Sự hội tụ của dãy các tập hợp Iđêan nguyên tố liên kết

ướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô trong tổ Đại Số, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học. Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT CưMgar đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học. Sau cùng chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tp. Hồ Chí Minh, năm 2011 Tống Văn Thành i Mục lục Lời Cảm Ơn i Bảng kí hiệu iv Mở Đầu 1 1 Kiến thức cơ bản 3 1.1 Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . 6 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Biến đổi iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Số chiều, chiều cao và hạng số học . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Vành Rees và grI(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết 22 2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết . 22 ii iii 2.2 Sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên vành phân bậc tiêu chuẩn dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Áp dụng đối với dãy (Ass(N/InN))n và (Ass(I nN/In+1N))n 46 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 54 Bảng kí hiệu N : Tập hợp các số nguyên dương N0 : Tập hợp các số nguyên không âm Z : Tập hợp các số nguyên Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R Ass(M) : Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M Supp(M) : Giá của môđun M E(M) : Bao nội xạ của môđun M H iI(M) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo I DI(M) : Biến đổi iđêan của môđun M tương ứng với iđêan I ht(P ) : Chiều cao của iđêan nguyên tố P ara(I) : Hạng số học của iđêan I ∗Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R gr(R) : Vành phân bậc liên kết của R R(I) : Vành Rees của I Proj(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R mà không chứa iđêan irrelevant reg(M) : Chỉ số chính quy Castelnuovo của M iv Mở Đầu Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass là một kết quả khá nổi tiếng được nhà toán học M.Brodmann đưa ra lần đầu tiên trong [4] vào năm 1979. Nếu I là một iđêan của một vành Noether giao hoán A, thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết Ass(A/In) của lũy thừa thứ n của I là không đổi với mọi n đủ lớn. Giả sử dãy (Ass(A/In))n∈N có các giá trị cuối không đổi, kí hiệu là Ass∗(I), nhà toán học S.McAdam và P.Eakin đã đưa ra một số trường hợp mà bảo đảm rằng một iđêan nguyên tố P của A là nằm trong Ass∗(I). Một câu hỏi được đặt ra: "Cho một iđêan nguyên tố P của A, P ∈ Ass∗(I), có thể xác định được một số nguyên nP thỏa mãn tính chất rằng P ∈ Ass(A/In) với mọi n > nP hay không?". Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của các môđun phân bậc hữu hạn sinh trên một vành Noether giao hoán phân bậc tiêu chuẩn dương, những kết quả này sau đó được áp dụng để trả lời cho câu hỏi ở trên. 1 2Cụ thể luận văn chia làm 2 chương: Chương 1. Kiến thức cơ bản. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất về địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết và giá, iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ, môđun đối đồng điều địa phương, biến đổi iđêan, số chiều, chiều cao và hạng số học, vành và môđun phân bậc, vành Rees và grI(R) mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2. Chương 2. Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết. Trong chương này, chúng tôi đi chỉ ra rằng với n lớn thì Ass(A/In) là không đổi, đưa ra một số trường hợp để một iđêan nguyên tố P của A là nằm trong Ass∗(I) và đưa ra một kết quả khá thú vị liên quan đến Ass∗(I) − Bss∗(I) đó là một iđêan nguyên tố trong Ass∗(I) − Bss∗(I) phải là ước nguyên tố của không. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên một vành Noether phân bậc tiêu chuẩn dương. Sau đó áp dụng các kết quả trên để đưa ra một số kết quả về sự hội tụ của các dãy (Ass(N/InN))n∈N và (Ass(InN/In+1N))n∈N0, trong đó N là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether giao hoán A và I là một iđêan của A. Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực có hạn nên luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sự thông cảm và góp ý sâu sắc của quý Thầy Cô để luận văn này hoàn chỉnh hơn. Chương 1 Kiến thức cơ bản Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và mệnh đề mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2. Các kết quả trong phần này hầu hết không chứng minh, độc giả có thể tham khảo ở một số tài liệu [1], [2], [5], [6], [7], [9], [10]. 1.1 Địa phương hóa Cho tập con nhân S của một vành R. Trên tập R × S ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi ∼ như sau: Với mọi (a, s), (a′, s′) ∈ R× S (a, s) ∼ (a′, s′) ⇔ ∃t ∈ S : (as′ − a′s)t = 0 Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên R× S. Ta kí hiệu tập thương (R × S)/ ∼ là S−1R và lớp tương đương của phần tử (a, s) là a/s. 3 4Định nghĩa 1.1.1. Tập S−1R cùng với hai qui tắc sau: Với mọi a s , b t ∈ S−1R a s + b t = at+ bs st a s . b t = ab st là một vành. Vành S−1R được gọi là vành các thương của vành R theo tập con nhân S Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R. Tập S = R\P là tập con nhân của R. Trong trường hợp này vành các thương S−1R kí hiệu là RP . Mệnh đề 1.1.2. Vành RP là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là S−1P . Vành địa phương RP được gọi là địa phương hóa của vành R theo iđêan nguyên tố P . 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành và M là một R - môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈M, (x 6= 0) : P = ann(x). Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là: Ass(M) hoặc AssR(M). Cho I là một iđêan của R, iđêan nguyên tố liên kết của R−môđun R/I được gọi là ước nguyên tố của I. Ta nói a ∈ R là một ước của không đối với M nếu tồn tại x ∈M, (x 6= 0) sao cho ax = 0. Tập hợp các iđêan nguyên tố P của R sao cho MP 6= 0 được gọi là giá của môđun M, kí hiệu là Supp(M) 5Supp(M) = {P ∈ Spec(R)|MP 6= 0}. MP = S −1M là môđun các thương của R - môđun M theo S = R \ P Mệnh đề 1.2.2. Cho R là một vành, M là một R - môđun, P là iđêan nguyên tố của R. Khi đó, P là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu và chỉ nếu tồn tại một đồng cấu R - môđun nội xạ từ R/P vào M . Do đó, nếu N là môđun con của M thì Ass(N) ⊆ Ass(M). Mệnh đề 1.2.3. Cho I là một iđêan bất kì của R. Đặt V (I) = {P ∈ Spec(R)|I ⊂ P} (i) Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì Supp(M) = V (ann(M)). (ii) Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì Supp(R/I) = V (I). Mệnh đề 1.2.4. Cho R là vành Noether, M là R - môđun khác 0. (i) Phần tử tối đại của F = {ann(x)|0 6= x ∈M} là một iđêan nguyên tố liên kết của M, đặc biệt Ass(M) 6= ∅ (ii) Tập các ước của không đối với M là hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M. Mệnh đề 1.2.5. Cho R là vành và M, N, P là các R - môđun. Nếu dãy sau đây là khớp 0 →M → N → P → 0 thì ta có các kết quả sau: (i) Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪ Ass(P ). (ii) Supp(N) = Supp(M) ∪ Supp(P ). 6Mệnh đề 1.2.6. Cho R là một vành Noether, M là một R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó ⋂ P∈Ass(M) P = √ ann(M) Mệnh đề 1.2.7. ChoM là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R và P là một iđêan của R. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) P ∈ Supp(M). (ii) P ⊇ P ′ với P ′ ∈ Ass(M). (iii) P ⊇ ann(M). Mệnh đề 1.2.8. Cho R là vành Noether, M là một R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có các kết quả sau: (i) Ass(M) là tập hữu hạn. (ii) Ass(M) ⊂ Supp(M). (iii) Tập hợp các phần tử tối tiểu của Ass(M) và Supp(M) giống nhau. 1.3 Iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ Định nghĩa 1.3.1. Một iđêan thực sự Q của vành R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu với mọi x, y ∈ R sao cho xy ∈ Q thì hoặc x ∈ Q hoặc yn ∈ Q với n ≥ 1. Một cách tương đương ta có thể nói iđêan Q của một vành R là nguyên sơ khi và chỉ khi R/Q 6= 0 và mọi ước của không trong vành thương R/Q đều là lũy linh. Nếu Q là iđêan nguyên sơ và P = √ Q thì ta gọi Q là P - nguyên sơ 7Mệnh đề 1.3.2. Cho Q và I là hai iđêan của vành R, I ⊂ Q. Khi đó Q nguyên sơ khi và chỉ khi Q/I nguyên sơ trong vành thương R/I. Mệnh đề 1.3.3. Nếu Q là một iđêan nguyên sơ của vành R thì P = √ Q là một iđêan nguyên tố, đó là iđêan nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả các iđêan nguyên tố của R mà chứa Q. Mệnh đề 1.3.4. Cho R là vành Noether, M và Q là hai iđêan của R, trong đó M tối đại. Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) Q là M - nguyên sơ. (ii) √ Q = M . (iii) Tồn tại n ≥ 1 sao cho Mn ⊂ Q ⊂M . Mệnh đề 1.3.5. Nếu Q1, ..., Qn là các iđêan P - nguyên sơ thì iđêan Q = Q1 ∩ ... ∩Qn cũng là P - nguyên sơ. Mệnh đề 1.3.6. Giả sử Q là iđêan P - nguyên sơ của vành R, với x ∈ R. Khi đó ta có: (i) Nếu x /∈ Q thì (Q : 〈x〉) cũng là iđêan P - nguyên sơ. (ii) Nếu x ∈ Q thì (Q : 〈x〉) = R. Định nghĩa 1.3.7. Một iđêan I của vành R được gọi là có sự phân tích nguyên sơ nếu có hữu hạn iđêan Q1, ..., Qn của R sao cho: (i) Q1, ..., Qn là các iđêan nguyên sơ. (ii) I = Q1 ∩ ... ∩Qn. 8Mệnh đề 1.3.8. (Lasker - Noether). Trong một vành Noether mọi iđêan đều có sự phân tích nguyên sơ. 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Trong phần này, vành R được xem là vành Noether giao hoán và I là một iđêan của R. Chúng tôi chỉ nêu một số tính chất và kết quả của môđun đối đồng điều địa phương, các chứng minh độc giả có thể tham khảo trong [5], [18]. Định nghĩa 1.4.1. Với mỗi R - môđun M, tập ΓI(M) = ⋃ n∈N (0 :M I n) là tập các phần tử của M bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của iđêan I của R. Chú ý rằng ΓI(M) là môđun con của M. Với mỗi đồng cấu R - môđun f : M → N ta có f(ΓIM) ⊆ ΓIN do đó tồn tại đồng cấu ΓI(f) : ΓI(M) → ΓI(N) là thu hẹp của f trên ΓI(M). Nếu g : M → N và h : N → L là các đồng cấu R - môđun và r ∈ R. Khi đó ΓI(h ◦ f) = ΓI(h) ◦ ΓI(f),ΓI(f + g) = ΓI(f) + ΓI(g) ΓI(rf) = rΓI(f) và ΓI(IdM) = IdΓI(M) 9Do đó ΓI trở thành hàm tử hiệp biến, R - tuyến tính từ phạm trù các R - môđun vào chính nó. ΓI còn được gọi là hàm tử I - xoắn. Mệnh đề 1.4.2. Hàm tử I - xoắn ΓI : M(R) → M(R) là hàm tử khớp trái. Ta có: ΓI(M) ∼= lim−→n HomR(R/I n,M) Ta nóiM là I - không xoắn nếu ΓI(M) = 0,M là I - xoắn nếu ΓI(M) = M . Định nghĩa 1.4.3. Với mỗi i ∈ N0, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI được kí hiệu là H iI và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i tương ứng với I. Cho M là một R - môđun, lấy phép giải nội xạ của M : I∗ : 0 I0 I1 ... I i I i+1 ...- d−1 -d 0 - - -d i - sao cho có một đồng cấu R - môđun α : M → I0 sao cho dãy sau khớp: 0 M I0 I1 ... I i I i+1 ...- - α -d 0 - - -d i - Tác động hàm tử ΓI lên phức I ∗ ta được: 0 ΓI(I 0) ΓI(I 1) ... ΓI(I i) ΓI(I i+1) ...