Tác dụng của thế màn chắn lên hiệu suất của phản ứng áp suất hạt nhân trong Plasma

cho tôi có cơ hội tiếp cận những kiến thức khoa học suốt thời gian học đại học và cao học, đồng thời đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS. Đỗ Xuân Hội (ĐH Quốc tế, ĐHQG TP.HCM) đã gợi ý cho đề tài luận văn này và đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn. Nhờ Thầy mà tôi đã học được rất nhiều điều bổ ích, từ phương pháp nghiên cứu một đề tài khoa học, phương pháp làm việc, cho đến cách trình bày một bài báo khoa học, một luận văn. Ngoài ra, tôi cũng xin gởi lời cảm ơn thầy Lữ Thành Trung (trường ĐHSP TP.HCM) đã nhiệt tình giúp đỡ tôi sử dụng phần mềm tin học Maple 13. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 9 năm 2010. Học viên thực hiện Lý Thị Kim Thoa MỤC LỤC 2TLỜI CẢM ƠN2T ................................................................................................................................................... 2 2TMỤC LỤC2T ......................................................................................................................................................... 3 2TPhần A. Mở Đầu2T ................................................................................................................................................ 5 2T1. Lí do chọn đề tài2T ........................................................................................................................................ 5 2T . Mục đích đề tài nghiên cứu2T ........................................................................................................................ 5 2T3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu2T .............................................................................................................. 6 2T3.1. Đối tượng nghiên cứu2T .......................................................................................................................... 6 2T3.2. Phạm vi nghiên cứu2T ............................................................................................................................. 6 2T4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu2T .................................................................................. 6 2T4.1. Ý nghĩa khoa học2T ................................................................................................................................ 6 2T4.2. Ý nghĩa thực tiễn2T ................................................................................................................................. 6 2T5. Phương pháp nghiên cứu2T ............................................................................................................................ 6 2T6. Cấu trúc luận văn2T ....................................................................................................................................... 6 2TChương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân.2T.......................................................................................... 8 2T1.1. Cấu trúc hạt nhân2T .................................................................................................................................... 8 2T1.2. Phản ứng tổng hợp hạt nhân2T ................................................................................................................... 9 2T1.3. Mô hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma)2T ......................................................... 13 2T1.4. Khái niệm thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm2T ............................................................................. 13 2T1.4.1. Thế màn chắn2T ................................................................................................................................. 13 2T1.4.2. Hàm phân bố xuyên tâm2T ................................................................................................................. 14 2T1.4.3. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Định lí Widom2T .......................................... 18 2T1.5. Hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma2T ................................................................................. 19 2TChương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc2T ........................................................................... 22 2T .1. Các kết quả gần đây của thế màn chắn2T .................................................................................................. 22 2T .1.1. Mô phỏng MC cho plasma2T ............................................................................................................. 22 2T .1.2. Biểu thức của thế màn chắn2T ............................................................................................................ 23 2T .2 Biểu thức của thế màn chắn đề nghị2T ....................................................................................................... 26 2T .2.1 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, hR1R = 0.252T .................................................................................................. 26 2T .2.2 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, hR1R tự do2T .................................................................................................... 29 2T .2.3 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, hR1R = 0.252T................................................................................................. 33 2T .2.4 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, hR1R tự do2T .................................................................................................. 33 2T .3. Kết luận chương 22T ................................................................................................................................. 44 2TChương 3. Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân2T ............................................................................. 45 2T3.1. Giá trị của H(0) cổ điển2T ......................................................................................................................... 46 2T3.1.1 Một số biểu thức hR0RP Pcủa các công trình gần đây2T ............................................................................... 47 2T3.1.2 Biểu thức đề nghị cho hR0R2T ................................................................................................................. 51 2T3.2. Giá trị của H(0) lượng tử2T ....................................................................................................................... 54 2T3.2.1 Tổng quát2T ........................................................................................................................................ 54 2T3.2.2 Một số công trình nghiên cứu liên quan đến hiệu ứng lượng tử trong phản ứng áp suất hạt nhân2T ...... 56 2T3.2.3. Biểu thức đề nghị cho 2T 0 ( , )h ζΓ ...................................................................................................... 68 2TKẾT LUẬN2T ..................................................................................................................................................... 76 2TPhần C. Tài liệu tham khảo2T .............................................................................................................................. 