Quan điểm Vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường Trung học phổ thông (THPT)

Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức quý giá về didactic toán. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn cùng khóa; lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường CĐSP Nha Trang nơi tôi công tác; lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM; Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Trường THPT Tân Bình và Trung tâm bồi dưỡng văn hóa Nguyễn Thượng Hiền đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt. LÊ QUANG MINH MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong lịch sử phát triển của toán học, hình học vectơ ra đời sau hình học giải tích (HHGT). Sự ra đời này được phôi thai từ ý tưởng của Leibniz là xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học, sao cho vừa khai thác được công cụ của đại số như phương pháp giải tích, lại vừa tận dụng được yếu tố trực quan của phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hình học. Tuy ra đời sau, hình học vectơ và HHGT đã được hình thành theo những cách thức hoàn toàn độc lập với nhau. Nhưng từ khi xuất hiện vectơ thì việc xây dựng HHGT đã trở nên dễ dàng hơn. Có lẽ vì thế mà ngày nay hầu hết các giáo trình môn toán, từ phổ thông đến đại học, đều khai thác vectơ để trình bày HHGT. Đặc biệt, nếu như trước đó việc lập phương trình các đường thẳng, mặt phẳng được giải quyết theo một cách thức phức tạp và không trọn vẹn, thì giờ đây, với sự xuất hiện của công cụ vectơ, vấn đề trở nên dễ dàng, đơn giản hơn nhiều. Về vấn đề này, ta biết rằng tồn tại một cách tiếp cận khác, được đặt trong phạm vi của đại số tuyến tính. Tuy nhiên, ở bậc phổ thông thì không thể tiếp cận theo cách đó vì học sinh chưa được nghiên cứu ngành toán học này . Trong trường hợp đó, đ ường thẳng, mặt phẳng được tiếp cận như thế nào? Ngoài hai cách tiếp cận trên, liệ u còn cách tiếp cận nào khác ? Cách tiếp cận mà sách giáo khoa toán bậc phổ thông lựa chọn ảnh hưởng ra sao đến việc dạy và học của giáo viên và học sinh? Một cách cụ thể hơn, chúng tôi tự đặt ra cho mình hai câu hỏi : - Q’1 : Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng, mặt phẳng và các vấn đề liên quan đến chúng đã được tiếp cận như thế nào ? - Q’2 : Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, những nội dung này xuất hiện ra sao? Công cụ vectơ đã được khai thác như thế nào trong việc nghiên cứu chúng? Cách trình bày của sách giáo khoa (SGK) có ảnh hưởng gì đến việc học HHGT của học sinh? Đề tài Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông mà chúng tôi theo đuổi nhằm mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi trên. Về các đối tượng “đường thẳng, mặt phẳng”, liếc qua chương trình môn toán hiện đang được áp dụng ở bậc trung học phổ thông (THPT), chúng tôi thấy có một sự thay đổi quan trọng : nếu như trước kia, các kiến thức về vectơ trong không gian chỉ được dạy ở lớp 12, sau khi quan hệ vuông góc (giữa các đường thẳng, mặt phẳng) đã được nghiên cứu ở lớp 11 bằng phương pháp tổng hợp, thì giờ đây, chương trình quy định sử dụng vectơ ngay từ lớp 11 để nghiên cứu quan hệ này. Ghi nhận đó càng khiến chúng tôi quan tâm hơn đến vai trò của công cụ vectơ trong dạy học hình học ở THPT theo chương trình hiện hành. Nó dẫn chúng tôi đến với việc mở rộng phạm vi nghiên cứu : không chỉ giới hạn trong nội dung HHGT dạy ở lớp 10 và lớp 12, chúng tôi sẽ xem xét cả vai trò của v ectơ trong việc nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ở đây, cần giải thích rõ là trong phần HHGT dạy ở lớp 12 nội dung này cũng được xem xét, ngay cả theo chương trình cũ. Vậy cái mới ở đây là gì ? Phải chăng câu trả lời nằm ở chú thích ghi trong sách giáo viên : “Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn”. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ hơn câu trả lời trong luận văn của mình. Trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ “quan điểm vectơ” với nghĩa xem vectơ như là công cụ để thiết lập các kiến thức của hình học liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng cũng như những vấn đề liên quan đến chúng mà chương trình đề cập đến. Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi giới hạn xem xét hai vấn đề : - Thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng và xét vị trí tương đối giữa chúng. - Nghiên cứu quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Cũng do điều kiện hạn chế về thời gian, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu việc dạy học hình học theo chương trình nâng cao. 2. Điểm qua những công trình có liên quan Liên quan trực tiếp đến đề tài của chúng tôi, bằng tiếng việt, chúng tôi tìm thấy luận văn thạc sĩ của Hoàng Hữu Vinh (2002) : nghiên cứu didactic toán về hoạt động của công cụ vectơ trong hình học lớp 10. Luận văn đã chỉ ra được những ứng dụng của công cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán hình học, cho thấy những điểm giống và khác nhau trong cách trình bày của SGK năm 1990 và năm 2000. Đặc biệt, luận văn khẳng định phương pháp sử dụng công cụ vectơ để giải toán không được khắc sâu trong học sinh như phương pháp tổng hợp. Công cụ vectơ chỉ luôn sẵn sàng sử dụng ở một số rất ít học sinh. Khi thực hiện các bước giải toán bằng công cụ vectơ, học sinh còn gặp sai lầm khi biến đổi các biểu thức vectơ và khó khăn trong việc chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt được kết quả. Luận văn trên chỉ nghiên cứu vectơ trong chương trình và SGK hình học lớp 10 từ năm 2000 trở về trước. Ở đó, không có HHGT và việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian hoàn toàn không sử công cụ vectơ. Vì vậy, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu vai trò của công cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán HHGT cùng với quan hệ vuông góc trong không gian. 3. Khung lý thuyết tham chiếu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết Didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sử dụng thuyết nhân học với các khái niệm sau: 3.1. Chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactic) Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích luỹ được trong suốt thời gian tồn tại trên địa cầu. Hơn nữa, để tri thức bộ môn trở nên có thể dạy được, cần phải chọn lựa, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một liên kết lôgic, phục vụ cho một mục tiêu dạy học xác định. Chuyển đổi didactic, nói một cách đơn giản, là quá trình biến đổi một