Thiết lập phương trình giải tích mô tả sự biến đổi thể tích trong khoang hút à khoang đẩy của một loại quạt Roots cải tiế

g khoang hút và khoang đẩy của máy thủy lực thể tích dạng Roots là yếu tố quan trọng quyết định đến khả năng làm việc của máy. Chính sự biến đổi thể tích này đã tạo ra áp suất hút và áp suất đẩy khi máy làm việc. Vì vậy, mà việc thiết lập mô hình toán học để mô tả sự biến đổi thể tích của khoang hút/ đẩy theo góc quay trục dẫn động là rất cần thiết đối với bài toán thiết kế và tối ưu máy. Đây chính là nội dung nghiên cứu của bài báo này, để giải quyết vấn đề này chúng tôi đã tiến hành đưa bài toán mô hình hóa thể tích về việc thiết lập mô hình toán mô tả sự biến đổi diện tích tiết diện khoang hút/ đẩy theo góc quay của trục dẫn động đối với một loại quạt thổi Roots mới được đề xuất bởi chính nhóm tác giả bài viết này. Ngoài ra, nghiên cứu này cũng đã chỉ ra rằng khi tham số thiết kế như tỉ lệ giữa bán trục nhỏ và bán trục lớn của đường elíp biến đổi từ 1 về 0.5 thì sự biến đổi thể tích tăng dần và lên tới 26.77% khi tham số thiết kế bằng 0.5. Từ khóa: Quạt thổi Roots, Máy thủy lực thể tích, Bánh răng elíp. Abstract The volume change in suction and pumping chambers of the roots type of hydraulic devices is an important factor deciding machine performance. This volume change creates suction and pumping pressures when the machine is working. Therefore, when designing and optimizing design of the machine, it is necessary to build a mathematical model for describing those changes in relation with rotation angle of the driving shaft. To reach this goal, the authors carry out volume modelling process by building mathematical model for calculating the volume changes of the area of the suction/pumping chambers in relation with rotation angle of the driving shaft of the specific type of Roots pump, which has been proposed by the authors. In addition, this study also points out that when the designing parameter such as the ratio parameter between ellipse's shorter axis and its larger axis changes from 1 to 0.5, the volume change gradually increases and reaches 26.77% when the design parameter equals to 0.5. Keywords: Roots Blower, Hydraulic machinery, Elliptical gears. 1. Đặt vấn đề* đến khả năng làm việc của quạt. Vì vậy, đây là vấn đề cần được quan tâm đầu tiên khi thiết kế các loại quạt Quạt thổi Roots là một loại máy thủy lực thể theo nguyên lý của Roots. Để giải quyết vấn đề này, tích làm việc dựa trên sự biến đổi thể tích của cho đến hiện tại đã có nhiều giải pháp khác nhau: như khoang hút và khoang đẩy để tạo ra áp lực hút ở cửa tính toán thủ công bằng cách sử dụng các phần mềm vào và áp lực đẩy ở cửa ra. Loại quạt này được phát CAD để xác định, tính toán mô phỏng số bằng các minh lần đầu tiên vào năm 1860 [1]. Trên nguyên lý phần mềm phân tích phần tử hữu hạn hay giải tích đó các nhà kỹ thuật, khoa học trên thế giới đã không hóa đối với từng thiết kế cụ thể, trong đó phải kể đến ngừng nghiên cứu, phát triển để ngày càng hoàn Wang (2002) [2] đã đưa ra phương án thiết kế tối