Tiêu chuẩn loại massera cho phương trình đạo hàm riêng cho hàm trung hòa

hoa, xây dựng, điện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân ,phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa cĩ chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm khơng bị chặn được các nhà tốn học trên thế giới sử dụng nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh. Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera là một trong những phương pháp tìm lời giải tuần hồn của phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa . Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hồn . Trong [12] mối liên hệ này được giải thích bởi phương trình vi phân thường tuần hồn hai chiều. Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem xét những mối quan hê tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương trình hàm với điều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi phân. Gần đây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, đã chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng        0 ( ) ( ) ( , ) , (1.3) x ([ ,0]: ) , tx t Ax t F t x C C r X Với A là phần tử vi phân của nữa nhĩm Compact của những tốn tử tuyến tính bị chặn trong Khơng gian Banach. Mục đích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả tương tự như những kết quả trong [3], cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2). Đĩ là lý do tơi chọn đề tài “Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa”. 2. Mục đích nghiên cứu Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hồn của phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm khơng bị chặn . 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa . 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tiêu chuẩn loại Massera là một cơng cụ rất mạnh để chỉ ra mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hồn của phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa . 5. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chúng tơi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài Phần nội dung : Chương 1 : Giới thiệu chung về những kết quả nghiên cứu cĩ liên quan đến đề tài, các ký hiệu được sử dụng trong đề tài ,các kết quả sẽ được sử dụng. Chương 2 : Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa cĩ hàm làm chậm bị chặn. Trong chương này chúng ta chứng minh sự tồn tại lời giải tuần hồn của bài tốn giá trị đầu :       0 ( ( ) ( , )) ( , ) 2.1 [ ,0]: 2.2 t t d x t G t x Ax t F t x dt x C C r X         Chương 3 : Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa cĩ hàm làm chậm khơng bị chặn : Trong chương này chúng ta tập trung đến sự tồn tại của lời giải  - tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa với mơ hình làm chậm khơng bị chặn cĩ dạng :              , , 3.1 3.2       t t d x t G t x Ax t F t x dt x B Với : ( ,0] , ( ) ( )t tx X x x t     , : thuộc vào khơng gian pha trừu tượng xác định trước và B  F G XB là những hàm liên tục. Chương 4: Ứng dụng Trong chương này chúng ta sẽ minh họa một số kết quả của việc sử dụng tiêu chuẩn loại Massera để tìm lời giải tuần hồn của hàm trung hịa cĩ hàm làm chậm bị chặn (hoặc hàm làm chậm khơng bị chặn) . Phần kết luận : Đưa ra những kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt được và đưa ra những đề xuất (nếu cĩ ). Chương 1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CĨ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ,CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG ĐỀ TÀI, CÁC KẾT QUẢ SẼ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1. Giới thiệu Bằng cách sử dụng tiêu chuẩn loại Massera chúng ta chứng minh sự tồn tại lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa.        t t d x t G t x Ax t F t x t dt D0 ( ( ) ( , )) ( ) ( , ) , 0 (1.1) x (1.2) Với A là phần tử vi phân của nữa nhĩm Compact, giải tích của những tốn tử tuyến trên khơng gian Banach X. Hàm chậm 0( ( ))tT t  ), ( ) (t tx x x t   thuộc khơng gian pha thích hợp và là những hàm liên tục. D  G F D X, : Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hồn . Trong [12] mối liên hệ này được giải thích bởi phương trình vi phân thường tuần hồn hai chiều. Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem xét những mối quan hệ tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương trình hàm với điều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi phân. Gần đây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, đã chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng        0 ( ) ( ) ( , ) , (1.3) x ([ ,0]: ) , tx t Ax t F t x C C r X Với A là phần tử vi phân của nữa nhĩm Compact của những tốn tử tuyến tính bị chặn trong Khơng gian Banach. Mục đích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả tương tự như những kết quả trong [3], cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2). Những phương trình vi phân trung hịa được phát triển trong nhiều lĩnh vực của tốn ứng dụng và những phương trình như vậy được mở rộng nhiều trong những năm gần đây.Một tài liệu hướng dẫn rất hay về phương trình vi phân của hàm trung hịa với điều kiện làm chậm là cuốn sách của nhà tốn học Hale [8] với những chỉ dẫn ở trong đĩ. Làm việc đầu tiên với phương trình đạo hàm riêng của của hàm trung hịa với điều kiện làm chậm là Hernandez và Henriquez trong [9,10]. Trong những bài báo này, Họ đã chứng minh tồn tại lời giải yếu, mạnh và lời giải tuần hồn cho phương trình trung hịa 0 ( ( ) ( , )) ( ) ( , ) , (1.4)t t d x t G t x Ax t F t x dt x      B Với A là phần tử vi phân của nữa nhĩm giải tích của những tốn tử tuyến tính trên Khơng gian Banach và là pha khơng gian xác định bởi các tiên đề. Trong trường hợp tổng quát, những kết quả này được suy từ định lý nữa nhĩm và định lý điểm bất động của Sadovskii. B Luận văn này cĩ năm chương. Trong chương 2 chúng ta tập trung đến sự tồn tại lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hịa xác định trên . Trong chương 3, bằng cách sử dụng kết quả của chương 2, chúng ta xét sự tồn tại của lời giải tuần hồn cho phương trình trung hịa với với mơ hình làm chậm bị chặn trên ([ ,0]: )C r X   B ,với là một pha khơng gian định nghĩa bởi các tiên đề như trong Hale và Kato [5]. Chương 4 B sẽ chứa những ví dụ minh họa .Những kết quả của chúng ta cĩ được dựa trên những tính chất của nữa nhĩm giải tích và những ý tưởng, kỹ thuật chứng minh của Harnandez và Henriquez [9,10] và Ezzinbi[3]. 