Tích phân Volkenborn

òng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã giảng dạy lớp Cao học Toán Khóa 18 của Tr−ờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH Tr−ờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học Tr−ờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tác giả hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của mình. Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Đắk Lắk; Ban Giám hiệu, quý thầy cô Tr−ờng THPT Krông Ana, Đắk Lắk đã tạo mọi điều kiện về cơ sở vật chất, thời gian và th−ờng xuyên động viên tác giả trong học tập. Trong quá trình học tập tác giả luôn nhận đ−ợc sự động viên, khích lệ của các bạn học viên trong lớp thạc sĩ khóa 18 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số của Đại học s− phạm Tp Hồ Chí Minh cũng nh− tất cả các bạn bè thân hữu. Tác giả xin chân thành cám ơn. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Ba Mẹ, các Em, Bà nội, Ông Bà ngoại, các Bác, Chú Thím, Cậu Mợ, các Anh Chị luôn cổ vũ, động viên để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, luận văn không thể hoàn thành sau quá trình miệt mài học tập và nghiên cứu nếu thiếu sự cảm thông sâu sắc, sự khích lệ tinh thần th−ờng xuyên của Chồng, Con tác giả. Tác giả i Danh mục kí hiệu N = {0, 1, 2, 3, ...} N∗ = {1, 2, 3, ...} Z = {0,±1,±2, ...} Q: tr−ờng các số hữu tỉ. Qp: tr−ờng các số p−adic. Zp = {x ∈ Qp : |x|p ≤ 1}: vành các số nguyên p−adic. Tp = Zp \ pZp = {x ∈ Zp : |x|p = 1} B0, B1, ..., Bn: các số Bernoulli. B0(x), B1(x), ..., Bn(x): đa thức Bernoulli. exp t = et, với e = lim n→∞ ( 1 + 1n )n . expp t: hàm mũ p−adic. logp t: hàm logarit p−adic.( x n ) :=  x(x− 1)...(x− n + 1) n! , nếu n 6= 0 1, nếu n = 0 với n ∈ N, x ∈ K, trong đó K là tr−ờng giá trị phi Archimede đầy đủ chứa Qp nh− tr−ờng con. ii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cảm ơn i Danh mục kí hiệu ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ch−ơng 1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tr−ờng các số p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Một số khái niệm, kết quả về giải tích siêu mêtric . . . . . . 8 Ch−ơng 2 Xây dựng tích phân Volkenborn . . . . . . . . . . 16 2.1 Tổng bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Định nghĩa và một số kết quả về tích phân Volkenborn . . . 21 2.3 Tích phân Volkenborn của một số hàm đơn giản . . . . . . . 33 2.4 Tích phân trên các tập con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ch−ơng 3 Một số ứng dụng của tích phân Volkenborn . . 38 3.1 Giới thiệu về số Bernoulli và đa thức Bernoulli . . . . . . . . 38 3.2 Xây dựng các số Bernoulli bằng tích phân Volkenborn . . . . 40 3.3 Dùng tích phân Volkenborn để chứng minh một số tính chất của các số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Chứng minh định lý von Staudt - Clausen theo lý thuyết số . 43 3.5 Chứng minh định lý von Staudt - Clausen bằng giải tích p−adic 47 3.6 Định nghĩa đa thức Bernoulli bằng tích phân Volkenborn . . 53 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1 Mở đầu Các số p−adic đ−ợc Kurt Hensel mô tả đầu tiên năm 1897, hơn một trăm năm qua chúng dần thâm nhập vào các lĩnh vực khác nhau của toán học nh− lý thuyết số, hình học đại số, tôpô đại số, giải tích và cả vật lý, đặc biệt là vật lý l−ợng tử. Vào những năm 40 của thế kỉ XX, giải tích p−adic phát triển mạnh mẽ thành một chuyên ngành độc lập nhờ việc phát hiện những mối liên hệ sâu sắc của giải tích p−adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số. Trong giải tích p−adic có nhiều t−ơng tự p−adic khác nhau của khái nhiệm tích phân, chẳng hạn nh− khái niệm t−ơng tự p−adic của tích phân Riemann, tích phân Stieltjes, tích phân Shnirelman (t−ơng tự p−adic của tích phân đ−ờng)... Bên cạnh đó, tích phân Volkenborn là một tích phân khá đặc biệt, chỉ có trong giải tích p−adic và không là t−ơng tự p−adic của bất kì tích phân nào đã biết. Hơn thế nữa, tích phân Volkenborn có khá nhiều ứng dụng trong nghiên cứu lý thuyết số. Bởi lý do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Tích phân Volkenborn". Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách đầy đủ và chi tiết cách xây dựng, các tính chất cơ bản của tích phân Volkenborn, đồng thời giới thiệu một số áp dụng lý thú của nó, qua đó sẽ làm rõ ý nghĩa và vai trò của tích phân Volkenborn trong giải tích p−adic và lý thuyết số. Cụ thể nh− sau Ch−ơng 1 Kiến thức cơ bản: trình bày một số kiến thức cơ bản về số p−adic, giải tích p−adic, khai triển Mahler của các hàm liên tục cần dùng cho các ch−ơng sau. Ch−ơng 2 Xây dựng tích phân Volkenborn: giới thiệu về khái niệm tổng bất định của hàm số liên tục, tính tổng bất định của một số hàm liên tục trên Zp th−ờng gặp sau đó xây dựng tích phân Volkenborn của hàm số liên tục trên Zp nh− là đạo hàm tại 0 của tổng bất định hàm số. Ch−ơng này cũng nghiên cứu một số tính chất cơ bản của tích phân Volkenborn, chủ yếu là của các hàm số khả vi liên tục trên Zp đồng thời tính toán tích phân Volkenborn cho một số lớp hàm cơ bản quan trọng trong giải tích p−adic. Cuối ch−ơng là giới thiệu về khái niệm tích phân trên các tập con của Zp. Ch−ơng 3 Xây dựng một số ứng dụng của tích phân Volkenborn: ch−ơng này sẽ ứng dụng tích phân Volkenborn để xây dựng và nghiên cứu một số tính chất quan trọng của các số Bernoulli - các số có vai trò quan 2 trọng trong lý thuyết số - đặc biệt là đồng d− thức nổi tiếng của von Staudt và Clausen. Song song với việc chứng minh bằng kỹ thuật p−adic, chúng tôi cũng giới thiệu cách chứng minh đồng d− thức này bằng cách sử dụng các kỹ thuật của lý thuyết số để tiện đối chiếu. Cuối ch−ơng, chúng tôi giới thiệu cách xây dựng đa thức Bernoulli bằng tích phân Volkenborn. Mặc dù bản thân tác giả đã rất cố gắng nh−ng do trình độ và thời gian hạn chế nên luận văn có thể vẫn còn những thiếu sót. Kính mong quý thầy, cô và quý độc giả góp ý để luận văn đ−ợc hoàn thiện hơn. 3 Ch−ơng 1 Kiến thức cơ bản 1.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Hàm giá trị (valuation) Cho K là một tr−ờng. Một hàm giá trị trên K (còn gọi là chuẩn trên tr−ờng K) là một ánh xạ || : K → R thỏa mãn (i) ∀x ∈ K, |x| ≥ 0, |x| = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 (ii) |x + y| ≤ |x|+ |y|,∀x, y ∈ K (iii) |xy| = |x||y| Cặp (K, ||) gọi là tr−ờng giá trị. Ví dụ 1.1.2. 1. Hàm lấy giá trị tuyệt đối trên tr−ờng số thực R là một hàm giá trị 2. Hàm lấy môđun trên tr−ờng số phức C cũng là một hàm giá trị 3. Trên một tr−ờng K bất kì, hàm || đ−ợc định nghĩa |x| := { 0 nếu x = 0, 1, nếu x 6= 0. là một hàm giá trị, gọi là hàm giá trị tầm th−ờng. 4 Mệnh đề 1.1.3. Kí hiệu 1K là phần tử đơn vị của tr−ờng giá trị (K, ||). Ta có 1. |1K | = 1 2. | − x| = |x|, x ∈ K 3. |x−1| = |x|−1, x ∈ K, x 6= 0 4. |x− y| ≥ ||x| − |y||;x, y ∈ K Giả sử (K, ||) là một tr−ờng giá trị. ánh xạ d : K ì K → R cho bởi d(x, y) = |x−y| là một metric, gọi là metric cảm sinh bởi || trên K, metric này cũng cảm sinh một tôpô trên K, gọi là tôpô cảm sinh bởi ||. K cùng với tôpô cảm sinh này trở thành một tr−ờng tôpô, nghĩa là phép cộng và phép nhân hai phần tử trên K là các ánh xạ liên tục. Hai hàm giá trị trên K gọi là hai