Tôpô giả Compăc - Mở trên C(x)

ng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thái Sơn. Thầy đã rất nhiệt tình trong công tác hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Tôi cũng chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học. Đặc biệt là thầy TS. Nguyễn Hà Thanh đã giúp tôi tìm được nhiều tài liệu hay phục vụ cho việc thực hiện đề tài luận văn. Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã có liên lạc với giáo sư S.Kundu - là tác giả nhiều bài báo liên quan đến đề tài chúng tôi quan tâm và cũng đã nhận được nhiều tài liệu quý báu từ giáo sư. Xin chân thành biết ơn Giáo sư S.Kundu. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, tỉnh Tây Ninh, cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, năm 2009 Tác giả Phạm Văn Đông MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian tôpô..................................................................................... 3 1.2. Các lớp không gian tôpô ...................................................................... 11 1.3. Không gian tuyến tính tôpô.................................................................. 15 1.4. Cái đều và tôpô đều.............................................................................. 17 1.5. Không gian giả-compăc ....................................................................... 20 Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ 2.1. Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở ............................. 21 2.2. So sánh tôpô giả compăc-mở với tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều.... 32 Chương 3: ÁNH XẠ CẢM SINH, TÍNH MÊTRIC HÓA VÀ TÍNH TÁCH ĐƯỢC TRÊN Cps(X) 3.1. Ánh xạ cảm sinh................................................................................... 39 3.2. Tính mêtric hóa và tính tách được trên Cps(X) ................................... 47 KẾT LUẬN .................................................................................................... 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 60 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như đã biết, trên tập hợp C(X) tất cả các hàm liên tục có giá trị thực trên không gian Tychonoff X có một số tôpô tự nhiên. Những tôpô này được sinh ra từ khái niệm hội tụ của dãy hàm. Hơn nữa, hàm liên tục và độ đo Baire trên không gian Tychonoff có liên hệ với nhau trong quá trình tính tích phân. Một số tôpô lồi địa phương trên không gian những hàm liên tục cũng đã được nghiên cứu để làm rõ mối liên hệ này. Chúng cho phép tạo ra lý thuyết không gian lồi địa phương đủ mạnh thuận lợi cho việc ứng dụng vào lý thuyết độ đo tôpô. Ba tôpô thông dụng trên C(X) là tôpô compăc-mở k, tôpô hội tụ đều u và tôpô hội tụ điểm p. Tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều trên C(X) trùng với nhau nếu và chỉ nếu X là compăc. Bởi vì tính compăc là điều kiện mạnh như thế nên có một “lỗ hổng” giữa hai tôpô này. Đặc biệt, nó được thấy rõ trong lý thuyết độ đo. Chính cái “lỗ hổng” đó mà trong năm thập kỷ qua, có một vài tôpô được giới thiệu làm cầu nối giữa k và u, cụ thể là tôpô chặt, tôpô  -compăc-mở, tôpô hội tụ đều trên các tập con  -compăc và tôpô hội tụ đều trên những tập con giới nội. Trong một bài báo khoa học đăng năm 2006, S.Kundu và Pratibha Garg đã giới thiệu một tôpô tự nhiên khác nữa trên C(X), đó là tôpô giả compăc- mở. Nó được kí hiệu là ps và không gian tôpô tương ứng là Cps(X). Mặc dù, tôpô giả compăc-mở ps được đề cập ngẫu nhiên, song nó đáng được nghiên cứu nhiều hơn nữa. Chính vì thế chúng tôi chọn đề tài luận văn là “TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X)”. 