So sánh tốc độ hộ tụ của sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro

hiều ý kiến quý báu cho khĩa luận. Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã giúp đỡ em rất nhiều về thuật tốn trong ngơn ngữ lập trình. Em xin cảm ơn các thầy cơ giáo trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em trong suốt bốn năm đại học, để em cĩ được những kiến thức như ngày hơm nay. Em xin cảm ơn các bạn lớp Lý khĩa 32 và những người thân đã giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khĩa luận. Em xin cảm ơn ba mẹ luơn bên cạnh và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em hồn tất khĩa luận. Sinh viên thực hiện Phạm Thị Mai Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 2 Mục lục MỞ ĐẦU .................................................................................................. 3 NỘI DUNG .................................................................................................. 7 Chương 1 Phương pháp tốn tử cho bài tốn nguyên tử Hydro.............. 7 1.1 Lời giải chính xác cho bài tốn nguyên tử hidro........................................ 7 1.2 Phương pháp tốn tử cho bài tốn nguyên tử hidro ................................. 12 1.3 Sử dụng phương pháp tốn tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa cĩ bổ chính..................................................................................... 16 1.4 Nhận xét ................................................................................................ 17 Chương 2 Sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ............................................................18 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn ...................................................................... 18 2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp tốn tử..................................................................... 20 2.3 Nhận xét ..................................................................................................25 Chương 3 Sử dụng sơ đồ vịng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ...................................................................................26 3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vịng lặp ........................................................... 26 3.2 Thiết lập sơ đồ vịng lặp.......................................................................... 26 3.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ vịng lặp ................................................................................................ 28 3.4 Nhận xét ................................................................................................ 30 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................... 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 32 PHỤ LỤC .....................................................................................................34 Phụ lục 1 Các tốn tử sinh – hủy một chiều .................................................. 34 Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn ........... 37 Phụ lục 3 Tốn tử thế năng ........................................................................... 40 Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của Hˆ ..................................................... 46 Phụ lục 5 Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn ............. 48 Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngơn ngữ lập trình Fortran ........... 52 Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 3 MỞ ĐẦU 1) Tình hình nghiên cứu Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã cĩ những bước phát triển mạnh mẽ, địi hỏi phải cĩ những tính tốn lý thuyết chính xác. Trong khi đĩ, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mơ là phương pháp nhiễu loạn khơng sử dụng được cho bài tốn khơng cĩ nhiễu loạn. Trước tình hình đĩ, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, cĩ phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây. Và phương pháp tốn tử với những tính tốn thuần đại số, được xây dựng cho nhĩm các bài tốn nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu. Ý tưởng về phương pháp tốn tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên phương pháp tốn tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhĩm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành cơng cho một nhĩm các bài tốn trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,… Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài tốn cụ thể, phương pháp tốn tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như: Đơn giản hĩa việc tính tốn các yếu tố ma trận phức tạp mà thơng thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính tốn, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính tốn như Maple, Mathematica,…để tự động hĩa quá trình tính tốn. Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngồi cĩ cường độ bất kỳ. Với phương pháp tốn tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khĩ khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, gĩp phần vào sự phát triển khơng ngừng của nền khoa học kỹ thuật tồn cầu. 2) Lí do chọn đề tài Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ cĩ một số ít bài tốn mà chúng ta cĩ lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 4 dừng, đĩ là: bài tốn hạt trong hố thế vuơng gĩc, dao động tử điều hịa và bài tốn về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hĩa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hĩa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngồi ra các kết quả thu được cĩ một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đĩ, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng. Trong đĩ bài tốn về nguyên tử hydro là một bài tốn quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài tốn cĩ lời giải chính xác nhưng bài tốn về nguyên tử hydro là một bài tốn khá phức tạp. Để giải được bài tốn này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về tốn tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của tốn tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hĩa khơng gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu… Bằng cách biểu diễn tất cả các tốn tử tương ứng với các đại lượng vật lí qua các tốn tử sinh hủy cĩ chứa thơng số biến phân, phương pháp tốn tử đã cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và cĩ thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của trường ngồi, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn. Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp tốn tử kết hợp áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta cĩ thể điều chỉnh thơng số biến phân trong các tốn tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh. Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà khơng cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thơng số biến phân. Chúng tơi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vịng lặp, mà cứ sau mỗi vịng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri sau khác giá trị ngay trước đĩ trong khoảng sai khác mong muốn thì dừng lại. Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần tìm. Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 5 Do thời lượng nghiên cứu và kiến thức cịn hạn chế, nội dụng bài nghiên cứu này chỉ dừng lại ở mức độ khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vịng lặp trong phương pháp tốn tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro. 3) Mục tiêu của đề tài Trong luận văn này, chúng tơi tiếp cận phương pháp tốn tử như một cơng cụ mới với mục tiêu cụ thể là: Tìm hiểu về phương pháp tốn tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính tốn, ưu điểm… Kết hợp phương pháp tốn tử và lý thuyết nhiễu loạn để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro. Xây dựng sơ đồ vịng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đĩ so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vịng lặp trong phương pháp tốn tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Từ đĩ nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho những bài tốn cĩ phức tạp hơn. 4) Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được Từ những khĩ khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài tốn nguyên tử hydro trong trường ngồi trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp tốn tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp tốn tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn này. Lập trình bằng ngơn ngữ fortran theo sơ đồ vịng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đĩ so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vịng lặp trong phương pháp tốn tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. 