Tính compact, liên thông của tập nghiệm một số phương trình vi, tích phân

động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình giảng dạy cũng như trong quá trình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô của khoa Toán – Tin học Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy để tôi có được những kiến thức quý báu làm hành trang cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này. Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi về các thủ tục hành chính trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là các thầy, cô trong tổ toán, trường THPT Trưng Vương Tp. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn này. Lời cuối cùng, tôi cũng không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tôi, những người đã luôn ở bên tôi động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này. Phạm Kim Khánh LỜI MỞ ĐẦU Định lý điểm bất động dạng Krassnosel’skii đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát sự tồn tại nghiệm các phương trình vi, tích phân. Vấn đề này được nhiều nhà Toán học quan tâm khảo cứu chẳng hạn [1], [3], [5]. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng định lý điểm bất động dạng Krassnosel’skii trong không gian lồi địa phương để chứng minh sự tồn tại nghiệm, cũng như tính compact liên thông của tập nghiệm các phương trình sau : Phương trình tích phân:           0 0 , , , , 0, t t x t f s x s ds g t s x s ds t t     Phương trình vi phân hàm cấp hai có đđối số chậm :   , , 0, 0 1tu f t u u t t     Luận văn được trình bày trong 3 chương. Chương 1 trình bày định lý điểm bất động dạng Krassnosel’skii trong không gian lồi địa phương, và kiến thức chuẩn bị cho các chương sau. Chương 2 dành cho việc trình bày tính không rỗng, compact, liên thông của tập nghiệm phương trình tích phân, và chương 3 là phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm. Do điều kiện bị hạn chế nên việc khảo sát các tính chất tương tự đối với tập nghiệm yếu của một số phương trình sóng, chưa được trình bày trong khoá luận này. CHƯƠNG I: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG DẠNG KRASNOSEL’SKII TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG I.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian véc tơ tôpô lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách được trên X, D là một tập con của X và U: D X . Với bất kỳ a X , ta định nghĩa : :aU D X bởi    aU x U x a  . Toán tử :U D X được gọi là thoả điều kiện ( A) trên tập con  của X nếu: ( A.1) Với bất kỳ  , aa U D D  . (A.2) Với bất kỳ a  và p P , tồn tại ak Z với tính chất : 0, r N    và 0  sao cho  , , ,pax y D x y          ,p r ra a aU x U y   , ở đây          , max , 0,1,... . 