Tập các ideals nguyên tố trong các PI - Đại số

biết ơn sâu sắc đến người thầy đã từng bước hướng dẫn tác giả tìm hiểu các kiến thức cơ bản và các kết quả nghiên cứu mới cũng như định hướng và hướng dẫn tác giả tự giải quyết các vấn đề được đề ra trong đề cương luận văn. Tác giả cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đến Phĩ Giáo Sư Tiến sỹ Mỵ Vinh Quang, Tiến sỹ Trần Huyên những người thầy đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả nâng cao chuyên mơn và phương pháp làm việc cĩ hiệu quả trong suốt thời gian của khĩa học sau đại học tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh. Tác giả cũng xin trân trọng cám ơn đến quý thầy cơ giáo thuộc Khoa Tốn – Tin của Trường Đại Học Sư Phạm Tp. HCM, Phịng KHCN – SĐH của Trường Đại Học Sư Phạm Tp. HCM đã tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp tác giả trong suốt quá trình tham gia khĩa học tại trường và quá trình hồn thành luận văn này. Tác giả cũng bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và bạn bè cùng khĩa học đã động viên, cổ vũ tinh thần giúp tác giả cĩ thể hồn thành luận văn này. Tác giả luận văn 2 MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... 1 MỤC LỤC .............................................................................................................. 2 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU .................................................................................. 3 MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4 Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ .................................................................................................................. 6 1.1 Một số kết quả về vành giao hốn cĩ đơn vị............................................... 6 1.2 Một số khái niệm về khơng gian tơpơ ...................................................... 15 1.3 Một số tính chất về phổ nguyên tố của vành giao hốn cĩ đơn vị ............. 17 Chương 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHƠNG GIAO HỐN .................................................................................................................. 26 2.1 Đại số tự do trên vành giao hốn cĩ cĩ đơn vị K ...................................... 26 2.2 Một số kết quả về PI – đại số nguyên thủy ............................................... 33 2.3 Địa phương hĩa theo tâm ......................................................................... 41 2.4 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thật sự ................................... 46 Chương 3: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – VÀNH NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ ............................................................... 51 3.1 Ứng dụng của đồng nhất thức, đa thức tâm đối với PI – vành bất kỳ ........ 51 3.2 Phổ nguyên tố của PI – vành nguyên tố và nữa nguyên tố ........................ 61 3.2.1 Sự so sánh tập các ideals nguyên tố của vành bất kỳ với phổ nguyên tố của một vành con giao hốn .................................................................................... 61 3.2.2 Hạng của ideal nguyên tố ......................................................................... 64 3.2.3 Phổ nguyên tố bậc n của vành R .............................................................. 66 3.2.4 Ideal tối tiểu đối với ( )ng R ..................................................................... 72 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 74 3 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU , , , ,ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ : Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (theo thứ tự) S : ideal sinh bởi tập con S của vành R. a : ideal chính sinh bởi một phần tử a của vành R. ( )rad R : nilradical của vành R ( )Jac R : căn Jacobson của vành R ( )r α : radial của ideal α Spec(R) : phổ nguyên tố của vành R ( )ASpec R : tập hợp các ideal nguyên tố của vành R mà chứa tập A ( )nSpec R : phổ nguyên tố bậc n của vành R ( )Z R : tâm của vành R ( )V E : tập tất cả các ideal nguyên tố p của vành R mà p chứa E, với E là một tập con của R ix deg f : bậc của biến ix của đa thức ( )1 i mf x ,..., x ,..., x deg f : bậc của đa thức ( )1 i mf x ,..., x ,..., x htf : chiều cao của đa thức f [ ]n : phần nguyên của số thực n SR : địa phương hĩa vành R tại tập con đĩng nhân S nằm trong tâm của R ( )n 1 2 nS x ,x ,..., x : đa thức chuẩn tắc bậc n ( )n 1 2 nC x , x ,..., x : đa thức Capelli bậc n ( )rank P : hạng của ideal nguyên tố P 4 MỞ ĐẦU Vấn đề trọng tâm của đại số giao hốn là nghiên cứu về các ideal nguyên tố. Khái niệm ideal nguyên tố là sự tổng quát hĩa của khái niệm số nguyên tố trong số học và khái niệm tập hợp các điểm trong hình học. Vấn đề được tập trung chú ý của hình học là khái niệm “lân cận của một điểm” cịn đối với đại số là quá trình địa phương hĩa của một vành tại một ideal nguyên tố. Việc nghiên cứu phổ nguyên tố của lớp các vành giao hốn cĩ đơn vị xem như đã hồn chỉnh. Ta cố gắng nghiên cứu tập các ideals nguyên tố của một vài lớp PI – vành (tức là vành khơng giao hốn) và mơ tả một số tính chất của tập các ideals nguyên tố trong các lớp PI – vành này. Vì lẽ đĩ, chúng tơi chọn đề tài “Tập các ideals nguyên tố trong các PI – đại số” làm chủ đề cho luận văn và bước đầu tìm hiểu việc nghiên cứu, phát triển và hồn chỉnh một số kết quả về mối liên hệ giữa tập hợp các ideals nguyên tố của vành R bất kỳ với tập các ideals nguyên tố của một vành con 1R giao hốn của R và đặc biệt hơn khi 1R là tâm của vành R. Hướng nghiên cứu mà chúng tơi tiếp cận là dựa trên một kết quả nghiên cứu của Rowen (giao của một ideal khác khơng với tâm của PI – vành nguyên tố luơn luơn khác khơng), từ đĩ ta cĩ thể nghiên cứu tập hợp các ideals nguyên tố của một PI – vành nguyên tố bất kỳ thơng qua việc nghiên cứu các ideals nguyên tố của tâm của nĩ tức là một vành giao hốn cĩ đơn vị. Trong luận văn này chúng tơi chỉ tập trung nghiên cứu về tập các ideals nguyên tố của các PI – vành nguyên tố và nửa nguyên tố. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Luận văn được chia thành 3 chương CHƯƠNG I: Giới thiệu về vành giao hốn và các kết quả chính về phổ nguyên tố trong một vành giao hốn cĩ đơn vị. 5 CHƯƠNG II: Giới thiệu các PI – vành khơng giao hốn và các kết quả cơ bản của các PI – vành khơng giao hốn. CHƯƠNG III: Tìm hiểu về tập hợp các ideals nguyên tố trong các PI – vành nguyên tố và nửa nguyên tố. 6 Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ 1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ Định nghĩa 1.1.1: Một vành giao hốn cĩ đơn vị là một tập hợp R khác rỗng cùng với hai phép tốn hai ngơi, một viết theo lối cộng và một viết theo lối nhân, thỏa mãn các điều kiện sau: i) R cùng với phép cộng là một nhĩm abel. ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhĩm. iii) Phép nhân cĩ tính phân phối đối với phép cộng, nghĩa là: Với mọi x, y,z R∈ ta cĩ: ( )x y z xy xz+ = + ( )y z x yx zx+ = + iv) Với mọi x, y A xy yx∈ = thì . v) Tồn tại phần tử 1 R∈ sao cho x1 1x x= = với mọi x R∈ . Trong chương này chúng tơi chỉ đề cập đến vành giao hốn cĩ đơn vị do đĩ nếu khơng nĩi gì thêm thì vành R thường được hiểu là một vành giao hốn cĩ đơn vị, tức là một vành thỏa mãn 5 tính chất trên. Định nghĩa 1.1.2: Cho R là một vành bất kỳ. Vành con α của R gọi là ideal của A nếu xa ∈α với mọi x ,a R∈α ∈ . Nhận xét: - Giao của một họ khơng rỗng các ideal của vành R là một ideal của R. - Cho S là một tập con của vành R. Khi đĩ cĩ ít nhất một ideal của vành R chứa S (chẳng hạn R). Bởi vậy giao của tất cả các ideal của R chứa S là một ideal của R chứa S. Ideal này được gọi là ideal sinh bởi tập S, kí hiệu: S . Hiển nhiên đây là ideal bé nhất (theo quan hệ bao hàm) trong lớp các ideal của R chứa S. 7 Định nghĩa 1.1.3: Ideal sinh bởi tập gồm một phần tử {a} gọi là ideal chính sinh bởi a, kí hiệu: a . Định nghĩa 1.1.4: - Một ideal p của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu p 1≠ và nếu xy p∈ thì x p∈ hoặc y p∈ . - Một ideal m của vành R được gọi là ideal tối đại nếu m 1≠ và khơng cĩ ideal α sao cho: m 1⊂ α ⊂ (bao hàm nghiêm ngặt). Mệnh đề 1.1.5: p là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi A p là miền nguyên. m là ideal tối đại của vành R khi và chỉ khi A m là trường. Hệ quả 1.1.6: Mọi ideal tối đại đều là ideal nguyên tố. Mệnh đề 1.1.7: Cho R là một vành. Giả sử p là một ideal nguyên tố và ,α β là các ideal của R. Khi đĩ nếu pαβ ⊂ thì pα ⊂ hoặc pβ ⊂ . Chứng minh: Giả sử pα ⊄ và pβ ⊄ . Khi đĩ tồn tại x ;y∈α ∈β sao cho x p;y p∉ ∉ xy p⇒ ∉ (vì p là ideal nguyên tố). Mặt khác xy p xy p∈αβ ⊂ ⇒ ∈ (vơ lý). Vậy pα ⊂ hoặc pβ ⊂ . Mệnh đề 1.1.8: Giả sử p là một ideal nguyên tố và 1 2 n, ,...,α α α là những ideal của R. Khi đĩ: - Nếu n i i 1 p = α ⊂∩ thì tồn tại i sao cho: i pα ⊂ . - Nếu n i i 1 p = α =∩ thì tồn tại i sao cho: i pα = . Chứng minh: 8 Bằng phản chứng giả sử i i ip; i 1,n fα ⊂ ∀ = ⇒ ∃ ∈α nhưng if p∉ với mọi i. Suy ra: n i i 1 f p = ∉∏ (vì p là ideal nguyên tố). Mặt khác do nn n i i i i i i 1 i 1 i 1 f , i 1,n f = = = ∈α ∀ = ⇒ ∈ α ⊂ α∏ ∏ ∩ . Theo giả thiết: n i i 1 p = α ⊂∩ nên ta cĩ: n i i 1 f p = ∈∏ (mâu thuẫn với n i i 1 f p = ∉∏ ) Vậy tồn tại i sao cho: i pα ⊆ . Đặc biệt nếu: n i i i 1 p p ; i 1,n = α = ⇒ ⊂ α ∀ =∩ . Mặt khác do kết quả trên thì tồn tại 0i sao cho: 0i pα ⊆ . Vậy tồn tại 0i sao cho: 0i pα = . Bổ đề Zorn: Cho S là tập khơng rỗng được sắp thứ tự bởi ≤ . Nếu mọi tập con T của S, được sắp tồn phần bởi ≤ , đều cĩ cận trên thì S cĩ phần tử tối đại. Định lý 1.1.9: Mọi vành R khác 0 cĩ đều ít nhất một ideal tối đại. Hệ quả 1.1.10: Nếu 1α ≠ là ideal của vành R thì α được chứa trong một ideal tối đại của R. Mọi phần tử khơng khả nghịch của vành R đều được chứa trong một ideal tối đại của R. Định nghĩa 1.1.11: Một phần tử x R∈ được gọi là lũy linh nếu cĩ số nguyên dương n sao cho: nx 0= . Hiển nhiên, nếu x 0≠ , x lũy linh thì x là ước của 0. Tập hợp gồm các phần tử lũy linh của vành R là một ideal của R và được gọi là nilradical của R, kí hiệu: ( )rad R . Khi đĩ: ( )R rad R khơng cĩ phần tử lũy linh khác 0. Mệnh đề 1.1.12: Nilradical của vành R là giao của các ideal nguyên tố của vành R. Chứng minh: Gọi ℜ là giao của tất cả các ideal nguyên tố của R. 9 Giả sử f R∈ là phần tử lũy linh và p là ideal nguyên tố. Khi đĩ tồn tại số nguyên dương n sao cho: nf 0 p f p= ∈ ⇒ ∈ (vì p là ideal nguyên tố). Do đĩ: ( )rad R ⊂ ℜ . Ngược lại: giả sử f là một phần tử khơng lũy linh, tức là * nn : f 0∀ ∈ >ℕ . Xét Σ là tập hợp gồm các ideal α thỏa mãn tính chất: * nn : f∀ ∈ ∉αℕ . Hiển nhiên Σ ≠ ∅ (vì 0∈Σ ). Σ được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm. Lấy { }i i IT ∈= α là một tập con của Σ được sắp thứ tự tồn phần bởi quan hệ bao hàm. Đặt i i I∈ β = α∪ . Khi đĩ β là ideal của A, vì: f ,g , h A∀ ∈β ∀ ∈ , do T được sắp thứ tự tồn phần bởi quan hệ bao hàm nên tồn tại i Tα ∈ sao cho i i if ,g f g ;hf∈α ⊂ β⇒ − ∈α ⊂ β ∈α ⊂ β . Vậy β là ideal của A. Vì n ni i, i I f , i I, n 0 f , n 0α ∈Σ ∀ ∈ ⇒ ∉α ∀ ∈ ∀ > ⇒ ∉β ∀ > . Vậy β là cận trên của Σ . Theo bổ đề Zorn, tập Σ cĩ phần tử tối đại p. Ta chứng minh p là ideal nguyên tố. Giả sử x, y p∉ khi đĩ p x p,p y p+ ⊃ + ⊃ (bao hàm nghiêm ngặt) và do đĩ khơng thuộc Σ . Vậy tồn tại m, n sao cho: m nf p x ,f p y∈ + ∈ + . Suy ra: m nf p xy+ ∈ + , nên p xy xy p+ ∉Σ ⇒ ∉ . Vậy p là ideal nguyên tố. Do đĩ cĩ ideal nguyên tố p sao cho f p f∉ ⇒ ∉ℜ . ( )rad R⇒ℜ ⊂ . Vậy ( )rad R = ℜ . Định nghĩa 1.1.13: Cho α là một ideal bất kỳ của vành R. Tập tất cả các phần tử x R∈ sao cho cĩ nn 0 : x> ∈α , gọi là radical của ideal α , kí hiệu: ( )r α . Mệnh đề 1.1.14: ( )r α là một ideal của R. Mệnh đề 1.1.15: Radical của ideal α là giao của tất cả các ideal nguyên tố mà chứa α . Chứng minh: 10 Giả sử α là một ideal của R. Gọi A là giao của tất cả các ideal nguyên tố chứa α . Ta chứng minh: ( )r Aα = . • ( )r Aα ⊂ ( ) nf R,f r n ,n 0 : f∀ ∈ ∈ α ⇒ ∃ ∈ > ∈αℕ Do đĩ với mọi idal nguyên tố p, p chứa α , ta cĩ: nf p f p f A∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ Vậy ( )r Aα ⊂ • ( )r Aα ⊃ f R,f A∀ ∈ ∈ . Bằng phản chứng, giả sử ( )f r∉ α . Gọi S là tập hợp tất cả các ideal β của R sao cho β ⊃ α và n *f , n∉β ∀ ∈ℕ . Ta thấy S ≠ ∅ vì Sα ∈ , do đĩ S cĩ phần tử tối đại. Gọi p là phần tử tối đại của S với p là ideal nguyên tố chứa α . Vậy f p f A∉ ⇒ ∉ (mâu thuẫn f A∈ ). Vậy ( )r Aα ⊃ . Vậy ( )r Aα = . Định nghĩa 1.1.16: Một vành R cĩ đơn vị 1 được gọi là vành Boole nếu: 2f f , f R= ∀ ∈ . Mệnh đề 1.1.17: Vành Boole là vành giao hốn. Chứng minh: Giả sử R là vành Boole. Với mọi f ,g R∈ ta cĩ: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 f g f g f fg gf g f fg gf g fg gf 0 fg gf gf gf gf + = + = + + + = + + + ⇒ + = ⇒ = − = − = = Vậy R là vành giao hốn. Mệnh đề 1.1.18: Mọi ideal nguyên tố trong vành Boole là ideal tối đại. Chứng minh: Giả sử p là ideal nguyên tố của vành Boole R. Giả sử tồn tại ideal α của R sao cho: p f : f p⊂ α ⇒ ∃ ∈α ∉ 11 Vì R là vành Boole nên: ( ) 2f f 1 f f 0 p− = − = ∈ Suy ra f 1 p− ∈ (vì f p∉ ) Suy ra ( )f 1 f f 1 1 R− ∈α ⇒ − − ∈α ⇒ ∈α ⇒ α = . Vậy p là ideal tối đại của vành Boole R. Mệnh đề 1.1.19: Mọi ideal hữu hạn sinh trong vành Boole là ideal chính. Chứng minh: Giả sử R là vành Boole, α là ideal hữu hạn sinh của R. Nếu fα = thì α là ideal chính. Nếu f ,gα = . Đặt h f g fg= + − . Ta chứng minh: f ,g h= Ta cĩ h h∈α⇒ ⊂ α Mặt khác: 2 2 2 2 fh f fg f g f f h f ,g h gh gf g fg g g h = + − = ⇒ ∈  ⇒ α = ⊂ = + − = ⇒ ∈  Vậy f ,g h= do đĩ α là ideal chính. Bằng quy nạp ta cĩ thể chứng minh được mọi ideal hữu hạn sinh trong vành Boole là ideal chính. Mệnh đề 1.1.20: Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương: i) Mọi ideal trong R là hữu hạn sinh. ii) Mọi dãy tăng các ideal trong R, tức là: 1 2 3 ...α ⊂ α ⊂ α ⊂ với i i 1+α ≠ α đều hữu hạn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho: n n 1 n 2 ...+ +α = α = α = iii) Mọi tập khơng rỗng S gồm các ideal của R đều cĩ phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm). Chứng minh: i) ii)⇒ Giả sử cĩ một chuỗi tăng các ideal của R: 1 2 3 ...α ⊂ α ⊂ α ⊂ với i i 1+α ≠ α . 12 Đặt: i i 1 ∞ = α = α∪ Khi đĩ ta cĩ α là một ideal hữu hạn sinh của R, giả sử 1 2 kf ,f ,..., fα = với i if ∈α nào đĩ. Do đĩ 1 2 k nn ,n 0 : f ,f ,..., f∃ ∈ > ∈αℕ Khi đĩ: 1 2 k n 1 2 k nf ,f ,..., f f ,f ,..., f⊂ α ⊂ α = ⇒ α = α Vậy n n 1 n 2n ,n 0 : ...+ +∃ ∈ > α = α = α =ℕ ii) iii)⇒ Giả sử S là tập khơng rỗng các ideal của R, vậy 1 S∃α ∈ . Nếu 1α khơng phải là phần tử tối đại của S 2 1 2S:⇒ ∃α ∈ α ⊂ α . Tương tự như vậy nếu 2α khơng phải là phần tử tối đại của S 3 2 3S:⇒ ∃α ∈ α ⊂ α … tiếp tục như vậy ta được một chuỗi tăng các ideal của R: 1 2 3 ...