Tích phần P-Adic và các ứng dụng

văn được thực hiện hoàn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh do công sức nghiên cứu, tham khảo tài liệu của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình,chu đáo của PGS.TS. Mỵ Vinh Quang. Bằng những kiến thức mà tôi đã học được trong hai năm qua ở lớp cao học khoá 17 ngành Đại số và lý thuyết số làm nền tảng cho tôi nghiên cứu tiếp các sách tham khảo để viết lên cuốn luận văn này. Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Lê Hoàn Hoá, TS. Trần Huyên và TS. Đậu Thế Cấp, quý thầy đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu, cũng như dành thời gian quý báu đọc và góp ý cho luận văn. Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và quý thầy cô trường Cao Đẳng Kỹ Thuật Lý Tự Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn này. Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè đã giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn chồng và hai con yêu quí, những người đã chấp nhận khó khăn để tôi yên tâm học tập và luôn mong mỏi tôi được thành công. TP Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2009 Nguyễn Thị Cẩm Thạch MỤC LỤC Trang phụ bìa……………………………………………………………………….1 Lời cảm ơn…………………………………………………………………………..2 Mục lục ……………………………………………………………………………..3 Danh mục các ký hiệu……………………………………………………………….4 MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………5 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC……………...6 1.1. Chuẩn trên một trường………………………………………………….6 1.2. Xây dựng trường số p-adic p ………………………………………..11 1.3. Tính chất tô pô của p ………………………………………………..17 1.4. Trường số phức và hàm chỉnh hình p-adic…………………………….23 Chương 2. XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC…………………….25 2.1 Không gian các hàm hằng địa phương………………………………..25 2.2 Độ đo p-adic…………………………………………………………..28 2.3 Một số độ đo thường dùng……………………………………………32 2.4 Tương tự p-dic của tích phân Riemann……………………………….33 2.5 Điều kiện khả tích…………………………………………………….35 Chương 3. TÍCH PHÂN SCHNIRELMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG…………….45 3.1 Một số kết quả về lý thuyết tích phân Cauchy trong giải tích phức…..45 3.2 Tích phân Schnirelman………………………………………………..46 3.3 Lớp  D ……………………………………………………………..56 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN……………………………………………………64 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………….65 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập các số tự nhiên. : Tập các số nguyên. : Tập các số hữu tỷ. : Tập các số thực. p : Tập các số nguyên p-adic. * p : Tập các phần tử khả nghịch trong p . : Chuẩn trên trường K. p : Trường số p-adic p p : Trường số phức p-adic p : Chuẩn p-adic. pord a : Số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố. ( , )B a r : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong p hoặc p  ,B a r : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong p hoặc p ( , )D a r : Mặt cầu tâm a bán kính r trong p hoặc p  Na p : Khoảng trong p .  x : Phần nguyên của x. A : Hàm đặc trưng của tập A. aarH : Độ đo Haar.  : Độ đo Dirac. Mazar : Độ đo Mazur. ,a Nx : Một điểm tùy ý thuộc khoảng  Na p .  , , ( )aN x NS f : Tổng Riemann của hàm f . f  : Tích phân của hàm f ứng với độ đo  . MỞ ĐẦU Giải tích p-adic là một trong các hướng mới mà đang phát triển nhanh của ngành Đại số và Lý thuyết số. Gần đây đã có một số tác giả xây dựng được các tích phân p-adic và sử dụng chúng như là các các phép biến đổi Mellin-Mazur để nội suy các hàm giải tích p-adic và một số ứng dụng thú vị khác trong việc nghiên cứu hàm p-adic. Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng tích phân Schnirelman và nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Schnireman để nghiên cứu các hàm chỉnh hình p-adic.Luận văn gồm 3 chương. Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic p và trường số phức p-adic p . Sau đó, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản về trường số p-adic nhằm phục vụ cho chương 2 và chương 3. Chương 2: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo p-adic, độ đo bị chặn và độ đo tăng chậm. Từ đó chúng tôi đưa ra định nghĩa tổng Riemann, tích phân p- adic là tương tự p-adic của tích phân Riemann và điều kiện khả tích cho hàm liên tục ứng với độ đo bất kỳ. Chương 3: TÍCH PHÂN SCHINIREMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng tôi đi xây dựng tích phân Schinelman và lớp  D . Từ đó chúng tôi đi nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Schinelman để tìm tương tự p-adic của một số định lý và tính chất của tích phân Cauchy trong giải tích phức. Phần kết luận của luận văn chúng tôi nêu ra các đóng góp chính của luận văn và kiến nghị về hướng phát triển của nó. Vì thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi những những thiếu sót . Kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ. Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC Trong phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic và một số tính chất pô tô của nó. Cách xây dựng trường số p-adic đã được nhiều tác giả trình bày với nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic bằng phương pháp giải tích của N.KOBLITZ. Vì theo chúng tôi đây là cách xây dựng trường số p-adic một cách “tự nhiên” nhất. Sau khi xây dựng trường số p-adic chúng tôi đưa ra một số tính chất tô pô cơ bản nhất của nó. Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không chứng minh, ở đây chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến chương chính của luận văn đó là chương 2 và chương 3. 1.1. Chuẩn trên một trường 1.1.1. Định nghĩa Cho K là một trường. Chuẩn trên trường K là một ánh xạ (kí hiệu là ) từ tập K vào tập các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện sau : ) 0 0i x x   2 ) ,i xy x y x y K   3 ) ,i x y x y x y K     1.1.2. Ví dụ Ví dụ 1. Trường các số , , với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa nên giá tri tuyệt đối là chuẩn trên , , và ta gọi là chuẩn giá trị tuyệt đối, ta ký hiệu g Ví dụ 2. Cho K là một trường tùy ý. Ánh xạ được xác định : ' ' 1 nê u x 0 0 nê u x 0 x     Là một chuẩn trên trường K và được gọi là chuẩn tầm thường. 1.1.3. Chú ý Giả sử là một chuẩn trên trường K. Ta có thể chứng minh hàm d từ KxK vào tập các số thực không âm xác định bởi yxyxd ),( là một hàm mêtric trên trường K và được gọi là mêtric tương ứng với chuẩn . Tô pô sinh bởi mêtric tương ứng được gọi là tô pô tương ứng của chuẩn . 1.1.4. Các tính chất cơ bản  111  suy ra x x    1 1 0x x x     0 0 1.1.5. Định nghĩa hai chuẩn tương đương Hai chuẩn 1 và 2 trên trường K được gọi là tương đương nếu tô pô cảm sinh hai mêtric tương ứng của chúng là như nhau. Kí hiệu 1 ~ 2 . 1.1.6. Định lý Giả sử 1 , 2 là hai chuẩn trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương: 1. 