Tích phân Ito

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Tích phân Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.2. Tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. Mở rộng tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Vi phân ngẫu nhiên và định lý Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Phần 2: Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 2mở đầu Có thể nói giải tích toán học là lĩnh vực nghiên cứu phép tính vi phân và tích phân. Từ cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép tính vi phân và tích phân cổ điển. Tới nửa đầu thế kỷ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu được xây dựng. Người có công lớn nhất trong việc sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên là K.Ito, nhà toán học kiệt xuất người Nhật. Nếu tích phân Riemann - Lebesgue được xây dựng theo độ đo thì tích phân Ito được xây dựng theo quá trình Wiener. Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên thì phép tính tích phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ quan trọng cho nhiều vấn đề của vật lí, sinh học và kinh tế. Khoá luận này trình bày một số hiểu biết của tác giả về những khái niệm cơ bản nhất về tích phân Ito, đặc biệt là công thức Ito và ứng dụng của nó vào việc giải một số bài tập liên quan. Khoá luận gồm 2 chương: Phần 1. Lí thuyết Đ1 Kiến thức cơ sở. 1.1 Cơ sở về lý thuyết độ đo. 1.2 Cơ sở về lý thuyết xác suất. Trong bài này trình bày một số kiến thức cơ sở có liên quan dùng làm sự chuẩn bị cho nội dung khoá luận. Đ2 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.2 Tích phân Wiener. 2.2 Tích phân Ito. Đây là nội dung chính về phần lý thuyết mà tác giả đã tìm hiểu và trình bày 3được về quá trình ngẫu nhiên Ito. Phần 2 .Bài tập áp dụng Trong chương này, tác giả vân dụng lý thuyết để giải một số bài tập điển hình về quá trình ngẫu nhiên Ito. Khoá luận này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của cô giáo ThS.Nguyễn Thị Thế và sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và Toán ứng dụng trong khoa Toán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Giáo sư, phó Giáo sư, Tiến sĩ, Thạc sĩ, . . . , khoa Toán Đại hoc Vinh, các thầy cô tham gia quản lý, giảng dạy, cung cấp tài liệu, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo ThS. Nguyễn Thị Thế, các thầy cô trong tổ Xác suất thống kê và Toán ứng dụng, các thầy cô trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận này. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực và thời gian còn hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung và hình thức. Vì vậy, tác giả rất mong lời chỉ bảo của quý thầy cô và những góp ý giúp đỡ của bạn đọc. Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 5 năm 2008 Tác giả. 4phần 1 lýthuyết Đ1. kiến thức cơ sở 1.1. Một số kiến thức cơ bản về độ đo 1.1.1. Định nghĩa. Cho Ω 6= ∅, họ F các tập con của Ω được gọi là một σ - trường nếu: (i) Ω, ∅ ∈ F (ii) Nếu A ∈ F thì A ∈ F , ∀A ∈ F (iii) Nếu An ∈ F , ∀n ≥ 1 thì ∞⋃ n=1 An ∈ F 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử F là một σ - trường các tập con của Ω. Khi đó, hàm à : F → R được gọi là độ đo trên σ - trường F nếu thoả mãn các tiên đề sau: (i) à(∅) = 0 (ii) à(A) ≥ 0 (iii) Nếu {An} và AiAj = ∅, ∀i 6= j, thì à( ∞⋃ n=1 An) = ∞∑ n=1 à(An) à gọi là σ - hữu hạn nếu tồn tại {Xn} các phần tử của F sao cho à(Xn) < ∞, với mọi n ∈ N và X = ∞⋃ n=1 Xn Nếu à là độ đo σ - hữu hạn trên σ - trường F sao cho độ đo của mỗi khoảng 5trùng với thể tích của không gian đó thì à được gọi là độ đo Lebegue. 