ưu thiện, nâng cao chất lượng cũng như hiệu suất. Theo nhất về hiệu suất thể tích cho loại quạt thổi Lobe có thời gian của sự phát triển, đã có thêm những phát rôto 3 răng, bằng phương pháp đo thủ công các miền minh sáng chế hay những biến thể khác nhau của loại diện tích tiết diện của khoang hút và đẩy trên bản quạt này với tên gọi khác là Lobe, nhằm đáp ứng các thiết kế CAD 2D. Cùng phương pháp này còn có yêu cầu kỹ thuật xuất phát từ thực tiễn sản xuất. Như Kang, Vu (2014) [3] nhưng áp dụng cho một loại quạt đã trình bày ở trên sự biến đổi thể tích của khoang hút thổi Roots rôto có 2 răng, với biên dạng rôto được và khoang đẩy trong quá trình làm việc sẽ quyết định hình thành từ nhiều cung tròn. Điểm khác của Kang và Vu so với Wang là dùng các bản thiết kế 3D * Địa chỉ liên hệ: Tel.: (+84) 913.530.121 nhúng trong phần mềm mô phỏng số để xác định hiệu Email: thai.nguyenhong@hust.edu.vn suất thể tích. Ngoài phương pháp trên Ucer và cộng 22 Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 sự [4] đã thiết lập phương trình giải tích mô tả sự biến trượt phía trong tâm tích bánh răng {br }(xem Hình đổi thể tích khoang hút và khoang đẩy cho loại quạt br thổi Roots được đề xuất bởi Litvin (1960) [5], từ đó 1) và hai tâm tích { }lăn không trượt trên nhau đánh giá sự biến đổi áp suất và lưu lượng ở cửa ra của theo nguyên lý của bánh răng Elíp (xem Hình 2) . quạt. Để xác định hiệu suất thể tích, khả năng hút và Với nguyên lý hình thành biên dạng như trên đẩy cho loại quạt thổi Roots mới mà Yang, Tong [6, phương trình biên dạng rôto được cho bởi: 7] đề xuất, các tác giả này cũng đã áp dụng phương pháp của Ucer. Từ những phân tích trên đây cho thấy (1)nrcos()  (1)nrcos()  x () {Γ}:rΓ (,,)  br (1) có hai xu hướng nghiên cứu về sự biến đổi thể tích  n   rcos()  (1) rcos()  y ()  trong khoang quạt kiểu Roots đó là: (i) Sử dụng  br  phương pháp thủ công [2, 3] để xác định được bộ Trong đó: thông số thiết kế, ở phương pháp này người thiết kế mất rất nhiều thời gian và phải dùng đến các phần xbr ()  rbr ( )cos , ybr ( )  rbr ( )sin là tọa độ mềm mô phỏng số để tối ưu cục bộ, dẫn đến kém hiệu của {br }; r là bán kính của {s} ; Còn quả và chỉ phù hợp với các công ty; (ii) Phương pháp n  x ( ) /   giải tích [4, 6, 7] tốc độ tính toán nhanh hơn, cho  ()  (1) ()  () ; ( )  tan1 br  phép khảo sát và tối ưu các thông số thiết kế theo các  y ( ) /    br  hàm mục tiêu khác nhau. 1  2 2 Mặt khác, theo tìm hiểu của nhóm tác giả bài 1  x   y   2 ;  ( )   br    br   viết này thì hầu hết các nghiên cứu đã công bố cho r    0      đến thời điểm hiện tại về máy thủy lực thể tích dạng Roots và biến thể của loại máy này đều theo nguyên rbr () được xác định từ phương trình (14) [10] và lý dẫn động bằng cặp bánh răng trụ tròn truyền thống được cho bởi: có tỷ số truyền 1:1, còn loại quạt thổi Roots được hình thành theo nguyên lý ăn khớp của cặp bánh răng 2ab r ( )  (2) không tròn chưa thấy được xuất hiện. Vì vậy, trong br a  b  (a  b)cos 2 nghiên cứu này các tác giả tiến hành thiết lập phương trình giải tích mô tả sự biến