Ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất động của hàm nguyên siêu việt

 .  B r : Quả cầu đóng tâm bán kính 0  .  ,r f : Số hạng cực đại.  ,r f : Chỉ số tâm. 1,n r f    : Số không điểm của f (kể cả bội) với trị tuyệt đối  r 1,N r f    : Hàm trị của f đối với 0. 1,n r f    : Số không điểm của f (không kể bội) với trị tuyệt đối . r 1,N r f    : Hàm trị của f tương ứng với 1,n r f    đối với 0.  ,m r f : Hàm bù của f .  ,T r f : Hàm đặc trưng của f .  p z : Trường các hàm hữu tỉ trên p .  1O : Đại lượng bị chặn.  O f : Đại lượng bị chặn so với f .  o f : Đại lượng vô cùng bé đối với f . MỞ ÐẦU Gần đây, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lĩnh vực toán học năng động. Chẳng hạn, Khoái [3], Khoái-Quang [6] đã chứng minh tương tự p- adic của hai “định lí chính” và mối quan hệ về số khuyết của lý thuyết Nevanlinna cổ điển. Khoái [4] đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, và đã chứng minh mối liên hệ về số khuyết của các siêu phẳng trong vị trí tổng quát. Cherry-Yang [13] đã mô tả một số tập xác định duy nhất với số phần tử hữu hạn của các hàm nguyên p-adic. Có hai “định lí chính” và các mối quan hệ về số khuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm trong lý thuyết Nevanlinna. Những kết quả này đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna. Trong giải tích phức, một trong những ứng dụng nổi bật của lý thuyết Nevanlinna là ứng dụng trong phương trình vi phân đại số. Cụ thể, lý thuyết Nevanlinna được sử dụng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm là hàm nguyên hay hàm phân hình của phương trình vi phân. Chẳng hạn, lý thuyết Nevanlinna được sử dụng để chứng minh định lí Malmquist’s và một ví dụ điển hình trong số các kết quả của định lí kiểu Malmquist là: “Nếu  P X và  Q X là các phần tử nguyên tố cùng nhau trong vành đa thức một biến với hệ số trong trường các hàm hữu tỉ theo biến z với hệ số phức và phương trình vi phân    P f f Q f   có một nghiệm phân hình siêu việt f, khi đó Q là một đa thức bậc không theo biến X và P có bậc tối đa bằng 2”. Kết quả trên là nền tảng để xây dựng các định lí kiểu Malmquist tổng quát hơn sau này trong giải tích phức. Về sau, các kết quả trong giải tích phức thường được xây dựng tương tự trong giải tích p-adic; vì vậy, ý tưởng nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình vi phân đại số, đặc biệt là các kết quả kiểu Malmquist tương tự p-adic là điều tất yếu. Trong luận văn này, tôi đã trình bày các phương trình vi phân đại số p-adic dạng:     , , ,..., , ,nz w w w R z w  Trọng tâm của phần này là tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất nghiệm của phương trình vi phân đại số, cụ thể, ta sẽ chỉ ra rằng một số phương trình vi phân đại số không có nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận được. Hơn nữa, các kết quả còn được mở rộng trong các trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn như định lí Malmquist-type (I), định lí Malmquist-type (II) và nghiên cứu nghiệm chấp nhận được của một số phương trình vi phân cụ thể. Các kết quả này là nội dung trọng tâm của chương 2. Trong chương 3, tôi đã trình bày tương tự p-adic của định lí Baker trong giải tích phức, định lí nghiên cứu điểm bất động của hàm nguyên siêu việt, đó là: “Nếu f là hàm nguyên siêu việt trên p , khi đó f sở hữu vô hạn điểm bất động cấp n, trừ nhiều nhất một giá trị của n”. Chương 1: LÝ THUYẾT NEVANLINNA CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC Trong chương này, tôi sẽ trình bày các kết quả quan trọng và cần thiết của lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình p-adic, các kiến thức này sẽ bổ trợ cho phần trọng tâm của luận văn này là chương 2 và 3. 