77 Phần A. Mở Đầu 1. Lí do chọn đề tài Plasma - hay khí ion hóa - là trạng thái thứ tư của vật chất. Phần lớn vật chất trong vũ trụ tồn tại ở trạng thái này. Trong vật lý plasma, thế màn chắn là đại lượng được nhiều nhà khoa học quan tâm, bởi nó là một dữ liệu quan trọng để nghiên cứu hiệu suất phản ứng tổng hợp hạt nhân, sự hình thành những chuẩn phân tử và dạng vạch phổ trong những môi trường đậm đặc, đặc biệt là môi trường plasma. Trong những môi trường này, thế màn chắn tăng rất nhanh theo mật độ và có khuynh hướng làm thay đổi tính chất nhiệt động lực của hệ vật lí. Trong plasma liên kết mạnh, khi khảo sát về các phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra bên trong sao lùn trắng, sao neutron,… hàng rào thế Coulomb giữa hai hạt nhân giảm đáng kể do hiệu ứng màn chắn của những hạt xung quanh và do đó hiệu suất phản ứng hạt nhân phải được nhân lên với một thừa số khuếch đại tính theo thế màn chắn ở khoảng cách rất nhỏ. Có nhiều kết quả đã đạt được trong những năm gần đây khi tính thế màn chắn trong plasma, đặc biệt là các mô phỏng Monte Carlo cho ta các giá trị đủ chính xác đối với những khoảng cách khá lớn giữa các ion. Nhưng đối với những khoảng cách nhỏ, rất quan trọng trong việc tính hiệu suất của phản ứng hạt nhân ta không có kết quả với độ chính xác tương tự, như vậy ta phải dùng phương pháp khác để tìm thế màn chắn này. Nếu ta xác định được thế màn chắn với khoảng cách gần bằng không thì ta có thể đánh giá được hiệu suất của phản ứng hạt nhân. Một số công trình nghiên cứu gần đây cũng đã cung cấp các biểu thức giải tích của thế màn chắn ở khoảng cách gần không . Với sự gợi ý của thầy TS. Đỗ Xuân Hội, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là “Tác dụng của thế màn chắn lên hiệu suất của phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma”. 2. Mục đích đề tài nghiên cứu Trong phản ứng tổng hợp hạt nhân, hạt nhân phải có một năng lượng đủ lớn để thắng hàng rào thế Coulomb giữa hai hạt nhân. Nhưng hàng rào thế Coulomb giữa hai hạt nhân sẽ giảm do ảnh hưởng của hạt xung quanh, và giảm rất nhanh nếu mật độ môi trường lớn, do đó quá trình tổng hợp hạt nhân diễn ra dễ dàng hơn, dẫn đến hiệu suất phản ứng tăng. Đề tài này nhằm mục đích tìm hiểu về ảnh hưởng của những hạt xung quanh lên hiệu suất của phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma đậm đặc. Mục tiêu cụ thể của đề tài này là xây dựng một hệ thức giải tích cho hệ số khuếch đại của hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong môi trường plasma đậm đặc. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu - Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc. - Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Môi trường plasma đậm đặc trong một số thiên thể như sao Lùn trắng, sao Neutron,... 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu 4.1. Ý nghĩa khoa học - Đề tài đề xuất biểu thức giải tích thế màn chắn cho môi trường plasma đậm đặc. - Xây dựng công thức cho hệ số khuếch đại của hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân. 4.2. Ý nghĩa thực tiễn Đề tài này có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành vật lý có học các môn Vật Lý Thống Kê hay Phản Ứng Hạt Nhân, để có cơ hội đào sâu những kiến thức liên quan đến tương tác hệ nhiều hạt, ứng dụng của phân bố thống kê chính tắc, hiệu suất của phản ứng tổng hợp hạt nhân. Khi thực hiện đề tài tôi có cơ hội tham khảo một số phần mềm tin học, học cách xử lí dữ liệu, và phương pháp nghiên cứu khoa học. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp lý thuyết: - Nghiên cứu lý thuyết về thế màn chắn và định lí Widom để xây dựng biểu thức của thế màn chắn. - Bằng cách sử dụng phần mềm tin học Maple 13 xử lí dữ liệu của mô phỏng Monte Carlo. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn được trình bày theo thứ tự sau: Chương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân. Mô hình khảo sát : Dành cho việc nhắc lại các kiến thức cơ sở vế cấu trúc hạt nhân và phản ứng tổng hợp hạt nhân, trong đó có giới thiệu về phản ứng áp suất hạt nhân. Tiếp theo ta xét mô hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma) và các đại lượng có liên quan như thế màn chắn, hàm phân bố xuyên tâm, hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân. Chương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc : Trình bày các kết quả gần đây của thế màn chắn cũng như biểu thức của thế màn chắn đề nghị bởi tác giả luận văn. Chương 3. Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân : Khảo sát các biểu thức của hệ số khuếch đại đề nghị bởi các công trình quốc tế gần đây nhất và đề nghị các công thức mới cho hệ số này cho các mô hình OCP cổ điển cũng như lượng tử. Nội dung của phần cuối cùng dành cho kết luận chung của luận văn. Phần B. Nội Dung Luận Văn Chương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân. Mô hình khảo sát 1.1. Cấu trúc hạt nhân Thí nghiệm tán xạ α trên nguyên tử của Rutherfor đã chứng tỏ sự tồn tại của hạt nhân. Nguyên tử gồm hạt nhân ở bên trong và các electron chuyển động bên ngoài. Ở mức độ gần đúng nào đó hạt nhân được xem như là chất điểm, khối lượng rất lớn gần như chiếm toàn bộ khối lượng nguyên tử và chứa toàn bộ điện tích dương của nguyên tử. hn nt e ntm m Zm m= − ≈ Hạt nhân được cấu tạo từ các nucleon. Có hai loại nucleon:  Proton, kí hiệu p, có khối lượng 27pm 1,67262.10 kg−= , mang điện tích +e.  Neutron, kí hiệu n, có khối lượng −= 27nm 1,67493.10 kg , không mang điện. Kí hiệu hạt nhân AZ X , trong đó A là số khối, Z là số proton, N=A-Z là số neutron. Lực liên kết giữa các nucleon gọi là lực hạt nhân (là lực tương tác mạnh), có bán kính tác dụng vào khoảng 1fermi= 10P-15Pm, và không phụ thuộc vào điện tích của các nucleon. Muốn tách nucleon ra khỏi hạt nhân, cần phải tốn năng lượng để thắng lực hạt nhân. Các phép đo chính xác đã chứng tỏ rằng khối lượng m của hạt nhân AZ X bao giờ cũng nhỏ hơn tổng khối lượng của các nucleon tạo thành hạt nhân đó một lượng m∆ , gọi là độ hụt khối hạt nhân. p nm [Zm (A Z)m ] m∆ = + − − . (1.1) Theo định luật bảo toàn năng lượng và hệ thức Einstein ta có năng lượng liên kết: 2lkE m.c= ∆ . (1.2) Năng lượng liên kết của các hạt nhân là năng lượng cần thiết để tách hạt nhân thành các nucleon riêng biệt, nó đặc trưng cho sự bền vững của hạt nhân. Để so sánh độ bền vững của hạt nhân, người ta đưa ra khái niệm năng lượng liên kết riêng: lkE A ε = , năng lượng liên kết riêng càng lớn thì càng bền vững. 1.2. Phản ứng tổng hợp hạt nhân Phản ứng tổng hợp hạt nhân là quá trình hai hạt nhân nhẹ được tổng hợp để tạo thành một nhân mới nặng hơn, đồng thời nó giải phóng một năng lượng. 