1.2. Ký hiệu Trong luận văn này, ta sẽ được ký hiệu X là một Khơng gian Banach với chuẩn . , A ký hiệu là phần tử vi phân của nữa nhĩm giải tích, Compact, ,của những tốn tử tuyến tính trên X và được định nghĩa như sau : 0( ( ))tT t  : ( )A D A X với      0 ( )( ) : lim tồn tại t T t x xD A x X t và      0 0 ( ) ( )lim với ( ) t t T t x x dT t xAx x t dt D A Dựa vào định lý nữa nhĩm của Pazy [13]. 0C Trong luận văn này, (., )x  ký hiệu lời giải của (1.1) - (1.2). Hơn nữa, ký hiệu là quả cầu mở, (quả cầu đĩng) trong khơng gian Metric Z với tâm tại x và bán kính bằng r .Với hàm bị chặn ( : ),( [ : ])r rB x Z B x Z : [ , ] [0, )a b   và a t b  chúng ta sẽ ký hiệu ,a t bởi , sup{ ( ) : [ ,a t s s a ]} (1.6)t    Nếu là khơng gian pha Banach, chuẩn trong sẽ được ký hiệu D D D . . Để chứng minh những kết quả chính của luận văn ,chúng ta sẽ sử dụng những kết quả sau. 1.3. Một số kết quả được sử dụng trong luận văn 1.3.1. Định lý 1.2 [5]. Cho Y là khơng gian Banach và 1: y    với 1 :Y Y  là tốn tử tuyến tính bị chặn và y Y . Nếu tồn tại 0x Y sao cho tập 0{ (n ) : }x n  là Compact tương đối trong Y, thì  cĩ điểm bất động trong Y. 1.3.2. Định lý 1.3 [4] Cho X là khơng gian Banach và M là tập con lồi, khác rỗng của X. nếu : 2XM  là ánh xạ đa trị sao cho (i) Với mỗi x M thì tập ( )x lồi, đĩng khác rỗng. (ii) Tập )( ) ( x M M x     là Compact tương đối (iii)  là nữa liên tục trên. Thì cĩ điểm bất động trong M.  1.3.3. Định lý Ascoli Tập ( , )nM C K R là tập Compact tương đối nếu và chỉ nếu M bị chặn đều và đẳng liên tục . 1.3.4. Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue Cho dãy hàm số { }nf hội tụ theo độ đo đến hàm số f trên một tập hợp A và nf g h.k.n trên A với mọi n, trong đĩ là một hàm số khả tích trên A thì g    lim nn A A f d fd 1.3.5. Định lý điểm bất động của Sadovskii 1.3.5.1. Định nghĩa độ đo phi compact Kuratovskii Cho X là khơng gian Banach, A là tập con bị chặn .Độ đo phi compact Kuratovski định bởi :  (A) = inf {d > 0 / A được phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp A1, A2,...An cĩ đường kính  d}. Tính chất : ( i )   (A)= (A)= (coA) (ii )   ( ) 0A A là Compact tương đối . (iii )     ( ) max ( ), ( )A B A B (iv )     ( ) ( ) ( )A B A B (v )  ( ) ( )tA t A 1.3.5.2. Định nghĩa tốn tử cơ đặc Ánh xạ  :f D X X được gọi là k – cơ đặc nếu tồn tại k sao cho: (0,1)  ( ( )) ( )f A k A với mọi A bị chặn chứa trong D. 1.3.5.3. Định lý điểm bất động của Sadovskii Giả sử (i) Tốn tử là k – cơ đặc, ở đây  :T M X M (ii) M khác rỗng, đĩng, bị chặn và là tập con lồi của khơng gian Banach X . Khi đĩ T cĩ điểm bất động . 1.3.6. Một số định lý nữa nhĩm 0C 1.3.6.1. Định nghĩa nữa nhĩm (định nghĩa 1.1) [13] Cho X là khơng gian Banach. Một họ tham biến của những tốn tử tuyến tính từ X vào X là một nhĩm của những tốn tử tuyến tính bị chặn trên X nếu: ( ),0T t t   (i) T (0) = I (I là tốn tử đồng nhất trên X) (ii) T ( t + s ) = T(t)T(s) với mỗi s, t 0 (Tính chất nữa nhĩm).  1.3.6.2. Định nghĩa nữa nhĩm (định nghĩa 2.1) [13] 0C Một nữa nhĩm   ( ),0T t t  ,của những tốn tử tuyến tính bị chặn trên là nữa nhĩm liên tục mạnh của những tốn tử tuyến tính bị chặn nếu với mỗi X (T t 0lim )t x x x X . Nữa nhĩm liên tục mạnh của những tốn tử tuyến tính trên X được gọi là nữa nhĩm của lớp hay đơn giản là nữa nhĩm . 