1.1 Lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình p-adic: Cho p là một số nguyên tố, gọi p là trường các số p-adic, và p là đầy đủ hóa p- adic của bao đóng đại số p của p . Giá trị tuyệt đối . p trong p được chuẩn hóa sao cho 1 p p p . Ta cũng dùng kí hiệu   logp p pord z z  . Nhắc lại rằng, trong không gian mêtric đầy đủ có được nhờ chuẩn phi Archimedean, mỗi tổng vô hạn hội tụ nếu và chỉ nếu số hạng tổng quát tiến dần về không. Khi đó biểu diễn dưới dạng:     0 n n n p n f z a z a     được xác định tốt khi 0nn pa z  Định nghĩa “ bán kính hội tụ  ” bởi 11 limsup nn pn a  . Khi đó chuỗi hội tụ nếu p z  và phân kì nếu p z  . Cũng vì thế hàm  f z được gọi là hàm giải tích p-adic trên  B  , ở đó    p pB z z    . Nếu    , hàm  f z được gọi là hàm nguyên p-adic trên P . Cho f là hàm giải tích p-adic khác hằng trên    0B     . Ta định nghĩa số hạng cực đại:     0 , max 0nn pnr f a r r    và chỉ số tâm:     0, max ,nn pnr f n a r r f   . Định nghĩa     0 0, lim , r f r f  . Bổ đề 1.1.1: Nếu àf v h là hai hàm giải tích p-adic trên  B  , khi đó:      , , ,r fh r f r h   . Bổ đề 1.1.2: Chỉ số tâm  ,r f tăng khi r  , và thỏa mãn công thức:            0, 0 , 0,log , log 0, log 0rf p t f f r f a dt f r r t         Hệ quả 1.1.3:  ,r f là hàm số liên tục trên  0, . Bổ đề 1.1.4: (Weierstrass Preparation Theorem): Tồn tại duy nhất đa thức P bậc  ,r f và một hàm giải tích p-adic g trên  B r sao cho f gP , ở đó    p pB r z z r   Hơn nữa, g không có bất kì không điểm nào trong  B r , và P có đúng  ,r f không điểm, kể cả bội trong  B r . Gọi 1,n r f     là số không điểm ( tính cả bội ) của hàm f với trị tuyệt đối r và định nghĩa hàm trị của f đối với 0 bởi:   0 1 1, 0, 1 1, 0, log 0 . r n t n f fN r dt n r r f t f                        Bổ đề 1.1.3 chỉ ra rằng  1, , .n r r f f      Khi đó bổ đề 1.1.2 cho ta công thức Jensen:   10, 1, log , log . n f p N r r f a f            Ta cũng kí hiệu số không điểm phân biệt của f trên  B r bởi 1,n r f     và định nghĩa   0 1 1, 0, 1 1, 0, log 0 . r n t n f fN r dt n r r f t f                        Với mỗi n ta vẽ đồ thị      nn p n nt ord a z ord a nt    như là hàm của  pt ord z . Khi đó  n t là một đường thẳng với hệ số góc n . Gọi  ,t f là bờ giao nhau của tất cả các nửa mặt phẳng nằm dưới đường  n t . Đường thẳng này được gọi là đa giác Newton của hàm  f z . Điểm t tại đỉnh của  ,t f được gọi là đỉnh tới hạn của  f z . Một đoạn hữu hạn  ,  chỉ chứa một số hữu hạn các điểm tới hạn. Rõ ràng nếu t là một điểm tới hạn, thì khi đó hàm  f z có ít nhất hai số hạng cực đại. Hiển nhiên, ta có:    ,, t fr f p   trong đó tr p . Tính chất 1.1.5: Nếu  pt ord z không là điểm tới hạn, khi đó      , , .t f p f z p r f   Định nghĩa 1.1.6: Hàm biểu diễn dưới dạng thương gf h  của hai hàm giải tích p-adic àg v h sao cho àg v h không có nhân tử chung trong vành các hàm giải tích p-adic trên  B  được gọi là hàm phân hình f trên  B  . Ta có thể mở rộng  cho hàm phân hình gf h  bằng cách định nghĩa      , , , r g r f r h   . Ta cũng đặt      , , , .t f t g t h    Rõ ràng, nếu  pt ord z không là điểm tới