1 2 3 4X X X X+ → + hoặc 1 2 4 3X (x ,x )X . (1.3) Quá trình này bị cản trở bởi lực đẩy Coulomb, vì nó có tác dụng ngăn cản hai hạt tiến đến đủ gần để lọt vào vùng tác dụng của lực hút hạt nhân và “tổng hợp” với nhau, độ cao của hàng rào thế Coulomb phụ thuộc vào điện tích và bán kính của hai hạt nhân tương tác. Dựa vào đồ thị sự phụ thuộc của năng lượng liên kết riêng theo số khối A của hạt nhân ta thấy, năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon tăng theo số khối A trong miền A bé, nên khi tổng hợp hai hạt nhân rất nhẹ thành một hạt nhân nặng hơn thì một năng lượng ( )A ε ε− được giải phóng, trong đó A là số khối tổng cộng của các hạt nhân được tổng hợp, ε là năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon đối với các hạt nhân trước phản ứng, còn ε là năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon đối với các hạt nhân sau phản ứng. Điều kiện xảy ra phản ứng tổng hợp hạt nhân: Các hạt nhân phải có động năng đủ lớn để chúng vượt hàng rào thế Coulomb và tiến lại gần nhau với khoảng cách nhỏ hơn 153.10 m− . Khi đó lực hạt nhân sẽ có tác dụng và phản ứng xảy ra. Hình 1.1 Đồ thị sự phụ thuộc của năng lượng liên kết riêng theo số khối A của hạt nhân. E l k/A (M eV /n uc le on ) Năm 1957 J. D. Lawson chứng minh được rằng để đốt cháy và duy trì môi trường plasma ổn định thì nồng độ plasma n (hạt/mP3P), thời gian nhốt plasma τ (s) và nhiệt độ plasma T (K) phải thoả mãn bất đẳng thức : 21 3n T 5.10 keV.s / mτ ≥ . (1.4) Điều kiện (1.4) được gọi là tiêu chuẩn Lawson. Theo (1.4), nhiệt độ Mặt Trời vào khoảng T=10P10PK thì xảy ra phản ứng tổng hợp hạt nhân. Tuy nhiên, trong thực tế nhiệt độ Mặt Trời chỉ vào khoảng T=10P7PK, do đó, phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra phải dưới điều kiện có hiệu ứng đường ngầm lượng tử. Trong những thiên thể có mật độ vật chất cao như sao lùn trắng (khoảng 10P10 Pg cmP-3P) hay sao neutron (khoảng 10P13 Pg cmP-3P) thì phản ứng tổng hợp hạt nhân đóng vai trò quan trọng. Theo Salpeter và Van Horn [24] và Chugunov et al [9], các phản ứng này có thể xảy ra dưới năm chế độ khác nhau, tùy theo sự phụ thuộc vào nhiệt độ hay vào mật độ của plasma nhiều hay ít: Ở nhiệt độ đủ cao để plasma trở nên rất loãng, tốc độ phản ứng hạt nhân phụ thuộc chủ yếu vào nhiệt độ và loại phản ứng này được gọi là phản ứng nhiệt hạt nhân với màn chắn yếu. Phản ứng nhiệt hạt nhân với thế màn chắn mạnh xảy ra trong plasma đậm đặc hơn, tức là mức độ liên kết do thế Coulomb quan trọng hơn là chuyển động nhiệt của các ion. Hai loại phản ứng trên thường được gọi vắn tắt là phản ứng nhiệt hạt nhân (thermonuclear reactions). Khi mật độ vật chất rất lớn, tốc độ phản ứng sẽ ngày càng ít phụ thuộc vào nhiệt độ, và hệ quả là ngay ở trong plasma có nhiệt độ rất thấp, phản ứng này vẫn có thể xảy ra. Các phản ứng dạng này, chỉ xuất hiện ở những điều kiện cực điểm về mật độ hạt, hay mật độ khối lượng, của môi trường plasma, được gọi là phản ứng áp suất hạt nhân (pycnonuclear reactions). Ngoài ra, còn Ecoul ~ Z1Z2 (MeV) nuclear well Coulomb potential V r r0 Hình 1.2 Đồ thị hàng rào thế Coulomb. tồn tại những phản ứng ở dạng trung gian, là những phản ứng áp suất hạt nhân nhưng tốc độ phản ứng phải được tăng cường do nhiệt độ. Ta có thể thấy rõ ảnh hưởng của mật độ vật chất cũng như của nhiệt độ lên tốc độ phản ứng hạt nhân trên đồ thị Hình 1.3 của công trình [8]: Đối với phản ứng tổng hợp hai hạt nhân 20Ne và 24Mg xảy ra trong một số thiên thể, kể từ các giá trị khoảng 11 12 310 10 g cm−− của mật độ khối lượng, tốc độ phản ứng hầu như rất ít phụ thuộc vào nhiệt độ. Theo M. Beard and M. Wiescher [7], trên đồ thị Hình 1.4, ta thấy kể từ một giá trị mật độ khối lượng ρ nào đó, tốc độ phản ứng tổng hợp là hàm tăng rất nhanh theo ρ. Hình 1.3 Đồ thị tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân phụ thuộc vào mật độ khối lượng và nhiệt độ T [8]. Hình 1.4 Đồ thị tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân phụ thuộc vào mật độ khối lượng ρ [7]. Như vậy, phản ứng áp suất hạt nhân là phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra ở mật độ lớn vào khoảng 10P9P g/cmP3P. Trong phòng thí nghiệm, để thực hiện phản ứng áp suất hạt nhân người ta nhốt plasma dựa trên tính quán tính của các hạt ion dưới tác dụng của tia laser hay chùm tia ion nặng, chẳng hạn như, người ta tạo nên các viên nhiên liệu rất nhỏ chứa hỗn hợp deuterium-tritium rồi bắn từng viên vào buồng chân không, khi viên này đạt đến tâm bình chân không, chiếu chùm tia laser hay chùm ion nặng vào viên đó trong thời gian cỡ 10P-11P s đến 10P-9P s. Khi đó hỗn hợp deuterium-tritium nhận được năng lượng với mật độ rất lớn trong thời gian cực ngắn, cỡ hàng chục megajoules trong 10P-9P s, nó bị nén lại với nồng độ tăng lên cỡ 1000 lần và nóng đến khoảng 10P8P K, phản ứng tổng hợp xảy ra trước khi các ion kịp chuyển động dịch ra xa nhau do quán tính của chúng lớn, sự giữ bằng quán tính sẽ làm việc với mật độ hạt lớn và trong thời gian ngắn. Trong vật lí thiên văn, phản ứng áp suất hạt nhân giữa C-C, C-O, O-O xảy ra ở bên trong của sao lùn trắng, sao neutron,… Hình 1.5 Phản ứng áp suất hạt nhân thực hiện trong phòng thí nghiệm dùng phương pháp hãm quán tính. Hình 1.6 Quá trình phản ứng xảy ra ở lớp vỏ của sao neuron. 1.3. Mô hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma) Để khảo sát tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân, người ta thường sử dụng mô hình đơn giản nhất, là mô hình plasma một thành phần, đó là một hệ thống kê gồm N những ion tích điện dương Ze+ , chuyển động trong một “biển” đồng nhất NZ electron mang điện tích e− có tác dụng trung hòa điện, hệ này có nhiệt độ T và thể tích V của bình chứa. Ví dụ, trong phản ứng đốt cháy carbon xảy ra ở sao Lùn trắng: P12PC + P12PC , mô hình thích hợp là mô hình OCP. Khi đó, tất cả các đại lượng Nhiệt Động Lực có thể được tính theo tham số tương liên Γ : ( )2Ze akT Γ = , (1.5) trong đó, a là bán kính khối cầu ion, được tính theo mật độ hạt n: 1/ 33 4 a n  =    π . Ta nhận thấy rằng tham số Γ này thể hiện mối quan hệ giữa năng lượng tương tác Coulomb trung bình giữa hai ion ( ) 2Ze a và năng lượng chuyển động nhiệt trung bình kT. Như vậy, tính chất của plasma phụ thuộc vào độ lớn của tham số tương liên Γ: khi chuyển động nhiệt chiếm ưu thế, môi trường plasma sẽ ở trạng thái lưu chất và ngược lại, nếu tương tác Coulomb chiếm ưu thế, ta sẽ có plasma kết tinh. Giá trị ngưỡng của Γ, tại đó có sự chuyển pha từ lưu chất sang tinh thể lập phương tâm khối (bcc) được đánh giá vào cỡ : 172mΓ = [16].  Γ < 1 : plasma loãng (bên trong Mặt Trời, ICF – hãm quán tính).  Γ ≥ 1 : plasma đậm đặc (ruột sao Lùn trắng, vỏ sao Neutron: Γ = 10÷100). 1.4. Khái niệm thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm 1.4.1. Thế màn chắn Đối với hệ nhiều hạt, để tính thế năng tương tác hiệu dụng giữa hai ion nào đó của hệ, ta phải tính đến tác dụng của môi trường xung quanh, tác dụng này được đặc trưng bởi một đại lượng gọi là thế màn chắn, kí hiệu H(R) với R là khoảng cách liên ion. Hai ion này sẽ chuyển động trong trường thế hiệu dụng: ( ) 2 ( ) ( ) Ze U R H R R = − , (1.6) hoặc nếu tính theo đơn vị Rr a = và ( ) 2Ze a , ta viết : 1( ) ( )U r H r r = − . (1.7) 1.4.2. Hàm phân bố xuyên tâm Xác suất tương tác (contact probability) giữa hai ion cho bởi hàm phân bố xuyên tâm, được định nghĩa như sau : Nếu gọi u(rRijR) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong N ion của plasma, thế năng toàn phần của hệ là: N 1 2 n ij i j U U(r , r ,..., r ) u(r ) < ≡ =∑   (1.8) Xác suất tìm thấy ion 1 trong thể tích nguyên tố 1dr  tại vị trí 1r  , ion 2 trong 2dr  tại vị trí 2r  ,…, ion N ở trong Ndr  tại vị trí Nr  không phụ thuộc vận tốc mỗi hạt là: [ ] 1 2 1 exp ... NU dr dr drQ −   β (1.9) với Q là tích phân cấu hình (tích phân trạng thái): [ ] 1 2exp ... N V Q U dr dr dr= −∫   β Xác suất để ion 1 được tìm thấy trong thể tích nguyên tố 1dr  tại vị trí 1r  , hạt 2 trong 2dr  tại vị trí 2r  ,…hạt n trong ndr  tại vị trí nr  là: ( ) ( ) [ ]1 1 1 1 1,..., ... exp ... ...n n n n N n V P r r dr dr U dr dr dr dr Q +   = −    ∫        β ( ) ( ) [ ]1 1 1,..., exp ...n n n N V P r r U dr dr Q + ⇒ = −∫    β (1.10) Ta gọi ( ) ( )1 1,..., ...n n nr r dr drρ     là xác suất để có một ion nào đó (không nhất thiết là ion 1) được tìm thấy trong thể tích nguyên tố 1dr  tại vị trí 1r  , ion khác thứ hai trong 2dr  tại vị trí 2r  …ion khác thứ n trong ndr  tại vị trí nr  . ( ) ( ) [ ]1 1 1 1 ! 