Thiết giải lặp cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số chứa tích phân với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT Chuyên ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 Luận văn được hồn thành tại Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Tốn – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: PGS. TS. Lê Hồn Hố Khoa Tốn – Tin học, Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Lê Thị Phương Ngọc Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang. Học viên cao học: Nguyễn Thị Ngọc Hiền Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, vào lúc … giờ… ngày… tháng … năm 2008. Cĩ thể tìm hiểu luận văn tại Phịng Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tơi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS. Nguyễn Thành Long, lịng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Người Thầy đã rất ân cần và tận tình hướng dẫn, giúp cho tơi nắm được từng bước nghiên cứu và giải đáp những thắc mắc khi tơi gặp phải. Sự đam mê nghiên cứu khoa học và sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tơi hồn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hồn Hĩa và Cơ Lê Thị Phương Ngọc đã dành thời gian, cơng sức để đọc và cho những nhận xét quý báu đối với luận văn của tơi. Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cơ trong và ngồi khoa Tốn – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tơi trong suốt thời gian học tập tại trường. Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin học, quý Thầy Cơ thuộc phịng quản lý Khoa học Cơng nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành chương trình học cũng như trong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp. Xin cảm ơn các anh chị lớp Cao học Giải tích Khĩa 16, các anh chị trong nhĩm xemina do Thầy tổ chức đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tơi trong suốt thời gian qua. Tơi cũng khơng quên gửi lời biết ơn đến gia đình tơi, những người đã hết lịng lo lắng và luơn ở bên tơi trong những lúc khĩ khăn nhất. Sau cùng, vì kiến thức bản thân cịn hạn chế nên luận văn khĩ tránh khỏi những thiếu sĩt. Tơi rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy Cơ và sự gĩp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Tơi xin chân thành cảm ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008. Nguyễn Thị Ngọc Hiền 2 MỤC LỤC Lời cảm ơn ........................................................................................................1 Mục lục ..............................................................................................................2 MỞ ĐẦU ...........................................................................................................3 Chương 1: MỘT SỐ CƠNG CỤ CHUẨN BỊ...............................................7 1.1. Các khơng gian hàm thơng dụng .............................................................. 7 1.2. Khơng gian hàm (0, ; ), 1 .pL T X p≤ ≤ ∞ .................................................. 8 1.4. Đạo hàm trong (0, ; ).pL T X ...................................................................... 10 1.5. Bổ đề về tính compact của Lions............................................................ 11 1.6. Một kết quả về lý thuyết phổ. ................................................................. 12 1.7. Một số kết quả khác. ................................................................................. 13 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT .................................................14 2.1. Giới thiệu bài tốn và các cơng cụ chuẩn bị. .....................................14 2.