Thế debye - Huckel trong tương tác iôn nguyên tử của Plasma loãng

ể em hoàn thành luận văn này đúng thời hạn. Bên cạnh đó, em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Đỗ Xuân Hội đã hướng dẫn chu đáo và tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Với sự giúp đỡ của thầy, luận văn này đã được gợi ý, hướng dẫn thực hiện và đạt những kết quả mong muốn. Xin chân thành cảm ơn NGUYỄN THỊ THANH THẢO MỤC LỤC 4TLỜI CẢM ƠN4T ............................................................................................................................................... - 2 - 4TMỤC LỤC4T ..................................................................................................................................................... - 3 - 4T ÓM TẮT4T ..................................................................................................................................................... - 5 - 4TDANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN4T .......................................................................... - 6 - 4TMỞ ĐẦU4T....................................................................................................................................................... - 7 - 4T1. Lí do chọn đề tài4T .................................................................................................................................... - 7 - 4T2. Mục đích đề tài4T ...................................................................................................................................... - 7 - 4T3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu4T .......................................................................................................... - 7 - 4T . Phương pháp nghiên cứu4T ........................................................................................................................ - 7 - 4T5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài4T ................................................................................................ - 8 - 4TCHƯƠNG 1: TỔNG QUAN4T ........................................................................................................................ - 10 - 4T1.1. Những hiểu biết sơ lược về plasma4T .................................................................................................... - 10 - 4T1.1.1. Định nghĩa về plasma4T ................................................................................................................. - 10 - 4T1.1.2. Khái quát về sự tương tác của các hạt trong plasma4T .................................................................... - 10 - 4T1.2. Các đại lượng nhiệt động học. Hàm phân bố xuyên tâm4T .................................................................... - 12 - 4T1.2.1. Các đại lượng nhiệt động học4T ..................................................................................................... - 12 - 4T1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm4T ............................................................................................................. - 14 - 4TCHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT4T ....................................... - 17 - 4T2.1. Mô hình plasma cổ điển một thành phần (OCP)4T ................................................................................ - 17 - 4T2.1.1. Mô hình được sử dụng và các thông số liên quan4T ........................................................................ - 17 - 4T2.1.2. Thế màn chắn4T ............................................................................................................................. - 19 - 4T2.1.3. Định lí Widom4T ........................................................................................................................... - 21 - 4T2.1.4. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phương pháp Hypernetted Chain cho plasma một thành phần4T ..................................................................................................................................................... - 21 - 4T2.1.4.a. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo 4T ................................................................................... - 21 - 4T2.1.4.b. Phương pháp Hypernetted Chain4T ......................................................................................... - 22 - 4T2.2. Lí thuyết Debye – Hückel sử dụng cho plasma loãng4T ....................................................................... - 23 - 4T2.2.1. Phương trình Poisson – Boltzmann4T ............................................................................................. - 23 - 4T2.2.2. Thế Debye – Hückel4T ................................................................................................................... - 24 - 4T2.3. Những hạn chế của Thế Debye – Hückel4T .......................................................................................... - 27 - 4TCHƯƠNG 3: CẢI TIẾN THẾ DEBYE-HÜCKEL SỬ DỤNG CHO PLASMA LOÃNG MỘT THÀNH PHẦN4T - 30 - 4T3.1. Các hệ số của đa thức thế màn chắn H(r)4T ........................................................................................... - 31 - 4T3.1. 1. Biểu thức hR0R của đa thức thế màn chắn H(r)4T .................................................................................. - 32 - 4T3.1.1.1. Khảo sát Γ4T ........................................................................................................................... - 34 - 4T3.1.1.2. Theo nghiên cứu của L. R. Gasque et al [21]4T........................................................................ - 43 - 4T3.1.1.4. Theo nghiên cứu của H. E. DeWitt [20]4T ............................................................................... - 50 - 4T3.1.1.5. Theo hR0R được đề nghị của các tác giả Đỗ Xuân Hội - Lý Thị Kim Thoa [6]4T ......................... - 52 - 4T3.1.1.6. Để thuận tiện trong việc thực hiện tính toán trên máy tính, ta đề nghị hệ thức hR0R dưới đây:4T .. - 55 - 4T3.1.2. Các biểu thức hR2R, hR3R, hR4R của đa thức thế màn chắn H(r)4T .............................................................. - 57 - 4T3.1.2.1. Khảo sát Γ4T ........................................................................................................................... - 58 - 4T3.1.2.2. Các biểu thức hR2R, hR3R, hR4R của đa thức thế màn chắn H(r)4T ....................................................... - 63 - 4T3.2. Xác định khoảng cách giới hạn rRDHR(Γ)4T ............................................................................................. - 66 - 4TCHƯƠNG 4: XÁC ĐỊNH NGƯỠNG CỦA HIỆU ỨNG TRẬT TỰ ĐỊA PHƯƠNG Γ RCR4T ............................. - 76 - 4T .1. Xác định biểu thức rRmaxR(Γ)4T ................................................................................................................ - 76 - 4T .2. Biểu thức các hệ số hR2CR, hR3CR, hR4CR của đa thức thế màn chắn HRCR(r)4T ..................................................... - 78 - 4T .3. Giá trị ngưỡng Γ RCR4T ............................................................................................................................. - 82 - 4TKẾT