Tích phân Perron

Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Quý thầy - cơ trong khoa Tốn của trường Đại học sư phạm TP. HCM đã tận tình giảng dạy để tơi cĩ những kiến thức quý báu làm hành trang cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này. Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ thuộc phịng Quản lý khoa học sau đại học, trường Đại học sư phạm TP. HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng tơi cũng xin gởi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tơi - những người đã luơn ở bên tơi, động viên và giúp tơi vượt qua mọi khĩ khăn trong quá trình thực hiện luận văn. MỤC LỤC 0TLỜI CẢM ƠN0T ................................................................................................................................................... 2 0TMỤC LỤC0T ......................................................................................................................................................... 3 0TMỞ ĐẦU0T........................................................................................................................................................... 4 0TCHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ0T ................................................................................................... 6 0T1.1. Khái niệm “hầu khắp nơi”0T .................................................................................................................. 6 0T1. 2. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu0T .................................................................................................... 6 0T1.3. Đạo hàm của tích phân bất định0T ......................................................................................................... 7 0T1.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm0T ................................................................................................................ 7 0T1.5. Các tính chất của tích phân0T ................................................................................................................ 7 0T1.6. Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hĩa của nĩ 0T ............................................................................... 9 0T1.7. Tập phạm trù thứ nhất 0T ...................................................................................................................... 16 0TCHƯƠNG 2. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON0T ........................................ 18 0T2.1. Định nghĩa tích phân Perron0T ............................................................................................................. 18 0T2. 2. Các tính chất cơ bản của tích phân Perron0T ....................................................................................... 20 0TCHƯƠNG 3. XÂY DỰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH PERRON0T ..................................................................... 26 0T3.1. Tích phân bất định Perron0T ................................................................................................................ 26 0T3.2. Tích phân hẹp Danjua0T ...................................................................................................................... 29 0T3.3. Định lý G. HACE0T ............................................................................................................................ 32 0T3.4. Định lý P. X. ALECXANDROV – G . LOMAN0T .............................................................................. 41 0TCHƯƠNG 4. SO SÁNH TÍCH PHÂN PERRON VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE0T ............................................ 48 0TKẾT LUẬN0T ..................................................................................................................................................... 53 0T ÀI LIỆU THAM KHẢO0T................................................................................................................................ 53 0TPHỤ LỤC0T ........................................................................................................................................................ 55 MỞ ĐẦU Vào cuối thế kỷ XIX, người ta đưa ra ví dụ hàm số ( ) ( )2 2cos , 0 0 π = =f x x f x cĩ đạo hàm hữu hạn ( )'f x khắp nơi trên đoạn [ ]0;1 nhưng hàm số ( )'f x lại khơng khả tích theo nghĩa Lebesgue. Như vậy phép tính tích phân theo định nghĩa của Lebesgue khơng giải quyết được trọn vẹn bài tốn tìm nguyên hàm của một hàm số theo đạo hàm của nĩ. Vào năm 1912, nhà tốn học Pháp A. Danjua đã đưa ra quá trình tích phân hĩa tổng quát hơn Lebesgue và chứng tỏ rằng quá trình này giải quyết được trọn vẹn bài tốn nêu trên. Mặt khác, năm 1914 nhà tốn học Đức O. Perron cũng đưa ra một định nghĩa tích phân khác, dựa trên nguyên tắc khác với định nghĩa của Danjua và cũng giải quyết trọn vẹn bài tốn tìm nguyên hàm của một hàm số từ đạo hàm hữu hạn của nĩ. Các cơng trình tiếp theo của G. Hace (1921), P.S.Alecxandrov (1924) và G. Loman (1925) đã chứng minh sự đồng nhất của tích phân Danjua và Perron. Như vậy Perron đã đưa ra dạng mới của định nghĩa tích phân Danjua, do đĩ ngày nay tích phân này được gọi là tích phân Danjua - Perron. Vào năm 1916, A.Danjua và nhà tốn học Nga A.I.Khintrin đã đưa ra định nghĩa tích phân tổng quát hơn, hồn tồn độc lập với nhau. Định nghĩa này cho phép tìm nguyên hàm khơng chỉ từ đạo hàm thơng thường mà cịn từ đạo hàm xấp xỉ (hay đạo hàm tiệm cận). Số A được gọi là đạo hàm xấp xỉ của hàm số ( )f x tại điểm 0x nếu tồn tại tập hợp E nhận 0x làm điểm trù mật sao cho với 0à∈ →x E v x x ta cĩ ( ) ( ) 0 0 0 lim → − = −x x f x f x A x x Tích phân tổng quát này thường được gọi là tích phân Danjua - Khintrin, hay tích phân Danjua “ rộng”, để phân biệt tích phân Danjua - Perron được gọi là tích phân Danjua “hẹp”. Chúng ta sẽ nghiên cứu lý thuyết tích phân Danjua – Perron. Cịn tích phân Danjua – Khintrin ta chỉ đưa ra định nghĩa. Bạn đọc quan tâm cĩ thể xem tài liệu “Lý thuyết tích phân” của S.Sacs, 1949. Luận văn được chia thành 4 chương và phụ lục. Nội dung chủ yếu của luận văn tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của tích phân Perron, xây dựng tích phân bất định Perron thơng qua lý thuyết tích phân Danjua, định lý G.Hace, định lý P. X. Alecxandrov- G. Loman và so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue. Chương 1 trình bày kiến thức chuẩn bị gồm các khái niệm và các định lý sẽ được sử dụng ở các chương sau. Chương 2 nêu định nghĩa và chứng minh các tính chất của tích phân Perron. Đây là một trong các kết quả quan trọng của luận văn. Chương 3 xây dựng khái niệm tích phân bất định Perron và chứng minh các tính chất của nĩ. Chương 4 dành cho việc so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue. Trong luận văn cịn cĩ phần phụ lục trình bày khái niệm tích phân Danjua “rộng”, nhằm phân biệt với tích phân Danjua “hẹp”. CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Khái niệm “hầu khắp nơi” Cho khơng gian độ đo ( ), ,X M µ . a/ Giả sử E là tập hợp thuộc M và P là một tính chất mà mỗi x E∈ hoặc thỏa mãn hoặc khơng thỏa mãn. Ta nĩi P xảy ra hầu khắp nơi trên E nếu tập hợp { }, không thỏa mãn Px E x∈ được chứa trong tập thuộc M, cĩ độ đo khơng. b/ Ta nĩi hai hàm số , :f g X R→ là tương đương (kí hiệu f g: ) nếu ( ) ( )f x g x= hầu khắp nơi, nghĩa là tập hợp ( ) ( ){ }:x X f x g x∈ ≠ chứa trong tập cĩ độ đo khơng. 