Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên m-Phu thuộc đôi một theo khối

. . . 5 1.4. KhĂi niằm bà ch°n ngău nhiản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.5. Mởt số khĂi niằm hởi tử cừa cĂc bián ngău nhiản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6. Mởt số bĐt ¯ng thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Chuong 2. Luêt mÔnh số lợn v  sỹ hởi tử trong L 1 cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối . . . . . . . . . . . . .16 2.1. Luêt mÔnh số lợn cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.2. Sỹ hởi tử trong L 1 cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Kát luên 28 T i liằu tham khÊo 29 2Mð Ưu Sỹ hởi tử trong L p ối vợi dÂy cĂc bián ngău nhiản l  mởt khĂi niằm quen thuởc trong lỵ thuyát xĂc suĐt. Nôm 1987, Moricz [5] ữa ra khĂi niằm m-phử thuởc theo khối cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản. V   cõ nhiãu b i bĂo nghiản cựu vã sỹ hởi tử cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc, xem [5] v  [6]. Nôm 1985, Choi v  Sung [4]  thiát lêp sỹ hởi tử trong L 1 cho dÂy cĂc bián ngău nhiản ởc lêp ổi mởt. Sau õ, nôm 2007, Trẳnh Ho i Nam [2]  mð rởng kát quÊ cừa Choi v  Sung [4] án trữớng hủp m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối f [ 2 k ; 2 k+1 ); k  0 g. Trản cỡ sð ồc v  tẳm hiºu t i liằu tham khÊo, chúng tổi nghiản cựu ã t i Sỹ hởi tử cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối. Mửc ẵch chẵnh cừa ã t i l  thiát lêp Luêt mÔnh số lợn v  sỹ hởi trong L 1 cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký. Trong khoĂ luên n y, chúng tổi   thiát lêp ữủc sỹ hởi tử trong L 1 cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký. Khõa luên gỗm 2 chữỡng Chữỡng 1. Kián thực chuân bà Trong chữỡng n y, chúng tổi ữa ra cĂc khĂi niằm vã khổng gian L p , tẵnh ởc lêp, ởc lêp ổi mởt, khĂi niằm vã m-phử thuởc, m-phử thuởc ổi mởt, m-phử thuởc theo khối, m-phử thuởc ổi mởt theo khối, khĂi niằm vã bà ch°n ngău nhiản, mởt số khĂi niằm hởi tử cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản, khĂi niằm vã luêt số lợn. ffiỗng thới chúng tổi ữa ra mởt số bĐt ¯ng thực v  bờ ã thữớng sỷ dửng º chựng minh Luêt mÔnh số lợn. 3Chữỡng 2. Luêt mÔnh số lợn v  sỹ hởi tử trong L 1 cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ffiƠy l  nởi dung chẵnh cừa khoĂ luên, bao gỗm 2 mửc. Mửc 2.1 chúng tổi trẳnh b y Luêt mÔnh số lợn cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký. Kát quÊ chẵnh cừa mửc 2.1  ữủc Vụ Thà Ngồc nh trẳnh b y chi tiát trong [1] nản chúng tổi ch¿ trẳnh b y vưn tưt cĂc bữợc chựng minh. Mửc 2.2 chúng tổi thiát lêp sỹ hởi tử trong L 1 cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký. Kát quÊ chẵnh trong tiát n y mð rởng kát quÊ cừa Trẳnh Ho i Nam [2]. Khõa luên ữủc thỹc hiằn tÔi trữớng ffiÔi hồc Vinh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa ThS. Lả Vôn Th