Ứng dụng của lý thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình tích phân phi tuyến

Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt khóa học. Tôi xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô Phòng Khoa học-Công nghệ và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin kính gửi đến Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bình Phước, Ban Giám Hiệu trường THPT Chu Văn An lời cảm ơn chân thành vì đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường THPT Chu Văn An và đặc biệt là các Thầy trong Tổ Toán; các bạn học viên cao học lớp Giải tích K19 đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn. Sau cùng tôi xin kính gửi đến gia đình tôi cùng những người thân của tôi tất cả tình cảm yêu thương và lòng tri ân sâu sắc nhất, nơi đã tạo cho tôi niềm tin, nghị lực và là chỗ dựa vững chắc nhất giúp tôi hoàn thành khóa học cùng với luận văn này. Vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp. LỜI CAM ĐOAN Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các khóa trước, tôi có sử dụng các kết quả đã được chứng minh để hoàn thành luận văn của mình nhưng tôi xin cam đoan không sao chép các luận văn đã có và tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình. MỤC LỤC 0TMỤC LỤC0T ......................................................................................................... 5 0TMỞ ĐẦU0T ............................................................................................................ 7 0T1.Lí do chọn đề tài0T .................................................................................................... 7 0T2.Mục đích của đề tài0T ............................................................................................... 7 0T3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi của đề tài.0T ................. 7 0TMỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN0T ........................ 9 0TChương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN0T .................................... 10 0T1.1 Nón chuẩn (Normal cones)0T ............................................................................... 10 0T1.2 Nón chính quy (Regular cones) và nón chính quy đủ (Fully Regular Cones).0T .. 11 0T1.3. Hàm tuyến tính dương0T ..................................................................................... 13 0TChương 2 : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN 0T ............. 15 0T2.1 Điểm bất động của ánh xạ đơn điệu0T ................................................................. 15 0T2.2 Điểm bất động của ánh xạ mở rộng nón (cone expansion) và ánh xạ thu hẹp nón ( cone compression). 0T .............................................................................................. 23 0T2.3. Định lí điểm bất động bội (Multiple Fixed point theorems). 0T ............................ 37 0TChương 3 : ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN0T .................................................................................................... 40 0T3.1. Phương trình tích phân của dạng đa thức0T ......................................................... 40 0T3.2 Giá trị riêng và vectơ riêng0T ............................................................................. 54 0T3.3. Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan truyền bệnh dịch0T ............................ 62 0T3.4. Một phương trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong vật lí hạt nhân0T .............. 72 0TKẾT LUẬN0T ...................................................................................................... 