Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann

UYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy Nguyễn Thái Sơn. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy – người đã từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cảm ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Tốn – Tin trường ðại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên mơn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn quý thầy cơ phịng khoa học cơng nghệ và sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này. Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Bình ðơng – Tiền Giang đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học. Sau cùng chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp đã trao đổi, gĩp ý và động viên tác giả rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2008 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hồng 2 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn ........................................................................................... 1 Mục lục ................................................................................................ 2 MỞ ðẦU ............................................................................................. 4 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ....................................... 8 1.1. Khơng gian phức nℂ ................................................................ 8 1.2. ðịnh nghĩa hàm chỉnh hình....................................................... 8 1.3. ðịnh nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình.................. 9 1.4. Hàm điều hịa dưới, hàm đa điều hịa dưới................................ 10 1.5. Bao đa điều hịa dưới ................................................................ 12 1.6. Nguyên lý mơđun cực đại ......................................................... 15 1.7. Khơng gian Banch hyperbolic................................................... 17 1.8. Tập cực và tập đa cực ............................................................... 18 1.9. ðiều kiện lồi – đĩa yếu và tính chất........................................... 18 1.10. ðịnh lý Shiffmann .................................................................. 19 Chương 2. THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT ........... 20 2.1. ðịnh lý Kwack.......................................................................... 20 2.2. Mở rộng định lý Kwack sang vơ hạn chiều............................... 21 2.3. ðịnh lý thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs................................ 25 Chương 3. THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA CÁC TẬP CỰC ... 29 3.1. Thác triển chỉnh hình qua tập cực ............................................. 29 3.1.1. ðịnh nghĩa tập cực và tính chất......................................... 29 3.1.2. Ký hiệu............................................................................. 30 3 3.1.3. ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập đa cực đĩng ............ 31 3.2. Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn......................... 38 3.2.1. ðịnh lý Noguchi ............................................................... 38 3.2.2. ðịnh nghĩa tập cực loại hữu hạn ....................................... 39 3.2.3. ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn đĩng với tập giá trị là khơng gian giả lồi........................... 39 3.2.4. ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn đĩng với tập giá trị là mặt Riemann compact hyperbolic .. 42 3.3. Miền Hartogs và thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn .................................................................................... 43 3.3.1.ðịnh nghĩa ......................................................................... 43 3.3.2. Tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn (SPEP) ................................................................ 43 3.3.3. ðịnh lý về quan hệ giữa tính chất (SPEP) của khơng gian giải tích Banach và miền Hartogs của nĩ .......................... 48 KẾT LUẬN ......................