hạn của  f z , hay t không là điểm tới hạn của    àg z v h z , khi đó      , , .t f p f z p r f   Định nghĩa  .p ppz z  Khi đó  w pp w  và p trù mật trong [0, ) . Nếu : [0, ) à : pa v b   là các hàm giá trị thực, khi đó    a r b r nghĩa là với bất kì số dương hữu hạn nào 0 R   , có một tập hữu hạn E trong  0,p R sao cho      , 0,ppa r b r r z R E     Bằng cách sử dụng kí hiệu trên, ta có    , p r f f z  đối với hàm phân hình p-adic f trên  B  . Định nghĩa hàm đếm  ,n r f và hàm trị  ,N r f của f đối với cực điểm    1 1, , , , , .n r f n r N r f N r h h            Áp dụng công thức Jensen cho àg v f , ta thu được công thức Jensen cho hàm phân hình:    1, , log , fN r N r f r f Cf         ở đó fC là hằng số chỉ phụ thuộc vào f . Định nghĩa       , log , max 0,log , .m r f r f r f   Cuối cùng, ta định nghĩa hàm đặc trưng:      , , ,T r f m r f N r f  . Tính chất 1.1.7: Cho    1,2,...,i pf M i k  . Khi đó với 0r  , ta có:     1 1 11 , , , , , . kk k k i i i i i i ii N r f N r f N r f N r f                Tính chất 1.1.8: Cho    1,2,...,i pf M i k  . Khi đó với 0r  , ta có     11 11 , max , , , , . kk k i i i ii ki ii m r f m r f m r f m r f               Tính chất 1.1.9: Cho    1,2,...,i pf M i k  . Khi đó với 0r  , ta có     1 1 11 , , , , , . kk k k i i i i i i ii T r f T r f T r f T r f                Tính chất 1.1.10: Cho  pw M . Khi đó với  là số nguyên dương tùy ý, ta có                       , , , 1 , , , , , 1 N r w N r w N r w N r w wm r w m r w m r m r w O w                 từ đó suy ra     1, , ,wN r N r w N r w w              . Sau đây là một số kết quả quan trọng của lý thuyết Nevanlinna sẽ được sử dụng trong các phần sau. Định lí 1.1.11: ( Định lí chính thứ nhất ) Cho f là một hàm phân hình khác hằng trong  B  . Khi đó với mỗi pa ta có:      1 1, , , 1 .m r N r T r f O r f a f a               Định lí 1.1.12: ( Tính chất đạo hàm logarit ) Cho f là một hàm phân hình khác hằng trong  B  . Với mỗi số nguyên dương n bất kì, ta có      , 1 .nfm r O r f        Định lí 1.1.13: ( Định lí chính thứ hai ) Cho f là một hàm phân hình khác hằng trong  B  và gọi 1 2, ,..., qa a a là các số đôi một khác nhau trong p . Khi đó               1 1 1 11 , , , , log 1 1, , log 1 q j j q j j q T r f N r f N r N r f r O f a N r f N r r O f a                       ở đó      1 1, 2 , , , .N r f N r f N r f N r f        Tính chất 1.1.14: Nếu f là hàm nguyên khác hằng trên p . Khi đó:    1, , 1N r T r f O f       , hơn nữa, với mọi pa ta có:    1, , 1 .N r T r f O f a       1.2 Cấp tăng của hàm phân hình p-adic: Gọi  pM là không gian các hàm phân hình p-adic trên p . Định nghĩa     0 , k j j j A r w a z w    , trong đó  j pa M với 0ka  . Định nghĩa 1.2.1: Cho  pa   , gọi  0af z là bội số của f giá trị a tại 0z , tức là  0af z m  nếu và chỉ nếu           0 0 : : m m a z z h z a f z h z a z z          với  0 0,h z   . Bổ đề 1.2.2: Với  0 0,pz w z   , ta có:             0 0 0 0 0 0 0 0 0 . j j k A w a j k A w a j z k z z z k z z                    Bổ đề 1.2.3: Nếu  pw M , khi đó       0 1, , , , . k j j j N r A kN r w O N r a N r a                 Bổ đề 1.2.4: Nếu  pw M , khi đó       0 1, , , , . k j j j m r A km r w O m r a m r a                 Từ bổ đề 1.2.1 và 1.2.2 ta có kết quả sau: Định lí 1.2.5: Nếu  pw M , khi đó       0 , , , . k j j T r A kT r w O T r a        Lấy    0 1, ,..., q pb b b M với 0qb  và định nghĩa     0 , . q j j j B z w b z w    Giả sử rằng    , à ,A z w v B z w là các đa thức nguyên tố cùng nhau đối với w . Định nghĩa      , , . , A z w R z w B z w  Bổ đề 1.2.6: Cho 0 pz  , Nếu  0 0B z  thì      0 0 0R A Bz z z      . Trong trường hợp  0 0B z  ta có      0 0 0R A Bz z z      . Định lí 1.2.7: Nếu  pw M , khi đó:           0 0 , max , , , , . qk j j j j T r R k q T r w O T r a T r b          Định lí 1.2.8: Nếu w là một hàm nguyên p-adic khác hằng và nếu    p pf M z  , khi đó:     , lim ,r T r f w T r w   . Hệ quả 1.2.9: Một hàm phân hình p-adic f trên p là một hàm hữu tỉ bậc d nếu và chỉ nếu, với mọi hàm nguyên p-adic khác hằng w trên p , ta có     , lim ,r T r f w d T r w  . Hệ quả 1.2.10: Một hàm phân hình p-adic f trên p là một hàm hữu tỉ bậc d nếu và chỉ nếu  ,lim logr T r f d r  . Hàm phân hình p-adic trong    p pM z được gọi là hàm siêu việt. Hiển nhiên, một hàm phân hình p-adic trên p là siêu việt nếu và chỉ nếu  ,lim logr T r f r   . Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ p-ADIC Trong chương này, tôi sẽ trình bày tương tự phi archimedean định lí Malmquist- type trong phương trình vi phân. 2.1 Phương trình vi phân đại số p-adic: Định nghĩa 2.1.1: Phương trình vi phân đại số p-adic là phương trình có dạng (1)     , , ,..., ,nz w w w R z w  trong đó (2)        10, , ,..., ... niin nii i I z w w w c w w w     và  0 1, ,..., ni i i i là các chỉ số nguyên không âm, I là tập hữu hạn,  i pc M , và  ,R z w là một hàm phân hình p-adic trên 2p . Ta định nghĩa         0 0 1 deg max , max 1 , max . n n n i I i I i I i i i                                       Bổ đề 2.1.2: Với toán tử        10, , ,..., ... niin nii i I z w w w c w w w     ta có:        0 0 0iw c i I z z z          . Chứng minh: Đặt     10 ... nii nii i i I A c w w w    . Khi đó,        0 0 0 0 1 i i n A c wz z i z            (do      0 0k ww z z k    ). Theo định nghĩa của     0 max 1 n i I i            , suy ra:        0 0 0iw c i I z z z          . Tính chất 2.1.3: Với  pw M , ta viết  z dưới dạng:           , , ,..., .nz z w z w z w z   Khi đó ta có: (3)            , deg , , , i i I N r N r w N r w N r c               , , , i i I N r N r w N r c       (4)                   1 , deg , max , , deg , , 1 n ii I i i I wm r m r w m r c i m r w m r w m r c O                           (5)              , deg , , , 1i i I T r T r w N r w T r c O                  , , , 1 .i i I T r T r w T r c O        Chứng minh: Theo tính chất 1.1.10 ta có:       , , ,N r w N r w N r w   Suy ra           10 0 1 , ... , , , n n nii ni i iN r c w w w i N r w i N r w N r c                          và                   , deg , , , , , i i I i i I N r N r w N r w N r c N r w N r c                Theo tính chất 1.1.8 và 1.1.10 ta có:           10 0 1 , ... , , , n n nii ni i i wm r c w w w i m r w m r c i m r w                           Cũng theo tính chất 1.1.8 ta suy ra:           1 , deg , max , , . n ii I wm r m r w m r c i m r w                    Theo định lí 1.1.12 ta có:    , 1wm r O w       nên:                    , deg , max , 1 deg , , 1 ii I i i I m r m r w m r c O m r w m r c O            Từ kết quả (1) và (2) ta thu được:                                   , deg , , , 1 deg , , , 1 , , 1 . i i I i i I i i I T r T r w N r w T r c O T r w T r w T r c O T r w T r c O                           Định nghĩa (6)      , , , A z w R z w B z w  , trong đó    , à ,A z w v B z w là các đa thức nguyên tố cùng nhau đối với w và     0 , , k j j j A r w a z w        0 , q j j j B z w b z w    , với    0 0,..., , ,..., , 0, 0k q p k qa a b b M a b   . Ta có kết quả sau: Bổ đề 2.1.4: Cho  pw M là một nghiệm của (1), trong đó. Nếu q k , khi đó           0 0 17 , , , , , qk i j j i I j jq m r m r c m r a O m r m r b b                           0 0 18 , , , , qk i j i I j j j N r N r c N r a O N r b                              0 9 , , , , . k i j j i I j T r T r c T r a O T r b        Chứng minh: Lấy pz với               0, ; 0, 0 ; 0, ; 0, 0 , j i j w z a z j k c z i I b z j q              và định nghĩa      1 0 max 1, . q j j p j q q p b z z b z                  Nếu     p w z z  , ta thấy               .j j qq jj q qp p pp p pb z w z b z z w z b z w z   Khi đó       , .qq pppz w z b z w z  (do tính chất của chuẩn phi-archimedean) Khi đó                          0 0 max max, , j k j jj k pppp j k q qp q qp p pp p a z w z a z w zA z w z z B z w z b z w z b z w z        (do     1 p w z z   )              0 0 max 1 max . q j ppj k jq pj k qq ppp a z w z a z b zb z w z       (do q k ) Nếu     p w z z  , khi đó:                                    1 1 0 10 1 ... deg ... ... max ... n n n n ii nii i i ini i ip i I i Ip ii n i pi I p p w z w z z c w w w c z w z w z w z w z w z z c z w z w z                          Kết hợp hai trường hợp ta được:                                           1 1 deg 0 , deg 0 , 0 max , max ... max ,max ... max 1, n n ii n j p ip pj k i I i I q p pp ii q jn j jp p i pj k i I i I j q q qp pp p a z w z w z z z c z w z w zb z a z b zw z w z c z w z w zb z b z                                          Suy ra            1 deg 0 , 0 , , max , , , ... , max 1, , , , nii n q j j j ij k i I j q qq r a bw wr r c r r r w w br b                                         (do    , p r f f z  đối với mọi hàm phân hình p-adic f ). Bất đẳng thức này đúng trong trường hợp p z r với z thỏa mãn điều kiện chọn ban đầu, nhưng do tính chất liên tục của hàm  nên bất đẳng thức trên cũng đúng cho mọi 0r  . Suy ra             1 0 , 0 1log , log , , log , log , ... log , max deg1log , max log1,log , log , n i j i q ij k i I n jj q q wr a r r c r b w r wr r b r w b q j                                                           Suy ra                     1 0 , 0 0 0 1, , , , , ... , max deg1, max , , 1, , , , 1 n i j i q ij k i I n jj q q qk i j j i I j jq wm r a m r m r c m r b w m r wm r m r b m r w b q j m r c m r a m r m r b O b                                                                           0 0 1, , , , qk i j j i I j jq m r c m r a O m r m r b b                 (do    , 1 , 1wm r O n w          ). Lấy điểm  0 0,pz w z   . Theo bổ đề 1.2.2 ta có:             0 0 0 0 0 0 0 0 0 , j j k A w a j q B w b j z k z z z q z z                    Nếu    00 0 0 0 j q w b j q z z     , khi đó      00 0 0 0 0 j q B w b j z q z z        Theo bổ đề 1.2.6 ta có:      0 0 0R A Bz z z      Mặt khác:            00 0 0 0 0 0 0 0 j j qk A B w a w b j j z z k z z q z z                                      0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 j j j j q qk k w a b a b j j j j k q z z z z z                    (do q k ). Suy ra            00 0 0 0 0 0 0 0 j j qk R A B a b j j z z z z z z                  Nếu        0 00 0 0 0 0 0 10 j j q q w b w b j j q z z z z q             Theo