hàm giá trị t−ơng đ−ơng nếu chúng cảm sinh cùng một tôpô trên K. Trong định nghĩa hàm giá trị (1.1.1) ở trên, nếu thay điều kiện (ii) bởi điều kiện (ii′): |x + y| ≤ max{|x|, |y|} thì (K, ||) gọi là tr−ờng giá trị phi Archimede, (ii′) gọi là bất đẳng thức tam giác mạnh. Khi đó mêtric cảm sinh bởi hàm giá trị phi Archimede thì gọi là siêu mêtric. Mọi tr−ờng K cùng với hàm giá trị tầm th−ờng là tr−ờng giá trị phi Archimede. Trong luận văn này chỉ nghiên cứu các tr−ờng giá trị K là phi Archimede. Ví dụ 1.1.4. Lấy ρ > 1, với mỗi f ∈ R[X], đặt |f | := { 0, nếuf = 0 ρd(f), nếu f 6= 0 trong đó d(f) là bậc của f . Với s ∈ R(X), đặt |s| := |f ||g|−1, (s = fg−1; f, g ∈ R[X], g 6= 0) Thì (R(X), ||) là tr−ờng giá trị phi Archimede. 5 Ví dụ 1.1.5. Lấy p là một số nguyên tố, với mỗi n ∈ Z ta định nghĩa ordpn là số i ∈ N sao cho pi chia hết n và pi+1 không chia hết n. Với x ∈ Q, x = a b , a, b ∈ Z ta định nghĩa ordpx=ordpa-ordpb. Khi đó ||p đ−ợc định nghĩa |x|p := { p−ordpx, nếu x 6= 0 0, nếu x = 0 là một hàm giá trị phi Archimede trên Q Mệnh đề 1.1.6 (Nguyên lý tam giác cân). Cho || là một hàm giá trị phi Archimede trên tr−ờng K. Với mọi x, y ∈ K, nếu |x| 6= |y| thì |x + y| = max{|x|, |y|}. Mệnh đề 1.1.7 (Mọi hàm giá trị trên Q). Mọi hàm giá trị không tầm th−ờng trên Q đều t−ơng đ−ơng với hoặc ||p với p là một số nguyên tố nào đó hoặc là hàm giá trị tuyệt đối. Định nghĩa 1.1.8. Tr−ờng thặng d− Giả sử (K, ||) là tr−ờng giá trị phi Archimede. Kí hiệu B(0; 1) = {x ∈ K||x| ≤ 1} B−(0; 1) = {x ∈ K||x| < 1} Khi đó k = B(0; 1)/B−(0; 1) là một tr−ờng, gọi là tr−ờng thặng d− của K. Định nghĩa 1.1.9. Số p−nguyên Cho số nguyên tố p. Một số b ∈ Q đ−ợc gọi là p−nguyên nếu b = m k , (m, k) = 1 và p - k Định nghĩa 1.1.10. Đồng d− modulo n Cho n ∈ N∗;m, k ∈ Q. m gọi là đồng d− với k theo modudlo n nếu n | (m− k), kí hiệu m ≡ k(mod n) 6 1.2 Tr−ờng các số p-adic Bao đủ (completion) của Q theo hàm giá trị tuyệt đối là tr−ờng số thực R. Bao đủ của Q theo ||p là tr−ờng Qp, gọi là tr−ờng các số p-adic. Ta cũng kí hiệu ||p là mở rộng của ||p trên Qp. Cụ thể hơn nh− sau Kí hiệu S là tập tất cả các dãy số hữu tỉ Cauchy theo ||p. Trên S xác định quan hệ t−ơng đ−ơng ∼: {xn} ∼ {yn} ⇔ lim n→∞(xn − yn) = 0 Phần tử của Qp chính là các lớp t−ơng đ−ơng theo quan hệ ∼ với phép cộng và nhân trên Qp đ−ợc định nghĩa bởi: {xn}+ {yn} = {xn + yn} {xn}.{yn} = {xn.yn} Q đ−ợc xem là tr−ờng con của Qp nhờ ánh xạ nhúng mỗi a ∈ Q thành {a}. Với α ∈ Qp ⇒ α = {an}, giá trị của α đ−ợc xác định |α|p = lim n→∞ |an|p Nh− sẽ thấy ở mệnh đề (1.3.6), nếu α 6= 0 thì có N ∈ N sao cho với n > N thì |α|p = |an|p Bao đóng đại số Q˜p của Qp không đầy đủ. Bao đủ của Q˜p đầy đủ và đóng đại số, kí hiệu là Cp. Định nghĩa 1.2.1. Số nguyên p−adic Một số x ∈ Qp gọi là số nguyên p-adic nếu |x|p ≤ 1. Ta kí hiệu Zp = {x ∈ Qp, |x|p ≤ 1}. Mệnh đề 1.2.2. i) Zp là vành con của Qp mà chứa Z thực sự. ii) Qp là tr−ờng các th−ơng của Zp. iii) N trù mật trong Zp. 7 Định nghĩa 1.2.3. Khai triển p-adic Với mỗi x ∈ Qp, x có thể khai triển thành chuỗi x = ∞∑ j=m ajp j,m ∈ Z, 0 ≤ aj < p và gọi là khai triển p-adic của x Trong khai triển này, nếu i là số nguyên nhỏ nhất sao cho ai 6= 0 thì |x|p = p−i. Nhận xét 1.2.4. 1. Một phần tử x ∈ Zp có nghịch đảo trong Zp nếu và chỉ nếu |x|p = 1. 2. Nếu x là phần tử khác 0 của Zp thì x = pordp(x)y với y ∈ Zp, |y|p = 1. 