Tính duy nhất của hàm phân hình P-Adic

n thành và sâu sắc nhất. Xin chân thành cảm ơn các thầy: Trần Huyên, Bùi Tường Trí, Bùi Xuân Hải, Lê Hoàn Hóa, Đậu Thế Cấp cùng với tất cả các thầy cô khác đã trực tiếp tham gia giảng dạy , truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này. TP.Hồ Chí Minh 10 - 2008 Nguyễn Thị Mỹ Dung MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỷ cuối của thế kỷ trước ( xem [2], [5] ) và ngay sau đó lý thuyết Nevanlinna p-adic đã được mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác giả khác cho trường hợp nhiều chiều và cho siêu mặt. Những năm gần đây có nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lý thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu các hàm chỉnh hình, phân hình p-adic. Vì lý do đó, chúng tôi chọn đề tài: “ Tính duy nhất của hàm phân hình p-adic ” nhằm mục đích tiếp cận một chuyên ngành toán học mới đang phát triển. 2. Mục đích nghiên cứu Ứng dụng hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của hàm phân hình p-adic. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna p-adic và ứng dụng để nghiên cứu các hàm phân hình p-adic. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài Luận văn đã trình bày được nội dung của lý thuyết Nevanlinna p-adic, chứng minh được các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của hàm phân hình p-adic. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Các trường số p-adic Trong chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic p , vành các số nguyên p-adic p , xây dựng trường các số phức p-adic p . Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, có thể tìm các chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo. Chương 2: Lý thuyết Nevanlinna p-adic Trong chương này trình bày một số các hàm đặc trưng và hai định lý cơ bản của Nevanlinna. Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna p-adic Trong chương này chúng tôi đưa ra ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu một số đa thức và các miền duy nhất của hàm phân hình p-adic. Chương 1: CÁC TRƯỜNG SỐ P-ADIC Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic p , vành các số nguyên p-adic p , xây dựng trường các số phức p-adic p . Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, có thể tìm các chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo. 1.1. Chuẩn trên trường 1.1.1. Định nghĩa chuẩn trên trường Cho F là một trường, ánh xạ : F  được gọi là chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên trường F nếu thỏa các điều kiện sau: i/ 0:  xFx và 00  xx ii/ yxxyFyx .:,  iii/ yxyxFyx  :, Nếu trường F là trường , , thì hàm giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F. Ngoài ra nếu F là một trường bất kỳ thì : F  x    1 neáu x 0 0 neáu x= 0 x là một chuẩn trên trường F, chuẩn này được gọi là chuẩn tầm thường. Dễ thấy chuẩn trên F có các tính chất cơ bản sau: i/ :x F x x    ii/ 1 1 ( 1 là đơn vị của F) iii/ 1 1, 0 :x F x x x     Nhận xét Nếu F là trường hữu hạn thì F có chuẩn duy nhất là chuẩn tầm thường. Chứng minh: Giả sử F có q phần tử ( , 0q q  ) và có chuẩn là Rõ ràng F* là nhóm Aben có cấp q-1 Gọi 1 là đơn vị của nhóm nhân F*. Khi đó với bất kỳ x thuộc F* ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 (do 0) q q q x x x x x             Vậy là chuẩn tầm thường. ■ 1.1.2. Chuẩn tương đương Cho F là trường và là chuẩn trên F. Khi đó: d: FxF  (x,y)  d(x,y) = x y là một mêtric trên F, gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn Khái niệm về chuẩn tương đương Cho F là một trường và 1 , 2 là hai chuẩn trên F. Ta nói 1 tương đương với 2 ( 1 2 ) nếu tôpô cảm sinh bởi 1 và 2 trùng nhau. Định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn Cho F là một trường và 1 , 2 là hai chuẩn trên F. Các phát biểu sau tương đương: i/ 1 2  ii/ 1 2 : 1 1    x F x x iii/ 1 2 : 1 1    x F x x iv/ Tồn tại c  sao cho: 2 1  cx x  x F v/  nx là dãy Cauchy đối với 1   nx là dãy Cauchy đối với 2 1.1.3. Chuẩn phi Archimedean 1.1.3.1. Định nghĩa Cho F là một trường và là chuẩn trên F, gọi là chuẩn phi Acsimet nếu nó thỏa điều kiện (III’) sau đây:  , : max ,x y F x y x y    Một chuẩn không phải phi Acsimet gọi là chuẩn Acsimet. 1.1.3.2. Ví dụ Với mọi m  và p là số nguyên tố cố định, m viết được duy nhất dưới dạng: 1m p m với (m1 ,p)=1, * . Khi đó: được gọi là số mũ của p trong m, ký hiệu ( )pord m   Với * : mr r n   , ta định nghĩa: ( )pord r = ( )pord m - ( )pord n Nếu biểu diễn r = 1 1 . mp n  với 1 1; ( , ) 1;( , ) 1n p m p   thì ( )pord m   Quy ước: (0)pord   Dễ thấy: i/ ( ) ( ) ( )p p pord rs ord r ord s  ii/  ( ) min ; ; ,p p pord r s ord r ord s r s    Ta định nghĩa chuẩn trên như sau: : p  0 , x = 0 , x 0 p p ord x ord xp x x      Khi đó : p là chuẩn phi Acsimet trên ( với 0 1   ). 1.1.3.3. Định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet Cho F là một trường và là chuẩn trên F. Các khẳng định sau là tương đương: i/ là chuẩn phi-Acsimet. ii/ 2 1 iii/ 1;n n   iv/ Tập các số tự nhiên bị chặn ( 0 : ;A n n A     ) . 1.1.3.4. Một vài tính chất đặc biệt của chuẩn phi Acsimet i/  max ,p p px y x y  nếu p px y ii/ Mọi điểm thuộc hình tròn đều là tâm của hình tròn. iii/ B(a,r)- vừa đóng vừa mở.  ( , ) / pB a r x F x a r    - vừa đóng vừa mở. Liên quan đến chuẩn trên , ta có định lý quan trọng sau đây: 1.1.3.5. Định lý Ostrowsky Mọi chuẩn không tầm thường trên trường số hữu tỷ hoặc tương đương với chuẩn p ( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên . Chứng minh Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1 : : 1n n   Gọi  0 min / 1n n n   Vì 0 1n  nên 00 0 0 ( =log >0)nn n n   Ta viết n trong hệ đếm 0n như sau: 0 2 0 1 0 2 0 0 0... (a ,0 a , 0, log ) s s i i s nn a a n a n a n n a s n             Khi đó: 2 0 1 0 2 0 0 2 0 1 0 2 0 0 ... = ... s s s s n a a n a n a n a a n a n a n            Do 0 iia n  nên 1ia  ( theo cách chọn 0n ). Suy ra: 2 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 11 ... 1 ...s s sn n n n n n n n                     Đặt 2 0 0 0 1 1 11 ... ...sc n n n         . Rõ ràng, c là cấp số nhân lùi vô hạn nên c là hằng số. Vì thế: 0. . (do a 0)s sn c n c n    Vậy với mọi k ta có : .( ) . . k k kn c n c n n c n      Cho k  thì n n (1) Như vậy ta đã có: 0 0 ( n) n n n n       Suy ra 1 1 0 0 1 ( 1) 0 0 ( )s s s s n n n n n n            Vậy : 1 1 ( 1) 1 0 0 0 0 ( 1) 1 ( 1) 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) 1 1 s s s s s s s s n n n n n n n n n n n n                                 Đặt 0 11 1c n           thì ( 1)0. . sn c n c n   Vậy với mọi k ta có : .