Thiết kế bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho hệ truyền động qua bánh răng

thành phần bất định sinh ra từ hiệu ứng khe hở, ma sát, độ dẻo bánh răng đã được chứng minh cả về lý thuyết và mô phỏng. Từ khóa: điều khiển thích nghi, mô hình mẫu, hệ thống bánh răng, khe hở, mômen ma sát. ĐẶT VẤN ĐỀ* Điều khiển bám ổn định hệ truyền động qua bánh răng mang đầy đủ trong nó các yếu tố bất định như khe hở, độ không cứng vững của vật liệu làm bánh răng luôn giữ vai trò trung tâm trong lớp các bài toán điều khiển hệ truyền động. Hình 1: Minh họa hệ truyền động qua bánh răng Theo [3] thì hệ truyền động qua bánh răng, có sơ đồ cấu trúc minh họa ở hình 1, không có khoảng chết giữa các bánh răng, sẽ mô tả được bởi mô hình Euler-Lagrange: 2 2 1 1 1 1 12 2 1 2 2 2 2 2 2 21 1 2 cos ( ) cos ( ) d f c f J cr i M M J cr i M M ϕ α ϕ ϕ ϕ α ϕ ϕ  + + = −  − + = − − ɺɺ ɺɺ (5) trong đó − 1 2, r r là bán kính vòng ngoài của hai bánh răng. * Tel: 0977008928; Email: hahien1977@gmail.com − 1 2, f fM M là các moment ma sát của hai bánh răng 1 và 2. − c là chỉ số đo độ cứng của vật liệu làm bánh răng. Nó chính là đại lượng đánh giá độ cứng vững của hệ truyền động. − Lα là góc khớp hai răng. Đây là chỉ số đo độ khe hở giữa các bánh răng. Với hai răng ăn khớp chính xác tuyệt đối thì 20Lα = ° . Các cặp răng có khe hở luôn có 20Lα > ° − 1 1 2, dJ J J J= + là các moment quán tính của cặp bánh răng 1,2 và của động cơ dẫn động. − 1 12 21 12, i i i − = là tỷ số truyền của hai bánh răng. − cM là moment cản (tải), được xem như nhiễu tác động vào hệ. − 2 2, ϕ ϕɺ là vị trí và tốc độ của bánh răng thụ động và 2ϕ sẽ được xem là tín hiệu ra của hệ. Nếu giữa hai bánh răng có các khe hở thì khi ở chế độ khe hở, moment dẫn động ở đầu vào không có tác dụng thay đổi tốc độ của bánh răng bị động và bánh răng bị động lúc đó chỉ còn chạy theo quán tính. Nói cách khác, ở giai đoạn khe hở, hệ sẽ có mô hình [3]: 1 1 1 2 2 2 d f c f J M M J M M ϕ ϕ  = −  = − + ɺɺ ɺɺ (6) 1 2 P dM cM 1msM 2msM dM cM Lê Thị Thu Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 112(12)/2: 63 - 68 64 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Xây dựng mô hình cho hệ truyền động qua bánh răng ở cả hai chế độ làm việc Ứng với từng loại mô hình (5) và (6) mô tả hai chế độ làm việc khác nhau của hệ, người ta thường áp dung các phương pháp điều khiển khác nhau. Thường dùng nhất là sử dụng các công cụ nhận dạng hoặc xấp xỉ khe hở để từ đó sử dụng nguyên lý điều khiển bù nhằm giúp loại bỏ được mô hình (6) trong quá trình thiết kế bộ điều khiển. Tuy nhiên, nếu xem khe hở cũng là một thành phần bất định trong hệ, giống như các tham số c đo độ cứng của vật liệu làm bánh răng, 1 2, f fM M mô tả các thành phần ma sát hay góc khớp hai răng Lα , thì ta có thể ghép hai mô hình (5) và (6) chung lại với nhau thành một mô hình tổng quát: 2 2 1 1 1 1 12 2 1 2 2 2 2 2 2 21 1 2 cos ( ) cos ( ) L L d f L L c f J cr i M M J cr i M M ϕ α ϕ ϕ ϕ α ϕ ϕ  + + = −  − + = − − ⌢ ɺɺ ⌢ ɺɺ (7) trong đó tham số c ⌢ được định nghĩa