1, 2,3,...p i ja a a ax y p U x U y i j k N     và  0Z N   I.2 Mệnh đề ( Nguyên lý hội tụ của Solomon Leader) Giả sử  2: 0;q Z   là một hàm số sao cho :        , , , , (1.1) , ,     q m n q m k q k k q k n m n k Z Khi đó  , 0q m n  khi ,m n  nếu và chỉ nếu: 0, r N    và 0  sao cho với  , , ,m n Z q m n     ta có  ,  q m r n r  (1.2) I.3 Định lý Giả sử X là không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P, D là một tập con đầy đủ theo dãy của X, U là toán tử liên tục đều trên D(i.e với p P và 0  , tồn tại 0  sao cho       p x y p U x U y      . Giả sử U thoả điều kiện (A) trên tập con  của X. Khi đó toán tử   1I U  được định nghĩa tốt và liên tục trên  . Chứng minh : Ta chứng minh qua hai bước: Bước 1: Với bất kỳ a , toán tử aU có duy nhất 1 điểm bất động trên D gọi là  a , và dãy lặp   na nU x hội tụ về   ,a x D   . Hơn nữa ,ánh xạ  a a là đơn ánh. Chứng minh: Từ (A.2) ta suy ra với bất kỳ a và ,p P k Z   với tính chất: 0, r N    và 0  sao cho       , , , ,p p r ra a a ax y D x y U x U y          Giả sử  2: 0,q Z   được định nghĩa bởi       , , .p m na a aq m n U x U y Khi đó q thoả (1.1), (1.2) nên theo mệnh đề trên   , lim , 0 m n q m n  Suy ra      , lim 0m na am n p U x U y   Vì vậy, ,x y D  các dãy      ,n na an nU x U y là dãy Cauchy. Hơn nữa D đầy đủ theo dãy và U là liên tục, nên ta suy ra rằng dãy   na nU x hội tụ về điểm bất động duy nhất của aU gọi là  a , nghĩa là :     U a a a   hay     I U a a  Ta nhận thấy, nếu    ,a b  là hai điểm bất động của , a bU U và    a b  thì      U a a U b b a b      chứng tỏ  là đơn ánh vì vậy  là song ánh từ  vào   D   mà theo trên      ,I U a a a    do đó   1I U   hay   1I U   Bước 2:   1I U  là liên tục trên  Chứng minh: Với bất kỳ , ,a p P  và 0,  theo điều kiện (A), r N  và 0 ( )    sao cho :     , ,p r ra a aU x U y x y D    với  , .pa x y    Vì U liên tục đều nên  0,1...iaU i  cũng liên tục đều, suy ra ,o oo     sao cho:       0 i ia ap x y p U x U y      với mọi 0,1..... (1.3) ai k Tương tự , sử dụng tính liên tục đều của U, chúng ta có thể xây dựng một họ  .i i=0,1,2…r-1, sao cho với mọi i=0,1,2…r-1: a. 1 10 2i i     b.      112 ip U x U y    với   ip x y   Nếu b sao cho   1rp a b    thì, vì     lim rnbn U a b   ta có:           lim rnbnp a b p a U a      Bằng phương pháp qui nạp ta suy ra :      , rnba U a      với mọi (1.4)n N Để có điều này, đầu tiên ta chú ý rằng :       0rbp a U a    Thật vậy ta có   1rp a b    suy ra        1, a b rp U x U x p a b x D       Suy ra        212a b rp U U x U U x    Từ đó :             2 2a b a bp U x U x p U U x U U x a b              a bp U U x U U x p a b      < 2 2 2 1 1 2 2r r r       Tương tự ta nhận được :     1 1 1r ra bp U x U x    Suy ra:      1 1 012r ra bp U U x U U x      nên      0 0 01 12 2r ra bP U x U x       (1.5) Đặc biệt lấy  x a , (1.5) trở thành:       0rbp a U a    (1.6) Bây giờ ta chứng minh (1.4) đúng khi n=1, nghĩa là :      , rba U a      . Từ (1.3) và (1.6) ta có :        , 0,1, 2...   i ra bp a U U a i k        , .rba U a         Giả sử (1.4) đúng với n, nghĩa là:      , rnba U a      , thì ta có :                         1 1, , ,r n r nr rn r rnb a b a b ba U a a U U a U U a U a           Cũng do      , rnba U a      nên theo điều kiện (A) ta suy ra:               , , (*)r r rn r rna a b a bU a U U a a U U a        . Thay    ,rnbx U a (1.5) trở thành:          1 0r nr rna b bp U U a U a    Sử dụng (1.3), chúng ta thấy rằng:           1 , 0,1, 2...    