Sử dụng hàm Bessel để giải bài toán nhiệt học

y - Giáo Viên hướng dẫn • Các thầy cô và các bạn trong bộ môn Vật Lý Đã tạo điều kiện thuận lợi, nhiệt tình hướng dẫn, đôn đốc và tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này. MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU.......................................................................................Trang 1 1. Lý do chọn đề tài...................................................................................Trang 1 2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................Trang 1 3. Đối tượng nghiên cứu ...........................................................................Trang 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................Trang 1 5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................Trang 1 6. Giả thuyết khoa học ..............................................................................Trang 2 7. Phạm vi nghiên cứu...............................................................................Trang 2 8. Đóng góp của khóa luận........................................................................Trang 2 9. Dàn ý của khóa luận..............................................................................Trang 2 PHẦN II: NỘI DUNG..................................................................................Trang 3 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI .........................................Trang 3 1.1 Lý luận về bài tập vật lý......................................................................Trang 3 1.2 Bài toán biên .......................................................................................Trang 6 1.3 Các chuỗi và hệ trực giao....................................................................Trang 9 1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng ............................................Trang 19 CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM BESSEL ....................................................................................Trang 22 2.1 Khái niệm hàm Bessel.......................................................................Trang 22 2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel .....Trang 25 2.3 Tính trực giao của hàm Bessel ..........................................................Trang 31 2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel..............................................Trang 31 CHƯƠNG III: SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT ................................Trang 41 3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt ..................................................Trang 41 3.2 Các bài toán cho các toạ độ...............................................................Trang 46 3.3 Các bài toán cho biên ........................................................................Trang 56 3.4 Một số bài toán dừng.........................................................................Trang 59 PHẦN III: KẾT LUẬN..............................................................................Trang 68 PHỤ LỤC 1.......................................................................................Trang 69 PHỤ LỤC 2.......................................................................................Trang 70 PHỤ LỤC 3.......................................................................................Trang 74 PHỤ LỤC 4.......................................................................................Trang 78 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Với một số dạng bài toán khi giải bằng phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace,...thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp. Học phần phương pháp toán-lý có những bài tập tương đối khó, liên quan đến phép lấy đạo hàm riêng, phương trình vi phân. Cụ thể là bài tập phần truyền nhiệt có các phương pháp giải như: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel...Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng. Đối với một số bài toán biên nhiều chiều nếu sử dụng phương pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace thì bài toán giải khó khăn hơn. Ta có thể sử dụng hàm Bessel vào giải bài toán biên trong phương trình truyền nhiệt thì việc tìm nghiệm của bài toán là đơn giản hơn nhiều. Phương pháp sử dụng hàm Bessel để giải bài toán truyền nhiệt là một phương pháp khó, tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán biên nhiều chiều. Nhưng các sách lý thuyết thường ít đề cập đến phương pháp này, không đưa ra các bài tập cụ thể, làm sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng.Yêu cầu bổ sung phương pháp giải hiệu quả bài toán truyền nhiệt cho học phần phương pháp toán lý là rất cần thiết. Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài : “ Sử dụng phương pháp hàm Bessel để giải bài toán truyền nhiệt”. 2.Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu các bài toán truyền nhiệt. • Nghiên cứu cơ sở toán học cho hàm Bessel. • Sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán phương trình truyền nhiệt. 3.Đối tượng nghiên cứu • Các bài toán truyền nhiệt . • Cơ sở lý luận về bài tập vật lý. • Cơ sở toán học về phương trình Bessel và hàm Bessel. 4.Nhiệm vụ nghiên cứu • Xây dựng phương pháp hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt. • Giải một số bài toán truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Bessel. 5.Phương pháp nghiên cứu • Đọc sách và tham khảo tài liệu. • Phương pháp toán học. • Phương pháp phân tích. • Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên. 2 6.Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp hàm Bessel có thể tìm được nghiệm của bài toán truyền nhiệt. 7.Phạm vi nghiên cứu Các bài toán truyền nhiệt. 8.Đóng góp của khóa luận • Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. • Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần phương pháp toán lý cho sinh viên. 9.Dàn ý của khóa luận Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Chương I: Cơ sở lý luận 1.1 Lý luận về bài tập vật lý. 1.2 Các loại bài toán biên. 1.3 Các chuỗi và hệ trực giao.. 1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng , trị riêng. Tiểu kết chương 1: Đây là cơ sở lý luận toán học quan trọng, dựa vào đó để giải các bài toán truyền nhiệt trong phương pháp toán lý. Chương II: Xây dựng phương trình Bessel và hàm Bessel 2.1 Khái niệm hàm Bessel. 2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel. 2.3 Tính trực giao của hàm Bessel. 2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel. Tiểu kết chương 2: Chương này hoàn thành việc xây dựng hàm Bessel và phương trình Bessel để giải bài toán trong phương trình truyền nhiệt. Chương III. Sử dụng hàm Bessel để giải cho một số bài toán truyền nhiệt 3.1 Các bài toán cho các toạ độ. 3.2 Các bài toán cho biên. 3.3 Một số bài toán dừng. Tiểu kết chương 3: chương này là ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho bài toán biên trong phương trình truyền nhiệt. Phần III: Kết luận. • Kết quả dự kiến đạt dược của việc nghiên cứu đề tài: Hiểu rõ hơn hàm Bessel, có thể ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho bài toán biên nhiều chiều. • Những đóng góp của việc nghiên cứu đề tài: làm tài liệu tham khảo về một phương pháp giải hiệu quả bài toán truyền nhiệt trong học phần phương pháp toán lý. • Kiến nghị. 3 PHẦN HAI: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ: 1.1.1 Khái niệm về bài tập vật lý Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính toán, các thí nghiệm, dựa trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý. 1.1.2 Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý Xét về mặt phát triển tính tự lực của người học và nhất là rèn luyện kỷ năng vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trò của bài tập vật lý trong quá trình học tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều khâu trong quá trình dạy học. - Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá trình dạy học vật lý người học được làm quen với bản chất của các hiện tượng vật lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài thí nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó chiều sâu và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn đề” được tạo ra, trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất hiện một kiểu bài tập mà trong quá trình giải người học sẽ phát hiện lại quy luật vật lý chứ không phải tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn. - Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa vào các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình làm bài tập, ta có thể cho người học phân tích các hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, hình thành các khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại lượng vật lý. - Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học. Việc giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong quá trình tư duy có sự phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các đại lượng vật lý đặc trưng cho chúng. - Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỷ năng vận dụng các kiến thức của người học vào thực tiễn. Đối với việc giáo dục kỷ thuật tổng hợp bài tập vật lý có ý nghĩa rất lớn. Những bài tập này là một trong những phương tiện thuận lợi để người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống. Nội dung của bài tập phải đảm bảo các yêu cầu sau: • Nội dung của bài tập phải gắn với tài liệu thuộc chương trình đang học. • Hiện tượng đang được nghiên cứu phải được áp dụng phổ biến trong thực tiễn. • Bài tập đưa ra phải là những vấn đề gần với thực tế. • Không những nội dung mà còn hình thức của bài tập cũng phải gắn với các điều kiện thường gặp trong cuộc sống. Trong các bài tập đó không có sẵn dữ 4 kiện mà phải tìm dữ kiện cần thiết ở các sơ đồ, bản vẽ kỷ thuật, ở các sách báo tra cứu hoặc từ thí nghiệm. - Bài tập về hiện tượng vật lý trong sinh hoạt hằng ngày cũng có một ý nghĩa to lớn. Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung quanh chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả năng quan sát. Với các bài tập này, trong qua trình giải, người học sẽ có được kỷ năng, kỷ xảo vận dụng các kiến thức của mình để phân tích các hiện tượng vật lý khác nhau trong tự nhiên, trong kỷ thuật và trong đời sống, đặc biệt có những bài tập khi giải đòi hỏi người học phải sử dụng kinh nghiệm trong lao động, sinh hoạt và sử dụng những kết quả quan sát thực tế hằng ngày. - Bài tập vật lý là một phương tiện để giáo dục người học, nhờ bài tập vật lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan điểm tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa học trong và ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở chổ: chúng là phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiện trì, vượt khó, ý chí và nhân cách của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến cho người học niềm phấn khởi sáng tạo, tăng thêm sự yêu thích bộ môn, tăng cường hứng thú học tập. - Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức. 1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý 1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý + Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài toán vật lý là tìm được câu trả lời đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ khoa học chặt chẽ. Quá trình giải một bài toán thực chất là tìm hiểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lý được đề cập và dựa trên kiến thức vật lý toán để nghĩ tới mối liên hệ có thể có của cái đã cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối liên hệ trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối liên hệ tường minh trực tiếp của cái phải tìm chỉ với cái đã biết nghĩa là đã tìm được lời giải đáp cho bài toán đặt ra. Hoạt động giải bài toán vật lý có hai phần việc cơ bản quan trọng là: 1. Việc xác lập các mối liên hệ cơ bản cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý vào điều kiện cụ thể của bài toán đã cho. 2. Sự tiếp tục luận giải, tính toán đi từ mối liên hệ đã xác lập được đến kết luận cuối cùng của việc giải đáp vấn đề được đặt ra trong bài toán đã cho. + Sự nắm vững lời giải của một bài toán vật lý phải thể hiện ở khả năng trả lời được câu hỏi: việc giải bài toán này cần xác lập được mối liên hệ nào? Sự xác lập các mối liên hệ cơ bản này dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều kiện cụ thể nào của bài toán? + Đối với bài tập định tính, ta không phải tính toán phức tạp nhưng vẫn cần có suy luận logic từng bước để đi đến kết luận cuối cùng. 5 1.1.3.2 Phương pháp giải bài tập vật lý Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập vật lý người ta thường sử dụng hai phương pháp sau: − Phương pháp phân tích: theo phương pháp này điểm xuất phát là các đại lượng cần tìm. Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết này có liên quan gì tới đại lượng vật lý khác, và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương ứng, cứ làm như thế cho đến khi nào biểu diễn được hoàn toàn đại lượng cần tìm bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải xong. Như vậy, phương pháp này thực chất là đi phân tích một bài toán phức tạp thành những bài tập đơn giản hơn, rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lượt giải các bài tập đơn giản này, từ đó đi đến lời giải cho bài toán phức tạp trên. − Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp này suy luận không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ đại lượng đã biết, nó nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng này với các đại lượng chưa biết, ta đi dần đến công thức cuối cùng, trong đó chỉ có một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm. Nhìn chung, việc giải bài tập vật lý phải dùng chung hai phương pháp phân tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài tập, tổng hợp những dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta mới xây dựng được lời giải và kết quả cuối cùng. 1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có đưa ra một cách khái quát các bước chung của tiến trình giải của một bài toán vật lý và các hoạt động chính trong các bước, đó là: Bước 1: • Tìm hiểu đề bài. • Đọc ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm. • Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa. • Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ liệu cần thiết. Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm. • Đối chiếu với các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản chất vật lý của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công thức có liên quan. • Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất phát và của cái phải tìm • Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó có thể rút ra được cái cần tìm. Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm. 6 Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính toán để rút ra kết quả cần tìm. Bước 4: Kiểm tra xác nhận kết quả, để có thể xác nhận kết quả cần tìm cần kiểm tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau: • Kiểm tra xem có tính toán đúng chưa. • Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không. • Giải bài toán theo cách khác xem có cùng kết quả không. Tuy nhiên, trong nhiều bài tập không nhất thiết phải tách bạch một cách cứng nhắc giữa bước 2 và bước 3. Tùy từng bài toán mà ta có thể kết hợp hai bước đó thành một trong tiến trình luận giải. 1.1.3.4 Lựa chọn bài tập vật lý Vấn đề lựa chọn bài tập vật lý góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng học tập môn vật lý của người học và việc lựa chọn bài tập phải thỏa mãn các yêu cầu sau: • Các bài tập phải đi từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm được phương pháp giải các bài tập điển hình. • Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập • Lựa chọn các bài tập nhằm kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy của người học. • Các bài tập nhằm cũng cố, bổ sung và hoàn thiện tri thức cụ thể đã học, cung cấp cho người học những hiểu biết về thực tế, kỹ thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết. • Lựa chọn các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận dụng kiến thức đã học để giải những loại bài tập cơ bản, hình thành phương pháp chung để giải các loại bài tập đó. • Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ nắm vững tri thức của người học. 1.2BÀI TOÁN BIÊN Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng )()()(...)()()( 11 1 10 xFyxadx dyxa dx ydxa dx ydxayL nnn n n n =++++= −− − (1.20) Trong đó: a0(x), a1(x),…,an(x) là các hàm liên tục trong khoảng bxa ≤≤ và 0)(0 ≠xa trong khoảng bxa ≤≤ .Cách chung để giải phương trình (1.20) là: trước hết giải phương trình thuần nhất cấp n là L(y)=0, thu được một tập nghiệm cơ bản {y1(x), y2(x),…, yn(x)}, nghiệm tổng quát yc của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tính của tập nghiệm cơ bản: yc = C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x), (1.21) trong đó: C1, C2, …, Cn là các hằng số tùy ý. 7 Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng yp nào của phương trình vi phân không thuần nhất L(y) = F(x). Để giải phương trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng . Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.20) sẽ là y = yc + yp. Trong các bài toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân (1.20) đòi hỏi phải thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình.Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2: 0)()()( 212 2 0 =++ xadx dyxa dx ydxa , bxa ≤≤ (1.22) bị lệ thuộc bởi điều kiện bổ sung tại x = a có dạng : ,)(,)( / βα == ayay với α , β là các hằng số. Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương trình vi phân (1.22) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương trình có dạng : ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≠+=+ ≠+=+ 0,)()( 0,)()( 2 22 2 21 / 2221 2 12 2 11 / 1211 ccaycayc ccaycayc β α (1.23) Trong đó: α,,,, 22211211 cccc và β là các hằng số Điều kiện bổ sung (1.23) được gọi là điều kiện biên . Phương trình vi phân (1.22) với điều kiện biên (1.23) được gọi là bài toán biên . Nghiệm của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên . Bài tóan biên không chỉ có một nghiệm mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên có dạng ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+++ =+++ β α )()()()( )()()()( / 2423 / 2221 / 1413 / 1211 aycaycbycbyc bycbycaycayc Trong đó: cij , i= 1,2, j=1,2,3,4 và α , β là các hằng số; được gọi là điều kiện biên hỗn hợp. Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tyến tính cấp 1: )24.1().()()( xqyxp dx dyyL =+= Để giải phương trình (1.24), trước hết giải phương trình thuần nhất: )25.1(0)()( =+= yxp dx dyyL 8 Để thu được nghiệm tổng quát yc. Ta có thể tách biến phương trình (1.25) có dạng: )26.1()( dxxp y dy −= Đặt: ∫= x dpxP 0 )()( ξξ với )27.1()(xp dx dP = Tích phân (1.26) thu được CxPCxPCxPy eCeCyeeee CxP ==⇒==⇒ +−= −−+− 1 )( 1 )()(ln , )(ln y Vậy nghiệm tổng quát của (1.25) là )( 1 xP C eCy −= Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng )()( xPp exuy −= , trong đó C1 ở trong nghiệm tổng quát đã được thay thế bằng hàm chưa biết u(x), nghiệm giả định này có đạo hàm là )()( ))(()( xPxPp e dx duxpexu dx dy −− +−= Thay yp và dx dy p vào phương trình (1.24) ta có ∫==⇒=⇒=+ − x PxPpp deqxuuxqedxduxqyxpdx dy 0 )()( .)()()()()( ξξ ξ Suy ra nghiệm riêng ∫−= x PxPp deqey 0 )()( .)( ξξ ξ Nghiệm tổng quát của phương trình (1.24) có dạng )28.1()( 0 )( 1 )( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=+= ∫− x PxPpC deqCeyyy ξξ ξ 9 1.3 CÁC CHUỖI VÀ HỆ TRỰC GIAO 1.3.1. Các chuỗi. 1.3.1.1 Chuỗi Fourier. a)Chuỗi lượng giác: f(x)= ( )0 1 cos sin , 2 n nn a a nx b nx ∞ = + +∑ (3.1) trong đó 0 , , ( 1,2,....)n na a b n = là các hằng số, gọi là chuỗi lượng giác b) Chuỗi Fourier: Chuỗi lượng giác xác định trên [ , ]π π− với các hệ số: 0 1 1( ) , ( )cos 1 ( )sin ( 1,2,3,....) n n a f x dx a f x nxdx b f x nxdx n π π π π π π π π π − − − = = = = ∫ ∫ ∫ (3.2) gọi là chuỗi Fourier của hàm số ( )f x . c) Hàm đơn điệu từng khúc: Hàm số f được gọi là đơn điệu từng khúc trên [ , ]a b , nếu có thể chia [ , ]a b bởi một số hữu hạn điểm 1 2, ,...., nx x x 1 2( .... )na x x x b< < < < < thành các khoảng 1 1 2( , ),( , ),...,( , )na x x x x b sao cho f đơn điệu trên khoảng đó. d)Điều kiện đủ để một hàm số khai triển được thành chuỗi fourier : Định lí (Dirichlet): Giả sử hàm số f tuần hoàn với chu kì 2π , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ , ]π π− . Khi đó: i) Chuỗi Fourier của f hội tụ tại mọi [ , ]x π π∈ − ii) Nếu ( )S x là tổng của chuỗi Fourier của f thì : • ( ) ( ) ( 0) ( 0) 2 f x S x f x f x ⎧⎪= ⎨ − + +⎪⎩ ,khi f liên tục tại ( ),x π π∈ − • ( 0) ( 0)( ) ( ) 2 f fS S π ππ π − + + −− = = ,khi f gian đoạn tại ( ),x π π∈ − 10 LƯU Ý: 1 Nếu f là hàm chẵn trên [ , ]π π− thì: 0 0 0 2 2( ) , ( )cos 0 ( 1,2,3,....) n n a f x dx a f x nxdx b n π π π π= = = = ∫ ∫ 2 Nếu f là hàm lẻ trên [ , ]π π− thì: 0 0 20, 0, ( )sin ( 1,2,3,...)n na a b f x nxdx n π π= = = =∫ 3 Nếu f là hàm tuần hoàn với chu kì 2 L , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ , ]L L− thì: 0 1 1( ) , ( )cos 1 ( )sin ( 1,2,3,....) L L n L L L n L n xa f x dx a f x dx L L L n xb f x dx n L L π π − − − = = = = ∫ ∫ ∫ e)Khai triển một hàm số bất kì thành chuỗi Fourier: Giả sử f là một số đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ , ]a b . Muốn khai triển f thành chuỗi Fourier, ta xây dựng một hàm số tuần hoàn g có chu kì 2L b a≥ − sao cho ( ) ( )g x f x= [ ]( , )x a b∈ . Khi đó, nếu g khai triển được thành chuỗi Fourier thì đó cũng là chuỗi Fourier của f . Vì có nhiều cách xây dựng g nên cũng có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn f . Ví dụ:Cho hàm ( )f x xπ= − trên đoạn [ , ]π π− và tuần hoàn với chu kì 2π . Hãy khai triển ( )f x thành chuỗi Fourier . Giải: Đồ thị của hàm đã cho là những đoạn thẳng song song. Ta có f thoả mãn các điều kiện của định lý Dirichlet nên khai triển được thành chuỗi Fourier. o π 3ππ−3π− x y 2π 11 Ta tính các hệ số Fourier : ( )∫ =−= π πππ 00 2 1 dxxa 0 1 ( )cosna x nxdx π ππ= −∫ 0 0 1cos cos 0,nxdx x nxdx π π π= − =∫ ∫ 1 ( )sinnb x nxdx π π ππ − = −∫ 1 2sin sin ( 1) , ( 1,2,....)nnxdx x nxdx n n π π π ππ− − = − = − =∫ ∫ f ) Tính hội tụ của chuỗi Fourier: Ta thừa nhận định lý sau mà không chứng minh: Định lý: Nếu hàm ( )f x là hàm khả tích tuyệt đối có chu kì 2π trơn từng khúc trên đoạn [ , ]a b , thì chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối với mọi x thoả mãn điều kiện a < x <b , trong đó tổng của nó bằng ( )f x tại các điểm liên tục và bằng giá trị ( ) ( )0 0 2 f x f x+ + − tại các điểm gián đoạn (đối với các giá trị x = a và x = b có thể không có tính hội tụ) 1.3.1.2 Chuỗi luỹ thừa. a) Định nghĩa Chuỗi hàm có dạng ( ) n n n xxc∑∞ = − 0 0 (1.3) Trong đó 0, xcn là các hằng số, được gọi là chuỗi luỹ thừa. Khi 00 =x và đặt 0xxx −=′ thì (1.3) có dạng ∑∞ =0n n n xc (1.4) b) Định lý Nếu (1.4) hội tụ tại một điểm 00 ≠x thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả mãn 0xx < . Nếu (1.4) phân kỳ tại một điểm *x thì nó phân kỳ tại mọi x thoả mãn *xx > . 