Tính chất Pos của một số nhóm không Aben

ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH PHOØNG KHCN-SÑH ------------oOo------------ LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC Ngöôøi höôùng daãn: PGS. TS BUØI XUAÂN HAÛI Ngöôøi thöïc hieän: NGUYEÃN TROÏNG TUAÁN Khoùa 18-Ñaïi soá vaø Lyù thuyeát soá THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Thaùng 8 -2008 LÔØI CAÛM ÔN Toâi xin göûi lôøi caûm ôn ñeân caùc thaày coâ tröôøng Ñaïi hoïc sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ tröïc tieáp giaûng daïy, trang bò cho toâi nhieàu kieán thöùc laøm cô sôû ñeå vieát luaän vaên naøy. Xin chaân thaønh caûm ôn Phoøng Khoa hoïc - Coâng ngheä vaø Sau ñaïi hoïc tröôøng Ñaïi hoïc sö phaïm thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõtaïo nhieàu ñieàu kieän cho chuùng toâi hoïc taäp. Ñaëc bieät, xin toû loøng tri aân saâu saéc ñeán PGS.TS.Buøi Xuaân Haûi, ngöôøi tröïc tieáp höôùng daãn vaø ñoäng vieân toâi trong suoát quaù trình vieát luaân vaên. Xin göûi lôøi caûm ôn chaân thaønh ñeán quí thaày coâ tröôøng Phoå thoâng naêng khieáu, tröôøng Ñaïi hoïc khoa hoïc töï nhieân thuoäc Ñaïi hoïc quoác gia thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taïo nhieàu ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi hoïc taäp . Xin göûi lôøi caûm ôn ñeán baïn beø thaân höõu, ñaëc bieät baïn Ñinh Kao Phaïn ôû Gia lai ñaõ quan taâm , ñoäng vieân giuùp ñôõ toâi trong suoát khoùa hoïc, Cuoái cuøng, xin caûm ôn gia ñình, nguoàn ñoäng vieân tinh thaàn quí baùu maø neáu thieáu noù, toâi seõ khoâng theå hoøan thaønh ñöôïc luaän vaên naøy. Nguyeãn Troïng Tuaán Hoïc vieân cao hoïc khoùa 18 2 MUÏC LUÏC 1 GIÔÙI THIEÄU VEÀ POS - NHOÙM 2 1.1 CAÁP CUÛA PHAÀN TÖÛ TRONG MOÄT NHOÙM HÖÕU HAÏN . 2 1.2 ÑÒNH NGHÓA POS - NHOÙM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 MOÄT SOÁ ÑIEÀU KIEÄN CAÀN CUÛA POS - NHOÙM . . . . . . . 5 2 MOÄT LÔÙP CAÙC POS- NHOÙM KHOÂNG ABEN 10 2.1 KIEÁN THÖÙC BOÅ SUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 XAÂY DÖÏNG POS - NHOÙM KHOÂNG ABEN DÖÏA VAØO S3 . 13 2.3 MOÄT VAØI KEÁT QUAÛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 TÍNH CHAÁT POS CUÛA MOÄT SOÁ NHOÙM KHOÂNG ABEN 21 3.1 NHOÙM NHÒ DIEÄN Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 NHOÙM TUYEÁN TÍNH ÑAËC BIEÄT SL(2,q) . . . . . . . . . . . . 24 3.3 NHOÙM TUYEÁN TÍNH XAÏ AÛNH PSL(2,q) . . . . . . . . . . . 42 3.4 NHOÙM CAÙC PHEÙP THEÁ CHAÜN An . . . . . . . . . . . . . . . 43 MÔÛ ÑAÀU Nhoùm höõu haïn luoân laø vaán ñeà ñöôïc quan taâm trong toaùn hoc. Moät lôùp caùc nhoùm höõu haïn coù söï lieân quan giöõa caáp cuûa nhoùm vaø soá phaàn töû coù cuøng moät caáp cuûa nhoùm ñoù laø nhoùm coù caùc taäp con hoøan chænh ( Perfect Order Subsets Group ) hay coøn ñöôïc goïi laø POS - nhoùm. Ñoù laø caùc nhoùm höõu haïn maø soá phaàn töû coù cuøng moät caáp laø öôùc cuûa caáp cuûa nhoùm ñoù. Vieäc nghieân cöùu caùc POS- nhoùm ñöôïc baét ñaàu vaøo naêm 2002 vôùi baøi baùo A Curious Connection Between Fermat Numbers and Finite Groups cuûa caùc taùc giaû Carrie E.Finch vaø Lenny Jones. Trong [1], caùc taùc giaû ñaõ chæ ra söï lieân heä giöõa caùc POS - nhoùm aben vôùi caùc soá nguyeân toá Fecma. Hôn nöõa, caùc taùc giaû ñaõ xaây moät lôùp caùc POS - nhoùm aben ñöôïc xaây döïng döïa treân Z2. Moät soá vaán ñeà ñaõ ñöôïc ñaët ra trong [1] ñaõ ñöôïc caùc taùc giaû Carrie E.Finch vaø Lenny Jones neâu ra : • Toàn taïi hay khoâng POS - nhoùm khoâng aben khaùc S3 ? • Neáu G laø POS - nhoùm vaø p laø laø öôùc nguyeân toá leû cuûa | G | thì phaûi chaêng | G | chia heát cho 3 ? Tieáp ñoù , cuõng chính caùc taùc giaû Carrie E.Finch vaø Lenny Jones trong baøi baùo Nonanabelian Groups With Perfect Order Subsets ñaõ ñöa ra nhieàu keát quaû lieân quan ñeán caùc POS - nhoùm khoâng aben. Moät lôùp