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp một. ........................................................................................................16 Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI ..................................................37 3.1. Giới thiệu bài tốn...................................................................................... 37 3.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp hai. ................................................................................................................. 37 KẾT LUẬN .....................................................................................................60 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................62 3 MỞ ĐẦU Các bài tốn biên phi tuyến nĩi chung là đề tài được quan tâm bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như trong [3 – 23] và các tài liệu tham khảo trong đĩ. Loại bài tốn nầy chứa đựng nhiều mơ hình tốn học đặt ra trong các lĩnh vực Kỹ thuật, Cơ học,…. và cĩ rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đĩ là lý do tơi chọn đề tài nầy. Trong nhiều trường hợp, bài tốn chỉ giải được và dừng lại ở mức độ tồn tại nghiệm và khơng chỉ ra cách thiết lập nghiệm như thế nào. Một cách thơng dụng nhất mà nhiều nhà nghiên cứu hay làm là phương pháp tuyến tính hĩa, hơi giống như phép xấp xỉ liên tiếp của nguyên lý ánh xạ co. Cách làm nầy vẫn bảo đảm hội tụ về mặt tốn học, nhưng trong thực tế hệ số co tuy nhỏ hơn 1 và khá gần 1, thì phép lặp nầy sẽ hội tụ chậm và địi hỏi số bước lặp phải khá lớn, thậm chí rất lớn. Phương pháp lặp kiểu nầy người ta cịn gọi là phép lặp cấp 1 hay lặp đơn. Cải tiến phương pháp nầy, người ta thường tìm kiếm thuật giải cĩ tốc độ hội tụ nhanh hơn, chẳng hạn như thuật giải lặp cấp hai [17] hoặc cao hơn nữa [22]. Ví dụ như một thuật giải xác định một dãy lặp { }mu gọi là thuật giải cấp hai nếu ta cĩ được đánh giá sai lệch của số hạng mu với nghiệm chính xác u theo bất đẳng thức dưới đây (với một chuẩn thích hợp ⋅ ) 21 ,m mu u C u u m−− ≤ − ∀ ∈` (0.1) trong đĩ C là hằng số độc lập với .m Với đánh giá nầy, nếu bước lặp đầu tiên 0u được chọn đủ gần với nghiệm chính xác u sao cho 0 1,C u uβ = − < khi đĩ ta cĩ đánh giá sai số 2 (2)1 . m m mu u R mC β− ≤ = ∀ ∈` (0.2) Trong trường hợp lặp cấp một ta cĩ đánh giá 4 (1)1 , m m mu u C R mα− ≤ = ∀ ∈` (0.3) trong đĩ 0 1,α≤ < 1C là các hằng số độc lập với .m So sánh với hai đánh giá sai số (0.2) và (0.3), ta thấy (0.2) cĩ tốc độ hội tụ nhanh hơn (0.3), bởi vì (2) 2 ln(1/ ) ln(1/ 2 (1) 1 1 0, m m m m m R e R CC β α⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ = → khi .m → ∞ (0.4) Trong luận văn này, chúng tơi xét một số thuật giải lặp (cấp một và cấp hai) cho bài tốn giá trị biên và ban đầu cho phương trình sĩng phi tuyến cĩ hệ số chứa tích phân thuộc dạng dưới đây: ( ) ( )2 2( ) ( , ) , , , ( ) , (0, ), (0,1), tt x xx t xu B u t u f u u F x t u u t t T x − + = ∈ ∈ (0.5) (0, ) (0, ) (1, ) 0,xu t u t u t− = = (0.6) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tu x u x u x u x= =  (0.7) trong đĩ 0 1, , , ,u u f F B  là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Trong phương trình (0.5), số hạng phi tuyến ( )2, , , ( ) ,xF x t u u t ( )2( ) ,xB u t là hàm cĩ phụ thuộc vào một tích phân 1 2 2 0 ( ) ( , ) .x xu t u x t dx= ∫ (0.8) Trong [13], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định và Trần Ngọc Diễm đã nghiên cứu bài tốn ( )( )20 ( , , , , ), (0,1), (0, ),tt x tu b B u u f x t u u u x t T− + ∇ ∆ = ∈ ∈ (0.9) (0, ) (1, ) 0,u t u t= = (0.10) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ).tu x u x u x u x= =  (0.11) 5 Trong [14], Nguyễn Thành Long và Bùi Tiến Dũng đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn 