Tăng cường hoạt động nhận thức của học sinh thông qua việc dạy học các yếu tố giải tích nguyên hàm - Tích phân ở trung học phổ thông

ỤC Nội dung ..............................................................................................Trang LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................................1 CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN...................................................2 PHẦN MỞ ĐẦU...............................................................................................................3 I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:.................................................................................................3 II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: ...........................................................4 III.KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU:...................................4 1.Khách Thể Nghiên Cứu: ............................................................................................4 2.Đối Tượng Nghiên Cứu: ............................................................................................4 3.Phạm Vi Nghiên Cứu:................................................................................................4 IV.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: ......................................................................................4 V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:................................................................................5 VI.LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN:.......................................................................................5 VII.CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:................................................................................5 PHẦN NỘI DUNG ...........................................................................................................6 CHƯƠNG I: SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT SƠ LƯỢC VỀ QUÁ TRÌNH DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY VÀ RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CHO HS...................................................................................................................6 I.VÀI NÉT VỀ SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT:........................................6 1.Đặc điểm hoạt động học tập:......................................................................................6 2.Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ: .............................................................................6 3.Dạy học và sự phát triển trí tuệ: .................................................................................7 3.1. Khái niệm về sự phát triển trí tuệ:......................................................................7 3.2.Vài nét về chỉ số của sự phát triển trí tuệ:...........................................................7 3.3.Quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ: .........................................................7 II.MỘT VÀI KHÁI NIỆM:...............................................................................................8 1.Khái niệm về hoạt động học: .....................................................................................8 2.Quá trình dạy học:......................................................................................................8 2.1.Quá trình dạy học là gì? ......................................................................................8 2.2.QTDH,về bản chất là QTNT của HS: .................................................................8 2.3.Các nhiệm vụ của QTDH :..................................................................................8 2.4.Logic của QTDH:................................................................................................9 III.PHÁT TRIỂN TƯ DUY, RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CHO HS:.........9 1.Mơ hình nhận thức hoạt động tốn học:.....................................................................9 2.Tư duy và sáng tạo: ..................................................................................................10 2.1. Tư duy là gì? ....................................................................................................10 2.2. Sáng tạo là gì? ..................................................................................................10 2.3.Tư duy sáng tạo nổi lên các tính chất cơ bản: ...................................................10 3. Rèn luyện khả năng sáng tạo:..................................................................................11 IV. KẾT LUẬN: ............................................................................................................11 CHƯƠNG II: NỘI DUNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Ở THPT NHÌN TỪ QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH................................................12 I.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:..........................................................................................12 1.Bài Nguyên Hàm:.....................................................................................................12 2. Bài tích phân : .........................................................................................................16 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 3.Bài ứng dụng của tích phân trong hình học: ............................................................26 II.HỆ THỐNG BÀI TẬP: ...............................................................................................28 III. KẾT LUẬN:..............................................................................................................32 CHƯƠNG III: NHẬN THỨC CẦN THIẾT CỦA HỌC SINH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN THƠNG QUA DẠY HỌC CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN .........................................................33 I.KHÁI NIỆM BÀI TỐN: ............................................................................................33 II. Ý NGHĨA CỦA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN:........................................................33 III.KHÁI NIỆM THUẬT TỐN:...................................................................................34 IV.DẠY HỌC THUẬT GIẢI VÀ QUY TẮC TỰA THUẬT GIẢI: .............................34 V. DẠY HỌC, NHẬN THỨC CẦN THIẾT GIẢI CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN: ..................................................................................................................35 1. Cơ Sở Lý Thuyết Sử Dụng Cho Việc Giải Các Bài Tập: .......................................35 2.Các Phương Pháp Và Kiến Thức Giải Các Bài Tập Về Nguyên Hàm- Tích Phân: 39 2.1.Sử dụng đạo hàm và định nghĩa nguyên hàm: ..................................................39 2.1.1.Dạng 1:Chứng minh F(x) là nguyên hàm của f(x):....................................40 2.1.2.Dạng 2:Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc: ...........................42 2.1.3.Dạng 3:Tìm điều kiện tham số để F(x) là nguyên hàm của f(x): ...............43 2.2.Sử dụng trực tiếp cơng thức tính nguyên hàm: .................................................44 2.2.1.Dạng 1:Tính nguyên hàm- tích phân của hàm đa thức, hàm số chứa căn, hàm số luỹ thừa: ..........................................................................................45 2.2.2.Dạng 2:Tính nguyên hàm tích phân của hàm số cĩ chứa e:......................46 2.2.3:Dạng 3:Tính nguyên hàm tích phân của hàm số lượng giác:....................47 2.2.4.Dạng 4: Tính nguyên hàm- tích phân của hàm phân thức: .......................48 2.3.Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm- tích phân từng phần: ........................51 2.3.1.Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ: ...............................................................................52 2.3.2.Dạng 2:Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và logarit, arcsinu, arccosu, arctanu: ..................................................................................54 2.3.3.Dạng 3:Tích phân luân hồi: .......................................................................56 2.3.4.Dạng 4: Các bài tốn tổng hợp..................................................................57 2.3.5.Dạng 5:Tích phân truy hồi:........................................................................59 2.4.Sử dụng phương pháp đổi biến số :...................................................................62 2.4.1.Dạng 1: Nguyên hàm – tích phân của hàm số cĩ chứa căn, mũ , luỹ thừa , logarit: ................................................................................................................64 2.4.2:Dạng 2:Tích phân hàm lượng giác dạng: (sin ,cos )I R x x dx= ∫ ..............66 2.4.4 Dạng 4:Tích phân dạng : cosn dxI x = ∫ ......................................................70 2.4.5.Dạng 5: Tích phân dạng : sin cos dxI a x b x c = + +∫ ..................................70 2.4.6.Dạng 6: Tích phân liên kết : ......................................................................71 2.5.Sử dụng phép khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dưới dấu tích phân:.......74 2.5.1. Dạng 1: Tích phân của hàm đa thức, hàm số cĩ chứa căn số, luỹ thừa….: .............................................................................................................................74 2.5.2.Dạng 2: Tích phân hàm lượng giác: ..........................................................75 2.6.Sử dụng các định lý, tính chất tích phân để chứng minh bất đẳng thức tích phân:........................................................................................................................76 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 2.7.Sử dụng cơng thức đạo hàm- tích phân để chứng minh đẳng thức tổ hợp:.......79 2.7.1 Dạng 1: Chứng minh đẳng thức,giải phương trình r nC bằng đạo hàm .....79 2.7.2. Dạng 2:Chứng minh đẳng thức r nC bằng tích phân: .................................80 2.8.Sử dụng các cơng thức tính diện tích , thể tích : ...............................................81 ►Tính diện tích hình phẳng: ..............................................................................81 ►Tính thể tích khối trịn xoay:...........................................................................88 CHƯƠNG IV: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................................94 I.MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM: ....................................................................................94 II.NỘI DUNG THỰC NGHIỆM: ...................................................................................94 III.TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM:....................................................................................94 IV.PHÂN TÍCH ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM:.........................................94 1.Nội Dung Kiểm Tra: ................................................................................................94 2.Phân Tích Định Tính:...............................................................................................95 3. Phân Tích Định Lượng:...........................................................................................95 4. Kết Luận Thực Nghiệm: .........................................................................................95 PHẦN KẾT LUẬN.........................................................................................................96 I.NHỮNG KẾT QUẢ THU ĐƯỢC TỪ VIỆC NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI:......................96 II.NHỮNG HẠN CHẾ CỦA LUẬN VĂN: ...................................................................96 TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................................97 PHỤ LỤC........................................................................................................................98 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn đến thầy Tiến sĩ Lê Văn Phúc, người thầy đã tận tình chỉ dạy, hướng dẫn và giúp em hồn thành bài luận văn này. Em xin cảm ơn quý thầy – cơ của trường Đại Học An Giang trong thời gian qua đã nhiệt tình giảng dạy, cung cấp cho em những kiến thức quý báu, giúp em cĩ cơ sở để tiến hành việc nghiên cứu của mình. Xin cảm ơn thầy Nguyễn Thiết đã giúp đỡ em trong việc tìm sách và tài liệu tham khảo của bài luận văn. Em xin chân thành biết ơn Ban Giám Hiệu trường THPT BÌNH MỸ , thầy Trần Cơng Tư và tập thể lớp 12A3 đã tạo điều kiện cho em tiến hành thực nghiệm trên thực tế học sinh. Cuối cùng em xin được cảm ơn tất cả người thân, bạn bè đã động viên, ủng hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian làm bài nghiên cứu và hồn thành. Long Xuyên , tháng 5 năm 2008. Sinh viên thực hiện DƯƠNG THỊ BÍCH HẠNH LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 2 CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN Viết tắt ....................................................................Viết đầy đủ GV........................................................................................Giáo viên HS ........................................................................................Học sinh QTDH..................................................................................Quá trình dạy học QTNH..................................................................................Quá trình nhận thức SGV .....................................................................................Sách giáo viên SGK .....................................................................................Sách giáo khoa T137-GT12..........................................................................Trang 137 giải tích 12 THPT...................................................................................Trung học phổ thơng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 3 PHẦN MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: “Quá trình dạy học là một quá trình hoạt động thống nhất giữa GV và HS, trong đĩ GV giữ vai trị hướng dẫn , tố chức, điều khiển hoạt động của HS, HS giữ vai trị tự tổ chức, tự điều khiển hoạt động của HS,HS giữ vai trị tự tổ chức, tự điều khiển hoạt động học của mình, nhằm thực hiện các nhiệm vụ dạy học”. “QTDH nhằm trang bị cho HS hệ thống những tri thức, kĩ năng kĩ xảo, phát triển năng lực hoạt động trí tuệ và hình thành thế giới quan khoa học,giáo dục phẩm chất tốt đẹp cho HS”.(Giáo dục học 2 (LLDH-LLGD)-Ths.Nguyễn Thị Cúc). Qua đĩ ta cĩ thể nhận thấy được GV là người cĩ nhiệm vụ cung cấp kiến thức cho HS, nhưng việc cung cấp kiến thức đĩ cĩ hiệu quả hay khơng đĩ là một vấn đề, tức là HS cĩ nhận thức được một cách rõ ràng về những kiến thức đã được cung cấp hay khơng. QTDH ở trung học phổ thơng đang tồn tại mâu thuẫn giữa một bên là khối lượng tri thức đã được đổi mới tăng lên phức tạp hơn một bên là thời gian học tập khơng thể tăng lên được. Để phải giải quyết mâu thuẫn đĩ phải đổi mới theo phương pháp tích cực hĩa hoạt động nhận thức của người học. Bản chất của hướng này là khơi gợi và phát huy năng lực tìm tịi độc lập sáng tạo của người học. Nhờ vậy mà họ nắm vững tri thức và học được cách học. Vấn đề tích cực hĩa hoạt động nhận thức của HS THPT vừa cĩ ý nghĩa kích thích các em học tập sáng tạo, đạt hiệu quả cao trong học tập, mà cịn cĩ ý nghĩa lâu dài: Giáo dục các em trở thành những chủ thể tích cực, sáng tạo cĩ khả năng thích ứng cao các hoạt động xã hội sau này. Việc nhận thức được tốn học một cách sâu sắc cĩ khả năng to lớn trong việc phát triển tư duy, việc giảng dạy tốn học luơn nhằm mục đích phát triển trí tuệ, mà trước hết là sự địi hỏi HS phải nhận thức một cách chính xác từ những kiến thức căn bản, cốt lõi nhất rồi đến những chi tiết của bài học. Từ đĩ hình thành ở HS những phẩm chất tư duy cần thiết thơng qua việc học tốn, HS sẽ học được cách suy nghĩ độc lập, suy luận chính xác, chặt chẽ, cĩ một nền tảng kiến thức và kĩ năng cơ bản, chắc chắn. Đĩ là cơ sở để hồn thiện con người trong xã hội hiện đại, tạo sự năng động sáng tạo, hịa nhập với xã hội . Một khi HS chưa nhận thức được đầy đủ các kiến thức bài học nào đĩ thì việc giải những bài tốn thuộc nội dung của bài học đĩ là việc hết sức khĩ khăn mặc dù một bài tập cĩ thể cĩ nhiều cách giải. Chủ đề nguyên hàm - tích phân cĩ vị trí đặc biệt quan trọng trong chương trình tốn học ở Trường THPT, nĩ chiếm một thời gian dài trong giảng dạy mơn tốn của lớp 12. Nĩ khơng chỉ cĩ vai trị quan trọng trong chương trình của SGK GT 12 chưa cải cách mà ngay cả trong chương trình của SGK GT 12 thí điểm đã cải cách cũng vậy. Ngồi ra chủ đề nguyên hàm – tích phân cũng luơn cĩ một vị trí trong các đề thi tốt nghiệp và cao đẳng - đại học. Hiện nay, việc dạy học chủ đề này ở trường THPT gặp khá nhiều khĩ khăn do HS khơng nắm được những khái niệm, tính chất của nguyên hàm – tích phân và ứng dụng cũng như tầm quan trọng của nĩ. Đặc biệt là việc giải các bài tốn nguyên hàm – tích phân của một hàm số nào đĩ thực sự là một trở ngại cho HS LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 4 trong các kì thi cao đẳng – đại học và một số kì thi khác. Lý do là HS khơng nhận thức được một cách sâu sắc những khái niệm, tính chất và do đĩ HS khơng biết sử dụng được những cơng thức nào, tính chất nào cho cùng một bài tốn cụ thể, cũng như từng bài tốn cụ thể. Vì những lý do trên chúng tơi quyết định chọn đề tài: “TĂNG CƯỜNG HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC DẠY HỌC CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Ở TRƯỜNG THPT ”. II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Luận văn này chúng tơi tập trung nghiên cứu và trình bày các vấn đề sau: 1.Tìm hiểu về sự phát triển trí tuệ của HS THPT, sơ lược về quá trình dạy học, phát triển tư duy và rèn luyện khả năng sáng tạo cho HS. 2.Tìm hiểu hoạt động nhận thức của HS như thế nào và sự phát triển tư duy của HS ở trường THPT thơng qua việc phân tích SGK. 3.Phân loại những nhĩm các bài tốn theo các phương pháp và kiến thức cần thiết để giải các bài tốn và đề xuất các phương pháp giải một số dạng tốn quan trọng của chủ đề nguyên hàm – tích phân. 4.Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các phương pháp đã nêu. III.KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU: 1.Khách Thể Nghiên Cứu: Hoạt động nhận thức của HS THPT về tốn học. Sự phát triển tư duy của HS THPT trong tốn học. 2.Đối Tượng Nghiên Cứu: Hoạt động nhận thức của HS THPT thơng qua dạy học chủ đề nguyên hàm – tích phân. Sự phát triển tư duy của HS THPT khi tìm cách giải các bài tốn về chủ đề nguyên hàm – tích phân. 3.Phạm Vi Nghiên Cứu: Các yếu tố giải tích về nguyên hàm – tích phân ở trường THPT. IV.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: Việc phân loại những nhĩm các bài tốn theo các phương pháp và kiến thức cần thiết để giải các bài tốn đem lại hiệu quả cao cho hoạt động nhận thức của HS. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 5 V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Nghiên cứu lý luận: phân tích, đối chiếu các tài liệu tốn học, tâm lý học, giáo dục học, LLDH mơn tốn, nghiên cứu SGK và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy. Thực nghiệm sư phạm. Tổng kết thực nghiệm. VI.LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN: Luận văn này đã phân loại những nhĩm, dạng các bài tốn theo các phương pháp và kiến thức cần thiết để giải các bài tốn và đề xuất các phương pháp giải một số dạng tốn quan trọng của chủ đề nguyên hàm – tích phân, cĩ thể giới thiệu với HS một số phương pháp. Từ đĩ HS khơng cịn gặp nhiều khĩ khăn trong việc tìm một cách giải cho bài tốn. VII.CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN: Luận văn bao gồm: Phần mở đầu. Phần nội dung: Chương I: Sự phát triển trí tuệ của HS THPT, sơ lược về quá trình dạy học, phát triển tư duy và rèn luyện khả năng sáng tạo cho HS. Chương II: Nội dung nguyên hàm - tích phân nhìn từ quan điểm nhận thức của HS. I.Hệ thống lý thuyết. II.Hệ thống bài tập. III.Kết luận. Chương III: Nhận thức cần thiết của học sinh để giải các bài tốn nguyên hàm – tích phân thơng qua việc dạy học các yếu tố giải tích nguyên hàm – tích phân. Chương IV: Thực nghiệm sư phạm. Phần kết luận. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 6 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT SƠ LƯỢC VỀ QUÁ TRÌNH DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY VÀ RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CHO HS I.VÀI NÉT VỀ SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT: 1.Đặc điểm hoạt động học tập: Nội dung và tính chất của hoạt động học tập ở thanh niên khác rất nhiều so với hoạt động học tập của thiếu niên. Sự khác nhau cơ bản khơng phải chỉ ở chỗ nội dung học tập ngày một nhiều hơn mà ở chỗ hoạt động của thanh niên đi sâu vào những tri thức cơ bản, những quy luật của những bộ mơn khoa học, phương pháp giảng dạy của GV cũng cĩ nhiều thay đổi. Chính vì vậy, hoạt động học tập địi hỏi thanh niên phải cĩ tính năng động, độc lập và sáng tạo ở mức độ cao hơn, địi hỏi các em phải phát triển tư duy lý luận. 2.Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ: Ở HS THPT, ghi nhớ cĩ chủ định giữ vai trị chủ đạo trong hoạt động trí tuệ, mặt khác vai trị của ghi nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa ngày một tăng rõ rệt. Nhưng cĩ một số em cịn ghi nhớ đại khái , chung chung, đánh giá thấp của việc ơn tập. Hoạt động tư duy của các em tích cực, độc lập hơn. Các em thích khái quát hĩa, thích tìm hiểu những quy luật và những nguyên tắc chung của các hiện tượng hàng ngày, của những tri thức phải tiếp thu. Tư duy của các em chặt chẽ hơn, cĩ căn cứ và nhất quán hơn, tính phê phán của tư duy cũng phát triển. Những đặc điểm này tạo điều kiện cho các em thực hiện các thao tác tư duy logic phân tích nội dung cơ bản của khái niệm trừu tượng. Thiếu sĩt cơ bản trong tư duy của các em là thiếu tính độc lập, việc giúp các em phát triển khả năng nhận thức là một nhiệm vụ quan trọng của GV, GV cần hướng dẫn các em tích cực suy nghĩ trong khi phân tích vấn đề. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 7 3.Dạy học và sự phát triển trí tuệ: 3.1. Khái niệm về sự phát triển trí tuệ: Theo tâm lí học lức tuổi và tâm lí học sư phạm “Sự phát triển trí tuệ là sự biến đổi về chất trong hoạt động nhận thức. Sự biến đổi đĩ được đặc trưng bằng sự thay đổi cấu trúc cái được phản ánh và về phương thức phản ánh chúng. Theo quan điểm này nổi lên các nội dung sau: - Đã nĩi đến phát triển là cĩ sự biến đổi, nhưng khơng phải mọi sự biến đổi đều phát triển. - Điều đặc trưng nĩi lên bản chất của sự phát triển trí tuệ là ở chỗ vừa thay đổi cấu trúc cái được phản ánh, vừa thay đổi phương thức phản ánh. Dĩ đĩ, sự phát triển trí tuệ cần được hiểu là sự thống nhất giữa việc vũ trang tri thức và việc phát triển một cách tối đa phương thức phản ánh chúng , con đường, cách thức giành lấy tri thức. 3.2.Vài nét về chỉ số của sự phát triển trí tuệ: - Tính mềm dẻo của trí tuệ thường bộc lộ ở các kỹ năng sau: + Kỹ năng biến thiên cách giải quyết vấn đề phù hợp với biến thiên của điều kiện, + Kỹ năng xác lập sự phụ thuộc những kiến thức đã cĩ sang một trật tự khác ngược với hướng trật tự đã tiếp thu. + Kỹ năng đề cập cùng một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau. -Sự thấm sâu vào tài liệu, sự vật, hiện tượng nghiên cứu thể hiện rõ ở sự phân biệt giữa cái bản chất và khơng bản chất, cái cơ bản và cái chủ yếu, cái tổng quát và cái bộ phận… 3.3.Quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ: Dạy học và phát triển trí tuệ cĩ quan hệ chặt chẽ với nhau: - Trong quá trình nắm tri thức, HS phải xây dựng cho mình những hệ thống hành động trí tuệ sao cho phù hợp với hệ thống tri thức đĩ. Khi hệ thống hành động trí tuệ này được củng cố, khái quát tạo thành nhũng kỹ xảo của hoạt động trí tuệ . Chính nhờ những kỹ xảo này cho HS khả năng di chuyển rộng rãi và thành thạo, các phương pháp hoạt động trí tuệ từ đối tượng này sang đối tượng khác để nhận thức và cải tạo chúng, và khả năng này được xem như một trong những điều kiện cơ bản của sự phát triển trí tuệ. - Ngồi ra, trong quá trình nắm tri thức, những mặt khác của năng lực trí tuệ như: ĩc quan sát trí nhớ, tưởng tượng cũng được phát triển. Cho nên cĩ thể nĩi, việc dạy học là một trong những con đường cơ bản để giáo dục và phát triển trí tuệ một cách tồn diện. - Việc nắm vững tri thức khơng chỉ ảnh hưởng đến sự phát triển năng lực trí tuệ, mà cịn ảnh hưởng đến tồn bộ nhân cách con người như: nhu cầu nhận thức, hứng thú học tập, động cơ học tập, khát vọng tìm tịi,… LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 8 Tĩm lại , trong quá trình dạy học, việc nắm vững tri thức và phát triển trí tuệ tác động qua lại hết sức chặt chẽ với nhau. Sự phát triển trí tuệ vừa là kết quả, vừa là điều kiện của vịêc nắm vững tri thức. II.MỘT VÀI KHÁI NIỆM: 1.Khái niệm về hoạt động học: Hoạt động học là hoạt động đặc thù của con người chỉ cĩ con người cĩ hoạt động học được điều khiển bởi mục đích tự giác là lĩnh hội những tri thức, kỹ năng , kỹ xảo mới, những hình thức hành vi những dạng hoạt động nhất định. Lĩnh hội là một khái niệm chỉ sự tiếp thu của HS những tri thức, năng lực,… của lồi người và sự vận dụng chúng vào những trường hợp cụ thể để hình thành những năng lực và phẩm chất riêng của từng HS, nhờ đĩ tạo nên sự phát triển của các em. 2.Quá trình dạy học: 2.1.Quá trình dạy học là gì? Theo giáo dục học( lí luận dạy học) “Quá trình dạy học là một quá trình hoạt động thống nhất giữa GV và HS, trong đĩ GV giữ vai trị hướng dẫn , tố chức, điều khiển hoạt động của HS, HS giữ vai trị tự tổ chức, tự điều khiển hoạt động của HS,HS giữ vai trị tự tổ chức, tự điều khiển hoạt động học của mình, nhằm thực hiện các nhiệm vụ dạy học”. 2.2.QTDH,về bản chất là QTNT của HS: - QTNT của HS, cũng như QTNT của nhà khoa học( hay QTNT cĩ tính chất xã hội – lịch sử của lồi người) là quá trình phản ánh thế giới quan vào ý thức con người, đều diễn ra theo quy luật nhận thức của lồi người. Quy luật này đã được phản ánh trong cơng thức nỗi tiếng của V.I.Lê Nin: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đĩ là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, nhận thức hiện tượng khách quan”. - QTDH là QTNT độc đáo của học sinh. Tính độc đáo này được thể hiện: HĐNT được tiến hành trong QTDH với những điều kiện sư phạm nhất định, cĩ sự hướng dẫn, điều khiển của giáo viên thơng qua việc lựa chọn nội dung phương pháp và các hình thức tổ chức dạy học, mang tính giáo dục nhân cách rõ rệt. - QTNT của học sinh khơng phải tìm ra cái mới cho nhân loại mà nhận thức cái mới đối với bản thân. Những cái đã được rút ra từ kho tàng hiểu biết chung của lồi người, cĩ chứa đựng khâu kiểm tra, đánh giá tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực trí tuệ, nhằm biến chúng thành vốn riêng của học sinh và khi cần cĩ thể tái hiện và vận dụng được. 2.3.Các nhiệm vụ của QTDH : 2.3.1. Tổ chức điều khiển người học nắm vững hệ thống những tri thức khoa học phổ thơng cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn của đất nước về tự nhiên, xã hội, tư duy, đồng thời rèn luyện cho các em hệ thống những kỹ năng, kỹ xảo tương ứng. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 9 2.3.2.Tổ chức, điều khiển người học hình thành và phát triển năng lực tư duy sáng tạo. 2.3.3. Tổ chức điều khiển người học hình thành và phát triển thế giới quan khoa học, nhân sinh quan và những phẩm chất tốt đẹp của người cơng dân, người lao động cĩ bản lĩnh trong cộng đồng. 2.4.Logic của QTDH: Logic của QTDH là trình tự vận động hợp quy luật của nĩ đảm bảo cho HS đi từ trình độ tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, sự phát triển năng lực hoạt động trí tuệ tương ứng với lúc bắt đầu nghiên cứu vấn đề (mơn học, một phần, một chương, một đề mục) nào đĩ đến trình độ tri thức, kỹ năng, kỹ xảo và phát triển năng lực hoạt động trí tuệ tương ứng với lúc kết thúc vấn đề đĩ. Logic QTDH vận động theo mơn học và logic QTNT của HS. QTDH diễn ra theo các khâu sau đây: 1.Kích thích thái độ học tập của người học. 2.Tổ chức, điều khiển người học lĩnh hội tri thức mới. 3.Tổ chhức, điều khiển người học củng cố tri thức. 4.Tổ chức, điều khiển người học hình thành kỹ năng ,kỹ xảo. 5.Kiểm tra , đánh giá và tổ chức, điều khiển người học tự kiểm tra., tự đánh giá kết quả học tập. 6.Phân tích kết quả học tập và tự điều chỉnh hoạt động học tập nhằm hồn thiện QTDH. Sự phân chia các khâu của QTDH là một quá trình trọn vẹn, các khâu cĩ thể xen kẽ, thâm nhập và bổ sung cho nhau. Do đĩ, trong QTDH khơng thực hiện các khâu theo một trình tự máy mĩc mà tùy theo nhiệm vụ, nội dung dạy học mà vận dụng linh hoạt, sáng tạo. III.PHÁT TRIỂN TƯ DUY, RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CHO HS: 1.Mơ hình nhận thức hoạt động tốn học: Dạy học mơn tốn ở trường phổ thơng cần cĩ sự phối hợp một cách hợp lý việc dạy học các tri thức tốn với dạy học hoạt động nhận thức lĩnh hội các tri thúc đĩ. Nĩi cách khác, dạy học mơn tốn về thực chất là dạy học các hoạt động nhận thức tốn học. Xét mơ hình chứa cả ba mặt cơ bản của hoạt động nhận thức tốn học. M1: Tốn học hĩa các tình huống cụ thể . M2: Xây dựng lý thuyết suy diễn bao gồm tổ chức, sắp xếp logic các chất liệu tốn nhận thức được từ bước một.Sử dụng cơng cụ tốn học để giải quyết bài tốn trong mơ hình tốn học. M3: Vận dụng lý thuyết chuyển kết quả tìm được ở bước hai sang lời giải của bài tốn thực tế. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh ._. GVHD : TS Lê Văn Phúc 10 Ba mặt cơ bản của hoạt động nhận thức tốn học hàm chứa trong đĩ các thủ thuật tư duy đặc trưng của tốn học. Các mặt hoạt động nhận thức Các thủ thuật tư duy M1 M2 M3 Quy nạp + + Suy diễn + + Phân tích + + + Tổng hợp + + + So sánh + + Đối chiếu + + Phân loại + + Khái quát hĩa + + Trừu tượng hĩa + + Cụ thể hĩa + 2.Tư duy và sáng tạo: 2.1. Tư duy là gì? Tư duy là QTNT, phản ánh những thuộc tính bản chất , những mối quan hệ cĩ tính quy luật của sự vật và hiện tượng. Theo từ điển Tiếng Việt, Tư duy là “ giai đoạn cao của QTNT, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, phán đốn và suy lí ”. 2.2. Sáng tạo là gì? “ Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với các mục đích và nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động được đặc trưng bởi tính khơng lặp lại, tính độc đáo và tính duy nhất”. Theo từ điển Tiếng Việt “ Sáng tạo là những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần, hay: sáng tạo ra cái mới, cách giải quyết mới, khơng bị gị bĩ phụ thuộc vào cái đã cĩ”. 2.3.Tư duy sáng tạo nổi lên các tính chất cơ bản: + Tính mềm dẻo: khả năng dễ dàng chuyển hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác. + Tính nhuần nhuyễn: khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều gĩc độ và tình huống khác nhau. + Tính độc đáo: khả năng tìm kiếm và giải quyết, phương thức giải quyết lạ hoặc duy nhất. + Tính hồn thiện: khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng. Ngồi các tính chất cơ bản trên đây cịn cĩ những yếu tố quan trọng khác như: tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 11 3. Rèn luyện khả năng sáng tạo: Sáng tạo thơng qua việc trang bị cho HS các phương tiện, các thủ pháp của các hoạt động nhận thức với hai đặc trưng cơ bản : hướng tiếp cận algorit và hướng tiếp cận ơrixtic. Khi đĩ cĩ thể phân biệt bốn loại hình bài tốn học tập ở trường phổ thơng ( theo Polya: bài tốn là hệ thơng tin xác định, bao gồm các điều kiện và những yêu cầu luơn luơn khơng phù hợp với nhau, dẫn đến nhu cầu khắc phục bằng cách biến đổi chúng). Sự địi hỏi khả năng tư duy tăng dần theo thứ tự các loại bài tốn sau: Loại 1: Bài tốn algorit: đĩ là một bài tốn mà cách giải đã đuợc xác định theo một algorit. Loại 2: Bài tốn algorit – ơrixtic Loại 3: Bài tốn ơrixtic – algorit Loại 4: Bài tốn ơrixtic: các bài tốn thuộc dạng tìm kiếm. Người giải phải cĩ sự chọn lựa từ nhiều phương án và khơng cĩ gì đảm bảo rằng , sau một số hữu hạn các bước cĩ thể dẫn đến kết quả. Để cĩ thể giải được bài tốn ơrixtic, địi hỏi ngừơi giải khơng chỉ năng lực tư duy logic mà đơi khi cả trực giác, sự lanh trí, thơng minh, sáng tạo. ●Những phương pháp rèn luyện khả năng sáng tạo tốn học ở trường phổ thơng: - Đặc biệt hĩa, tổng quát hĩa , tương tự. - Vận dụng đặc biệt hĩa, tổng quát hĩa , tương tự để giải các bài tốn. - Mị mẫm và dự đốn. - Mở rộng, đào sâu, hệ thống hĩa kiến thức. - Chủ động học tập, rèn luyện khả năng sáng tạo tốn học. IV. KẾT LUẬN: Qua việc nghiên cứu về sự phát triển trí tuệ của HS THPT, hoạt động học, QTDH và phát triển tư duy, rèn luyện luyện khả năng sáng tạo cho HS, cĩ thể rút ra một số kết luận như sau: ●Việc dạy học của GV tác động trực tiếp đến QTNT của HS. Do đĩ, người GV trong QTDH cần phải giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến thức, GV cần cĩ những phương pháp dạy tạo điều kiện cho HS phát triển tư duy và rèn luyện luyện khả năng sáng tạo. ●Việc nhận thức của HS cần cĩ sự phối hợp một cách hợp lý giữa việc dạy học các tri thức tốn với dạy học việc dạy học hoạt động nhận thức lĩnh hội các tri thức đĩ. ●Sự phát triển tư duy và khả năng sáng tạo cần cĩ sự tiếp cận, giải quyết vấn đề từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp và việc rèn luyện đĩ phải được tiến hành thường xuyên. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 12 CHƯƠNG II: NỘI DUNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Ở THPT NHÌN TỪ QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH Hiện nay, SGK thí điểm đã được hồn chỉnh và đang tiến hành dạy ở một số trường THPT. Giữa SGK thí điểm và SGK chính thức sau này đưa vào một cách đại trà thì cơ bản ít cĩ sự thay đổi. Vì vậy chúng tơi lựa chọn bộ SGK thí điểm Giải tích 12 - Ban khoa học tự nhiên bộ 2 ( Trần Văn Hạo ( tổng chủ biên ), Vũ Tuấn ( chủ biên ), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất ). I.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT: Nhìn tổng thể thì SGK đã trình bày các kiến thức về nguyên hàm – tích phân theo thứ tự: Nguyên hàm, Tích phân, Ứng dụng của tích phân trong hình học. 1.Bài Nguyên Hàm: Chúng ta đã gặp bài tốn dẫn đến định nghĩa khái niệm đạo hàm là bài tốn tìm vận tốc tức thời của một chuyển động , hay về mặt tốn học là bài tốn tìm đạo hàm của một hàm số tại một điểm, trên một khoảng hay một đoạn. Bây giờ đưa vào khái niệm nguyên hàm nhằm giải bài tốn ngược của phép tính đạo hàm hay phép tính vi phân. Trên cơ sở đĩ hình thành khái niệm tích phân khơng xác định ( thường gọi là họ nguyên hàm ). Hay nĩi cách khác khái niệm nguyên hàm xuất hiện từ bài tốn tìm lại hàm số nếu biết đạo hàm hoặc vi phân của nĩ trên một khoảng hay một đoạn. Trước khi vào định nghĩa nguyên hàm trên một khoảng, SGK đã cĩ một số hoạt động: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) : ( ) ( ) ( )2 21) 3 ; ; ) ;cos 2 2a f x x với x b f x với xx π π⎛ ⎞= ∈ −∞ +∞ = ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠ Trên cơ sở đĩ dẫn đến khái niệm nguyên hàm của một hàm số : “Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), nếu F’(x) = f(x) với mọi x∈(a ; b)”. Từ định nghĩa này giúp cho HS nhận thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa hai khái niệm nguyên hàm và đạo hàm. Định nghĩa của đạo hàm một hàm số mang tính kiến thiết, thì định nghĩa nguyên hàm lại cĩ tính “ hình thức”, nên SGK khơng đưa ra quy trình tìm nguyên hàm bằng định nghĩa mà phải kiểm tra qua đạo hàm để xác định nguyên hàm của hàm số đã cho. Để HS cĩ thể hiểu được định nghĩa một cách cụ thể SGK đã đưa ra ví dụ1 dưới hình thức kiểm tra qua đạo hàm. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 13 Ví dụ 1: a) Hàm số F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên khoảng ( );−∞ +∞ , vì F’(x) = (x2)’ = 2x , ( );x∈ −∞ +∞ . b) Hàm số F(x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1f x x = trên khoảng ( )0 ;+∞ vì F’(x) = (lnx)’ = 1 x , ( )0;x∈ +∞ . Giáo viên cần đưa ra thêm ví dụ đơn giản (chỉ nhờ bảng đạo hàm) giúp HS nhanh chĩng làm quen với nguyên hàm. Ở hoạt động 2 SGK yêu cầu: Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong ví dụ 1, đã thể hiện rõ nội dung của định lý 1 và định lý 2. Hai định lý này chỉ rõ hai chiều suy luận: Định lí 1: “Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đĩ”. Định lí 2: “Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì mọi nguyên hàm của f (x) đều cĩ dạng F(x) + C, với C là một hằng số”. Hai định lý trên cho thấy: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì tập hợp tất cả các nguyên hàm ( gọi tắt là họ nguyên hàm ) của f(x) cĩ dạng F(x) + C , C ∈ R Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là ( )f x dx∫ . Khi đĩ: ( )f x dx∫ = F(x) + C. ∫ là dấu nguyên hàm ( hay tích phân khơng xác định), f(x) là hàm số dưới dấu nguyên hàm . Ở ví dụ 2 SGK đã dùng kí hiệu thể hiện nội dung ví dụ 1, a). Ví dụ 2: ( ) ( ) ( ) 2) ; , 2 1) 0; , ln ) ; , cos sin a Với x x dx x C b Với t dt t C t c Với s s ds s C ∈ −∞ +∞ = + ∈ +∞ = + ∈ −∞ +∞ = + ∫ ∫ ∫ Do yêu cầu của việc đưa ra định nghĩa khái niệm tích phân ở bài sau được gọn nhẹ, ta cần đến khái niệm nguyên hàm của hàm số trên một đoạn. Để định nghĩa khái niệm nguyên hàm trên một đoạn, ta cần xét đạo hàm một bên tại một điểm. Tuy phần đạo hàm HS đã được học ở chương V: Đạo hàm (vào cuối chương trình của lớp LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 14 11), trong chương này SGK GT11(nâng cao) chỉ đưa nội dung đạo hàm một bên vào bài đọc thêm. Do đĩ, để HS cĩ thể nắm được khái niệm nguyên hàm của hàm số trên một đoạn SGK GT12 đã đưa vào định nghĩa đạo hàm một bên.Trên cơ sở đĩ định nghĩa khái niệm nguyên hàm trên một đoạn: “Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a ; b]. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] nếu : a) F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a ; b); b) Tại a và b, F(x) lần lượt cĩ đạo hàm bên phải và bên trái sao cho F’(a+) = f(a) và F’(b-) = f(b) ”. Chú ý: Các định lý 1 và 2 nĩi trên vẫn đúng nếu thay khoảng (a ; b) bởi đoạn [a ; b]. Do đĩ, nguyên hàm cĩ thể được xét trên khoảng (a ; b) hoặc trên đoạn [a ; b], ta gọi chung là nguyên hàm . Tính chất 1: ( ) ( )( ) ' ( ) ( ) ' ( )f x dx f x và f x dx f x C= = +∫ ∫ Tính chất này nĩi lên mối quan hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm khi thực hiện liên tiếp nhau. Phép tính nguyên hàm tiến hành trước thì “phép tính đạo hàm khử nhau”; nếu phép tính đạo hàm tiến hành trước phép tính nguyên hàm thì nhận được hàm số trong dấu nguyên hàm, sai khác một hằng số cộng (hai hàm số cĩ đạo hàm bằng nhau sẽ sai khác nhau một hằng số). Tính chất 2: ( )( ) ( ) 0kf x dx k f x dx k là hằng số khác=∫ ∫ Tính chất 3: ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ Chú ý: ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫ Tính chất 2 và tính chất 3 nĩi lên tính chất tuyến tính của họ nguyên hàm . Tính chất 2 nhấn mạnh đến hằng số k≠ 0 . Vì nếu k = 0 nĩi chung khơng đúng , xét ví dụ sau đây: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0.2 0 0. 2 0 0 x dx dx C vô số còn x dx x C chỉ một = = = + = ∫ ∫ ∫ Đẳng thức chỉ xảy ra khi C = 0. Việc khẳng định một hàm số f(x) khi nào cĩ nguyên hàm là vấn đề quan trọng. Ở đây ta thừa nhận định lý 3 (T136-GT12). Trước khi lập bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp quen thuộc, SGK đưa ra hoạt động 5 (T136-GT12). Hoạt động này nhằm mục đích từ đạo hàm suy ngược ra hàm gốc (tức là nguyên hàm ), chẳng hạn: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 15 2 1'( ) ( ) tan cos f x f x x C x = ⇒ = + Bảng nguyên hàm (T137-GT12) được xây dựng dựa trên bảng đạo hàm, cần vận dụng linh hoạt bảng nguyên hàm trong khi làm tốn, nhất là sử dụng bảng nguyên hàm khi hàm sơ cấp cho ở dạng hàm số hợp, yêu cầu của hoạt động 10 nhằm mục đích đĩ. Phần này HS cần được luyện tập nhiều. GV ghi ra nhiều dạng nguyên hàm , yêu cầu HS trả lời ( đạt mức nhuần nhuyễn). Tuy nhiên dựa vào bảng ta chỉ tìm được nguyên hàm của một số ít hàm số sơ cấp đơn giản, trong khi vẫn cịn nhiều hàm số mà việc tìm nguyên hàm của chúng khơng áp dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm . Dĩ đĩ cần phải cĩ các phương pháp tính nguyên hàm . Về phương pháp tính nguyên hàm SGK chỉ giới thiệu hai phươnng pháp tổng quát và chủ yếu: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần và Phương pháp đổi biến số. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Hoạt động 6 (T138-GT12) nhằm gợi ý đi đến cơng thức tổng quát tính nguyên hàm từng phần, phương pháp này dựa trên quy tắc tính vi phân của hai hàm số d(uv) = udv + vdu Nội dung phương pháp này thể hiện ở định lí 1(T138-GT12): Nếu hai hàm số u(x) và v(x) cĩ đạo hàm liên tục trên một khoảng hay đoạn nào đĩ, thì trên khoảng hay đoạn đĩ ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) . = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ u x v x dx u x v x u x v x dx hay udv uv vdu Để áp dụng được phương pháp này địi hỏi HS phải linh hoạt trong việc lựa chọn cách phân tích biểu thức f(x)dx thành udv (hay u.v’dx) ở trong dấu ∫ , hoạt động 8 (T139-GT12) nhằm tập cho HS khả năng phân tích f(x)dx. Về mặt nhận thức địi hỏi HS nắm vững cơng thức, cịn về mặt thực hành cần phải trải qua luyện tập. Việc làm các hoạt động trước khi đưa ra phương pháp là rất quan trọng. GV cần chọn thêm nhiều hoạt động để hình thành phương pháp cho HS.Khi thực hành cần lưu ý sự phân tích biểu thức f(x)dx thành udv một cách thích hợp sao cho nguyên hàm vdu∫ nĩi chung đơn giản hơn udv∫ thì mới hi vọng đi đến kết quả cuối cùng. Cĩ thể gặp trường hợp áp dụng liên tiếp tính nguyên hàm từng phần một số lần. Ví dụ: 21) sin , 2) costTính e t dt Tính x x dx∫ ∫ Đối với phương pháp đổi biến số, trước hết SGK đưa ra hoạt động 9 (T139- GT12) gợi ý về cách đổi biến số trong nguyên hàm . Định lí 2 (T139-GT12) được phát biểu và chứng minh về phương pháp (hay quy tắc) đổi biến số khi tính nguyên hàm . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 16 Định lí 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) '( ) ( ) . Nếu f t dt F x C và t u x là hàm số có đạo hàm liên tục thì f u x u x dx F u x C = + = = + ∫ ∫ Vì u’(x)dx = du, nên nếu đặt u = u(x) thì định lí 2 được phát biểu cách khác như sau: ( ) ( ) ( ) ( )= + ⇒ = +∫ ∫f x dx F x C f u du F u C Và Hệ quả: ( )1( ) ( ) ( ) ( ) 0f x dx F x C f ax b dx F ax b C a a = + ⇒ + = + + ≠∫ ∫ Về nguyên tắc, khi đổi biến số đối với một nguyên hàm , ta dẫn đến nguyên hàm mới của biến số mới phải tính được ( tức là cĩ trong bảng ) hay ít nhất phải cĩ dạng đơn giản hơn so với nguyên hàm ban đầu. Đối với phương pháp này cần lưu ý: ●Phép đổi biến số đặt t = u(x) hay x = ϕ (t) , nĩi chung khơng cĩ nguyên tắc, do đĩ người làm tốn phải khơn khéo trong việc lựa chọn hàm số u(x) hay ϕ (t) . GV cần soạn những bài tốn tìm nguyên hàm với phép đổi biến dễ nhận ra hoặc hướng dẫn cách đặt hàm t = u(x) hoặc x = ϕ (t). ●Khi thực hiện đổi biến số, tính được nguyên hàm theo biến mới, ta phải chuyển về nguyên hàm theo biến ban đầu. ●Trong SGV phần kiến thức bổ sung đề cập khá đầy đủ về phương pháp đổi biến số trong tính nguyên hàm giúp GV nắm vững hơn về vấn đề này. 2. Bài tích phân : SGK bắt đầu bằng bài tốn tìm diện tích hình thang cong. Trước hết xét việc tìm diện tích của hình thang (thẳng) với cạnh xiên cho bởi hàm số y = 2x + 1 (đường thẳng ) và dẫn đến diện tích S (x) của hình thang cong với 1 5x≤ ≤ là một nguyên hàm của f(x) = 2x + 1, [ ]1;5x∈ ( Hoạt động 1 ( T143 – GT12). Hoạt động 1 cĩ 2 điều gợi ý sau đây : + Tính trực tiếp diện tích của một hình thang vuơng được cho bởi các đường thẳng (dưới dạng đồ thị các hàm số ). Diện tích đĩ bằng : 3 1 4 28 2 + = . + S (x) = 23 2 1( 1) 2 2 x x x x+ + − = + − , diện tích hình thang (H2 – T143 – GT12) là hàm số xác định trên đoạn [ ]1;5 . Vì S’(x) = 2x + 1, x [ ]1;5∈ nên S(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2x + 1 ( đây là phương trình cạnh xiên của hình thang ). Do đĩ diện tích hình thang T là S(5) – S(1) = 28 – 0 = 28. ( Hiệu số của giá trị nguyên hàm tại x = 5 và x = 1 ). SGK đưa ra khái niệm hình thang cong : Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hồnh và các đường x = a, x = b LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 17 (a < b), trong đĩ f(x) là hàm số liên tục, khơng âm trên đoạn [ ];a b ( H.3 – T143-GT12). Hình phẳng như vậy được gọi là hình thang cong (ở H.3 cĩ thể cạnh aA hoặc bB thu lại một điểm trên trục hồnh ). Ta đã biết cách tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác,…khái niệm hình thang cong giúp ta giải quyết bài tốn tìm diện tích một hình phẳng được giới hạn bởi một đường cong khép kín. Bằng cách quy bài tốn phức tạp về bài tốn đơn giản, cuối cùng ta giải quyết bài tốn tìm diện tích hình thang cong với “cạnh trên” là đồ thị hàm số đơn điệu trên một đoạn (H.5 – T144 – GT12) Một hình thang cong được tổng quát và dẫn đến kết luận : “ Giả sử y = f(x) là hàm số khơng âm, liên tục trên đoạn [ ];a b và F(x) là một nguyên hàm của f(x), khi đĩ diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hồnh và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a) ” Chú ý : trường hợp đặc biệt, hàm số f(x) = c khơng đổi trên đoạn [ ];a b cơng thức S(b) = F(b) – F(a) = cb – ca = c(b – a) (diện tích hình chữ nhật ). Ngồi ra chúng ta cần chú ý : 1. Một hình phẳng bất kỳ đều cĩ thể chia được một số hữu hạn hình thanh cong và hình đối xứng với hình thang cong qua trục hồnh. Do đĩ ta tính được diện tích của hình phẳng bất kỳ nhờ tính cộng được của diện tích. 2. Người ta chứng minh được rằng mọi hình bị chặn trong mặt phẳng Oxy cĩ biên (cạnh) được cho bởi các đường cong thuộc các dạng sau đây: a) y = f(x), f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] , b) x = g(y), g(y) là hàm số liên tục trên đoạn [c ;d] , c) ( ) , ( ) x t y t ϕ ϕ ψψ =⎧⎨ =⎩ là các hàm số cĩ đạo hàm trên đoạn [ ];α β và [ ]2 2' ' 0 , ;tϕ ψ α β+ ≠ ∈ đều cĩ diện tích. Câu hỏi 2 và 3 trong hoạt động 1 là gợi ý cho quá trình xác định diện tích hình thang cong, đồng thời gián tiếp phục vụ cho định nghĩa khái niệm tích phân. Chuẩn bị phát biểu định nghĩa tích phân, ta tiến hành hoạt động 3. Việc chứng minh đẳng thức F(b) – F(a) = G(b) – G(a). Điều quan trọng cần rút ra là: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] , thì hiệu số F(b) – F(a) khơng phụ thuộc việc lựa chọn nguyên hàm. Đĩ là cơ sở khoa học để đưa ra định nghĩa tích phân. Định nghĩa này luơn luơn tồn tại vì mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều cĩ đạo hàm trên đoạn đĩ. Định nghĩa tích phân: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] . Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] ) của hàm số f(x). Kí hiệu tích phân từ a đến b của hàm số f(x) là ( ) b a f x dx∫ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 18 Ta cịn dùng kí hiệu b F(x) a để chỉ hiệu số F(b) – F(a) .Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F x F b F a a = = −∫ Cơng thức trên được gọi là cơng thức Newton-Leibnitz (Niu-tơn-Lai-bơ-nit) . Ta gọi b a ∫ là dấu tích phân với a là cận dưới và b là cận trên, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân và f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân. SGK cũng đưa ra các trường hợp đặc biệt: Trường hợp a = b , ta định nghĩa ( ) a a f x dx∫ = 0. Trường hợp a > b , ta định nghĩa ( ) b a f x dx∫ = - ( )a b f x dx∫ SGK nêu những ví dụ đơn giản ( ví dụ 3-T148-GT12) cho HS làm quen và áp dụng cơng thức Nhận xét: 1) Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du F b F a= = = −∫ ∫ ∫ , nên tích phân ( )b a f x dx∫ chỉ phụ thuộcvào f và các cận a , b mà khơng phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong tích phân. 2)Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và khơng âm trên đoạn [a;b], thì tích phân ( ) b a f x dx∫ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b (H.3-T143-GT12) Do đĩ: S = ( ) b a f x dx∫ Chúng ta cần chú ý thêm là: Cơng thức Newton-Leibnitz: ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F x F b F a a = = −∫ Chỉ áp dụng được nếu biết nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b]. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 19 Tích phân ( ) b a f x dx∫ là một số, khác với nguyên hàm là một (họ) hàm số. Định nghĩa tích phân ở đây được đưa ra đối với lớp hàm số liên tục trên một đoạn. Định nghĩa này hẹp. Ở phần bài đọc thêm (T161-GT12) đưa ra định nghĩa tích phân một cách tổng quát ( đối với lớp hàm xác định và bị chặn trên đoạn [a;b] ). Về tính chất của tích phân, SGK chỉ nêu bốn tính chất cơ bản của tích phân. Các tính chất này nĩi lên các đặc trưng của tích phân là tuyến tính, cộng tính (về miền lấy tích phân) và tính bảo tồn bất đẳng thức. Để giúp HS nắm vững các tính chất này GV cần minh họa hình học. Tính chất 1: ( ) b a kf x dx∫ = ( ) b a k f x dx∫ (k là hằng số) Tính chất 2: [ ]( ) ( )b a f x g x dx±∫ = ( ) b a f x dx∫ ( ) b a g x dx± ∫ Ở hoạt động 4 SGK yêu cầu chứng minh các tính chất 1 và 2, giúp cho HS hiểu rõ vấn đề và mang tính thuyết phục. Ví dụ 4(T149-GT12) được đưa ra sau khi đã nêu tính chất 1 và 2, để làm ví dụ này HS phải áp dụng cả hai tính chất trên. SGK đưa ra tính chất 3 , 4 và chứng minh cả hai tính chất. Sau mỗi tính chất đều cĩ ví dụ minh họa. Tính chất 3: ( ) b a f x dx∫ = ( ) c a f x dx∫ + ( ) b c f x dx∫ (a <c <b) Tính chất này cần minh họa hình học, đĩ là tính cộng được của diện tích. Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục và khơng âm trên đoạn [a;b] thì ( ) 0 b a f x dx≥∫ Và tính chất 4 cĩ hệ quả là: ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( ) b b a a f x g x x a b f x dx g x dx≥ ∈ ⇒ ≥∫ ∫ Để thực hiện hoạt động 5 tức là chứng minh hệ quả của tính chất 4 bằng cách xét hàm số h(x) = f(x) – g(x) 0, [ ; ]x a b≥ ∈ . Ở tính chất 4 xảy ra dấu " "≥ , nếu hàm số f(x) liên tục và dương trên đoạn [a;b], ta cũng cĩ ( ) b a f x dx∫ > 0 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 20 Vì f(x) > 0 , x ∈ [a;b] nên nguyên hàm F(x) của nĩ tăng trên đoạn này. Do đĩ, với a < b ta cĩ : 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b a b F b F a F x f x dx a ∫ (GV cĩ thể dựa vào phần chứng minh của tính chất 4 để cĩ thể giải thích rõ hơn) Ta cĩ thể nhận thấy được nhờ tính chất 3, ta chứng minh được ( ) b a f x dx∫ = - ( ) a b f x dx∫ (b<a). Để nắm vững các tính chất cơ bản của tích phân, GV đọc thêm phần kiến thức bổ sung trong SGVGT12-T179. Cơng thức Newton-Leibnitz và các tính chất của tích phân, ta cĩ thể tính được một số tích phân. Tuy nhiên nhiều tích phân thường gặp mà các cách trên chưa tính được. Trong những trường hợp này ta cần đến các phương pháp khác. SGK đưa ra 2 phương pháp tính tích phân cơ bản là: phương pháp tính tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. Đây là 2 phương pháp quan trọng và điển hình nhất trong việc giải các bài tốn tính nguyên hàm - tích phân . Hoạt động 6 (T152-GT12) nhằm dẫn dắt HS đến với phương pháp tính tích phân từng phần, tương tự như hoạt động 6 (ở bài nguyên hàm T138-GT12). Để thực hiện hoạt động 6 trước hết ta tính các tích phân ( ) 0 0 cos cos 'x dx và x x dx π π ∫ ∫ nhờ cơng thức Newton-Leibnitz. Ta cĩ: ( ) ( ) 0 0 cos sin 0 , cos ' cos 0 0 x dx x x x dx x x π ππ π π= = = =−∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 0 ( cos )' cos sin , cos ' cos sin Vì x x x x x nên x x dx x dx x x dx π π π = − = + −∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 0 sin cos ' cos (*)Dođó x x dx x x dx x dx π π π π− = − =−∫ ∫ ∫ ( ) 0 : sin .Vậy x x dx π π=∫ Ở đây cần phân tích cho HS thấy rằng nếu đặt u=x và dv = -sinxdx thì ( ) 0 sinx x dx π −∫ cĩ dạng 0 udv π ∫ , và 0 cos x dx π ∫ cĩ dạng 0 vdu π ∫ Đẳng thức (*) thuộc dạng LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 21 ( ) b b b b a a a a b udv d uv vdu uv vdu a = − = −∫ ∫ ∫ ∫ Khi đĩ việc phát biểu và chứng minh định lí về phương pháp tính tích phân từng phần sẽ dễ dàng được đĩn nhận. Định lí(phương pháp tính tích phân từng phần ): Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì ( )( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )b b a a b b a a b u x v x dx u x v x u x v x dx a b hay udv uv vdu a = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ SGK đưa ra 3 ví dụ rất điển hình cho phương pháp tính tích phân từng phần là Tuy nhiên cũng nên đưa ra ví dụ về tích phân luân hồi như tính 1 cos(ln ) : 1cos(ln ) sin(ln ) : e I x dx Giải u x du x Đặt x dv dx v x π = −⎧= =⎧ ⎪⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎩ ∫ 1 1 1 1 1 : 1cos(ln ) . sin(ln ) 1 sin(ln ) 1 1 sin(ln ) e e e Dođó e I x x x x dx x dx I x Tính I x dx π π π π π π= + = − − + = − − + = ∫ ∫ ∫ 1sin(ln ) cos(ln ) : u x du x Đặt x dv dx v x ⎧= =⎧ ⎪⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎩ 1 1 1 1: sin(ln ) . cos(ln ) cos(ln ) 1 e ee Dođó I x x x x dx x dx I x π ππ = − = − = −∫ ∫ : 1 12 1 2 Vậy I I I I π ππ = − − − − −⇒ = − − ⇒ = Phương pháp đổi biến số rất cĩ hiệu quả khi tính nguyên hàm. Trong việc tính tích phân, phương pháp này lại càng cần thiết hơn nữa. Ở phần này SGK đưa ra 2 dạng đổi LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 22 biến số để tính tích phân ( ) b a f x dx∫ .Với mỗi dạng SGK đều đưa ra quy tắc đổi biến số rất rõ ràng và các ví dụ minh họa . Trước hết ta tìm hiểu phương pháp đổi biến số dạng I qua hoạt động 7 (T154- GT12) Xét tích phân 0 cos 3 x dx π∫ xBằng cách đặt u(x)= , : 3 1 3 , 3 0 (0) 0 ( ) 3 ta có du dx hay dx du khi x thìu và x thì u ππ π = = = = = = 3 0 0 3 3: cos 3cos 3sin 3 3 20 xVậy dx udu u π π π = = =∫ ∫ Đổi biến số dạng I là kết quả của định lí 2: Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho f(x)dx = g(u(x))u’(x)dx = g(u)du , thì ( ) ( ) ( ) ( ) u bb a u a f x dx g u du=∫ ∫ Từ định lí 2, ta rút ra quy tắc đổi biến số dạng I: 1) Đặt u = u(x) với u(x) là hàm số đơn điệu và cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], 2) Biểu thị f(x)dx theo u = u(x) và du sao cho f(x)dx = g(u)du, 3) Tìm một nguyên hàm G(u) của g(u), 4) Tính ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) u b u a u b g u du G u G u b G u a u a = = −∫ 5) Kết luận ( ) ( )( ) ( ) ( )b a f x dx G u b G u a= −∫ Cĩ 2 ví dụ được đưa ra nhằm minh họa cho phương pháp đổi biến số dạng I . Ví dụ 10: Tính 2 2 0 cos sinx xdx π ∫ Giải: cos , 0; . cos 0; ' sin , 2 2 Đặt u x x Hàm số u x giảm trên đoạn và u x liên tụcπ π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∈ = =−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 2: cos sin cos (cos ) ,tacó x xdx x d x u du= − =− LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 23 (0) cos0 1; cos 0 2 2 u u π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( )2 22 2 0 0 cos 12 2 2 cos0 0 : cos sin cos cos ' 1 3 Dođó x xdx x x dx u du u du π π π = − = − = = ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 11: Tính ( ) 1 32 0 1 x dx x+∫ Giải: [ ] [ ] ( ) 2 2 3 32 1 , 0;1 . 