đổi thể tích của khoang Với: a là bán trục lớn; b là bán trục nhỏ của Elíp hút và khoang đẩy cho một loại quạt thổi Roots mới {br } ; là tham số của{br }. có rôto được hình thành theo nguyên lý ăn khớp của bánh răng không tròn được Nguyễn Hồng Thái và 0 khi:  [0 e ][( e )  ( e )] [(2 e )  2 ] cộng sự đề xuất gần đây (2018) [8, 9] để nhằm mục n   1 khi:  [e  ( e )] [(   e )  (2 e )] khảo sát, đánh giá khả năng hút và đẩy của loại quạt  Roots theo nguyên lý mới này. Với: e (góc xác định giới hạn phần đỉnh rôto và br y phần chân rôto trên { }) (xem Hình 1), khi đó { } E3 E2 e được cho bởi: br 1  a  b  b { } 1 e  cos   (3) M 2 a  b a r    e x O Mặt khác, theo [8] để phương trình (1) hình thành e biên dạng rôto theo nguyên lý Roots, thì các thông số s s br { } của { } và { } là r , a , b phải thỏa mãn: E1≡M0 E 4 M 2 1 2 2 2 (4)  ((xbr ( )) / )  ((ybr ( )) /  )  d  8r 0 Hình 1. Nguyên lý hình thành biên dạng rotor [8] 2. Mô hình toán học biên dạng rôto Ngoài ra, để {Γ}không có hiện tượng giao thoa biên dạng thì: Theo [8] biên dạng rôto {Γ} có phần đỉnh rôto là b  2r (5) quỹ tích của một điểm M cố định trên đường tròn Nếu đặt   b / a (tham số thiết kế đặc trưng) thay sinh {s} , khi {s} lăn không trượt phía ngoài tâm vào (4, 5) sau khi giải ta có: tích bánh răng {br } , còn phần biên dạng chân rôto 0.5    1 (6) là đường cong được hình thành khi {s} lăn không 23 Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 Như vậy, kích thước thiết kế lòng trong của stator Sstator  (a  2r)2(a  b)  0.5 (a  2r) (10) (khoảng cách trục E , kích thước hướng kính R ) được cho bởi: Còn Srotor là diện tích tiết diện mặt cắt ngang của E  a  b rôto được cho bởi:  (7) R  a  2r   Từ bất phương trình (6) và phương trình (7) có e  x () 2  x ()  S  y () d d  4 y () c d (11) thể khảo sát lựa chọn bộ thông số thiết kế ( r , a , b ) rotor d   c           tối ưu mà không làm thay đổi kích thước hướng kính 0 e R của Stato theo các yêu cầu kỹ thuật mà quạt phải    đáp ứng. Trong phương trình (11) xd () , yd () , xc () , y () lần lượt là tọa độ các điểm trên phần biên dạng 3. Sự biến đổi thể tích khoang hút và khoang đẩy c theo góc quay trục dẫn động đỉnh và chân rôto{Γ} , khi xét trong hệ quy chiếu    3.1. Thiết lập mô hình toán xác định thể tích {O x y } gắn trên rôto (xem Hình 1). khoang hút và khoang đẩy theo góc quay của trục dẫn động B S5 S3 Stator S1 S2 S Khoang hút x Sh Rotor 2 F R A 2  D 1 2 S4 1 K R Rotor 1 Sd E a) Diện tích Sx Khoang đẩy B Hình 2. Diện tích khoang hút, khoang đẩy Nếu gọi Vh () và Vd () lần lượt là thể tích của S* khoang hút và khoang đẩy theo góc quay  của trục dẫn động. Khi đó, ta có sự biến đổi thể tích của khoang hút và khoang đẩy được cho bởi: E C Vd ()  BSd () F  (8) A Vh ()  BSh () 1 D 2 Trong đó: B là chiều dày rôto; Sh () , Sd () lần lượt là diện tích tiết diện khoang hút và khoang đẩy trên mặt cắt ngang vuông góc với trục quay (xem Hình 2). Như vậy, bài toán thể tích được quy về xác định diện tích tiết diện khoang hút và khoang đẩy trên mặt cắt vuông góc với trục quay. b) Diện tích S* Từ Hình 2 