2 2( ) ( , , , , , ), (0,1), (0, ),tt x tu B u u f x t u u u u x t T− ∇ ∆ = ∇ ∈ ∈ (0.12) 0(0, ) (0, ) (1, ) 0,xu t h u t u t− = = (0.13) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tu x u x u x u x= =  (0.14) trong đĩ 0 1, , ,B f u u  là các hàm cho trước và 0 0h ≥ cho trước. Trong [10, 12], tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình 122 ( ) ( , ), , 0,tt t tu u B u u u u F x t x t αλ ε −+ ∆ − ∇ ∆ + = ∈Ω > (0.15) trong đĩ 0, 0, 0 1λ ε α> > < < là các hằng số cho trước và Ω là tập mở và bị chặn của .n\ Trong luận văn này, chúng tơi tập trung giải quyết hai vấn đề. Vấn đề thứ nhất: Khảo sát thuật giải lặp cấp một. Chúng tơi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài tốn (0.5) – (0.7). Ý tưởng và cơng cụ để khảo sát sự tồn tại nghiệm là thiết lập một dãy quy nạp tuyến tính liên kết với bài tốn, sau đĩ sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact để chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài tốn (0.5) – (0.7) trong các khơng gian hàm thích hợp và với các giả thiết mà ta sẽ đặt thêm. Sự tồn tại nghiệm nhờ vào việc vận dụng định lý ánh xạ co (tốn tử co ở dạng lặp) và sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ đề Gronwall sau một số phép tính tốn và đánh giá cụ thể. Vấn đề thứ hai: Khảo sát thuật giải lặp cấp hai. Bài tốn (0.5) được xét với ( , ),F F x t= 2( ) ,qf f u K u u−= = 2q > và 2 ( ),B C +∈ \ 0 0 0( ) ,pb B z d z d≤ ≤ +  11 1( ) ,pB z d z d−′ ≤ +  6 trong đĩ 0 0,b > 1,p > 0 0 1 1, , , 0d d d d ≥   là các hằng số cho trước. Chúng tơi liên kết phương trình (0.1) với một dãy quy nạp phi tuyến { }mu xác định bởi ( )2 22 1 1 12 2( ) ( , ) ( ) ( )( ),m mm m m m mu uB u t F x t f u f u u ut x − − −∂ ∂ ′− ∇ = − − −∂ ∂ với mu thỏa (0.6), (0.7). Khi đĩ, luận văn chứng tỏ dãy lặp { }mu sẽ hội tụ bậc hai về nghiệm yếu của bài tốn (0.5) – (0.7). Trong chứng minh tồn tại nghiệm địa phương, định lý điểm bất động Banach được sử dụng. Luận văn sẽ được trình bày theo các chương mục sau. Phần mở đầu tổng quan về bài tốn khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã cĩ trước đĩ, đồng thời nêu bố cục luận văn. Chương 1, chúng tơi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số khơng gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các khơng gian hàm quan trọng. Chương 2, chúng tơi sử dụng kỹ thuật tuyến tính hố số hạng phi tuyến, kết hợp với phương pháp Galerkin, cùng với các đánh giá tiên nghiệm, sự hội tụ yếu và tính compact. Phương pháp nầy dẫn đến một thuật giải cấp một hội tụ về nghiệm của bài tốn (0.5) – (0.7). Trong phần xấp xỉ Galerkin, luận văn cũng sử dụng định lý ánh xạ co trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân. Tính duy nhất nghiệm được chứng minh bằng cách sử dụng bổ đề Gronwall. Chương 3, là phần khảo sát một thuật giải lặp cấp hai. Trong mục này, bài tốn giá trị đầu và giá trị biên được xét với 2( ) ,qf f u K u u−= = ( )B B z= và các điều kiện được cho cụ thể. Một lần nữa định lý ánh xạ co đựơc sử dụng trong việc chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm. Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. 7 Chương 1: MỘT SỐ CƠNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1. Các khơng gian hàm thơng dụng Ta đặt các ký hiệu (0,1), (0, ), 0TQ T TΩ = = Ω × > và cũng bỏ qua định nghĩa các khơng gian hàm thơng dụng: ( ),mC Ω ( ), pL Ω ( ), mH Ω , ( ).m pW Ω Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau: ( ) ,p pL LΩ = , ,( ) ,m p m pW WΩ = ,2( ) ( ) .m m mH W HΩ = Ω = Cĩ thể xem trong [1, 2]. Ta định nghĩa 2 2 ( )L L= Ω là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng 1 2 0 , ( ) ( ) , , .u v u x v x dx u v L= ∈∫ (1.1) Ký hiệu ⋅ để chỉ chuẩn sinh bởi tích vơ hướng (1.1), nghĩa là 1/ 21 2 2 0 , ( ) , .u u u u x dx u L ⎛ ⎞ = = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (1.2) Ta định nghĩa khơng gian Sobolev cấp 1 { }1 2 2: .xH v L v L= ∈ ∈ (1.3) Khơng gian này cũng là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng 1, , , .x xHu v u v u v= + (1.4) Kí hiệu 1H⋅ để chỉ chuẩn sinh bởi tích vơ hướng (1.4), nghĩa là ( )1 1 1/ 222 1, , .xH Hu u u u u u H= = + ∈ (1.5) Liên hệ giữa hai khơng gian 1H và 0 ( )C Ω ta cĩ các bổ đề sau: Bổ đề 1.1. Phép nhúng 1H 0 ( )C Ω là compact và 0 1 1( ) 2 , .C Hv v v HΩ ≤ ∀ ∈ (1.6) Bổ đề 1.2. Đồng nhất 2L với 2 2( )L L ′≡ (đối ngẫu của 2L ). Khi đĩ ta cĩ 8 1H 2 2( )L L ′≡ 1( )H ′ (1.7) với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật. Chú thích 1.1. Từ bổ đề 2, ta dùng ký hiệu tích vơ hướng ,⋅ ⋅ trong 2L để chỉ cặp tích đối ngẫu 1 1( ) ,, H H′⋅ ⋅ giữa 1H và 1( ) .H ′ Chuẩn trong 2L được ký hiệu bởi .⋅ Ta cũng ký hiệu X ⋅ để chỉ chuẩn trong khơng gian Banach X và gọi X ′ là khơng gian đối ngẫu của X. 1.2. Khơng gian hàm (0, ; ), 1 .pL T X p≤ ≤ ∞ Cho X là khơng gian Banach thực với chuẩn là .X⋅ Ta ký hiệu (0, ; ), 1pL T X p≤ ≤ ∞ là khơng gian các lớp tương đương chứa hàm : (0, )u T X→ đo được sao cho 0 ( ) , 1 . T p X u t dt p< ∞ ≤ < ∞∫ hay 0 : ( ) , . . (0, ),XM u t M a e t T∃ > ≤ ∈ với .p = ∞ Ta trang bị cho (0, ; ), 1pL T X p≤ ≤ ∞ chuẩn như sau 1 (0, ; ) 0 ( ) , 1 p p T p L T X X u u t dt p ⎛ ⎞ = ≤ < ∞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ và { } (0, ; ) sup ( ) inf 0 : ( ) , . . (0, ) , . pL T X X X u ess u t M u t M a e t T p = = > < ∈ = ∞ Khi đĩ ta cĩ các bổ đề dưới đây mà chứng minh của chúng cĩ thể tìm thấy trong Lions [8]. Bổ đề 1.3. (Lions[8]) (0, ; ), 1pL T X p≤ ≤ ∞ là khơng gian Banach.„ 9 Bổ đề 1.4. (Lions [7]) Gọi X ′ là đối ngẫu của .X Khi đĩ, với , 1 pp p ′ = − 1 p< < ∞ thì (0, ; )pL T X′ ′ là đối ngẫu của (0, ; ).pL T X Hơn nữa, nếu X là khơng gian phản xạ thì (0, ; )pL T X cũng phản xạ.„ Bổ đề 1.5. (Lions [8]) ( )1(0, ; ) (0, ; ).L T X L T X∞′ ′= Hơn nữa, các khơng gian 1(0, ; ), (0, ; )L T X L T X∞ ′ khơng phản xạ.„ Chú thích 1.2. Nếu ( )pX L= Ω thì (0, ; ) ( (0, )).p pL T X L T= Ω × 1.3. Phân bố cĩ giá trị trong khơng gian Banach. Định nghĩa 1.1. Cho X là khơng gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ ( )(0, )D T vào X gọi là một phân bố cĩ giá trị trong ,X ký hiệu là { } (0, ; ) ( (0, ); ) : (0, ) : . D T X L D T X u D T X u ′ = = → là tuyến tính liên tục Chú thích 1.3. Ta ký hiệu (0, )D T thay cho ( )(0, )D T hoặc ( )(0, )cC T∞ để chỉ khơng gian các hàm số thực khả vi vơ hạn cĩ giá trị compact trong (0, ).T Định nghĩa 1.2. Cho (0, ; ).u D T X′∈ Ta định nghĩa đạo hàm du dt theo nghĩa phân bố của u bởi cơng thức , , , (0, ).du du D T dt dt φφ φ= − ∀ ∈ (1.8) Các tính chất a) Cho (0, ; ).Pv L T X∈ Xét ánh xạ : (0, )vT D T X→ như sau 0 , ( ) ( ) , (0, ). T vT v t t dt D Tφ φ φ= ∀ ∈∫ (1.9) 10 Ta cĩ thể nghiệm lại rằng (0, ; ).vT D T X′∈ Thật vậy: i) Ánh xạ : (0, )vT D T X→ là tuyến tính. ii) Ta nghiệm lại ánh xạ : (0, )vT D T X→ là liên tục Giả sử { } (0, )m D Tφ ⊂ sao cho 0mφ → trong (0, ).D T Ta cĩ 0 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) T v m mX X T m X T v t t dt v t t dt φ φ φ = ≤ ∫ ∫ 1 1 ' 0 0 ( ) ( ) 0, . T Tp pp p mX v t dt t dt mφ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ → + ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ (1.10) Vậy (0, ; ).vT D T X′∈ b) Ánh xạ vv T6 là một đơn ánh, tuyến tính từ (0, ; )PL T X vào (0, ; ).D T X′ Do đĩ, ta cĩ thể đồng nhất .vT v= Khi đĩ ta cĩ kết quả sau Bổ đề 1.6. (Lions [8]) (0, ; ) (0, ; )pL T X D T X′⊂ với phép nhúng liên tục. 1.4. Đạo hàm trong (0, ; ).pL T X Do bổ đề 7, phần tử (0, ; )pu L T X∈ và do đĩ du dt là phần tử của (0, ; ).D T X′ Ta cĩ các bổ đề sau đây mà chứng minh cĩ thể tìm thấy trong Lions [8].