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 52 4 MỞ ðẦU 1. Lý do chọn đề tài: Thác triển chỉnh hình là một trong những bài tốn trung tâm của Giải tích phức hữu hạn cũng như vơ hạn chiều. Trên thế giới cĩ nhiều nhà tốn học quan tâm tới vấn đề này và trong khoảng hơn 3 thập kỷ qua đã cĩ nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng như Shiffman, Nguyen Thanh Van, Ahmed Zeriahi, … Ở Việt Nam hình thành một nhĩm khá mạnh nghiên cứu về bài tốn này, trong đĩ nổi bật các nhà khoa học Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khối, ðỗ ðức Thái và Lê Mậu Hải. Cho đến nay việc thác triển ánh xạ chỉnh hình cĩ hai dạng đáng chú ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay cịn gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Trong đĩ trường hợp đặc biệt nhưng quan trọng là với điều kiện nào của khơng gian phức X thì mọi ánh xạ chỉnh hình từ 2( )H r X→ cĩ thể thác triển chỉnh hình tới 2∆ , ở đây 0 1r< < và { } { }2 22 1 2 1 1 2 2( ) ( , ) :| | ( , ) :| | 1H r z z z r z z z r= ∈ ∆ − với { }C: |z| <1z∆ = ∈ Dạng 2: Thác triển ánh xạ qua các tập mỏng (tức là các tập cĩ độ đo Lebegue bằng 0), chẳng hạn qua tập các điểm kỳ dị cơ lập, qua siêu mặt hoặc qua tập đa cực đĩng. Thác triển kiểu này được gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. 5 Trong đa số các trường hợp thì thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ ra khĩ hơn rất nhiều so với thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Như vậy việc thác triển chỉnh chình kiểu Riemann là phương hướng thứ hai của bài tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình. Nĩ đã được quan tâm nghiên cứu từ lâu bởi rất nhiều nhà tốn học lớn. Cùng với sự hình thành của ngành giải tích phức hyperbolic, phương hướng nghiên cứu nĩi trên đã cĩ những tiến bộ đáng kể, đặc biệt là việc nghiên cứu bài tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình qua điểm thủng. Từ định lý Kwack, ðỗ ðức Thái đã cĩ những cơng trình nghiên cứu về tính chất *∆ - thác triển. Năm 1995, ðỗ ðức Thái đã chứng minh được rằng nếu X là một khơng gian phức cĩ tính chất 1 – thác triển chỉnh hình thực sự qua tập đa cực thì nĩ cĩ tính chất n - thác triển chỉnh hình thực sự qua tập đa cực với mọi n 2≥ . Dựa vào lịch sử của vấn đề được nêu trên, chúng tơi nhận thấy vai trị quan trọng của việc nghiên cứu bài tốn thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. ðể cĩ thể đọc được và hiểu biết các kiến thức cĩ liên quan, tơi đã được giảng viên hướng dẫn tạo điều kiện để tiếp xúc với các tài liệu khoa học và các sách giáo khoa nâng cao về giải tích phức. ðĩ cũng là một cơ hội cho bản thân tơi để củng cố các kiến thức về tơpơ. Hơn nữa việc tìm hiểu bài tốn thác triển chỉnh hình kiểu Riemann cũng là cơ sở cho việc tìm hiểu một cách tồn diện bài tốn thác triển chỉnh hình. ðĩ là lý do chúng tơi chọn đề tài Luận văn là 6 “Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann” 2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu bài tốn thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. 3. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu. Tơ pơ và Hình học giải tích phức. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài. Tìm hiểu bài tốn thác triển chỉnh hình kiểu Reimann, từ cơ sở đĩ tìm hiểu một cách tồn diện bài tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình. 5. Cấu trúc luận văn. Nội dung của Luận văn này gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể như sau: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của bài tốn được nghiên cứu. Chương 1: Trình bày các định nghĩa và các kết quả đã được viết thành giáo khoa cĩ liên quan đến đề tài. Do kiến thức về tơpơ và giải tích của các tác giả cĩ liên quan đến bài tốn chủ yếu do tự nghiên cứu tài liệu, do đĩ chúng tơi trình bày khá chi tiết về các nội dung này. Chương 2: Thác triển chỉnh hình qua siêu mặt. Xuất phát định lý về tính chất *∆ −thác triển mà cĩ thể được xem là một sự mở rộng của định lý Kwack từ một chiều sang vơ hạn chiều, chúng tơi tìm hiểu bài tốn thác triển chỉnh hình qua siêu mặt. Chương 3: Thác triển chỉnh hình qua các tập cực. 7 Trước hết chúng tơi tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua các tập cực và sau đĩ thác triển chỉnh hình qua các tập cực loại hữu hạn. Ngồi ra, chúng tơi cũng tìm hiểu về miền Hartogs và liên quan đến tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn. Phần kết luận: ðưa ra các nhận xét của bản thân tác giả về các kết quả đã tìm hiểu được, đồng thời qua đĩ phát thảo các hướng nghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới nếu thời