diện tích tiết diện khoang đẩy Sd () trên mặt cắt ngang vuông góc với trục quạt được cho Hình 3. Diện tích tiết diện mặt cắt ngang khoang hút bởi: Còn Sh () được xác định: S ()  S  S ()  2S (9) * d stator h rotor Sh ()  S ()  Sx () (12) Trong đó: S là diện tích tiết diện lòng trong của stator Trong đó Sx (Hình 3a) được cho bởi: Stator trên mặt cắt ngang vuông góc với trục quay và được cho bởi: Sx ()  S1()  S2 ()  S3()  S4 ()  S5 () (13) 24 Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 * Còn S () (Hình 3b) được cho bởi: Các thành phần diện tích S ABE và SDCF trong phương trình (14) được cho bởi: * 1 S ()  Sstator  S ABE ()  SDCF () (14) 2 2 2 S ABE  0.5(a  2r)  ( )  0.25(a  2r) sin2 ( )(18a) Các thành phần diện tích trong phương trình (13) 2 2 được cho bởi: SDCF  0.5(a  2r) () 0.25(a  2r) sin2() (18b)    Trong phương trình (18a)  () được cho bởi: S1()   xd ( )sin  ()  yd ( )cos  ()   e   r ()       br khi       xd ( ) yd ()   e e  cos  ()  sin  () d (15a)  2 E  rbr ()     0        khi e    e  2    ()   (19) S2 ()  xc ( )sin  ()  yc ( ) cos  ()  r ()     br khi      e  E  r () 2 e  0 br      xc () yc ( )  cos  ()  sin  ()d (15b) rbr ()      khi            E  r () 2 e  0 br  e   Ví dụ: Từ mô hình toán toán học đã được thiết lập ở S3 ()   xd ( )sin  ()  yd ( ) cos  ()   ( ) trên áp dụng với bộ thông số thiết kế quạt thổi Roots với đường tròn sinh{s} có bán kính r  7.2940mm ;  x ( ) y  ( )    d cos  ()  d sin  ()d (15c) br   Tâm tích bánh răng{ }: có bán trục lớn     a  35.4120mm , bán trục nhỏ b  21.2472mm ; Kích  / 2 ( )      thước hướng trục của quạt B  50mm . S4 ()  xc ()sin   2 ()     2  e Hình 4 trên đây mô tả sự biến đổi thể tích trong khoang hút và khoang đẩy theo góc quay của trục dẫn       xc ( )    động.  yc ( ) cos   2 () cos   2 ()   2    2  Từ đồ thị Hình 4 ta thấy rằng Vh Vhmax (giá trị lớn y  ()     c sin   ()d (15d) nhất) khi   k / 2 (k là số tự nhiên), khi  2 2     k / 2 thì Vh Vhmin (giá trị nhỏ nhất). Đây e chính là nguyên nhân gây ra rung động do có sự biến      S5 ()  xd ( )sin   2 ()  đổi thể tích đột ngột. Tuy nhiên, trong một chu kỳ    2  0  lại có hai lần biến đổi thể tích: lần ① (đường cong   lồi) lần ② (đường cong lõm) xem Hình 4. Qua đó     xd ( )     yd ( ) cos   2 () cos   2 ()  cho thấy lần ② biến đổi thể tích nhanh hơn. Nguyên  2    2   nhân là do cặp rôto (1 và 2) của quạt được hình thành   yd ()    theo nguyên lý ăn khớp của cặp bánh răng Elíp, dẫn  sin   2 ()d (15e) đến góc quay  () của rôto 2 biến đổi theo góc   2  2 quay  của rôto 1: Trong đó:   khi 0     r ()  e  ()  br d (20)   2   r ()  E  rbr ()   br khi     0  2  E  r () e 2  0 br Khi góc quay  của rôto 1 biến thiên trong khoảng  ()   (16)  rbr ()   k (k 1)    khi      e    , nếu k lẻ thì rôto 2 quay chậm hơn  E  r () 2 2  2 2  0 br rôto 1, còn khi k chẵn thì rôto 2 quay nhanh hơn rôto    khi   e      ( ) 1, Để rõ hơn xem Hình 5 dưới đây mô tả sự biến đổi r  () ① Còn:  ()  br d (17) của 2 theo  . Cũng từ Hình 5 cho thấy cung 2  E  r  () 0 br trên Hình 5 tương ứng với ① trên Hình 4 và ② trên 25 Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 3 Hình 5 tương ứng cung ② trên Hình 4. Đây chính là Vh [cm ] nhược điểm của loại quạt này khi ứng dụng trong một 280 số trường hợp đòi hỏi về ổn định cao về lưu lượng và =0.5 260 =0.6 áp suất. =0.7 =0.8 3 Vh [cm ] Chu kỳ biến đổi thể tích 240 =0.9 =1.0 280 220 260 200 240 1 180 220 2 160 200 140 180 120 0 160 [ ] 100 0 45 90 135 180 225 270 315 360 140 a) thể tích khoang hút 120 0 [ ] V [cm3] 100 d 0 45 90 135 180 225 270 315 360 =0.5 280 a) thể tích khoang hút =0.6 3 =0.7 Vd [cm ] 260 Chu kỳ biến đổi thể tích 280 240 260 220 240 200 2 220 1 180 200 160 180 140 =0.8 160 =0.9 120 =1.0 [0] 140 100 0 45 90 135 180 225 270 315 360 120 b) thể tích khoang đẩy [0] 100 0 45 90 135 180 225 270 315 360 b) thể tích khoang đẩy Hình 6. Thể tích khoang hút và khoang đẩy theo góc quay trục dẫn động Hình 4. Thể tích khoang hút và khoang đẩy theo góc quay trục dẫn động 3.2 Ảnh hưởng của tham số thiết kế đến sự biến đổi 0 thể tích khoang hút và khoang đẩy 2[ ] Chu kỳ biến đổi thể 360 tích Để đánh giá ảnh hưởng của thông số thiết kế đặc 315 2 trưng  đến sự biến đổi Vh ,Vd trong phần này lấy 1 kích thước hướng kính của stator R  50mm (cố định 270 R ) còn B  50mm ; Khảo sát  theo bất phương 225 trình (6) với gia số   0.1. Trên cơ sở đó tính các 180 thông số a, b, r được tính theo phương trình (7), sau 135 khi giải dữ liệu khảo sát được tổng hợp trong Bảng 1. Còn đồ thị Hình 6 là sự biến đổi Vh ,Vd theo các giá 90 trị  trong Bảng 1. 45 [0] Từ Hình 6 và Bảng 1, dễ dàng nhận thấy thấy: 0 45 90 135 180 225 270 315 360 Khi  biến đổi từ 1 về 0.5 giá trị trung bình của Hình 5. Góc quay trục rotor 2() V ,V tăng dần điều đó có nghĩa khi  càng nhỏ thì h d 26 Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 sự biến đổi Vh ,Vd càng lớn, quạt có khả năng hút/ Kết quả nghiên cứu này cho phép tiếp tục các đẩy lớn hơn trong khi kích thước hướng kính của nghiên cứu sâu hơn về loại quạt này như động lực học Stator không đổi. Tuy nhiên, khi =1 thì biên dạng chất khí chảy qua quạt cũng như hiện tượng tụt áp và rôto của quạt suy biến về trường hợp đề xuất của tổn thất lưu lượng v.v..đây là những vấn đề mà chúng Palmer [11] (loại quạt vẫn được dùng phổ biến hiện tôi tiếp tục nghiên cứu để đánh giá và tối ưu thiết kế nay trong các nhà máy nhiệt điện). Ngoài ra, ta nhận này. 3 thấy giá trị Vh /Vd lớn nhất Vh /Vd  272.96(cm ) tại Lời cảm ơn   0.5 , còn Vh /Vd có giá trị nhỏ nhất Nghiên cứu này được tài trợ bởi trường Đại học V /V  215.31(cm3 ) tại   1. Như vậy, với cùng Bách khoa Hà Nội (HUST) trong đề tài mã số: h d min T2018 - PC - 020. kích thước hướng kính R quạt được thiết kế theo đề Tài liệu tham khảo xuất mới có sự biến đổi Vh / Vd lớn hơn 26.77% so với loại quạt được đề xuất bởi Palmer [11]. [1] Philander Higley Roots, Francis Marion Roots Patent. Rotary blower, US2369 Patent (1860). Bảng 1. Bộ thông số thiết kế theo  [2] Wang, P. Y., Fong, Z. H., and Fang, H. S., Design 3 =b/a a [mm] b [mm] r [mm] R[mm] Vtb[cm ] constraints of five-arc Roots vacuum pumps, Proc. 0.5 35.8606 17.9303 7.0697 50 206.3008 Instn Mech. Engrs, Part C: J. Mechanical Engineering 0.6 35.4120 21.2472 7.2940 50 198.0553 Science, 216(C2) (2002) 225–234. 