Sử dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt

Học An Giang, đã tạo điều kiện để tôi được làm khoá luận, đã quan tâm và đôn đốc tôi trong quá trình làm khoá luận này. Xin cảm ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô trong Tổ Bộ Môn Vật Lý. Đặt biệt là giáo viên hướng dẫn Thạc Sĩ Hồ Xuân Huy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này. MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU.......................................................................................Trang 1 1. Lý do chọn đề tài...................................................................................Trang 1 2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................Trang 1 3. Đối tượng nghiên cứu ...........................................................................Trang 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................Trang 1 5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................Trang 2 6. Giả thuyết khoa học ..............................................................................Trang 2 7. Phạm vi nghiên cứu...............................................................................Trang 2 8. Đóng góp của khóa luận........................................................................Trang 2 9. Cấu trúc khóa luận ................................................................................Trang 2 PHẦN II: NỘI DUNG..................................................................................Trang 3 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI .............................................Trang 3 1.1 Lý luận về bài tập vật lý......................................................................Trang 3 1.2 Bài toán biên .......................................................................................Trang 6 1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng...............................................Trang 8 1.4 Phương pháp tách biến......................................................................Trang 11 1.5 Phương pháp biến thiên tham số .......................................................Trang 15 CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ....................Trang 17 2.1 Khái niệm hàm Green, tính đối xứng của hàm Green.......................Trang 17 2.2 Xây dựng phương pháp hàm Green ..................................................Trang 20 2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green .................................................Trang 21 2.4 Hàm điều hòa. Biễu diễn Green ........................................................Trang 23 CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT .....................................Trang 27 3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt ..................................................Trang 27 3.2 Bài toán biên phụ thuộc thời gian .....................................................Trang 30 3.2.1 Phương pháp tách biến Fourier cho bài toán truyền nhiệt .............Trang 30 3.2.2 Phương pháp hàm Green cho bài toán truyền nhiệt .......................Trang 33 3.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong miền tròn ............................................Trang 35 3.3 Bài toán biên truyền nhiệt dừng ........................................................Trang 38 PHẦN III: KẾT LUẬN..............................................................................Trang 45 PHỤ LỤC 1...................................................................................................Trang 46 PHỤ LỤC 2...................................................................................................Trang 48 - 1- PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong chương trình đào tạo giáo viên THPT. Giúp cho sinh viên làm quen dần với phương pháp toán học hiện đại trong vật lý, hiểu rõ hơn bản chất của quá trình truyền sóng và quá trình truyền nhiệt trong vật chất. Học phần này có liên quan đến nhiều môn học khác: điện và từ, điện động lực, nhiệt động lực, vật lý thống kê, cơ học lượng tử,… Việc nghiên cứu học phần này là cơ sở nghiên cứu các môn học khác. Vì thế việc nghiên cứu nó gặp nhiều khó khăn. Bên cạnh đó học phần này có nhiều dạng bài tập, mỗi dạng lại có nhiều phương pháp giải đòi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp với mỗi dạng. Cụ thể là bài tập phần truyền nhiệt có các phương pháp giải như: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel ... Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng. Đối với một số dạng bài tập nhiều chiều, khi giải bằng phương pháp biến đổi Fourier, phương trình Laplace, ... thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp, trong khi đó nếu dùng phương pháp hàm Green thì việc tìm nghiệm của bài toán là đơn giản hơn nhiều, phương pháp hàm Green là phương pháp không giải trực tiếp phương trình vi phân mà tìm hàm Green thông qua việc giải phương trình khác để tìm hàm Green. Rồi biểu diễn nghiệm cần tìm thông qua hàm Green. Phương pháp hàm Green là một phương pháp khó, tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán biên nhiều chiều. Nhưng các sách lý thuyết thường không đề cặp đến phương pháp này, hoặc đề cặp quá ít, làm cho sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng phương pháp này vào bài tập. Yêu cầu bổ sung một phương pháp giải hiệu quả cho bài toán truyền nhiệt là rất cần thiết. Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài : “Sử dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt”. 2. Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu các bài toán truyền nhiệt. • Cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green. • Dùng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt. 3. Đối tượng nghiên cứu • Cơ sở lý luận về bài tập vật lý. • Cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green. • Các bài tập truyền nhiệt . 4. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu cơ sở toán học cho việc xây dựng hàm Green. • Xây dựng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt. • Giải một số bài toán truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Green. - 2- 5. Phương pháp nghiên cứu • Đọc sách và tham khảo tài liệu. • Phương pháp toán học. • Phương pháp phân tích. • Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên. 6. Giả thuyết khoa học Nếu dùng phương pháp hàm Green thì có thể tìm được nghiệm của bài toán truyền nhiệt. 7. Phạm vi nghiên cứu • Các bài toán truyền nhiệt ứng với các điều kiện biên. 8. Đóng góp của khóa luận • Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. • Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần phương pháp toán lý cho sinh viên. 9. Cấu trúc của khoá luận: gồm Phần I: Mở đầu. Phần II : Nội dung nghiên cứu. Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài. Chương II: Xây dựng phương pháp hàm Green. Chương III: Sử dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt. Phần III: Kết luận - 3- PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ: 1.1.1 Khái niệm về bài tập vật lý Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính toán, các thí nghiệm, dựa trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý. 1.1.2 Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý Xét về mặt phát triển tính tự lực của người học và nhất là rèn luyện kỷ năng vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trò của bài tập vật lý trong quá trình học tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều khâu trong quá trình dạy học. - Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá trình dạy học vật lý người học được làm quen với bản chất của các hiện tượng vật lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài thí nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó chiều sâu và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn đề” được tạo ra, trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất hiện một kiểu bài tập mà trong quá trình giải người học sẽ phát hiện lại quy luật vật lý chứ không phải tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn. - Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa vào các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình làm bài tập, ta có thể