r nr i rn ia b a bp U U a U U a i k   Hay :          1, (**)r nr rna b bU U a U a     Từ (*) và (**)        1, r nba U a       Chứng minh qui nạp xong . Từ (1.4) ta suy ra            , 2rn rnb bp a U a a U a            Cho n  , ta nhận được:           lim 2rnbnp a b p a U a        Chứng tỏ rằng   1I U   liên tục trên  . I.4 Định lý Giả sử X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả sử U và C là toán tử trên X sao cho: i. U thoả điều kiện A trên X ii. Với bất kỳ , 0p P k   (phụ thuộc theo p) sao cho:        ,p U x U y k x y x y X     . iii. Tồn tại 0x X với tính chất : ,p P r N    và  0,1 (r và  phu thuộc theo p) sao cho:       0 0r rx xp U x U y p x y   iv. C hoàn toàn liên tục,   p C A   với   ,p A A X   v.       lim 0 ,p x p C x x X p P p x      Khi đó U+C có điểm bất động. Chứng minh: Vì U thoả điều kiện ( A) trên X, nên (I-U) là một tự đồng cấu trên X do đó chỉ còn phải chỉ ra rằng tồn tại một tập con lồi đóng bị chặn của D sao cho với bất kỳ x thuộcD, điểm bất động duy nhất của  C xU thuộc về D. Giả sử 0z là một điểm bất động của 0xU (điều này có được do định lý I.3, bước 1). Với bất kỳ x X và p P ta có:                 0 01 1 0r r r rx xC x C xU y U y U U y U U y C x x y X        Từ (ii) và (iii) ta suy ra rằng                          0 0 01 1 10 0 0 0 0 0r n r n r nrn r r r rx x xC x C x C x C x C xp U z z p U U z U U z p U U z U z                             01 1 11 10 0 0 0 0r n r n r nr rxC x C x C x C xkp U U z U U z p C x x p U z z         Tương tự ta nhận được                110 0 0 0 01 ... r nrn rC x C xp U z z k k p C x x p U z z         Bằng phương pháp qui nạp, n N  ta có :        1 10 0 0 0 0 r n rn i i C c i i p U z z k p C x x                 1 0 0(1 )        r i i k p C x x (1.7)     0 p C x p x  Ở đây   1 0 0 1 r i i k           Từ điều kiện (V ), ta có:       0 0lim 0p x z p C x p x z   Vì vậy tồn tại 1 0pR  sao cho     012p C x p x z  nếu  0 1pp x z R  Từ giả thiết (iv), tồn tại 2 0pR  sao cho với mọi x:  0 1pp x z R  Suy ra    2 pp C x R Đặt  3 0 22p pR p x R   Và   3:p o pD x X p x z R      p P pD D . Khi đó 0z D và D là lồi đóng và bị chặn. Với mỗi x D và p P , chúng ta xét hai trường hợp:  Nếu  0 1 ,pp x z R  thì theo (1.7)       0 0 0 2 3rn p pC xp U z z p x R R     Điều này cho ta    0rn pC xU z D  Nếu  1 0 3p pR p x z R   thì theo (1.7)         0 0 0 012rnC xp U z z p x p x z     0 3 312 p pp x R R   Điều này cho ta    0rn pC xU z D Suy ra rằng:    0rnC xU z D x D   Vì D đóng và dãy     0rnC x nU z hội tụ về điểm bất động duy nhất   C x của   ,C xU nên   C x D x D    , như thế ta có    1I U C D D  . Do tính hoàn toàn liên tục của C, tập        1 1I U C D I U C D    là compact tương đối. Khi đó theo định lý điểm bất động của Schauder – Tychonoff,   1I U C có một điểm bất động trong D, đó cũng chính là một điểm bất động của U+C trong D. I.5 Định lý (Krasnoselskii – Perov) Cho E là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn và :T D E là ánh xạ compact. Giả sử T thoả điều kiện sau: ( i). Với 0  , tồn tại ánh xạ compact T sao cho    T x T x   với x D  và phương trình  x T x b  có nhiều nhất một nghiệm