76 0T ÀI LIỆU THAM KHẢO0T ............................................................................... 77 MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài Phương trình tích phân phi tuyến đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm và nghiên cứu, trong đó phải kể đến Dajun Guo, V.Lakshmikantham, Shaefer, Stuart, William, Legget . . . Nhận thấy phạm vi ứng dụng rộng lớn của các phương trình này trong ngành toán nói chung và ngành giải tích nói riêng, đặc biệt là có ứng dụng vào trong các ngành khoa học khác như : Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan truyền bệnh dịch mô tả sự lây lan bệnh dịch; Phương trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong vật lí hạt nhân; Phương trình tích phân phi tuyến mô tả sự vận chuyển Notron, . . . Từ những kiến thức thu nhận được qua các bài giảng trong khóa học cao học và dựa trên các kết quả của các nhà toán học nêu trên, tôi muốn mở rộng kiến thức của mình để tìm hiểu về chuyên đề phương trình tích phân phi tuyến. Chính vì vậy mà tôi đã quyết định chọn đề tài này. 2.Mục đích của đề tài Đề tài trình bày về sự tồn tại nghiệm liên tục, không âm của một số loại phương trình tích phân phi tuyến dựa trên lí thuyết điểm bất động nghiên cứu trên các hình nón. 3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi của đề tài. a. Phương pháp nghiên cứu : Tham khảo sách, các bài báo liên quan và dựa trên sự hướng dẫn của giảng viên. b. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu của đề tài Phương trình tích phân phi tuyến là một mảng khá rộng nhưng do còn hạn chế về nhiều mặt và do phạm vi cho phép của đề tài nên luận văn chỉ trình bày một số kết quả sau đây. Chương 1 : Trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của nón. Chương 2 : Trình bày một số định lí điểm bất động trong hình nón, bao gồm:  Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng, ánh xạ giảm.  Định lí điểm bất động của ánh xạ cô đọng.  Định lí điểm bất động của ánh xạ mở rộng và thu hẹp nón. Chương 3 : Là nội dung trọng tâm của luận văn, trình bày những ứng dụng trực tiếp của các định lí đã trình bày ở chương 2 vào xét sự tồn tại nghiệm không âm, liên tục của các phương trình tích phân phi tuyến sau : (1) ( ) ( , ). ( , ( )) G u x k x y f y u y dy= ∫ (2) . ( ) ( , ). [ ( )] ( ) G u x k x y f u y dy Au xλ = =∫ (3) ( ) ( , ( ) t t x t f s x s ds τ− = ∫ (4) 1 2 2 0 ( , )1 ( ) ( ) ( ) ,0 1 y R x yx x y dy x x ψ ψ ψ= + ≤ ≤ −∫ . MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN • E : không gian Banach thực. • EP*P : không gian các hàm tuyến tính liên tục từ E vào E ( đối ngẫu của E). • P : nón trong E • PP*P = { f ∈ EP*P : f(x) ≥ 0, x ∈ P}. • PRu0R = {x∈ E : ∃λ > 0 , x > λuR0R}. • γ(S) : độ đo của tập không compact S. • Mes(G) : độ đo của tập G. • co(A) : bao lồi của A, co(A) = 1 1 : 1, 0, n n i i i i i i i y y Aλ λ λ = =   = ≥ ∈    ∑ ∑ . • i(A, U, X) : chỉ số điểm bất động của A trên U ứng với X. • deg(A, U, p) : bậc topo, bậc Leray – Schauder của A trên U tại điểm p. • C(G) : không gian các hàm liên tục trên G. • L(G): không gian các hàm khả tích trên G. Chương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN 1.1 Nón chuẩn (Normal cones) Định nghĩa 1.1.1 Cho E là một kông gian Banach thực. Một tập lồi đóng P ⊂ E được gọi là một nón nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau : (i) x ∈ P, λ ≥ 0 thì λx ∈ P (ii) x ∈ P, -x ∈ P thì x = θ, trong đó θ là phần tử không trong E. • Một nón P được gọi là thể nón ( solid cone) nếu nó có chứa điểm trong, tức là P o ≠ ∅ . • Một nón được gọi là nón sinh (generating) nếu E = P – P, tức là mọi phần tử x ∈ E có thể biểu diễn được dạng x = u – v, trong đó u , v ∈ P. • Mỗi nón P trong E xác định một thứ tự riêng phần trong E cho bởi x ≤ y nếu và chỉ nếu y – x ∈ P. (1.1.1) • Nếu x ≤ y và x ≠ y, ta viết x < y ; nếu P là thể nón(solid) và y – x ∈ P thì ta viết x << y . Định nghĩa 1.1.2 Một nón P ⊂ E được gọi là chuẩn nếu có một số dương δ sao cho , , , 1, 1x y x y P x yδ+ ≥ ∀ ∈ = = . Định lí 1.1.1 Cho P là nón trong E. Các khẳng định sau là tương đương (i) P là chuẩn (ii) Có một hằng số γ > 0 sao cho .max{ , }, ,x y x y x y Pγ+ ≥ ∀ ∈ ; (iii) Có một hằng số N > 0 sao cho θ ≤ x ≤ y thì x N y≤ , tức là ⋅ là nửa đơn điệu ; (iv) Có một chuẩn tương đương ⋅ trên E sao cho θ ≤ x ≤ y thì 1 1 x y≤ , tức là ⋅ là đơn điệu. (v) , ( 1,2,3,...)n n nx z y n≤ ≤ = và 0, 0n nx x y x− → − → thì 0nz x− → ; (vi) Tập ( B+P) ∩ (B – P) bị chặn, trong đó B = { x ∈ E : 1x ≤ } ; (vii) Mọi đoạn [x , y] = { z ∈ E : x ≤ z ≤ y} là bị chặn. Chứng minh. ( Xem: [1], page 3 – 5). 1.2 Nón chính quy (Regular cones) và nón chính quy đủ (Fully Regular Cones). Định nghĩa 1.2.1 Một nón P ⊂ E được gọi là chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trong E đều có giới hạn, tức là, nếu {x RnR} ⊂ E và y ∈ E thỏa: xR1R ≤ xR2R ≤ . . . ≤ xRnR ≤ . . . ≤ y , (1.2.1) thì có xP*P ∈ E sao cho * 0nx x− → . Rõ ràng nón P là chính quy nếu và chỉ nếu mọi dãy giảm và bị chặn trong E có giới hạn. Định nghĩa 1.2.2 Một nón P ⊂ E được gọi là chính quy đầy đủ (fully regular) nếu mọi dãy tăng và bị chặn theo chuẩn trong E có giới hạn, tức là nếu xRnR ⊂ P thỏa xR1R ≤ xR2R ≤ . . . ≤ xRnR ≤ . . . , sup ,n n M x= < +∞ (1.2.2) tồn tại xP*P ∈ E sao cho * 0nx x− → . Rõ ràng một nón P là chính quy đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi dãy giảm và bị chặn theo chuẩn trong E có giới hạn. Định lí 1.2.1 Nón P là chính quy đầy đủ thì P là chính quy và P là chính quy thì P là nón chuẩn. Chứng minh. ( Xem: [1], page 7-8). Định lí 1.2.2 Nếu E là phản xạ và P là nón trong E, khi đó các khẳng định sau là tương đương. (i) P là nón chuẩn (ii) P là chính quy (iii) P là chính quy đầy đủ. Chứng minh. ( Xem: [1], page 10 – 12). Định lí 1.2.3. Cho P là nón trong E. P là nón chính quy nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thỏa : (HR1R) { } , inf 0x P xi ii⊂ > thì 1 n i i x =       ∑ không bị chặn theo điểm, tức không tồn tại z ∈ E sao cho : 1 , 1,2,3,... n i i x z n =   ≤ =    ∑ Tương tự, P là chính quy đầy đủ nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thỏa : (HR2R) {xRiR} ⊂ P và inf 0ii x > thì 1 n i i x =       ∑ không bị chặn theo chuẩn, tức là : 1 sup n i n i x = = +∞∑ Chứng minh. ( Xem: [1], page 12 -13). 1.3. Hàm tuyến tính dương Định nghĩa 1.3.1. Cho E là không gian Banach thực và P là nón trong E. Hàm f ∈ EP*P được gọi là dương nếu f(x) ≥ 0, với mọi x ∈ P. Tập con gồm tất cả các hàm tuyến tính dương bị chặn được ký hiệu là PP*P , tức là PP*P = { f ∈ EP*P : f(x) ≥ 0, x ∈ P }. (1.3.1) Dễ thấy, PP*P thỏa tất cả các điều kiện của nón, ngoại trừ tính chất PP*P ∩ (-PP*P) = {θ}, (1.3.2) Do đó, nếu P là chính quy thì (1.3.2) thỏa và PP*P là nón trong EP*P, PP*P được gọi là nón đối ngẫu của nón P. Định lí 1.3.1 Ta có các kết luận sau (i) x ∈ P nếu và chỉ nếu f(x) ≥ 0 với mọi f ∈ PP*P , với xR1R > θ thì tồn tại fR1 R ∈ PP*P sao cho fR1R(x R1R) > 0, với xR2 R ∈ P thì tồn tại fR2 R ∈ PP*P sao cho fR2R(x R2R) < 0. (ii) Cho P là thể nón. Khi đó, x ∈ P nếu và chỉ nếu f(x) > 0 với f ∈ PP*P\{θ}. (iii) Nếu E là tách được, thì tồn tại fR0R ∈ PP*P sao cho