0C 0C 1.3.6.3. Định lý 2.2 [13] Nếu là nữa nhĩm. ( )T t 0C Khi đĩ tồn hằng số  và 1M sao cho    ( ) , 0tT t Me t 1.3.6.3.1. Hệ quả 2.3 [13] Nếu là nữa nhĩm khi đĩ với mỗi ( )T t 0C  , ( )x X t T t x là hàm liên tục từ ( đường thẳng thực khơng âm ) vào X.  0 1.3.6.4. Định lý 2.3 [13] Cho là nữa nhĩm và A là phần tử vi phân của nĩ. Khi đĩ : ( )T t 0C X ,   0 1lim ( ) ( ) t h h t T s xds T t x h xa) Với  b) Với       0 0, ( ) ( ) ( ) ( ) t t x X T s xds D A và A T s xds T t x x c) Với    (A) , ( ) (A) và ( ) ( ) ( )dx D T t x D T t x AT t x T t Ax dt d)       Với (A) , ( ) ( ) ( ) ( )t t s s x D T t x T s x T Axd AT xd 1.3.6.4.1. Hệ quả 2.5 [13] Nếu A là phần tử vi phân của nữa nhĩm , khi đĩ 0C ( )T t D (A), miền xác định của A, trù mật trong X và A là tốn tử tuyến tính đĩng . 1.3.6.5. Định lý 3.2 [13, tr.48] Cho là nữa nhĩm. Nếu là compact với thì liên tục trên khơng gian tơ pơ những tốn tử đều với . ( )T t 0C ( )T t 0t t ( )T t 0t t Nếu là nữa nhĩm giải tích và bị chặn đều sao cho 0( ( ))tT t  0 ( )A thì nĩ cĩ thể định nghĩa bậc hữu tỉ ,như là tốn tử tuyến tính đĩng trên miền xác định của nĩ ( ) , (0,1A    ] D A( ) . Hơn nữa khơng gian con D A( ) là trù mật trong X và biểu thức      x A x x D A( ) , ( ) , định nghĩa là chuẩn trong D A( ) . Nếu X  biểu diễn khơng gian D A( ) xác định bởi chuẩn .  , thì theo [11, tr.74] ta cĩ những tính chất sau : 1.3.6.6. Bổ đề 1.1 Nếu các điều kiện trên đúng, thì 1. Nếu 0 1  thì X  là khơng gian Banach. 2. Nếu 0 1    thì X X  và phép nhúng là Compact với mỗi giải thức của tốn tử A là Compact. 3. Với mỗi 10   thì tồn tại 0C  sao cho ( ) ( ) , 0tCA T t t    ) Trong những phần sau, để tránh những ký hiệu khơng cần thiết, chúng ta giả sử rằng 0 (A và với mỗi 0 1  , ( ) , 0 T t M t  và ( ) ( ) , 0 (t  1.5)CA T t t     với mỗi hằng số . 0C  Trong luận văn này, 0 1  và 0  là những số khơng đổi, liên tục và chúng ta sử dụng những điều kiện sau  G F D X, : H1: Hàm G nhận giá trị trong X  và ( )A G liên tục. H2: ( , ) ( , ) ( )G t V t h t   với V, h nhận giá trị trong X  ; ( ) ,( )A V A h   liên tục ; ( ) (., ),( )A V A   h tuần hồn với chu kỳ  và ( ) ( ,.)A V t tuyến tính . H3: 1( , ) ( , ) ( , )G t V t G t    với 1,V G nhận giá trị trong X  ; 1( ) ,( )A V A G    liên tục ; 1(., ),( ) (.,A G ( )A V )  tuần hồn với chu kỳ  và ( ) ( ,.)A V t tuyến tính. H4: ( , ) ( , ) ( )F t L t f t   với liên tục ; ,L f (., ),L f tuần hồn với chu kỳ  và tuyến tính. ( ,.)L t H5: 1( , ) ( , ) ( , )F t L t F t    với liên tục ; 1,L F 1(., ), (., )L F  tuần hồn với chu kỳ  và tuyến tính. ( ,.)L t H6: Với mỗi 0R  và với mọi , tập những hàm số 0T  [ , ] { ( , ) :sx x  (( , ] : ), sup ( ) } r T s G s C T X x       đẳng liên tục trên đoạn [0,T] H7: Với mỗi 0R  và với mọi , tập những hàm số 0T  [ , ] { ( , ) :x x  (( , ] : ), sup ( ) }s b T s G s C T X x       đẳng liên tục trên đoạn [0,T] Chương 2 LỜI GIẢI TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM TRUNG HỊA CHỨA HÀM LÀM CHẬM BỊ CHẶN Trong chương này, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của lời giải tuần hồn của bài tốn giá trị đầu    o ( ( ) ( , )) ( ) ( , ), 2.1 x ([ ,0]: ) 2.2 t t d x t G