), t ∈ R+. (1.3.1) Khi đĩ ta cĩ bổ đề sau. 16 Bổ đề 1.3.2. Giả sử (A1) đúng. Khi đĩ phương trình (1.3.1) cĩ một nghiệm duy nhất. Chứng minh. Từ giả thiết (A1), tốn tử Φ : X → X được định nghĩa bởi Φx(t) = q(t) + f(t, x(t)), x ∈ X, t ∈ R+ là ánh xạ co với hệ số co là L trên khơng gian Fréchet ( X, |.|n). Áp dụng định lý Banach, Φ cĩ duy nhất một điểm bất động ξ ∈ X. Bổ đề được chứng minh. Bằng phép đổi biến x = y + ξ, ta cĩ thể viết phương trình (1.1.1) dưới dạng y(t) = Ay(t) + By(t) + Cy(t), t ∈ R+, (1.3.2) ở đây Ay(t) = q(t) + f(t, y(t) + ξ(t))− ξ(t), By(t) = ∫ t 0 V (t, s, y(s) + ξ(s))ds, Cy(t) = ∫ t 0 G(t, s, y(s) + ξ(s))ds. Bước 2. Đặt U = A+B. Từ các giả thiết (A1), (A2) ta suy ra rằng với mọi t ∈ R+, với mọi y, y˜ ∈ X, |Uy(t)− Uy˜(t)| ≤ L|y(t)− y˜(t)|+ ∫ t 0 ω1(t, s)|y(s)− y˜(s)|ds. Do đĩ, tương tự như chứng minh của [4, Bổ đề 3.1 (2)], ta sẽ chứng minh được U là tốn tử kn−co, tương ứng với họ nửa chuẩn ||.||n. Thật vậy, ta cố định một số nguyên dương tuỳ ý n ∈ N∗. Với mọi t ∈ [0, γn] với γn ∈ (0, n) sẽ được chọn sau, ta cĩ |Uy(t)− Uy˜(t)| ≤ L|y(t)− y˜(t)|+ ∫ t 0 ω1(t, s)|y(s)− y˜(s)|ds ≤ (L + ω˜1nγn)|y − y˜|γn, ở đây ω˜1n = sup {ω1(t, s) : (t, s) ∈ ∆n}, ∆n = {(t, s) ∈ [0, n]× [0, n], s ≤ t}. 17 Suy ra |Uy − Uy˜|γn ≤ (L + ω˜1nγn)|y − y˜|γn. (1.3.3) Với mọi t ∈ [γn, n], tương tự, ta cũng cĩ |Uy(t)− Uy˜(t)| ≤ L|y(t)− y˜(t)|+ ω˜1n ∫ γn 0 |y(s)− y˜(s)|ds + ω˜1n ∫ t γn |y(s)− y˜(s)|ds. (1.3.4) Từ (1.3.4) và chú ý đến các bất đẳng thức 0 0, ( hn > 0 cũng được chọn sau) ta thu được |Uy(t)− Uy˜(t)|e−hn(t−γn) ≤ L|y(t)− y˜(t)|e−hn(t−γn) + ω˜1nγn|y − y˜|γn + ω˜1n ∫ t γn |y(s)− y˜(s)|e−hn(t−γn) ds ≤ L|y − y˜|hn + ω˜1nγn|y − y˜|γn + ω˜1n ∫ t γn |y(s)− y˜(s)|e−hn(s−γn)ehn(s−t)ds ≤ L|y − y˜|hn + ω˜1nγn|y − y˜|γn + ω˜1n|y − y˜|hn ∫ t γn ehn(s−t)ds ≤ L|y − y˜|hn + ω˜1nγn|y − y˜|γn + ω˜1n hn |y − y˜|hn. Suy ra |Uy − Uy˜|hn ≤ ( L + ω˜1n hn )|y − y˜|hn + ω˜1nγn|y − y˜|γn. (1.3.5) Kết hợp (1.3.3)-(1.3.5), ta cĩ ||Uy − Uy˜||n ≤ ( L + 2γnω˜1n)|y − y˜|γn + ( L + ω˜1n hn )|y − y˜|hn ≤ kn||y − y˜||n, (1.3.6) trong đĩ kn = max{L + 2γnω˜1n, L + ω˜1nhn }. Chọn 0 < γn < min{1− L 2ω˜1n , n}; hn > ω˜1n 1− L, 18 thì kn < 1. Khi đĩ (1.3.6) dẫn đến U là tốn tử kn−co tương ứng với họ nửa chuẩn ||.||n. Bước 3. Chứng minh C : X → X là hồn tồn liên tục. Trước hết, ta chứng tỏ C liên tục. Với mỗi y0 ∈ X, giả sử (ym)m là dãy trong X sao cho lim m→∞ym = y0. Cố định n ∈ N∗. Đặt K = {(ym + ξ)(s) : s ∈ [0, n],m ∈ N}. Khi đĩ K là compact trong E. Thật vậy, lấy ( (ymi + ξ)(si))i là một dãy tuỳ ý trong K. Khơng mất tính tổng quát, cĩ thể giả sử rằng lim i→∞ si = s0 và lim i→∞ ymi + ξ = y0 + ξ. Ta cĩ |(ymi + ξ)(si)− (y0 + ξ)(s0)| ≤ |(ymi + ξ)(si)− (y0 + ξ)(si)|+ |(y0 + ξ)(si)− (y0 + ξ)(s0)| ≤ |ymi − y0|n + |(y0 + ξ)(si)− (y0 + ξ)(s0)|, điều này chứng tỏ lim i→∞ (ymi + ξ)(si) = (y0 + ξ)(s0) trong E. Nghĩa là K là compact trong E. Với bất kỳ  > 0, vì G liên tục trên tập compact [0, n]× [0, n]×K, nên tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi u, v ∈ K, |u− v| < δ, |G(t, s, u)−G(t, s, v) <  n ,∀s, t ∈ [0, n]. Mặt khác lim m→∞ym = y0, nên cĩ số nguyên dương m0 sao cho với mọi m > m0, |(ym + ξ)(s)− (y0 + ξ)(s)| = |ym(s)− y0(s)| < δ, ∀s ∈ [0, n]. Suy ra rằng với mọi t ∈ [0, n], với mọi m > m0, |Cym(t)− Cy0(t)| ≤ ∫ t 0 |G(t, s, (ym + ξ)(s))−G(t, s, (y0 + ξ)(s)|ds < , nên |Cym −Cy0|n m0, và như thế tính liên tục của C được chứng minh. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng C ánh xạ mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối. Để kiểm tra một tập con của X là compact tương đối, chúng tơi xin nhắc lại điều kiện sau. Bổ đề 1.3.3. ([22, Mệnh đề 1]) Giả sử X = C ( R+;E) là khơng gian Fréchet được định nghĩa như trên 19 và A là tập con của X. Với mỗi n ∈ N∗, giả sử Xn = C([0, n];E) là khơng gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, n] → E, với chuẩn ||u|| = sup t∈[0,n] {|u(t)|} và An = {x|[0,n] : x ∈ A}. Tập hợp A trong X là compact tương đối nếu và chỉ nếu với mọi n ∈ N∗, An đẳng liên tục trong Xn và với bất kỳ s ∈ [0, n], tập hợp An(s) = {x(s) : x ∈ An} compact tương đối trong E. Đây là mệnh đề được phát biểu trong [22] nhưng khơng được chứng minh chi tiết. Chứng minh bổ đề 1.3.3 như sau, trong đĩ cĩ sử dụng định lý Ascoli- Arzela ([26]): Cho E là khơng gian Banach với chuẩn |.| và S˜ là tập con compact của một khơng gian metric . Giả sử CE(S˜) là khơng gian Banach gồm tất cả các ánh xạ liên tục từ S˜ vào E với chuẩn ||x|| = sup{|x(s)|, s ∈ S˜}. Tập hợp A trong CE(S˜) là tập compact tương đối khi và chỉ khi A đẳng liên tục và với mọi s ∈ S˜, tập hợp A(s) = {x(s) : x ∈ A} compact tương đối trong E. Chứng minh. Giả sử rằng với mỗi n ∈ N∗, An đẳng liên tục trong Xn và với mọi s ∈ [0, n], tập hợp An(s) = {x(s) : x ∈ An} compact tương đối trong E. Lấy (xk)k là một dãy tuỳ ý trong A. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một dãy con hội tụ của (xk)k. Trong khơng gian Banach Xn = C([0, n];E), do An đẳng liên tục và với mọi s ∈ [0, n], An(s) = {x(s) : x ∈ An} là compact tương đối trong E nên áp dụng định lý Ascoli-Arzela ([26]) ta cĩ An là tập compact tương đối trong Xn. Với n = 1, vì A1 là tập compact tương đối trong khơng gian Banach X1 = C([0, 1];E) nên tồn tại một dãy con của (xk)k, được ký hiệu là (x (1) k )k sao cho (x (1) k |[0,1])k → x1 trong X1, khi k → ∞. Với n = 2, cũng vì A2 là tập compact tương đối trong khơng gian Banach X2 = C([0, 2];E) nên tồn tại một dãy con của (x (1) k )k, ký hiệu là (x (2) k )k sao cho (x (2) k |[0,2])k → x2 trong X2, khi k → ∞. Bởi tính duy nhất của giới hạn, ta dễ thấy rằng x2|[0,1] = x1. 20 Như thế ta đã cĩ dãy con (x (2) k )k của (xk)k, sao cho (x (2) k |[0,1])k → x1 trong X1, khi k → ∞, (x (2) k |[0,2])k → x2 trong X2, khi k → ∞, x2|[0,1] = x1. Suy ra, với mọi n ∈ N∗, bằng phương pháp quy nạp, ta cĩ thể thiết lập được một dãy con (x (n+1) k )k của (xk)k sao cho (x (n+1) k |[0,m])k → xm trong Xm, khi k → ∞,∀m = 1, ..., n, (x (n+1) k |[0,n+1])k → xn+1 trong Xn+1, khi k → ∞, xn+1|[0,m] = xm,∀m = 1, ..., n. Đặt yk = x (k) k . Khi đĩ (yk)k là một dãy con của (xk)k và (yk)k hội tụ về x trong X, ở đây x được định nghĩa bởi x(t) = xn(t), nếu t ∈ [0, n], ∀n ∈ N∗. Chiều ngược lại là hiển nhiên và do đĩ bổ đề 1.3.3 được chứng minh xong. Bây giờ, ta tiếp tục chứng minh bước 3. Giả sử Ω là một tập con bị chặn của X. Ta phải chứng tỏ rằng với mỗi n ∈ N∗, (a) Tập hợp (CΩ)n đẳng liên tục trong Xn. Đặt S = {(y + ξ)(s) : y ∈ Ω, s ∈ [0, n]}. Thì S bị chặn trong E. Vì G hồn tồn liên tục, tập hợp G([0, n]2 × S) compact tương đối trong E và do đĩ G([0, n]2 × S) bị chặn. Nên cĩ số Mn > 0 sao cho |G(t, s, (y + ξ)(s))| ≤ Mn,∀t, s ∈ [0, n],∀y ∈ Ω. (1.3.7) Với bất kỳ y ∈ Ω, với mọi t1, t2 ∈ [0, n], |Cy(t1)− Cy(t2)| = ∣∣∣ ∫ t1 0 G(t1, s, (y + ξ)(s))ds− ∫ t2 0 G(t2, s, (y + ξ)(s))ds ∣∣∣ ≤ ∫ t1 0 |G(t1, s, (y + ξ)(s))−G(t2, s, (y + ξ)(s))|ds + ∫ t2 t1 |G(t2, s, (y + ξ)(s))|ds. (1.3.8) Bởi giả thiết (A3) và (1.3.7), đánh giá (1.3.8) chứng tỏ rằng (CΩ)n đẳng liên tục trong Xn. 21 (b) Với mọi t ∈ [0, n], tập hợp (CΩ)n(t) = {Cy|[0,n](t) : y ∈ Ω} compact tương đối trong E. Theo trên, tập hợp G([0, n]2 × S) compact tương đối trong E, suy ra rằng G([0, n]2 × S) là compact trong E, nên conv G([0, n]2 ×S) cũng là tập com- pact trong E, ở đây conv