f R0R(x) > 0 với mỗi x > θ. Chứng minh (Xem: [1], page 18 – 20). Chương 2 : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN 2.1 Điểm bất động của ánh xạ đơn điệu a. Điểm bất động của ánh xạ tăng Cho P là nón trong không gian thực E và “ ≤ ” là thứ tự xác định bởi nón P và D là tập con của E. Định nghĩa 2.1.1 Một ánh xạ A : D → E được gọi là tăng nếu xR1R ≤ xR2R (xR1 R, xR2R ∈ D) thì AxR1R ≤ AxR2R, A được gọi là tăng nghiêm ngặt nếu xR1R < xR2R (xR1R, xR2R ∈ D) thì AxR1R < AxR2 R , A được gọi là tăng mạnh nếu xR1R < xR2R (xR1 R, xR2R ∈ D) thì AxR1R << Ax R2R trong trường hợp 0 P ≠ ∅ . Ánh xạ giảm cũng được định nghĩa một cách tương tự. Định nghĩa 2.1.2 Một ánh xạ A : D → E được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó là liên tục và compact.  A được gọi là k-co (k-set-contraction), k ≥ 0, nếu nó là liên tục, bị chặn và γ(A(S)) ≤ kγ(S) (2.1.1) với mỗi tập bị chặn S ⊂ D, trong đó, γ(S) là độ đo của tập không compact S .  A được gọi là co ngặt ( strict-set-contraction) nếu k < 1.  A được gọi là cô đọng ( condensing) nếu nó liên tục , bị chặn và γ(A(S)) 0. (2.1.2) Nhận xét Theo các định nghĩa trên, rõ ràng nếu ánh xạ A là hoàn toàn liên tục thì A là co ngặt (strict-set-contraction) và nếu A là co ngặt (strict-set-contraction) thì A là ánh xạ cô đọng (condensing). Định lí 2.1.1 Cho uR0R, vR0R ∈ E, uR0R < vR0R và A : [uR0 R, vR0R] → E là ánh xạ tăng sao cho uR0R ≤ AuR0R, AvR0R < vR0R . (2.1.3) Giả sử rằng một trong hai điều kiện sau thoả: (HR1 R) P là nón chuẩn và A là cô đọng (condensing); (HR2 R) P là chính quy và A là nửa liên tục, nghĩa là, xRnR → x mạnh thì AxRnR → Ax yếu. Khi đó, A có một điểm bất động cực đại xP*P và một điểm bất động cực tiểu xR*R thuộc [uR0R, vR0R]; hơn nữa xP*P = lim , lim*v x un nn n=→∞ →∞ (2.1.4) trong đó, vRnR = AvRn-1R và uRnR = Au Rn-1R (n = 1,2,3,…) và uR0 R≤ uR1R ≤ …≤ uRnR ≤ . . . ≤ vRnR ≤ . . . ≤ vR1R ≤ vR0R (2.1.5) Chứng minh Từ A là ánh xạ tăng và (2.1.3) ta suy ra (2.1.5). Bây giờ ta chứng minh rằng {uRnR} hội tụ về *x E∈ và * *Ax x= . • Khi (HR1R) được thoả, tập S = {uR0R, uR1R, ,. . .} bị chặn và S = A(S) ∪ {u R0R}, do vậy γ(S) = γ(A(S)). Để ý rằng, A là cô đọng(condensing), ta có γ(S) = 0, nghĩa là, S là tập compact tương đối. Do đó, có một dãy con { } { }u un nk ⊂ sao cho *u xnk → . Rõ ràng *u x vn n≤ ≤ ( n = 1,2,3 …). Khi m > nRkR, ta có * *x u x um nk θ ≤ − ≤ − , và do đó, theo tính chất của nón chuẩn P và định lí 1.1.1, * * km nx u N x u− ≤ − , trong đó N là hằng số định nghĩa trong nón chuẩn P. Vậy, , ( )*u x mm → →∞ . Cho n → ∞ ở đẳng thức uRnR = AuRn-1R ta được * *Ax x= , từ đó A là liên tục. • Khi (HR2R) thoả, {uRnR} hội tụ về xP*P∈ E theo tính chính quy của P. Do A là nửa liên tục, uRnR = AuRn-1R hội tụ yếu đến AxP*P và do đó . * * Ax x= Một cách tương tự, ta có thể chứng minh rằng {uRnR} hội tụ đến xP*P ∈ E và AxP*P = xP*P. Cuối cùng, ta chứng minh rằng xP*P và *x tương ứng là điểm bất động cực đại và điểm bất động cực tiểu của A trong 0 0[ , ]u v . Cho 0 0[ , ]x u v − ∈ và A x x − − = . D A là ánh xạ tăng nên 0 0u x v≤ ≤ thì 0 0Au Ax Av≤ ≤ , nghĩa là 1 1u x v≤ ≤ . Bằng cách lý luận tương tự, ta được 2 2u x v − ≤ ≤ , . . ., và một cách tổng quát, ta được , ( 1,2,3,...)u x v nn n − ≤ ≤ = , cho n → ∞ thì ta được **x x x − ≤ ≤ và do đó định lí đã được chứng minh. Hệ quả 2.1.1 Cho các điều kiện của định lí 2.1.1 được thoả. Giả sử rằng A chỉ có một điểm bất động 0 0[ , ]x u v∈ . Khi đó, mỗi xR0R ∈ [u R0R, vR0R] dãy lặp xRnR = AxRn-1R , (n = 1,2,3, . . . ) (2.1.6) hội tụ về x , nghĩa là 0, (n )nx x− → →∞ . Chứng minh Từ 0 0 0u x