t x Ax t F t x dt C C r X        2.1. Định nghĩa Hàm : [ , ]x r T X  0 là lời giải yếu của bài tốn Cauchy trừu tượng (2.1) – (2.2) nếu : x  ; thu hẹp của  .x trên đoạn [0,T] liên tục ; với mỗi hàm 0 t T      , , )s [0, ,AT t s G s x s t khả tích và                     0 t 0 0 0, , , + - , , [0, ] 2.3 t t s s x t T t G G t x AT t s G s x ds T t s F s x ds t T           0 Sự tồn tại lời giải yếu của bài tốn Cauchy trừu tượng (2.1) – (2.2) theo [9,định lý 2.1,2.2], với lý do này chúng ta sẽ bỏ qua việc chứng minh chi tiết hai kết quả kế tiếp 2.2. Định lý 2.1 Cho ,C T  và giả sử rằng các điều kiện sau đúng : (a) Tồn tai hằng số  0,1 và 0L  sao cho hàm G nhận giá trị trong X    ,   1L A   và           1 2 1 2, , , CA G t A G s L t s           2.4 với mỗi và 0 ,s t T  1 2, C   (b) Hàm F liên tục và biến những tập bị chặn thành những tập bị chặn. Khi đĩ tồn tại lời giải yếu (., )x  của bài Cauchy trừu tượng (2.1) – (2.2) xác định trên [-r,b], với mỗi 0 b T  2.3. Định lý 2.2 Cho C 0 và . Giả sử rằng điều kiện (a) của định lý (2.1) đúng và tồn tại 0T  N  sao cho ( , ) ( , ) C F t F t N      với mọi và với mỗi 0 t T  , C   . Khi đĩ tồn tại duy nhất lời giải yếu (., )x  của (2.1) –(2.2) xác định trên [-r, b] với mỗi 0 b T  . Hơn nữa, b cĩ thể chọn là min{T, b }, ở đây là hằng số dương độc lập với 0 0b  . Để chứng minh kết quả chính của mục này, đĩ là những kết quả cơ bản kế tiếp . 2.4. Định lý 2.3 Cho T > r và giả sử rằng đúng. Giả sử thêm rằng, các điều kiện sau đây đúng 1,H H 6 (a) Với mỗi C tập          , : : là lời giải của 2.1 2.2X x C r T X x     bị chặn. (b) Với mỗi 0R  , tập         , , , : [0, ], và s s CA G s x F s x s T x X R      bị chặn. Khi đĩ ánh xạ đa trị     : 2 ; :C T TC X x x X       0 là Compact, nghĩa là, với mỗi R  tập  , C R T T R X     U là Compact tương đối ở trong C Chứng minh 0 và   C R R X     U . Từ (b), chúng ta cố định 0R NCho  sao cho    , sA G s x N  và  , sF s x N với mỗi RxU và với mỗi . Mặt khác ,sử dụng định lý Ascoli ta sẽ chia chứng minh ra hai bước . [0, ]s T Bước 1 : Tập     :R t x t x U RU là Compact tương đối với mỗi . (0, ]t T Cho 0 t T   . Vì    0tT t  giải tích, hàm tốn tử  s AT s liên tục trong khơng gian tơ pơ các tốn tử đều trên (0, T], bằng cách ước lượng           2.6 1 1 1, , [0, ), s R C N A T G s x s t x t s        Ut s A      suy ra hàm   , ss AT t s G s x  khả tích trên [0 với mỗi , )t RxU . Với những điều kiện trước, với RxU ta cĩ                                        1 0 t 1 t- 0 (0) (0, ) , +T , + -A , +T , , t t s s t t s s t x t T T t G A A G t x A T t s A G s x ds T t s A G s x ds T t s F s x ds T t s F s x ds                                             Với ( ) ( )( (0) (0, )) ( ) ( ) ( (0) (0, ) ) ( ) .( ( ) ( ) (0, ) ( ) .( )                           T T t G T T t G T M R A A G T M R N ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) [0 :          t t ] NA G t x N A A G t x A B X 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , ) ( do tính chất nữa nhóm) t s t s W t T A T t s A G s x ds A T t s A G s x ds                         2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( do tính chất nữa nhóm ) t s t s W t T T t s F s x ds T t s F s x ds               t 1 1 t- 11 11 C ( ) ( )( ) ( , ) va C diamC . 