đối tượng tri thức bác học thành một đối tượng tri thức dạy học. Việc quy định các đối tượng cần dạy được thể hiện thông qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ôn thi, nhất là Bộ Giáo dục và Đào tạo, các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK. Khái niệm này được vận dụng nhằm xác định khoảng cách giữa tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy đối với việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, vị trí tương đối và quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phảng. Nó cũng giúp nghiên cứu tính hợp pháp của tri thức cần giảng dạy và giải thích được một số ràng buộc của thể chế dạy học ở phổ thông đối với các kiến thức nêu trên. 3.2. Cách đặt vấn đề sinh thái học Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho phép sự tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng vectơ, đường thẳng và mặt phẳng cũng như mối liên hệ giữa chúng, bởi vì như Chevallard đã nói: “… Một đối tượng tri thức O không tồn tại độc lập trong một thể chế mà nó có mối quan hệ trương hỗ và thứ bậc với các đối tượng khác trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của nó trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng này hợp thành điều kiện sinh thái cho cuộc sống của đối tượng tri thức O trong thể chế đang xét.” 3.3. Quan hệ thể chế Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I? 3.4. Quan hệ cá nhân Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao? Muốn nghiên cứu R(X,O) ta cần đặt nó trong R(I,O). 3.5. Tổ chức toán học Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, τ , θ , Θ ], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , còn Θ là lí thuyết giải thích cho công nghệ θ . Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (TCTH). Việc phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X duy trì đối với tri thức O. Nói cách khác, nó giúp chúng tôi bổ sung cho phần trả lời cho câu hỏi Q’2 4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, câu hỏi xuất phát Q’2 được cụ thể hóa thành những câu hỏi sau: Q1. Từ cách tiếp cận sinh thái học, trong thể chế dạy học hình học ở phổ thông, vectơ được đưa vào ở thời điểm nào, nhằm mục đích gì? Nó có quan hệ như thế nào với những vấn đề khác của chương trình, đặc biệt là với các nội dung về đường thẳng và mặt phẳng? Q2. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được thiết lập như thế nào trong SGK hình học nâng cao lớp 10 và lớp 12 ? Sự chuyển đổi didactic nào đã được thực hiện trong việc thiết lập đó? Đâu là đặc trưng của quan hệ thể chế đối với công cụ vectơ trong nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng? Q3. SGK Hình học 11 nâng cao đưa khái niệm quan hệ vuông góc trong không gian vào như thế nào? Công cụ vectơ được khai thác ra sao trong việc thiết lập các kiến thức thuộc phạm vi chương trình về quan hệ vuông góc? Để phân tích chương trình, đặc biệt là SGK, việc nghiên cứu khoa học luận về các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng là cần thiết. Thế nhưng, trong điều kiện của chúng tôi một nghiên cứu tri thức luận đầy đủ được thực hiện thông qua phân tích lịch sử hình thành tri thức (nhằm làm rõ lý do nảy sinh tri thức, bài toán mà nó cho phép giải quyết, những vấn đề, những quan niệm gắn liền với nó, …) là không thể. Vì thế, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức mà chúng tôi quan tâm qua việc phân tích một giáo trình đại học . Cách làm này vẫn thường được thừa nhận trong nhiều công trình của didactic toán, với giả thuyết rằng tri thức trình bày ở bậc đại học thường khá gần với tri thức bác học. Chúng tôi đặt ra cho mình một câu hỏi cần phải trả lời trước khi xem xét các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Q0. Quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được tiến hành như thế nào ở bậc đại học? Quan điểm vectơ đã được thể hiện ra sao trong việc xây dựng đó? Câu hỏi này là một sự cụ thể hóa của câu hỏi Q’1 mà chúng tôi đặt ra từ đầu khi bắt đầu quan tâm đến chủ đề nghiên cứu của luận văn. Chúng tôi sẽ phân tích một giáo trình đại học để tìm câu trả lời cho Q0. Phân tích này sẽ được trình bày trong chương đầu tiên của luận văn. Qua phân tích đó, chúng tôi sẽ làm rõ cách xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng. Chúng tôi sẽ cố gắng đánh giá vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng; làm rõ những đặc trưng của đối tượng vectơ với tư cách là công cụ của HHGT. Phân tích này sẽ được thực hiện từ góc độ chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactique). Ngoài ra, để làm nổi bật thấy rõ vị trí của vectơ trong việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng , chúng tôi sẽ điểm lại vài nét lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng, cụ thể là cách xây dựng của Fermat. Chương tiếp theo (chương 2) dành cho một nghiên cứu thể chế, nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Trong chương này chúng tôi phân tích chương trình và SGK Toán phổ thông của Việt Nam để thấy được vai trò của công cụ vectơ cũng như các đặc trưng của nó trong nghiên cứu phương trình và mối quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 10 và lớp 12 ban nâng cao hiện hành để làm rõ sự chuyển hóa sư phạm đã được thực hiện trong việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 11 ban nâng cao hiện hành để nghiên cứu thêm vai trò của vectơ trong việc thiết lập các kiến thức và giải bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian. Để thấy rõ đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi quan tâm, chúng tôi sẽ đặt phân tích chương trình, SGK trong sự so sánh với một thể chế khác. Giả thuyết công việc được chúng tôi thừa nhận ở đây là : việc so sánh thể chế này với thể chế kia sẽ cho phép làm nổi rõ những đặc trưng, những điều kiện, những ràng buộc của mối quan hệ được hình thành trong từng thể chế đối với đối tượng tri thức được xem xét. Thể chế mà chúng tôi chọn để đối chiếu ở đây là thể chế dạy học Hình học ở THPT của Mỹ theo chương trình hiện hành. Như thế, trước khi phân tích các SGK Việt nam, chúng tôi sẽ nghiên cứu một cuốn SGK của Mỹ. Nghiên cứu trình bày ở chương 2 sẽ giúp chúng tôi đưa ra những giả thuyết liên quan đến câu hỏi Q4, cũng là một phần câu hỏi Q’2 mà chúng tôi đặt ra lúc đầu. Q4. Cách trình bày của SGK có ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về phương trình đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ vuông góc trong không gian? Giả thuyết này cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu thực nghiệm. Chương cuối cùng (chương 3) của luận văn dành cho việc trình bày những kết quả đạt được từ nghiên cứu này. Phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc của luận văn được chúng tôi tóm tắt bằng sơ đồ dưới đây. NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ (tham khảo) NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Quan điểm so sánh Giả thuyết về ảnh hưởng của thể chế NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG : MỘT ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN 1.1. Vài nét về lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng 1.1.1. Apollonius de Pergue là người đầu tiên đưa ra một “phương trình” của một đường thẳng nhưng chỉ dưới hình thức “tu từ” không tượng trưng. Ông cho rằng nếu tọa độ x và y của một điểm M có tỉ lệ cho trước y = ax, hoặc nếu x tăng một hằng số và có một tỉ lệ cho trước đối với y, y = a(x + b), thì quỹ tích những điểm M nằm trên một đường thẳng. 1.1.2. Fermat là người đầu tiên đã đưa ra, dưới hình thức tượng trưng, phương trình biểu diễn đường thẳng trong mặt phẳng. Ông xuất phát từ việc cho trước một phương trình và đi xác định quỹ tích của những điểm liên kết với nó. Bằng việc sử dụng sự đồng dạng của các tam giác Fermat chỉ ra rằng : Nếu phương trình là ax = by (a và b là những hằng số ), quỹ tích là một đường thẳng và nếu phương trình là c2 – ax = b, quỹ tích vẫn là một đường thẳng. Chứng minh của Fermat như sau : y x I MZN Hình 1. Cho NZM là một đường t hẳng, N là một điểm cố định. Cho NZ một đại lượng bất định x và ZI một đại lượng bất định khác là y. Nếu ax = by, điểm I vạch một đường thẳng xác định. Thật vậy, ta có b x = a y , bởi vậy x y được cho, cũng như góc tại Z. Tam giác NIZ được xác định. Vì điểm N và vị trí của đường thẳng NZ được cho nên vị trí của đường thẳng NI được xác định. Tiếp theo, Fermat nói rằng chúng ta có thể đưa phương trình ax = by về dạng y = ax + b mà a và b không cùng âm – một tọa độ âm Fermat không muốn nói tới. Để chứng minh điều đó, ông lấy ví dụ phương trình c2 – ax = by, viết c 2 dưới dạng ad và nhận được phương trình b d x = a y − . Bằng cách đặt MN = d, d – x chỉ là MZ, từ đó, ông nhận được một giá trị cố định cho tỉ lệ MZ ZT và ông kết luận chúng, như một sự chứng minh đầu tiên, rằng điểm I nằm trên một đường thẳng cố định. Từ phương trình đường thẳng, Fermat đánh giá rằng chúng ta có thể tìm thấy tất cả những quỹ tích của những đường thẳng mà những mệnh đề của Apollonius đã chỉ ra là một trường hợp. Nhưng, sau khi chứng minh phương trình xy = a 2 biểu diễn một hyperbol và tổng quát kết quả này với tất cả phương trình chứa một số hạng x, một số hạng y, một số hạng xy và một hằng số, ông đi đến phương trình đường thẳng . Fermat khẳng định rằng quỹ tích của tất cả những phương trình được tạo thành duy nhất bởi những số hạng x2, y2 và xy, không có số hạng hằng số, là một đường thẳng. Để chứng minh kết quả này, ông lấy trường hợp một phương trình dạng x2 + xy = ay2 và dẫn đến như sau : Nếu tỉ số 2 2 NZ + NZ.ZI ZI được cho và vẽ bất cứ đường song song OR nào, dễ dàng chứng minh rằng 2 2 NO + NO.OR OR có cùng giá trị với tỉ lệ cho trước. Điểm I sẽ ở trên một đường thẳng có vị trí xác định. Bây giờ chúng ta có thể nói rằng điều mà Fermat đã chứng minh, đó chính là tất cả những phần tử của đường thẳng NI xác định cùng một phương trình. RZN O I Hình 2. Theo đánh giá của những nhà nghiên cứu, Fermat, trong quá trình liên kết giữa phương trình và đường thẳng và tổng quát giữa phương trình và quỹ tích đã gặp hai khó khăn sau : Thứ nhất, gắn liền với sự tượng trưng hóa được sử dụng, chính việc không có duy nhất một cách viết phương trình của một quỹ tích – ở đây là đường thẳng – hay tất cả các phương trình của cùng một bậc – bậc hai chẳng hạn. Điều đó dẫn đến những chữ chỉ biểu diễn những số dương, vì vậy không có một cách viết nào tính đến đồng thời hai phương trình ax – c = by và ax + c = by bởi vì +c và –c không phải cùng một thứ như nhau. Khó khăn thứ hai, chính sự lập luận hình học trên các hình chỉ cho phép giải quyết những trường hợp đặc biệt. Sự lập luận này không thể tổng quát cho tất cả các trường hợp hình vẽ. Fermat chỉ giải quyết mỗi lần một trường hợp đặc biệt và kết luận rằng chúng ta có thể làm tương tự cho những trường hợp khác. Tuy nhiên, nếu chúng ta thay đổi trường hợp, cần phải thay đổi hình vẽ. Cũng theo các nhà nghiên cứu, trong trường hợp của Fermat, sự thiếu vắng các trục cho trước làm phức tạp nhiều cho bài toán… Fermat xuất phát từ một phương trình, xem xét một điểm nào đó mà ông giả sử xác định phương trình này – bất kì một điểm có thể được xem như xác định tiên nghiệm một phương trình cho trước vì không có trục cho trước và phương trình được xem xét có tất cả các nghiệm – và vì vậy chỉ ra rằng tất cả các điểm nằm trên một quỹ tích nào đó xác định cùng một phương trình. Để xác định quỹ tích của những điểm liên kết với một phương trình, không chỉ cần phải chứng minh rằng tất cả những điểm của một đường cong xác định cùng một phương trình, như Fermat đã làm ở đây mà còn phải chứng minh rằng đó là những điểm duy nhất xác định phương trình này. Ở đây, chúng ta đụng đến quan niệm về khái niệm số ở Fermat – những số âm thì không được xem xét, ông chỉ quan tâm đến những đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất (x ≥ 0 và y ≥ 0) – việc xem xét lập luận về tỉ lệ trên hình 1 và 2 cho phép chứng minh rằng những đường thẳng đối xứng với đường thẳng NI qua đường thẳng NZ xác định cùng phương trình với NI. Nhưng, sự trình bày của Fermat lại khác. Trong đó, ông xuất phát từ việc cho trước một phương trình và ông xác định quỹ tích hình học tương ứng. Điều này dẫn ông đến chứng minh rằng những phương trình không cần thiết được viết theo cùng một cách, có thể được rút lại thành những đường này hay những đường khác, nghĩa là người ta có thể đi từ đường này sang đường kia bằng một “sự thay đổi biến” – thay đổi tọa độ. Từ những phương trình như vậy xác định cùng một quỹ tích và trong trường hợp đó chúng ta có thể rút ra những cách viết khác nhau của những phương trình này để dạng của chúng là đơn giản nhất (chứa ít số hạng nhất có thể). Thật vậy, chẳng hạn phương trình c + xy = ax + by được rút lại thành dạng xy = d và phương trình c2 – 2ax – x2 = y2 + 2by được rút lại thành dạng d2 – x2 = y 2. Nhưng sự biến đổi này – thay đổi tọa độ – chỉ cho phép so sánh những phương trình có cùng bậc, nó không cho phép thay đổi bậc của một phương trình. Đó chính là lí do Fermat đưa phương trình c – ax = by về phương trìn h ax = by nhưng không liên hệ được với những phương trình mà ông cho rằng chúng được biểu diễn bởi những đường thẳng như x2 = y2 hay x2 + axy = by2. 