caùc POS- nhoùm khoâng aben ñaõ ñöôïc xaây döïng döïa treân S3. Ngoaøi ra, Carrie E.Finch vaø Lenny Jones ñaõ chæ ra ñaày ñuû caùc giaù trò cuûa q sao cho nhoùm tuyeán tính ñaëc bieät SL(2, q) laø POS - nhoùm. Caùc taùc giaû cuõng khaûo saùt moät vaøi tröôøng hôïp cuûa nhoùm chæ coù moät lôùp lieân hôïp caùc phaàn töû caáp p nguyeân toá cuõng nhö nhoùm caùc pheùp theá chaün An. 4 Môùi ñaây vaøo thaùng 5 naêm 2009, trong baøi baùo On Finite Groups Having Perfect Order Subsets, Ashish Kumar Das ñaõ trình baøy moät soá keát quaû cuûa caùc POS - nhoùm theo moät höôùng khaùc. Taùc giaû baøi baùo ñaõ chæ ra moät soá ñieàu kieän caàn ñeå moät nhoùm höõu haïn laø POS - nhoùm. Ngoaøi ra, döïa vaøo Ñònh lí Richert veà soá nguyeân toá, Ashish Kumar Das ñaõ chöùng minh An khoâng phaûi laø POS - nhoùm vôùi moïi n ≥ 4. Luaän vaên naøy ñöôïc vieát döïa vaøo [2] vaø moät phaàn [1] vaø [3]. Noäi dung chuû yeáu cuûa luaän vaên laø xeùt ñeán caùc POS - nhoùm khoâng aben. Caùc keát quaû veà lí thuyeát soá ñöôïc chöùng minh ñaày ñuû. Moät soá khaù ít keát quaû khoâng ñöa ra chöùng minh vì chuùng töông töï vôùi chöùng minh tröôùc ñoù. Coù theå thaáy raèng, moät nhoùm coù phaûi laø POS - nhoùm hay khoâng phuï thuoäc vaøo caáu truùc vaø caáp cuûa nhoùm ñoù. Nhoùm coù caáp caøng lôùn hoaëc caáu truùc phöùc taïp thì vieäc nghieân cöùu tính POS caøng phöùc taïp. Phöông phaùp thoâng thöôøng ñöôïc söû duïng laø xaùc ñònh caùc lôùp lieân hôïp cuûa nhoùm. Trong nhieàu tröôøng hôïp ta phaûi giaûi quyeát caùc vaán ñeà cuûa lí thuyeát soá. Luaän vaên ñaõ laøm roõ hôn noäi dung vaø yù töôûng trong caùc baøi baùo ñaõ neâu. Hoïc vieân ñaõ chöùng minh ñöôïc S3 × (Z3)t ×M khoâng phaûi laø POS - nhoùm ( Meänh ñeà ). Baèng phöông phaùp töông töï ñaõ neâu trong [2], hoïc vieân cuõng ñaõ xaùc ñònh ñöôïc raèng coù duy nhaát POS - nhoùm daïng T × (Z2)t × M laø G = T × Z2 (Meänh ñeà ). Ngoaøi ra, trong luaän vaên, khoâng söû duïng Ñònh lí cuûa Richert chuùng toâi cuõng ñaõ chæ ra moät soá khaù nhieàu giaù trò n ñeå An khoâng phaûi laø POS - nhoùm ( Caùc Meänh ñeà 34, 35, 36, 37). Cuï theå An khoâng phaûi laø POS - nhoùm neáu nhö moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoûa maõn • n = 2m, trong ñoù m hoaëc m − 1 laø soá nguyeân toá. • n = 2p + r vôùi p nguyeân toá vaø r ∈ {0, 1, 2, . . . , p − 1}. • n = p1 + p2 + . . . + pk + r vôùi pi laø caùc soá nguyeân toá leû khaùc nhau vaø r ∈ {0, 1}. • n = 3p vôùi p laø soá nguyeân toá leû. 5 Luaän vaên ñöôïc chia thaønh 3 chöông: • Chöông 1: GIÔÙI THIEÄU VEÀ POS - NHOÙM Ñònh nghóa vaø moät soá ñieàu kieän cho POS - nhoùm . • Chöông 2: MOÄT LÔÙP CAÙC POS - NHOÙM KHOÂNG ABEN Söû duïng caùc kieán thöùc cuûa lí thuyeát soá ñeå xaây döïng moät lôùp caùc POS - nhoùm khoâng aben. Töø ñoù chöùng minh toàn taïi voâ haïn caùc POS - nhoùm khoâng aben. • Chöông 3: TÍNH CHAÁT POS CUÛA MOÄT SOÁ NHOÙM KHOÂNG ABEN Nghieân cöùu tính chaát POS cuûa moät soá nhoùm höõu haïn : Dn, SL(2, q), PSL(2, q). Vì khaû naêng coù haïn neân luaän vaên chaéc chaén coù nhieàu thieáu soùt. Raát mong quí thaày, coâ vaø caùc baïn ñoàng nghieäp goùp yù, giuùp ñôû. Toâi xin thaønh thaät caûm ôn. Nguyeãn Troïng Tuaán Hoïc vieân cao hoïc khoùa 18 1 Chöông 1 GIÔÙI THIEÄU VEÀ POS - NHOÙM 1.1 CAÁP CUÛA PHAÀN TÖÛ TRONG MOÄT NHOÙM HÖÕU HAÏN Ñònh nghóa 1. Caáp cuûa phaàn töû a trong moät nhoùm G laø soá nguyeân döông n beù nhaát sao cho an = 1. Meänh ñeà 1. ( Ñònh lí Lagraêng) Caáp cuûa moãi phaàn töû tuøy yù cuûa moät nhoùm höõu haïn G laø öôùc cuûa | G |. Cho G laø moät nhoùm . Vôùi moãi x ∈ G, ta kí hieäu OS(x) = {y ∈ G| | x |=| y |} Meänh ñeà 2. Vôùi moïi x ∈ G ta coù | OS(x) | chia heát cho ϕ(| x |). Chöùng minh. Vôùi a, b ∈ G, ta vieát a ∼ b neáu nhö a vaø b cuøng sinh ra moät nhoùm xyclic cuûa G. Deã daøng kieåm tra ñöôïc ∼ laø quan heä töông ñöông. Khi ñoù G ñöôïc chia thaønh caùc lôùp töông ñöông rôøi nhau. Ta goïi [a] laø lôùp töông ñöông chöùa a. Baây giôø, ∀x ∈ G, ∀a ∈ OS(x) ta coù [a] ⊂ OS(x) vaø | [a] |= ϕ(| a |) = ϕ(| x |). Töø ñoù neáu goïi k laø soá lôùp töông ñöông taïo thaønh OS(x) thì ta coù | OS(x) |= k.