nh. NhƠn dàp n y cho ph²p tĂc giÊ b y tọ lới cÊm ỡn sƠu sưc nhĐt tợi ThS. Lả Vôn Th nh, ngữới thƯy  tên tẳnh hữợng dăn tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn khõa luên. TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn tợi thƯy giĂo PGS.TS. Nguyạn Vôn QuÊng, thƯy giĂo PGS.TS. TrƯn XuƠn Sinh vã sỹ giúp ù trong quĂ trẳnh hồc têp. ffiỗng thới tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn Ban chừ nhiằm Khoa ToĂn, cĂc thƯy cổ giĂo trong Khoa ToĂn  nhiằt tẳnh giÊng dÔy trong thới gian tĂc giÊ hồc têp tÔi Khoa ToĂn. Cuối cũng tĂc giÊ cÊm ỡn tĐt cÊ cĂc bÔn b±, °c biằt l  cĂc bÔn sinh viản trong lợp 46B1 ToĂn  luổn ởng viản tĂc giÊ trong suốt thới gian hồc têp v  ho n th nh khõa luên. M°c dũ  cõ nhiãu cố gưng những vẳ nông lỹc cừa tĂc giÊ cỏn hÔn chá nản khõa luên khổng thº trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt. Vẳ vêy tĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc nhỳng lới ch¿ bÊo quỵ bĂu cừa cĂc thƯy cổ giĂo v  nhỳng gõp ỵ cừa bÔn ồc. Vinh, thĂng 5 nôm 2009 TĂc giÊ 4Chữỡng 1 Kián thực chuân bà Trong to n bở khoĂ luên ta luổn giÊ sỷ ( ;F ; P; ) l  khổng gian xĂc suĐt cố ành. 1.1. Khổng gian L p Vợi p > 0, kỵ hiằu L p l  têp hủp cĂc bián ngău nhiản X (xĂc ành trản ( ;F ; P; )) sao cho EjXj p <1. Khi X 2 L p ; p  1 ta kỵ hiằu chuân bêc p cừa X l  X p =  EjXj p  1 p : 1.2. Tẵnh ởc lêp, ởc lêp ổi mởt 1.2.1. ffiành nghắa. GiÊ sỷ X l  bián ngău nhiản, khi õ F(X) = fX 1 (B) : B 2 B(R)g ữủc gồi l  ff-Ôi số sinh bði X. Hồ hỳu hÔn fF i ; 1  i  n g cĂc ff-Ôi số con cừa F ữủc gồi l  ởc lêp náu P n \ i=1 A i ! = n Y i=1 P (A i ); ối vợi mồi A i 2 F i ( 1  i  n ) bĐt ký. Hồ vổ hÔn fF i ; i 2 I g cĂc ff-Ôi số con cừa F ữủc gồi l  ởc lêp náu mồi hồ con hỳu hÔn cừa nõ ởc lêp. Hồ cĂc bián ngău nhiản fX i ; i 2 I g ữủc gồi l  ởc lêp náu hồ cĂc ff-Ôi số sinh bði chúng fF(X i ); i 2 I g ởc lêp. 5Hồ cĂc bián cố fA i ; i 2 I g ữủc gồi l  ởc lêp náu hồ cĂc bián ngău nhiản fI A i ; i 2 I g ởc lêp. 1.2.2. ffiành nghắa. Hồ cĂc bián ngău nhiản fX i ; i 2 I g ữủc gồi l  ởc lêp ổi mởt náu X i v  X j ởc lêp vợi mồi i 6= j; i; j 2 I. 1.3. Tẵnh m-phử thuởc, m-phử thuởc ổi mởt, m-phử thuởc theo khối, m-phử thuởc ổi mởt theo khối GiÊ sỷ m l  số nguyản khổng Ơm. 1.3.1. ffiành nghắa. Mởt hồ cĂc bián ngău nhiản fX i ; 1  i  n g ữủc gồi l  m-phử thuởc náu n  m+1, ho°c n > m+1 v  hồ fX i ; 1  i  k g ởc lêp vợi hồ fX j ; l  j  n g khi l k > m. Mởt dÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g ữủc gồi l  m-phử thuởc náu hồ fX i ; 1  i  k g ởc lêp vợi hồ fX n ; n  l g khi l k > m. 1.3.2. ffiành nghắa. Mởt hồ cĂc bián ngău nhiản fX i ; 1  i  n g ữủc gồi l  m-phử thuởc ổi mởt náu n  m+1, ho°c n > m+1 v  hai bián ngău nhiản X i v  X j ởc lêp vợi nhau khi j i > m: Mởt dÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g ữủc gồi l  m-phử thuởc ổi mởt náu X i v  X j ởc lêp vợi nhau khi j i > m: 1.3.3. ffiành