Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn

n quý Thầy Cơ trong khoa Tốn của Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy cho tơi trong quá trình học tập. Tơi xin cảm ơn Phịng KHCN & SĐH, Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư Phạm TP. HCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành khố học này. Tơi xin cảm ơn người thân trong gia đình đã động viên, tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học này. Sau cùng, tơi xin cảm ơn các bạn học viên giải tích khố 16 đã giúp đỡ tơi trong khố học. Tp.Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008 Tác giả Trần Hồng Mơ MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng cĩ rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn cĩ thể nĩi hầu như mọi lĩnh vực đều cĩ thể ứng dụng : y khoa, xây dựng, điện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân trung hịa với lệch khơng bị chặn đã được Hernán .R. Henríquez sử dụng cơng cụ nửa nhĩm các tốn tử tuyến tính liên tục mạnh để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân trung hồ với lệch khơng bị chặn. Mục đích của luận văn này là thiết lập những kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hồn cho phương trình vi phân trung hịa với lệch khơng bị chặn và luận văn chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hồn của phương trình trung hồ với lệch khơng bị chặn cụ thể. Đĩ là lý do tơi chọn đề tài . 2. Mục đích nghiên cứu Sử dụng tốn tử tuyến tính của nửa nhĩm liên tục mạnh và các kết quả trong khơng gian pha để chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hồn của phương trình vi phân trung hịa với lệch khơng bị chặn. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Lời giải nghiệm tuần hồn cho phương trình vi phân trung hịa với lệch khơng bị chặn. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tốn tử tuyến tính của nửa nhĩm liên tục là một cơng cụ rất mạnh đã được nhiều nhà tốn học sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chúng tơi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài Phần nội dung : Chương 1 : Giới thiệu bài tốn Chương 2 : Các kiến thức bổ trợ. Chương 3 : Sự tồn tại nghiệm tuần hồn. Chương 4: Các ví dụ. Phần kết luận : Đưa ra những kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt được . Chương 1 GIỚI THIỆU BÀI TỐN Luận văn trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân trung hồ với tính lệch khơng bị chặn được cho bởi dạng sau:   0t td x( t ) F( t, x ) Ax( t ) G(t, x ), tdt     trong đĩ: * F, G thoả các điều kiện thích hợp * A là phần tử vi phân của nửa nhĩm liên tục mạnh của các tốn tử tuyến tính xác định trên khơng gian Banach X. Trong suốt luận văn này, X là khơng gian Banach với chuẩn . . Khi đĩ phần tử vi phân A của nửa nhĩm liên tục mạnh của các tốn tử tuyến tính T(t) ( 0t  ) xác định trên X được định nghĩa như sau: : ( )A D A X X  với  0t T t x xD A x X tồn tạit   ( )( ) : lim và 0 0 ( ) ( )lim t t T t x x dT t xAx t dt    , với ( )x D A . Hơn nữa nếu T là nửa nhĩm giải tích và bị chặn đều với A là phần tử vi phân sao cho 0 ( )A thì xác định lũy thừa ( ) (0 1)A     như là tốn tử tuyến tính đĩng xác định trên (( ) )D A  . Khi đĩ (( ) )D A  trù mật trong X và ta định nghĩa chuẩn trên (( ) )D A  như sau : ( ) , (( ) )x A x x D A      . Từ đây về sau ta sẽ kí hiệu X thay cho (( ) )D A  với chuẩn .  . Với các điều kiện trên ta cĩ các bổ đề sau: ( trong [17] ) 1.1. Bổ đề 1.1 Cho 0 1  thì X là khơng gian Banach. 1.2. Bổ đề 1.2 Nếu0 1    thì X X  là phép nhúng compact với mọi ( )A là compact. 1.3. Bổ đề 1.3 Với mỗi a > 0, tồn tại hằng số dương aC sao cho : ( ) ( ) , 0aCA T t t a t      . 1.4. Bổ đề 1.4 Với mỗi a > 0, tồn tại hằng số dương aC sao cho :  ( ) ( ) , 0aT t I A C t t a       . * Và :( ;0]tx X  với ( ) ( )tx x t   phụ thuộc vào khơng gian pha B nào đĩ. B là khơng gian tuyến tính các ánh xạ đi từ ( ;0] vào X với chuẩn . B . Khơng gian B thỏa các tiên đề sau: (B.1) Nếu :( ; ) , 0x a X a    liên tục trên [ , )a   và x B thì với mỗi [ , )t a   ta cĩ các tính chất sau : i) tx B ii) tx t H x B( ) iii)  ( )sup ( ) : ( )tx K t x s s t M t xB B        . với 0H  ; , :[0, ) [0, )K M    , K liên tục, M bị chặn địa phương và H, K, M khơng phụ thuộc vào x(.) . (B.2) Với x(.) ở trên (B.1), tx là hàm liên tục trong B trên [ , )a   . (B.3) B là khơng gian đầy đủ. Kí hiệu Bˆ là khơng gian thương Banach B/ . B , nếu B ta viết ˆ cho lớp tương đương xác định bởi . Khi đĩ tốn tử W(t) xác định bởi    ( ) (0), 0( ) ( ) ( ),T t tW t t t             là nửa nhĩm liên tục mạnh của các tốn tử tuyến tính xác định trên B. Sau đây là ví dụ cụ thể về khơng gian pha . 1.5. Ví dụ1.1 Xét khơng gian B = ( , ), 0prC L g X r  , 1 p  gồm các hàm :( ;0] X   sao cho  liên tục trên [-r ; 0], đo được ( Lesbesgue) và (.) pg  khả tích Lesbesgue trên ( ; )r  , trong đĩ :( ; )g r   là hàm dương đo được Borel . Nửa chuẩn trên B được xác định bởi:   1/ sup ( ) : 0 ( ) ( ) pr pr g d                  . Ta luơn giả sử g thoả hai điều kiện sau: (g-1) g khả tích trên ( ; )r  . (g-2) Tồn tại hàm  khơng âm và bị chặn địa phương xác định trên( ;0] sao cho: ( ) ( ): ( )g g      , với mọi 0  và ( ; ) \r N    , trong đĩ ( ; )N r    là tập cĩ độ đo bằng 0. Khi đĩ B là khơng gian pha thoả các tiên đề trên( [13], Định lý 1.3.8). Chương 2 CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ 2.1. Định nghĩa 2.1 Cho E là khơng gian Banach, A là tập con bị chặn. Độ đo phi compact Kuratowski định bởi:  1 2 0   n A d A được phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp A A A có đường kính nhỏ hơn hay bằng d ( ) inf / , ,..., 2.2. Tính chất 2.2 a) ( ) ( ) ( )A A coA    b) ( ) 0A   A compact tương đối. c) ( ) ( )A B  nếu A B d) ( ) ( ) ( )A B A B     e) ( ) ( )tA t A  . 2.3. Định nghĩa 2.3 Ánh xạ liên tục :f D E E  được gọi là k- cơ đặc nếu tồn tại (0,1)k sao cho : ( ( )) ( )f A k A  với mọi A bị chặn chứa trong D . 2.4. Định lý 2.4 Cho D là tập lồi đĩng bị chặn khác rỗng trong khơng gian Banach E và :f D D là ánh xạ k- cơ đặc thì f cĩ điểm bất động . 2.5. Định lý 2.5( [19], Định lý 2.1 ) Với B là khơng gian pha thỏa các tiên đề nĩi ở chương I và E là khơng gian Banach. Nếu X và [ , ]X t là hai tập bị chặn tương ứng trong B và  [ , ],C t E thì bất đẳng thức sau xảy ra: ˆ ˆ( ) ( ) ( [ , ]) ( ) ( )tX K t X t M t X         Trong đĩ  [ , ] [ , ]: (( , ), )X t x t x X a E      và  : (( , ), )t tX x x X a E     B với (( , ), ), 0X a E a     , là tập các ánh xạ :( , )x a E   sao cho x B và x(t) liên tục trên [ , )a   . 2.6.Định lý 2.6: ( Định lý Schauder ) Cho C là tập lồi đĩng trong khơng gian Banach E và :f C C liên tục sao cho ( )f C là tập compact tương đối . Khi đĩ f cĩ điểm bất động trong C . 