α ⊂ α ⊂ α ⊂ Theo giả thiết chuỗi tăng các ideal này hữu hạn, vậy S cĩ phần tử tối đại. iii) i)⇒ Giả sử α là một ideal bất kỳ trong R. Lấy 1f ∈α . Nếu 1f = α thì α là hữu hạn sinh. Nếu 1 2 2 1 1 1 2f f : f f f f ,f≠ α ⇒ ∃ ∈α ∉ ⇒ ⊂ Nếu 1 2f ,f = α thì α là hữu hạn sinh. Nếu 1 2 3 3 1 2 1 2 1 2 3f ,f f : f f ,f f ,f f ,f , f≠ α⇒ ∃ ∈α ∉ ⇒ ⊂ Tiếp tục như vậy ta được một chuỗi tăng các ideal hữu hạn sinh của R. Gọi S là tập các ideal hữu hạn sinh, khi đĩ S ≠ ∅ và S cĩ phần tử tối đại. Giả sử 1 2 nf ,f ,..., f là phần tử tối đại của S. Ta chứng minh: 1 2 nf ,f ,..., f = α . Thật vậy giả sử 1 2 n n 1 1 2 n 1 2 n n 1f ,f ,..., f f : f ,f ,..., f f ,f ,..., f , f+ +≠ α ⇒ ∃ ∈α ⊂ 1 2 n n 1f ,f ,..., f , f S+⇒ ∈ (mâu thuẫn tính tối đại của 1 2 nf ,f ,..., f trong S) Vậy 1 2 nf ,f ,..., f = α do đĩ α là hữu hạn sinh. Vậy mọi ideal của R là hữu hạn sinh. 13 Định nghĩa 1.1.21: Một vành R được gọi là vành Nether nếu thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương của mệnh đề 1.1.20. Mệnh đề 1.1.22: Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương: i) Mọi dãy giảm các ideal trong R, tức là: 1 2 3 ...α ⊃ α ⊃ α ⊃ với i i 1+α ≠ α đều hữu hạn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho: n n 1 n 2 ...+ +α = α = α = ii) Mọi tập khơng rỗng S các ideal của R đều cĩ phần tử tối tiểu (theo quan hệ bao hàm). Chứng minh: i) ii)⇒ Giả sử S ≠ ∅ là một tập bất kỳ các ideal của R. Lấy 1 Sα ∈ nếu 1α là phần tử tối tiểu của S thì mệnh đề chứng minh xong, nếu 1α khơng phải là phần tử tối tiểu của S 2 1 2S:⇒ ∃α ∈ α ⊃ α . Tương tự như vậy nếu 2α khơng phải là phần tử tối đại của S 3 2 3S:⇒ ∃α ∈ α ⊃ α … tiếp tục như vậy ta được một chuỗi giảm các ideal của A: 1 2 3 ...α ⊃ α ⊃ α ⊃ Theo giả thiết chuỗi này hữu hạn, nên S cĩ phần tử tối tiểu. ii) i)⇒ Xét một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của R: 1 2 3 ...α ⊃ α ⊃ α ⊃ Gọi tập hợp { }i i 1S ≥= α . Theo giả thiết S cĩ phần tử tối tiểu, giả sử nα là phần tử tối tiểu của S. Vậy chuỗi ideal 1 2 3 ...α ⊃ α ⊃ α ⊃ là hữu hạn. Định nghĩa 1.1.23: Một vành R được gọi là vành Artin nếu thỏa mãn 1 trong 2 điều kiện tương đương của mệnh đề 1.1.22. Mệnh đề 1.1.24: Cho R là vành Artin, α là ideal của R. Khi đĩ vành thương R α cũng là vành Artin. Chứng minh: Xét tồn cấu chính tắc: R: Rϕ → α . 14 Giả sử 1 2 3 ...α ⊃ α ⊃ α ⊃ là một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của R α . Khi đĩ : 1 2 3 ...α ⊃ α ⊃ α ⊃ là một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của R, với ( )1i i−α = ϕ α . Do R là vành Artin nên * n n 1 n 2n : ...+ +∃ ∈ α = α = α =ℕ , mà ( )i iα = ϕ α với i 1,2,3...= do đĩ * n n 1 n 2n : ...+ +∃ ∈ α = α = α =ℕ Vậy 1 2 3 ...α ⊃ α ⊃ α ⊃ là chuỗi hữu hạn các ideal của R α , do đĩ R α là vành Artin. Mệnh đề 1.1.25: Mọi ideal nguyên tố trong vành Artin R là ideal tối đại. Chứng minh: Giả sử p là ideal nguyên tố của vành Artin R. Khi đĩ R p là miền nguyên. Mặt khác Rf ,f 0p∀ ∈ ≠ ta cĩ: 2 3f f f ...⊃ ⊃ ⊃ là chuỗi giảm các ideal của R p , theo mệnh đề trên ta cĩ R p là vành Artin nên * n n 1n : f f ...+∃ ∈ = =ℕ Suy ra: n n 1Rg : f f .g 1 f .gp +∃ ∈ = ⇒ = Vậy f khả nghịch trong R p , do đĩ R p là trường. Suy ra p là ideal tối đại trong R. Mệnh đề 1.1.26: Trong vành Artin R chỉ cĩ hữu hạn các ideal tối đại. Chứng minh: Xét tập hợp S gồm tất cả các giao hữu hạn: 1 2 km m ... m∩ ∩ ∩ trong đĩ im là các ideal tối đại của A. Hiển nhiên, S ≠ ∅ và 1 2 km m ... m∩ ∩ ∩ là ideal của A, vậy S cĩ phần tử tối tiểu, giả sử 1 2 nm m ... m∩ ∩ ∩ là phần tử tối tiểu của S. Khi đĩ với mọi m là ideal tối đại của R, ta cĩ: 1 2 n 1 2 nm m m ... m m m ... m∩ ∩ ∩ ∩ ⊂ ∩ ∩ ∩ , do 1 2 nm m ... m∩ ∩ ∩ là phần tử tối tiểu của S, nên 1 2 n 1 2 nm m m ... m m m ... m∩ ∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ , do đĩ: 15 1 2 nm m ... m m∩ ∩ ∩ ⊂ . Mặt khác do m là ideal tối đại của R, nên { } 00 i i 1,...,n : m m∃ ∈ ⊃ . Suy ra 0i m m= (vì 0i m là ideal tối đại của R). Vậy trong R chỉ cĩ hữu hạn các ideal tối đại. 1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN TƠPƠ Định nghĩa 1.2.1: Cho một tập hợp X. Một họ τ gọi là một tơpơ trên X nếu tỏa mãn các điều kiện: ( )1τ X và ∅ thuộc τ ; ( )2τ Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ; ( )3τ Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ . Định nghĩa 1.2.2: Cho một tập hợp X cùng một tơpơ trên X gọi là một khơng gian tơpơ. Định nghĩa 1.2.3: Với mọi tập vơ hạn X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G của X cĩ X \ G hữu hạn, là một tơpơ trên X và tơpơ này được gọi là tơpơ Zariski. Định nghĩa 1.2.4: Cho τ là một tơpơ trên X. Một họ con β của τ gọi là cơ sở của τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Nĩi cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈ τ mọi x G∈ tồn tại V ∈β sao cho x V G∈ ⊂ . Định nghĩa 1.2.5: Cho X là một khơng gian tơpơ. • Khơng gian tơpơ X gọi là 0T − khơng gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều cĩ một lân cận của x khơng chứa y hoặc một lân cận của y khơng chứa x. • Khơng gian tơpơ X gọi là 1T − khơng gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ của X đều cĩ một lân cận của x khơng chứa y và một lân cận của y khơng chứa x. • Khơng gian tơpơ X gọi là 2T − khơng gian (hay khơng gian Hausdorff) nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ của X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U V∩ = ∅ . 16 • Khơng gian tơpơ X gọi là 3T − khơng gian (hay khơng gian chính quy) nếu X là 1T − khơng gian và với mọi x X∈ , mọi tập con đĩng F của X khơng chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho x U,F V∈ ⊂ và U V∩ = ∅ . • Khơng gian tơpơ X gọi là 1 3 2 T − khơng gian (hay khơng gian hồn tồn chính quy) nếu X là 1T − khơng gian và với mọi x X∈ , mọi tập con đĩng F của X khơng chứa x, tồn tại tồn tại một hàm liên tục [ ]f : X 0;1→ sao cho ( )f x 0= và ( )f y 1= với mọi y F∈ . • Khơng gian hồn tồn chính quy cịn gọi là khơng gian Tikhonov. • Khơng gian tơpơ X gọi là 4T − khơng gian (hay khơng gian chuẩn tắc) nếu X là 1T − khơng gian và hai tập con đĩng A, B bất kì khơng giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho A U,B V⊂ ⊂ và U V∩ = ∅ . Mệnh đề 1.2.6: Cho X là khơng gian tơpơ. Khi đĩ X là 1T − khơng gian khi và chỉ khi với mọi x X∈ , tập { }x là tập đĩng. Hệ quả 1.2.7: Khơng gian chuẩn tắc là khơng gian chính quy. Khơng gian chính quy là khơng gian Hausdorff. Hiển nhiên theo định nghĩa ta cĩ khơng gian Hausdorff là 1T − khơng gian và 1T − khơng gian là 0T − khơng gian. Định nghĩa 1.2.8: Cho X là một khơng gian mêtric. • Một họ { }( )IVα α∈ các tập con của khơng gian X được gọi là một phủ của của tập con A của X nếu I A V αα∈ ⊂ ∪ . Nếu mọi Vα đều là tập mở thì phủ gọi là phủ mở. • Cho { }( )IVα α∈ là một phủ của A. Nếu J I⊂ mà { }( )JVα α∈ cũng là một phủ của A thì { }( )JVα α∈ gọi là một phủ con của { }( )IVα α∈ . Nếu J là tập hữu hạn thì { }( )JVα α∈ gọi là một phủ con hữu hạn của phủ { }( )IVα α∈ . Định nghĩa 1.2.9: Cho X là khơng gian tơpơ. 17 • Tập con A của X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X đều cĩ một phủ con hữu hạn. • Khơng gian X gọi là khơng gian compact nếu X là tập compact của X. • Tập con A của X được gọi là tập compact tương đối nếu bao đĩng A là compact trong X. Mệnh đề 1.2.10: a) Tập con đĩng của khơng gian compact là tập compact. b) Tập con compact của một khơng gian Hausdorff là tập đĩng. c) Khơng gian compact, Hausdorff là khơng gian chuẩn tắc. Định nghĩa 1.2.11: • Khơng gian tơpơ X được gọi là liên thơng nếu X khơng biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khác rỗng và rời nhau, tức là khơng tồn tại hai tập mỡ, khác rỗng U và V sao cho U V X∪ = và U V∩ = ∅ . • Tập con A của khơng gian X gọi là tập liên thơng của X nếu A với tơpơ cảm sinh là khơng gian liên thơng. Mệnh đề 1.2.12: Khơng gian tơpơ X là khơng gian liên thơng khi và chỉ khi thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: a) X khơng biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đĩng khác rỗng, rời nhau. b) X khơng cĩ tập con thực sự khác rỗng vừa đĩng vừa mở. 