1,..., ... exp ... ... ( )! n n n n N n V Nr r dr dr U dr dr dr dr N n Q +   = × − −   ∫        ρ β ( ) ( ) ( ) ( )1 1 !,..., ,..., ( )! n n n n Nr r P r r N n ρ = −     . (1.11) Từ định nghĩa trên thì ( ) ( )1 1 1r drρ   là xác suất để một trong những ion của hệ được tìm thấy trong thể tích nguyên tố 1dr  và vì mọi điểm 1r  trong thể tích V tương đương nhau ( ( ) ( )1 1 1r drρ   độc lập với 1r  ) nên: ( ) ( )1 1 1 1 V Ndr V V ρ ρ ρ= = =∫  . (1.12) Ta chú ý rằng ( ) ( )2 1 2 1 2,r r dr drρ     là xác suất để một ion ở trong 1dr  và một ion khác ở trong 2dr  , và do ( )2ρ chỉ phụ thuộc vào khoảng cách rR12R giữa hai ion nên: ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 12,r r rρ ρ=   và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 12 12, 1 V V r r dr dr r dr N Nρ ρ= = −∫ ∫      . (1.13) Vì sự phân bố các ion trong plasma là hoàn toàn ngẫu nhiên, xác suất để ion thứ i nằm trong idr  , i=1,2,3,…,n là: ( ) ( )1 2 1 1... ,..., ...nn n n drdr dr P r r dr dr V V V =       và ( ) 1n nP V = nên (1.11) trở thành: ( ) 1 ! ! ( )! ( )! n n n n N N V N n N N n = = − − ρ ρ . (1.14) Ta thấy ( ) ( )1 1 1r drρ   là xác suất để một ion của hệ được tìm thấy trong thể tích nguyên tố 1dr  tại vị trí 1r  . Nếu xác suất này độc lập với xác suất tìm thấy ion thứ hai trong thể tích nguyên tố 2dr  tại vị trí 2r  ,…, với xác suất tìm thấy ion thứ n trong ndr  tại vị trí nr  thì ta có xác suất để 1 ion ở trong 1dr  , một ion khác ở trong 2dr  ,…, một ion khác thứ n ở trong ndr  là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 1 2 2,..., ... ...n n n n nr r dr dr r dr r dr r drρ ρ ρ ρ     =                 (1.15) Ngược lại khi có sự tương quan giữa 1 ion này và một ion khác tức là n xác suất trên không độc lập với nhau, vậy ta sẽ đưa vào hàm ( ) ( )1,...,n ng r r   vì hàm này cho biết mức độ mà ( )nρ lệch khỏi giá trị của nó khi các xác suất ( ) ( )1 i ir drρ   độc lập với nhau. Hàm ( )ng được định nghĩa như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 2 1,..., ... ,...,n nn n nr r r r r g r rρ ρ ρ ρ=        (1.16) Mọi điểm ir  trong thể tích V đều tương đương nhau trong plasma lưu chất, tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 2 ... nr r rρ ρ ρ ρ= = = =    (1.16) được viết lại: ( ) ( ) ( ) ( )1 1,..., ,...,n nnn nr r g r rρ ρ=     (1.17) với N V ρ = là mật độ ion trong plasma. Từ (1.11) và (1.17) ta rút ra mối quan hệ giữa PP(n)P và gP(n)P như sau: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 !,..., ,..., ( )! n nn n n Ng r r P r r N n ρ = −     (1.18) thế kết quả của PP(n)P từ (1.10) ta có: ( ) ( ) 1 1 exp ... !,..., ( )! n N nn V n U dr dr kTNg r r N n Q +  −  = − ∫    ρ . (1.19) Bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là vấn đề liên quan tới việc mở rộng các vạch quang phổ, đều cần nghiên cứu việc có hay không sự tương tác giữa các ion với các ion lân cận gần nhất. Hay nói cách khác, cần biết xác suất để hai ion, ký hiệu 1 và 2, có điện tích Z, cách nhau khoảng rR12R bất chấp sự có mặt của các ion ở các vị trí ir  , xác suất này là ( ) ( )2 1 2,P r r   . Từ (1.19) ta có: ( ) ( ) 3 22 1 2 exp ... !, ( 2)! N V U dr dr kTNg r r N Q  −  = − ∫    ρ . (1.20) Cuối cùng ta thu được hàm phân bố xuyên tâm: ( )2 12 3 ( 1) exp ... N V N N Ug r dr dr Q kT −  = −  ∫  ρ (1.21) với N đủ lớn. ( ) 2 12 3exp ... N V V Ug r dr dr Q kT  = −  ∫   . (1.22) Bằng cách chuẩn hoá xác suất −  32 1 2g(r r )d r / V ta có được: −β− =  12u2 1g(r r ) e (1.23) Sự hiểu biết giá trị hàm phân bố xuyên tâm đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát thống kê của plasma, vì một phần là hàm này (cùng với trung bình phần dư của năng lượng tự do) là đại lượng được tính toán trực tiếp từ phương pháp Monte-Carlo và trong vật lý lưu chất, g(r) có thể đo trực tiếp từ những thí nghiệm tán xạ neutron, các tính chất nhiệt động lực đều có thể tính được từ những tích phân tính trên hàm g(r) này. Dựa vào Hình 1.7, ta có thể thấy tính chất phân bố các hạt qua sự biến thiên của hàm phân bố xuyên tâm g(r) theo r thu được từ kết quả của thí nghiệm tán xạ neutron trên Argon ở thể lỏng, các cực trị nhọn chỉ ra vị trí của các hạt kế cận. Các mô phỏng Monte Carlo (MC) gần đây đối với mô hình plasma OCP cũng cho những kết quả tương tự, có thể thấy trên Hình 1.8, qua đây ta cũng nhận thấy rằng hàm phân bố xuyên tâm g(r) giảm nhanh theo r và tăng theo Г của biên độ cực đại đầu tiên, điều này có ý nghĩa rằng đối với những plasma có tham số tương liên lớn, sự ổn định của các vị trí của các ion kế cận càng lớn, plasma có tính chất gần vật rắn hơn. Hình 1.7 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm của lưu chất Ar từ kết quả tán xạ neutron [6]. 1.4.3. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Định lí Widom Khi tính đến ảnh hưởng môi trường xung quanh trong plasma ta phải thay thế uR12R trong biểu thức (1.23) bằng thế năng hiệu dụng ( )2( ) ( )ZeU R H R R = − (1.24) khi đó (1.23) trở thành: βU Rg R - ( )( ) = e . (1.25) Hay ta có thể viết liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm như sau: 1( ) exp ( )g r H r r   = −Γ −     (1.26) suy ra: 1 ln ( )( ) g rH r r = + Γ . (1.27) Vào năm 1963, Widom đã xác định dạng của thế màn chắn trong lưu chất, được gọi là định lí Widom [25]: Hình 1.8. Đồ thị dao động của g(r) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160 cho bởi mô phỏng MC [11], đường liền nét ứng với Γ =1. “Trong lưu chất hay trong tinh thể, thế màn chắn là hàm chẵn, theo khoảng cách giữa hai ion hay hai nguyên tử và trong vùng bán kính hội tụ, được biểu thị bởi một đa thức luân phiên đổi dấu”. Dạng triển khai của thế màn chắn theo định lý Widom: ( )2 4 20 1 2( ) ... 1 i i iH r h h r h r h r= − + − + − (1.28) hay ( ) ( ) 2 0 1 i ii i H r h r ≥ = −∑ . (1.29) Các hệ số hRiR có vài đặc điểm sau:  ( )0 0limrh H r→= là số khuếch đại của phản ứng tổng hợp hai hạt nhân.  Hệ số hR1R đã được Jancovici dùng vật lý thống kê xác định giá trị chính xác và được đặt tên là hệ số Jancovici với hR1R = 0.25, [19].  Các hệ số còn lại phụ thuộc vào plasma là liên kết mạnh hay liên kết yếu, tức là ở trạng thái tinh thể hay lưu chất. Các đặc điểm trên giúp ích cho ta rất nhiều trong việc tìm lại dạng khai triển của thế màn chắn khi so sánh với các số liệu thực nghiệm Monte-Carlo. 