11 21  xx với mọi Kx 2. 11 21  xx với mọi Kx 3. Tồn tại hằng số dương C > 0 sao cho 1 2Cx x với mọi Kx 4. {xn} là dãy Cauchy đối với 1 { }nx là dãy Cauchy đối với 2 5. 1 ~ 2 Chứng minh 1) 2) Với mọi Kx , giả sử 1 1 x ta cần chứng minh 1 2 x Giả sử ngược lại, tức là 1 2 x . Ta có: 111111 22 22 2  xx x x Suy ra 1xhay 11 1 1  x Điều này vô lý vì 1 1 x . Vậy 1 2 x . 2)  1) Chứng minh tương tự như trên. 1)  3) Giả sử 11 21  xx với mọi Kx .Ta xét hai trường hợp sau :  Trường hợp 1 : Nếu có một trong hai chuẩn tầm thường thì ta chứng minh chuẩn còn lại cũng tầm thường. Thật vậy: Gỉa sử chuẩn 1 tầm thường thì với mọi 0,  xKx , ta có 1 1 x . Nếu 1 2 x thì ta xét hai trường hợp sau: 2 1 1 1x x   (vô lý) 11111 12 2  xx x (vô lý) Do đó 1 2 x hay chuẩn 2 là tầm thường. Do đó tồn tại C=1 thỏa 1 2Cx x với mọi Kx  Trường hợp 2 : Nếu cả hai chuẩn không tầm thường Vì 1 không tầm thường nên tồn tại Kx 0 sao cho 110 x ,do đó ta có 10 1 0 1 1 1x x    Từ giả thiết của mệnh đề ta suy ra 10 2 0 2 1 1x x    . Nên 1 20 x . Đặt ax  10 và bx  20 thì a, b>1 Khi đó, với mọi Kx ta viết 1 x a với 1 loga x  . Ta chứng minh 2x b Thật vậy, lấy mr n   và mr n   ta có : 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 m m m n m n mn n nx a a x x x x x x x         Do đó 0 01 2. 1 . 1 n m n mx x x x    0 02 22 2 n mn mx x x x    Suy ra 02 2 m nx x hay n m bx  2 Như vậy, ta đã chứng minh được với mọi mr n   và r  thì 2 rx b Do đó nếu ta lấy dãy  nr  và ,nr n  mà nr  thì từ bất đẳng thức trên ta được : 2 x b Hoàn toàn tương tự, nếu lấy mr n   và r  thì ta có bx  2 Nên nếu ta lấy dãy  nr  và ,nr n  mà nr  thì ta có 2x b Vậy bx  2 . Do đó Caa xbbax bb 2 loglog 1 )()(   với C = logba>0. 3)4) Giả sử  nx là dãy Cauchy đối với chuẩn 1 , nghĩa là 1 0n mx x  khi ,m n  Hay 1 1 0 Cn mx x  khi ,m n  với C>0 thỏa 1 2Cn m n mx x x x   Do đó 2 0 n mx x  khi ,m n  Vậy  nx là dãy Cauchy đối với chuẩn 2 . 4)1) Giả sử 1 1 x ta cần chứng minh 1 2 x Từ giả thiết 1 1 x suy ra 1 0nx  đối với chuẩn 1 . Nên   0nx  theo chuẩn 1 .Mà dãy hội tụ phải là dãy Cauchy Do đó  nx là dãy Cauchy đối với 1 ,từ giả thiết ta suy ra  nx là dãy Cauchy đối với 2 . Điều này có nghĩa 0)( 1  nn xx đối với chuẩn 2 hay 0)1( xxn đối với chuẩn 2 .Do đó 01 22  xxn . Vì chuẩn 2 không tầm thường nên 01 2  x suy ra 1xhay 0 22 nx 3)5) Giả sử tồn tại hằng số dương C > 0 sao cho 1 2Cx x với mọi Kx Khi đó ta có:    1 1,B a r x K x a r    =  2Cx K x a r   = 1 2 Cx K x a r       = 1 2 , CB a r     Do đó: 1A  a A : B1(a,r) A (vì A là tập mở) :a A   1 2 , CB a r     A  2A . Vậy 21   nên theo định nghĩa ta có 21 ~ . 5)1) Giả sử 1 x < 1 suy ra  1 nx 0 . Do 21 ~ nên 0 2 nx . Vậy 1 2 x . 1.1.7. Định nghĩa chuẩn phi Archimede. Cho K là một trường .Chuẩn trên trường K được gọi là chuẩn phi Archimede trên trường K nếu với mọi x,y K  : max ,x y x y  1.1.8. Ví dụ về chuẩn phi Archimede. Ví dụ 1. Chuẩn tầm thường trên K là chuẩn phi Archimede. Ví dụ 2. Nếu K là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên K đều tầm thường, vì vậy nó là chuẩn phi Archimede. 1.1.9. Mệnh đề (nguyên lý tam giác cân). Cho K là một trường .Chuẩn là một chuẩn phi Archimede trên trường K .Khi đó nếu với mọi x,y K mà yx  thì  yxyx ,max Chứng minh Vì vai trò x,y trong mệnh đề như nhau nên ta giả sử x y . Khi đó ta có:  max ,x y x . Nên ta cần chứng minh x y x  Thật vậy, ta có  max ,x y x y  và y x nên x y x  Nhưng nếu x y x  thì  max ,x x y y x y y x      (vô lý vì x x ). Vậy x y x  hay  yxyx ,max 1.1.10. Mệnh đề Dãy  nx F là dãy Cauchy khi và chỉ khi  1 0n nx x   khi n  . 