LUẬN4T ................................................................................................................................................. - 86 - 4T ÀI LIỆU THAM KHẢO4T............................................................................................................................ - 88 - 4TPHỤ LỤC4T .................................................................................................................................................... - 91 - TÓM TẮT Một trong những lĩnh vực nghiên cứu khoa học có liên quan đến vật lí nguyên tử hạt nhân là vấn đề tương tác giữa các ion nguyên tử trong môi trường plasma. Trong môi trường plasma loãng, tức là khi năng lượng chuyển động nhiệt có thể so sánh với tương tác tĩnh điện Coulomb của các ion, lí thuyết Debye – Hückel được sử dụng để mô tả ảnh hưởng của môi trường xung quanh lên tương tác giữa hai ion. Tuy nhiên, thế màn chắn được tính toán từ lí thuyết Debye - Hückel (DH) chỉ thể hiện sự chính xác trong những điều kiện nhất định. Luận văn này nghiên cứu tổng quát “Thế Debye - Hückel trong tương tác iôn nguyên tử của plasma loãng”, từ đó đưa ra giới hạn áp dụng của lí thuyết Debye - Hückel và xác định giới hạn này cho lí thuyết thông qua việc sử dụng dạng đa thức của thế màn chắn theo định lí tổng quát Widom. Sau đó sẽ so sánh kết quả thu được với các số liệu cung cấp bởi phương pháp mô phỏng Monte Carlo. DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN STT Viết tắt Viết đầy đủ 1 DH Debye – Hückel 2 MC Monte Carlo 3 HNC Hypernetted Chain 4 OCP One Component Plasma MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vật lí nguyên tử hạt nhân là một trong những ngành phát triển mạnh mẽ nhất của vật lí. Việc nghiên cứu môi trường plasma liên quan mật thiết đến chuyên ngành vật lí nguyên tử hạt nhân. Bởi vì plasma là trạng thái thứ tư của vật chất, chiếm tới 99% trạng thái vật chất tồn tại trong vũ trụ. Việc tìm hiểu sâu sắc về trạng thái này sẽ rất cần thiết cho việc tạo ra nguồn năng lượng khổng lồ phục vụ cho nhân loại từ việc điều khiển các phản ứng nhiệt hạch. Bên cạnh việc nâng cao sự hiểu biết về plasma, thông qua đề tài này tôi có thể nắm vững vàng hơn các kiến thức đã học về điện học, về vật lí nguyên tử (iôn, liên kết iôn trong nguyên tử…) và phần “ Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê” sẽ giúp ích rất nhiều cho chuyên ngành mà tôi đang học. Hơn nữa, thực hiện đề tài này là cơ hội để tôi thực tập sử dụng các phần mềm tin học như Maple, Matlab, … và đồng thời có cơ hội để nghiên cứu phương pháp xử lí số liệu thực nghiệm, vận dụng những gì đã học nhằm giải quyết các vấn đề mà đề tài đặt ra như vẽ đồ thị, giải các phương trình toán phức tạp chỉ có thể thực hiện qua máy tính, … 2. Mục đích đề tài Đề tài này nghiên cứu về thế Debye - Hückel (DH) trong tương tác iôn nguyên tử của plasma loãng (là plasma trong đó năng lượng tương tác Coulomb là nhỏ so với năng lượng chuyển động nhiệt). Đề tài này cũng chỉ ra giới hạn ứng dụng của thế Debye - Hückel trong plasma loãng và đưa ra cách hiệu chỉnh phù hợp từ những mô hình đơn giản nhất để giải quyết các vấn đề đặt ra. Bên cạnh đó, đề tài cũng khảo sát ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương, là sự bắt đầu thiết lập những dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài này chủ yếu nghiên cứu tới plasma loãng một thành phần (One Component Plasma – OCP) cổ điển là plasma chỉ bao gồm một loại ion duy nhất tích điện dương nằm trong một biển electron đồng nhất tạo thành một hệ trung hòa về điện. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu kết quả lí thuyết về thế màn chắn, định lí Widom, hàm phân bố xuyên tâm, lí thuyết Debye – Hückel trong plasma mà tương tác ion yếu, … Sử dụng phần mềm tin học Matlab để xử lí kết quả mô phỏng Monte Carlo (MC) và Hypernetted Chain (HNC) kết hợp với lí thuyết để cải tiến lí thuyết Debye – Hückel cho plasma loãng một thành phần và xác định ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài a. Ý nghĩa khoa học Thế Debye - Hückel (DH) đa phần được đề cập trong các tài liệu chỉ dừng lại ở cách giải gần đúng phương trình Poisson – Boltzmann, kết quả này sẽ dẫn đến ngộ nhận thế Debye - Hückel (DH) được áp dụng vô điều kiện với độ chính xác cao. Thực tế không hoàn toàn như vậy. Đề tài này cho thấy khi nghiên cứu plasma loãng, thế Debye - Hückel (DH) chỉ áp dụng được trong những điều kiện nhất định. Từ các dữ liệu mô phỏng và định lí Widom, đề tài còn đề cập đến dạng thế màn chắn đảm bảo sự chính xác tốt nhất. Từ những kết quả này, ta có thể xác định được sự thiết lập những dao động của hàm phân bố xuyên tâm. b. Ý nghĩa thực tiễn Đề tài này có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên năm thứ tư chuyên ngành vật lí (học môn vật lí thống kê) có cơ hội đào sâu những kiến thức liên quan đến tương tác hệ nhiều hạt, ứng dụng của hàm phân bố thống kê chính tắc, phương pháp sử dụng một phần mềm tin học để giải quyết một vấn đề cụ thể… Từ những vấn đề mà đề tài đưa ra có thể mở ra nhiều hướng cho những ai muốn nghiên cứu sâu về plasma: xác định dạng vạch phổ qua các kết quả thu được cho thế màn chắn, dùng phương pháp số giải phương trình Poisson – Boltzmann để kiểm nghiệm biểu thức thế màn chắn,… NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn được trình bày theo cấu trúc sau: Chương 1: Tổng quan. Chương này giới thiệu những khái niệm cơ sở về plasma và một số đại lượng đặc trưng cho một hệ plasma như các đại lượng nhiệt động học, hàm phân bố xuyên tâm, .... Chương 2: Mô hình nghiên cứu và các kết quả lí thuyết liên quan. Chương này trình bày mô hình plasma một thành phần cũng như các kết quả lí thuyết: đa thức Widom, thế Debye – Hückel, các mô phỏng Monte Carlo và Hypernetted Chain, giới hạn áp dụng lí thuyết Debye – Hückel (DH). Chương 3: Cải tiến thế DH sử dụng cho plasma loãng một thành phần. Phần này bao gồm những tính toán để có được các kết quả mới cho việc giới hạn khoảng cách áp dụng lí thuyết DH. Chương 4: Xác định ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương. Chương này giới thiệu phương pháp tính toán cũng như kết quả cho việc thiết lập các dao động của hàm phân bố xuyên tâm. Phần cuối cùng của luận văn là kết luận chung, trình bày những kết quả thu được. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1. Những hiểu biết sơ lược về plasma 1.1.1. Định nghĩa về plasma Vào năm 1923, hai nhà vật lí người Mĩ là Laengomeare và Tolk đã dùng thuật ngữ “plasma” để chỉ những chất khí bị ion hóa, trung hòa về điện tích và tồn tại trong các ống phóng điện. Ở điều kiện bình thường, mọi chất khí không dẫn điện. Nhưng ở nhiệt độ khá cao hay ở trong điện trường rất mạnh, thì tính chất của chất khí thay đổi: Nó bị ion hóa và trở thành dẫn điện. Khi bị ion hóa các nguyên tử và các phân tử khí trung hòa về điện sẽ mất đi một phần electron của mình và trở thành những hạt mang điện tích dương gọi là các ion. Chất khí bị ion hóa là plasma. Như vậy, Plasma là một hỗn hợp các hạt mang điện, trong hỗn hợp đó có giá trị tuyệt đối của điện tích dương bằng giá trị tuyệt đối của điện tích âm. Như vậy plasma là một hệ trung hòa về điện và là một vật dẫn điện tốt. Plasma là trạng thái thứ tư của vật chất. Nhìn chung khi ở nhiệt độ cao hơn 10000P0PC, mọi chất đều ở trạng thái plasma. Nếu mật độ các hạt trong plasma ít thì ta gọi là plasma loãng. Trong plasma loãng, năng lượng tương tác coulomb là nhỏ so với năng lượng chuyển động nhiệt. Khi đó những tính chất của plasma loãng gần giống với những tính chất của khí lý tưởng. 