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ Định nghĩa 1.3.1: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị 1, với mỗi tập con E của R ta kí hiệu V(E) là tập tất cả các ideal nguyên tố p của R mà p chứa E. Mệnh đề 1.3.2: Cho R là vành, E là tập con của R. Nếu α là ideal của R sinh bởi E thì: ( ) ( ) ( )( )V E V V r= α = α Chứng minh: ( ) ( )V E V= α Với mọi ideal nguyên tố p của R ta cĩ: 18 ( )p V E p E∈ ⇔ ⊃ (theo định nghĩa V(E)) p⇔ ⊃ α (do Eα = ) ( )p V⇔ ∈ α Từ đĩ ( ) ( )V E V= α . ( ) ( )( )V V rα = α Do ( )r α là giao của mọi ideal nguyên tố của R chứa α nên ( )r α là ideal chứa α . Vì vậy với mọi ideal nguyên tố p của R ta cĩ: ( )p V p∈ α ⇔ ⊃ α ( )p r⇔ ⊃ α ( )( )p V r⇔ ∈ α Từ đĩ ( ) ( )( )V V rα = α . Mệnh đề 1.3.3: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị 1, đặt X là tập gồm tất cả các ideal nguyên tố của R. Khi đĩ ta cĩ: ( ) ( )V 0 X;V 1= = ∅ . Chứng minh: Do mọi ideal nguyên tố của R đều chứa 0 và khơng chứa 1 nên ta cĩ: ( )V 0 X= và ( )V 1 = ∅ . Mệnh đề 1.3.4: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị 1, nếu { }i i IE ∈ là một họ các tập con của R thì: ( )i i i I i I V E V E ∈ ∈   =     ∩ ∪ . Chứng minh: Với mọi ideal nguyên tố p của vành R, ta cĩ: ( ) ( )i i i I p V E p V E ; i I ∈ ∈ ⇔ ∈ ∀ ∈∩ ip E ; i I⇔ ⊃ ∀ ∈ i i I p E ∈ ⇔ ⊃∪ 19 i i I p V E ∈   ⇔ ∈     ∪ Vậy ( )i i i I i I V E V E ∈ ∈   =     ∩ ∪ . Mệnh đề 1.3.5: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị 1, ,α β là các ideal của R. Khi đĩ: ( ) ( ) ( ) ( )V V V Vα ∪ β = αβ = α ∩β . Chứng minh: ( ) ( )V Vαβ = α ∩β Theo định nghĩa tích hai ideal ta cĩ: ( ) ( )V Vαβ ⊂ α⇒ αβ ⊂ α ∩β⇒ αβ ⊃ α ∩β αβ ⊂ β  Ngược lại, với mọi ideal nguyên tố p của R, ta cĩ: ( )p V p∈ αβ ⇔ ⊃ αβ ( ) p p p p V ⊃ α ⇒  ⊃ β ⇒ ⊃ α ∩β ⇒ ∈ α ∩β Suy ra: ( ) ( )V Vαβ ⊂ α ∩β Vậy: ( ) ( )V Vαβ = α ∩β ( ) ( ) ( )V V Vα ∪ β = αβ Với mọi ideal nguyên tố p của vành R, ta cĩ: ( ) ( ) ( )( ) ( ) p V p V V p V p p p p V  ∈ α ∈ α ∪ β ⇔  ∈ β ⊃ α ⇔  ⊃ β ⇔ ⊃ αβ ⇔ ∈ αβ 20 Vậy ( ) ( ) ( )V V Vα ∪ β = αβ . Vậy ( ) ( ) ( ) ( )V V V Vα ∪ β = αβ = α ∩β Hệ quả 1.3.6: Nếu 1E và 2E là hai tập con của vành R giao hốn cĩ đơn vị 1 và 1 2E ; Eα = β = thì: ( ) ( ) ( ) ( )1 2V E V E V V∪ = αβ = α ∩β . Ta kí hiệu X là tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của vành R và ( ){ } E A D V E ⊂ = là một họ tập con của X. Khi đĩ ta cĩ D thỏa mãn các tính chất sau: i) D,X D∅ ∈ ∈ ii) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2V E ,V E D V E V E D∈ ⇒ ∪ ∈ iii) ( ) ( )i i i I V E D; i I V E D ∈ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈∩ Vậy ( ) ( ){ } E A X E X \ V E ⊂ τ = = là một tơpơ trên X. Tơpơ này được gọi là tơpơ Zariski và ( )X,τ được gọi là khơng gian tơpơ Zariski. Các tập ( )V E ,E R⊂ (và chỉ các tập này thơi) gọi là các tập đĩng; các tập ( )X E ,E R⊂ , là phần bù của V(E) trong X gọi là các tập mở của khơng gian tơpơ Zariski. Định nghĩa 1.3.7: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị 1, khơng gian tơpơ Zariski X được gọi là phổ nguyên tố của vành R. Kí hiệu: Spec(R). Như vậy ta cĩ thể hiểu phổ của vành R, Spec(R) là tập các ideal nguyên tố của vành R. Tập con V của Spec(R) được gọi là đĩng, nếu như tồn tại ideal α của vành R sao cho V gồm tất cả các ideal nguyên tố p của R mà chứa α . Khi đĩ ta kí hiệu: ( )V V= α . Phần bù của tập con đĩng trong Spec(R) được gọi là tập con mở trong Spec(R). Ví dụ phổ nguyên tố của vành số nguyên ℤ . Ta đã biết các ideal trong ℤ cĩ dạng: n ,n ∈ℤ ℤ . Theo định nghĩa của ideal nguyên tố và số nguyên tố trong ℤ ta thấy các ideal nguyên tố trong ℤ là ideal 0 và ideal pℤ , trong đĩ p P∈ , với P là tập hợp các số nguyên tố của ℤ . Vậy Spec(ℤ ) = { p , p = 0 hoặc p P∈ }. 21 Như ta đã biết mỗi điểm x của khơng gian tơpơ Zariski X = Spec(R) là một ideal nguyên tố mà ta gọi là xp . Ta quy ước là ghi x hay xp nếu như ta nĩi nĩ là một điểm trong Spec(R) hay nĩi nĩ là một ideal nguyên tố của R. Với mỗi f R∈ ta kí hiệu fX là phần bù của V(f) trong X = Spec(R). Hiển nhiên fX là một tập mở và với mọi ( ) f xx X Spec R ,x X f p∈ = ∈ ⇔ ∉ . Mệnh đề 1.3.8: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị, họ { }f f AB X ∈= là cơ sở của khơng gian tơpơ Zariski. Chứng minh: Với mọi tập mở X(E) trong X = Spec(R), E R⊂ ta cĩ: ( ) ( ) { } ( ) ( ) f E f f E f E f E X E X \ V E X \ V f X \ V f X \ V f X ∈ ∈ ∈ ∈   = =     = = = ∪ ∩ ∪ ∪ Hiển nhiên: fX B, f E R∈ ∀ ∈ ⊂ Vậy B là cơ sở của tơpơ Zariski. Mệnh đề 1.3.9: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị và f R∈ , ta cĩ: 1) fX f= ∅ ⇔ là lũy linh trong R. 2) fX X f= ⇔ là khả nghịch trong R. Chứng minh: 1) fX f= ∅ ⇔ là lũy linh trong R. Thật vậy: ( ) ( ) ( ) fX X \ V f X V f f p p f rad R f là ideal nguyên tố trong R là lũy linh trong R = ∅ ⇔ = ∅ ⇔ = ⇔ ∈ ∀ ⇔ ∈ ⇔ 2) fX X f= ⇔ là khả nghịch trong R. 22 Giả sử f khơng khả nghịch, suy ra f thuộc một ideal tối đại nào đĩ mà mọi ideal tối đại cũng là ideal nguyên tố nên ( )V f ≠ ∅ , do đĩ ( ) fX \ V f X X X≠ ⇒ ≠ (trái với giả thiết). Ngược lại, giả sử f là khả nghịch trong R. f 1⇔ = ( ) ( )V f V 1⇒ = ( )V f⇒ = ∅ fX X⇒ = Vậy fX X f= ⇔ là khả nghịch trong R. Đặc biệt: 0 1X ;X X∅ = = Mệnh đề 1.3.10: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị, khi đĩ f ,g R∀ ∈ ta cĩ: f g fgX X X∩ = Chứng minh: ( )x X Spec R∀ ∈ = , ta cĩ: f x f g g x x X f p x X X x X g p ∈ ∉  ∈ ∩ ⇔ ⇔  ∈ ∉ ( )x xfg p pdo là ideal nguyên tố⇔ ∉ fgx X⇔ ∈ Vậy f g fgX X X∩ = . Mệnh đề 1.3.11: Cho vành R giao hốn cĩ đơn vị, khi đĩ với mọi f ,g R∈ ta cĩ: ( ) ( )f gX X r f r g= ⇔ = Chứng minh: Hiển nhiên: ( ) ( )f gX X V f V g ; f ,g R= ⇔ = ∀ ∈ Do đĩ ta chỉ cần chứng minh ( ) ( ) ( ) ( )V f V g r f r g ; f ,g R= ⇔ = ∀ ∈ Vì ( )r f là giao của mọi ideal nguyên tố trong R chứa f . Do đĩ: 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V f V g V f V g r f r g= ⇒ = ⇒ = Ngược lại: ( ) xx X,x V f p f∀ ∈ ∈ ⇔ ⊃ ( )xp r f⇔ ⊃ ( )xp r g⇔ ⊃ xp g⇔ ⊃ ( )x V g⇔ ∈ ( ) ( )V f V g⇒ = Vậy: ( ) ( )f gX X r f r g= ⇔ = Mệnh đề 1.3.12: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị, X = Spec(R). Khi đĩ với mọi x thuộc X thì: { } ( )xx V p= , trong đĩ { }x là bao đĩng của {x}. Chứng minh: ( )x x xx X : p p x V p∀ ∈ = ⇒ ∈ Mặt khác theo định nghĩa của bao đĩng, { }x là tập đĩng nhỏ nhất chứa {x} nên ta cĩ: { } ( )xx V p⊂ . Ngược lại, ( )x y xy X : y V p p p∀ ∈ ∈ ⇒ ⊃ . Ta chứng minh: { }y x∈ , nghĩa là chứng minh y thuộc mọi tập đĩng chứa x. Thật vậy, giả sử: ( )V α là một tập đĩng bất kỳ chứa x, với α là ideal của R. Vì ( ) ( )x yx V p p y V∈ α ⇒ ⊃ α ⇒ ⊃ α ⇒ ∈ α . Vậy { } ( ) { }xy x V p x∈ ⇒ ⊂ . Từ đĩ ta cĩ: { } ( )xx V p= . Hệ quả 1.3.13: Cho R là vành, X = Spec(R). Khi đĩ x, y X∀ ∈ thì { } x yy x p p∈ ⇔ ⊂ . 