1. 2. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu Bổ đề 1.1. Cho A là một tập bất kỳ nằm trong khoảng ( ),a b , J là một lớp khoảng sao cho mỗi điểm x A∈ đều là mút trái của ít nhất một khoảng ( ), xx x h J∆= + ∈ . Khi ấy tồn tại một số hữu hạn khoảng rời nhau 1 2, , ...., s J∆ ∆ ∆ ∈ phủ lên một tập con A’ của A, với độ đo ngồi ( ) ( )* ' *A Aµ µ ε> − , và ε là một số dương tùy ý cho trước. Bổ đề 1.2. Giả thiết thêm rằng với mọi số 0η > nhỏ tùy ý, tại mỗi điểm x A∈ đều cĩ ít nhất một khoảng ( ), xx x h J+ ∈ với xh η< . Khi ấy, cho trước một tập mở bất kỳ G A⊃ , ta cĩ thể chọn những khoảng 1 2, ,...., s∆ ∆ ∆ trong bổ đề 1.1 sao cho chúng đều nằm trọn trong tập G. Định lý 1.3. Một hàm số ( )F x đơn điệu trên một đoạn ,a b   thì cĩ đạo hàm hầu khắp nơi trên đoạn ấy. Định lý 1.4. Nếu ( )f x là hàm tăng xác định trên ,a b   thì đạo hàm ( )'f x của nĩ là hàm đo được và ( ) ( ) ( )' ≤ −∫ b a f x dx f b f a nên ( )'f x khả tích. 1.3. Đạo hàm của tích phân bất định Bổ đề 1.5. Nếu ( )F x khơng giảm (trên ,a b   ) thì ( )'F x khả tích và ( ) ( ) ( )' b a F x dx F b F a≤ −∫ . Bổ đề 1.6. Nếu ( )g x khả tích và với mọi x trong đoạn ,a b   ta đều cĩ ( ) 0 x a g t dt =∫ thì ( ) 0g x = hầu khắp nơi. Định lý 1.7. Đạo hàm ( )'F x của tích phân bất định ( ) ( ) , x a F x f t dt= ∫ của một hàm số khả tích ( )f x , bằng ( )f x hầu khắp nơi. 1.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm Bổ đề 1.8. Nếu một hàm số ( )F x liên tục tuyệt đối cĩ đạo hàm ( )' 0F x = hầu khắp nơi thì ( )F x phải là một hằng số. Định lý 1.9. Nếu ( )F x là một hàm số liên tục tuyệt đối thì đạo hàm ( )'F x của nĩ khả tích và ta cĩ ( ) ( ) ( )' x a F x F a F t dt= + ∫ . 1.5. Các tính chất của tích phân 1.5.1. Tính σ - cộng tính và liên tục tuyệt đối của tích phân Định lý 1.10. Nếu { }ng là một dãy hàm số đo được khơng âm trên một tập hợp A thì 1 1 n n n nA A g d g dµ µ ∞ ∞ = = =∑ ∑∫ ∫ . Định lý 1.11. Giả sử 1 nn A A ∞ = = U , trong đĩ các nA là những tập hợp đo được đơi một rời nhau. a/ Nếu tồn tại A f dµ∫ thì 1 n nA A f d f dµ µ ∞ = = ∑∫ ∫ (1.1) b/ Nếu f khả tích trên A thì 1 n n A f dµ ∞ = < ∞∑ ∫ (1.2) Do đĩ chuỗi ở vế phải của (1.1) hội tụ tuyệt đối. Đảo lại nếu cĩ (1.2) thì f khả tích trên A và cĩ (1.1). Định nghĩa 1.12. Giả sử ( ), ,X M µ là một khơng gian độ đo và : M Rλ → là một hàm số σ - cộng tính. Ta nĩi hàm λ là liên tục tuyệt đối với độ đo µ nếu ( ) 0Aλ = với mỗi tập hợp A cĩ độ đo ( ) 0Aµ = . Giả sử f là một hàm số khả tích trên khơng gian X. Từ định lý 1.8 suy ra rằng hàm : M Rλ → , xác định bởi: ( ) A A f dλ µ=∫ (1.3) là một hàm σ - cộng tính. Nếu ( ) 0Aµ = thì ( ) 0Aλ = . Vậy λ là liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ . Dễ dàng chứng minh được rằng tập hợp ( ){ }0 : 0X x X f x= ∈ ≠ cĩ độ đo σ - hữu hạn, tức là ( )0 1 , , 1, 2,...n nnX X X nµ ∞ = = < ∞ =U Hiển nhiên nếu A M∈ và 0A X∩ = ∅ thì ( ) 0Aλ = . Định lý 1.13. (Radon – Nikodym) Giả sử ( ), ,X M µ là một khơng gian độ đo và : M Rλ → là một hàm σ - cộng tính , liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ và ( ) 0Aλ = với mọi tập hợp A thuộc M nằm ngồi một tập hợp 0X nào đĩ thuộc M, cĩ độ đo σ - hữu hạn. Khi đĩ tồn tại một hàm số f đo được trên X sao cho ( ) A A f dλ µ= ∫ , với mỗi A M∈ . Nếu 0λ ≥ thì 0f ≥ . Định lý 1.14. Giả sử f là một hàm số khả tích trên một tập hợp A .Khi đĩ với mỗi số dương ε , tồn tại một số dương δ sao cho với mọi tập hợp đo được E A⊂ nếu ( )Eµ δ< thì E f dµ ε<∫ . 1.5.2. Tính bảo tồn thứ tự Định lý 1.15. Nếu f g≤ trên A và các tích phân A f dµ∫ , A gdµ∫ tồn tại thì A A f d gdµ µ≤∫ ∫ . 1.5.3. Tính tuyến tính Định lý 1.16. Các đẳng thức sau là đúng nếu các vế phải cĩ nghĩa. ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A A i c f d c f d c R ii f g d f d gd µ µ µ µ µ = ∈ + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1.5.4. Tính khả tích Định lý 1.17. Các khẳng định sau là đúng (i) Nếu A f dµ∫ cĩ nghĩa thì A A f d f dµ µ≤∫ ∫ , (ii) f khả tích trên A khi và chỉ khi f khả tích trên A, (iii) Nếu f g≤ h.k.n trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A, (iv) Nếu f, g khả tích trên A thì f g± cũng khả tích trên A. Hơn nữa nếu f khả tích cịn g bị chặn trên A thì .f g khả tích trên A 1.6. Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hĩa của nĩ Trong mục này ta xét một số khái niệm chung sẽ được sử dụng ở các mục sau khi trình bày lý thuyết tích phân Danjua. Ta đã biết một loạt tích phân: R (Riemann), L (Lebesgue), P (Perron). Các tích phân này cĩ một số tính chất chung, ta sẽ đưa những tính chất đĩ vào một sơ đồ chung. Giả sử mỗi đoạn thẳng ,a b   , trong đĩ ≤a b , sẽ tương ứng với một lớp [ ]( ),T a b khơng rỗng gồm các hàm số nào đĩ xác định trên đoạn ,a b   . Họ các lớp như vậy được gọi là họ đúng nếu với mỗi [ ],∈c a b đều cĩ [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ), , ,= ∩T a b T a c T c b . (Điều kiện này được hiểu như sau: Hàm số ( )f x xác định trên [ ],a b sẽ chứa trong lớp [ ]( ),T a b khi và chỉ khi cả hai hàm số thu được từ ( )f x khi xét trên từng đoạn [ ] [ ], , ,a c c b , đều chứa trong các lớp [ ]( ) [ ]( ), , ,T a c T c b tương ứng ). Giả sử [ ]( ){ },=M T a b là một họ đúng các lớp và trên mỗi lớp [ ]( ),T a b cĩ một phiếm hàm ( ) b a T f cho tương ứng mỗi hàm số [ ]( ),∈f T a b với một số xác định. Phiếm hàm này sẽ được gọi là tích phân nếu với mọi [ ]( ),∈f T a b và mọi [ ],∈c a b đều cĩ ( ) ( ) ( )= + b c b a a c T f T f T f (1.4) Và (với [ ],∈x a b ) ( ) ( )lim → = x c x c a a T f T f (1.5) Nĩi một cách khác, tích phân là một hàm đoạn thẳng cộng tính và liên tục. Đặc biệt, nếu [ ]( ),∈f T a a thì ( ) ( ) ( )= + a a a a a a T f T f T f nghĩa là ( ) 0= a a T f . Tất cả các hàm số chứa trong lớp [ ]( ),T a b đều được gọi là hàm T – khả tích trên [ ],a b . Từ điều kiện của họ đúng các lớp [ ]( ),T a b suy ra rằng mọi hàm số T – khả tích trên [ ],a b đều T – khả tích trên mỗi đoạn [ ],p q chứa trong ,a b   và đặc biệt, đều T-khả tích tại mỗi điểm [ ],∈c a b . Bây giờ ta xét một số tính chất của tích phân vừa được định nghĩa. Giả sử hàm số ( )f x xác định trên ,a b   và [ ],∈c a b . Nếu với mọi 0δ > hàm số ( )f x khơng T – khả tích trên đoạn [ ] [ ], ,δ δ− + ∩c c a b thì điểm c được gọi là điểm T – bất thường đối với hàm số ( )f x . Tập hợp tất cả các điểm T – bất thường của ( )f x được kí hiệu là [ ]( ); ,TS f a b , hoặc [ ]( ),TS a b , hoặc ( )TS f , hoặc chỉ đơn giản là TS . Hiển nhiên là nếu f là T – khả tích trên ,a b   thì [ ]( ), 0=TS a b . Bổ đề sau đây chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng. Bổ đề 1.18. Nếu ( )f x xác định trên ,a b   và khơng thuộc [ ]( ),T a b thì [ ]( ); , 0≠TS f a b . Chứng minh Đặt 2 a bd += . Khi đĩ f(x) khơng T – khả tích trên ít nhất một trong hai đoạn [ ] [ ], , ,a d d b mà ta kí hiệu lại là [ ]1 1,a b . Đặt 1 11 2 + = a bd và gọi [ ]2 2,a d là một trong hai đoạn [ ] [ ]1 1 1, , ,a d d b sao cho ( )f x khơng T – khả tích trên [ ]1 1,a d . Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy các đoạn thẳng lồng vào nhau: [ ] [ ] [ ]1 1 2 2, , , ...