1.1.2. Khái quát về sự tương tác của các hạt trong plasma a. Sự kích thích và iôn hóa Cơ chế của sự kích thích và ion hóa do va chạm với điện tử như sau: khi điện tử chuyển động gần đến nguyên tử hay hạt khác, điện tử thứ nhất tương tác trực tiếp bằng điện trường của mình với một trong những điện tử liên kết trong nguyên tử gần nó nhất. Điện tử liên kết đó sẽ dịch chuyển đối với hạt nhân. Như vậy, điện tử thứ nhất bị tán xạ, tức là bị lệch khỏi hướng ban đầu. Nếu lực tương tác đủ lớn và đủ lâu thì điện tử liên kết có thể bị đưa lên mức năng lượng cao hơn hay hoàn toàn bị tách khỏi nguyên tử. Quá trình ion hóa là tách electron ra khỏi nguyên tử hoặc phân tử khí, đây là quá trình quan trọng không thể thiếu trong plasma. Có hai kiểu ion hóa: với plasma đậm đặc, sự ion hóa chất khí sinh ra do tác dụng va chạm giữa các nguyên tử hoặc phân tử trung hòa với electron; với plasma quá loãng tác dụng bức xạ sóng cực ngắn là nguyên nhân gây ra sự ion hóa. Nhưng muốn ion hóa hoàn toàn các hạt thì bản thân chúng cần phải có năng lượng cao hơn đáng kể so với trường hợp trên. Nhờ sự va chạm, electron có thể ion hóa nguyên tử, phân tử trung hòa hoặc nguyên tử bị ion hóa chưa hoàn toàn. Tiết diện hiêu dụng ion hóa bằng sự va chạm của electron vào khoảng vài trăm electron – volt. Mặt khác, kích thích và ion hóa nguyên tử, phân tử, và ion có thể xảy ra do điện tử, ion, nguyên tử, và phân tử. Tiết diện ion hóa và kích thích đối với chúng không giống nhau. Đối với điện tử có thể chuyển hết phần động năng của mình cho nguyên tử, đối với ion hay nguyên tử thì phần động năng chuyển vào thế năng do va chạm càng nhỏ khi khối lượng của chúng càng gần nhau. Trong plasma phóng điện khí, như trong phóng điện ẩn, kích thích và ion hóa do ion và nguyên tử không đáng kể vì ở đây áp suất tương đối thấp và không đẳng nhiệt lớn. Năng lượng của ion và nguyên tử trong phóng điện không cao, do đó ion hóa trong thể tích do va chạm với chúng có thể bỏ qua. Trong hồ quang áp suất lớn (áp suất vào khoảng vài trăm torr hay lớn hơn), nhiệt độ của hạt nặng lớn đến mức có thể xảy ra ion hóa và kích thích do nhiệt. b. Sự kích thích và iôn hóa phân tử Trong phân tử có hai dạng chuyển động: chuyển động của điện tử trong nguyên tử và chuyển động của hạt nhân. Chuyển động của hạt nhân có thể là chuyển động dao động và chuyển động quay. Tuy nhiên năng lượng phụ thuộc vào sự chuyển động của điện tử là thành phần lớn nhất. Nếu phân tử được kích thích, điện tử được chuyển lên mức năng lượng cao hơn, thì do sự phân bố điện tích của điện tử trong phân tử thay đổi mà đường cong thế năng cũng biến đổi. Chuyển động dao động trong phân tử cũng tuân theo quy luật lượng tử. Khi dao động khoảng cách của hai hạt nhân biến đổi, dẫn đến thế năng sẽ biến đổi gián đoạn. Những phân tử có hai hạt nhân giống nhau như OR2R, HR2R, NR2R… có cấu trúc đơn giản nên chúng chỉ có chuyển động dao động đối xứng của nguyên tử dọc theo trục phân tử. Hơn nữa chúng không có momen đipôn. Dịch chuyển đipôn giữa các mức dao động kích thích trong trạng thái cơ bản điện tử với mức dao động là cấm, và chỉ mất đi do va chạm. Tuy nhiên tiết diện va chạm giữa các phân tử với nhau để biến năng lượng dao động lượng tử thành động năng thường rất nhỏ (nhỏ hơn 10P-23 PcmP2P). Vì vậy những trạng thái này có thời gian sống rất lớn. c. Ứng dụng của plasma trong thực tế Những vấn đề trong thiên văn và địa vật lý học như việc truyền sóng điện từ qua bầu khí quyển, động lực học của địa từ trường, sự rối loạn của vật chất bị ion hóa và từ trường gần bề mặt Mặt trời và các vì sao, sự tán sắc và mở rộng tín hiệu khi đi qua không gian giữa các vì sao, sự tiến hóa và cấu trúc bên trong của các thiên thể… đều có mối quan hệ gần gũi với các vấn đề cơ bản của plasma. Hiện nay người ta đã ứng dụng plasma để chế tạo “động cơ plasma”. Lần đầu tiên trên thế giới các nhà bác học và kỹ sư người Nga đã sử dụng động cơ plasma vào hệ thống định hướng các con tàu vũ trụ. Ngoài ra plasma còn là yếu tố cơ bản của “máy phát điện plasma”. Những quá trình xảy ra trong máy phát điện plasma được mô tả bằng lý thuyết từ thủy động lực học nên người ta gọi chúng là các máy phát điện từ thủy động lực chuyển hóa trực tiếp nhiệt năng thành điện năng. Hơn nữa, plasma còn được nghiên cứu để khống chế nguồn năng lượng khổng lồ từ các phản ứng tổng hợp hạt nhân. Trong tương lai các nhà khoa học hy vọng con người có thể sẽ nhận được một nguồn năng lượng vô tận từ các phản ứng nhiệt hạch tổng hợp có điều khiển, năng lượng này đủ dùng cho nhiều triệu năm. 1.2. Các đại lượng nhiệt động học. Hàm phân bố xuyên tâm 1.2.1. Các đại lượng nhiệt động học Hệ plasma loãng được xem như một hệ chính tắc có hàm tổng thống kê như sau : ( ) 113 1 ... ... ! K V NNNZ e d p d p d R d Rh N β− += ∫     Trong đó, 2 1 2 N ipK m =∑  là động năng toàn phần của hệ, V là thế năng tương tác Coulomb , 2 2 , 1 1 1 1 1( ) 2 2 N N i j i d rd r d rV Ze n n R R R rr r    = + − − −−   ∑ ∑∫          , iR  là vectơ vị trí của ion thứ i. r  là vectơ vị trí của các electron chứa trong một thể tích nguyên tố. Như vậy thế năng tương tác trên là thế năng toàn phần bao gồm thế năng tương tác Coulomb giữa ion – ion, electron – electron, và giữa ion – electron. Như vậy, ta có thể viết : Z = ZP0PQ trong đó ZP0P là hàm tổng thống kê của khí lý tưởng, khi đó ta xem các hạt không tương tác lẫn nhau, năng lượng của hệ chính là động năng chuyển động nhiệt của các hạt : 0 3 /213 3... (2 )! ! N N K N NN N V VZ e d p d p mkT h N h N β π−= =∫   Q là tích phân cấu hình đặc trưng cho sự tương tác Coulomb trong plasma 1 1 ...V NNQ e d R d RV β−= ∫   Theo công thức năng lượng tự do của hệ F = - kTlnZ và tính cộng tính của đại lượng này ta phân tích năng lượng F làm hai thành phần : F = FR0R + FRex Trong đó, FR0R là năng lượng tự do của khí lý tưởng FRexR là năng lượng phát sinh từ tương tác Coulomb Mặt khác ta thấy Q phụ thuộc vào β, tức là phụ thuộc vào nhiệt độ T (với 1T kβ = ) và mật độ ρ thông qua tham số tương liên Γ ở giới hạn nhiệt động lực học (Γ được trình bày rõ ở chương II), ,V N→∞ →∞ (trong khi N const V ρ = = ), ta có thể viết : ( )NfQ e− Γ= Như vậy, ( ) exFf NkT Γ = , phần dư của năng lượng tự do đối với ion tính theo đơn vị năng lượng kT, chỉ phụ thuộc vào Γ. Từ đây ta có các công thức đơn giản để tính các đại lượng nhiệt động học của hệ : a/ Áp suất p: 0 11 ( ) 3 F dp p f V d ∂  = − = + Γ Γ ∂ Γ  với 0p ρ β = b/ Năng lượng toàn phần : 2 0 21 ( ) 3 F dE T E f T T d ∂    = − = + Γ Γ   ∂ Γ    với 0 3 2 NE β = c/ Nhiệt dung đẳng tích : 2 2 0 21 ( )V V E dC C f T d  ∂ = − = −Γ Γ ∂ Γ  với 0 3 2V NkC = Mặt khác ta cũng có một biểu thức để tính phần dư của năng lượng đối với ion tính theo đơn vị năng lượng kT khi mô phỏng trên máy tính : 1 ' ' 1 ' ( )( ) ( ) uf f d Γ Γ Γ Γ = Γ + Γ Γ∫ với 0E Eu NkT − = , ΓR1R được chọn bằng đơn vị. 1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm Sự tương tác giữa một iôn và các iôn kế cận được phản ánh qua giá trị của hàm phân bố xuyên tâm g(r). Nếu gọi u(rRijR) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong hệ plasma có N ion, thì thế năng toàn phần của hệ là : 1 2( , ,..., ) ( ) N N ij i j U U r r r u r < ≡ =∑    Xác suất để ion 1 ở trong 1d r  tại vị trí 1r  ,..., ion N ở trong Nd r  , tại vị trí Nr  không phụ thuộc vào vận tốc của mỗi hạt nên được tính : 1 1 ...U Ne d r d r Q β−   trong đó 1...U N V Q e d R d Rβ−= ∫   Vậy xác suất để ion 1 ở trong 1d r  tại vị trí 1r  ,..., ion n ở trong nd r  , tại vị trí nr  là : ( ) 1 1 1 1 ( ) 1 1 1( ,..., ) ... ... ... 