2C ( )                        s t t A T t s A G s x ds Nds N t s 2 2 C ( ) ( , ) và diam(C ) ( ) . ( , ) . .                    t s t t s t t t T t s F s x ds T t s F s x ds M Nds M N và do đĩ       1 1 2[0, ] [0, ] ,R N N t t 2x t T MB X A B X W C W C          với mỗi là Compact, thật vậy : 1W Với 0  cố định. Cho 00 t t   sao cho 0t t     1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , )           t sW t W t T A T t s A G s x ds  ds ds s 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( , )           t sT A T t s A G s x 0 0 1 0 0 1 = ( ) ( ) ( ( ) ( ))( ) ( , ) + ( ) ( ) ( )( ) ( , )                               t s t s t T A T t s T t s A G s x T A T t s A G s x d 0 1 0 0 1 ( ) ( ( ) ( ))( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , ) t s t s t A T t s T t s A G s x ds A T t s A G s x ds                          Suy ra : 1 1 1 0 0 0 1 ( ) ( ) . ( ) . .2 .                            C W t W t N t t t t N C N N  nên đẳng liên tục bên phải tại .Tính liên tục tại được chứng minh tương tự, do đĩ đẳng liên tục trên [ . 1W 0t 0 0t  1W 0; )t Mặt khác, 1 1 1 0 1 0 1 ( ) . ( ) . .( ) . .( ) t t C W t Nds t s C N t s C N T                          Do đĩ là ánh xạ compact. 1W Tương tự ta cũng chứng minh được là ánh xạ compact. 2W  1 12diam C C N    và  2 2diam C MN   Vì  A  là Compact, những chú ý này dẫn tới  R tU hồn tồn bị chặn và kết quả là  R tU Compact tương đối trong X. Bước 2 : hồn tồn liên tục trên ( 0 ,T]. RU Cho 00 t T   . Sự liên tục mạnh của    0tT t  dẫn đến tập những hàm       : R NT B X  0,s T s x x  đồng liên tục trên [0, T] .Cho 0    sao cho              00 , ' , 0, , , , , [ , ] : , R N t t r T T s x T s x x T B X G t u G t u u C r T X u R N               khi ' ,0 , 's s s s T    và 00 t t    Với những điều kiện trên, cho RxU và 00 t t    chúng ta cĩ                                                0 0 0 0 0 0 0 0 t 1 0 1 t 1 t 0 0, + G t , , + , + , + t t s t s t x t x t T t T t T G x G t x A 0 0 0 0 , s T t s t T A G s x ds I T t t A s A G s x ds A T t s A x ds                                          I T t T t G s            0t 0 0 0 + , sT t s I T t t T F s x ds                   0 0 0 0 t + , , t t s s t T t s T t s F s x ds T t s F s x ds        Với : 0 T( )( (0) (0, )) ( ) (0, ). Do đó : (T(t ) ( )) ( )( (0) (0, )) R NG T B X T t T G                   00 ( , ) ( , )t tG t x G t x    1 0 0 1 0 0 1 0 0 01 0 1 1 0 ( ) ( )( ( )) ( )( ) ( , ) ( ) ( ) . ( ( )) ( )( ) ( , ) . ( ( ) ( )) ( )( ) ( , ) ( ) . . Do đó : ( ) s s s A T t s I T t t T A G s x A T t s I T t t T A G s x C T t t T t t T A G s x t s C t s                                                                0 t 1 0 0 0 1 0 ( )( ) ( )( ( )) ( )( ) ( , ) .s tA T t s I T t t T A G s x C 0 0 0 0 1 0 0 11 0 0 0) 0 1 0 11 0 0 1 0 ( ) . ( ) ( )( ) ( , ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 2. . . ( ) ( ) . ( ) ( )( ) ( , ) 2. . . ( ) s s t t s t t I T t t A T t s A G s x C T t t T t t A T t s A G s x M N t s C I T t t A T t s A G s x M Nds t s                                           1 2.MC     0 0 11 1 1 t 11 0 11 t ( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( ) . ( ) ( , ) . ( ) ( )Do đó : ( ) ( )( ) ( , ) . . . ( ) s s t s t C A T t s A G s x A T t s A G s x N t s C t tA T t s A G s x Nds N C t s                               0 0 0 0 0 0 t 0 0 0 0 ( )( ( )) ( ) ( , ) ( ) . ( ( )) ( ) ( , ) . Do đó : ( )( ( )) ( ) ( , ) . s s t s T t s I T t t T F s x T t s I T t t T F s x M T t s I T t t T F s x ds M M                               0. ( )t  0 0 0 0 0 0 0 0 t ( ( ) ( )) ( , ) ( ) ( ) . ( , ) ( ( ) ( ) ). 