Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai

....................................................................................... 3 Mở đầu............................................................................................................. 5 Ch−ơng 1. Cơ bản về tập mờ ........................................................................... 7 1.1. Tập mờ.................................................................................................. 7 1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ ....................................................... 8 1.3. Quan hệ mờ ........................................................................................ 10 1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian .............................................. 10 1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau. 13 1.4. Cơ bản về suy diễn mờ ....................................................................... 14 1.5. Nguyên lý mở rộng ............................................................................ 17 1.6. Kết luận ch−ơng ................................................................................. 18 Ch−ơng 2. tập mờ loại hai ............................................................................. 19 2.1. Giới thiệu chung................................................................................. 19 2.2. Hàm thuộc loại hai ............................................................................. 19 2.2.1. Khái niệm tập mờ loại hai ........................................................... 19 2.2.2. Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm.............................. 19 2.2.3. Hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới ............................................ 26 2.3. Tập mờ loại hai nhúng........................................................................ 27 2.4. Các phép toán trên tập mờ loại hai ..................................................... 30 2.4.1. Hợp của các tập mờ loại hai ........................................................ 30 2.4.2. Giao của các tập mờ loại hai ....................................................... 32 2.4.3. Phần bù của một tập mờ loại hai ................................................. 33 2.5. Kết luận ch−ơng ................................................................................. 36 Ch−ơng 3. Suy diễn với tập mờ loại hai ........................................................ 37 3.1. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành ............................................. 37 3.1.1. Khái niệm chung ......................................................................... 37 3.1.2. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên cùng một không gian ............................................................................................................... 38 3.1.3. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên các không gian khác nhau ....................................................................................................... 41 3.1.4. Phép hợp thành của một tập mờ loại hai và một quan hệ mờ loại hai .......................................................................................................... 42 3.2. Tích Đê-các của các tập mờ loại hai .................................................. 43 3.3. Các dạng luật mờ................................................................................ 45 3.4. Một số ph−ơng pháp suy diễn mờ loại hai ......................................... 46 3.4.1. Suy diễn mờ dựa vào phép hợp thành.......................................... 46 3.4.2. Suy diễn mờ dựa trên sự t−ơng tự của các tập mờ....................... 48 3.5. Nhận xét ............................................................................................. 57 2 Ch−ơng 4. Hệ logic mờ loại hai khoảng........................................................ 59 4.1. Định nghĩa.......................................................................................... 59 4.2. Hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của tập mờ loại hai khoảng........ 60 4.3. Phép toán hợp và giao của tập mờ loại hai khoảng ............................ 62 4.4. Suy diễn với tập mờ loại hai khoảng .................................................. 63 4.5. Giảm loại và khử mờ .......................................................................... 68 4.6. Thiết kế hệ logic mờ loại hai khoảng bằng ph−ơng pháp lan truyền ng−ợc BP (Back-Propagation) ................................................................... 70 4.7. ứng dụng của hệ logic mờ loại hai khoảng ........................................ 76 4.8. Kết luận ch−ơng ................................................................................. 79 Kết luận ......................................................................................................... 80 Tài liệu tham khảo......................................................................................... 81 3 Danh mục hình vẽ Hình 1-1: Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa trên tỷ lệ phần trăm các thành phần sản xuất trong n−ớc …………………………… 7 Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a) )(x À và )(xBà , (b) )(xBÀ ∪ , (c) )(xBÀ ∩ , (d) )(x Bà …………………………………………………………………… 9 Hình 1-3: đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ |)(| yxc −à ………………… 11 Hình 1-4 ………………………………………………………………… 16 Hình 2-1: (a) hàm thuộc loại một, (b) vết mờ hàm thuộc loại một, (c) FOU …………………………………………………………………………… 20 Hình 2-2: Ví dụ về hàm thuộc loại hai ………………………………… 21 Hình 2-3: (a): một tập mờ loại hai Gaussian. (b): hàm thuộc thứ cấp Gaussian tại x = 4 ……………………………………………………… 23 Hình 2-4 ……………………………………………………………… 24 Hình 2-5: FOU dạng tam giac ………………………………………… 25 Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung bình m không chắc chắn ……………………………………………… 26 Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn δ không chắc chắn ………………………………………………………… 26 Hình 2-8: Ví dụ về một tập loại một nhúng (đ−ờng đứt tô đậm) trong một tập mờ loại hai……………………………………………………………… 28 Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng đ−ợc gắn với hàm thuộc loại hai đ−ợc biểu diễn trong Hình 2-2………………. 29 Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai ………………………………………… 37 Hình 4-1: Ví dụ về hàm thuộc của một tập mờ loại 2 khoảng trong không gian rời rạc. Miền tô đen trong mặt phẳng x-u là FOU ………………….. 60 Hình 4-2: (a) minh hoạ cho ví dụ 4-1, (b) minh hoạ cho ví dụ 4-2 ……….62 Hình 4-3: Xác định lf và l f . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm. ………………………………………………………… …67 Hình 4-4: Xác định )(~ ylBà . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm …………………………………………………………......67 4 Hình 4-5: Xác định )(~ yBà . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm …………………………………………………………….68 Hình 4-6: Minh hoạ cho tập mờ loại 2 khoảng đơn trị có hai luật. (a) FOU của 11 ~F và 12 ~F trong luật 1. (b) FOU của 21 ~F và 22 ~F trong luật 2 …………..73 Hình 4-7: Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của RMSEs1, RMSEns1, RMSEs2 . (a) giá trị trung bình, (b) độ lệch chuẩn ……………………… . 