( ) . . k k kn c n c n n c n      Cho k  thì n n (2) Từ (1) và (2) ta có n n Do đó: , , : m m n n n n n mm m n n nm m                Vậy: Trường hợp 2: 1,n n   Gọi 0n là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa 0 1n  Giả sử 0n không là số nguyên tố. Khi đó: 0 1 2 1 2 0. ( , )n n n n n n  Do cách chọn 0n nên 1 2 =1 n n . Suy ra 0 1n  (vô lý) Vậy 0n = p là số nguyên tố. Ta sẽ chỉ ra rằng 1q  với mỗi số nguyên tố q khác p. Thật vậy : Giả sử tồn tại : 1q q  (q là số nguyên tố) Khi đó với số tự nhiên M, N đủ lớn, ta có : 1 2 1 2 NN MM q q p p     Do  ; 1N Mq p  nên có thể tìm được hai số m,n sao cho: 1M Nmp nq  Suy ra : 1 1 1 1 1 (vô lý) 2 2 M N M N M N M N mp nq mp nq m p n q p q             Vậy 1q  với mỗi số nguyên tố q khác p. Với x là số hữu tỷ bất kỳ, x được phân tích duy nhất dưới dạng . (m,p)=1;(n,p)=1 mx p n  Đặt 1p   . Ta có: . m x n  Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác p nên chuẩn của các số nguyên tố đó bằng 1. Vì thế: 1 pord xm n x       Vậy: p ■ 1.2. Trường các số p-adic p và vành p Theo định lý Ostrowsky, trên chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimede p . Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực . Vậy làm đầy đủ theo p ta được một trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic p , là tương tự p-adic của trường số thực . Ta sẽ mô tả chi tiết hơn về cách xây dựng p dưới đây. 1.2.1. Xây dựng trường các số p-adic p và vành p Ký hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỷ theo p Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau:     lim 0n n n n pnx y x y   Ta gọi p là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên:     /p n nS x x S   Trang bị cho p hai phép toán cộng và nhân như sau:            . . n n n n n n n n x y x y x y x y     Rõ ràng ( , ,.)p  là một trường, trường này gọi là trường các số p-adic p . Chuẩn p trong được mở rộng trong p như sau: Cho  n px  (  nx là dãy Cauchy trong ): x =  nx : lim np pnx x Rõ ràng p là chuẩn phi-Acsimet. Ta chứng minh được biểu diễn p-adic của một phần tử x trong p là: 11 0 1... ... ...m m nm m nx b p b p b b p b p            ( , 0, mi pm b x p   ) Tập hợp  / 1p p px x   cùng với phép toán cộng và phép toán nhân trong p lập thành một vành được gọi là vành các số nguyên p-adic. 1.2.2. Một số tính chất cơ bản của vành p , p i/ p là vành chính, mọi iđêan của p có dạng là (m )m pp  ii/ p là tập compắc đối với chuẩn p iii/ p là tập compắc địa phương. Chứng minh: i/ Gọi I là một iđêan của p . Nếu  0I  thì I là iđêan sinh bởi 0. Nếu  0I  thì gọi a là phần tử thuộc I sao cho ( )ma p m  lớn nhất. Ta sẽ chứng minh : m pI p Với bất kỳ x thuộc I, ta có: 1m mp pm m x xx a x p x p p p          Vì thế m pI p (1) Với bất kỳ x thuộc m pp , ta có: ( . ) (c ) m m p px p c a c a    mà : a I 1 . mm m m p p pp p p c a a a a       nên x I Vì thế m pp I (2) Từ (1) và (2) ta có m pI p . Vậy idean I của p được sinh bởi phần tử mp và do đó p là vành chính. ii/ Giả sử  nx là một dãy tùy ý trong p và: 2 1 01 11 21 2 2 02 12 22 2 0 1 2 ... ... .......................................... ... (0 1; 0,1, 2,...) n n n n in x a a p a p x a a p a p x a a p a p a p i                  