2.7.Định lý 2.7: ( [17], Bổ đề 2.3 ). Nếu T(t) là nửa nhĩm liên tục mạnh của các tốn tử tuyến tính bị chặn thì với mọi x X, ( )t T t x là hàm liên tục từ 0 vào X 2.8.Định lý 2.8: ( [1], Bài tập 18 chương VI ) Cho  ne là hệ trực chuẩn trong khơng gian Hilbert H,  n là dãy số hội tụ đến 0. Khi đĩ tốn tử :A X X được xác định bởi : 1 ,n n n n Ax x e e   , là tốn tử compắc. Chương 3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HỒN Đầu tiên luận văn bắt đầu nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài tốn Cauchy trừu tượng: (3.1)  t td x( t ) F( t, x ) Ax( t ) G( t, x ), tdt     (3.2) x   trong đĩ  là tập mở trong B . F, G: [ , ]a X   là các hàm liên tục và 0 a  . Ta giả sử A luơn là phần tử vi phân của nửa nhĩm T(.) của các tốn tử tuyến tính bị chặn xác định trên X . Ta giả sử rằng 0 ( )A và nửa nhĩm T(.) bị chặn đều tức là ( )T t M  với 1, 0M t  . 3.1. Định nghĩa 3.1 Ta nĩi rằng hàm :( , )x b X   , b > 0, là một nghiệm yếu của bài tốn Cauchy (3.1)- (3.2) nếu x  ; thu hẹp của x(.) trên [ , )b   liên tục và với mỗi t b    hàm ( ) ( , ), [ , )sAT t s F s x s t  là khả tích và thoả mãn: (3.3)  ( ) ( ) (0) ( , ) ( , ) ( ) ( , )tt sx t T t F F t x AT t s F s x ds            ( ) ( , ) , t sT t s G s x ds t     Để thuận lợi cho việc chứng minh, xin giới thiệu vài kí hiệu cần thiết : * Với mỗi cặp số dương r,  ta đặt:   ( , , ) [ , ]; : ( ) 0, ( ) ,C r u C X u u t r t                . Dễ thấy ( , , )C r  là tập khác rỗng lồi đĩng bị chặn trong  [ , ];C X   , trong đĩ  [ , ];C X   cĩ chuẩn là sup. *VớiB, ta kí hiệu ( , , , )S r   là tập hợp các ánh xạ :( , ]x X    sao cho x  , ,tx t      , x(.) liên tục trên [ , ]   và sup ( ) ( ) (0) s x s T t r            . Rõ ràng nếu 1  và 1r r thì 1 1( , , , ) ( , , , )S r S r      . Trong trường hợp 0  , ta viết ( , )C r thay cho ( , , )C r  và ( , , )S r  thay cho ( , , , )S r   . Để liên hệ các kí hiệu này ta xét mệnh đề sau đây: 3.2. Mệnh đề 3.2 Xét (., ) :( , )y X    định bởi  ( ),( , ) ( ) (0),t ty t T t t          Và đặt ( ) ( ) ( , )u t x t y t   với ( , , , ),x S r t       . Khi đĩ ( , , )u C r  và ( )t tx u W t     , t     . Chứng minh Ta chứng minh ( , , )u C r  . + Ta thấy u(t) = 0 với mọi t  . Thật vậy : vì ( , , , )x S r   nên x  ( ) ( ) ( )x t x t t        ( ) ( ) ( , ) 0u t x t y t     . + ( )u t r Thật vậy t      ( ) ( ) ( ) (0)u t x t T t      . Do ( , , , )x S r   nên ( )u t r . Như vậy ( , , )u C r  . Bây giờ ta chứng minh ( )t tx u W t     , t     . Ta cĩ ( ) ( ) ( , )u t x t y t        với t     và 0  . Nếu t   thì ( ) 0t      ( ) ( ) ( ) (0) ( ) [ ( ) ]( )t t tu x T t x W t                . Nếu t    thì ( )t   ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]( )t t tu x t x W t                . ■ Ngược lại, với mỗi ( , , )u C r  chúng ta định nghĩa u là mở rộng của u bởi : ( ) 0u   với   và ( ) ( )u t u t với t r   . Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương của bài tốn (3.1)- (3.2) 3.3. Định lý 3.3 Cho  và giả sử các điều kiện sau xảy ra: (a-1) Tồn tại (0,1) sao cho F nhận giá trị trong X và ( )A F liên tục . (a-2) Tồn tại hằng số dương 0 0, r sao cho ánh xạ  0 0 0: ( , , ) [ , ];F C r C X      được cho bởi ( )( ) ( , ( ) )tF u t F t u W t      là hồn tồn liên tục. (b-1)Tồn tại hằng số 0 ( )b a    và ( ) 0r   sao cho ( )[ ]rB    và với mỗi 0 ( )t b   , cĩ tập compact tU X sao cho ( ) ( , ) tT t G s U  với mọi ( ) [ ]rB   và mọi ( )s b     . Thì bài tốn (3.1)-(3.2) cĩ nghiệm yếu (., )x  xác định trên ( , )b  , b > 0. Chứng minh Để đơn giản ta giả sử  = 0. Vì ( )A F và G liên tục và  là tập mở trong B nên tồn tại 0 ( )r r   sao cho [ ]rB   ; 1( ) ( , )A F t C   và 2( , )G t C  , với C1, C2 là các hằng số, mọi 0 ( )t b   và [ ]rB  . Theo định lý 2.7, (.)W  liên tục nên ta cĩ thể chọn  > 0 sao cho : (3.4) ( ) 2B rW t     với mọi 0 t    . Đặt 0 max ( ) t K K t   và  0min , 2rr r K  . Từ (a-2) suy ra tập các ánh xạ  ( , ): ( , , )tF t x x S r   là tập compact tương đối nên suy ra 0 lim ( , ) (0, )tt F t x F   đều trên ( , , )x S r   . Từ đĩ ta suy ra cĩ 0  đủ nhỏ để tồn tại  00 min , , ( )b     sao cho các bất đẳng thức sau xảy ra : (3.5) ( ( ) ) (0, )T t I F    , (3.6) (0, ) ( , )tF F t x   và (3.7) 12 2 a C CMC r     với mọi 0 t   và ( , , )x S r   , trong đĩ Ca được giới thiệu trong tính chất 3 chương I . Nếu x(.) thỏa phương trình (3.3), chúng ta cĩ thể phân tích ( ) ( ) ( , ),x t u t y t t    với ( , )y t  đã định nghĩa ở mệnh đề 3.2. Rõ ràng ánh xạ u(.) thỏa phương trình (3.8) 0 ( ) ( ) (0, ) ( , ) ( ) ( , ) t t t s su t T t F F t u y AT t s F s u y ds       0 ( ) ( , ) , 0 t s sT t s G s u y ds t      trong đĩ ta viết tắt là y(.) thay cho (., )y  . Từ (3.8) ta định nghĩa các ánh xạ 1 2, ,   xác định trên ( , )C r như sau: (3.9) 1 0 ( )( ) ( ) ( , ) t s su t AT t s F s u y ds     (3.10) 2 0 ( )( ) ( ) (0, ) ( , ) ( ) ( , ) t t t s su t T t F F t u y T t s G s u y ds        và 1 2    với mọi 0 t   . Để chứng minh bài tốn (3.1)-(3.2) cĩ nghiệm yếu ta chứng  cĩ điểm bất động trên ( , )C r . Đầu tiên ta sẽ chứng minh 1 2,  là hai ánh xạ hồn tồn liên tục lấy giá trị trong  [0, ]; )C X và  cĩ tập giá trị compact chứa trong ( , )C r . Để chứng minh các nhận định đĩ, đầu tiên ta chú ý nếu u(.) ( , )C r thì ( )tu W t   [ ]rB  với mọi 0 t   . Thật vậy: Theo tiên đề (B-1) ta cĩ :   0( )sup ( ) :0 ( )B Btu K t u s s t M t u      Với 0 ( ) ( ) 0, 0u u      . Suy ra Btu Kr  . Kết hợp với (3.4) ta được : ( ) ( ) BB Bt tu W t u W t         2 rKr   r . Vì G liên tục nên 2 xác định trên ( , )C r và 2( )(.)u là hàm liên tục . Ta sẽ chứng minh 2( )(.)u là hàm liên tục . Thật vậy : với 0 h   ta cĩ: 2 2 0 0 ( )( ) ( )( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) t h t h t h t t t s s s s u t h u t T t h F T t F F t h u y F t u y T t h s G s u y ds T t s G s u y ds                              Do tập các ánh xạ  ( , ): ( , , )tF t x x S r   là tập compact tương đối nên ta chỉ cần chứng minh 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) t h t s s s sT t h s G s u y ds T t s G s u y ds          =   0 ( ) ( ) ( , ) t s sT t h s T t s G s u y ds        0( ) ( , ) 0 t h h s s t T t h s G s u y ds        Với 0 ( )t h s b     thì tồn tại C2 > 0 sao cho : 2( ) ( , )s sT t h s G s u y C    ( do ( ) ( , ) t h sT t h s G s U     ) Suy ra 02( ) ( , ) 0 t h h s s t T t h s G s u y ds C h        . Mặt khác do ( ) ( , )s s t sT t s G s u y U    ( vì s su y  [ ]rB  ) và T(.)x, t sx U  , là đẳng liên tục nên với mọi 0  tồn tại  00 min , , ( )b     sao cho 1 2( ) ( )T t x T t x   với mọi t sx U  và 1 2t t   . Vì vậy với 0 h   ta cĩ:     0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) (0) ( ) ( , ) t