2. Mục đích Nghiên cứu tôpô giả compăc–mở trên  C X theo quan điểm tôpô. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Một số tính chất cơ bản của không gian tôpô giả compăc-mở  .psC X 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Giới thiệu thêm một tôpô lồi địa phương khác nữa giữa tôpô compăc- mở và tôpô hội tụ đều trên C(X). 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận. Trong đó chương 2 và chương 3 là phần chính của luận văn, ở đây các không gian được xét đều là không gian Tychonoff. Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài. Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức về tôpô đại cương. Chương 2: Nêu định nghĩa tôpô giả compăc-mở và so sánh tôpô này với hai tôpô đã biết là tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều. Chương 3: Trình bày ánh xạ cảm sinh, tính mêtric dưới, tính mêtric hóa và tính tách được của  .psC X Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài. Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày lại các kiến thức tôpô đại cương có liên quan đến các chương sau. Ở đây, các định lí, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh, được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3] và [4]. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô Cho tập .X Một họ  các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa các điều kiện sau: 1) , X  thuộc ; 2 ) Hợp của tùy ý các tập thuộc  là thuộc ; 3) Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc . Tập X cùng với một tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu là  ,X  hay ngắn gọn là X nếu không cần chỉ rõ  là tôpô trên X. Các phần tử của không gian gọi là các điểm. Cho  ,X  là một không gian tôpô. Tập G  được gọi là tập mở của X. Tập con F của X gọi là tập đóng nếu \X F mở. 1.1.2. Lân cận a) Cho  ,X  là không gian tôpô và .x X Tập V X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho .x V G  Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x. b) Nhận xét. Một tập là mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó. 1.1.3. Cơ sở và tiền cơ sở Cho  là một tôpô trên .X Một họ con  của  gọi là một cơ sở của  nếu mọi tập thuộc  đều bằng hợp của một họ các tập thuộc . Hay, họ con  của  là cơ sở của  nếu , , : .G x G V x V G         Một họ con  của  gọi là một tiền cơ sở của  nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc  là một cơ sở của . Như vậy họ con  của  là tiền cơ sở của  nếu mọi G  và mọi x G , tồn tại 1 2, ,..., nW W W  sao cho 1 2 ... nx W W W G    . Hiển nhiên, một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó. 1.1.4. Cơ sở lân cận Một họ xU các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x hay cơ sở địa phương của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận xU U sao cho U  V. 1.1.5. Điểm tụ Cho A là một tập con của không gian tôpô X và .x X Nếu mọi lân cận V của x ta đều có   \V x A  thì x được gọi là điểm tụ hay điểm giới hạn của tập A. 1.1.6. Phần trong, bao đóng, trù mật Cho X là không gian tôpô và tập .A X 1.1.6.1. Các định nghĩa  Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong ,A kí hiệu 0.A  Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu Ā hay .Xcl A  Tập con A được gọi là trù mật hay trù mật khắp nơi trong X nếu .A X 1.1.6.2. Định lí Tập con A trù mật trong không gian tôpô X nếu và chỉ nếu mọi x X và mọi lân cận V của x, .V A  1.1.7. Không gian tách được 1.1.7.1. Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là tách được nếu và chỉ nếu tồn tại trong nó một tập con đếm được trù mật. 1.1.7.2. Định lí Không gian mà tôpô có cơ sở đếm được là tách được. 1.1.7.3. Định lí Cho X là một không gian mêtric. Khi đó  pC X là tách được nếu và chỉ nếu card(X) 02 . 1.1.8. Các tiên đề đếm được 1.1.8.1. Tiên đề đếm được thứ hai Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu nó có một cơ sở đếm được. 1.1.8.2. Tiên đề đếm được thứ nhất Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm xX đều có một cơ sở lân cận đếm được. 1.1.8.3. Định lí Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. 1.1.8.4. Định lí Một không gian rời rạc thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu và chỉ nếu nó hữu hạn. 1.1.9. Ánh xạ liên tục 1.1.9.1. Định nghĩa Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ :f X Y được gọi là liên tục tại x X nếu mọi lân cận V của  f x trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho   .f U V Một ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi xX. 1.1.9.2. Định lí Nếu :f X Y và :g Y Z là các ánh xạ liên tục thì g f liên tục. 1.1.9.3. Định lí Với mọi ánh xạ : ,f X Y các điều kiện sau đây là tương đương. )a f liên tục; )b  1f G mở trong X với mọi tập G mở trong ;Y )c  1f G mở trong X với mọi tập G thuộc một cơ sở của ;Y )d  1f G mở trong X với mọi tập G thuộc một tiền cơ sở của ;Y )e    f A f A với mọi tập con A của .X 1.1.10. So sánh hai tôpô 1.1.10.1. Định nghĩa Cho hai tôpô 1 và 2 trên cùng một tập hợp ,X ta bảo 1 là mịn hơn 2 (hay 2 là thô hơn 1 ) nếu, kí hiệu iX là tập hợp X với tôpô   1,2 ,i i  ánh xạ đồng nhất 1 2X X là liên tục. Nếu ngoài ra 1 2  ta bảo 1 là chặt chẽ mịn hơn 2 (và 2 là chặt chẽ thô hơn 1 ). Ta kí hiệu 1 2,X X 1 2X X và 1 2X X để chỉ rằng tôpô trên 2X là trùng với tôpô trên 1,X tôpô trên 2X là mịn hơn hay trùng với tôpô trên 1X và tôpô trên 2X là chặt chẽ mịn hơn trên 1.X Hai tôpô mà cái này mịn hơn cái kia là so sánh được với nhau. 1.1.10.2. Định lí Cho hai tôpô 1 và 2 trên cùng một tập hợp ,X các khẳng định sau đây là tương đương. a) 1 mịn hơn 2; b) Với mọi ,x X mọi lân cận của x trong 2 là một lân cận của x trong 1; c) Mọi tập con mở của X trong 2 là mở trong 1. 1.1.11. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi 1.1.11.1. Định nghĩa phép đồng phôi Cho , X Y là các không gian tôpô. Ánh xạ :f X Y được gọi là một phép đồng phôi hay ánh xạ tôpô nếu f là song ánh, liên tục và 1f  liên tục. 1.1.11.2. Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng Cho , X Y là các không gian tôpô. Ánh xạ :f X Y được gọi là mở (hay ánh xạ mở) nếu mọi tập G mở trong X thì  f G mở trong .Y Ánh xạ :f X Y được gọi là đóng (hay ánh xạ đóng) nếu mọi tập F đóng trong X thì  f F đóng trong .Y Nếu :f X Y là một đơn ánh và  :f X f X là một phép đồng phôi thì f gọi là một phép nhúng đồng phôi từ X vào .Y 1.1.11.3. Định lí Cho f : X  Y là song ánh liên tục. Khi đó các điều kiện sau là tương đương. ( )a f là phép đồng phôi;  b f là ánh xạ mở;  c f là ánh xạ đóng. 1.1.12. Các tiên đề tách 1.1.12.1. Định nghĩa các iT - không gian Cho X là không gian tôpô. Khi đó:  X gọi là 0T - không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y X có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x.  