gian và điều kiện cho phép. Trong Luận Văn này, chúng tơi tìm hiểu các kết quả nĩi trên để củng cố kiến thức của mình và đồng thời nghiên cứu việc thác triển chỉnh hình qua các tập cực đĩng và sau đĩ nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn và tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn. Do thời gian cĩ hạn và nội dung kiến thức quá mới, chúng tơi chỉ dừng lại ở chỗ tìm hiểu các bài báo và trình bày lại theo hiểu biết của mình. 8 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, chúng tơi đọc và sử dụng một số kiến thức thuộc chương trình tơpơ và giải tích phức trong chương trình đại học. Ngồi ra các kiến thức nâng cao cũng được tìm kiếm trong các bài báo của các tác giả cĩ liên quan. Do đĩ, để luận văn được mạch lạc và tiện theo dõi, trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức chuẩn bị. 1.1. Khơng gian phức nℂ Xét khơng gian Eulide số chiếu chẵn 2nℝ , các điểm của nĩ là các bộ cĩ thứ tự 2n số thực ( )1 2 2nx ,x , ...,x . Ta đưa vào trong đĩ cấu trúc phức, bằng cách đặt ( )v v n vz x ix v 1, ...,n+= + = . Thường ta ký hiệu n v vx y+ = nên ( )v v vz x iy v 1, ...,n= + = . Khơng gian mà điểm là những bộ n số phức (hữu hạn) ( ) { }1 n vz z ,...,z z= = sẽ gọi là khơng gian phức n chiều và ký hiệu là nℂ . ðặc biệt khi n = 1, ta cĩ 1 =ℂ ℂ là mặt phẳng số phức. Cĩ thể xem rằng, với n tùy ý, khơng gian nℂ là tích n mặt phẳng phức n n lâ n` ...= × × ×ℂ ℂ ℂ ℂ . 1.2. ðịnh nghĩa hàm chỉnh hình • ðịnh nghĩa 1 9 Hàm f, xác định trong lân cận nào đĩ của điểm nz∈ℂ , được gọi là khả vi tại điểm đĩ theo nghĩa giải tích phức ( n −ℂ khả vi), nếu nĩ 2n −ℝ khả vi tại đĩ và tại điểm này ( ) v f 0 v 1,...,n z ∂ = = ∂ tức là vi phân cĩ dạng 1 n 1 n f fdf dz ... dz . z z ∂ ∂ = + + ∂ ∂ • ðịnh nghĩa 2 Hàm n −ℂ khả vi tại mỗi điểm của lân cận nào đĩ của điểm 0 nz ∈ℂ , được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm 0z . Hàm chỉnh hình tại mỗi điểm của tập mở nào đĩ nΩ⊂ℂ ( đặc biệt là các miền) được gọi là chỉnh hình trên tập Ω , kí hiệu là ( )H Ω . 1.3. ðịnh nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình • ðịnh nghĩa 1 Miền G chứa miền Ω trong nℂ gọi là mở rộng chỉnh hình của Ω nếu mọi hàm chỉnh hình trên Ω cĩ thể mở rộng tới một hàm chỉnh hình trên G. a) Giả sử Ω là mở trong nℂ và K là compact trong Ω với \ KΩ liên thơng, thì Ω là miền mở rộng chỉnh hình của \ KΩ nếu n > 1. b) Nếu G là mở rộng chỉnh hình của Ω thì ( ) ( )f f GΩ = với mọi hàm f chỉnh hình trên G. Thật vậy nếu khơng tồn tại hàm f chỉnh hình trên G và ( ) ( )0 f G \ fω ∈ Ω . Khi đĩ hàm ( ) ( ) 0 1g z , z f z ω = ∈Ω − chỉnh hình trên Ω khơng thể mở rộng chỉnh hình tới G. 10 c) Nếu Ω là bị chặn cịn G là mở rộng chỉnh hình của Ω , thì G bị chặn. Thật vậy theo b) ( ) ( )j jz G z j 1,n= Ω ∀ = và vậy thì G bị chặn nếu Ω bị chặn. • ðịnh nghĩa 2 Miền Ω n⊂ℂ gọi là miền chỉnh hình hay miền tồn tại của hàm f chỉnh hình trên Ω nếu khơng thể mở rộng chỉnh hình f tới một miền lớn hơn Ω . Nĩi một cách chính xác khai triển của f thành chuỗi lũy thừa tại mọi 0z Ω∈ khơng thể hội tụ trong một đa đĩa ( )0P z ,r với ( )0r z , Ωρ> ∂ . • ðịnh nghĩa 3 a) Giả sử Ω là một miền trong nℂ . Với mọi tập compact K Ω⊂ đặt  ( ) ( ){ }Ω kK z Ω : f z f , f H Ω= ∈ ≤ ∀ ∈ Tập ΩK gọi là bao lồi chỉnh hình của K trong Ω . b) Miền Ω gọi là lồi chỉnh hình nếu ΩK là compact với mọi tập compact K trong Ω . 1.4. Hàm điều hịa dưới, hàm đa điều hịa dưới • ðịnh nghĩa hàm điều hịa dưới
ðịnh nghĩa 1 Hàm hai biến thực u ( x, y) trên miền D 2⊂ ℝ gọi là điều hịa nếu nĩ cĩ các đạo hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 u u u 0 x y ∂ ∂∆ = + = ∂ ∂ u∆ được gọi là tốn tử Laplace.
ðịnh nghĩa 2 Hàm [ )u : D ,→ −∞ + ∞ được gọi là nửa liên tục trên nếu 11 ( ) ( ) o o z z lim supu z u z → ≤ với mọi oz D∈ . Một cách tương đương [ )( )1u , a− −∞ là mở với mọi a−∞ < <+ ∞ .
ðịnh nghĩa 3 Hàm [ )u : D ,→ −∞ + ∞ được gọi là hàm điều hịa dưới nếu a) u nửa liên tục trên. b) ðối với mọi hình trịn U với U D⊂ và mọi hàm điều hịa h trên U liên tục trên U từ h u≥ trên U∂ suy ra h u≥ trên U. • ðịnh nghĩa hàm đa điều hịa dưới
ðịnh nghĩa Hàm nửa liên tục trên [ ): ,ϕ Ω → −∞ + ∞ với Ω là mở trong nℂ gọi là đa điều hịa dưới nếu với mọi z∈Ω và n , 0ω ω∈ ≠ℂ hàm ( )zτ ϕ τω→ + là điều hịa dưới trong một lân cận của 0∈ℂ . Ký hiệu ( )P Ω là tập các hàm đa điều hịa dưới trong Ω . Ví dụ: Nếu ( )f H∈ Ω thì f và log f là hàm đa điều hịa dưới.