2. . Do đó : ( ( ) ( )) ( , ) 2. . 2. . s s t t s t T t s T t s F s x T t s T t s F s x T t s T t s N M N T t s T t s F s x ds M Nds M N                          0 0 t 0 t ( ) ( , ) ( ) . ( , ) . Do đó : ( ) ( , ) . . ( ) s s t s t T t s F s x T t s F s x M N T t s F s x ds M Nds M N t t                                              0 0 0 1- 1 1 0 0 Suy ra : ( ) ( ) 2 + C 2 + +2 , t t x t x t MC N NC M t MN MN t t   t và do đĩ    0 1 2 3 4x t x t c c c c         với các hằng số độc lập với ic  .x . Vì vậy, hồn tồn liên tục bên phải tại . Tính hồn tồn liên tục tại được chứng minh tương tự. Do đĩ, hồn tồn liên tục trên ( 0,T] . RU 0 0t  RU 0 0t Từ bước 1 và 2, đã chỉ ra rằng  [ , ] : RTx x U là Compact tương đối trong với mỗi  [ , ] :C T X 0  ,R TU  , dẫn tới là Compact tương đối trong [ ,0] :C r X . Đpcm. 2.4.1. Hệ quả 2.4 Giả sử rằng các giả thiết trong định lý 2.2 và định lý 2.3 là đầy đủ. Khi đĩ ánh xạ  .,Tx  là hồn tồn liên tục. Chứng minh Vì    0tT t  giải tích, hàm tốn tử  s AT s liên tục trong khơng gian tơ pơ các tốn tử đều trên (0, T], bằng cách ước lượng            1 1 1, , [0, ), s R C N A T t s A G s x s t x t s             U 2.6 suy ra hàm    , ss AT t s G s x  khả tích trên [0 với mỗi , )t RxU . Với những điều kiện trước, với RxU ta cĩ                                        1 0 t 1 t- 0 (0) (0, ) , +T , + -A , +T , , t t s s t t s s t x t T T t G A A G t x A T t s A G s x ds T t s A G s x ds T t s F s x ds T t s F s x ds                                             Do đĩ :                                        1 0 t+T 1 t+T- 0 (0) (0, ) , +T , + -A , +T , , T t T t T s s t T t T s s t T x t T T t T G A A G t T x A T t s T A G s x ds T t T s A G s x ds T t T s F s x ds T t T s F s x ds                                                                            , 1 0 ( ) (0) (0, ) , +T , T R T T t T t T s x khi và chỉ khi x t T T t T G A A G t T x A T t s T A G s x ds                               U                  t+T 1 t+T- 0 + -A , +T , , s t T t T s s t T T t T s A G s x ds T t T s F s x ds T t T s F s x ds                          Gọi ,n nt T sx x là những dãy hội tụ đến ,t T sx x trong ( )TX khi và giả thiết của định lý 2.3, ta cĩ : n 1 21 2( ) ( ) . [0, ] ( ) . [0, ] ( ) ( )nT R N Nx t T M B X A B X W t C W t C          Trong đĩ, 1 1 2 , 1,2 là những ánh xạ compact và diam(C ) 2 , diam(C ) 2 ,( ) . iW i C MN A là compact               Áp dụng định lý hội tụ, bị chặn Lebesgue ,ta cĩ :                                      1 0 t+T 1 t+T- 0 ( ) ( ) (0) (0, ) , +T , + -A , +T , , nn TT t T t T s s t T s s x t x t T T t T G A A G t T x A T t s T A G s x ds T t T s A G s x ds T t T s F s x ds T t T s F s x d                                                     t