3. Nếu x ∈ Qp thì tồn tại m ∈ Z, α ∈ Zp sao cho x = pmα 4. Trong Qp, ta có B−(0; 1) = pZp, từ đó tr−ờng thặng d− của Qp là Zp/pZp. Mệnh đề 1.2.5. Tập tất cả các giá trị của ||p là {0} ∪ {pn : n ∈ Z}. Đây là một nhóm, gọi là nhóm giá trị của Qp 1.3 Một số khái niệm, kết quả về giải tích siêu mêtric Từ mục này đến cuối luận văn, chỉ xét các tr−ờng giá trị phi Archimede K đầy đủ chứa Qp nh− tr−ờng con. Định nghĩa 1.3.1. Chuẩn trên không gian vectơ Cho E là một không gian vectơ trên K. Một ánh xạ ‖‖ : E → R gọi là một chuẩn nếu (i) ‖x‖ ≥ 0,∀x ∈ E,‖x‖ = 0 nếu và chỉ nếu x = 0. 8 (ii) ‖λx‖ = |λ|‖x‖, với x ∈ E, λ ∈ K. (iii) ‖x + y‖ ≤ max{‖x‖, ‖y‖}. (E, ‖‖) gọi là không gian định chuẩn trên K. Ta có thể chỉ viết E thay cho (E, ‖‖) Ví dụ 1.3.2. Cho X là một tập, một hàm f : X → K gọi là bị chặn nếu ‖f‖∞ := sup{|f(x)| : x ∈ X} < ∞ Đặt B(X → K) là tập tất cả các hàm bị chặn từ X vào K thì (B(X → K), ‖‖∞) là một không gian định chuẩn trên K. Định nghĩa 1.3.3. ánh xạ liên tục trên không gian định chuẩn Cho E,F là các không gian định chuẩn trên K. ánh xạ K-tuyến tính A : E → F gọi là liên tục nếu với mọi dãy x1, x2, ... ∈ E mà lim n→∞ ‖xn‖E = 0 thì lim n→∞ ‖Axn‖F = 0. Mệnh đề 1.3.4. Cho E,F là các không gian định chuẩn trên K. ánh xạ K-tuyến tính A : E → F là liên tục nếu và chỉ nếu có M ≥ 0 sao cho ‖Ax‖F ≤ M‖x‖E,∀x ∈ E Định nghĩa 1.3.5. Giới hạn p−adic Một dãy a1, a2, ... trong K gọi là hội tụ đến a ∈ K nếu lim n→∞ |an−a| = 0, ta kí hiệu lim n→∞ an = a. Mệnh đề 1.3.6. Lấy a1, a2, ... là một dãy trong K với hàm giá trị phi Archimede ||. Nếu lim n→∞ an = a, a 6= 0 thì |an| = |a| với n đủ lớn. Định nghĩa 1.3.7. Hàm liên tục Cho X ⊂ K. Hàm f : X → K gọi là liên tục tại a ∈ X nếu một trong các điều kiện t−ơng đ−ơng sau đây đ−ợc thỏa 9 (i) Với mọi ε > 0 cho tr−ớc, có số δ > 0 sao cho |x − a| < δ, x ∈ X kéo theo |f(x)− f(a)| < ε. (ii) Nếu a1, a2, ... ∈ X, lim n→∞ an = a thì limn→∞ f(an) = f(a). Hàm f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X . Định nghĩa 1.3.8. Hàm khả vi Lấy X ⊂ K, a ∈ X là một điểm tụ của X . Hàm f : X → K gọi là khả vi tại a nếu đạo hàm f ′(a) của f tại a tồn tại, với f ′(a) := lim x→a f(x)− f(a) x− a . f gọi là khả vi trên X nếu f ′(a) tồn tại với mỗi a ∈ X . Hàm f ′ gọi là đạo hàm của f, f gọi là nguyên hàm của f'. Mệnh đề 1.3.9. Các quy tắc đã biết về tính khả vi của tổng, tích, th−ơng, hợp thành của các hàm biến thực vẫn đúng trong tr−ờng hợp này. Do đó, đạo hàm của hàm đa thức f(x) = n∑ j=0 ajx j trên K là f ′(x) = n∑ j=1 jajx j−1. Các hàm hữu tỉ là khả vi. Một hàm khả vi là liên tục. Định nghĩa 1.3.10. Tập lồi Cho x, y, z ∈ K. Kí hiệu hình cầu nhỏ nhất chứa cả x và y là [x, y]. z gọi là ở giữa x và y nếu z ∈ [x, y], ng−ợc lại ta nói x, y cùng phía với z. Một tập con X của K gọi là lồi nếu x, y ∈ X kéo theo [x, y] ⊂ X Mệnh đề 1.3.11. Tất cả các tập lồi trong K là các hình cầu, ∅, K và các tập gồm một phần tử {a}, a ∈ K Định nghĩa 1.3.12. Phần tử d−ơng trong K Một phần tử x ∈ K gọi là d−ơng nếu |1 − x| < 1. Tập tất cả các phần tử d−ơng của K là một nhóm, kí hiệu là K+ 10 Định nghĩa 1.3.13. Hàm giải tích Xét tập con D của K là tập lồi. Một hàm f : D → K gọi là giải tích trên D nếu có các phần tử u ∈ D và a0, a1, ... ∈ K sao cho f(x) = ∞∑ n=0 an(x− u)n, (x ∈ D) Mệnh đề 1.3.14. Một hàm giải tích là khả vi vô hạn lần. Định lý 1.3.15. Cho D ⊂ K là tập con lồi, mở và f giải tích trên D. Khi đó với mỗi v ∈ D, tồn tại các phần tử b0, b1, ... ∈ K sao cho f(x) = ∞∑ n=0 bn(x−v)n,∀x ∈ D. Hệ quả 1.3.16. Nếu D chứa 0 thì hàm f giải tích trên D có thể biểu diễn dạng f(x) = ∞∑ n=0 anx n. Định nghĩa 1.3.17. Hàm mũ p-adic Hàm mũ p-adic đ−ợc cho bởi công thức expp x = ∞∑ n=0 xn n! , (x ∈ E) Trong đó E := {x ∈ K : |x| < p 11−p} là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞∑ n=0 xn n! Định nghĩa 1.3.18. Hàm logarit p−adic Hàm logarit p-adic đ−ợc định nghĩa là logp(x) := ∞∑ n=1 (−1)n+1 (x− 1) n n , x ∈ K+ 11 Định nghĩa 1.3.19. Hàm khả vi liên tục Cho X là tập con khác rỗng của K không chứa điểm cô lập, f : X → K. Sai phân φ1f của f là hàm hai biến cho bởi φ1f : X ìX \4 → K,4 := {(x, x) : x ∈ X} φ1f(x, y) = f(x)− f(y) x− y , (x, y ∈ X, x 6= y) f đ−ợc gọi là khả vi liên tục tại a ∈ X, (f là C1 tại a) nếu lim (x,y)→(a,a) φ1f(x, y) tồn tại. f gọi là khả vi liên tục (f là hàm C1) nếu f là C1 tại mọi a ∈ X . Tập tất cả các hàm f : X → K khả vi liên tục đ−ợc kí hiệu là C1(Zp → K), là K - không gian vectơ đóng đối với phép nhân ánh xạ. Đặt ‖f‖1 := ‖f‖∞ ∨ ‖φ1f‖∞, thì BC1(X → K) := {f ∈ C1(Zp → K) : ‖f‖1 < ∞} là không gian định chuẩn với chuẩn ‖‖1. Mệnh đề 1.3.20. Mọi hàm giải tích là C1. Định nghĩa 1.3.21. Hàm khả vi liên tục cấp n Xét X là tập con khác rỗng của K không chứa điểm cô lập. Với n ∈ N∗, đặt ∇nX := {(x1, x2, ..., xn) ∈ Xn : nếu i 6= j thì xi 6= xj} Sai phân bậc n φnf : ∇n+1X → K của hàm f : X → K đ−ợc định nghĩa quy nạp bởi: (i) φ0f := f (ii) Với n ∈ N∗, (x1, x2, ..., xn+1) ∈ ∇n+1X : φnf(x1, x2, ..., xn+1) := φn−1f(x1, x3, ..., xn+1)− φn−1f(x2, x3, ..., xn+1) x1 − x2 f là một hàm Cn hay f là Cn nếu φnf có thể mở rộng thành một hàm liên tục φnf : Xn+1 → K. Tập tất cả các hàm Cn f : X → K đ−ợc kí hiệu là Cn(X → K) Hàm f gọi là Cn tại a ∈ X nếu tồn tại giới hạn lim ν→αφnf(ν), (α := (a, a, ..., a) ∈ X n+1, ν ∈ ∇n+1X) 12 Mệnh đề 1.3.22. Một hàm f : X → K là Cn nếu và chỉ nếu f là Cn tại mọi a ∈ X . Mệnh đề 1.3.23 (Biểu diễn Teichmuller). Ph−ơng trình xp = x có đúng p nghiệm trong Qp. Tập nghiệm là {0, θ, θ2, ...θp−1} với θ là một căn nguyên thủy bậc p − 1 của 1 trong Qp, nghĩa là n = p − 1 là số d−ơng nhỏ nhất để θn = 1. Khi đó, mọi phần tử x ∈ Qp có thể đ−ợc biểu diễn dạng x = ∞∑ n=−∞ bnp n, bn ∈ {0, θ, θ2, ...θp−1}, b−n = 0 khi n đủ lớn và ng−ợc lại, mỗi chuỗi nh− thế là biểu diễn cho một số p-adic. Định nghĩa 1.3.24. Dãy nội suy đ−ợc Cho A ⊂ Z, A trù mật trong Z theo nghĩa p-adic. n 7→ an là một dãy trong K. Dãy này gọi là nội suy đ−ợc nếu tồn tại hàm liên tục f : Zp → K sao cho f(n) = an,∀n ∈ A Định lý 1.3.25. Cho f ∈ C(Zp → K). Khi đó có duy nhất một hàm F ∈ C(Zp → K) sao cho F (x + 1)− F (x) = f(x), (x ∈ Zp), F (0) = 0 Hệ quả 1.3.26. Nếu một dãy un trong K nội suy đ−ợc thì dãy tổng riêng của un cũng nội suy đ−ợc. Định lý 1.3.27. Với a ∈ K thì dãy 1, a, a2... nội suy đ−ợc nếu và chỉ nếu a ∈ K+. Đặt ax := lim n→x a n, x ∈ Zp, a ∈ K+ Khi đó, ∀x, y ∈ Zp, a ∈ K+ ta có • ax ∈ K 13 • ax+y = axay • a−x = (ax)−1 Định lý 1.3.28. Đặt E = {x ∈ K : |x| < p 11−p}. Các hàm mũ p-adic, hàm logarit p-adic và hàm ax có các tính chất sau 1. expp là khả vi trên E và exp ′ p = exp. 2. logp là khả vi trên K + và (logp x) ′ = 1x , x ∈ K+ 3. expp(x + y) = (expp x)(expp y), (x, y ∈ E) 4. logp(xy) = logp x + logp y, (x, y ∈ K+) 5. logp(expp x) = x, expp(logp y) = y, (x ∈ E, y ∈ 1 + E) 6. lim x→0 ax − 1 x = logp a Định nghĩa 1.3.29. ( x n ) Cho n ∈ N, x ∈ K( x n ) :=  x(x− 1)...