1.5. Hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma Nguồn năng lượng chính được bức xạ từ các sao trong vũ trụ có nguồn gốc là phản ứng tổng hợp hạt nhân. Các phản ứng này ảnh hưởng đến quá trình tiến hóa của những thiên thể tạo bởi plasma có mật độ khối lượng cao như sao Lùn trắng hoặc sao Neutron. Trong plasma, các hạt nhân có thể vượt qua hàng rào thế Coulomb do hiệu ứng đường ngầm lượng tử để gây ra phản ứng tổng hợp. Hiệu suất phản ứng hạt nhân (số phản ứng /cmP3P/s) giữa hạt nhân i và j được tính bởi hệ thức tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 B ij ij i j ij ij N ij r R E n n S E rψ π δ = +  . (1.30) Trong đó : in và jn là mật độ hạt 2 22 B ij ij i j r Z Z eµ =  ( )ijS E : thừa số vật lí thiên văn ( )ij Nrψ là hàm sóng tán xạ ( Nr bán kính xảy ra phản ứng hạt nhân), được mô tả bởi phương trình Schrodinger: ( ) ( ) 2 2 2 02 ij ijij d W r E r r dr ψ µ   − + − =      . (1.31) Vì phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra với khoảng cách gần bằng 0, nên ( ) ( ) 2 2 0 (0)ij N ijr gψ ψ= = (1.32) là hàm phân bố xuyên ._.tâm hay xác suất gặp nhau của hai hạt nhân. Vậy, ta có: 2 ( ) ( ) (0) (1 ) B ij ij i j ij ij ij r R E n n S E g δ π = +  , (1.33) với: 12(0) Ug e β−= , trong đó 12U là thế năng hiệu dụng. Khi không có tác dụng của thế màn chắn: 2 12 ( )ZeU R = , ( ) exp( )cg r r Γ = − . (1.34) Vậy, hiệu suất của phản ứng hạt nhân được viết: 2 ( ) ( ) (0) (1 ) B ijT ij i j ij c ij r R E n n S E g δ π = +  . (1.35) Khi có tác dụng của thế màn chắn: 2 12 ( ) ( )ZeU H R R = − , [ ]1( ) exp ( ) ( )exp ( )cg r H r g r H rr   = −Γ − = Γ     ; (1.36) Vậy, 2 ( ) ( ) (0)exp[ (0)] (1 ) B ij ij i j ij c ij r R E n n S E g H δ π = Γ +  . (1.37) Do đó , ta có thể viết: ( ) ( )Tij ijR E R E f= (1.38) với: exp[ (0)]f H= Γ (1.39) được gọi là hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân. Như vậy việc tính H(0) là một vấn đề quan trọng trong việc xác định hiệu suất của phản ứng hạt nhân, và sẽ được khảo sát ở chương 2 và chương 3. Bảng 1 là tốc độ phản ứng và hệ số khuếch đại trong các phản ứng C-C, C-O, O-O trong sao Lùn trắng có mật độ khối lượng 9 34.10 /g cmρ = , nhiệt độ 8T 10 K= . Bảng 1 Giá trị tốc độ phản ứng và hệ số khuếch đại của các phản ứng trong sao lùn trắng [18]. Phản ứng C-C C-O O-O Γ 56.6 71.9 91.5 f 23.4910 29.9510 38.3410 R (cmP-3PsP-1P) 18.6910− 28.4410− 40.9610− Chương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc Vì các mô phỏng Monte Carlo (MC) không cho giá trị chính xác của thế màn ở khoảng cách liên hạt nhân quá nhỏ, nên ta phải sử dụng các tính toán lý thuyết và các số liệu MC để thu được hệ số khuếch đại này. Bố cục chương 2 gồm các phần sau : Phần 2.1: Dành cho việc tham khảo một số công trình mới nhất liên quan H(r). Phần 2.2: Các tính toán thực hiện bởi tác giả luận văn, để có được biểu thức H(r) phù hợp với các số liệu MC chính xác nhất. 2.1. Các kết quả gần đây của thế màn chắn 2.1.1. Mô phỏng MC cho plasma Sau đây là một số công trình thực hiện mô phỏng MC cho plasma một hay nhiều thành phần, sử dụng phép tính cổ điển hoặc lượng tử: • S. G. Brush, H. L. Sahlin, and E. Teller (1966). • J. P. Hansen (1973). • G. S. Stringfellow, H. E. DeWitt, and W. L. Slattery (1990). • S. Ogata, H. Iyetomi, and S. Ichimaru (1991). • H. E. DeWitt, W. L. Slattery, and G. Chabrier (1996). • H. E. DeWitt and W. Slattery (1998). • L. R. Gasques et al (2005). • B. Militzer, E. L. Pollock (2005), sử dụng phương pháp tích phân lộ trình (path integral Mone Carlo- PIMC). • A.I. Chugunov, H.E. DeWitt (2009), cho plasma hỗn hợp hai thành phần (binary ionic mixtures - BIM). Các mô phỏng MC gần đây đối với mô hình plasma OCP cho những kết quả với độ chính xác rất cao. Như là hàm phân bố bán kính g (r) có những giá trị với độ chính xác vào khoảng 0.2% cho [ ] [ ]1,160à r , . v∈ Γ∈1 2 72 trong [11], Hình 1.8. Như vậy ta có thể thu thập dữ liệu cho hàm phân bố bán kính g(r) từ các mô phỏng MC và suy ra giá trị cho thế màn chắn H(r) từ hệ thức (1.27): 1 ln ( )( ) g rH r r = + Γ 2.1.2. Biểu thức của thế màn chắn Dựa vào các mô phỏng MC trên, một số tác giả đã tính được hàm H(r) như sau: Đối với plasma ở trạng thái kết tinh, biểu thức thế màn chắn với độ chính xác cao (1,5.10 P-7P) đã được đề nghị [5], [14]: 1/3 2 4 6 R 8 10 1H (η) = ( ) (1.391160 - 0.258399η - 0.162060η + 0.034887η π 3 - 0.005789η + 0.000210η ) (2.1) với = Rη d , và d là khoảng cách của hai ion gần nhất ở trạng thái cân bằng. Đối với tinh thể bcc, 1.7589d a= . Hệ thức giải tích (2.1) bao hàm tính đối xứng của thế màn chắn đối với khoảng cách hai ion, tính chất đã được chứng minh cho lưu chất [25], điều này đã cho phép sử dụng tính liên tục của thế màn chắn để tiếp tục khảo sát biểu thức giải tích của thế này đối với plasma có tham số tương liên Γ <172 [15]. Đặc biệt là tại giá trị m 172Γ = có xảy ra sự chuyển pha lỏng-tinh thể theo tính toán của D. H. E. Dubin, H. Nagara, Y. Nagara, và T. Nakamura [16]. Biểu thức thế màn chắn được đề nghị bởi [14]: ( ) = − + − ∈2 4 61.0521 0.25 0.04392 0.004269 , [0.0,2.0]H r r r r r (2.2) Trong biểu thức (2.2), thế màn chắn H(r) là đa thức bậc chẵn theo r và luân phiên dấu, phù hợp với định lý Widom cho lưu chất và rất chính xác so với kết quả thực nghiệm MC [22]. Hình 2.1 Đồ thị thế màn chắn được suy ra từ hệ thức (1.27) và g(r) cung cấp bởi mô phỏng Monte Carlo của công trình [11], với 80Γ = . H(r) Hệ số của rP2P có giá trị chính xác -0.25, đúng với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính lý thuyết [19]. Biểu thức thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 5 160< Γ < , cũng được đề nghị bởi công trình [1] gần đây: ( ) ( ) 6 2 0 1 i ii i H r h r = = −∑ (2.3.1) với các hệ số hRiR tính theo : ( ) 5 0 10 ln ki i k k h a = = Γ∑ (2.3.2) hệ số aRkR được cho ở Bảng 2.1. Bảng 2.1 Hệ số ka của hệ thức (2.3.2). hR0 hR2 hR3 hR4 hR5 hR6 aR0 0.939 5.23 3.85 -3.97 -5.91 -0.811 aR1 0.15 -1.92 -2.2 3.66 4.69 -0.413 aR2 -0.0521 0.748 1.34 -0.0349 0.0182 1.28 aR3 0.00723 -0.123 -0.349 -0.407 -0.606 -0.591 aR4 -0.000295 0.00714 0.0399 0.0917 0.142 0.104 aR5 -9.84E-06 4.63E-05 -0.0016 -0.00604 -0.00983 -0.00646 Bảng 2.2 Hệ số ih của hệ thức (2.3.1). Г hR0 hR2 hR3 hR4 hR5 hR6 5 1.07416 0.0361264 0.00257 0.000068584 1.27876E-14 8.30579E-16 10 1.08816 0.0347595 0.00263 0.00014923 0.0000094 0.00000031 20 1.08967 0.0346911 0.0027 0.000166661 1.08262E-05 3.6812E-07 40 1.08548 0.0350416 0.0027 0.000147507 8.2664E-06 2.8042E-07 80 1.07993 0.0353654 0.00264 0.000119066 5.4317E-06 0.000000195 160 1.07469 0.0356602 0.002586 0.000097705 3.8685E-06 0.000000178 Bảng 2.2 là bảng giá trị h RiR được tìm bằng cách tối thiểu hóa độ lệch các dữ liệu MC tương ứng với một vài giá trị Γ của công trình [1]. Thế màn chắn H(r) là đa thức bậc chẵn theo r và luân phiên dấu, phù hợp với định lý Widom, hR1R = 0.25 với mọi Г, đúng với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính toán lý thuyết. Dựa vào đồ thị sai số Hình 2.2.1 và Hình 2.2.2, ta có thể nhận xét rằng −− < 3MCg(r) g (r) 2.10 , và ở những khoảng cách lân cận không, các mô phỏng MC không thể cho các giá trị của g(r). 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Γ =40 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Γ =80 Γ =5 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Γ =20 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Γ =10 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.2.1 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 5, 10, 20 , g(r) từ công trình [1] so với gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 2.2 Biểu thức của thế màn chắn đề nghị Theo như trình bày ở phần 2.1.2, ta thấy [5],[14] chỉ cho ta biểu thức của thế màn chắn đối với plasma ở trạng thái kết tinh, [14] cho thế màn chắn H(r) tương ứng với giá trị m 172Γ = , và kết quả công trình [1], là cho ta hàm H(r) cho plasma có tham số tương liên 5 160< Γ < , với độ chính xác cao, nhỏ hơn 0.2%. Nhưng ở hệ thức (2.3.1), giá trị của hệ số hR0R lại mắc phải sai số lớn so với MC chính xác nhất hiện nay. Vì vậy mà ta cần phải tìm hàm H(r) chính xác hơn. Trong phần sau, tôi sử dụng phần mềm Maple 13 để tính các hệ số của H(r) nhằm có biểu thức tương thích với những kết quả MC mới nhất. Biểu thức của H(r) được thử nghiệm với các đa thức bậc khác nhau, và với hệ số hR1R thả tự do để có thể kiểm chứng tính toán của Jancovici [19]. 