ϕ(| x |) 2 Ñoù laø ñieàu caàn chöùng minh. Ñònh nghóa 2. Hai phaàn töû a vaø b trong moät nhoùm G ñöôïc goïi laø lieân hôïp vôùi nhau neáu coù g ∈ G sao cho b = g−1ag. Hai phaàn töû lieân hôïp vôùi nhau seõ coù cuøng caáp. Nhöng ñieàu ngöôïc laïi khoâng ñuùng : Hai phaàn töû cuøng caáp coù theå khoâng lieân hôïp vôùi nhau. Ñònh nghóa 3. Cho G laø moät nhoùm • Taâm cuûa G laø taäp hôïp Z(G) = {g ∈ G | gx = xg, ∀x ∈ G} • Vôùi x ∈ G, taâm hoùa töû cuûa x laø CG(x) = {g ∈ G | gx = xg} •Vôùi S ⊂ G, taâm hoùa töû cuûa taäp S laø CG(S) = {g ∈ G | gx = xg, ∀x ∈ S} Töø ñònh nghóa ta coù Z(G) = ⋂ x∈G CG(x) vaø CG(x) = ⋂ x∈S CG(x) Meänh ñeà 3. Cho x laø moät phaàn töû cuûa nhoùm G. Khi ñoù soá caùc phaàn töû cuûa G lieân hôïp vôùi x laø | [G : CG(x)] |. Quan heä lieân hôïp giöõa caùc phaàn töû trong nhoùm G laø quan heä töông ñöông. Töø ñoù G ñöôïc chia thaønh caùc lôùp töông ñöông. Ta coù phöông trình sau ñaây ñöôïc goïi laø phöông trình lôùp cuûa nhoùm G: | G |=| Z(G) | + n∑ i=1 | [G : CG(xi)] | 3 Ta thaáy raèng ñeå xaùc ñònh caùc phaàn töû coù cuøng caáp trong moät nhoùm, moät trong caùc höôùng tieáp caän laø xaùc ñònh phöông trình lôùp cuûa nhoùm ñoù. Ñaây laø phöông phaùp ta söû duïng trong caùc phaàn tieáp theo. 1.2 ÑÒNH NGHÓA POS - NHOÙM Cho G laø moät nhoùm höõa haïn vaø x ∈ G. Taäp con cuøng caáp cuûa G xaùc ñònh bôûi x laø taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû cuûa G coù cuøng caáp vôùi x. Ñònh nghóa 4. Nhoùm G ñöôïc goïi laø POS - nhoùm ( Perfect Order Subsets Group ) neáu nhö soá phaàn töû trong moãi taäp con cuøng caáp cuûa noù laø öôùc cuûa | G |. Ví duï 1. • Nhoùm Z2 laø POS nhoùm. • Nhoùm S3 goàm 6 phaàn töû: 1 phaàn töû caáp 1 ; 3 phaàn töû caáp 2 vaø 2 phaàn töû caáp 3. Vaäy S3 laø POS nhoùm. • Nhoùm xyclic Z5 khoâng phaûi laø POS nhoùm vì coù 4 phaàn töû caáp 5. Ví duï 2. Vôùi moãi soá p nguyeân toá leû, nhoùm Heisenberg H(Fp) =   1 a b0 1 c 0 0 1  | a, b, c ∈ Fp  khoâng coù POS. Vieäc kieåm tra H(Fp) laø moät nhoùm laø ñôn giaûn. Ta seõ chöùng minh moïi phaàn töû caáp ñôn vò cuûa H(Fp) ñeàu coù caáp p. Thaät vaäy, vôùi moïi α ∈ H(Fp), ta vieát α = I + β vôùi I laø ma traän ñôn vò vaø β =  0 a b0 0 c 0 0 0  4 Chuù yù raèng β2 =  0 0 ac0 0 0 0 0 0  vaø β3 =  0 0 00 0 0 0 0 0  Töø ñoù daãn tôùi keát quaû βk = 0, ∀k ≥ 3 Do ñoù αp = (I + β)p = I vì p = 0 trong Fp. Vaäy soá phaàn töû caáp p cuûa H(Fp) laø p − 1. Suy ra H(Fp) khoâng coù POS. 1.3 MOÄT SOÁ ÑIEÀU KIEÄN CAÀN CUÛA POS - NHOÙM Meänh ñeà 4. Cho G laø nhoùm xyclic caáp n . Khi ñoù G laø POS nhoùm khi vaø chæ khi n = 2a.3b, ôû ñaây a, b laø caùc soá töï nhieân vôùi a ≥ 1 vaø b ≥ 0. Chöùng minh. Ta bieát raèng vôùi moãi öôùc döông d cuûa | G | thì G coù φ(d) phaàn töû caáp d. Nhö vaäy ñeå G laø POS nhoùm thì ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø ϕ(d) | n vôùi moïi d | n. Chuù yù raèng neáu d | n thì ϕ(d) | φ(n). Do ñoù ñieàu kieän treân töông ñöông vôùi φ(n) | n. Baèng caùch chöùng minh töông töï Meänh ñeà ta ñöôïc ñieàu caàn chöùng minh. Töø meänh ñeà 4 , ta coù caùc heä quaû sau ñaây: Heä quaû 1. Vôùi moïi n ∈ N∗, Z2n laø POS nhoùm. Heä quaû 2. Nhoùm xyclic caáp p nguyeân toá laø POS nhoùm khi vaø chæ khi p = 2. 