1( ,..., ) ... n U n n n N N V n U n n N V P r r d r d r e d r d r d r d r Q P r r e d r d r Q β β − + − +   =     ⇒ = ∫ ∫             (1.2a) Đồng thời nếu ta gọi ( ) 1 1( ,..., ) ...n n nP r r d r d r     là xác suất để có một ion nào đó (không nhất thiết là ion 1) ở trong 1d r  tại vị trí 1r  ,..., để một ion khác ở trong nd r  , tại vị trí nr  thì có N khả năng để có ion trong 1d r  , N – 1 khả năng để có ion trong 2d r  , ..., và N - n + 1 khả năng để có ion trong Nd r  , tức là tất cả có : !( 1)( 2)...( 1) ( )! NN N N N n N n − − − + = − khả năng. Khi đó ( ) 1 1 ( ) 1 ! 1( ,..., ) ... ( )! ! ( ,..., ) ( )! n U n n N V n n Nr r e d r d r N n Q N P r r N n βρ − += − = − ∫       (1.2b) Nếu xác suất để có một ion của ở trong 1d r  tại vị trí 1r  độc lập với xác suất để có một ion thứ hai ở trong 2d r  tại vị trí 2r  ,...độc lập với xác suất để có một ion thứ n ở trong nd r  , tại vị trí nr  thì : ( ) (1) (1)1 1 1 1( ,..., ) ... ( ) .... ( )n n n n nr r d r d r r d r r d rρ ρ ρ   =             Khi có sự tương quan giữa một ion này và một ion khác thì ta có : ( ) (1) (1) ( )1 1 1( ,..., ) ( )... ( ) ( ,..., )n nn n nr r r r g r rρ ρ ρ=       Trong đó ( ) 1( ,..., )n ng r r   , cho biết mức độ mà ( )nρ lệch khỏi giá trị của nó khi các xác suất trên độc lập nhau. Vì mọi điểm ir  trong thể tích V đều tương đương nhau nên (1) (1) (1)1 2( ) ( ) ... ( )n Nr r r V ρ ρ ρ ρ= = = = =    : mật độ hạt trong plasma Khi đó ta có : ( ) ( )1 1( ,..., ) ( ,..., )n n nn nr r g r rρ ρ=     . Thế (1.2a) và (1.2b) vào ta suy ra : ( ) ( ) 1 1 1 !( ,..., ) ( ,..., ) ( )! ! 1 ... ( )! n n n n n U n N V Ng r r P r r N n N e d r d r N n Q β ρ − + = − = − ∫       (1.2c) Qua đó ta thấy các bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là những vấn đề liên quan tới việc mở rộng của các vạch quang phổ nhất thiết phải biết sự tương tác giữa hai ion kế cận nhau, cách nhau một khoảng rR12R nào đó. Lúc này theo hệ thức tổng quát (1.2c) sẽ xuất hiện hàm gP(2)P( 1 2,r r   ), kí hiệu là g(r) gọi là hàm phân bố xuyên tâm. Ta được : 2 (2) 1 2 3 ( 1)( , ) ...U N V N Ng r r e d r d r Q βρ −−= ∫     Như vậy : 32 ( 1)( ) ...U N V N Ng r e d r d r Q β ρ −−= ∫   CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT 2.1. Mô hình plasma cổ điển một thành phần (OCP) 2.1.1. Mô hình được sử dụng và các thông số liên quan Plasma được xem như một hỗn hợp gồm nhiều ion, electron và những hạt trung hòa về điện. Theo quan điển nhiệt động học, có thể phân biệt plasma làm hai loại plasma cân bằng và plasma không cân bằng. Trong hệ cô lập, khi plasma ở trang thái cân bằng với môi trường xung quanh (như trên các vì sao) thì động năng trung bình của tất cả các hạt là bằng nhau. Chúng đều có hàm phân bố theo vận tốc Maxwell; tức là có một nhiệt độ T giống nhau cho tất cả các loại hạt, ta gọi đây là plasma đẳng nhiệt. Trong một đơn vị thể tích của plasma đẳng nhiệt, số điện tích dương luôn bằng số điện tích âm, tức là 0i i eZ n n− =∑ . Đây là điều kiện trung hòa điện trong plasma. Khi đó điện tích khối hoàn toàn bằng 0 nên điện trường cũng bằng 0. Lúc này phương trình Poisson chuyển thành phương trình Laplace: 2 0ϕ∇ = . Như vậy trong plasma đẳng nhiệt các hạt mang điện mất đi do quá trình tái hợp trong thể tích luôn luôn được bù lại do quá trình ion hóa. Plasma một thành phần (OCP – One Component Plasma) là một hệ thống kê gồm một loại những ion tích điện dương chuyển động trong một biển các hạt electron. Các hạt sẽ tương tác nhau bởi lực tĩnh điện nhưng toàn bộ hệ vẫn ổn định do điều kiện trung hòa điện. Vì vậy, chúng ta sẽ khảo sát mô hình plasma một thành phần (OCP – One Component Plasma) là một hệ vật lí ở nhiệt độ T gồm N ion mang điện tích Ze+ nằm trong môi trường đồng nhất gồm ZN electron, là hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát một số thiên thể như bên trong sao lùn trắng, các hành tinh nặng dạng Jupiter,… Để đơn giản người ta đưa ra mô hình “hình cầu ion” để mô tả plasma. Mô hình này gồm một iôn riêng biệt mang điện tích Ze và một đám mây điện tử bao quanh nó. Ta có thể hình dung plasma dưới dạng N hình cầu iôn và mỗi hình cầu chứa Z electron để trung hòa điện tích dương của ion. Từ đó ta tính được bán kính hình cầu iôn qua biểu thức: 1/34 3 a πρ −  =     Trong đó N V ρ = là mật độ ion của khối plasma đang xét. Như vậy mật độ của electron là: 3 3 4e Ze a ρ π − = Hình 1: Mô hình hình cầu ion Các plasma thường được phân loại làm plasma liên kết yếu và plasma liên kết mạnh dựa vào tỷ số giữa thế năng tương tác Coulomb 2( )Ze a với năng lượng chuyển động nhiệt trung bình kT. Tỷ số này kí hiệu là Γ, gọi là tham số tương liên của plasma: 2( )Ze akT Γ = + Plasma liên kết mạnh khi 1Γ , tức là 2( )Ze kT a  : năng lượng Coulomb rất lớn so với năng lượng chuyển động nhiệt, vị trí của các ion bắt đầu có trật tự hơn, và bắt đầu xuất hiện các cực trị của hàm phân bố xuyên tâm g(r). Khi đó trang thái plasma gần với trạng thái rắn. Plasma liên kết mạnh thường tồn tại trong các thiên thể, các sao lùn trắng (Γ = 10 – 200), sao neutron (Γ = 10 – 10P-3P), bên trong sao mộc,… Có thể tạo plasma này trong phòng thí nghiệm bằng các chum tia laser hay ion (Γ vào khoảng 0.5 – 10). + Plasma liên kết yếu khi 1Γ , tức là 2( )Ze kT a  : năng lượng Coulomb rất bé so với năng lượng chuyển động nhiệt, khi đó plasma xem như gần đúng với trạng thái khí lí tưởng, được coi là plasma mà hiệu ứng trật tự địa phương chưa xuất hiện. Hàm phân bố xuyên tâm g(r) có dáng điệu biến thiên là tăng đơn điệu theo khoảng cách liên ion. Vì thế nó sẽ tuân theo những định luật vật lí thống kê, đặc biệt là hàm phân bố Boltzmann trong trường lực đối xứng của hạt riêng biệt. Điều này phù hợp với lí thuyết cổ điển nên plasma liên kết a • 3 3 4e Ze a ρ π − = yếu thường sử dụng lí thuyết Debye – Hückel. Một số hệ vật lí mà tham số Γ có giá trị tương đối thấp, như trong sao Lùn nâu, ta có 0.76Γ = , bên trong Mặt Trời, 0.072 0.076Γ = ÷ , và đặc biệt, trong những thí nghiệm tổng hợp hạt nhân bằng phương pháp hãm quán tính (ICF – Inertial Confinement Fusion), tham số Γ có giá trị khá thấp, chỉ khoảng 0.002 0.010÷ , hay plasma xuất hiện trong hiện tượng phóng điện (Γ ≈ 10P-3P), trong những máy Tokamark (Γ ≈ 10P-5P)…[24]. Với các hệ plasma loãng kể trên, lí thuyết Debye-Hückel được sử dụng. Tuy nhiên khi xét ở những khoảng cách r nhỏ thì lí thuyết này bị mắc sai số lớn so với thực nghiệm (được trình bày rõ ở phần 2.3). Trường hợp Γ có giá trị trung gian thì tính chất của plasma là tính chất của lưu chất. 2.1.2. Thế màn chắn Thế màn chắn (screening potential), được định nghĩa là hiệu số giữa thế năng tương tác của hai hạt và thế của lực trung bình (potential of mean force), là một dữ liệu quan trọng để nghiên cứu hiệu suất phản ứng hạt nhân (nuclear reaction rates), sự hình thành những chuẩn phân tử (quasi molecules) và bề rộng vạch phổ trong những môi trường đậm đặc, đặc biệt là trong môi trường plasma. Để tính đến tương tác của các ion khác và cả các electron trong plasma ta dùng thế màn chắn hiệu dụng: 2( )( ) ( )ZeV R H._. R R = − (2.1.2) Trong đó 2( )Ze R là thế năng tương tác Coulomb giữa hai ion cách nhau một khoảng R. H(R) biểu thị độ giảm của thế năng trên do môi trường bên ngoài của hai ion đang xét. + Khi 2( )( ) ZeV R R → thì ( ) 0H R → : lúc này có sự che chắn không hoàn toàn. + Khi ( ) 0V R → thì 2( )( ) ZeH R R → : lúc này có sự che chắn hoàn toàn. Thế màn chắn đóng vai trò rất quan trọng trong mọi ngành vật lí khi cần tính đến tác dụng của mật độ lên các hiện tượng vật lí. Trong môi trường plasma, thế màn chắn tăng rất nhanh theo mật độ môi trường và có khuynh hướng làm thay đổi tính chất nhiệt động học của hệ vật lí. Đối với plasma liên kết mạnh, hàng rào thế coulomb giữa hai ion bị giảm rất nhanh do hiệu ứng màn chắn của môi trường chứa hạt mang điện trong plasma. Khi đó thế màn chắn đặc trưng cho độ hạ của rào thế Coulomb giữa hai ion dẫn đến thừa số khuếch đại trong hiệu suất phản ứng hạt nhân 0hA e−Γ= , trong đó 0 2 (0) ( ) / Hh Ze a = , H(0) là thế màn chắn ở khoảng cách tính theo khoảng cách hạt nhân. Bên cạnh đó trong vật lí thống kê, thế màn chắn cho phép ta tính các đại lượng nhiệt động lực học phân tử như phần dư ra của nội năng, phần dư ra của năng lượng tự do so với khí lí tưởng. Hơn nữa, thế màn chắn cũng cho phép ta thiết lập phương trình trạng thái của plasma. Từ chương 1, ta có biểu thức hàm phân bố xuyên tâm: ( )( ) V Rg R e β−= , trong đó 1 kT β = Nếu ta biểu diễn chiều dài và năng lượng theo đơn vị của a là bán kính khối cầu ion và 2( )Ze a , đồng thời kí hiệu Rr a = , ta suy ra ( ) exp[ ( )] ( ) ln ( ) g r V r V r kT g r β= − ⇔ = − Từ (2.1.2) ta suy ra 2 2 2 2 ( )( ) ln ( ) ( ) ( )( ) ln ( ) 1 1 ( )( ) ln ( ) . ZeH r kT g r ra Ze ZeH r g r ra a ZeH r g r r a = + ⇔ = + Γ  ⇔ = + Γ  Như vậy theo quy ước thế năng được tính theo đơn vị của 2( )Ze a , ta có: 1 1( ) ln ( )H r g r r = + Γ 1( ) exp ( )g r H r r   = −Γ −     Ta thấy khi 1( )H r r → thì ( ) 0V r → và ( ) 1g r → ta nói rằng hiệu ứng màn chắn là hoàn toàn. 2.1.3. Định lí Widom Widom phát biểu rằng: “Trong lưu chất hay trong mạng tinh thể, thế màn chắn là hàm chẵn theo khoảng cách giữa hai ion hay hai nguyên tử và trong vùng bán kính hội tụ, được biểu thị bởi một đa thức luân phiên dấu”. Định lí này được Widom chứng minh đầu tiên với plasma lưu chất năm 1963.[31] Ta có dạng khai triển của biểu thức thế màn chắn như sau: 2 4 6 20 1 2 3 0 ( ) ...... ( 1)i ii i H r h h r h r h r h r ≥ = − + − + = −∑ (2.1.3) Từ biểu thức (2.1.3), ta thấy 0 0lim ( )rh H r→= là hệ số khuếch đại khi có sự tổng hợp hai hạt nhân nguyên tử, có liên quan đến hiệu suất phản ứng hạt nhân. Hệ số hR1R bằng 0.25, đã được Jancovici chứng minh chính xác năm 1977. Các hệ số còn lại sẽ được tìm dựa vào tính chất của plasma là plasma liên kết mạnh hay plasma liên kết yếu, hay plasma lưu chất. Trong luận văn này thì định lí Widom được áp dụng cho plasma loãng, nhằm đưa ra một biểu thức giải tích góp phần mở rộng giới hạn áp dụng của lí thuyết Debye - Hückel. Điều này sẽ được thể hiện rõ ở chương 3 và 4 dưới đây. 2.1.4. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phương pháp Hypernetted Chain cho plasma một thành phần 2.1.4.a. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo Phương pháp mô phỏng Monte Carlo đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu, cho phép ta nhận các giá trị của hàm phân bố xuyên tâm theo bán kính g(r) và phần dư ra của nội năng U(r) của mỗi iôn trong plasma. Mô phỏng Monte Carlo có nhiều thuận lợi hơn so với phương pháp động học phân tử vì được thực hiện trên máy tính một cách dễ dàng hơn, độ chính xác cao, có thể áp dụng cho tập hợp thống kê chính tắc, chính tắc lớn…còn phương pháp động học phân tử chỉ sử dụng cho tập hợp vi chính tắc. Yếu tố quan trọng của mô phỏng Monte Carlo là xét trong hệ vài trăm hạt là đủ. Đối với plasma một thành phần thì phương pháp này đã mang lại nhiều tiện ích. Tuy nhiên ta cũng cần lưu ý phương pháp Monte Carlo cho số liệu không được chính xác trong những khoảng cách r nhỏ. Có rất nhiều tính toán mô phỏng theo phương pháp Monte Carlo do nhiều nhà khoa học nghiên cứu từ nhiều năm qua. Nghiên cứu gần đây nhất là của DeWitt et al đã thực hiện các mô phỏng Monte Carlo với độ chính xác rất cao khoảng phần ngàn cho hàm phân bố xuyên tâm g(r). Trong luận văn này ta cũng sử dụng số liệu mô phỏng Monte Carlo (MC) chủ yếu của DeWitt et al, Hansen… 2.1.4.b. Phương pháp Hypernetted Chain Phương pháp Hypernetted Chain cho ta kết quả chính xác với các giá trị Г nhỏ đối với hệ plasma loãng. Còn với plasma đậm đặc thì phương pháp này cho ta kết quả khá sai lệch so với mô phỏng Monte Carlo gần đây nhất. Ta có hệ thức: ( ) exp ( ) ( )g r h r c r r Γ = − + −   (2.1.4.1) Với h(r) = g(r) -1: hàm phân bố xuyên tâm toàn phần, c(r) là hàm tương liên trực tiếp. Mối liên hệ giữa h(r) và c(r) qua hệ thức Orstein – Zernike: ' ' '( ) ( ) ( )h r c r d r c r r h rρ= + −∫     (2.1.4.2) Hai hệ thức (2.1.4.1) và (2.1.4.2) tạo thành hệ kín, khi đó ta sẽ thực hiện các bước lặp. Trong luận văn này ta cũng sử dụng số liệu mô phỏng Hypernetted Chain (HNC) chủ yếu của Carley, Springer, …. GHI CHÚ: Mô hình plasma hai thành phần Ngoài plasma một thành phần ta còn có plasma hỗn hợp. Tùy theo plasma đang xét được cấu tạo bởi một, hai hay ba loại ion mà được gọi là plasma một thành phần (One Component Plasma – OCP) mà ta đã khảo sát ở trên, plasma hỗn hợp hai thành phần (Binary Ionic Mixture – BIM), hay plasma hỗn hợp ba thành phần (Ternary Ionic Mixture – TIM). Tổng quát ta sẽ có plasma hỗn hợp nhiều thành phần (Multi Ionic Mixture – MIM). Các plasma BIM và TIM là các mô hình thực tế rất gần với cấu tạo của các sao Lùn Trắng. Phần lớn các sao này được tạo bởi hỗn hợp carbon và oxy còn lại sau khi khí heli cháy hết, và một số tạp chất như neon, chì. Các mô hình BIM và TIM đều được mô phỏng dựa trên các mô phỏng Monte Carlo được thực hiện cho mô hình plasma một thành phần OCP. Trong luận văn này ta chỉ nghiên cứu chủ yếu đến plasma loãng một thành phần. 2.2. Lí thuyết Debye – Hückel sử dụng cho plasma loãng Lí thuyết Debye - Hückel là phát minh của hai nhà khoa học 4TPeter Debye4T và 4TErich Hückel4T. Phương pháp này được phát triển từ năm 1923 để tính toán các giá trị nhiệt động lực học của dung dịch điện phân mạnh như bazơ mạnh, axít mạnh… Đây là một môi trường dung dịch ion, nếu xét về phương diện hạt tích điện thì các hệ vật lí này tương tự với môi trường plasma. Tuy nhiên thuyết Debye – Hückel chỉ được áp dụng trong trường hợp nồng độ dung dịch thấp (mức độ tập trung của các điện tích của hệ thấp), và không được áp dụng khi nồng độ dung dịch điện phân lớn hơn khoảng 100mM. Vì vậy đối với môi trường plasma, lí thuyết Debye – Hückel chỉ áp dụng cho plasma liên kết yếu (hay plasma loãng). 