X gọi là 1T - không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x.  X gọi là 2T - không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y X tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho .U V   X gọi là 3T - không gian hay không gian chính qui nếu X là 1T - không gian và với mọi x X và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở ,U V sao cho ,x U F V  và .U V   X gọi là 13 2 T không gian hay không gian hoàn toàn chính qui hay không gian Tychonoff nếu X là 1T - không gian và với mọi x X và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại hàm liên tục  : 0,1f X  sao cho   0f x  và   1f y  với mọi .y F  X gọi là 4T - không gian hay không gian chuẩn tắc nếu X là 1T - không gian và hai tập con đóng bất kì không giao nhau , A B trong ,X tồn tại các tập con mở , U V sao cho , B VA U  và .U V  Ta gọi 0 1 2 3 1 43 2 , , , , , T T T T T T là các tiên đề tách. Nhận xét. jT - không gian  iT - không gian với .j i 1.1.12.2. Định lí Cho X là không gian tôpô. Khi đó X là T1- không gian nếu và chỉ nếu mọi tập con chỉ gồm một điểm của X là tập đóng. 1.1.13. Tổng và tích của các không gian 1.1.13.1. Tổng Cho   , IX    là một họ các không gian tôpô. Đặt .IX X   Xét họ  các tập con G của X thỏa mãn G X  với mọi .I  Khi đó  là một tôpô trên .X Không gian X với tôpô  gọi là tổng của họ các không gian đã cho, kí hiệu .IX X   1.1.13.2. Tích Cho   , IX    là một họ các không gian tôpô. Đặt I IX X   và : X X   là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ . Các không gian X gọi là không gian tọa độ. Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu  liên tục. Như vậy, tôpô tích có tiền cơ sở là họ tất cả các tập  1 ,U   ,U  I  hay có cơ sở là họ tất cả các tập có dạng  11 , ,i i i ini U U      1,..., .n I   Tôpô tích còn gọi là tôpô Tychonoff. Tập X cùng với tôpô Tychonoff gọi là tích của họ không gian đã cho. 1.2. Các lớp không gian tôpô 1.2.1. Không gian compăc 1.2.1.1. Định nghĩa không gian compăc Một không gian tôpô được gọi là không gian compăc nếu mọi phủ mở của nó đều có chứa phủ con hữu hạn. Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập compăc nếu mọi phủ mở của A đều có chứa phủ con hữu hạn. 1.2.1.2. Sự compăc hóa Giả sử X là một không gian không compăc. Không gian compăc Y cùng với ánh xạ h : X  Y sao cho h là phép đồng phôi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một compăc hóa của không gian X. 1.2.1.3. Compăc hóa Stone–Čech Giả sử X là không gian hoàn toàn chính quy và kí hiệu C là tập hợp tất cả các hàm liên tục  : 0,1 .Cf X  Ánh xạ       : 0,1 , , C fe X e x f x x X f C     được gọi là ánh xạ kết hợp với .C Đặt  X e X  thì  , X e được gọi là compăc Stone–Čech hoặc đơn giản là X nếu đồng nhất X với  .e X 1.2.1.4. Compăc hóa thực Hewitt Không gian  :X p X   với mỗi  f C X có một hàm mở rộng liên tục trên  X p được gọi là compăc hóa thực Hewitt của .X 1.2.1.5. Không gian realcompăc Một không gian X được gọi là realcompăc nếu .X X 1.2.1.6. Định lí về tính compăc trong không gian mêtric Gọi A là một tập con của không gian mêtric .X Khi đó các phát biểu sau là tương đương.  i A là tập compăc;  ii A là tập compăc đếm được;  iii A là tập compăc theo dãy. 1.2.1.7. Định lí Cho X là một không gian compăc Hausdorff. Khi đó các phát biểu sau là tương đương.  