0.7 34.9292 24.4504 7.5354 50 189.9271 [3] Yaw-Hong Kang, Ha-Hai Vu, A newly developed 0.8 34.4174 27.5339 7.7913 50 181.9397 rotor profile for lobe pumps: Generation and 0.9 33.8832 30.4949 8.0584 50 174.1317 numerical performance assessment, Journal of Mechanical Science and Technology 28 (3) (2014) 1.0 33.3333 33.3333 8.3334 50 166.5441 915-926. Khi sự biến đổi Vh /Vd tăng lên thì độ dốc của [4] Ucer, S. and Celik, I., Analysis of Flow Trough Roots đường ② trong một chu kỳ cũng sẽ tăng lên, dẫn đến Blower Systems, International Compressor Engineering Conference, (1980) 126-132. sự biến đổi thể tích đột ngột tăng lên đáng kể làm tăng rung động và tiếng ồn. Vì vậy, khi ứng dụng [5] Faydor. L. Litvin, Pin Hao Feng, Computerized thực tế phải có giải pháp giảm rung và giảm tiếng ồn. design and generation of cycloidal gearings, Mech. Mach. Theory Vol. 31, No. 7 (1996) 891-911. 4. Kết luận [6] Daniel C.H. Yang, Shih-Hsi Tong, The specific Nghiên cứu này đã thiết lập được mô hình toán flowrate of deviation function based lobe pumps– học mô tả sự biến đổi thể tích trong khoang hút và derivation and analysis, Mechanism and Machine khoang đẩy của một loại quạt thổi Roots mới. Đây là Theory 37 (2002) 1025-1042. kết quả chính của nghiên cứu này vì theo như nhóm [7] Shih-Hsi Tong, Daniel C. H. Yang, Rotor Profiles nghiên cứu tìm hiểu thì các nghiên cứu đã công bố về Synthesis for Lobe Pumps With Given Flow Rate loại bơm này đều chỉ giải quyết với loại quạt Roots Functions, J. Mech. Des 127 (2) (2005) 287-294. được dẫn động bằng cặp bánh răng trụ tròn truyền [8] Nguyễn Hồng Thái, Trần Ngọc Tiến, Đề xuất một thống. Với kết quả của nghiên cứu này cho phép khảo biên dạng mới trong thiết kế quạt thổi cao áp dạng sát các tham số để lựa chọn được thiết kế tối ưu cũng Roots, Hội nghị khoa học cơ học Thủy khí toàn quốc như viết phần mềm tự động hóa thiết kế loại quạt thổi lần thứ 20, (2017) 692-698. này. Ngoài ra, từ các nhận xét và thảo luận ở mục 3 [9] Tran Ngoc Tien, Nguyen Hong Thai, A novel design cho thấy: of the Roots blower, Journal of Science and Khi  biến đổi từ 1  0.5 thì sự biến đổi thể Technology 57 (2) (2019) 249-260. tích Vh / Vd tăng dần từ giá trị nhỏ nhất đến giá trị lớn [10] Libardo V. Vanegas-Useche, Magd M. Abdel-Wahab, nhất. Điều đó có nghĩa loại quạt thổi mới có hiệu suất Graham A. Parker, A New Noncircular Gear Pair to lớn hơn 26.77% so với loại quạt đề xuất bởi Palmer Reduce Shaft Accelerations: A Comparison with Sinusoidal and Elliptical Gears, Dyna 83 (198) (2016) trong khi kích thước hướng kính không đổi. Tuy 220-228. nhiên, lại có nhược điểm là tiếng ồn và rung động lớn hơn, do đó chỉ phù hợp với các ứng dụng không đòi [11] Wales L. Palmer and Israel W. Knox, Improvement in hỏi về chất lượng làm việc (độ ồn và rung động) như rotary pressure-blowers, US166295A Patent (1875). nhà máy nhiệt điện, bơm khí ôxi tươi trong các hầm lò. 27