nếu b  (ii). T không có điểm bất động trên D và deg  , ,0 0I T D  . Khi đó tập các điểm bất động của T là tập compact liên thông. Chứng minh: Đặt   : ,N x T x x x D   Do deg  , ,0 0I T D  nên tồn tại 0x D sao cho     0 0 00I T x T x x    . Vậy N   . Do T là ánh xạ compact nên N là tập compact . Giả sử N không liên thông , khi đó tồn tại các tập mở 1 2, O O chứa trong D sao cho: 1 2 1 2, ,N O N O N O O      và 1 2O O  Ta có : deg      1 2, ,0 deg , ,0 deg , ,0I T D I T O I T O     Ta sẽ chứng minh    1 2deg , ,0 deg , ,0 0I T O I T O    và như vậy mâu thuẫn với giả thiết  deg , ,0 0I T D  . Do 1O N  nên tồn tại 1 1x O N  sao cho 1 1Tx x Đặt      1 1x x T x x T x         trong đó 0 2   với  2min ,x Tx x O    và T là ánh xạ compact trong điều kiện (i) Xét đồng luân :        , 1 ,H t x t x t I T x x D     ;  0;1t Ta có          1 1,H t x x T x t T x T x t x T x                      1 1, 2 0H t x x T x t T x T x t x T x             Với mọi  2; 0;1x O t  Ap dụng tính bất biến đồng luân ta được :    2 2deg , ,0 deg , ,0I T O O  Do    x x T x b     với      1 1 1 1b x T x T x T x b        Do điều kiện (i) nên phương trình   0x  có nhiều nhất một nghiệm Do  1 0x  nên  x không triệt tiêu trên 2O . Suy ra :  2deg , ,0 0O  hay  2deg , ,0 0I T O  Tương tự do 2N O  nên cũng có  1deg , ,0 0I T O  Vậy  deg , ,0 0I T D  , điều này vô lý. Do đó N là tập liên thông. I.6 Định lý Cho X và Y là hai không gian Banach, D là tập mở trong X và :f D Y liên tục. Khi đó với 0  , tồn tại :f D Y  lipsit địa phương sao cho :    f x f x   với mọi x và    f D co f D  Chứng minh Với x D đặt     2x y D f y f x         thì x D xD   . Gọi  ,V   là một phủ mở của D, được gọi là phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn của phủ  ,x x D  sao cho :  Với mọi x D tồn tại lân cận V(x) thoả mãn :  V x V   chỉ với một số hữu hạn   Với mỗi  tồn tại x D để xV  . Với   , xác định : D   định bởi :     0 , , ,x x V x x V x V          Trong đó    , inf ,x A x y y A    . Đặt       1 ,x x x x D              . Ta có:           0 , , , , , , , , , x y x y V x y x V x y x V y V x V y V x y x y V                               Vậy  lipsit trên D. Do  ,V   là phủ mở hữu hạn địa phương nên chỉ có hữu hạn  sao cho x V và như vậy chỉ có một số hữu hạn  sao cho   0x  . Vậy  x hoàn toàn xác định. Hơn nữa   0x  nếu x V và  lipsit địa phương. Với mỗi  , chọn a V D   . Định nghĩa :      f x x f a        Vì    1 ,x x o        nên    f x co f D  . Khi đó : f là lipsit địa phương trên D. Với mỗi x D , tồn tại  để x V và tồn tại x D để xV   . Khi đó : , xx a V     nên    f x f a   Vậy:          f x f x x f a f x           với mọi x D Định lý được chứng minh. I.7 Định lý Cho X là không gian metric, M là tập con khác rỗng của X, Y là không gian định chuẩn và :f M Y là toán tử liên tục. Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục :g X Y thoả điều kiện : (i),    g x co f M ,  co f M là bao lồi của  f M (ii),    g x f x , với mọi x M . I.8 Định lý Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa chuẩn tách được P, D là tập con lồi, đóng, bị chặn trên X. Cho :C D X là ánh xạ hoàn toàn liên tục, :U D X liên tục đều và thoả điều kiện (A2) trên  C D . Giả sử:     , ,U x C y D x y D    (1.8) Thì U+C có điểm bất động trong D. Chứng minh: Vì D đóng, từ điều kiện (1.8) suy ra    U D C D D  vì vậy U thoả điều kiện (A1) trên  C D , do đó U thoả điêù kiện (A) trên  C D . Theo định lý I.3,   1I U  liên tục trên  C D . Do C là hoàn toàn liên tục và D bị chặn nên  C D là tập compact, suy ra    1I U C D là compact trong D. Vì vậy   1I U C là toán tử hoàn toàn liên tục trên D. Mặt khác do D là tập lồi đóng nên theo định lý điểm bất động Schauder –Tychonoff thì   1I U C có một điểm bất động trong D, nghĩa là tồn tại 0x D sao cho:    1 0 0I U C x x  hay    0 0 0x U x C x  Vậy U+C có một điểm bất động trong D. I.9 Bổ đề: Một tập S trong   0 0; ,X C E  là tập compact tương đối nếu và chỉ nếu với mỗi n , S là liên tục đồng bậc trên  0;n và tập     , 0;x t x S t n  là compact tương đối trong E I.10 Định lý (Leray – Schauder nonlinear alternative) Cho E là không gian Banach,  là một tập con mở và bị chặn của E với 0 . Giả sử :T E là tóan tử hòan tòan liên tục. Khi đđó, hoặc tồn tại x sao cho Tx x , với một số  nào đó mà 1  , hoặc T có một điểm bất đđộng x . I.11 Bổ đề Giả sử  0,1 .y C Khi đó bài tóan giá trị đầu       0, 0 1, 0 0, 0 0, u y t t u u        có một nghiệm duy nhất cho bởi         0 , 0,1 . t u t t s y s ds t    CHƯƠNG II: TÍNH COMPACT LIÊN THÔNG CHO TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN II.1 Định lý Cho E là không gian Banach với chuẩn . và X là không gian các hàm liên tục trên  0; vào tôpô E,  n np là họ nửa chuẩn định bởi: với mọi x X       sup : 0;np x x s s n  Tôpô trên X tương thích với metric     1 2 , 1 n n n n p x y d x y p x y      và X là không gian Fréchet. Xét phương trình tích phân (II )           0 0 , , , , 0 , t t x t f s x s ds g t s x s ds t t     Ở đây  là hàm liên tục từ  0; vào E , ,f g thoả các điều kiện sau:    .1 : 0;II f E E   là ánh xạ liên tục sao cho tồn tại hằng số 0k  thoả :    , , , ,f s x f s y k x y x y E     ( .2)II  2: 0;g E E   hoàn toàn liên tục sao cho  ,.,. :g t I A liên tục đều theo t với tập bị chặn  0;I   , tập bị chặn A E .  .3II  , ,lim 0 x g t s x x  đều theo  ,t s trên tập con bị chặn của  20; . Khi đó phương trình (II ) có một nghiệm trên  0; Chứng minh: Cho U và C là các toán tử trên X được định nghĩa bởi:               0 0 , , , , 0 t t U x t f s x s ds C x t g t s x s ds t t       (2.1) Rõ ràng  U x và  C x liên tục trên  0; . Để chứng minh định lý này chúng ta cần các kết quả hỗ trợ của các bổ đề sau Bổ đề 1: Cho f thoả (II.1) và U được định nghĩa bởi (2.1 ). Thế thì với mỗi 0a  và với bất kỳ z X         ! n n n a z z a ka p U x U y p x y n n      Chứng minh: Ta sẽ chứng minh            , 0; ! n n n z z a kt U x t U y t p x y t a n      (2.2 ) Thật vậy, với n =1, vì              0 , t zU x t U x t z t f s x s ds z t    nên               0 , , , 0, t z zU x t U y t f s x s f s y s ds t a        0 t k x s y s ds     .akt p x y  Giả sử (2.2 ) đúng với n. Thế thì ta có:            1 1 0 , , t n n n n z z z zU x t U y t f s U