24 Chứng minh: Theo mệnh đề 1.3.12 ta cĩ: { } ( )x x yx, y X, y x y V p p p∀ ∈ ∈ ⇔ ∈ ⇔ ⊂ . Mệnh đề 1.3.14: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị, khi đĩ X = Spec(R) là T0 – khơng gian. Chứng minh: Giả sử x và y là hai điểm bất kỳ, x y≠ trong X = Spec(R). Vì x y≠ nên x y x y y x p p p p p p ⊄ ≠ ⇒  ⊄ Khơng mất tính tổng quát, ._.ta cĩ thể giả sử rằng: x yp p⊄ Suy ra: { }y x∉ do đĩ tồn tại một lân cận yU của y sao cho: { }yU x∩ = ∅ . Hiển nhiên yx U∉ do đĩ ( )x, y Spec R , x y∀ ∈ ≠ , luơn tồn tại một lân cận của y mà khơng chứa x hoặc ngược lại tồn tại một lân cận của x mà khơng chứa y. Vậy X = Spec(R) là T0 – khơng gian. Như vậy phổ nguyên tố Spec(R) của một vành R luơn thỏa mãn tiên đề tách T0. Mệnh đề 1.3.15: Cho R là vành giao hốn cĩ đơn vị, khi đĩ X = Spec(R) là khơng gian compact. Chứng minh: Giả sử { } if i I X ∈ là một phủ mở của X = Spec(R), nghĩa là: ( ) ( )( ) if i i I i I X X X \ V 1 X \ V f ∈ ∈ = ⇔ =∪ ∪ ( ) ( ) ( ) { }i i i I i I X \ V 1 X \ V f V 1 V f ∈ ∈     ⇔ = ⇔ =        ∩ ∪ ( ) { }i i I V 1 V f ∈   ⇔ =     ∪ 25 Nếu { }i i I f 1 R ∈ ≠ =∪ thì { }i i I f ∈ ∪ được chứa trong một ideal tối đại nào đĩ và ideal đĩ cũng chính là ideal nguyên tố nên: { }i i I V f ∈   ≠ ∅    ∪ (vơ lý vì ( ) ( )V 1 V 1= = ∅ ). Vậy { } { }i i i I i I f 1 R 1 f ∈ ∈ = = ⇒ ∈∪ ∪ i i i J 1 g f ∈ ⇒ =∑ với ig R, i J,J I∈ ∀ ∈ ⊂ và J là tập hữu hạn. { } { } ( ) { }i i i i J i J i J 1 f 1 f V 1 V f ∈ ∈ ∈   ⇒ ∈ ⇒ = ⇒ =     ∪ ∪ ∪ if i J X X ∈ ⇒ =∪ { } if i J X ∈ ⇒ là một phủ con hữu hạn của X. Do đĩ X = Spec(R) là khơng gian compact. Như vậy phổ nguyên tố của một vành R là khơng gian compact và do đĩ với tập con E của R ta luơn cĩ V(E) là tập compact trong Spec(R). 26 Chương 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 2.1 ĐẠI SỐ TỰ DO TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ CĨ ĐƠN VỊ K: Định nghĩa 2.1.1: Cho K là vành giao hốn cĩ đơn vị. Ta nĩi R là một đại số trên vành K nếu: R là một vành và R là K – mơ đun. Ngồi ra giữa phép nhân vơ hướng và phép nhân trong vành K phải thỏa điều kiện: ( ) ( ) ( )K; a,b R : a.b a .b a. b∀α ∈ ∀ ∈ α = α = α Định nghĩa 2.1.2: Cho K là vành giao hốn, X là vị nhĩm tự do sinh bởi tập hợp đếm được { }1 2x ,x ,... tức là X là tập hợp gồm các phần tử cĩ dạng: { }1 2 ri i i1,x x ...x r ∈ℕ trong đó: i là phép thế, 1 là đơn vị của X và các đơn thức 1 2 ri i i x x ...x trong X là đơi một khác nhau tức là 1 2 r 1 2 si i i j j j x x ...x x x ...x= khi và chỉ khi 1 1 2 2i j i j r s, x x , x x ,...= = = Phép nhân trong X được định nghĩa như sau: ( )( )1 2 r 1 2 s 1 2 r 1 2 si i i j j j i i i j j jx x ...x x x ...x x x ...x x x ...x= Gọi { }K X là đại số vị nhĩm của X trên K hay cịn được gọi là đại số tự do với hệ sinh là tập hợp đếm được các phần tử ix ,i ∈ℕ . Nếu { }1 2 mX x ,x ,..., x= với m là số tự nhiên, { }K X được kí hiệu là { }1 2 mK x ,x ,..., x và đa thức { }f K X∈ được kí hiệu là { }1 2 mf f x , x ,..., x= , giá trị của đa thức tại ( )1 ma ,...,a A∈ , với R là đại số nào đĩ, được kí hiệu là: ( )1 mf a ,...,a . Tính chất 2.1.3: (tính chất cơ bản của đại số tự do) Cho A là một đại số bất kỳ và σ là một ánh xạ từ { }1 2x , x ,... vào R. Khi đĩ tồn tại duy nhất một đồng cấu η của { }K X vào R là mở rộng của σ nghĩa là biểu đồ sau giao hốn: 27 { } { }i1 2x , x ,... K X→ tức là: ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2f x ,x ,... f x , x ,...η = σ σ . Nếu { } { }1 2 mf K X ,f K x ,x ,..., x∈ ∈ là một đại số con được sinh bởi tập con hữu hạn { }1 2 mx ,x ,..., x với m nào đĩ thì ta viết ( )1 2 mf f x ,x ,..., x= . Ảnh của đa thức f qua đồng cấu { }: K X Rη → biến ( )i ix r ; 1 i≤ < ∞֏ được viết là: ( )1 2 mf r , r ,..., r . Định nghĩa 2.1.4: Nếu { }f K X∈ , đặt ( ) ( ){ }1 2 m jf R f r , r ,..., r / r R, j 1,...,m= ∈ ∀ = . Nhĩm con cộng của R sinh bởi ( )f R được kí hiệu là: ( )f R + . Lưu ý 2.1.5: Nếu { }( )g f K X∈ thì ( ) ( )g R f R⊆ . Định nghĩa 2.1.6: Đa thức f được gọi là đồng nhất thức của R nếu: ( )1 2 m if r , r ,..., r 0; r R= ∀ ∈ . Đa thức f được gọi là đồng nhất thức thật sự của R nếu f là đồng nhất thức của R và tồn tại một hệ số của f khơng linh hĩa R. Lưu ý: • Nếu K là một trường thì f là đồng nhất thức thật sự khi và chỉ khi f là đồng nhất thức và f 0≠ . • Nếu f là đồng nhất thức của đại số R mà cĩ một hệ số là khả nghịch thì f là đồng nhất thức thật sự. Định nghĩa 2.1.7: Một đại số R trên vành giao hốn cĩ đơn vị K được gọi là PI – đại số nếu tồn tại đa thức ( ) { }1 2 mf x , x ,..., x K X∈ là đồng nhất thức thật sự của mọi ảnh đồng cấu khác 0 của đại số R hay nĩi cách khác nếu f là đồng nhất thức thật sự của đại số R thì R được gọi là PI – đại số. σ η R 28 Nếu S là tập con của K khi đĩ { }i i i iSR r / S, r R= α α ∈ ∈∑ là một ideal của R. Giả sử f là đồng nhất thức của R. Khi đĩ f là đồng nhất thức cho mọi ảnh đồng cấu khác 0 của R. Do đĩ f là đồng nhất thức thật sự khi và chỉ khi fS R 0≠ với fS là tập gồm các hệ số của f. Hiển nhiên ta cĩ: ( )f fS R S R 0= . Khi đĩ nếu fS R R≠ thì f khơng là đồng nhất thức thật sự của fR S R . Mặt khác, nếu fS R R= thì fS R R= với mọi R là ảnh đồng cấu của R, do đĩ fS R 0≠ với mọi R 0≠ và f là đồng nhất thức thật sự của mọi ảnh đồng cấu khác 0. Vậy ta cĩ một định nghĩa khác của PI – đại số như sau: Định nghĩa 2.1.8: R là đại số trên K được gọi là PI – đại số nếu tồn tại một đồng nhất thức f của R sao cho fS R R= với fS là tập gồm các hệ số của f. Định lý 2.1.9: (Amitsur) Nếu R là PI – đại số thì tồn tại số nguyên dương m và n sao cho m2nS là đồng nhất thức của R. Chứng minh: Giả sử f là đồng nhất thức của R sao cho fS R R= . Gọi d là bậc của đa thức f và [ ]n d 2= . Xét ( )2n 2n R R R ... R lần = × × ×  . Bây giờ nếu xem ( )2nR như là tập hợp các chỉ số ta đặt iR ' R= ∏ với ( )2niR R;i R= ∈ . Giả sử N ' là upper hoặc lower nil – radical của R ' thì ta cĩ: R ' N ' là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thật sự f. Do đĩ R ' N ' thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn 2nS . Gọi ja là phần tử của R ' sao cho giá trị của nĩ tại chỉ số ( )1 2 2ni r , r ,..., r= là jr . Khi đĩ ( )2n 1 2 2nS r , r ,..., r N '∈ và do đĩ tồn tại m sao cho ( )m2n 1 2 2nS r , r ,..., r 0= . Suy ra: ( ) ( )m2n 1 2 2n 1 2 2nS r , r ,..., r 0; r , r ,..., r= ∀ . Vậy m2nS là đồng nhất thức của R. Định nghĩa 2.1.10: Đa thức f được gọi là đồng nhất thức chính quy mạnh trên đại số R nếu f là đồng nhất thức khác 0 và mọi hệ số khác 0 của f đều là phần tử đơn vị hoặc khả nghịch của K. 29 Nếu f là đồng nhất thức chính quy mạnh của đại số R thì nĩ cũng là đồng nhất thức chính quy mạnh cho đại số con của R và ảnh đồng cấu của đại số R. Định nghĩa 2.1.11: Một đơn thức 1 2 ri i i x x ...x được gọi là cĩ mặt trong đa thức f nếu nĩ cĩ hệ số khác 0 trong biểu diễn của f theo cơ sở của X. Định nghĩa 2.1.12: Bậc của đơn thức 1 n n1 2 nx x ...x λ λ λα cĩ mặt trong đa thức f là: 1 2 n...