Xét các phần tử 0na (n= 1, 2,…) ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0;1;2;…;p-1}. Vậy phải tồn tại  0 0;1;2;...; 1b p  được nhận giá trị vô hạn lần. Lấy dãy con  0nx của dãy  nx sao cho số hạng đầu tiên của mỗi phần tử bằng 0b . Trong dãy  0nx các số hạng thứ hai: 1na (n= 1, 2,…) nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0;1;2;…;p-1}. Vậy phải tồn tại  1 0;1;2;...; 1b p  được nhận giá trị vô hạn lần. Lấy dãy con  1nx của dãy  0nx sao cho số hạng thứ hai của mỗi phần tử bằng 1b . Như vậy, với mọi m , tồn tại dãy con  ,m nx của dãy  1,m nx  sao cho số hạng thứ m của mỗi phần tử bằng  0;1;2;...; 1mb p  . Đặt b = 0 1 ... ...mmb b p b p    Xét dãy các đường chéo  mmx với phần tử 0nx có số hạng thứ nhất là 0b ; phần tử 1nx có số hạng thứ nhất là 0b , số hạng thứ hai là 1b ;….; phần tử mmx có số hạng thứ nhất là 0b , số hạng thứ hai là 1b ,…, số hạng thứ m + 1 là mb . Ta có: 1 0mmmm px b p     Vậy  mmx là một dãy con lấy ra từ dãy  nx mà  mmx hội tụ về b. Đến đây ta kết luận p là tập compắc đối với chuẩn p . iii/ Do p là tập compắc nên với mọi a thuộc p , a + p là lân cận compắc của a trong p . Vậy p là tập compắc địa phương. ■ 1.3. Trường các số phức p-adic p Làm đầy đủ theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường số thực ; trường số thực không đóng đại số, bao đóng đại số của là trường số phức . Làm đầy đủ theo p ta được trường các số p-adic p ; p đầy đủ nhưng không đóng đại số. Kí hiệu bao đóng đại số của p là p . Giá trị tuyệt đối trên p được xây dựng như sau: Với p thì  là phần tử đại số trên p . Do đó tồn tại một đa thức Irr( , p ,x)= 11 1 0... (a )n nn i px a x a x a     bất khả quy nhận  làm nghiệm. Ta định nghĩa p trên p như sau: 0: np p px x a   Ta chứng minh được p là một giá trị tuyệt đối trên p và p p  trên p . Trường p đóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo p vừa xây dựng. Nếu tiếp tục làm đầy đủ p theo p thì ta sẽ được trường các số phức p- adic, trường đó được ký hiệu là pp   Trường số phức p-adic p có hai tính chất cơ bản sau: p đóng đại số, đầy đủ và nó có vai trò tương tự như trường số phức trong giải tích phức. Chương 2: LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC Trong chương này chúng tôi trình bày một số các hàm đặc trưng và hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic. 2.1. Các hàm đặc trưng 2.1.1. Các khái niệm cơ bản Vành các chuỗi lũy thừa hình thức có hệ số trong p :   1 ( ) /np n n p n z f z a z a             Xét tập: A ( )r p = 1 ( ) / , 0nnn n p n p n f z a z a a          ( r > 0) Rõ ràng A ( )r p là vành con của vành  p z   . Chú ý rằng nếu 1 ( ) nn n f z a z     A ( )r p thì f hội tụ và là hàm giải tích trên    0, /r p p pD r z z r    Với f A ( )r p và f  0, ta định nghĩa:  (r,f) = max nnn a r . Ta có thể chứng minh được  (r,f) là chuẩn trên vành A ( )r p , nghĩa là: i/  (r, f) = 0  f = 0 ii/  (r, f + g) max{ (r,f); (r,g)} iii/  (r, f.g) =  (r, f). (r, g) Giả sử D là tập mở trong p . Ký hiệu: Ή(D) là tập các hàm giải tích trên D, M(D) là trường các thương của Ή(D) Một phần tử f thuộc M(D) được gọi là hàm phân hình trên D. Ta ký hiệu M ( )p là: M ( )p  / ,g g hh   A ( )p , 0h   Cho fM ( )p ( 0     ). Khi đó có g, hA ( )p sao cho f = gh . Ta