5 Meänh ñeà 5. Giaû söû G laø POS nhoùm. Khi ñoù vôùi moãi öôùc nguyeân toá p cuûa | G | thì p − 1 cuõng laø öôùc cuûa | G |. Ñaêc bieäït neáu G laø POS nhoùm khoâng taàm thöôøng thì | G | laø soá chaün. Chöùng minh. Theo ñònh lí Cauchy, G coù moät phaàn töû caáp p. Vì G laø POS - nhoùm neân theo Meänh ñeà 5 ta coù φ(p) = p − 1 laø öôùc cuûa | G |. Meänh ñeà 6. Cho G laø moät 2− nhoùm con . Khi ñoù G laø moät POS - nhoùm khi vaø chæ khi G laø xyclic. Chöùng minh. Töø Meänh ñeà 4, ta chæ caàn chöùng minh neáu 2− nhoùm G laø POS thì G laø xyclic. Giaû söû | G |= 2m,m ≥ 0. Vôùi 0 ≤ n ≤ m, ñaët Xn = { g ∈ G|g2n = 1} Roõ raøng Xn−1 ⊂ Xn vôùi moïi 1 ≤ n ≤ m. Baèng qui naïp ta seõ chöùng minh | Xn |= 2n vôùi 0 ≤ g |= 2n ≤ m vaø nhö theá G laø xyclic. Ta coù | X0 |= 1. Giaû söû raèng ñieàu phaûi chöùng minh ñuùng vôùi n − 1. Chuù yù raèng Xn −Xn−1 = {g ∈ G| | g |= 2n} neân ta coù | Xn | − | Xn−1 |=| Xn −Xn−1 |= 0 hoaëc 2t vôi n − 1 ≤ t ≤ m. Theo giaû thieát qui naïp | Xn−1 |= 2n−1 vaø theo Ñònh lí Frobeniu thì 2n chia heát Xn. Töø ñoù ta suy ra raèng | Xn |= 2n. Ñònh lí ñaõ ñöôïc chöùng minh. Meänh ñeà 7. Cho G laø moät POS - nhoùm khoâng taàm thöôøng . Khi ñoù i) Neáu ord2 | G |= 1 thì hoaëc | G |= 2 hoaëc 3 chia heát G. ii) Neáu ord2 | G |= ord3 | G |= 1 thì hoaëc | G |= 6 hoaëc 7 chia heát | G |. iii) Neáu ord2 | G |= ord3 | G |= ord7 | G |= 1 thì hoaëc | G |= 42 hoaëc toàn taïi soá nguyeân toá p ≥ 77659 sao cho 432p chia heát | G |. 6 Chöùng minh. Giaû söû | G |= pα11 pα22 . . . pαkk trong ñoù k ≥ 1 vaø 2 = p1 < p2 < . . . pk laø caùc soá nguyeân toá phaân bieät. Chuù yù raèng vôùi moïi i = 1, 2, . . . , k ta luoân coù (pi, pi − 1) = 1. i) Neáu ord2 | G |= 1 thì α = 1. Neáu k = 1 thì | G |= 2. Neáu k ≥ 2 thì theo Meänh ñeà 5 ta coù p2 − 1|2pα22 . . . pαkk . Suy ra p2 − 1|2. Töø ñoù | G | =2 hoaëc p2 = 3. ii) Neáu ord2 | G |= ord3 | G |= 1 thì α1 = α2 = 1. Neáu k = 2 thì | G | =6. Neáu k ≥ 3 thì ta cuõng coù p3 − 1|2.3.pα33 . . . pαkk Do p3− 1 < p3 neân p3− 1 | 6. Ta thaáy chæ xaûy ra khaû naêng p3− 1 = 6, nghóa laø p3 = 7. iii) Xeùt ord2 | G |= ord3 | G |= ord7 | G |= 1 Neáu k ≤ 3 thì | G |= 2.3.7 = 42. Neáu k ≥ 4 thì p4 − 1|2.3.7.pα44 . . . pαkk Suy ra p4 − 1 laø öôùc cuûa 42. Ta thaáy chæ coù khaû naêng p4 = 43. Töø ñoù | G |= 2.3.7.43α4pα55 . . . pαkk . Baây giôø xeùt k ≥ 5 vaø α1 = α2 = α3 = α4 = 1. Khi ñoù | G |= 2.3.7.43.pα55 . . . pαkk = 1806pα55 . . . pαkk Ta coù p5 − 1 | 1806pα55 . . . pαkk Töông töï nhö treân ta thaáy raèng p5 − 1 | 1806. Baèng vieäc kieåm tra tröïc tieáp caùc öôùc cuûa 1806, ta thaáy khoâng coù soá nguyeân toá p5 > 43 naøo thoûa maõn ñieàu kieän. Do ñoù ta phaûi coù α4 ≥ 2. Töø ñoù ta coù p5 − 1 | 2.3.7.43α4pα55 . . . pαkk suy ra p5 − 1 | 2.3.7.43α5 . Deã thaáy giaù trò nhoû nhaát cuûa p5 laø 2.3.7.432 + 1 = 77659. Meänh ñeà 8. Giaû söû | G |= pα11 pα22 . . . pαkk 7 ôû ñaây α1, α2, . . . , αk vaø 2 = p1 < p2 < . . . < pk laø caùc soá nguyeân toá sao cho pk − 1 = pα11 pα22 . . . pαk−1k−1 , k ≥ 2. Khi ñoù neáu G laø POS - nhoùm thì pk− nhoùm con sylow cuûa G laø xyclic. Chöùng minh. Theo ñònh lí Sylow G coù pk− nhoùm con sylow duy nhaát laø P . Do ñoù moïi phaàn töû cuûa G coù caáp laø luõy thöøa cuûa pk phaûi naèm trong P . Goïi mi laø soá caùc phaàn töû cuûa G coù caáp pik, 1 ≤ i ≤ αk . Theo Meänh ñeà 5 ta coù φ(pik) | mi, suy ra mi = pi−1k (pk − 1)xi, xi ≥ 0. Neáu G laø POS-nhoùm thì pi−1k (pk − 1)xi | pα11 pα22 . . . pαkk Suy ra xi | pαk−i+1k vôùi moãi i maø xi 6= 0 vaø 1 ≤ i ≤ k. Baây giôø αk∑ i=1 mi =| P | −1 = pαkk − 1 Maët khaùc αk∑ i=1 mi = (pk − 1) αk∑ i pi−1k xi Suy ra αk∑ i=1 pi−1k (xi − 1) = 0 Ñaúng thöùc naøy daãn ñeán x1 ≡ 1( mod pk). Keát hôïp ñieàu naøy vôùi ñieàu kieän xi | pαk−i+1k ta ñöôïc x1 = 1. Töø ñoù ta coù αk∑ i=2 pi−1k (xi − 1) = 0 Baèng caùch aùp duïng lieân tieáp laäp luaän treân ta ñöôïc x1 = x2 = . . . = xαk = 1 Do ñoù mαk = p αk−1 k (pk − 1) 6= 0 8 Ñieàu naøy chöùng toû raèng P laø nhoùm xyclic. 