λ + λ + + λ . Bậc của đa thức f là bậc lớn nhất của các đơn thức cĩ mặt trong f. Kí hiệu: deg f . Bậc theo ix của đa thức ( )1 2 i nf x ,x ,..., x ,..., x là bậc của ix khi xem f là đa thức theo biến ix . Kí hiệu: ixdeg f . Định nghĩa 2.1.13: Chiều cao của đơn thức là bậc của đơn thức đĩ trừ đi số các biến cĩ mặt trong đơn thức đĩ. Chiều cao của đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức cĩ mặt trong f. Kí hiệu: htf . Định nghĩa 2.1.14: Đa thức f được gọi là trộn đều theo ix nếu ix cĩ mặt trong mọi đơn thức cĩ mặt trong f. Đa thức f được gọi là trộn đều nếu nĩ trộn đều theo mọi ix cĩ mặt trong f. Định nghĩa 2.1.15: • Đa thức f được gọi là tuyến tính theo ix , nếu f trộn đều theo ix và ix deg f 1= . • Đa thức f được gọi là t – tuyến tính nếu với các biến 1 t t 1 dx ,..., x , x ,..., x+ với t d≤ thì f tuyến tính theo t biến 1 tx ,..., x . • Đa thức f được gọi là đa tuyến tính nếu f là tuyến tính đối với mọi ix cĩ mặt trong f. Giả sử { }1 2 mf K x ,x ,..., x∈ là đa thức đa tuyến tính. Khi đĩ đa thức f cĩ dạng: ( ) 1,..., m 1 2 m Sym m f x x ...xpi pi pi pi pi pi∈ = α∑ với 1,..., m Kpi piα ∈ và pi là một phép thế của ( )Sym m . Hơn nữa: ( ) ( ) ( )1 j 1 j m 1 j 1 m 1 m 1 j 1 m 1 j 1 mf x ,..., x , x x ,x ,..., x f x ,..., x f x ,..., x , x ,x ,..., x− + + − + ++ = + 30 ( ) ( )1 j 1 j j 1 m 1 mf x ,..., x , x ,x ,..., x f x ,..., x ; K− +β = β ∀β∈ Những tính chất này dẫn đến nếu { }iu là tập các phần tử sinh của đại số R như là một K – mơ đun thì f là đồng nhất thức trên R khi và chỉ khi: ( ) 1 2 mi i i f u ,u ,...,u 0= với mọi sự lựa chọn các ji u trong { }iu . Nhận xét: đa thức f là đa tuyến tính khi và chỉ khi f trộn đều và cĩ chiều cao bằng 0. Mệnh đề 2.1.16: Mọi đa thức { }f K X∈ đều là tổng các đa thức trộn đều jf sao cho: i) j jdeg f deg f ,htf htf≤ ≤ . ii) jf tuyến tính theo ix nếu f tuyến tính theo ix . iii) Với mọi vành R và nhĩm con G của nhĩm cộng R, jf là G – giá trị với nghĩa là ( )j 1 2 m if a ,a ,...,a G; a A∈ ∀ ∈ nếu f là G – giá trị. Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp theo t là số các biến ix cĩ mặt trong đa thức f mà f khơng trộn đều. Nếu t 0= thì f là đa thức trộn đều. Nếu t 0> , giả sử f khơng trộn đều theo 1x . Đặt ( )2 mf ' f 0,x ,..., x= và f " f f '= − . Khi đĩ f ' là tổng các số hạng trong f mà 1x khơng cĩ mặt. Do đĩ số các biến ix trong f ', f " nhỏ hơn t nên theo giả thiết quy nạp ta cĩ f ', f " thỏa mãn các tính chất i) – iii). Do đĩ f thỏa mãn các tính chất i) – iii). Vậy mệnh đề đúng cho đa thức f. Định nghĩa 2.1.17: Đa thức f được gọi là thay phiên nếu: ( )1 2 i 1 j i 1 j 1 i j 1 mf x , x ,..., x , x ,x ,..., x , x ,x ,..., x 0− + − + = với mọi sự lựa chọn i j< . 31 Nếu đa thức f là đa tuyến tính và thay phiên thì f là đồng nhất thức khi và chỉ khi ( ) 1 2 mi i i f u ,u ,..., u 0= đối với tất cả cách chọn các ji u trong một tập sinh { }iu của K. Do đĩ nếu R cĩ một mơ đun hữu hạn sinh { }1 2 nu ,u ,...,u thì mọi đa thức tuyến tính thay phiên cĩ bậc m n> là đồng nhất thức của A. Đa thức f là đa thức chính quy mạnh nếu f 0≠ và các hệ số khác 0 của f là đơn vị hoặc khả nghịch trong K. Định nghĩa 2.1.18: Đa thức ( )1 2 mf x ,x ,..., x được gọi là đa thức tâm của đại số R nếu f khơng là đồng nhất thức của R nhưng ( )1 2 m m 1f x ,x ,..., x , x +   là đồng nhất thức của R. Định nghĩa 2.1.19: Đa thức ( ) ( ) k k 1 k 1 2 k S S x ,..., x sg x x ...xpi pi pi pi∈ = pi∑ , trong đĩ tổng được lấy trên nhĩm đối xứng kS và sgpi là dấu của phép thế pi , được gọi là đa thức chuẩn tắc bậc k. Tính chất: • ( ) ( ) ( )k 1 1 2 k 1 1 k 2 k 1 2 k 1 3 k 1S x ,x ,..., x x S x ,..., x x S x , x ,..., x+ + + += − ( ) ( )k k 1 k 1 2 k... 1 x S x ,x ,..., x++ + − Do đĩ nếu kS là một đồng nhất thức của đại số R thì k 1S + cũng là đồng nhất thức của đại số R. • ( ) ( ) ( )k 1 2 k k 1 2 kS x ,x ,..., x sg S x ,x ,..., xpi pi pi = pi • Nếu 1 ri ,..., i phân biệt và j1 i k,0 r k≤ ≤ < < và S' là tổng các hạng tử của ( )k 1 2 kS x ,x ,..., x cĩ chứa 1 2 ri i ix , x ,..., x là hạng tử trái thì: ( ) 1 2 r r 1 ki i i k r i i S' x x ...x S x ,..., x +− = ± . Như vậy k rS − là đồng nhất thức trên mọi K – đại số hữu hạn sinh với tập sinh cĩ số phần tử bé hơn k. Vì ( )nM K được sinh ra bởi 2n ma trận đơn vị ije (xem như là K – mơ đun) do đĩ 2n 1 S + là đồng nhất thức trên ( )nM K . Đặc biệt, 2nS là đồng nhất thức trên ( )nM K . 32 Nếu R là đại số n chiều trên trường F thì R thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn ( )n 1 1 2 n 1S x ,x ,..., x+ + . Định nghĩa 2.1.20: Cho đa thức { }f K X∈ , tốn tử sai phân i j x x f∆ trong { }K X được định nghĩa như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j x x 1 2 m 1 2 i 1 i j i 1 m 1 2 m 1 2 i 1 j i 1 m f x , x ,..., x f x , x ,..., x , x x , x ,..., x f x ,x ,..., x f x ,x ,..., x , x , x ,..., x ; 1 i m − + − + ∆ = + − − ≤ ≤ Nhận xét: • Nếu f là tuyến tính theo ix thì i j x x f 0∆ = . • Nếu g là đơn thức cĩ ix deg g 1> và jx khơng cĩ mặt trong g thì i j x x g∆ là tổng của các đơn thức khác nhau trong kg trong đĩ: i jx ;x cĩ mặt trong kg và cĩ tính chất nếu ta thay jx bởi ix trong kg thì kg trở thành g. • Nếu f là đa thức trộn đều với ix deg f 1> và jx deg f 0= thì i j x x f∆ trộn đều, i i i j i j i j x x x x x x x xdeg f deg f ;deg f deg f 1;ht f htf∆ ≤ ∆ = − ∆ < và tập hợp các hệ số của i j x x f∆ là tập con của tập các hệ số của f. Mệnh đề 2.1.21: Nếu R thỏa mãn đồng nhất thức thật sự f thì R cũng thỏa mãn đồng nhất thức đa tuyến tính cĩ bậc nhỏ hơn hoặc bằng bậc của đa thức f. Chứng minh: Áp dụng mệnh đề 2.1.16 với G 0= và ta cĩ thể giả sử f là trộn đều. Để chứng minh f là đa tuyến tính ta chỉ cần chứng minh f cĩ chiều cao bằng 0. Giả sử htf 0> và tồn tại ix sao cho ixdeg f 1> và mọi hệ số khác 0 của f đều khơng linh hĩa R. Xét i j x x f∆ , với jxdeg f 0= , là đồng nhất thức thật sự của R. Khi đĩ ta cĩ: i i i j i j i j x x x x x x x xdeg f deg f ;deg f deg f 1;ht f htf∆ ≤ ∆ = − ∆ < . Vậy áp dụng quy nạp theo chiều cao của f thì ta cĩ được điều phải chứng minh. 33 2.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ PI – ĐẠI SỐ NGUYÊN THỦY: Mệnh đề 2.2.1: ( )nM K khơng cĩ đồng nhất thức thật sự cĩ bậc d 2n< . Chứng minh: Trước hết ta cĩ: với 0 n< ∈ℕ thì dãy 11 22 nne ,e ,...,e cĩ n phần tử và ( )12 23 n 1 ne ,e ,...,e − cĩ (n – 1) phần tử. Khi đĩ tập ( ){ }11 12 22 23 33 nnn 1 ne ,e ,e ,e ,e ,...,e ,e− cĩ (2n – 1) phần tử, trong đĩ ije là các ma trận của ( )nM K chỉ cĩ phần tử ở hàng i cột j bằng 1 cịn các phần tử cịn lại bằng 0. Giả sử ( )nM K thỏa mãn đồng nhất thức thực sự f cĩ degf 2n< . Hơn nữa f là đồng nhất thức thực sự đa tuyến tính. Do đĩ ta cĩ thể viết f dưới dạng: ( ) { }d 1 2 d 1 2 d 1... d 1 2 d S \ 1 f x , x ,..., x x x ...x x x ...xpi pi pi pi pi pi∈ = α + α∑ với ( ) ( )nM K 0 1α ≠ Do d 2n< nên ta cĩ thể chọn d ma trận vuơng cấp n thuộc ( )nM K sau: { } ( ){ }11 12 22 23 33 11 12 22 23 33 nnn 1 ne ,e ,e ,e ,e ,... e ,e ,e ,e ,e ,...,e ,e−⊆ Từ (1) suy ra nếu 1... d 0pi piα ≠ thì 1 2 de e ...e 0pi pi pi = . Do đĩ ta cĩ: { } ( ) d 1... d 1 2 d 11 12 22 11 12 22 1k S \ 1 e e ...e 0 f e ,e ,e ,... e e e ... epi pi pi pi pi pi∈ α = ⇒ = α = α∑ , với k n≤ nào đĩ. Do f là đồng nhất thức của ( )nM K nên ( )11 12 22 1kf e ,e ,e ,... e 0= α = Khi đĩ ( )ij ne M K∀ ∈ ta cĩ: ( ) ( )ij i1 1k kj i1 1k kje e e e e e e 0α = α = α = ( )nM K 0⇒ α = (trái với giả thiết) Vậy ( )nM K khơng cĩ đồng nhất hức thật sự cĩ bậc d 2n< . Mệnh đề 2.2.2: Cho F là một trường trên K và V là khơng gian vectơ vơ hạn chiều trên F. Khi đĩ đại số các phép biến đổi tuyến tính FEnd V khơng thỏa mãn đồng nhất thức thực sự nào. Chứng minh: 34 Giả sử f là đồng nhất thức thực sự trên FEnd V và deg f d= . Với bất kỳ phần tử x V∈ , ta xét M là khơng gian vectơ con hữu hạn chiều của V chứa x sao cho: [ ]2 M : F d> . Đặt M ' V \ M= . Gọi B là đại số con khơng cĩ đơn vị của FEnd V như sau: ( ) ( ){ }FB End V : m M, m M và m ' M ', m' 0= ϕ∈ ∀ ∈ ϕ ∈ ∀ ∈ ϕ = . Khi đĩ: ( )nB M F≅ trong đĩ [ ]n M : F= . Mặt khác do f là đồng nhất thức trên FEnd V cĩ bậc là d nên f là đồng nhất thức trên B cĩ bậc là d. Vậy f là đồng nhất thức trên ( )nM F cĩ bậc là d 2n< . Suy ra: nếu α là hệ số bất kỳ của f