ðịnh lý Giả sử ϕ là hàm lớp 2ℂ trên mở nΩ ∈ℂ . Khi đĩ ϕ là đa điều hịa dưới nếu và chỉ nếu ( ) ( ) 2n n ij ii , j 1 j L z, z 0 z và z z ϕ ϕ ω ω ω Ω ω = ∂ = ≥ ∀ ∈ ∈ ∂ ∂∑ ℂ . Chứng minh. ðịnh lý nhận được từ đẳng thức sau ( ) 2 2n n j i ii, j 1 j u z z và z z ϕ ω ω ω τ τ = ∂ ∂ = ∀ ∈Ω ∈ ∂ ∂ ∂ ∂∑ ℂ ở đây 12 ( ) ( )u zτ ϕ τω= + . 1.5. Bao đa điều hịa dưới • ðịnh nghĩa Giả sử Ω là miền trong nℂ cịn K compact trong Ω . Tập  ( ) ( ){ }PΩ K K z Ω : z sup P Ωφ φ φ= ∈ ≤ ∀ ∈ gọi là bao đa điều hịa dưới của K trong Ω . Bây giờ giả sử δ là hàm liên tục tùy ý trên nℂ sao cho 0δ> trừ tại 0 và ( ) ( )tz t zδ δ= ( cĩ thể lấy δ là một chuẩn tùy ý trên nℂ ). ðặt ( ) ( ){ } ( ){ } z, Ω inf z : Ω inf z : Ω δ δ ω ω δ ω ω ∂ = − ∈∂ = − ∉ Rõ ràng ( )z, Ωδ ∂ là liên tục trên Ω . • ðịnh lý Nếu Ω là một miền trong nℂ , các điều kiện sau là tương đương (i) ( )log δ z, Ω− ∂ là đa điều hịa dưới. (ii) Tồn tại hàm đa điều hịa dưới liên tục φ vét cạn Ω , cĩ nghĩa là ( ){ }cΩ φ z c= < là compact tương đối trong Ω với mọi c∈ℝ . (iii)  PΩK compact nếu K compact trong Ω . Chứng minh 13 ( ) ( )i ii⇒ Hiển nhiên hàm ( ) ( )2z z log z, Ωφ δ= − ∂ là đa điều hịa dưới vét cạn của Ω . ( ) ( )ii iii⇒ là hiển nhiên vì ( )log z, Ω khi z Ωδ− ∂ →+∞ →∂ . ( ) ( )iii ii⇒ Cho oz Ω∈ và nω∈ℂ . Ta cần chứng minh hàm ( )oz log z , Ωδ τω→− + ∂ là điều hịa dưới trong mọi hình trịn { }oD z : r Ωτω τ= + ≤ ⊂ . Giả sử u là hàm liên tục trên D điều hịa trong D sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o fo log z , Ref , r hay 1 z , e , r τ δ τω τ τ δ τω τ − + ∂Ω ≤ = + ∂Ω ≥ = Chọn hàm f liên tục trên D và chỉnh hình trong D sao cho u = Ref. Hàm như vậy tồn tại do D đơn liên. Viết (1) trong dạng ( ) ( )olog z , Ref rδ τω τ τ− + ∂Ω ≤ ∀ = (2) Chúng ta muốn chứng minh (2) thực hiện trên rτ ≤ . ðối với mỗi na ∈ℂ với ( )a 1δ < xét với mỗi 0 1λ≤ ≤ ánh xạ ( )foz ae , rττ τω λ τ−→ + + ≤ Ký hiệu Dλ là ảnh của nĩ. Rõ ràng Do = D. ðặt { }0 1: Dλλ∧ = ≤ ≤ ⊂ Ω . Hiển nhiên ∧ là tập con của đoạn [0, 1]. Ta kiểm tra lại ∧ là đĩng trong [0, 1] và vậy thì ∧ = [0, 1]. ðặt ( ){ }foK z ae : r, 0 1ττω λ τ λ−= + + = ≤ ≤ Bởi (1) K là compact trong Ω . Nếu ( )Pϕ ∈ Ω thì 14 ( )( )foz ae ττ ϕ τω λ −→ + + là điều hịa dưới trong một lân cận của rτ ≤ . Vậy thì ( )( )fo K z ae supτϕ τω λ ϕ−+ + ≤ nếu rτ ≤ . Cĩ nghĩa   P P D K . Do K compact trong suy raλ λΩ Ω⊂ ∀ ∈∧ Ω ∧ là đĩng. Như vậy 1D ⊂ Ω . ðĩ là ( )foz ae ττω λ −+ + ∈Ω nếu ( )a 1 và rδ τ< ≤ . Vậy thì ( ) ( ) ( ) ( ) fo o z , e , r hay log z , Ref , r. τδ τω τ δ τω τ τ −+ ∂Ω ≥ ≤ − + ∂Ω ≤ ≤ Và (i) đã được chứng minh xong. • ðịnh nghĩa Miền nΩ ⊂ℂ gọi là giả lồi nếu nĩ thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương của định lý 1.4.2. Bởi vì ( ) ( )f P f H∈ Ω ∀ ∈ Ω ta cĩ   P K KΩ Ω⊆ . Vậy ta cĩ hệ quả sau. • Hệ quả ðối với miền nΩ ⊂ℂ ba khẳng định sau là tương đương. (i) Ω là miền chỉnh hình (ii) Ω là miền lồi chỉnh hình (iii) Ω là miền giả lồi. 15 1.6. Nguyên lý mơ đun cực đại • ðịnh lý ( Hàm một biến phức) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn D và liên tục trên D . Khi đĩ hoặc f = const hoặc ( )f z chỉ đạt cực đại trên biên ∂D của D. Chứng minh Vì f liên tục trên tập compact D nên tồn tại oz D∈ sao cho ( ) ( )o z D max f z f z ∈ = Giả sử oz D∈ , ta sẽ chứng minh rằng f (z) = const. Lấy r > 0 sao cho ( )oD z , r D⊂ . Theo định lý giá trị trung bình ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2i io o o o 0 0 0 1 1 1f z f z d f z re d f z re d 2 2 2 pi pi pi ϕ ϕϕ ϕ ϕ pi pi pi = = + ≤ +∫ ∫ ∫ Vì thế ( ) ( )2 io o 0 1 f z re f z d 0 2 pi ϕ ϕ pi  + − ≥  ∫ Trên đường trịn ( )oD z , r∂ tất nhiên cũng cĩ ( ) ( )io of z re f z Mϕ+ ≤ = và do đĩ ( ) ( )2 io o 0 1 f z re f z d 0 2 pi ϕ ϕ pi  + − =  ∫ Bởi tính liên tục: ( ) ( )io of z re f z Mϕ+ = = với mọi 0 2ϕ pi≤ ≤ . 16 Tương tự cĩ đẳng thức trên với mọi /r r≤ , do đĩ ( )f z M= với mọi ( )oz D z , r∈ . Lấy điểm z* tùy ý trong D. Gọi L là đường cong nối zo với z*. Do L compact tồn tại các điểm zo, z1, …, zn = z* trên L và r > 0 sao cho ( ) ( )n j j+1 j j 0 L D z , r và z D z , r D, j 0, 1, ..., n 1 = ⊂ ∈ ⊂ = −∪ . Bởi vì ( )f z M= trên ( )oD z , r nên ( )1f z M= . Vì vậy theo lập luận trên ( )f z M= với mọi ( ) ( )1z D z , r , ..., f z M∈ = với mọi ( )n 1z D z , r−∈ . ðặc biệt ( )*f z M= . Như vậy ta đã chứng minh ( )f z M= với mọi z D∈ . Viết ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i arg f z i x,yf z f z e Me Mcos x,y iMsin x, y .ϕ ϕ ϕ= = = + Theo điều kiện Cauchy – Riemann Msin Mcos x y ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂− = ∂ ∂ (*) Mcos Msin x y ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂− = − ∂ ∂ Nhân đẳng thức đầu của (*) với sinϕ và nhân đẳng thức thứ hai với cosϕ rồi so sánh ta cĩ 2 2Msin Mcos hay M 0 x x x ϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂= − = ∂ ∂ ∂ . 17 Khi M = 0 thì hiển nhiên f = const. Cịn khi M 0≠ thì 0 x ϕ∂ = ∂ . Thay điều kiện này vào một trong hai vế của (*) ta cũng cĩ 0 y ϕ∂ = ∂ . Từ đĩ constϕ = trong miền D và vậy thì f = const. • ðịnh lý ( Hàm nhiều biến phức) Nếu f chỉnh hình trên miền Ω ⊂ nℂ sao cho f đạt cực đại tại Ω∈a , thì f = const trên Ω . Chứng minh Chọn 0ρ > đủ bé để ( )B a, ρ ⊂ Ω . Khi đĩ như hàm của một biến :ζ ζ ρ∈ <ℂ , f = const trên {a :ωζ ζ ρ+ < với mọi }n : 1ω ω∈ =ℂ . Vậy f = const trên ( )B a,ρ . Suy ra f = const trên Ω . 1.7. Khơng gian Banach hyperbolic Giả sử X là một khơng gian giải tích phức. Ta gọi giả khoảng cách Kobayashi Xd trên X là giả khỏang cách lớn nhất trong số các giả khoảng cách Xδ trên X sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình từ X vào đĩa đơn vị D là khoảng cách giảm. Nếu Xd trở thành khoảng cách thì ta nĩi X là một khơng gian giải tích hyperbolic. Một khơng gian Banach hyperbolic là khơng gian hyperbolic đầy đủ theo nghĩa Cauchy. 18 Một mặt Riemann được gọi là mặt Riemann Hyperbolic theo nghĩa này, nếu mọi phủ phổ dụng của nĩ là song chỉnh hình tới đĩa đơn vị. Một đa tạp phức compact là hyperbolic nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ C vào X đều là hàm hằng. 1.8. Tập cực và tập đa cực • Cho tập con X của ( )n n 2ℝ ≥ . Ta nĩi X là tập cực nếu tồn tại tập mở Z bao hàm X và hàm điều hịa dưới φ trên Z sao cho X φ = −∞ và φ ≡ −∞ • Một tập hợp nE⊂ℂ được gọi là đa cực nếu với mọi a E∈ tồn tại một lân cận V của a và một hàm u đa điều hịa dưới trên V sao cho E V∩ là tập con của ( ){ }z V : u z∈ =−∞ 1.9. ðiều kiện lồi – đĩa yếu và tính chất • Một khơng gian giải tích Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu nếu mọi dãy { } ( )nf H ∆,X⊂ hội tụ trong ( )H ∆,X khi dãy { } ( )* *n ∆f H ∆ ,X⊂ hội tụ trong ( ) *H ∆ ,X . Ở đây, *∆ và ∆ lần lượt là đĩa đơn vị và đĩa đơn vị thủng trong ℂ . • Tính chất: Nếu X là khơng gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi đĩa yếu thì nĩ cĩ tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. 