i X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai;  ii Không gian  C X với mêtric cận trên là không gian tách được;  iii X là không gian mêtric hóa. 1.2.2. Không gian compăc theo dãy Một tập con A của một không gian X được gọi compăc theo dãy nếu và chỉ nếu với mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ tới một điểm thuộc .A 1.2.3. Không gian paracompăc Không gian tôpô X được gọi là paracompăc nếu nó chính qui và mỗi phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương. 1.2.4. Không gian compăc theo dãy Một không gian tôpô X được gọi là compăc theo dãy nếu với mỗi dãy trong X có một dãy con hội tụ. 1.2.5. Không gian compăc đếm được Một tập con A của một không gian X được gọi compăc đếm được nếu và chỉ nếu với mỗi tập con vô hạn B của A có điểm tụ thuộc .A 1.2.6. Không gian Lindelof Một không gian tôpô X được gọi là không gian Lindelof nếu với mỗi phủ mở của nó có một phủ con đếm được. 1.2.7. Không gian mêtric hóa 1.2.7.1. Định nghĩa không gian mêtric hóa Không gian tôpô (X, ) được gọi là không gian mêtric hóa (hay không gian mêtric hoá được) nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô  trên X. 1.2.7.2. Định nghĩa hữu hạn địa phương Cho X là không gian tôpô. Một họ  các tập con của X được gọi là hữu hạn địa phương trong X khi và chỉ khi mỗi điểm của X có một lân cận chỉ giao hữu hạn với một số phần tử của họ . 1.2.7.3. Định nghĩa cái mịn Một cái mịn của một phủ trên không gian X là cái phủ mới của không gian này sao cho với mỗi tập trong phủ mới là một tập con của một tập nào đó thuộc phủ cũ. 1.2.7.4. Tập hợp điểm-hữu hạn Một tập A những tập con của một không gian tôpô X được gọi là điểm-hữu hạn nếu với mỗi điểm của X chỉ thuộc một số hữu hạn những tập thuộc .A 1.2.7.5. Tập hình sao-hữu hạn Một tập A những tập con của một không gian tôpô X được gọi là hình sao-hữu hạn nếu với mỗi tập thuộc A chỉ giao với một số hữu hạn những tập thuộc A. 1.2.7.6. Tập hợp dạng G Tập con của không gian tôpô được gọi là tập hợp dạng G (hay G  tập) khi và chỉ khi nó là giao của một họ đếm được các tập con mở của không gian đó. 1.2.7.7. Không gian có dạng không-tập-chéo Một không gian X được gọi là có dạng không-tập-chéo nếu tồn tại một hàm liên tục  : 0,1f X X  sao cho  1 0f   với   , : .x x x X   1.3. Không gian tuyến tính tôpô 1.3.1. Khái niệm không gian tuyến tính tôpô Một không gian tuyến tính (thực hay phức) có thể đồng thời được trang bị một cấu trúc tôpô. Khi ấy ta có một không gian vừa tuyến tính vừa tôpô. Một không gian tuyến X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi là một không gian tuyến tính tôpô (hay không gian vectơ tôpô). 1.3.2. Định lí i) V là một lân cận của gốc khi và chỉ khi V a là một lân cận của a. ii) Nếu V là lân cận của gốc thì với mọi 0, V  cũng là lân cận của gốc. Như vậy, tôpô của không gian hoàn toàn xác định bởi tập các lân cận của gốc: biết tập này thì mọi lân cận của một điểm tùy ý sẽ suy ra bằng một phép tịnh tuyến. Do đó sau đây ta thường chỉ nói về các lân cận của gốc, và để cho gọn, ta sẽ nói tắt “lân cận” (chứ không nói rõ “của gốc”), trừ trường hợp sợ nhầm lẫn. 1.3.3. Các định nghĩa  Một tập A gọi là hấp thu nếu mọi x A tồn tại một số 0  sao cho hễ   thì ;x A  A gọi là cân đối nếu mọi x A ta có x A  khi 1.  