78 5 Mở đầu Lý thuyết tập mờ loại hai đ−ợc Zadeh đ−a ra từ năm 1975. Tập mờ loại hai ngày càng đ−ợc khẳng định vị trí −u việt của mình trong việc cải thiện và nâng cao chất l−ợng xử lý thông tin so với nhiều ph−ơng pháp truyền thống khác. Ngày nay, Logic mờ đ−ợc ứng dụng trong thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực dự báo, khai phá tri thức, điều khiển mờ… Tuy nhiên, việc tính toán và xử lý thông tin dựa trên tập mờ loại hai nói chung có độ phức tạp rất lớn, điều này đã ảnh h−ởng không nhỏ tới khả năng ứng dụng của tập mờ loại hai vào giải quyết các bài toán thực tế. Chính vì vậy, những năm trở lại đây, lý thuyết tập mờ loại hai nhận đ−ợc rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Một trong những h−ớng nghiên cứu đó là tìm ra các ph−ơng pháp làm giảm độ phức tạp tính toán trong các hệ logic mờ loại hai. Suy diễn với tập mờ loại hai là một khâu quan trọng trong hệ logic mờ loại hai. Ph−ơng pháp suy diễn quyết định rất lớn tới chất l−ợng và độ phức tạp tính toán của toàn hệ. Với mục đích tìm hiểu nghiên cứu về tập mờ loại 2, đ−ợc sự h−ớng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Khang – Khoa CNTT - Đại Học Bách Khoa Hà Nội, tôi lựa chọn đề tài “Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai”. Đề tài thực hiện tìm hiểu nghiên cứu những vấn đề cơ bản đối với tập mờ loại hai, một số ph−ơng pháp suy diễn đối với tập mờ loại hai tổng quát và tập mờ loại hai khoảng. Đề tài đ−ợc chia thành các phần sau: Ch−ơng 1. Cơ bản về tập mờ: Ch−ơng này trình bày các khái niệm cơ bản về tập mờ nói chung làm cơ sở để tìm hiểu, nghiên cứu các đặc tr−ng của tập mờ loại hai. Ch−ơng 2. Tập mờ loại hai: Tập mờ loại hai là sự phát triển và mở rộng của tập mờ loại một nhằm khắc phục những nh−ợc điểm của tập mờ loại một. Ch−ơng này trình bày những khái niệm và những đặc tr−ng cơ bản của tập mờ loại hai. Các phép toán tập hợp trên tập mờ loại hai cũng đ−ợc trình bày ở đây, các phép toán này là công cụ không thể thiếu để thực hiện các phép suy diễn mờ. 6 Ch−ơng 3. Một số ph−ơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai: Ch−ơng này trình bày một số ph−ơng pháp suy diễn với tập mờ loại hai. Hai ph−ơng pháp suy diễn đ−ợc trình bày ở đây đó là ph−ơng pháp suy diễn dựa trên phép hợp thành và ph−ơng pháp suy diễn dựa trên độ t−ơng tự. Từ đó đ−a ra những phân tích đánh giá, đây là một cơ sở quan trọng để lựa chọn ph−ơng pháp suy diễn phù hợp khi thiết kế và xây dựng các ứng dụng logic mờ. Ch−ơng 4: Tập mờ loại hai khoảng: Tập mờ loại hai tổng quát bộc lộ một số nh−ợc điểm nh− độ phức tạp tính toán lớn. Do có cấu trúc đặc biệt nên việc tính toán và suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng có độ phức tạp nhỏ hơn rất nhiều lần so với tập mờ loại hai tổng quát. Chính vì vậy, tập mờ loại hai khoảng th−ờng đ−ợc ứng dụng trong các hệ logic mờ. Ch−ơng này trình bày những đặc tr−ng cơ bản của tập mờ loại hai khoảng và ph−ơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng. 7 Ch−ơng 1. Cơ bản về tập mờ 1.1. Tập mờ Định nghĩa 1-1: Tập mờ F xác định trong không gian X đ−ợc định nghĩa nh− sau: F = {(x, )(x Fà )| x ∈X} với )(xFà ∈ [0, 1] à F đ−ợc gọi là hàm thuộc của tập mờ F và )(xFà là giá trị độ thuộc của x ∈ X vào F. Để thuận tiên cho việc biểu diễn, ng−ời ta ký hiệu tập mờ F : F = ∫ X F xx /)(à , khi X liên tục F = xx X F /)(∑ à , khi X rời rạc ở đây, các kí hiệu ∫ và ∑ không phải là phép tích phân và tổng đại số mà là tập hợp tất cả các phần tử x ∈X kết hợp với giá trị độ thuộc )(x Fà t−ơng ứng của chúng. 0 25 50 75 100 0.5 1 )(x Fà )(xDà x )(xà Hình 1-1. Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa trên tỷ lệ phần trăm các thành phần sản xuất trong n−ớc (1-1) (1-3) (1- 2) 8 Ví dụ 1-1: Hình 1-1 mô tả việc phân loại tập các ô tô thành hai tập nội địa (D) và ngoại nhập (F) theo tỷ lệ phần trăm các linh kiện đ−ợc sản xuất trong n−ớc. ở đây, F và D là các tập mờ có các hàm thuộc t−ơng ứng là )(x Fà và )(xDà ; x là tỷ lệ phần trăm các linh kiện sản xuất trong n−ớc. Một chiếc ô tô đ−ợc coi là nội địa nếu có )(x Dà > )(xFà , ng−ợc lại nó đ−ợc coi là xe ngoại nhập. Thông th−ờng, đồ thị sử dụng để mô tả cho các hàm thuộc của một tập mờ có dạng hình tam giác, hình thang, Gaussian .v.v. Các hàm thuộc th−ờng đ−ợc lựa chọn một cách tùy ý trên cơ sở kinh nghiệm của ng−ời sử dụng về lĩnh vực liên quan hoặc ph−ơng pháp tính toán tối −u mà họ lựa chọn. 1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ Trong lý thuyết tập mờ, các phép toán tập hợp đ−ợc định nghĩa thông qua các hàm thuộc của chúng. Giả sử A và B là hai tập mờ xác định trên không gian X đ−ợc đặc tr−ng bởi các hàm thuộc t−ơng ứng là )(x À và )(xBà . Định nghĩa 1-2: Hợp của hai tập mờ A và B, ký hiệu BA∪ , có hàm thuộc đ−ợc định nghĩa: )(x BÀ ∪ = max[ )(xÀ , )(xBà ] Định nghĩa 1-3: Giao của hai tập mờ A và B, ký hiệu BA∩ , có hàm thuộc đ−ợc định nghĩa: )(x BÀ ∩ = min[ )(xÀ , )(xBà ] Phần bù của tập mờ A, ký hiệu A và hàm thuộc đ−ợc định nghĩa: )(x À = 1 - )(xÀ Xét ví dụ sau: Ví dụ 1-2: Cho hai tập mờ A và B có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau: )(x À = ⎩⎨ ⎧ ≤≤−+ ≤≤ − 15.0],)5.0(1/[1 5.00,0 2 xx x nếu nếu (1-4) (1-5) (1-6) (1-7) 9 )(x Bà = 10,)707.0(1 1 4 ≤≤−+ xx Hình 1-2 d−ới đây mô tả các hàm thuộc )(x À , )(xBà , )(xBÀ ∪ , )(xBÀ ∩ , )(x À Ví dụ này cho thấy phép hợp, giao của một tập mờ với phần bù của nó có kết quả khác so với trong tập rõ. Bởi vì, rõ ràng XAA ≠∪ và φ≠∩ AA . Ngoài việc sử dụng các phép toán maximum và minimum, ng−ời ta còn có thể định nghĩa các phép hợp và phép giao khác cho tập mờ. Chẳng hạn, Zadeh định nghĩa hai phép toán hợp và giao cho tập mờ nh− sau: (1-8) 0.707 0.5 )(x Bà )(x À x 1 (a) 0.707 0.5 x 1 )(x BÀ ∪ (b) 0.707 0.5 )(x BÀ ∩ x 1 0.707 0.5 )(x Bà x 1 )(x Bà (d) Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a) )(x À và )(xBà , (b) )(x BÀ ∪ , (c) )(xBÀ ∩ , (d) )(xBà (c) 10 1. Phép hợp: )(x BÀ ∪ = )(xÀ + )(xBà - )()( xx BA àà 2. Phép giao: )(x BÀ ∩ = )()( xx BA àà Sau đó, Klir và Yuan định nghĩa hai phép toán t-conorm cho phép hợp và t-norm cho phép giao sử dụng cho tập mờ: Phép toán t-conorm (còn gọi là s-norms) đ−ợc sử dụng cho phép hợp, đ−ợc ký hiệu là ⊕ . Maximum và phép tổng đại số là phép toán t-conorm. D−ới đây là hai ví dụ về t-conorm: ™ x⊕ y = min(1, x+y) ™ x⊕ y = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = lại ng−ợc nếu nếu nếu 1 0 0 xy yx Phép t-norm đ−ợc sử dụng cho phép giao, đ−ợc ký hiệu là ∗ . Minimun và hàm đại số là t-norm. D−ới đây là hai ví dụ về t-norm. ™ x∗y=max(0, x+y-1) ™ x∗y = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = lại ng−ợc nếu nếu nếu 0 1 1 xy yx Việc định nghĩa các t-conom, t-norm và phép lấy phần bù khác nhau sử dụng trong lý thuyết tập mờ cung cấp cho chúng ta một sự lựa chọn phong phú hơn khi xây dựng hệ logic mờ. 1.3. Quan hệ mờ Quan hệ mờ thể hiện độ thuộc của sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của sự kết hợp, sự ảnh h−ởng hoặc tính chất liên kết giữa các phần tử của hai hay nhiều tập mờ. 1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian Định nghĩa 1-4: Gọi U và V là hai không gian nền. Quan hệ mờ, R(U,V) là một tập mờ trong không gian của tích Đê-các UìV. Tập mờ này là tập con của UìV và đ−ợc đặc tr−ng bởi hàm thuộc ),( yx Rà , với x U∈ và y V∈ . R(U,V) = {((x,y), ),( yx Rà )| (x,y) VU ì∈ }, với ),( yxRà ∈[0,1] (1-15) (1-9) (1-10) (1-11) (1-12) (1-13) (1-14) 11 Ví dụ 1-3: Giả sử U và V là hai tập các số thực. Xét quan hệ mờ “mục tiêu x là gần với mục tiêu y”. Hàm thuộc của quan hệ mờ này đ−ợc xác định nh− sau: }0,5/|)|5max{(|)(| yxyxc −−≡−à Hàm thuộc của quan hệ này đ−ợc diễn tả trong Hình 1-3. Chú ý rằng khoảng cách giữa hai mục tiêu x và y đ−ợc xác định bởi |x-y|, đ−ợc hiểu nh− là một biến phụ thuộc. Vì các quan hệ mờ là các tập mờ trong không gian Đê-các nên lý thuyết tập hợp và các phép toán số học có thể đ−ợc định nghĩa và sử dụng đối với các quan hệ mờ này bởi việc sử dụng các phép toán hợp, giao, lấy phần bù mà chúng ta đã định nghĩa ở các phần tr−ớc. Giả sử R(U,V) và S(U,V) viết tắt là R và S là hai quan hệ mờ trong cùng không gian tích Đê-các UxV. Các phép hợp và giao của hai quan hệ này với các thành phần của nó đ−ợc định nghĩa: ),( yxSR∩à = ),( yxRà ∗ ),( yxSà ),( yxSR∪à = ),( yxRà ⊕ ),( yxSà ở đây, ∗ là các t-norm và ⊕ là các t-conorm. Ví dụ 1-4: Xem xét mức độ phù hợp của hai quan hệ mờ sau đây: “u gần với v” và “u nhỏ hơn v”; và quan hệ mờ “u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v”. Tất cả các quan hệ này cùng không gian tích Đê-các UxV. Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng U={u1, u2} = {2, 12} và V ={v1, v2, v3} = {1, 7, 13}. Chúng ta sẽ tính toán giá trị độ thuộc của các thành phần trong phép hợp và giao của hai quan hệ này. Hàm thuộc cho các quan hệ mờ “gần” và “nhỏ” ký hiệu là 1 5 |x-y| |)(| yxc −à Hình 1-3: Đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ |)(| yxc −à (1-16) (1-18) (1-17) 12 ),( vucà và ),( vusà . Các số trong ),( vucà và ),( vusà đ−ợc chọn để phù hợp với khái niệm sự so sánh hai số trong U và V. Giả sử dùng minimum t-norm (∧ ) và maximum t-conorm (∨ ) cho các phép hợp và giao khi đó: ),(),(),( jisjicjisc vuvuvu ààà ∨=∪ và ),(),(),( jisjicjisc vuvuvu ààà ∧=∩ ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3. Sử dụng các công thức (1-21) và (1-22), ta có: Từ (1-23) và (1-24) chúng ta thấy rằng “u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” phù hợp hơn nhiều so với “u gần v” và “u nhỏ hơn v” bởi vì giá trị độ thuộc ),( vusc∪à t−ơng đối lớn, trong khi đó giá trị độ thuộc ),( vusc∩à t−ơng đối nhỏ. 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9.04.01.0 1.04.09.0 321 vvv ≡),( vucà 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3.000 16.00 321 vvv ≡),( vusà (1-21) (1-22) 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9.04.01.0 16.09.0 321 vvv ≡∪ ),( vuscà 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3.000 1.04.00 ≡∩ ),( vuscà 321 vvv (1-23) (1-24) (1-19) (1-20) 13 1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau Định nghĩa 1-5: Giả sử R(U,V) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các UìV và S(V,W) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các VìW có các hàm thuộc t−ơng ứng là ),( yx Rà và ),( zySà với ),( yxRà ∈[0,1] , ),( zySà ∈[0,1]. Phép hợp thành giữa quan hệ mờ R và S ký hiệu là R oS, là một quan hệ mờ có hàm thuộc ),( zx SRà o đ−ợc định nghĩa: ),( zx SRà o = supy∈V[à R (x,y)∗ à S (y,z)] ở đây toán tử supremum chính là hàm maximum và toán tử ∗ là một t- norm, chẳng hạn nh− hàm minimum. Nh− vậy, sup-star ở đây đ−ợc hiểu nh− các sup-min và sup-product t−ơng đ−ơng với các max-min và max-product. Ví dụ 1-5: Giả sử c là một quan hệ mờ “u gần v” trên không gian tích Đê- các UìV, ở đây U={u1, u2} và V={v1,v2,v3}, với các giá trị đ−ợc cho nh− sau: U={2,12}, V={1,7,13}; giá trị độ thuộc của quan hệ mờ này đ−ợc cho bởi (1-19). Và mb một quan hệ mờ “v lớn hơn nhiều w” trên không gian VìW, ở đây W={w1, w2}={4.8}, giá trị độ thuộc ),( wvmbà đ−ợc cho trong (1-26) d−ới đây: ),( wv mbà = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 7.0 0 0 1 6.0 0 3 2 1 21 v v v ww Phát biểu “u gần v” và “v lớn hơn nhiều w” thể hiện phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ c và mb nó là một tập mờ có hàm thuộc ),( wu mbcà o đ−ợc xác định theo (1-25) và minimun-tnorm nh− sau: ),( jimbc wuà o = [ ),(),( 11 jmbic wvvu àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 22 jmbic wvvu àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 33 jmbic wvvu àà ∧ ] với i = 1,2 ; j = 1,2,3; ∧ thể hiện minimum và ∨ thể hiện maximum. Chẳng hạn: (1-25) (1-26) (1-27) 14 ),( 11 wumbcà o = [ ),(),( 1111 wvvu mbc àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 1221 wvvu mbc àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 1331 wvvu mbc àà ∧ ] = [0.9 ∧ 0] ∨ [0.4 ∧ 0.6] ∨ [0.1 ∧ 1] = 0 ∨ 0.4 ∨0.1 = 0.4 Tính toán t−ơng tự cho các phần tử còn lại chúng ta có ma trận độ thuộc của các thành phần của quan hệ mờ ),( wu mbcà o nh− sau: ),( wu mbcà o = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 7.0 1.0 9.0 4.0 2 1 21 u u ww Chú ý: Trong tr−ờng hợp V = U, khi đó hàm thuộc à R (x,y) trở thành à R (x) hoặc à R (y), ví dụ quan hệ mờ “y là một số trung bình và y nhỏ hơn z”. vì V=U, khi đó phép hợp thành sup-star trong (1-25) trở thành: supy∈V[à R (x,y)∗ à S (y,z)] = supx∈U[à R (x)∗ à S (x,z)] đây chỉ là hàm của một biến đầu ra z. Nh− vậy, chúng ta có thể đơn giản ký hiệu ),( zx SRà o thành )(zSRà o , và ta có )(z SRà o = supx∈U[à R (x)∗ à S (x,z)] 1.4. Cơ bản về suy diễn mờ Luật mờ là một thành phần chính trong hệ logic mờ. Trong Logic mờ các luật th−ờng đ−ợc phát biểu d−ới dạng mệnh đề if – then (nếu – thì): If x is A, then y is B, với x ∈ X và y ∈ Y (nếu x là A thì y là B, với x ∈ X và y ∈ Y) Mệnh đề trên là một quy tắc thể hiện mối quan hệ giữa hai tập mờ A và B, hàm thuộc của mối quan hệ này ký hiệu là ),( yx BÀ → , với à BA→ (x,y) ∈[0,1]. ở đây, à BA→ (x,y) xác định độ thuộc của mối quan hệ giữa x và y trong không gian tích Đê-các XìY. (1-28) (1-29) (1-30) (1-31) 15 Hàm thuộc của mối quan hệ mờ giữa hai tập mờ A và B có thể đ−ợc xác định theo các Công thức (1-32) – (1-34) d−ới đây: ),( yx BÀ → = 1- min[ )(xÀ , 1 - )(yBà ] ),( yx BÀ → = max[1- )(xÀ , )(yBà ] ),( yx BÀ → =1- )(xÀ (1- )(yBà ) Trong Logic mờ, luật Modus Ponen đ−ợc tổng quát hóa nh− sau: Giả thiết: x là A* Phép kéo theo: Nếu x là A thì y là B Kết luận: y là B* Trong đó A*, A, B*, B là các tập mờ. Từ dạng thức Modus Ponen tổng quát của luật chúng ta thấy có sự khác nhau ở tên gọi của giả thiết (A và A*) và kết luận (B và B*). Điều này nói lên rằng, trong logic mờ, tập mờ giả thiết A* không phải lúc nào cũng trùng với tập mờ giả thiết A của luật if-then. Và tập mờ kết luận B* không phải luôn trùng với kết luận B của luật if-then. Trong logic rõ, một luật chỉ đ−ợc đốt cháy nếu và chỉ nếu giả thiết trùng với vế trái của luật và kết quả chính là vế phải của luật. Trong logic mờ, luật đ−ợc đốt cháy với một độ thuộc khác 0 của sự t−ơng tự giữa giả thiết và vế trái của luật; và kết quả là một độ thuộc khác 0 của sự t−ơng tự giữa kết luận và vế phải của luật. Luật mờ dạng Modus Ponen tổng quát là một kết cấu mờ; ở đây, quan hệ mờ thứ nhất là một tập mờ đơn thuần A*. Do vậy, sử dụng (1-31), )(* yBà nhận đ−ợc từ phép hợp thành sup-star nh− sau: )(* yBà = )],()([ *sup yxx BAAXx àà →∈ ∗ Để hiểu rõ hơn về (1-35), chúng ta sẽ xem xét ví dụ sau đây. Trong ví dụ này, chúng ta giả sử rằng tập mờ A* là một tập mờ đơn trị (singleton), còn gọi là bộ mờ hóa đơn trị. ⎩⎨ ⎧ ∈∀≠ == Xxxx xx x A vàvới với ' ' 0 1 )(*à (1-35) (1-36) (1-32) (1-34) (1-33) 16 Với bộ mờ hóa đơn trị, (1-35) trở thành: )(* yBà = )],()([ *sup yxx BAAXx àà →∈ ∗ = ]0),,([ 'sup yxBAXx à →∈ = ),( ' yxBÀ → Nh− vậy, với bộ mờ hóa đơn trị việc tính toán supermum dễ dàng hơn, bởi vì )(* xÀ chỉ khác không tại một điểm duy nhất, x’. Ví dụ 1-6: Sử dụng (1-32) cho ),( yx BÀ → , khi đó (1-37) trở thành )(* yBà = 1- min[ )( 'xÀ , 1 - )(yBà ] Đồ thị minh họa kết quả phép hợp thành đ−ợc đ−a ra trong Hình 1-4. )(y Bà đ−ợc thể hiện trong hình (a); chúng ta tính toán 1- )(yBà và đ−ợc thể hiện trong hình (b); độ thuộc )( 'x À cũng đ−ợc đ−a ra trong hình (b), sau đó chúng ta xác định đ−ợc min[ )( 'x À , 1 - )(yBà ], cũng đ−ợc thể hiện trong hình (b). Chú ý rằng, giá trị độ thuộc )( 'x À trong hình (b) đ−ợc