9 Chöông 2 MOÄT LÔÙP CAÙC POS- NHOÙM KHOÂNG ABEN 2.1 KIEÁN THÖÙC BOÅ SUNG Töø nay veà sau ta xem raèng (Z2)t = Z2 × Z2 × . . . × Z2︸ ︷︷ ︸ t . Meänh ñeà 9. Giaû söû G = (Z2)t. Khi ñoù G coù 2t phaàn töû goàm 1 phaàn töû caáp 1 vaø 2t − 1 phaàn töû caáp 2. Chöùng minh Moãi phaàn töû cuûa (Z2)t laø moät boä coù thöù töï goàm t thaønh phaàn, moãi thaønh phaàn laø moät phaàn töû cuûa Z2. Nhö vaäy (Z2)t coù 2t phaàn töû , trong ñoù coù 1 phaàn töû caáp 1 vaø 2t − 1 phaàn töû caáp 2. Meänh ñeà 10. Cho a, b, t laø caùc soá nguyeân döông vôùi b ≤ a vaø G ' (Zpa)t, ôû ñaây p laø soá nguyeân toá . Khi ñoù soá phaàn töû trong G coù caáp pb laø( pb−1 )t (pt − 1) Chöùng minh Moãi phaàn töû cuûa G laø moät boä coù thöù töï goàm t thaønh phaàn maø moãi thaønh phaàn laø moät phaàn töû cuûa Zpa . Moãi phaàn töû cuûa G coù caáp pb phaûi coù ít nhaát moät thaønh phaàn coù caáp pb trong nhoùm töông öùng vaø caùc thaønh phaàn khaùc coù caáp khoâng vöôït quaù pb. Ñaàu tieân ta ñeám caùc phaàn töû coù caáp pb ôû thaønh phaàn ñaàu tieân vaø ôû caùc thaønh phaàn khaùc coù caáp khoâng vöôït quaù pb. Ta bieát raèng soá caùc phaàn töû coù 10 caáp pb trong Zpa chính laø soá caùc phaàn töû sinh trong nhoùm xyclic duy nhaát coù caáp pb cuûa Zpa , nghóa laø φ(pb). Tieáp theo ta ñeám soá phaàn töû coù caáp khoâng vöôït quaù pb trong t − 1 thaønh phaàn coøn laïi. Moãi moät thaønh phaàn coù ñuùng moät nhoùm con caáp pc vôùi c ≤ b vaø trong nhoùm con ñoù coù ñuùng φ(pc) phaàn töû coù caáp pc. Nhö vaäy, moãi thaønh phaàn coù 1+φ(p)+. . .+φ(pb−1)+φ(pb) = 1+p−1+p2−p+. . .+pb−1−pb−2+pb−pb−1 = pb phaàn töû coù caáp khoâng vöôït quaù pb. Nhö theá toång soá caùc phaàn töû cuûa G coù caáp pb maø thaønh phaàn ñaàu tieân coù caáp pb laø φ(pb) ( pb )t−1. Tieáp theo ta ñeám soá phaàn töû caáp pb cuûa G maø thaønh phaàn ñaàu tieân coù caáp beù hôn pb, thaønh phaàn thöù hai coù caáp ñuùng baèng pb vaø t − 2 thaønh phaàn coøn laïi coù caáp khoâng vöôït quaù pb. Deã thaáy soá phaàn töû nhö theá ñuùng baèng pb−1φ(pb) ( pb )t−2. Tieáp tuïc thöïc hieän nhö treân ta thaáy toång soá caùc phaàn töû caáp pb cuûa G laø t−1∑ i=0 ( pb−1 )i φ(pb) ( pb )t−1−i = φ(pb) ( pb−1 )t−1 ( pt−1 + pt−2 + . . . + p + 1 ) = pb−1(p− 1) (pb−1)t−1(pt − 1 p− 1 ) = ( pb−1 )t−1 ( pt − 1) Meänh ñeà 11. Cho G = (Zpa)×M vaø Ĝ = (Zpa+1)×M , ôû ñaây a vaø t laø caùc soá nguyeân döông , coøn p laø soá nguyeân toá khoâng chia heát | M |. Giaû söû raèng d laø caáp cuûa moät phaàn töû trong Ĝ maø pa+1 khoâng laø öôùc cuûa d. Khi ñoù G vaø Ĝ coù cuøng soá phaàn töû caáp d. Chöùng minh Moät phaàn töû baát kì cuûa Ĝ coù theå xem nhö moät caëp coù thöù töï (x, y), trong ñoù x laø moät phaàn töû cuûa Zpa+1 vaø y laø phaàn töû cuûa M . Ta bieát raèng caáp cuûa phaàn töû (x, y) laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa caáp cuûa x vaø y. Do p khoâng laø öôùc cuûa M neân caáp cuûa (x, y) laø | x || y |. Töø ñoù neáu d laø caáp cuûa (x, y) thì d = pbm, trong ñoù pb laø caáp cuûa x vaø m laø caáp cuûa y. Laïi do pa+1 khoâng chia heát d neân a + 1 > b hay 0 ≤ b ≤ a. Theo Meänh ñeà 11 thì soá caùc phaàn töû caáp pb trong (Zpa)t vaø (Zpa+1)t laø nhö nhau. Töø ñoù suy ra keát 11 quaû caàn chöùng minh. Meänh ñeà 12. Cho G = (Zpa)×M vaø Ĝ = (Zpa+1)×M , ôû ñaây a vaø t laø caùc soá nguyeân döông , coøn p laø soá nguyeân toá khoâng chia heát | M |. Khi ñoù neáu G laø POS-nhoùm thì Ĝ cuõng laø POS-nhoùm. Chöùng minh Goïi (x, y) laø moät phaàn töû cuûa Ĝ, trong ñoù x ∈ (Zpa+1)t vaø y ∈ M . Goïi d laø caáp cuûa (x, y) . Ta thaáy raèng neáu d khoâng chia heát cho pa+1 thì theo Meänh ñeà 11 thì soá phaàn töû caáo d cuûa G vaø Ĝ laø nhö nhau. Vì G laø POS-nhoùm neân hieån nhieân Ĝ cuõng laø POS-nhoùm. Ta xeùt tröôøng hôïp d chia heát cho pa+1. Khi ñoù caáp cuûa x trong (Zpa+1)t laø pa+1 vaø d = pa+1m, trong ñoù m laø caáp cuûa y trong M . Theo Meänh ñeà 12, soá phaàn töû caáp d trong Ĝ laø (pa)t (pt − 1) k. Ta phaûi chöùng minh soá naøy chia heát | Ĝ | . Töø