t s s s sT t h s T t s G s u y ds T h T T t s G s u y ds            Vì vậy 2( )(.)u là hàm liên tục. Do F lấy giá trị trong X và ( )A F liên tục nên ( ) ( , )s sA F s u y  và ( , )s sF s u y liên tục . Hơn nữa vì T(.) là nửa nhĩm giải tích nên ( )s AT t s liên tục trên tơpơ đều các tốn tử xác định trên [0, t). Vì vậy ( ) ( , )s sAT t s F s u y  liên tục trên [0, t). Áp dụng bổ đề 1.3 ta được (3.11) 1( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , )s s s sAT t s F s u y A T t s A F s u y          1 1( ) aC C t s    Suy ra ( ) ( , )s sAT t s F s u y  khả tích trên [0, t). Ta suy ra 1 được xác định và lấy giá trị trong  [0, ]; )C X . Ta sẽ chứng minh 1( )(.) u là hàm liên tục. Với 0 h   ta cĩ:   1 1 0 ( )( ) ( )( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )                             t h s s t t s s t h s s t u t h u t AT t h s F s u y ds A T t h s T t s F s u y ds AT t h s F s u y ds   0 ( ) ( ) ( , )   t s s - T h I AT t s F s u y ds Theo (3.11), bổ đề 1.3 và bổ đề 1.4 ta cĩ: 1 11 1 1 1 0 ( )( ) ( )( ) ( ) . ( ) ( )              t h t a a t C C C Cu t h u t ds T h I ds t h s t s 01 1. ( ) . 0        ha ahC C T h I C C . Tiếp theo ta chứng minh ( , )u C r  thì ( , )u C r  . Thật vậy : 1 0 0 ( )( ) ( ( ) ) (0, ) (0, ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( , ) t t t t s s s s u t T t I F F F t u y A T t s A F s u y ds T t s G s u y ds                        Với 1 1 11 0 0 ( ) ( )( ) ( , ) ( ) t t a a s s C C C CA T t s A F s u y ds ds t s              Và 2 0 ( ) ( , ) t s sT t s G s u y ds MC     . Vì vậy 12( )( ) 2 aC Cu t MC r       , với mọi 0 t   . Bây giờ ta chứng minh : Tập giá trị 1( ) là compact tương đối. * 1( )( )t là tập compact tương đối trong X với mỗi 0 t   . Thật vậy, ta cĩ thể giả sử rằng t > 0 . Cho 0 t  thì 1 0 1 ( )( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , ) t s s t s s t u t AT T t s F s u y ds A T t s A F s u y ds                          Từ (a-2) ta nhận được ( , )s sF s u y , 0 s   thuộc tập compact và do ( ) ( )A T  bị chặn nên áp dụng định lý giá trị trung bình của tích phân Bochner. ta suy ra: 0 ( ) ( ) ( , ) t s sAT T t s F s u y ds         cũng thuộc tập compact . Hơn nữa ta cĩ: 1 01 1 1( ) ( )( ) ( , ) 0( ) t t a a s s t t C C C CA T t s A F s u y ds ds t s                     . Do vậy 1( )( )t là tập compact tương đối. * 1( ) đẳng liên tục tại t0 . Thật vậy, lấy 00 t t    . Từ định nghĩa của 1 ta cĩ: 0 0 1 1 0 0 0 ( )( ) ( )( ) [ ( ) ( )] ( , ) ( ) ( , ) t t s s s s t u t u t A T t s T t s F s u y ds AT t s F s u y ds               0 0 0 0 0 [ ( ) )] ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t s s s s t T t t I AT t s F s u y ds AT t s F s u y ds          0 1 0 1 0[ ( ) )] ( )( ) ( ) ( )( ) ( , ) t s s t T t t I u t A T t s A F s u y ds           . Từ biểu thức này và sử dụng tính compact của 1 0( )( )t và tính đẳng khả tích của 1( ) ( )( ) ( , )s sA T t s A F s u y     với ( , )u C r thì ta được 1( ) đẳng liên tục bên phải của t0 . Tương tự ta cũng cĩ thể chứng minh 1( ) đẳng liên tục tại mọi t0 0 . Bây giờ ta đi chứng minh 2( ) là compact tương đối. * 2( ) đẳng liên tục tại t0 Với 0  cố định, ta lấy 00 t t     . Từ định nghĩa của 2 ta cĩ : 2 2 0( )( ) ( )( )u t u t     0 00 0 ( ) ( ) (0, ) ( , ) ( , )t t t tT t T t F F t u y F t u y          