v≤ ≤ và A là ánh xạ tăng, ta có uRn R ≤ xRnR ≤ vRnR (n = 1,2,3, . . .). (2.1.7) Theo giả thiết, ta có xR*R = xP*P = x . Từ đó, kết hợp với (2.1.7) và (2.1.4), tính chuẩn của P và tính chất (v) của định lí 1.1.1 thì xRnR → x . b. Điểm bất động của ánh xạ giảm Định lí 2.1.2 . Giả sử (i) P là nón chuẩn, A : P → P là ánh xạ giảm và cô đọng (condensing). (ii) Aθ ≥ θ và AP2Pθ > εR0 RAθ, trong đó εR0R > 0 và θ là phần tử không của E. (iii) Với mỗi x ≥ αAθ, ( α = α(x) > 0 ) và 0 0 sao cho 1( ) [ (1 )] .A tx t Axη −≤ + (2.1.9) Khi đó, A có đúng một điểm bất động dương xP*P > θ. Hơn nữa, xây dựng được dãy xRnR = AxRn-1R, (n = 1,2,3, . . .) với xR0R ∈ P, sao cho : * 0,( ).nx x n− → →∞ (2.1.10) Chứng minh Đặt uR0R = θ, uRnR = AuRn-1, R(n = 1,2,3, . . .) (2.1.11) Kết hợp với tính giảm của ánh xạ A, ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng : θ = uR0R ≤ uR2R ≤ . . . ≤ uR2nR ≤ . . .≤ uR2n+1R ≤ . . . ≤ uR3R ≤ uR1R = Aθ (2.1.12) uR2nR = AP2PuR2n-1R , uR2n+1R = AP2PuR2n-1R , (n = 1,2,3, . . .) (2.1.13) và uR2nR = AuR2n-1R , uR2n+1R = AuR2nR , (n = 1,2,3, . . .) (2.1.14) Từ AP2P : P → P là tăng , cô đọng (condensing) và uR0R ≤ AP2PuR0R, AP2PuR1R ≤ uR1R, theo định lí 2.1.1 thì uR2nR → zR*R và uR2n+1R → zP*P, (n →∞), AP2PzR*R = zR*R , AP2PzP*P = zP*P, với zP*P và zR*R tương ứng là điểm bất động cực đại và cực tiểu của AP2P trong 0 1[ ,u ]u . Cho n → ∞ trong (2.1.14) ta được zR*R = AzP*P , và zP*P = AzR*R . (2.1.15) Hiển nhiên θ < εR0RAθ ≤ AP2Pθ = uR2R ≤ uR2nR ≤ zR*R ≤ zP*P ≤ uR2n+1R, n = 1,2,3 . . . (2.1.16) và do đó zR*R ≥ εR0RAθ = εR0RuR1R ≥ εR0RzP*P. Đặt tR0R = sup{ t > 0 : zR*R ≥ tzP*P } thì 0 < εR0R ≤ tR0R < +∞ và zR*R ≥ tR0RzP*P . Hơn nữa, từ zR*R ≤ zP*P ta có : tR0 R ≤ 1. Bây giờ ta sẽ chứng minh : tR0R = 1. Thật vậy, giả sử ngược lại thì theo giả thiết (iii) dẫn đến tồn tại số ηR0R > 0 sao cho : zP*P = AzR*R ≤ A(t R0RzP*P) ≤ [tR0R(1+ ηR0 R)]P-1P.AzP*P = [tR0R(1 + η )]P-1P zR*R, và do đó zP*P ≥ tR0R(1 + ηR0 R)zP*P, điều này là trái với định nghĩa của tR0R. Vậy tR0R = 1 và zR*R ≥ zP*P. Và do vậy ta suy ra zP*P = zR*R . (2.1.17) Từ (2.1.15) và (2.1.17), ta được AzP*P = AzR*R, nghĩa là: zP*P là một điểm bất động dương của A. Cuối cùng, ta chứng minh (2.1.10) thoả với mọi điểm bất động dương zP*P của A và mọi giá trị đầu xR0R ∈ P, điều này cũng dẫn đến tính duy nhất điểm bất động dương của A. Từ xR0R ≥ θ, ta có θ ≤ AxR0R ≤ Aθ, nghĩa là uR0R ≤ xR1R ≤ uR1R; theo tính duy nhất của A, ta thấy uR2R ≤ xR2R ≤ uR1R. Tiếp tục quá trình này ta được uR2nR ≤ xR2nR ≤ uR2n-1R, uR2nR ≤ xR2n+1R ≤ uR2n-1R, (n = 1,2,3, . . .) (2.1.18) Bằng cách tương tự, ta được uR2nR ≤ xP*P ≤ uR2n-1R, (n = 1,2,3, . . .) (2.1.19) Từ uR2nR → zR*R = zP*P , uR2n-1R → zP*P và P là nón chuẩn, kết hợp với (2.1.18) và theo định lí 1.1.1 thì xR2nR → zP*P. Vậy, * 0,( ).nx z n− → →∞ Mặt khác, cho n → ∞ trong (2.1.19) ta được : xP*P = zP*P . Vậy, * 0,( )nx x n− → →∞ . Định lí được chứng minh xong. Hệ quả 2.1.4 Khi P là thể nón (solid cone), định lí 2.1.5 vẫn đúng nếu ta thay giả thiết (iii) bởi giả thiết : (iiiP*P) với mọi x ≥ αAθ, (α = α(x) > 0) và 0 < t < 1, ta có A(tx) << tP-1PAx. (2.1.20) Chứng minh Từ tP-1PAx – A(tx) ∈ 0 P , tồn tại số đủ nhỏ (0 < ε < 1) sao cho tP-1PAx – A(tx) – εtP-1PAx ≥ θ Điều này dẫn đến A(tx) ≤ tP-1P(1-ε)Ax = [t(1 + η)]P-1PAx, trong đó η = ε / (1 – ε) > 0. Do đó, (iiiP*P) suy ra (iii). Định lí 2.1.3. Giả sử (i) P là nón chuẩn, thể nón (solid cone) và ánh xạ A : P → P giảm mạnh và cô đọng (condensing). (ii) Aθ > θ và AP2Pθ ≥ εR0RAθ, εR0R > 0. (iii) Với mọi x ≥ αAθ, (α = α(x) > 0) và 0 < t < 1, ta có A(tx) < tP-1PAx (2.1.21) Khi đó, A có đúng một điểm bất động dương xP*P > θ và hơn nữa, xây dựng được dãy xRnR = AxRn-1R, (n = 1,2,3, . . .) với xR0R ∈ P, sao cho : * 0,( ).nx x n− → →∞ Chứng minh Chứng minh của định lí này là tương tự chứng minh của định lí 2.1.2. Khác nhau duy nhất là cách thiết lập (2.1.17). Trong trường hợp này, ta làm như sau : Đặt tR0R = sup{t > 0 : zR*R ≥ tzP*P} và ta cần chứng minh tR0R = 1. Giả sử ngược lại, 0 < tR0R < 1, theo giả thiết (iii), zP*P = AzR*R ≤ A(t R0RzP*P) < 1 * 10 0 *t Az t z − −= . Do đó, tồn tại số dương đủ nhỏ δR0R > 0 sao cho : 1 * *0 * 0t z z zδ θ − − − ≥ , nghĩa là : zR*R ≥ tR0R(1 + δR0 R)zP*P, điều này trái với định nghĩa tR0R. Vậy, tR0R = 1. Nhận xét Giả thiết (iii) của định lí 2.1.3 tương đương với : mọi x ≥ αAθ, (α = α(x) > 0) và t > 1, ta có A(tx) > tP-1PAx. (2.1.22) 2.2 Điểm bất động của ánh xạ mở rộng nón (cone expansion) và ánh xạ thu hẹp nón ( cone compression). a. Chỉ số điểm bất động ( Fixed point index). Định nghĩa 2.2.1  Cho X là tập con của không gian Banach thực E. Nếu r : E → X là liên tục, và r(x) = x, ∀x ∈ X thì X gọi là một co rút (retract) của E và ánh xạ r gọi là một phép co rút ( retraction).  Bao lồi của tập con D của không gian Banach thực E được định nghĩa bởi 1 1 ( ) : , [0,1], 1, n n i i i i i i co D x i D nλ λ λ = =   = ∈ ∈ = ∈Ν    ∑ ∑ Định lí 2.2.1 Cho các không gian Banach X và Y, D là tập con đóng của X và cho ánh xạ f : D → Y liên tục. Khi đó, f có một mở rộng liên tục :f X Y→% sao cho ( ) ( ( )).f X co f D⊂% Hệ quả 2.2.1 Mọi bao lồi đóng không rỗng của E là một co rút (retract) của E. Đặc biệt, mọi nón trong E là co rút của E. Chứng minh định lí 2.2.1 và hệ quả 2.2.1. ( Xem[5], page 353-367 và[4]). Định lí 2.2.2 Cho X là một co rút của không gian Banach thực E. Khi đó, với mọi tập con mở, bị chặn tương đối U của X và mọi ánh xạ hoàn toàn liên tục :A U X→ không có điểm bất động trên U∂ thì tồn tại số nguyên i(A,U,X) thỏa các điều kiện sau : (i) i(A,U,X) = 1 nếu Ax ≡ yR0R ∈ U, với mọi x ∈ U . (ii) i(A,U,X) = i(A,U R1R,X) + i(A, UR2R,X), trong đó, UR1R, UR2R là các tập mở không giao nhau của U sao cho A không có điểm bất động trên 1 2\ ( )U U U∪ . (iii) Bất biến đồng luân : i(H,(t, ⋅),U,X) là độc lập với t, (0 ≤ t ≤ 1), bất cứ :[0,1]H U X× → là hoàn toàn liên tục và H(t,x) ≠ x, ∀(t,x) [0,1] U∈ ×∂ (iv) i(A,U,X) = i(A,U∩Y,Y) nếu Y là một co rút của X và ( )A U Y⊂ . Hơn nữa, cho M = {(A,U,X) : X là co rút của E, U mở bị chặn trong X, A: U X→ hoàn toàn liên tục và Ax ≠ x trên U∂ }.  Cho Ζ là tập số nguyên. Khi đó, tồn tại đúng một hàm d : M → Z thỏa từ (i) đến (iv).  Mặt khác, i(A,U,X) xác định duy nhất. i(A,U,X) được gọi là chỉ số điểm bất động của A trên U tương ứng với X. Chứng minh Trước hết, ta chứng minh tính duy nhất của chỉ số điểm bất động. Cho {i(A,U,X)} là họ tùy ý thỏa các điều kiện (i) – (iv), ta định nghĩa ( , , ) ( , , )d f U p i A p U E= + , (2.2.1) trong đó, f = I – A, U là tập mở bị chặn của E, f(x) ≠ p trên U∂ , nghĩa là A + p không có điểm bất động trên U∂ . Từ các điều kiện (i) – (iv) và (2.2.1), thì hàm d(f,U,p) có 4 tính chất đặc trưng bậc Leray – Schauder (xem [1], trang 261 và [4]) và do đó, theo tính duy nhất của bậc Leray –Schauder, ta có d(f,U,p) = deg(I – A, U, p). (2.2.2) Lấy p = θ trong (2.2.1) và (2.2.2), ta được i(A,U,E) = deg(I – A, U, θ). (2.2.3) Bây giờ giả sử X là một co tùy ý của E và r : E → X là một phép co tùy ý. Với tập con mở U của X, ta chọn quả cầu BRRR = { x ∈ E : x < R } sao cho BRRR ⊃ U. Khi đó, theo (iv) và (2.2.3) ta có : i(A,U,X) = i(A.r, BRRR ∩ rP-1P(U), E) = deg(I-A.r, BRRR ∩ rP-1P(U), θ). (2.2.4) Do đó, từ (2.2.4) và tính duy nhất của bậc Leray – Schauder dẫn đến tính duy nhất của chỉ số điểm bất động. Theo chứng minh tính duy nhất ở trên, ta được định nghĩa i(A,U,X) = deg(I – A.r, BRRR ∩ rP-1P(U), θ), (2.2.5) trong đó, r : E → X là một phép co tùy ý và BRRR = { x ∈ E : x < R }⊃ U. Rõ ràng, BRRR ∩ rP-1P(U) là tập mở trong E và 1 1 1( ) ( ) ( )RB r U r U r U − − −∩ ⊂ ⊂ . (2.2.6) Ta có xR0R ∈ rP-1P(U ), A.r(x R0R) = xR0R ⇒ xR0 R ∈ U, AxR0R = xR0R. (2.2.7) Bây giờ, ta chứng minh rằng i(A,U,X) xác định bởi (2.2.5) là độc lập với việc chọn R và r. Lấy RR1R > R. Từ 1 1 1( ) ( )R RU B r U B r U − −⊂ ∩ ⊂ ∩ , theo (2.2.7), ta biết rằng A.r không có điểm bất động trên 1 1 1( ) \ ( ( ))R RB r U B r U − −∩ ∩ , và theo tính chất (vi)(Excision property) của bậc Leray-Schauder ( xem [1], trang 262 và [4]), deg(I-A.r, BRRR ∩ rP-1P(U), θ) = deg(I-A.r , BRRR ∩ r(U), θ), nghĩa là i(A,U,X) không phụ thuộc cách chọn R. Tiếp theo, đặt rR1R : E → X là một phép co rút khác của E và đặt 1 1 1( ) ( )RV B r U r U − −= ∩ ∩ . Khi đó, V là tập mở bị chặn trong E và V ⊃ U. Theo (2.2.7) ta biết rằng A.r không có điểm bất động trong 1( ) \RB r U V −∩ và ArR1R không có điểm bất động trong 11 ( ) \RB r U V −∩ . Do đó deg(I-A.r, BRRR ∩ rP-1P(U),θ) = deg (I-A.r , V, θ) (2.2.8) và deg(I-A.r, BRRR ∩ rR1RP-1P(U),θ) = deg (I-A.rR1R, V, θ) (2.2.9) Đặt, h(t,x) = x – H(t,x), trong đó H(t,x) = r[tA.r(x) + (1-t)A.rR1R(x)]. Rõ ràng, :[0,1]H V E× → là hoàn toàn liên tục. Ta sẽ chứng minh ( , )h t Vθ ∉ ∂ với mọi t ∈ [0,1] . Thật vậy, nếu có tR0R ∈ [0,1] và 0x V∈∂ sao cho h(t R0R, xR0R) = θ, thì xR0R = r[tR0RA.r(xR0R) + (1-tR0R)A.rR1R(xR0R)] ∈ X. Ta có, r(xR0R) = xR0 R , rR1R(xR0 R) = xR0R và xR0R = Ax R0R . Do vậy, theo (2.2.7), xR0R ∈ U ⊂ V, điều này trái với 0x V∈∂ . Vậy, sử dụng tính chất bất biến đồng luân của bậc Leray-Schauder và để ý rằng H(0,x) = r[ArR1R(x)] = A.rR1R(x) và H(0,x) = r[Ar(x)] = A.r(x), ta có deg(I-A.rR1R, V, θ) = deg(I-A.r, V, θ). (2.2.10) Từ (2.2.8), (2.2.9) và (2.2.10) thì deg(I-A.r, BRRR ∩ rP-1P(U),θ) = deg(I-A.rR1R, BRRR ∩ rR1RP-1P(U),θ), (2.2.11) Điều này chỉ ra rằng i(A,U,X) không phụ thuộc cách chọn r. Cuối cùng, theo tính chất cơ bản của bậc Leray-Schauder (xem: [1], trang 261 và [4]), ta có thể suy ra chỉ số điểm bất động xác định bởi (2.2.5) có các tính chất (i) – (iv). ( xem: [2]). Định lí 2.2.3 Ngoài các tính chất (i) – (iv), chỉ số điểm bất động còn có các tính chất sau: (v) i(A,U,X) = i(A,U R0R,X) với bất kỳ UR0R là tập con mở của U sao cho A không có điểm bất động trong 0\U U . (vi) Nếu i(A,U,X) ≠ 0, thì A có ít nhất một điểm bất động trong U. Chứng minh Đặt UR1R = U, UR2R = ∅ trong tính chất (ii) ta có i(A, ∅, X) = 0. Từ đó, đặt 1 0 2,U U U= = ∅ trong (ii) ta được i(A,U,X) = i(A,UR0 R,X). Vậy, ta có (v). Nếu A không có điểm bất động trong U, đặt UR0R = ∅ trong (v), ta được i(A,U,X) = i(A,∅,X) = 0, và do đó (vi) được chứng minh. b. Định lí điểm bất động của ánh xạ mở rộng và thu hẹp nón. Trong mục này, cho P là nón của không gian Banach thực E. Do đó, P là một co rút của E, và P cũng là một tập lồi đóng. Gọi Ω là tập mở bị chặn của E, thì P ∩ Ω là tập mở bị chặn của P và ( ) ,P P∂ ∩Ω = ∩∂Ω .P P∩Ω = ∩Ω Bổ đề 2.2.1 Cho θ ∈ Ω và A : .P∩Ω → P là cô đọng (condensing) . Giả sử rằng Ax ≠ µx, ∀x ∈ P∩∂Ω , µ ≥ 1. (2.2.12) Khi đó, i(A, P∩Ω, P) = 1. Chứng minh Đặt H(t,x) = tAx. Khi đó, H : [0, 1] × ( P∩Ω ) → P liên tục và tính liên tục của H(t,x) theo biến t là liên tục đều, ứng với mỗi x ∈ P∩Ω . Rõ ràng, H(t, ⋅) : P∩Ω → P là cô đọng với mỗi t ∈ [0,1] và H(t,x) ≠ x với x ∈ P∩∂Ω