„ Bổ đề 1.7. (Lions[8]) Nếu , (0, ; ), 1pf f L T X p′∈ ≤ ≤ ∞ thì f bằng hầu hết với một hàm thuộc 0 ([0, ]; ).C T X „ 11 1.5. Bổ đề về tính compact của Lions. Cho khơng gian Banach 0 1, ,B B B với 0B B 1B với các phép nhúng liên tục sao cho: - 0 1,B B phản xạ (1.11) - 0B B là phép nhúng compact. (1.12) Ta định nghĩa 0 10 1(0, ) { (0, ; ) : (0, ; )}, p pdvW T v L T B v L T B dt ′= ∈ = ∈ (1.13) trong đĩ 0 , , 0, 1.T i< < ∞ ≤ ≤ ∞ =i 1 p Trang bị trên (0, )W T một chuẩn như sau 0 1 0 1(0, ) (0, ; ) (0, ; ) ' .p pW T L T B L T Bv v v= + (1.14) Khi đĩ, (0, )W T là một khơng gian Banach. Hiển nhiên (0, )W T 0 (0, ; ).pL T B Ta cũng cĩ kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact. Bổ đề 1.8. (Bổ đề về tính compact của Lions [8]). Với giả thiết (1.11), (1.12) và nếu 1 ,ip< < ∞ i = 0, 1 thì phép nhúng (0, )W T 0 (0, ; ) pL T B là compact. Bổ đề 1.9. (Lions [8], p.12). Cho Q là mở bị chận của ,N\ , ( ),pmg g L Q∈ 1 ,q< < ∞ thỏa (i) ( )pm L Q g C≤ trong đĩ C là hằng số độc lập với mọi ,m (ii) mg g→ hầu hết trong ,Q khi đĩ mg g→ trong ( ) pL Q yếu. 12 1.6. Một kết quả về lý thuyết phổ. Một số kết quả về lý thuyết phổ dưới đây được áp dụng trong nhiều bài tốn biên. Trước hết ta làm một số giả thiết sau Cho V và H là hai khơng gian Hilbert thực thỏa mãn các điều kiện (i) Phép nhúng V H là compact, (1.15) (ii) V trù mật trong .H (1.16) Cho :a V V× →\ là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên V V× và cưỡng bức trên .V Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính (j) Nếu ( , )u a u v6 tuyến tính từ V vào \ với mọi v V∈ và ( , )v a u v6 tuyến tính từ V vào \ với mọi .u V∈ (2j) Đối xứng nếu ( , ) ( , ), , .a u v a v u u v V= ∀ ∈ (3j) Liên tục nếu 1 10 : ( , ) , , .V VC a u v C u v u v V∃ ≥ ≤ ∀ ∈ (4j) Cưỡng bức nếu 20 00 : ( , ) , .VC a v v C v v V∃ > ≥ ∀ ∈ Khi đĩ ta cĩ kết quả sau Bổ đề 1.10. Dưới giả thiết (1.15), (1.16). Khi đĩ tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert { }jw của H bao gồm các hàm riêng jw tương ứng với giá trị riêng jλ sao cho 1 20 ... ..., lim ,j jjλ λ λ λ→∞< ≤ ≤ ≤ ≤ = +∞ (1.17) ( , ) , , , 1, 2,...j j ja w v w v v V jλ= ∀ ∈ ∀ =  (1.18) Hơn nữa, dãy { }/j jw λ cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vơ hướng ( , ).a ⋅ ⋅ Chứng minh bổ đề 1.10 cĩ thể tìm thấy trong [20]. Định lý 6.2.1, p.127. 13 1.7. Một số kết quả khác. Bất đẳng thức Gronwall. Giả sử : [0, ]f T →\ là hàm khả tích, khơng âm trên [0, ]T và thỏa mãn bất đẳng thức 1 2 0 ( ) ( ) , [0, ], t f t C C f s ds t T≤ + ∀ ∈∫ trong đĩ 1 2,C C là các hằng số khơng âm. Khi đĩ 21( ) , [0, ]. C tf t C e t T≤ ∀ ∈ Ký hiệu ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )t tt x xxu t u t u t u t u t u t u t u t u t= = = ∇ = ∆  thay cho 2 2 2 2( , ), ( / )( , ), ( / )( , ), ( / )( , ), ( / )( , )u x t u t x t u t x t u x x t u x x t∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ lần lượt tương ứng. Ngồi ra, với ( , , , ),F F x t u v= ta đặt 1 2 3 4/ , / , / , / .D F F x D F F t D F F u D F F v= ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 14 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 2.1. Giới thiệu bài tốn và các cơng cụ chuẩn bị. Trong chương nầy, chúng tơi xét bài tốn giá trị biên và ban đầu sau đây: ( ) ( )2 2( ) ( , ) , , , ( ) , (0, ), (0,1), tt x xx t xu B u t u f u u F x t u u t t T x − + = ∈ ∈ (2.1) (0, ) (0, ) (1, ) 0,xu t u t u t− = = (2.2) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tu x u x u x u x= =  (2.3) trong đĩ 1 2 2 ([0,1] ), ( , ) , 2, 2, 0, 0.q pt t t F C f u u K u u u u