G([0, n]2 × S) là bao lồi đĩng của G([0, n]2 × S). Với mọi t ∈ [0, n], với mọi y ∈ Ω, ta suy ra từ G(t, s, (y + ξ)(s)) ∈ G([0, n]2 × S),∀s ∈ [0, n], và Cy(t) = ∫ t 0 G(t, s, (y + ξ)(s))ds rằng (CΩ)n(t) ⊂ t conv G([0, n]2 × S). (1.3.9) Thế thì (CΩ)n(t) là tập compact tương đối trong E. Áp dụng bổ đề 1.3.3, C(Ω) compact tương đối trong X. Vậy, C hồn tồn liên tục. Bước 3 được chứng minh. Bước 4. Chứng minh rằng ∀n ∈ N∗, lim |y|n→∞ |Cy|n |y|n = 0. Với mọi  > 0 cho trước, từ giả thiết (A4), tồn tại số η > 0 sao cho với mọi u mà |u| > η |G(t, s, u)| < ω˜2n +  4n |u|, ∀t, s ∈ [0, n], (1.3.10) ở đây ω˜2n = sup {ω2(t, s) : t, s ∈ [0, n]}. Mặt khác, G hồn tồn liên tục nên tồn tại ρ > 0 sao cho với mọi u mà |u| ≤ η |G(t, s, u)| ≤ ρ, ∀t, s ∈ [0, n]. (1.3.11) Kết hợp (1.3.10), (1.3.11), với mọi t, s ∈ [0, n], với mọi u ∈ E, ta nhận được |G(t, s, u)| ≤ ρ + ω˜2n +  4n |u|. (1.3.12) Từ đĩ, với mọi t ∈ [0, n], |Cy(t)| ≤ ∫ t 0 |G(t, s, (y + ξ)(s))|ds ≤ n[ρ + ω˜2n +  4n (|y|n + |ξ|n)] ≤ nρ + nω˜2n +  4 |ξ|n +  4 |y|n. (1.3.13) 22 Suy ra rằng, nếu ta chọn µn > max{4nρ , 4nω˜2n , |ξ|n} thì với |y|n > µn, ta cĩ|Cy|n |y|n < , hay nĩi cách khác lim |y|n→∞ |Cy|n |y|n = 0. (1.3.14) Áp dụng định lý 1.2.1, tốn tử U +C cĩ một điểm bất động y trong X. Suy ra phương trình (1.1.1) cĩ ít nhất một nghiệm x = y+ ξ trên [0,∞). Định lý 1.3.1 được chứng minh hồn tồn. 1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận. Nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) được định nghĩa như sau. Định nghĩa: Một hàm ξ˜ được gọi là một nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) nếu với bất kỳ nghiệm x của (1.1.1), lim t→∞ |x(t)− ξ˜(t)| = 0. Chú ý 1.1. (i) Trong định nghĩa trên, nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) khơng nhất thiết là nghiệm của (1.1.1). (ii) Nếu cĩ một hàm ξ˜ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) thì mọi nghiệm x của (1.1.1) đều là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Thật vậy xem x, x˜ là hai nghiệm tuỳ ý của (1.1.1), khi đĩ với mọi t ∈ R+, |x(t)− x˜(t)| ≤ |x(t)− ξ˜(t)|+ |x˜(t)− ξ˜(t)|, suy ra lim t→∞ |x(t)− x˜(t)| = 0. Trong mục này, chúng tơi giả sử (A1) − (A4) đúng và giả sử thêm các điều kiện (A5) V (t, s, 0) = 0, với mọi (t, s) ∈ ∆. (A6) Tồn tại hai hàm số liên tục ω3, ω4 : ∆ → R+ sao cho |G(t, s, x)| ≤ ω3(t, s) + ω4(t, s)|x|,∀(t, s) ∈ ∆. 23 Khi đĩ, áp dụng định lý 1.3.1, phương trình (1.1.1) cĩ nghiệm trên [0,∞). Mặt khác, nếu x là một nghiệm của (1.1.1) thì, như trong bước 1 của chứng minh định lý 1.3.1, y = x− ξ thoả mãn phương trình (1.3.2). Suy ra rằng với mọi t ∈ R+, |y(t)| ≤ |Ay(t)|+ |By(t)|+ |Cy(t)|, (1.4.1) ở đây Ay(t) = q(t) + f(t, y(t) + ξ(t))− ξ(t), A0 = 0, By(t) = ∫ t 0 V (t, s, y(s) + ξ(s))ds, V (t, s, 0) = 0, Cy(t) = ∫ t 0 G(t, s, y(s) + ξ(s))ds. Từ đĩ, với mọi t ∈ R+, |y(t)| ≤ L|y(t)|+ ∫ t 0 ω1(t, s)|y(s) + ξ(s)|ds + ∫ t 0 [ ω3(t, s) + ω4(t, s)|y(s) + ξ(s)|]ds. (1.4.2) Ta thu được |y(t)| ≤ 1 1− L ∫ t 0 ω(t, s)|y(s)|ds + a(t), (1.4.3) trong đĩ ω(t, s) = ω1(t, s) + ω4(t, s), a(t) = 1 1− L ∫ t 0 ω(t, s)|ξ(s)|ds + 1 1− L ∫ t 0 ω3(t, s) ds. Sử dụng bất đẳng thức (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2),∀a, b ∈ R, ta cĩ v(t) ≤ b(t) ∫ t 0 v(s)ds + 2a2(t), (1.4.4) với v(t) = |y(t)|2, b(t) = 2(1−L)2 ∫ t 0 ω 2(t, s)ds. Từ (1.4.4), sau các tính tốn, ta cĩ |y(t)|2 = v(t) ≤ 2a2(t) + b(t)e ∫ t 0 b(s)ds ∫ t 0 2e− ∫ s 0 b(u)dua2(s) ds, ∀t ∈ R+. (1.4.5) 24 Như vậy, nếu vế phải của (1.4.5) tiến đến 0 khi t → +∞ thì ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Từ đĩ ta thu được kết quả sau về sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận: Định lý 1.4.1. Giả sử (A1)− (A6) đúng. Nếu lim t→∞ 2a 2(t) + b(t)e ∫ t 0 b(s)ds ∫ t 0 2e− ∫ s 0 b(u)dua2(s) ds = 0, (1.4.6) ở đây a(t) = 1 1− L ∫ t 0 [ ω1(t, s) + ω4(t, s) ]|ξ(s)|ds + 1 1− L ∫ t 0 ω3(t, s)ds, b(t) = 2 (1− L)2 ∫ t 0 [ ω1(t, s) + ω4(t, s) ]2 ds, thì hàm ξ xác định như trên là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Hơn nữa mỗi nghiệm của (1.1.1) cũng là một nghiệm ổn định tiệm cận. Chứng minh định lý 1.4.1. Được suy ra từ chú ý 1.1 ở trên. Chú ý 1.2. Điều kiện (1.4.6) nêu trên là hợp lý. Chẳng hạn với các giả thiết sau thì điều kiện (1.4.6) đúng: (H1) ∫ +∞ 0 |q(s)|2ds < +∞, ∫ +∞ 0 |f(s, 0)|2ds < +∞; (H2) lim t→∞ ∫ t 0 ω3(t, s)ds = 0, ∫ +∞ 0 [ ∫ s 0 ω3(s, u)du ]2 ds < +∞; (H3) Tồn tại các hàm số gi, hi : R+ → R+, i = 1, 4 sao cho với i = 1, 4 (i) ωi(t, s) = gi(t)hi(s),∀(t, s) ∈ ∆, (ii) lim t→∞gi(t) = 0, (iii) ∫ +∞ 0 g 2 i (s)ds < +∞, ∫ +∞ 0 h 2 i (s)ds < +∞. Thật vậy, Vì ξ là điểm bất động (duy nhất) của Φ, với mọi t ∈ R+, ta cĩ |ξ(t)| ≤ |q(t)|+ |f(t, ξ(t))| ≤ |q(t)|+ |f(t, 0)|+ |f(t, ξ(t))− f(t, 0)| ≤ |q(t)|+ |f(t, 0)|+ L|ξ(t)|. 25 Suy ra |ξ(t)| ≤ 1 1− L ( |q(t)|+ |f(t, 0)| ) , nên |ξ(t)|2 ≤ 2 (1− L)2 ( |q(t)|2 + |f(t, 0)|2 ) , và do đĩ ∫ +∞ 0 |ξ(s)|2ds < +∞, bởi giả thiết (H1). Thế thì, từ (H3) ta nhận được(∫ +∞ 0 hi(s)|ξ(s)|ds )2 ≤ ∫ +∞ 0 h2i (s)ds ∫ +∞ 0 |ξ(s)|2ds < +∞, i = 1, 4; lim t→∞ ∫ t 0 ωi(t, s)|ξ(s)| ds = lim t→∞ gi(t) ∫ t 0 hi(s)|ξ(s)|ds = 0, i = 1, 4; Kết hợp với giả thiết (H2), ta cĩ a(t) = 1 1− L (∫ t 0 ω1(t, s)|ξ(s)|ds + ∫ t 0 [ ω3(t, s) + ω4(t, s)|ξ(s)|]ds ) → 0, (1.4.7) khi t → ∞. Bởi (H3), ta cũng cĩ∫ t 0 ω2(t, s)ds ≤ 2 ∫ t 0 [ ω21(t, s) + ω 2 2(t, s) ] ds = 2g21(t) ∫ t 0 h21(s)ds + 2g 2 4(t) ∫ t 0 h24(s)ds → 0, khi t → ∞, (1.4.8) dẫn đến b(t) = 2 (1− L)2 ∫ t 0 ω2(t, s)ds → 0, khi t → ∞. (1.4.9) Hơn nữa, từ (1.4.8), (H3)(iii) ta suy ra rằng∫ +∞ 0 b(s)ds < +∞. (1.4.10) Mặt khác, bởi a2(t) ≤ 3 (1− L)2g 2 1(t) ∫ t 0 h21(s)ds ∫ t 0 |ξ(s)|2ds + 3 (1− L)2 [ ∫ t 0 ω3(t, s)ds ]2 + 3 (1− L)2g 2 4(t) ∫ t 0 h24(s)ds ∫ t 0 |ξ(s)|2ds, 26 và các giả thiết (H2), (H3)(iii), ta cĩ∫ +∞ 0 a2(s)ds < +∞. (1.4.11) Vậy, từ (1.4.7), (1.4.9)-(1.4.11) ta cĩ kết luận lim t→∞ 2a 2(t) + b(t)e ∫ t 0 b(s)ds ∫ t 0 2e− ∫ s 0 b(u)dua2(s) ds = 0. Chú ý 1.3. Nếu gi : R+ → R+, i = 1, 4 liên tục đều thì giả thiết H3(ii) : lim t→∞gi(t) = 0, được suy ra từ giả thiết H3(iii)1 : ∫ +∞ 0 g 2 i (s)ds < +∞. Chú ý 1.4. Sau đây là ví dụ minh hoạ sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận cho phương trình cĩ dạng tổng quát hơn so với dạng phương trình trong [4, 21]. Ví dụ. Giả sử E = C([0, 1];R) với chuẩn thơng thường |u|E = sup ζ∈[0,1] {|u(ζ)|}. Xét phương trình (1.1.1) với các hàm được cho cụ thể như sau: q : R+ → E, t 7−→ q(t); f : R+ × E → E, (t, x) 7−→ f(t, x); V : ∆× E → E, (t, s, x) 7−→ V (t, s, x); G : ∆× E → E, (t, s, x) 7−→ G(t, s, x), sao cho với mỗi x ∈ X = C(R+;E), với mọi t, s ≥ 0 (s ≤ t),∀ζ ∈ [0, 1], q(t)(ζ) ≡ q(t, ζ) = 1− k et + ζ e−2t; f(t, x)(ζ) = k et + ζ e−2t sin [pi 2 (et + ζ)x(ζ) ] ; V (t, s, x)(ζ) = 1 et + ζ e−2s(es + ζ)|x(ζ)|; G(t, s, x)(ζ) = 1 et + ζ e−2s √ es √ |x|E, ở đây k < 2pi là một hằng số dương. Trước hết ta cĩ chú ý rằng, với bất kỳ x, y ∈ X = C(R+;E), với mọi t, s ≥ 0 (s ≤ t),∀ζ ∈ [0, 1], |f(t, x)(ζ)− f(t, y)(ζ)| ≤ k et + ζ e−2t ∣∣∣ sin [pi 2 (et + ζ)x(ζ) ]− sin [pi 2 (et + ζ)y(ζ) ]∣∣∣ ≤ ke−2tpi 2 |x(ζ)− y(ζ)| ≤ kpi 2 |x− y|E; 27 và |G(t, s, x)(ζ)| = 1 et + ζ e−2s √ es √ |x|E ≤ 1 2(et + ζ) e−2s √ es + 1 2(et + ζ) e−2s √ es |x|E, theo bất đẳng thức Cauchy. Kết hợp những điều này, ta cĩ q, f, V,G thoả (A1)− (A6), trong đĩ ω1(t, s) = e −te−2s(es + 1), ω2(t, s) = 0, ω3(t, s) = ω4(t, s) = 1 2 e−te−2s √ es. Hơn nữa, (H1)− (H3) đúng. Áp dụng các định lý 1.3.1, 1.4.1, phương trình (1.1.1) tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận. Hơn nữa, mọi nghiệm đều là nghiệm ổn định tiệm cận. Để trình bày một cách chi tiết hơn, chúng tơi sẽ chỉ ra một nghiệm x(t) của (1.1.1) và xét tính ổn định tiệm cận của nghiệm này. Xét x ∈ X = C(R+;E) sao cho với mọi t ∈ R+, x(t)(ζ) ≡ x(t, ζ) = 1 et + ζ ,∀ζ ∈ [0, 1]. Ta cĩ thể kiểm tra mà khơng khĩ khăn rằng hàm x được định nghĩa như trên là một nghiệm của (1.1.1). Ngồi ra, |x(t)|E = sup ζ∈[0,1] {| 1 et + ζ |} = e−t. Mặt khác, bởi |f(t, x(t))(ζ)− f(t, y(t))(ζ)| ≤ kpi 2 |x(t)− y(t)|E, với mọi x, y ∈ X, với mọi t ∈ R+,∀ζ ∈ [0, 1], ta nhận được sup t∈[0,n] {|f(t, x(t))− f(t, y(t))|E} ≤ kpi 2 sup t∈[0,n] {|x(t)− y(t)|E}, với mọi n ∈ N∗. Như vậy, phương trình x(t) = q(t) + f(t, x(t)), t ≥ 0 28 cĩ duy nhất một nghiệm ξ(t) ∈ X. Đây là một nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Rõ ràng, ∀ζ ∈ [0, 1], |ξ(t, ζ)| ≤ |q(t, ζ)|+ |f(t, ξ(t))(ζ)| ≤ 1− k et + ζ e−2t + k et + ζ e−2t ∣∣∣ sin [pi 2 (et + ζ)ξ(t, ζ) ]∣∣∣ ≤ (1− k)e−3t + ke−3t = e−3t, nên |x(t)− ξ(t)|E ≤ e−t + e−3t, dẫn đến: lim t→∞|x(t)− ξ(t)|E = 0. 1.5 Tính compact, liên thơng của tập hợp nghiệm. Đây là tính chất của tập nghiệm đã xét trong [N3] cho phương trình tích phân xem như là một trường hợp riêng của (1.1.1), trong đĩ lý thuyết bậc tơpơ của trường vectơ compact được vận dụng. Với phương pháp tương tự, mục này đề cập đến tính compact, liên thơng của tập nghiệm của phương trình (1.1.1). Kết quả thu được đã gửi cơng bố trong [N8]. Ở đây, chúng tơi sẽ áp dụng định lý Krasnosel’skii - Perov và các bổ đề sau: Định lý Krasnosel’skii - Perov:([25, tr.312]) Cho (E, |.|) là khơng gian Banach thực, D là tập con mở và bị chặn của E với biên ∂D và bao đĩng D. Giả sử T : D → E là tốn tử hồn tồn liên tục thoả các điều kiện: (i) T khơng cĩ điểm bất động trên ∂D và deg(I − T,D, 0) 6= 0. (ii) Với mọi ε > 0, tồn tại một tốn tử hồn tồn liên tục Tε sao cho với mọi x ∈ D, |Tε(x) − T (x)| < ε và sao cho với mỗi h mà |h| < ε, phương trình x = Tε(x) + h cĩ nhiều nhất một nghiệm trên D. Khi đĩ tập các điểm bất động của T khác rỗng, compact và liên thơng. Bổ đề 1.5.1. ([61, tr. 49]) Giả sử M là tập con đĩng khác rỗng của khơng gian metric X, Y là một khơng gian định chuẩn và f : M → Y là tốn tử liên tục. Khi đĩ tồn tại một tốn tử liên tục g : X → Y sao cho (i) g(X) ⊂ cof(M), ở đây cof(M) là bao lồi của f(M); (ii) g(x) = f(x),∀x ∈ M. 29 Bổ đề 1.5.2. ([12, tr. 53]) Giả sử E, F là các khơng gian Banach, D là một tập con mở của E và f : D → F liên tục. Khi đĩ với mỗi ε > 0, tồn tại một ánh xạ Lipschitz địa phương fε : D → F sao cho |f(x)− fε(x)| < ε,∀x ∈ D và fε(D) là tập con của bao lồi đĩng của f(D). Ta cĩ kết quả sau. Định lý 1.5.3. Giả sử (A1)− (A4) đúng. Khi đĩ tập hợp nghiệm của phương trình (1.1.1) trên [0,∞) khác rỗng, compact và liên thơng. Chứng minh định lý 1.5.3. Ta cĩ (A1) − (A4) đúng, nên theo định lý 1.3.1, phương trình (1.1.1) cĩ nghiệm trên [0,∞). Vì vậy tập hợp nghiệm của phương trình (1.1.1) trên [0,∞) khác rỗng. Ta biết rằng, nếu x là một nghiệm của (1.1.1) thì theo bước 1 của chứng minh định lý 1.3.1, y = x− ξ thoả mãn phương trình (1.3.2), tức là: y(t) = Uy(t) + Cy(t), t ∈ R+, (1.5.1) trong đĩ Uy(t) = q(t) + f(t, y(t) + ξ(t))− ξ(t) + ∫ t 0 V (t, s, y(s) + ξ(s))ds, Cy(t) = ∫ t 0 G(t, s, y(s) + ξ(s))ds. Vì vậy, định lý 1.5.3 sẽ hồn thành nếu ta chứng minh được tập hợp nghiệm của phương trình (1.5.1) compact và liên thơng. Chứng minh gồm 2 bước. Bước 1. Tập hợp nghiệm của phương trình (1.5.1) trên mỗi đoạn [0, n] compact liên thơng. Chứng minh. Với mỗi n ∈ N∗ được cố định, sử dụng các kết quả nhận được trong mục 1.3, ta cĩ U là tốn tử kn−co, C là tốn tử hồn tồn liên tục trên Xn = C([0, n];E), đây là khơng gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục từ [0, n] vào E với chuẩn ||.||n, tương đương với chuẩn |.|n thơng thường như đã xét trong mục 1.3. Bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh định lý 1.2.1, nhưng với một thay đổi nhỏ trong cách chọn tập Dn như sau Dn = {x ∈ X : ||x− u0||n < r′2n}, 30 ứng với việc chọn r′2n sao cho 2r2n > r ′ 2n > r2n, ta sẽ được Dn là tập con lồi, mở và bị chặn của Xn với biên ∂Dn và bao đĩng Dn sao cho (I−U)−1C(Dn) ⊂ Dn. Sau đĩ, áp dụng định lý Schauder, (I − U)−1C cĩ điểm bất động trong Dn (nhưng hiển nhiên là khơng thuộc ∂Dn). Đặt T = (I − U)−1C. Mỗi điểm bất động của T cũng là điểm bất động của U + C và cũng chính là nghiệm của (1.5.1) trên [0, n]. Vì thế, chứng minh của bước này sẽ hồn thành nếu ta chứng minh được tập tất cả các điểm bất động của T là compact và liên thơng. Sau đây, ta sẽ xét tốn tử T : Dn → Xn. Rõ ràng T là tốn tử hồn tồn liên tục và khơng cĩ điểm bất động trên ∂Dn. Mặt khác, bởi T (Dn) ⊂ Dn và Dn lồi, ta cĩ deg(I − T,Dn, 0) = 1. (1.5.2) Để chứng minh tiếp tục, ta chú ý rằng (I − U)−1 liên tục đều trên Xn. Thật vậy, giả sử z1 = (I − U)−1(y1), z2 = (I − U)−1(y2). Khi đĩ ||z1 − z2||n ≤ ||y1 − y2||n + ||Uz1 − Uz2||n ≤ ||y1 − y2||n + kn||z1 − z2||n, hay ||z1 − z2||n ≤ 1 1− kn ||y1 − y2||n. Suy ra, ∀ε > 0, tồn tại δ = (1− kn)ε sao cho với mọi y1, y2 ∈ Xn, ||y1 − y2||n < δ =⇒ ||(I − U)−1(y1)− (I − U)−1(y2)||n < ε. (1.5.3) Đặt K∗ = {(y + ξ)(s) : s ∈ [0, n], y ∈ Dn}, thì K∗ bị chặn trong E. Nên bao đĩng K∗ của K∗ cũng bị chặn trong E. Theo bổ đề 1.5.1, cĩ ánh xạ liên tục G∗ là mở rộng của ánh xạ G|[0,n]2×K∗ ra [0, n]2 × E, ở đây G|A là ký hiệu ánh xạ thu hẹp của G trên A, sao cho G∗ ( [0, n]2 × E) ⊂ coG ([0, n]2 ×K∗) . Áp dụng bổ đề 1.5.2, với ε > 0 được xét ở trên, cĩ ánh xạ Lipschitz địa phương Gε trên [0, n] 2 × E sao cho với mọi s, t ∈ [0, n], với mọi x ∈ E |Gε(t, s, x)−G∗(t, s, x)| < δ/4n, (1.5.4) 31 và Gε ( [0, n]2 × E) ⊂ coG∗ ([0, n]2 × E) ⊂ coG([0, n]2 ×K∗). Vì G hồn tồn liên tục nên G ( [0, n]2 ×K∗) là tập compact tương đối. Suy ra Gε ( [0, n]2 × E) compact tương đối. Do đĩ Gε hồn tồn liên tục. Định nghĩa tốn tử Cε : Xn → Xn như sau: Cε(y)(t) = t∫ 0 Gε(t, s, y(s) + ξ(s))ds, (1.5.5) và đặt Tε = (I − U)−1Cε. (1.5.6) Khi đĩ Tε hồn tồn liên tục. Từ (1.5.1), (1.5.4), (1.5.5) ta cĩ, ∀y ∈ Dn,∀t ∈ [0, n], |Cε(y)(t)− C(y)(t)| ≤ t∫ 0 δ 4n ds ≤ δ 4 . (1.5.7) Nên |Cε(y)− C(y)|n < δ 2 , dẫn đến ||Cε(y)− C(y)||n ≤ 2|Cε(y)− C(y)|n < δ. (1.5.8) Kết hợp (1.5.3), (1.5.8), ta được ||(I − U)−1Cε(y)− (I − U)−1C(y)||n < ε, nghĩa là ||Tε(y)− T (y)||n < ε. (1.5.9) Tiếp theo, với mỗi h mà ||h||n < ε, ta chứng minh rằng phương trình sau cĩ nhiều nhất một nghiệm trên Dn, y = Tε(y) + h. (1.5.10) Giả sử y1, y2 là hai nghiệm của phương trình (1.5.10). Ta phải chứng minh rằng y1(t) = y2(t),∀t ∈ [0, n]. (1.5.11) 32 Rõ ràng y1(0) = f(0, y1(0) + ξ(0))− f(0, h(0) + ξ(0)) + h(0), y2(0) = f(0, y2(0) + ξ(0))− f(0, h(0) + ξ(0)) + h(0), nên |y1(0)− y2(0)| = |f(0, y1(0) + ξ(0))− f(0, y2(0) + ξ(0))| ≤ L|y1(0)− y2(0)|, suy ra y1(0) = y2(0). (1.5.12) Đặt b = sup{α ∈ [0, n] : y1(t) = y2(t),∀t ∈ [0, α]}. (1.5.13) Bởi (1.5.12), b ≥ 0. Thế thì 0 ≤ b ≤ n. Ta cần chứng tỏ rằng b = n. Giả sử xảy ra b 0 sao cho Gε là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz là m trên [0, n] 2 × Br, ở đây Br = {z ∈ E : |z − y1(b)| < r}. Các hàm y1, y2, ξ liên tục, do đĩ cĩ σ > 0 sao cho b + σ ≤ n và y1(s) + ξ(s), y2(s) + ξ(s) ∈ Br với mọi s ∈ [b, b+ σ]. Ta chú ý rằng [b, b+ σ] ⊂ [0, n]. Với mọi t ∈ [b, b + σ], ta cĩ: |y1(t)− y2(t)| ≤|f(t, y1(t) + ξ(t))− f(t, y2(t) + ξ(t))| + ∫ t b |V (s, y1(s) + ξ(s))− V (s, y2(s) + ξ(s))|ds + ∫ t b |Gε(t, s, y1(s) + ξ(s))−Gε(t, s, y2(s) + ξ(s))|ds nên |y1(t)− y2(t)| ≤ ω˜1n + m 1− L ∫ t b |y1(s)− y2(s)|ds, ở đây ω˜1n = sup {ω1(t, s) : (t, s) ∈ ∆n}, như trong mục 1.3. Áp dụng bổ đề Gronwall, ta nhận được y1(t) = y2(t),∀t ∈ [b, b + σ]. Suy ra y1(t) = y2(t),∀t ∈ [0, b + σ]. (1.5.14) Rõ ràng (1.5.14) mâu thuẫn với (1.5.13). Vậy (1.5.11) đúng. Kết hợp (1.5.2), (1.5.6), (1.5.9), (1.5.11) và áp dụng định lý Krasnosel’skii - 33 Perov, bước 1 được chứng minh. Bước 2. Tập hợp nghiệm của phương trình (1.5.1) trên [0,∞) compact, liên thơng. Chứng minh. Trước hết, ta chú ý rằng nếu y(t) là một nghiệm của (1.5.1) trên [0,∞) thì y|[0,n](t) là một nghiệm của (1.5.1) trên [0, n], với mọi n ∈ N∗. Mặt khác, với mọi n ∈ N∗, với mỗi nghiệm yn của (1.5.1) trên [0, n], ta luơn chỉ ra được một nghiệm y∗ của (1.5.1) trên [0,∞) sao cho y∗|[0,n] = yn. Thật vậy, ta xét phương trình y(t) = yn(n)− q(n)− f(n, yn(n) + ξ(n)) + q(t) + f(t, y(s) + ξ(s)) + ∫ t n V (s, y(s) + ξ(s))ds + ∫ t n G(t, s, y(s) + ξ(s))ds. (1.5.15) Áp dụng định lý 1.2.1, với lập luận tương tự như trong chứng minh định lý 1.3.1, ta chứng minh được (1.5.15) cĩ một nghiệm y(t) trên [n,∞). Định nghĩa y∗ : [0,∞) → E bởi y∗(t) = { yn(t), nếu t ∈ [0, n], y(t), nếu t ≥ n. Rõ ràng, y∗ là một nghiệm của (1.5.1) trên [0,∞) và y∗|[0,n] = yn. Gọi S là tập nghiệm của (1.5.1) trên [0,∞). Ta đã cĩ S khác rỗng. Cần chứng minh S compact và liên thơng. Ở đây ta chỉ xét tập S sao cho với mỗi n ∈ N∗, tập hợp Sn = {y|[0,n] : y ∈ S} ⊂ Dn với Dn được xác định như ở bước 1. Điều này cũng cĩ nghĩa là phương trình (1.5.1) được xét trên miền xác định là D = ⋂ n∈N∗ Dn. Theo bước 1, Sn compact và liên thơng trên Xn = C([0, n];E). Sử dụng bổ đề 1.3.3, do Sn compact trên Xn với mọi n ∈ N∗, ta cĩ S là compact tương đối trong X = C([0,∞);E). Hơn thế nữa S đĩng. Thật vậy, giả sử {yk} là một dãy trong S hội tụ về y0, khi k → ∞, khi đĩ yk|[0,n] → y0|[0,n]. Vì yk|[0,n] ∈ Sn và Sn compact, ta thu được y0|[0,n] ∈ Sn. Suy ra, y0 ∈ S. Từ đĩ S là tập compact. Ta chỉ cịn phải chứng minh S liên thơng. Giả sử S khơng liên thơng. Khi đĩ cĩ hai tập Sa, Sb khác rỗng, compact và rời nhau sao cho S = Sa ∪ Sb. Đặt San = {y|[0,n] : y ∈ Sa}, Sbn = {y|[0,n] : y ∈ Sb}. 34 Rõ ràng với mọi n ∈ N∗, San, Sbn khác rỗng và Sn = San ∪ Sbn. Mặt khác, San và S b n là hai tập đĩng. Ta kiểm tra tính chất này như sau: Giả sử {yk} là một dãy trong San hội tụ về y0, khi k → ∞. Tương ứng, ta sẽ cĩ một dãy {y∗k} trong Sa sao cho y∗k|[0,n] = yk. Do Sa compact, tồn tại một dãy con {y∗ki} của {y∗k} sao cho y∗ki hội tụ về y˜ trong Sa. Điều này dẫn đến y∗ki|[0,n] → y˜|[0,n], khi i → ∞. Suy ra y0 = y˜|[0,n] ∈ San. Thế thì San đĩng. Tương tự, Sbn đĩng. Hơn nữa, từ các tính chất nĩi trên của Sa, Sb và tính liên tục của hàm d(x, y), tồn tại y0a ∈ Sa, y0b ∈ Sb sao cho inf ya∈Sa, yb∈Sb d(ya, yb) = d(y0a, y0b) > 0. Do đĩ, từ định nghĩa của metric d(x, y) như trong mục 1.3, ta suy ra tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho San0, Sbn0 cĩ giao bằng rỗng. Như thế Sn0 khơng là tập liên thơng, vơ lý. Bước 2 được chứng minh. Như vậy, định lý 1.5.3 được chứng minh hồn tồn. Chú ý 1.5. Từ chứng minh của định lý 1.5.3 ta thấy rằng nếu cho thêm giả thiết G là Lipschitz địa phương thì (1.1.1) cĩ duy nhất nghiệm. Chú ý 1.6. Chúng tơi trình bày một ví dụ thoả mãn các điều kiện của định lý 1.5.3 và cĩ ít nhất hai nghiệm, ở đây G khơng phải là Lipschitz địa phương. Trong trường hợp này cĩ một continuum các nghiệm khác nhau của (1.1.1) chứa hai nghiệm đã cho. Ví dụ. Cho E = R. Xét phương trình (1.1.1), trong đĩ q(t) = 0; V (t, s, x) = −3 2 x; G(t, s, x) = x 1 3 ; f(t, x) = { 1 2 xsin(t− ln32), nếu 0 ≤ t ≤ ln32 , 0, nếu t > ln32 . Khi đĩ (1.1.1) cĩ dạng: x(t) = f(t, x(t))− 3 2 ∫ t 0 x(s)ds + ∫ t 0 [x(s)] 1 3ds, t ∈ R+. Rõ ràng, do [ (−e−t + 23) 3 2 ]′ = −32(−e−t + 23) 3 2 + (−e−t + 23) 1 2 , phương trình cĩ ít nhất hai nghiệm x1, x2, với x1(t) = { (− e−t + 23) 32 , nếu t > ln32 , 0, nếu 0 ≤ t ≤ ln32 35 và x2(t) = −x1(t). Dễ thấy x1, x2 6= 0. Ngồi ra, x3 = 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. 1.6 Một trường hợp tổng quát. Vì sẽ khơng cĩ sự nhầm lẫn nào nên chúng tơi sử dụng lại các ký hiệu V,G, ωi, i = 1, 2, 3, 4; Φ, ξ, A,B,C, U để định nghĩa các hàm trong mục này giống như đã định nghĩa trong mục 1.3, tương ứng. Xét phương trình sau x(t) = q(t) + f̂(t, x(t), x(pi(t))) + ∫ t 0 V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds + ∫ t 0 G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+, (1.6.1) ở đây q : R+ → E; f̂ : R+ × E × E → E; G, V : ∆ × E × E → E là các hàm liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+, s ≤ t}, đồng thời các hàm số pi, σ, χ : R+ → R+ cũng là các hàm liên tục. Ta thành lập các giả thiết: (I1) Tồn tại một hằng số L ∈ [0, 1) sao cho |f̂(t, x, u)− f̂(t, y, v)| ≤ L 2 (|x− y|+ |u− v|),∀x, y, u, v ∈ E, ∀t ∈ R+. (I2) Cĩ một hàm liên tục ω1 : ∆ → R+ sao cho |V (t, s, x, u)− V (t, s, y, v)| ≤ ω1(t, s) (|x− y|+ |u− v|), ∀x, y, u, v ∈ E, ∀(t, s) ∈ ∆. (I3) G hồn tồn liên tục sao cho G(t, ., ., .) : I × J1 × J2 → E liên tục đều theo t trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý của [0,∞), với bất kỳ các tập con bị chặn I ⊂ [0,∞) và J1, J2 ⊂ E; nghĩa là: Trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý của [0,∞), với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho với mọi t1, t2 cùng thuộc đoạn bị chặn đĩ, |t1 − t2| < δ ⇒ |G(t1, s, x, y)−G(t2, s, x, y)| < ε,∀(s, x, y) ∈ I × J1 × J2. 36 (I4) Tồn tại một hàm liên tục ω2 : ∆ → R+ sao cho lim |x|+|u|→∞ |G(t, s, x, u)| − ω2(t, s) |x|+ |u| = 0, đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆. (I5) 0 ≤ pi(t) ≤ t, 0 ≤ σ(t) ≤ t, 0 ≤ χ(t) ≤ t,∀t ∈ R+. Định lý 1.6.1. Giả sử (I1) − (I5) đúng. Khi đĩ phương trình (1.6.1) cĩ nghiệm trên [0,∞). Chứng minh định lý 1.6.1. Chứng minh được thực hiện như trong mục 1.3, nhưng cần cĩ một vài sự thay đổi. Đầu tiên, ta chú ý rằng: a) Từ giả thiết (I1) và 0 ≤ pi(t) ≤ t,∀t ∈ R+, tốn tử Φ : X → X được định nghĩa bởi Φx(t) = q(t) + f̂(t, x(t), x(pi(t))),∀x ∈ X, t ∈ R+ là tốn tử L−co trong khơng gian Fréchet (X, |.|n). Thật vậy, ta cố định n ∈ N∗. Với mọi x ∈ X, với mọi t ∈ [0, n], |Φx(t)− Φy(t)| ≤ L 2 (|x(t)− y(t)|+ |x(pi(t))− y(pi(t))|) ≤ L 2 (|x− y|n + |x− y|n) = L|x− y|n. (1.6.2) Do đĩ |Φx − Φy|n ≤ L|x − y|n. Suy ra, Φ cĩ một điểm bất động duy nhất ξ ∈ X. Bằng phép đổi biến x = y + ξ, phương trình (1.6.1) trở thành y(t) = Ay(t) + By(t) + Cy(t), t ∈ R+, (1.6.3) trong đĩ Ay(t) = q(t) + f̂ ( t, y(t) + ξ(t), y(pi(t)) + ξ(pi(t)) )− ξ(t), A0 = 0, By(t) = ∫ t 0 V ( t, s, y(s) + ξ(s), y(σ(s)) + ξ(σ(s)) ) ds, Cy(t) = ∫ t 0 G ( t, s, y(s) + ξ(s), y(χ(s)) + ξ(χ(s)) ) ds. b) Đặt U = A+B. Khi đĩ, U là tốn tử co tương ứng với họ nửa chuẩn ||.