⊃ ⊃ ⊃a b a b a b sao cho ( )f x khơng T – khả tích trên từng đoạn. Giả sử c là điểm chung của tất cả các đoạn [ ],n na b . Nếu 0δ > thì với n đủ lớn ta sẽ cĩ [ ] [ ] [ ], , ,δ δ⊂ − + ∩n na b c c a b . Từ đĩ suy ra [ ] [ ]( ), ,δ δ∉ − + ∩f T c c a b và điểm c là điểm T – bất thường. Bổ đề 1.19. Tập hợp [ ]( ); ,=T TS S f a b là tập đĩng. Chứng minh Giả sử àn T nc S v c c∈ → . Lấy 0δ > . Nếu n đủ lớn thì 2 δ − <nc c nên [ ] [ ] [ ], , , , 2 2 δ δ δ δ − + ∩ ⊂ − + ∩   n nc c a b c c a b Vì ( )f x khơng T – khả tích trên đoạn thẳng là vế trái của bao hàm trên nên ( )f x cũng khơng T – khả tích trên đoạn thẳng là vế phải. Do δ tùy ý nên ∈ Tc S , đây là điều phải chứng minh. Dưới đây ta xét trường hợp TS khơng lấp đầy đoạn [ ],a b . Khi đĩ phần bù [ ], \ Ta b S sẽ gồm hữu hạn hoặc đếm được các khoảng khơng giao nhau đơi một. Thật vậy, nếu TS = ∅ thì [ ] [ ], \ ,=Ta b S a b Nếu [ ]à ,≠ ∅TS v p q là đoạn nhỏ nhất chứa TS thì [ ] [ ] [ ]{ } [ ], \ , , \ ,= ∪ ∪T Ta b S a p p q S q b Để ý rằng [ ], \ Tp q S hoặc là tập rỗng, hoặc là hợp của các khoảng khơng giao nhau đơi một (khi p = a thì [ ), = ∅a p ). Trong phần bù của TS cĩ thể cĩ những khoảng khơng phải là khoảng mở, nếu xét một cách chặt chẽ thì khá phức tạp nên dưới đây ta vẫn kí hiệu các khoảng này là ( ),n na b , mặc dù trên thực tế chúng cĩ thể là ( ],n na b hoặc [ ),n na b hoặc thậm chí là [ ],n na b (nếu TS = ∅ ). Giả sử ta cĩ hai tích phân 1 2à TT v . Nếu mọi hàm số 1T - khả tích đều là hàm 2T - khả tích và giá trị của hai tích phân đĩ bằng nhau thì ta nĩi tích phân 2T tổng quát hơn 1T . Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng: Từ một tích phân T nào đĩ (mà khi định nghĩa nĩ ta đã đưa ra họ đúng M gồm các lớp hàm T – khả tích [ ]( ),T a b ) đều cĩ thể xây dựng được một tích phân *T khác tổng quát hơn. Muốn vậy trước hết ta xây dựng họ đúng gồm các lớp hàm khả tích ứng với tích phân mới . Ta quy ước đưa hàm số f(x) xác định trên [ ],a b vào lớp [ ]* ,T a b khi và chỉ khi ba điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1) Tập hợp [ ]( ); ,=T TS S f a b khơng trù mật khắp nơi trên [ ],a b và hàm số ( )f x khả tích theo nghĩa Lebesgue trên tập hợp này. (Điều kiện này luơn thỏa mãn khi 0Tm S = và càng thỏa mãn khi TS = ∅ ). 2) Nếu [ ]{ },n na b là dãy các khoảng là phần bù của TS thì với mỗi n đều tồn tại giới hạn hữu hạn ( ) ( )lim , , β α α β α β= < < < → →n n n n nI T f a b a b . 3) Nếu ( ) ( )sup β α α β= < < <n n nW T f a b thì n n W < + ∞∑ (Điều kiện này đảm bảo các số nW đều hữu hạn). Ta đi chứng minh họ [ ]* ,T a b là họ đúng. Giả sử ( ) [ ],∈f x T a b . Khi đĩ [ ]( ); , = ∅TS f a b và mọi hợp [ ],∪ n na b đều được đưa về một số hạng là [ ],a b . Do đĩ điều kiện 1) được thỏa mãn. Điều kiện 2) cũng thỏa mãn vì theo(2) ta cĩ ( ) ( )lim β α = b a T f T f nếu , ,α β α β< < < → →a b a b . Cuối cùng điều kiện 3) cũng thỏa mãn đối với ( )f x vì chỉ cĩ một số hữu hạn W . Vậy [ ]( ) [ ]( )*, ,⊂T a b T a b và tất cả các lớp [ ]( )* ,T a b đều khác rỗng. Tiếp theo ta giả sử ( ) [ ]( )* , à∈ < <f x T a b v a c b . (Trường hợp c = a và c = b là hiển nhiên vì nếu ( )f x xác định tại 0x thì ( )f x sẽ chứa trong lớp [ ]( )* 0 0,T x x cho dù ( )f x cĩ T- khả tích tại 0x hay khơng). Xét tập hợp [ ]( ); ,TS f a c . Dễ thấy rằng tập hợp này là tập con của [ ]( ); ,TS f a b , do đĩ nĩ cũng khơng trù mật khắp nơi trên [ ],a c và hàm số ( )f x khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [ ],a c . Do đĩ trên [ ],a c hàm số ( )f x thỏa mãn điều kiện 1). Giả sử [ ] [ ]( ) ( ), \ , , ,= ∪T n nna c S f a c a b . Nếu [ ]( ); ,∈ Tc S f a c thì mỗi khoảng ( ),n na b trên đây sẽ là phần bù của tồn bộ tập hợp [ ]( ); ,TS f a b đến [ ],a b . Nếu [ ]( ); ,∉ Tc S f a c thì c cũng khơng thuộc mọi khoảng ( ),n na b cĩ thể trừ ra một khoảng cĩ dạng ( 0 , na c . (Nếu [ ]( ); , = ∅TS f a c thì khoảng ( 0 , na c chính là [ ],a c . Từ đĩ suy ra ( )f x thỏa mãn điều kiện 2), điều kiện 3) trên [ ],a c . Vậy ( ) [ ]( )* ,∈f x T a c . Chứng minh tương tự ta cĩ [ ]( )* ,∈f T c b . Vậy [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )* * *, , ,⊂ ∩T a b T a c T c b . Bao hàm ngược lại được chứng minh bằng cách lập luận tương tự. Vậy họ các lớp [ ]( )* ,T a b là đúng. Bây giờ với mỗi hàm số [ ]( )* ,∈f T a b ta định nghĩa giá trị của phiếm hàm ( )* b a T f bởi cơng thức ( ) ( ) ( ) ( ) * = +∑ ∫ T b na n S f T f I L f x dx (1.6) Định nghĩa này hồn tồn xác định vì ≤n nI W nên chuỗi n n I∑ hội tụ tuyệt đối. Để ý rằng với mọi hàm số T – khả tích ( )f x (trên đây ta đã chỉ ra rằng [ ]( )* ,∈f T a b ) ta cĩ ( ) ( )* = b b a a T f T f vì trong vế phải của (1.6) thì tích phân Lebesgue bằng 0, cịn chuỗi n n I∑ chỉ cĩ một số hạng ( ) b a T f . Một trường hợp đơn giản khác là khi chỉ cĩ a và b là điểm T – kì dị trên [ ],a b thì ( ) ( ) ( )* lim , , β α α β α β= < < < → → b a T f T f a b a b . Khi đĩ từ (1.6) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * *= +∑ ∫ n n T bb a an S f T f T f L f x dx . Ta chứng minh phiếm hàm ( )* b a T f mà ta vừa định nghĩa là tích phân theo định nghĩa được đưa ra ở đầu mục này, nghĩa là nĩ là cộng tính và liên tục như hàm của đoạn thẳng [ ],a b . Giả sử [ ]( )* , à∈ < <f T a b v a c b . Rõ ràng ta cĩ [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ); , ; , ; ,= +T T TS f a b S f a c S f c b , trong đĩ các tập hợp ở vế phải hoặc khơng giao nhau, hoặc chỉ cĩ một điểm chung. Từ đĩ suy ra ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]( ), , , = +∫ ∫ ∫ T T TS a b S a c S c b L f x dx L f x dx L f x dx (1.7) trong đĩ cả hai tích phân ở vế phải đều tồn tại và hữu hạn. Tiếp theo ta giả sử [ ] [ ]( ) ( ), \ , , ,=∑T n n n a b S f a b a b Đối với điểm c cĩ ba khả năng cĩ thể xảy ra: • c thuộc cả hai tập hợp [ ]( ) [ ]( ), , ,T TS a c S c b • c khơng thuộc cả hai tập hợp đĩ • c thuộc một trong hai tập hợp và khơng thuộc tập cịn lại. Trong cả ba trường hợp cách lập luận đều tương tự, do đĩ ta chỉ xét trường hợp đầu tiên. Trong trường hợp đĩ tập hợp các khoảng ( ),n na b được chia thành hai tập con rời nhau, mỗi tập gồm các khoảng nằm bên trái và bên phải điểm c. Khi đĩ ta cĩ [ ] [ ] [ ], , , = +∑ ∑ ∑n n n a b a c c b I I I Từ đĩ kết hợp với (1.7) suy ra ( ) ( ) ( )* * *= + b c b a a c T f T f T f (1.8) (Ở đây ta giả sử < <a c b , cịn đối với trường hợp a = c và c = b thì (1.8) là hiển nhiên vì theo cách định nghĩa ( )*T f thì ( )* 0= a c T f ). Vậy phiếm hàm *T là hàm cộng tính của đoạn thẳng. Bây giờ ta chứng minh rằng với [ ]( ) [ ] [ ]* , , , , , à x c∈ ∈ ∈ →f T a b x a b c a b v thì ( ) ( )* *lim = x c a a T f T f (1.9) Để xác định ta giả sử <x c . Khi đĩ ta cĩ thể xem =c b . Đối với điểm b ta cĩ ba khả năng cĩ thể xảy ra: • b khơng thuộc tập hợp [ ]( ); ,TS f a b • b là điểm cơ lập của tập hợp này • b là điểm giới hạn của tập hợp đĩ. Trong hai trường hợp đầu lập luận hầu như hiển nhiên. Thật vậy, nếu [ ]( ); ,∉ Tb S f a b thì hàm số ( )f x là T – khả tích trên đoạn thẳng [ ],p b với p đủ gần b. Đối với p đĩ ta cĩ ( ) ( )* = b b p p T f T f Khi đĩ ( ) ( )* lim= b x p p T f T f (1.10) trong đĩ ,< < →f x b x b . Vì ( ) ( )*= x x p p T f T f nên thay cho (1.10) ta cĩ thể viết ( ) ( )* *lim= b x p p T f T f và để ý rằng ( ) ( ) ( ) ( )* * * *− = = b x b x a a p p T f T f T f T f . Nếu b là điểm cơ lập của tập hợp [ ]( ); ,TS f a b thì với p đủ gần b, ta cĩ b là điểm T – kì dị duy nhất của đoạn [ ],p b . Theo định nghĩa ( )*T f ta lại cĩ (1.10) và việc chứng minh được tiếp tục như trường hợp trên. Cuối cùng ta xét trường hợp b là điểm giới hạn của tập hợp [ ]( ); ,TS f a b . Trong trường hợp này b khơng thể là đầu mút phải của mọi khoảng ( ),n na b là phần bù của [ ]( ); ,TS f a b , mà số lượng các khoảng này là vơ hạn. Do đĩ với 0ε > ta chọn N sao cho ε > <∑ n n N W (1.11) Sự tồn tại