1.1.11. Mệnh đề Cho  nx là dãy Cauchy. Nếu 0nx  khi n  thì nx là dãy dừng. 1.1.12. Định lý (Điều kiện tương đương của tính phi Archimede ) Cho là một chuẩn trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương: 1i) là chuẩn phi Archimede. 2i) 12  3i) 1,n n   4i) là tập bị chặn. 1.2. Xây dựng trường số p-adic p 1.2.1. Định nghĩa pord a với a Giả sử p là một số nguyên tố nào đó. Với mỗi , 0a a  ta gọi aord p là số mũ của p trong sự phân tích a thành các thừa số nguyên tố. Nếu a =0 thì ta quy ước aord p 1.2.2. Định nghĩa pord x với x . Giả sử p là một nguyên tố nào đó. Với mỗi x , ta giả sử b ax  trong đó ,a b , (a,b)=1. Ta định nghĩa .bordaordxord ppp  1.2.3. Mệnh đề Cho ánh xạ p từ vào tập số thực không âm được xác định như sau: ' ' (1/ ) 0 0 nê 0 pord x p p nê u x x u x     Khi đó p là một chuẩn phi Archimede trên trường và được gọi là chuẩn p-adic 1.2.4. Định lý (Oxtropxki) Mọi chuẩn không tầm thường trên trường đều tương đương với p với p là một số nguyên tố nào đó hoặc tương đương với giá tri tuyệt đối thông thường g trên . Chứng minh Ta xét các trường hợp xảy ra đối với chuẩn 2 Trường hợp 1 : Nếu 2 > 1 thì từ điều kiện tương đương của tính phi Archimede ta suy ra không là chuẩn phi Archimede. Lấy Nn , giả sử 0 12 ... 2ssn a a a    , trong đó s s 10 1 và 2 n 2ia     Ta viết 2 2 với 2log 2  Khi đó ta có : 0 1 2 ... 2 s sn a a a     s2...21       ss 2 1... 2 112 Cs .2  (vì tổng trong dấu ngoặc hội tụ nên đặt 1 11 ... 2 2s C          ) Cn . Suy ra .n n C với mọi n Nên với mọi k ta có k ka kn n C n n C   Cho k   ta được n n . Mặt khác, do 122  ss n nên ta có 1 1 12 2 2s s sn n n n        Suy ra 1 1 ( 1) ( 1)2 2 2 (2 )s s s sn n n          ( vì từ chứng minh trên cho ta n n   nên  1 12 2s sn n       ) Do đó    1 12 2 2s s sn     Hay ( 1) '12 1 (1 ) . . 2 sn n C          với 11 (1 ) . 2 C        Thay n bởi kn với mọi k  ta có ' 'k k kn n C n n C    Cho k   , ta được n n . Vậy n n với mọi n -Với , 0x x  ta viết , , , 0mx m n n n    thì ta có : g m m mx x n n n           -Với , 0x x  thì 0x  nên ta có : g g x x x x      Vậy x = g x  với mọi x . Theo điều kiện tương đương của chuẩn trong trường hợp 1 ta có g . Trường hợp 2 : Nếu 2 1 thì là chuẩn phi Archimede Từ giả thiết 2 1 theo điều kiện tương đương của tính phi Archimede ta có 1n  với mọi n . Do là chuẩn không tầm thường nên tồn tại 0n  sao cho 0n < 1. Gọi p là số tự nhiên bé nhất thỏa p < 1 và 0p  . Khi đó p là số nguyên tố. Thật vậy, giả sử p là hợp số thì 1 2.p p p với 1 2,p p là số tự nhiên và 1 21 ,p p p  . Khi đó 1 2 1p p p  nên suy ra 1 1p  hoặc 2 1p  ( điều này mâu thuẩn với cách chọn p ) Gọi q là số nguyên tố khác p. Ta chứng minh q = 1. Vì 1n  với mọi n nên 1q  Giả sử q < 1 vì ( kk pq , ) = 1 nên tồn tại m,n  sao cho 1 kk nqmp . Ta có 1 1 k k k k k kmp nq m p n q p q       Cho k ta được 01 , điều này vô lý. Vậy 1q  . Lấy , 0m m  , xét sự phân tích thành tích các thừa số nguyên tố của m như sau 1 1 ..... kkm p p p  và 0i  nếu  , 1im p  . Từ định nghĩa chuẩn p ta có   1 1p ord m p m p p            Mặt khác 1 21 2. ... kkm p p p p   Vì 1p p mà 1p là số nguyên tố nên 1 1p  , suy ra 11 1p  Tương tự ta có 322 3 ... 