q p Kλ λ + + − − ∈ × × ×⎧⎪⎨ = + > > > >⎪⎩ \ \ \ (2.4) trong đĩ 0 1, ,u u B  là các hàm cho trước. Trong chương này ta sẽ thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài tốn (2.1) – (2.4) bằng thuật giải lặp cấp một kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Trước hết ta sử dụng một khơng gian Sobolev đặc biệt hơn đĩ là khơng gian { }1(0,1) : (1) 0 .V v H v= ∈ = (2.5) Khi đĩ V là một khơng gian con đĩng của 1H và do đĩ V cũng là khơng gian Hilbert đối với tích vơ hướng của 1.H Ngồi ra, trên V , 1Hv v6 và 1/21 2 0 , ( )x x xv v v v x dx ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫6 là hai chuẩn tương đương. Điều này cho bởi bổ đề sau. Bổ đề 2.1. Phép nhúng từ V 0 ( )ΩC là compact và 15 0 ( ) , .xCv v v VΩ ≤ ∀ ∈ (2.6) Chứng minh bổ đề 2.1 khá dễ dàng mà chứng minh của nĩ cĩ thể tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về khơng gian Sobolev, chẳng hạn [1, 2]. Trên chúng ta sử dụng một dạng song tuyến tính trên V V× 1 0 ( , ) ( ) ( ) (0) (0),x xa u v u x v x dx u v= +∫ , .u v V∈ (2.7) Bổ đề 2.2. Dạng song tuyến tính đối xứng ( , )a ⋅ ⋅ được định nghĩa trong (2.6) là liên tục trên V V× và cưỡng bức trên .V Cụ thể hơn ta cịn cĩ (i) ( , ) 2 ,x xa u v u v≤ , ,u v V∀ ∈ (ii) 2( , ) ,xa v v v≥ .v V∀ ∈ Chứng minh bổ đề 2.2 khá dễ dàng và được suy từ (2.7) và bổ đề 2.1. Kết quả của bổ đề 2.2 cho thấy rằng V cũng là khơng gian Hilbert đối với tích vơ hướng ( , ).a ⋅ ⋅ Hơn nữa trên V thì ba chuẩn 1 ,Hv v6 1/21 2 0 , ( )x x x xv v v v v x dx ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫6 và 1/ 21 2 2 0 ( , ) ( ) (0)xVv v a v v v x dx v ⎛ ⎞ = = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫6 là tương đương. Bổ đề 2.3. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert { }jw của 2L gồm các hàm riêng jw tương ứng với giá trị riêng jλ sao cho 1 20 ... ..., lim ,j jjλ λ λ λ→+∞< ≤ ≤ ≤ ≤ = +∞ (2.8) ( , ) , , , 1, 2,...j j ja w v w v v V jλ= ∀ ∈ ∀ =  (2.9) 16 Hơn nữa, dãy { }/j jw λ cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vơ hướng ( , ).a ⋅ ⋅ Mặt khác, ta cũng cĩ jw thỏa mãn bài tốn biên dưới đây j trong , (0) (0) (1) 0, ([0,1]). j j jx j j j w w w w w w V C λ ∞ ⎧ −∆ = Ω⎪ − = =⎨⎪ ∈ ∩⎩       (2.10) Chứng minh bổ đề này được suy từ bổ đề 1.10, với 2H L= , và ,V ( , )a ⋅ ⋅ được xác định bởi (2.5) và (2.7). 2.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp một. Ta viết phương trình (2.1) dưới dạng ( ) ( )2 2, , , , ,tt x xx t xu B u u G x t u u u− = ( , ) (0,1) (0, ),x t T∈ × (2.11) trong đĩ 2 2 2 2( , , , , ) ( , , , ) , 2, 2, 0, 0. q p t x x t tG x t u u u F x t u u K u u u u q p K λ λ − − = − − > > > > (2.12) Ta thành lập các giả thiết dưới đây 1( )H 2 0 1, ;u V H u V∈ ∩ ∈  2( )H 1 0( ), ( ) 0;B C B z b+∈ ≥ >\ 3( )H ( )1 [0,1]F C + +∈ × × ×\ \ \ với (1, , , ) 0F t u z = , 0, .t z u∀ ≥ ∀ ∈\ Với B và F thỏa các giả thiết 2( )H và 3( )H tương ứng, ta xây dựng các hằng số sau đối với mỗi 0, 0.M T> > Đặt 0 0 ( , , ) sup ( , , , ) ,K K M T F F x t u z= = (2.13) 4 1 1 1 ( , , ) sup ( , , , ) ,i i K K M T F D F x t u z = = = ∑ (2.14) 17 ở đây, trong mỗi trường hợp, sup được lấy trên miền 0 1,x≤ ≤ 0 ,t T≤ ≤ ,u M≤ 20 ,z M≤ ≤ 2 0 0 0 ( , ) sup ( ), z M K K M B B z ≤ ≤ = =   (2.15) 2 1 1 0 0 ( , ) ( , ) sup ( ) . z M K K M B K M B B z ≤ ≤ ′ ′ ′= = =   (2.16) Với mỗi 0, 0M T> > sẽ chọn sau, ta đặt 2 2 2 2 (0, ; ) (0, ; ) ( ) ( , ) { (0, ; ) : (0, ; ), ( ), , , }, T t tt T t ttL T V H L T V L Q W M T v L T V H v L T V v L Q v v v M ∞ ∞ ∞ ∞ ∩ = ∈ ∩ ∈ ∈ ≤ (2.17) { }21( , ) ( , ), (0, ; ) .ttW M T v W W T v L T L∞= ∈ ∈ (2.18) Ta mơ tả thuật giải cấp một cho bài tốn (2.2), (2.3), (2.11) như sau (i) Chọn số hạng đầu tiên 0 0.u u=  (ii) Giả sử rằng 1 1( , ).mu