5) Cấu trúc của luận văn Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm 3 phần chính: Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc. Phần nội dung: gồm 4 chương Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ CHO BÀI TỐN NGUYÊN TỬ Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 6 HYDRO Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về bài tốn nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sĩng… Giới thiệu về phương pháp tốn tử cho bài tốn nguyên tử hidro và dùng phương pháp tốn tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa cĩ bổ chính. Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp tốn tử. Chương 3: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VỊNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Nêu mục đích của sơ đồ lặp. Thiết lập sơ đồ vịng lặp. Dùng sơ đồ vịng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro. Nhận xét kết quả thu được. Phần kết luận: tĩm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát triển sắp tới của đề tài. Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 7 NỘI DUNG 1 Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ CHO BÀI TỐN NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1 Lời giải chính xác cho bài tốn nguyên tử hidro [2],[4] 1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro Thế năng của một hạt khối lượng mo chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r). Do đĩ hamilton của hạt cĩ dạng: 2 2ˆ ( ) 2 O H U r m      (1.1) Trong nguyên tử hiđrơ, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc vào khoảng cách 1 2r r giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài tốn chuyển động hai hạt với định luật tương tác 1 2( )U r r rút về bài tốn chuyển động của một hạt cĩ khối lượng rút gọn  trong trường lực U(r). Trong trường hợp nguyên tử hiđrơ .e p e p m m m m    . Vì p em m nên em  . Nếu bỏ qua kích thước của prơtơn, nguyên tử hiđrơ sẽ được coi như gồm hạt electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên. Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là: 2 ( ) ZeU r r   (CGS) (1.2) Trong đĩ: Ze là điện tích của hạt nhân. Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 8 U(r) chỉ phụ thuộc vào r, khơng phụ thuộc vào thời gian nên đối với nguyên tử hiđrơ phương trình Schrodinger là phương trình dừng. Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài tốn trong tọa độ cầu. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này cĩ dạng:  2 2 ( ) 0em E U r      (1.3) Trong tọa độ cầu, tốn tử  cĩ dạng ,2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1sin sin sin 1 1 1sin sin sin r r r r r r r r r                                                   (1.4) Thay (1.4) vào (1.3) ta được:  2 ,2 2 2 21 1( ) ( ) 0emr E U r r r r r                 (1.5) Do 2 , 2 Lˆ      nên ta viết lại (1.5) như sau:   2 2 2 2 2 2 ˆ 21 ( ) ( ) 0emLr E U r r r r r               (1.6) Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngồi định luật bảo tồn năng lượng, cịn hai định luật bảo tồn nữa, đĩ là định luật bảo tồn mơmen xung lượng tồn phần và định luật bảo tồn của hình chiếu mơmen theo trục z định hướng tùy ý trong khơng Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 9 gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hốn của các tốn tử 2Lˆ và ˆzL với Hˆ . Trong trường hợp này Hˆ cĩ dạng: 2 2 2 2 2 ˆ1ˆ ( ) ( ) 2 2 e LH r U r r r r m r             (1.7) Ta thấy 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ 0HL L H  ; 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ 0Z ZHL L H  (1.8) Vì các tốn tử và chỉ tác động lên các biến gĩc ,  nên giao hốn với các tốn tử lấy vi phân theo r. Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm cĩ ba đại lượng bảo tồn: năng lượng, bình phương mơmen 2Lˆ và hình chiếu mơmen ˆZL . Do đĩ chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta viết nghiệm của phương trình dưới dạng ,( , , ) ( ). ( , )nlm n l mr R r Y     (1.9) Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, cịn các trị riêng của các tốn tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng 2ˆ ( 1)lm lmLY l l Y  ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm ( )nlR r của hàm sĩng ( , , )nlm r   :   2 2 2 2 2 2 121 ( ) 0 2 e e l lmd dR Zer E R r r dr dr r m r                (1.10) 1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hiđrơ Từ kết quả của cơ học lượng tử ta cĩ cơng thức tính năng lượng của nguyên tử hiđrơ 4 2 2 22n me ZE E n      (CGS) (1.11) Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 10 Trong hệ khơng thứ nguyên 1m e   thì: 2 22n ZE E n     (1.12) Cơng thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hiđrơ. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sĩng ở vơ cực. Ứng với n = 1, năng lượng cĩ giá trị thấp nhất 1 13,6E eV  . Khi n càng tăng thì các mức nE liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n  thì 0nE  . Một số mức năng lượng kích thích 2 33, 4 ; 1,5 ;...E eV E eV    Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta cĩ một số vơ hạn các trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với năng lượng 2 4 22 m Z e   và kết thúc ứng với năng lượng 0. Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l cĩ thể cĩ những giá trị l = 0, 1, 2,... , n- 1. Như vậy cĩ tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nĩ xác định độ lớn moment xung lượng  1L l l   (1.13) Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng      , , ,nlm nl lmr R r Y     gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ứng với một giá trị đã cho của l thì m cĩ thể nhận các giá trị , 1,..., 1,0,1,..., 1,m l l l l      . Tất cả cĩ  2 1l  giá trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z zL m  Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 11 Như vậy, ứng với một mức năng lượng En cĩ nhiều trạng thái khác nhau nlm , ta nĩi cĩ sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến cĩ cùng giá trị năng lượng En là   1 2 0 2 1 n l l n     (1.14) Nếu khơng tính đến spin, mức năng lượng cơ bản 1E khơng suy biến, mức kích thích thứ nhất 2E suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai 3E suy biến bậc 9... Nếu tính cả spin cĩ hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 22n . 1.1.3 Hàm sĩng của nguyên tử hiđrơ Hàm sĩng chuẩn hĩa của nguyên tử hiđrơ cĩ dạng:      , , ,nlm nl lmr R r Y     Với 2 2 2 o o Zr và a na me     (1.15) a0: là bán kính Bohr thứ nhất Bảng 1.1 Hàm sĩng tồn phần  , ,nl m r   của các hệ giống hydro ứng với các giá trị n=1, 2, 3,… n l m  , ,nl m r   1 0 0 3 / 20 0 1 ( / ) exp( / 2 )Z a Zr a   Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 12 2 2 2 0 1 1 0 0 1 3 / 2 0 0 0 1 ( / ) (1 / 2 ) exp( / 2 ) 2 2 Z a Zr a Zr a    3 / 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 2 ) cos 4 2 Z a Zr a Zr a    3 / 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 2 ) sin exp( ) 8 Z a Zr a Zr a i     3 3 3 3 3 3 0 1 1 2 2 2 0 0 1 0 1 2 3/ 2 2 2 2 0 0 0 0 1 ( / ) (1 2 /3 2 / 27 )exp( /3 ) 3 3 Z a Zr a Z r a Zr a     3/ 2 0 0 0 0 2 2 ( / ) (1 / 6 )( )exp( / 3 ) cos 27 Z a Zr a Zr a Zr a      3/2 0 0 0 0 2 ( / ) (1 / 6 )( / )exp( /3 )sin 27 iZ a Zr a Zr a Zr a e     3 / 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 3 )(3cos 1) 81 6 Z a Z r a Zr a     3/ 2 2 2 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 3 )sin cos 81 iZ a Z r a Zr a e     3 / 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 3 ) sin 162 iZ a Z r a Zr a e    1.2 Phương pháp tốn tử cho bài tốn nguyên tử hidro[12] Xét bài tốn nguyên tử hydro, phương trình Schrưdinger viết cho nguyên tử đồng dạng hydro trong hệ SI cĩ dạng: 2 2 0 Δψ( ) ( ) ( ) 2 4 Zer r E r m r           (1.16) Trong đĩ ,m e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số điện tích. Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 13 Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt 0x a x , 0y a y , 0z a z với 2 20 04 /a me  là bán kính Bohr. Khi đĩ phương trình (1.17) cĩ dạng khơng thứ nguyên: 1 Δ ψ( ) ( ) 2 Z r r r          (1.17) Với tọa độ và năng lượng lần lượt cĩ đơn vị là 0a và 2 20 /ma  . Ta cĩ thể viết dưới dạng tường minh như sau: ˆ ( , , ) ( , , )H x y z x y z   (1.18) Với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1ˆ 2 ZH x y z x y z                (1.19) Ta định nghĩa các tốn tử sinh huỷ dưới dạng:  1 1, 2 2 a a                                (1.20) với , ,x y z  , trong đĩ  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nĩ sau Dễ dàng thấy rằng  , 1a a       (1.21) (Phụ lục1trang 46) Các giao hốn này chính là cơng cụ chính cho các tính tốn đại số. Ta viết lại các thành phần trong Hamiltonian H trong biểu thức (1.19) qua biểu diễn các tốn tử sinh huỷ này. 1.2.1 