(x− n + 1) n! , nếu n 6= 0 1, nếu n = 0 Mệnh đề 1.3.30. Kí hiệu ( X n ) là hàm x 7→ (xn). Ta có (i) ( X n ) là hàm đa thức bậc n. Nếu j ∈ N, j < n thì (jn) = 0, (nn) = 1 (ii) Với mọi x, y ∈ K,n ∈ N ta có (x+yn ) = n∑ j=0 ( x j )( y n−j ) (iii) Với mọi x ∈ K,n ∈ N ta có (x+1n ) = (xn)+ ( xn−1) (iv) |(xn)|p ≤ 1, x ∈ Zp Định lý 1.3.31. Các hàm ( X 0 ) , ( X 1 ) , ( X 2 ) , ... lập thành một cơ sở trực giao (gọi là cơ sở Mahler) của C(Zp → K), nghĩa là: 14 (i) Với mỗi f ∈ C(Zp → K) thì có duy nhất các số a0, a1, ... ∈ K sao cho f(x) = ∞∑ n=0 an ( x n ) , x ∈ Zp Chuỗi này hội tụ đều, ta gọi đây là khai triển Mahler của f . Các số a0, a1, ... gọi là các hệ số Mahler của f (ii) Nếu a0, a1... là dãy dần về 0 trong K thì x 7→ ∞∑ n=0 an ( x n ) xác định một hàm liên tục trên Zp. Bổ đề 1.3.32. Đặt |K∗| = {|x|, x ∈ K, x 6= 0}. Cho r ∈ |K∗| và hàm f(x) = ∞∑ j=0 ajx j với x ∈ B0(r). Khi đó, với mỗi n ∈ N, dãy các tổng riêng m 7→ m∑ j=0 ajx j hội tụ đến f trong Cn(Zp → K). Định nghĩa 1.3.33. γn Với mỗi n ∈ N ta định nghĩa γn là các số nguyên sao cho • Với n = 0, γ0 := 1 • Với n > 0, n có khai triển p−adic là n = a0 + a1p + ... + asps thì γn := asp s Bổ đề 1.3.34. Các số γn có các tính chất sau (i) 1n ≤ |γn|p ≤ pn , n > 0 (ii) 1p |γn|p ≤ |γn+1|p ≤ |γn|p, n ∈ N Định lý 1.3.35 (Đặc tr−ng của các hàm C1 bởi hệ số Mahler). Cho f ∈ C(Zp → K) có khai triển Mahler là f = ∞∑ n=0 an ( X n ) . Khi đó f ∈ C1(Zp → K) nếu và chỉ nếu lim n→∞ |an|n = 0. Hơn nữa nếu f ∈ C1(Zp → K) thì ‖f‖1 = max{|an||γn|−1p : n ∈ N} với ‖f‖1 := ‖f‖∞ ∨ ‖φ1f‖∞ 15 Ch−ơng 2 Xây dựng tích phân Volkenborn 2.1 Tổng bất định Định nghĩa 2.1.1. Tổng bất định Cho f ∈ C(Zp → K), khi đó theo hệ quả (1.3.26), dãy n 7→ n−1∑ j=0 f(j), n ∈ N là nội suy đ−ợc. Hàm số liên tục nội suy dãy n 7→ n−1∑ j=0 f(j), n ∈ N gọi là tổng bất định của f , kí hiệu là Sf . Sf(x) = x−1∑ j=0 f(j) = lim n→x n−1∑ j=0 f(j), n ∈ N∗ Nhận xét 2.1.2. Từ định lý (1.3.25), ta có : Sf(x + 1)− Sf(x) = f(x), (x ∈ Zp), Sf(0) = 0 Ví dụ 2.1.3. Tổng bất định của một vài hàm số trên Zp 1. Hàm số f(x) = 1 Với n ∈ N∗, ta có n−1∑ j=0 f(j) = n 16 Suy ra Sf(x) = lim n→x n−1∑ j=0 f(j) = x 2. Hàm số f(x) = x, x ∈ Zp Với n ∈ N, n > 0, ta có n−1∑ j=0 f(j) = 0 + 1 + ... + (n− 1) = (n− 1)n 2 Suy ra Sf(x) = lim n→x n−1∑ j=0 f(j) = (x− 1)x 2 3. Hàm số f(x) = x2, x ∈ Zp Với n ∈ N, n > 1, ta có n−1∑ j=0 f(j) = 02 + 12 + ... + (n− 1)2 = (n− 1)n(2n− 1) 6 Suy ra Sf(x) = lim n→x n−1∑ j=0 f(j) = (x− 1)x(2x− 1) 6 = 1 3 x3 − 1 2 x2 + 1 6 x 4. Hàm số f(x) = x3, x ∈ Zp Với n ∈ N, n > 1, ta có n−1∑ j=0 f(j) = 03 + 13 + ... + (n− 1)3 = (n− 1) 2n2 4 Suy ra Sf(x) = lim n→x n−1∑ j=0 f(j) = (x− 1)2x2 4 17 5. Hàm số f(x) = ax, x ∈ Zp, a ∈ C+p , a 6= 1 Xét n ∈ N, n > 1, ta thấy n−1∑ j=0 f(j) = a0 + a1 + ... + an−1 = an − 1 a− 1 Suy ra Sf(x) = lim n→x n−1∑ j=0 f(j) = ax − 1 a− 1 Ta đã biết với một hàm số f ∈ C(Zp → K) cho tr−ớc, các hệ số Mahler trong khai triển Mahler hoàn toàn đ−ợc xác định. Định lý sau đây đ−a ra một công thức biểu diễn các hệ số Mahler qua các giá trị của f . Định lý 2.1.4. Cho f ∈ C(Zp → K) có khai triển Mahler là ∞∑ n=0 an ( X n ) thì các hệ số an sẽ đ−ợc xác định là an = n∑ j=0 (−1)n−j ( n j ) f(j), n ∈ N Chứng minh. Gọi I là toán tử đồng nhất. Đặt (L1f)(x) := f(x + 1), (x ∈ Zp) ∆f := L1f − f thì L1 : C(Zp → K) → C(Zp → K),∆ : C(Zp → K) → C(Zp → K) Ta có (∆f)(x) = f(x + 1)− f(x), x ∈ Zp. Giả sử f ∈ C(Zp → K) có khai triển Mahler là f = ∞∑ n=0 an ( X n ) thì f(x + 1) = ∞∑ n=0 an ( x + 1 n ) , (x ∈ Zp) 18 Mặt khác, ( x + 1 n ) = {( x n ) + ( x n−1 ) , nếu n ≥ 1 1, nếu n = 0 Nên ta tính đ−ợc f(x + 1) = a0 + ∞∑ n=1 an ( x + 1 n ) = a0 + ∞∑ n=1 an ( x n ) + ∞∑ n=1 an ( x n− 1 ) = f(x) + ∞∑ n=0 an+1 ( x n ) ⇒ (∆f)(x) = f(x + 1)− f(x) = ∞∑ n=0 an+1 ( x n ) Do đó (∆f) = ∞∑ n=0 an+1 ( X n ) Với k ∈ N ∆kf = ∞∑ n=0 an+k ( X n ) Vì ( 0 0 ) = 1 và ( 0 n ) = 0, n > 0 nên (∆kf)(0) = ak (2.1) Mặt khác, ∆ = L1 − I nên đặt Ljf(x) := f(x + j), x ∈ Zp ta có: ∆k = (L1 − I)k = k∑ j=0 Lj1(−1)k−j ( k j ) = k∑ j=0 (−1)k−j ( k j ) Lj Suy ra (∆kf)(0) = k∑ j=0 (−1)k−j ( k j ) f(j) (2.2) 19 Từ (2.1) và (2.2) ta có