1.3.4. Định lí Trong mỗi không gian tuyến tính tôpô X bao giờ cũng có một cơ sở lân cận  của gốc sao cho:  i Mỗi V  đều cân đối và hấp thu;  ii Nếu V  thì V  với mọi 0;   iii Mỗi V  bao hàm một W  sao cho ;W W V   iv Với mỗi cặp 1 2,V V  tồn tại W  sao cho 1 2.W V V  Ngược lại, nếu trong một không gian tuyến tính X lấy một họ     các tập con của X thỏa mãn các điều kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận  làm cơ sở lân cận của gốc. 1.3.5. Không gian lồi địa phương 1.3.5.1. Tôpô lồi địa phương Trong số các không gian tuyến tính tôpô, một lớp không gian đặc biệt quan trọng đó là các không gian lồi địa phương. 1.3.5.2. Định nghĩa Một không gian tuyến tính tôpô X gọi là không gian lồi địa phương (và tôpô của nó gọi là tôpô lồi địa phương) nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi. Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi. 1.3.5.3. Định lí Trong mỗi không gian lồi địa phương có một cơ sở lân cận lồi, cân đối và hấp thu. Ngược lại, nếu 0 là một họ tùy ý các tập con lồi, cân đối, và hấp thu của một không gian tuyến tính X thì có một tôpô trên X tương hợp với cấu đại số, trong đó mỗi tập thuộc họ 0 là một lân cận. Tôpô ấy lồi địa phương và nhận làm cơ sở lân cận họ tất cả các tập có dạng  1 00,ni i iV V     . 1.3.5.4. Định lí Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ chuẩn  tùy ý. Trên X có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số, trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc họ  đều liên tục. Tôpô ấy lồi địa phương và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng   1 : sup i n ix p x    ( 0, ip   ). 1.4. Cái đều và tôpô đều 1.4.1. Định nghĩa Cái đều trên tập X đó là họ U khác rỗng những tập con của X X thỏa mãn các điều kiện sau:  a Mỗi một phần tử của họ U đều chứa đường chéo ;  b Nếu U U thì 1 ;U  U  c Nếu U U thì V V U với một V nào đó thuộc ;U  d Nếu U U và U V X X   thì .V U Cặp  ,X U được gọi là không gian đều. Họ con  của cái đều U được gọi là cơ sở của nó khi và chỉ khi mỗi phần tử nào đó của họ U đều chứa một phần tử nào đó của họ . Nếu  là cơ sở của cái đều U thì cái đều này hoàn toàn được xác định bởi họ : tập con U của tích X X thuộc U khi và chỉ khi U chứa một phần tử nào đó của họ . 1.4.2. Định lí Họ  các tập con của tích X X là một cơ sở của cái đều trên X khi và chỉ khi đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:  a Mỗi phần tử của họ  đều chứa đường chéo đường chéo ;  b Nếu U  thì 1U  chứa một phần tử nào đó của họ ;  c Nếu U  thì V V U với một phần tử V nào đó trong ;  d Giao của hai phần tử bất kì của họ  đều chứa một phần tử nào đó của . Trong đó     1 , : ,U x y y x U   và   , : .x x x X   1.4.3. Tôpô đều Giả sử  ,X U là không gian đều; họ tất cả những tập con T của không gian X sao cho với bất kì điểm x T đều tồn tại U U sao cho  U x T được gọi là tôpô  ứng với cái đều U hay tôpô đều, với     : , .U x y x y U  1.4.4. Định lí Phần trong của một tập con A của không gian X đối với tôpô đều là tập tất cả những điểm x sao cho  U x A với một U nào đó trong .U Từ định lí này, suy ra ngay  U x là lân cận của điểm x đối với bất kì U của cái đều .U Do đó họ tất cả các tập dạng  ,U x trong đó U U là cơ sở của tôpô tại điểm x (Họ này thực sự trùng với hệ lân cận của điểm ,x nhưng điều đó không quan trọng lắm). 