1.1.3. Với sự phát triển của những phương pháp giải tích cuối thế kỷ XVII và đầu thế kỷ XVIII những khó khăn mà Fermat gặp phải đã được giảm bớt. Sự áp dụng hệ trục tọa độ không phụ thuộc vào mỗi hình vẽ được nghiên cứu và việc xem xét tọa độ âm cho phép đồng thời xây dựng đường cong từ phương trình của nó và xác định phương trình của một đường cong cho trước. Vì vậy, có thể nói đến phương trình hoặc những phương trình của một đường. Theo Glaeser (86), loại phương trình đường thẳng đầu tiên được đề cập trong tác phẩm của Lagrange xuất hiện năm 1770. Glaeser thêm rằng trong hai SGK xuất hiện trong cùng năm đó, một của hầu tước L’Hospital và một của Marie -Gaetana Agnesi, các tác giả đưa ra ba phương trình đường thẳng: y = ax + b, y = – ax + b, y = ax – b. Phương trình y = – ax – b không được đề cập vì đường thẳng liên kết với nó không đi qua góc phần từ thứ nhất. Cuối thế kỷ XVIII, những phương pháp xử lí giải tích của những đường cong trong mặt phẳng hay không gian đã phát triển đầy đủ để được trình bày trong nhiều SGK và trong cả chương trình phổ thông. 1.1.4. Phương pháp xử lí giải tích đã khắc phục những khó khăn của cách xây dựng phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat cũng như những yếu điểm khác của phương pháp tổng hợp. “Tuy nhiên, do đã chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số, với phương pháp giải tích người ta hoàn toàn thoát khỏi phạ m vi hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán…”. Từ đó, “ý tưởng xây dựng một phương pháp mới để nghiên cứu hình học sao cho có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình học” (Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp dạy – học Hình học) đã được Leibniz khởi xướng. Khuynh hướng này đã dẫn đến các nhà toán học xây dựng nên lý thuyết về không gian vectơ vào thế kỷ XIX. Cho đến lúc này, tồn tại ít nhất là ba phương pháp để tiếp cận hình học sơ cấp : phương pháp tổng hợp, phương pháp giải tích và phương pháp vectơ. Hai phương pháp sau đều nhằm mục đích đại số hóa hình học, tận dụng sức mạnh của đại số trong việc giải quyết các vấn đề của hình học. Nhưng bản chất của chúng không giống nhau. Trong lịch sử, lý thuyết vectơ và HHGT được xây dựng độc lập với nhau. Tuy nhiên, sự ra đời của lý thuyết vectơ đã làm cho việc nghiên cứu HHGT trở nên dễ dàng hơn , bởi vì, như tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) đã phân tích, bằng cách đặt các vectơ vào một hệ tọa độ, người ta đã tạo ra sự liên thông giữa hai phương pháp vectơ và giải tích . Chính vì thế mà các giáo trình toán ngày nay đều xây dựng HHGT trên cơ sở một không gian vectơ. Dưới đây chúng tôi chọn một giáo trình đại học để phân tích chi tiết nhận định này. Đó là giáo trình Hình học cao cấp của Nguyễn Mộng Hy, NXBGD, 2007. Phân tích của chúng tôi nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi Q0. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ tìm hiểu vai trò của vectơ trong việc : - xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng, - nghiên cứu quan hệ vuông góc và vị trí tương đối giữa chúng. Hai phần tiếp theo của chương dành cho việc phân tích vai trò của vectơ đối với hai nội dung này. 1.2. Về phương trình đường thẳng và mặt phẳng 1.2.1. Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian afin Đường thẳng, mặt phẳng là những m – phẳng đặc biệt. Trong các lý thuyết Hình học, phương trình tham số v à phương trình tổng quát của m – phẳng được tiếp cận từ không gian vectơ của đại số tuyến tính. Cho tập A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là một không gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ f : A x A → V được kí hiệu là f(M, N) = MN  với các điểm M, N thuộc A và vectơ MN  thuộc V. Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn: i) Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ u  thuộc V có duy nhất điểm N thuộc A sao cho MN  = u  . ii) Với mọi ba điểm M, N, P thuộc A ta luôn có MN  + NP  = MP  . Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ V trên trường K và được gọi tắt là không gian afin A trên trường K. Không gian vectơ liên kết V còn được kí hiệu là A  , được gọi là nền của không gian afin A. (trang 5) Vì không gian afin được xây dựng từ không gian vectơ nên các khái niệm sau đó cũng được hình thành từ vectơ. Chẳng hạn, mỗi hệ điểm độc lập gắn với một hệ vectơ độc lập tuyến tính. Mỗi mục tiêu afin liên kết với một cơ sở của không gian vectơ và theo đó, tọa độ của mỗi điểm tương ứng với tọa độ của vectơ và phụ thuộc vào mục tiêu afin cho trước, tức phụ thuộc vào cơ sở của không gian vectơ liên kết. Cũng trong mối liên hệ đó, cái phẳng trong không gian afin được định nghĩa qua khái niệm không gian vectơ con. Phương của cái phẳng chính là không gian vectơ con. Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A  . Gọi I là một điểm thuộc A và α  là một không gian con của A  . Khi đó tập hợp những điểm M thuộc A sao cho IM  thuộc α  được gọi là cái phẳng afin α đi qua điểm I và có phương là α  { }α M | IM α= ∈ ∈A   . Nếu α  có số chiều bằng m thì α gọi là cái phẳng m chiều (được gọi tắt là phẳng m chiều) hay còn gọi là m – phẳng. Như vậy, 0 – phẳng chính là điểm, 1 – phẳng là đường thẳng, 2 – phẳng là mặt phẳng còn n – phẳng của không gian afin n chiều An chính là An. Nếu dimA = n thì (n – 1) – phẳng còn được gọi là siêu phẳng của không gian đó. (trang 12) Trong cách xây dựng này, phương trình tham số của m – phẳng được xây dựng dựa vào tính chất của không gian vectơ. Một m – phẳng hoàn toàn được xác định qua phương trình tham số (ma trận lập được từ các hệ số của phương trình có hạng bằng m). Trong An cho m – phẳng Am xác định bởi m + 1 điểm độc lập A0, A1,…, Am. Giả sử đối với mục tiêu {E0 ; Ei} cho trước, các điểm Ai có tọa độ là Ai = (ai1, ai2,…, ain) với i = 0, 1, 2,…, m. X(x1, x2,…, xn) ∈ Am ⇔ m0A X∈V  ⇔ 0 1 0 1 2 0 2 m 0 mA X t A A t A A . . . t A A= + + +     Với t1, t2,…, tm thuộc trường K. Ta có phương trình tham số của m – phẳng Am dưới dạng ma trận là : [x] = [a0] + t1([a1] – [a0]) + t2([a2] – [a0]) + … + tm[am] – [a0]) Nếu viết dưới dạng tạo độ ta có n phương trình sau: xi = a0i + t1(a1i – a0i) + t12a2i – a0i) + … + tm(ami – a0i) với i = 1, 2,…, n. (trang 14) Điều kiện quan trọng trong cách xây dựng trên là m – phẳng được xác định bởi m + 1 điểm A 0, A1,…, Am độc lập, tức là hệ m vectơ { 0 iA A  , i = 1,2,…, m} độc lập tuyến tính. Phương trình tổng quát của m – phẳng được suy trực tiếp từ phương trình tham số bằng cách khử dần các tham số. Mỗi m – phẳng trong không gian afin An được biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tính với các biến x 1, x2,…, xn và có hạng bằng n – m. Phương trình đó được gọi là p hương trình tổng quát của m – phẳng. Ngược lại, mỗi hệ phương trình với các biến x1, x2,…, xn và có hạng bằng n – m đều biểu thị một m – phẳng hoàn toàn xác định của An. Với cách xây dựng và định nghĩa này ta có thể giải thích được vì sao phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng chỉ có một phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn nhưng trong không gian thì có hai phương trình tuyến tính bậc nhất ba ẩn. Mỗi siêu phẳng trong An (ứng với m = n – 1) có phương trình tổng quát dạng: a1x1 + a2x2 + … + anxn + b = 0 trong đó hạng của ma trận (a1, a2,…, an) bằng 1, tức là có ít nhất một ai ≠ 0. Trong không gian afin không có khái niệm vectơ pháp tuyến vì không xét đến quan hệ vuông góc. Xét trường hợp n = 2 và n = 3. Với n = 2, 1 – phẳng là đường thẳng và cũng chính là siêu phẳng. Khi đó, theo những gì trình bày ở trên, phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng được xây dựng như sau: Giả sử đường thẳng d xác định bởi hai điểm độc lập A, B có tọa độ là A(a1; a2) và B(b1; b2). Khi đó: Điểm M(x; y) ∈ d ⇔ AX tAB=   , t∈  . AB  gọi là phương của đường thẳng d. Ta có phương trình tham số của d là : 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) x a t b a y a t b a = + −  = + − . Khử tham số t trong phương trình tham số ta có phương trình tổng quát của d. Với n = 3, 1 – phẳng là đường thẳng và 2 – phẳng là mặt phẳng và cũng chính là siêu phẳng. Khi đó phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt phẳng được xây dựng hoàn toàn như trường hợp n = 2. Chỉ khác là phương trình tổng quát của đường thẳng được tạo bởi từ hai phương trình tuyến tính bậc nhất ba ẩn. Như vậy, vectơ với vai trò công cụ trong việc thiết lập phương trình m – phẳng được sử dụng theo tinh thần của đại số tuyến tính. 1.2.2. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Ơclit Không gian ơclit là một loại không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều. Các định nghĩa có liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ : 1) a  . b  = | a  |.| b  |cos( a,b   ) 2) | a  |2 = a  2 ⇒ | a  | = 2 a  3) a  ⊥ b  ⇔ a  . b  = 0. (trang 87) Không gian ơclit ba chiều thông thường được học trong chương trình toán ở bậc phổ thông được kí hiệu là E3. Trong không gian này, mặt phẳng ơclit là không gian ơclit hai chiều và được kí hiệu là E2. Các không gian 3E  và 2E  là không gian các vectơ tự do ba chiều và hai chiều. Tích vô hướng trong không gian 3E  và 2E  được định nghĩa như sau: a  . b  = | a  |.| b  |cos( a,b   ) Vì không gian ơclit là một l._.oại không gian afin nên trong không gian ơclit các phẳng cũng có phương trình và tính chất giống như trong không gian afin. Cái mới trong không gian ơclit gắn liền với tích vô hướng chính là sự vuông góc của các phẳng. Nhờ có quan hệ vuông góc này mà phương trình các phẳng có thể lập được theo một cách khác, thông qua vectơ pháp tuyến của nó. Giáo trình của tác giả Nguyễn Mộng Hy trình bày vấn đề này ra sao ? Trong En giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng α có phương trình a1x1 + a2x2 + … + anxn + a0 = 0. Gọi α  là phương của siêu phẳng α . Ta xét vectơ ( )1 2 nn= a , a ,..., a  và nhận thấy rằng n  trực giao với α  (…). Ta gọi n  là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng α . (trang 98) Vectơ pháp tuyến được định nghĩa trực tiếp từ phương trình của siêu phẳng. Từ định này có thể suy ra rằng vectơ pháp tuyến là vectơ trực giao với phương của phẳng, tức là trực giao với bất kì vectơ nào thuộc phương của phẳng đó. Từ đó suy ra, vectơ pháp tuyến của đường thẳng là vectơ vuông góc với một vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với hai vectơ chỉ phương độc lập tuyến tính (không cùng phương) của mặt phẳng. Với n = 2, 3 tương ứng ta có phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng và phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian như sau: a1x1 + a2x2 + a0 = 0 vectơ pháp tuyến là ( )1 2;n a a=  a1x1 + a2x2 + a3x3 + a0 = 0 vectơ pháp tuyến là ( )1 2 3; ;n a a a=  . Giáo trình không đưa ra cách vi ết phương trình siêu phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến – nếu biết siêu phẳng có một vectơ pháp tuyến và đi qua một điểm có tọa độ cho trước thì phương trình của siêu phẳng đó được viết như thế nào ? Tuy nhiên vấn đề này được giải quyết ở phần bài tập. Chẳng hạn, bài tập 2.24 trang 139 với lời giải trong sách bài tập Hình học cao cấp của cùng tác giả trang 162: Trong E3 tìm điểm đối xứng của điểm (1, 2, 3) đối với a) (…) b) đường thẳng 21 3 18 4 3 xx x−− = = − + . Giải: b) Gọi ∆ là đường thẳng đã cho có phương trình: 321 418 3 1 xxx −−− = = − Đường thẳng này có vectơ chỉ phương (1,3, 1)a = −  . Mặt phẳng R đi qua M(1, 2, 3) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên có phương trình dạng: 1 2 33 0x x x b+ − + = . Vì M∈R nên ta có: 1 + 6 – 3 + b = 0 ⇒ b = - 4. Vậy mặt phẳng R có phương trình là: 1 2 33 4 0x x x+ − − = . 1.2.3. Kết luận : hai cách tiếp cận để giải quyết bài toán lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng Phân tích trên cho thấy có hai cách tiếp cận phương trình m – phẳng : tiếp cận đại số và tiếp cận hình học. • Tiếp cận đại số Trong không gian An, phương trình tham số của m – phẳng là một hệ m phương trình tuyến tính n ẩn x1, x2,…, xn, trong đó ma trận lập được từ các hệ số của phương trình có hạng bằng m. Phương của m – phẳng là một không gian vectơ con m chiều của không gian nA  . Phương trình tham số được thiết lập dựa vào tính chất của không gian vectơ con. Phương trình tổng quát của m – phẳng được suy trực tiếp từ phương trình tham số bằng cách khử dần các tham số. Mỗi m – phẳng được biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tính với các biến x1, x2,…, xn và có hạng bằng n – m. Trong cách tiếp cận này, đại số tuyến tính đóng vai trò chính trong việc xác định phương và chiều của cái phẳng. Khái niệm vectơ được sử dụng trong đại số tuyến tính với nghĩa tổng quát của khái niệm không gian vectơ - các vectơ hình học chỉ là một trường hợp đặc biệt của