Sự tuyến tính của thế màn chắn trong Plasma liên kết mạnh

ri ân sâu sắc đến toàn thể quý thầy cô khoa Vật Lý đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Đặc biệt, tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy T.S Đỗ Xuân Hội. Thầy đã tận tình hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận lăn này. Những điều chỉ bảo của thầy đã giúp tôi mở rộng thế giới quan khoa học của mình. Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã ủng hộ và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. 3 1BMỤC LỤC 4TLỜI CẢM ƠN4T .............................................................................................................. 1 4TMỤC LỤC4T ................................................................................................................... 3 4TMỞ ĐẦU4T ..................................................................................................................... 4 4T1. Lí do chọn đề tài4T .................................................................................................... 4 4T2. Mục đích đề tài nghiên cứu4T ................................................................................... 5 4T3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu4T .......................................................................... 5 4T3.1. Đối tượng nghiên cứu4T...................................................................................... 5 4T3.2. Phạm vi nghiên cứu4T ......................................................................................... 5 4T . Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu4T ............................................. 5 4T .1. Ý nghĩa khoa học4T ............................................................................................ 5 4T .2. Ý nghĩa thực tiễn4T ............................................................................................. 6 4T5. Phương pháp nghiên cứu4T .................................................................................... 6 4T6. Cấu trúc luận văn4T .................................................................................................. 6 4TChương 1. TỔNG QUAN VỀ PLASMA4T ...................................................................... 7 4T1.1. Khái niệm plasma4T ............................................................................................... 7 4T1.2. Mô hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma)4T ...................... 7 4T1.2.1. Mô hình “hình cầu ion”4T ................................................................................ 7 4T1.2.2. Tham số tương liên4T ...................................................................................... 8 4T1.3. Hàm phân bố xuyên tâm4T ..................................................................................... 9 4TChương 2. Thế màn chắn trong plasma4T ....................................................................... 17 4T2.1. Định nghĩa thế màn chắn4T .................................................................................. 17 4T2.2. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. 4T .................................... 17 4T2.3. Định lí Widom4T ................................................................................................. 18 4T2.4. Biểu thức thế màn chắn cho plasma liên kết yếu4T ............................................... 18 4T2.5. Biểu thức thế màn chắn cho plasma đậm đặc4T .................................................... 19 4 4T2.5.1. Biểu thức thế màn chắn của plasma kết tinh4T ............................................... 