1.1.3. Hàm đo được Giả sử A, B là các σ - đại số, (X,A), (Y,B) là các không gian đo được, ánh xạ f : X → Y được gọi là đo được nếu B ∈ B thì f−1(B) ∈ B, tức là nghịch ảnh của một tập đo được là một tập đo được. Hàm f : X → R được gọi là đo được ( hay à- đo được) nếu ∀a ∈ R thì tập {x ∈ X : f(x) < a} ∈ A. Nếu X = Rn và à là đo được Lebesgue thì hàm f là đo được Lebesgue 1.1.4. Tích phân Rimann - Stieltjes Giả sử f và g là hai hàm số thực xác định trên đoạn [0,1]. Xét một phân hoạch của đoạn [0,1]: τn : 0 = t0 < t1 < ã ã ã < tn = 1 và một họ các giá trị trung gian σn : ti−1 ≤ yi ≤ ti, i = 1, . . . , n Ta định nghĩa ∆i(g) = g(ti)− g(ti−1), i = 1, . . . , n ∆ix = ti − ti−1, i = 1, . . . , n Tổng Riemann- Stieltjes (R− S) tương ứng với τn và σn được định nghĩa bởi công thức Sn = Sn(τn, σn) = n∑ i=1 f(yi)∆i(g) = n∑ i=1 f(yi)(g(ti)− g(ti−1)) Nhận xét rằng khi g(t) = t thì tổng (R − S) chính là tổng Riemann của f . 6Nếu tồn tại giới hạn S = lim n→∞Sn khi ∆ix → 0 và S không phụ thuộc vào sự lựa chọn τn và σn, thì S được gọi là tích phân (R− S) của f đối với g trên [0, 1], ta ký hiệu là S = 1∫ 0 f(t)dg(t) 1.1.5. Tích phân Lebesgue - Stieltjes Giả sử B là σ - trường các tập Borel trên đường thẳng, à là độ đo hữu hạn trên B và lấy giá trị hữu hạn trên các các khoảng hữu hạn. Ta ký hiệu (R,Bà, à) là không gian có độ đo tương ứng. Độ đo à trên Bà được gọi là độ đo Lebesgue-Stieltjes. Hệ thức F (b)− F (a) = à(a, b] xác định đơn trị hàm F đơn điệu không giảm, liên tục bên trái. Người ta gọi F là hàm phân phối tương ứng với độ đo à Định nghĩa. Giả sử f là hàm thực Bà - đo được, nếu f khả tích theo độ đo à thì tích phân ∫ fdà được gọi là tích phân Lebesgue - Stieltjes. Nếu F là hàm phân phối tương ứng với độ đo à thì tích phân này được ký hiệu là∫ fdà = ∫ fdF Tích phân trên đoạn [a; b] được ký hiệu là b∫ a fdà = b∫ a fdF Đặc biệt, với độ đo tương ứng F (x) = x được gọi là độ đo Lebesgue còn tích phân tương ứng được gọi là Lebesgue. 71.1.6. Qua giới hạn dưới dấu tích phân Cho dãy hàm {fn} - đo được sao cho fn → f theo độ đo. Nếu tồn tại một hàm khả tích g sao cho với ∀n ∈ N, ta có |fn| ≤ g thì f là khả tích và∫ fdà = lim n→∞ ∫ fndà. 1.2. Kiến thức cơ bản về xác suất 1.2.1. Không gian xác suất 1.2.1.1. Định nghĩa. Cho tập Ω 6= ∅ và F là một σ-trường các tập con của Ω. Một ánh xạ P : F → R được gọi là một độ đo xác suất nếu thoã mãn 3 điều kiện: (i) P(A) ≥ 0 (ii) P(Ω) = 1 (iii) Nếu Ai ∈ F ,∀i ≥ 1 và AiAj = ∅,∀i ≥ 1 thì P( ∞⋃ i=1 Ai) = ∞∑ i=1 P(Ai) 1.2.1.2. Tính chất cơ bản của độ đo xác suất Giả sử F là một σ - trường các tập con của Ω và P : F → R là một độ đo xác suất. Khi đó, độ đo xác suất có đầy đủ mọi tính chất của độ đo à hữu hạn. 1.2.1.3. Định nghĩa. Giả sử tập Ω 6= ∅,F là một σ -trường các tập con của Ω, P : F → R là một độ đo xác suất. Khi đó, bộ ba (Ω,F ,P) được gọi là không gian xác suất. 1.2.2. Biến ngẫu nhiên 1.2.2.1. Định nghĩa. Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất. Một ánh xạ X : Ω → R được gọi là một biến ngẫu nhiên nếu: X−1(B) ∈ F ,∀B ∈ B 8với B là σ -trường các tập Borel của R 1.2.2.2. Định nghĩa. Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω,F ,P). Khi đó, σ- trường σ(X) = {X−1(B) : B ∈ B} được gọi là σ-trường sinh bởi X 1.2.3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1.2.3.1. Kỳ vọng. Cho X là biến ngẫu nhiên, kỳ vọng của X ký hiệu là EX và được định nghĩa bởi: EX = ∫ Ω dP (nếu tồn tại). 1.2.3.2. Phương sai. Cho X là biến ngẫu nhiên,phương sai của X ký hiệu là DX và được định nghĩa bởi: D(X) = E(X− EX)2 (nếu tồn tại) 1.2.4. Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên 1.2.4.1. Hội tụ hầu chắc chắn. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n ≥ 1) xác định trên không gian xác suất(Ω,F ,P) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A ∈ F ,P(A) = 1 sao cho ∀ω ∈ A thì Xn(ω) → X(ω). Ký hiệu :Xn → X h.c.c. 1.2.4.2. Hội tụ theo xác suất. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n ≥ 1) xác định trên không gian xác suất (Ω,F ,P) được gọi là hội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên X nếu ∀ε > 0 thì lim n→∞P{|Xn − X| > ε} = 0 Ký hiệu: Xn P−→ X 1.2.4.3. Định nghĩa . Cho p > 0,X là biến ngẫu nhiên, ta ký hiệu: Lp = {X : E |X|p < ∞} 9Với mỗi X ∈ Lp, ta ký hiệu: ‖X‖p = (E |X|p) 1 p khi đó, Lp với chuẩn ‖.‖p là không gian metric với khoảng cách d(X,Y) = ‖X− Y‖p Đặc biệt, với p ≥ 1 thì Lp là không gian Banach, p = 2 thì Lp là không gian Hilbert. 1.2.4.4. Hội tụ theo trung bình cấp p Với mọi p ≥ 0, dãy biến ngẫu nhiên Xn xác định trên không gian xác suất (Ω,F ,P) được gọi là hội tụ theo trung bình cấp p về biến ngẫu nhiên X , nếu lim n→∞E | Xn − X | p= 0 Ký hiệu: Xn Lp−→ X. Đặc biệt, với p = 2 thì gọi là hội tụ theo bình phương trung bình. 1.2.5. Kỳ vọng có điều kiện Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất, X : Ω → R là một đại lượng ngẫu nhiên, G là σ-trường con của F . Khi đó, đại lượng ngẫu nhiên Y : Ω → R được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G nếu: (i)Y là đo được đối với G : Y−1(B) ∈ G,∀B ∈ B(R) (ii)E(YIA) = E(XIA),∀A ∈ G Ký hiệu: Y = E(X | G). 1.2.6. Martingale Cho không gian xác suất (Ω,F ,P). Giả sử (Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên, Fn là dãy tăng các σ -trường con của F , (n = 0, 1, ...). Khi đó (Xn,Fn, n ∈ N), dãy được gọi là Martingale nếu: 10 (i) (Xn,Fn) là dãy phù hợp (hay Xn là Fn đo được). (ii) E | Xn |< ∞, ∀n ∈ N (iii)1 E(Xn+1 | F) = Xn hầu chắc chắn, ∀n ∈ N - Martingale trên nếu có (i), (ii) và: (iii)2 E(Xn+1|Fn) ≤ Xn h.c.c, ∀n ∈ N - Martingale dưới nếu có (i), (ii) và : (iii)3 E(Xn+1|Fn) ≥ Xn h.c.c, ∀n ∈ N 1.2.7. Một số bất đẳng thức 1.2.7.1. Bất đẳng thức Markov. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên nằm trong không gian Lp. Khi đó,∀ε > 0, ta có P(|X|) ≥ ε) ≤ 1 εp E |X|p 1.2.7.2. Bất đẳng thức Doob. Giả sử p > 1 và (Xn,Fn) là Martingale dưới khả tích cấp p và không âm. Khi đó, biến ngẫu nhiên sup |X|ncũng khả tích cấp p. Cụ thể, ta có bất đẳng thức: ‖sup |Xn|‖p ≤ p p− 1 sup ‖X‖p 11 Đ2 tích phân ngẫu nhiên ito 2.1. Tích phân Wiener 2.1.1. Quá trình Wiener 2.1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên. Giả sử T ⊂ R,L0(Ω,F ,P)={Biến ngẫu nhiên xác định trong không gian xác suất(Ω,F ,P)}. Khi đó ánh xạ: X : T → L0(Ω,F ,P) t 7→ Xt và Xt được gọi là hàm ngẫu nhiên (quá trình ngẫu nhiên) với tham biến t ∈ T Nếu T là tập đếm được thì X = Xt, t ∈ T là quá trình ngẫu nhiên với tham biến rời rạc. Nếu T là một khoảng trên R : (−∞; +∞), [a; +∞); (−∞; b], [a; b), [a; b], (a; b) thì khi đó, X = {Xt, t ∈ T} được gọi là quá trình ngẫu nhiên với tham biến liên tục với t đóng vai trò là thời gian. Nói chung, ta thường gặp và nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên dạng: X = {Xn, n ∈ N}, hoặc X = {Xt, t ∈ [0; +∞)} hay X = {Xt, t ∈ [0; 1]}. 