nghắa. Mởt dÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g ữủc gồi l  m-phử thuởc ổi mởt theo khối náu vợi mội số nguyản khổng Ơm p hồ fX i ; 2 p  i < 2 p+1 g l  m-phử thuởc ổi mởt. 61.3.4. ffiành nghắa. GiÊ sỷ f  k ; k  1 g l  dÂy số nguyản dữỡng tông ng°t vợi  1 = 1, v  °t B k = [  k ;  k+1 ): DÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g ữủc gồi l  m-phử thuởc theo khối ối vợi cĂc khối fB k ; k  1 g náu vợi mội k  1; hồ cĂc bián ngău nhiản fX i ; i 2 B k g l  m-phử thuởc. DÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g ữủc gồi l  m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối fB k ; k  1g náu vợi mội k  1; hồ cĂc bián ngău nhiản fX i ; i 2 B k g l  m-phử thuởc ổi mởt. ffiối vợi f  k ; k  1 g v  fB k ; k  1g nhữ  nõi ð trản chúng ta ữa v o cĂc kỵ hiằu sau Ơy: B (l) = f k 2 N : 2 l  k < 2 l+1 g; l  0; B (l) k = B k \B (l) ; k  1; l  0; I l = f k  1 : B (l) k 6= ; g; l  0; r (l) k = minf r : r 2 B (l) k g; k 2 I l ; l  0; c l = cardI l ; l  0; '(n) = 1 X l=0 c l I B (l) (n); n  1; (n) = max kn '(k); n  1; vợi I B (l) l  h m °c trững cừa têp B (l) ; l  0. Vợi cĂc kỵ hiằu trản ta cõ nhên x²t dữợi Ơy. 1.3.5. Nhên x²t i) S k2I l B (l) k = B (l) : 7ii) Tỗn tÔi k 2 I l º r (l) k = 2 l ; l  0: iii) (n); n  1; l  dÂy số nguyản dữỡng, khổng giÊm. iv) M S l=o S k2I l B (l) k = f k 2 N : 1  k < 2 M+1 g: v) 1  cardB (l) k  cardB (l) = 2 l ; k 2 I l ; l  0: 1.3.6. Nhên x²t i) Náu  k = 2 k1 ; k  1 thẳ (n) = 1; n  1: ii) Náu  k = [q k1 ] vợi k ừ lợn v  q > 1 thẳ (n) = O(1): 1.4. KhĂi niằm bà ch°n ngău nhiản 1.4.1. ffiành nghắa. DÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g ữủc gồi l  bà ch°n ngău nhiản bði bián ngău nhiản X náu tỗn tÔi hơng số D <1 sao cho P (jX n j > t)  DP (jXj > t); t  0; n  1: 1.4.2. Nhên x²t Náu dÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g cũng phƠn phối thẳ nõ bà ch°n ngău nhiản bði bián ngău nhiản X 1 vợi D = 1: 1.5. Mởt số khĂi niằm hởi tử cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản GiÊ sỷ fX n ; n  1 g l  dÂy cĂc bián ngău nhiản cũng xĂc ành trản khổng gian xĂc suĐt ( ; F ; P ). 81.5.1. Sỹ hởi tử theo trung bẳnh DÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g ữủc gồi l  hởi tử theo trung bẳnh bêc p ( 0 < p <1 ) án bián ngău nhiản X (khi n!1) náu E X n X p ! 0; Kỵ hiằu X n L p ! X: 1.5.2. Sỹ hởi tử hƯu chưc chưn DÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g ữủc gồi l  hởi tử hƯu chưc chưn án bián ngău nhiản X (khi n!1) náu P n ! : lim n!1 X n (!) = X(!) o = 1; Kỵ hiằu X n h:c:c ! X; ho°c lim n!1 X n = X h:c:c: 1.5.3. ffiành lỵ [3]. DÂy cĂc bián ngău nhiản fX n ; n  1 g hởi tử hƯu chưc chưn án bián ngău nhiản X khi v  ch¿ khi vợi " > 0 bĐt ký, lim n!1 P sup kn jX k Xj > " ! = 0: Chựng minh. Vợi mội " > 0 v  mội n = 1; 2; ::: °t D n (") = (sup mn jX m Xj > ") = 1 [ m=n jX m Xj > "
: Khi õ D n (") # (khi n tông) v  nD n (") = D n (") = 1 \ m=n jX m Xj  "