19 4T2.5.2. Biểu thức thế màn chắn của plasma lưu chất4T .............................................. 19 4TChương 3. Sự tuyến tính thế màn chắn trong plasma4T .................................................. 22 4T3.1. Sự tuyến tính của thế màn chắn4T ........................................................................ 22 4T3.2. Phương pháp tìm biểu thức tuyến tính của thế màn chắn4T .................................. 23 4T3.3. Các thông số của trật tự địa phương4T .................................................................. 24 4T3.3.1. Giá trị rRmaxR cho từng plasma có Γ4T 4T [3.17,5,10,20,40,80,160]4T ....................... 24 4T3.3.2. Giá trị gRmaxR cho từng plasma có Γ4T 4T [3.17,5,10,20,40,80,160]4T ...................... 26 4T3.3.2. Giá trị δ cho từng plasma có Γ4T 4T [3.17,5,10,20,40,80,160]4T ........................... 27 4T3.3.2. Biểu thức hàm rRmaxR theo Γ4T .......................................................................... 28 4T3.3.3. Biểu thức hàm gRmaxR theo Γ4T.......................................................................... 29 4T3.3.4. Ngưỡng trật tự địa phương ΓRCR4T .................................................................... 32 4T3.3.5. Biểu thức biên độ trật tự địa phương δ theo Γ4T ............................................. 32 4T3.4. Biểu thức tuyến tính của thế màn chắn HRLR(r)4T .................................................... 36 4T3.4.1. Khoảng liên ion r áp dụng cho thế màn chắn dạng tuyến tính4T ..................... 36 4T3.4.2. Biểu thức tuyến tính HRLR(r) của thế màn chắn cho từng plasma4T ................... 37 4T3.4.3. Biểu thức của CR0R theo Γ4T ............................................................................. 46 4T3.4.4. Biểu thức của CR1R theo Γ4T ............................................................................. 46 4T3.4.5. Kiểm chứng hệ thức giữa CR0R, CR1R và δ4T ......................................................... 49 4T3.4.6. Biểu thức rRLRmin theo Γ4T ............................................................................... 51 4T3.4.7. Biểu thức rRLRmax theo Γ4T .............................................................................. 52 4TKẾT LUẬN4T ................................................................................................................ 55 4T ÀI LIỆU THAM KHẢO4T .......................................................................................... 58 5 2BMỞ ĐẦU 8B1. Lí do chọn đề tài Khi đi sâu vào tìm hiểu cấu tạo vật chất, con người dần phát hiện ra thế giới vi mô - một “thế giới kì lạ” liên quan đến những vật rất nhỏ không nhìn thấy được: nguyên tử, ion, electron… Bên trong nguyên tử gồm có một hạt nhân, là ion dương và các electron bao xung quanh. Thông thường, vật chất tồn tại ở ba trạng thái: rắn, lỏng, khí. Ở các trạng thái trên, vật chất được tạo bởi vô số các nguyên tử trung hòa. Với số lượng rất lớn các nguyên tử như vậy, ta có thể xem vật chất là một hệ nhiều hạt. Và điều này đã gây khó khăn cho việc nghiên cứu vì tính chất của từng hạt không cho biết tính chất chung của hệ. Tuy nhiên, với phương pháp của Vật lý Thống kê, vấn đề này đã được giải quyết. Về căn bản, khoa học đã có những lý thuyết hoàn chỉnh cho chất lỏng, chất rắn và chất khí. Tuy nhiên, trong tự nhiên cũng tồn tại một trạng thái nữa của vật chất-“ trạng thái thứ tư”. Phần lớn vật chất trong vũ trụ tồn tại ở trạng thái này. Đó là Plasma. Ở trạng thái này, ion dương và electron của nguyên tử tồn tại riêng rẽ. Quá trình nghiên cứu cho thấy plasma hứa hẹn một tương lai về nguồn năng lượng nhiệt hạch khổng lồ. Vì vậy, vấn đề xây dựng một cơ sở lý thuyết về plasma là một việc