an = n∑ j=0 (−1)n−j ( n j ) f(j), n ∈ N Mệnh đề 2.1.5 (Hệ số Mahler của tổng bất định). Lấy f = ∞∑ n=0 an ( X n ) ∈ C(Zp → K) thì tổng bất định của f có khai triển Mahler là Sf = ∞∑ n=1 an−1 ( X n ) Đặc biệt, S ( X n ) = ( X n + 1 ) Chứng minh. Do Sf liên tục nên theo định lý (1.3.31), có các hệ số Mahler b0, b1, ... ∈ K sao cho Sf = ∞∑ n=0 bn ( X n ) Từ Sf(0) = 0 ta có b0 = 0. Mặt khác, Sf(x + 1)− Sf(x) = f(x) nên ∞∑ n=0 an ( X n ) = f = ∞∑ n=1 bn ( X+ 1 n ) − ∞∑ n=1 bn ( X n ) áp dụng ( x + 1 n ) = ( x n ) + ( x n− 1 ) , ta đ−ợc ∞∑ n=0 an ( X n ) = ∞∑ n=1 bn ( X n− 1 ) = ∞∑ n=0 bn+1 ( X n ) Vậy bn = an−1, n ∈ N, n > 0. Với n = 0, ( x 0 ) = 1, ( x 1 ) = x, theo ví dụ (2.1.3) ta có S ( X 0 ) = ( X 0+1 ) Với n > 0, xét hàm f = ( X n ) = ∞∑ n=0 an ( X n ) với a0 = ... = an−1 = an+1 = ... = 0, an = 1, ta có Sf = ∞∑ n=1 an−1 ( X n ) = ( X n+1 ) . Vậy S ( X n ) = ( X n + 1 ) . 20 Định lý 2.1.6. Cho f ∈ C1(Zp → K). Khi đó tổng bất định của f là Sf cũng thuộc C1(Zp → K) và ‖f‖1 ≤ ‖Sf‖1 ≤ p‖f‖1 Chứng minh: Vì f ∈ C1(Zp → K) nên có các a0, a1, ... ∈ K sao cho f = ∞∑ n=0 an ( X n ) và theo định lý (1.3.35), ‖f‖1 = max n≥0 |an||γn|−1p lim n→∞ |an|n = 0 Khi đó theo mệnh đề (2.1.5), Sf = ∞∑ n=1 an−1 ( X n ) . Dễ thấy lim n→∞ |an|n = 0 nếu và chỉ nếu lim n→∞ |an−1|n = 0. Theo định lý (1.3.35) Sf ∈ C1(Zp → K), ‖Sf‖1 = max n≥0 |an|γn+1|−1p Theo bổ đề (1.3.34), ta có ‖f‖1 ≤ ‖Sf‖1 ≤ p‖f‖1. 2.2 Định nghĩa và một số kết quả về tích phân Volken- born Định nghĩa 2.2.1. Tích phân Volkenborn Cho hàm f ∈ C(Zp → K). f đ−ợc gọi là khả tích (khả tích Volkenborn) nếu tồn tại hữu hạn giới hạn lim n→∞ p −n pn−1∑ j=0 f(j) Khi đó, giới hạn này gọi là tích phân Volkenborn của f và kí hiệu:∫ Zp f(x)dx := lim n→∞ p −n pn−1∑ j=0 f(j) 21 Nhận xét 2.2.2. 1. Do p−n pn−1∑ j=0 f(j) = Sf(p n)−Sf(0) pn nên∫ Zp f(x)dx = (Sf)′(0) 2. Theo định lý (2.1.6), nếu f ∈ C1(Zp → K) thì Sf ∈ C1(Zp → K) nên Sf ′(0) luôn tồn tại, vì vậy mọi hàm C1 đều khả tích. 3. Với α, β ∈ K; f, g khả tích, ta có:∫ Zp αf(x) + βg(x)dx = α ∫ Zp f(x)dx + β ∫ Zp g(x)dx 4. Khác với hàm biến thực, tồn tại những hàm liên tục trên Zp mà không khả tích. Ví dụ 2.2.3. Xét hàm f(x) := |x|p. (i) f liên tục trên Zp vì • Tại x = 0, với mọi dãy {xn} ⊂ Zp, lim n→∞xn = 0 thì theo định nghĩa giới hạn p−adic, f(0) = 0 = lim n→∞ |xn − 0|p = limn→∞ |xn|p = limn→∞ f(xn) Suy ra f liên tục tại x = 0. • Tại x 6= 0, với mọi dãy {xn} ⊂ Zp, lim n→∞xn = x thì theo mệnh đề (1.3.6), với n đủ lớn, |xn|p = |x|p hay lim n→∞ f(xn) = f(x), nghĩa là f liên tục tại x. (ii) Xét giới hạn lim n→∞ |pn|p − |0|p pn = lim n→∞ p −2n = ∞ suy ra f không khả vi tại 0. 22 (iii) Đặt g := ∆f , nghĩa là g(x) = |x + 1|p − |x|p, x ∈ Zp. Ta thấy g ∈ C(Zp → K) và với m ∈ N∗ ta có Sg(m) = g(0) + g(1) + ... + g(m− 1) = (f(1)− f(0)) + (f(2)− f(1)) + ... + (f(m)− f(m− 1)) = f(m)− f(0) = |m|p Do Sg liên tục và N trù mật trong Zp nên Sg(s) = |s|p, s ∈ Zp Ta chứng minh g không khả tích. Thật vậy lim n→∞ g(0) + g(1) + ... + g(pn − 1) pn = lim n→∞ |pn|p pn = ∞ Một cách t−ơng tự đối với bất kì hàm f ∈ C(Zp → K) mà không khả vi tại 0, nghĩa là không tồn tại giới hạn lim n→∞ f(pn)− f(0) pn Xét g := ∆f , nghĩa là g(x) = f(x + 1) − f(x), x ∈ Zp thì g liên tục trên Zp và g không khả tích. Với m ∈ N∗ ta có Sg(m) = g(0) + g(1) + ... + g(m− 1) = (f(1)− f(0)) + (f(2)− f(1)) + ... + (f(m)− f(m− 1)) = f(m)− f(0) Do Sg liên tục và N trù mật trong Zp nên Sg(s) = f(s)−f(0), s ∈ Zp Ta có lim n→∞ g(0) + g(1) + ... + g(pn − 1) pn = lim n→∞ f(pn)− f(0) pn Theo cách chọn của f thì giới hạn lim n→∞ f(pn)− f(0) pn không tồn tại nên