bổ đề 2.1.2, ta có:              00 0 0 0 0 0 i j i q w c b c i I j i I z z z z z q                     Kết hợp cả hai trường hợp ta được:          00 0 0 0 0 0 max 1, j j i qk a b c j j i I z z z z q                    Trong trường hợp  0w z   ta quay về trường hợp hai do      0 00 0 0 0 0 0 j j q q w b b j j q z z z          Từ đó ta cũng suy ra          00 0 0 0 0 0 max 1, j j i qk a b c j j i I z z z z q                    Do đó   0 0 0 max 1, j j i qk a b c j j i Iq                    Từ đó suy ra       0 0 1, , , , . qk i j i I j j j N r N r c N r a O N r b                   Lấy (7) và (8) cộng theo từng vế ta được:          0 , , , , . k i j j i I j T r T r c T r a O T r b        Định nghĩa 2.1.5: Một nghiệm w của (1) với  ,R z w được xác định bởi (6) được gọi là chấp nhận được nếu  pw M thỏa mãn (1) với         0 0 , , , ( , ). qk i j j i I j j T r c T r a T r b o T r w         Định lí 2.1.6: Nếu  ,R z w có dạng (6) và nếu (1) có nghiệm chấp nhận được  pw M , khi đó          0, min ,deg 1 .wq k          Chứng minh: Biểu diễn         21 , , , , , A z w A z w A z w B z w B z w   trong đó  1deg A k q  nếu k q , và  2 2deg A k q  . Khi đó phương trình (1) trở thành:        21 ,, , ,..., , ,n A z wz w w w A z w B z w   , suy ra        21 ,, , ,..., , ,n A z wz w w w A z w B z w   . Theo bổ đề 2.1.4 ta có:                  1 0 1 , , , , , , , k i j j i I j T r A T r c T r a O T r b o T r w T r A o T r w              (do w là nghiệm chấp nhận được) Theo định lí 1.2.7 ta có:                2 1 2 0 0 , , max , , , , . , , . qk j j j j AT r A T r k q T r w O T r a T r b B qT r w o T r w                    Do đó 0q  , và (1) trở thành     , , ,..., ,nz w w w A z w  . Theo định lí 1.2.5 ta có:              0 , , , , , , . k j j T r T r A kT r w O T r a kT r w o T r w           Theo (5) ta có:                                          , deg , , , 1 deg , 1 , , deg 1 , , i i I w w T r T r w N r w T r c O T r w T r w o T r w T r w o T r w                           và                  , , , 1 , , i i I T r T r w T r c O T r w o T r w             Suy ra                 , min ,deg 1 , ,wT r T r w o T r w          Do đó:          min ,deg 1 .wk         Hệ quả 2.1.7: Cho   , , ,..., nz w w w là một đa thức vi phân với hệ số trong  p z và    , ,pR z w z w . Nếu (1) có một nghiệm phân hình p-adic    pw w z z  , khi đó  ,R z w là một đa thức theo w có bậc     . Chứng minh: Theo hệ quả 1.2.10, vì    pw w z z  nên ta có:  ,lim logr T r f r   suy ra     log ,r o T r w Vì  i pc z nên theo hệ quả 1.2.10 ta có:    , logiT r c O r suy ra     , ,iT r c o T r w . Mặt khác: Do    , ,pR z w z w nên  ,i j pa b z từ đó suy ra       , , ,i jT r a T r b o T r w  . Do đó          0 0 , , , , qk i j j i I j j T r c T r a T r b o T r w         nên w là một nghiệm chấp nhận được Theo định lí 2.1.6 ta suy ra  ,R z w là một đa thức theo w có bậc:            min ,deg 1 wk            . Hệ quả 2.1.8: Cho  ,R z w là một hàm hữu tỉ của à wz v . Nếu có tồn tại một hàm phân hình siêu việt  w w z trên p thỏa mãn  ,ndw R z w dz      khi đó  ,R z w là một đa thức theo w có bậc 2n . Chứng minh: Đặt   , , ,..., nn dwz w w w dz            , , ,..., , , à w znz w w w R z w v thỏa mãn các tính chất trong hệ quả 2.1.7 nên  ,R z w là một đa thức theo w có bậc     Trong đó,     0 max 1 2 n i I i n             . Định lí được chứng minh. 2.2 Định lí Malmquist-type (I): Trong phần này, ta tiếp tục nghiên cứu phương trình vi phân (1) cho trường hợp tổng quát hơn của  ,R z w . Định lí 2.2.1: Cho  pR M . Nếu phương trình vi phân sau đây:     , , ,..., nz w w w R w  có một nghiệm khác hằng  pw M thỏa mãn     , ,i i I T r c o T r w   Khi đó R là một đa thức với          deg( ) min ,deg 1 .wR         Chứng minh: Nhận thấy rằng,         , , lim lim , ,r r T r R w T r T r w T r w   Theo (5) ta có:          , , , 1 .i i I T r T r w T r c O        Suy ra           , , lim lim , ,r r T r R w T r T r w T r w      Theo định lí 1.2.8 suy ra R là một hàm hữu tỉ. Mặt khác, vì R là hàm hữu tỉ nên       , , ,j jT r a T r b o T r w  Từ đó suy ra         0 0 , , , ( , ). qk i j j i I j j T r c T r a T r b o T r w         (do     , ,i i I T r c o T r w   ) nên w là nghiệm chấp nhận được. Theo định lí 2.1.6, suy ra R là một đa thức với          deg( ) min ,deg 1 .wR         2.3 Định lí Malmquist-type (II): Trong phần này, ta sẽ xem xét phương trình vi phân sau đây:          10 , , ,..., , , , ,..., ,n nz w w w R z w z w w w    trong đó          1011 , , ,..., ... niin nii j J z w w w d w w w       , i pCardJ d M   . Ta có kết quả quan trọng sau đây: Bổ đề 2.3.1: Cho  ,R z w được xác định như (6) và w là một nghiệm của (10). Nếu q k , khi đó         0 0 , , , , , . qk i j j i I j j T r T r T r c T r a O T r b                    Nếu  degq k   , khi đó           0 0 1, , , , , , . qk i i j j i I i J j j q m r m r c m r d m r a O m r b m r b                      Chứng minh: * Nếu q k Lấy pz C với               0, ; 0, 0 ; 0, ; 0, 0 j i j w z a z j k c z i I b z j q              và định nghĩa      1 0 max 1, . q j j p j q q p b z z b z                  Nếu     p w z z  , do  ,R z w  nên theo chứng minh của bổ đề 2.1.4 ta có:        0 1 max .j pj k qp p z a z z b z     Nếu     p w z z  , khi đó                                                 10 1 0 1 1 ... deg 1 1 ... 1 ... 1 max ... n n n n ii ni ip i I pp p p ii n i i i i i Ip ii n i pi I p p p z z c w w w z z z w z w z c z w z z w z w z w z w z z c z z w z w z                               Kết hợp hai trường hợp ta được:                          1 deg 0 , 1max , max ... nii n j p i pj k i I i I qp p p pp a zz w z w z z c z z z w z w zb z                                       1 deg 0 , 0 1max , max ... max 1, nii q jn j jp p i pj k i I i I j q q qp p pp p a z b zw z w z c z z w z w zb z b z                             Suy ra           1 deg 0 , 0 , , 1max , , , , ... , max 1, , , nii n q j j j ij k i I j q qq r r a bw wr r c r r r w w br b                                                    Bất đẳng thức này đúng trong trường hợp p z r với z thỏa mãn điều kiện chọn ban đầu, nhưng do tính chất liên tục của hàm  nên bất đẳng thức trên cũng đúng cho mọi 0r  . Suy ra           1 0 , 0 log , 1 1log , log , , log , log , log , ... max , deg1log , max log1,log , log , n i j i q ij k i I n jj q q r wr a r r r c r b w wr r b r w b q j                                                                      hay           1 0 , 0 1 1, , , , , , ... , max deg1, max , , n i j i q ij k i I n jj q q wm r a m r m r m r c m r b w m r wm r m r b m r w b q j                                                                              0 0 0 0 1 1, , , , , 1 1 1, , , , , qk i j j i I j jq qk i j j i I j jq m r m r c m r a m r m r b O b m r m r c m r a O m r m r b b._.