W M T− ∈ (2.19) (iii) Sau đĩ tìm 1( , )mu W M T∈ thỏa bài tốn biến phân tuyến tính ( ), ( ) ( ( ), ) ( ), , ,m m m mu t v b t a u t v G t v v V+ = ∀ ∈ (2.20) 0 1(0) , (0) ,m mu u u u= =   (2.21) ở đây ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) , ( , ) , , ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). m m m m m q p m m m m b t B u t G x t F x t u t u t K u t u t u t u tλ − − − − − − − − − ⎧ = ∇⎪⎪ = ∇⎨⎪⎪ − −⎩   (2.22) Khi đĩ, ta cĩ Định lý 2.4. Giả sử 1( )H – 3( )H được thỏa. Khi đĩ tồn tại các hằng số dương M và T và một dãy quy nạp tuyến tính 1{ } ( , )mu W M T⊂ được xác định bởi (2.19) – (2.22). 18 Chứng minh. Việc chứng minh bao gồm nhiều bước. Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Trong V ta chọn cơ sở trực chuẩn Hilbert { },jw với /j j jw w λ=  như đã nêu trong bổ đề 2.3. Đặt ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , k k k m mj j j u t c t w = =∑ (2.23) trong đĩ ( )kmjc thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính ( )( ) ( )( ), ( ) ( ), ( ), , 1 ,k km j m m j m ju t w b t a u t w G t w j k+ = ≤ ≤ (2.24) ( ) ( )0 1(0) , (0) , k k m k m ku u u u= =   (2.25) ở đây ( ) 0 0 1 k k mj j k j w u uα = = →∑   mạnh trong 2 ,V H∩ (2.26) ( ) 1 1 1 k k mj j k j w u uβ = = →∑   mạnh trong .V (2.27) Hệ phương trình (2.24) được viết lại như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , (0) , (0) , 1 . k k mj j m mj m j k k mj mj mj mj c t b t c t G t w c c j k λ α β ⎧ + =⎪⎨ = = ≤ ≤⎪⎩   (2.28) Lấy tích phân (2.28) theo biến ,t ta được ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ), ( ) ( ) , 1 . t r k k k mj mj mj m j t r k j m mj c t t dr G s w ds dr b s c s ds j k α β λ = + + − ≤ ≤ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.29) Bổ đề 2.5. Giả sử rằng 1mu − thỏa (2.19). Khi đĩ hệ (2.29) cĩ nghiệm ( ) ( )kmjc t trong khoảng 0 .t T≤ ≤ 19 Chứng minh bổ đề 2.5. Bỏ qua chỉ số ,m k trong các cách viết và ta viết ( ),jc t ,jα ,jβ 1 ( ) ( ) k j j j u t c t w = =∑ lần lượt thay cho ( ) ( ),kmjc t ( ) ,kmjα ( ) ,kmjβ ( ) ( ) 1 ( ) ( ) . k k k mj mj j j u t c t w = =∑ Ta viết lại hệ (2.29) thành phương trình điểm bất động ( ) ( )( ),c t Uc t= 0 ,t T≤ ≤ (2.30) trong đĩ 1 1( ,..., ), (( ) ,...,( ) ),k kc c c Uc Uc Uc= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),j j jUc t t Vc tγ= + 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , t r j j m jVc t dr b s c s dsλ= − ∫ ∫ 0 0 ( ) ( ), , 1 . t r j j j m jt t dr G s w ds j kγ α β= + + ≤ ≤∫ ∫ (2.31) Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một số tự nhiên 0p sao cho tốn tử ( )0: [0, ];op kU X C T X= →\ là co, tức là tồn tại hằng số [0,1)ρ ∈ sao cho ,o op p X U c U d c dρ− ≤ − , ,c d X∀ ∈ (2.32) ở đây ta sử dụng chuẩn trong X như sau 1 0 sup ( ) , X t T c c t ≤ ≤ = 1 1 ( ) ( ) , . k j j c t c t c X = = ∈∑ (2.33) Sau đây, bằng quy nạp ta sẽ chứng minh rằng với mọi ,p ∈` ta cĩ ( )20 1 ( ) ( ) (2 )! p kp p X K t U c t U d t c d p λ − ≤ −  , , [0, ].c d X t T∀ ∈ ∀ ∈ (2.34) 20 • Với 1p = , ta cĩ ( ) 01 1 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 t r k k X Uc t Ud t K dr c s d s ds K t c d λ λ − ≤ − ≤ − ∫ ∫  (2.35) Vậy (2.34) đúng với 1p = . • Giả sử (2.34) đúng với 1,p > ta sẽ chứng minh (2.34) đúng với 1,p + nghĩa là ( )2 201 1 1 ( ) ( ) , (2 2)! p kp p X K t U c t U d t c d p λ + + + − ≤ − +  , , [0, ].c d X t T∀ ∈ ∀ ∈ (2.36) Thật vậy, 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )p p p pU c t U d t U U c t U U d t+ +− = − 0 1 0 0 ( ) ( ) t r p p k K dr U c s U d s dsλ≤ −∫ ∫ ( )20 0 0 0 (2 )! p t r k k X K s K dr c d ds p λ λ≤ −∫ ∫   ( )2 20 . (2 2)! p k X K t c d p λ + = − +  (2.37) Vậy (2.34) đúng với mọi .p∈` Mặt khác, do ( )20 lim 0, (2 )! p