: 9Do õ ! 2  lim n!1 jX n Xj = 0  , lim n!1 jX n (!)X(!)j = 0 , 8" > 0; 9n : jX m (!)X(!)j  "; 8m  n , 8k;9n : jX m (!)X(!)j  1 k ; 8m  n , 8k;9n : ! 2 D n (1=k) , ! 2 1 \ k=1 1 [ n=1 D n (1=k): Suy ra  lim n!1 jX n Xj = 0  = 1 \ k=1 1 [ n=1 D n (1=k): Nản X n h:c:c ! X , P 1 \ k=1 1 [ n=1 D n (1=k) ! = 1 , P 1 [ n=1 D n (1=k) ! = 1 8k = 1; 2; ::: , P 1 \ n=1 D n (1=k) ! = 0 8k = 1; 2; ::: , lim n!1 P (D n (1=k)) = 0 8k = 1; 2; ::: , lim n!1 P (D n (")) = 0; (vẳ D n (") #): ffiành lỵ ữủc chựng minh. 10 1.6. Mởt số bĐt ¯ng thực Bờ ã sau Ơy giúp ta chựng minh cĂc ành lỵ ð chữỡng 2. 1.6.1. Bờ ã Toeplitz. Cho a n i ; 1  i  n; n  1 v  x i ; i  1 l  cĂc số thỹc sao cho vợi mồi i cố ành, lim n!1 a n i = 0 v  vợi mồi n ta cõ n P i=1 ja n i j  C < 1: Khi õ, náu lim n!1 x n = 0 thẳ lim n!1 n P i=1 a n i x i = 0; v  náu lim n!1 n P i=1 a n i = 1; lim n!1 x n = x thẳ lim n!1 n P i=1 a n i x i = x: Chựng minh. Náu lim n!1 x n = 0 thẳ vợi mồi " > 0 tỗn tÔi n " sao cho jx n j < C 1 "; vợi mồi n  n " : Do õ vợi n  n " ta cõ n X i=1 a n i x i  n " 1 X i=1 ja n i x i j+ n X i=n " ja n i x i j  n " 1 X i=1 ja n i x i j+ ": Theo giÊ thiát ta suy ra lim n!1 a n i = 0, vợi mồi i = 1; 2; : : : ; n " 1: Do vêy ta cõ lim n!1 n X i=1 a n i x i = 0: Náu lim n!1 n P i=1 a n i = 1; lim n!1 x n = x thẳ tứ kát quÊ trản v  ¯ng thực n X i=1 a n i x i = x n X i=1 a n i + n X i=1 a n i (x i x); ta cụng thu ữủc lim n!1 n P i=1 a n i x i = x: 11 Bờ ã sau Ơy l  mởt kát quÊ nời tiáng, cõ tản l  Bờ ã Kronecker, ữủc sỷ dửng rĐt nhiãu khi chựng minh cĂc ành lỵ dÔng Luêt mÔnh số lợn. 1.6.2. Bờ ã Kronecker [3]. GiÊ sỷ 0 < b n " 1; v  chuội số 1 P n=1 x n b n hởi tử. Khi õ lim n!1 1 b n n X k=1 x k ! = 0: (1.1) Chựng minh. ffi°t y n = x n b n ; n  1; a n = b n b n1 ; n  1; b 0 = 0; S n+1 = n X i=1 y i ; n  1; lim n!1 S n+1 = S: Khi õ lim n!1 1 b n n X k=1 x k ! = lim n!1 1 b n n X k=1 b k (S k+1 S k ) ! = lim n!1 S n+1 1 b n n X k=1 a k S k ! = S lim n!1 1 b n n X k=1 a k S k = S S (Do Bờ ã Toeplitz) = 0: 12 1.6.3. BĐt ¯ng thực Markov. GiÊ sỷ X l  bián ngău nhiản bĐt ký v  0 < p <1: Khi õ náu tỗn tÔi EjXj p thẳ vợi mồi " > 0 bĐt ký, ta cõ P (jXj > ")  EjXj p " p : (1.2) Tham khÊo cĂch chựng minh ành lỵ n y ð t i liằu Nguyạn Vôn QuÊng [3] 1.6.4. Bờ ã. GiÊ sỷ fX n ; n  1 g l  dÂy cĂc bián ngău nhiản v  p > 0. Náu 1 X n=1 EjX n j p <1; (1.3) thẳ X n h:c:c ! 0: (1.4) Chựng minh. Vợi " > 0 bĐt ký v  mồi k  1 ta cõ P sup nk jX n j > " !  1 X n=k P (jX n j > ")  1 " p 1 X n=k EjX n j p (1.5) (Do BĐt ¯ng thực Markov): Tứ (1.3) v  (1.5) ta cõ lim k!1 P sup nk jX n j > " ! = 0, Vêy X n h:c:c ! 