2.2.1. Phương trình Poisson – Boltzmann Ta xét một iôn mang điện tích q của một hệ plasma nào đó. Chọn gốc tọa độ tại vị trí iôn đang xét. Iôn này sẽ tương tác với các iôn khác và với các electron xung quanh bằng lực tĩnh đện. Do đó, xung quanh iôn này sẽ hình thành một đám mây tich điện dưới dạng đối xứng cầu. Để đơn giản ta xem như điện tích tập trung ở đám mây là phân bố liên tục, mật độ điện tích khối là ρ(R). Gọi V(R) là thế hiệu dụng (hay thế năng trung bình) do iôn đang xét và đám mây điện tích của nó gây ra. Như vậy để xác định được ρ(R) và V(R) ta cần thiết lập được hai phương trình: a. Phương trình Poisson Phương trình này thể hiện tính chất tĩnh điện, cho ta biết mối liên hệ giữa thế năng và mật độ điện tích tại mỗi điểm: [ ]( ) 4 . (0) 4 ( )V R eZ eZ n Rπ δ π ρ∆ = − + − (2.2.1a) Trong đó (0)δ là hàm delta Dirac, biểu thị mật độ điện tích ngay tại iôn đang xét. N là mật độ điện tích trung bình của các ion và ∆ là toán tử Laplace. Ta thấy: ( ) ZeV R R →  khi 0R → ( ) 0V R →  khi R →∞ b. Phương trình Boltzmann Giả sử rằng nhiệt độ của plasma đủ lớn, khi đó mật độ điện tích trong plasma tuân theo thông kê Boltzmann: . ( )( ) .exp ZeV RR n kT ρ − =    (2.2.1b) k: hằng số Boltzmann. kT: nhiệt năng trung bình. Thay (III.1.1a) vào (III.1.1b) ta được phương trình Poisson – Boltzmann như sau: . ( )( ) 4 . (0) 4 1 exp ZeV RV R eZ eZn kT π δ π   ∆ = − + − −     (2.2.1) 2.2.2. Thế Debye – Hückel Thế Yukawa đầu tiên được đưa vào vật lí hạt cơ bản để mô tả tương tác giữa hai nucleon và dẫn đến việc tiên đoán sự tồn tại của các meson [33]. Tuy nhiên, cho đến nay, khái niệm về thế tương tác dạng Yukawa đã được sử dụng rộng rãi để mô tả từ các quá trình hóa học đến các quá trình liên quan đến vật lí thiên văn, và đặc biệt, được xem như là dạng tổng quát hóa của thế Debye-Hückel khi ta khảo sát thế tương tác hiệu dụng giữa hai ion cách nhau một khoảng R của một hệ plasma loãng: ReV R α α − ∝ , (*) Trong đó, α là một tham số dương, đặc trưng cho tác dụng màn chắn của môi trường lên hai ion đang xét. Dạng tương tác (*) ở trên thường được áp dụng mà không xác định rõ các điều kiện cụ thể cho khoảng cách R cũng như giới hạn của mức độ loãng của môi trường như đã được chỉ ra trong các công trình [3, 33]. Trong luận văn sẽ đề nghị những giới hạn cho việc vận dụng thế Yukawa (*) cho plasma một thành phần liên quan đến khoảng cách liên ion cũng như đến tham số tương liên. Đồng thời, với công cụ tính toán mới, tôi sẽ đề cập đến việc xuất hiện hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma tương tác mạnh. Cơ sở của lí thuyết Debye-Hückel bắt đầu từ phương trình Poisson-Boltzmann (2.2.1). Để có được thế Debye - Hückel ta dùng thủ thuật đổi biến Rr a = và tính V(R) theo đơn vị của Ze a . Đặt ( ) ( ) / V Ry rV r Ze R = = (2.2.2) Do tính đối xứng cầu trong plasma xung quanh iôn đang xét và V(r) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r nên [ ] 2 2 2 2 1 1 ( )( ) . ( )d d y rV r r V r r dr r dr ∆ = = Phương trình Poisson - Boltzmann (2.2.1) cho hệ plasma OCP được diễn tả dưới dạng cô đọng như sau: 2 2 ( ) 3 1 exp ( )d y r r y r dr r  Γ = − −     (2.2.2a) Với các điều kiện biên: 0 lim ( ) 1 lim ( ) 0 r r y r y r → →∞ = = Biểu thị cho thế tương tác giữa hai iôn sẽ là thế Coulomb khi hai iôn này ở khoảng cách rất nhỏ (không còn hiệu ứng màn chắn) và khi ở đủ xa nhau thì thế này triệt tiêu. Trong biểu thức (2.2.2a) thì 2( )Ze akT Γ = là tham số tương liên dùng để đo lường mức độ của tính lưu chất trong một hệ OCP và thường quy ước 1Γ > cho plasma đậm đặc. Khi đó, thế năng tương tác Coulomb chiếm ưu thế so với năng lượng chuyển động nhiệt. Và 1 34 3 a nπ −  =     là bán kính hình cầu iôn (được thể hiện ở phần 2.1) với n là mật độ iôn. Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa thừa số Boltzmann với phép tính gần đúng: ePxP ≈ 1 + x khi 0 < x << 1. Khi đó với khoảng cách r đủ lớn, ta có hệ thức sau: exp ( ) 1 ( )y r y r r r Γ Γ − ≈ −    . Thế vào (2.2.2a) ta được: 2 2 ( ) 3 1 1 ( )d y r r y r dr r  Γ = − −     2 2 ( ) 3 ( )d y r y r dr ⇔ = Γ (2.2.2b) Phương trình (2.2.2b) là một phương trình vi phân cấp 2. Nghiệm tổng quát có dạng: 3 3( ) . .DH r ry r A e B eΓ − Γ= + Với các điều kiện biên ta suy ra A = 0, B = 1. Vậy 3( )DH ry r e− Γ= , được gọi là nghiệm Debye-Hückel, là một trường hợp đặc biệt của thế Yukawa. Từ nghiệm y RDHR ta suy ra thế trung bình: 3( )( ) r DH y r eV r r r − Γ = = (2.2.2c) Khi này, hàm phân bố xuyên tâm hay hàm tương quan cặp biểu thị cho xác suất gặp nhau của hai ion phụ thuộc thế trung bình V(r) theo hệ thức: 3( ) exp rDHg r er − ΓΓ = −   (2.2.2d) Đồng thời, nếu ta định nghĩa thế màn chắn như là tác dụng của môi trường ngoài lên tương tàc giữa hai ion thử: 1( ) ( )H r V r r = + , thì trong trường hợp này, ta có: 31( ) r DH eH r r − Γ− = (2.2.2e) 2.3. Những hạn chế của Thế Debye – Hückel Hàm phân bố xuyên tâm gRDHR(r) ở (2.2.2d) là một hàm tăng đơn điệu theo khoảng cách r, phù hợp với các kết quả mô phỏng Monte Carlo (MC) cho hệ plasma OCP loãng đã thực hiện cho đến nay bởi các tác giả khác nhau. Đồng thời, ta cũng nhận xét rằng kể từ một giá trị ΓRCR nào đó của tham số tương liên, bắt đầu xuất hiện các dao động tắt dần của hàm g(r), dấu hiệu của hiệu ứng trật tự địa phương ΓRCR. Theo các dữ liệu mô phỏng MC của DeWitt [20] ta thấy đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) ứng với Γ = 1 tăng đơn điệu theo khoảng cách liên kết iôn r và không xuất hiện dao động. Từ Γ = 3.174802 trở lên thì đồ thị g(r) bắt đầu xuất hiện dao động nhỏ, những dao động của g(r) tăng lên theo Γ và giảm dần khi r tăng. Hình 2.3.1: Thể hiện đường biểu diễn g(r) theo dữ liệu Monte Carlo của DeWitt ứng với Γ = 1, 3.174802, 5, 20, 80, 160 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 r g( r) g1 g3.174802 g5 g80 g160 g20 Theo các dữ liệu mô phỏng MC của Hansen [24] ta thấy đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) ứng với Γ = 2 tăng đơn điệu theo khoảng cách liên kết iôn r và không xuất hiện dao động. Từ Γ = 3, 4 thì đồ thị g(r) bắt đầu xuất hiện dao động nhỏ. Theo các dữ liệu mô phỏng của Brush ta thấy ứng với các Γ = 0.5, 1, 2.5 đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tăng đơn điệu theo khoảng cách liên kết iôn r và không xuất hiện dao động, Γ = 5 thì đồ thị g(r) xuất hiện dao động nhỏ. Như vậy, các nghiệm Debye – Hückel chỉ được chấp nhận với điều kiện CΓ < Γ , tức là đảm bảo cho hàm phân bố xuyên tâm g(r) không có dao động. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r g( r) g2 g3 g4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r g( r) g0.5 g1 g2.5 g5 Hình 2.3.2: Thể hiện đường biểu diễn g(r) theo dữ liệu Monte Carlo của Hansen ứng với Γ = 2, 3, 4 Hình III.3: Thể hiện đường biểu diễn g(r) theo dữ liệu Monte Carlo của Brush ứng với Γ = 0.5, 1, 2.5, 5 Mặt khác thế màn chắn HRDHR khi r nhỏ lại không đáp ứng được định lí tổng quát Widom. Vì khi khai triển Taylor của hàm H RDHR(r) quanh r = 0 ta thấy: 3 2 31 1 ( 3 ) ( 3 )( ) 1 1 3 ... 2 3! r DH e r rH r r r r − Γ   − − Γ − Γ = ≅ − − Γ + + +       21 1( ) 3 1 3 ... 