Meänh ñeà 10, ta thaáy soá phaàn töû caáp pam trong G laø( pa−1 )t (pt − 1) k. Do G laø POS-nhoùm neân (pa−1)t (pt − 1) k laø öôùc cuûa | G |. Do | Ĝ |= pt | G | neân( pt ) ( pa−1 )t ( pt − 1) k = (pa)t (pt − 1) k chia heát | Ĝ |. Cuoái cuøng, ta caàn moät soá keát quaû cuûa lí thuyeát soá Meänh ñeà 13. Cho p laø soá nguyeân toá vaø n laø soá nguyeân döông. Neáu q laø moät öôùc nguyeân toá cuûa 2pn − 1 thì p laø öôùc cuûa q − 1. Chöùng minh Xeùt nhoùm nhaân (Zq)∗ goàm nhöõng phaàn töû khaùc 0 cuûa (Zq). Roõ raøng | (Zq)∗ |= q − 1. Vì 2pn ≡ 1 ( mod q) neân neáu goïi a laø caáp cuûa phaàn töû 2 trong Zq thì a laø öôùc cuûa pn. Do p nguyeân toá neân a chia heát cho p. Laïi theo Ñònh lí Lagraêng thì a laø öôùc cuûa q − 1. Suy ra p laø öôùc cuûa q − 1. Ñònh nghóa 5. Soá töï nhieân n ñöôïc goïi laø soá square- free neáu noù khoâng chia heát cho baát cöù moät soá chính phöông naøo. Hieån nhieân neáu n laø soá square- free thì moïi öôùc cuûa n cuõng laø soá square - free. Hôn nöõa neáu m,n laø caùc soá square-free vaø (m,n) = 1 thì mn cuõng laø soá square - free. 12 2.2 XAÂY DÖÏNG POS - NHOÙM KHOÂNG ABEN DÖÏA VAØO S3 Trong [1] ñaõ xaây döïng moät lôùp caùc POS - nhoùm aben döïa vaøo Z2. Cuï theå, xeùt G ' (Z2)t × M , ôû ñaây t ≥ 1 vaø M laø nhoùm xyclic coù caáp laø moät soá square-free . Khi ñoù neáu G laø POS -nhoùm thì G ñaúng caáu vôùi moät trong 9 nhoùm sau ñaây : • Z2 • (Z2)2 × Z3 • (Z2)3 × Z3 × Z7 • (Z2)4 × Z3 × Z5 • (Z2)5 × Z3 × Z5 × Z31 • (Z2)8 × Z3 × Z5 × Z17 • (Z2)16 × Z3 × Z5 × Z17 × Z257 • (Z2)17 × Z3 × Z5 × Z17 × Z257 × Z131071 • (Z2)32 × Z3 × Z5 × Z17 × Z257 × Z65537 Ngoaøi ra, deã daøng kieåm tra ñöôïc caùc nhoùm sau ñaây cuõng laø POS - nhoùm • Z2n vôùi moïi n • (Z16)2 × Z9 × Z125 • (Z2)11 × Z3 × Z5 × (Z17)2 × Z23 × Z89 Ta cuõng ñaõ bieát S3 laø nhoùm khoâng aben coù tính chaát POS. Trong meänh ñeà tieáp theo , ta seõ xaây döïng moät ñònh lí töông töï Ñònh lí 4 trong [1] vaø qua ñoù xaây döïng neân moät lôùp caùc POS- nhoùm khoâng aben döïa vaøo nhoùm S3. Ñònh lí 1. Cho G laø moät nhoùm vaø G ' S3× (Z2)t×M , ôû ñaây t ≥ 1 vaø M laø nhoùm xyclic coù caáp laø moät soá square-free leû khoâng chia heát cho 3. Khi ñoù neáu G laø POS -nhoùm thì G ñaúng caáu vôùi moät trong caùc nhoùm sau ñaây : • S3 • S3 × Z2 × Z7 • S3 × (Z2)2 × Z5 13 Chöùng minh. Tröôùc heát ta xeùt tröôøng hôïp t = 0. Khi ñoù G = S3 ×M . Ñeå yù raèng do | M | laø soá square-free leû khoâng chia heát cho 3 neân 6 | M | laø soá square-free. Ta bieát raèng nhoùm S3 coù 6 phaàn töû : 1 phaàn töû caáp 1, 3 phaàn töû caáp 2 vaø 2 phaàn töû caáp 3. Töø giaû thieát suy ra | M | khoâng chia heát cho 2 vaø 3. Suy ra M khoâng coù phaàn töû caáp 2 vaø 3. Töø ñoù neáu goïi p laø öôùc nguyeân toá nhoû nhaát cuûa | M | thì p 6= 2 vaø p 6= 3. Do m laø nhoùm xyclic neân soá phaàn töû caáp p cuûa M laø p − 1. Do ñoù soá phaàn töû caáp p cuûa G cuõng laø p − 1. Do G laø POS-nhoùm neân 6 | M | chia heát cho p − 1. Neáu goïi q laø öôùc nguyeân toá khaùc 2 vaø 3 cuûa p− 1 thì q cuõng laø öôùc nguyeân toá nhoû hôn p cuûa | M |. Maâu thuaãn. Vaäy öôùc nguyeân toá cuûa p − 1 phaûi laø 2 vaø 3. Töø ñoù p − 1 = 6 hay p = 7. Nhoùm xyclic M coù caáp chia heát cho 7 neân soá phaàn töû caáp 7 cuûa M hay cuûa G laø 6. Ta ñeám soá phaàn töû g ∈ G coù caáp 14. Ta bieát raèng g = (a, b) vôùi a ∈ S3 coù caáp 2 vaø b ∈ M coù caáp 7. Deã daøng thaáy raèng soá phaàn töû g nhö theá laø 3.6=18 laø soá square-free neân | G | khoâng chia heát cho 18. Ñieàu naøy maâu thuaãn vì G laø POS-nhoùm. Baây giôø ta xeùt t ≥ 1. Khi ñoù G ' S3 × (Z2)t ×M vaø | G |= 6.2t. | M |. Chuù yù raèng 6 | M | laø soá square-free. Soá phaàn töû caáp 2 cuûa G laø 3.2t + 2t − 1 = 2t+2 − 1. Soá phaàn töû caáp 6 cuûa G laø 2(2t − 1). Töø ñoù | G | chia heát cho 2t+2 − 1 vaø 2(2t − 1). Goïi p laø öôùc