2.2.1 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, h1 = 0.25 Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 8, hR1R = 0.25 cho trước để phù hợp với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính toán lý thuyết với H(r) được suy ra từ hệ thức : 1 ln ( )( ) g rH r r = + Γ , hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC [11]. Đa thức có dạng sau : 2 4 6 8 0 1 2 3 4( )H r h h r h r h r h r= + + + + , với hR1 R= 0.25 ( 2.4)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 5 2 4 6 8 ( ) = 1.075865221- 0.25r + 0.03581061337r - 0.002519919466r + 0.00006740631855r H r ( 2.4.1)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =10 2 4 6 8 ( ) 1.089345045 0.25 0.03397286786 0.002192527053 0.00005173009718 H r r r r r = − + − + ( 2.4.2)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 20 2 4 6 8 ( ) 1.090837007 0.25 0.03370561141 0.002159756641 0.00005133438387 H r r r r r = − + − + ( 2.4.3)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 40 2 4 6 8 ( ) 1.086503803 0.25 0.03420728534 0.002260500675 0.00005712093951 H r r r r r = − + − + ( 2.4.4)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 80 2 4 6 8 ( ) 1.080546322 0.25 0.03488110832 0.002377716935 0.00006275077446 H r r r r r = − + − + ( 2.4.5)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =160 2 4 6 8 ( ) 1.074808268 0.25 0.03552535180 0.002482774951 0.00006731415283 H r r r r r = − + − + ( 2.4.6) Hình 2.3, Hình 2.4, Hình 2.5, Hình 2.6, Hình 2.7, Hình 2.8 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế màn chắn H(r) từ (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3), (2.4.4), (2.4.5) (2.4.6) với gRMCR(r) R Rcho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy :  Với Γ = 5 , Hình 2.3, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.5% tại 1.25r = và 0.45% tại 2.1r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.0.  Với Γ =10 , Hình 2.4, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.4% tại 2.3r = và 2.75r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.1.  Với Γ = 20 , Hình 2.5, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.3% tại 1.25r = và 0.4% tại 1.6r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.75 đến 1.1 và 1.75 đến 2.75.  Với Γ = 40 , Hình 2.6, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.9% tại 1.7r = và 0.4% 2.25r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1 đến 1.25.  Với Γ = 80 , Hình 2.7, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.8% tại 1.7r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.2 đến 1.55 và 1.8 đến 2.75.  Với Γ =160 , Hình 2.8, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 1.5% tại 1.7r = và 0.4% 2.4r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.3 đến 1.5. Vậy với đa thức H(r) có dạng như (2.4), sai số nhỏ nhất đối với Γ =10 , Γ = 20 vào khoảng 0.4%, sai số lớn nhất đối với Γ =160 vào khoảng 1.5%, và sai số 0.2% đối với khoảng cách nhỏ. Hình 2.8. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =160 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.7. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 80 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.6. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 40 , g (r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.3. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 5 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.5. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 20 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.4. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =10 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Bảng 2.3 Bảng giá trị hRiR của hệ thức (2.4) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160 , hR1R=0.25 với mọi Γ . 2.2.2 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, h1 tự do Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 8, hR1R thả tự do, H(r) được suy ra từ hệ thức : 1 ln ( )( ) g rH r r = + Γ , hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC [11]. Đa thức có dạng sau : 2 4 6 8 0 1 2 3 4( )H r h h r h r h r h r= + + + + (2.5)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 5 2 4 6 8 ( ) 1.080492321 0.2584064256 0.03958462077 0.003126772967 0.00009934581116 H r r r r r = − + − + (2.5.1)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =10 2 4 6 8 ( ) 1.091833268 0.2538962047 0.03562385622 0.002450038085 0.0006503161505 H r r r r r = − + − + (2.5.2)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 20 2 4 6 8 ( ) 1.091720437 0.2512045568 0.03418460896 0.002231832400 0.00005497304472 H r r r r r = − + − + (2.5.3)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 40 2 4 6 8 ( ) 1.086022161 0.2494218933 0.03399242356 0.002229465799 0.00005559610814 H r r r r r = − + − + (2.5.4)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 80 2 4 6 8 ( ) 1.080301651 0.2497458993 0.03479459382 0.002365914313 0.00006219339389 H r r r r r = − + − + (2.5.5)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =160 2 4 6 8 ( ) 1.076283317 0.2514145049 0.03598199186 0.002542817127 0.00007007523408 H r r r r r = − + − + (2.5.6) Γ hR0 2 210 h 3 310 h 4 410 h 5 1.0758652 3.581061337 2.519919466 0.674063185 10 1.0893450 3.397286786 2.192527053 0.517300971 20 1.0908370 3.370561141 2.159756641 0.513343838 40 1.0865038 3.420728534 2.260500675 0.571209395 80 1.0805463 3.488110832 2.377716935 0.627507744 160 1.0748082 3.552535180 2.482774951 0.673141528 Hình 2.9, Hình 2.10, Hình 2.11, Hình 2.12, Hình 2.13, Hình 2.14 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), thế màn chắn H(r) từ (2.5.1), (2.5.2), (2.5.3), (2.5.4), (2.5.5), (2.5.6), với gRMCR(r) cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy :  Với Γ = 5 , Hình 2.9, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.3% tại 1.5r = , sai số vào khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.3 và 1.55 đến 2.75.  Với Γ =10 , Hình 2.10, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.32% tại 1.5r = và 0.25% 2r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.5 đến 1.3.  Với Γ = 20 , Hình 2.11, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.6% tại 1.7r = và 0.35% 2.4r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 0.75 đến 1.35.  Với Γ = 40 , Hình 2.12, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.65% tại 1.7r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1 đến 1.5.  Với Γ = 80 , Hình 2.13, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.58% tại 1.7r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.3 đến 1.4 và 1.9 đến 2.75.  Với Γ =160 , Hình 2.14, sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.7% tại 1.7r = và sai số nhỏ khoảng 0.2% tại r từ 1.3 đến 1.5 và 1.9 đến 2.75. Vậy với đa thức H(r) có dạng như (2.5), sai số nhỏ nhất đối với Γ = 5 , Γ =10 vào khoảng 0.3%, sai số lớn nhất đối với Γ =160 vào khoảng 0.7%, và sai số 0.2% đối với khoảng cách nhỏ. Bảng 2.4 Bảng giá trị hRiR của hệ thức (2.5) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . Γ hR0 10hR1 2 210 h 3 310 h 4 410 h 5 1.0804923 2.5840642 3.9584621 3.1267730 0.9934581 10 1.0918333 2.5389620 3.5623856 2.4500381 0.6503162 20 1.0917204 2.5120455 3.4184609 2.2318324 0.5497304 40 1.0860222 2.4942189 3.3992424 2.2294658 0.5559611 80 1.0803017 2.4974590 3.4794594 2.3659143 0.6219339 160 1.0762833 2.5141450 3.5981992 2.5428171 0.7007523 Hình 2.9. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 5 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.10. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =10 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.11. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 20 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.12. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 40 , g (r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.13. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 80 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.14. Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ =160 , g(r) được suy ra từ (1.26) và gMC cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) 2.2.3 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, h1 = 0.25 Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 12, hR1R = 0.25 cho trước để phù hợp với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính toán lý thuyết với H(r) được suy ra từ hệ thức : 1 ln ( )( ) g rH r r = + Γ , hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC [11]. Đa thức có dạng sau : 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6( )H r h h r h r h r h r h r h r= + + + + + + , với hR1 R= 0.25 (2.6) Phần mềm Maple không cho đa thức luân phiên dấu. 2.2.4 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, h1 tự do Dùng phần mềm Maple 13 để tối ưu hoá sai số giữa đa thức bậc chẵn, bậc 12, với H(r) được suy ra từ hệ thức : 1 ln ( )( ) g rH r r = + Γ , hàm phân bố xuyên tâm g(r) cung cấp bởi dữ liệu MC [11]. Đa thức có dạng sau : 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6( )H r h h r h r h r h r h r h r= + + + + + + , (2.7)  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 5 2 4 6 8 10 12 ( ) 1.08391437 0.26946603 0.04977341 0.00607427 0.00083242 0.00006474 0.00000219 H r r r r r r r = − + − + − + (2.7.1) Hình 2.18 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế màn chắn H(r) từ (2.7.1) với gRMCR(r) R Rcho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ = 5 sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.24% tại 1.2r = , 1.75r = và sai số nhỏ khoảng 0.15% tại r từ 0.5 đến 1.1. Hình 2.15 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 5 , đường liền nét cho bởi hệ thức (2.7.1), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. H(r) Hình 2.17 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 5 , đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.1), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. Hình 2.16 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 5 , H(r) là hệ thức (2.7.1) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r) cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( H (r )- H M C( r) )  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =10 2 4 6 8 10 12 ( ) 1.09623968 0.26690265 0.04825305 0.00794404 0.00124757 0.00012324 0.00000497 H r r r r r r r = − + − + − + (2.7.2) Hình 2.22 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), thế màn chắn H(r) từ (2.7.2) với gRMCR(r) R Rcho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ =160 sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.14% tại 1.7r = và sai số nhỏ khoảng 0.01% tại r từ 0.5 đến 1.1. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.18 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 5 , g(r) được suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.1) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11]. Hình 2.19. Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ =10 đường liền nét cho bởi hệ thức (2.7.2), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. H (r ) Hình 2.20. Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ =10 , H(r) là hệ thức (2.7.2) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r) cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( H (r )- H M C( r) ) Hình 2.21 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ =10 , đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.2), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.22 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ =10 , g(r) được suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.2) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11].  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 20 2 4 6 8 10 12 ( ) 1.09624268 0.26136473 0.04206459 0.00504209 0.00055762 0.00004383 0.00000148 H r r r r r r r = − + − + − + (2.7.3) Hình 2.26 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế màn chắn H(r) từ (2.7.3) với gRMCR(r) R R cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ =160 sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.26% tại 1.5r = , 1.8r = và sai số nhỏ khoảng 0.05% tại r từ 0.75 đến 1.3. H (r ) Hình 2.23 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 20 đường liền nét cho bởi hệ thức (2.7.3), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( H (r )- H M C( r) ) Hình 2.24 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 20 , H(r) là hệ thức (2.7.3) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r) cho bởi mô phỏng MC [11].  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 40 2 4 6 8 10 12 ( ) 1.09010925 0.25710546 0.03922861 0.00392422 0.00033656 0.00002303 0.00000074 H r r r r r r r = − + − + − + (2.7.4) Hình 2.30 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), thế màn chắn H(r) từ (2.7.4) với gRMCR(r) cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ =160 sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.27% tại 1.55r = và sai số nhỏ khoảng 0.02% tại r từ 0.8 đến 1.4. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.26 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 20 , g(r) được suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.3) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11]. Hình 2.25 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 20 đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.3), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. Hình 2.29 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 40 đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.4), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. H (r ) Hình 2.27 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 40 , đường liền nét cho bởi hệ thức (2.7.4), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( H (r )- H M C( r) ) Hình 2.28 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 40 , H(r) là hệ thức (2.7.4) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r) cho bởi mô phỏng MC [11].  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ = 80 2 4 6 8 10 12 ( ) 1.08282686 0.25378621 0.03724963 0.00309872 0.00017686 0.00000901 0.00000028 H r r r r r r r = − + − + − + (2.7.5) Hình 2.34 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế màn chắn H(r) từ (2.7.5) với gRMCR(r) R Rcho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ = 80 sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.4% tại 1.65r = và sai số nhỏ khoảng 0.1% tại r từ 1.1 đến 1.5. 