Tối ưu hóa đa biến vị trí gắn cảm biến đo biến dạng trên kết cấu nhịp dựa trên phép phân tích biến thành phần (PCA)

hông tin để thực hiện công việc đánh giá đáp ứng tải trọng của kết cấu công trình. Nghiên cứu này nhằm mục đích giới thiệu các phương pháp tối ưu hóa đa biến và ứng dụng các phương pháp này cho bài toán cụ thể để từ đó đề xuất sử dụng phương pháp tối ưu hiệu quả nhất, đó là việc chọn số lượng cảm biến tối ưu dựa vào giới hạn P hoặc RV lớn nhất của phương pháp MPCA (Modified principal component analysis). Từ khóa: PCA, M.PCA , Strain sensor, FEM, M.FEM. 1. Giới thiệu Trong những năm gần đây, việc đánh giá khả năng làm việc của kết cấu bằng phương pháp không phá hủy đã được nghiên cứu và phát triển với nhiều thiết bị chuyên dùng cho từng loại kết cấu khác nhau. Tuy nhiên đối với kết cấu nhịp, một trong những phương pháp kiểm tra khả năng đáp ứng tải trọng đó là phương pháp đo biến dạng, độ võng và dao động được sử dụng khá phổ biến. Dựa trên thông số biến dạng, độ võng và dao động chúng ta có thể phân tích và đưa ra dự đoán về mức độ đáp ứng của kết cấu và tuổi thọ của công trình khi đưa vào khai thác, đây là một phương pháp vừa mang tính lý thuyết và ứng dụng rất thực tế. Trên kết cấu nhịp có kích thước lớn và rộng, số lượng cảm biến gắn để đo là rất nhiều có thể lên đến 64 kênh, 128 kênh, 256 kênh, vì vậy một vấn đề đặt ra là làm cách nào để số lượng cảm biến đo càng ít nhất càng tốt nhưng thông tin đánh giá vẫn phải đảm bảo đẩy đủ nhất và cũng liên qua đến chi phí kiểm định. Trong nghiên cứu này, tác giả giới thiệu phương pháp phân tích biến thành phần PCA (Principal component analysis) để thực hiện bài toán tối ưu vị trí gắn cảm biến đo biến dạng. Lý thuyết phân tích biến thành phần PCA đã được xây dựng đầu tiên bỡi Pearson (1901), sau đó được Hotelling (1933) phát triển và ứng dụng rộng rãi. Nhiều công trình nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực đã sử dụng phương pháp này làm công cụ để đánh giá. Đặc biệt trong lĩnh vực xử lý số liệu đo biến dạng, độ võng và dao động của nhóm tác giả A.-M. Yan, G. Kerschen, P. De Boe, J.-C. Golinval cũng đã trình bày và cho thấy được nhiều tìm năng ứng dụng của phương pháp tối ưu này. 2. Lý thuyết phân tích biến thành phần (PCA) Ma trận X(np), với n là số biến quan sát, p là số biến đo trung bình, X có thể được tính như sau, [7]: X = USV’, (1) Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 41 Trong đó: U(nr)th là ma trận với các phần tử uik, (i = 1,2,...n ; k = 1,2,...r); V(pr)th là ma trận với các phần tử vjk , (j=1,2,,p, k=1,2,,r); S(rr) là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo sk , (k=1,2,,r); và r là hạng của ma trận X. Ma trận X(n  p)th với các phần tử được triển khai như sau, [7]: 1/2 1  r ij ik k jk k x u s v (2) Dự đoán dựa trên m biến thành phần đầu tiên và bao gồm cả dữ liệu xij, [7]: 1/2 1  m m ij ik k jk k x u s v (3) Dự đoán dự trên bộ dữ liệu con không bao gồm các thành phần xij, [7]: 1/2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ   m m ij ik k jk k x u s v (4) Trong đó: ˆ iku là ma trận xóa biến cột thứ j, xj ; ˆ jkv là ma trận xóa biến hàng thứ i, xi; ˆks là ma trận kết hợp xóa biến thứ hàng thứ i và cột thứ j. Tổng bình phương sai khác giữa dữ liệu dự đoán và dữ liệu quan sát xij, [7]:   2 1 1 ˆ( )     pn m ij ij i j PRESS m x x (5) Ký hiệu PRESS là viết tắt từ PREdiction Sum of Squares. Phương pháp Eastment và Krzanowski (1982), chọn m biến thành phần dựa trên giới hạn W>1, [7]:   ,1 ,2 ( 1) ( ) / ( ) /    m m PRESS m PRESS m v W PRESS m v (6) Trong đó:  ,2 1 ( 1) 2 m m k v p n n p k       m,l = n+ p – 2m - bậc tự do. Phương pháp chọn biến thành phần dựa trên lý thuyết của bốn nhóm tác giả sau: Robert và Escoufier (1976) đã đề xuất dùng hệ số RV để tìm bộ m biến thành phần, có giá trị hệ số RV lớn nhất, [1]:        ' ' 1/2 2 2 ' ' tr XXYY RV(X,Y) tr XX .tr YY  (7) Trong đó: X (np) là ma trận dữ liệu đo biến dạng; Y=M’X1, X1, (n  m) ma trận con của X và M(mm) là ma trận trực chuẩn; X ,Y là ma trận trung tâm của ma trận X và Y tương ứng. Krzanowski (1987) đã đề xuất thủ tục lựa chọn biến dựa trên giá trị giới hạn M2 nhỏ nhất [2], [3]:  DYYXXtrM 2''2  , (8) Trong đó: tr( ) là tổng giá trị trên đường chéo của ma trận; D là ma trận chỉ có giá trị trên đường chéo của ma trận Y’X. Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 42 Tanaka và Mori (1997) đã đề xuất phương pháp lựa chọn biến thành phần cải tiến M.PCA (Modified Principal Component), để tìm bộ biến có giá trị giới hạn P hoặc RV lớn nhất [4]. Giới hạn thứ nhất, Rao (1964):    m j j Str P 1 )(  , (9) Giới hạn thứ hai, Robert và Escoufier (1976): 2/1 1 2 2 )(                    m j j Str RV  (10) Trong đó: là trị riêng lớn nhất thứ m của ma trận tương quan S. Mori et al. (1999a) đã chứng minh phương pháp tối ưu dựa trên giới hạn PRESS cải tiến (5), trong đó ma trận xij thay bằng m ij x tính toán từ phương pháp M.PCA, tìm giá trị lớn nhất của PRESSm, [5] như sau:      n i p j m ij m ijm xxPRESS 1 1 2~ˆ , (11) Trong nghiên cứu này, ý tưởng của nhóm tác giả Robert, Escoufier (1976) và Krzanowski (1987) được triển khai để thực hiện công việc tối ưu vị trí gắn cảm biến sử dụng dữ liệu trong mô hình phần tử hữu hạn đã hiệu chuẩn M.FEM (Modified Finite Element Model) như hình 1. Hình 1. Lưu đồ thuật toán lựa chọn biến thành phần Quy trình tối ưu và lựa chọn biến thành phần sau khi đã tìm được số lượng cảm biến tối ưu nhất có thể tiến hành lựa chọn các biến tốt nhất và loại bỏ những biến không cần thiết theo một trong các thủ thuật sau: xóa lùi dần (backward), xóa tiến dần (forward), lùi – tiến (backward - forward), tiến – lùi (forward - backward). Hình 2 trình bày thuật toán lựa chọn biến theo thủ thuật xóa lùi dần (backward) hoặc xóa tiến dần (forward). Thủ thuật xóa cột thứ j, X(-j) và chèn cột thứ j, X(+j) để xây dựng một ma trận chứa các thông tin biến cần truy suất sử dụng tương quan phương sai, độ lệch chuẩn của hai ma trận bộ p - m biến xóa đi và bộ m biến được chọn. Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 43 Hình 2. Lưu đồ thuật toán lựa chọn biến theo phương pháp xóa tiến và xóa lùi 3. Kết quả tối ƣu hóa vị trí gắn cảm biến đo trên mô hình kết cấu nhịp Mô hình FEM khảo sát là kết cấu cầu Ông Cộ, Bình Dương (Dự án chuyển giao công nghệ giữa Công ty BDI, Công ty Nguyễn Cao và VIBROBIS), mô hình nhịp 1 với chiều dài nhịp 24.69m, với 9 dầm chữ T bê tông cốt thép dự ứng lực. Xe thử tải động chất đầy tải với khối lượng 29890kg, bề rộng trục bánh trước là 205cm, bề rộng trục bánh sau là 220cm, khoảng cách giữa trục trước và trục sau là 320cm, khoảng cách giữa hai trục sau là 130cm. Mô hình dữ liệu biến dạng được xây dựng dựa trên 3 làn đường xe thử tải chạy trên kết cấu (Y1, Y2, Y3) như trên hình 3. Hình 3. Mô hình kết cấu nhịp bằng phương pháp FEM Sử dụng dữ liệu tối ưu hóa mô hình FEM đã hiệu chuẩn theo số liệu đo đạc trong thực tế trong dự án kiểm định cầu Ông Cộ, Bình Dương, với dữ liệu kết quả ban đầu 45 cảm biến đo biến dạng như trên mô hình ứng với 3 kịch bản xe thử tải chạy theo 3 làn đường (Y1, Y2, Y3) với số liệu 125 mẫu vị trí xe thử tải cho mỗi làn đường. Vì vậy ta Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 44 gọi ma trận biến dạng X (np), với n = 125 vị trí xe thử tải tại mỗi thời điểm, p = 45 số lượng cảm biến đo biến dạng trên mô hình FEM. Sử dụng các thuật toán tối ưu hóa như đã trình bày để chọn giá trị m tối ưu nhất m<<p dựa trên phương pháp Eastment and Krzanowski (1982). Trong bảng 1 trình bày thông số giới hạn W ứng với 3 làn đường xe thử tải (Y1, Y2, Y3) để làm tiêu chuẩn lựa chọn biến thành phần là số lượng cảm biến tối ưu nhất m = 22 với tiêu chí ngưỡng chọn là W>1. Bảng 1. Chọn số cảm biến m dựa trên thông số giới hạn W Số lƣợng cảm biến m Giới hạn W Y1 (0.70m) Y2 (2.48m) Y3 (6.30m) 1 4.01984937e+03 4.29109961e+03 4.09949658e+03 2 2.40284939e+01 2.41595783e+01 2.40683937e+01 3 1.70259285e+01 1.71033230e+01 1.70967522e+01 20 1.26992989e+00 1.28745508e+00 1.27241576e+00 21 1.15882814e+00 1.17402732e+00 1.16098905e+00 22 1.05831587e+00 1.07154131e+00 1.06021166e+00 23 9.66931641e-01 9.78468776e-01 9.68591869e-01 24 8.83470476e-01 8.93554449e-01 8.84913862e-01 42 6.91109151e-02 6.95694089e-02 6.91790506e-02 43 4.37134989e-02 4.39967401e-02 4.37583253e-02 44 1.94210559e-02 1.95438191e-02 1.94444582e-02 Thuật toán chọn biến thành phần dựa trên ý tưởng của McCabe (1984) là tính toán so sánh giá trị phương sai của ma trận có kích thước p - m biến thành phần đã loại bỏ đi và ma trận có kích thước m biến thành phần được chọn. Kết quả tối ưu ban đầu có 45 vị trí gắn cảm biến sau khi thực hiện phép tối ưu hóa chỉ còn 22 vị trí gắn cảm biến, số lượng giảm đáng kể nhưng thông tin vẫn đủ để thực hiện phép đánh giá sau này. Hình 4, 5, 6, 7 trình bày việc lựa chọn cảm biến ứng với từng kịch bản thử tải trên mô hình (Y1, Y2, Y3). Trong bảng 2 trình bày tên các cảm biến được chọn ứng với việc gán tên trên mô hình được ký hiệu là S11, , S21, , S31, , S41, , S51, , S59, sử dụng thuật toán xóa lùi (backward) và xóa tiến (forward) đều cho kết quả như nhau vì đây chỉ là bước chọn lọc các cảm biến đo sau khi đã có số lượng cảm biến tối ưu và thông tin về phương sai của các thành phần trong ma trận biến dạng. Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 45 Bảng 2. Quy trình lựa chọn cảm biến Phƣơng pháp lựa chọn Thuật toán xóa lùi (Backward Selection) Thuật toán xóa tiến (Forward Selection) Robert và Escoufier (1976) Y1= ['S15', 'S16', 'S17', 'S18', 'S19', 'S27', 'S28', 'S29', 'S33', 'S34', 'S35', 'S36', 'S37', 'S38', 'S39', 'S47', 'S48', 'S49', 'S56', 'S57', 'S58', 'S59'] Y2= ['S11', 'S16', 'S17', 'S18', 'S19', 'S28', 'S29', 'S31', 'S32', 'S33', 'S34', 'S35', 'S36', 'S37', 'S38', 'S39', 'S48', 'S49', 'S51', 'S57', 'S58', 'S59'] Y3= ['S11', 'S12', 'S13', 'S14', 'S15', 'S22', 'S23', 'S31', 'S32', 'S33', 'S34', 'S35', 'S36', 'S37', 'S41', 'S42', 'S43', 'S51', 'S52', 'S53', 'S54', 'S55'] Y1= ['S18', 'S38', 'S28', 'S58', 'S37', 'S59', 'S48', 'S19', 'S39', 'S36', 'S17', 'S57', 'S35', 'S49', 'S16', 'S56', 'S27', 'S34', 'S47', 'S29', 'S15', 'S33'] Y2= ['S38', 'S39', 'S19', 'S59', 'S31', 'S37', 'S18', 'S58', 'S29', 'S32', 'S49', 'S36', 'S17', 'S57', 'S33', 'S34', 'S11', 'S35', 'S48', 'S51', 'S28', 'S16'] Y3= ['S33', 'S52', 'S12', 'S42', 'S32', 'S51', 'S34', 'S13', 'S11', 'S22', 'S53', 'S31', 'S35', 'S23', 'S14', 'S43', 'S54', 'S36', 'S41', 'S15', 'S55', 'S37'] Krzanowski (1987) Y1= ['S13', 'S14', 'S15', 'S16', 'S17', 'S18', 'S19', 'S27', 'S28', 'S29', 'S38', 'S39', 'S48', 'S49', 'S52', 'S53', 'S54', 'S55', 'S56', 'S57', 'S58', 'S59'] Y2= ['S11', 'S12', 'S13', 'S14', 'S15', 'S16', 'S17', 'S18', 'S19', 'S27', 'S28', 'S29', 'S49', 'S51', 'S52', 'S53', 'S54', 'S55', 'S56', 'S57', 'S58', 'S59'] Y3= ['S11', 'S12', 'S13', 'S14', 'S15', 'S16', 'S17', 'S21', 'S22', 'S23', 'S31', 'S32', 'S41', 'S42', 'S51', 'S52', 'S53', 'S54', 'S55', 'S56', 'S57', 'S58'] Y1= ['S18', 'S19', 'S59', 'S58', 'S29', 'S17', 'S57', 'S49', 'S39', 'S56', 'S16', 'S55', 'S15', 'S28', 'S14', 'S54', 'S48', 'S53', 'S13', 'S38', 'S27', 'S52'] Y2= ['S18', 'S19', 'S59', 'S58', 'S17', 'S57', 'S56', 'S16', 'S11', 'S55', 'S15', 'S51', 'S12', 'S54', 'S14', 'S52', 'S13', 'S53', 'S29', 'S28', 'S49', 'S27'] Y3= ['S11', 'S51', 'S21', 'S52', 'S12', 'S31', 'S41', 'S53', 'S13', 'S54', 'S14', 'S22', 'S55', 'S15', 'S42', 'S56', 'S16', 'S32', 'S23', 'S57', 'S17', 'S58'] Tanaka và Mori Y1= ['S11', 'S12', 'S13', 'S21', Y1= ['S31', 'S41', 'S21', 'S32', Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 46 (1997) 'S22', 'S23', 'S24', 'S25', 'S31', 'S32', 'S33', 'S34', 'S35', 'S36', 'S41', 'S42', 'S43', 'S44', 'S45', 'S51', 'S52', 'S53'] Y2= ['S13', 'S21', 'S22', 'S23', 'S24', 'S25', 'S26', 'S31', 'S32', 'S33', 'S34', 'S35', 'S36', 'S37', 'S41', 'S42', 'S43', 'S44', 'S45', 'S46', 'S53', 'S55'] Y3= ['S17', 'S18', 'S19', 'S25', 'S26', 'S27', 'S28', 'S29', 'S34', 'S35', 'S36', 'S37', 'S38', 'S39', 'S45', 'S46', 'S47', 'S48', 'S49', 'S57', 'S58', 'S59'] 'S42', 'S22', 'S33', 'S43', 'S51', 'S11', 'S34', 'S23', 'S44', 'S35', 'S24', 'S52', 'S45', 'S12', 'S53', 'S25', 'S13', 'S36'] Y2= ['S31', 'S41', 'S21', 'S33', 'S43', 'S32', 'S42', 'S34', 'S22', 'S44', 'S35', 'S23', 'S45', 'S53', 'S24', 'S13', 'S36', 'S46', 'S25', 'S37', 'S26', 'S55'] Y3= ['S39', 'S49', 'S29', 'S38', 'S48', 'S28', 'S59', 'S37', 'S47', 'S19', 'S36', 'S27', 'S46', 'S26', 'S35', 'S58', 'S45', 'S18', 'S57', 'S25', 'S17', 'S34'] Mori et al. (1999a) Y1= ['S11', 'S13', 'S15', 'S18', 'S26', 'S28', 'S37', 'S38', 'S41', 'S42', 'S43', 'S44', 'S45', 'S46', 'S47', 'S51', 