19 1.10. ðịnh lý Shiffman Giả sử X cĩ tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, A là một tập con khơng đa cực của V và ánh xạ : × →f U V X thỏa điều kiện: 1. Hol( , )∈zf V X với mọi ∈z U 2. w Hol( , )∈f U X với mọi w ∈ A Khi đĩ f chỉnh hình trên ×U V . Trên đây là các định nghĩa khái niệm mà chúng tơi trong quá trình hồn thành Luận văn này đã tìm đọc và hệ thống lại. Các tính chất này được tập hợp từ nhiều nguồn tài liệu mà chúng tơi liệt kê trong phần tài liệu tham khảo. Tuy nhiên vẫn cĩ một số khái niệm và tính chất khác được trình bày trong các bài báo mà do thời gian và nguồn thơng tin hạn hẹp chúng tơi khơng thể trình bày một cách thật đầy đủ ở đây, ví dụ các thơng tin mà chúng tơi tìm đọc trên các Website về bách khoa tồn thư tốn học. 20 Chương 2. THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT Như mục đích đề ra của Luận văn này, chúng tơi muốn tìm hiểu về tính chất thác triển chỉnh hình Riemann, tức là thác triển chỉnh hình qua các tập mỏng. ðể bắt đầu, chúng tơi tìm hiểu định lý Kwack. Vào năm 1972, Muyung H. Kwack đã phát biểu và chứng minh tính chất thác triển chỉnh hình qua đĩa thủng như sau: 2.1. ðịnh lý Kwack Giả sử X là một khơng gian phức hyperbolic, ∗ →f : ∆ X là ánh xạ chỉnh hình sao cho tồn tại dãy { }nz chứa trong *∆ , hội tụ về 0 mà dãy ( ){ }nf z hội tụ trong X. Khi đĩ f cĩ thể được thác triển lên một ánh xạ chỉnh hình F : ∆ X→ . Trong Luận văn, chúng tơi khơng cĩ điều kiện tiếp xúc với cơng trình trên của Kwack. Tuy nhiên, nhờ các nghiên cứu của ðỗ ðức Thái về tính chất *∆ − thác triển nên chúng tơi dành thời gian tìm hiểu sự mở rộng của định lý nĩi trên. 21 Sau đây là định lý về tính chất *∆ − thác triển mà cĩ thể được xem là một sự mở rộng của định lý Kwack từ một chiều sang vơ hạn chiều. 2.2. ðịnh lý Cho X là một khơng gian giải tích Banach hyperbolic và f : Z \ H X→ là một ánh xạ chỉnh hình, ở đĩ Z là một đa tạp phức Banach và H là một siêu mặt trong Z. Giả sử rằng với mỗi z H∈ tồn tại một dãy { }nz Z \ H∈ hội tụ tới z sao cho dãy ( ){ }nf z hội tụ tới zx X∈ . Khi đĩ, f mở rộng một cách chỉnh hình tới Z. Chứng minh (i) Trước hết, xét trường hợp Z = ∆ và { }H 0= Chọn một lân cận tọa độ giả lồi W của x0 trong X, W đẳng cấu với một tập con giải tích của một quả cầu mở trong khơng gian Banach B. ðặt WV 2 = . Vấn đề là để chứng minh rằng với một số dương thích hợp σ , đĩa thủng nhỏ { }z : 0 z σ∈ ∆ < < được ánh xạ tới W bởi f. Bằng cách lấy một dãy con của { }nz , nếu cần thiết, ta cĩ thể giả sử rằng dãy { }nz là đơn điệu giảm. Xét tập hợp các số nguyên n sao cho ảnh của hình khuyên n 1 nz z z+ < < bởi f khơng hồn tồn chứa trong V. Nếu tập hợp các số 22 nguyên này là hữu hạn thì f ánh xạ một đĩa thủng nhỏ 0 z σ< < vào V .Giả sử rằng tập hợp các số nguyên này vơ hạn, ta sẽ được một sự mâu thuẫn. Bằng cách lấy một dãy con, ta cũng cĩ thể giả sử rằng, với mỗi n, ảnh của hình khuyên n 1 nz z z+ < < bởi f khơng hồn tồn được chứa trong V. Với mỗi n, ta đặt ( ){ } ( ){ } { } { } { } n n n n n n n n n n n n r inf r z : f r z z V , s sup r z : f z z r V , α z : z r , γ z : z z , β z : z s . = < < < ⊂ = > < < ⊂ = ∈∆ = = ∈∆ = = ∈∆ = Vì ( ) ( ) ( )* * *n n n∆ ∆ ∆d α d γ d β 0+ + → và do nguyên lý giảm các khoảng cách suy ra ( ) ( ) ( )X n X n X nd f α d f γ d f β 0 khi n .