10 3 ( g( r) -g M C( r) ) Hình 2.30 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 40 , g(r) được suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.4) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11]. Hình 2.31 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 80 , đường liền nét cho bởi hệ thức (2.7.5), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. H (r ) 10 3 (g (r )- g M C (r) ) Hình 2.34 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ = 80 , g(r) được suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.5) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11]. Hình 2.33 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 80 , đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.5), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. 10 3 ( H (r )- H M C( r) ) Hình 2.32 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 80 , H(r) là hệ thức (2.7.5) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r) cho bởi mô phỏng MC [11].  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên Γ =160 2 4 6 8 10 12 ( ) 1.07707476 0.25259073 0.03666006 0.00273802 0.00009988 0.00000230 0.00000007 H r r r r r r r = − + − + − + (2.7.6) Hình 2.38 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.26) , thế màn chắn H(r) từ (2.7.6) với gRMCR(r) cho bởi mô phỏng MC [11], ta thấy với Γ =160 sai số giữa g(r) với gRMCR(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.67% tại 1.7r = và sai số nhỏ khoảng 0.1% tại r từ 1.3 đến 1.45. 10 3 ( H (r )- H M C( r) ) Hình 2.36 Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ =160 , H(r) là hệ thức (2.7.6) và HMC (r) được suy ra từ hệ thức (1.27), hàm g(r) cho bởi mô phỏng MC [11]. H (r ) Hình 2.35 Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ =160 , đường liền nét cho bởi hệ thức (2.7.6), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. Sai số nhỏ nhất đối với Γ =10 ,Γ = 40 vào khoảng 0.25%. Sai số lớn nhất đối với Γ =160 vào khoảng 0.65%. Bảng 2.5 Bảng giá trị hRiR của hệ thức (2.7) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . Γ hR0 110h 2 210 h 3 310 h 4 410 h 5 510 h 6 610 h 5 1.0839144 2.6946603 4.977341 7.074274 8.3242 6.4736 2.1851 10 1.0962397 2.6690265 4.825305 7.944035 12.4757 12.3240 4.9656 20 1.0962429 2.6136472 4.206459 5.042091 5.5762 4.3830 1.4823 40 1.0901093 2.5710547 3.922861 3.924224 3.3656 2.3034 0.7398 80 1.0828269 2.5378621 3.724963 3.098720 1.7686 0.9014 0.2807 160 1.0770747 2.5259074 3.666006 2.738017 0.9989 0.2307 0.0711 10 3 (g (r )- g M C (r) ) Hình 2.38 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ =160 , g(r) được suy ra từ (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.6) và gMC (r) cho bởi mô phỏng MC [11]. Hình 2.37 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ =160 , đường liền nét cho bởi hệ thức (1.26), H(r) là hệ thức (2.7.6), chấm tròn cho bởi mô phỏng MC [11]. 2.3. Kết luận chương 2 Với đa thức (2.4), thì phần mềm Maple cho các hàm thế màn chắn H(r) theo khoảng cách liên ion r là các đa thức bậc chẵn, luân phiên dấu phù hợp với định lí Windom [2], nhưng sai số tương đối lớn, sai số nhỏ nhất đối với Γ =10 , Γ = 20 vào khoảng 0.4%, sai số lớn nhất đối với Γ =160 vào khoảng 1.5%. Với đa thức có dạng (2.5), tức là lúc này h R1R được thả tự do, thì phần mềm Maple cho các hàm thế màn chắn H(r) theo khoảng cách liên ion r là các đa thức bậc chẵn, luân phiên dấu phù hợp với định lí Windom [25], và giá trị của hR1R ≈0.25, như đã chứng minh bởi Jancovici [19], sai số nhỏ nhất đối với Γ = 5 ,Γ =10 vào khoảng 0.3%, sai số lớn nhất đối với Γ =160 vào khoảng 0.7%. Các giá trị của hệ số hR1R cho bởi hệ thức (2.5) Γ 5 10 20 40 80 160 R Rh R1 2.5840642 2.5389620 2.5120455 2.4942189 2.4974590 2.5141450 Với đa thức (2.7) , tức là lúc này hR1 Rcũng được thả tự do, thì phần mềm Maple cho các hàm thế màn chắn H(r) theo khoảng cách liên ion r là các đa thức bậc chẵn , luân phiên dấu phù hợp với định lí Windom [25], và đồng thời giá trị của hR1R ≈0.25 . Các giá trị của hệ số hR1R cho bởi hệ thức (2.7). Γ 5 10 20 40 80 160 R Rh R1 2.6946603 2.6690265 2.6136472 2.5710547 2.5378621 2.5259074 Đa thức (2.7), thế màn chắn cho 5, 10, 20, 40, 80Γ = sai số nhỏ 0.3%, 160Γ = sai số lớn 0.65%, và các hệ số hR0R lại tương đối chính xác so với hR0MC99R của công trình [13], sẽ được trình bày ở phần 3.1. Với các nhận xét trên, ta sẽ chấp nhận hệ thức (2.7) cho thế màn chắn là đa thức bậc chẳn, luân phiên dấu, và có các hRiR được cho trong Bảng 2.5. Chương 3. Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân Theo như trình bày ở phần 1.5 về hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma, ta thấy hệ số khuếch đại được định nghĩa : exp[ (0)]f H= Γ , nên điều quan trọng là ta phải tính được H(0). Theo đa thức Widom : ( )2 4 20 1 2( ) ... 1 i i iH r h h r h r h r= − + − + − , H(0) chính là hệ số hR0R. Ở chương 2, khi tính H(r) ta đã thu được các giá trị của hR0R, các giá trị này tương đối phù hợp với các mô phỏng MC chính xác nhất cho tới nay, chúng ta có thể tham khảo Bảng 3.1. Bảng 3.1 So sánh các giá trị hR0R cho ở chương 2 và [13]. Ở Bảng 3.1 các giá trị của h R0MC96R ở cột thứ hai được chúng tôi suy ra bằng phương pháp xấp xỉ trực tiếp từ các dữ liệu cho hàm phân bố xuyên tâm g(r), đã khảo sát ở chương 2, còn cột thứ ba là giá trị hR0R được cung cấp bởi [13], các giá trị này được xem là chính xác nhất cho đến nay. Ta có thể nhận thấy các giá trị này có độ lệch lớn nhất là 33.3 10−× tương ứng với 10Γ = và 160Γ = như có thể thấy ở Hình 3.1. Γ h0MC96 h0MC99 [13] 10 1.0962 1.0994 20 1.0962 1.0953 40 1.0901 1.0879 80 1.0828 1.0803 160 1.0770 1.0737 Hình 3.1 Đồ thị sai số giữa h0MC96 với h0MC99 cho bởi công trình [13]. 10 3 ( h 0 M C9 6- h 0 M C9 9) Trong Bảng 3.1 chỉ cho giá trị hệ số h R0R của một vài giá trị Γ , do đó mục đích của chương này là tìm một biểu thức cho hR0R với mọi giá trị Γ . Để tính hệ số này, ta có thể sử dụng mô hình gần đúng cổ điển, được trình bày trong phần 3.1 sau đây. Để có những kết quả chính xác hơn, ta phải xét đến hiệu ứng lượng tử, được khảo sát ở phần 3.2 tiếp theo. 3.1. Giá trị của H(0) cổ điển Ở phép tính gần đúng đầu tiên ta có thể dùng mô hình cổ điển, trong đó hai hạt nhân tương tác được xem như các hạt cổ điển, các số liệu MC sử dụng trong phần này được thu thập bởi mô hình cổ điển trên. Để tính các giá trị của hệ số hR0R này tương ứng với các tham số tương liên khác nhau, ta có thể sử dụng một trong hai phương pháp: Phương pháp 1: Thu thập dữ liệu cho hàm phân bố xuyên tâm ( )g r từ các mô phỏng MC và suy ra giá trị cho thế màn chắn ( )H r từ hệ thức: 1 ln ( )( ) g rH r r = + Γ . Mặt khác, tính đối xứng của bài toán cho phép ta viết thế màn chắn ( )H r dưới dạng đa thức Widom có bậc chẵn, luân phiên dấu [25]: 2 4 6 0 1 2 3( ) ...H r h h r h r h r= − + − + , trong đó, hệ số Jancovici hR1R đã được chứng minh có giá trị chính xác: 1 0.25h = [19]. Vì các mô phỏng MC không thể cho được các giá trị của ( )g r ở các khoảng cách liên ion quá nhỏ nên ta bắt buộc phải sử dụng các phép tính ngoại suy để có được các biểu thức của hR0R tương ứng với các giá trị khác nhau của tham số Γ. Phương pháp 2: Cách tiếp cận khác để tính được các giá trị của hệ số hR0R là sử dụng các hàm nhiệt động lực: Hệ plasma được xem như gồm 2N − ion và một phân tử lưỡng nguyên tử tạo bởi hai ion gần nhau đến một khoảng cách nào đó. Ta có thể chứng minh rằng hR0R là hiệu số giữa năng lượng tự do của hệ plasma trước và sau phản ứng. Sử dụng quy tắc hỗn hợp tuyến tính (linear mixing rule), ta có được: h f f0 5 32 2= −( ) ( )/Γ Γ , với kí hiệu ( )f Γ là năng lượng tự do của từng ion theo đ._.