là: 0  =   ⌢ c c ở chế độ ăn khớp ở chế độ khe hở Như vậy mô hình (7) này sẽ chứa trong nó tất cả các yếu tố bất định của hệ. Đây là những tham số hoặc các hàm rất khó, hoặc không thể xác định được một cách đủ chính xác. Có thể kể đến đó là độ không cứng vững c của vật liệu, góc ăn khớp Lα giữa hai bánh răng, moment ma sát 1 2, f fM M trên các trục truyền động, moment tải cM , khe hở. Tiếp theo, để đơn giản hóa trong trình bày, ta sẽ sử dụng các ký hiệu kθ cho hằng số và kd cho hàm số bất định như sau: / / 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 co s co s ( , ) ( , ) L L L L f c f cr cr M d t M M d t θ α θ α θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ − = = = + − = − − ⌢ ⌢ ɺ ɺ (8) với / / 1 2, θ θ là hai hằng số bất định đo thành phần moment ma sát động được giả thiết là tuyến tính với vận tốc và 1 1 2 2( , ), ( , )d t d tϕ ϕ là những thành phần moment ma sát phụ thuộc gia tốc, moment tải. Với những ký hiệu cho trong (8) này, mô hình Euler-Lagrange (7) được viết lại thành: / / 1 1 1 1 12 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 12 1 2 2 2 ( ) ( ) dJ i M d J i d ϕ θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕ− −  + + = − −  − + = − − ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ (9) Để chuyển (9) về dạng mô hình trạng thái, trước tiên, từ phương trình thứ hai trong (9) ta có: ( )/1 12 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 12 2 3 i J d i d ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ  = + + −  = + − + ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ (10) với: / 3 12 2 2 3 2 2 4 12 2 2, , d i d J iθ θ θ θ θ θ= = = là các thành phần bất định hằng số và hàm số tương ứng. Đạo hàm theo thời gian hai vế của 1ϕ cho trong công thức (10), ta có: 1 3 2 4 2 12 2 4i dϕ θ ϕ θ ϕ ϕ= + − +ɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺ (11) trong đó 4 3d d= ɺ là thành phần hàm bất định, được giả thiết cũng bị chặn. Từ đây ta suy ra (4) 1 3 4 2 12 2 52 i dϕ θ ϕ θ ϕ ϕ= + − +ɺɺ ɺɺɺ ɺɺ (12) với 5 4d d= ɺ . Thay (11), (12) vào phương trình thứ nhất của mô hình (9), ta được: ( ) ( ) ( )/ (4) 1 3 4 2 12 2 52 1 3 2 4 2 12 2 3 12 2 1 3 2 4 2 12 2 4 1 d J i d i d i M i d d θ ϕ θ ϕ ϕ θ θ ϕ θ ϕ ϕ ϕ θ θ ϕ θ ϕ ϕ + − + + + + − + + = = − + − + − ɺɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺ và điều này dẫn đến: ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / (4) 1 3 1 4 1 3 22 1 4 1 3 1 12 2 1 4 1 12 2 1 5 1 3 1 4 1 dM J J J i i J d d d d θ ϕ θ θ θ ϕ θ θ θ θ ϕ θ θ θ ϕ θ θ = + + + + + − + + − + + + + + ɺɺɺ ɺɺ ɺ Sử dụng ký hiệu vector của tham số hằng bất định , f gθθ với: Lê Thị Thu Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 112(12)/2: 63 - 68 65 1 3 1 g J θ θ = (13) / / / 1 4 1 12 1 4 1 3 1 12 1 3 1 4 1 3 1 f i J i J J θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ  −   = − + −    +  θ (14) và hàm số bất định ( , )d tx : ( )/1 5 1 3 1 4 1 1 3 1 d J d d d d J θ θ θ = − + + + (15) cũng như từ thực tế là ta chỉ cần quan tâm tới tốc độ 2ϕɺ , tức là chỉ cần quan tâm tới ba biến trạng thái: 1 2 2 2 3 2 x x x ϕ ϕ ϕ         = =        ɺ ɺɺ ɺɺɺ x (16) thì với ký hiệu của tín hiệu đầu vào: du M= ta có dạng mô hình trạng thái tương đương của mô hình Euler-Lagrange (7): 1 2 2 3 3 ( , )Tf g x x x x x d t uθ  =  =  = + + ɺ ɺ ɺ θ x x (17) Thiết kế bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu Giả thiết rằng hệ truyền động có ma sát không phụ thuộc gia tốc, tức là có gia tốc rất nhỏ. Khi đó ta có thể bỏ qua thành phần ( , )d tx trong (17). Ngoài ra, nếu như ta có thể xấp xỉ được g θ là hằng số xác định thì không mất tính tổng quát ta có thể cho rằng 1gθ = . Khi đó (17) trở thành: 1 2 2 3 3 T f x x x x x u  =  =  = + ɺ ɺ ɺ θ x (18) Dễ thấy được rằng khi sử dụng bộ điều khiển vòng trong: 0 1 1 2 2 3u v a x a x a x= − − − (19) với ba hằng số 0 1 2, ,a a a tùy chọn cho hệ (18), ta sẽ thu được hệ kín dạng tuyến tính chuẩn điều khiển với mô hình trạng thái: ( ) 0 1 2 0 1 0 0 0 1 Tf m v a a a     = + +   − − −  ɺ  b A θx x x (20) trong đó 2 3 3 0 1 2det( )ms a a s a s s− = + + +I A Điều này dẫn ta tới ý tưởng rằng có thể chọn các hằng số 0 1 2, ,a a a theo phương pháp gán các điểm cực 1 2 3, ,s s s tương ứng với chất lượng mong muốn đặt trước. Chẳng hạn để hệ ổn định, không có dao động trong quá trình quá độ, ta chọn ba hằng số thực âm 1 2 3, ,s s s , rồi tính: 3 3 2 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 1 2 ( ) ( ) ( )( )( ) s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s = − + + + + + − − − − = ⇔ 0 1 2 3 1 1 2 2 3 1 3 2 1 2 3 , ( ) ( ) a s s s a s s s s s s a s s s = − = + + = − + + (21) Nói cách khác, hệ thu được (20) nhờ bộ điều khiển vòng trong (19), trừ thành phần bất định fθ cho bởi (14), đã có đầy đủ tất cả các chất lượng mong muốn đặt trước. Bởi vậy nhiệm vụ điều khiển tiếp theo bây giờ chỉ còn là loại bỏ sự ảnh hưởng của fθ trong hệ kín (20). Để làm được điều này ta sẽ áp dụng nguyên tắc thích nghi theo mô hình mẫu, tức là ta sẽ thiết kế thêm bộ điều khiển vòng ngoài để hệ (20) bám tiệm cận theo được mô hình mẫu, suy ra từ (20) sau khi loại bỏ đi sự ảnh hưởng của thành phần bất định fθ như sau: m m m w= +ɺ A bx x (22) Hình 2 minh họa nguyên tắc điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho đối tượng (5) ở chế độ chạy gần đều (để bỏ qua được các ma sát phụ thuộc gia tốc), gồm hai vòng điều khiển trong và ngoài. Lê Thị Thu Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 112(12)/2: 63 - 68 66 Hình 2. Sơ đồ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho hệ truyền động bánh răng Để thiết kế bộ điều khiển vòng ngoài với nhiệm vụ là cho hệ (20) bám tiệm cận theo được mô hình mẫu (22), trước tiên ta cần đến phương trình mô tả sai lệch mô hình. Ký hiệu m= −e x x là sai lệch mô hình. Khi đó với các phép gán: Tz =x p và v w z= − trong đó ( )tp là vector tham số bộ điều khiển vòng ngoài cần phải xác định, ta có ( )Tm= + −ɺ A b θe e x p (23) Sử dụng hàm trơn xác định dương ( ) ( )( ) TTV = + − −P Eθ θe e e p p (24) với 3 3 , ×∈RP E là đối xứng xác định dương