chọn một cách tùy ý với )( 'x À ∈ [0,1]. Cuối cùng, chúng ta xác định đ−ợc 1- min[ )( 'x À , 1 - )(yBà ] và đ−ợc thể hiện trong hình (c). )(y Bà 1 y )(1 yBà− 1 y )( 'x À min[ )( 'x À , 1 - )(y Bà ] 1 (a) (b) (c) Hình 1-4 1 - min[ )( 'x À , 1 - )(y Bà ] y (1-37) 17 1.5. Nguyên lý mở rộng Công cụ để tính toán các phép hợp, giao và phần bù của một tập mờ loại hai là nguyên lý mở rộng của Zadeh (1975); Dubois và Prade (1980). Sau đây là nguyên lý mở rộng tổng quát. Tích Đê-các của r tập rõ bất kỳ X1, X2, …, Xr , ký hiệu X1ìX2 ì…ìXr là một tập rõ của tập tất cả các bộ r phần tử đ−ợc đánh chỉ số (x1, x2, …, xr) với xi ∈ Xi , i = 1 ..r X = X1ìX2ì…ìXr = {(x1, x2, …, xr) | x1 ∈ X1, …, xr ∈ Xr} Gọi f là một ánh xạ từ không gian X vào không gian Y, khi đó: y = f(x1, x2, …, xr) ∈ Y Tiếp theo, giả sử A1, A2, …Ar lần l−ợt là các tập mờ loại một trong X1, X2, …Xr. Khi đó, nguyên lý mở rộng cho phép chúng ta ánh xạ r tập mờ loại một A1, A2, …Ar thành một tập mờ loại một B đ−ợc xác định trên Y qua một hàm f nh− sau, B = f(A1, A2, …Ar) với: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = − ∈ − φ ààà à )(0 )}(...,),(),(min{sup )( 1 )()..,,( 21 1 21 21 yif fxxxy f xxx y rAAA B r r ở đây f-1(y) ký hiệu tập tất cả các điểm x1 ∈ X1, …, xr ∈ Xr thỏa mãn: y = f(x1, x2, …, xr) Để tính toán (1-38), tr−ớc tiên chúng ta xác định các giá trị x1, x2, ..xr thỏa mãn y = f(x1, x2, …, xr), sau đó tính toán các giá trị )( 1 1 x À , …, )( rA xrà và xác định min{ )( 1 1 x À , …, )( 1xrÀ }. Nếu có nhiều hơn một bộ số (x1, …, xr) cho cùng một giá trị y = f(x1, x2, …, xr), khi đó )(yBà đ−ợc xác định là giá trị lớn nhất của các min( )( 1 1 x À , …, )( rA xrà ) ứng với mỗi bộ số. Trong định nghĩa nguyên lý mở rộng của mình, Zadeh sử dụng minimum t-norm và maximum t-conrm. Ngoai ra, Mizumoto, Tanaka và Dubois còn sử dụng các t-norm và t-conorm. Khi sử dụng một t-norm khác thay cho minimum trong (1-38), chúng ta sẽ thay thế thành phần sup-min bởi sup-star. Một cách tổng quát, tập mờ loại một B đ−ợc xác định từ r tập mờ loại một A1, A2, …Ar lần l−ợt xác định trên X1, X2, …Xr qua hàm f đ−ợc định nghĩa: (1-38) 18 B = f(A1, A2, …Ar) = ),..,(/)(...)(... 11 111 rrAXx AXx xxfxx rrr àà ∗∗∫∫ ∈∈ cho tr−ờng hợp Xi , i =1 ..r là không gian liên tục và B = f(A1, A2, …Ar) = )),..,(/)(...)(... 11 1 11∑ ∑∈ ∈ ∗∗Xx Xx rrAArr r xxfxx àà cho tr−ờng hợp Xi , i =1 ..r là không gian rời rạc Ví dụ nếu f(x1, x2) = x1x2/(x1+x2) khi đó: B = f(A1, A2) = 21 21 1 /)()( 222 111 xx xxxx rAXx AXx +∗∫∫ ∈∈ àà 1.6. Kết luận ch−ơng Trong ch−ơng này đã trình bày sơ l−ợc về khái niệm tập mờ, các phép toán tập hợp trên tập mờ bao gồm các phép toán hợp, giao, lấy phần bù. Ngoài ra, còn giới thiệu về quan hệ mờ và cơ bản về suy diễn mờ. Tập mờ trong ch−ơng này có độ thuộc của mỗi phần tử trong không gian nền là một số thực thuộc đoạn [0, 1], do đó đ−ợc gọi là tập mờ loại một để phân biệt với khái niệm tập mờ loại hai đ−ợc đ−a ra ở ch−ơng tiếp theo. (1-39) (1-40) 19 Ch−ơng 2. tập mờ loại hai 2.1. Giới thiệu chung Trong Ch−ơng một đã đề cập những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết tập mờ. Tuy nhiên, lý thuyết tập mờ thông th−ờng (tập mờ loại một) tiềm ẩn những mâu thuẫn nhất định. Đó là để phát triển bất cứ hệ logic mờ nào, ng−ời thiết kế phải xây dựng hàm thuộc cho các tập mờ sử dụng trong hệ, hay là phải mô tả sự không chắc chắn bằng các hàm thuộc rõ ràng, chắc chắn. Điều đó có nghĩa là việc biểu diễn sự không chắc chắn lại sử dụng các độ thuộc mà bản thân chúng là các số thực chính xác. Năm 1975, Zadeh giới thiệu khái niệm tập mờ loại hai nhằm giải quyết vấn đề trên. Đó là thay vì độ thuộc là một số thực nh− với tập mờ thông th−ờng, với tập mờ loại hai, độ thuộc là một tập mờ loại một trên đoạn [0, 1]. Tập mờ loại hai th−ờng đ−ợc sử dụng trong những tr−ờng hợp khó xác định chính xác giá trị độ thuộc của các phần tử trong không gian nền. Trong ch−ơng này sẽ đề cập đến khái niệm tập mờ loại hai, các phép toán và các tính chất trên nó. 2.2. Hàm thuộc loại hai 2.2.1. Khái niệm tập mờ loại hai Đối với tập mờ loại một, độ thuộc của các phần tử là các giá trị số thực trong khoảng [0, 1]. Trong tr−ờng hợp chúng ta không thể xác định đ−ợc giá trị độ thuộc của các phần tử, khi đó chúng ta có sử dụng các tập mờ loại một đề biểu diễn giá trị độ thuộc đó. Mở rộng tập mờ loại một bằng cách cho phép các độ thuộc là các tập mờ loại một trong khoảng [0, 1] ta đ−ợc khái niệm tập mờ loại hai. Một trong những −u điểm của tập mờ loại hai so với tập mờ loại một đó là nó cho phép biểu diễn các giá trị độ thuộc bằng các giá trị mờ, các giá trị ngôn ngữ chứ không phải là các giá trị số hoàn toàn chính xác. 2.2.2. Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm Hình 2-1 (a) biểu diễn hàm thuộc của một tập mờ loại một. Dịch chuyển các điểm trên đồ thị này sang phải và sang trái một đoạn không nhất thiết bằng nhau, vết mờ đ−ợc tạo ra nh− Hình 2-1 (b). Tại một giá trị cụ thể của x gọi là x’, giá trị hàm thuộc không còn là một giá trị đơn nữa, mà là một tập 20 các giá trị nằm trong đoạn giao cắt của đ−ờng x = x’ với vệt mờ. Nh− vậy, chúng ta có thể gán một biên độ phân tán cho mỗi điểm. Thực hiện việc gán biên độ cho tất cả các điểm x ∈ X, chúng ta tạo ra một hàm thuộc ba chiều – một hàm thuộc loại hai, đặc tr−ng cho tập mờ loại hai. Định nghĩa 2-1: Một tập mờ loại hai, ký hiệu A~ , đ−ợc mô tả bởi một hàm thuộc loại hai ),(~ uxÀ , với x ∈ X và u ∈ Jx ⊆ [0, 1], A~ = {((x,u), ),(~ uxÀ ) | x∀ ∈ X , u∀ ∈ Jx ⊆ [0, 1]} ở đây, ),(~ uxÀ ∈ [0, 1]. Có thể biểu diễn A~ nh− sau: A~ = ),/(),(~ uxux Xx Ju A x ∫ ∫ ∈ ∈ à , Jx ⊆ [0, 1] phép ∫∫ ở đây biểu thị tập hợp tất cả các giá trị có thể chấp nhận của x và u. Ví dụ 2-1: Hình 2-2 diễn tả ),(~ uxÀ cho các giá trị x và u rời rạc. Với X = {1, 2, 3, 4, 5} và U = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8}, J1 = {0, 0.2, 0.4}, J2 = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8}, J3 = {0.6, 0.8} và J4 = J1 . Trong đồ thị, chúng ta chỉ thể hiện các giá trị trong J1, …, J5 có giá trị ),(~ uxÀ ≠ 0. Mỗi đ−ờng (2-1) (2-2) u 1 )(x À 0 (a) 1 0 (b) u u 1 0 (c) Hình 2-1: (a) Hàm thuộc loại một, (b) Vết mờ hàm thuộc loại một, (c) FOU x x x x' 21 thẳng đứng đậm trong hình thể hiện một giá trị ),(~ uxÀ , t−ơng ứng với một cặp giá trị (x, u) xác định. Trong Định nghĩa 2-1, giới hạn các giá trị u: ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1], điều này phù hợp với ràng buộc của một tập mờ loại một: 0 )(x À≤ ≤ 1. Nếu vết mờ (nh− trong ví dụ Hình 2-1 (b)) biến mất thì hàm thuộc loại hai sẽ giảm thành hàm thuộc loại một. Hơn nữa, việc giới hạn 0 ),(~ uxÀ≤ ≤ 1 cũng phù hợp ràng buộc giá trị của một hàm thuộc nằm trong khoảng [0,1]. Định nghĩa 2-2: Tại mỗi giá trị của x, x = x’, mặt phẳng hai chiều mà các trục của nó là u và ),( '~ uxÀ đ−ợc gọi là một lát cắt dọc của ),(~ uxÀ . Một hàm thuộc thứ cấp là một lát cắt dọc của ),(~ uxÀ . Hàm thuộc thứ cấp chính là ),'(~ uxxA =à với x’ ∈ X và ∀u ∈ J x ' ⊆ [0, 1], ),'(~ uxxA =à ≡ )'(~ xÀ = ∫ ∈J uu x u xf /)(' J x ' ⊆ [0, 1] ở đây, 0 ≤≤ )( ' uf x 1. Vì ∀x’ ∈ X, nên ta có thể bỏ dấu phẩy trên )'(~ xÀ quy thành )(~ xÀ là một hàm thuộc thứ cấp. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 4 5 J1 J2 J3 J4 J5 a b c x u ),(~ uxÀ 1 Hình 2-2. Ví dụ về hàm thuộc loại hai (2-3) 22 Sử dụng (2-3), A~ có thể đ−ợc biểu diễn lại d−ới dạng: A~ = {(x, )(~ xÀ ) | Xx∈∀ } hoặc A~ = xx Xx A /)(~∫ ∈ à = x J uu x u x Xx f /]/)([ ∫∫ ∈∈ , Jx ⊆ [0,1] Định nghĩa 2-3: Miền của một hàm thuộc thứ cấp đ−ợc gọi là độ t._.huộc sơ cấp của x. Trong (2-5), Jx là độ thuộc sơ cấp của x, ở đây Jx ⊆ [0,1] với ∀x ∈ X. Định nghĩa 2-4: Giá trị của một hàm thuộc thứ cấp đ−ợc gọi là độ thuộc thứ cấp. Trong (2-5), fx(u) là một độ thuộc thứ cấp; trong (2-1), )','(~ uxÀ ( x’ ∈ X và u’ ∈ U) là một độ thuộc thứ cấp. Nếu X và Jx là các tập rời rạc khi đó vế phải của (2-5) có thể đ−ợc biểu diễn lại nh− (2-6) d−ới đây: xuuJ fA Xx u xx /]/)([~ ∑ ∑∈ ∈= = xf iN i u x u J u xi i /]/)([ 1 ∑ ∑ = ∈ = xuf k M k x 111 /)]([ 1 1 ∑ = + … + xuf NNk M k N Nx /)]([ 1 ∑ = Trong (2-6), x đ−ợc rời rạc hóa thành N giá trị và tại mỗi giá trị của x, u cũng đ−ợc rời rạc hóa thành Mi giá trị. Việc rời rạc hóa dọc theo mỗi biến uik là không giống nhau. Tuy nhiên, nếu việc rời rạc hóa dọc theo mỗi biến uik là nh− nhau thì khi đó Mi = M2 = … = MN = M. Ví dụ 2-2: Trở lại Hình 2-2, hàm thuộc thứ cấp tại x = 1 là a / 0 + b / 0.2 + c / 0.4. Các giá trị độ thuộc sơ cấp của nó tại x = 1 là u = 0, 0.2, 0.4 và các độ thuộc thứ cấp kết hợp với chúng là a, b, c. Khi fx(u) = 1 với ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1] thì các hàm thuộc thứ cấp là các tập khoảng. Nếu điều này là đúng với mọi x ∈ X, khi đó chúng ta gọi tập mờ loại hai này là tập mờ loại hai khoảng và chúng ta có hàm thuộc lọai 2 khoảng. Tập mờ loại hai khoảng sẽ đ−ợc trình bày chi tiết ở Ch−ơng bốn. Ví dụ 2-3: Hàm thuộc thứ cấp dạng Gaussian và tam giác th−ờng có đỉnh tại điểm trung tâm của độ thuộc sơ cấp của x và giá trị hàm thuộc thứ cấp giảm nhanh đối với các điểm xa điểm trung tâm đó. Nh− vậy, giá trị cực đại (2-4) (2-5) (2-6) 23 của fx(u) đạt tại trung điểm của Jx. Một hàm thuộc loại hai Gaussian đ−ợc diễn tả ở Hình 2-3. Định nghĩa 2-5: Độ không chắc chắn trong các độ thuộc sơ cấp của một tập mờ loại hai, A~ , là một miền giới hạn, đ−ợc gọi là chân đế của độ không chắc chắn (FOU). FOU là hợp của tất cả các độ thuộc sơ cấp. FOU( A~ ) = xXx J∈U Về mặt ý nghĩa hình học, FOU mô tả trực quan độ không chắc chắn của tập mờ loại hai, nó là biểu diễn hình học toàn bộ miền trị cho tất cả các độ (2-7) 0 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 1 1 f4(u) x Hình 2-3: (a): Một tập mờ loại hai Gaussian. (b): Hàm thuộc thứ cấp Gaussian tại x = 4 (a) (b) u u 24 thuộc thứ cấp của một hàm thuộc loại hai. Trong các ứng dụng, FOU là một căn cứ đầu tiên để chúng ta lựa chọn các hàm thuộc loại hai phù hợp. Vùng tô đen trong Hình 2-4 (a) minh họa FOU của một tập mờ loại hai. Ví dụ 2-4: Ví dụ này chỉ ra một cách đơn giản để xây dựng một FOU cho một khoảng với hai điểm xác định với các hàm thuộc tam giác. Gọi a là giá trị trung bình của của các điểm bên trái của khoảng, b là giá trị trung bình của các điểm bên phải của khoảng và độ lệch chuẩn của các điểm bên trái là δ a , của các điểm bên phải là δ b . Chúng ta định nghĩa hai khoảng không chắc chắn t−ơng ứng với hai điểm a và b là [a - δ a , a + δ a ] và [b - δ b , b + δ b ]. Gọi r là khoảng cách giữa hai điểm a và b. Gọi T là trung điểm của a và b. Xác định đỉnh của các tam giác là giao điểm của đ−ờng u0.7 0 1 )( 1~ xÀ u 0.8 0 1 )( 2~ xÀ 0.4 Hình 2-4 (b): Các hàm thuộc sơ cấp )( 1~ xÀ và )( 2~ xÀ tại hai điểm x1 và x2. Các hàm thuộc sơ cấp này là các tập mờ khoảng Jx1 Jx2 x1 x2 x 1 Hình 2-4 (a): Miền tô đen là FOU của một tập mờ loại hai. Độ thuộc sơ cấp Jx1 và Jx2 tại điểm x1 và x2 (a) u 25 thẳng song song với trục u đi qua trung điểm T của a và b cắt với đ−ờng u = 1. FOU đ−ợc xác định là hợp của tam giác ((0, a - δ a ), (0, a + δ a ), (a+r/2,1)) và tam giác ((0, b -δ b ), (0, b+δ b ), (b-r/2,1)). (Hình 2-5). Định nghĩa 2-6: Giả sử à A (x | p1, p2, …, pv) trong đó p1, p2, …, pv là các tham số, các giá trị pi biến đổi trong một miền giá trị Pi ,(pi ∈Pi) xác định một họ hàm thuộc loại một. Một hàm thuộc sơ cấp (gọi tắt là MF) đ−ợc định nghĩa là một hàm thuộc loại một bất kỳ trong trong họ hàm thuộc loại một trên: à A (x | p1= p1’ , p2 = p2’ , …, pv = pv’) Để đơn giản, chúng ta ký hiệu một hàm thuộc sơ cấp là à A (x). Một họ hàm thuộc sơ cấp xác định một FOU. Nh− vậy, Định nghĩa 2-6 chỉ cho chúng ta một ph−ơng pháp xác định FOU từ họ hàm thuộc sơ cấp. Các ví dụ sau đây minh họa việc xác định một FOU từ một họ MF. Ví dụ 2-5: Họ hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung bình không chắc chắn. Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với độ lệch chuẩn δ không đổi và giá trị trung bình m biến đổi trong khoảng [m1, m2]: u 1 a b x δ a δ br r/2 Hình 2-5: FOU dạng tam giác 26 à A (x) = exp ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −− 2)(21 δ mx , m ∈ [m1, m2] T−ơng ứng với mỗi giá trị m chúng ta sẽ nhận đ−ợc một đ−ờng cong độ thuộc khác nhau. Họ các đ−ờng cong này xác định một FOU, nh− Hình (2-6). Ví dụ 2-6: Họ hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn không chắc chắn. Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với giá trị trung bình m không đổi và độ lệch chuẩn δ biến đổi trong khoảng [ 1δ , 2δ ] : à A (x) = exp ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −− 2)(21 δ mx , δ ∈ [ 1δ , 2δ ] T−ơng ứng với mỗi giá trị δ chúng ta sẽ nhận đ−ợc một đ−ờng cong độ thuộc khác nhau. Họ các đ−ờng cong này xác định một FOU, nh− Hình (2-7). 2.2.3. Hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới Khái niệm FOU có thể đ−ợc diễn tả bởi một khái niệm khác đó là hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới. (2-8) (2-9) 1 xm1 m2 Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung bình m không chắc chắn 1 m x 1δ 2δ Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn δ không chắc chắn 27 Định nghĩa 2-7: Một hàm thuộc trên và một hàm thuộc d−ới là hai hàm thuộc loại một, là hai đ−ờng biên FOU của một tập mờ loại hai A~ . Hàm thuộc trên đ−ợc gắn với đ−ờng biên trên của FOU( A~ ) và đ−ợc ký hiệu là à A~ (x), ∀x ∈ X. Hàm thuộc d−ới đ−ợc gắn với đ−ờng biên d−ới của FOU( A~ ) và đ−ợc ký hiệu là à A~ (x), ∀x ∈ X. à A~ (x) ≡ )~(AFOU ∀x ∈ X à A~ (x) ≡ )~(AFOU ∀x ∈ X Vì miền trị của một hàm thuộc thứ cấp nằm trong khoảng [0,1] nên hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới luôn luôn tồn tại. Từ (2-7), chúng ta thấy rằng )~(AFOU = xXx J∈U và ) ~(AFOU = J xXx∈U , ở đây J x và J x ký hiệu bao trên và bao d−ới của J x . Nh− vậy, à A~ (x) = J x và à A~ (x) = J x với ∀x ∈ X. Với khái niệm này, chúng ta có thể viết lại (2-5) nh− sau: A~ = ),(~ uxÀ = xx Xx A /)(~∫ ∈ à = ∫ ∫ ∈ ∈Xx u xJ xuuf x /]/)([ = ∫ ∫ ∈ ∈Xx xxu xAA xuuf)](),([ ~~ /]/)([ àà Khi đó hàm thuộc thứ cấp à A~ (x) có thể đ−ợc viết lại theo (2-13): à A~ (x) = ∫ ∈ )](),([ ~~ /)(xxu xAA uufàà 2.3. Tập mờ loại hai nhúng Định nghĩa 2-8: Cho hai không gian liên tục X và U, một tập mờ loại hai nhúng A~ đ−ợc định nghĩa: eA ~ = xf x Xx /]/)([∫∫ ∈ θθ , J x∈θ ⊆ U = [0,1] Tập eA ~ đ−ợc nhúng trong tập A~ . Có vô số các tập mờ loại hai đ−ợc nhúng trong A~ khi X và U là hai không gian liên tục. (2-10) (2-11) (2-12) (2-13) (2-14) 28 Tại mỗi giá trị của x, hàm thuộc của eA ~ nhận duy nhất một giá trị độ thuộc sơ cấp θ , ( J x∈θ ) và đ−ợc kết hợp với một độ thuộc thứ cấp )(θf x . Hình 2-8 là một ví dụ về một tập mờ loại hai nhúng. Nh− vậy, một tập mờ loại hai A~ có thể đ−ợc hiểu là một tập hợp các tập mờ loại hai eA ~ , đ−ợc gọi là các tập mờ loại hai nhúng trong A~ . Khi tính toán với tập mờ loại hai, chúng ta th−ờng rời rạc hóa không gian X và U nh− trong (2-6). Khi đó, sẽ có một số hữu hạn các tập mờ loại hai nhúng eA ~ trong A~ . Định nghĩa 2-9: Cho hai không gian rời rạc X và U, một tập mờ loại hai nhúng eA ~ có N phần tử là các giá trị độ thuộc sơ cấp ký hiệu là θ 1 , θ 2 , …, θ N với J xii ∈θ ,(i = 1..N) và mỗi giá trị độ thuộc sơ cấp θ i này đ−ợc kết hợp với duy nhất một giá trị độ thuộc thứ cấp )(θ if xi , (i = 1 ..N). eA ~ = xf i N i iixi /]/)([ 1∑= θθ , J xii ∈θ ⊆ U = [0,1] Tập eA ~ đ−ợc nhúng trong A~ , và có tổng số ∏=Ni iM1 tập mờ nhúng eA~ trong A~ . Định nghĩa 2-10: Cho hai không gian liên tục X và U, một tập mờ loại một nhúng eA đ−ợc định nghĩa: (2-15) 1 x Hình 2-8: Ví dụ về một tập loại một nhúng (đ−ờng đứt tô đậm) trong một tập mờ loại hai. 29 eA = ∫ ∈Xx x/θ , θ ∈ J x ⊆ U = [0,1] Tập eA là tập tất cả các độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai nhúng eA ~ đ−ợc định nghĩa trong (2-14). Có vô số tập mờ loại một nhúng eA của eA ~ khi hai tập X và U liên tục. Định nghĩa 2-11: Cho hai không gian rời rạc X và U, trong mỗi tập J x1 , J x2 , .., J xN , là N độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai A ~ , ta chọn duy nhất một phần tử θ i (θ i J xi∈ , i =1 ..N) ta đ−ợc N phần tử và tạo thành một tập mờ loại một nhúng đ−ợc xác định nh− sau: eA = xi N i i∑ =1 /θ , iθ ∈ J xi ⊆ U = [0,1] Nh− vậy, tập eA là tập hợp tất cả các độ thuộc sơ cấp của eA ~ đ−ợc định nghĩa trong (2-15). Có tất cả ∏=Ni iM1 tập mờ nhúng eA . Ví dụ 2-7: Hình 2-9 thể hiện hai tập mờ loại hai nhúng của hàm thuộc loại hai đ−ợc diễn tả trong Hình 2-2. T−ơng ứng với mỗi tập mờ loại hai nhúng đó là các tập mờ loại một nhúng: 0 / 1 + 0.4 / 2 + 0.8 / 3 + 0.8 / 4 + 0.4 / 5 (Hình 2-9 (a)) và 0.2 / 1 + 0.8 / 2 + 0.6 / 3 + 0.2 / 4 +0.2 / 5 (Hình 2-9 (b)) . (2-17) (2-16) ),(~ uxÀ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 4 5 J1 J2 J3 J4 J5 x u 1 (a) 30 2.4. Các phép toán trên tập mờ loại hai Trong phần này đề cập tới các phép toán tập hợp đối với tập mờ loại hai nói chung. Các phép toán tập hợp bao gồm phép hợp, giao, phần bù. Cho hai tập mờ loại hai A~ và B~ xác định trên cùng không gian X: A~ = xx X A /)(~∫ à = xuuJ fX xuX /]/)([∫ ∫ ]1,0[⊆J ux B~ = xx X B /)(~∫ à = xwwJ gX xWX /]/)([∫ ∫ ]1,0[⊆J wx 2.4.1. Hợp của các tập mờ loại hai Định nghĩa 2-12: Hợp của hai tập mờ loại hai A~ và B~ là một tập mờ loại hai đ−ợc xác định nh− sau: A~ ∪ B~ ⇔ ),(~~ vxBÀ ∪ = xxXx BA /)(~~∫ ∈ ∪à = xvvJv hXx xv X /]/)([∫ ∫∈ ∈ , ]1,0[⊆J vx 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 4 5 J1 J2 J3 J4 J5 x u ),(~ uxÀ 1 Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng đ−ợc gắn với hàm thuộc loại hai đ−ợc biểu diễn trong Hình 2-2 (b) (2-18) (2-19) (2-20) 31 ở đây: vv J hv x v x /)(∫∈ = )/)(,/)(( wwJ J guufux wxu w xx∫ ∫∈ ∈ϕ = ))(),(( ~~ xx BA ààϕ và hàm ϕ đóng vai trò là của hàm f trong biểu thức (1-39) trong Ch−ơng một, là một hàm t-conorm của các hàm độ thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , ( )(~ xÀ và )(~ xBà là các tập mờ loại một). ϕ là một hàm t-conorm bởi vì hợp của hai tập mờ loại một t−ơng đ−ơng với một t-conorm (chẳng hạn nh− maximum) của các hàm thuộc của chúng. Theo công thức (1-39) ở Ch−ơng một, chúng ta có thể biểu diễn lại (2-21) nh− trong (2-22) d−ới đây: )/)(,/)(( ww J J guufu x w x u w xx∫ ∫∈ ∈ϕ = ),(/)()( wuwguJ J f xu w xux wx ϕ∗∫ ∫∈ ∈ Khi ϕ là phép toán maximun ∨ , khi đó, từ (2-21) và (2-22) chúng ta có: )(~~ xBÀ ∪ = vvJ hvxv x /)(∫∈ = )/()()( wuwguJ J f xu w xux wx ∨∗∫ ∫∈ ∈ , x ∈ X ở đây, dấu ∗ thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó. Một cách khác để diễn tả (2-23) theo hàm thuộc thứ cấp của A~ và B~ , )(~ xÀ và )(~ xBà nh− sau: )(~~ xBÀ ∪ = )/()()( vwguJ J f xu w xux wx ∗∫ ∫∈ ∈ ≡ )(~ xÀ C )(~ xBà , x ∈ X ở đây, v ≡ u ∨ w và C thể hiện phép tuyển (join). Sử dụng ký hiệu )(~ xÀ C )(~ xBà để thể hiện phép tuyển giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , và đó là một cách viết ngắn gọn cho biểu thức ở giữa của (2-24). Biểu thức (2-24) chỉ ra rằng, để xác định một phép tuyển giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , tr−ớc tiên, ta phải xác định tất cả các giá trị v ≡ u ∨ w ,với mọi cặp u, w có thể (với u J ux∈ và w J wx∈ là các độ thuộc sơ cấp của A~ và B~ t−ơng ứng); t−ơng ứng với mỗi cặp u, w , ta xác định các độ (2-21) (2-22) (2-23) (2-24) 32 thuộc thứ cấp của )(~~ xBÀ ∪ theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp của )(~ xÀ và )(~ xBà là )(uf x và )(wg x t−ơng ứng. Theo (2-20), để nhận đ−ợc ),(~~ vxBÀ ∪ ta phải xác định phép tuyển giữa )(~ xÀ và )(~ xBà với mọi giá trị x ∈ X. Trong tr−ờng hợp có nhiều hơn một cặp giá trị u và w cho cùng một giá trị u ∨ w, khi đó trong phép tuyển, chúng ta sẽ chọn giá trị độ thuộc lớn nhất. Ví dụ: Nếu hai cặp giá trị (u1, w1) và (u2, w2) có cùng giá trị u1∨ w1 = u2∨ w2 = θ , thì giá trị độ thuộc thứ cấp t−ơng ứng với θ đ−ợc chọn là maximum(fx(u1)∗gx(w1), fx(u2)∗gx(w2)). 2.4.2. Giao của các tập mờ loại hai Định nghĩa 2-13: Giao của hai tập mờ loại hai A~ và B~ là một tập mờ loại hai đ−ợc xác định nh− sau: A~ ∩ B~ ⇔ ),(~~ vxBÀ ∩ = xxXx BA /)(~~∫ ∈ ∩à = xvvJv hXx xv X /]/)([∫ ∫∈ ∈ , ]1,0[⊆J vx ở đây: vv J hv x v x /)(∫∈ = )/)(,/)(( wwJ J guufux wxu w xx∫ ∫∈ ∈ϕ = ))(),(( ~~ xx BA ààϕ Từ công thức (1-39) ở Ch−ơng một, (2-26) có thể đ−ợc biểu diễn lại: )/)(,/)(( ww J J guufu x w x u w xx∫ ∫∈ ∈ϕ = ),(/)()( wuwguJ J f xu w xux wx ϕ∗∫ ∫∈ ∈ ở đây hàm ϕ là một minimun, ta sử dụng ký hiệu ∧ thay cho ϕ . Khi đó từ (2-25) và (2-27) ta có: )(~~ xBÀ ∩ = vvJ hvxv x /)(∫∈ = )/()()( wuwguJ J f xu w xux wx ∧∗∫ ∫∈ ∈ , x ∈ X ở đây, dấu ∗ thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó. Ta có thể biểu diễn (2-28) theo hàm thuộc thứ cấp của của A~ và B~ , )(~ xÀ và )(~ xBà : (2-25) (2-26) (2-27) (2-28) 33 )(~~ xBÀ ∩ = )/()()( vwguJ J f xu w xux wx ∗∫ ∫∈ ∈ ≡ )(~ xÀ ∏ )(~ xBà , x ∈ X ở đây, v ≡ u ∧ w và ∏ thể hiện phép toán hội (meet). Sử dụng ký hiệu )(~ xÀ ∏ )(~ xBà để thể hiện phép hội giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , và đó là một cách viết ngắn gọn cho biểu thức ở giữa của (2-29). Biểu thức (2-29) chỉ ra rằng, để xác định một phép hội giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , tr−ớc tiên, ta phải xác định tất cả các giá trị v ≡ u ∧ w ,với mọi cặp u, w có thể (với u J ux∈ và w J wx∈ là các độ thuộc sơ cấp của A~ và B~ t−ơng ứng); t−ơng ứng với mỗi cặp u, w , ta xác định các độ thuộc thứ cấp của )(~~ xBÀ ∪ theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp của )(~ xÀ và )(~ xBà là )(uf x và )(wg x t−ơng ứng. Theo (2-25), để nhận đ−ợc ),(~~ vxBÀ ∩ ta phải xác định phép hội giữa )(~ xÀ và )(~ xBà với mọi giá trị x ∈ X. Trong tr−ờng hợp có nhiều hơn một cặp giá trị u và w cho cùng một giá trị u ∧ w, khi đó trong phép tuyển, chúng ta sẽ chọn giá trị độ thuộc lớn nhất. Ví dụ nếu hai cặp giá trị (u1, w1) và (u2, w2) có cùng giá trị u1∨ w1 = u2∨ w2 = θ , thì giá trị độ thuộc thứ cấp t−ơng ứng với θ đ−ợc chọn là maximum(fx(u1)∗gx(w1), fx(u2)∗gx(w2)). 