0: 1.6.5. Bờ ã. GiÊ sỷ X l  bián ngău nhiản khổng Ơm,  > 0 v  EX <1. Khi õ EX =  1 Z 0 x 1 P (X > x) dx: (1.6) 13 Chựng minh. Ta cõ EX = Z X dP = Z 0 @ 1 Z 0 x 1 I (X>x) dx 1 A dP =  1 Z 0 0 @ x 1 Z I (X>x) dP 1 A dx (Do ffiành lỵ Fubini) =  1 Z 0 x 1 P (X > x) dx: 1.6.6. Bờ ã. GiÊ sỷ fX i ; 1  i  ng l  hồ cĂc bián ngău nhiản, 0 < p  1 v  EjX i j p <1; i = 1; 2; : : : ; n. Khi õ E n X i=1 X i p  n X i=1 EjX i j p : (1.7) 1.6.7. Bờ ã. Cho bián ngău nhiản X v  r > 0. Khi õ 1 X n=1 P  jXj  n 1 r   EjXj r  1 X n=0 P  jXj  n 1 r  : (1.8) Chựng minh. ffi°t Y = 1 X j=1 jI  j X r <j+1  ; Z = 1 X j=0 (j + 1)I  j X r <j+1  : 14 Khi õ ta cõ Y  jXj r  Z, v  do õ EY  EjXj r  EZ: (1.9) M°t khĂc 1 X n=1 P  jXj  n 1 r  = 1 X n=1 1 X j=n P (j  jXj r < j + 1) = 1 X j=1 j X n=1 P (j  jXj r < j + 1) = 1 X j=1 jP (j  jXj r < j + 1) = EY: (1.10) 1 X n=0 P  jXj  n 1 r  = 1 X n=0 1 X j=n P (j  jXj r < j + 1) = 1 X j=0 j X n=0 P (j  jXj r < j + 1) = 1 X j=0 (j + 1)P (j  jXj r < j + 1) = EZ: (1.11) Tứ (1.9), (1.10) v  (1.11) ta thu ữủc (1.8). 15 Khi chựng minh cĂc ành lỵ giợi hÔn nõi chung v  cĂc ành lỵ dÔng luêt mÔnh số lợn nõi riảng, ngữới ta thữớng sỷ dửng bờ ã sau. 1.6.8. Bờ ã Borel-Cantelli. GiÊ sỷ fA n ; n  1 g l  dÂy cĂc bián cố bĐt ký. a) Náu 1 P n=1 P (A n ) <1 thẳ P (lim supA n ) = 0: b)Náu 1 P n=1 P (A n ) =1 v  fA n ; n  1 g ởc lêp thẳ P (lim supA n ) = 1: 1.6.9. BĐt ¯ng thực Rademacher-Menshov. Cho fX n ; n  1 g l  dÂy cĂc bián ngău nhiản trỹc giao. Khi õ vợi n  1 ta cõ E max 1kn k X i=1 X i 2 !  4 log 2 (n+ 1) n X i=1 EX 2 i : 16 Chữỡng 2 Luêt mÔnh số lợn v  sỹ hởi tử trong L 1 cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối Trong chữỡng n y, ta kỵ hiằu C l  mởt hơng số dữỡng, những hơng số õ khổng nhĐt thiát phÊi giống nhau trong cĂc lƯn xuĐt hiằn. Kỵ hiằu log ch¿ logarit cỡ số 2. 2.1. Luêt mÔnh số lợn cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký ffiành lỵ 1 trong [6] thiát lêp luêt mÔnh số lợn cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối f [ 2 k ; 2 k+1 ); k  1 g. Vụ Thà Ngồc nh [1] nôm 2008  mð rởng kát quÊ trong [6] cho cĂc khối bĐt ký. Trong mửc n y, chúng tổi trẳnh b y lÔi mởt cĂch vưn tưt cĂc bữợc chựng minh kát quÊ cừa Vụ Thà Ngồc nh trong [1]. Bờ ã sau Ơy l  mởt trong nhỳng cổng cử chừ yáu º chựng minh ffiành lỵ 2.1.2. 2.1.1. Bờ ã. GiÊ sỷ fX i ; 1  i  n g l  hồ cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt thọa mÂn EX i = 0; 1  i  n; thẳ E max 1kn k X i=1 X i ! 2  C(m+ 1)(log 2n) 2 n X i=1 EX 2 i : 17 Chựng minh. Náu n  m + 1 Bờ ã 2.1.1 hiºn nhiản úng. Ta chựng minh Bờ ã 2.1.1 trong trữớng hủp n > m+ 1: Vợi n > m+ 1; ta cõ E max 1kn k X i=1 X i ! 2  E 0 @ m+1 X j=1 max 0k(m+1)nj k X i=0 X i(m+1)+j 1 A 2  (m+ 1) m+1 X j=1 E max 0k(m+1)nj k X i=0 X i(m+1)+j ! 