định nghĩa:  (r,f) = ( , ) ( , ) r g r h   ( 0 r   ) Đặc biệt:  (r,f) = 1( , )r f Ta có thể chứng minh được với  > r > 0, hàm  (r,.): M ( )p  thỏa các tính chất sau: i/  (r,f) = 0  f = 0 ii/  (r,f1 + f 2 ) max{ (r, f1 ); (r, f 2 )} iii/  (r, f 1 .f 2 ) =  (r, f 1 ). (r, f 2 ) 2.1.2. Các hàm đặc trưng Cho f(z) = nn n m a z    A ( )p ( 0< ; ; 0;m 0)n p ma a      và a p Ký hiệu n(r, 1 f a ) là số các 0-điểm ( kể cả bội ) của f - a trên  0,p r và n (r, 1 f a ) là số các 0- điểm phân biệt của f - a trên  0,p r . Ta định nghĩa: 0 1( , ) 1( , ) r n t f aN r dt f a t   ( 00 r   ) 0 1( , ) 1( , ) r n t f aN r dt f a t   N Ram (r; f) = 2N(r; f) – N(r; f’) + N(r; 1 'f ) Cho f M ( )p và a  p   . Khi đó, tồn tại 0, 1f f A ( )r p ( 0<r<   ) không có nhân tử chung trong vành A ( )r p sao cho 1 0 ff f  Định nghĩa: n(r, 1 f a ) = 0 1 0 1( , ) ( , ) : 1( , ) : n r f n r a f n r a f af        1( , )N r f a = 0 1 0 1( , ) ( , ) : 1( , ) : N r f N r a f N r a f af        m(r,f) = log  (r,f) = max0; log(r,f)  T(r,f) = m(r,f) + N(r,f) 1 1( ; ) ( ; ) ( ) liminf 1 limsup ( ; ) ( ; ) 1( ; ) ( ) 1 limsup ( ; ) f r r f r m r N r f a f aa T r f T r f N r f aa T r f            Nếu a  thì: ( ; ) ( ; )( ) liminf 1 limsup ( ; ) ( ; ) ( ; )( ) 1 limsup ( ; ) f r r f r m r f N r f T r f T r f N r f T r f             Rõ ràng: 0 ( ) ( ) 1f fa a     Cho f M ( )p khác hàm hằng và a  p   , ký hiệu 0( )af z là số bội của 0-điểm f – a tại z 0 . Nghĩa là, 0( )af z = m khi và chỉ khi: 0 0 ( ) ( ) : a ( ) ( ) : ( ) m m a z z h z f z h z a z z          với h(z 0 ) 0;  Định nghĩa:  ( ) ( ( ); ) /af f pE a z z z   và ký hiệu nghịch ảnh của a bởi f bởi:  1( ) ( ) / ( ) 0af p fE a f a z z     Nếu một cặp hai hàm phân hình f và g không là hàm hằng trên p thỏa: + ( )fE a = ( )gE a thì ta nói f và g chia sẻ giá trị a tính cả số bội. + ( )fE a = ( )gE a thì ta nói f và g chia sẻ giá trị a không tính số bội. Với k  , định nghĩa: , ( ) : ( ) ( ) : ( ) a a f fa f k a f z z k z k z k        và ( ( ) : ( ) ( ) 0 : ( ) a a f fa f k a f z z k z z k        , 1 : 0 ( ) ( ) 0 : ( ) v ( ) 0 a fa f k a a f f z k z z k z            và ( 1 : ( ) ( ) 0 : ( ) a fa f k a f z k z z k          ,( , ) / 1 af p f kE a k z     Ký hiệu : , 1( ; ) ( )ak f k z r n r z f a     và 0 1 1( ; ) ( ; ) r k k dtN r n t f a f a t   ( ( 1( ; ) ( )ak f k z r n r z f a     và 0 ( ( 1 1( ; ) ( ; ) r k k dtN r n t f a f a t   , 1( ; ) ( )ak f k z r n r z f a      và 0 1 1( ; ) ( ; ) r k k dtN r n t f a f a t   ( ( 1( ; ) ( )ak f k z r n r z f a      và 0 ( ( 1 1( ; ) ( ; ) r k k dtN r n t f a f a t   2.1.3. Công thức Jensen và các mệnh đề 2.1.3.1. Công thức Jensen Cho fA ( )p , 00 r   <   ta có: 1( , )N r f = log(r,f) – log( 0 ,f) Cho f M ( )p , 00 r   <   ta có: 1( , )N r f - ( , )N r f = log(r,f) – log( 0 ,f) Công thức này còn được viết như sau: 1( , ) ( , )T r T r f f  - log( 0 ,f) 2.1.3.2. Mệnh đề Cho f i M ( )p (i = 1; 2; 3;…,k ). Khi đó với r > 0 ta có: 1 1 11 , ( , ) , ( , ) k k i i i i k k i i ii N r f N r f N r f N r f                 2.1.3.3. Mệnh đề Cho f iM ( )p (i = 1; 2; 3;…,k ). Khi đó với r > 0 ta có: 11 11 , max ( , ) , ( , ) k i ii ki k k i i ii m r f m r f m r f m r f                2.1.3.4. Mệnh đề Cho f, f iM ( )p (i = 1; 2; 