N như vậy được suy ra từ điều kiện 3) mà hàm số ( )f x thỏa mãn. Ta lại chọn 0δ > sao cho từ bất đẳng thức b x bδ− < < ta cĩ ( ) ( ) [ ]( ),TS x b L f t dt ε<∫ (1.12) Gọi β là điểm bên phải trong số các điểm 1 2, , , ... ,δ− Nb b b b và giả sử β>x . Nếu [ ]( ),∈ Tx S x b thì theo định nghĩa ( )*T f ta cĩ ( ) ( ) ( ) [ ]( ), * T x b b nx n M S T f I L f t dt ∈ = +∑ ∫ (1.13) trong đĩ M là tập hợp các số n sao cho ( ) [ ], ,n na b x b⊂ . Rõ ràng là với mọi n như vậy sẽ cĩ n N> nên n n n M n M I W ε ∈ ∈ ≤ <∑ ∑ (1.14) Nếu [ ]( ),∉ Tx S x b thì tồn tại m sao cho ≤ . Do đĩ thay cho (10) ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ), * * ∈ = + +∑ ∫ m T x b bb nx x n M S T f T f I L f t dt (1.15) Mà ( ) ( ) ( )* lim ,= < < → mb y m mx x T f T f x y b y b nên ( )* ε≤ < mb mx T f W . Từ đĩ và (1.12), (1.14), với β>x , ta cĩ ( ) ( ) ( )* * * 3ε− = < b x b a a x T f T f T f . Như vậy trong trường hợp này ta cĩ (1.9), suy ra ( )*T f là tích phân và là tích phân tổng quát hơn ( )T f . 1.7. Tập phạm trù thứ nhất Định nghĩa 1.20. Giả sử A và B là hai tập hợp điểm trong đĩ ⊂A B . 1/ Nếu mọi khoảng chứa ít nhất một điểm của B đều chứa các điểm thuộc B nhưng khơng nằm trong bao đĩng A của A thì ta nĩi A khơng đâu trù mật trong tập hợp B. 2/ Nếu A biểu diễn được thành hợp đếm được của các tập hợp khơng đâu trù mật trong B thì ta nĩi A là tập phạm trù thứ nhất trên tập B. Định lý 1.21. Mọi tập đĩng khác rỗng F khơng phải là tập phạm trù thứ nhất trên chính nĩ. Chứng minh Giả sử ngược lại, F cĩ thể biểu diễn được ở dạng 1 2 3 ...= + + +F A A A , trong đĩ mỗi tập kA khơng đâu trù mật trên tập F. Khi đĩ tồn tại điểm 1 ∈x F khơng là điểm thuộc bao đĩng 1A của 1A . Do đĩ tồn tại đoạn [ ]1 1 1 1,δ δ− +x x khơng chứa bất kỳ điểm nào của 1A , ta cĩ thể coi 1 1δ < . Trong khoảng ( )1 1 1 1,δ δ− +x x tồn tại điểm 2 ∈x F khơng chứa trong 2A , tức là lại tồn tại đoạn [ ]2 2 2 2,δ δ− +x x khơng chứa bất kỳ điểm nào của 2A . Ta coi 2 1 2 δ < và [ ] [ ]2 2 2 2 1 1 1 1, ,δ δ δ δ− + ⊂ − +x x x x . Tiếp tục quá trình này ta xây dựng được dãy điểm 1 2, , ..., ,...nx x x chứa trong F và dãy các đoạn thắt dần [ ] [ ] [ ]1 1 1 1 2 2 2 2, , ... , ...δ δ δ δ δ δ− + ⊃ − + ⊃ ⊃ − + ⊃n n n nx x x x x x sao cho đoạn [ ],δ δ− +n n n nx x khơng chứa bất kỳ điểm nào của nA và 1δ <n n . Giả sử 0x là điểm chung của tất cả các đoạn [ ],δ δ− +n n n nx x . Rõ ràng 0 lim= nx x nên 0∈x F , mà 0x lại khơng thuộc bất kỳ tập nA nào, vơ lý, định lý được chứng minh. Hệ quả. Nếu tập đĩng khác rỗng F là hợp đếm được của các tập đĩng 1 2 ...= + +F F F thì tồn tại khoảng ( ),λ µ chứa các điểm của F và n sao cho ( ),λ µ ∩ ⊂ nF F . Thật vậy, giả sử một trong các tập đĩ, chẳng hạn nF , là tập khơng đâu trù mật trên tập F. Thế thì trong số các khoảng chứa các điểm của F sẽ tồn tại khoảng ( ),λ µ sao cho tất cả các điểm của F chứa trong nĩ đều thuộc nF vì nF là tập đĩng nên trùng với bao đĩng của nĩ. CHƯƠNG 2. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON 2.1. Định nghĩa tích phân Perron Định nghĩa 2.1. Giả sử ( )F x là hàm số hữu hạn xác định trên [ ],a b và [ ]0 ,∈x a b . Các số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 0 0 0 lim , lim →→ − − = = − −x xx x F x F x F x F x D F x D F x x x x x được gọi lần lượt là đạo hàm dưới và đạo hàm trên của hàm số ( )F x tại 0x . Dễ thấy các số này (chúng cĩ thể bằng nhau hoặc bằng ,+∞ −∞ ) là số nhỏ nhất, số lớn nhất trong số các đạo hàm của ( )F x tại 0x . Bổ đề 2.2. Cho hai hàm số hữu hạn u(x) và v(x) cùng xác định trên đoạn [ ],a b . Nếu với [ ]0 ,∈x a b ta cĩ ( ) ( )0 0,> −∞ < +∞Du x Dv x và ( ) ( ) ( )= −R x u x v x thì ( ) ( ) ( )0 0 0 .