2  C(m+ 1) log 2 (n+ 1) m+1 X j=1 X 0i(m+1)nj EX 2 i(m+1)+j (Do BĐt ¯ng thực Redemacher-Menshov v  n j m+ 1  n; j = 1; 2; : : : ;m+ 1)  C(m+ 1)(log 2n) 2 n X i=1 EX 2 i : ffiành lỵ 2.1.2. Cho fX n ; n  1 g l  dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối fB k ; k  1 g. GiÊ sỷ fX n ; n  1 g bà ch°n ngău nhiản bði bián ngău nhiản X. Náu E(jXj r (log + jXj) 2 ) <1; ( 1  r < 2 ); (2.1) thẳ lim n!1 1 n 1 r 1 2 (n) n X j=1 (X j EX j ) = 0 h:c:c: (2.2) Chựng minh. ffi°t Y n = X n I (jX n jn 1 r ) ; n  1; 18 T (l) k = max j2B (l) k j X i=r (l) k (Y i EY i ) ; k 2 I l ; l  0; fi l = 1  2 l+1 r 2 l r  1 2 (2 l ) X k2I l T (l) k ; l  0: Ph²p chựng minh (2.2) ữủc trẳnh b y vưn tưt theo cĂc bữợc nhữ sau Ơy. Ph²p chựng minh chi tiát cõ thº tẳm ồc ð [1]. Bữợc 1: Tứ (2.1) ta chựng minh ữủc 1 X n=1 log 2 n n 2 r EY 2 n <1: (2.3) Theo cĂch °t fi l nhữ ð trản, (2.3) s³ k²o theo 1 X l=1 Efi 2 l <1: Tứ õ, Ăp dửng Bờ ã 1.6.4 ta cõ lim l!1 fi l = 0 h:c:c: Vợi n  1, giÊ sỷ M  1 thọa mÂn 2 M  n < 2 M+1 ta cõ n P i=1 (Y i EY i ) n 1 r 1 2 (n)  max 1j<2 M+1 j P i=1 (Y i EY i ) 2 M r 1 2 (2 M )  1 2 M r 1 2 (2 M ) M X l=0 X k2I l T (l) k (Do nhên x²t 1.3.5)  M X l=0 2 l+1 r 2 l r 2 M r fi l : (2.4) 19 Theo Bờ ã Toeplitz ta cõ lim M!1 M X l=0 2 l+1 r 2 l r 2 M r fi l = 0 h:c:c: (2.5) Kát hủp (2.4) v  (2.5) ta cõ lim n!1 1 n 1 r 1 2 (n) n X i=1 (Y i EY i ) = 0 h:c:c: (2.6) Bữợc 2: Tứ iãu kiằn EjXj r <1 (suy tứ (2.1)) ta suy ra 1 X n=1 P (X n 6= Y n ) <1: ffiiãu n y k²o theo lim n!1 1 n 1 r 1 2 (n) n X j=1 (X j Y j ) = 0 h:c:c: (2.7) Bữợc 3: Tứ (2.1) ta cụng chựng minh ữủc 1 X n=1 1 n 1 r E(X n Y n ) <1 vợi 1  r < 2: Do õ, theo Bờ ã Kronecker ta suy ra lim n!1 1 n 1 r n X j=1 E(X j Y j ) = 0: Do õ ta cụng cõ lim n!1 1 n 1 r 1 2 (n) n X j=1 E(X j Y j ) = 0: (2.8) Tứ (2.6), (2.7) v  (2.8) ta suy ra (2.2) 20 Tứ Nhên x²t 1.3.6 ta cõ hằ quÊ sau Hằ quÊ 2.1.3. Cho fX n ; n  1 g l  dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối fB k ; k  1 g vợi  k = 2 k ; k  1 (ho°c tờng quĂt hỡn vợi  k = [q k1 ] vợi k ừ lợn v  q > 1). GiÊ sỷ fX n ; n  1 g bà ch°n ngău nhiản bði bián ngău nhiản X. Náu E(jXj r (log + jXj) 2 ) <1; ( 1  r < 2 ); thẳ lim n!1 1 n 1 r n X i=1 (X i EX i ) = 0 h:c:c: 21 2.2. Sỹ hởi tử trong L 1 cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký Trong tiát n y chúng tổi s³ thiát lêp sỹ hởi tử trong L 1 cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký, kát quÊ n y mð rởng kát quÊ cừa Trẳnh Ho i Nam [2]. Kát quÊ chẵnh trong mửc n y l  ffiành lỵ 2.2.1. ffiành lỵ 2.2.1. Cho fX n ; n  1 g l  dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối fB k ; k  1 g. GiÊ sỷ fX n ; n  1 g bà ch°n ngău nhiản bði bián ngău nhiản X v  E(jXj r ) <1 vợi 1 < r < 2. Khi õ n P i=1 (X i EX i ) n 1 r 1 2 (n) ! 0 trong L 1 khi n!1: (2.9) Chựng minh. ffi°t Y n = X n I (jX n jn 1 r ) ; n  1 Z n = X n I (jX n j>n 1 r ) ; n  1; T (l) k = X i2B (l) k (Y i EY i ) ; k 2 I l ; l  0; fi l = 1  2 l+1 r 2 l r  1 2 (2 l ) X k2I l T (l) k ; l  0: Vợi n  1 ta cõ EY 2 n = 2 1 Z 0 xP  jX n jI (jX n jn 1 r ) > x  dx 22 = 2 n 1 r Z 0 xP  jX n jI (jX n jn 1 r ) > x  dx + 2 1 Z n 1 r xP  jX n jI (jX n jn 1 r ) > x  dx = 2 n 1 r Z 0 xP  jX n jI (jX n jn 1 r ) > x  dx (Vẳ P  jX n jI (jX n jn 1 r ) > x  = 0 vợi x 2 [n 1 r ;1))  2 n 1 r Z 0 xP (jX n j > x) dx (Vẳ  jX n jI (jX n jn 1 r ) > x   jX n j > x