3;…,k ). Khi đó với r > 0 ta có: 1 1 11 , ( , ) , ( , ) k k i i i i k k i i ii T r f T r f T r f T r f                 T(r,f) là hàm tăng đối với r. 2.1.3.5. Bổ đề Cho , jf a M ( )p , (j=0,1,...,k),a 0k  . Ta định nghĩa: ( ) ( , ( ))A f z A z f z = 0 ( ) k j j j a z f   Nếu f khác hàm hằng thì ta có: 0 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) k j j j N r A f kN r f O N r a N r a              2.1.3.6. Bổ đề Nếu f M ( )p khác hàm hằng thì 0 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) k j j k m r A f km r f O m r a m r a           2.1.3.7. Định lý Nếu f M ( )p khác hàm hằng thì 0 ( , ) ( , ) ( , ) k j j T r A f kT r f O T r a        2.2. Hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic 2.2.1. Định lý (định lý cơ bản thứ nhất) Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong  0, (0< )p     . Khi đó với mọi a thuộc p ta có: m(r, 1 f a ) + N(r, 1 f a ) = T(r,f) + O(1) ( r ) Chứng minh Ta có: 1( , )m r f a + 1( , )N r f a = 1( , )T r f a = ( , )T r f a - log ( 0 ,f - a) (1) Mặt khác : T(r,f - a)  T(r,f) + T(r,a) = T(r,f) + m(r,a) + N(r,a) = T(r,f) + log   (r,a) = T(r,f) + log  a (2) Chứng minh tương tự: T(r,f)  T(r,f - a) + log  a (3) Do đó từ (1),(2),(3) ta có: m(r, 1 f a ) + N(r, 1 f a ) = T(r,f) + O(1) ( r ) Trước khi vào nội dung chính của định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna p-adic, ta xét bổ đề sau : 2.2.2. Bổ đề Cho chuỗi lũy thừa f(z) =   0 n n p n a z z       có bán kính hội tụ 0  và phần tử z p . Nếu f(z) hội tụ thì f’(z) tồn tại và: f’(z) = 1 1 n n n na z     (*) Mặt khác bán kính hội tụ của (*) giống của f và thỏa:  (r,f’) 1 r   (r,f) (0 < r <  ). Chứng minh Giả sử g(z) = 1 1 n n n na z     . Theo định lý Ostrowsky, định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn và định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn phi- Archimedean, ta có: , :n   1 1 1p p n n n    1 lim 1n pn n  1 1 1lim sup lim supn nn np pn na na     Do đó, chuỗi (*) có cùng bán kính hội tụ với f. Do f(z) hội tụ nên 0nnna z  Nếu z = 0 thì hiển nhiên g(z) hội tụ. Nếu z  0 thì 1 1 1 0nn n nn n np p p p na z a z a z z     . Vì thế, g(z) hội tụ. Trong trường hợp f(z) hội tụ trong  0;p  , ta chọn R= ; trong trường hợp f(z) hội tụ trong  0;p  , ta chọn R sao cho pz R   ; nếu z  0 thì ta chọn h sao cho p p h z R  ; nếu z = 0 thì ta chọn h sao cho p h R . Do đó:  max ;p p pz h z h R   Đồng thời f(z+h) hội tụ , 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n j j njn j f z h f z a z h h         Do R <  nên 1 1( ) 0 n n j j n n n pj p a z h a R    Điều này chỉ ra rằng chuỗi trên hội tụ đều đối với h. Hiển nhiên ta có thể lấy giới hạn từng số hạng, cho ta: f’(z) = 1 0 1 ( ) ( )lim nnh n f z h f z na z h        Cuối cùng nếu 0< r < thì: 1 1( , ') max maxn nn np pn nr f na r a rr    = 1 ( , )r fr  2.2.3. Định lý (định lý cơ bản thứ hai ) Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong  0, (0< )p     và 1;...; qa a là các số phân biệt trong p . Đặt:  min 1; A=max 1;a a ai j ii j       Khi đó với 0 < r <  ta có: ( 1) ( ; )q T r f  ( ; )N r f + 1 1( ; ) ( ; ) log q Ram f j j N r N r f r S f a     N ( ; )r f + 1 1( ; ) log q f j j N r r S f a   với 0 0 1 log ( ; ) log ( ; ') ( 1) log q f j j AS f a f