T t T s      Do đĩ : ,( ) ( )T R Tx t U t . áp dụng định lý 2.3 ta cĩ (., )Tx  hồn tồn liên tục. 2.5. Định nghĩa Hàm :x X là lời giải tuần hồn với chu kỳ  của phương trình (2.1) nếu : x (. ) là lời giải yếu của (2.1) và    x t   x t với mỗi t  . Sử dụng những ý tưởng và kỹ thuật trong [10], ta cĩ thể thiết lập đầy đủ những điều kiện cho sự tồn tại lời giải tồn cục của phương trình (2.1). Trong phần sau, chúng ta luơn giả sử rằng lời giải yếu được xác định trên [0, ) 2.6. Định lý 2.5 Cho các điều kiện được thỏa mãn. Nếu phương trình (2.1) cĩ lời giải yếu bị chặn, thì tồn tại lời giải tuần hồn với chu kỳ 2 4, ,H H H 6  của (2.1). Chứng minh Để lời giải yếu    . .,x x  , chúng ta đưa vào sự khai triển      . . .x v z  với  .v là lời giải yếu của          0 , , t t d u t V t u Au t L t u dt u      , và z (.) là lời giải yếu của              0 , , u 0. t t d u t V t u h t Au t L t u f t dt       , Gọi : [ , )y r X    là lời giải yếu, bị chặn của (2.1) và là ánh xạ :C C    1: :z v z        . Vì 1 là tốn tử tuyến tính bị chặn và    0 1 n n :ny y n    là Compact tương đối ở trong C , từ định lý 2.3 và định lý 1.2 ta thấy cĩ điểm bất động trong C . Điểm bất động này chính là lời giải tuần hồn. Định lý được chứng minh. Trong phần sau CP là khơng gian  : : tuần hoàn với chu kỳ CP u X u   xác định bởi tơ pơ hội tụ đều. Bây giờ, ta sẽ chứng minh kết quả chính của luận văn . 2.7. Định lý 2.6 Cho các điều kiện thỏa mãn và giả sử rằng các điều kiện sau đây là đầy đủ 3 5, ,H H H 6 (a) Các hàm     1, ,A V A G   L và biến những tập bị chặn thành những tập bị chặn . 1F (b) Cĩ số 0  sao cho với mỗi [0, ]v B CP phương trình trung hịa  1 1( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )t t td tx t V t x G t v Ax t L t x F t vdt      cĩ lời giải tuần hồn với chu kỳ  là  ., [0, ]u v B CP Khi đĩ phương trình (2.1) cĩ lời giải tuần hồn với chu kỳ  . Chứng minh Trên , ta định nghĩa ánh xạ đa trị [0, ]B B CP  : 2BB   bởi : ( )x v nếu và chỉ nếu ,                              1 1 1 1 , , , , , , , , s s t t s t s , tx t T t s x s V s x G s v V t x G t v AT t V x G v d T t L x F v d t s                            Tiếp theo ta chứng minh  thỏa mãn các điều kiện (i) –(iii) của định lý 1.3. Rõ ràng giả điều kiện (i) là đúng. Điều kiện (ii) được chứng minh thơng qua các bước chứng minh định lý 2.3. Trong mối quan hệ với (iii), ta nhận xét rằng (ii) là đủ để suy ra  là đĩng. Nếu  n n v  và  n nx  là những dãy hội tụ trong CP tới những điểm thì ,v x                             1 1 1 1 , , , , , , , , n n n n A V x G v A V x G v T t L x F v T t L x F v                          , ,  với mỗi   và . t s                             1 1 1 1 , , , , , , ,   ,                     n n n n s s t t t t n n n n s s x t T t s V s x G s v V t x G t vn nx s AT t x G v d T t L x F v dV                            1 1 1 1 1 , , , ( ) ( ) , , , ,                                n n n n , ns s t t n n s t n n s T t s x s V s x G s v V t x G t v A T t A V x G v d T t L x F v d t                       1 1 1 1 1 1 ( ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , , , , ( do , trong ) n n s s t t n n t s t n n s M M A V s x A G s v A V t xn nA G t v A T t A V x G v d ._.