x s f s U y s ds         0 ! nt a ks k p x y ds n          1 , 0, 1 ! n a kt p x y t a n      Như vậy (2.2) được chứng minh Từ (2.2) suy ra         ! n n n a z z a ka p U x U y p x y n n     Bổ đề 2: Cho g thoả (II.2) và C được định nghĩa bởi            0 , , , 0, , 0 p t C x t g t s x s ds t t a a    Ở đây  : 0,p a   là hàm liên tục sao cho    0 , 0,p t a t a    Khi đó C là ánh xạ hoàn toàn liên tục trên không gian Banach   0, ,aX C a E với chuẩn     sup : 0,ax x t t a  Chứng minh: Rõ ràng : a aC X X . Trước hết ta chứng minh C liên tục. Cho  n nx là một dãy trong aX sao cho 0lim nn x x  . Đặt     : 0, ,nB x s s a n    . Ta thấy B là tập compact trong E . Thật vậy, xét   in i ix t B  . Giả sử rằng 0lim ii t t  và 0lim ini x x  ta có            0 0 0 0 0 0i in i n i i ix t x t x t x t x t x t        0 0 0 0in ix x x t x t    Điều này chỉ ra rằng    0 0lim in ii x t x t  , do đó B là tập compact Với 0  tuỳ ý cho trước, vì g liên tục trên tập con compact  20,a B nên 0  sao cho      , , , , , , , 0,x y g t s x g t s y s t a a       . Vì 0lim nn x x  trong aX , nên 0n sao cho với      0 0, , 0,nn n x s x s s a     Suy ra               0 0 0 , , , , , 0, p t n nC x t C x t g t s x s g t s x s ds t a     Do đó    0 0,nC x C x n n    . Vậy C liên tục  Chứng minh C hoàn toàn liên tục Cho  là tập con bị chặn của aX . Đặt     : , 0,A x s x s a   thì A bị chặn trong E . Vì g hoàn toàn liên tục, nên tập   20,g a A là tập compact tương đối trong E . Với bất kỳ  1 2, 0,t t a và x , ta có:              1 21 2 1 2 0 0 , , , , p t p t C x t C x t g t s x s ds g t s x s ds                 2 2 1 1 2 1 0 , , , , , , p t p t p t g t s x s g t s x s ds g t s x s ds    Vì  ,.,.,g t liên tục đều theo t trên  20,a A và vì   20,g a A bị chặn (vì nó là tập compact tương đối ), nên bất đẳng thức trên cho thấy  C  liên tục đồng bậc trên  0,a Đặt     20, 0K co g a A     ( coA là kí hiệu bao lồi đóng của tập A ), thì K là tập compact trong E . Vì     , , , , 0,g t s x s K s t a   và x , ta suy ra              0 , , : p t C t g t s x s ds t x p t K t            ,  0,t a  Theo kết quả của Ambrosetti,  C  là tập compact tương đối trong aX . Vậy C hoàn toàn liên tục trên aX Bây giờ chúng ta trở lại chứng minh định lý II.1 Theo bổ đề 1, với z X  và m ta có:         ! n n n m z z m km p U x U y p x y n    , n  Vì  lim 0 ! n n km n  , nên tồn tại mn (phụ thuộc vào m ) sao cho   1! nkm n  với mn n  . Vì vậy U thoả điều kiện (i)-(iii) của định lý I.4. Xét  n nx X sao cho 0lim nn x x  trong X . (nhắc lại 0lim nn x x  trong X nếu và chỉ nếu  0lim 0,m nn p x x m     ). Vì  n nx hội tụ đều về 0x trên  0,m ,với m , nên theo bổ đề 2 ta có     0lim 0,m nn p C x C x m     Điều này có nghĩa là C liên tục trên X . Cho  là tập con bị chặn trong X , thì     :m mp p x x   bị chặn với m . Đặt        0, ,mmC x x C    Ơ đây  0,mx là thu hẹp của x trên  0,m . Theo bổ đề 2,   mC  là tập compact tương đối trong mX , với m . Cho  n nx là một dãy trong  C  . Chúng ta sẽ chứng minh nó có một dãy con hội tụ. Với 1m  , tồn tại một dãy con  1n nx của  n nx sao cho  1 10,1lim nn x x  