2.4.3. Phần bù của một tập mờ loại hai Định nghĩa 2-14: Phần bù của một tập mờ loại hai A~ là một tập mờ loại hai khác, ký hiệu A~ đ−ợc xác định nh− sau: A~ ⇔ à A~ (x,v) = xxXx A /)(~∫ ∈ à Trong biểu thức này )(~ xÀ là một hàm thuộc thứ cấp; tại mỗi giá trị của x, )(~ xÀ là một hàm (không giống nh− trong tập mờ loại một, tại mỗi giá trị của x, )(x À là một giá trị). (2-29) (2-30) 34 )(~ xÀ = )1/()( uuJ fuxu x −∫ ∈ ≡ )(~ xÀơ , x∈ X ở đây ơ ký hiệu cho phép toán phủ định. Sử dụng ký hiệu )(~ xÀơ để thể hiện đó là phần bù của )(~ xÀ , thay cho cách viết của biểu thức ở giữa của (2-31). Biểu thức (2-31) chỉ ra rằng, để thực hiện phép phủ định của một hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ , ta phải tính toán các giá trị 1-u, với mọi u J ux∈ , và độ thuộc của )(~ xÀ tại 1-u chính là độ thuộc của )(~ xÀ , fx(u). Theo (2-30), để nhận đ−ợc à A~ (x,v), ta phải xác định phủ )(~ xÀơ cho ∀x ∈ X. Ví dụ 2-8: Để minh họa cho các phép toán hợp, giao, phần bù của hai tập mờ loại hai, chúng ta xem xét ví dụ sau đây. Cho hai tập mờ loại hai, A~ và B~ : A~ = x 1.0/7.00/5.0 + và B~ = x 8.0/9.04.0/3.0 + Nh− vậy, tập xác định X của hai tập mờ A~ và B~ có một phần tử x duy nhất và hàm thuộc thứ cấp t−ơng ứng là )(~ xÀ = 0.5 / 0 + 0.7 / 0.1 và )(~ xBà = 0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8. Từ (2-24), sử dụng minimum t-norm và maximum t-conorm, ta có: )(~~ xBÀ ∪ = )(~ xÀ C )(~ xBà = (0.5 / 0 + 0.7 / 0.1) C (0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8) = 4.00 3.05.0 ∨ ∧ + 8.00 9.05.0 ∨ ∧ + 4.01.0 3.07.0 ∨ ∧ + 8.01.0 9.07.0 ∨ ∧ = 0.3 / 0.4 + 0.5 / 0.8 + 0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8 = max(0.3, 0.3) / 0.4 + max(0.5, 0.7)/ 0.8 =0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8 Từ (2-29), sử dụng mini t-norm và maximum t-conorm, ta có: )(~~ xBÀ ∩ = )(~ xÀ ∏ )(~ xBà = (0.5 / 0 + 0.7 / 0.1) ∏ (0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8) (2-31) 35 = 4.00 3.05.0 ∧ ∧ + 8.00 9.05.0 ∧ ∧ + 4.01.0 3.07.0 ∧ ∧ + 8.01.0 9.07.0 ∧ ∧ = 0.3 / 0 + 0.5 / 0 + 0.3 / 0.1 + 0.7 / 0.1 = max(0.3, 0.5) / 0 + max(0.3, 0.7) / 0.1 =0.5 / 0 + 0.7 / 0.1 Từ (2-29), ta có: )(~ xÀ = )(~ xÀơ = 0.5/(1 - 0) + 0.7/(1 - 0.1) = 0.5/1 + 0.7/0.9 Ví dụ 2-9: Tiếp theo, chúng ta xem xét hội của một tập mờ loại hai đơn trị (singleton), A~ và một tập mờ loại hai, B~ . Tập mờ loại hai đơn trị, A~ là một tập mờ loại hai có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau: ),(~ vxÀ = ⎩⎨ ⎧ ≠∀ = ' ' 0/1 1/1 xx xx Tập mờ loại hai B~ đ−ợc diễn tả bởi hàm thuộc ),(~ wxBà : ),(~ wxBà = xxX B /)(~∫ à = xwwJ gX xWX /]/)([∫ ∫ ]1,0[⊆J wx Từ (2-29), (2-31), (2-33) và sử dụng minimum t-norm chúng ta có: )(~ xÀ ∏ )(~ xBà = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠∀ = ∏ ∏ ')(0/1 ')'(1/1 ~ ~ xxx xxx B Bà à = ⎩⎨ ⎧ ≠∀ =∏ '0/1 ')'(1/1 ~ xx xxx Bà = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠∀ ⊂=∧∈∫ '0/1 ]1,0[')]1/()( '' xx Jandxxww Jw g wxxW X = ⎩⎨ ⎧ ≠∀ = '0/1 ')'(~ xx xxx Bà (2-32) (2-33) (2-34) 36 Nh− vậy, về mặt đồ thị, hội giữa một tập mờ loại hai đơn trị, A~ , và một tập mờ loại hai, B~ , là một lát cắt dọc của ),(~ wxBà tại x = x’ ( )'(~ xBà ) và )'(~ xBà là một tập mờ loại một. 2.5. Kết luận ch−ơng Trên đây là những khái niệm cơ bản về tập mờ loại hai. Tập mờ loại hai là sự mở rộng của tập mờ loại một, nó đ−ợc đặc tr−ng bởi các độ thuộc sơ cấp và các hàm thuộc thứ cấp, giá trị của các độ thuộc sơ cấp và thứ cấp đều thuộc đoạn [0, 1]. Tập mờ loại hai đ−ợc biểu diễn trong không gian ba chiều. Một trong những đặc tr−ng quan trọng của tập mờ loại hai đó là FOU. FOU của một tập mờ loại hai là hợp của các độ thuộc sơ cấp, nó cho biết độ không chắc chắn của một tập mờ loại hai. FOU cho phép nhìn một tập mờ loại hai trong không gian hai chiều. FOU là yếu tố quyết định tới độ phức tạp và chất l−ợng của một hệ logic mờ và nó là một trong những cơ sở xem xét đầu tiên khi thiết kế các hệ logic mờ loại hai. Ngoài ra, ch−ơng này còn đề cập tới các phép toán cơ bản trên tập mờ loại hai bao gồm các phép toán hợp, giao, phần bù. Các phép toán này đ−ợc xác định trên cơ sở phép hội, phép tuyển hoặc một hàm do ng−ời dùng tự định nghĩa. Đây là công cụ để thực hiện các suy diễn đối với tập mờ loại hai mà chúng ta sẽ đề cập tới ở ch−ơng tiếp theo. 37 Ch−ơng 3. Suy diễn với tập mờ loại hai Suy diễn mờ đóng vai trò quan trọng trong một hệ logic mờ, ph−ơng pháp suy diễn quyết định tính phức tạp và chất l−ợng của hệ logic mờ. Hình 3-1 mô tả một hệ logic mờ loại hai, mô tơ suy diễn dựa trên cơ sở các luật mờ để xác định tập mờ đầu ra cho mỗi tập mờ đầu vào. Việc suy diễn mờ có thể đ−ợc thực hiện theo nhiều cách khác nhau song chúng đều đ−ợc xác định dựa trên mối quan hệ mờ giữa các luật. Trong phần này giới thiệu một số ph−ơng pháp suy diễn mờ cơ bản. Tr−ớc khi đi vào các ph−ơng pháp suy diễn, chúng ta xem xét khái niệm quan hệ mờ loại hai và ph−ơng pháp xác định các thành phần của một quan hệ mờ loại hai; các dạng biểu diễn th−ờng gặp của các luật mờ, ph−ơng pháp chuyển đổi một dạng biểu diễn mờ về dạng biểu diễn chuẩn. 3.1. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành 3.1.1. Khái niệm chung Một quan hệ R(A1, A2, …, An) của n tập rõ A1, A2,..An, là một tập rõ trong không gian tích Đê-các A1ìA2ì ..ìAn và R(A1, A2, …, An) ∈ A1ìA2ì ..ìAn. Chúng ta có thể sử dụng hàm thuộc để biểu diễn mối quan hệ rõ này nh− sau: Tập rõ đầu vào Mờ hoá Tập mờ đầu vào Suy diễn Các luật Giảm mờ Giảm loại Tập mờ đầu ra x Tập rõ đầu ra y Tập mờ giảm loại Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai 38 ),..,( 21 aaRà = ⎩⎨ ⎧ ∈ lại ng−ợc nếu 0 ),..A A,R(A),..aa ,(anếu1 n21n21 Một quan hệ mờ loại một F(A1, A2, …, An) là một tập mờ loại một đ−ợc định nghĩa trên không gian tích Đê-các của n tập rõ A1, A2, …, An, ở đây mỗi bộ số (a1, a2, …, an) có một độ thuộc à F (a1, a2, …, an) ∈[0,1] và đ−ợc ký hiệu: F(A1, A2, …, An) = ),...,/(),...,( 2121..21 nnAAA F aaaaaa n ∫ ììì à , ii Aa ∈ Một quan hệ mờ loại hai ),...,,(~ 21 nAAAF là một tập mờ loại hai đ−ợc định nghĩa trên không gian tích Đê-các của n tập rõ A1, A2, …, An, đ−ợc ký hiệu: ),...,,(~ 21 nAAAF = ),...,/(),...,( 2121.. ~21 nnAAA F aaaaaa n ∫ ììì à , ii Aa ∈ ở đây, ),..,,( 21~ nF aaaà là một hàm thuộc thứ cấp và là một tập mờ loại một tại mỗi bộ (a1, a2, …, an). 3.1.2. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên cùng một không gian Xét hai không gian tích Đê-các U và V. Gọi ),(~ vuR và ),(~ vuS là hai quan hệ mờ đ−ợc định nghĩa trên các không gian tích Đê-các UìV. Hàm thuộc thứ cấp của ),(~ vuR và ),(~ vuS là các tập mờ loại một. Chúng ta có thể biểu diễn ),(~ vuR và ),(~ vuS theo hàm thuộc thứ cấp nh− sau: ),(~ vuR = ),/(),(~ vuvuVU R∫ ì à = ),/(])([ ),( ),( vuJVU vuvu r∫ ∫ì ∈ αα α ),(~ vuS = ),/(),(~ vuvu VU S∫ ì à = ),/(])([ ),( ),( vuJVU vuvu r∫ ∫ì ∈ βα β ở đây, các hàm thuộc sơ cấp J vuα ),( , J vuβ ),( ∈ [0,1]. Từ (2-36) và (2-41) trong Ch−ơng hai, chúng ta có thể xác định hợp và giao của hai quan hệ mờ này: ),(~~ vuSRà ∪ = ),(~ vuRà C ),(~ vuSà = )/()()( ),(),( ),( ),( βαβαα βα β ∨∗∫ ∫∈ ∈ vuvu sJ J rvu vu (3-1) (3-2) (3-3) (3-4) (3-5) (3-6) 39 ),(~~ vuSRà ∩ = ),(~ vuRà ∏ ),(~ vuSà = )/()()( ),(),( ),( ),( βαβαα βα β ∧∗∫ ∫∈ ∈ vuvu sJ J rvu vu Để minh họa cho hai phép toán trên, chúng ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 3-3: Xét các mối quan hệ mờ sau: “u gần v” và “u nhỏ hơn v”; và “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v”. Các mối quan hệ này trên cùng không gian UìV. Giả sử U = {u1, u2} = {2, 12} và V = {v1, v2, v3} = {1, 7, 13}. Giá trị độ thuộc thứ cấp của các mối quan hệ mờ: “gần”, ký hiệu là c~ và “nhỏ hơn” , ký hiệu là s~ đ−ợc biểu diễn qua ma trận d−ới đây: v1 v2 v3 U1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1 ),(~ vucà = U2 0.5/0+1/0.1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và: v1 v2 v3 U1 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 0.8/0.3 + 0.8/0.4 + 0.9/0.5 + 1/0.6 0.9/0.9 + 1/1 ),(~ vusà = U2 1/0 + 0.1/0.1 + 0.1/0.2 1/0 + 0.3/0.1 1/0.3+0.9/0.4+0.4/0.5 ở đây ),(~ vucà là hàm thuộc của quan hệ mờ “u gần v” và ),(~ vusà là hàm thuộc của quan hệ mờ “u nhỏ hơn v”. Bằng trực giác chúng ta thấy mối quan hệ mờ “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” phù hợp hơn mối quan hệ mờ “u gần v” và “u nhỏ hơn v”. Với khái niệm quan hệ mờ, bây giờ chúng ta xác định các hàm thuộc thứ cấp của phép hợp và giao của hai quan hệ mờ trên: Từ (3-6) và (3-7), sử dụng minimun t-norm và maximum t-cornorm ta có: ),( 11~~ vuSRà ∪ = (0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) C (1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5) = (0.3∧1)/(0.8∨0) + (0.3∧0.9)/(0.8∨ 0.1) + (0.3∧0.4)/(0.8∨ 0.5) + (1∧1)/(0.9∨0) + (1∧0.9)/(0.9∨ 0.1) + (1∧0.4)/(0.9∨ 0.5) + 0.7∧1)/(1∨ 0) + (0.7∧0.9)/(1∨ 0.1) + (0.7∧0.4)/(1∨0.5) = 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.9/0.9 + 0.4/0.9 + 0.7/1 + (3-7) 40 0.7/1+0.4/1 = 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 và ),( 11~~ vuSRà ∩ = (0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) ∏ (1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5) = (0.3∧1)/(0.8∧0) + (0.3∧0.9)/(0.8∧0.1) + (0.3∧0.4)/(0.8∧0.5) + (1∧1)/(0.9∧0) + (1∧0.9)/(0.9∧0.1) + (1∧0.4)/(0.9∧0.5) + (0.7∧1)/(1∧0) + (0.7∧0.9)/(1∧0.1) + (0.7∧0.4)/(1∧0.5) = 0.3/0 + 0.3/0.1 + 0.3/0.5 + 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 + 0.7/0 + 0.7/0.1+0.4/0.5 = 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 Tính toán t−ơng tự cho mọi giá trị ui và vj với i = 1, 2 và j = 1, 2, 3 ta nhận đ−ợc ),(~~ vuSRà ∪ và ),(~~ vuSRà ∩ : v1 v2 v3 u1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+0.8/0.4+ 0.9/0.5+1/0.6 0.9/0.9+1/1 ),(~~ vuSRà ∪ = u2 0.5/0+1/0.1+0.1/0.2 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và: v1 v2 v3 u1 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 0.8/0.3 + 1/0.4 + 0.1/0.5 0.5/0 + 1/0.1 ),(~~ vuSRà ∩ = u2 1/0 + 0.1/0.1 1/0 + 0.3/0.1 1/0.3+0.9/0.4+0.4/0.5 Nh− vậy, từ kết quả trên chúng ta thấy rằng các giá trị độ thuộc sơ cấp có giá trị độ thuộc thứ cấp khác 0 trong phép hợp nhìn chung lớn hơn so với phép giao. Điều này khẳng định mối quan hệ “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” phù hợp hơn so với mối quan hệ “ u gần v” và “u nhỏ hơn v”. 41 3.1.3. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên các không gian khác nhau Gọi UìV và VìW là hai không gian tích Đê-các khác nhau. Giả sử R~ (U,V) và S~ (V,W) là hai quan hệ mờ loại hai xác định trên hai không gian đó. Phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ R~ (U,V) và S~ (V,W) là một tập mờ loại hai xác định trên không gian UìW có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau: à SR ~~o (u,w) = Vv∈C [ ),(),( ~~ wvvu SR ∏àà ] u∈U, w∈W Để minh họa cho (3-8) chúng ta xem xét ví dụ sau đây: Ví dụ 3-4: Xét hai quan hệ mờ trên hai không gian tích Đê-các khác nhau: quan hệ mờ “u gần v” (ký hiệu là c~ ) trên không gian UìV, ở đây U= {u1, u2}={2, 12} và V={v1, v2, v3} = {1, 7, 13}; và quan hệ mờ “v lớn hơn nhiều w” (ký hiệu là bm~ ) trên không gian VìW, ở đây W={w1, w2}={4, 8}. Hàm thuộc của các quan hệ mờ này lần l−ợt là ),(~ vucà và ),(~ wvbmà đ−ợc xác định nh− sau: v1 v2 v3 u1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1 ),(~ vucà = u2 0.5/0+1/0.1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và: w1 w2 v1 1/0+0.6/0.1 1/0+0.1/0.1 v2 0.4/0.5+1/0.6+0.9/0.7 1/0+0.8/0.1+0.2/0.2 ),(~ wvbmà = v3 0.7/0.9+1/1 0.5/0.6+1/0.7+0.7/0.8 Từ (3-8), phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ loại hai c~ và bm~ có hàm thuộc đ−ợc xác định theo (3-9) d−ới đây: à bmc ~~o (ui,wj) = [à c~ (ui,v1)∏à bm~ (v1,wj) ] C [à c~ (ui,v2)∏à bm~ (v2,wj) ] C [à c~ (ui,v3)∏à bm~ (v3,wj) ] ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3. Chẳng hạn: (3-8) (3-9) 42 à bmc ~~o (u1,w1) = [(0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1)∏ (1/0+0.6/0.1)] C [(0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5)∏ (0.4/0.5+1/0.6+0.9/0.7)] C [(0.5/0+1/0.1)∏ (0.7/0.9+1/1)] = 0.7/0.3 + 1/0.4 Tính toán t−ơng tự với mọi ui và vj , i = 1,2 và j = 1, 2, 3 ta nhận đ−ợc à bmc ~~o (u,w): w1 w2 u1 0.7/0.3+1/0.4 0.5/0+1/0.1+0.2/0.2 à bmc ~~o (u,w) = u2 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 0.5/0.6+1/0.7+0.7/0.8 3.1.4. Phép hợp thành của một tập mờ loại hai và một quan hệ mờ loại hai Trong phần này xem xét phép hợp thành của một tập mờ loại hai R~ và một quan hệ mờ loại hai S~ . Giả sử tập mờ loại hai )(~ UR xác định trên không gian U và có hàm thuộc thứ cấp là )(~ uRà ; quan hệ mờ loại hai ),(~ VUS xác định trên không gian UìV và có hàm thuộc thứ cấp là ),(~ vuSà . Khi đó, phép hợp thành của )(~ UR và ),(~ VUS đ−ợc xác định trên V và có hàm thuộc thứ cấp )(~~ vSRà o đ−ợc xác định nh− sau: )(~~ vSRà o = Uu∈C [ )(~ uRà ∏ ),(~ vuSà ] Biểu thức (3-10) đóng vai trò quan trọng nh− là một bộ máy suy diễn của một luật mờ mà các tập mờ giả thiết và kết luận của nó là các tập mờ loại hai. Đây là bộ máy suy diễn cơ bản cho các luật trong một hệ logic mờ loại hai. Ví dụ 3-5: Để minh họa điều này chúng ta xem xét ví dụ sau: xác định phép hợp thành giữa một quan hệ mờ loại hai “u gần v” ( gọi là c~ ) xác định trên không gian UìV có hàm thuộc thứ cấp là ),(~ vucà và một tập mờ loại hai “nhỏ” (gọi là s~ ) xác định trên U có hàm thuộc thứ cấp là )(~ uSà . Giả sử U = {2, 12}, V = {1, 7, 13}; ),(~ vucà và )(~ uSà đ−ợc cho nh− sau: (3-10) 43 v1 v2 v3 u1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1 ),(~ vucà = u2 0.5/0+1/0.1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và u1 u2 )(~ uSà = 0.5/0.7 + 1/0.9 1/0.1+0.3/0.4 áp dụng (3-10), ta xác định đ−ợc hàm thuộc của phép hợp thành giữa tập mờ loại hai s~ và quan hệ mờ c~ : )(~~ jcs và o = [ )( 1~ uSà ∏ ),( 1~ jc vuà ] C [ )( 2~ uSà ∏ ),( 2~ jc vuà ] với j = 1, 2, 3, thay các giá trị của ),(~ vucà và )(~ uSà vào (3-11) ta nhận đ−ợc: v1 v2 v3 )(~~ vcsà o = 0.5/0.7 + 0.3/0.8 + 1/0.9 0.7/0.3 + 1/0.4 + 0.1/0.5 1/0.1 + 0.3/0.4 3.2. Tích Đê-các của các tập mờ loại hai Nh− chúng ta đã biết, tích Đê-các của n tập mờ loại một, A1, A2, …An lần l−ợt xác định trên các không gian X1, X2, …, Xn và có các hàm thuộc t−ơng ứng là )( 1 1 x À , )( 22 xÀ , …, )( nA xnà là một tập mờ loại một xác định trên không gian X1ìX2ì …ìXn và có hàm thuộc đ−ợc xác định theo (3-12): ),...,,( 21...21 nAAA xxx n à ììì = )( 11 xÀ ∗ )( 22 xÀ ∗ …∗ )( nA xnà ở đây x1∈ X1 , x2∈ X2, …, xn∈ Xn và dấu ∗ thể hiện một t-norm (chẳng hạn minimum). Giả sử 1 ~A , 2 ~A , …, nA ~ là các tập mờ loại hai lần l−ợt xác định trên các không gian X1, X2, …, Xn và có các hàm thuộc thứ cấp t−ơng ứng là )( 1~ 1 x À , )( 2~ 2 x À , …, )(~ nA xnà . Tích Đê-các của 1~A , 2~A , …, nA~ , ký hiệu 1~A ì 2~A ì (3-11) (3-12) 44 …ì nA~ là một tập mờ loại hai xác định trên không gian X1ìX2ì …ìXn và có hàm thuộc thứ cấp đ−ợc xác định theo (3-13): ),...,,( 21~...~~ 21 nAAA xxx n à ììì = )( 1~1 xÀ ∏ )( 2~2 xÀ ∏…∏ )(~ nA xnà ở đây x1∈ X1 , x2∈ X2, …, xn∈ Xn và dấu ∏ thể hiện phép toán hội. Trong (3-13), )(~ iA xià là hàm thuộc thứ cấp của iA~ tại giá trị xi và ),...,,( 21~...~~ 21 nAAA xxx n à ììì là giá trị hàm thuộc của tích Đê-các 1~A ì 2~A ì …ì nA~ tại giá trị (x1,…, xn). Ví dụ 3-6: Xét hai không Đê-các U = {u1, u2, u3} và V = {v1, v2}. Giả sử F~ là tập mờ loại hai xác định trên U và G~ là tập mờ loại hai xác định trên V; F~ và G~ có hàm thuộc thứ cấp nh− sau: u1 u2 u3 )(~ uFà = 0.9/0.2+0.9/0.8+0.4/1 0.1/0.4+1/0.7+1/1 0.6/0+0.8/0.2 v1 v2 )(~ vGà = 0.4/0.5+0.3/0.6 0.7/0.6+0.6/0.8+0.1/0.9 Hàm thuộc của tích Đê-các của F~ và G~ đ−ợc xác định nh− sau: ),(~~ jiGF vuà ì = )(~ iF uà ∏ )(~ jG và , i = 1, 2, 3 và j = 1, 2. Thay các giá trị của )(~ uFà và )(~ vGà vào (3-14) ta nhận đ−ợc v1 v2 u1 0.4/0.2+ 0.4/0.5+0.3/0.6 0.7/0.2+0.7/0.6+0.6/0.8+0.1/0.9 u2 0.1/0.4+0.4/0.5+0.3/0.6 0.1/0.4+0.7/0.6+0.6/0.7+0.6/0.8+0.1/0.9 ),(~~ vuGFà ì u3 0.4/0+0.4/0.2 0.6/0.7+0.7/0.2 (3-13) (3-14) 45 3.3. Các dạng luật mờ Chúng ta xem xét các dạng luật mờ tr._.