1.4.5. Định lí Nếu  là cơ sở của một cái đều U nào đó thì đối với mỗi điểm ,x họ tất cả các tập hợp  U x trong đó U  lập thành cơ sở của tôpô tại điểm .x 1.5. Không gian giả-compăc 1.5.1. Tập giới nội 1.5.1.1. Định nghĩa  Một tập hợp những số thực S được gọi là bị chặn trên nếu có một số k sao cho k s với mọi .s S Số k được là cận trên của .S  Tương tự, một tập hợp những số thực S được gọi là bị chặn dưới nếu có một số m sao cho m s với mọi .s S Số m được là cận dưới của .S  Một tập những số thực S được gọi giới nội nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới. Do đó một tập những số thực được gọi giới nội nếu nó được chứa trong một khoảng hữu hạn. 1.5.1.2. Định nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là không gian giả-compăc nếu với mọi ánh xạ liên tục :f X  thì  f X giới nội. 1.5.1.3. Các kết quả  Nếu ta kí hiệu        , , , F X K X KC X PS X lần lượt là các tập hợp: tất cả những tập con hữu hạn, tất cả những tập con compăc, tất cả những tập con compăc đếm được, tất cả những tập con giả-compăc của X thì ta có    F X K X  KC X  .PS X  Nếu  A PS X thì    f A f A với :f X  là ánh xạ liên tục.  Bao đóng của một tập giả compăc lại là một tập giả compăc.  Nếu A là một tập con đóng trong một không gian Hausdorff chuẩn tắc X thì các phát biểu sau là tương đương.  i A là tập compăc đếm được;  ii A là tập giả-compăc. Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ 2.1. Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở 2.1.1. Nhắc lại định nghĩa không gian giả compăc Một không gian X được gọi là giả compăc nếu  f X là một tập con giới nội của với mỗi  .f C X 2.1.2. Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở Với bất kì tập con giả compăc A của X và bất kì tập mở V của , ta định nghĩa       , : .A V f C X f A V   Kí hiệu  PS X là tập hợp tất cả những tập con giả compăc của .X 2.1.2.1. Định nghĩa 1 Tôpô giả compăc-mở trên  C X được xác định bởi tiền cơ sở là [ ]{ ( ), : ,A V A PS XÎ với V là tập mở của }R và kí hiệu không gian tương ứng với tôpô này là  .psC X ● Chú ý  Ta có            , : :A V f C X f A V f C X f A V           : , .f C X f A V A V       Bởi vì bao đóng của một tập con giả compăc là tập giả compăc nên ta luôn có thể lấy A là tập con đóng giả compăc trong .X  Nếu  A K X thì  ,A V cũng là tập mở trong tôpô compăc-mở, với  K X là tập hợp tất cả những tập con compăc của .X 2.1.2.2. Định nghĩa 2 Với mỗi tập  A PS X và 0.  Ta đặt          , :A f g C X C X f x g x      với mọi x A . Khi đó tập hợp    : , 0A A PS X   là một cơ sở của một cái đều nào đó trên  .C X Thật vậy,  Với mỗi  f C X ta có  ,f f A vì     , .f x f x x A     Nếu           , : ,A f g C X C X f x g x x A        thì             1 , : , .A g f C X C X g x f x x A         Do đó   1 .A A    Với           3 , : ,3A f g C X C X f x g x x A        và  h C X ta có:               3 3 { , : ,3 , }3 A A f h C X C X f x g x g x h x x A                         2, : ,3f h C X C X f x h x x A       .A  Với  ,A B PS X ta có A B C   với .C A B  Vậy họ   : , 0A A PS X   là một cơ sở lân cận cho một cái đều nào đó trên  .C X Chúng ta kí hiệu không gian  C X với tôpô cảm sinh bởi cái đều này là  ,ps uC X . Tôpô này được gọi là tôpô hội tụ đều trên  .PS X Với mỗi    ,f C X A PS X  , và 0  , đặt      , , :f A g C X f x g x     với mọi .x A Nếu  f C X thì tập hợp   , , : ,f A A PS X  0  tạo thành một cơ sở lân cận của f trong  ,ps uC X . Thật sự, tập hợp     , , : , , 0f A f C X A PS X    lập thành cơ sở