12 c) Các tính chất của tổng của chuỗi luỹ thừa Nếu chuỗi luỹ thừa ∑∞ =0n n n xc có bán kính hội tụ là R > 0 và f(x) là tổng của nó thì: F liên tục trên (-R;R); F khả tích trên mọi đoạn [ ] ( )RRba ;; −⊂ và ∫ ∑∫∞ = = b a n n n b a dxxcfxdx 0 F khả vi trên (-R;R) và ( ) 1 1 −∞ = ∑=′ n n n xncxf có bán kính hội tụ bằng R. d) Khai triển một hàm số thành chuỗi luỹ thừa Chuỗi Taylor của một hàm số Giả sử f: (a,b)→R là hàm khả vi mọi cấp tại ( )bax ,0 ∈ . Chuỗi luỹ thừa có dạng ( ) ( )( )n n n xx n xf 0 0 0 ! −∑∞ = gọi là chuỗi Taylor của f tại 0x . Khi 00 =x được gọi là chuỗi Maclaurin của f. e) Điều kiện khai triển Giả sử Hàm số f(x) khả vi mọi cấp trên [ ]RxRx +− 00 , ; tồn tại M > 0 sao cho ( ) ( ) [ ]( )RxRxxMxf n +−∈≤ 000 , Khi đó chuỗi ( ) ( )( )n n n xx n xf 0 0 0 ! −∑∞ = hội tụ đều về về f(x) trên [ ]RxRx +− 00 , . f) Khai triển một vài hàm sơ cấp thành chuỗi luỹ thừa ( )Rx n xe n n x ∈= ∑∞ =0 ! 13 ( ) ( ) ( )Rxn xx nn n ∈+−= +∞ = ∑ !121sin 12 0 ( ) ( ) ( )Rxn xx nn n ∈−= ∑∞ = !2 1cos 2 0 ( ) ( ) ( ) ( )( )1,1 ! 1....111 1 −∈+−−+=+ ∑∞ = xx n nx n n αααα ( ) ( ) ( )( )1,1 1 11ln 1 0 −∈+−=+ +∞ = ∑ xnxx nn n . ( ) [ ]( )1,1 12 1 12 0 −∈+−= +∞ = ∑ xnxacrtgx nn n 1.3.2 Các hệ trực giao: 1.3.2.1 Định nghĩa. Các hệ chuẩn: Một hệ vô hạn các hàm thực ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2, , ,..., ,...nx x x xϕ ϕ ϕ ϕ (3.3) được gọi là trực giao trên đoạn [ , ]a b , nếu ( ) ( ) 0b n m a x x dxϕ ϕ =∫ (3.4) ( ), 0,1,2,...; 0,1,2,...m n n m≠ = = Ta sẽ luôn giả thiết rằng ( ) ( )2 0 0,1,2,...b n a x dx nϕ ≠ =∫ (3.5) Điều kiện (3.4) biểu diễn tính trực giao từng đôi một của các hàm của hệ (3.3). Từ điều kiện (3.5) suy ra rằng mọi hàm của hệ này không đồng nhất bằng không. 1.3.2.2 Hệ lượng giác cơ bản trực giao: a) Hệ : 1,cos ,sin ,...,cos ,sin ,...x x nx nx trực giao trên đoạn [ ],π π− Ví dụ: sin cos1.cos 0; 1.sin 0nx nxnxdx nxdx n n π ππ π π ππ π− −− − = = = − =∫ ∫ 14 ( ) ( )1sin .sin cos cos 0 2 nx mxdx n m x n m x dx π π π π− − = − − + =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ( ) ( )1cos cos cos cos 0 2 nx mxdx n m x n m x dx π π π π− − = + + − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ( ) ( )1sin .cos sin sin 0 2 nx mxdx n m x n m x dx π π π π− − = + + − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ b) Hệ : 1,cos ,cos2 ,...,cos ,...x x nx trực giao trên đoạn [ ]0,π c) Hệ : sin ,sin 2 ,...,sin ,...x x nx trực giao trên đoạn [ ]0,π d) Hệ : ( )sin ,sin3 ,sin5 ,...,sin 2 1 ,...x x x n x+ trực giao trên đoạn [ ]0,π e) Hệ : 1,cos ,sin ,...,cos ,sin ,...x x nx nx L L L L π π π π trực giao trên đoạn 2 L (ví dụ: từ [ ],L L− , hay [ ]0,2L ...) f) Hệ : 21,cos ,cos ,...,cos ,...x x nx L L L π π π trực giao trên đoạn [ ]0,1 g) Hệ : 2sin ,sin ,...,sin ,...x x nx L L L π π π trực giao trên đoạn [ ]0,1 i) Hệ: ( )2 13 5sin ,sin ,sin ,...,sin ,... 2 2 2 2 n xx x x L L L L ππ π π + trực giao trên đoạn [ ]0, L 1.3.3. Các hàm toán học thông dụng: 1.3.3.1. Hàm Gama-Euler (Γ ): Hàm Γ là hàm được định nghĩa bởi: ( ) ( ) ( )1 0 0kxk e x dx k ∞ −−Γ = >∫ (4.6) Tính chất của hàm Γ : 1) ( ) ( )1k k kΓ + = Γ 2) ( )1 !k kΓ + = Khi k âm thì hàm Γ được tính theo cách khác nhưng tính chất 2) được bảo toàn 15 1.3.3.2.Tích phân suy rộng 1.3.3.2.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận. a.Định nghĩa Giả sử f xác định trên [ )+∞,a và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [ ]Aa, . Khi đó giới hạn (nếu có) của tích phân ( )∫A a dxxf khi +∞→A gọi là tích phân suy rộng của hàm số f trên khoảng [ )+∞,a và kí hiệu là ( )∫+∞ a dxxf . Như vậy ( ) ( )∫∫ +∞→ +∞ = A a A a dxxfdxxf lim: . Nếu giới hạn này hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng đó hội tụ và f khả tích trên [ )+∞,a . Nếu giới hạn này vô hạn, hoặc không tồn tại thì tích phân suy rộng đó phân kỳ. Tương tự, tích phân suy rộng của hàm số f trên khoảng ( ]a,∞− được định nghĩa là ( ) ( ) ( )aAdxxfdxxf a A A a <′= ∫∫ ′+∞→′∞− lim: Và trên khoảng ( )+∞∞− , Dễ thấy ( ) ( ) ( )∫∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− += a a dxxfdxxfdxxf với a là số thực bất kỳ. Sự hội tụ của tích phân suy rộng với cận vô tận Trường hợp ( ) 0≥xf b.Định lý ( so sánh ). Giả sử ( ) ( )xgxf ≤≤0 với ax ≥ . Khi đó, nếu ( )∫+∞ a dxxg hội tụ thì ( )∫+∞ a dxxf hội tụ nếu ( )∫+∞ a dxxf phân kỳ thì ( )∫+∞ a dxxg phân kỳ. c.Định lý ( So sánh dạng giới hạn ) ( ) ( )∫∫ ′+∞→ +∞→′ +∞ ∞− = A AA A dxxfdxxf lim: 16 Nếu ( ) ( ) 0, ≥xgxf và ( ) ( ) ( )+∞<<=+∞→ kkxg xf x 0lim Thì các tích phân ( )∫+∞ a dxxf và ( )∫+∞ a dxxg cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. d.Hệ quả ( dấu hiệu hội tụ Cauchy). Giả sử x đủ lớn hàm số f(x) có dạng ( ) ( ) ( )0>= αϕ αx xxf Khi đó • Nếu 1>α và ( ) +∞<≤ cxϕ thì ( )∫+∞ a dxxf hội tụ. • Nếu 1≤α và ( ) 0>≥ cxϕ thì ( )∫ +∞ a dxxf phân kỳ. Giả sử hàm số f(x) là một vô cùng bé bậc 0>α ( so với x 1 ) khi +∞→x . Khi đó: • Nếu 1>α thì ( )∫+∞ a dxxf hội tụ. • Nếu 1≤α thì ( )∫+∞ a dxxf phân kỳ. Trường hợp f(x) có dấu tuỳ ý Tiêu chuẩn hội tụ. Để tích phân suy rộng ( )∫+∞ a dxxf hội tụ, cần và đủ là với mọi 0>ε tồn tại 00 >A sao cho với mọi 0AA > và mọi 0AA >′ ta luôn có ( ) ε<∫ ′A A dxxf . Định lý. Nếu ( )∫+∞ a dxxf hội tụ thì ( )∫+∞ a dxxf hội tụ. 17 Định nghĩa. Nếu ( )∫+∞ a dxxf hội tụ cùng với ( )∫ +∞ a dxxf thì ta bảo tích phân ( )∫+∞ a dxxf hội tụ tuyết đối và f là khả tích tuyệt đối trên [ )+∞,a . Còn nếu ( )∫+∞ a dxxf hội tụ nhưng ( )∫+∞ a dxxf phân kỳ thì ta nói ( )∫+∞ a dxxf bán hội tụ. Định lý. Nếu f(x) khả tích tuyệt đối trên [ )+∞,a , còn g(x) bị chặn, thì tích f(x)g(x) khả tích tuyệt đối trên [ )+∞,a , còn g(x) bị chặn, thì tích f(x)g(x) khả tích tuyệt đối trên [ )+∞,a . Định lý (Abel). Giả sử các hàm số f(x), g(x) cùng xác định trên [ )+∞,a và f(x) khả tích trên [ )+∞,a . g(x) đơn điệu và bị chặn tr._.ên [ )+∞,a . Khi đó tích phân ( ) ( )∫+∞ a dxxgxf hội tụ Định lý (Dirichlet). Giả sử f(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [ ] ( )0, >AAa và tích phân ( )∫A a dxxf bị chặn với mọi [ )+∞∈ ,aA g(x) đơn điệu tiến về không khi +∞→x khi đó tích phân ( ) ( )∫ +∞ a dxxgxf hội tụ. Lưu ý : với các tích phân ( )∫ ∞− a dxxf và ( )∫+∞ ∞− dxxf ta cũng có các mệnh đề tương tự. 1.3.3.2.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn a. Định nghĩa: Giả sử f(x) bị chặn và khả tích trên mọi đoạn [ ] ( )abba −<<− ηη 0, nhưng không bị chặn trên [ ]bb ,η− . Khi đó b được gọi là điểm bất thường. Giới hạn (nếu có) của ( )∫ −ηb a dxxf khi 0→η gọi là tích phân suy rộng của f trên [ ]ba, và kí hiệu ( )∫b a dxxf . Vậy ( ) ( )∫∫ − →= η η b a b a dxxfdxxf .0 lim: 18 Nếu giới hạn này hữu hạn ta bảo tích phân suy rộng đó hội tụ và gọi f là hàm khả tích trên [ ]ba, . Nếu giới hạn này vô hạn, hoặc không tồn tại, thì ta bảo tích phân ( )∫ b a dxxf phân kỳ. Tương tự , nếu f(x) bị chặn và khả tích trên mọi đoạn [ ]ba ,η′+ nhưng không bị chặn trên [ ]η′+aa, (điểm a là điểm bất thường) thì ( ) ( )∫∫ ′+→′ = b a b a dxxfdxxf ηη .0 lim: Nếu f(x) không bị chặn tại c (a<c<b) thì ( ) ( ) ( )∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf : Trong đó tích phân suy rộng ở vế trái hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân suy rộng ở vế phải hội tụ. b. Điều kiện hội tụ Đối với tích phân của hàm số không bị chặn ta có một số định lý sau đây ( phát biểu cho trường hợp b là điểm bất thường), o Nếu F là nguyên hàm của f trên [ )ba, thì ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )aFbFaFbFdxxfb a −−=−−= →∫ ηη 0lim o Nếu ( ) ( )xgxf ≤≤0 và ( )∫b a dxxg hội tụ thì ( )∫b a dxxf hội tụ 1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng: 1.4.1Toán tử: Toán tử là một qui tắc toán học dùng để biến đổi một hàm này sang hàm khác có cùng bản chất: trong đó toán tử ^ F được kí hiệu bằng chữ có mũ, còn qui tắc tác dụng của nó được viết dưới dạng một phép nhân ψ với ^F và được gọi là “toán tử ^F tác dụng lên hàm ψ cho hàm ϕ ” Để làm sáng tỏ ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Toán tử toạ độ hay toán tử nhân ^ F = ^ x = x ^ Fψ ϕ= 19 ( ) ( ) ( )^x x x x xϕ ψ ψ= = (4.2) Ví dụ 2: Toán tử vi phân ^ ^ ,d dF dx dx = = ( ) ( ) ( ) ^ d dx x x dx dx ϕ ψ ψ= = (4.3) Ví dụ 3: Toán tử Laplace: 2 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2x x x y z ψ ψ ψϕ ψ ∂ ∂ ∂=∇ = + +∂ ∂ ∂ (4.4) Vì các hàm ψ và ϕ ở trong biểu thức (4.1) nói chung là những hàm phức cho nên các toán tử trong trường hợp tổng quát cũng là những toán tử phức. Trong số tất cả những toán tử có thể có ta chỉ xét một lớp quan trọng những toán tử, đó là những toán tử tuyến tính. Tóan tử ^ F được gọi là một toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn đòi hỏi sau: ( )^ ^ ^1 1 2 2 1 1 2 2F C C C F C Fψ ψ ψ ψ+ = + (4.5) trong đó 1 2,ψ ψ là hai hằng số tuỳ ý, còn 1 2,C C là những hằng số phức tuỳ ý. Từ định nghĩa (4.5) ta thấy tính chất tuyến tính của toán tử ^ F biểu thị nguyên lí chồng chất trạng thái. Thật vậy theo định nghĩa về toán tử ta có: ^ ^ 1 1 2 2,F Fψ ϕ ψ ϕ= = , nên (4.5) trở thành: ( )^ ^ ^1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2C F C F C C F C Cψ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ+ = + = + = nghĩa là ϕ là tổ hợp tuyến tính của hai hàm 1 2,ϕ ϕ . Hay nói cách khác, kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính lên một hàm là tổ hợp tuyến tính của hai hàm 1 2,ψ ψ thì bằng tổ hợp của những kết quả tác dụng của toán tử đó lên mỗi hàm riêng biệt. Rõ ràng rằng các toán tử ^ x ; ^ d dx và 2∇ trong các thí dụ (1), (2), (3) là những toán tử tuyến tính. Còn toán tử chứa tác dụng lấy căn số ( hay toán tử ) 20 không phải là toán tử tuyến tính. Tất cả các toán tử dùng trong phương trình vật lý toán là những toán tử tuyến tính ; do đó về sau này khi nói đến toán tử là ta ngụ ý nói đến các toán tử tuyến tính. 1.4.2 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử. Nói chung khi cho toán tử A tác dụng lên hàm ( )xΨ thì ta được hàm số ( ) ( )xx ψϕ ≠ . (Với ( )x là tập hợp biến số nào đó). Nhưng cũng có trường hợp ta lại được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số. Tức là: ( )xAΨˆ = A ( )xΨ Khi đó ta nói ( )xΨ là hàm riêng của toán tử A và phương trình trên gọi là phương trình trị riêng của toán tử Aˆ . còn A được gọi là trị riêng ứng với hàm riêng ( )xΨ của toán tử Aˆ . Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì ứng với một trị riêng (cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trường hợp này gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phương trình trị riêng và được viết như sau: nAˆ ( ) ( )xuAxu nnn = Trong đó ( )xu là hàm riêng ứng với trị riêng nA (n = 1;2;3;4;5…). Số trị riêng có thể có là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục. Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của một toán tử đó. Thí dụ: Cho toán tử Aˆ = ( )xi ∂ ∂− . Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử Aˆ , biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng ( )L,0 . Gọi nA và ( )xun là trị riêng và hàm riêng tương ứng của toán tử Aˆ thì phương trình trị riêng của toán tử Aˆ là: ( ) nnn uAx u i =∂ ∂− (ta không viết đối số tọa độ để khỏi rờm rà) xiA u u n n n ∂=∂ .lnln CxiAu nn ==⇒ xiA n nCeu =⇒ Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa. Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng ( )L,0 nên ta có ( ) ( )Luu nn =0 . Tức là: 1=⇒= LiALiA nn eCeC 21 ( ) πnLA LA n n 2 1cos =⇒ =⇒ Từ đó ta được L nAn π2= . ( n= 0;2;3;…). Ta thấy An có giá trị gián đoạn theo số nguyên n. Còn hàm riêng tương ứng với An là: ( ) xL ìn n Cexu π = . TIỂU KẾT CHƯƠNG I Nhìn chung cơ sở lý luận của đề tài, ta thấy chương I gồm bốn phần, đó là lý luận về bài tập vật lý,các loại bài toán biên, các chuỗi và hệ trực giao, khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng. Ngoài ra, cơ sở toán học của bài toán được trình bài khá cô đọng và ngắn gọn, tránh đi sâu chi tiết vào việc chứng minh các công thức, định lý, mà chỉ nêu ra với mục đích là sử dụng công thức, định luật đó trong bài toán, dựa vào đó để giải các bài toán truyền nhiệt trong phương trình toán lý. Hơn nữa chúng tôi còn đưa ra phần phụ lục ở cuối luận văn để người đọc dễ tra cứu. 22 CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM HÀM BESSEL 2.1 KHÁI NIỆM HÀM BESSEL Ta xét các quá trình sóng trong không gian, đặt biệt sự phân bố dừng của chúng và được mô tả bằng phương trình Laplace . Phương trình sóng đồng nhất ba chiều có dạng: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x ua t u (2.1) Phương trình truyền nhiệt trong vật thể đồng chất có dạng ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x ua t u (2.2) Trong trường hợp khi hàm u = u(x,y,z) không phụ thuộc vào t thì 0=∂ ∂ t u và 02 2 =∂ ∂ t u , ta có phương trình Laplace: 02 2 2 2 2 2 =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ z u y u x u (2.3) Hay 0=∆u với u = u(x,y,z) . Ta chuyển sang toạ độ trụ, bằng cách đặt: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = zz ry rx ϕ ϕ sin cos Khi đó ta được các hàm u và toán tử Laplace cho toạ độ trụ là: ( )zruu ,,ϕ= Và 2 2 2 2 2 1111 zrr r rr ∂ ∂+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂∂=∆ ϕ Phương trình Laplace trong toạ độ trụ có dạng 0111 2 2 2 2 2 =∂ ∂+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂∂ z uu rr ur rr ϕ (2.4) 23 Bằng phương pháp tách biến, ta đặt: ( ) ( ) ( )ϕϕ Φ= zrVzru ,,, Thay vào phương trình (2. 4), ta được 02 2 2 2 2 =∂ ∂Φ+∂ Φ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂Φ z V r V r Vr rr ϕ (2.5) Ta nhân phương trình (2.5) với ΦV r 2 , ta được: Φ Φ ′′−=∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 22 z V V r r Vr rV r (2.6) Ta thấy phương trình (2.6) có vế trái không phụ thuộc vào ϕ , vế phải không phụ thuộc vào r và z, do đó hai vế phương trình này phải bằng một hằng số và đặt là v2, nghĩa là: 2 2 22 v z V V r r Vr rV r =Φ Φ ′′−=∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.7) Từ đây ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =Φ+Φ ′′ 0 0 2 2 22 2 v z V V r r Vr rV r v ϕϕ Nhân phương trình thứ hai với 2r V , ta được hệ phương trình ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =Φ+Φ′′ 01 0 2 2 2 2 2 V r v z V r Vr rr v ϕϕ (2.9) Với phương trình (2.8), ta có nghiệm ϕϕ vBvA sincos +=Φ . Còn phương trình (2.9), tiếp tục dùng phương pháp tách biến để giải bài toán bằng cách đặt V(r,z)=R(r)Z(z) rồi thế vào phương trình (2.9), ta được: 02 2 =−′′+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ RZ r vZR r Rr rr Z (2.10) Nhân (2.10) với RZ 1 , ta được: 2 2 21 λ−=′′−=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Z Z r v r Rr rrR (2.11) (2.8) 24 Cũng tương tự như trên, ta đặt hằng số của vế phải và vế trái của phương trình (2.11) là 2λ− . Từ đây, ta có hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =−′′ 01 0 2 2 2 2 r v r Rr rrR ZZ λ λ Nhân phương trình thứ hai với R, ta được hệ phương trình: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =−′′ 01 0 2 2 2 2 R r v r Rr rr ZZ λ λ (2.13) Với phương trình (2.12), ta có nghiệm ( ) λλ DshzCchzzZ += . Còn với phương trình (2.13), ta biến đổi đại lượng dr dR rdr Rd r Rdv dr dR rr Rr rr 111 2 2 2 2 +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ thay vào phương trình (2.13), ta được phương trình sau đây: 01 2 2 2 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ R r v dr dR rdr Rd λ (2.14) Từ phương trình (2.14), ta có thể biến đổi tiếp bằng cách đặt ( ) ( )⎩⎨ ⎧ ≡ = xRrR rx λ Ta được hệ phương trình: 011 2 2 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ R x v dx dR xdx Rd (2.15) Phương trình (2.15) được gọi là phương trình Bessel trong toạ độ trụ. Một cách tổng quát hơn, ta có: Phương trình Bessel: ( )2 2 2" ' 0x y xy x v y+ + − = trong đóv là hằng số. Nghiệm của phương trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm Bessel. Nó là một phương trình vi phân thông thường hạng hai có hệ số thay đổi. Nghiệm của nó được gọi là hàm Bessel. Vì nó đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các quá trình vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, vì vậy nó còn có tên là hàm trụ. 2.12 25 2.2.CƠ SỞ CHO VIỆC XÂY DỰNG HÀM BESEL, PHƯƠNG TRÌNH HÀM BESSEL 2.2.1.Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel. Hàm Bessel được biểu diễn dưới dạng một nghiệm do đó hàm Bessel có liên quan nhiều đến lý thuyết chuỗi như: chuỗi Fourier, chuỗi luỹ thừa… Bên cạnh đó còn có điều kiện hội tụ, tích phân suy rộng, hàm Garma…...Chúng làm cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel. Phương trình Bessel là phương trình có dạng: ( )2 2 2" ' 0x y xy x v y+ + − = (2.16) trong đó v là hằng số. Phương trình Bessel có điểm kỳ dị tại x=0. Vì thế, ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng chuỗi ( )0; 0 0 ≠= ∑∞ = axaxy k k k ρ (2.17) Đặt chuỗi (2.17) vào phương trình (2.16) ta có: ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ } 01 2 2 221 1 22 0 22 =+−++−++− + ∞ = − + ∑ k k kk xaavkxavxav ρρρ ρρρ (2.18) Chuỗi (2.18) chỉ bằng không khi các hệ số của x bằng không. Tức là: ( ) 0022 =− avρ (2.19) ( )[ ] 01 1122 =−+ +ρρ xav (2.20) ( )[ ] 0222 =+−+ −kk aavkρ (2.21) Từ (2.19) suy ra v±=ρ • Nếu v=ρ thì ( ) ( ),...4,3,2;2 ,0 2 1 =+= = − k kvk aa a k k (*) Suy ra ( )....2,1,0;012 ==+ ka k .(**) Vậy : • k=2 ( ) ;!1122 02 +−=⇒ v aa 26 • k=4 ( ) ( ) ( )( ) ;!2212!222424 4 02 224 ++−=+−=+−=⇒ vv a v a v aa • k=6 ( ) ( ) ( )( )( ) ;!33212!332626 6 0446 +++−=+−=+−=⇒ vvv a v a v aa • n=2k ( )( )( ) ( ) ;!...212 1 2 0 2 kkvvv a a k k k +++ −−=⇒ Chọn 0a có dạng ( )12 1 0 +Γ= va v trong đó ( )vΓ là hàm Gamma xác định đối với mọi giá trị dương v ( cũng như xác định đối với mọi giá trị phức với phần thực dương ) có dạng ( ) ∫∞ −−=Γ 0 1dxxev vx . Khi chọn 0a , hệ số ka2 có thể viết dưới dạng ( ) ( )( ) ( ) ( )1...21!2 1 22 +Γ+++ −= + vkvvvka vk k k (2.22) Biểu thức (2.22) có thể biểu diễn qua hàm Gamma. Nếu sử dụng tính chất của hàm Gamma ( ) ( )vvv Γ=+Γ 1 có thể viết ( )( ) ( ) ( ) ( )11.....21 ++Γ=+Γ+++ kvvvkvvv -4 -2 -4 -2 2 4 x ( )xΓ 2 4 Hình 7.1: Đồ thị hàm ( )vΓ 27 Chú ý rằng ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+Γ ==Γ ∫∞ − !1 11 0 kk dxe x , công thức (2.22) có dạng gọn hơn ( ) ( )1!2 1 22 ++Γ −= + kvka vk k k Thay có giá trị của hệ số ka2 , 12 +ka vào chuỗi ta nhận được nghiệm riêng của phương trình (2.16): ( ) ( ) ( )1! 2 1 2 0 ++Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− = + ∞ = ∑ kvk x xJ vk k k v (2.23) Nghiệm này được gọi là hàm Bessel loại I cấpν .Chuỗi (2.23) hội tụ với mọi x. Sử dụng nghiệm thứ hai v−=2ρ có thể tìm được nghiệm thứ hai của phương trình (2.16), nó nhận được bằng cách thay v bằng - v . Bởi vì phương trình (2.16) chỉ chứa v 2 nên nó không thay đổi khi thay v bằng - v . Ta có ( ) ( ) ( )1! 2 1 2 0 ++−Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− = − ∞ = − ∑ kvk x xJ vk k k v (2.24) x ( )x nJ ( )xJ 0 ( )xJ1 ( )xJ 2 ( )xJ 3 Hình 7.2. Đồ thị hàm Bessel loai 1 ( )xnJ 28 Nếu v không phải số nguyên thì nghiệm riêng ( ) ( )xJxJ vv −, của phương trình sẽ độc lập tuyến tính, bởi vì khai triển các số hạng của (*) và (**) theo các bậc khác nhau của x. Nếu v là số nguyên dương n thì dễ dàng thấy rằng các nghiệm ( ) ( )xJxJ vv −, là phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, khi v nguyên, k=0,1,2….,n-1 thì đại lượng(- v +k+1) nhận các giá trị nguyên âm hay bằng không, đối với các giá trị này ( ) ∞=++−Γ 1kv điều này suy từ các công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −∞=− Γ=−Γ⇒ ∞=Γ=Γ⇒ +Γ=Γ 1 01 , 0 10 1 m mm Như vậy n hạng thức đầu tiên trong khai triển chuyển bằng không. Do đó có ( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 ++−Γ+Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− = +− ∞ = − ∑ knk x xJ kn k nk n Nếu đặt k = n+1 thay vào công thức trên, ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 1 11 2 11 2 0 22 0 +Γ++Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− −=+Γ++Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−− = + ∞ = ++− ∞ = − ∑∑ lln x lln x xJ ln l l n lnn ln l n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 1 2 0 ++Γ+Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− −= +− ∞ = − ∑ lnl x xJ ln l l n n , Suy ra ( ) ( ) ( )xJxJ nnn 1−=− . Nếu v là số nguyên dương n thì nghiệm ( ) ( )xJxJ vv −, là phụ thuộc tuyến tính. Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình với v bằng số nguyên n cần phải tìm một số hạng khác độc lập tuyến tính với ( )xJv . Muốn vậy ta đưa hàm ( )xYv về dạng ( ) ( ) ( )π π v xJvxJxY vvv sin cos −−= Chú ý rằng: ( ) ( ) ( ) ( )π π v xJvxJ xYxY vv nvvnvn sin cos limlim −→→ −== 29 Vì ( ) ( ) ( )xJxJ nnn 1−=− cho nên khi lấy giới hạn biểu thức trên có dạng 00 , áp dụng quy tắc L’Hopital thu được biểu thức tường minh của ( )xYn : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ − = + − = −− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++Γ ++Γ′++Γ +Γ′ + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−−−= 1 0 2 1 0 2 1 1 1 1 ! 2 1 1 2! !11 2 ln2 n k kn k n k kn nn kn kn k k nkk x x k knxxJxY πππ Khi n = 0 , hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ! 2 1 2 2 ln2 0 2 2 00 +Γ +Γ′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− −= ∑∞ = k k k x xxJxY k k k ππ Rõ ràng hàm ( )xYv này cũng là nghiệm của phương trình (2.16), bởi vì nó là tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm riêng ( ) ( )xJxJ vv −, của phương trình này. ( )xYv được gọi là hàm Bessel loại II cấp v là số hữu tỷ, nó tạo nên hệ nghiệm cơ bản của phương trình (2.16). Đó là: ( ) ( )xYCxJCy vv 21 += 2.2.2. Phương trình và hàm Bessel: a) Phương trình Bessel: là phương trình có dạng: ( )2 2 2" ' 0x y xy x v y+ + − = (2.25) trong đó v là hằng số. Nghiệm của phương trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm Bessel. x ( )x nY Hình 7.3 Đồ thị hàm Bessel loại II ( )xnY 0,2 -0,2 30 • Hàm Bessel loại I cấp v : ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 ! 