trên 1X . Giả sử bằng quy nạp, tồn tại  mn nx là dãy con của  n nx sao cho  0,lim m mn mn x x  trong mX và  0, , m m mx x m m      . Vì    1mC  là tập compact tương đối trong 1mX  , nên  mn nx có dãy con  1mn nx  sao cho:   1 1 0, 1lim m m n mn x x   , trên 1mX  Như vậy chúng ta đã chỉ ra tồn tại một họ các dãy con  mn nx với m  , sao cho với mỗi m  0,lim m m n mn x x  , trên mX và  0, m m mx x    , m m  . Đặt ,nn ny x n   . Thì  n ny là một dãy con của  n nx và lim nn y x  trong X thoả  0, , . m mx x m   Suy ra  C  là tập compact tương đối trong X ,do đó C hoàn toàn liên tục trên X  Chứng minh      lim 0,m m p x m p Cx m p x    Cho trước 0  tuỳ ý, từ (II.3) suy ra tồn tại 0  sao cho  , , 2 g t s x x m  với x mà x  và  , 0,s t m . Vì g hoàn toàn liên tục nên tồn tại M sao cho    , , , , 0,g t s x M s t m   và x thoả x  . Chọn 1 sao cho 1 2 M m    . Với mx X bất kỳ, 1mx  chúng ta có         0 1 , , m m m m C x t t g t s x s ds x x x           1 2 1 , , , , I Im m t g t s x s ds g t s x s ds x x         với     1 0, :I s m x s    và  2 10, \I m I suy ra             2 , , m Im m m Cx t x s tMm g t s x s x s ds x x x x      2 m m tMm m x m x       , 0, m t t m x     Điều này có nghĩa là       lim 0m m p x m p C x p x  Như vậy ta đã chứng minh được U và C thỏa các điều kiện của định lý I.4, do đó theo định lý I.4, tồn tại 0x X sao cho    0 0 0x U x C x  Vậy 0x là nghiệm của (II ) trên  0, II.2 Định lý Cho E là không gian Banach thựcvới . , A là tập mở lồi bị chặn trên E và X là không gian các hàm liên tục trên  0; vào tôpô E,  n np là họ nửa chuẩn định bởi: với mọi x X       sup : 0;np x x s s n  Tôpô trên X tương thích với metric     1 2 , 1 n n n n p x y d x y p x y      Xét phương trình tích phân :  II         0 0 , , , , 0 t t x t f s x s ds g t s x s ds t    Ở đây ,f g thoả các điều kiện sau:    1 : 0,II f E E   liên tục với tính chất : với , 0nn k   sao cho:      , , , , , 0,nf t x f t y k x y x y E t n       .    22 : 0,II g E E   hoàn toàn liên tục sao cho  ,.,. :g t I A E  liên tục đều theo t trên khoảng bị chặn bất kỳ, với tập bị chặn bất kỳ  0,I   và tập bị chặn A E    3 , ,lim 0x g t s xII x  đều theo    2, 0,t s   . Thì tập nghiệm của phương trình  II trên  0, là khác rỗng, compact và liên thông. Chứng minh:  Bước 1: Ta chứng minh rằng với mỗi n , tập nghiệm của phương trình  II trên  0, n là khác rỗng, compact và liên thông. Với mỗi n , gọi   0, ,nX C n E là không gian Banach các hàm liên tục từ  0, n vào E với chuẩn   sup : 0nx x t t n   . Đặt , : n nU C X X định bởi:        0 , , 0, t Ux t f s x s ds t n  (2.3)       , , , 0,t o Cx t g t s x s ds t n  (2.4) Khi đó điểm bất động *x của U C là nghiệm của  II Với nz X , ta đặt :z n nU X X định bởi    zU x U x z  Bằng qui nạp ta chứng minh       , , , ! m m nm z z nnn k n U x U y x y m x y X m        . (2.5) Thật vậy, với m=1            0 , t zU x t Ux t z t f s x s ds z t    Suy ra           0 , , t z zU x t U y t f s x s f s y s ds           0 , 0, t n n k x s y s ds k t x y t n        Giả sử bất đẳng thức (2.5) đúng đến m, ta có:          1 1m m m mz z z z z zU x t U y t U U x t U U y t          0 , , t m m z zf s U x s f s U y s ds      0 t m m n z zk U x s U y s ds  0! m t mn n kk s x y ds m   = 1 1 0! 