0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) tt s s s s t t T t s G s u y ds T t s T t s G s u y ds             0 0 0 ( ) ( ) ( , ) t s sT t s T t s G s u y ds        Xét     0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) t s s t s s T t s T t s G s u y ds = T t s T t s T G s u y ds                       Do T(.)x, x U , là đẳng liên tục nên với mọi 0  tồn tại  00 min , , ( )b     sao cho 1 2( ) ( )T t x T t x   với mọi x U và 1 2t t   . Và ( ) ( , )s sT G s u y U   ( vì s su y  [ ]rB  , 0 s t  ) cho nên với 0t t   thì ta cĩ:  0 0 0 ( ) ( ) ( , ) t s sT t s T t s G s u y ds          Mặt khác ta cĩ: 0 2 0( ) ( , ) ( ) t s s t T t s G s u y ds MC t t     Và  0 0 0 2( ) ( ) ( , ) 2 t s s t T t s T t s G s u y ds MC          . Hơn nữa vì tập các ánh xạ  ( , ): ( , , )tF t x x S r   là tập compact tương đối nên 0 00 ( , ) ( , )t t t tF t u y F t u y      với 0t t   . Như vậy với 0t t   thì 2 2 0( )( ) ( )( )u t u t    0( ) ( ) (0, )T t T t F  + 2 0 2( ) 2MC t t MC       Suy ra 2( ) đẳng liên tục bên phải tại t0 . Tương tự ta cĩ thể chứng minh 2( ) đẳng liên tục tại mọi t0 0 . * Ta chứng minh 2( )( )t là tập compact tương đối với mỗi 0 t   . Do ( ) (0, )T t F  khơng phụ thuộc vào ( , )u C r và do từ (a-2) ( , ), 0t tF t u y t    , chứa trong tập compact nên ta chỉ cần chứng minh tập các vectơ 0 ( ) ( , ) t s sT t s G s u y ds   , 0 t   , là tập compact tương đối . Thật vậy, lấy 0  và 0 t  thì 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t s s s s t s s t T t s G s u y ds T t s T G s u y ds + T t s G s u y ds                     Từ (b-1) ta cĩ ( ) ( , )s sT G s u y U   với mọi ( , )u C r và 0 s t    . Khi đĩ  ( ) :0 ,V T s x s t x U      là tập compact . Theo định lý giá trị trung bình cho tích phân Bochner ta được 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) t s sT t s T G s u y ds t c V            với ( )c V là bao lồi đĩng của V nên nĩ cũng là tập compact . Và 2( ) ( , ) t s s t T t s G s u y ds MC        . Do đĩ 2( )( )t là tập compact tương đối. Như vậy theo định lý Ascoli 1( ) , 2( ) là tập compact tương đối. Suy ra ( ) cũng là tập compact tương đối . Áp dụng định lý Schauder  cĩ điểm bất động, tức là tồn tại ( , )u C r sao cho ( ) ( )( )u t u t với 0 t   . Nếu ta xác định ( ) ( ) ( ),x t u t y t t     thì từ định nghĩa của  ta thấy x(t) là nghiệm yếu của bài tốn (3.1)- (3.2) ■ Tiếp theo luận văn xét sự tồn tại nghiệm tồn cục. 3.4.Hệ quả 3.4 Giả sử rằng F, G xác định trên [0, ) B và giả thiết của định lý 3.1 được thỏa cho mọi 0  . Giả sử thêm F thỏa các điều kiện sau: (a-3) Với mọi 0  và tất cả :( , )x X  sao cho 0x B ; x liên tục và bị chặn trên [0, ) ; hàm ( , )tt F t x liên tục đều trên [0, ) . Nếu (., ):( , )x b  , b > 0, là nghiệm khơng mở rộng của (3.1)- (3.2) (với 0  ), bị chặn trên [0, )b thì b  . Chứng minh Nếu giả sử b thì từ (a-3) ta suy ra tồn tại lim ( , ) t b x t  . Do đĩ ta cĩ thể mở rộng của (., )x  trên ( , ]b bởi ( ) lim ( , ) t b x b x t  và nĩ liên tục trên [0,b]. Đặt bx  , thì bài tốn (3.1) với điều kiện đầu là  tại b  , cĩ một nghiệm địa phương là (., )x  xác định trên ( , )b   với 0  nào đĩ . Theo (3.3) dễ thấy (., )x  cũng là một nghiệm của bài tốn (3.1) với điều kiện 0x  . Điều này trái với giả thiết . Vậy b  ■ Sau đây là hai bổ đề nĩi về tính duy nhất nghiệm của bài tốn (3.1)-(3.2) . 