2.1.1.2. Quá trình đo được Cho quá trình ngẫu nhiên: X : T → L0(Ω,F ,P) nếu X : [0; T] ì Ω → R là đo được thì X được gọi là quá trình ngẫu nhiên đo được. 2.1.1.3. Quá trình Wiener Cho quá trình ngẫu nhiên W = {Wt, t ∈ [0; +∞)}. Ta nói Wt là quá trình Wiener nếu: 12 (i)W0 = 0 (ii)W là quá trình có số gia độc lập. (iii)Biến ngẫu nhiên Wt − Ws, (t ≥ s ≥ 0) có phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai (t− s). (iv)W là quá trình ngẫu nhiên liên tục. 2.1.2. Tích phân Wiener 2.1.2.1. Tích phân Wiener của hàm đơn giản Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất. Ký hiệu L2(Ω) là không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, tức là L2(Ω) = { X : Ω → R ∣∣∣∣ ∫ Ω |X(ω)|2 dP < ∞ } Giả sử T là số thực dương hữu hạn. Ký hiệu S là không gian các hàm đơn giản trên [0;T ]. f : [0;T ] → R xác định: f = λ0I{0} + n−1∑ k=0 λ0IAk (2.1) trong đó, 0 = t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn = T là phân hoạch hữu hạn của [0; T], λk ∈ R, (k = 0, n); At = (tk; tk+1]. và IA(t) =  0 nếu t /∈ A 1 nếu t ∈ A Khi đó, S là không gian tuyến tính, tức là nếu f, g ∈ S;∀a, b ∈ R thì a.f + b.g ∈ S. 13 Bây giờ, với f ∈ S, f là hàm đơn giản, đặt: I(f) = n−1∑ k=0 λk(Wtk+1 −Wtk) trong đó {Wt, t ∈ [0; T]} là quá trình Wiener. Khi đó, I(f) gọi là tích phân Wiener của hàm f trên (0; T]. Ký hiệu: I(f) = T∫ 0 f(t)dWt := n−1∑ k=0 λk(Wtk+1 −Wtk) (2.2) Với 0 ≤ s ≤ t ≤ T , đặt: t∫ s f(u)dWu = t∫ 0 f(u)dWu − s∫ 0 f(u)dWu Vậy I(f) là một biến ngẫu nhiên và t∫ s dWt = Wt −Ws 2.1.2.2. Các tích chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản (1) Với f ∈ S, I(f) là biến ngẫu nhiên Gauss có trung bình bằng 0 và phương sai ‖ f ‖2L2([0;T]), tức là: E ( T∫ 0 f(t)dWt ) = 0 và E ( T∫ 0 f(t)dWt )2 = ‖f‖2L2([0;T]) := T∫ 0 |f(t)|2 dt (2) Tích phân I : S → L2(Ω) là ánh xạ tuyến tính, tức là: T∫ 0 (af + bg)dWt = a T∫ 0 fdWt + b T∫ 0 gdWt 14 (3) Tích phân I : S → L2(Ω) bảo toàn tích vô hướng của hai không gian Hilbert L2([0; T]) và L2(Ω), tức là:〈 I(f), I(g) 〉 L2(Ω) := E ( T∫ 0 fdWt T∫ 0 gdWt ) = 〈 f, g 〉 L2([0;T]) := T∫ 0 f(t)g(t)dt Chứng minh: Ta đã biết rằngWtk+1−Wtk, k = 0, n− 1 là các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập có trung bình bằng 0 và phương sai bằng |tk+1 − tk|. Do đó I(f) là biến ngẫu nhiên Gauss và EI(f) = ∑ k λkE(Wtk+1 −Wtk) = 0 DI(f) = n−1∑ k=0 λ2kD(Wtk+1 −Wtk) = n−1∑ k=0 λ2(tk+1 − tk) = T∫ 0 f 2(t)dt Vậy (1) được chứng minh. (2) Hiển nhiên do S là không gian tuyến tính (3) Từ (1) và đẳng thức hình bình hành 〈a, b〉 = 1 4 ( 〈a+ b, a− b〉 − 〈a− b, a− b〉 ) Ta suy ra được điều phải chứng minh. 2.1.2.3. Tích phân Wiener của hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích Bây giờ ta xây dựng tích phân Wiener cho hàm f ∈ L2([0; T]). Với hàm f như thế tồn tại dãy hàm {fn} ⊂ S sao cho ‖fn − f‖L2([0;T]) → 0 Đặc biệt, {fn} là dãy Cauchy trong L2([0; T]), tức là khi m,n →∞ ta có: ‖fm − f‖L2([0;T]) → 0 15 Theo tính chất (2.1.2.2)2 và (2.1.2.2)3, ta suy ra ‖I(fn)− I(fm)‖L2(Ω) → 0 Suy ra, {I(fn)} là dãy Cauchy trong L2(Ω) (là không gian đủ), nên tồn tại giới hạn (theo nghĩa bình phương trung bình). T∫ 0 f(t)dWt := lim n→∞ T∫ 0 fn(t)dWt (2.3) Ta gọi biến ngẫu nhiên trong công thức trên là tích phân ngẫu nhiên Wiener của f hoặc tích phân Wiener, ký hiệu là I(f). Hơn nữa, với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta định nghĩa t∫ s f(u)dWu = t∫ 0 f(u)dWu − s∫ 0 f(u)dWu Dễ dàng ta chứng tỏ được I(f) không phụ thuộc vào cách chọn dãy {fn} (ở trên), và I(f) có các tính chất (1) → (3). Cụ thể I(f) là biến ngẫu nhiên Gauss có trung bình bằng 0 và phương sai bằng ‖f‖2 = T∫ 0 |f(t)|2 dt. I(f) là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng giữa hai không gian Hilbert L2([0; T]),L2(Ω). 2.2. Tích phân Ito 2.2.1. Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT Ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên f : [0; T] ì Ω → R, với các giả thiết là: At = σω≤t là σ- trường tự nhiên sinh bởi quá trình Wiener {Wt, t ∈ [0; T]}. Ký hiệu NT là lớp các hàm ngẫu nhiên f : [0; T]ì Ω → R 16 sao cho (i) f(t, ω) là hàm đo được( theo hai biến) . (ii) ft là At - đo được. (iii) T∫ 0 E |f(t, ω)|2 dt < ∞ Nếu không nói gì, ta luôn hiểu At = σω≤t là σ- trường tự nhiên sinh bởi quá trình Wiener {Wt, t ∈ [0; T]} Hàm φ ∈ NT được gọi là sơ cấp nếu có dạng: φ(t, ω) = λI{0} + n−1∑ k=0 λk(ω)IAk (2.4) trong đó, 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn = T là phân hoạch hữu hạn của [0T ], là biến ngẫu nhiên At- đo được, Ak = (tk; tk+1] với k = 0, n− 1 và IA là hàm chỉ tiêu. - Với hàm φ có dạng (2.4), đặt I(φ) = T∫ 0 φ(t, ω)dWt = λI{0} + n−1∑ k=0 λk(ω)(Wtk+1 −Wtk) (2.5) -Tích phân phụ thuộc cận trên: Vì W0 = 0 nên 0 ≤ t ≤ T , ta có: T∫ 0 φ(s, ω)dWs = λ(Wtk+1 −Wtk) + ∑ 0≤k≤m;tm+1≤t λk(ω)(Wtk+1 −Wtk) Từ tính liên tục của quá trình Wiener, ta suy ra tích phân phụ thuộc cận trên: It = t∫ 0 φ(s, ω)dWs; t ∈ [0;T ] là quá trình ngẫu nhiên liên tục. - Đẳng cự Ito: Với 0 ≤ s ≤ t ≤ T , ta định nghĩa: t∫ s f(u, ω)dWu = t∫ 0 f(u, ω)dWu − s∫ 0 f(u, ω)dWu 17 Tương tự như tích phân Wiener, ta có: EI(φ) = 0 E[I2(φ)] = E ( T∫ 0 |φ(t, ω)|2 dt ) Thật vậy, do λk là σ ω ≤t đo được; (Wtk+1 −Wtk) và σω≤t độc lập với nhau nên ta có: E(λk(Wtk+1 −Wtk) | σω≤t) = λkE(Wtk+1 −Wtk) = 0 Suy ra Eλk(Wtk+1 −Wtk) = 0. Từ đó suy ra công thức. Lý luận tương tự ta có: Eλiλj [ (Wti+1 −Wti)(Wtj+1 −Wtj) ] =  0 nếu i 6= j Eλ2i (ti − ti−1) nếu i = j ⇒ EI2(φ) = E (∫ T 0 |φ(t, ω)|2 dt ) .2 - Tính chất Martingale. Tích phân phụ thuộc cận trên Mt = t∫ 0 φ(s, ω)dWs t ∈ [0;T ] là Martingale đối với At = σω≤t, t ∈ [0;T ] Chứng minh: Thật vậy, Mt và At là phù hợp nên với 0 ≤ s ≤ t ≤ T , ta có: As và t∫ s φ(u, ω)dWu độc lập với nhau, nên: E ( t∫ s φ(u, ω)dWu | As ) = E t∫ s φ(u, ω)dWu = 0 18 Do t∫ s φ(u, ω)dWu là As -đo được nên: E ( s∫ 0 φ(u, ω)dWu | As ) = s∫ 0 φ(u, ω)dWu = Ms Suy ra E(Mt ∣∣As) = E( s∫ 0 φ(u, ω)dWu | As ) +E ( t∫ s φ(u, ω)dWu | As ) = E ( s∫ 0 φ(u, ω)dWu | As ) = Ms Vậy Mt = t∫ 0 φ(s, ω)dWs; t ∈ [0;T ] là Martingale đối với At = σω≤t Ta dễ dàng chứng minh được một số tính chất sau: +) Với g ∈ NT bị chặn và g(., ω) liên tục với mỗi ω thì tồn tại dãy hàm sơ cấp φn ∈ NT sao cho : lim n→∞E T∫ 0 |φn − g|2 dt = 0 +) Với mỗi h ∈ NT bị chặn thì tồn tại dãy hàm {gn} ⊂ NT bị chặn sao cho gn(., ω) liên tục với mỗi ω và lim n→∞E T∫ 0 (gn − h)2dt = 0 +) Với mỗi f ∈ NT thì tồn tại dãy hàm {hn} ⊂ NT sao cho hn(., ω) bị chặn với mỗi n và lim n→∞E T∫ 0 (hn − f)2dt = 0 19 Ta định nghĩa tích phân (ngẫu nhiên) Ito theo công thức sau : I(f) = T∫ 0 f(t, ω)dWt := lim n→∞ T∫ 0 φndWt (2.8) Tích phân này có một tính chất rất quan trọng : E ( T∫ 0 f(t, ω)dWt )2 = E ( T∫ 0 |f(t, ω)|2 dt ) Tính chất này có tên là : " Đẳng cự Ito ". 2.2.2. Các tính chất cơ bản của tích phân Ito của các hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT (1) Tích phân Ito I : NT → L2(Ω) là hàm tuyến tính. (2) Tích phân Ito thoả mãn tính chất Đẳng cự Ito: Với 0 ≤ s ≤ T E ( T∫ s f(t, ω)dWt )2 = E ( T∫ s |f(t, ω)|2 dt ) (3) E ( I(f) ∣∣∣∣As)= s∫ 0 f(u, ω)dWu h.c.c Đặc biệt EI(f) = 0, ∀f ∈ NT (4) E [ I(f)I(g) ] = E ∫ T 0 f(t, ω)g(t, ω)dt (5) Với 0 ≤ s ≤ t ≤ T T∫ 0 f(u, ω)dWu = t∫ s f(u, ω)dWu + T∫ t f(u, ω)dWu 20 2.2.3. Định lý. Nếu f ∈ NT là quá trình ngẫu nhiên liên tục Mt = t∫ 0 f(s, ω)dWs t ∈ [0;T ] là Martingale đối với At và P ( sup 0≤t≤T |Mt| > λ ) ≤ 1 λ2 E ( T∫ 0 |f(t, ω)|2 dt ) , ∀λ ≥ 0 Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh đượcMt là martingale đối với At và áp dụng bất đẳng thức Doob ta được điều phải chứng minh. 2.3. Mở rộng tích phân Ito Ta luôn sử dụng ký hiệu: (Ω,A,P) là không gian xác suất cơ sở. {At, t ∈ [0;T ]} là họ giảm các σ - trường con của A sao cho mỗi σ -trường At là đầy đủ với P, tức là: Nếu B ⊂ A ∈ At;P(A) = 0 thì B ∈ At Với {Wt, t ∈ [0;T ]} là quá trình Wiener sao cho {Wt,At, t ∈ [0;T ]} là martingale Lặp lại cách xây dựng tích phân Ito của hàm f ∈ NT , ta xây dựng tích phân Ito cho khoảng thời gian vô hạn : +∞∫ 0 f(t, ω)dWt trong đó f(t, ω) là hàm thoả mãn với mỗi t ∈ [0;T ], ft là đo được với At và E ( T∫ s |f(t, ω)|2 dt ) < ∞ 21 Tích phân Ito loại này có tính chất cơ bản đã được trình bày ở trên. 2.3.1. Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớpMT Giả sử T > 0, ta ký hiệuMT là lớp các hàm ngẫu nhiên f(t, ω) sao cho với mỗi t ∈ [0;T ], ft là đo được với At và P { ω ∈ Ω : T∫ 0 |f(t, ω)|2 dt < ∞ } = 1 Ta xây dựng tích phân Ito cho lớpMT khi sử dụng phép lấy giới hạn theo xác suất. Giả sử f ∈MT , khi đó +) Tồn tại dãy {fn} ⊂ MT sao cho T∫ 0 |fn(t, ω)− f(t, ω)|2 dt → 0 theo xác suất P khi n →∞. +) I(f) hội tụ theo xác suất P tới biến ngẫu nhiên được ký hiệu là: T∫ 0 f(t, ω)dWt +) Khi đó, ta định nghĩa It(f) = t∫ 0 f(u, ω)dWu := T∫ 0 I[0;t]f(u, ω)dWu, 0 ≤ t ≤ T Ta có thể chứng minh được It(f) là bản sao liên tục và đo được dần. Tuy nhiên, với f ∈MT thì {It(f),At} không là martingale. 2.3.2. Tích phân Ito nhiều chiều Véc tơ ngẫu nhiênWt = (W 1 t ,W 2 t , ...,W m t ) được gọi là quá trình Wiener m -chiều nếu: (1) Mỗi thành phầnWkt , k = 1, n là quá trình Wiener 1 - chiều. 22 (2) Các thành phầnWkt là quá trình ngẫu nhiên độc lập. Với ,X1, ...,Xn là các vi phân Ito dạng:  dX1 = h1dt+ f11dW1 + ...+ f1mdWm ... dXn = hndt+ fn1dW1 + ...+ fnmdWm Hay viết dạng ma trận: dX = hdt+ fdW Với dX =  dX1 ... dXn  h =  h1 ... hn  f =  f11 f12 ... f1m f21 f22 ... f2m . . . . fn1 f12 ... fnm  2.4. Vi phân ngẫu nhiên và định lý Ito Trong vi phân thường giả sử Xt là hàm khả vi sao cho dXt = adt 23 Giả sử g(t, x) là hàm hai biến khả vi cấp hai. Khi đó, công thức tính vi phân của hàm hợp Yt = g(t,Xt) có dạng: dYt = ∂g ∂t (t,Xt)dt+ ∂g ∂x (t,Xt)dt = [ ∂g ∂t (t,Xt) + a ∂g ∂x (t,Xt) ] dt 2.4.1. Công thức Ito 1 - chiều 2.4.1.1. Định nghĩa. Tích phân ngẫu nhiên hay quá trình Ito ( 1 - chiều ) là quá trình ngẫu nhiên liên tục Xt trên không gian xác suất (Ω,F ,P) có dạng: Xt = Xt0 + t∫ 0 at(s, ω)ds+ t∫ 0 bt(s, ω)dWs Trong đó {at}, {bt}là các quá trình At - đo được sao cho: P { ω ∈ Ω T∫ 0 |a(t, ω)| dt < ∞ } = 1 P { ω ∈ Ω T∫ 0 |b(t, ω)|2 dt < ∞ } = 1 Khi đó, ta nói Xt có vi phân ngẫu nhiên Ito (hay quá trình Ito) adt+ bdWt và viết dXt = adt+ bdWt Bây giờ giả sử g(t, x) là hàm hai biến khả vi cấp hai trên [0;T ]ì R đặt Yt = g(t,Xt) 2.4.1.2 Định lý (công thức Ito ). Giả sử Xt là quá trình Ito dạng: dXt = adt+ bdWt. 24 Khi đó, Yt là quá trình Ito và ta có dYt = [ ∂g ∂t + a ∂g ∂x + 1 2 b2 ∂2g ∂x2 ] dt+ b ∂g ∂x dWt (2.9) tức là, Yt = Yt0 + t∫ 0 [ ∂g ∂t ( s,Xs(ω) ) +a(s, ω) ∂g ∂x ( s,Xs(ω) )] ds + 1 2 t∫ 0 [ b2(s, ω) ∂2g ∂x2 ( s,Xs(ω) )] ds + t∫ 0 b(s, ω) ∂g ∂x ( s,Xs(ω) ) dWs (2.10) 2.4.2. Công thức Ito nhiều chiều Giả sử Mt,At, t ∈ [0;T ]} là quá trình Wiener n-chiều, tức là các thành phần của nó độc lập với nhau, và mỗi thành phần của nó: {Wi(t),At, t ∈ [0;T ]} lập thành martingale, i = 1, n. 2.4.2.1. Định nghĩa. Tích phân ngẫu nhiên hay quá trình Ito n-chiều là quá trình ngẫu nhiên véc tơ liên tục Xt = (X1(t), ...,Xn(t)) trên không gian xác suất (Ω,A,P) sao cho mỗi tích phân của nó là một quá trình Ito. Xi(t) = Xi(0) + t∫ 0 ai(s, ω)ds+ t∫ 0 n∑ j=1 bij(s, ω)dWi(s), t ∈ [0;T ] Trong đó {ai(t)}; {bj(t)}; i, j = 1, n là quá trình ngẫu nhiên tương thích đối với At-đo được sao cho P { ω ∈ Ω T∫ 0 |a(t, ω)| dt < ∞ } = 1 25 P { ω ∈ Ω T∫ 0 |b(t, ω)|2 dt < ∞ } = 1 khi đó, ta nói Xt có vi phân ngẫu nhiên Ito (hay quá trình Ito) và viết dXt = adt+ bdWt Bây giờ giả sử g(t, x) là hàm hai biến liên tục, khả vi tới cấp hai trên [0;T ]ìR, đặt Yt = g(t,Xt) 2.4.2.2. Định lý (công thức Ito nhiều chiều). Giả sử Xt là quá trình Ito dạng dXt = adt+ bdWt Khi đó, Yt = g(t,Xt) là quá trình Ito và dYt = [ ∂g ∂t + n∑ i=1 ai ∂g ∂xi + 1 2 n∑ i,j=1 ∂2g ∂xi∂xj n∑ k=1 bikbjk ] dt+ n∑ i,j=1 bij ∂g ∂xi dWi tức là, Yt = Yt0 + t∫ 0 [ ∂g ∂s ( s,Xs(ω) ) + n∑ i=1 ai(s, ω) ∂g ∂xi ( s,Xs(ω )] ds + 1 2 t∫ 0 n∑ i,j=1 ∂2g ∂xi∂xj ( s,Xs(ω ) n∑ k=1 bik(s, ω)bjk(s, ω)ds + n∑ i,j=1 t∫ 0 bij(s, ω) ∂g ∂xi ( s,Xs(ω) ) dWi(s) 26 2.4.3. Công thức tích phân từng phần Giả sử g(t, ω) = f(t) là hàm thực biến t và có biến phân bị chặn trên [0, t] . Khi đó t∫ 0 f(t)dWs = f(t)Wt − t∫ 0 Wsdf(s) Chú ý Nếu Xt0 có phân phối chuẩn hay hằng và a(t, ω), b(t, ω) độc lập với ω thì quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa ở 2.4.1.1 có phân phối chuẩn với số gia độc lập. Ngược lại, mọi quá trình Gauss với số gia độc lập có thể biểu diễn ở dạng này. 27 phần 2 bài tập áp dụng Bài tập 1: Tính tích phân I = t∫ 0 WsdWs Giải: Chọn Xt = Wt suy ra dXt = 0dt+ dWt và g(t, x) = x 2 áp dụng công thức Ito đối với Yt = g(t,Xt) = W 2 t Ta có: dYt = [ ∂g ∂t (t,Xt) + a ∂g ∂x (t,Xt) + 1 2 b2 ∂2g ∂t2 (t,Xt)]dt+ b ∂g ∂x (t,Xt)dWt Suy ra dYt = dt+ 2WtdWt Tích phân hai vế với chú ý đến Y0 = W 2 0 = 0 Ta có Yt = t∫ 0 ds+ 2 t∫ 0 Ws Suy ra: I = t∫ 0 WsdWs = Wt 2 − t 2 . 2 Bài tập 2: Tính tích phân I = t∫ 0 sdWs 28 Giải: Xét Xt = Wt và g(t, x) = tx. áp dụng công thức Itô cho Yt = g(t,Xt) = tWt Ta có dYt = Wtdt+ tdWt Tích phân hai vế với Y0 = 0 ta có Yt = t∫ 0 Wsds+ t∫ 0 sdWs Suy ra t∫ 0 sdWs = tWt − t∫ 0 Wsds 2 Bài tập 3: Giả sử Wt là quá trình Wiener Chứng minh rằng: a) t∫ 0 W 2s dWs = 1 3 W 3s − t∫ 0 Wsds b) đặt Yt = e Wt , chứng minh rằng dYt = 1 2 Ytdt+ YtdWt c) đặt Yt = Wt t+ 1 , chứng minh rằng dYt = Yt t+ 1 dt+ 1 t+ 1 dWt Giải: a) Xét Xt = Wt và Yt = g(t,Wt) = W 3 t Ta có dYt = 3Wtdt+ 3W 2 t dWt 29 Tích phân hai vế biểu thức trên với Yt0 = 0, ta có t∫ 0 W 2s dWs = 1 3 W 3s − t∫ 0 Wsds. b) Ta xét g(t, x) = ex. Khi đó Yt = g(t,Wt). Theo công thức Itô ta có dYt = 1 2 eWtdt+ eWtdWt Hay là dYt = 1 2 Ytdt+ YtdWt. c) Ta xét Xt = Wt và g(t, x) = x 1+t Yt = g(t,Xt) = Wt 1 + t áp dụng công thức Ito, ta có dYt = [ − Wt (1 + t)2 + 0. 1 1 + t + 1 2 .12 ] dt+ 1. 1 1 + t dWt = − Wt (1 + t)2 dt+ 1 1 + t dWt hay dYt = − Yt 1 + t dt+ 1 1 + t dWt. 2 Bài tập 4: Xét các quá trình sau có phải là Martingale không? a)Yt = Wt + 4t 30 b)Yt = W 2 t c) Yt = W1(t)W2(t) với Wt = (W1(t),W2(t)) là chuyển động Brown hai chiều. Giải: a) Dùng công thức Itô với hàm g(t, x) = x+ 4t, dễ thấy dYt = 4dt+ dWt Tích phân hai vế với Yt0 = 0, ta có Yt = t∫ 0 4ds+ t∫ 0 dWt hay Yt − 4t = t∫ 0 dWt Vậy Yt là martingale. b) Tương tự xét hàm g(t, x) = x2 Ta tính được dYt = dt+ 2WtdWt Do đó Yt = t+ 2 t∫ 0 WtdWt hay Yt 2 − t 2 = t∫ 0 WtdWt Vậy Yt là Martingale. c) Ta xét g(t, x) = x1x2 với x = (x1, x2) 31 Khi đó ta có dYt = W1(t)dW2(t) +W2(t)dW1(t) Do đó Yt = t∫ 0 W1(t)dW2(t) + t∫ 0 W2(t)dW1(t) Vậy Yt là martingale. 