cho tôpô hội tụ đều trên  .PS X Đặc biệt, mỗi tập , ,f A  như thế là tập mở trong  , .ps uC X 2.1.2.3. Định nghĩa 3 Với mỗi  A PS X và 0  ta định nghĩa nửa chuẩn Ap trên  C X theo công thức     sup : .Ap f f x x A  Cũng với mỗi  A PS X và 0  , ta đặt     , :A AV f C X p f    và   , : , 0 .AV A PS X   V Ta kiểm tra được rằng với mỗi  f C X ,  :f f V V   V V tạo thành một cơ sở lân cận tại .f Để làm điều này ta chỉ cần chứng minh V là một cơ sở lân cận của gốc, tức là kiểm tra nó phải thỏa mãn các điều kiện sau:  i - Mỗi ,AV  V là tập hấp thu Với mọi ,Ag V  tồn tại   0Ap g   sao cho   ,Ap g  ta có  1 Ap g   Hay   1 sup ,g x x A    nên   .A gp   Do đó , .Ag V   Suy ra ,Ag V  . - Mỗi ,AV  V đều cân đối Với mọi ,Ag V  ta có  Ap g  hay   sup :g x x A   Khi 1  ta có   sup :g x x A   hay   .Ap g  Suy ra ,Ag V   .  ii Mỗi ,AV  V thì ,AV  V với mọi 0.  ,Ag V   sẽ , Af V   sao cho .g f Khi đó  g C X và     sup :Ap g g x x A    sup :f x x A  Nên     sup : .Ap g f x x A     Do đó ,Ag V   với .    Suy ra , .AV  V . .  iii Mỗi ,AV  V ta có ,, ,2 2 .AA AV V V    Thật vậy, với mọi , ,2 2A A f g V V    ta có       sup :Ap f g f x g x x A    Nên        sup : sup :Ap f g f x x A g x x A     Do đó   .2 2Ap f g       Suy ra , .Af g V    iv Mỗi cặp , ,, A BV V  V tồn tại , CV  V sao cho , , , .C A BV V V    Chọn  ; min ,C A B     ta có , .CV  V Với mọi ,Cf V  ta suy ra  Ap f  và   .Bp f  Do đó , , .A Bf V V   Bởi vì tôpô này được sinh bởi tập hợp nửa chuẩn nên nó là tôpô lồi địa phương. 2.1.3. Nhận xét  Một tập con đóng của một tập giả compăc có thể không là giả compăc.  Một miền con đóng của một tập giả compăc là giả compăc. (Một tập con A của một không gian X thỏa mãn điều kiện intA A được gọi là một miền đóng.) 2.1.4. Định lí Với bất kì không gian ,X tôpô giả compăc-mở trên  C X trùng với tôpô hội tụ đều trên những tập con giả compăc của ,X tức là    , .ps ps uC X C X Hơn nữa,  psC X là không gian Hausdorff lồi địa phương. Chứng minh Gọi  ,A V là một tập mở thuộc tiền cơ sở trong  psC X và  ,f A V . Vì  f A là tập compăc nên tồn tại  1 2, ,..., nz z z f A sao cho  f A  1 ,ni i i i iz z     1 2 , 2 V.ni i i i iz z     Chọn 1min i n i   . Nếu , ,g f A  và x A thì    g x f x   và tồn tại i nào đó sao cho   i if x z   . Do đó   ig x z        ig x f x f x z      g x f x     if x z 2 i . Và như vậy   .g x V Vì thế   ,g A V tức là  ,g A V . Do đó , ,f A   ,A V . Đặt  1 ,ki i iW A V là một lân cận thuộc cơ sở địa phương của f trong  psC X . Khi đó tồn tại những số thực dương 1 2, ,..., k   sao cho , ,i if f A   ,i iA V với mỗi 1,2,..., .i k Nếu 1ki iA A  và 1min i k i   thì , ,f f A W  . Điều này chỉ ra rằng    , .ps ps uC X C X Ta gọi , ,f A  là một lân cận thuộc cơ sở địa phương của f trong  ,ps uC X . Vì  f A là tập compăc nên tồn tại  1 2, ,..., nz z z f A sao cho   1 ,4 4ni i if A z z          . Đặt , 2 2i i i W z z       và 1 , 4 4i A i i A cl A f z z          . Theo Nhận xét 2.1.3, mỗi iA là giả compăc. Vì 11 ,4 4 n i i iA f z z          nên 1 . n i iA A  Bây giờ, chúng ta sẽ chỉ ra rằng  1 , , , .ni i if A W f A   Ta có   1 ; . 4 4i i i f A f f z z          Hay   ; 4 4i i i f A z z       nên  1 , . n i i if A W Gọi  1 ,ni i ig A W và ,x A khi đó tồn tại một i nào đó sao cho ix A và hệ quả là   , .4 4i if x z z        Vì   , 2 2i i g x z z       nên     .f x g x   Suy ra , , .g f A  Khi đó    ,ps u psC X C X ._.