3.5. Bổ đề 3.5 Giả sử với mỗi  và với mỗi 0  tồn tại hằng số dương 1 2, , ,r C C sao cho: i) 1 2 1 1 2( ) ( , ) ( ) ( , ) BA F t A F t C          . ii) 1 2 2 1 2( , ) ( , ) BG t G t C      . iii) 1 (0) ( ) 1C K A   . với t     và mọi 1 2, [ ]rB   . Khi đĩ nghiệm yếu của bài tốn (3.1)-(3.2) là duy nhất . Chứng minh Giả sử 0  . Do iii) nên gọi 1 0  sao cho 11 ( ) 1C K A     . Khi đĩ ta chọn 0 10    sao cho: 0 0 1 2 0 1 2a C C MC K            . Theo định lý 3.3 ta chỉ cần chứng minh  là ánh xạ co . Thật vậy với 0, ( , )u v C r ta cĩ     0 0 ( )( ) ( )( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) . ( ) ( , ) ( , ) . t t t t t s s s s t s s s s u t v t F t u y F t v y AT t s F s u y F s v y ds AT t s G s u y G s v y ds                           1 1 1 0 2 0 ( ) . ( )B B B + t a t t s s t s s C CC A u v u v ds t s MC u v ds                    1 0 0 1 1 2 0( ) . aK C A u v C C MC K u v                 . Suy ra 1 0 0 1 1 2 0( ) ( ) ( ) au v K C A C C MC K u v                    Vì 1 0 0 1 1 2 0 1( ) 1 2a K C A C C MC K                 Nên  là ánh xạ co trên 0( , )C r . Do đĩ nghiệm yếu xác định duy nhất. 3.6.Bổ đề 3.6 Giả sử với mỗi  và với mỗi 0  tồn tại hằng số dương , 0C  , 0 1  và các hàm số liên tục 1 2, :[0, ) [0, )k k    sao cho: i) 1 2 1 21( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) sup ( ) ( )t t s t A F t x A F t x k t x s x s             ii) 1 2 1 22( , ) ( , ) ( ) sup ( ) ( )t t s t G t x G t x k t x s x s          iii) ( ) , 1,2.ik t Ct i  với t     và tất cả cặp 1 2, :( , ]x x b X   là các hàm liên tục trên [ , ]   và 1 20 0x x B Thì nghiệm yếu của bài tốn (3.1)-(3.2) là duy nhất .(Chứng minh tương tự ) Bây giờ ta giả sử rằng F, G và nửa nhĩm T thỏa các điều kiện thích hợp để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình: (3.12)   0t td x( t ) F( t, x ) Ax(t ) G(t, x ), tdt     (3.13) 0x   Với những điều kiện đĩ ta xem (3.12) như là hệ phương trình vi phân trừu tượng trung hịa (F,G). Một hệ phương trình vi phân trừu tượng trung hịa (F,G) được gọi là w – tuần hồn nếu ( , )F t  và ( , )G t  là w – tuần hồn theo t. Từ đây trở về sau ta sử dụng w là hằng số dương. 3.7. Định nghĩa 3.7 Ta nĩi rằng hàm :x X là một nghiệm w – tuần hồn của (3.12) nếu x(.) là một nghiệm yếu của (3.12) với điều kiện đầu 0x  và ( ) ( )x t w x t  với mọi 0t  . Rõ ràng nếu :x X là hàm sao cho 0x  B ; thu hẹp của x(.) trên [0, )w là liên tục và wx  thì  là w- tuần hồn trên ( ,0] . Ngồi ra nếu hệ phương trình vi phân trung hịa trừu tượng (F, G) là w – tuần hồn và (., )x  là một nghiệm yếu của (3.12)- (3.13) thì điều kiện wx  là đủ để đảm bảo (., )x  là một nghiệm w – tuần hồn của (3.12) . Bởi vì nĩ cĩ tính cần thiết để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hồn của phương trình (3.12). Vì nhận xét trên nên ta cĩ mệnh đề sau: 3.8. Mệnh đề 3.8 Giả sử rằng hệ phương trình vi phân trung hịa trừu tượng (F, G) là w- tuần hồn và nghiệm yếu của (3.12) với điều kiện đầu 0x  xác định trên . Nếu (., )wx   thì x(.) là một nghiệm w- tuần hồn. Gọi E là tập con khác rỗng, đĩng của  sao cho nghiệm yếu (., )x  của (3.12) – (3.13) là duy nhất và xác định trên [0, ]w , với mỗi E . Trong trường hợp này ta xác định :wP E B (., )wx  Nếu hệ phương trình vi phân trung hịa trừu tượng (F, G) là w- tuần hồn thì từ mệnh đề trên ta suy ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tuần