2 Bài tập 5: Chứng minh rằng Nt = W 3 t − 3tWt là martingale. Giải: Xét hàm g(t, x) = x3 − 3tx Dễ thấy Nt = g(t,Wt) Từ đó tính được dNt = (3W 2 t − 3t)dWt Tích phân hai vế biểu thức trên với Nt0 = 0, ta có Nt = 3 t∫ 0 W 2s dWs − 3 t∫ 0 sWs Do vế phải là martingale nên có điều phải chứng minh. Bài tập 6: Dùng công thức vi phân Itô để viết vi phân của các quá trình ngẫu nhiên Yt dưới dạng dYt = h(t, ω)dt+ f(t, ω)dWt 32 Với các quá trình h, f thích hợp, h ∈ R, f ∈ Rnìm. a) Yt = W 2 t ,Wt là chuyển động Brown 1-chiều. b) Yt = 2 + t+ e W t ,Wt chuyển động Brown 1-chiều. c) Yt = W1(t) 2 +W2(t) 2, (W1(t),W2(t)) chuyển động Brown 2-chiều d) Yt = (t0 + t,Wt), Wt 1- chiều e) Yt = (W1(t)+W2(t)+W3(t),W2(t) 2−W1(t)W2(t)),W (t) = (W1(t),W2(t),W3(t)) 3-chiều. Giải a) Xét Xt = Wt và g(t, x) = x 2 Ta có dYt = [ ∂g ∂t (t,Wt) + 0 ∂g ∂x (t,Wt) + 1 ∂2g ∂t2 (t,Wt)]dt+ 1. ∂g ∂x (t,W (t))dWt Vậy dYt = dt+ 2WtdWt b)Ta xét g(t, x) = 2 + t+ ex. Khi đó Yt = g(t,Wt) Ta có dYt = [ ∂g ∂t (t,Wt) + 0 ∂g ∂x (t,Wt) + 1 ∂2g ∂t2 (t,Wt)]dt+ 1. ∂g ∂x (t,Wt)dWt ⇔ dYt = (1 + 1 2 eWt)dt+ eWtdWt c) Với Yt = W1(t) 2 +W1(t) 2,Wt = (W1(t),W2(t)) 2-chiều. Ta xét g(x1, x2) = x 2 1 + x 2 2 Khi đó Yt = g(t,Wt) 33 áp dụng công thức Itô, ta có: dYt = ∂g ∂t dt+ 2∑ i=1 ∂g ∂xi dXi + 1 2 2∑ i,j=1 ∂2g ∂xixj dXidXj Do vậy ta có dYt = 2W1(t)dW1(t) + 2W2(t)dW2(t) + 2dt d) Xét g(t, x) = (t+ t0, x). Khi đó Yt = g(t,Wt) là quá trình Itô 2-chiều. Theo công thức Itô, ta có: dY1 = dt+ 0dWt dY2 = 0dt+ dWt Hay là viết dưới dạng ma trận: dY =  1 0  dt+  0 1  dWt e)Xét Xt = (W1(t),W2(t),W3(t)) và g(t, x) = (x1 + x2 + x3, X 2 2 − x1x3) Khi đó Yt = g(t,Xt) là quá trình Itô 2-chiều dYk = ∂gk ∂t + 3∑ i=1 ∂gk ∂xi dXi + 1 2 3∑ i,j=1 ∂2gk ∂xi∂xj dXidXj, k = 1, 2 Ta có:  dY1 = dW1(t) + dW2(t) + dW3(t) dY2 = dt−W2(t)dW1(t) + ( 2W2(t)−W1(t) ) dW2(t) Vậy dYt =  0 1  dt+  1 1 1 −W1(t) 2W2(t)−W1(t) 0  dWt. 2 34 Bài tập 7: a) Cho Wt là chuyển động Brown 2-chiều xuất phát từ x0 6= 0. Chứng minh rằng Yt = ln(|Wt|2) là một martingale b) Điều đó còn đúng không nếu Wt là chuyển động Brown 3 - chiều. c) Nếu Wt là 3 chiều, hãy chứng minh Yt := 1 |Wt| là một Martingale. d) Tổng quát hóa câu c) cho trường hợp n ≥ 3 . Giải: a) Do Wt là 2-chiều nên Wt = (W1(t),W2(t)) Vì vậy |Wt| = √ W 21 (t) +W 2 2 (t) Do đó Yt = ln(|Wt|2) = ln(W 21 (t) +W 22 (t)) Xét Xt = Wt = (W1(t),W2(t)) ⇒ dXt = (dW1(t), dW2(t)) Xét g(t, x) = ln(x21 + x 2 2) và Yt = g(t,Xt) Theo công thức Itô ta có: dYt = ∂g ∂t dt+ 2∑ i=1 ∂g ∂xi dXi + 1 2 2∑ i,j=1 ∂2g ∂xixj dXidXj Mặt khác ta có ∂g ∂t = 0, ∂g ∂x1 = 2x1 x21 + x 2 2 , ∂g ∂x2 = 2x2 x21 + x 2 2 , ∂2g ∂x1x = ∂2g ∂x2x1 = − 4x12 (x21 + x 2 2) 2 35 ∂2g ∂x21 = −∂ 2g ∂x2 = 2(x21 − x22)2 (x21 + x 2 2) Do vậy dYt = 2X1 X21 +X 2 2 dX1 + 2X2 X21 +X 2 2 dX2 Hay là dYt = 2W1 W 21 +W 2 2 dW1 + 2W2 W 21 +W 2 2 dW2 Tích phân hai vế ta có Yt = Yt0 + 2 ∫ t 0 2W1 W 21 +W 2 2 dW1 + ∫ t 0 2W2 W 21 +W 2 2 dW2 Vậy Yt là một Martingale. b) Với Wt là 3-chiều thì Wt = (W1(t),W2(t),W3(t)) Do đó xét hàm g(t, x) = ln(x21 + x 2 2 + x 2 3) và áp dụng công thức Itô, tương tự như trên ta có dYt = 2W1 W 21 +W 2 2 +W 2 3 dW1 + 2W2 W 21 +W 2 2 +W 2 3 dW1 + 2W3 W 21 +W 2 2 +W 2 3 dW3 Tích phân hai vế và chú ý đến Y0 = x0 6= 0 ta có Yt là một Martingale. c) Với Wt là 3-chiều và Yt = 1 |Wt| = 1 W 21 +W 2 2 +W 2 3 Ta xét g(t, x) = 1√ x21 + x 2 2 + x 2 3 áp dụng công thức Itô ta có dYt = ∂g ∂t dt+ 3∑ i=1 ∂g ∂xi dXi + 1 2 3∑ i,j=1 ∂2g ∂xixj dXidXj dYt = − 3∑ i=1 Wi√ W 21 +W 2 2 +W 2 3 3 dWi 36 Từ đó ta thấy Yt là Martingale. d) Bằng cách tương tự ta dễ dàng chứng minh được Yt = 1 |Wt| là martingale n- chiều. 2 ._.