nguyeân toá leû cuûa t + 2. Khi ñoù 2p − 1 laø öôùc cuûa 2t+2 − 1. Neáu goïi q laø öôùc nguyeân toá cuûa 2p− 1. Theo Meänh ñeà 11, p laø öôùc cuûa q− 1. Neáu 2p − 1 coù caùc öôùc nguyeân toá phaân bieät laø q1 vaø q2 thì p laø öôùc cuûa q1 − 1 vaø q2−1. Suy ra p2 laø öôùc cuûa (q1−1)(q2−1). Maët khaùc, do p leû neân 2p−1 khoâng chia heát cho 3. Vaäy q1, q2 khaùc 3. Ta thaáy raèng q1, q2 laø öôùc cuûa 3 | M | neân q1, q2 laø öôùc cuûa | M |. Soá phaàn töû caáp q1q2 cuûa M ( cuõng laø cuûa G) laø (q1 − 1)(q2 − 1). Vì G laø POS-nhoùm neân | G | chia heát cho (q1 − 1)(q2 − 1), suy ra 6 | M | chia heát cho p2. Voâ lí vì 6 | M | laø square-free. Toùm laïi ta ñaõ chöùng minh ñöôïc raèng neáu p laø öôùc nguyeân toá leû cuûa t+2 thì 2p − 1 phaûi laø soá nguyeân toá vaø 2p − 1 ≡ 1 ( mod 3). Baây giôø, giaû söû t + 2 coù hai öôùc nguyeân toá leû khaùc nhau laø p1 vaø p2. Khi ñoù 14 , nhö vöøa chöùng minh thì 2p1 − 1 vaø 2p2 − 1 laø caùc soá nguyeân toá. Do p1, p2 neân 2p1 − 1 ≡ 1 ( mod 3) vaø2p2 − 1 ≡ 1 ( mod 3). Suy ra (2p1 − 1) (2p2 − 1) chia heát cho 9. Nhöng khi ñoù cuõng do 2p1 − 1 vaø 2p2 − 1 laø caùc soá nguyeân toá neân soá phaàn töû cuûa G coù caáp (2p1 − 1) (2p2 − 1) laø (2p1 − 2) (2p2 − 2). Laïi moät laøn nöõa ta coù ñieàu maâu thuaãn vì 6 | G | laø soá square-free. Vaäy t + 2 coù nhieàu nhaát moät öôùc nguyeân toá leû. Baây giôø ta giaû söû 2p laø öôùc cuûa t + 2 vôùi p nguyeân toá leû. Khi ñoù theo laäp luaän treân thì 2p − 1 laø soá nguyeân toá vaø 2p − 2 ≡ 0 ( mod 3). maët khaùc, do t+2 chaün neân 2t+2− 1 ≡ 0 ( mod 3). Töø ñoù (2p − 2) (2t+2 − 1) chia heát cho 9. Ta tính soá phaàn töû g trong G coù caáp 2 (2p − 1). Giaû söû g = (a, b, c) vôùi a ∈ S3, b ∈ (Z2)t , c ∈ M . Coù caùc tröôøng hôïp sau: • | a |= 2, | b |= 1, | c |= 2p − 1 Coù 3.1 (2p − 2) = 3 (2p − 1) phaàn töû. • | a |= 2, | b |= 2, | c |= 2p − 1 Coù 3. (2t − 1) (2p − 2) phaàn töû. • | a |= 2, | b |= 1, | c |= 2p − 1 Coù ( 2−1 − 1) (2p − 2) phaàn töû. Vaäy coù taát caû 3 (2p − 1) + 3. (2t − 1) (2p − 2) + (2−1 − 1) (2p − 2) = (2t+2 − 1) (2p − 2) phaàn töû coù caáp 2 (2p − 1) trong G. Vì G laø POS-nhoùm neân 6 | M | chia heát cho 9 laø soá chính phöông. Voâ lí. Töø ñoù ta keát luaän raèng t + 2 phaûi laø luõy thöøa cuûa moät soá nguyeân toá. Giaû söû t + 2 = pn, ôû ñaây p laø soá nguyeân toá leû. Ta bieát raèng 2p − 1 laø öôùc nguyeân toá cuûa 2t+2 − 1 = 2pn − 1. Neáu n > 1 thì roõ raøng 2pn − 1 khoâng phaûi laø soá nguyeân toá. Do 6 | M | laø square-free neân 2t+2 − 1 cuõng laø square-free. Töø ñoù suy ra coù soá nguyeân toá q 6= 2p − 1 laø öôùc cuûa 2t+2 − 1. Vì q laø öôùc cuûa 2p n − 1 neân theo meänh ñeà ... thì p laø öôùc cuûa q − 1. Maët khaùc, theo ñònh lí Fecma nhoû thì 2p−1 ≡ 1 ( mod p) hay p laø öôùc cuûa 2p − 2.. Töø ñoù p2 laø öôùc cuûa (q − 1)(2p − 2). Nhaän xeùt raèng (q − 1)(2p − 2) chính laø soá phaàn töû coù caáp q(2p − 1) trong G. Nhö theá p2 laø öôùc cuûa 6 | M | vaø ta laïi coù ñieàu maâu thuaãn. Vaäy n = 1 vaø t + 2 hoaëc laø luõy thöøa cuûa 2 hoaëc laø soá nguyeân toá leû. Hieån nhieân laäp luaän treân cuõng aùp duïng ñöôïc cho 2t − 1 vaø ta coù keát luaän : 15 t vaø t + 2 hoaëc laø luõy thöøa cuûa 2 hoaëc laø soá nguyeân toá leû. Nhöng t vaø t + 2 coù cuøng tính chaün leû neân ta chæ caàn xeùt caùc tröôøng hôïp sau ñaây: • t = 1. Khi ñoù t = 2 = 3 vaø G ' S3 ×Z2 ×M . Soá phaàn töû coù caáp 2 trong G laø 7. Do ñoù | M | chia heát cho 7. Do ñoù M = Z7 × M̂ . Chuù yù raèng do | M | laø square-free neân | M̂ | khoâng chia heát cho 7. Nghóa laø M̂ khoâng chöùa phaàn töû caáp 7. Töø ñoù G ' S3 × Z2 × Z7 × M̂ . Soá phaàn töû caáp 42 cuûa G laø 2.1.6=12. Neáu goïi p laø öôùc nguyeân toá cuûa | M̂ | thì roõ raøng p /∈ {2, 3, 7}. Nhö theá soá phaàn töû caáp 42p cuûa G laø 12(p− 1). Vaäy | G | chia heát cho 12(p− 1). Suy ra | G | chia heát cho 8. Voâ lí. Do ñoù M̂ phaûi laø nhoùm taàm thöôøng. Nhö theá G ' S3 × Z2 × Z7 vaø deã daøng kieåm tra ñöôïc G laø POS - nhoùm. • t vaø t + 2 laø caùc soá nguyeân toá leû. Theo keát quaû ôû treân thì khi ñoù 2t − 1 vaø 2t+2 − 1 laø caùc soá nguyeân toá vaø chuùng laø öôùc cuûa | G |. Hôn nöõa (2t − 2) (2t+2 − 2) chia heát cho 9. Deã thaáy raèng (2t − 2) (2t+2 − 2) laø soá phaàn töû coù caáp (2t − 1) (2t+2 − 1) cuûa G. Nhö theá 9 laø öôùc cuûa | G | hay 3 laø öôùc cuûa | M |. Ñieàu naøy traùi vôùi giaû thieát. • t = 2m, t+2 = 2n vôùi m,n laø caùc soá nguyeân döông. Khi ñoù 2n−1−2m−1 = 1. Roû raøng phöông trình treân chæ coù duy nhaát nghieäm m = 1, n = 2. Töø ñoù t = 2 vaø G ' S3 × (Z2)2 ×M . Soá phaàn töû caáp 2 cuûa G laø 24 − 1 = 15. AÙp duïng keát quaû ñaõ bieát ta ñöôïc M = Z5 × M̂ . Vaäy G ' S3 × (Z2)2 × Z5 × M̂ . Soá phaàn töû caáp 30 cuûa G laø 3.2.4=24. Goïi p laø öôùc nguyeân toá cuûa | M̂ | . Khi ñoù p /∈ {2, 3, 5} vaø soá phaàn töû caáp 30p laø 24(p − 1). Do p leû neân 24(p − 1) chia heát cho 16. Do ñoù | G | chia heát cho 16. Ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra . Vaäy M̂ laø taàm thöôøng vaø nhö theáø G ' S3× (Z2)2×Z5 laø POS-nhoùm. Meänh ñeà ñaõ ñöôïc chöùng minh . Ñònh lí 1 ñaõ chæ ra moät soá caùc POS-nhoùm khoâng aben. Trong [1], ñaõ chæ ra moät caùch xaây döïng caùc POS-nhoùm khoâng aben döïa vaøo Z2. Söû duïng caùc POS - nhoùm ñaõ moâ taû trong Meänh ñeà 12, ta seõ chæ ra moät lôùp voâ haïn caùc POS-nhoùm khoâng aben. Ñoù laø noäi dung cuûa meänh ñeà sau ñaây. Ñònh lí 2 Toàn taïi voâ haïn caùc POS-nhoùm khoâng aben . 16 Chöùng minh. AÙp duïng Meänh ñeà 12 cho caùc POS-nhoùm trong Ñònh lí 1, ta ñöôïc voâ haïn caùc POS-nhoùm khoâng aben. 2.3 MOÄT VAØI KEÁT QUAÛ Trong phaàn naøy trình baøy moät soá keát quaû maø hoïc vieân tìm ñöôïc trong quaù trình thöïc hieän luaän vaên. Vôùi cuøng moät caùch thöùc nhö treân , chuùng ta coù caùc meänh ñeà sau ñaây. Meänh ñeà 14. Giaû söû G ' S3 × (Z3)t ×M , ôû ñaây M laø nhoùm xyclic coù caáp laø moät soá square-free khoâng chia heát cho 6. Khi ñoù G khoâng phaûi laø POS - nhoùm . Chöùng minh. Theo Ñònh lí 1 thì G khoâng phaûi laø POS - nhoùm khi t = 0. Xeùt t ≥ 1. Deã thaáy soá phaàn töû caáp 3 cuûa G laø 2 + (3t − 1) + 2(3t − 1) = 3t+1 − 1 Do G laø POS - nhoùm neân 3t+1 − 1 laø öôùc cuûa 6.3t | M | hay 3t+1 − 1 laø öôùc cuûa 2 | M |. Soá phaàn töû caáp 6 cuûa G laø 3(3t − 1) vaø soá naøy laø öôùc cuûa 6.3t. | M |. Suy ra 3t − 1 laø öôùc cuûa 2m. Do caû 3t − 1 vaø 3t+1 − 1 ñeàu laø öôùc cuûa 2m neân 2.3t laø öôùc cuûa 2m. Töø ñoù 3t laø öôùc cuûa m. Vì m laø soá square-free neân t = 1. Töø ñoù 2m chia heát cho 8, suy ra m chia heát cho 2 vaø do ñoù m chia heát cho 6. Maâu thuaãn. ÔÛ phaàn treân ta ñaõ tìm caùch xaây döïng caùc POS - nhoùm khoâng aben döïa vaøo S3 laø POS - nhoùm khoâng aben coù caáp nhoû nhaát. Moät caùch töï nhieân ta cuõng tìm caùch xaây döïng caùc POS - nhoùm nhö theá döïa vaøo caùc nhoùm khoâng aben khaùc. Xeùt nhoùm T caáp 12 coù bieåu dieãn T = 〈a, b | a6 = 1, a3 = b2, bab−1 = a−1〉 17 T coù 1 phaàn töû caáp 1; 1 phaàn töû caáp 2 laø a3; 2 phaàn töû caáp 3 laø a2 vaø a4; 6 phaàn töû caáp 4 laø aib vôùi 0 ≤ i ≤ 5; 2 phaàn töû caáp 6 laø a vaø a5. Vaäy T laø POS - nhoùm. Ta seõ tìm caùc xaây döïng caùc POS - nhoùm khoâng aben khaùc döïa vaøo T . Meänh ñeà 15. Giaû söû G ' T × (Z2)t ×M , ôû ñaây M laø nhoùm xyclic coù caáp laø moät soá square-free leû khoâng chia heát cho 3. Khi ñoù G laø POS - nhoùm khi vaø chæ khi G = T × Z2. Chöùng minh. Giaû söû | M |= m. Theo giaû thieát m laø soá square-free leû vaø khoâng chia heát cho 3. a) Xeùt t = 0. Khi ñoù G ' T ×M vaø caáp cuûa G laø 12m. Goïi p laø öôùc nguyeân toá nhoû nhaát chia heát m. Ta thaáy raèng p 6= 2 vaø p 6= 3. Do G laø POS - nhoùm neân._.