nó. • Tiếp cận hình học Cách tiếp cận này chỉ được thực hiện t rong không gian ơclit hai chiều và ba chiều của ình học ơclit. Ở đó phương của đường thẳng và mặt phẳng được định nghĩa dựa vào đặc trưng định phương của vectơ hình học . Cách thiết lập phương trình của đường thẳng và mặt phẳng dựa vào điều kiện cùng phương hoặc điều kiện trực giao của hai vectơ. Theo cách tiếp cận này, tính chất trực quan của vectơ hình học đóng vai trò chính trong việc xác định phương của đường thẳng, mặt phẳng. Tuy nhiên, khi viết phương trình thì người ta hoàn toàn tính toán đại số trên toạ độ. Như vậy , về phương trình đường thẳng và mặt phẳng có ít nhất là hai cách chuyển đổi didactique có thể vận dụng trong dạy học hình học ở bậc phổ thông, một theo cách tiếp cận đại số và một theo cách tiếp cận hình học. Cụ thể a) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng: - Tiếp cận hình học: Phương trình đư ờng thẳng được lập bằng phương pháp vectơ (sử dụng vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến). - Tiếp cận đại số: Lấy kết quả thu được trong đại số tuyến tính, thừa nhận phương trình siêu phẳng (n – 1) – phẳng là phương trình bậc nhất n ẩn: a1x1 + a2x2 + … + anxn + a0 = 0. Khi đó, với n = 2, siêu phẳng là đường thẳng với phương trình có dạng: ax + by + c = 0. Như vậy, phương trình đ ường thẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một phương trình bậc nhất hai ẩn. b) Phương trình mặt phẳng - Tiếp cận hình học: Phương trình mặt phẳng được lập bằng phương pháp vectơ (sử dụng vectơ pháp tuyến). - Tiếp cận đại số: Phương trình mặt phẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một phương trình bậc nhất ba ẩn: ax + by + cz + d = 0. c) Phương trình đường thẳng trong không gian - Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp vectơ (sử dụng vectơ chỉ phương) - Tiếp cận đại số: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 a x b y c z d a x b y c z d + + + =  + + + = . Nhận xét: Với cách tiếp cận đại số thì không thể thiết lập được phương trình tham số của đường thẳng và mặt phẳng mà chỉ có thể chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số. 1.3. Về vị trí tương đối gữa đường thẳng và mặt phẳng Vị trí tương đối giữa các phẳng trong không gian afin và không gian ơclit được định nghĩa như sau : Trong không gian afin An cho p – phẳng Ap có phương là Vp và q – phẳng Aq có phương là Vq. Ta giả sử p ≤ q. Căn cứ vào phương chung Vp ∩ Vq và điểm chung Ap ∩ Aq ta có vị trí tương đối của hai cái phẳng đó như sau : a) Nếu Vp ∩ Vq = { 0  } : • và nếu Ap ∩ Aq ≠ ∅ thì Ap , Aq có một điểm chung duy nhất. • và nếu Ap ∩ Aq = ∅ thì Ap , Aq gọi là chéo nhau (hoàn toàn). b) Vp ∩ Vq = Vr với r > 0, khi đó ta nói rằng hai cái phẳng Ap, Aq có phương chung (hay Ap cùng phương với Aq ). • Nếu r < p và nếu Ap ∩ Aq ≠ ∅ ta có giao của chúng là một r – phẳng có phương Vr. • Nếu r < p và nếu Ap ∩ Aq = ∅ ta nói rằng Ap , Aq không có điểm chung và có phương chung (có thể xem chúng chéo nhau không hoàn toàn). • Nếu r = p tức Vp ⊂ Vq ta nói rằng Ap cùng phương với Aq và nếu Ap ∩ Aq ≠ ∅ ta nói rằng Ap bị chứa trong Aq (Ap ⊂ Aq) còn nếu Ap ∩ Aq = ∅ ta nói Ap song song với Aq và nếu p = q ta nói Ap và Aq song song với nhau. (trang 19) Trong không gian ơclit còn có thêm quan hệ vuông góc được định nghĩa: Trong không gian ơclit n chiều En cho phẳng α có phương α  và phẳng β có phương β  . • Hai phẳng α và β gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu α ⊥ β nếu hai không gian vectơ α  và β  trực giao với nhau (mọi vectơ thuộc α  đều trực giao với mọi vectơ thuộc β  ). • Hai phẳng α và β gọi là bù vuông góc với nhau nếu α  và β  bù trực giao với nhau trong nE  nghĩa là α  ⊕ β  = nE  (dimα  + dimβ  = n). (trang 93) Với các định nghĩa trên, trong không gian ơclit 3 chiều E3 ta không có khái niệm chéo nhau không hoàn toàn và hai mặt phẳng vuông góc . Khái niệm vuông góc của hai mặt phẳng trong E3 dùng ở trường phổ thông không thỏa mãn định nghĩa ở trên về sự vuông góc của hai cái phẳng. Đó là sự vuông góc không hoàn toàn. Khái niệm vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng ở phổ thông chính là sự bù vuông góc theo định nghĩa trên. 1.4. Kết luận 1.4.1.Về vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng - Cách xây dựng phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat đã gặp nhiều khó khăn và chưa giải quyết triệt để. Điểm cơ bản nhất trong phương pháp của Fermat là việc gán một phương trình (đại số) bởi một đường. - Với phương pháp giải tích khi nghiên cứu hình học chúng ta hoàn toàn thoát khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán. - Với sự xuất hiện của vectơ những khó khăn và điểm yếu trên đã được giải quyết. Việc nghiên cứu hình học có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình học. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng được tiếp cận hoàn toàn dựa vào không gian vectơ. Như vậy, vectơ đã đóng một vai trò công cụ tối quan trọng trong việc nghiên cứu hình học giải tích mà cụ thể ở đây đó là phương trình đường thẳng, mặt phẳng. 1.4.2. Về đặc trưng của đối tượng vectơ và cách tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng - Vectơ là một phần tử của không gian vectơ thỏa mãn các tiên đề của không gian afin hay không gian ơclit. - Phương trình m – phẳng được tiếp cận theo tinh thần của đại số tuyến tính. Việc thiết lập nó và các vấn đề liên quan hầu hết đều phải sử dụng tọa độ. Chính vì thế mà các đặc trưng định hướng (phương và chiều) và đặc trưng độ dài của vectơ tự do là không được thể hiện trong việc xây dựng phương trình của m – phẳng. Ngoài ra, đặc trưng định phương và đặc trưng độ dài của vectơ tự do cũng hoàn toàn không được sử dụng trong vấn đề xét vị trí trương đối của các phẳng và quan hệ vuông góc giữa chúng. Công cụ vectơ để thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng và xét vị trí tương đối của chúng ở cấp độ tri thức khoa học hoàn toàn được thể hiện theo tinh thần vectơ của đại số tuyến tính. - Tuy nhiên, khi xét trong không ơclit hai chiều và ba chiều thì phương trình của đường thẳng và mặt mặt còn có thể được tiếp cận bằng hình học. Ở đó, đặc trưng định phương của vectơ hình học được thể hiện. - Có hai cách trình bày phương trình đường thẳng, mặt phẳng : + Bằng phương pháp vectơ + Bằng phương pháp đại số Chương 2 VECTƠ VỚI VAI TRÒ LÀ CÔNG CỤ TRONG NGHIÊN CỨU ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Trong luận văn này chúng tôi không tập trung sự chú ý đến phương