hồn của (3.12) là Pw tồn tại điểm bất động. Tuy nhiên để chứng minh Pw cĩ điểm bất động thì tập xác định của Pw là tập lồi đĩng bị chặn. Vì vậy chúng tơi giới thiệu giả định sau: 3.9. Giả định (F, G) Cĩ tập lồi đĩng bị chặn E sao cho với mỗi E bài tốn Cauchy (3.12)- (3.13) cĩ nghiệm yếu duy nhất (., )x  xác định trên ( , ]w , bao đĩng của  (., ):0 ,sx s w E    là bị chặn và chứa trong  và ( )wP E E . Để chứng minh Pw cĩ điểm bất động thì đầu tiên ta đi chứng minh Pw là liên tục. 3.10. Định lý 3.9 Giả sử rằng giả thiết (F, G) xảy ra. Nếu chúng ta giả sử thêm: (a-4) Tồn tại (0,1) sao cho F lấy giá trị trong X và hàm ( )A F liên tục và biến tập đĩng và bị chặn thành tập bị chặn. (a-5)Với mỗi r > 0 và mỗi E ; ánh xạ : ( , ) ([0, ]; )F C w r C w X  cho bởi ( )( ) ( , ( ) )tF u t F t u W t    là hồn tồn liên tục. (b-2) Ánh xạ G biến tập bị chặn, đĩng thành tập bị chặn và với mỗi tập đĩng bị chặn B và mỗi t > 0 tồn tại tập compact Wt của X sao cho ( ) ( , ) tT t G s W  với mọi  B và 0 s w  . Khi đĩ ánh xạ :wP E B, (., )wx  liên tục. Chứng minh Chúng ta bắt đầu chỉ ra rằng với mỗi tập compact tương đối B trong B thì ( ) B F   là tập compact tương đối trong ([0, ]; )C w X . Thật vậy, từ tính liên tục của F và tính compact của [0, w] ta cĩ: Với mỗi 0  , và mỗi  tồn tại 0   sao cho: 0 sup ( , ) ( , ) t w F t F t       với mọi   sao cho B     . Vì ( , )u C w r nên ta cĩ: 1( ) ( ) ( )( ) B BBt tu W t u W t W t C             với mọi 0 t w  và hằng số chắc chắn C1 . Nên tồn tại ( ) 0   sao cho 0 sup ( , ( ) ) ( , ( ) )t t t w F t u W t F t u W t          . với ( )B     . Hay chúng ta cĩ: ( ) ( )F u F u     với mọi ( , )u C w r và ( )B     . Vì B là compact tương đối nên tồn tại 1 2, ,..., n   sao cho : ( ) 1 [ ]i n i i B B   . Với mọi B 000 ( ): [ ]i ii B    0 0( )B i i       0 ( ) ( )iF u F u     0( ) [ ( )]iF u B F u     , với mọi ( , )u C w r . 1 ( , ) ( ) [ ( )]i n B i u C w r F B F u           . Mà [ ( )] [0] ( )B F u B F u      nên ta cĩ: 1 ( ) ( ) [0]i n B i F F B         . Do (a-5) nên ta suy ra 1 ( )i n i F   là tập compact tương đối và  > 0 tùy ý nên ( ) B F   là tập compact tương đối trong ([0, ]; )C w X . Bây giờ ta chứng minh nếu( )n n là dãy trong E hội tụ tới  thì nwP  hội tụ tới wP  . Đặt (., )n nx x  . Đầu tiên ta sẽ chỉ ra rằng tập  :nx n là tập compact tương đối trong ([0, ]; )C w X . Thật vậy : Vì ( ) ( ) ( , )n n ntx t z t F t x  trong đĩ : với 0 t w  0 0 ( ) ( ) (0) (0, ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t n n n n n s sz t T t F AT t s F s x ds T t s G s x ds           Theo giả định (F, G) tập  :0 ,ntx t w n   bị chặn . Theo định lý 3.3 ta cĩ  (.):nz n là tập compact tương đối trong ([0, ]; )C w X . Hơn nữa do  :0 ,ntx t w n   bị chặn nên tồn tại r > 0 sao cho:  ( , ), ( )nnt n F t x n F      . Do ( ) B F   là tập compact tương đối trong ([0, ]; )C w X nên suy ra  ( , ),ntF t x n là tập compact tương đối trong ([0, ]; )C w X . Vì vậy ta cĩ thể tìm dãy con của dãy (.)nx mà ta cĩ thể kí hiệu cùng một chỉ số sao cho dãy con đĩ hội tụ tới ([0, ]; )u C w X . Chúng ta định nghĩa hàm u xác định trên ( , ]w bởi ( ) ( )u    với 0  và ( ) ( )u t u t , với 0 t w  . Theo tiên đề khơng gian pha  ( )sup ( ) ( ) ,0Bn nt tx u K t x s u s s t     Mà n nx u , 0 t w  nên suy ra n nt tx u  . Từ 0 ( ) ( ) (0) (0, ._.