1 k v k v k x J x k v k + ∞ = ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= Γ + +∑ (2.26) thay v bằng –v , ta được: ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 ! 1 k v k v k x J x k v k − ∞ − = ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= Γ − + +∑ (2.27) các phép tính cho thấy : nếu v nguyên (v = n )thì nghiệm ( )vJ x và ( )vJ x− phụ thuộc tuyến tính: ( ) ( ) ( )1 nn nJ x J x− = − , còn v n≠ thì ( )vJ x và ( )vJ x− độc lập tuyến tính. Khi đó nghiệm tổng quát của (1) có thể biểu diễn bởi: ( ) ( )1 2v vy C J x C J x−= + • Hàm Bessel loại II cấp v : ( ) ( ) ( )cos sin v v v J x v J x Y x v π π −−= Chú ý: ( ) ( ) ( ) ( )coslim lim sin v v n vv n v n J x v J x Y x Y x v π π − → → −= = Vì ( ) ( ) ( )1 nn nJ x J x− = − cho nên khi lấy giới hạn biểu thức trên có dạng 0/0, áp dụng qui tắc L ’Hopital thu được biểu thức tường minh của ( )nY x : ( ) ( ) ( ) 21 0 1 !2 1ln 2 ! 2 n kn n n k n kx xY x J x kπ π − +− = − − ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 ' 1 ' 11 2 . ! 1 1 n k k n k x k n k k k n k n kπ + − = ⎛ ⎞− ⎜ ⎟ ⎡ ⎤Γ + Γ + +⎝ ⎠− +⎢ ⎥+ Γ + Γ + +⎣ ⎦∑ Do ( )vJ x và ( )vY x là hai hàm độc lập tuyến tính nên nghiệm của (1) có thể biểu diễn dưới dạng: ( ) ( )1 2v vy C J x C Y x= + 31 Trường hợp riêng: hai hàm ( )0J x và ( )1J x là hai hàm quan trọng nhất trong vật lý, ta biểu biễn chúng dưới dạng chuỗi như sau: ( ) 2 4 60 2 2 2 2 2 21 .....;2 2 4 2 4 6 x x xJ x = − + − +× × × ( ) 2 4 61 2 2 21 .....;2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 x x x xJ x ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟× × × × × ×⎝ ⎠ 2.3. TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL Các hàm v i xJ L µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ trực giao và chuẩn hoá trong đoạn: 0 x L< < • Tính trực giao thứ nhất của hàm Bessel: Công thức: ( ) ( )2 2' 2 20 1 0, , 2 2 L v i v j v i v i i j x xxJ J dx L LL L J J i j µ µ µ µ+ ≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎪⎩ ∫ với iµ và jµ là hai nghiệm dương của phương trình ( ) ( )0 1vJ x v= > − • Tính trực giao thứ hai của hàm Bessel: Công thức: ( )2 2 2 2 22 20 0, 1 , 2 L i jv i v j v i j x xxJ J dx L v JL L i j µ µ µµ µ α β µβ µ ≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎛ ⎞= ⎧−⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎨⎪ =⎩⎝ ⎠⎩ ∫ với iµ và jµ hai là nghiệm dương của phương trình ( ) ( )' 0v vJ x xJ xα β+ = ( )1v > − 2.4 CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL 2.4.1 Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Bessel. Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel v i xJ L µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ với hệ số khai triển là ia : ( ) 1 , 1, 0i v i i xf x a J v x L L µ∞ = ⎛ ⎞= > − < <⎜ ⎟⎝ ⎠∑ • Nếu ( )1,2,3,...i iµ = là nghiệm của phương trình ( ) 0vJ x = , theo công thức ở trên thì : 32 ( ) ( )2 2' 2 20 1 0, , 2 2 L v i v j v i v i i j x xxJ J dx L LL L J J i j µ µ µ µ+ ≠⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎪⎩ ∫ Nhân hai vế với v i xxJ L µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số: ( ) ( )2 2 1 0 2 L i v i v i xa xf x J dx LL J µµ+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ Người ta gọi khai triển này là khai triển Fourier – Bessel. • Nếu ( )1,2,...i iµ = là nghiệm của phương trình ( ) ( )' 0v vJ x xJ xα β+ = , theo công thức ở trên thì ( ) ( )2 2 2 2 20 2 2 0, 1 , 2 L v i v j i j v i j x xxJ J dx L vL L J i j µ µ µ µ µα β µβ µ ⎧ ≠⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = =⎧⎛ ⎞⎨ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨⎜ ⎟⎪ =⎝ ⎠ ⎩⎩ ∫ Nhân hai vế với v j xxJ L µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra được hệ số: ( ) ( )2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 L i v i v i i xa xf x J dx LvL J µα β µβ µ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠−+⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ Người ta gọi khai triển này là khai triển Dyni – Bessel. 2.4.2 Đa thức Legendre. Phương trình Legendre có dạng ( ) 01 2 =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ydxdyxdxd λ (2.28) hoặc ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−+− =+−− 021 021 2 2 2 2 2 2 y dx dyx dx ydx y dx dyx dx ydx λ λ (2.29) 33 Trong đó λ là tham số nào đó, phương trình có các điểm đặc biệt tại 1±=x . Vấn đề đặt ra là tìm giá trị của tham số λ , sao cho phương trình tồn tại nghiệm không tầm thường trong đoạn [ ]1,1− . Tìm nghiệm của phương trình Legendre dưới dạng chuỗi ∑∞ = = 0n n n xay Thay y vào (2.29) ta nhận được: ( ) ( ) ∑∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = −∞ = =−+−−− 022 2 2 0211 n n n n n n n n n n n n xaxnaxannxann λ Thay n=2 vào số hạng thứ hai ta được: ( )[ ] ( )( ) 0121 2 =++−−+ +nn annann λ Hay là ( ) ( )( ) nn ann nna 21 1 2 ++ −+=+ λ các hệ số 0a và 1a tuỳ ý. Khi 00 ≠a , 01 =a ta có nghiệm riêng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc chẵn của x. Khi 00 ≠a , 01 ≠a ta có nghiệm riêng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc lẻ của x. Khi λ =n(n+1) phương trình có nghiệm dưới dạng chuỗi dến bậc n. Tìm nghiệm tương ứng của phương trình ( ) ( ) 011 2 =++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ynndxdyxdxd Hay ( ) ( ) 0121 222 =++−− ynndxdyxdx ydx có dạng chuỗi bậc n. Xét đa thức bậc 2n: ( )nxz 12 −= Phương trình trên thoã phương trình vi phân sau: ( ) 0212 =−− nxz dx dzx Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên n lần theo x, ta nhận được: ( ) ( ) ( ) ( ) 011 12 =++− −nn znn dx dzx 34 Nếu lấy vi phân phương trình này một lần nữa theo x, sẽ tìm được ( )nz thoã mãn phương trình (2.28): ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;012111 122112 =++−−=′++− ++−+ nnnnn znnxzzxznnzx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0121 2 =++−− nnn znn dx dzx dx dzx . Như vậy phương trình (2.29) có nghiệm: ( ) ( ) n nn n dx xdCCzy 1 2 −== , trong đó C là hằng số. Đặt !2 1 n C n= , ta có ( ) ( ) ( )...2,1,0,1 !2 1 2 =−== n dx xd n xPy n nn nn (2.30) Đây là đa thức Legendre, là nghiệm của phương trình (2.28) khi ( )1+= nnλ . Một vài giá trị đầu tiên của nghiệm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).35 2 1 ;13 2 1 ; ;1 3 3 2 2 1 0 xxxP xxP xxP xP −= −= = = Chứng minh rằng, các đa thức Legendre với bậc khác nhau trực giao và chuẩn hoá với nhau trong khoảng (-1;+1). Phương trình của hai đa thức Legendre khác nhau là: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ).,01 01 2 2 nm xPxPx dx d xPxPx dx d nnn mmm ≠ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =+′− =+′− λ λ Nhân phương trình thứ nhất với ( )xPn , phương trình thứ hai với ( )xPm , trừ hai phương trình vừa có được với nhau, sau đó lấy tích phân hai vế trong khoảng từ (- 1;+1), ta được: 35 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] dxxPx dx dxPxPx dx dxPdxxPxP mnnmmnnm ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ′−−′−=− ∫∫ −− 22 1 1 1 1 11λλ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 01 1 1 2 =′−′−= =−=xxmnnm xPxPxPxPx Như vậy ( ) ( ) ( ) 0 1 1 =− ∫ − dxxPxP mnnm λλ Hay là ( ) ( ) ( )nmdxxPxP mn ≠=∫ − ;0 1 1 tức là các đa thức Legendre trực giao nhau trên đoạn (-1;+1). Bây giờ chuẩn hoá đa thức Legendre ( ) 01 1 2 == ∫ − dxxPH nn Sử dụng công thức tường minh của đa thức Legendre, tích phân trên có dạng ( ) ( ) ( ) .11 !2 1 2 21 1 2 2 22 dx dx xd dx xd n H n nn n nn nn −−= ∫ − Tích phân từng phần n lần và chú ý rằng sẽ xuất hiện một hạng thức bên ngoài tích phân bằng không, ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .1!2 !2111!2 1 1 1 2 222 21 1 2 22 1 1 2 dxx n ndx dx xdx n dxxP n n n n nn n n n n ∫∫∫ −−− −−=−−−= Biết rằng: ( ) ( ) ( ) ,12...5.3 2...4.2.2.11 1 1 2 +−=−∫− n ndxx nn Do đó ( ) 12 21 1 2 +=∫− ndxxPn Như vậy, tính trực giao và chuẩn hoá của đa thức Legendre trên đoạn (-1;+1) là: ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ ≠ =∫ − nmn nm dxxPxP mn , 12 2 ,01 1 (2.31) 36 Với tính trực giao của các đa thức Legendre, có thể khai triển hàm bất kỳ vào chuỗi các đa thức Legendre ( ) ( ), 0 xPaxf n n n∑∞ = = Trong đó ( ) ( )dxxPxfna nn ∫ − += 1 12 12 . Tóm lại: a)Phương trình Legendre: Là phương trình có dạng: ( ) ( ) 2 2 21 0, 1 11 1 d dy mx y x dx dx x y λ⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤− + − = − < <⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎨⎪ ± < ∞⎩ • Khi m = 0: nghiệm của phương trình Legendre xác định đa thức Legendre ( )nP x : ( ) ( ) ( )2 11 . 0,1,2,... 2 ! nn n n n d x P x n n dx −= = ; ( )1n nλ = + • Khi 0m ≠ nghiệm của (1) sẽ xác định đa thức Legendre liên kết cấp m ( ) ( ) ( ) ( )2 21 mmm nn m nd P xP x x dx += − ( )0,1,2,...m = tương ứng trị riêng ( ) ( )1 1,2,...n n n nλ = + = ; m n≤ b)Tính trực giao và chuẩn hóa của các đa thức Legendre: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0, !2 ; 2 1 ! m m n k k n P x P x dx n m k n n n m− ≠⎧⎪= +⎨ =⎪ + −⎩ ∫ ( ) ( ) ( )( ) 2 !2 . 2 1 ! m n n m P x n n m += + − c) Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Legendre: ( ) ( ) 0 n n n f x a P x ∞ = =∑ với ( )1 1 2 1 2n na f dξ ξ − += ∫ 37 2.4.3 Hàm cầu. Xét phương trình Laplce được viết trong hệ toạ độ cầu 2 2 222 2 2 sin 1sin sin 11 ϕθθθθθ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∆ u rrr ur rr u (2.32) Trong đó ( )ϕθ ,,ruu = . Dùng phương pháp tách biến đặt ( ) ( ) ( )ϕθϕθ ,,, YrRru = Thay vào (2.32) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, sin 1,sin sin , 2 2 2 2 =∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕθ θθ ϕθθθθϕθ YYrR r rRr r Y Chia hai vế cho ( ) ( )ϕθ ,YrR ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, sin 1,sin sin 1 , 11 2 2 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕθ θθ ϕθθθθϕθ YY Yr rRr rrR ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λϕ ϕθ θθ ϕθθθθϕθ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂⇔ r rRr rrR YY Y 2 2 2 2 1, sin 1,sin sin 1 , 1 Chọn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ λϕ ϕθ θθ ϕθθθθϕθ λ 2 2 2 2 , sin 1,sin sin 1 , 1 1 YY Y r rRr rrR Bằng cách chọn λ cho các biểu thức trên ta có các phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ =+⇔ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ dr rdR rR r dr rRd rR r r rRr rrR )( 2 1 2 22 2 Và ( ) ( ) ( ) 0,, sin 1,sin sin 1 2 2 2 =+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕθλϕ ϕθ θθ ϕθθθθ Y YY Hàm R thoả mãn phương trình 022 =−′+′′ RRrRr λ Nghiệm của phương trình có dạng: ( ) 1++= nnnn r BrArR 38 trong đó n thoả mãn phương trình λ =n(n+1). Xét bài toán ngoài, do n nguyên, 10 +=⇒= nnn r B RA Phương trình Y có dạng 0 sin 1sin sin 1 2 2 2, =+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=+∆ YYYY λϕθθθθθλϕθ Hàm Y thoã mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∞<∞< += ϕπϕθ πϕθϕθ ,,, 2,, YY YY Nghiệm phương trình Laplace có dạng ( ) ( )1,,, += nnR Yru ϕθϕθ Người ta định nghĩa hàm cầu là nghiệm của phương trình ( ) 01 sin 1sin sin 1 2 2 2 =++∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ n nn YnnYY ϕθθθθθ (2.33) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∞<∞< += ϕπϕθ πϕθϕθ ,,, 2,, YY YY Phương trình trên còn được gọi là phương trình xác định hàm cầu. Để giải phương trình hàm cầu, chọn ( ) ( ) ( )ϕφθϕθ ., Θ=Y và thay vào (2.33) ta có: ( ) ( ) 01 sin 1sin sin 01 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 =+++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ =+++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ φϕ φ θθθθθ φ φϕ φ θθθθθ φ nn d d d dP d d P Pnn d dP d dP d d Chọn 2 2 21 m d d −=ϕ φ φ , hàm φ thoả mãn phương trình ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =+ =+′′ ϕφπϕφ φφ 2 02m Và ( ) 0 sin 1sin sin 1 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Pmnn d dP d d θθθθθ (2.34) 39 Đặt θθ θ ddx x sin cos −=⇒ = Phương trình (2.34) được đổi sang biến mới ( ) ( ) ( ) 0 sin 11 0 sin 1sin sin 1 2 2 2 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⇔ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Pmnn dx dPx dx d Pmnn d dP d d θ θθθθθ Đây là phương trình xác định đa thức Legendre liên kết, nghiệm của phương trình là: ( ) ( ) ( ) ( )nm dx PdxxPP m n mm m n <−== ,1 22 Hay ( ) ( ) ( ) ( )( )mn m mm n d Pd PP θ θθθ cos cos sincos == Với mỗi n có n+1 nghiệm riêng của phương trình đó là: ( ) ( ) nnnnn PPPP ,...,,, 21 . Với mỗi cặp nghiệm ( ) ⎩⎨ ⎧= ϕ ϕϕφ m m m sin cos tương ứng với n+1 nghiệm, ta có 2n+1 nghiệm của hàm cầu tuyến tính là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧⎪⎩ ⎪⎨⎧ ⎪⎩ ⎪⎨⎧⎪⎩ ⎪⎨⎧ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ nP nP mP mP P P P P P n n n n m n m n n n n n n sincos coscos ,..., sincos coscos ,....., 2sincos 2coscos , sincos coscos , 2 2 1 1 Trong đó m =1,2,…,n; n =0,1,2… Theo công thức trên, ta quy ước 2n+1 hàm cầu là ( ) ( );coscos0 θθ nn PY = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ = =− ϕθθ ϕθθ sincoscos coscoscos 11 11 nn nn PY PY ………………………………. 40 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ = =− ϕθθ ϕθθ mPY mPY m n m n m n m n sincoscos coscoscos ………………………………. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ = =− ϕθθ ϕθθ nPY nPY n n n n n n n n sincoscos coscoscos Vậy nghiệm phương trình (2.33) có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕθθϕϕϕθ ,cossincos, 0 ∑∑ =+= = m nmn m n n m mnn YCPmCmAY Trong đó ( ) ( )⎩⎨ ⎧ > ≤= 0, 0, mA mA C mn mn mn Hàm ( ) ( ) ( )θθ cos0 nn PY = không phụ thuộc vào ϕ được gọi là hàm đới, tức là hình cầu chia thành n+1 miền vĩ tuyến, tại đó dấu của hàm đới được bảo toàn. Xét hàm ( ) ( ) ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= = ± ϕ ϕθ θ k k tP dt dY t nk k kk n cos sin sin cos trên hàm cầu bởi vì sinθ chuyển bằng không ở trên các cực, các hàm ⎩⎨ ⎧ ϕ ϕ k k cos sin chuyển bằng không tại các đường kinh tuyến 2k. Với 2n+1 hàm cầu trực giao và chuẩn hoá có thể khai triển hàm ( )ϕθ ,f bất kỳ vào chuỗi các hàm cầu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θϕϕϕθϕθ cossincos,, 0 00 m n n n m mnmn n n PmBmAYf ∑∑∑ ∞ = = ∞ = +== TIỂU KẾT CHƯƠNG II Chương này hoàn thành việc xây dựng hàm Bessel về khái niệm, cơ sở xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel, các tính chất trực giao và các điều kiện liên quan đến hàm Bessel. Đó là những tiền đề quan trọng phục vụ cho việc giải toán. Khi ta nắm vững các tính chất của hàm thì có thể sử dụng các tính chất đó vào giải toán một cách thuận lợi. 41 CHƯƠNG III: SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 3.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT: Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách: quá trình dẫn nhiệt, quá trình bức xạ nhiệt và quá trình đối lưu. Quá trình dẫn nhiệt bên trong vật là do sự chuyển động của các phân tử bên trong vật. Trong vật rắn, dòng nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao (là nơi có một số lớn các phân tử chuyển động có vận tốc lớn hay ._. + ∞ = ∞ = ∑∑ == 00 ( với 00 ≠a ) 62 ( ) ( ) 1 0 −+∞ = ∑ +=′ sk k k xskaxR ( ) ( ) 2 0 −+∞ = ∑ +=′ sk k k xskax xR ( ) ( )( ) 2 0 1 −+ ∞ = −++=′′ ∑ sk k k xskskaxR ( ) 2 0 −+∞ = ∑= sk k k xax xR ( )[ ] ( )[ ] ( ) ν ν ν ν ±=⇒ =−⇒ −+−=⇒ =−++ −+∞ = +∞ = −+∞ = +∞ = ∑∑ ∑∑ s sa xskaxa xskaxa sk k k sk k k sk k k sk k k 0 0 22 0 2 0 22 0 2 0 22 0 ( )[ ] ( )[ ] 01 01 22 22 1 ≠−+⇒ ⎩⎨ ⎧ ±= =−+ ν ν ν s s sa Vậy 01 =a • Với ν=s ( )[ ] ( )[ ] 2 0 22 00 2 −+ ∞ = −+∞ = +∞ = +−=−+−=⇒ ∑∑∑ vk k k vk k k k k k xvkkaxvvkaxa ν Cuối cùng ta được: ( ) ( )( ) ( )vkvvk a a k k k +++ −= ...212 1 2 0 2 ( ) == ∑ +skkv xaxR 22 - ( )( )( ) ( ) ( )xJvkvvk xa vk vkk =+++ − + ...212 1 2 2 0 ( )xJ v : gọi là hàm Bessel loại một. 63 Để công thức gọn hơn ta đặt ( )12 1 0 +Γ≡ va v với ( ) dxxet tx∫ ∞ −−=Γ 0 1 ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + ++Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− =⇒ 0 2 1 2 1 k vk k v kvk x xJ • Với ν−=s ( ) ( )∑ ∞ = + −− ++Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− =≡ 0 2 1 2 1 k vk k vv kvk x JR với ν không nguyên vv JJ −≠ . Nên ( ) ( ) ( )xJCxJCxR vvv −+= 21 . • Với n=ν (nguyên) thì ( ) ( ) ( )xJxJ nnn 1−=− hai nghiệm này phụ thuộc tuyến tính → vấn đề đặt ra là cần tìm nghiệm riêng khác→ ( )xYn Khi đó, ta gọi ( ) ( ) ( )π π n xJnxJ xY nnn sin cos −−= là hàm Neuman cấp n. ( ( )xYn có dạng 0 0 khi tính phải lấy giới hạn theo quy tắc L’Hopital ) ( ) ( ) ( )xYCxJCxR nvn 21 += Cuối cùng ta có thể viết: ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩⎨ ⎧ + += − xJCxJC xJCxJC xR nn vv v 21 21 n≠ν ; n = 1,2,3….. x ( )xY0 0 ( )01ξ 64 Khi 1>>x dạng tiệm cận ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= 42 sin2 42 cos2 ππ π ππ π nx x xY vx x xJ v v Nghiệm của hàm Bessel ( ) ( )...2,10 =≡→= nxxJ nvn ξ Cuối cùng nghiệm tổng quát của phương trình (3.58) là: ( ) ( )[ ][ ]ϕϕλλ vBACosvxDShxCChxRzyxu sin,, ++= 3.4.2 Bài toán Dirichlet cho khối trụ ( sự truyền nhiệt dừng ) Xét bài toán Dirichlet cho khối trụ. Một khối trụ có mặt bên và mặt xung quanh được giữ ở nhiệt độ không đổi. Nhiệt độ ở mặt dưới thay đổi. Để đơn giản ta sử dụng nhiệt độ của mặt dưới chỉ thay đổi theo bán kính đáy. Bài toán đặt ra là cần xác định nhiệt độ ở trạng thái dừng. Ta ký hiệu hàm nhiệt độ là ( )zT ,,ϕρ , nó thỏa mãn phương trình truyền nhiệt 0=∆T , để thống nhất ký hiệu ta thay UT ≡ nghĩa là: ( )zrUU ,,ϕ= và 0=∆U , các nghiệm phải hữu hạn. Ta có các điều kiện biên sau: ( ) ∞<= == == == 00 , 0,0 rz hzar UrfU UU Ta thấy U không phụ thuộc ϕ Nên ( )zrUUT ,0 =→=∂ ∂ ϕ Toán tử Laplace 2 21 zr r rr ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∆ Do đó phương trình Laplace trong toạ độ trụ có dạng: 01 2 2 =∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ z U r Ur rr (3.77) Dùng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của phương trình (3.77). x y z h a 65 Đặt ( ) ( ) ( ) cótazZrRzrU ,, = : 0=′′+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ZR r Rr rr Z (3.78) Nhân hai vế phương trình (3.78) với RZ 1 ta được: 21 λ−=′′−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Z Z r Rr rRr Với λ là một hằng số. Ta được hệ hai phương trình sau: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−′′ =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 01 2 2 ZZ R r Rr rr λ λ Từ phương trình thứ hai: 02 =−′′ ZZ λ nghiệm tổng quát có dạng ( ) zBshzAchzZ λλ += (3.79) Từ phương trình thứ nhất: 01 01 2 2 =+′+′′⇔ =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ RR r R R r Rr rr λ λ (3.80) Đặt rx λ= khi đó (3.80) trở thành 01 =+′+′′ RR x R (3.81) Ta thấy (3.81) có dạng của phương trình Bessel với 0=ν Khi 0== nν thì: ( ) ( ) ( )xYCxJCxR 0201 += hay ( ) ( ) ( )rYCrJCrR λλ 0201 += Vì ( ) −∞=00Y mà nhiệt độ thì hữu hạn, do đó ta đặt 02 =C thì ( ) ( )rJCrR λ01= (3.82) Ta sử dụng điều kiện biên (3.76) để tìm nghiệm của bài toán: • Điều kiện biên 1: ( ) ( ) ( ) 00 00 001 =⇒== =⇒= == aJaJCaRHay RU arar λλ Vậy ( )0na ξλ = với ( n=1,2,…) 66 ⇒ ( ) a n n 0ξλ = Biểu thức (3.82) có thể được viết lại dưới dạng: ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= a rJCrR nn 0 01 ξ (3.83) Và biểu thức (3.79) có thể viết lại dưới dạng: ( ) ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= a zshB a zchAzZ nnnnn 00 ξξ (3.84) • Điều kiện biên 2: 00 =⇒= == hzhz ZU Suy ra ( ) ( ) 000 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ a hshB a hchA nnnn ξξ Hay ( ) nnn Aa hB ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 0coth ξ Công thức (3.84) được viết lại: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= a zsh a h a zchAzZ nnnnn 000 coth ξξξ ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − =⇒ a hsh a zhsh AZ n n nn 0 0 ξ ξ (3.85) Đặt nnn MCA = , Ta có: ( ) ( ) ( )zZrRzrU nnn =, Từ (3.83) và (3.85) ta có thể viết ( )zrU , dưới dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = a rJ a hsh a zhsh MzrU n n n nn 0 0 0 0 , ξ ξ ξ • Điều kiện biên 3: ( )rfU zn ==0 ( ) ( )rf a rJM nn =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇒ 00 ξ 67 Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − == ∑∑ ∞ = ∞ = a rJ a hsh a zhsh MzrUzrU n n n n nn n 0 0 0 0 11 ,, ξ ξ ξ Nên ( ) ( )rf a rJM nn n =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∑∞ = 0 0 1 ξ Khai triển chuỗi Fourier-Bessel cho hàm f(r), ta được: ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∑∞ = a rJfrf nn n 0 0 1 ξ Với hệ số khai triển ( )( ) ( ) ( ) rdrarJrfJaMf n a n nn ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛== ∫ 00 0 02 1 2 2 ξξ Vậy cuối cùng nghiệm của bài toán là: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∫∑∞ = a rJ a hsh a zhsh rdr a rJrf Ja zrU n n n n a nn 0 0 0 0 0 0 0 02 1 2 1 2, ξ ξ ξ ξξ TIỂU KẾT CHƯƠNG III Chương này, chúng tôi đã hoàn thành việc ứng dụng hàm Bessel vào giải một số bài toán trong phương trình truyền nhiệt. Cụ thể là các bài toán cho các tọa độ, các bài toán cho biên và một số bài toán dừng nhưng đầu tiên chúng tôi phải thiết lập phương trình truyền nhiệt, làm cơ sở cho việc giải các bài toán tiếp theo. Qua đó ta thấy hàm Bessel là một công cụ toán học hữu hiệu giúp chúng ta tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt một cách nhanh chóng và hiệu quả. Ngoài ra, hàm Bessel còn hỗ trợ giải bài toán biên nhiều chiều ( hai chiều, ba chiều...) Ngoài phương pháp hàm Bessel chúng ta có thể dùng phương pháp khác để giải bài toán trong phương pháp toán lý, đó là sử dụng đa thức liên kết Legendre để tìm nghiệm bài toán trong phương trình truyền nhiệt. Mời các bạn tham khảo thêm mục phụ lục dể hiểu rõ hơn, từ đó có thể rút ra nhận xét và so sánh được cách giải bài toán khi sử dụng hàm Bessel, và khi sử dụng đa thức Legendre. 