diện “đối tượng” mà chỉ quan tâm đến phương diện “công cụ” của vectơ. Cụ thể ở đây là vai trò công cụ của vectơ trong nghiên cứu đường thẳng và mặt phẳng ở trường THPT theo chương trình hiện hành. Phân tích quan hệ thể chế của chúng tôi sẽ được thực hiện theo cách tiếp cận của thuyết nhân học. Từ góc độ sinh thái học, phân tích chương trình hướng đến việc làm rõ lý do tồn tại và môi trường phát triển của công cụ vectơ. Từ góc độ chuyển đổi sư phạm, phân tích quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong SGK cho phép chúng tôi biết thể chế ưu tiên cách tiếp cận nào - đại số hay hình học (cách tiếp cận mà vectơ giữ vị trí quan trọng). Phân tích SGK bằng cách chỉ ra các tổ chức toán học được xây dựng sẽ còn cho phép làm rõ hơn vai trò công cụ của vectơ : nó tác động ra sao trong các kỹ thuật giải quyết những kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ vuông góc và vị trí tương đối giữa chúng. Từ những nghiên cứu này, chúng tôi cố gắng tìm câu trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Nghiên cứu quan hệ thể chế cũng có thể cho phép chúng tôi hình thành nên những giả thuyết về ảnh hưởng của sự lựa chọn của thể chế lên việc học của học sinh. Chúng tôi chọn phân tích chương trình và SGK Việt Nam hiện hành. Cụ thể là SGK hình học ban nâng cao lớp 10, 11 và 12. Những kết quả có được trong chương I sẽ là cơ sở tham chiếu đầu tiên cho phân tích thực hiện ở chương này. Ngoài ra, như đã nói khi trình bày phương pháp luận nghiên cứu, chúng tôi sẽ phân tích hai cuốn SGK Toán hiện đang được sử dụng ở Mỹ cho các lớp 10 và 12, nhằm hình thành nên cơ sở tham chiếu thứ hai cho việc làm rõ mối quan hệ của thể chế Việt nam đối với công cụ vectơ trong dạy học đường thẳng, mặt phẳng. PHẦN A VECTƠ VỚI VẤN ĐỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở MỸ Chương trình trung học ở Mỹ có ba cuốn sách, trong đó các nội dung về hình học chỉ nằm trong hai cuốn của cùng một chương trình (không có SBT): • GEOMETRY, 2007 (tương đương với sách Toán lớp 10 ở Việt Nam), ta kí hiệu là M1. Cuốn này hoàn toàn viết về hình học. • PRECALCULU, 2007 (tương đương với sách Toán lớp 12 ở Việt Nam), ta kí hiệu là M2. Cuốn này bao gồm Graphical, Numerical và Algebraic. Với việc nghiên cứu quan điểm vectơ với vai trò công cụ trong nghiên cứu đường thẳng, mặt phẳng chúng tôi sẽ phân tích vectơ trong hệ thống tri thức đó. Ngoài ra, trong hai cuốn sách trên không trình bày quan hệ vuông góc trong không gian nên chúng tôi chỉ phân tích vấn đề phương trình của đường thẳng, mặt phẳng. Thứ tự trình bày các kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong M1 và M2 như sau: … → Phương trình đường thẳng (M1) → Vectơ (M1) → Nhắc lại và bổ sung phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (M2) → Phương trình mặt phẳng (M2) → Vectơ trong không gian (M2) → Phương trình đường thẳng trong không gian (M2). Nhìn vào thứ tự trên ta có thể thấy được vectơ chỉ có thể được khai thác trong việc thiết lập các kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian. Ta hãy xem SGK trình bày như thế nào. 1. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (trong M1 và M2) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng được đưa vào trước vectơ. Việc thiết lập nó hoàn toàn không sử dụng vectơ. Thứ tự trình bày trong M1 như sau: Trước khi nghiên cứu đồ thị hàm số bậc nhất và phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, SGK ôn lại kiến thức về hệ số góc đã được học năm trước trong phần đại số. Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm bất kì ( )1 1,x y và ( )2 2,x y được định nghĩa là tỷ số 2 1 2 1 y y x x − − . Nếu đường thẳng là thẳng đứng thì x1 = x2 và hệ số góc là không xác định. Trong đại số, học sinh đã biết rằng đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng. - Dạng slope-intercept form (dạng hệ số góc-đoạn chắn) của một phương trình tuyến tính là y = mx + b, ở đó m là hệ số góc của đường thẳng và b là y-intercept. (chúng tôi tạm dịch y -intercept là tung độ giao điểm – giao điểm của đường thẳng với trục tung). - Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là Ax + By = C, trong đó A, B và C là các số thực, A và B không đồng thời bằng không. Để vẽ đồ thị của phương trình đường thẳng dạng tổng quát bạn có thể tìm hai điểm, đó là tung độ giao điểm và hoành độ giao điểm. (M1, trang 166, 167) Như vậy, phương trình của đường thẳng được định nghĩa dựa vào kết quả trong đại số “đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng”. Dạng thứ ba là point-slope form (điểm-hệ số góc). - Dạng point-slope form đối với một đường thẳng không thẳng đứng đi qua điểm ( )1 1,x y với hệ số góc m là y – y1 = m(x – x1). (M1, trang 168) Phương trình của đường thẳng nằm ngang và đường thẳng đứng được thiết lập từ một ví dụ cụ thể bằng đồ thị. Viết phương trình của đường nằm ngang và đường thẳng đứng chứa điểm P(3, 2). 42-2 3 O x y P(3, 2) Mọi điểm trên đường nằm ngang qua P(3, 2) có tung độ là 2. Phương trình của đường thẳng là y = 2. Nó cắt trục tung tại (0, 2). Mọi điểm trên đường thẳng đứng qua P(3, 2) có hoành độ là 3. Phương trình của đường thẳng là x = 3. Nó cắt trục hoành tại (3, 0). (M1, trang 168) - Một kết quả về quan hệ vuông góc và song song của hai đường thẳng mà học sinh phải thừa nhận ở thời điểm hiện tại: Hai đường thẳng không thẳng đứng song song nếu và chỉ nếu chúng có cùng hệ số góc. Hai đường thẳng không thẳng đứng vuông góc nếu và chỉ nếu tích hệ số góc của chúng bằng –1. Tuy nhiên, kết quả này được chứng minh dựa vào hình vẽ trên hệ trục toạ độ và các kiến thức về tam giác bằng nhau và tam giác đồng dạng. SGK chỉ giới thiệu nó ở mục trò chơi trong các bài học sau đó khá xa. Chúng tôi cũng không tìm thấy bài tập liên quan đến vấn đề này. Điều đó chứng tỏ, với cách trình bày phương trình đường thẳng như trên, việc giải thích mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng là khá khó khăn, đồng thời thể chế cũng không chú trọng đến vấn đề đó. Chúng tôi không tìm thấy sự giải thích cho cách viết các dạng phương trình đường thẳng ở trên trong M1 ngoài khẳng định “trong đại số, học sinh đã biết rằng đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng”. Tuy nhiên, trong M2, ở phần điều kiện đòi hỏi ban đầu (Prerequisites) thì xuất hiện các giải thích như sau: - Từ định nghĩa hệ số góc của đường thẳng ta có thể suy ra dạng điểm-hệ số góc Trên hình P.24, đường thẳng đi qua điểm ( )1 1,x y và có hệ số góc m. Nếu (x, y) là một điểm bất kì khác