2 2DH H r r r ⇔ ≅ Γ − Γ + Γ −    (2.3.1) Ta thấy hàm HRDHR(r) ở (2.3.1) vi phạm tính chẵn đối với biến r theo định lí Widom. Như vậy, lí thuyết Debye – Hückel chỉ đúng khi được xét ở khoảng cách liên iôn r > rRDHR nào đó đối với từng tham số tương liên Γ tương ứng. Hơn nữa, để sử dụng được phương pháp tuyến tính hóa thừa số Boltzmann ở (2.2.2b) thì ( ) 1y r r Γ  , tức là r phải lớn hơn một giá trị giới hạn rRDHR nào đó. Qua các mặt hạn chế nêu trên, ta thấy vùng áp dụng của thế Debye – Hückel là Г < ГRCR và r > rRDHR. Vì vậy, ta cần thiết phải cải tiến lí thuyết Debye – Hückel cho phù hợp với định lí Widom bằng cách đưa vào thế màn chắn dưới dạng đa thức bậc 8, luân phiên dấu như sau: 2 4 6 80 2 3 4 1( ) 4 H r h r h r h r h r= − + − + (r ≤ rRDHR) Vậy thế màn chắn H(r) sau khi được cải tiến để sử dụng cho plasma loãng là: 3 2 0 1 ( ) ( 1) r DH i i i DH i e khi r r rH r h r khi r r − Γ =  − >=   − ≤  ∑ Vấn đề này sẽ được phân tích rõ ở chương 3. CHƯƠNG 3: CẢI TIẾN THẾ DEBYE-HÜCKEL SỬ DỤNG CHO PLASMA LOÃNG MỘT THÀNH PHẦN Ở chương 2 ta nhận thấy rằng lí thuyết Debye – Hückel được áp dụng khi Γ < Γ RCR vì hàm g(r) bắt đầu xuất hiện dao động ở giá trị ngưỡng trật tự địa phương ΓRCR. Hơn nữa hàm g(r) tăng đơn điệu và tiệm cận với giá trị 1 khi r →∞ .R RMặt khác ta thấy khi so sánh với các dữ liệu Monte Carlo, thế màn chắn Debye - Hückel HRDHR(r) mắc một sai số rất lớn ở những khoảng cách r nhỏ, tới một khoảng cách r > rRDHR thì lí thuyết Debye – Hückel mới được áp dụng. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 r Γ = 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 r Γ = 3.174802 Hình 3.1: Đường liền nét biểu diễn HDH(r) theo công thức (2.2.2e), các chấm tròn biểu diễn H(r) theo công thức 1 1( ) ln ( )H r g r r = + Γ , với g(r) theo bảng dữ liệu Monte Carlo ứng với Γ = 1 của DeWitt. Hình 3.2: Đường liền nét biểu diễn HDH(r) theo công thức (2.2.2e), các chấm tròn biểu diễn H(r) theo công thức 1 1( ) ln ( )H r g r r = + Γ , với g(r) theo bảng dữ liệu Monte Carlo ứng với Γ = 3.174802 của DeWitt. Trái với mô phỏng MC có thể cho ta các giá trị chính xác của hàm phân bố xuyên tâm g(r) đối với plasma đậm đặc, các mô phỏng HyperNetted Chain (HNC) tỏ ra chính xác hơn cho những hệ plasma loãng (như đã trình bày ở chương ). Qua các số liệu cho bởi dữ liệu MC và HNC đối với các giá trị của tham số không quá lớn : 10Γ ≤ cho thấy ta có thể viết đa thức Widom (2.1.3) giới hạn ở bậc 8 với độ chính xác tương đương với độ chính xác của MC là khoảng 0.2%, tức là ta sẽ chấp nhận dạng: 4 2 4 6 8 2 0 2 3 4 0 1( ) ( 1) 4 i i i i H r h r h r h r h r h r = = − + − + = −∑ (3a) Vì vậy ta có thể dùng hệ thức trên để mở rộng độ chính xác của lí thuyết Debye – Hückel cho những khoảng cách DHr r≤ . Một lý do khác khiến ta chỉ khai triển hàm H(r) đến bậc 8 vì đối với plasma loãng các số hạng từ bậc 10 trở lên rất bé gần như bằng không, nên xem như không ảnh hưởng đáng kể đến hàm H(r). Qua các yếu tố nêu trên ta sẽ sử dụng thế màn chắn H(r) dưới dạng: 3 4 2 0 1 ; ( ) ( 1) ; r DH i i i DH i e r r rH r h r r r − Γ =  − >=   − ≤  ∑ (3b) Trong chương này ta sẽ đi tìm biểu thức hR0R của đa thức 4 2( ) ( 1)i ii i o H r h r = = −∑ . Bên cạnh đó còn đề cập đến những công trình hR0R mới nhất của nhiều tác giả. Tiếp đến, ta sẽ thiết lập các biểu thức hệ số hR2R, hR3R, hR4R của đa thức 4 2( ) ( 1)i ii i o H r h r = = −∑ . Sau đó, ta tìm biểu thức rRDHR(Γ). Cuối cùng ta sẽ đi tìm giá trị ngưỡng trật tự địa phương ΓRCR. 3.1. Các hệ số của đa thức thế màn chắn H(r) Trong phần này, ta sẽ xác định các hệ số hRiR của đa thức Widom (3a) bằng cách xác định tạm thời các hệ số h RiR trên qua việc tối thiểu hóa ∆g của g(r) có được từ đa thức này với các dữ liệu MC và HNC của g(r). Một khi đã có số liệu do hR0R ứng với mỗi Γ, ta sẽ thiết lập biểu thức giải tích cho hR0R. Với biểu thức h R0R ta ta lặp lại phép tính tối thiểu ∆g để tìm lại giá trị của h R2R, hR3R, hR4R. Khi đó, các biểu thức hRiR với i ≠ 0 sẽ được đề nghị tiếp theo. Bảng 3.1: Sơ đồ thể hiện quá trình tìm các hệ số của đa thức thế màn chắn H(r) 3.1. 1. Biểu thức h0 của đa thức thế màn chắn H(r) Yes Chấp nhận các biểu thức các hệ số hi của thế màn chắn H(r) No Số liệu h0 Biểu thức giải tích của hệ số h0 No Yes Số liệu h2, h3, h4 Biểu thức giải tích của các hệ số h2, h3, h4 Biểu thức thế màn chắn H(r) ∆g cỡ vài phần ngàn ∆g cỡ vài phần ngàn Tối thiểu hóa ∆gmin Các số liệu liên quan đến hệ số hR0R của đa thức 4 2( ) ( 1)i ii i o H r h r = = −∑ là một đề tài thảo luận sôi nổi từ nhiều năm nay do vai trò quan trọng của hệ số này trong sự khuếch đại phản ứng áp suất hạt nhân xảy ra ở một số thiên thể có mật độ khối lượng lớn như trong sao lùn trắng, sao neutron,... Bằng phương pháp tối ưu hóa sự tương hợp giữa hệ thức (3a) và các dữ liệu số MC, ta có thể tìm hR0R trong luận văn này qua các bước sau : Từ bảng dữ liệu theo mô phỏng Monte Carlo, ta có các giá trị r và g(r) tương ứng với từng Γ, ta suy ra các giá trị H(r) theo công thức: 1 1( ) ln ( )H r g r r = + Γ (3.1.1) Với bộ số r và H(r) ta chạy chương trình Matlab tìm được biểu thức giải tích là một đa thức bậc chẵn (bậc 8) luân phiên dấu có dạng: 2 4 6 80 1 2 3 4( )H r h h r h r h r h r= − + − + (3.1.2) Trong đó hR1R = 0.25, gọi là hệ số Jancovici (đã được Jancovici tính chính xác bằng vật lý thống kê). Để kiểm chứng mức độ chính xác của đa thức (3.1.2), ta thế các giá trị H(r) nhận được từ (3.1.2) vào biểu thức: 1( ) exp ( ( ))g r H r r  = −Γ −    (3.1.3) Ta so sánh giá trị g(r) ở biểu thức (3.1.3) với giá trị g(r) có được từ bảng dữ liệu Monte Carlo để tìm sai số ∆g. Trong mọi trường hợp ∆g phải luôn cỡ phần nghìn. Ta rút ra các hR0R từ các biểu thức giải tích (3.1.2) tương ứng với từng Γ. Từ đó ta tìm được biểu thức hR0R theo Γ bằng việc lập trình Matlab. Bên cạnh đó ta so sánh với các biểu thức hR0R gần đây nhất đã được đề nghị bởi nhiều tác giả khác nhau. 3.1.1.1. Khảo sát Γ 3.1.1.1a. Khảo sát Γ = 0.1 của Carley [16] 2 4 6 8( ) 0.515 0.25 0.2645 0.1251 0.0196H r r r r r= − + − + Ta thấy ∆g cỡ 0.9‰. Vậy ứng với Γ = 0.1, ta chọn hR0 R= 0.515 3.1.1.1b. Khảo sát Γ = 0.2 của Carley [16] 2 4 6 8( ) 0.6615 0.25 0.1241 0.02857 0.002212H r r r r r= − + − + 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10 -3 Hình 3.1.1: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. Hình 3.1.2: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. r r H(r) Ta thấy ∆g cỡ 2.8‰. Vậy ứng với Γ = 0.2, ta chọn hR0 R= 0.6615. 3.1.1.1c. Khảo sát Γ = 0.5 của Springer [30] 2 4 6 8( ) 0.8741 0.25 0.05385 0.005343 0.0001871H r r r r r= − + − + 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -4 -2 0 2 4 x 10 -3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.2 0.4 0.6 0.8 Hình 3.1.3: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là các giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. Hình 3.1.4: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.5: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. H(r) r r H(r) r Ta thấy ∆g cỡ 8‰. Vậy ứng với Γ = 0.5, ta chọn hR0 R= 0.8741. 3.1.1.1d. Khảo sát Γ = 1 của DeWitt [20] 2 4 6 5 8( ) 0.9586 0.25 0.04873 0.004362 (9.363.10 )H r r r r r−= − + − + 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.5 1 1.5 2 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 Hình 3.1.6. Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.7: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte r r r H(r) Ta thấy ∆g cỡ 9.1‰. Vậy ứng với Γ = 1 ta chọn hR0 R= 0.9586. 