thì: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )nM F 0 B 0 x 0 x 0 1 x 0; x Vα = ⇒ α = ⇒ αϕ = ⇒ ϕ α = ⇒ α = ∀ ∈ Do đĩ: ( )FEnd V 0α = . Vậy f khơng là đồng nhất thức thật sự của FEnd V . Mệnh đề 2.2.3: Cho ∆ là thể và đại số trên K. Khi đĩ ∆ chứa trường con tối đại F (trên K) và với mọi trường con F như thế thì tâm tập của trường con F trong thể ∆ là: ( ) { }C F c / cf fc,f F F∆ = ∈ ∆ = ∈ = . Định nghĩa 2.2.4: Cho R là đại số trên K, đại số đối của R, kí hiệu 0R , là đại số sao cho: 0R R= và 0R là K – mơ đun và phép nhân, kí hiệu a b∗ , được định nghĩa như sau: a b ba∗ = . Mệnh đề 2.2.5: Cho R là đại số con đơn của đại số E, B là tâm tập của R trong E. Khi đĩ: ( )Z R B R= ∩ là tâm của R. Giả sử 1 2 ra ,a ,...,a R∈ là độc lập tuyến tính trên ( )Z R thì 1 2 ra ,a ,...,a là độc lập tuyến tính trên B, tức là: r i i i 1 b a 0 = =∑ với ib B∈ . Suy ra ib 0; i 1, r= ∀ = . Chứng minh: 35 Đặt e 0R R R= ⊗ , với phép nhân được định nghĩa như sau: ( )a b x axb⊗ = thì R là eR − mơ đun và ideal của R là mơ đun con. Do đĩ nếu R là đại số đơn thì R là eR − mơ đun bất khả quy, REnd R R= và REndR R= . Vậy tâm của R là ( ) eRZ R End R= là một trường. Hơn nữa nếu R đơn thì R là eR − mơ đun trung thành vì với x a a '= ⊗ và xR 0 aRa ' 0 RaRa ' 0= ⇒ = ⇒ = , nếu a 0≠ thì RaR R= do đĩ Ra ' 0 a ' 0= ⇒ = x 0⇒ = . Vậy nếu R là đơn thì tâm ( )Z R là trường và eR tác động dày đặc đại số các phép biến đổi tuyến tính của R xem là khơng gian vectơ trên trường ( )Z R , tức là eR dày đặc trong ( )Z REnd R . Tác động của eR trong R được mở rộng đến sự tác động của eR trong E sao cho: ( ) ( )m bx b mx= với em R ,b B,x E∈ ∈ ∈ . Thật vậy ta xây dựng ánh xạ: eR xE E→ xác định bởi: ( ) ( )a b x ax b⊗ = với x E;a,b R∈ ∈ . Khi đĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m bx a a '. bx a bx a ' ab xa ' b axa ' b mx= ⊗ = = = = (do ( )Eb B C A∈ = ). Vậy nếu i im g h= ⊗∑ thì i imx g xh=∑ . Vì 1 2 ra ,a ,...,a A∈ là độc lập tuyến tính trên ( )Z R và eR dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của R trên ( )Z R nên với hệ r vectơ 0,0,...,0,1,0,...,0 trong R thì e jm R∃ ∈ sao cho: j jm a 1= và j km a 0= với k j≠ . Do ( )r r ri i j i i i j i i i 1 i 1 i 1 b a 0 m b a 0 b m a 0 b 0; j 1, r = = =   = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∀ =    ∑ ∑ ∑ . Từ các kết quả trên ta cĩ định lý cơ bản về các đồng nhất thức của một đại số sau: Định lý 2.2.6 (Định lý Kaplansky – Amitsur) Cho R là đại số nguyên thủy thỏa mãn đồng nhất thức thật sự bậc d. Khi đĩ tâm ( )Z R của R là trường, R là đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm của nĩ và ( ) 2dA : Z R 2   ≤    . Chứng minh: 36 R là đại số nguyên thủy nên R là đại số dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của khơng gian vectơ V trên thể ∆ . V là R – mơ đun bất khả quy trung thành và REnd V∆ = , R là vành con của ( )E V với đồng nhất ( )a aa T ,a R,T x ax, x V≡ ∈ = ∈ . V là K – mơ đun thì: ( ) ( ) ( ) ( )a aT kx a kx k ax kT x= = = a K KT End V R End V⇒ ∈ ⇒ ⊂ . Ta cĩ: KEnd V∆ ⊂ vì R là đại số trên K nên ( )k.1 C A R, , k K,x V :∈ ⊂ δ∈ ∆ ∀ ∈ ∈ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Kkx k 1.x k.1 x k.1 x k 1. x k x End Vδ = δ = δ = δ = δ = δ ⇒ δ∈ . Ta cĩ tâm tập của R trong KEnd V là L∆ . Tức là: ( ) ( ) K LEnd V Z R R = ∆ ≡ ∆ . Gọi F là trường con tối đại của ∆ và xét đại số R ' của K – tự đồng cấu trên V sinh bởi LF và R, tức là: L KR ' F ,R End V= ⊂ . Vì các phần tử của LF giao hốn được với các phần tử của R nên L LR ' F R RF= = và LF nằm trong tâm của R ' (vì các phần tử của LF giao hốn được với các phần tử của LF và của R nên giao hốn được với R '). Vì thế R ' cĩ thể được xem là đại số trên F (hoặc trên LF ). Nếu ta xem V là khơng gian vectơ trên F thì R ' là đại số các phép biến đổi tuyến tính của V trên F, tức là FR ' End V⊂ (do mọi phần tử của F giao hốn được với mọi phần tử của R '). Ta sẽ chứng minh rằng R ' dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của V trên F. Vì V là R – mơ đun và F – mơ đun nên V là R ' – mơ đun với phép nhân ngồi: ( ) ( ) ( )i i i i i ia .x a x 1 ; F,a R, x Vα = α α ∈ ∈ ∈∑ ∑ ; tổng (1) là tổng hữu hạn. V là R – mơ đun bất khả quy nên x 0,x V∀ ≠ ∈ ta cĩ: Rx V= R 'x Rx V⇒ ⊃ = R 'x V⇒ = . V⇒ là R ' – mơ đun bất khả quy trung thành (do ( )R ' E V⊂ ). Theo định lý dày đặc thì R ' dày đặc trong 'End V∆ với R '' End V∆ = (giao hốn tử của R ' trên V). Ta cần chứng minh: R 'F End V= . Ta cĩ R 'F End V⊂ (do mọi phần tử của F giao hốn được với mọi phần tử của R '). Lấy R 'c End V∈ và Kc End V∈ thì c giao hốn được với mọi phần tử của R ' . Do đĩ: 37 c giao hốn được với mọi phần tử của R Lc⇒ ∈ ∆ . c giao hốn được với mọi phần tử của ( ) LL L L F c C F F∆⇒ ∈ = (do F là trường con tối đại của ∆ ). Vậy R 'End V F⊂ . Do đĩ: R 'F End V= . Từ đĩ ta suy ra được R ' dày đặc trong FEnd V . Giả sử R cĩ đồng nhất thức thật sự f bậc d. Ta cĩ thể giả sử f là đa tuyến tính. Vì LR ' F R= là đại số trên F nên f là đồng nhất thức trên R ' . Do đĩ R ' là tập con dày đặc trong FEnd V , f là đồng nhất thức trên R ' thì f cũng là đồng nhất thức trên FEnd V . Vậy f là đồng nhất thức thật sự trên FEnd V bậc d. Vậy V là khơng gian vectơ hữu hạn chiều trên F, giả sử [ ]V : F n= khi đĩ ( )F nEnd V M F≅ . Vậy [ ]d d dd 2n n n V : F 2 2 2    ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤       . Vì [ ] [ ] [ ]V : F V : . : F= ∆ ∆ nên V là khơng gian vectơ hữu hạn chiều trên ∆ . Do R là đại số dày đặc trong End V∆ nên mR End V∆= ≅ ∆ ( ∆ là thể, m dim V∆= ). Từ đĩ R là đại số đơn và tâm ( )Z R của R là một trường. Giả sử 1 2 ra ,a ,...,a R∈ là độc lập tuyến tính trên tâm ( )Z R của R. Khi đĩ ta cũng cĩ 1 2 ra ,a ,...,a cũng độc lập tuyến tính trên F trong LR ' R.F= (do F là tâm của R '). Suy ra: [ ] 2 2 d d r A : C 2 2    ≤ ⇒ ≤       (do R ' dày đặc trong FEnd V và [ ]V : F n= ( ) [ ] 2F nR ' End V M F R ' : F n⇒ = ≅ ⇒ = ). Định nghĩa 2.2.7: Cho R là đại số trên trường K. Khi đĩ nếu R cĩ đơn vị thì tâm ( )Z R của R là trường và R cĩ thể xem như là đại số trên ( )Z R và ( )Z R K1= hay ( )Z R K≅ . Khi đĩ ta gọi R là đại số đơn tâm trên trường K. Lý thuyết về tích tenxơ trên các trường là một trường hợp đặc biệt của đại số đơn tâm. 38 Cho M, N là các khơng gian véc tơ trên trường K thì các ánh xạ x x 1⊗֏ và y y 1⊗֏ của M và N vào M N⊗ là các đơn ánh. Nếu R và R ' là các đại số trên trường K và do các ánh xạ x x 1⊗֏ và y y 1⊗֏ của R và R ' vào R R '⊗ là các đơn cấu đại số nên ta cĩ thể đồng nhất R và R ' như là các đại số con của R R '⊗ . Do đĩ: ab ba= với mọi a R;b R '∈ ∈ . Điều kiện độc lập tuyến tính: nếu 1 2 ra ,a ,...,a R∈ độc lập tuyến tính thì r i i i 1 a b 0 = =∑ , i ib R ' b 0, i 1, r∀ ∈ ⇒ = ∀ = . Bằng cách thay đổi vai trị của R và R ' ta cũng cĩ điều kiện độc lập tuyến tính cho R ' và R R '⊗ được sinh bởi R và R ' . Tính chất đặc trưng của R R '⊗ là: cho E là đại số trên trường K chứa các đại số con R và R ' sao cho ab ba; a R,b R '= ∀ ∈ ∈ , thì E được sinh bởi R và R ' và một trong các điều kiện độc lập tuyến tính trên đúng thì ánh xạ tuyến tính trên K: R R ' E⊗ → chuyển a b ab⊗ ֏ là một đẳng cấu. Đặc biệt nếu R và R ' là hữu hạn chiều thì điều kiện độc lập cĩ thể thay thế bằng mối quan hệ về số chiều [ ] [ ][ ]E : K R : K R ' : K= . Chúng ta sẽ xem xét tích tenxơ liên quan đến đại số đơn tâm thơng qua định lý sau: Định lý 2.2.8: Cho R là đại số con đơn tâm của đại số E trên trường K và gọi ( )ER ' Z R= là tâm tập của R trong