tùy chọn, ta sẽ có với (23) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 TT T T T m m T T T TT V = + − − = + −   − − −     = − − − −   ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ P P E A P PA E Pb Q E Pb θ θ θ e e e e p p e e p p x e e e p p x e (25) trong đó T m m+ = −A P PA Q (26) Rõ ràng, với việc chọn các tham số 0 1 2, ,a a a của bộ điều khiển vòng trong theo (21) có các điểm cực 1 2 3, ,s s s chọn trước nằm bên trái trục ảo thì ma trận mA là ma trận bền. Điều này đảm bảo chắc chắn rằng phương trình Lyapunov (26) với mọi ma trận đối xứng xác định dương 3 3×∈RQ luôn có nghiệm 3 3×∈RP cũng đối xứng xác định dương. Từ công thức đạo hàm (25) của hàm xác định dương (24) thì theo lý thuyết Lyapunov II, với bộ chỉnh định thích nghi tham số ( )tp : 1 T Tz − =  = E b Pɺp x e x p (27) sẽ có 0, TV = − < ∀ ≠Q 0ɺ e e e (28) Đó là điều kiện đủ để được lim ( ) t t →∞ = 0e và ( )t < ∞e tức là sẽ có được tính bám tiệm cận của (20) theo mô hình mẫu (22). Tuy nhiên, do với công thức (28) thì Vɺ chỉ xác định âm theo sai lệch e , nói cách khác nó chỉ bán xác định âm theo e và −pθ , nên cũng chỉ đảm bảo có được tính tiệm cận của → 0e , chứ chưa khẳng định được cũng sẽ có →p θ , nên cơ cấu chỉnh định (27) không thay thế được cơ cấu nhận dạng tham số bất định trong mô hình. Tổng kết lại, bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu cho hệ truyền động qua bánh răng làm việc ở chế độ có moment ma sát không phụ thuộc gia tốc, xây dựng trên nền mô hình trạng thái (18) của hệ, sẽ được tổng hợp qua các bước như sau: 1. Chọn các điểm cực 1 2 3, ,s s s nằm bên trái trục ảo, ứng với chất lượng ổn định mong muốn của hệ kín rồi tính các tham số cho bộ điều khiển vòng trong 0 1 2, ,a a a theo công thức (21). Để hệ kín không những ổn định mà ở chế độ còn có tín hiệu đầu ra 1 2x ϕ= ɺ bám tiệm cận theo tín hiệu mẫu ( )w t , ta cần chọn chúng thỏa mãn thêm 1 2 3 1s s s = − 2. Chọn 3 3×∈RQ đối xứng xác định dương và tìm nghiệm 3 3×∈RP cũng đối xứng xác định dương của phương trình Lyapunov (26). u x mx w v e z Đối tượng (18) Điều khiển vòng trong (19) Điều khiển vòng ngoài (27) Mô hình mẫu (22) Lê Thị Thu Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 112(12)/2: 63 - 68 67 Ma trận 3 3×∈RQ được chọn có ∞Q càng lớn, tốc độ bám của (20) theo mô hình mẫu (22) càng cao. Chú ý khi đó phải trả giá là độ quá điều chỉnh càng lớn. 3. Chọn 3 3×∈RE đối xứng xác định dương. Nếu chọn E có ∞E càng nhỏ, tốc độ chỉnh định ( )tp càng cao, do đó quá trình quá độ của hệ càng ngắn. 4. Xây dựng bộ điều khiển vòng trong theo (19), bộ điều khiển vòng ngoài theo (27) và mô hình mẫu theo (22) KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Xét hệ truyền động có mô hình (18). Chọn 1 1 3 1s s s= = = − ta sẽ có với (21): 0 1 21 , 3 , 3a a a= = = Chọn các ma trận 310= =Q E I ta có đồ thị quỹ đạo 1 2x ϕ= ɺ của hệ và tín hiệu mẫu ( )w t cho ở hình 3. Nó cho ta thấy trực quan được khả năng bám tốt của tín hiệu đầu ra của hệ theo tín hiệu mẫu. Hình 4 mô tả sai lệch e . Nó xác nhận tính bám tiệm cận theo mô hình mẫu của hệ kín. Ngoài ra, các hình 5 còn cho thấy mặc dù các tham số ( )tp của bộ điều khiển vòng ngoài không nhất thiết phải bám theo giá trị bất định fθ , song hệ vẫn có được chất lượng bám ổn định rất tốt. Đặc biệt nữa là ở mô phỏng này ta còn có ( )f tθ là hàm thay đổi theo thời gian. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Hình 3. Quỹ đạo tín hiệu ra so sánh với tín hiệu đặt 0 10 20 30 40 50 60 70 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
  Hình 4. Sai lệch bám 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Hình 5. Tham số bộ điều khiển vòng ngoài KẾT LUẬN Bộ điều khiển của bài báo được thiết kế trên nền thích nghi giả định rõ. Bằng kết quả mô phỏng, bài báo còn chỉ ra từ hình 5 rằng bộ điều khiển giới thiệu ở đây còn đảm bảo chất lượng bám ngay cả khi các tham số bất định fθ của hệ truyền động không phải là hằng số, mặc dù ở phần chứng minh ta phải giả thiết nó chỉ là tham số hằng bất định để có được sự biến đổi từ công thức (24) thành (25). Theo lý thuyết, việc vẫn có được tính bám tiệm cận tốt được ngay cả khi có hàm bất định ( )f tθ có thể không phải là sự ngẫu nhiên mà vẫn đúng cho mọi trường hợp, không chỉ riêng ở phần mô phỏng này. Suy nghĩ đó là hợp lý vì thực chất ở đây, để đưa ra được công thức (27) cho cơ cấu chỉnh định, ta đã sử dụng lý thuyết Lyapunov, vốn chỉ là một điều kiện đủ. Bởi vậy bài toán chứng minh chặt chẽ tính bám tiệm cận của hệ vẫn thỏa mãn khi ( )f tθ là hàm bất định, sẽ là bài toán mở tiếp theo của nhóm tác giả. Lê Thị Thu Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 112(12)/2: 63 - 68 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Couwder, R. (2006), Electric Drivers and Electromechanical Systems. Elservier GB. 2. Eutebach, T. and Pacas, J.M. (1999), Damping of torsional vibration in high dynamic drivers. 8. European Conference on Power Electronics and Applications EPE 99. 3. Ha,L.T.T. (2012), Modelling of transmission two-weel gearing System. Reaserch report, TNUT. 4. Menon, K. and Krishnamurty (1999), Control of low friction and gear backlash in machine tool feed drive systems.. Mechatronics 9, pp.33-52. 5. Thosen,S abd Fuchs,F.W. (2009), Speed control of torsional driver systems with backlash. European Conference on Power Electronics and Applications EPE 09. SUMMARY DESIGN OF MODEL REFERENCE ADAPTIVE CONTROLLER FOR GEARING TRANSMISSION SYSTEM Le Thi Thu Ha*, Tran Thi Thanh Thao College of Technology - TNU This paper presents the design method of the model reference adaptive controller for gearing transmission systems based on using this model. The asymptotic tracking behavior of the system in the presence of all uncertainties caused by effect of backlash, friction or cogwheel elasticity is proved theoretically and experimentally. Key words: Adaptive tracking, model reference, gearing systems, backlash, torsional moment. Phản biện khoa học: PGS.TS. Lại Khắc Lãi – Đại học Thái Nguyên * Tel: 0977008928; Email: hahien1977@gmail.com