- ΓI(d−1) -ΓI(d 0) - - -ΓI(d i) - Môđun đối đồng điều thứ i của phức trên: H iI(M) = ker(ΓI(d i))/Im(ΓI(d i−1)) Vì ΓI là hiệp biến và R - tuyến tính, nên mỗi hàm tử đối đồng điều địa phương H iI(i ∈ N0) cũng hiệp biến và R - tuyến tính. ΓI là hàm tử khớp trái nên tương đương tự nhiên với H0I và ta đồng nhất hai hàm tử này. 10 Mệnh đề 1.4.4. Dãy khớp ngắn các R - môđun và R - đồng cấu 0 M ′ M M ′′ 0- - f -g - cảm sinh dãy khớp dài 0 → H0I (M ′) H0I (M) H0I (M ′′) H1I (M ′) H1I (M) → ... ...→ H iI(M ′) H iI(M) H iI(M ′′) → ... -H 0 I (f) -H 0 I (g) - -H 1 I (f) -H i I(f) -H i I(g) Định nghĩa 1.4.5. Với mỗi R - môđun M và với mỗi i ∈ N0 ta có: H iI(M) ∼= lim−→n Ext i R(R/I n,M) và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan I. Mệnh đề 1.4.6. Cho I, J là hai iđêan của R sao cho √ I = √ J . Khi đó H iI = H i J , với mọi i ∈ N0, do đó H iI(M) = H iJ(M) với mỗi R - môđun M và với mọi i ∈ N0. Mệnh đề 1.4.7. Cho M là một R - môđun (i) Nếu I chứa một phần tử không là ước của không đối với M, khi đó M là I - không xoắn, tức là ΓI(M) = 0. (ii) Giả sử M là hữu hạn sinh, khi đó M là I - không xoắn khi và chỉ khi I chứa một phần tử không là ước của không đối với M. Hệ quả 1.4.8. . (i) Cho M là R - môđun I - xoắn, khi đó H iI(M) = 0 với mọi i > 0. (ii) Với mỗi R - môđun N, ta có H iI(ΓI(N)) = 0 với mọi i > 0. 11 (iii) Với mỗi R - môđun N, toàn cấu tự nhiên pi : N → N/ΓI(N) cảm sinh đẳng cấu H iI(pi) : H i I(N) H i I(N/ΓI(N)) với i > 0 - ∼= Mệnh đề 1.4.9. Cho M là một R - môđun. Khi đó Ass(ΓI(M)) và Ass(M/ΓI(M)) là rời nhau và Ass(M) = Ass(ΓI(M)) ∪ Ass(M/ΓI(M)). Mệnh đề 1.4.10. Với mỗi R - môđun M , môđun M = M/ΓI(M) là I−không xoắn. Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì I chứa một phần tử không là ước của không đối với M . Hơn nữa, với i > 0 môđun đối đồng điều địa phương H iI(M) và H i I(M) là đẳng cấu. 1.5 Biến đổi iđêan Định nghĩa 1.5.1. Cho hàm tử hiệp biến, R - tuyến tính DI := lim−−→ n∈N HomR(I n, •) từ phạm trù các R - môđun M(R) vào chính nó. Gọi DI là hàm tử I - biến đổi, hay biến đổi iđêan theo iđêan I. Với mỗi R - môđun M, ta gọi DI(M) = lim−−→ n∈N HomR(I n,M) là biến đổi iđêan của M tương ứng với I, hay còn gọi là I - biến đổi của M. Với mỗi i ∈ N0,RiDI kí hiệu là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử DI , khi đó ta có sự tương đương tự nhiên của các hàm tử ψI = (ψ i I)i∈N0 : (RiDI)i∈N0 ( lim−−→ n∈N ExtiR(I n, •) ) i∈N0 - ∼= 12 Mệnh đề 1.5.2. . (i) Có các biến đổi tự nhiên của các hàm tử (từ phạm trù các R - môđun M(R) vào chính nó). ξ(= ξI) : ΓI → Id, η(= ηI) : Id→ DI , ς0(= ς0I ) : DI → H1I sao cho với mỗi R - môđun M thì dãy sau đây là khớp: 0 ΓI(M) M DI(M) H 1 I (M) 0 - -ξM -ηM -ς 0 M - (ii) Với i ∈ N và M là R - môđun. Với mỗi n ∈ N đồng cấu nối βin,M : Ext i R(I n,M) Exti+1R (R/I n,M)- là đẳng cấu và chuyển qua giới hạn thuận ta có R - đẳng cấu βiM : lim−−→ n∈N ExtiR(I n,M) lim−−→ n∈N Exti+1R (R/I n,M)-∼= Xác định γiM : RiDI(M) H i+1I (M)- ∼= . Khi đó ta có sự tương đương tự nhiên các hàm tử γi : RiDI H i+1I- ∼= (iii) Với mỗi R - môđun M có một đơn cấu θM : M/ΓI(M) DI(M)- cảm sinh bởi ηM làm cho dãy 0 M/ΓI(M) DI(M) H 1 I (M) 0 - -θM -ς 0 M - là khớp.Từ dãy khớp 0 ΓI(M) M DI(M) H 1 I (M) 0 - -ξM -ηM -ς 0 M - 13 ta có các kết quả sau: Hệ quả 1.5.3. Cho M là một R - môđun, cho pi : M →M/ΓI(M) là toàn cấu chính tắc. Khi đó, ta có các kết quả sau: (i) DI(ΓI(M)) = 0. (ii) DI(pi) : DI(M) → DI(M/ΓI(M)) là đẳng cấu. (iii) DI(ηM) = ηDI(M) : DI(M) → DI(DI(M)) là đẳng cấu. (iv) ΓI(DI(M)) = 0 = H 1 I (DI(M)). (v) H iI(ηM) : H i I(M) → H iI(DI(M)) là đẳng cấu với mọi i > 1. 1.6 Số chiều, chiều cao và hạng số học Một dãy các môđun con của môđun M là dãy (Mi)0≤i≤n các môđun con của M thỏa M = M0 ⊃M1 ⊃ ... ⊃Mn = 0, chiều dài của dãy là n. Định nghĩa 1.6.1. Số chiều của một vành R, là chiều dài lớn nhất n của dãy P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR. Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố như trên có độ dài vô hạn thì ta kí hiệu dimR = ∞. Định nghĩa 1.6.2. Cho R là một vành khác không và P là một iđêan nguyên tố của R. Chiều cao của một iđêan nguyên tố P là chiều dài lớn nhất n của dãy các iđêan nguyên tố P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn = P , kí hiệu: htP Ta thấy, nếu htP = 0 thì P là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R. Nếu I là iđêan của R, ta định nghĩa chiều cao của I là chiều cao nhỏ nhất 14 của các iđêan nguyên tố chứa I. htI = inf{htP |P ∈ V (I)} Số chiều của vành R cũng có thể được định nghĩa là supremum của chiều cao của tất cả các iđêan nguyên tố của R dimR = sup{htP |P ∈ Spec(R)} Số chiều của R - môđun M , kí hiệu dimM = dim(R/annM) nếu M 6= 0 và dimM = −1 nếu M = 0. Định nghĩa 1.6.3. Hạng số học của I được kí hiệu là ara(I) ara(I) = min{n ∈ N0 : ∃b1, b2, ..., bn ∈ R với √(Rb1 + ...+Rbn) = √I} Đặc biệt ara(0R) = 0 Mệnh đề 1.6.4. Giả sử I được sinh bởi t phần tử. Khi đó, với mỗi R−môđun M, ta có H iI(M) = 0, với mọi i > t Hệ quả 1.6.5. Với mỗi R - môđun M , ta có: H iI(M) = 0 với mọi i > ara(I). 1.7 Vành và môđun phân bậc Định nghĩa 1.7.1. Vành phân bậc là một vành R với sự phân tích thành tổng trực tiếp R = ⊕ i∈ZRi, trong đó Ri là các nhóm con cộng sao cho RiRj ⊂ Ri+j với mọi i, j ∈ Z, do đó R0 là một vành con của R và mỗi Ri 15 là một R0 - môđun. Cho R là một vành phân bậc, đặt R+ = ⊕ i>0Ri thì R+ là một iđêan của R. Cho R là vành phân bậc, một R - môđun phân bậc là một R - môđun M với sự phân tích M = ⊕ i∈ZMi, sao cho RiMj ⊂ Mi+j với mọi i, j ∈ Z. Do đó mỗi Mi là một R0 - môđun, Mi được gọi là thành phần thuần nhất (hay phân bậc) thứ i của M . Phần tử x ∈Mi được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, bậc của x kí hiệu là degx. Một phần tử bất kì x ∈ M được biểu diễn duy nhất x = ∑i xi, với xi ∈ Mi. Phần tử xi được gọi là thành phần thuần nhất của x có bậc là i. Định nghĩa 1.7.2. Cho M,N là các R - môđun phân bậc, một đồng cấu của R - môđun phân bậc là một đồng cấu R - môđun ϕ : M → N sao cho ϕ(Mi) ⊂ Ni, với mọi i ∈ Z và được gọi là đồng cấu thuần nhất. Cho M là một R - môđun phân bậc, một môđun con N của M được gọi là môđun con phân bậc (hay thuần nhất) nếu N được sinh bởi các phần tử thuần nhất của M thuộc vào N . Nói cách khác, N là môđun con phân bậc nếu N là môđun phân bậc và Ni = N ∩Mi,∀i ∈ Z. Hơn nữa, M/N = ⊕ i∈ZMi/Ni cũng là một R - môđun phân bậc. Một R - đại số A là phân bậc nếu thỏa điều kiện AiAj ⊂ Ai+j. Cho I là một iđêan tùy ý của R, thì iđêan phân bậc I∗ là kí hiệu của iđêan sinh bởi tất cả các phần tử thuần nhất a ∈ I. Rõ ràng, I∗ là iđêan phân bậc lớn nhất chứa trong I. Hơn nữa R/I∗ cũng là vành phân bậc. 16 Vành phân bậc R mà là R0 - đại số được sinh bởi R1 được gọi là R0−đại số tiêu chuẩn. Nói chung, nếu R là một R0 - đại số phân bậc sinh bởi các phần tử có bậc dương thì ta nói R là một R0 - đại số phân bậc dương. Mệnh đề 1.7.3. Cho R là một R0 - đại số phân bậc dương và x1, ..., xn là các phần tử thuần nhất có bậc dương. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) x1, ..., xn sinh iđêan m = ⊕∞ i=1Ri. (ii) x1, , , .xn sinh R là một R0 - đại số. Đặc biệt, R là vành Noether nếu và chỉ nếu R0 là vành Noether và R là một R0 - đại số hữu hạn sinh. Định lí 1.7.4. Cho R là vành phân bậc. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) Mỗi iđêan phân bậc của R là hữu hạn sinh. (ii) R là vành Noether. (iii) R0 là vành Noether và R là R0 - đại số hữu hạn sinh. (iv) R0 là vành Noether và S1 = ⊕∞ i=0Ri, S2 = ⊕∞ i=0R−i là R0 - đại số hữu hạn sinh. Bổ đề 1.7.5. Cho R là vành phân bậc. 1. Với mỗi iđêan nguyên tố P , thì iđêan P ∗ cũng là iđêan nguyên tố. 2. Cho M là R - môđun phân bậc. (i) Nếu P ∈ SuppM thì P ∗ ∈ SuppM (ii) Nếu P ∈ AssM thì P là phân bậc. Hơn nữa, P là linh hóa tử của 17 một phần tử thuần nhất. Cho P là một iđêan nguyên tố của R và cho S là tập hợp các phần tử thuần nhất của R không thuộc vào P , thì S là tập đóng nhân, ta đặt M(P ) = MS với bất kì R - môđun phân bậc M . Với x/a ∈ M(P ), x thuần nhất, đặt degx/a = degx− dega Trên M(P ) ta định nghĩa: (M(P ))i = {x/a ∈M(P ) : x thuần nhất , degx/a = i} Dễ thấy rằng, R(P ) là vành phân bậc và M(P ) là một R(P ) - môđun phân bậc, với iđêan nguyên tố phân bậc P của R thì R(P ) và M(P ) được gọi là địa phương hóa thuần nhất của R và M tương ứng theo P . Hơn nữa, iđêan P ∗R(P ) là một iđêan nguyên tố phân bậc trong R(P ) và vành thương R(P )/P ∗R(P ) có tính chất là mỗi phần tử thuần nhất khác không là khả nghịch. Bổ đề 1.7.6. Cho R là một vành phân bậc và I là một iđêan sinh bởi các phần tử có bậc dương. Cho P1, ..., Pn là các iđêan nguyên tố sao cho I * Pi, i = 1, 2, ..., n. Khi đó, tồn tại một phần tử thuần nhất x ∈ I, x /∈ P1 ∪ ... ∪ Pn. Định nghĩa 1.7.7. Giả sử rằng {Rn} là một lọc của vành R, nói cách 18 khác, Rn là các nhóm con cộng sao cho R = R0 ⊇ R1 ⊇ ... ⊇ Rn ⊇ ... với RmRn ⊆ Rm+n, ta gọi R là một vành có lọc. Một môđun có lọc M = M0 ⊇M1 ⊇ ... ⊇Mn ⊇ ... trên vành có lọc R được định nghĩa tương tự. Trong trường hợp này, mỗi Mn là một môđun con và chúng thỏa điều kiện RmMn ⊆Mm+n Nếu I là một iđêan của vành R và M là một R - môđun, đặt tương ứng I - lọc adic của R và của M bởi Rn = I n và Mn = I nM , (lấy I0 = R sao cho M0 = M). Định nghĩa 1.7.8. Nếu {Rn} là một lọc của R, vành phân bậc liên kết của R được định nghĩa: gr(R) = ⊕ n≥0 grn(R) trong đó grn(R) = Rn/Rn+1. Nếu a ∈ Rm và b ∈ Rn, thì a+Rm+1 ∈ Rm/Rm+1 và b+Rn+1 ∈ Rn/Rn+1. Ta có: (a+Rm+1)(b+Rn+1) = ab+Rm+n+1. Vì thế tích của mỗi phần tử của grm(R) và mỗi phần tử của grn(R) sẽ thuộc vào grm+n(R). Nếu a ∈ Rm+1 và b ∈ Rn, thì ab ∈ Rm+n+1. Vậy phép nhân được định nghĩa tốt. Nếu M là một môđun có lọc trên một vành có lọc R, ta đĩnh nghĩa 19 môđun phân bậc liên kết của M là: gr(M) = ⊕ n≥0 grn(M) trong đó grn(M) = Mn/Mn+1. Nếu a ∈ Rm và x ∈Mn, ta định nghĩa phép nhân vô hướng như sau: (a+Rm+1)(x+Mn+1) = ax+Mm+n+1 khi đó (Rm/Rm+1)(Mn/Mn+1) ⊆Mm+n/Mm+n+1. Vì vậy gr(M) là một môđun phân bậc trên một vành phân bậc gr(M). Định nghĩa 1.7.9. Cho M là một R - môđun có lọc với lọc {Mn} và I là một iđêan của R. Ta nói rằng {Mn} là một I - lọc nếu IMn ⊆ Mn+1 với mọi n. Một I - lọc với IMn = Mn+1 với mọi n đủ lớn được gọi là I - ổn định. Chú ý rằng I - lọc adic là I - ổn định. Mệnh đề 1.7.10. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R, giả sử {Mn} là một I - lọc của M . Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i). {Mn} là I - ổn định. (ii). Định nghĩa vành phân bậc R′ và R′ - môđun phân bậc M ′ bởi R′ = ⊕ n≥0 In,M ′ = ⊕ n≥0 Mn thì M ′ là hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.7.11. Nếu {Mn} là một lọc của R - môđun M và N là một môđun con của M . Khi đó ta có lọc cảm sinh trên N và M/N , xác định 20 tương ứng bởi Nn = N ∩Mn và (M/N)n = (Mn +N)/N. Bổ đề 1.7.12. (Bổ đề Artin - Rees) Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R, giả sử M có một I - lọc ổn định {Mn}, trong đó I là iđêan của R. Cho N là một môđun con của M . Khi đó lọc {Nn = N ∩Mn} cảm sinh bởi M trên N cũng là I - ổn định. 1.8 Vành Rees và grI(R) Cho R là một vành, I là một iđêan của R và t là một biến trên R. Xét R[t] là một vành phân bậc, ta đặt R+(R, I) = { ∑ cnt n|cn ∈ In} = ⊕ n Intn Khi đó ta có R+(R, I) là vành phân bậc và R+(R, I) ⊂ R[t]. Nếu I = (a1, ..., ar) thìR+(R, I) có thể được viếtR+(R, I) = R[a1t, ..., art], do đó R+(R, I) là vành Noether nếu R là vành Noether. R+(R, I) có quan hệ với grI(R) := R/I ⊕ I/I2 ⊕ ..., vành phân bậc liên kết của R đối với I như sau: grI(R) = ⊕ n In/In+1 ' R+(R, I)/IR+(R, I). Đặt u = t−1 và xét R[t, u] = R[t, t−1] là một vành phân bậc. Vành Rees của I kí hiệu R(I) là vành phân bậc con được định nghĩa như sau: R(I) = R+(R, I)[u] =  ∑ cnt n | cn ∈ In với n ≥ 0 cn ∈ R với n ≤ 0  ⊂ R[t, t−1] 21 Do đó uR(I) =  ∑ cnt n | cn ∈ In+1 với n ≥ 0 cn ∈ R với n ≤ −1  Khi đó ta có grI(R) = R(I)/uR(I) và R(I)/(1− u)R(I) = R. Chương 2 Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết 2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Cho I là một iđêan của vànhNoether R. Với n ∈ N, đặtA(n) = Ass(R/In), tập hợp các ước nguyên tố của In [12]. Trong phần này, ta đi chỉ ra rằng với n lớn thì A(n) là không đổi. Để làm được điều này, ta đi xét một tập con của A(n), xác định bởi B(n) = {P |P là ước nguyên tố của In−1/In}, ta chỉ ra rằng dãy B(n) là không đổi với n lớn và sau đó liên hệ với A(n). Giả sử dãy A(n) và B(n) có các giá trị cuối không đổi, kí hiệu các giá trị cuối không đổi tương ứng của hai dãy là Ass∗(I) và Bss∗(I), cũng trong phần này ta đưa ra một số trường hợp mà đảm bảo rằng một iđêan nguyên tố là nằm trong Ass∗(I) trước khi chuyển sang kết quả khá thú vị liên quan đến Ass∗(I)−Bss∗(I) đó là một iđêan nguyên tố trong Ass∗(I)−Bss∗(I) phải là ước nguyên tố của không. 22 23 Định nghĩa 2.1.1. Vành phân bậc T = ⊕ n≥0Rn là vành tiêu chuẩn nếu T = R0[R1]. Mệnh đề 2.1.2. . (i) Nếu T = ⊕ n≥0Rn là một vành Noether tiêu chuẩn, khi đó tồn tại t sao cho, với mọi n ≥ t, (0 : R1) ∩Rn = 0. (ii) Nếu I là một iđêan của vành Noether R, khi đó tồn tại t sao cho, với mọi n ≥ t, (In+1 : I) ∩ I t = In. Chứng minh. (i) Giả sử (0 : R1) được sinh bởi các phần tử thuần nhất a1, ..., as. Đặt t = 1 + max{deg ai}. Nếu x ∈ (0 : R1) ∩Rn, với n ≥ t, thì x = ∑ riai, ri thuần nhất , deg ri ≥ 1. Vì vậy, ri ∈ R1T , suy ra riai = 0, suy ra x = 0, ta được điều cần chứng minh. (ii) Xét T = ∑ n≥0 I n/In+1 và t như trên. Giả sử, n ≥ t và x ∈ (In+1 : I)∩I t nhưng x /∈ In. Nếu x ∈ Ik − Ik+1, thì 0 6= x ∈ Rk, trong đó, t ≤ k < n và do xI ⊆ In+1 ⊆ Ik+2, ta có x ∈ (0 : R1) ∩ Rk = 0, mâu thuẫn, ta có điều cần chứng minh. 2 Số t được tìm thấy ở đây sẽ được sử dụng trong các phần sau, lưu ý rằng bất kì số nào lớn hơn t cũng thỏa mãn (i) và (ii). Bổ đề 2.1.3. Cho T = ⊕ n≥0Rn là một vành Noether phân bậc, I là một iđêan phân bậc và c là một phần tử thuần nhất. Cho S là một tập con đóng nhân của R0. Nếu (I : c) ∩ S = ∅, thì tồn tại một phần tử thuần nhất d 24 sao cho (I : dc) là nguyên tố và (I : dc) ∩ S = ∅. Chứng minh. Trong số tất cả các phần tử thuần nhất d′ mà (I : cd′) ∩ S = ∅ chọn d sao cho (I : cd) là tối đại. Ta chỉ ra rằng (I : cd) là nguyên tố. Thật vậy, lấy các phần tử thuần nhất x, y /∈ (I : cd), ta chỉ ra rằng xy /∈ (I : cd). Giả sử ngược lại xy ∈ (I : cd), khi đó (I : cdx) chứa y, suy ra (I : cdx) ⊃ (I : cd), do đó (I : cdx) ∩ S 6= ∅, chọn s ∈ (I : cdx) ∩ S. Mặt khác, (I : cds) chứa x, nên suy ra (I : cds) ⊃ (I : cd). Do đó, ta có thể chọn s′ ∈ (I : cds), suy ra ss′ ∈ (I : cd) ∩ S, mâu thuẫn. Ta được điều cần chứng minh. 2 Mệnh đề 2.1.4. Cho T = ⊕ n≥0Rn là một vành Noether tiêu chuẩn. Khi đó, tồn tại m sao cho AssR0(Rm+l) = AssR0(Rm), với l ≥ 0. Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh rằng C = ⋃ AssR0(Rn) là hữu hạn, thật vậy, theo bổ đề 2.1.3, ta có nếu P ∈ C thì tồn tại P ∗ ∈ AssT (T ), với P ∗ ∩R0 = P , do đó C hữu hạn. Giả sử, P ∈ AssR0(Rn) với n ≥ t và với t như trong mệnh đề 2.1.2 (i). Khi đó, với c ∈ Rn, ta có P = (0 : c) và do n ≥ t, P = (0 : cR1) để cR1 ⊆ Rn+1, P ∈ AssR0(Rn+1). Suy ra AssR0(Rn) ⊆ AssR0(Rn+1) với n lớn và do C là hữu hạn nên ta được điều cần chứng minh. 2 Hệ quả 2.1.5. Dãy (Ass(In/In+1))n∈N0 có các giá trị cuối không đổi. Chứng minh. Áp dụng mệnh đề 2.1.4, đối với vành ∑ n≥0 I n/In+1 ta có điều cần chứng minh. 2 25 Hệ quả 2.1.6. Dãy (Ass(R/In))n∈N có các giá trị cuối không đổi. Chứng minh. Xét dãy khớp 0 → In/In+1 → R/In+1 → R/In → 0 Theo mệnh đề 1.2.5 (i), ta có A(n+ 1) ⊆ A(n) ∪B(n+ 1) Theo hệ quả 2.1.5, với n lớn, ta có B(n+ 1) = B(n) ⊆ A(n) Suy ra A(n+ 1) ⊆ A(n). Ta có điều cần chứng minh. 2 Định nghĩa 2.1.7. Cho J là một iđêan của vành R. Bao đóng nguyên của J kí hiệu là Ĵ được định nghĩa như sau: Ĵ = {x ∈ R|xn + a1xn−1 + ...+ an−1x+ an = 0, với ai ∈ J i} Đặt Â(n) = Ass(R/În), tập các ước nguyên tố của bao đóng nguyên của In [12]. Ta sẽ chỉ ra rằng, dãy Â(n) có các giá trị cuối không đổi, với ht(I) ≥ 1. Trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng vành Rees của I R(I) = R[IX,X−1] = ∑ n∈Z InXn trong đó X là biến và In = R với n ≤ 0. Khi nói đến vành Rees, ta viết u = X−1. Mệnh đề 2.1.8. Nếu ht(I) ≥ 1, thì dãy Â(n) có các giá trị cuối không đổi. 26 Chứng minh. Theo [12, 2.5], ta có nếu P ∈ Â(k) với k nào đó, thì trong R(I), bao đóng nguyên của R(I), tồn tại một ước nguyên tố P ∗ của ukR(I), với P ∗ ∩ R = P . Hơn nữa, u là chính quy trong R(I). Do đó, P ∗ có chiều cao là 1, ht(P ∗ ) = 1 và P ∗ cũng là một ước nguyên tố của uR(I). Suy ra,⋃ Â(k) là hữu hạn do mỗi phần tử của nó là một co của một ước nguyên tố của uR(I). Cũng theo [12, 2.5], nếu P ∈ Â(k) với k nào đó, thì P ∈ Â(n), với mọi n lớn và từ sự hữu hạn của ⋃ Â(k) ta có điều cần chứng minh. 2 Cho I là một iđêan của vành Noether R, ta đã biết, các dãy A(n) và B(n) có các giá trị cuối không đổi, kí hiệu các giá trị cuối không đổi tương ứng của hai dãy là Ass∗(I) và Bss∗(I). Trước khi chuyển sang kết quả chính liên quan đến Ass∗(I) − Bss∗(I), ta đưa ra một số trường hợp mà đảm bảo rằng một iđêan nguyên tố là nằm trong Ass∗(I). Mệnh đề 2.1.9. Cho P là tối tiểu trên I, thì P ∈ Ass∗(I). Hơn nữa, P ∈ Bss∗(I) nếu và chỉ nếu ht(P ) > 0. Chứng minh. Với mọi n, P là tối tiểu trên In. Suy ra, P ∈ Ass∗(I). Bây giờ ta đi chứng minh P ∈ Bss∗(I) nếu và chỉ nếu ht(P ) > 0. Địa phương hóa theo P và có iđêan I là P - nguyên sơ. Ta có, ht(P ) > 0 khi và chỉ khi I không là lũy linh. Hiển nhiên, nếu I là lũy linh thì P /∈ Bss∗(I). Nếu I không là lũy linh thì In/In+1 là một R - môđun khác không và do đó In/In+1 có một ước nguyên tố chứa I. Vì P tối tiểu chứa I, nên ta có điều cần chứng minh. 2 Mệnh đề 2.1.10. Cho Q là một ước nguyên tố của không và P là tối 27 tiểu trên Q + I. Khi đó, P ∈ Ass∗(I). Hay nói cách khác, tồn tại một số nguyên n phụ thuộc vào Q và P nhưng không phụ thuộc vào I sao cho với mọi m ≥ n, P ∈ A(m). Chứng minh. Địa phương hóa theo P . Lấy Q = Q1, Q2, ..., Qr là tất cả các ước nguyên tố của không và cho ⋂ qi, i = 1, ..., r, là một sự phân tích nguyên sơ của không, với qi là Qi - nguyên sơ. Lấy 0 6= x ∈ q2 ∩ ... ∩ qr và chọn n đủ lớn để x /∈ P n. Để chứng minh mệnh đề trên, ta sử dụng kết quả sau: Nếu J là một iđêan, P là tối tiểu trên Q+ J và J ⊆ P n, thì P là một ước nguyên tố của J . Thật vậy, giả sử ngược lại P không phải là ước nguyên tố của J . Cho p là một ước nguyên tố tùy ý của J . Do p 6= P và P là tối tiểu trên Q+J , rõ ràng Q1 = Q * p. Trong Rp, 0 = (q2)p∩ ...∩ (qr)p. Do đó x ∈ ker(R → Rp) và vì thế x nằm trong mỗi iđêan p - nguyên sơ. Mà p là ._.