||n. Chứng minh điều này như sau. Ta cũng cố định một số nguyên dương tuỳ ý 37 n ∈ N∗. Với mọi t ∈ [0, γn], ở đây γn ∈ (0, n), γn ≤ min{σ(t), t ∈ [γn, n]}, γn ≤ min{pi(t), t ∈ [γn, n]} sẽ được chọn thích hợp sau này, ta cĩ |Uy(t)− Uy˜(t)| ≤ L 2 |y(t)− y˜(t)|+ L 2 |y(pi(t))− y˜(pi(t))| + ∫ t 0 ω1(t, s) ( |y(s)− y˜(s)|+ |y(σ(s))− y˜(σ(s))| ) ds ≤ (L + 2ω˜1nγn)|y − y˜|γn. Điều._.lt; r < 1, 0 < t < T,∣∣∣∣ limr→0+√ru1r(r, t) ∣∣∣∣ < +∞, u1r(1, t) + hu1(1, t) = 0, u1(r, 0) = · u1(r, 0) = 0, ở đây F˜1[u1] = pi1[f ] + pi0[f1]− (ρ1[B] + ρ0[B1])Au0, (3.5.12) với pi0[f ], pi1[f ], ρ0[B], ρ1[B] được định nghĩa như sau: pi0[f ] = f [u0] ≡ f(r, t, u0, u0r), (3.5.13) pi1[f ] = pi0[D3f ]u1 + pi0[D4f ]u1r, (3.5.14) ρ0[B] = B[u0] ≡ B(t, ||u0(t)||20, ||u0r(t)||20, || · u0(t)||20), (3.5.15) và ρ1[B] = 2ρ0[D2B]〈u0, u1〉+ 2ρ0[D3B]〈u0r, u1r〉+ 2ρ0[D4B]〈 ·u0, ·u1〉. (3.5.16) Với i = 2,..., N ta cĩ bài tốn (Qi)  ·· ui + B[u0]Aui = F˜i[ui], 0 < r < 1, 0 < t < T ,∣∣∣∣ limr→0+√ruir(r, t) ∣∣∣∣ < +∞, uir(1, t) + hui(1, t) = 0, ui(r, 0) = · ui(r, 0) = 0, i = 1, 2, ..., N, 111 ở đây F˜i[ui] = pii[f ] + pii−1[f1]− i∑ k=1 (ρk[B] + ρk−1[B1])Aui−k, (3.5.17) với pii[f ] = pii[f, u0, u1, ..., ui], ρi[B] = ρi[B, u0, u1, ..., ui], 2 ≤ i ≤ N được định nghĩa theo cơng thức quy nạp sau: pii[f ] = i−1∑ k=0 i− k i {pik[D3f ]ui−k + pik[D4f ](ui−k)r}, (3.5.18) ρi[B] = 2 i i−1∑ k=0 i−k−1∑ j=0 (i− k − j){ρk[D2B] 〈uj, ui−k−j〉 + ρk[D3B] 〈 ujr, (ui−k−j)r 〉 + ρk[D4B] 〈 · uj, · ui−k−j 〉 }. (3.5.19) Ta cũng lưu ý rằng pii[f ] là hàm bậc nhất theo ui, uir, · ui. Thật vậy, pii[f ] = pi0[D3f ]ui + pi0[D4f ]uir + các thành phần phụ thuộc vào (i, pik[D3f ], pik[D4f ], uk, ukr), k = 0, 1, ..., i− 1. (3.5.20) Tương tự ρi[B] = 2ρ0[D2B]〈u0, ui〉+ 2ρ0[D3B]〈u0r, uir〉+ 2ρ0[D4B]〈 ·u0, ·ui〉+ các thành phần phụ thuộc vào (i, ρk[DνB], uk, (uk)r , · uk), ν = 2, 3, 4; k = 0, 1, ..., i− 1. (3.5.21) Giả sử uε ∈ W1(M,T ) là nghiệm yếu duy nhất của bài tốn (Pε). Khi đĩ v = uε − N∑ i=0 εiui ≡ uε − U thoả bài tốn biến phân ·· v + Bε[v + U ]Av = Fε[v + U ]− Fε[U ] − (Bε[v + U ]−Bε[U ] )AU + Eε(r, t), 0 < r < 1, 0 < t < T,∣∣∣∣ limr→0+√rvr(r, t) ∣∣∣∣ < ∞, vr(1, t) + hv(1, t) = 0, v(r, 0) = · v(r, 0) = 0, (3.5.22) trong đĩ Eε(r, t) = Fε[U ]− f [u0]− (Bε[U ]−B[u0])AU − N∑ i=1 εiF˜i[ui]. (3.5.23) 112 Khi đĩ ta cĩ các bổ đề sau Bổ đề 3.5.2. Các hàm pii[f ], ρi[B], 0 ≤ i ≤ N định nghĩa như trên thoả pii[f ] = 1 i! ∂i ∂εi (f [U ]) ∣∣∣∣ ε=0 , 0 ≤ i ≤ N, (3.5.24) ρi[B] = 1 i! ∂i ∂εi (B[U ] ) ∣∣∣∣ ε=0 , 0 ≤ i ≤ N. (3.5.25) Chứng minh bổ đề 3.5.2. (i) Chứng minh (3.5.24). Rõ ràng pi0[f ] = f [u0] ≡ f(r, t, u0, u0r) = f [U ]|ε=0 = 1 0! ∂0 ∂ε0 (f [U ] ) ∣∣∣∣ ε=0 . Giả sử pik[f ], pik[Djf ], j = 3, 4; k = 0, 1, ..., i− 1 thoả mãn (3.5.13), (3.5.14), (3.5.18) và (3.5.24). Ta cĩ ∂i ∂εi (f [U ]) = ∂i−1 ∂εi−1 ∂ ∂ε (f [U ]) = ∂i−1 ∂εi−1 ( D3f [U ] ∂ ∂ε U + D4f [U ] ∂ ∂ε Ur ) = i−1∑ k=0 Cki−1 [ ∂k ∂εk (D3f [U ]) ∂i−k ∂εi−k (U) + ∂k ∂εk (D4f [U ]) ∂i−k ∂εi−k (Ur) ] . (3.5.26) Ta chú ý rằng ∂i ∂εi U ∣∣∣∣ ε=0 = i!ui, ∂i ∂εi Ur ∣∣∣∣ ε=0 = i!uir, 0 ≤ i ≤ N. (3.5.27) Từ (3.5.26), (3.5.27) ta suy ra ∂i ∂εi (f [U ] ) ∣∣∣∣ ε=0 = i−1∑ k=0 k!Cki−1 [ pik[D3f ] ∂i−k ∂εi−k (U) ∣∣∣∣ ε=0 + pik[D4f ] ∂i−k ∂εi−k (Ur) ∣∣∣∣ ε=0 ] = i−1∑ k=0 (i− k)(i− 1)! [pik[D3f ]ui−k + pik[D4f ] (ui−k)r ] . (3.5.28) 113 Do đĩ 1 i! ∂i ∂εi (f [U ] ) ∣∣∣∣ ε=0 = i−1∑ k=0 i− k i [ pik[D3f ]ui−k + pik[D4f ] (ui−k)r] = pii[f ]. (3.5.29) Phần 1 của bổ đề 3.5.2 được chứng minh. (ii) Chứng minh (3.5.25). Dễ thấy rằng ρ0[B] = B[u0] ≡ B ( t, ‖u0(t)‖20 , ‖u0r(t)‖20 , ∥∥∥ ·u0(t)∥∥∥2 0 ) = B[U ]|ε=0 = 1 0! ∂0 ∂ε0 (B[U ]) ∣∣∣∣ ε=0 . (3.5.30) Giả sử các hàm ρk[f ], ρk[Djf ], j = 2, 3, 4; k = 0, 1, ..., i−1 thoả mãn (3.5.15), (3.5.16), (3.5.19) và (3.5.25). Ta cĩ ∂ ∂ε (B[U ]) = D2B[U ] ∂ ∂ε ( ‖U‖20 ) + D3B[U ] ∂ ∂ε ( ‖Ur‖20 ) + D4B[U ] ∂ ∂ε (∥∥∥∥ ·U∥∥∥∥2 0 ) . (3.5.31) Như vậy, từ (3.5.31), ta thu được ∂i ∂εi (B[U ] ) = ∂i−1 ∂εi−1 ∂ ∂ε (B[U ] ) = i−1∑ k=0 Cki−1 [ ∂k ∂εk (D2B[U ]) ∂i−k ∂εi−k ( ‖U‖20 ) + ∂k ∂εk (D3B[U ]) ∂i−k ∂εi−k ( ‖Ur‖20 ) + ∂k ∂εk (D4B[U ] ) ∂i−k ∂εi−k (∥∥∥∥ ·U∥∥∥∥2 0 )] . (3.5.32) Mặt khác ta lại cĩ ∂m ∂εm ( ‖U‖20 ) = 2 ∂m−1 ∂εm−1 〈 U, ∂ ∂ε U 〉 = 2 m−1∑ j=0 Cjm−1 〈 ∂j ∂εj (U) , ∂m−j ∂εm−j (U) 〉 . (3.5.33) 114 Cũng chú ý ∂ i ∂εiU ∣∣∣ ε=0 = i!ui, 0 ≤ i ≤ N, nên ta suy ra từ (3.5.33) rằng ∂m ∂εm ( ‖U‖20 )∣∣∣∣ ε=0 = 2 m−1∑ j=0 j!(m− j)!Cjm−1 〈uj, um−j〉 . (3.5.34) Tương tự ∂m ∂εm ( ‖Ur‖20 ) ε=0 = 2 m−1∑ j=0 j!(m− j)!Cjm−1 〈 (uj)r , (um−j)r 〉 , ∂m ∂εm (∥∥∥∥ ·U∥∥∥∥2 0 ) ε=0 = 2 m−1∑ j=0 j!(m− j)!Cjm−1 〈 · uj, · um−j 〉 . (3.5.35) Kết hợp (3.5.32) , (3.5.34) và (3.5.35), ta được ∂i ∂εi (B[U ]) ε=0 = i−1∑ k=0 k!Cki−1 [ ρk[D2B] ∂i−k ∂εi−k ( ‖U‖20 )∣∣∣∣ ε=0 + ρk[D3B] ∂i−k ∂εi−k ( ‖Ur‖20 )∣∣∣∣ ε=0 + ρk[D4B] ∂i−k ∂εi−k (∥∥∥∥ ·U∥∥∥∥2 0 ) ε=0 ] = 2 i−1∑ k=0 k!Cki−1 i−k−1∑ j=0 j!(i− k − j)!Cji−k−1 [ρk[D2B] 〈 uj, ui−k−j〉 + ρk[D3B] 〈 ujr, (ui−k−j)r 〉 + ρk[D4B] 〈 · uj, · ui−k−j 〉 = 2(i− 1)! i−1∑ k=0 i−k−1∑ j=0 (i− k − j) [ρk[D2B] 〈 uj, ui−k−j〉 + ρk[D3B] 〈 ujr, (ui−k−j)r 〉 + ρk[D4B] 〈 · uj, · ui−k−j 〉 . (3.5.36) Điều này dẫn đến 1 i! ∂i ∂εi (B[U ]) ε=0 = 2 i i−1∑ k=0 i−k−1∑ j=0 (i− k − j) {ρk[D2B] 〈uj, ui−k−j〉 + ρk[D3B] 〈 ujr, (ui−k−j)r 〉 + ρk[D4B] 〈 · uj, · ui−k−j 〉 = ρi[B]. (3.5.37) Phần 2 của bổ đề 3.5.2 được chứng minh. 115 Bổ đề 3.5.3. Giả sử (H1), (H2), (H8) và (H9) đúng. Khi đĩ tồn tại một hằng số K˜ sao cho ‖Eε‖L∞(0,T ;V0) ≤ K˜ |ε| N+1 , (3.5.38) ở đây K˜ là hằng số phụ thuộc vào M,T,N và các hằng số K˜i(M,T,B) = sup 0≤t≤T , 0≤ξ,η,λ≤M2 ∑ α2+α3+α4=i |Dα22 Dα33 Dα44 B(t, ξ, η, λ)| , i = 1, 2, ..., N + 1, K˜i(M,T,B1) = sup 0≤t≤T , 0≤ξ,η,λ≤M2 ∑ α2+α3+α4=i |Dα22 Dα33 Dα44 B1(t, ξ, η, λ)| , i = 1, 2, ..., N, Ki(M,T, f) = sup ∑ β ∣∣∣Dβ11 Dβ33 Dβ44 f (r, t, u, ur )∣∣∣ , i = 1, 2, ..., N + 1, Ki(M,T, f1) = sup ∑ β ∣∣∣Dβ11 Dβ33 Dβ44 f1 (r, t, u, ur )∣∣∣ , i = 1, 2, ..., N, trong đĩ, ở hai hằng số sau, sup được lấy tương ứng với 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T , |u| ≤ M √ 2 + 1/ √ 2, |ur| ≤ M / √ 2 và tổng ∑ β được lấy với các β = (β1, β3, β4) ∈ Z3+ sao cho |β| = β1 + β3 + β4 = i. Chứng minh bổ đề 3.5.3. Trường hợp N = 1 đơn giản, ta bỏ qua chứng minh và chỉ xét với N ≥ 2. Áp dụng khai triển Maclaurin cho f [U ] và f1[U ] tại ε = 0 đến cấp N + 1 và cấp N tương ứng, từ (3.5.24) ta thu được f [U ]− f [u0] = N∑ i=1 εi i! ∂i ∂εi (f [U ] ) ∣∣∣∣ ε=0 + εN+1 (N + 1)! ∂N+1 ∂εN+1 ( f [U ]) ∣∣∣∣ ε=θ1ε = N∑ i=1 pii[f ]ε i + εN+1RN+1[f, ε, θ1], (3.5.39) 116 và f1[U ] = N−1∑ i=0 εi i! ∂i ∂εi (f1[U ] ) ∣∣∣∣ ε=0 + εN N ! ∂N ∂εN (f1[U ] ) ∣∣∣∣ ε=θ2ε = N−1∑ i=0 pii[f1]ε i + εNRN [f1, ε, θ2], (3.5.40) ở đây pii[f ], 0 ≤ i ≤ N được xác định bởi (3.5.13), (3.5.14), (3.5.18); RN+1[f, ε, θ1] và RN [f1, ε, θ2] được định nghĩa như sau RN+1[f, ε, θ1] = 1 (N + 1)! ∂N+1 ∂εN+1 (f [U ] ) ∣∣∣∣ ε=θ1ε , (3.5.41) và RN [f1, ε, θ2] = 1 N ! ∂N ∂εN (f1[U ] ) ∣∣∣∣ ε=θ2ε , (3.5.42) với 0 < θi < 1, i = 1, 2. Kết hợp (3.5.39)- (3.5.42), ta nhận được Fε[U ]− f [u0] = f [U ]− f [u0] + εf1[U ] = N∑ i=1 (pii[f ] + pii−1[f1]) εi + εN+1RN [f, f1, ε, θ1, θ2], (3.5.43) với RN [f, f1, ε, θ1, θ2] = RN+1[f, ε, θ1] + RN [f1, ε, θ2]. (3.5.44) Tương tự, áp dụng khai triển Maclaurin cho B[U ] tại ε = 0 đến cấp N + 1 và cho B1[U ] đến cấp N, ta suy ra từ (3.5.25) rằng B[U ]−B[u0] = N∑ i=1 εi i! ∂i ∂εi (B[U ] ) ∣∣∣∣ ε=0 + εN+1 (N + 1)! ∂N+1 ∂εN+1 (B[U ] ) ∣∣∣∣ ε=θ3ε = N∑ i=1 ρi[B]ε i + εN+1R˜N+1[B, ε, θ3], (3.5.45) 117 và B1[U ] = N−1∑ i=0 εi i! ∂i ∂εi (B1[U ] ) ∣∣∣ ε=0 + εN N ! ∂N ∂εN (B1[U ] ) ∣∣∣ ε=θ4ε = N−1∑ i=0 ρi[B1]ε i + εNR˜N [B1, ε, θ4] (3.5.46) ở đây R˜N+1[B, ε, θ3] = 1 (N + 1)! ∂N+1 ∂εN+1 (B[U ]) ∣∣∣∣ ε=θ3ε (3.5.47) và R˜N [B1, ε, θ4] = 1 N ! ∂N ∂εN (B1[U ]) ∣∣∣∣ ε=θ4ε (3.5.48) với 0 < θi < 1, i = 3, 4. Bởi (3.5.45)- (3.5.48), ta cĩ Bε[U ]−B[u0] = B[U ]−B[u0] + εB1[U ] = N∑ i=1 (ρi[B] + ρi−1[B1]) εi + εN+1R˜N [B,B1, ε, θ3, θ4], (3.5.49) với R˜N [B,B1, ε, θ3, θ4] = R˜N+1[B, ε, θ3] + R˜N [B1, ε, θ4]. (3.5.50) Điều này dẫn đến (Bε[U ]−B[u0] )AU = [ N∑ i=1 (ρi[B] + ρi−1[B1]) εi ]( N∑ j=0 εjAuj ) + εN+1R˜N [B,B1, ε, θ3, θ4]AU = N2∑ i=1 [ i∑ k=1 (ρk[B] + ρk−1[B1])Aui−k ] εi + εN+1R˜N [B,B1, ε, θ3, θ4]AU = N∑ i=1 [ i∑ k=1 (ρk[B] + ρk−1[B1])Aui−k ] εi + εN+1R (1) N [B,B1, U, ε, θ3, θ4], (3.5.51) 118 trong đĩ R (1) N [B,B1, U, ε, θ3, θ4] = R˜N [B,B1, ε, θ3, θ4]AU + N2∑ i=N+1 [ i∑ k=1 (dk[B] + dk−1[B1])Aui−k ] εi−N−1. (3.5.52) Kết hợp (3.5.12)- (3.5.17), (3.5.23), (3.5.43), (3.5.44), (3.5.51)và (3.5.52), ta nhận được Eε(r, t) = Fε[U ]− f [u0]− (Bε[U ]−B[u0] )AU − N∑ i=1 εiF˜i[ui] = N∑ i=1 [ pii[f ] + pii−1[f1]− i∑ k=1 (ρk[B] + ρk−1[B1])Aui−k − F˜i[ui] ] εi + εN+1 ( RN [f, f1, ε, θ1, θ2]−R(1)N [B,B1, U, ε, θ3, θ4] ) = εN+1 ( RN [f, f1, ε, θ1, θ2]−R(1)N [B,B1, U, ε, θ3, θ4] ) . (3.5.53) Do các hàm ui, uir, · ui, i = 0, 1,..., N bị chặn trên khơng gian L ∞(0, T ;V1) nên từ (3.5.41), (3.5.42), (3.5.44), (3.5.47), (3.5.48),(3.5.50), (3.5.52)và (3.5.53) ta cĩ ‖Eε‖L∞(0,T ;V0) ≤ K˜ |ε| N+1 , (3.5.54) ở đây K˜ là hằng số chỉ phụ thuộc vào M , T , N và các hằng số K˜i(M,T,B), K i(M,T, f), i = 1, 2, ..., N + 1, K˜i(M,T,B1), K i(M,T, f1), i = 1, 2, ..., N . Chứng minh của bổ đề 3.5.3 hồn thành. Xét dãy hàm {vm} được định nghĩa bởi v0 ≡ 0 ·· vm + Bε[vm−1 + U ]Avm = Fε[vm−1 + U ]− Fε[U ] − (Bε[vm−1 + U ]−Bε[U ])AU + Eε(r, t), 0 < r < 1, 0 < t < T,∣∣∣∣ limr→0+√rvmr(r, t) ∣∣∣∣ < ∞, vmr(1, t) + hvm(1, t) = 0, vm(r, 0) = · vm(r, 0) = 0, m ≥ 1. (3.5.55) 119 Với m = 1, ta cĩ bài tốn ·· v1 + Bε[U ]Av1 = Eε(r, t), 0 < r < 1, 0 < t < T,∣∣∣∣ limr→0+√rv1r(r, t) ∣∣∣∣ < ∞, v1r(1, t) + hv1(1, t) = 0, v1(r, 0) = · v1(r, 0) = 0. (3.5.56) Nhân hai vế của (3.5.56) với · v1, sau đĩ kết hợp với (3.5.38) ta suy ra∥∥∥ ·v1(t)∥∥∥2 0 + b1,ε(t)a (v1(t), v1(t) ) ≤ 2K˜ |ε|N+1 T ∥∥∥ ·v1∥∥∥ L∞(0,T ;V0) + t∫ 0 ∣∣∣b/1,ε(s)∣∣∣ a (v1(s), v1(s) ) ds. (3.5.57) ở đây b1,ε(t) = Bε[U ] = B ( t, ‖U(t)‖20 , ‖Ur(t)‖20 , ∥∥∥∥ ·U(t)∥∥∥∥2 0 ) + εB1 ( t, ‖U(t)‖20 , ‖Ur(t)‖20 , ∥∥∥∥ ·U(t)∥∥∥∥2 0 ) . Ta cĩ b / 1,ε(t) = D1B[U ] + εD1B1[U ] + 2 (D2B[U ] + εD2B1[U ] ) 〈 U(t), · U(t) 〉 + 2 (D3B[U ] + εD3B1[U ] ) 〈 Ur(t), · Ur(t) 〉 + 2 (D4B[U ] + εD4B1[U ] ) 〈 · U(t), ·· U(t) 〉 , (3.5.58) nên ∣∣∣b/1,ε(t)∣∣∣ ≤ [1 + 6(N + 1)2M 2 ] (K˜1(M,T,B) + K˜1(M,T,B1)) ≡ η1. (3.5.59) 120 Bởi (3.5.57), (3.5.59), ta cĩ∥∥∥ ·v1(t)∥∥∥2 0 + b0C0 ‖v1(t)‖21 ≤ 2K˜ |ε|N+1 T ∥∥∥ ·v1∥∥∥ L∞(0,T ;V0) + C1η1 t∫ 0 ‖v1(s)‖21 ds. (3.5.60) Sử dụng bổ đề Gronwall, ta thu được∥∥∥ ·v1∥∥∥ L∞(0,T ;V0) + ‖v1‖L∞(0,T ;V1) ≤ 2(1 + 1√ b0C0 )T K˜ |ε|N+1 exp ( C1η1T b0C0 ) . (3.5.61) Ta sẽ chứng minh tồn tại một hằng số CT , khơng phụ thuộc m và ε, sao cho với mọi m∥∥∥ ·vm∥∥∥ L∞(0,T ;V0) + ‖vm‖L∞(0,T ;V1) ≤ CT |ε| N+1 , |ε| ≤ 1. (3.5.62) Nhân hai vế của (3.5.55) với · vm rồi sau đĩ lấy tích phân theo t, ta được ∥∥∥ ·vm(t)∥∥∥2 0 + b0C0 ‖vm(t)‖21 ≤ t∫ 0 ∣∣∣b/m,ε(s)∣∣∣ a(vm(s), vm(s))ds + 2 t∫ 0 ‖Fε[vm−1 + U ]− Fε[U ] ‖0 ∥∥∥ ·vm(s)∥∥∥ 0 ds + 2 t∫ 0 |Bε[vm−1 + U ]−Bε[U ] | ‖AU‖0 ∥∥∥ ·vm(s)∥∥∥ 0 ds + 2K˜ |ε|N+1 t∫ 0 ∥∥∥ ·vm(s)∥∥∥ 0 ds, (3.5.63) 121 trong đĩ bm,ε(t) = Bε[vm−1 + U ] = B[vm−1 + U ] + εB1[vm−1 + U ], b/m,ε(t) = D1B[vm−1 + U ] + εD1B1[vm−1 + U ] + 2 ( D2B[vm−1 + U ] + εD2B1[vm−1 + U ]) 〈 vm−1 + U , · vm−1 + · U 〉 + 2 ( D3B[vm−1 + U ] + εD3B1[vm−1 + U ]) 〈 (vm−1)r + Ur, ( · vm−1 ) r + · Ur 〉 + 2 ( D4B[vm−1 + U ] + εD4B1[vm−1 + U ]) 〈 · vm−1 + · U , ·· vm−1 + ·· U 〉 . Suy ra∣∣∣b/m,ε(t)∣∣∣ ≤ [1 + 6(N + 2)2M 2 ] (K˜1(M,T,B) + K˜1(M,T,B1)) ≡ η2. (3.5.64) Từ (3.5.63) và (3.5.64), sau các biến đổi, ta chứng minh được bất đẳng thức sau ‖vm‖W1(T ) ≤ σ ‖vm−1‖W1(T ) + δ, ∀m ≥ 1, (3.5.65) ở đây σ = ηT (√ 2K1∗ + 2(N + 1)(2N + 3)M 2K˜1∗ ) , δ = ηT K˜ |ε|N+1 , ηT = 2 √( 1 + 1 b0C0 ) T exp[ 1 2 ( 1 + 1 b0C0 ) (1 + C1 η2)T ], K1∗ = K1(M,T, f) + K1(M,T, f1), K˜1∗ = K˜1(M,T,B) + K˜1(M,T,B1). Giả sử rằng σ < 1, (3.5.66) với một hằng số T > 0 thích hợp. Để tiếp tục, ta cần đến bổ đề sau mà chứng minh kết quả này khơng khĩ khăn. Bổ đề 3.5.4. Cho dãy {ζm} thoả mãn ζm ≤ σζm−1 + δ với mọi m ≥ 1, ζ0 = 0, (3.5.67) trong đĩ 0 ≤ σ < 1, δ ≥ 0 là các hằng số cho trước. Khi đĩ ζm ≤ δ/(1− σ) với mọi m ≥ 1. (3.5.68) 122 Áp dụng bổ đề 3.5.4 với ζm = ‖vm‖W1(T ) , ta suy ra từ (3.5.65) rằng∥∥∥ ·vm∥∥∥ L∞(0,T ;V0) + ‖vm‖L∞(0,T ;V1) = ‖vm‖W1(T ) ≤ δ/(1− σ) = CT |ε| N+1 , (3.5.69) với mọi m ≥ 1, trong đĩ CT = ηT K˜1−ηT(√2K1∗+2(N+1)(2N+3)M2K˜1∗) . Mặt khác dãy quy nạp {vm} định nghĩa bởi (3.5.55) hội tụ mạnh trong khơng gian W1(T ) về nghiệm v của bài tốn (3.5.22). Vì vậy, qua giới hạn khi m → +∞ trong (3.5.69), ta cĩ∥∥∥ ·v∥∥∥ L∞(0,T ;V0) + ‖v‖L∞(0,T ;V1) ≤ CT |ε| N+1 hay∥∥∥∥∥ ·uε − N∑ i=0 εi · ui ∥∥∥∥∥ L∞(0,T ;V0) + ∥∥∥∥∥uε − N∑ i=0 εiui ∥∥∥∥∥ L∞(0,T ;V1) ≤ CT |ε|N+1. (3.5.70) Từ đĩ ta cĩ định lý sau. Định lý 3.5.5. Giả sử các giả thiết (H1), (H2), (H8) và (H9) đúng. Khi đĩ tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho với mọi ε mà |ε| ≤ 1, bài tốn (Pε) cĩ duy nhất một nghiệm yếu uε ∈ W1(M,T ), thỏa mãn một đánh giá tiệm cận đến cấp N + 1 như trong (3.5.70), trong đĩ u0, u1 , ..., uN lần lượt là các nghiệm yếu của các bài tốn (P0), (Q1), ..., (QN), tương ứng.  ? Như vậy, sử dụng nguyên lý ánh xạ co và các cơng cụ khác của giải tích hàm, chương 3 đã nghiên cứu tính giải được duy nhất đồng thời chỉ ra cách xây dựng dãy lặp hội tụ đến nghiệm và khai triển tiệm cận nghiệm của bài tốn hỗn hợp cho phương trình sĩng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff. Ta cĩ lưu ý rằng, phương pháp điểm bất động thường được áp dụng để tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin của các bài tốn biên phi tuyến và tuỳ theo dạng cụ thể của các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài tốn mà các định lý điểm bất động Brouwer, Banach, Schauder, v.v. sẽ được lựa chọn thích hợp. Bằng phương pháp này, ngồi việc xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm như trong chương 3, ta cịn cĩ thể xét cấu trúc tập nghiệm của bài tốn. Chẳng hạn, áp dụng định lý Schauder và định lý Krasnosel’skii - Perov, chúng tơi đã chứng minh được tập các nghiệm của các bài tốn giá trị biên-ban đầu cho phương trình sĩng trong [N3, N9] là tập khác rỗng, compact và liên thơng. 123 KẾT LUẬN Trong luận án này, chúng tơi sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý luận về tính compact thơng dụng để khảo sát các bài tốn thuộc lý thuyết phương trình vi phân, tích phân và đạo hàm riêng. Đĩ là phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra ở chương 1, bài tốn giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ đối số chậm ở chương 2 và ở chương 3 là bài tốn hỗn hợp cho phương trình sĩng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff trên màng trịn đơn vị. Những kết quả mới thu được trong luận án bao gồm: 1. - Chứng minh một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii. - Áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii ở trên để chứng minh sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra sau đây x(t) = q(t) + f(t, x(t)) + ∫ t 0 V (t, s, x(s))ds + ∫ t 0 G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+. - Chứng tỏ tập nghiệm của phương trình tích phân đang xét là tập com- pact, liên thơng. - Minh họa các kết quả thu được qua các ví dụ. - Cho các điều kiện để nhận được sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận và tính compact, liên thơng của tập nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra trong trường hợp tổng quát hơn như sau x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(pi(t))) + ∫ t 0 V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds + ∫ t 0 G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+. 2. - Chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài tốn ba điểm biên sau đây cho phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ đối số chậm u′′ + f(t, ut, u′(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, u0 = φ, u(1) = u(η), 124 trong đĩ φ ∈ C, 0 < η < 1. - Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp cho phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ đối số chậm thuộc dạng u′′ + f(t, ut, u′(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, u0 = φ, u(1) = α[u ′(η)− u′(0)], với φ ∈ C, 0 < η < 1, α ∈ R. - Chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài tốn giá trị đầu sau đây cho phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ đối số chậm u′′ + f(t, ut, u′(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, u0 = φ, u ′(0) = 0, trong đĩ φ ∈ C. - Chỉ ra cấu trúc của tập nghiệm của bài tốn giá trị đầu. Đĩ là tập hợp khác rỗng, compact và liên thơng. 3. - Chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm của bài tốn hỗn hợp cho phương trình sĩng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff cĩ dạng utt −B ( t, ||u||20, ||ur||20, ||ut||20 ) (urr + 1 rur) = f(r, t, u, ur), 0 < r < 1, 0 < t < T,∣∣ limr→0+ √rur(r, t)∣∣ < +∞, ur(1, t) + hu(1, t) = 0, u(r, 0) = u˜0(r), ut(r, 0) = u˜1(r). - Cho các điều kiện để cĩ được một thuật giải lặp cấp hai hội tụ trong trường hợp đặc biệt f = f(r, u), B = B(z). - Đặt các giả thiết để thu được một khai triển tiệm cận theo ε (đủ nhỏ) đến cấp N +1 của nghiệm yếu uε(r, t) của bài tốn nêu trên, trong đĩ f được thay bởi f + εf1 và B được thay bởi B + εB1. Các kết quả trên đây của luận án được cơng bố trong [N2-N6] và gửi cơng bố trong [N7, N8]. Ngồi ra, các nội dung và phương pháp nghiên cứu trong luận án cũng đã được thể hiện, vận dụng cho các phương trình dạng khác và đã được cơng bố trong [N1, N9, N10]. Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo 125 trong các hội nghị: - Hội nghị khoa học khoa Tốn-Tin học ĐHSP Tp. HCM, 22/12/2002. - The International Conference on Differential Equations and Applications, HCM City 22-25/08/2004. - Hội nghị tồn quốc lần thứ hai về Ứng dụng Tốn học, Hà Nội 23- 25/12/2005. Trên cơ sở các kết quả thu được trong luận án, chúng tơi xin nêu những vấn đề cĩ thể nghiên cứu, phát triển tiếp như sau: 1. Nghiên cứu các vấn đề tương tự trong chương 1 cho phương trình tích phân Volterra-Hammerstein trên đoạn vơ hạn cĩ dạng: x(t) = q(t) + f(t, x(t)) + ∫ t 0 V (t, s, x(s))ds + ∫ ∞ 0 G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+. 2. Nghiên cứu các vấn đề tương tự trong chương 2 cho phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ chậm với dạng tổng quát hơn hoặc với các điều kiện biên dạng khác. 3. Cho các điều kiện để thu được một thuật giải lặp cấp hai hội tụ như trong chương 3 với các tốn tử f,B cĩ dạng tổng quát hơn. 126 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [N1] L.H. Hố, L.T.P. Ngọc (2004), Một ghi chú về tính compact, liên thơng của tập hợp nghiệm của bài tốn tiến hố, Tạp chí khoa học Khoa học Tự nhiên Trường ĐHSP Tp. HCM, Số 4(38), 3-13. [N2] L.H. Hố, L.T.P. Ngọc (2006), Boundary and initial value problems for second order neutral functional differential equations, Electronic J. Diff. Equat., No.62, 1-19. [N3] L.H. Hố, L.T.P. Ngọc (2006), The connectivity and compactness of so- lution set of an integral equation and weak solution set of an initial-boundary value problem, Demonstratio Math. Vol.39, No.2 , 357- 376. [N4] L.T.P. Ngọc, N.T. Long (2006), On a fixed point theorem of Kras- nosel’skii type and applications to integral equations, Fixed Point Theory and Applications, Hindawi Publishing Corporation, Article ID 30847, 1-24. [N5] N.T. Long, L.T.P. Ngọc (2006), Bài tốn hỗn hợp cho phương trình sĩng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff, Tạp chí khoa học Khoa học Tự nhiên Trường ĐHSP Tp. HCM, Số 8(42), 44-61. [N6] N.T. Long, L.T.P. Ngọc (2007), On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math. Vol.40, No.2 , 365- 392. [N7] N.T. Long, L.T.P. Ngọc, On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equa- tion in the unit membrane I, (Bài gửi cơng bố). [N8] L.T.P. Ngọc, N.T. Long, The Hukuhara-Kneser Property for a nonlinear integral equation, (Bài gửi cơng bố). [N9] N.T. Long, L.T.P. Ngọc (2007), A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: The compactness and connectivity of weak so- lution set, Abstract and Applied Analysis, Hindawi Publishing Corporation, Article ID 20295, 1-17. [N10] L.T.P. Ngọc (2007), Applying fixed point theory to the initial value prob- lem for the functional differential equation with finite delay, Vietnam Journal of Mathematics, 35:1, 43-60. Tài liệu tham khảo [1] M. A. Abdou, W. G. El-Sayed and E.I. Deebs (2005), "A solution of a nonlinear integral equation", App. Math. Comp., 160, pp. 1-14. [2] R.A. Adams (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork. [3] C. Avramescu (2003), "Some remarks on a fixed point theorem of Kras- nosel’skii", Electronic J. Qualitative Theory of Diff. Equat, 5, pp. 1-15. [4] C. Avramescu and C. Vladimirescu (2005), Asymptotic stability results for certain integral equations, Electronic J. Diff. Equat., 126, pp. 1-10. [5] M. E. Ballotti (1985), "Aronszajn’s theorem for a Parabolic partial dif- ferential equation", Nonlinear Anal. Theory, Methods and Applications, 9, 11 , pp. 1183-1187. [6] D.T.T. Binh, A.P.N. Dinh and N.T. Long (2001), "Linear recursive schemes associated with the nonlinear wave equation involving Bessel’s operator", Math. Comp. Modelling, 34, pp. 541-556. [7] T.A. Burton (1998), "A fixed-point theorem of Krasnosel’skii", Appl. Math. Letters, 11(1), pp. 85 - 88. [8] T.A. Burton and C. Kirk (1998), " A fixed-point theorem of Krasnosel’skii type", Math. Nach., 189, pp. 23 - 31. [9] G.F. Carrier (1945), " On the nonlinear vibrations problem of elastic string", Quart. J. Appl. Math., 3, pp. 157-165. [10] C. Corduneanu (1991), Integral equations and applications, Cambridge University Press, New York. 127 128 [11] K. Czarnowski (1996), "Structure of the set of solutions of an initial- boundary value problem for a Parabolic partial differential equation in an unbounded domain", Nonlinear Anal. Theory, Methods and Applications, 27, 6, pp. 723-729. [12] K. Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer, NewYork. [13] Y. M. Dib, M. R. Maroun, Y. N. Raffoul (2005), "Periodicity and sta- bility in neutral nonlinear differential equations with functional delay", Electronic J. Diff. Equat., No.142 , pp. 1-11. [14] A.P.N. Dinh and N.T. Long (1986), "Linear approximation and asymp- totic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimen- sion", Demonstratio Math., 19, pp. 45-63. [15] L. A. Dung and D. H. Tan (2007), "Some applications of the KKM- mapping principle in hyperconvex metric spaces", Nonlinear Anal., 66, pp. 170-178. [16] Y. Ebihara, L.A. Medeiros and M.M. Miranda (1986), "Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation", Nonlinear Anal., 10, pp. 27-40. [17] K. Goebel and W. A. Kirk (1990), Topics in metric fixed point theory, Cambridge University Press, New York. [18] J. Hale (1998), Asymptotic behavior of dissipative systems, Mathemati- cal Surveys and Monographs, 25, American Mathematical Society, Prov- idence, RI. [19] J. Henderson (1995), Boundary Value Problems for Functional Differen- tial Equations, World Scientific Publishing, USA. [20] H. R. Henriquez (1994), "Periodic Solutions of Quasi-Linear Partial Functional Differential Equations with Unbounded Delay", Funkcialaj Ek- vacioj, 37, pp. 329-343. [21] L.H. Hoa and K. Schmitt (1994), " Fixed point theorem of Krasnosel’skii type in locally convex spaces and applications to integral equations", Re- sults in Math., 25, pp. 290-314. 129 [22] L.H. Hoa and K. Schmitt (1995), "Periodic solutions of functional differ- ential equations of retarded and neutral types in Banach spaces", Bound- ary Value Problems for Functional Differential Equations, pp. 177-185. [23] M. Hosoya and Y. Yamada (1991), " On some nonlinear wave equation I: Local existence and regularity of solutions", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math., 38, pp. 225-238. [24] G.R. Kirchhoff (1876), Vorlesungen u¨ber Mathematische Physik: Mechanik, Teuber, Leipzig. [25] M. A. Krasnosel’skii and P.P. Zabreiko (1984), Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [26] S. Lang (1969), Analysis II, Addison - Wesley, Reading, Mass., California London. [27] J.L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires, Dunod, Gauthier -Villars, Paris. [28] J.Liu, T.Naito, N.V.Minh (2003), "Bounded and periodic solutions of infinite delay evolution equations", J. Math. Anal. Appl. 286, 705 -712. [29] N.T. Long and A.P.N. Dinh (1992), "On the quasilinear wave equation: utt − ∆u + f(u, ut) = 0 associated with a mixed nonhomogeneous condi- tion", Nonlinear Anal., 19, pp. 613-623. [30] N.T. Long, et al. (1993), "On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing an integral", Comp. Maths. Math. Phys., 33, pp. 1171-1178. [31] N.T. Long and A.P.N. Dinh (1995), "Periodic solutions of a nonlinear parabolic equation associated with the penetration of a magnetic field into a substance", Comp. Math. Appl., 30, pp. 63-78. [32] N.T. Long and A.P.N. Dinh (1995), "A semilinear wave equation asso- ciated with a linear differential equation with Cauchy data", Nonlinear Anal., 24, pp. 1261-1279. 130 [33] N.T. Long and T.N. Diem (1997), "On the nonlinear wave equation utt − uxx = f(x, t, u, ux, ut) associated with the mixed homogeneous con- ditions", Nonlinear Anal., 29, pp. 1217-1230. [34] N.T. Long, A.P.N. Dinh and D.T.T. Binh (1999), "Mixed problem for some semilinear wave equation involving Bessel’s operator", Demonstratio Math., 32, pp. 77-94. [35] N.T. Long and T.M. Thuyet (1999), "On the existence, uniqueness of solution of the nonlinear vibrations equation", Demonstratio Math., 32, pp. 749-758. [36] N.T. Long, A.P.N. Dinh and T.N. Diem (2002), "Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff-Carrier operator", J. Math. Anal. Appl., 267, pp. 116-134. [37] N.T. Long (2002), "On the nonlinear wave equation utt − B(t, ‖ux‖2)uxx = f(x, t, u, ux, ut) associated with the mixed homogeneous conditions", J. Math. Anal. Appl., 274, pp. 102-123. [38] N.T. Long (2005), "Nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in a unit membrane with mixed homogeneous boundary conditions", Electronic J. Diff. Equat., 138, pp. 1-18. [39] R. Ma (1998), "Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problem", Electronic J. Diff. Equat., 34, pp. 1-8. [40] L.A. Medeiros (1994), "On some nonlinear perturbation of Kirchhoff- Carrier operator", Comp. Appl. Math., 13, pp. 225-233. [41] LA. Medeiros, J. Limaco and S.B. Menezes (2002), " Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part one", J. Comput. Anal. Appl., 4(2), pp. 91-127. [42] LA. Medeiros, J. Limaco and S.B. Menezes (2002), "Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part two", J. Comput. Anal. Appl., 4(3), pp. 211-263. [43] Juan Nieto (1987), "Hukuhara-Kneser Property for a Nonlinear Dirichlet Problem", J. Math. Anal. Appl., 128, pp. 57-63. 131 [44] L. Nirenberg (1974), Topics in Nonlinear Functional Analysis, New York. [45] S. K. Ntouyas (1995), "Boundary value problems for neutral functional differential equations", Boundary Value Problems for Functional Differ- ential Equations, pp. 239 - 249. [46] Donal O’Regan (1994), Theory of singular boundary problems, World Scientific Publishing, USA. [47] E.L. Ortiz and A.P.N. Dinh (1987), "Linear recursive schemes associated with some nonlinear partial differential equations in one dimension and the Tau method", SIAM J. Math. Anal., 18, pp. 452-464. [48] S. Park (1994), "Foundations of the KKM theory via coincidences of composites of upper semicontinuous maps", J. Korean Math. Soc., 31(3), pp. 493-519. [49] S. Park and B. G. Kang (1998), " Generalized variational inequalities and fixed point theorems", Nonlinear Anal. Theory, Methods and Appli- cations, 31, pp. 207-216. [50] S. Park (2000), " On generalizations of the Ekeland-type variational principles", Nonlinear Anal., 39, pp. 881-889. [51] S. Park and D. H. Tan (2000), " Remarks on the Schauder - Tychonoff fixed point theorem ", Vietnam J. Math., 28 (2), pp. 127-132. [52] S. Park and D. H. Tan (2000), " Remarks on Himmelberg-Idzik’s fixed point theorem ", Acta Math. Vietnam., 25 (3), pp. 285-289. [53] S. Park (2006), " Generalizations of the Krasnoselskii fixed point theo- rem", Nonlinear Anal., doi:10.1016/j.na.2006.10.024. [54] S. Park (2007), " Fixed point theorems for better admissible multimaps on almost convex sets", J. Math. Anal. Appl., 329, pp. 690-702. [55] P.K. Pavlakos and I. G. Stratis (1994), " Periodic solutions to retarded partial functional differential equations", Portugaliae Math. , 51, Fasc.-2, pp. 271-281. 132 [56] R.E. Showalter (1994), Hilbert space methods for partial differential equa- tions, Electronic J. Diff. Equat., Monograph 01. [57] Yong-Ping Sun (2004), "Nontrivial solution for a three-point boundary value problem", Electronic J. Diff. Equat., 111, pp. 1-10. [58] Paul. C. Talaga (1981), "The Hukuhara-Kneser Property for Parabolic System with Nonlinear boundary Conditions", J. Math. Anal. Appl., 79, pp. 461-488. [59] Paul. C. Talaga (1988), "The Hukuhara-Kneser Property for Quasilinear Parabolic Equations", Nonlinear Anal., 12, 3, pp. 231-245. [60] K. Yosida (1965),Functional Analysis, Springer-Verlag, New York Berlin Go¨ttingen Heidelberg. [61] E. Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Part I, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo. [62] Bo Zhang (1995), "Boundary value problems of second order functional differential equations", Boundary Value Problems for Functional Differ- ential Equations, pp. 301- 306. ._.