): Ta cõ 1 X i=1 EY 2 i i 2 r  1 X i=1 1 i 2 r i 1 r Z 0 2xP (jX i j > x) dx  2 1 X i=1 1 i 2 r i 1 r Z 0 xP (jX i j > x) dx  C 1 X i=1 1 i 2 r i X n=1 n 1 r Z (n1) 1 r xP (jXj > x) dx = C 1 X n=1 1 X i=n 1 i 2 r n 1 r Z (n1) 1 r xP (jXj > x) dx  C 1 X n=1 n r2 r n 1 r Z (n1) 1 r xP (jXj > x) dx (Vẳ 1 X i=n 1 i 2 r = O  n r2 r  ; i  2) 23  C 1 X n=1 n 1 r Z (n1) 1 r x r1 P (jXj > x) dx  C 1 X n=1 P (jXj r > j)  CE(jXj r <1: (2.10) Vợi l  0 ta cõ Efi 2 l  C 1 2 2(l+1) r (2 l ) c l X k2I l E(T (l) k ) 2  C 1 2 2(l+1) r X k2I l X i2B (l) k EjY i EY i j 2  C 1 2 2(l+1) r X k2I l X i2B (l) k EjY i EY i j 2 = C 1 2 2(l+1) r 2 l+1 1 X i=2 l EjY i EY i j 2  C 2 l+1 1 X i=2 l 1 i 2 r EY 2 i : (2.11) Tứ (2.10) v  (2.11) ta cõ 1 X l=1 Efi 2 l  C 1 X i=2 1 i 2 r EY 2 i  C 1 X i=2 1 i 2 r EY 2 i <1: Tực l  chuội vổ hÔn ð vá trĂi hởi tử. ffiiãu n y k²o theo Efi 2 l ! 0 khi l!1: Do õ Ejfi l j ! 0 khi l!1; (vẳ Ejfi l j  (Efi 2 l ) 1=2 ): 24 Theo Bờ ã Toeplitz, ta thu ữủc 2 p r 1 2 (2 p ) p1 X i=0  2 i+1 r 2 i r  Ejfi i j ! 0 khi p!1: Nản ta cõ E 2 p r 1 2 (2 p ) p1 X i=0  2 i+1 r 2 i r  fi i ! 0 khi p!1: Tứ õ ta suy ra 2 p r 1 2 (2 p ) p1 X i=0  2 i+1 r 2 i r  fi i ! 0 trong L 1 khi p!1: Vợi 2 p  n < 2 p+1 ta cõ n 1 r 1 2 (n)E n X i=1 (Y i EY i )  n 1 r 1 2 (n)E 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + n 1 r 1 2 (n)E n X i=2 p (Y i EY i )  n 1 r 1 2 (n) E 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + n 1 r 1 2 (n)E n X i=2 p Y i EY i !  C2 p1 r 1 2 (2 p ) 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + n 1 r 1 2 (n) v u u t E n X i=2 p Y i EY i ! 2  C2 p1 r 1 2 (2 p ) 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + n 1 r 1 2 (n) v u u t E 2 p+1 1 X i=2 p jY i EY i j ! 2 = C2 p r 1 2 (2 p ) 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + n 1 r 1 2 (n) v u u u t E X j2I p X i2B (p) j Y i EY i ! 2  C2 p r 1 2 (2 p ) 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + n 1 r 1 2 (n) v u u u t c p X j2I p E  X i2B (p) j Y i EY i  2 ! 25 = C2 p r 1 2 (2 p ) 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + n 1 r v u u u t X j2I p E X i2B (p) j Y i EY i ! 2  C2 p r 1 2 (2 p ) 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + p m+ 1 v u u t n 2 r X j2I p X i2B (p) j EjY i EY i j 2 (Do 2.1.1.) = C2 p r 1 2 (2 p ) 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + p m+ 1 s n 2 r X i2B (p) EjY i EY i j 2 = C2 p r 1 2 (2 p ) 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + p m+ 1 s n 2 r X i2B (p) EY 2 i = C2 p r 1 2 (2 p ) 2 p 1 X i=1 (Y i EY i ) + 2 p m+ 1 v u u t 2 p+1 1 X i=2 p EY 2 i i 2 r ! 0 khi n!1: Tứ õ ta suy ra n 1 r 1 2 (n) n X i=1 Y i EY i