làm cần thiết. Tuy nhiên, ở Việt Nam đây vẫn là một chuyên ngành mới và ít được biết đến. Được sự khuyến khích của thầy hướng dẫn TS. Đỗ Xuân Hội, tôi đã quyết định chọn đề tài “ Sự tuyến tính của thế màn chắn” cho luận văn tốt nghiệp của mình. Thông qua luận văn này, tôi muốn tiếp nhận kiến thức cơ bản về vật lý plasma, cũng như phương pháp nghiên cứu nó. Đồng thời tôi muốn vận dụng những kiến thức, kĩ năng tích lũy trong những năm đại học vào thực tiễn. 6 9B2. Mục đích đề tài nghiên cứu Thế màn chắn là một đại lượng rất quan trọng trong mọi ngành vật lý mỗi khi phải tính đến tác dụng của mật độ lên các hiện tượng vật lý. Trong vật lý plasma, thế màn chắn đặc trưng cho độ hạ của rào thế Coulomb giữa hai ion [4]. Bằng phương pháp phân tích các dữ liệu mô phỏng, đặc biệt là mô phỏng Monte-Carlo, các dạng biểu thức cụ thể của thế màn chắn dành cho plasma liên kết mạnh và plasma liên yếu đã được đề nghị và đạt được kết quả khá chính xác. Có một điều đáng quan tâm khi phân tích các dữ liệu mô phỏng của plasma liên kết mạnh là thế màn chắn có dạng tuyến tính ở những khoảng cách liên ion xung quanh vị trí cực đại của hàm phân bố xuyên tâm. Mục tiêu của luận văn này là tìm ra biểu thức cụ thể dạng tuyến tính của thế màn chắn, cũng như các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng trật tự địa phương cho mọi plasma liên kết mạnh. 10B3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu - Dạng tuyến tính của thế màn chắn trong plasma liên kết mạnh. - Các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng trật tự địa phương như: khoảng cách liên ion và giá trị hàm phân bố xuyên tâm ở cực đại thứ nhất, biên độ của hiệu ứng trật tự đại phương, ngưỡng trật tự địa phương. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Đề tài này nghiên cứu về plasma liên kết mạnh một thành phần (One Component Plasma – OCP). 1B4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu 4.1. Ý nghĩa khoa học Tìm ra biểu thức dạng tuyến tính cho thế màn chắn trong plasma liên kết mạnh, các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng trật tự địa phương. 7 4.2. Ý nghĩa thực tiễn Đề tài này có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành vật lý có học môn Vật Lý Thống Kê về những kiến thức liên quan đến tương tác hệ nhiều hạt, ứng dụng của phân bố thống kê chính tắc. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp lý thuyết: - Nghiên cứu lý thuyết về thế màn chắn để xây dựng biểu thức dạng tuyến tính của thế màn chắn. - Sử dụng phần mềm tin học Maple 14, OriginPro 8.1 xử lí dữ liệu của mô phỏng Monte Carlo. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn được trình bày theo thứ tự sau: Chương 1. Tổng quan về plasma Chương này giới thiệu những khái niệm cơ bản về plasma, mô hình khảo sát và một số đại lượng đặc trưng như: hàm phân bố xuyên tâm. Chương 2. Thế màn chắn Chương này trình bày về thế màn chắn, định lý Widom và các kết quả nghiên cứu gần đây về thế màn chắn trong plasma liên kết mạnh, plasma liên kết yếu. Chương 3. Tuyến tính của thế màn chắn trong plasma Nội dung chương này bao gồm việc giải thích sự tuyến tính của thế màn chắn trên phương diện lí thuyết, và những tính toán để có được biểu thức dạng tuyến tính của thế màn chắn cũng như là các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma liên kết mạnh. Nội dung của phần cuối cùng dành cho kết luận chung của luận văn. 8 3BChương 1. TỔNG QUAN VỀ PLASMA 13B .1. Khái niệm plasma Plasma là môi trường vật chất gồm các hạt mang điện sao cho tổng đại số các điện tích triệt tiêu: 0i i i eZ N =∑ (1.1) nghĩa là môi trường trung hòa về điện, trong đó NRiR , eZRiR là số hạt và điện tích của loại