cho người học phân tích các hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, hình thành các khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại lượng vật lý. - Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học. việc giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong quá trình tư duy có sự phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các đại lượng vật lý đặc trưng cho chúng. - Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỷ năng vận dụng các kiến thức của người học vào thực tiễn. Đối với việc giáo dục kỹ thuật tổng hợp bài tập vật lý có ý nghĩa rất lớn. Những bài tập này là một trong những phương tiện thuận lợi để người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống. Nội dung của bài tập phải đảm bảo các yêu cầu sau: + Nội dung của bài tập phải gắn với tài liệu thuộc chương trình đang học. + Hiện tượng đang được nghiên cứu phải được áp dụng phổ biến trong thực tiển. + Bài tập đưa ra phải là những vấn đề gần với thực tế. + Không những nội dung mà còn hình thức của bài tập cũng phải gắn với các điều kiện thường gặp trong cuộc sống. Trong các bài tập đó không có sẵn dữ kiện mà phải tìm dữ kiện cần thiết ở các sơ đồ, bản vẽ kỷ thuật, ở các sách báo tra cứu hoặc từ thí nghiệm. - 4- - Bài tập về hiện tượng vật lý trong sinh hoạt hằng ngày cũng có một ý nghĩa to lớn. Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung quanh chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả năng quan sát. Với các bài tập này, trong quá trình giải, người học sẽ có được kỷ năng, kỷ xảo vận dụng các kiến thức của mình để phân tích các hiện tượng vật lý khác nhau trong tự nhiên, trong kỷ thuật và trong đời sống, đặc biệt có những bài tập khi giải đòi hỏi người học phải sử dụng kinh nghiệm trong lao động, sinh hoạt và sử dụng những kết quả quan sát thực tế hằng ngày. - Bài tập vật lý là một phương tiện để giáo dục người học, nhờ bài tập vật lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan điểm tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa học trong và ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở chổ: chúng là phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiên trì, vượt khó, ý chí và nhân cách của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến cho người học niềm phấn khởi sáng tạo, tăng thêm sự yêu thích bộ môn, tăng cường hứng thú học tập. - Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức. 1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý 1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý − Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài toán vật lý là tìm được câu trả lời đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ khoa học chặt chẽ. Quá trình giải một bài toán thực chất là tìm hiểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lý được đề cập và dựa trên kiến thức vật lý toán để nghĩ tới mối liên hệ có thể có của cái đã cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối liên hệ trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối liên hệ tường minh trực tiếp của cái phải tìm chỉ với cái đã biết nghĩa là đã tìm được lời giải đáp cho bài toán đặt ra. − Hoạt động giải bài toán vật lý có hai phần việc cơ bản quan trọng là: 1. Việc xác lập các mối liên hệ cơ bản cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý vào điều kiện cụ thể của bài toán đã cho. 2. Sự tiếp tục luận giải, tính toán đi từ mối liên hệ đã xác lập được đến kết luận cuối cùng của việc giải đáp vấn đề được đặt ra trong bài toán đã cho. − Sự nắm vững lời giải của một bài toán vật lý phải thể hiện ở khả năng trả lời được câu hỏi: việc giải bài toán này cần xác lập được mối liên hệ nào? Sự xác lập các mối liên hệ cơ bản này dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều kiện cụ thể nào của bài toán? − Đối với bài tập định tính, ta không phải tính toán phức tạp nhưng vẫn cần có suy luận logic từng bước để đi đến kết luận cuối cùng. - 5- 1.1.3.2 Phương pháp giải bài tập vật lý Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập vật lý người ta thường sử dụng hai phương pháp sau: − Phương pháp phân tích: theo phương pháp này điểm xuất phát là các đại lượng cần tìm. Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết này có liên quan gì tới đại lượng vật lý khác, và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương ứng, cứ làm như thế cho đến khi nào biểu diễn được hoàn toàn đại lượng cần tìm bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải xong. Như vậy, phương pháp này thực chất là đi phân tích một bài toán phức tạp thành những bài tập đơn giản hơn, rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lượt giải các bài tập đơn giản này, từ đó đi đến lời giải cho bài toán phức tạp trên. − Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp này suy luận không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ đại lượng đã biết, nó nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng này với các đại lượng chưa biết, ta đi dần đến công thức cuối cùng, trong đó chỉ có một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm. Nhìn chung, việc giải bài tập vật lý phải dùng chung hai phương pháp phân tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài tập, tổng hợp những dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta mới xây dựng được lời giải và kết quả cuối cùng. 1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có đưa ra một cách khái quát các bước chung của tiến trình giải của một bài toán vật lý và các hoạt động chính trong các bước, đó là: Bước 1: − Tìm hiểu đề bài − Đọc ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm. − Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa. − Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ liệu cần thiết. Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm. − Đối chiếu với các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản chất vật lý của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công thức có liên quan. − Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất phát và của cái phải tìm - 6- − Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó có thể rút ra được cái cần tìm. Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm. Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính toán để rút ra kết quả cần tìm. Bước 4: Kiểm tra xác nhận kết quả, để có thể xác nhận kết quả cần tìm cần kiểm tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau: − Kiểm tra xem có tính toán đúng chưa. − Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không. − Giải bài toán theo cách khác xem có cùng kết quả không. Tuy nhiên, trong nhiều bài tập không nhất thiết phải tách bạch một cách cứng nhắc giữa bước 2 và bước 3. Tùy từng bài toán mà ta có thể kết hợp hai bước đó thành một trong tiến trình luận giải. 1.1.3.4 Lựa chọn bài tập vật lý Vấn đề lựa chọn bài tập vật lý góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng học tập môn vật lý của người học và việc lựa chọn bài tập phải thỏa mãn các yêu cầu sau: − Các bài tập phải đi từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm được phương pháp giải các bài tập điển hình. − Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập − Lựa chọn các bài tập nhằm kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy của người học. − Các bài tập nhằm cũng cố, bổ sung và hoàn thiện tri thức cụ thể đã học, cung cấp cho người học những hiểu biết về thực tế, kỹ thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết. − Lựa chọn các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận dụng kiến thức đã học để giải những loại bài tập cơ bản, hình thành phương pháp chung để giải các loại bài tập đó. − Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ nắm vững tri thức của người học. 1.2 Bài toán biên Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng )()()(...)()()( 11 1 10 xFyxadx dyxa dx ydxa dx ydxayL nnn n n n =++++= −− − (1.2.1) Trong đó: a0(x), a1(x),…,an(x) là các hàm liên tục trong khoảng bxa ≤≤ và 0)(0 ≠xa trong khoảng bxa ≤≤ .Cách chung để giải phương trình (1.2.1) là: trước hết giải phương trình thuần nhất cấp n là L(y)=0, thu được một tập nghiệm cơ bản {y1(x), y2(x),…, yn(x)}, nghiệm tổng quát yc của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tính của tập nghiệm cơ bản: - 7- yc = C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x), (1.2.2) trong đó: C1, C2, …, Cn là các hằng số tùy ý. Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng yp nào của phương trình vi phân không thuần nhất L(y) = F(x). Để giải phương trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng . Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.1) sẽ là y = yc + yp. Trong các bài toán ứng dụng , nghiệm phương trình vi phân (1.2.1) đòi hỏi phải thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình.Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2: 0)()()( 212 2 0 =++ xadx dyxa dx ydxa , bxa ≤≤ (1.2.3) bị lệ thuộc bởi điều kiện bổ sung tại x = a có dạng : ,)(,)( / βα == ayay với α , β là các hằng số. Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương trình vi phân (1.2.3) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương trình có dạng : ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≠+=+ ≠+=+ 0,)()( 0,)()( 2 22 2 21 / 2221 2 12 2 11 / 1211 ccaycayc ccaycayc β α (1.2.4) Trong đó: α,,,, 22211211 cccc và β là các hằng số Điều kịên bổ sung (1.2.4) được gọi là điều kiện biên . Phương trình vi phân (1.2.3) với điều kiện biên (1.2.4) được gọi là bài toán biên . Nghiệm của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên . Bài toán biên không chỉ có một nghiệm mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên có dạng ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+++ =+++ β α )()()()( )()()()( / 2423 / 2221 / 1413 / 1211 aycaycbycbyc bycbycaycayc Trong đó: cij , i= 1,2, j=1,2,3,4 và α , β là các hằng số; được gọi là điều kiện biên hỗn hợp. Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tuyến tính cấp 1: ( ) ( ) ( ). (1.2.5)dyL y p x y q x dx = + = Để giải phương trình (1.2.5), trước hết giải phương trình thuần nhất: ( ) ( ) 0 (1.2.6)dyL y p x y dx = + = Để thu được nghiệm tổng quát yc. Ta có thể tách biến phương trình (1.2.6) có dạng: - 8- ( ) (1.2.7)dy p x dx y =− Đặt: ∫= x dpxP 0 )()( ξξ với ( ) (1.2.8)dP p x dx = Tích phân (1.2.7) thu được CxPCxPCxPy eCeCyeeee CxP ==⇒==⇒ +−= −−+− 1 )( 1 )()(ln , )(ln y Vậy nghiệm tổng quát của (1.2.6) là )(1 xP C eCy −= Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng )()( xPp exuy −= , trong đó C1 ở trong nghiệm tổng quát đã được thay thế bằng hàm chưa biết u(x), nghiệm giả định này có đạo hàm là )()( ))(()( xPxPp e dx duxpexu dx dy −− +−= Thay yp và dx dy p vào phương trình không thuần nhất (1.2.5) ta có ∫==⇒=⇒=+ − x PxPpp deqxuuxqedxduxqyxpdx dy 0 )()( .)()()()()( ξξ ξ Suy ra nghiệm riêng ∫−= x PxPp deqey 0 )()( .)( ξξ ξ Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.5) có dạng ( ) ( ) 1 0 ( ) (1.2.9) x P x P C py y y e C q e d ξξ ξ− ⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng: 1.3.1.Toán tử: Toán tử là một qui tắc toán học dùng để biến đổi một hàm này sang hàm khác có cùng bản chất: (1.3.1) Trong đó toán tử ^ A được kí hiệu bằng chữ có mũ, còn qui tắc tác dụng của nó được viết dưới dạng một phép nhân ψ với ^A và được gọi là “toán tử ^ A tác dụng lên hàm ψ cho hàm ϕ ” ^ψ ϕ=A - 9- Để làm sáng tỏ ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Toán tử toạ độ hay toán tử nhân ^ A = ^ x = x ( ) ( ) ( )^x x x x xϕ ψ ψ= = (1.3.2) Ví dụ 2: Toán tử vi phân ^ ^ ,= =d dA dx dx ( ) ( ) ( ) ^ d dx x x dx dx ϕ ψ ψ= = (1.3.3) Ví dụ 3: Toán tử Laplace: 2 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2x x x y z ψ ψ ψϕ ψ ∂ ∂ ∂= ∇ = + +∂ ∂ ∂ (1.3.4) Vì các hàm ψ và ϕ ở trong biểu thức (1.3.1) nói chung là những hàm phức cho nên các toán tử trong trường hợp tổng quát cũng là những toán tử phức. Trong số tất cả những toán tử có thể có ta chỉ xét một lớp quan trọng những toán tử, đó là những toán tử tuyến tính. Tóan tử ^ A được gọi là một toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn đòi hỏi sau: ( )^ ^ ^1 1 2 2 1 1 2 2ψ ψ ψ ψ+ = +A C C C A C A (1.3.5) trong đó 1 2,ψ ψ là hai hằng số tuỳ ý, còn 1 2,C C là những hằng số phức tuỳ ý. Từ định nghĩa (1.3.5) ta thấy tính chất tuyến tính của toán tử ^ A biểu thị nguyên lí chồng chất trạng thái. Thật vậy theo định nghĩa