68 PHẦN KẾT LUẬN Qua tổng quan đề tài, chúng tôi đã trình bày cơ sở lý luận toán học một cách ngắn gọn, chỉ đưa ra các công thức mà không chứng minh lại. Đây là cơ sở toán học quan trọng, dựa vào đó để giải các bài toán truyền nhiệt trong phương trình toán lý và cũng tạo điều kiện thuận lợi cho người đọc khi tra cứu tài liệu. Đồng thời chúng tôi cũng xây dựng phương trình và hàm Bessel nhằm giúp cho chúng ta hiểu rõ hơn khái niệm hàm Bessel, các tính chất trực giao và các hệ thức liên quan đến hàm Bessel. Hơn nữa, chúng tôi đã trình bày một một số bài toán có sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán biên, bài toán cho các tọa độ, bài toán dừng.. trong phương trình toán lý. Qua đó chúng ta thấy rằng khi sử dụng hàm Bessel thì việc tìm nghiệm của bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều, đặc biệt hữu hiệu khi tìm nghiệm của bài toán biên nhiều chiều ( hai chiều, ba chiều..). Cụ thể là ở chương III, khi đưa ra bài toán biên nhiều chiều, trong quá trình giải toán qua nhiều bước biến đổi, tới giai đoạn nào đó thì phương pháp tách biến, biến đổi Laplace… không giải quyết được hoặc là khi ta tìm ra nghiệm tổng quát của bài toán, nhưng nghiệm này lại chứa các hệ số, các hệ số đó lại liên quan đến hàm Bessel ( thông thường các hệ số này có thể tìm được bằng phương pháp đồng nhất đa thức, tích phân từng phần nhiều lần mới tìm được nghiệm, để đơn giản ta chỉ cần sử dụng hàm Bessel để tìm ngiệm bài toán.). Do đó, để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt một cách hiệu quả là sử dụng hàm Bessel. Tuy nhiên, không phải bài toán nào chúng ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng hàm Bessel mà chỉ có một số bài toán thuộc dạng đã nêu ở trên mới có thể áp dụng được. Vấn đề đặt ra là chúng ta phải biết dạng của bài toán để có phương hướng giải một cách hiệu quả. Tức là khi ta sử dụng các phương pháp như phương pháp tách biến, phương pháp biến đổi Laplace… mà việc tìm nghiệm ngày trở nên rắc rối, xuất hiện thêm nhiều ẩn số thì chúng ta nên nghĩ ngay đến hàm Bessel để sử dụng. Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy rằng đề tài này có thể làm tài liệu tham khảo về một phương pháp giải hiệu quả bài toán trong học phần phương pháp toán lý. 69 PHỤ LỤC 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Phương trình đạo hàm riêng là một phương trình chứa hàm cần tìm của hai hoặc nhiều biến với các đạo hàm riêng theo các biến này. Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Thí dụ: 2 2u x y x y ∂ = −∂ ∂ là phương trình đạo hàm riêng cấp hai. Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là một hàm, nó thỏa mãn đồng nhất phương trình Nghiệm tổng quát là nghiệm có chứa số hàm tùy ý độc lập bằng số cấp của phương trình (khác với phương trình vi phân thường, nó có nghiệm phụ thuộc vào hằng số) Nghiệm riêng là một nghiệm có thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý Thí dụ: bằng cách thế vào phương trình ta thấy: 2 2 1( , ) +F(x)+G(y) 2 u x y x y xy= − là nghiệm của PTDHR trong thí dụ trên. Nó chứa hai hàm độc lập tùy ý F(x) và G(y), vậy nó là nghiệm tổng quát. Trường hợp riêng 2 5F(x)=sin x; G(y)=2y +3 ta được một nghiệm riêng: 2 2 2 51( , ) +sin x+2y +3 2 u x y x y xy= − Nghiệm đặc biệt là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý. Bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng là bài toán tìm kiếm các nghiệm của phương trình trong miền xác định nào đấy thỏa mãn các điều kiện trên biên của miền, gọi là bài toán biên. Định lý liên quan đến tồn tại và duy nhất nghiệm như vậy của bài toán gọi là định lý tồn tại và duy nhất. Ở đây ta chỉ xét các phương trình phương trình phương trình đạo hàm tuyến tính cấp hai. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến u(x,y) có dạng: 2 2 2 2 2 A u u u u uB C D E Fu G x x y y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.1) trong đó A, B, …., G có thể là hàm của x,y nhưng không phụ thuộc u . Phương trình cấp hai của hàm hai biến không có dạng nêu trên thì ta gọi là hàm phi tuyến. Nếu G = 0, phương trình gọi là thuần nhất, nếu G≠ 0 thì ta gọi là phương trình không thuần nhất. Điều này có thể tổng quát hóa cho phương trình cấp cao hơn. Tùy thuộc vào dấu của 2 4B AC− ta phân loại phương trình đạo hàm riêng : 2 4B AC− >0 – phương trình loại Hyperbolic 2 4B AC− <0 – phương trình loại Eliptic. 2 4B AC− =0 – phương trình loại parabolic 70 PHỤ LỤC 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Trong quá trình giải phương trình đạo hàm riêng, ta thường đưa phương trình đó về việc giải một số phương trình vi phân, phương trình vi phân đó cũng thường là phương trình vi phân tuyến tính. Do đó, ta nghiên cứu cách giải phương trình vi phân tuyến tính. Phương trình vi phân tuyến tính có dạng: 1 0 1 11( ) ( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) n n n nn n d y d y dyL y a x a x a x a x y F x dxdx dx − −−= + + + + = (2.1) trong đó: 0 1( ), ( ),...., ( )na x a x a x là các hàm liên tục trong khoảng a x b≤ ≤ và 0 ( )a x ≠ 0 trong khoảng a x b≤ ≤ . Nếu ( )F x = 0 (hay ( )L y = 0) thì (2.1) gọi là phương trình thuần nhất. Nếu ( )F x ≠ 0 (hay ( )L y ≠ 0) thì (2.1) gọi là phương trình không thuần nhất. Cách chung để giải phương trình (2.1) là : trước nhất giải phương trình thuần nhất cấp n là ( )L y = 0 , ta thu được tập nghiệm cơ bản { }1 2( ), ( ),...., ( )ny x y x y x , nghiệm tổng quát cy của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tính của tập hợp cơ bản: 1 1 2 2( ) ( ) .... ( )c n ny C y x C y x C y x= + + + (2.2) trong đó: 1 2, ,...., nC C C là các hằng số tuỳ ý. Tiếp theo, tìm bất cứ nghiệm riêng py nào của phương trình vi phân không thuần nhất ( )L y = ( )F x Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) là c py y y= + . 1 Trong các bài toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân (2.2) đòi hỏi phải thoả mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình. Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp hai: 2 0 1 22( ) ( ) ( ) 0, d y dya x a x a x a x b dxdx + + = ≤ ≤ (2.3) bị lệ thuộc bởi điều kiện bổ sung tại x = a có dạng: ( ) , '( )y a y aα β= = với ,α β là các hằng số. 2 Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương trình vi phân (2.3) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là tại x a= và x b= phương trình có dạng: 71 2 2 11 12 11 12 2 2 21 22 21 22 ( ) '( ) , 0 ( ) '( ) , 0 c y a c y a c c c y b c y b c c α β ⎧ + = + ≠⎪⎨ + = + ≠⎪⎩ (2.4) trong đó : 11c , 12c , 21c , 22c , α và β là các hằng số. Điều kiện bổ sung (2.4) gọi là điều kiện biên Phương trình vi phân (2.3) với điều kiện biên (2.4) được gọi là bài toán biên. Nghiệm của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên. Bài toán biên không chỉ có một nghiệm, mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên có dạng: 11 12 13 14 21 22 23 24 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) α β + + + =⎧⎨ + + + =⎩ c y a c y a c y b c y b c y b c y b c y a c y a trong đó : , 1,2 ; 1,2,3,4ijc i j= = và α và β là các hằng số; được gọi là điều kiện biên hỗn hợp. Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Phương trình vi phân cấp hai: Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai dạng (2.2). Giả sử { }1 2y (x),y (x) là tập nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai: 2 0 1 22( ) ( ) ( ) ( ) 0 d y dyL y a x a x a x y dxdx = + + = Suy ra nghiệm tổng quát có dạng : 1 1 2 2( ) ( )= +cy C y x C y x (2.10) trong đó: 1 2,C C là các hằng số tuỳ ý. Dùng phương pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất: 2 0 1 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d y dyL y a x a x a x y F x dxdx = + + = (2.11) có dạng : 1 2( ) ( ) ( ) ( )cy u x y x v x y x= + trong đó: ( ), ( )u x v x là các hàm thay thế hằng số 1 2,C C trong (2.10) Các hàm u ,v cần tìm thoả mãn hệ phương trình : 72 1 2 ' ' 1 2 0 0 '( )y (x)+ '( )y (x)=0 F(x)'( )y (x)+ '( )y (x)= ( ) 0 ( ) u x v x u x v x a x a x ⎧⎪⎨ ≠⎪⎩ (2.12) Dùng qui tắc Cramer giải hệ phương trình (2.12) đối với ', 'u v ta được: Các phương trình (2.13) sau khi tích phân sẽ thu được các hàm ( ), ( )u x v x : 2 0 1 0 y ( )F( )( ) ( ) ( ) y ( )F( )( ) ( ) ( ) x x u u x d a W v v x d a W α α ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξξ ξ = = − = = ∫ ∫ (2.14) trong đó α là hằng số nào đó và 1 2' ' 1 2 y (x) y (x) ( ) y (x) y (x) w x = là định thức Wronskian. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : [ ]2 1 1 2 1 1 2 2 y (x)y ( )-y (x)y ( ) F( ) y (x)+ y (x)+ ( ) ( ) x c py y y C C dp Wα ξ ξ ξ ξξ ξ= + = ∫ (2.16) Một trong những phương trình vi phân cấp hai có cách giải đơn giản là 2 2 0 d F F dx λ+ = (2.17) Phương trình này xuất hiện do việc nghiên cứu nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng trong toạ độ Đế các (Descartesian) đối với các hiện tượng vật lý và kỹ thuật. Phương trình vi phân (2.15) chứa tham số λ , vì thế ta sẽ xét 3 trường hợp của tham số: âm, dương và bằng không . 1 Trường hợp 1: 2λ ω= − ( 0ω > ) Phương trình vi phân có dạng: 2 2 2 0 d F F dx ω− = (2.18) là phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số, vì thế người ta có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ mxF e= ; ta có phương trình đặc trưng là 2 2 0m ω− = với nghiệm đặc trưng m m ω ω =⎧⎨ = −⎩ và tập nghiệm cơ bản là { },x xe eω ω− . Nếu biết được tập nghiệm cơ bản của các nghiệm, có thể tạo nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này và sinh ra một tập hợp vô hạn các nghiệm khác. 73 1 2( ) x xF x C e C eω ω−= + trong đó 1 2,C C là các hằng số tuỳ ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. 2 Trường hợp 2: 0λ = Nghiệm phương trình vi phân 2 2 0 d F dx = có các dạng sau: 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) F x C C x F x K K x x = + = + − 3 Trường hợp 3: 2 ( 0)λ ω ω= > Phương trình vi phân 2 2 2 0 d F F dx ω+ = là phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số, vì thế có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ mxF e= , ta có phương trình đặc trưng 2 2 0m ω+ = với các nghiệm đặc trưng: m i m i ω ω =⎧⎨ = −⎩ và tập nghiệm cơ bản là { },i x i xe eω ω− . Nếu biết được tập nghiệm cơ bản có thể tạo nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này và sinh ra một tập hợp vô hạn các nghiệm khác 1 2( ) i x i xF x C e C eω ω−= + trong đó: 1 2,C C là các hằng số tuỳ ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. 74 PHỤ LỤC 3 PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN Phương pháp tách biến nhằm xây dựng một nghiệm µ của phương trình đạo hàm riêng cho trước thông qua các hàm có biến số ít hơn. Nói cách khác, ta phỏng đoán rằng µ có thể được viết dưới dạng tổng hoặc tích của các hàm có biến số ít hơn và tách nhau, thay nó vào phương trình đạo hàm riêng để chọn các hàm đó phải đảm bảo µ thực sự là nghiệm phương trình. Kỹ thuật này sẽ được minh họa trong các ví dụ sau. Ví dụ 1: Cho U⊂ ℜ n là một miền bị chặn với biên trơn. Ta xét bài toán giá trị biên-ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt trong U ( )∞× ,0 trên [ )∞×∂ ,0U ( )1.5 trên U { }0=× t Ở đây g: U ℜ→ là hàm cho trước. Ta giả định tồn tại một nghiệm có dạng ( ) ( ) ( )xwtvtx =,µ ( )0; ≥∈ tUx ; ( )2.5 Có nghĩa là, ta xem nghiệm của ( )1.5 như là tích của hai hàm số với các biến x= ( ) Uxx n ∈,,.......,1 và biến t [ ]T,0∈ tách ra với nhau. Bây giờ ta đi tìm v và w. Để làm điều đó ta tính ( ) ( ) ( )xwtvtxt ,, =µ , ( ) ( ) ( )xwtvtx ∆=∆ ,µ Từ đó 0 = ( ) ( ) =∆− txtxt ,, µµ ( ) ( )xwtv, - ( ) ( )xwtv ∆ Nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ( ) ( )xw xw tv tv ∆= , ( )3.5 Với mọi x U∈ và t >0 sao cho v ( )t , w ( )t ≠ 0. Chú ý rằng vế trái của ( )3.5 chỉ phụ thuộc vào t và vế phải chỉ phụ thuộc vào x. Điều này chỉ xảy ra khi chúng là hằng số, tức là: ( ) ( ) ( ) ( )xw xw tv tv ∆== µ , ( t Ux∈≥ ,0 ). Khi đó v’=µν ( )4.5 ww µ=∆ ( )5.5 Ta giải các phương trình này để tìm các hàm chưa biết w,v và hằng số µ . ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = =∆− g t µ µ µµ 0 0 75 Trước hết, để ý rằng, nếu µ đã biết, nghiệm của ( )4.5 là v=de tµ với d là hằng số tùy ý. Vì thế, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình ( )5.5 . Ta nói rằng λ là một giá trị riêng của toán tử -∆ trong U ( với điều kiện biên bằng 0) nếu tồn tại một hàm 0≠w thõa mãn trong U trên U∂ . Ta gọi hàm w là hàm riêng tương ứng, ta đặt λµ −= để tìm wde tλµ −−= ( )6.5 Thỏa mãn trong U ( )∞× ,0 ( )7.5 trên [ )∞×∂ ,0U với điều kiện ban đầu ( ) dw=0.,µ . Do đó hàm µ được xác định bởi ( )6.5 thỏa mãn ( )1.5 , với điều kiện dwg = . Tổng quát hơn, nếu nλλ ,.....,1 là các giá trị riêng , nww ,......,1 là các hàm riêng tương ứng và mdd ,....,1 là các hằng số, thì k tm k k wed k λµ − = ∑= 1 ( )8.5 Thỏa mãn các điều kiện ban đầu ( ) =0.,µ k k k wd∑∞ = = 1 µ . Nếu ta có thể tìm được ,....., 1wm v.v. sao cho gwd k k k =∑∞ =1 trong U ( )9.5 Với các hằng số thích hợp ,......., 21 dd khi đó k t k k wed k λµ −∞ = ∑= 1 ( )10.5 Sẽ là nghiệm của bài toán ( )1.5 . Đây là một công thức biểu diễn nghiệm rất đẹp, nhưng nó dựa vào: Khả năng tìm các giá trị riêng, các hàm riêng và các hằng số thỏa mãn ( )9.5 Chuỗi ( )10.5 hội tụ theo một nghĩa thích hợp nào đó. Ví dụ 2: Tiếp theo ta sử dụng kỹ thuật tách biến để tìm nghiệm của phương trình môi trường tổ ong. ( ) 0=∆− γµµt trong ( )∞×ℜ ,0n ( )11.5 Trong đó nghiệm 0≥µ và 1>γ là hằng số. Đây là một phương trình khuếch tán phi tuyến, với tốc độ khuếch tán của mật độ µ phụ thuộc vào chính µ . ⎩⎨ ⎧ = =∆− 0w ww λ ⎩⎨ ⎧ = =∆− 0 0 µ µµt 76 Như ở ví dụ trứơc, ta tìm một nghiệm dạng ( ) ( ) ( )xwtvtx =,µ ( )0; ≥ℜ∈ tx n ( )12.5 Thế vào ( )11.5 , ta được ( ) ( ) ( ) ( )xw xw tv tv γ γ µ ∆== , ( )13.5 Với hằng số µ nào đó và với nx ℜ∈∀ , t 0≥ sao cho ( ) ( ) .0, ≠tvxw Ta giải phương trình vi phân thường đối với v và tìm được ( )( ) λλµγ −+−= 1 11 tv , với hằng số 0>λ nào đó.Để tìm w ta xét phương trình đạo hàm riêng ( ) uww =∆ γ ( )14.5 Ta dự đoán rằng nghiệm w có dạng αxw = với hằng số α sẽ được xác định sau. Khi đó ( ) ( ) 22 −−=−=∆− αλαγ αγαγ xnxuwuw ( )15.5 Vì vậy, để ( )14.5 thỏa mãn trong nℜ , trước hết ta đòi hỏi rằng 2−= αγα và từ đó 1 2 −= γα ( )16.5 Tiếp theo, từ ( )15.5 dễ thấy rằng cần đặt ( ) 02 >−+= nαγαγµ ( )17.5 Tóm lại, với mỗi 0>λ hàm ( )( ) αγλγµ xut −+−= 1 11 Thỏa mãn phương trình ( )11.5 , các tham số µα , được xác định bởi ( )16.5 , ( )17.5 . Trong các ví dụ trên, sự tách biến được thực hiện dựa vào tính thuần nhất phi tuyến tương thíchvoi71 hàm µ có dạng tích ( )12.5 . Ở trường hợp khác, ta sẽ tìm nghiệm, trong đó các biến được tách dưới dạng một tổng các hàm số. Ví dụ 3: Xét phương trình Hamilton- Jacobi. ( ) 0=+ DuHtµ trong ( )∞×ℜ ,0n ( )18.5 Và tìm một nghiệm µ có dạng ( ) ( ) ( )xwtvtx +=,µ ).0,( ≥ℜ∈ tx n Khi đó ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xDwHtvtxDuHtxt +=+= ,,,0 µ Nếu và chỉ nếu 77 ( )( ) ( )tvxDwH ,−= ( ),0, >ℜ∈ tx n Với hằng số µ nào đó. Vì thế, nếu ( ) µ=DwH Với ,R∈µ thì ( ) ( ) butxwtx +−=,µ Sẽ thõa mãn ( ) 0== DuHttµ với hằng số b nào đó. Đặc biệt, nếu chon5 ( ) xaxw .= với na ℜ∈ và đặt ( )aH=µ , tìm được nghiệm ( ) btaHxa =−= .µ . Dựa vào tích phân đầy đủ và hàm bao tìm dược nghiệm. 78 PHỤ LỤC 4 PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG TOẠ ĐỘ CẦU. 4.2.1Giải phương trình Laplace Phương trình Laplace có dạng: ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∆ = =∆ 2 2 2 2 2 2 ,, 0 zyx zyxuu u (3.62) Chuyển sang toạ độ cầu ( )ϕθ ,,r ϕθ cossinrx = ∞<≤ r0 ϕθ sinsinry = ∞<≤ r0 ϕcosrz = ∞<≤ r0 Khi đó, toán tử Laplace trong toạ độ cầu có dạng: 2 2 22 2 2 sin 1sin sin 11 ϕθθθθθ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∆ rrr r rr (3.63) Ký hiệu: ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂−= 2 2 sin 1sin sin 1ˆ ϕθθθθθA (3.64) Biểu thức (3.63) trở thành: 2 2 2 ˆ1 r A r r rr −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∆ Phương trình Laplace trong toạ độ cầu có dạng: 0=∆u Hay 0 ˆ1 2 2 2 =−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ r A r r rr Đặt ( ) ( ) ( )ϕθϕθ ,,, YrRru = , thế vào 0=∆u , ta được: 0 ˆ 2 2 2 =−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ r YAR dr dRr dr d r Y (3.65) 79 Nhân (3.65) với RY r 2 , phương trình (3.65) trở thành: λ−==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇒ Y YA dr dRr dr d R ˆ1 2 Từ phương trình này ta được các phương trình sau: R dr dRr dr d λ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 (3.67) 0ˆ =− YYA λ (3.68) Phương trình (3.68) có thể viết lại dưới dạng sau: 0 sin 1sin sin 1 2 2 =+∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ YYY λϕθθθθθ (3.69) Đặt ( ) ( ) ( )ϕφθϕθ Θ=,Y Khi đó (3.69) trở thành ( ) ( ) 0 sin sin sin =Θ+′′+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕφθλφθ φ θ φθθθ φ (3.70) Nhân (3.70) với ( ) ( )ϕφθ θ Θ 2sin Ta được: ( ) ( ) 0sinsinsin 2 =+′′+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Θ∂ ∂ ∂ Θ θλφ φ θ θθθθ θ Hay ta có thể viết lại là: ( ) ( ) 22sinsinsin v=′′−=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Θ∂ ∂ ∂ Θ φ φθλθ θθθθ θ (3.71) Từ đây ta lại có các phương trình: ( ) ( ) 0sinsinsin 22 =−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Θ∂ ∂ ∂ Θ vθλθ θθθθ θ 02 =+′′ φφ v 80 Phương trình thứ hai, nghiệm tổng quát có dạng: ( ) ϕϕϕφ iviv BeAe −+=⇒ Vì ( ) ( )ϕφπϕφ =+ 2 nên ( ),.....2,1,0; ±±== mmv Phương trình thứ nhất, nhân với ( ) θ θ 2sin Θ , ta được: ( ) ( ) 0 sin sin sin 1 2 2 =Θ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Θ∂ ∂ ∂ θθλθ θθθθ v (3.72) Đặt θcos=x vì πθ ≤≤0 nên π≤≤ x0 Suy ra xx ∂ ∂−=∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ θθθ sin Thế vào (3.72), ta được: ( ) 0 1 21 2 2 2 2 2 =Θ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+ Θ−Θ− x v dx dx dx dx λ (3.73) gọi là phương trình Legendre liên kết. • Nếu 0=ν , ta có phương trình: ( ) 021 222 =Θ+Θ−Θ− λdxdxdxdx gọi là phương trình Legendre. 4.2.2 Giải phương trình Legendre. Tiếp tục, ta giải phương trình vừa tìm được bằng cách: Đặt ( )xy=Θ Khi đó ta có thể viết lại (3.73) như sau ( ) 021 2 =+′−′′− yyxyx λ (3.74) Phương trình (3.74) có nghiệm được tìm dưới dạng đa thức: ∑∞ = = 0k k k xay ( )∑∞ = −=′− 0 22 k k k xakyx 81 ( )∑∞ = −−=′′− 0 2 1 k k k xakkyx ( ) ( )[ ]∑∑ ∞ = ∞ = − −+−=−⇒ 00 2 211 k k k k k k xkkkaxakk λ ( ) ( )[ ]∑∑ ∞ = +∞ = −−=−⇒ 0 2 0 11 k k k k k k xkkaxakk λ Với 10 1 0 , 0.01 0.00 aa ak ak → ⎭⎬ ⎫ =⇒= =⇒= tùy ý ( )( ) ( )[ ]λ−+=++⇒ + 112 2 kkaakk kk ( ) ( )( ) kk akk kka 12 1 2 ++ −+=⇒ + λ (3.75) • Với ( ) 0....0,0 5310 ===⇒=≠ aaaa , 02 2 aa λ−= , 04 ≠a nghiệm trong trường hợp này còn có dạng ( ) .....442200 +++= xaxaaxy • Với ( ) 0....0,0 4210 ===⇒≠= aaaa nghiệm trong trường hợp này có dạng ( ) .....553311 +++= xaxaaxy ( ) ( )xByxAyy 10 += Nghiệm vật lý còn phải thỏa mãn các điều kiện: liên tục và đơn trị, giới nội…Để thỏa điều kiện giới nội, chuỗi 0y và 1y phải bị ngắt ở số hạng nào đó trở đi, giả sử 01 ≠a và 0....21 === ++ ll aa theo (3.75) lúc đó tử số bằng không. Suy ra ( )1+= llλ . Điều kiện giới nội sẽ cho các nghiệm: ( ) ll xaxaxaaxy ++++= .....442200 với l chẵn ( ) ll xaxaxaaxy ++++= .....553311 với l lẻ Gán thêm điều kiện: ( ) 1 10 ==xxy và ( ) 111 ==xxy 82 Đa thức có dạng ( )xy0 và ( )xy1 dừng ở l và có thêm hai điều kiện này được gọi là đa thức Legendre ( )xPl ( ) ( )xCPxy l= 4.2.3 Các đa thức Legendre • ( ) 000 axyl =→= vì ( ) 111 00 =→= ay nên ( ) 10 =xP • ( ) xaxyl 101 =→= vì ( ) 111 11 =→= ay nên ( ) xxP =0 • ( ) 22022 xaaxyl +=→= mà ta có ( )( )( ) kk akk kka 12 1 2 ++ −+=+ λ 02 3aa −=⇒ ( ) 2002 3 xaaxy −=⇒ ( ) 1211 02 =−→= ay 2 1 0 =⇒ a ( ) 22 2 3 2 1 xxy +−=⇒ nên ( ) ( )13 2 1 2 2 −= xxP và ( ) ( )xxxP 3521 33 −= ……………….. Cứ thế đi đến công thức Rodriques ( ) ( )′−′′= 121 2xxddlxP ll Công thức này nếu dùng hệ thức sau cho hàm phức ( ) ( )( )dtzt tf i zf C ∫ −= π21 Thì ta sẽ có biểu diễn Schlafh ( ) ( )( ) dtzttizP C l l l ∫ +−−= 1 2 1 1 2 1 2 1 π 83 Và biểu diễn Laplace ( ) ( ) θθπ dzzzP l ∫ −+= cos11 21 ( )xPl thỏa phương trình ( ) ( ) 0121 2 =++′−′′− yllyxyx ( ) ( )xCPxy l= Xét phương trình: ( ) 0 1 21 2 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+′−′′− yx myxyx λ Phương trình này đơn trị, liên tục và hữu hạn khi m=0,1,2,3… Nghiệm của phương trình này có dạng được rút ra theo công thức: Trong đó ( )xP ml là đa thức liên kết Legendre. Với m>1 thì ( ) 0=xP dx d lm m ; vì vậy để ( ) 0≠xP ml thì m=0,1,2,3,…,l: có l(l+1) trị số m → có (l+1) đa thức liên kết Legendre. x ( )x lP -1 1 1-1 ( )xP1 ( )xP2 ( )xP0 ( )xP3 ( ) ( ) ( )xP dx dxxP lm mm m l 221−= 84 Ví dụ: ( )xP2 có 3 đa thức liên kết Legendre ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xPxxP dx dxxP 2 2 20 0 2 0 20 2 132 11 =−=−= ( ) ( ) ( ) 2221212 131 xxxPdxdxxP −=−= Tính trực giao của ( )xPl và ( )xP ml là ( ) ( ) lrrl ldxxPxP δ12 2 +=∫ Khi đó f(x) có thể khai triển theo ( )xPl gọi là khai triển Fourier-Legendre ( ) ( )∑∞ = = 0l ll xPfxf ( ) ( )dxxPxflf ll ∫+ − +=⇒ 1 12 12 Với ( ) ( )θ θ coscos l l P xP x == ( )πθ ≤≤0 Vì vậy một hàm của θ cũng khai triển được theo chuỗi Fourier-Lengendre ( ) ( )∑∞ = = 0 cos0 l ll Pff θ ( ) ( ) 12 2 sincoscos 0 + =∫ ldPP lrrl δθθθθ π Với ( ) ( ) θθθθ π dPflf ll sincos2 12 0 ∫+= ( ) ( ) ( )( ) lrmrml ml ml l dxxPxP δ− + +=∫ + − 12 21 1 ( ) ( )∑∞ = = 0l ll xPfxf ( )( ) ( ) ( ) ( ) lrml ldxxPxfml mllf δ 12 2 2 12 1 1 1 +=+ −+= ∫+ − 85 Ở đây ta mới chỉ có ( ) ( )θΘ=Θ= xy Ta cần có nghiệm ( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθ ΘΘ= rRru ,, . 4.2.4 Hàm cầu Để tìm được nghiệm của bài toán có dạng ( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθ ΘΘ= rRru ,, , ta xét : ( ) ϕϕϕ imim BeAe −+=Φ ( ) ( ) ( )θθ cosmlml CPxCP ==Θ Ta dẫn ra hàm cầu ( )ϕθ ,mlY ± ( ) ( ) ϕθϕθ immlml ePY cos, = ( ) ( ) ϕθϕθ immlml ePY −− = cos, Thỏa phương trình với toán tử Aˆ đã biết: ( ) ( ) ( ) 0,1,ˆ =+− ϕθϕθ YllYA ( ) ( ) ( )∫∫ ′′−′ ==ΦΦ ππ πδϕϕϕϕ 2 0 2 0 * 2 mm mmi mm ded ( ) ( ) ( )( )( ) mmlrmlml mll mlddYY ′ ′ −+ +=∫ ∫ δδπϕθθϕθϕθπ π 124sin,,0 2 0 Ta đã có 02 =−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ RR dr dr dr d λ phương trình Euler ta được ( ) ( ) ( ) ( )110121 +=+⇒=+−++ llssllsss Suy ra có hai nghiệm s=l và s=-(l+1) Vậy ( ) rrR ′= hoặc ( ) ( )1+−= lrrR • Khi r=0 thì R(r) hữu hạn nên ( ) rrR ′= • Khi ( ) ( ) ( )10 +−=⇒→⇒∞→ lrrRrRr Ta có một nghiệm riêng của phương trình Laplace trong tọa độ cầu ( ) ( ) ϕθϕθ immll ePrru ±= cos,, Vậy cuối cùng, phương trình 0=∆u có nghiệm tổng quát là: ( ) ( )( )ϕϕθϕθ imimmll l l m lm BeAePrCru −∞ = = += ∑∑ cos,, 0 0 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐẶNG ĐÌNH ÁNH. 2007. Biến đổi tích phân. NXB GIÁO DỤC. ĐỖ ĐÌNH THANH. 2002. Phương pháp toán lý. NXB GIÁO DỤC. ĐỖ ĐÌNH THANH. 2002. Phương trình đạo hàm riêng trong vật lý. NXB ĐHQG TPHCM. ĐỖ VĂN THÔNG. 2003. Phương pháp nghiên cứu khoa học. ĐHAG. HỒ XUÂN HUY. 2005. Phương pháp toán lý. ĐHAG PHAN HUY THIỆN. 2006. Phương trình toán lý. NXB GIÁO DỤC. NGUYỄN NGỌC GIAO. 2003. Phép tính toán tử. NXB ĐHQG TPHCM. NGUYỄN VĂN HẠP.1999. Giáo trình Phương trình vi phân và Phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐH HUẾ. TRẦN THỂ. 2005. Lý luận vật lý phổ thông. ĐHAG. TRẦN THỂ. 2005. Bài tập vật lý phổ thông. ĐHAG. TRẦN ĐỨC VÂN. 2005. Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng. NXB ĐHQG HÀ NỘI. ._.