hạt thứ i. 14B .2. Mô hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma) Trong trường hợp giới hạn, luận văn này chỉ xét loại plasma đơn giản nhất: “plasma một thành phần”. Plasma một thành phần là một hệ thống kê gồm N ion tích điện dương Ze+ chuyển động trong một “biển” đồng nhất NZ electron mang điện tích e− có tác dụng trung hòa điện, hệ này có nhiệt độ T và thể tích V của bình chứa. 1.2.1. Mô hình “hình cầu ion” Để đơn giản người ta đưa ra mô hình “hình cầu ion” để mô tả plasma một thành phần. Mỗi “hình cầu ion” này gồm một ion riêng biệt mang điện tích +Ze và một đám mây electron mang điện tích -Ze vừa đủ để trung hòa điện bao quanh nó (Hình 1.1). Khi đó có thể hình dung plasma là môi trường gồm N hình cầu ion và mỗi hình cầu chứa Z electron để trung hòa điện tích dương của ion. Từ đó ta tính được bán kính hình cầu ion qua biểu thức: 1 34 3 a π − ρ =     (1.2) Trong đó, N V ρ = là mật độ ion của khối plasma đang xét. Như vậy mật độ của electron là: 3 3 4e Ze aπ ρ = − (1.3) 9 Hình 1.1 Mô hình “hình cầu ion” 1.2.2. Tham số tương liên Với mô hình trên, plasma một thành phần được đặc trưng bởi một đại lượng gọi là “tham số tương liên”: ( )2Ze akT Γ = (1.4) trong đó, a là bán kính khối cầu ion. Ta nhận thấy rằng tham số Γ này thể hiện mối quan hệ giữa năng lượng tương tác Coulomb trung bình giữa hai ion ( ) 2Ze a và năng lượng chuyển động nhiệt trung bình kT. Do đó, ta có thể dựa vào tham số tương liên để biết được tính chất của plasma như sau[4]: - Khi Γ >> 1: năng lượng Coulomb rất lớn so với năng lượng chuyển động nhiệt, trạng thái plasma gần với trạng thái rắn- trạng thái kết tinh. - Khi Γ << 1: chuyển động nhiệt chiếm ưu thế, plasma sẽ ở trạng thái của khí lí tưởng. - Khi Γ có giá trị trung gian thì plasma có tính chất giống như lưu chất. Giá trị ngưỡng Γ, tại đó plasma bắt đầu chuyển từ trạng thái khí sang trạng thái lưu chất được gọi là ngưỡng trật tự địa phương, kí hiệu là ΓRCR. Khi đó, các ion bắt đầu có trật tự hơn, tức là xác suất tìm thấy một ion kế cận một ion nào đó tại vị trí nào đó 10 lớn hơn những vị trí khác. Bằng phép tính phân tích kết quả mô phỏng Monte- Carlo gần đây nhất, giá trị ngưỡng trật tự địa phương đã được xác định là ΓRCR = 1.75 [3]. Giá trị ngưỡng Γ, tại đó có sự chuyển pha từ lưu chất sang tinh thể lập phương tâm khối (bcc) được gọi là ngưỡng kết tinh, các công trình lý thuyết[5] được đánh giá vào cỡ : ΓRmR=172. Kết quả gần đây nhất dựa trên dữ liệu mô phỏng trên máy tính thì ngưỡng kết tinh là : ΓRmR=175. Thông thường, người ta gọi chung hệ plasma có tham số tương liên Γ ≥ 1 là plasma liên kết mạnh và hệ plasma có tham số tương liên Γ < 1 là plasma liên kết yếu. 15B .3. Hàm phân bố xuyên tâm Các hạt trong plasma luôn tương tác điện lên nhau. Chính sự tương tác này làm cho xác suất tìm thấy hai hạt ở khoảng cách khác nhau là không giống nhau, sẽ có những khoảng cách chiếm ưu thế hơn so với những khoảng cách khác. Hàm thể hiện xác suất tương tác (contact probability) giữa hai ion trong plasma được gọi là hàm phân bố xuyên tâm. Có thể hiểu hàm phân bố xuyên tâm là một hàm biểu hiện xác suất phân bố hai hạt theo khoảng cách liên ion giữa chúng. Dựa trên những hiểu biết đó, ta lập luận để tìm ra biểu thức hàm phân bố xuyên tâm, bắt đầu từ việc tính xác suất tìm thấy hai hạt ở hai vị trí bất kì. Nếu gọi u(rRijR) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong N ion của plasma, thế năng toàn phần của hệ là: N 1 2 n ij i j U U(r , r ,..., r ) u(r ) < ≡ =∑r r r (1.5) Xác suất tìm thấy ion 1 trong thể tích nguyên tố 1dr r tại vị trí 1r r , ion 2 trong 2dr r tại vị trí 2r r ,…, ion N ở trong Ndr r tại vị trí Nr r không phụ thuộc vận tốc mỗi hạt là: [ ] 1 2 1 exp ... NU dr dr drQ − r r rβ (1.6) với Q là tích phân cấu hình (tích phân trạng thái): [ ] 1 2exp ... N V Q U dr dr dr= −∫ r r rβ 11 Xác suất để ion 1 được tìm thấy trong thể tích nguyên tố 1dr r tại vị trí 1r r , hạt 2 trong 2dr r tại vị trí 2r r ,…hạt n trong ndr r tại vị trí nr r là: ( ) ( ) [ ]1 1 1 1 1,..., ... exp ... ...n n n n N n V P r r dr dr U dr dr dr dr Q +   = −    ∫ r r r r r r r rβ (1.7) ( ) ( ) [ ]1 1 1,..., exp ...n n n N V P r r U dr dr Q + ⇒ = −∫ r r r rβ (1.8) Ta gọi ( ) ( )1 1,..., ...n n nr r dr drρ r r r r là xác suất để có một ion nào đó (không nhất thiết là ion 1) được tìm thấy trong thể tích nguyên tố 1dr r tại vị trí 1r r , ion khác thứ hai trong 2dr r tại vị trí 2r r …ion khác thứ n trong ndr r tại vị trí nr r . ( ) ( ) [ ]1 1 1 1 ! 1,..., ... exp ... ... ( )! n n n n N n V Nr r dr dr U dr dr dr dr N n Q +   = × − −   ∫ r r r r r r r rρ β (1.9) Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 !,..., ,..., ( )! n n n n Nr r P r r N n ρ = − r r r r (1.10) Từ định nghĩa trên thì ( ) ( )1 1 1r drρ r r là xác suất để một trong những ion của hệ được tìm thấy trong thể tích nguyên tố 1dr r và vì mọi điểm 1r r trong thể tích V tương đương nhau ( ( ) ( )1 1 1r drρ r r độc lập với 1r r ) nên: ( ) ( )1 1 1 1 V Ndr V V ρ ρ ρ= = =∫ r (1.11) Ta chú ý rằng ( ) ( )2 1 2 1 2,r r dr drρ r r r r là xác suất để một ion ở trong 1dr r và một ion khác ở trong 2dr r , và do ( )2ρ chỉ phụ thuộc vào khoảng cách rR12R giữa hai ion nên: (2) (2) 1 2 12( , ) ( )r r rρ = ρ uv uv (1.12) và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 12 12, 1 V V r r dr dr r dr N Nρ ρ= = −∫ ∫ r r r r r (1.13) 12 Vì sự phân bố các ion trong plasma là hoàn toàn ngẫu nhiên, xác suất để ion thứ i nằm trong idr r , i=1, 2, 3,…, n là: ( ) ( )1 2 1 1... ,..., ...nn n n drdr dr P r r dr dr V V V = rr r r r r r (1.14) và ( ) 1n nP V = , nên (1.10) trở thành: ( ) 1 ! ! ( )! ( )! n n n n N N V N n N N n = = − − ρ ρ (1.15) Ta thấy ( ) ( )1 1 1r drρ r r là xác suất để một ion của hệ được tìm thấy trong thể tích nguyên tố 1dr r tại vị trí 1r r . Nếu xác suất này độc lập với xác suất tìm thấy ion thứ hai trong thể tích nguyên tố 2dr r tại vị trí 2r r ,…, với xác suất tìm thấy ion thứ n trong ndr r tại vị trí nr r thì ta có xác suất để 1 ion ở trong 1dr r , một ion khác ở trong 2dr r ,…, một ion khác thứ n ở trong ndr r là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 1 2 2,..., ... ...n n n n nr r dr dr r dr r dr r drρ ρ ρ ρ     =       r r r r r r r r r r (1.16) Ngược lại khi có sự tương quan giữa 1 ion này và một ion khác tức là n xác suất trên không độc lập với nhau, vậy ta sẽ đưa vào hàm ( ) ( )1,...,n ng r r r r vì hàm này cho biết mức độ mà ( )nρ lệch khỏi giá trị của nó khi các xác suất ( ) ( )1 i ir drρ r r độc lập với nhau. Hàm ( )ng được định nghĩa như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 2 1,..., ... ,...,n nn n nr r r r r g r rρ ρ ρ ρ= r r r r r r r (1.17) Mọi điểm ir r trong thể tích V đều tương đương nhau trong plasma lưu chất, tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 2 ... nr r rρ ρ ρ ρ= = = = r r r (1.17) được viết lại: ( ) ( ) ( ) ( )1 1,..., ,...,n nnn nr r g r rρ ρ= r r r r (1.18) với N V ρ = là mật độ ion trong plasma. 