1 tm m nk s x y m m            1 0, 1 ! m nk t x y t n m      Điều này chứng tỏ (2.5) đúng với mọi m Từ (2.5) ta suy ra        , 0, ! m nm m z z k t U x t U y t x y t n m      (2.6) Do  lim 0 ! m n m k n m  nên tồn tại p sao cho   1 ! p nk n p  Với , mn zz X U  là ánh xạ co khi m đủ lớn. Vậy zU có điểm bất động, ghi là  z . Khi đó ta có:        zz U z U z z     hay    I U z z  với mọi nz X Mặt khác từ (2.6) ta suy ra:     ,! m m z kn k U m m    Vậy   1lim 0,m mz z nmk U kU z X        Ap dụng định lý I.3 ta có   1I U  được định nghĩa tốt và liên tục đều trên nX (*)  Ta chứng minh với      0 , , t Cx t g t s x s ds  thì C là hoàn toàn liên tục trên nX , thoả   lim 0 n n x n C x x   Cx liên tục theo t Thật vậy, cố định nx X . Do g liên tục đều trên  0,n A nên với 0  cho trước, tồn tại 0  sao cho t t   thì        , , , , , 0,g t s x s g t s x s s n n     Suy ra           0 , , , , t Cx t Cx t g t s x s g t s x x ds      Vậy  C x liên tục theo t  Chứng minh C liên tục Lấy  m mx là dãy bất kỳ trong nX sao cho lim mm x x  . Đặt     : 0, ,mA x s s n m    . Khi đó A là tập compact trong E. Với 0  cho trước, do g liên tục đều trên tập compact  20, n A nên tồn tại 0  sao cho với , ,x y A x y    thì      , , , , , , 0,g t s x g t s y s t n n     Do lim mm x x  trong nX nên tồn tại 0m sao cho: 0m m ,      , 0,mx s x s s n    Dẫn đến           0 , , , , t m mCx t Cx t g t s x s g t s x s ds     ,  0;t n  Suy ra 0,mCx Cx m m    . Vậy C liên tục.  Cho  là tập bị chặn trong nX . Ta chứng minh  C  là tập compact tương đối Gọi 0M  sao cho x M với mọi x . Đặt     : , 0,B x s x s n   . Khi đó B bị chặn trong E . Do g là ánh xạ compact nên   20,g n B compact tương đối trong E nên tồn tại 0R  sao cho   , ,g t s x s R với  , 0,s t n Suy ra      0 , , t Cx t g t s x s ds nR  với mọi x và  0,t n . Vậy  C  bị chặn đều . Do g liên tục đều đối với  0,t n nên với mỗi 0  , 0  sao cho : t t   thì      , , , , 0; ,g t s u g t s u s n u E n      . Suy ra với t t   và x thì           0 , , , , t Cx t Cx t g t s x s g t s x s ds      Vậy  C  đồng liên tục. Theo định lý Ascoli – Azela  C  compact tương đối trong nX . Vậy C là hoàn toàn liên tục trên nX Với 0, 0 1 k     do 2( )II , tồn tại 0N  sao cho:    , , , , 0; 1 g t s x N x s t n n     và x E Dẫn đến        0 , , , 0; t Cx t g t s x s ds Nn x t n     Suy ra Cx Nn x  Do  bất kỳ nên lim 0 n n x n Cx x  . Đặt     : , 0;nD x X x s A s n     với A là tập mở, lồi, bị chặn của E . Khi đó D là tập mở lồi bị chặn của nX với D và D là tập lồi đóng bị chặn của nX và     : , ;nD x X x s A s o n     Do   1I U  liên tục đều trên nX ,C compact nên   1I U C là ánh xạ compact Mà D là tập bị chặn nên    1I U C D là tập compact tương đối và    1I U C D D  Ap dụng định lý Schauder   1I U C có điểm bất động trong D (nhưng D ). Đặt:   1S I U C  Do đó    1I S I U I U C     tập các điểm bất động của S trong D cũng là tập các điểm bất động của U C và nó là nghiệm của phương t._.