q            Chứng minh Lấy bất kỳ r’ p với 0 'r    . Do f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong  0,p  nên tồn tại 0 1;f f A '( )r p không có nhân tử chung sao cho f = 1 0 f f . Đặt F 0o f , F 1 0i if a f  (i = 1; 2; …;q) Khi đó:     0 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) max ( ) ; ( ) .max ( ) ; ( )i i i i i f z F z f z F z a F z F z a F z A F z F z      Suy ra: ( )kf z   0.max ( ) ; ( )iA F z F z (k = 0;1) (1) Ký hiệu W = W( 0 1;f f )= '1 0 1 0'f f f f . Khi đó: W i =W( 0; iF F ) = 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0( ) '. ( ). ' ' 'i if a f f f a f f f f f f W      Chọn z    00; ' 0;p pr   thích hợp sao cho W(z), 1f (z), ( )iF z 0 ( i= 0;1;…;q) Khi đó tồn tại  1;2;...;j q sao cho: 1 ( ) min ( )j ii qF z F z  Mặt khác: 0 0 0( ) ( ) ( )i j i ja a f z a f z a f z   1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i j i jf z F z f z F z F z F z      0 ( ) ( ) 1( ) ( ) (i j)i j i i j F z F z f z F z a a     Do đó ta có thể lấy các chỉ số phân biệt 1 2 1; ;...; q   với l j  ( l =1; 2;…; q-1) sao cho:   1 2 10 0 max ( ) ; ( ) ( ) ( ) ... ( ) qj f z F z F z F z F z          (2) Vì thế từ (1) và (2) ta có: ( )kf z  0max ( ) ; ( ) ( )ljA Af z F z F z    với k = 0;1 và l = 1;2;…;q-1. Đặt 20 1( ; ) : p pf f f  và ta định nghĩa 1;2( ) max ( )kkf z f z . Hiển nhiên ta có: ( ) max ( )kk Af z f z   ( ) l F z Do W = W j nên: 1 1 0 0 ( ).... ( ) log log ( )... ( ) log ( ) log ( ) log ( ) ( ) q q j F z F z F z F z F z F z W z W z       = 1 1 0 ( ) log ( )... ( ) log ( ). ( )q j W z F z F z F z F z   = 1 1 log ( )... ( ) log ( ) q j F z F z D z   với 0 00 ' ' . j j j jj W F FD F FF F    Suy ra: 1 1 0 ( ).... ( )log ( )... ( ) log log ( ) ( )q q j F z F z F z F z D z W z    Vì thế: (q-1)log ( )f z 1 1 log ( ) ... log ( ) ( 1) log q AF z F z q       = 1 1 log ( )... ( ) q F z F z  + ( 1) log Aq    0 ( ).... ( ) log ( ) qF z F z W z + log ( )jD z + ( 1) log Aq   (3) Hơn nữa, lập r = z . Theo bổ đề 2.2.2 ta có: 0 0 '( )'( ) 1( ) max ; ( ) ( ) j j j F zF z D z F z rF z        log ( )jD z  logr Mặt khác, theo công thức Jensen ta có: 0log ( )F z  log (r, 0F ) = log (r, 0f ) = N(r; 0 1 f ) + log ( 0 , 0f ) = N(r,f) + log ( 0 , 0f ) log ( )iF z  log (r, iF ) = log (r, 1 0if a f ) = N(r; 1 0 1 if a f ) + log ( 0 , 1 0if a f ) = N(r; 1 if a ) + log ( 0 , if a )+ log ( 0 , 0f ) (i= 1; 2;…;q) log (r, f ) = max{ log(r,f 0 ); log(r,f1 )} = max 0 1 (r, f )0; log (r, f )     + log(r, 0f ) = max{ 0 ; log(r,f)} + log(r, 0f ) = m(r,f) + log(r, 0f ) Suy ra: log (r, f ) = m(r,f) + log(r, 0f ) Vì thế: N(r, 0 1 f ) = log(r, 0f ) – log( 0 , 0f )  N(r,f) = log(r, f ) – m(r,f) – log( 0 , 0f )  N(r,f) + m(r,f) = log(r, f ) – log( 0 , 0f )  T(r,f) = log(r, f ) – log( 0 , 0f ) Vậy : log ( )f z = T(r;f) + log ( 0 , 0f ) log ( )W z  log (r,W) = log (r, 0 1 0 1' 'f f f f ) = N(r; 1W ) + log ( 0 ,W) = N(r; 1 W ) + log ( 0 ,f’)+ 2 log ( 0 , 0f ) Thêm vào đó : W = 0 1 0 1' 'f f f f = 20 'f f n(r; 1W ) = 2n(r;f) – n(r;f’) + n(r; 1 'f )  N(r; 1 W ) = ( ; )RamN r f Từ (3) và các điều trên ta có : (q-1)T(r;f)  N(r; f) + 1 1( ; ) ( ; ) log q Ram f j j N r N r f r S f a    (4) Ngoài ra : n(r; f) + 1 1( ; ) q j j n r f a  - n(r; 1 W ) 1 1( ; ) ( ; ) q j j n r