'S52', 'S53', 'S54', 'S56', 'S57', 'S58'] Y2= ['S11', 'S12', 'S13', 'S14', 'S15', 'S16', 'S17', 'S18', 'S19', 'S22', 'S23', 'S24', 'S25', 'S26', 'S28', 'S29', 'S31', 'S38', 'S39', 'S48', 'S51', 'S59'] Y3= ['S11', 'S12', 'S13', 'S14', 'S15', 'S21', 'S22', 'S23', 'S24', 'S31', 'S32', 'S33', 'S34', 'S41', 'S42', 'S43', 'S44', 'S51', 'S52', 'S53', 'S58', 'S59'] Y1= ['S29', 'S51', 'S53', 'S52', 'S11', 'S13', 'S41', 'S12', 'S42', 'S43', 'S14', 'S55', 'S56', 'S39', 'S44', 'S54', 'S26', 'S18', 'S19', 'S36', 'S17', 'S27'] Y2= ['S53', 'S54', 'S55', 'S45', 'S51', 'S44', 'S43', 'S35', 'S34', 'S41', 'S52', 'S36', 'S33', 'S42', 'S25', 'S24', 'S37', 'S23', 'S56', 'S31', 'S32', 'S58'] Y3= ['S17', 'S18', 'S41', 'S29', 'S28', 'S59', 'S57', 'S16', 'S37', 'S39', 'S25', 'S31', 'S27', 'S15', 'S19', 'S58', 'S55', 'S56', 'S38', 'S24', 'S14', 'S26'] Kết quả của 4 phương pháp: Robert và Escoufier - 1976; Krzanowski - 1987; Tanaka và Mori - 1997; Mori et al. - 1999a như đã trình bày trong bảng 2. Vị trí của cảm biến ứng với từng trường hợp tải trọng và vị trí của các cảm biến được chọn cũng đã thể hiện chi tiết trên các hình 4, 5, 6, 7 theo từng phương pháp như đã trình bày. Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 47 Hình 4. Chọn vị trí gắn cảm biến dựa trên hệ số RV và thuật toán xóa lùi (backward) Hình 5. Chọn vị trí gắn cảm biến dựa trên hệ số 2M và thuật toán xóa lùi (backward) Như mô tả trên hình 5, ta thấy việc lựa chọn vị trí gắn cảm biến của hai trường hợp đường xe thử tải chạy Y1 và Y3 có tính chất đối xứng nhau, các cảm biến ở giữa nhịp không được chọn, chỉ có các cảm biến ở gần trụ cầu mới được chọn. Thực tế khi triển khai công tác gắn cảm biến đo trên kết cấu nhịp thường gắn ở những vị trí nguy hiểm nhất là ở giữa nhịp vì tại đó biến dạng và chuyển vị có giá trị lớn nhất so những vị trí khác khi tải trọng động di chuyển tác dụng lên kết cấu. Việc sử dụng M2 để thực hiện phép tối ưu dường như chưa thật sự đem lại kết quả như mong muốn. Phương pháp dựa trên hệ số RV lớn nhất như hình 4 cho kết quả khả quan hơn và có thể đánh giá là có tiềm năng ứng dụng hơn trong vấn đề tối ưu đối với bài toán này. Hình 6 minh họa phương pháp của Tanaka và Mori (1997) dựa trên ý tưởng của phương pháp Rao’s (1964) và Robert-Escoufier’s (1976) để xây dựng phương trình trị riêng của ma trận hiệp phương sai X = (X1, X2) cũng cho kết quả tương đối sát với quan điểm đo thực tế đã thực hiện. Kết quả tối ưu dựa trên thông số P hoặc RV lớn nhất trong hai trường hợp tải Y1 và Y3 có tính đối xứng nhau và riêng trường hợp Y2 có các cảm biến được chọn Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 48 cũng khá phù hợp với yêu cầu đặt ra ban đầu. Hình 7 minh họa phương pháp tối ưu dựa trên hệ số PRESS cho kết quả rất ngẫu nhiên khó thực hiện trong thực tế. Hình 6. Chọn vị trí gắn cảm biến dựa trên hệ số RV (Tanaka và Mori) Hình 7. Chọn vị trí gắn cảm biến dựa trên hệ số PRESS Cả bốn phương pháp lựa chọn và tối ưu vị trí gắn cảm biến đã minh họa rất chi tiết trên hình 4-5-6-7. Một số phương pháp cho kết quả tối ưu rất phù hợp với yêu cầu thực tế, tuy vậy cũng có phương pháp đưa ra các cảm biến