≥ −D R x Du x Dv x (2.1) Chứng minh Xét dãy { }kh sao cho ( ) ( ) ( )0 0 00, 0 à lim + − ≠ → =kk k k R x h R x h h v D R x h Nếu cần thì chuyển từ dãy { }kh sang dãy con của nĩ, ta luơn đạt được các giới hạn xác định sau đây ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0lim , limλ µ+ − + −= =k k k k u x h u x v x h v x h h Theo (1) ta cĩ ,λ µ> −∞ < +∞ , do đĩ hiệu λ µ− cĩ nghĩa. Khi đĩ ( )0 λ µ= −D R x . Ta nhận thấy ( ) ( )0 0, .λ µ≥ ≤Du x Dv x Hệ quả 2.3. Nếu ( ) ( )1 2àu x v u x là các hàm hữu hạn và ( ) ( )1 2,>−∞ > −∞Du x Du x thì ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 + ≥ + D u x u x Du x Du x Chứng minh Thật vậy, đặt ( ) ( )2 = −u x v x và để ý rằng ( ) ( )2 = −Du x Dv x thì theo bổ đề 1, với ( ) ( )1 ,> − ∞ < + ∞Du x Dv x và ( ) ( ) ( )1= −R x u x v x ta cĩ ( ) ( ) ( )1≥ −D R x Du x D v x Suy ra ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 + ≥ + D u x u x Du x Du x điều phải chứng minh. Định nghĩa 2.4. Giả sử ( )f x là hàm số (khơng bắt buộc phải hữu hạn) xác định trên [ ],a b . Hàm số ( )F x liên tục trên [ ],a b được gọi là hàm mẹ đối với ( )f x nếu: 1/ ( ) 0F a = 2/ ( )D F x > −∞ với mọi [ ],∈x a b 3/ ( ) ( )D F x f x≥ với mọi [ ],∈x a b Hàm số ( )F x liên tục trên [ ],a b được gọi là hàm con đối với ( )f x nếu: 1/ ( ) 0F a = 2/ ( )D F x < +∞ với mọi [ ],∈x a b 3/ ( ) ( )≤D F x f x với mọi [ ],∈x a b Khái niệm hàm mẹ, hàm con là sự tổng quát hĩa của khái niệm nguyên hàm. Ta cĩ bổ đề hiển nhiên sau đây. Bổ đề 2.5. Nếu hàm hữu hạn ( )f x là đạo hàm của ( )F x (trong đĩ ( ) 0=F a ) thì ( )F x vừa là hàm mẹ, vừa là hàm con đối với ( )f x . Bổ đề 2.6. Nếu u(x) là hàm mẹ, v(x) là hàm con đối với cùng một hàm số ( )f x thì hiệu ( ) ( ) ( )= −R x u x v x khơng giảm. Chứng minh Với mọi [ ],∈x a b , ta cĩ ( ) ( ) ( ) 0≥ − ≥D R x Du x Dv x Áp dụng bổ đề 2.2 ta cĩ điều phải chứng minh. Hệ quả 2.7. Với các điều kiện của bổ đề 2.6 ta cĩ ( ) ( )≥u b v b Hệ quả 2.8. Với điều kiện của bổ đề 2 số ( )F b là số nhỏ nhất trong các số u(b), đồng thời là số lớn nhất trong các số v(b), trong đĩ u(x) và v(x) là các hàm mẹ và các hàm con bất kì đối với f(x): ( ) ( ){ } ( ){ }min max= =F b u b v b Bây giờ ta cĩ thể đưa ra định nghĩa sau. Định nghĩa 2.9. Hàm số ( )f x xác định trên [ ],a b được gọi là khả tích theo nghĩa Perron (hay khả tích (P)) trên [ ],a b nếu 1/ f(x) cĩ ít nhất một hàm mẹ u(x) và cĩ ít nhất một hàm con v(x) 2/ infimum của tập hợp ( ){ }u b các giá trị tại x = b của tất cả các hàm mẹ trùng với supremum của tập hợp ( ){ }v b các giá trị cũng tại điểm đĩ của tất cả các hàm con: ( ){ } ( ){ }inf sup=u b v b (2.2) Nếu ( )f x khả tích (P) trên [ ],a b thì giá trị chung của đẳng thức (2.2) được gọi là tích phân Perron của hàm số ( )f x trên [ ],a b và được kí hiệu là ( ) ( ) b a P f x dx∫ Hệ quả 2.8 cĩ thể phát biểu lại thành định lý như sau Định lý 2.10. Nếu hàm số ( )F x cĩ đạo hàm hữu hạn f(x) khắp nơi trên [ ],a b thì ( )f x khả tích (P) và ( ) ( ) ( ) ( )− = ∫ b a F b F a P f x dx (Điều kiện hữu hạn của ( )f x khơng thể bỏ qua) Từ định lý này suy ra sự tồn tại của các hàm số khả tích (P) nhưng khơng khả tích (L). Chẳng hạn, hàm số ( ) ( )2 2cos , 0 1, 0 0 π = < ≤ =f x x x f x . Như vậy tích phân Perron đã giải quyết xong bài tốn tìm nguyên hàm khi biết đạo hàm hữu hạn của nĩ. Tuy nhiên khơng thể khơng thấy rằng định nghĩa tích phân của Perron khơng đưa ra được quá trình xây dựng tích phân đĩ như thế nào. Quá trình này được nêu ra trong lý thuyết tích phân Danjua sẽ được nêu ở mục sau. 2. 2. Các tính chất cơ bản của tích phân Perron Định lý 2.11. Nếu một hàm số là khả tích (P) thì nĩ hữu hạn hầu khắp nơi. Chứng minh Giả sử u(x), v(x) lần lượt là các hàm mẹ, hàm con của hàm số ( )f x và ( )f x là hàm khả tích (P) trên [ ],a b . Đặt ( ) ( ) ( )= −R x u x v._.