! 0 trong L 1 khi n!1: (2.12) Ká tiáp, ta cõ 1 X i=1 EjZ i j i 1 r  1 X i=1 1 i 1 r 1 Z i 1 r PfjX i j > xg dx  C 1 X i=1 1 i 1 r 1 Z i 1 r PfjXj > xg dx = C 1 X i=1 1 i 1 r 1 X n=i (n+1) 1 r Z n 1 r PfjXj > xg dx = C 1 X n=1 n X i=1 1 i 1 r (n+1) 1 r Z n 1 r PfjXj > xg dx 26  C 1 X n=1 n 1 1 r (n+1) 1 r Z n 1 r PfjXj > xg dx  C 1 X n=1 PfjXj r > xg  CEjXj r <1: Tứ õ v  Bờ ã Kronecker ta suy ra 1 n 1 r n X i=1 EjZ i j ! 0 khi n!1: Do õ E  1 n 1 r n X i=1 jZ i j  ! 0 khi n!1: Nản ta suy ra 1 n 1 r n X i=1 jZ i j ! 0 trong L 1 khi n!1: Do vêy 0  1 n 1 r 1 2 (n) E n X i=1 (Z i EZ i )  1 n 1 r E n X i=1 (Z i EZ i )  1 n 1 r n X i=1 EjZ i EZ i j  2 n 1 r n X i=1 EjZ i j ! 0 khi n!1: ffiiãu n y k²o theo 1 n 1 r 1 2 (n) n X i=1  Z i EZ i  ! 0 trong L 1 khi n!1: (2.13) Kát hủp (2.12) v  (2.13) v  chú ỵ X i = Y i + Z i ta thu ữủc iãu phÊi chựng minh. 27 Tứ Nhên x²t 1.3.6 ta cõ hằ quÊ sau, hằ quÊ n y l  kát quÊ cừa Trẳnh Ho i Nam [2]. Hằ quÊ 2.2.2. GiÊ sỷ fX n ; n  1 g l  dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc ổi mởt theo khối ối vợi cĂc khối fB k ; k  1 g vợi  k = 2 k ; k  1 (ho°c tờng quĂt hỡn vợi  k = [q k1 ] vợi k ừ lợn v  q > 1). GiÊ sỷ fX n ; n  1 g bà ch°n ngău nhiản bði bián ngău nhiản X v  E(jXj r ) <1 vợi 1 < r < 2. Khi õ n P i=1 (X i EX i ) n 1 r ! 0 trong L 1 khi n!1: Bði vẳ ởc lêp ổi mởt l  mởt trữớng hủp riảng cừa m-phử thuởc ổi mởt theo khối nản ta thu ữủc hằ quÊ sau Ơy. ffiƠy chẵnh l  kát quÊ cừa Choi v  Sung [4]. Hằ quÊ 2.2.3. Cho fX n ; n  1 g l  dÂy cĂc bián ngău nhiản ởc lêp ổi mởt, bà ch°n ngău nhiản bði bián ngău nhiản X v  E(jXj r ) < 1 vợi 1 < r < 2. Khi õ n P i=1 (X i EX i ) n 1 r ! 0 trong L 1 khi n!1: 28 Kát Luên 1. Kát quÊ  Ôt ữủc KhoĂ luên thiát lêp ữủc sỹ hởi tử trong L 1 ối vợi cĂc bián ngău nhiản m-phử thuởc theo khối ối vợi cĂc khối bĐt ký. CĂc kát quÊ n y mð rởng cĂc quÊ cừa Trẳnh Ho i Nam trong [2] v  kát quÊ cừa Choi v  Sung trong [4]. 2. Hữợng phĂt triºn khoĂ luên Tẳm vẵ dử minh hoÔ cho cĂc kát quÊ thu ữủc. ffiỗng thới tẳm cĂc phÊn vẵ dử º chựng tọ rơng náu cĂc iãu kiằn cƯn  nảu ra ð ffiành lỵ 2.2.1 vi phÔm thẳ cĂc ành lỵ õ khổng cỏn úng nỳa. T€I LI›U THAM KHƒO Tiáng Viằt [1] Vụ Thà Ngồc nh, Luêt mÔnh số lợn cho dÂy cĂc bián ngău nhiản m-phử thởc, KhoĂ luên tốt nghiằp ffiÔi hồc ng nh cỷ nhƠn Khoa hồc ToĂn. [2] Trẳnh Ho i Nam, Mởt số kát quÊ vã sỹ hởi tử trong L p cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản, KhoĂ luên tốt nghiằp ffiÔi hồc ng nh cỷ nhƠn Sữ phÔm ToĂn. [3] Nguyạn Vôn QuÊng, GiĂo trẳnh xĂc suĐt, NXB ffiÔi hồc Quốc gia H  Nởi, 2007. Tiáng Anh [4] B.D. Choi and S.H.Sung, On convergence of (S n ES n ) n 1 r , 1 < r < 2, for pairwise independent random variables, Bull. Korean Math. Soc. 22(1985), no.2,79-82. [5] Mõricz, F. (1987). Strong limit theorems for blockwise m-dependent and blockwise quasiorthogonal sequences of random variables. Proc. Amer. Math. Soc. 101, 709-715. [6] Le Van Thanh, Strong laws of large numbers for sequences of blockwise and pairwise m-dependent random variables, Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica, 4(2005), 397-405. ._.