+ + → → ∞ ðặt ( )n n 1 n 1 K f γ γ ∞ + = = ∪∪ . Do nguyên lý cực đại ta cĩ:  ( ) ( )PSH W n n n 2 K f α β ≥ ⊃ ∪∪ . Do đĩ ( )n n n 2 f α β ≥ ∪∪ là compact tương đối trong V . Do tính compact tương đối của ( )n n n 2 f α β ≥ ∪∪ và vì ( ) ( )X n X nd f α 0 ,d f β 0,→ → khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử rằng ( ){ } ( ){ }n 1 n 2f α x và f β x→ → . 23 Bằng định nghĩa của rn và sn suy ra rằng 1 2x ,x V∈∂ và do đĩ 1 2 0x ,x x≠ . Chọn một hàm tuyến tính liên tục u trên B sao cho ( ) ( ) ( )1 2 0u x ,u x u x 0≠ = . Vì ( )n nr sf ∆ V W,⊂ ⊂ tồn tại ( ) n nn n n n r s r r s s sao cho f ∆ W< < < ⊂ɶ ɶɶ ɶ , ở đĩ, { } { }n n n n r s n n r s n n ∆ z : r z s và ∆ z : r z s= ∈ ≤ ≤ = ∈ < < ɶ ɶ ɶ ɶℂ ℂ . Xét hàm chỉnh hình r sn n n σ u f ∆ = ɶ ɶ  . Vì ( ){ } ( ) ( ) ( )iθn n 2 n n 2σ β u x , ta cĩ ε 0, N, n N, θ : σ s e u x ε→ ∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ − < Áp dụng nguyên lý cực đại cho hàm ( ) ( ) { }n 2 n nz σ z u x trên khuyên z : r z s− ∈ < ≤ɶ֏ ℂ , đặc biệt vịng trịn { } { } n nn r s n n z : z z ∆ z : r z s∈ = ⊂ = ∈ < < ɶ ɶℂ ℂ , điều đĩ khẳng định rằng ( ) ( )iθn n 2σ z e u x ε− < với mỗi θ . Vì thế ( ) ( )0 2u x u x= . ðiều này là khơng thể. Vì vậy f mở rộng một cách chỉnh hình tới ∆ . (ii) Giả sử H khơng chứa điểm kỳ dị Khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử rằng đa tạp Z cĩ dạng U × ∆ , ở đĩ U là một tập con mở của một khơng gian Banach và { }H U 0= × . Với mỗi z U∈ , xét z *f : X∆ → được cho bởi ( ) ( )zf λ f z,λ= với mỗi *λ∈∆ . 24 Vì ( )z,0 H∈ nên tồn tại ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }*n n n n n n 0z ,λ U , z ,λ z,0 sao cho f z ,λ x⊂ × ∆ → → . Bằng cách áp dụng nguyên lý giảm khoảng cách cho ánh xạ chỉnh hình *f : U ∆ X× → ta cĩ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )*X n n n n n n U nUd f z,λ , f z ,λ d z ,λ , z,λ d z,z 0×∆≤ = → suy ra rằng ( ){ }n 0f z,λ x→ . Do (i), fz mở rộng tới một ánh xạ chỉnh hình zf : X∆ → . ðịnh nghĩa ánh xạ f : U X× ∆ →ɵ bởi ( ) ( )zf z,λ f λ=ɵ ɵ với ( )z,λ U∈ × ∆ . Vì X hyperbolic và fɵ liên tục . Thật vậy, lấy ( ) ( ){ } ( ){ } ( )n n n nz,0 H và z ,λ U sao cho z ,λ z,0∈ ⊂ × ∆ → . Chọn ɶ{ } ɶ{ }*n nλ sao cho λ 0⊂ ∆ → . Ta cĩ: ( ) ( )( ) ( ) ɶ( )( ) ɶ( ) ɶ( )( ) ɶ( ) ( )( ) ( ) ɶ( )( ) ɶ( ) ɶ( )( ) ɶ( ) ( )( ) ɶ( ) ( ) ɶ( ) n n n n nX n n X n n n X n nX z z z z n n n nX n X n X n nn U n d f z ,λ ,f z,0 d f z ,λ ,f z ,λ d f z ,λ ,f z,λ d f z,λ ,f z,0 d f λ ,f λ d f z ,λ ,f z,λ d f λ ,f 0 d λ ,λ d z ,z d λ ,0 0 khi n∆ ∆ ≤ + + = + + ≤ + + → → ∞ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ Vì vậy, fɵ là một thác triển chỉnh hình của f. (iii) Trường hợp tổng quát 25 Lấy α H∈ là một điểm tùy ý của H. Khi đĩ tồn tại một lận cận U đẳng cấu tới một lân cận V e× ∆ của 0 B∈ và một đa thức Weierstrass ( ) ( ) ( )p p 1p 1 0P x,λ λ a x λ ... a x−−= + + + sao cho Zero(P) H U= ∩ , với sự phân tích nào đĩ B E Ce= ⊕ của B. Do (ii), f mở rộng một cách chỉnh hình tới 1 PU U \ Zero H λ ∂   =   ∂   ∩ . Bằng cách lặp lại (ii) vài lần f cĩ thể được mở rộng một cách đồng luân tới 2 p 2 p P P PU \ Zero ,U \ Zero ,...,U \ Zero U. λ λ λ ∂ ∂ ∂     =     ∂ ∂ ∂      Vậy định lý đã được chứng minh. Như vậy, nằm trong khuơn khổ nghiên cứu việc thác triển chỉnh hình qua các tập mỏng, định lý Kwack đã chứng minh sự thác triển qua đĩa thủng, nghĩa là thác triển qua gĩc của mặt phẳng phức. Sau đĩ ðỗ ðức Thái đã mở rộng sự nghiên cứu sang thác triển chỉnh hình qua siêu mặt. Trong Luận văn này chúng tơi chủ yếu tìm hiểu tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. Tuy nhiên để thuận lợi trong một số chứng minh ở chương 3, chúng tơi cũng muốn trình bày một số nội dung cĩ liên quan đến tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Cụ thể ta cĩ định lý sau đây: 2.3. ðịnh lý Cho X là một khơng gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu. Khi đĩ X cĩ tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. 26 Chứng minh Cho f : XΩ→ là một ánh xạ chỉnh hình, ở đây Ω là một miền Riemann trên một khơng gian Banach B cĩ cơ sở Schauder. Xét sơ đồ giao hốn Ở đây fΩ chỉ miền tồn tại của f. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề Ánh xạ ff : XΩ →ɶ giả lồi địa phương, nghĩa là với mọi x X∈ tồn tại một lân cận giả lồi V của x trong X sao cho ( )1f V−ɶ là giả lồi. Chứng minh Cho x X∈ . Chọn một lân cận V của x trong X sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích trong một quả cầu mở của một khơng gian Banach. Xét thu hẹp ( )1f V f −ɶ ɶ . ðặt ( )^ 1g : f V V− →ɶ là một thác triển chỉnh hình của ( )1f V f −ɶ ɶ lên bao chỉnh hình ( )^ 1f V−ɶ của ( )1f V−ɶ . Vì fΩ là miền tồn tại của f nên ta suy ra rằng 27 ( )^ 1 ff V − ⊂Ωɶ Mặt khác, từ hệ thức ( )( ) ( )( )^ 1 ^ 1f f V g f V V− −= ⊂ɶ ɶ ɶ ta cĩ ( ) ( )1 ^ 1f V f V− −=ɶ ɶ . Vậy ff : XΩ →ɶ giả lồi địa phương. Bây giờ ta tiếp tục chứng minh định lý. Vì B cĩ cơ sở Schauder nên để chứng minh  fΩ=Ω ta chỉ cần chứng minh rằng ( )1p E−ɶ giả lồi với mọi khơng gian con hữu hạn chiều của B. Muốn vậy, ta cịn phải kiểm chứng rằng ( )1p E−ɶ lồi – đĩa yếu. Cho { } ( )( )1kσ H ∆,p E−⊂ ɶ sao cho dãy { }*k ∆σ hội tụ về σ trong ( )( )* 1H ∆ ,p E−ɶ . Vì X lồi – đĩa yếu nên { }kf σɶ hội tụ về β trong ( )H ∆,X . ðể ý rằng *∆β f σ= ɶ . Chọn một lân cận giả lồi V của ( )β 0 trong X sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích trong một quả cầu mở của một khơng gian Banach và ( )1f V−ɶ giả lồi. Vì ( )1f V−ɶ là một miền Riemann giả lồi trên một khơng gian Banach B cĩ cơ sở Schauder nên ( )1f V−ɶ là một miền chỉnh hình. Dễ thấy rằng tồn tại ( )( )0 k εk và ε 0 sao cho f σ ∆ V> ⊂ɶ với mọi 0k k> và ( )εβ ∆ V⊂ , ở đây { }ε∆ z : z ε= ∈ <ℂ .Vậy ( ) ( ) 1 k εσ ∆ f V −⊂ɶ với mọi 0k k> . Từ đĩ suy ra { } ε k ∆σ hội tụ tới σ trong ( )( ) 1 εH ∆ ,f V −ɶ . 28 Do đĩ dãy { }kσ hội tụ trong ( )( )1H ∆,p E .−ɶ ðịnh lý đã được chứng minh. 29 CHƯƠNG 3. THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA CÁC TẬP CỰC Trong chương 2 chúng ta đã tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua siêu mặt như là một sự mở rộng của định lý Kwack từ hữu hạn sang vơ hạn chiều. Tuy nhiên như trong phần mở đầu chúng ta đã đề cập đến, trong luận văn này ._.