1 0;1 ' 2 . 1 1: . 21 (0) 1 , (1) 2 Đặt u x x Hàm số u x tăng trên đoạn và u x liên tục xTacó dx du ux và u u = + ∈ = + = = + = = ( ) (1)1 3 32 0 (0) 2 3 2 1 1 1: 21 21 1 1 1 3. 12 4 16 u u xVậy dx du ux du u u = + = = − = ∫ ∫ ∫ SGK chỉ đưa ra ví dụ mang tính chất minh họa chứ khơng trình bày như một dạng tốn cụ thể của tích phân, do đĩ khi dạy học, GV cần rút ra phương pháp cụ thể cho các dạng bài này trong trường hợp tổng quát. Hoạt động 8(T156-GT12) gợi ý phương pháp đổi biến số dạng II. Xét tích phân: 1 ln : e xI dx x Giải = ∫ : , :t tĐặt x e tacó dx e dt= = 1 2 0 ln ln 1 0 1 ln . . 1 1: . 02 2 t t t x e t Khi x thì t vàx e thì t x tdx e dt tdt x e tVậy I tdt = = = = = = = = = = =∫ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 24 Định lí 3: Giả sử hàm số ( )x tϕ= đơn điệu và cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ]α β và ( ) ( ) , ( ) . : ( ) ( ) '( ) . b a a b Khi đó f x dx f t t dt β α ϕ α ϕ β ϕ ϕ = = =∫ ∫ Từ định lí 3 rút ra quy tắc đổi biến số dạng II: 1)Đặt ( )x tϕ= sao cho ( )tϕ là hàm số đơn điệu và cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ]α β trong đĩ ( ) , ( )a bϕ α ϕ β= = ; 2)Biến đổi ( )( ) ( ) '( ) ( ) ;f x dx f t t dt g t dtϕ ϕ= = 3)Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t); 4)Tính ( ) ( ) ( );g t dt G G β α β α= −∫ 5)Kết luận: ( ) ( ) ( );f x dx G G β α β α= −∫ Đối với phương pháp đổi biến số dạng II SGK cũng đưa ra 2 ví dụ để minh họa cho phương pháp này. Ví dụ 12: Tính 1 2 0 1 1 dx x+∫ Giải : 2 2 2 2 1 4 2 0 0 1tan , :(tan )' cos 0 0, 1 4 0; tan . : 4 1 1 1. 1 1 tan cos 1: .4 41 0 Đặt x t taco t t Khi x thì t còn khi x thì t Trên đoạn hàm số t tăng tacó dx dt dt x t t Vậy dx dt t x π π π π π = = = = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = =+ + = = =+∫ ∫ Ví dụ 13: Tính 1 2 2 1 2 1 1 dx x x+∫ Giải: / 2 1 1 1,Đặt x tacó và t t t −⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 25 1 2 ; 1 1. 2 x t x t= ⇒ = = ⇒ = [ ] 2 2 2 1 1;1 , 1;2 . 2 1: 1 1 Khi x thì t và hàm số giảm t tTacó dx dt x x t ⎡ ⎤∈ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦ −=+ + 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1: 1 1 1 t tVậy dx dt dt x x t t = − =+ + +∫ ∫ ∫ 2 2 1 5 2. 1 t= + = − Trong trường hợp tính tích phân của hàm phân thức, cách đồng nhất thức để đưa tích phân ban đầu thành tổng của hai hàm phân thức đơn giản hơn. Phương pháp này rất quan trọng khi tính tích phân của hàm phân thức. Do đĩ GV cần đặc biệt lưu ý HS dạng này, nhất là phương pháp đồng nhất thức mà cĩ thể nhiều HS sẽ bỡ ngỡ khi gặp phải. GV cũng nên đưa ra cho HS một hệ thống các cơng thức nguyên hàm như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ln ( 0) 1 1 ( 1) 1 n n n dx d ax b ax b C a ax b a ax b a ax b ax b dx ax b d ax b C n a a n + += = + + ≠+ + ++ = + + = + ≠ −+ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 ( 0)ax b ax be dx e C a a + += + ≠∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1cos sin ( 0) 1sin cos ( 0) 11 tan ( ) tan( ) ( 0) cos 11 cot ( ) cot( ) ( 0) sin ax b dx ax b C a a ax b dx ax b C a a dx ax b dx ax b C a ax b a dx ax b dx ax b C a ax b a + = + + ≠ + = − + + ≠ ⎡ ⎤= + + = + + ≠⎣ ⎦+ ⎡ ⎤= + + = − + + ≠⎣ ⎦+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Phương pháp đổi biến số được phá._. chu kỳ III (2004-2007)). 14) Trần Đức Huyên thạc sĩ tốn học, GV trường chuyên Lê Hồng Phong: Phương pháp giải đề thi tuyển sinh Đại Học Mơn Tốn , NXB trẻ. 15) Trương Tiếu Hồng – Lê Đức Phúc - Trần Phúc - Nguyễn Kim Phượng - Trịnh Văn Tuấn - Nguyễn Mậu Anh Tuấn ( Nhĩm GV chuyên tốn các trường PTTH TPHCM): Phân loại và phương pháp giải tốn tích phân, NXB trẻ -2001 16) Trần Văn Hạo ( tổng chủ biên)- Vũ Tuấn ( chủ biên)-Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Tiến Tài - Cấn Văn Tuất: Sách giáo khoa thí điểm Giải tích 12 ban tự nhiên. Cùng với sách giáo viên thí điểm Giải tích 12 ban tự nhiên. 17) TS.Vũ Thế Hựu: phương pháp giải tốn giải tích 12 , NXBTPHCM. 18) Vương Vĩnh Phát: tài liệu lý luận dạy học mơn tốn. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MƠN TỐN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 98 PHỤ LỤC GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1 Trường THPT BÌNH MỸ Đề Kiểm Tra Thực Nghiệm Lớp: 12A3 Về Nguyên Hàm- Tích Phân Lớp 12 Họ và Tên : ............................... Thời gian: 20 phút ه Đề: Tính các tích phân sau: Bài 1: ( )2 2 0 1 sinI x xdx π = +∫ Bài 2: 2 2 1 ln e J x xdx= ∫ Bài 3: 2 2 0 sin3xdxxK e π = ∫ Bài làm: ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2 ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 1 Trường THPT BÌNH MỸ GIÁO ÁN Tổ Tốn – Tin Tên bài: Luyện Tập Tích Phân Từng Phần Số tiết: 1 Lớp thực nghiệm: 12A3 SVTH: Dương Thị Bích Hạnh MSSV:DTN040582 GVHD: Trần Cơng Tư Ngày 28 tháng 04 năm 2008 I.Mục Đích Và Yêu Cầu: 1.Về kiến thức: Học sinh xác định được một số dạng tốn cơ bản phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đĩ là tính tích phân khi hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác, đa thức và hàm số mũ, đa thức và logarit, hàm số mũ và lượng giác. Nắm vững phương pháp đặt u và dv cho các trường hợp trên. Tính tốn thành thạo tích phân của các hàm số đơn giản. 2.Về kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng tính tốn, kỹ năng tính đạo hàm và sử dụng bảng cơng thức nguyên hàm. 3.Về tư duy: Rèn luyện hoạt động nhận thức, tư duy thuật tốn, tư duy tính tốn. 4.Vế thái độ: Học sinh chú ý nghe giảng, khơng hiểu hỏi ngay. Hiểu được tầm quan trọng của bài học, cĩ thái độ học tập nghiêm túc. Tích cực tham gia xây dựng bài. II.Đối Tượng Học Sinh: Trung bình – Khá. III.Phương Pháp: Thuyết trình kết hợp với vấn đáp gợi mở. IV.Cơng Việc Chuẩn Bị: Giáo viên: Tham khảo tài liệu: SGK Giải tích lớp 12 chương trình chưa cải cách, SGK Giải tích lớp 12 thí điểm, các tài liệu khác về chủ đề nguyên hàm- tích phân. Soạn giáo án. Làm phiếu học tập. Học sinh: Xem lại bài các phương pháp tính tích phân. V.Tiến Trình Lên Lớp: 1.Ổn định lớp: 5 phút 2.Nội dung tiết học: 2 Hoạt động 1:Nhắc lại định lý về phương pháp tích phân từng phần: Phân bố thời gian Nội dung ghi trên bảng Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 05 phút Ghi tựa bài ở giữa bảng: Luyện Tập Tích Phân Từng Phần. = −∫ ∫b b a a b udv uv vdu a , Trong đĩ u = u(x) , v = v(x). GV: Đối với một bài tốn tính tích phân, các em suy nghĩ xem thường là hàm số dưới dấu tích phân như thế nào mà chúng ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần? HS: ?? GV:khi hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số hồn tồn khác nhau. Ví dụ như tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ; đa thức và logarit; hàm số mũ và lượng giác… thường trong những trường hợp trên chúng ta khơng thể áp dụng phép đổi biến số mà chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất phổ biến và đặc biệt quan trọng trong tích phân là tích phân từng phần. GV: Gọi một học sinh lên bảng viết lại cơng thức tính tích phân từng phần. HS: Học sinh nhớ lại cơng thức tính tích phân từng phần. GV: Trong đĩ u, v là hai hàm số theo biến x và hai hàm số này cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. Sau đây cơ sẽ giới thiệu cho các em một số dạng tốn cơ bản phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phát phiếu học tập cho học sinh. Hoạt động 2: Phương pháp tích phân từng phần (cách đặt u, v cho từng dạng tốn cụ thể): Phân bố thời gian Nội dung ghi trên bảng Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV: Khi tính tích phân từng phần ta phải đặt u là một hàm số nào đĩ dưới dấu tích phân, phần 3 10 phút 1.Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ: Tính: ( )f x dx∫ Với sin( ) cos( ) ( ) ( ). ax b ax b ax b ax b f x P x e m + + +⎡⎢ +⎢= ⎢⎢⎢⎣ Phương pháp: Đặt u = P(x) dv phần cịn lại. Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).sin( )P x ax b dx+∫ Đặt: ( ) sin( ) u P x dv ax b dx =⎧⎨ = +⎩ '( ) 1 cos( ) du P x dx v ax b a =⎧⎪⇒ ⎨ =− +⎪⎩ Ví dụ : Tính 2 2 0 cosI x xdx π = ∫ Giải: cịn lại sẽ là gì? HS: Phần cịn lại là dv. GV: Phần cịn lại là dv, tiếp theo chúng ta làm gì? HS: ?? GV: Tiếp theo chúng ta tính du bằng cách lấy đạo hàm u và nhân với dx, tính v bằng cách lấy nguyên hàm của dv. Sau đĩ ta áp dụng cơng thức tích phân từng phần. Việc đặt u và dv cĩ phải là chúng ta đặt tùy ý khơng? HS: Khơng GV: Khơng, việc chọn u và dv phải thích hợp, khéo léo sao cho dv đơn giản và dễ tính được v từ dv. GV: Nhìn vào phiếu học tập, chúng cĩ dạng 1:Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ: P(x) là một hàm đa thức theo biến x , cách đặt u và dv như thế nào? HS: Đặt: u = P(x) dv phần cịn lại. GV: Mục đích của việc đặt u = P(x) là nhằm hạ bậc của P(x). Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).sin( )P x ax b dx+∫ Chúng ta đặt u và dv như thế nào? Tính du và v? Gọi 1 học sinh lên bảng ghi phương pháp. HS: tự rút ra phương pháp. GV:Nêu các ví dụ minh họa trong phiếu học tập của dạng 1. Cho học sinh giải ví dụ 1. Ở ví dụ 1 các em nên đặt ngay u =x Và dv = cos2xdx khơng? HS: khơng GV: khơng nên, vì chúng ta tìm v sẽ khĩ. Do đĩ trước hết chúng ta cần biến đổi hàm số dưới dấu tích phân, chúng ta sử dụng cơng thức hạ bậc của cos2x. cos2x = ? 4 10 phút ( )2 22 0 0 1cos 1 cos2 2 I x xdx x x dx π π = = +∫ ∫ 2 2 0 1 1 cos22 4 20 x x xdx ππ = + ∫ 2 2 0 1 cos2 16 2 x xdx π π= + ∫ Tính: 2 1 0 1 cos2 2 I x xdx π = ∫ Đặt: 1cos2 sin2x 2 du dxu x dv xdx v =⎧=⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= =⎩ ⎪⎩ Do đĩ: 2 1 0 1 1 1sin2x sin2xdx2 2 2 20 1 1 1 1cos2x 2 8 8 8 40 I x ππ π ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = = − − = − ∫ Vậy: I = 2 16 π + I1 = 2 16 π 1 4 − 2.Dạng 2:Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và logarit, arcsinu, arccosu, arctanu: Tính: ( )f x dx∫ Với ln log ( ) ( ). arcsin arccos arctan u a u f x P x u u u ⎡⎢⎢⎢= ⎢⎢⎢⎣ Phương pháp: HS: 2 1+cos2x cos x = 2 GV: Gọi 1 học sinh lên bảng giải ví dụ 1. HS: Giải ví dụ 1 GV: nhận xét và sửa bài giải của học sinh. Như vậy đối với hàm số dưới dấu tích phân ở dạng 1 thì chúng ta đặt u là hàm đa thức và dv là phần cịn lại. GV: Ở dạng 2 P(x) là một hàm đa thức theo biến x , cách đặt u và dv như thế nào? HS: Đặt: dv = P(x)dx , u là phần cịn lại. GV: Vì nếu chúng ta đặt ngược lại thì sẽ khơng tính được v là nguyên hàm của ln ,log ,uau arcsinu ,arccos ,arctanu u . Trong nhiều trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ cịn lại một hàm số duy nhất. 5 10 phút Đặt: u = ln log arcsin arccos arctan u a u u u u ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ và dv = P(x)dx Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).ln( )P x ax b dx+∫ Đặt: ln( ) ( ) ( ) adu dxu ax b ax b dv P x dx v P x dx ⎧ == +⎧ ⎪ +⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎩ ∫ Ví dụ: Tính 2 5 1 ln xdxI x = ∫ Giải: Đặt: 5 4 ln 1 4 dxu x du x dxdv vx x ⎧= =⎧ ⎪⎪ ⎪⇒⎨ ⎨=⎪ ⎪ = −⎩ ⎪⎩ Do đĩ: 2 4 5 1 4 2ln 1 14 4 2ln2 1 1 164 16 ln2 1 1 1 64 16 16 15 ln2 256 64 x dxI x x x ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦ = − − ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ = − ∫ 3.Dạng 3:Tích phân luân hồi: Ví dụ minh họa: Tính: 1 cos(ln ) e I x dx π = ∫ Giải: Đặt: =⎧⎨ =⎩ cos(ln )u x dv dx Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).ln( )P x ax b dx+∫ Chúng ta đặt u và dv như thế nào? Tính u và dv? Gọi 1 học sinh lên bảng ghi phương pháp. HS: tự rút ra phương pháp. GV:Các ví dụ minh họa của dạng 2 Bài 3: sử dụng cơng thức ( ) 21arctan ' 1x x= + Bài 4:sử dụng cơng thức ( )2 2 2arcsinarcsin ' 1 xx x = − Cho học sinh giải ví dụ 1. Gọi 1 học sinh lên bảng giải ví dụ. HS: Giải ví dụ GV:nhận xét và sửa bài giải của học sinh. Cũng cĩ nhiều trường hợp sau khi áp dụng phương pháp tích phân từng phần nhiều lần thì sẽ quay lại đúng tích phân ban đầu, ta gọi đĩ là tích phân luân hồi. Các ví dụ minh họa trong phiếu học tập. Ví dụ 1 cĩ thể đặt u và dv như thế nào? HS: Đặt: cos(ln )u x dv dx =⎧⎨ =⎩ GV: Đây là cách đặt duy nhất cho dạng bài mà dưới dấu tích phân chỉ cĩ một hàm số. 6 ⎧ = −⎪⇒ ⎨⎪ =⎩ 1 sin(ln )du x dx x v x Do đĩ: [ ] 1 1 1cos(ln ) . sin(ln ) 1 1 sin(ln ) e e e I x x x x dx x e x dx π π π π = + = − − + ∫ ∫ Tính: 1 1 sin(ln ) e I x dx π = ∫ Đặt: 1sin(ln ) cos(ln )u x du x dx x dv dx v x ⎧= =⎧ ⎪⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎩ Do đĩ: [ ]1 1 1 1sin(ln ) . cos(ln ) 1 cos(ln ) e e e I x x x x dx x x dx I π π π = − = − = − ∫ ∫ Vậy: 11 1 2 1 1 2 I e I e I hay I e eI π π π π = − − + = − − − = − − − −= 4.Dạng 4: Các bài tốn tổng hợp 5.Dạng 5:Tích phân truy hồi. Các ví dụ cịn lại cĩ hướng dẫn trong phiếu học tập. Cho học sinh giải ví dụ minh họa Gọi học sinh lên bảng giải ví dụ 1, các học sinh khác tự làm và nhận xét bài giải trên bảnb. HS: Giải ví dụ GV:Sửa bài giải của học sinh. Dạng 4: Các bài tốn tổng hợp Dạng 5:Tích phân truy hồi. Hai dạng tốn này cĩ ví dụ minh họa và bài tập tương tự trong phiếu học tập cho các em tham khảo và tìm hiểu thêm. Đối với các bài tốn tổng hợp ta cần phải khéo léo trong biến đổi, việc đặt u và dv sao cho thích hợp để tính được v từ dv. Tích phân truy hồi áp dụng các kiến thức về phép quy nạp và phương pháp tích phân từng phần. Cho học sinh tự tìm hiểu ví dụ minh họa trong phiếu học tập. VI.Củng Cố Và Dặn Dị: 5 phút Nhấn mạnh: Nếu hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác hoặc hàm số mũ thì đặt u là hàm đa thức và dv là phần cịn lại với mục đích là hạ bậc hàm đa thức và dễ dàng tính nguyên hàm của dv. Nếu hàm số dưới dấu tích phân ở dạng 2 thì đặt u là hàm logarit và dv là phần cịn lại. Nếu hàm số dưới dấu tích phân là tích 7 của 2 trong 3 loại hàm số mũ, logarit, lượng giác thì phải tính tích phân theo kiểu luân hồi. Nĩi tĩm lại mục đích mà ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần là làm cho hàm số dưới dấu tích phân trở nên đơn giản hơn, và ta cĩ thể tính được tích phân, cách đặt u và dv sao cho dễ tính được v bằng cách lấy nguyên hàm của dv. Các em về nhà làm các bài tập cịn lại trong phiếu học tập, giúp cho các em giải các bài tốn về tích phân tốt hơn. Ngày soạn : 24/04/2008 GVHD Duyệt Người soạn: TRẦN CƠNG TƯ DƯƠNG THỊ BÍCH HẠNH Nhận xét- đánh giá của GVHD: .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... Bình Mỹ, Ngày 28/04/2008 GVHD TRẦN CƠNG TƯ Xác nhận của tổ trưởng tổ tốn: Ký tên: TRẦN CƠNG TƯ Xác nhận của hiệu trưởng Trường THPT BÌNH MỸ: ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Bình Mỹ, Ngày 28/04/2008. Ký tên: PHIẾU HỌC TẬP Một số dạng tốn cơ bản sử dụng phương pháp tích phân từng phần: 1.Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ: Tính: ( )f x dx∫ Với sin( ) cos( ) ( ) ( ). ax b ax b ax b ax b f x P x e m + + +⎡⎢ +⎢= ⎢⎢⎢⎣ Phương pháp: Đặt u = P(x) ; dv phần cịn lại. Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).sin( )P x ax b dx+∫ Đặt: =⎧=⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= + =− +⎩ ⎪⎩ '( )( ) 1sin( ) cos( ) du P x dxu P x dv ax b dx v ax b a Ví dụ áp dụng: Tính các tích phân sau: 1. 2 2 0 cosI x xdx π = ∫ 2. 1 1 2xJ x dx − = ∫ 3. ( )1 2 2 0 1 xK x e dx= +∫ 2.Dạng 2:Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và logarit, arcsinu, arccosu, arctanu: Tính: ( )f x dx∫ Với ln log ( ) ( ). arcsin arccos arctan u a u f x P x u u u ⎡⎢⎢⎢= ⎢⎢⎢⎣ Phương pháp: Đặt: u = ln log arcsin arccos arctan u a u u u u ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ và dv = P(x)dx Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).ln( )P x ax b dx+∫ Đặt: ⎧ == +⎧ ⎪ +⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎩ ∫ ln( ) ( ) ( ) adu dxu ax b ax b dv P x dx v P x dx Ví dụ áp dụng: Tính các tích phân sau: 1. 2 5 1 ln xdxI x = ∫ 2. ( )21 e lnxdx 1+x e J = ∫ 3. ( )3 2 0 1arctan arctan ' 1 K x xdx x x ⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ 4. ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 0 1 2arcsinarcsin arcsin ' , arcsin ' 1 1 xM xdx x x x x ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠∫ 3.Dạng 3:Tích phân luân hồi: Ví dụ minh họa: Tính các tích phân sau: 1. 1 cos(ln ) e I x dx π = ∫ 2. 2 0 sin2xdxxL e π = ∫ (HD: Đặt: sin2xdx xu e dv ⎧ =⎨ =⎩ ) 3. 2 0 2 cos4xN xdx π = ∫ (HD: Đặt: =⎧⎨ =⎩ cos4 2x u x dv dx ) 4. 2 0 sin x xP dx e π = ∫ (HD: sử dụng cơng thức biến đổi 1-cos2xsin2x= 2 , sau đĩ Đặt: cos2 x u x dv e dx− =⎧⎨ =⎩ ) 4.Dạng 4: Các bài tốn tổng hợp Ví dụ minh họa: 1. 2 2 sin 3 0 sin cosxI e x xdx π = ∫ Hướng dẫn: ( ) 2 2 2 2 2 sin 2 sin 2 0 0 2 sin 0 1 12sin cos cos sin2 cos 2 2 1 sin2 1 cos2 4 x x x I e x x xdx e x xdx e x x dx π π π = = = + ∫ ∫ ∫ Đặt: 2 2sin sin 1 cos2 2sin2xdx sin2xx x u x du dv e dx v e = + = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇒⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩ ⎩ (vì ( )2 2 2sin sin sin' 2sin cos sin2xx x xe x xe e= = ) Sau đĩ kết hợp với phương pháp đối biến số. 2. ( ) 1 2 0 11 1 xJ x dx x −= + +∫ Hướng dẫn: Đặt: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 dx 1 1 11 11 1 2 xduxu x xx dv x dx v x ⎧ −⎧ =− ⎪= +⎪ ⎪ +⇒+⎨ ⎨⎪ ⎪= + = +⎩ ⎪⎩ (Tương tự như ví dụ trên ta cũng kết hợp thêm phương pháp đối biến số). 5.Dạng 5:Tích phân truy hồi. Ví dụ minh họa: 1.Cho 1 0 1 ,nnI x xdx x N= − ∈∫ . Chứng minh rằng: 1 2 22 5n nnI In+ += + Giải: Ta cĩ: 1 1 1 0 1nnI x xdx + + = −∫ Đặt: ( ) ( ) 1 1 2 1 11 3 n n du n x dxu x v x xdv xdx + ⎧ = +⎧ =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨ = − − −= −⎪ ⎪⎩ ⎩ Do đĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 12 21 1 . 1 1 1 03 3 2 21 1 1 1 3 3 2 21 1 3 3 : 2 5 2 1 n n n n n n n n n n I x x x n x x xdx n x xdx n x xdx I n I n I hay n I n I + + + + + + ⎡ ⎤= − − − + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ = + − − + − = + − + + = + ∫ ∫ ∫ Vậy: 1 2 2 2 5n n nI I n+ += + Bài tập tương tự : 2.Cho lnnnI xdx= ∫ . Tìm hệ thức liên hệ giữa In , In-1 và từ đĩ tìm I5 (HD: Đặt: lnnu x dv dx ⎧ =⎨ =⎩ , Hệ thức liên hệ là: 1 ln n n nI nI x x−+ = ) 3.Cho n xnI x e dx= ∫ . Tìm hệ thức liên hệ giữa In , In-1 và từ đĩ tìm I5 (HD: Đặt: n x u x dv e dx ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ , Hệ thức liên hệ là: 1 n x n nI nI x e−+ = ). ._.