được chọn ở những vị trí không phù hợp. Phương pháp MPCA (modified principal component analysis) kết hợp tính toán chọn biến thành phần dựa trên giới hạn P hoặc RV lớn nhất có thể đưa vào áp dụng trong thực tế để tối ưu vị trí gắn cảm biến cho những kết cấu phức tạp. 5. Kết luận Phương pháp lựa chọn biến thành phần dựa trên ý tưởng tìm giá trị giới hạn P hoặc RV lớn nhất trong phương pháp MPCA của nhóm tác giả Tanaka và Mori (1997) như đã trình bày ở trên rất khả thi, vị trí các cảm biến được chọn cũng khá phù hợp khi phân tích kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Mục tiêu của phương pháp là số lượng vị trí gắn cảm biến đo là ít nhất nhưng thông tin để đánh giá kết cấu về mặt đáp ứng tải trọng là nhiều nhất. Công việc tối với số lượng cảm biến ban đầu 45 cảm biến tại 45 vị trí khác nhau trên kết cấu nhịp, khi thực hiện phép tối ưu hóa đa biến kết quả Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 49 chỉ còn 22 cảm biến ở những vị trí nguy hiểm nhất trên kết cấu nhịp. Các thông tin tại các vị trí đo biến dạng của 22 cảm biến này hoàn toàn đầy đủ vì khi thực hiện phép thử trong thực tế đều tiến hành đo những vị trí này (L/2 và L/4). TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P. Robert, Y. Escoufier, A unifying tool for linear multivariate statistical methods: the RV-Coefficient, Applied Statistics, 25 (1976) 257-265. [2] W.J. Krzanowski. 1987a. Selection of variables to preserve multivariate data structure using principal components, Applied Statistics, 36, 22-33. [3] W.J. Krzanowski.1987b. Cross-validation in principal component analysis, Biometrics, 43, 575-584. [4] Yutaka Tanaka, Yuichi Mori. 1997. Principal component analysis based on a subset of variable: Variable selection and sensitivity analysis, Amer. J. Mathematical and Management Sciences, 17, 61-89. [5] Y. Mori, M. Iizuka, T. Tarumi, Y. Tanaka. 1999. Variable selection in “principal component analysis based on a subset of variables”, Bulletin of the International Statistical Institute 52nd Session Contributed Papers, Tome LVIII, Book 2, 333–334. [6] Z. Zhao, C. Chen. 2001. Concrete bridge deterioration diagnosis using fuzzy inference system, Advances in Engineering Software 32, 317-325. [7] I.T. Jolliffe. 2002. Pricipal component analysis, Springer. [8] A.-M. Yan, G. Kerschen, P. De Boe, J.-C. Golinval. 2005. Structural damage diagnosis under varying environmental conditions - part II: local PCA for non-linear cases, Mechanical Systems and Signal Processing 19, 865-880. [9] Ikhlas Abdel-Qader, Sara Pashaie-Rad, Osama Abudayyeh, Sherif Yehia. 2006. PCA-Based algorithm for unsupervised bridge crack detection, Advances in Engineering Software 37, 771-778. [10] Y.Q. Ni, X.T. Zhou, J.M. Không. 2006. Experimental investigation of seismic damage identification using PCA-compressed frequency response functions and neural networks, Journal of Sound and Vibration 290, 242-263. [11] Nguyen Viet Ha, Jean-Claude Golinval. 2010. Damage localization in linear-form structures based on sensitivity investigation for principal component analysis, Journal of Sound and Vibration 329, 4550-4566.