g không khả tích. 5. Nh− đã thấy ở nhận xét (2), tính khả vi liên tục là điều kiện đủ để một hàm khả tích, tuy nhiên đó không phải là điều kiện cần. Thực tế, tồn 23 tại những hàm không khả vi liên tục tại bất kì điểm nào trên Zp nh−ng vẫn khả tích. Ví dụ 2.2.4. Hàm số f : Z5 → Z5, f( ∞∑ k=0 ak5 k) = ∞∑ k=0 σ(ak)5 k với σ = (2; 4) là một hoán vị của {0, 1, 2, 3, 4} không khả vi liên tục tại bất kì điểm nào trên Zp nh−ng vẫn khả tích. Chứng minh. (i) Xét x = ∞∑ k=0 ak5 k, y = ∞∑ k=0 bk5 k ∈ Z5 ta có |x−y|5 = 5−i, nghĩa là i là số nhỏ nhất mà ai 6= bi. Khi đó, σ(ak) = σ(bk) với mọi k < i, σ(ai) 6= σ(bi) nên |f(x)− f(y)|5 = 5−i. Nh− vậy, với mọi số d−ơng ε cho tr−ớc, chọn δ = ε thì hàm f thỏa điều kiện liên tục trên Z5. (ii) Ta chứng minh f không C1 tại bất kì điểm a ∈ Z5. Thật vậy, giả sử a = a0 + a15 + ... + an−15n−1 + an5n + ... Xét các dãy xn = a0 + a15 + ... + an−15n−1 + 3.5n yn = a0 + a15 + ... + an−15n−1 + 5n Ta có lim n→∞xn = limn→∞ yn = a, f(xn)− f(yn) = 2.5n, xn − yn = 2.5n nên lim n→∞ f(xn)− f(yn) xn − yn = 1 Lại xét các dãy x′n = a0 + a15 + ... + an−15 n−1 + 2.5n y′n = a0 + a15 + ... + an−15 n−1 Ta có lim n→∞x ′ n = lim n→∞ y ′ n = a, f(x′n)− f(y′n) = 4.5n, x′n − y′n = 2.5n nên lim n→∞ f(x′n)− f(y′n) x′n − y′n = lim n→∞ 4.5n 2.5n = 2 6= 1 24 Vậy f không C1 tại a. (iii) f khả tích. Xét M = {0, 1, 2, ..., pn − 1}. z ∈ M, z = n∑ k=0 ak5 k Với mỗi ak ∈ I := {0, 1, 2, 3, 4}, tồn tại bk ∈ I sao cho bk = σ(ak) nên f là toàn ánh, lại do M hữu hạn nên f là song ánh. Suy ra f(0) + f(1) + ...+ f(pn − 1) = 0+ 1+ ...+ pn − 1 = (p n − 1)pn 2 Từ đó lim n→∞ f(0) + f(1) + ... + f(pn − 1) pn = lim n→∞ (pn − 1)pn 2pn = −1 2 Mệnh đề 2.2.5. Cho f khả tích, với mỗi m ∈ N∗ ta có∫ Zp f(x)dx = 1 m m−1∑ j=0 ∫ Zp f(j + mx)dx Chứng minh. Đặt g(x) := 1 m m−1∑ j=0 f(j + mx) thì g ∈ C(Zp → K) và g(0) = 1 m [f(0) + f(1) + ... + f(m− 1)] (2.3) g(1) = 1 m [f(m) + f(m + 1) + ... + f(2m− 1)] (2.4) g(2) = 1 m [f(2m) + f(2m + 1) + ... + f(3m− 1)] (2.5) ... (2.6) g(pn − 1) = 1 m [f(mpn −m) + ... + f(mpn − 1)] (2.7) 25 Từ các ph−ơng trình (2.3), (2.4), (2.5),..., (2.7) ta có Sg(pn) = 1 m Sf(pn.m) Do đó 1 m m−1∑ j=0 ∫ Zp f(j + mx)dx = ∫ Zp g(x)dx = lim n→∞ Sg(pn)− Sg(0) pn = 1 m lim n→∞ Sf(mpn)− Sf(0) pn = lim n→∞ Sf(mpn)− Sf(0) mpn = lim x→0 Sf(x)− Sf(0) x = ∫ Zp f(x)dx Mệnh đề 2.2.6. Với f ∈ C1(Zp → K) ta có∫ Zp Sf(x)dx = − ∫ Zp (x + 1)f(x)dx Chứng minh. Ta chứng minh∫ Zp Sf(x)dx + ∫ Zp (x + 1)f(x)dx = ∫ Zp Sf(x) + (x + 1)f(x)dx = 0 26 Thật vậy, ta có Sf(0) = 0 Sf(1) = f(0) Sf(2) = f(0) + f(1) Sf(3) = f(0) + f(1) + f(2) ... Sf(pn − 1) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(pn − 2) Suy ra Sf(0)+Sf(1)+...+Sf(pn−1) = (pn−1)f(0)+(pn−2)f(1)+...+f(pn−2) Từ đó∫ Zp Sf(x) + (x + 1)f(x)dx = lim n→∞ [Sf(0)+Sf(1)+...+Sf(pn−1)]+[f(0)+2f(1)+...+pnf(pn−1)] pn = lim n→∞ [(pn−1)f(0)+(pn−2)f(1)+...+f(pn−2)]+[f(0)+2f(1)+...+(pn−1)f(pn−2)+pnf(pn−1)] pn = lim n→∞ p n f(0)+f(1)+...+f(pn−1) pn = 0. ∫ Zp f(x)dx = 0 Mệnh đề 2.2.7.∫ Zp là một hàm liên tục K - tuyến tính trên C1(Zp → K). Đặc biệt, nếu f, f1, f2, . . . ∈ C1(Zp → K) và lim n→∞ fn = f theo chuẩn ‖‖1 thì lim n→∞ ∫ Zp fn(x)dx = ∫ Zp f(x)dx Chứng minh: Theo định lý (2.1.6) ta có | ∫ Zp f(x)dx| = |(Sf)′(0)| ≤ ‖Sf‖1 ≤ p‖f‖1 27 Suy ra ∫ Zp liên tục K - tuyến tính trên C1(Zp → K). Nếu lim n→∞ fn = f thì với mọi ε > 0 cho tr−ớc, tồn tại số nguyên d−ơng N sao cho ‖fn − f‖1 < ε p ,∀n > N, n ∈ N. Do đó, với n > N | ∫ Zp fn(x)dx− ∫ Zp f(x)dx| = | ∫ Zp fn(x)− f(x)dx| ≤ p‖fn − f‖1 < ε Vậy lim n→∞ ∫ Zp fn(x)dx = ∫ Zp f(x)dx Mệnh đề 2.2.8. Cho f ∈ C1(Zp → K), f có kha._.