về toán tử (1.3.1) ta có: ^ ^ 1 1 2 2,ψ ϕ ψ ϕ= =A A , nên (3.5) trở thành: ( )^ ^ ^1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2ψ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ+ = + = + =C A C A C C A C C - 10- Nghĩa là ϕ là tổ hợp tuyến tính của hai hàm 1 2,ϕ ϕ . Hay nói cách khác, kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính lên một hàm là tổ hợp tuyến tính của hai hàm 1 2,ψ ψ thì bằng tổ hợp của những kết quả tác dụng của toán tử đó lên mỗi hàm riêng biệt. Rõ ràng rằng các toán tử ^ x ; ^ d dx và 2∇ trong các thí dụ (1), (2), (3) là những toán tử tuyến tính. Còn toán tử chứa tác dụng lấy căn số (hay toán tử ) không phải là toán tử tuyến tính. Tất cả các toán tử dùng trong phương trình vật lý toán là những toán tử tuyến tính ; do đó về sau này khi nói đến toán tử là ta ngụ ý nói đến các toán tử tuyến tính. 1.3.2 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử. Nói chung khi cho toán tử A tác dụng lên hàm ( )xΨ thì ta được hàm số ( ) ( )xx ψϕ ≠ . (Với ( )x là tập hợp biến số nào đó). Nhưng cũng có trường hợp ta lại được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số. Tức là: ^ A ( )xΨ = A ( )xΨ Khi đó ta nói ( )xΨ là hàm riêng của toán tử ^A và phương trình trên gọi là phương trình trị riêng của toán tử ^ A . còn A được gọi là trị riêng ứng với hàm riêng ( )xΨ của toán tử ^A . Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì ứng với một trị riêng ( cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trường hợp này gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phương trình trị riêng và được viết như sau: ^ A ( ) ( )xuAxu nnn = Trong đó ( )xu là hàm riêng ứng với trị riêng nA (n = 1;2;3;4;5…). Số trị riêng có thể có là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục. Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của một toán tử đó. Thí dụ: Cho toán tử ^ A= ( )xi ∂ ∂− . Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử ^ A , biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng ( )L,0 . Gọi nA và ( )xun là trị riêng và hàm riêng tương ứng của toán tử ^A thì phương trình trị riêng của toán tử ^ A là: - 11- ( ) nnn uAx ui =∂ ∂− ( ta không viết đối số tọa độ để khỏi rờm rà) xiA u u n n n ∂=∂ .lnln CxiAu nn ==⇒ xiA n nCeu =⇒ Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa. Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng ( )L,0 nên ta có ( ) ( )Luu nn =0 . Tức là: 1=⇒= LiALiA nn eCeC ( ) πnLA LA n n 2 1cos =⇒ =⇒ Từ đó ta được L nAn π2= . ( n= 0;2;3;…). Ta thấy An có giá trị gián đoạn theo số nguyên n. Còn hàm riêng tương ứng với An là: ( ) xL ìn n Cexu π = . 1.4. Phương pháp tách biến Phương pháp tách biến nhằm xây dựng một nghiệm µ của phương trình đạo hàm riêng cho trước thông qua các hàm có biến số ít hơn. Nói cách khác, ta phỏng đoán rằng µ có thể được viết dưới dạng tổng hoặc tích của các hàm có biến số ít hơn và tách nhau, thay nó vào phương trình đạo hàm riêng để chọn các hàm đó phải đảm bảo µ thực sự là nghiệm phương trình. Kỹ thuật này sẽ được minh họa trong các ví dụ sau. Ví dụ 1: Cho U⊂ ℜ n là một miền bị chặn với biên trơn. Ta xét bài toán giá trị biên-ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt trong U ( )∞× ,0 trên [ )∞×∂ ,0U ( )1.4.1 trênU { }0=× t Ở đây g: U ℜ→ là hàm cho trước. Ta giả định tồn tại một nghiệm có dạng ( ) ( ) ( )xwtvtx =,µ ( )0; ≥∈ tUx ; ( )1.4.2 Có nghĩa là, ta xem nghiệm của ( )1.4.1 như là tích của hai hàm số với các biến ( )1,......., nx x x U= ∈ và biến t [ ]T,0∈ tách ra với nhau. Bây giờ ta đi tìm v và w. Để làm điều đó ta tính 0 0 t g µ µ µ µ − ∆ =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ - 12- ( ) ( ) ( )xwtvtxt ,, =µ , ( ) ( ) ( )xwtvtx ∆=∆ ,µ Từ đó ( ) ( )0 , ,t x t x tµ µ= −∆ = ( ) ( )xwtv, ( ) ( )v t w x− ∆ Nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ( ) ( )xw xw tv tv ∆= , ( )1.4.3 Với mọi x U∈ và t >0 sao cho v ( )t , w ( )t ≠ 0. Chú ý rằng vế trái của ( )1.4.3 chỉ phụ thuộc vào t và vế phải chỉ phụ thuộc vào x. Điều này chỉ xảy ra khi chúng là hằng số, tức là: ( ) ( ) ( ) ( )xw xw tv tv ∆== µ , ( t Ux∈≥ ,0 ). Khi đó /v µν= (1.4.4) ww µ=∆ (1.4.5) Ta giải