Tốn tử động năng  2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 T H x y z                      (1.22) Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 14 Từ (1.20) ta cĩ:  2 2a a a a                      Suy ra        2 2 2 2 1 2 2 2 a a a a a a a a                                     (1.23) Ta thay (1.25) vào (1.24) ta được    2 21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 24 TH a a a a               (1.24) Đặt 2 2 ˆˆ ˆ, ,ˆ ˆˆ ˆa N aA a A a            (1.25) Thay (1.27) vào (1.26), ta được: 1 1 ˆ ˆˆ ˆ1 2 4 4 TH N A A                   (1.26) với , ,x y z  1.2.2 Tốn tử thế năng Với số hạng liên quan đến tương tác Culơng thì các tốn tử sinh huỷ sẽ nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để cĩ thể sử dụng trong tính tốn. Dùng phép biến đổi Laplace ta cĩ thể viết thành phần thế năng dưới dạng: 2 2 2( ) 02 2 2 1ˆ U t x y zZ Z dt e tx y z H            (1.27) (Phụ lục 2 trang 37) Từ đĩ ta cĩ thành phần thế năng được viết dưới dạng:   0 0 ', 1 ˆ ˆˆ U n k Z dt t H S S        (1.28) Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 15 với:  0ˆ xS : là tốn tử chứa những số hạng trung hịa, tốn tử  0 xS khi tác dụng lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái khơng đổi.               2 0 2 2 2 2 1 1 , 1 1 11 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 !1 2 ! ! ! m i m m m i i i i m i m i x x x x x x x x x x x m i i mx i l l i S N A A A N A m i i m                             (1.29) 'ˆ xS : là tốn tử chứa những số hạng trung hịa, tốn tử 'ˆ xS khi tác dụng lên vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.                 ' , 1 1 1 , 1 , 1 , , 1 1 1 11ˆ ˆ ˆ ˆˆ ! ! ! !1 2 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ! ! ! ! ! ! ! m l l i l m m l l l i i x x x x x x x x x ml l ix i l i m i l m i l i l i m i m i l m i m l x x x x x x x x x x x x i l i m i l m l i l i S N A A A ml l i A A A N A N A i l i m i l m                                                          (1.30) 1.2.3 Tốn tử hamilton Thay (2.31), (2.33) vào biểu thức ˆ ˆ ˆT UH H H  , ta được:                            0 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 0' ' 0 0 0 0 0' ' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 4 4 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ1 2 4 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z Z dt t Z dt t H N A A S S N A A S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S                                                               ' ' 'ˆ ˆx y zS S (1.31) Tốn tử Hamilton trong bài tốn nguyên tử hydro được chia thành hai thành phần: 0ˆ ˆ ˆH H V  (1.32) Thành phần tốn tử chứa các tốn tử trung hịa, xem như loại tốn tử Hamilton 0Hˆ trong bài tốn khơng nhiễu loạn, với: Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 16 (0) (0) (0)0 , , 0 1 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 1) ( ) 4 x y zx y z ZH N S S S dt t          (1.33) Thành phần tốn tử chứa các tốn tử khơng trung hịa, xem như loại tốn tử nhiễu loạn Vˆ , với:     0 ' ' ' 0 ' ' ' 0 0 0 ' 0 ' 0 ' 0 0 ' ' '22 1 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1ˆ 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y zS S S SS S SS S S S S S S S SS S S S SZV a a dt t                       (1.34) Dùng các tốn tử ˆ ˆ ˆˆ ˆ, , , ,a a A A N  và qua quá trình tính tốn ta tính được các yếu tố ma trận của Hˆ : ˆnkH n H k m 2i-1 2i (0) 2 1/2 , 2 m=1 i=1 =0 =1 2i m2i-1 2i ,2 1/2 2 i=1 m=1=0 =1 (-1) 1ˆ {1+ [ ( ) ( 2 )] m! (i!) (-1) (-1)[ ( ) ( 2 )] ( 2 ) } (i!) m! 1 2 m m i n k n ki m S k k k i k k i k i                                                  (1.35) n , 2 n , 2 m l 2l-1 ' 1/2 m=0 l=1 =0 i m 2i 1/2 i=1 m=0 =1 i m l 2 i=1 m=0 l=1 =0 (-1) (-1)ˆ { [ ( )] ( 2 ) m! l! (-1) (-1) [ ( )] i! m! (-1) (-1) (-1) [ ( i! m! l! k l k i m l m i m m i m l S k k l k k                                                       n , 2 2 l-1 2i 1/2 m 1/2 =1 1)] (k -2l) [ ( 2 )] } 1+2k l i k k l                 (1.36) 1.3 Sử dụng phương pháp tốn tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa cĩ bổ chính  (0) 00 , , 0 0 0 1 1/ 20 2 , , 1ˆ ˆ000 000 000 2 1 000 4 ˆ ˆ ˆ000 000 (1 2 ) x y z x y z x y z E H N S S SZ dt t                    Do tính chất đối xứng x y z nên biểu thức năng lượng bậc khơng trở thành: Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 17 (0) 0 1 30 2 3 1 4 1 ZE dt tt                 Ta đã đặt 2 2 t dt d       (0)0 1 3 0 2 2 2 3 12 4 (1 2 ) ZE d             Suy ra (0)0 3 2 4 E     (1.37) Để so sánh tính ưu việt của các hướng tiếp cận, nên khơng sử dụng phương pháp biến phân, tức là chọn thơng số biến phân 1  . Suy ra : 0 0.37837915139550750E   (1.38) 1.4 Nhận xét Sử dụng phương pháp tốn tử, ta tính được năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro khi chưa cĩ bổ chính là 0 0.37837915139550750E   , giá trị này cịn sai khác nhiều với giá trị chính xác. Để thu được kết quả tốt hơn, ta tính các bổ chính năng lượng cơ bản. Tính bổ chính năng lượng của nguyên tử theo lí thuyết nhiễu loạn là cách làm phổ biến và khá hiệu quả. Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 18 2 Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[10],[6] Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nĩ cĩ thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử hydro, bài tốn dao động tử điều hịa, chuyển động trong hố thế vuơng gĩc,… Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của khơng gian trong bài tốn cần giải. Phần lớn các bài tốn của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt tốn học, và khơng thể giải được một cách chính xác. Do đĩ thường phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài tốn, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và hàm riêng của nĩ. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để giải bài tốn cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn như sau: Xét phương trình Schrodinger: ˆ ( ) ( )H x E x   (2.1) ta tách tốn tử Hamilton của bài tốn thành hai thành phần: 0ˆ ˆ ˆH H V  (2.2) Trong đĩ: Thành phần 0Hˆ là tốn tử Hamilton cĩ nghiệm riêng chính xác 0ˆ n n nH    (2.3) Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 19 Thành phần Vˆ cịn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với 0Hˆ , 0 ˆ ˆV H . Khi đĩ, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (2.1). Lúc này chúng ta xem n và n là nghiệm gần đúng bậc zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của Vˆ thơng qua các bổ chính năng lượng và hàm sĩng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính tốn qua số mũ của  . Ta giả thiết rằng các trị riêng của Hˆ là khơng suy biến và cĩ phổ gián đoạn, hệ hàm riêng n của 0Hˆ là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng n , với 0,1,2,...n  . Khi đĩ, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của 0Hˆ như sau: 0 ( ) ( )k k k x C x     (2.4) Khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả thiết hàm sĩng cho trạng thái n như sau: 0 ( ) ( ) ( ) ( )n n k k k k n x x C x         (2.5) Ta ký hiệu (0) (0),n jE C là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, cịn ( ) ( ), , 1s sn jE C s   là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sĩng. Biến đổi tốn học, ta được (0) (0), 0n nn jE H C  , (1) (1) (0), ( ) jn n nn j n jj V E V C j n E H       ; Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 20 2 :s  ( ) ( 1) 0 s s n nk k k k n E V C        , 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) (0) 0 1 1 ( ) s s s s t t j jk k n j k tn jj k n C V C E C j n E H                          (2.6) Giá trị riêng và hàm sĩng ở gần đúng (s) bất kỳ: ( ) ( ) 2 s s t n nn n t E H E     (2.7) Phương trình (2.6) và (2.7) gọi là sơ đồ Rayleigh-Schrodinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn). 2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp tốn tử 2.2.1 Tính bổ chính bậc một (1)0 000 000 0ˆE  V (2.9) Do thế nhiễu Vˆ khơng chứa các số hạng trung hịa nên các phần tử ma trận trên đường chéo chính của Vˆ bằng 0. 2.2.2 Tính bổ chính bậc hai Từ (2.14) suy ra biểu thức bổ chính bậc hai cho năng lượng của hệ là: (2) (0) 0 nk kn n k n kk k n V VE E H     (2.10) Bổ chính bậc hai cho cho năng lượng cơ bản sẽ là một đại lương âm phụ thuộc vào đặc tính của nhiễu loạn. Như vậy, với độ chính xác đến các số hạng cĩ độ bé cấp hai, năng lượng của hệ suy ra từ (2.6), (2.7), (2.10), được tính bằng: 2 (0) (0) 0 nk n nn k n kk k n V E E H E H      (2.11) Khĩa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 21 Trong bài tốn nguyên tử hydro gọi k=kx +ky +kz thì biểu thức (2.11) được viết lại như sau: , 2 (2) 0 (0) (0) , 000 0 000 ˆ x y x y z z x y z k k k k k k k k k E E E      V (2.12) Ta tính các yếu tố ma trận của Vˆ , thấy rằng 000 0ˆ x y zk k k V ._.