1kkp p p      . Nên 1 1log log1 1 1p p Cp p C p m p m p p p                                   với 1log p C p . - Với , 0x x  ta viết , , , 0mx m n n n    thì ta có : C C Cp C p pp mm mx x n nn     - Với , 0x x  thì 0x  nên ta có : C C p p x x x x     Vậy x = C p x với mọi x . Theo điều kiện tương đương của chuẩn trong trường hợp 2 này ta có p . Định lý đã được chứng minh. 1.2.5. Xây dựng trường số số p-adic p Từ định lý Oxtropxki ta thấy chuẩn không tầm thường trên là giá trị tuyệt đối thông thường g , hoặc là chuẩn phi Archimede p . Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ theo g ta được trường số thực . Vậy làm đầy đủ theo p ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic p . Cụ thể cách xây dựng như sau : -Kí hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỷ theo p     ,n n n pS x x x Cauchy theo   -Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau:     0lim~   pnnnnn yxyx -Ta gọi p là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên :     p n nS x x S   và ta trang bị cho p hai phép toán cộng và nhân sau : Phép cộng :     n n n nx y x y   Phép nhân :     . .n n n nx y x y Khi đó, ta có thể chứng minh các phép toán trên được định nghĩa tốt và không phụ thuộc vào phần tử đại diện. Hơn nữa, ( , ,.)p  là một trường với các phần tử đặc biệt được xác định như sau : . Phần tử không :  0 . Phần tử đơn vị :  1 . Phần tử đối của  nx là  nx . Phần tử nghịch đảo của   0nx  được chỉ ra như sau : Vì  nx là dãy Cauchy mà   0nx  nên 0nx  khi n  . Nên theo mệnh đề 1.1.11 ta có N  sao cho : 0nn N x a    . Ta chọn dãy  ny cho bởi 01n n khi n N y x khi n N    Thì  ny là dãy Cauchy và     1n ny x  . -Trường p gọi là trường số p-adic p . Chuẩn trên p xác định như sau : Với  n px x  , ta định nghĩa : lim np pnx x (*). Khi đó, ta dể dàng kiểm tra định nghĩa trên là hợp lý, thỏa các điều kiện của chuẩn . Vậy p xác định theo công thức (*) là chuẩn trên p . Mặt khác, ánh xạ : pj  được xác định theo qui tắc với a thì    j a a là một đơn cấu trường. Nên ta có thể xem là trường con của p . Do vậy với a , ta có thể đồng nhất a với     pj a a  và ta có : lim p p pn a a a  trong p trong Nên p trong p là mở rộng của chuẩn trong 1.2.6. Định nghĩa đồng dư trong p Với , pa b ta nói  Npba mod nếu Np pba  . Từ định nghĩa ta có nhận xét : nếu ,a b thì định nghĩa đồng dư trong p sẽ trùng với định nghĩa đồng dư thông thường trên tập hợp số nguyên . 1.2.7. Vành các số nguyên p-adic Tập hợp  / 1p p pa a   cùng với phép toán cộng và nhân trong p lập thành một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên p-adic. Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành P là     1/ / 1 / 0 modP p p p ppx x x x x px             1.2.8. Biểu diễn p-adic của số x trong p Với mỗi số px thì x viết được dưới dạng : 0 1 ... ...nnx b b p b p     Trong đó 10  pbi với i = 1,2,3,… Công thức này được gọi là biểu diễn p-adic của x trong p . Nếu px không thỏa mãn điều kiện 1px  thì mpx p với m . Ta đặt ' mx xp thì ' . . 1m m m m p x x p x p p p    nên px . Do đó theo chứng minh trên ta có : ' 0 1 ... ...nnx b b p b p     Suy ra 10 1 1. . ... . ...m m m mm xx b p b p b b p p            Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của x có dạng: 1 1 0 1... ... ... m m n m m nx c p c p c c p c p              Công thức này gọi là công thức biểu diễn p-adic của x trong p . Vậy bất kỳ px đều có khai triển p-adic : . ii i m x c p     Trong đó m sao cho m p x p và  0,1,..., 1ic p  , 0mc  1.3. Tính chất tô pô của p Vì tô pô trong p là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính chất khác lạ so với tô pô thông thường. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất tô pô cơ bản của p nhằm phục vụ cho chương 2 và chương 3. 1.3.1. Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong p Cho pa và r là số thực dương ta định nghĩa :  Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp  ( , ) :p pB a r x x a r     Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp    , :p pB a r x x a r     Mặt cầu tâm a bán kính r là tập hợp  ( , ) :p pD a r x x a r    Từ định nghĩa ta thấy p là hình cầu đóng tâm 0 bán kính bằng 1 và *p là mặt cầu tâm 0 bán kính bằng 1. 1.3.2. Mệnh đề 1. Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều là những tập vừa mở, vừa đóng. 2. Hai hình cầu bất kỳ trong p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau. 3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán kính. 4. p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu. Chứng minh 1. Giả sử pa và , 0r r  xét hình cầu mở :  ( , ) :p pB a r x x a r    Hiển nhiên B(a,r) là tập mở. Ta cần chứng minh B(a,r) là tập đóng nghĩa là \ ( , )p B a r là tập mở. Thật vậy, lấy bất kỳ \ ( , )pb B a r điều này có nghĩa là rab p  . Gọi S(b,r) là hình cầu mở tâm b, bán kính r . Lấy ),( rbSy suy ra p y b r  . Do đó p p b a y b   . Mặt khác pp abbyay )()(  Theo nguyên lý tam giác cân, ta có: p p y a b a   Nên p y a r  .Hay \ ( , )py B a r . Suy ra ( , )S b r  \ ( , )p B a r . Vậy \ ( , )p B a r là tập mở. Hay B(a,r) là tập đóng. Tương tự, ta cũng có    , :p pB a r x x a r     ( , ) :p pD a r x x a r    là những tập vừa mở, vừa đóng 2. Xét hai hình cầu mở B1(a,r) và B2(b,s). Giả sử B1(a,r)B2(b,s) Ø ta chứng minh chúng phải lồng nhau. Giả sử r<s,ta cần chứng minh B1(a,r)B2(b,s). Thật vậy từ giả thiết B1(a,r) B2(b,s) Ø. Suy ra tồn tại    sbBraBc ,, 21  Hay p c a r  và p c b s  Lấy 1( , ) y B a r ta có py a r  Do đó pp bccaayby )()()(   max , ,p p py a a c c b s     Suy ra ),(2 sbBy Vậy ),(),( 21 sbBraB  Ngược lại, nếu rs  thì bằng cách chứng minh tương tự như trên, ta cũng có ),(),( 12 raBsbB  Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tương tự. 3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán kính.  Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số tâm. Bây giờ với pa và , 0r r  ta xét một điểm b bất kỳ ab  trong hình cầu mở  ( , ) :p pB a r x x a r    Ta có rab p  (do cách chọn b) Mặt khác nếu ( , ) x B a r thì p x a r  . Khi đó pp baaxbx )()(   max ,p px a a b r    Do đó ( , ) x B b r . Nên ta có    , ,B a r B b r Ngược lại, chứng minh tương tự như trên ta cũng có:    , ,B a r B b r Vậy    , ,B a r B b r với mọi  ,b B a r Nói cách khác  ,B a r có vô số tâm. Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm.  Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính. Trước hết, ta xét hình cầu mở B(a,r). Như ta đã biết hàm chuẩn p chỉ nhận các giá trị trong tập    / 0np n  nên tồn tại n sao cho: 1 nn prp Ta chứng minh B(a,s) = B(a,pn+1) với mọi s thỏa 1 nn psp Thật vậy, với mọi ( , )x B a s ta có 1n p x a s p    .Do đó ),( 1 npaBx . Nên ta có    1, , nB a s B a p  Ngược lại, với mọi  1, ny B a p  ta có 1npy a p   Suy ra spay n p  . Hay ),( saBy và do đó ta có    1, ,nB a p B a s  Vậy ),(),( 1 npaBsaB Suy ra với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa 1n np r p   ta đều có ),(),( 1 npaBraB Do đó ),(),( saBraB  với mọi s,r thỏa 1,n np s r p   . Điều này có nghĩa là mọi hình cầu mở B(a,r) có vô số bán kính. Đối với hình cầu đóng  ,B a r luôn tồn tại n sao cho 1 nn prp . Ta sẽ chứng minh  , , nB a s B a p    với mọi s thỏa 1 nn psp Thật vậy, với mọi  ,x B a s ta có px a s  mà 1 nn psp Nên n p pax  .Suy ra , nx B a p    Ngược lại, với mọi , ny B a p    ta có spay np  . Suy ra  saBy , Do đó  , , nB a s B a p    Vì vậy với 1 nn prp , ta có:  , , nB a r B a p    . Nên với mọi s thỏa 1 nn psp thì    saBraB ,,  Vậy hình cầu đóng  raB , có vô số bán kính. 4. Ta chứng minh p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu. Theo (3) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó. Dùng tính chất này ta sẽ chứng minh p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu. Thật vậy, lấy bất kỳ pa với , 0r r  . Theo (3) tồn tại n sao cho B(a,r) = B(a,pn) Nên    ( , ) / , 0 ( , ) /nM B a r r r B a p n     là tập đếm được. Vậy mọi hình cầu trong p đều có dạng ),( npbB trong đó b và n , do đó số hình cầu trong p là tập đếm được. Tương tự, ta cũng chứng minh được mọi hình cầu đóng, mặt cầu trong p đều là những tập đếm được. 1.3.3. Mệnh đề p là tập compact do đó p là tập compact địa phương. Chứng minh Trước hết ta chứng minh p là tập compact. Giả sử  nx là một dãy tùy ý trong p và ...22111011  papaax ...22212022  papaax ............................................ ...2210  papaax nnnn Trong đó 10  pain với mọi i = 0,1,2,… Xét các phần tử )1,...,3,2,1(0  pna n ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập hữu hạn  1,...,2,1,0 p . Do đó tồn tại  1,...,2,1,00  pb được các phần tử )1,...,3,2,1(0  pna n nhận giá trị vô hạn lần. Tồn tại tập 0K vô hạn các phần tử 0nx của dãy  nx sao cho số hạng đầu tiên trong khai triển p-adic của mỗi phần tử đều bằng b0. Trong tập 0K các phần tử 0nx có số hạng thứ 2 trong khai triển p-adic là 1na với 0,1,2,..., ( 1)n p  nhận các giá trị trong tập hữu hạn  1,...,2,1,0 p . Vậy phải tồn tại  1,...,2,1,01  pb được nhận giá trị vô hạn lần. Do đó tồn tại tập 1K vô hạn các phần tử 1nx của dãy  nx0 sao cho số hạng thứ 2 trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng b1. Như vậy, với mỗi m tồn tại tập mK vô hạn các phần tử mnx của tập 1mK  sao cho số hạng thứ m trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng  1,...,2,1,0  pbm . Đặt ...... 112210   mmmm pbpbpbpbbb Như vậy ta đã xây dựng được 0 1 ... ...mK K K    Với các phần tử 0 0nx K , 1 1nx K ,…, mn mx K ,… Từ cách xây dựng trên ta có: 1 0mmmn px b p     Do đó  mnx là một dãy con lấy ra từ dãy  nx mà  mnx hội tụ về b. Vậy p là tập compact. Bây giờ ta lấy phần tử 0 px  . Nếu 0 0x  thì tồn tại  0,1p B là tập compact chứa 0x . Nếu 0 0x  ta có ánh xạ 0p px  là phép đồng phôi 0x x x nên 0 px  là tập compact chứa 0x . Do đó với mọi 0 px  đều tồn tại lân cận compact chứa 0x nên p compact địa phương. 