các phương trình này để tìm các hàm chưa biết w,v và hằng số µ . Trước hết, để ý rằng, nếu µ đã biết, nghiệm của (1.4.4) là v=de tµ với d là hằng số tùy ý. Vì thế, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình (1.4.5). Ta nói rằng λ là một giá trị riêng của toán tử -∆ trong U ( với điều kiện biên bằng 0) nếu tồn tại một hàm 0≠w thõa mãn trong U trên U∂ . Ta gọi hàm w là hàm riêng tương ứng, ta đặt λµ −= để tìm wde tλµ −−= (1.4.6) Thỏa mãn trong U ( )∞× ,0 (1.4.7) trên [ )∞×∂ ,0U với điều kiện ban đầu ( ) dw=0.,µ . Do đó hàm µ được xác định bởi (1.4.6) thỏa mãn (1.4.1), với điều kiện dwg = . Tổng quát hơn, nếu nλλ ,.....,1 là các giá trị riêng , nww ,......,1 là các hàm riêng tương ứng và mdd ,....,1 là các hằng số, thì ⎩⎨ ⎧ = =∆− 0w ww λ ⎩⎨ ⎧ = =∆− 0 0 µ µµt - 13- k tm k k wed k λµ − = ∑= 1 (1.4.8) Thỏa mãn các điều kiện ban đầu ( ) =0.,µ k k k wd∑∞ = = 1 µ . Nếu ta có thể tìm được ,....., 1wm v.v. sao cho gwd k k k =∑∞ =1 trong U (1.4.9) Với các hằng số thích hợp ,......., 21 dd khi đó k t k k wed k λµ −∞ = ∑= 1 (1.4.10) Sẽ là nghiệm của bài toán (1.4.1). Đây là một công thức biểu diễn nghiệm rất đẹp, nhưng nó dựa vào: Khả năng tìm các giá trị riêng, các hàm riêng và các hằng số thỏa mãn (1.4.9) Chuỗi (1.4.10) hội tụ theo một nghĩa thích hợp nào đó. Ví dụ 2: Tiếp theo ta sử dụng kỹ thuật tách biến để tìm nghiệm của phương trình môi trường tổ ong. ( ) 0=∆− γµµt trong ( )∞×ℜ ,0n (1.4.11) Trong đó nghiệm 0≥µ và 1>γ là hằng số. Đây là một phương trình khuếch tán phi tuyến, với tốc độ khuếch tán của mật độ µ phụ thuộc vào chính µ . Như ở ví dụ trứơc, ta tìm một nghiệm dạng ( ) ( ) ( )xwtvtx =,µ ( )0; ≥ℜ∈ tx n (1.4.12) Thế vào ( )1.6.11 , ta được ( ) ( ) ( ) ( )xw xw tv tv γ γ µ ∆== , (1.4.13) Với hằng số µ nào đó và với nx ℜ∈∀ , t 0≥ sao cho ( ) ( ) .0, ≠tvxw Ta giải phương trình vi phân thường đối với v và tìm được ( )( ) λλµγ −+−= 1 11 tv , với hằng số 0>λ nào đó.Để tìm w ta xét phương trình đạo hàm riêng ( ) uww =∆ γ (1.4.14) Ta dự đoán rằng nghiệm w có dạng αxw = với hằng số α sẽ được xác định sau. Khi đó - 14- ( ) ( ) 22 −−=−=∆− αλαγ αγαγ xnxuwuw (1.4.15) Vì vậy, để (1.4.14) thỏa mãn trong nℜ , trước hết ta đòi hỏi rằng 2−= αγα và từ đó 1 2 −= γα (1.4.16) Tiếp theo, từ (1.4.15) dễ thấy rằng cần đặt ( ) 02 >−+= nαγαγµ (1.4.17) Tóm lại, với mỗi 0>λ hàm ( )( ) αγλγµ xut −+−= 1 11 Thỏa mãn phương trình ( )1.4.11 , các tham số µα , được xác định bởi (1.4.16), (1.4.17). Trong các ví dụ trên, sự tách biến được thực hiện dựa vào tính thuần nhất phi tuyến tương thích với hàm µ có dạng tích (1.4.12). Ở trường hợp khác, ta sẽ tìm nghiệm, trong đó các biến được tách dưới dạng một tổng các hàm số. Ví dụ 3: Xét phương trình Hamilton- Jacobi. ( ) 0=+ DuHtµ trong ( )∞×ℜ ,0n (1.4.18) Và tìm một nghiệm µ có dạng ( ) ( ) ( )xwtvtx +=,µ ).0,( ≥ℜ∈ tx n Khi đó ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xDwHtvtxDuHtxt +=+= ,,,0 µ Nếu và chỉ nếu ( )( ) ( )tvxDwH ,−= ( ),0, >ℜ∈ tx n Với hằng số µ nào đó. Vì thế, nếu ( ) µ=DwH Với ,R∈µ thì ( ) ( ) butxwtx +−=,µ Sẽ thõa mãn ( ) 0== DuHttµ với hằng số b nào đó. Đặc biệt, nếu chọn ( ) xaxw .= với na ℜ∈ và đặt ( )aH=µ , tìm được nghiệm ( ) btaHxa =−= .µ . Dựa vào tích phân đầy đủ và hàm bao tìm được nghiệm. - 15- 1.5. Phương pháp biến thiên tham số: Để trực tiếp thu được nghiệm của phương trình 2 2 ( ) d u f x dx = , ta xét bài toán không thuần nhất tổng quát: ( ) ( )L u f x= Xác định trong khoảng a <x < b, phụ thuộc vào hai điều kiện thuần nhất, trong đó L là toán tử Sturm –Liouville có dạng .d duL p q dx dx ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ Khi p = 1, q = 0 ta được toán tử của phương trình truyền nhiệt trong trạng thái dừng 2 2 d uL dx = Phương trình vi phân thường không thuần nhất luôn có thể giải bằng phương pháp biến thiên tham số, nếu biết hai nghiệm của phương trình không thuần nhất 1( )u x và 2 ( )u x . Theo phương pháp biến thiên tham số, nghiệm riêng của phương trình ( ) ( )L u f x= được tìm dưới dạng 1 1 2 2u u v u v= + Khi đó 1v và 2v là hàm phụ thuộc vào x chưa được xác định. Phương trình vi phân gốc có một hàm chưa biết, vì rằng có một ._.