và 0 1t≤ ≤ . Do đó, theo tính chất bất biến đồng luân và tính chất (i) của định lí 2.2.2, ta có : i(A, P∩Ω, P) = i(θ, P∩Ω, P) = 1. Bổ đề 2.2.2 Cho A : P P∩Ω→ là hoàn toàn liên tục và :B P P∩∂Ω→ là hoàn toàn liên tục. Giả sử (a) inf 0 x P Bx ∈ ∩∂Ω > (b) x – Ax ≠ tBx, , 0x P t∀ ∈ ∩∂Ω ≥ Khi đó, ta có i(A,P∩Ω, P) = 0. (2.2.13) Chứng minh Theo định lí 2.2.1, ta có thể mở rộng B tới một ánh xạ hoàn toàn liên tục từ P∩Ω vào P sao cho : B( P∩Ω ) ⊂ ( ).coB P∩∂Ω (2.2.14) Đặt F = ( )B P∩∂Ω thì ( ) ,coB P coF M∩∂Ω = = trong đó 1 1 : , 0, 1, 1,2,3,... n n i i i i i i i M y y y F nλ λ λ = =   = = ∈ ≥ = =    ∑ ∑ . Trước hết, ta chứng minh inf 0 y M y ∈ > (2.2.15) Gọi ER0R là không gian con của E được mở rộng bởi F. Do B là hoàn toàn liên tục và F là compact tương đối, dẫn đến E R0R là tách được. Ta có : PR0R = P ∩ ER0R là một nón của ER0R và F ⊂ PR0 R, 0.coF P⊂ Theo (iii) của định lí 1.3.1, tồn tại f R0R ∈ EP*PR0 R sao cho fR0R(y) > 0, ∀y ∈ PR0R và y ≠ θ. Ta khẳng định rằng 0inf ( ) 0y F f y σ∈ = > (2.2.16) Thật vậy, giả sử σ = 0, khi đó tồn tại {yRkR} ⊂ F sao cho fR0R(yRkR) → 0. Theo tính compact tương đối của F , có dãy con { } ik y của {yRkR} sao cho iky → yR0R ∈ PR0 R, và vì vậy 0 0 0( ) ( )ikf y f y→ và fR0R(y R0R) = 0. Do đó, yR0R = θ và 0iky → , điều này trái với giả thiết (a). Vậy, (2.2.16) được chứng minh. Với mỗi 1 , n i i i y y Mλ = = ∈∑ trong đó yRiR ∈ F, λRiR ≥ 0 và 1 1 n i i λ = =∑ , theo (2.2.16) ta có : 0 0 1 1 ( ) ( ) , n n i i i i i f y f yλ λσ σ = = = ≥ =∑ ∑ Và do đó, 0 ( ) ,f y y Mσ≥ ∀ ∈ . (2.2.17) Từ M coF= là compact, dẫn đến tồn tại một zR0R ∈ M sao cho 0inf .y M y z∈ = (2.2.18) Theo (2.2.17), fR0R(zR0 R) ≥ σ, dẫn đến zR0R ≠ θ. Do đó, từ (2.2.18) thì (2.2.15) thỏa. Theo (2.2.14) và (2.2.15), ta được inf 0 x P Bx a ∈ ∩Ω = > (2.2.19) Bây giờ ta chỉ ra rằng (2.2.13) thỏa.Thật vậy, giả sử i(A, P∩Ω, P) ≠ 0, thì theo giả thiết (b) và tính chất bất biến đồng luân, ta có: i(A+tB, P∩Ω, P) = i(A, P∩Ω, P) ≠ 0, ∀t > 0. Trường hợp đặc biệt, chọn 0 b ct a + > , trong đó, sup x P b x ∈ ∩Ω = và sup x P c Ax ∈ ∩Ω = , ta có : i(A+tR0RB, P∩Ω, P) ≠ 0 Vì vậy, theo kết quả (vi) của định lí 2.2.2, tồn tại xR0R ∈ P ∩ Ω sao cho : 0 0 0 0Ax t Bx x+ = . Do đó 0 00 0 x Ax b ct Bx a − + = ≤ Điều này mâu thuẫn với cách chọn t R0R. Hệ quả 2.2.1 Cho A : P P∩Ω→ là hoàn toàn liên tục. Nếu tồn tại một uR0R > θ sao cho x – Ax ≠ tuR0R, , 0∀ ∈ ∩∂Ω ≥x P t (2.2.20) Khi đó, (2.2.13) thỏa, tức là i(A, P∩Ω, P) = 0. Chứng minh Từ bổ đề 2.2.2, đặt Bx = uR0R với x ∈ P∩Ω , ta suy ra hệ quả 2.2.1 được chứng minh. Bổ đề 2.2.3 Cho A : P P∩Ω→ là hoàn toàn liên tục. Giả sử (i) inf 0 x P Ax ∈ ∩∂Ω > (ii) , , 0 1Ax x x Pµ µ≠ ∀ ∈ ∩∂Ω < ≤ Khi đó, i(A, P∩ Ω, P) = 0, tức (2.2.13) thỏa. Chứng minh Đặt B = A trong bổ đề 2.2.2 thì điều kiện (a) và (b) của bổ đề 2.2.2 đúng. Thật vậy, nếu tồn tại 0x P∈ ∩∂Ω và tR0R ≥ 0 sao cho xR0R – AxR0R = tR0RAxR0R, thì 0 0 0Ax xµ= , trong đó µR0R = ( 1 + tR0R)P -1 P. Rõ ràng 0 < µR0R ≤ 1, điều này trái với điều kiện (ii). Do vậy, (2.2.13) được suy từ bổ đề 2.2.2. Định lí 2.2.4( Định lí của ánh xạ mở rộng và thu hẹp nón). Cho ΩR1R và ΩR2R là hai tập mở bị chặn trong E sao cho θ ∈ ΩR1R và 1 2Ω ⊂ Ω . Cho 2 1: ( \ )A P P∩ Ω Ω → là hoàn toàn liên tục. Giả sử rằng, một trong hai điều kiện sau được thỏa (HR1 R) Ax ≥ x, ∀x ∈ P ∩ 1∂Ω và Ax ≤ 2,x x P∀ ∈ ∩∂Ω và (HR2R) Ax ≤ 1,x P∀∈ ∩∂Ω và Ax ≥ 2,x x P∀ ∈ ∩∂Ω Khi đó, A có ít nhất một điểm bất động trong 12( \ )∩ Ω ΩP . Chứng minh Theo định lí 2.2.1, A là một mở rộng hoàn toàn liên tục từ 2P∩Ω vào P. Trước hết, ta giả sử rằng (H R1R) được thỏa, nghĩa là trường hợp._.