1.3.4. Khoảng trong p Khoảng trong p là hình cầu đóng tâm a bán kính Np 1 với N  . Kí hiệu:    NN paBpa 1,)( Từ mệnh đề 1.3.2 ta thấy khoảng là tập vừa mở vừa đóng, hai khoảng bất kỳ hoặc lồng nhau hoặc rời nhau và không gian mêtric p có một cơ sở gồm các tập mở có dạng khoảng. Một khoảng bất kỳ luôn được phân tích thành hợp hữu hạn của các khoảng con và mọi tập mở compact trong p luôn phân tích được thành hợp rời nhau của các khoảng. Điều này được thể hiện trong mệnh đề 1.3.5 sau đây: 1.3.5. Mệnh đề Cho a + (pN) là khoảng bất kỳ trong p . Khi đó: 1. )()( 1 1 0     N p b NN pbpapa  2. Mọi tập mở trong p là compact nếu và chỉ nếu nó được viết dưới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng trong p Chứng minh 1. Giả sử a + (pN) là khoảng bất kỳ trong p . Với mọi xa + (pN), x có thể viết dưới dạng x = a + pNq Ta viết q = pq1 + b trong đó 10  pb Suy ra: 1 1 1 1 0 ( ) p N N N N b x a bp q p a bp p           Ngược lại, với mọi  1 0 1 )(    p b NN pbpax Thì tồn tại  1,...,2,1,0  pb sao cho )( 1 NN pbpax Khi đó, x được viết dưới dạng 1 NN qpbpax Hay )()( NN papqpbax  . Vì vậy suy ra )()( 1 1 0     N p b NN pbpapa  2. Với mọi tập mở U trong p , giả sử U là tập compact. Do U là tập mở trong p nên U là hợp của các khoảng :i iI U I  . Mặt khác, hai khoảng bất kỳ trong p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau nên ta có thể giả sử iU I  , trong đó  ji II Ø nếu ji  . Do U là tập compact nên tồn tại J hữu hạn sao cho i i J U I   . Ngược lại, giả sử  Ii iIU   , trong đó I là tập hữu hạn và  ji II Ø nếu ji  . Do p là tập compact và Ii là tập đóng nên Ii là tập compact. Vậy U là tập compact. Tổng quát: Tập mở U trong p là compact nếu và chỉ nếu nó được viết dưới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii. Thật vậy, chiều thuận là hiển nhiên. Ngược lại, giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii và Ii = a + (pN). Do p là tập compact nên Ii là lân cận compact của a trong p . Vậy  iIU  là tập compact trong p Đặc biệt: 1 0 ( ) Np N p a a p      , với mọi số tự nhiên N 1.4. Trường số phức p-adic p và hàm chỉnh hình p-adic 1.4.1. Trường số phức p-adic p Trong phần trước chúng ta đã xây dựng được trường số p . Gọi p là bao đóng đại số của p , tức p là tập bao gồm tất cả các phần tử đại số trên p . Khi đó có tối đa một chuẩn trường trên p là mở rộng của . p trên p . Gọi p  và n 1p 1 1Irr( , , )= ...n n nx x a x a x a      là đa thức bất khả quy với hệ số trong p nhận  làm nghiệm. Ta định nghĩa: 1 n np p a  (*) Khi đó . : pp  xác định bởi (*) là chuẩn trường trên p và là mở rộng của . p trên p . Người ta chứng minh được rằng p không đầy đủ. Do p không đầy đủ nên rất khó xây dựng giải tích trên nó. Nhu cầu cần được giải quyết là tìm một bao đủ của p , được ký hiệu p p Quá trình xây dựng p từ p tương tự như quá trình xây dựng p từ . . . p p p p p p    Trường số p xây dựng được gọi là trường số phức p-adic. 1.4.2. Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong p Cho pa và r là số thực dương. Ta định nghĩa :  Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp    , p pB a r z z a r     Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp    , p pB a r z z a r     Mặt cầu tâm a bán kính r là tập hợp    , p pD a r z z a r    1.4.3. Hàm chỉnh hình p-adic. - Hàm  f z được gọi là chỉnh hình trên  0 ,B z r nếu với mọi  0 ,z B z r hàm  f z biểu diễn được bởi chuỗi    0 0 n n n f z a z z     - Hàm  f z được gọi là hàm chỉnh hình trong hình vành khăn  00p pW z r z z R      Nếu với mọi  ,z W f z biểu diễn được duy nhất dạng chuỗi Laurent    0 nn n f z a z z     Chương 2. XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản như: không gian các hàm hằng địa phương, từ đó đi xây dựng độ đo p-adi._.