13 Từ (1.10) và (1.18) ta rút ra mối quan hệ giữa PP(n)P và gP(n)P như sau: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 !,..., ,..., ( )! n nn n n Ng r r P r r N n ρ = − r r r r (1.19) thế kết quả của PP(n)P từ (1.8) ta có: ( ) ( ) 1 1 exp ... !,..., ( )! n N nn V n U dr dr kTNg r r N n Q +  −  = − ∫ r r r rρ (1.20) Bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là vấn đề liên quan tới việc mở rộng các vạch quang phổ, đều cần nghiên cứu việc có hay không sự tương tác giữa các ion với các ion lân cận gần nhất. Hay nói cách khác, cần biết xác suất để hai ion, ký hiệu 1 và 2, có điện tích Z, cách nhau khoảng rR12R bất chấp sự có mặt của các ion ở các vị trí ir r , xác suất này là ( ) ( )2 1 2,P r r r r . Từ (1.20) ta có: ( ) ( ) 3 22 1 2 exp ... !, ( 2)! N V U dr dr kTNg r r N Q  −  = − ∫ r r r rρ (1.21) Cuối cùng ta thu được hàm phân bố xuyên tâm: ( )2 12 3 ( 1) exp ... N V N N Ug r dr dr Q kT −  = −  ∫ r rρ (1.22) với N đủ lớn. ( ) 2 12 3exp ... N V V Ug r dr dr Q kT  = −  ∫ r r (1.23) Bằng cách chuẩn hoá xác suất −r r 32 1 2g(r r )d r / V ta có được: −β− =r r 12u2 1g(r r ) e (1.24) Sự hiểu biết giá trị hàm phân bố xuyên tâm đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát thống kê của plasma, vì một phần là hàm này (cùng với trung bình phần dư của năng lượng tự do) là đại lượng được tính toán trực tiếp từ phương pháp Monte- Carlo và trong vật lý lưu chất, g(r) có thể đo trực tiếp từ những thí nghiệm tán xạ 14 neutron, các tính chất nhiệt động lực đều có thể tính được từ những tích phân tính trên hàm g(r) này. Dựa vào hình (1.2), ta có thể thấy tính chất phân bố các hạt qua sự biến thiên của hàm phân bố xuyên tâm g(r) theo r thu được từ kết quả của thí nghiệm tán xạ neutron trên Argon ở thể lỏng, các cực trị nhọn chỉ ra vị trí của các hạt kế cận. Hình 1.2 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm của lưu chất Ar từ kết quả tán xạ neutron [7]. 15 Các mô phỏng Monte Carlo (MC) gần đây đối với mô hình plasma OCP cũng cho những kết quả tương tự, có thể thấy trên hình (1.3). Đối với plasma liên kết yếu, đồ thị hàm phân bố xuyên tâm có dạng một đường cong tăng đơn trị đến 1. Khi r tăng thì hàm phân bố xuyên tâm cũng tăng, từ một giá trị r nào đó trở đi thì hàm phân bố xuyên tâm đạt giá trị không đổi g(r) = 1. Điều này có nghĩa từ khoảng cách liên ion r, mà tại đó hàm phân bố xuyên tâm bắt đầu đạt giá trị 1, trở đi thì các hạt sắp xếp một cách tự do, không có một vị trí ưu tiên. Do đó, tính chất của plasma liên kết gần giống như khí lí tưởng. Hình 1.3 Đồ thị dao động của g(r) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160 cho bởi mô phỏng MC [7], đường liền nét ứng với Γ =1. 16 Đối với plasma liên kết mạnh, đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) là giảm theo r và có dạng dao động, đặc trưng cho hiệu ứng trật tự địa phương. Những plasma có tham số tương liên càng lớn thì dao động càng mạnh, biên độ các cực đại tăng theo Г, điều này có nghĩa là đối với những plasma có tham số tương liên càng lớn, sự ổn định của các vị trí của các ion kế cận càng lớn, plasma có tính chất gần vật rắn hơn. Sự dao động của hàm phân bố xuyên tâm là một đặc trưng của plasma liên kết mạnh. Từ đó ta có thể định nghĩa lại giá trị ngưỡng trật tự địa phương Γ RC Rlà giá trị tham số tương liên Γ mà tại đó hàm phân bố xuyên tâm g(r) bắt đầu xuất hiện dao động. Để đặc trưng cho độ dao động của hàm phân bố xuyên tâm, người ta đã đưa ra một tham số, gọi là biên độ của trật tự địa phương, được xác định bởi công thức[8]. max 1 ln( )gδ = Γ (1.25) Với gRmaxR= g(rRmaxR), rRmax Rlà vị trí cực đại đầu tiên của hàm phân bố xuyên tâm g(r). 17 4BChương 2. Thế màn chắn trong plasma 16B2.1. Định nghĩa thế màn chắn Đối với hệ nhiều hạt, để tính thế năng tương tác hiệu dụng giữa hai ion nào đó của hệ, ta phải tính đến tác dụng của môi trường xung quanh, tác dụng này được đặc trưng bởi một đại lượng gọi là thế màn chắn, kí hiệu H(R) với R là khoảng cách liên ion. Hai ion này sẽ chuyển động trong trường thế hiệu dụng: ( ) 2 ( ) ( ) Ze U R H R R = − , (2.1) hoặc nếu tính theo đơn vị Rr a = và ( ) 2Ze a , thì 1( ) ( )U r H r r = − (2.2) 17B2.2. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Khi tính đến ảnh hưởng môi trường xung quanh trong plasma ta phải thay thế uR12R trong biểu thức (1.23) bằng thế năng hiệu dụng ( )2( ) ( )ZeU R H R R = − (2.3) khi đó (1.24) trở thành: βU Rg R - ( )( ) = e . (2.4) Hay ta có thể viết liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm như sau: 1( ) exp ( )g r H r r   = −Γ −     (2.5) suy ra: 1 ln ( )( ) g rH r r = + Γ (2.6) 18 18B2.3. Định lí Widom Vào năm 1963, Widom đã xác định dạng của thế màn chắn trong lưu chất, được gọi là định lí Widom [4]. “Trong lưu chất hay trong tinh thể, thế màn chắn là hàm chẵn, theo khoảng cách giữa hai ion hay hai nguyên tử và trong vùng bán kính hội tụ, được biểu thị bởi một đa thức luân phiên đổi dấu”. Dạng triển khai của thế màn chắn theo định lý Widom: ( )2 4 20 1 2( ) ... 1 i i iH r h h r h r h r= − + − + − (2.7) hay ( ) ( ) 2 0 1 i ii i H r h r ≥ = −∑ . (2.8) Các hệ số hRiR có vài đặc điểm sau: - ( )0 0limrh H r→= là số khuếch đại của phản ứng tổng hợp hai hạt nhân. - Hệ số hR1R đã được Jancovici dùng vật lý thống kê xác định giá trị chính xác và được đặt tên là hệ số Jancovici với hR1R = 0.25[4]. - Các hệ số còn lại phụ thuộc vào plasma là liên kết mạnh hay liên kết yếu, tức là ở trạng thái tinh thể hay lưu chất. Các đặc điểm trên giúp ích cho ta rất nhiều trong việc tìm lại dạng khai triển của thế màn chắn khi so sánh với các số liệu thực nghiệm Monte-Carlo. 19B2.4. Biểu thức thế màn chắn cho plasma liên kết yếu Khi áp dụng lí thuyết Debye – Hückel- lí thuyết trước đây được dùng để tính toán các giá trị nhiệt động lực học của các môi trường dung dịch ion như bazơ mạnh, axít mạnh- một biểu thức cụ thể của thế màn chắn cho plasma loãng đã được tìm ra: 31( ) r DH eH r r − Γ− = (2.9) Do thuyết Debye – Hückel chỉ được áp dụng trong trường hợp nồng độ dung dịch thấp (mức độ tập trung của các điện tích của hệ thấp), và không được áp dụng khi 19 nồng độ dung dịch điện phân lớn hơn khoảng 100mM nên biểu thức trên chỉ dành cho plasma liên kết yếu tức là Γ < ΓRC R. Mặt khác, biểu thức thế màn chắn HRDHR(r) trên chỉ đúng với các khoảng cách liên ion r lớn hơn một giá trị giới hạn rRDH Rnhất định, gọi là khoảng cách Debye – Hückel. Do vậy, ở những khoảng cách liên ion nhỏ hơn rRDH R, thế màn chắn phải có dạng đa thức đúng theo định lí Widom. Phân tích dựa trên các dữ liệu “thực nghiệm” cho bởi các phép tính số và mô phỏng Monte-Carlo thì bậc của đa thức thế màn chắn khi r ≤ rRDHR chỉ cần khai triển đến bậc 8[4]: 4 2 1 ( ) ( 1)i ii i H r h r = = −∑ (2.10) Tổng quát, ta sẽ tính thế màn chắn dưới dạng: 3 4 2 1 1 ( ) ( 1) r i i i i e rH r h r − Γ =  − =   −  ∑ (2.11) Từ các phép tính tối ưu hóa tính liên tục giữa dạng giải tích của hàm phân bố xuyên tâm g(r) và các kết quả số, một biểu thức của khoảng cách Debye – Hückel [4] đã được xác định như sau: 1.62540 0.34536 (3.04030ln( )) 0.25412HD r arctg Γ= + (2.12) 20B .5. Biểu thức thế màn chắn cho plasma đậm đặc 2.5.1. Biểu thức thế màn chắn cho plasma kết tinh Dựa vào các mô phỏng MC trên, một số tác giả đã tính được hàm H(r) như sau: Đối với plasma ở trạng thái kết tinh, biểu thức thế màn chắn với độ chính xác cao (1,5.10P-7P) đã được đề nghị [2]: 1/3 2 4 6 R 8 10 1H (η) = ( ) (1.391160 - 0.258399η - 0.162060η + 0.034887η π 3 - 0.005789η + 0.000210η ) (2.13) 20 với = Rη d , và d là khoảng cách của hai ion gần nhất ở trạng thái cân bằng. Đối với tinh thể bcc, 1.7589d a= . Hệ thức giải tích (2.13) bao hàm tính đối xứng của thế màn chắn đối với khoảng cách hai ion, tính chất đã được chứng minh cho lưu