E. khi đĩ R R ' là tích tenxơ của R và R ' . Chúng ta cũng cĩ cấu trúc ideal của R R '⊗ với R là đại số đơn tâm như sau: Định lý 2.2.9: Cho R là đại số đơn tâm trên trường K, R ' là đại số trên K. ta cĩ thể xem R và R ' như là đại số con của R R '⊗ các ánh xạ: i) I ' I ' B→ ∩ ii) ( )I RI IR→ = với { }I ' là tập các ideal của R R '⊗ và { }I là tập các ideal của R ' , cả hai ánh xạ trên đều là song cấu. Cái tâm hĩa của R trong R R '⊗ là R ' . Chứng minh: 39 Nếu I là ideal của R ' thì RI là ideal của R R ' RR '⊗ = . Gọi { }i1,u là một cơ sơ của R thì RI IR= là tập hợp các phần tử: 1 r0 i 1 i r i 1b u b ... u b ;b I+ + + ∈ . Do tính độc lập tuyến tính nên nếu 1 r0 i 1 i r j 1b u b ... u b B b 0, j 1, r+ + + ∈ ⇒ = ∀ = . Do đĩ các phần tử này thuộc I. Vậy RI R ' I∩ = . Giả sử I ' là một ideal của RR ' thì I ' I R '= ∩ là một ideal của R ' và RI là một ideal của RR ' được chứa trong I ' . Ta xây dựng RR ' I ' như sau: Nếu u RR '∈ thì đặt u u I '= + do đĩ ta cĩ ánh xạ RR ' RR ' I '→ chuyển u u֏ là đơn cấu đối với R và đồng cấu đối với R ' . Vậy ảnh R của R cĩ cơ sở là: { }i1,u . Các phần tử của RR ' I ' cĩ dạng: 0 ij jb u b+∑ với jb R '∈ . Do đĩ 0 ij j 0b u b 0 b 0+ = ⇒ =∑ và jb 0, j= ∀ . Vậy j0 i jb u b I '+ ∈∑ khi 0 jb ,b I I ' R '∈ = ∩ . Vậy I ' RI= . Đặt { }vλ là cơ sở của R ' khi đĩ mỗi phần tử của R R '⊗ cĩ dạng: jj ja v ;a Rλ ∈∑ và jj j a v 0 a 0, jλ = ⇔ = ∀∑ . Nếu ( )jj Ea v Z Rλ ∈∑ thì ta cĩ: jj a v 0, a Rλ  = ∀ ∈ ∑ . jj j j a 0 a K a v R 'λ ⇒ = ⇒ ∈ ⇒ ∈  ∑ . Hệ quả 2.2.10: Cho R là đại số đơn tâm trên trường K. Nếu R ' là đơn thì R R '⊗ là đơn, nếu R ' là đơn tâm thì R R '⊗ là đơn tâm. Định nghĩa 2.2.11: Nếu R là đơn tâm hữu hạn chiều trên K thì trường F K gọi là trường phân rã đối với R nếu ( )F K nR F R M F= ⊗ ≅ . Định lý 2.2.12: Bao đĩng đại số K của trường K là một trường phân rã. Vì thế nếu ( )rR M≅ ∆ với ∆ là một thể và F là trường con tối đại của ∆ thì F là trường phân rã. Chứng minh: 40 Xét trường F K , FR là đại số trên F. Nếu R là đại số đơn tâm hữu hạn chiều thì FR là đơn tâm hữu hạn chiều với [ ]FR : F R : K  =  , và theo định lý Wedderburn ta cĩ: ( )F nR M≅ ∆ với ∆ là thể trên trường F. Nếu F K= thì thể hữu hạn chiều duy nhất trên F chính là K . Do đĩ: ( )K nR M K≅ . Vậy K là trường phân rã. Lấy V là khơng gian véctơ hữu hạn chiều trên ∆ và ∆ là hữu hạn chiều trên K. Do tính độc lập tuyến tính của các phần tử của R trên tâm của nĩ ta cĩ: L KR ' F R F R= ≅ ⊗ và R ' là hồn tồn đại số của các phép biến đổi tuyến tính trong V F . Do đĩ nếu [ ]V : F n= thì ( )K nF R M F⊗ ≅ . Do đĩ nếu R là đại số dày đặc các phép biến đổi tuyến tính trong V ∆ , ∆ là thể và F là trường con tối đại của ∆ thì LR ' F R= là một thể các phép biến đổi tuyến tính trong V F . Suy ra R là đại số đơn tâm hữu hạn chiều. Vậy F là trường phân rã. Hệ quả 2.2.13: Số chiều của một đại số đơn tâm hữu hạn chiều là một số chính phương. Như ta đã biết nếu R là một đại số nguyên thủy thỏa mãn đồng nhất thức thật sự cĩ bậc d thì R là đại số đơn và nếu ( )Z R là tâm của nĩ thì ( ) 2 d A : Z R 2     ≤     . Hơn nữa ta cũng cĩ ( )nM K thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn 2nS . Kết hợp các điều trên ta cĩ định lý của Kaplansky – Amitsur – Levitzki như sau: Định lý 2.2.14: A là đại số nguyên thủy thỏa mãn đồng nhất thức thật sự khi và chỉ khi R là đơn và hữu hạn chiều trên tâm của nĩ. Nếu d là bậc nhỏ nhất của đồng nhất thức thật sự đối với R thì d 2n= là một số chẵn và ( ) 2A : Z R n  =  . Hơn nữa R thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn tắc dS . Định nghĩa 2.2.15: Số d n 2 = được gọi là PI – bậc của đại số R. 41 2.3 ĐỊA PHƯƠNG HĨA THEO TÂM: Định nghĩa 2.3.1: Cho S là tập con đĩng nhân nằm trong tâm của vành K và M là một K – mơ đun. Xét tập hợp: ( ){ }S M s, x / s S,x M× = ∈ ∈ . Ta định nghĩa quan hệ hai ngơi trên S M× như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2s ,x , s , x S M : s ,x ~ s , x s S : s s x s x 0∀ ∈ × ⇔ ∃ ∈ − = . Quan hệ hai ngơi này là quan hệ tương đương. Ta kí hiệu tập thương này là SM và lớp tương đương của ( )s,x là 1s x− . Trên tập thương SM ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau: • ( ) ( ) ( ) ( )11 11 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2s x s x s s s x s x ; s ,x , s , x S M−− −+ = + ∀ ∈ × • ( ) ( ) ( )1 1k s x s kx ; k K, s,x S M− −= ∀ ∈ ∈ × . Các phép tốn trên hồn tồn xác định khơng phụ thuộc vào phần tử đại diện của lớp tương đương và SM cĩ cấu trúc của K – mơ đun mà ta gọi SM là địa phương hĩa của M tại S. Xét ánh xạ: S S: M Mυ → biến 1x 1 x−֏ . Dễ dàng kiểm tra được Sυ là đồng cấu. Ta cĩ: { }S Kker x M / s S : sx 0 ann x Sυ = ∈ ∃ ∈ = ⇒ ∩ ≠ ∅ . Đặc biệt ta cũng cĩ thể thành lập SK bằng cách xem K như là mơ đun trên chính nĩ. Hơn nữa nĩ là K – đại số với phép nhân trong SK như sau: ( )( ) ( ) 11 1 1 11 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 Ss k s k s s k k ; s k ,s k K−− − − −= ∀ ∈ Đồng cấu S S: K Kυ → xác định bởi 1x 1 x−֏ là một đồng cấu đại số và với mọi s S∈ thì ( )S sυ là khả nghịch trong SK vì: ( )( )1 1 1 S1 s s 1 1 1 1 K− − −= = ∈ . Cặp ( )S SK ,υ là vật phổ dụng theo tính chất trên bởi vì với bất kỳ đồng cấu : K Rη → , với A là K – đại số, sao cho ( )sη khả nghịch với mọi s S∈ thì sẽ tồn tại duy nhất đồng cấu S: K Rς → sao cho: Sςυ = η hay biểu đồ sau giao hốn: 42 Thật vậy với S: K Rς → biến ( ) ( )11s k s k−− η η֏ thì biểu đồ trên giao hốn. Nếu S' là vị nhĩm con của S thì chúng ta cĩ đồng cấu S S: K Kυ → và ( )S s 'υ khả nghịch trong SK với mọi s ' S'∈ . Do đĩ tồn tại duy nhất đồng cấu: SS' S' S: K Kς → sao cho biểu đồ sau giao hốn: Bây giờ ta xét trường hợp với mọi s S∈ thì ( )S' sυ khả nghịch trong S'K . Khi đĩ ta cĩ biểu đồ sau giao hốn: trong đĩ S'Sς được xác định duy nhất. từ đĩ suy ra: S'S SS' S '1ς ς = và SS' S'S S1ς ς = do đĩ SS' S S': K Kς → là đẳng cấu. Thơng qua SK chúng ta cĩ một định nghĩa khác của SM , đĩ là bổ đề sau: S'K S'Sς S'υ SK S υ K S'K SS'ς S'υ SK S υ K SK ς Sυ R η K 43 Bổ đề 2.3.2: Ánh xạ S S KM K M→ ⊗ với tương ứng 1 1s x s 1 x− − ⊗֏ là đẳng cấu. Chứng minh: Trước hết ta cĩ: ( )( ) ( ) ( )1 1 1t st x st tx s x− − −= = trong SM . Đặc biệt điều đĩ vẫn đúng trong SK tức là với x K∈ . Giả sử ( )1 11 1 2 2 2 1 1 2s x s x s S : s s x s x 0− −= ⇒ ∃ ∈ − = . Ta cĩ: ( ) ( ) ( )( )1 1 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1ss s 1 ss x ss ss s 1 x s 1 x− − −⊗ = ⊗ = ⊗ Tương tự: ( ) 1 11 2 1 2 2 2ss s 1 ss x s 1 x− −⊗ = ⊗ Do đĩ: 1 11 1 2 2s 1 x s 1 x − −⊗ = ⊗ Vậy tương ứng trên là một ánh xạ. Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta cĩ ánh xạ trên là một đồng cấu. Bây giờ giả sử 1 11 1 2 2s k s k − − = với 1 2 1 2s ,s S;k ,k K∈ ∈ ( )2 1 1 2s S : s s k s k 0⇒ ∃ ∈ − = . Suy ra tồn tại Sx M∈ sao cho: ( ) ( )1 11 1 2 2s k x s k x− −= . Do đĩ tương ứng S SK M M× → biến ( ) ( )1 1s k,x s kx− −֏ là một ánh xạ. Dễ dàng kiểm tra được đĩ là ánh xạ song tuyến tính của các K – mơ đun. Theo định nghĩa của tích tenxơ ta cĩ đồng cấu: S K SK M M⊗ → biến ( )1 1 1s 1 kx s k x s kx− − −⊗ = ⊗ ֏ . Vậy ta cĩ tích của hai ánh xạ S S KM K M→ ⊗ và S K SK M M⊗ → là ánh xạ đồng nhất. vậy chúng là các đẳng cấu. Vậy: S S KM K M≅ ⊗ . Rõ ràng đẳng cấu của bổ đề trên là đẳng cấu K – mơ đun nên ta cĩ thể xem SM như là SK – mơ đun với phép nhân ngồi được xác định như sau: ( )( ) ( ) ( )11 1 1 11 1 1 1 1 1 S Ss k s x ss k x ; s k K ,s x M−− − − −= ∀ ∈ ∈ do đĩ đẳng cấu trên cũng được ._.