3.1.1.1e. Khảo sát Γ = 3.174802 của DeWitt [20] 2 4 6 5 8( ) 1.057 0.25 0.03774 0.002752 (6.88.10 )H r r r r r−= − + − + Ta thấy ∆g cỡ 5.2‰. Vậy ứng với Γ = 3.174802 ta chọn hR0 R= 1.0570. 3.1.1.1f. Khảo sát Γ = 5 của DeWitt [20] 2 4 6 5 8( ) 1.078 0.25 0.03498 0.002284 (5.016.10 )H r r r r r−= − + − + 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -2 0 2 4 6 x 10 -3 Hình 3.1.8: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.10: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.9: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. r r H(r) Ta thấy ∆g cỡ 8.1‰. Vậy ứng với Γ = 5 ta chọn hR0 R= 1.0780. 3.1.1.1g. Khảo sát Γ = 10 của DeWitt [20] 2 4 6 6 8( ) 1.092 0.25 0.03254 0.001702 (8.5.10 )H r r r r r−= − + − + 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.5 1 1.5 2 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.5 1 1.5 2 2.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Hình 3.1.12: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.13: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. Hình 3.1.11: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. r r H(r) r H(r) Ta thấy ∆g cỡ 7.9‰. Vậy ứng với Γ = 10 ta chọn hR0 R= 1.0920. 3.1.1.1h. Khảo sát Γ = 20 của DeWitt [20] 2 4 6 5 8( ) 1.091 0.25 0.03381 0.00219 (5.349.10 )H r r r r r−= − + − + 0.5 1 1.5 2 2.5 -5 0 5 x 10-3 0.5 1 1.5 2 2.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Hình 3.1.14: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.15: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. r r H(r) Ta thấy ∆g cỡ 4.8‰. Vậy ứng với Γ = 20 ta chọn hR0 R= 1.0910. 3.1.1.1k. Khảo sát Γ = 40 của DeWitt [20] 2 4 6 5 8( ) 1.086 0.25 0.03428 0.002284 (5.903.10 )H r r r r r−= − + − + 0.5 1 1.5 2 2.5 -6 -4 -2 0 2 4 x 10 -3 0.5 1 1.5 2 2.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hình 3.1.16: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.17: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. r r H(r) Ta thấy ∆g cỡ 6‰. Vậy ứng với Γ = 40 ta chọn hR0 R= 1.0860. 3.1.1.1i. Khảo sát Γ = 80 của DeWitt [20] 2 4 6 5 8( ) 1.081 0.25 0.03489 0.00238 (6.299.10 )H r r r r r−= − + − + 0.5 1 1.5 2 2.5 -6 -4 -2 0 2 4 x 10 -3 1 1.5 2 2.5 0.4 0.6 0.8 1 1 1.5 2 2.5 -6 -4 -2 0 2 4 x 10 -3 Hình 3.1.18: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.19: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. r r H(r) r Ta thấy ∆g cỡ 5.8‰. Vậy ứng với Γ = 80 ta chọn hR0 R= 1.0810. 3.1.1.1j. Khảo sát Γ = 160 của DeWitt [20] 2 4 6 5 8( ) 1.075 0.25 0.03546 0.002461 (6.549.10 )H r r r r r−= − + − + Ta thấy ∆g cỡ 5.4‰. Vậy ứng với Γ = 160 ta chọn hR0 R= 1.0750. Tóm lại, từ các khảo sát trên các sai số ∆g khoảng vài phần ngàn (tương đương với sai số của mô phỏng, ta có bảng số liệu của hệ số hR0R như sau: 1 1.5 2 2.5 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1 1.5 2 2.5 -2 0 2 4 6 x 10 -3 Hình 3.1.20: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.22: Đồ thị biểu diễn sai số ∆g. Hình 3.1.21: Đường liền nét biểu diễn thế màn chắn H(r), các chấm tròn là những giá trị H(r) tính được từ số liệu Monte Carlo. r r H(r) Bảng1: Giá trị số của hR0R theo tham số Γ Γ hR0 0.1 0.5150 0.2 0.6615 0.5 0.8741 1 0.9586 3.174802 1.0570 5 1.0780 10 1.0920 20 1.0910 40 1.0860 80 1.0810 160 1.0750 3.1.1.2. Theo nghiên cứu của L. R. Gasque et al [21] Ở giới hạn chế độ nhiệt hạt nhân cổ điển tương ứng với 1Γ << thì 1/20 3h → Γ , L. R. Gasque et al đã đề nghị hệ thức: 1/2 0 1/44 2 1.0754 1.0754 3 Gh Γ =    + Γ       (3.1.4a) Ta thấy biểu thức hR0GR cho giá trị hR0R có sai số tương đối nhỏ hơn 5.6‰ đối với các 80Γ ≥ , còn đối với các Γ khác thì sai số là khá lớn (cỡ 8.29%). Tuy nhiên theo các tác giả, các sai số trên là chấp nhận được nếu so sánh với sai số do phép tính thừa số vật lí thiên văn S(ε). Dựa vào công thức (3.1.4a) của L. R. Gasque et al ta đề nghị biểu thức sau: -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0.4 0.6 0.8 1 -4 -2 0 2 4 6 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Hình 3.2.1a: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.4a) theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1. Hình 3.2.1b: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức (3.1.4a) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1. ln Γ h0 ln Γ ( ) 1/2 0 1/44 2 1.074 0.7101 h Γ=  + Γ  (3.1.4b) Ta thấy hệ thức hR0R đề nghị cho giá trị hR0R có sai số tương đối nhỏ hơn 7‰ đối với các 80Γ ≥ , còn đối với các Γ khác thì sai số là khá lớn (cỡ 5.63%) 3.1.1.3. Theo nghiên cứu của A. I. Chugunov [17] -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0.4 0.6 0.8 1 -4 -2 0 2 4 6 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 Hình 3.2.1c: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.4b) theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1. Hình 3.2.1d: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức (3.1.4b) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1. ln Γ ln Γ h0 1/2 3 31 10 2 2 42 1 CHU A BA Bh B BA   ΓΓ = Γ + + +  + Γ + Γ + Γ+ Γ  (3.1.5a) với 1 2.7822A = , 2 98.34A = , 3 1 23 / 1.4515A A A= − = 1 1.7476B = − , 2 66.07B = , 3 1.12B = , và 4 65B = Đặc điểm của hệ thức (3.1.5a) ở trên là ta thu được dạng tiệm cận: 1/20 3CHUh = Γ (3.1.5b) đối với Γ rất bé. Các giá trị của h R0R tương ứng với hai hệ thức trên sẽ trùng nhau (với sai số 0.3‰) kể từ giá trị 0.0032Γ ≤ , tức là đối với plasma cực kì loãng. -6 -4 -2 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Hình 3.2.2a: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.5a) theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1. Hình 3.2.2b: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức (3.1.5b) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1. ln Γ h0 ln Γ Ta thấy biểu thức hR0CHUR cho giá trị hR0R có sai số tương đối nhỏ hơn 3.72% cho các 10Γ < , đối với 10Γ ≥ sai số nhỏ hơn 8.7‰. Dựa vào công thức (3.1.5a) của A. I. Chugunov và các giá trị số của h R0R được cho bởi bảng I, ta có thể đề nghị hai hệ thức sau: a. 1/2 3 31 10 2 2 42 1 A BA Bh B B cA b   ΓΓ = Γ + + +  + Γ +Γ + +Γ+ +Γ  (3.1.5c) với 1 2.776A = , 2 98.34A = , b = -90.51, 3 0.665A = 1 1.7476B = − , 2 2.777B = , 3 1.692B = , c = -25.56 và 4 65B = Ta có được (3.1.5c) từ việc lập trình Matlab với các số liệu đã có ở bảng 1. -6 -4 -2 0 2 4 6 0 0.5 1 1.5 2 Hình 3.2.2c: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.5a) theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1, đường đứt nét biểu diễn h0 theo công thức (3.1.5b). ln Γ h0 Ta nhận thấy với các hệ số được hiệu chỉnh ở trên, ta có sai số giữa hệ thức (1.5c) và số liệu hR0R ở bảng 1 tốt hơn khoảng 1.2% nhưng hệ thức: 3 1 23 /A A A= − không được nghiệm đúng. b. [ ] 1/2 5 0 1 3 ln(1 ) 1 i i i h a = Γ = + + Γ + Γ ∑ (3.1.5d) Với các hệ số được cho bởi bảng dưới đây: -4 -2 0 2 4 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 a1 a2 a3 a4 a5 0.03198 0.2323 -0.08435 0.01171 -0.000579 Hình 3.2.2d: Đường liền nét biểu diễn h0 ở công thức (3.1.5c) theo lnΓ, các chấm tròn biểu diễn h0 theo các số liệu ở bảng 1, đường đứt nét biểu diễn h0 theo công thức (3.1.5a). Hình 3.2.2e: Đồ thị biểu diễn sai số h0 ở công thức (3.1.5c) theo lnΓ so với số liệu ở bảng 1. ln Γ ln Γ h0 Ta nhận thấy sai số giữa hệ thức được đề nghị (3.1.5d) và số liệu h R0R ở bảng 1._.