chất, điều này đã cho phép sử dụng tính liên tục của thế màn chắn để tiếp tục khảo sát biểu thức giải tích của thế này đối với plasma có tham số tương liên Γ <172. Như đã trình bày, tại giá trị m 172Γ = có xảy ra sự chuyển pha lỏng-tinh thể. Và một biểu thức thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên này được đề nghị bởi [8]: ( ) = − + − ∈2 4 61.0521 0.25 0.04392 0.004269 , [0.0,2.0]H r r r r r (2.14) Trong biểu thức (2.14), thế màn chắn H(r) là đa thức bậc chẵn theo r và luân phiên dấu, phù hợp với định lý Widom cho lưu chất và rất chính xác so với kết quả thực nghiệm Monte-Carlo. Hệ số của rP2P có giá trị chính xác -0.25, đúng với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính lý thuyết. 2.5.2. Biểu thức thế màn chắn cho plasma lưu chất Biểu thức thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 5 160< Γ < , cũng được đề nghị bởi công trình [2] gần đây: ( ) ( ) 6 2 0 1 i ii i H r h r = = −∑ (2.15) với các hệ số hRiR tính theo : ( ) 5 0 10 ln ki i k k h a = = Γ∑ (2.16) hệ số aRkR được cho ở bảng (2.1). 21 Bảng 2.1 Hệ số ka của hệ thức (2.16). hR0 hR2 hR3 hR4 hR5 hR6 aR0 0.939 5.23 3.85 -3.97 -5.91 -0.811 aR1 0.15 -1.92 -2.2 3.66 4.69 -0.413 aR2 -0.0521 0.748 1.34 -0.0349 0.0182 1.28 aR3 0.00723 -0.123 -0.349 -0.407 -0.606 -0.591 aR4 -0.000295 0.00714 0.0399 0.0917 0.142 0.104 aR5 -9.84E-06 4.63E-05 -0.0016 -0.00604 -0.00983 -0.00646 Đặc biệt, việc phân tích các số liệu mô phỏng Monte- Carlo của plasma lưu chất, cụ thể trong luận văn này là plasma có tham số tương liên Γ trong khoảng [3.17,160], cho thấy trong một khoảng r nhất định thì thế màn chắn có dạng tuyến tính. Việc khảo sự tuyến tính của thế màn chắn là nhiệm vụ chính của luận văn này. Điều này sẽ được trình bày rõ hơn ở chương 3. 22 5BChương 3. Sự tuyến tính thế màn chắn trong plasma liên kết mạnh 21B3.1. Sự tuyến tính của thế màn chắn trong plasma liên kết mạnh Khi phân tích các số liệu từ mô phỏng Monte- Carlo, các nhà khoa học nhận thấy ở những khoảng cách liên ion r xung quanh giá trị rRmaxR- vị trí cực đại đầu tiên của hàm phân bố xuyên tâm g(r)- thì thế màn chắn có dạng tuyến tính. Điều này có thể giải thích như sau[10]: Khai triển Taylor biểu thức H(r) quanh điểm r = rRmaxR, ta có: max max max2 max ( ) 1 1 1( ) ln( ) ( ) ( ) r r dg r drH r g r r r r g r =     = + + − + × − Γ     max 2 2 2 2 max3 2 ( ) ( )( ) ( )1 2 ( ) ... 2 ( ) r r d g r dg rg r dr dr r r r g r =   −  + + × − +       (3.1) Vì g(r) đạt cực trị khi r = rRmaxR, nên max ( ) 0 r r dg r dr = = . Ta sẽ viết lại biểu thức H(r) như sau: max 2 2 2 max max2 3 max max max ( ) 2 1 1 1 2( ) ln ( ) ( ) ... 2 ( ) r r d g r dr H r g r r r r r r r g r =      = + − + + × − + Γ       (3.2) Khi r → rRmaxR, ta có thể bỏ qua các số hạng từ bậc 2 trở đi, suy ra: max 2 max max 2 1 1( ) ln ( )H r g r r r r ≅ + − Γ (3.3) 23 Ta đã biết biên độ trật tự địa phương max 1 ln gδ = Γ Nếu đặt 1 2 max 1C r = ; 0 max 1C r = + δ thì ta có 0 12C C= + δ (3.4) Viết lại biểu thức H(r) ở (3.3), ta được : 0 1)r C C rΗ( = − (3.5) Như vậy, bằng cách sử dụng các thông số của trật tự địa phương: rRmaxR và δ đối với Γ > ΓRCR, thì ta đã chứng minh được sự tuyến tính của thế màn chắn ở những khoảng liên ion r xung quanh vị trí rRmaxR. Và ta sẽ kí hiệu thế màn chắn ở dạng tuyến tính đặc biệt này là HRLR(r) và viết lại biểu thức như sau : 0 1)L r C C rΗ ( = − (3.6) Nhiệm vụ những phần tiếp theo, cũng là nhiệm vụ chính của luận văn này là tìm ra biểu thức tuyến tính của thế màn chắn dành cho plasma liên kết mạnh với mọi tham số tương liên Γ, và khoảng r mà biểu thức tuyến tính này còn áp dụng được. Đồng thời, qua đó ta tìm được biểu thức của gRmaxR, rRmaxR và δ._.