f n r f a    Vì thế: N(r; f) + 1 1( ; ) ( ; ) log q Ram f j j N r N r f r S f a     1 1( ; ) ( ; ) log q f j j N r f N r r S f a    Vì tập các r trong (4) dày đặc trong  0; 'r và do tính liên tục của hàm chứa trong bất đẳng thức nên (4) cũng đúng với mọi r mà 0 'r r   . Do r’ là tùy ý nên định lý được chứng minh. Chú ý: Ký hiệu: n(r, 11 ; ,...,' qa af ) = n(r, 1 'f ) + 1 1 1 1( , ) ( , ) q q j jj j n r n r f a f a     Ta định nghĩa: N(r, 11 ; ,...,' qa af ) = 0 1 1( , ; ,..., ) 'r q n r a a f dt t  Định lý cơ bản thứ hai có thể được diễn tả như sau: (q-1)T(r,f) N (r,f) + 1 1( , ) q j j N r f a  - N(r, 1 1 ; ,..., ' q a a f ) – logr + S f Thật vậy: ( 1) ( ; )q T r f  ( ; )N r f + 1 1( ; ) ( ; ) log q Ram f j j N r N r f r S f a    = ( ; )N r f + 1 1 1( ; ) 2 ( ; ) ( ; ') ( , ) log ' q f j j N r N r f N r f N r r S f a f      = ( ; ') ( ; )N r f N r f + 1 1 1 1( ; ) ( , ; ,..., ) log ' q q f j j N r N r a a r S f a f     1 1 1 1( , ) ( ; ) ( , ; ,..., ) log ' q q f j j N r f N r N r a a r S f a f     Định lý cơ bản thứ hai cũng kéo theo quan hệ giữa các số khuyết như sau:     ( ) ( ) 2f f a a a a          Thật vậy: 1 1 1 1( , ) ( ) ( ) limsup ( , ) ( 1) ( , ) ( , ) limsup ( , ) ( 2) ( , ) limsup ( 2) 2 ( , ) q q q j j f j f j rj j r r N r f a a a q T r f q T r f N r fq T r f q T r fq q q T r f                       Chương 3: TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC Những năm gần đây có nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lý thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu các hàm chỉnh hình, phân hình p-adic. Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số các ứng dụng đó. 3.1. Các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic 3.1.1. Định lý Cho f và g là hai hàm phân hình khác hàm hằng trên p và 1 2 3 4; ; ;a a a a là bốn điểm khác nhau trong  p   thỏa: ( )f jE a = ( )g jE a ; ( j=1; 2; 3; 4) Khi đó: fg. Chứng minh Giả sử f g. Theo định lý cơ bản thứ hai ta có: 3T(r; f) 4 1 1( ; ) ( ; ) log f j j N r f N r r S f a      3T(r; f) 4 1 1( ; ) ( ; ) log (1) j j T r f N r r O f a      2T(r; f) + logr 4 4 1 1 1 1( ; ) (1) ( ; ) (1) j jj j N r O N r O f a f a        1 1( ; ) (1) ( ; ) (1) ( ; ) (1) ( ; ) ( ; ) (1) (1) N r O T r O f g f g T r f g O T r f T r g O            Chứng minh tương tự: 2T(r; g) + logr ( ; ) ( ; ) (1)T r f T r g O   (2) Từ (1) và (2) ta có: 2logr  O(1) ( vô lý ) Vậy: fg. 3.1.2. Định lý Cho f và g là hai hàm nguyên khác hàm hằng trên p và hai giá trị hữu hạn phân biệt 1 2; pa a  thỏa: ( )f jE a = ( )g jE a (j = 1; 2). Khi đó: fg. Chứng minh  Ta chứng minh bổ đề sau: Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trong  0; (0< )p     . Khi đó với mọi số nguyên k > 0 ta có ( ) 1( ; ) k k fr f r   Thật vậy: Nếu f A ( )r p thì theo bổ đề 2.2.2 ta có: ' ( ; ') 1( ; ) ( ; ) f r fr f r f r    và hiển nhiên: ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 1 1( ; ) ( ; ) ( ; ) k i ik k i i k i i f f fr r r f f f r          với (0)f f Bây giờ ta giả sử gf h  M ( )p . Ta có: 2 ' ' ' ' '( ; ) ( ; . ) ( ; ) ' ' 1 max ( ; ); ( ; ) f hg gh h g hr r r f h g g h g hr r g h r              Vậy ( ) 1( ; ) k k fr f r   .  Bây giờ ta bắt đầu chứng minh định lý: Không mất tính tổng quát, ta có t._.