k p K T p λ →∞ =  nên tồn tại một số tự nhiên 0p sao cho 21 ( )20 0 0 1. (2 )! op k K T p λ ≤ <  (2.38) Do đĩ ( ) 0 0 0 2 0 0 , (2 )! p kp p XX K T U c U d c d p λ − ≤ −  , .c d X∀ ∈ (2.39) Vậy tốn tử :opU X X→ là co, và do đĩ tốn tử nầy cĩ điểm bất động duy nhất. Điểm bất động nầy chính là nghiệm của hệ phương trình (2.29). Vậy bổ đề 2.5 đã được chứng minh xong. „ Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm Đặt 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , t k k k k m m m mS t X t Y t u s ds= + + ∫  (2.40) ở đây ( )2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ,k k k km m m m mX t u t b t a u t u t= + (2.41) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( ) ( ) .k k k km m m m mY t a u t u t b t u t= + ∆  (2.42) Nhân (2.24) bởi ( ) ( )kmjc t rồi lấy tổng theo ,j ta được ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ,k k k k km m m m m m mu t u t b t a u t u t G t u t+ =    hay 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) 2 2 1( ), ( ) ( ) ( ( ), ( )). 2 k k k k m m m m m k k k m m m m m d dX t u t b t a u t u t dt dt G t u t b t a u t u t ⎡ ⎤ = +⎢ ⎥⎣ ⎦ ′= +   (2.43) Lấy tích phân (2.43) theo ,t ta được 22 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) (0) 2 ( ), ( ) ( ) ( ( ), ( )) . t k k k m m m m t k k m m m X t X G s u s ds b s a u s u s ds = + ′+ ∫ ∫  (2.44) Thay j 1 j jw wλ= − ∆ trong (2.24), sau đĩ đơn giản jλ ta được ( )( ) ( )( ), ( ) ( ), ( ), .k km j m m j m ju t w b t a u t w G t w−∆ + −∆ = −∆ (2.45) Mặt khác, ta cĩ ( ) ( )( ), ( ),k km j m j ju t w u t wλ−∆ =  ( )( ) ( )( ), ( ), .k kj m j m ju t w a u t wλ= =  (2.46) 1 ( ) ( ) 0 ( ), ( , ) ( )k km j m ju t w u x t w x dx∆ ∆ = ∆ ∆∫ (2.47) 1 1( ) ( ) 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( )k km j m ju x t w x u x t w x dx= ∇ ∆ − ∇ ∇∆∫ ( ) ( ) 1 ( ) 0 (1, ) (1) (0, ) (0) ( , ) ( ) k k m j m j k m j u t w u t w u x t w x dx = ∇ ∆ − ∇ ∆ − ∇ ∇∆∫ ( ) ( ) 1 ( ) 0 (1) (1) (0) (0) ( , ) ( ) k k j m j m j k m j u w u w u x t w x dx λ= ∇ − ∆ − ∇ ∇∆∫ ( )0 ( ( ), )km ja u t w= − ∆ ( )( ( ), ).km ja u t w= −∆ Vậy ( ) ( )( ), ( ), .k km j m ja u t w u t w− ∆ = ∆ ∆ (2.48) 23 Vì (0) (0)j jw w∇ = nên 1 0 1 0 ( ), ( , ) ( ) (1, ) (1) (0, ) (0) ( , ) ( ) ( ( ), ). m j m j m j m j m j m j G t w G x t w x dx G t w G t w G x t w x dx a G t w − ∆ = − ∆ = − ∇ + + ∇ ∇ = ∫ ∫ (2.49) Ta viết lại (2.49) như sau ( ) ( )( ( ), ) ( ) ( ), ( ( ), ),k km j m m j m ja u t w b t u t w a G t w+ ∆ ∆ = (2.50) trong (2.50) thay jw bởi ( ) ( )kmu t ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ), ( )) ( ) ( ), ( ) ( ( ), ( )),k k k k km m m m m m ma u t u t b t u t u t a G t u t+ ∆ ∆ =    (2.51) hay 2( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) 1 1( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) 2 2 1( ( ), ( )) ( ) ( ) . 2 k k k k m m m m m k k m m m m d dY t a u t u t b t u t dt dt a G t u t b t u t ⎡ ⎤ = + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦ ′= + ∆    (2.52) Tích phân theo t ta được 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) (0) 2 ( ( ), ( )) ( ) ( ) . t t k k k k m m m m m mY t Y a G s u s ds b s u s ds′= + + ∆∫ ∫ (2.53) Từ (2.41), (2.42), (2.44), (2.53), cơng thức (2.40) được viết lại như sau (cộng các đẳng thức trên) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 2( ) 0 ( ) (0) ( ) ( ( ), ( )) ( ) 2 ( ), ( ) 2 ( ( ), ( )) ( ) t k k k k k m m m m m m t t k k m m m m t k m S t S b s a u s u s u s ds G s u s ds a G s u s ds u s ds ⎡ ⎤′= + + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦ + + + ∫ ∫ ∫ ∫    24 ( ) 1 2 3 4(0) . k mS I I I I= + + + + (2.54) Ta tiến hành đánh giá các tích phân trong (2.54). Tích phân thứ nhất. Ta cĩ: 2._.