trên đường thẳng đó thì hệ số góc được xác định bởi phương trình m = 1 1 y y x x − − hay y – y1 = m(x – x1). Một phương trình được viết cách này gọi là dạng điểm-hệ số góc”. xy hsg = m (x1, (x, y) Hình P.24 Đường thẳng qua ( )1 1,x y với hệ số góc m. (M2, trang 32) - Một đường thẳng có hệ số góc m và tung độ giao điểm (0, b) có phương trình dạng điểm-hệ số góc là y – b = m(x – 0) hay y = mx + b. Đây cũng chính là dạng hệ số góc-đoạn chắn. - Về phương trình tổng quát của đường thẳng, M2 chỉ khẳng định rằng “mọi đường thẳng có một phương trình được viết dưới dạng Ax + By = C, trong đó A và B không đồng thời bằng không”. Dạng này gọi là dạng tổng quát đối với phương trình của một đường thẳng. - Tóm tắt các dạng phương trình đường thẳng: Dạng tổng quát: Ax + By = C, A và B không đồng thời bằng không Dạng hệ số góc-đoạn chắn : y = mx + b Dạng điểm-hệ số góc : y – y1 = m(x – x1) Đường thẳng đứng : x = a Đường thẳng ngang : y = b (M2, trang 34) Phân tích trên cho ta thấy rằng : • Cách thiết lập phương trình đường thẳng hoàn toàn dựa vào hệ số góc của nó. Đặc trưng về phương của đường thẳng cũng được thể hiện qua hệ số góc. Đây là cách tiếp cận đại số - phương trình của đường thẳng là phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc là hàm số bậc nhất. • Chính vì dựa vào bản chất đại số và không sử dụng vectơ nên SGK đã gặp một số hạn chế sau: + Không trình bày cách thiết lập phương trình tham số của đường thẳng + Phương trình tổng quát của đường thẳng không được thiết lập một cách tổng quát, chặt chẽ và triệt để • Khó khăn trong việc thiết lập mối liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song của hai đường thẳng với hệ số góc của chúng chính vì thế mà vị trí tương đối giữa hai đường thẳng không được giới thiệu.  TCTH gắn liền với phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Liên quan đến phương trình đường thẳng, chúng tôi tìm thấy trong M1 các kiểu nhiệm vụ sau : Kiểu nhiệm vụ 1.vedtT : Vẽ đường thẳng d : Ax + By = C Ví dụ : (Ví dụ 2 trang 167) Vẽ đồ thị 6x + 3y = 12. Kỹ thuật 1.vedtτ : + Tìm tung độ giao điểm (giao điểm của đường thẳng với trục tung) : (0, y0) + Tìm hoành độ giao điểm (giao điểm của đường thẳng với trục hoành) : (x0, 0) + Vẽ trên hệ toạ độ đường thẳng đi qua hai điểm (0, y0), (x0, 0). Công nghệ 1.vedtθ : đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng. Kiểu nhiệm vụ 1.ptdtT : Viết phương trình đường thẳng d Các nhiệm vụ và kỹ thuật giải cụ thể : • d-hsg1.ptdtT : Viết phương trình dạng điểm-hệ số góc d-hsg 1.ptdtτ : + Nếu d có hệ số góc m và qua điểm A ( )1 1,x y thì phương trình của d là y – y1 = m(x – x1) + Nếu d qua hai điểm A ( )1 1,x y và B ( )2 2,x y thì - Tìm hệ số góc m = 1 1 y y x x − − - Viết phương trình của d: y – y1 = m(x – x1) + Nếu d là đường nằm ngang và qua A ( )1 1,x y thì phương trình của d là: x = x1 + Nếu d là đường thẳng đứng và qua A ( )1 1,x y thì phương trình của d là: y = y1 Công nghệ d-hsg1.ptdtθ : định nghĩa các dạng của phương trình đường thẳng. • tq1.ptdtT : Viết phương trình dạng tổng quát tq 1.ptdtτ : Từ dạng điểm-hệ số góc y – y1 = m(x – x1) đưa về dạng tổng quát : mx – y = mx1 – y1 Ví dụ : Viết phương trình của đường thẳng qua A(-2, 3) và B(1, -1). (M1, trang 168) Dùng đồ thị bên phải cho bài tập 67 – 68. (0, 6) (-1, 1) -4 2-2 6 O x y 67. Hệ số góc của đường thẳng là gì ? F. – 5 G. 1 5 − H. 1 5 J. 5 68. Phương trình nào là phương trình của đường thẳng ? A. 5y = x – 6 B. y = 5x – 6 C. –5x + y = 6 D. x + 5y = 6 (M1, trang 171) Nhận xét : • Công cụ để thiết lập phương trình đường thẳng chính là hệ số góc của nó. • Kỹ thuật được sử dụng trong các kiểu nhiệm vụ trên đều thực hiện trên các phép biến đổi đại số. Các yếu tố công nghệ cũng hoàn toàn mang bản chất đại số. • Hầu hết các bài toán trong M1 gắn với kiểu nhiệm vụ 1.ptdtT SGK đều thực hiện nhiệm vụ d-hsg1.ptdtT , tức viết phương trình đường thẳng dạng điểm -hệ số góc. Dạng tổng quát chỉ xuất hiện trong bài tập trắc nghiệm 67, 68 trang 171 `– đã dẫn ở trên. Và học sinh có thể không cần viết phương trình của đường thẳng mà vẫn tìm ra câu trả lời đúng bằng cách thế toạ độ hai điểm vào mỗi phương trình để kiểm tra. Vì thế chúng tôi có thể kết luận rằng, thể chế của Mỹ không đòi hỏi học sinh viết phương trình tổng quát của đường thẳng. Điều đó cho thấy, SGK Mỹ đặc biệt chú ý đến hai điều kiện xác định của đường thẳng đó là đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước. Câu hỏi đặt ra là thể chế của Việt Nam có yêu cầu học sinh viết phương trình đường thẳng dựa vào hệ số góc của nó hay không, hay dựa vào một công cụ khác ? Chúng tôi sẽ nghiên cứu và trở lời câu hỏi này trong các phần sau. 2. Phương trình mặt phẳng trong không gian (trong M2) Phương trình mặt phẳng được đưa vào trước cả vectơ trong không gian. Vì thế nó hoàn toàn không sử dụng vectơ trong việc thiết lập các kiến thức liên quan. Trước hết, SGK giới thiệu các mặt phẳng đặc biệt và phương trình của chúng trong hệ trục tọa độ Đề-các: “các mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng xy, mặt phẳng xz và mặt phẳng yz, và có phương trình z = 0, y = 0 và x = 0, tương ứng ”. Tiếp đó, qua một ví dụ cụ thể M2 giới thiệu hình ảnh các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ, chúng có phương trình dạng x = x0, y = y0 và z = z0. Phương trình tổng quát của mặt phẳng được đề cập như sau: Chúng ta đã biết rằng mọi đường thẳng trong mặt phẳng Đề-các có thể được viết bởi một phương trình (tuyến tính) bậc nhất hai ẩn; do đó, mọi đường thẳng có thể viết dưới dạng Ax + By + C = 0, trong đó A và B không đồng thời bằng không. Ngược lại, mọi phương trình bậc nhất hai biến biểu diễn một đường thẳng trong mặt phẳng Đề-các. Một cách tương tự, mọi mặt phẳng trong không gian Đề-các có thể được viết bởi một phương trình bậc nhất ba ẩn: Phương trình của mặt phẳng trong không gian Mọi mặt phẳng có thể được viết bởi Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A,B và C không đồng thời bằng không. Ngược lại, mọi phương trình bậc nhất ba ẩn biểu diễn một mặt phẳng trong không gian Đề-các. (M2, trang 689) Cụm từ “một cách tương tự” trong đoạn trên có thể được hiểu nó được thừa nhận – đó là sự mở rộng “tự nhiên” (?) – vì chúng tôi không tìm thấy một giải thích nào khác. Như vậy, công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng được giới thiệu – thừa nhận – mà không trình bày cách thiết lập nó. Cách giới thiệu đó cũng mang bản chất đại số.  TCTH gắn liền với phương trình mặt phẳng Chúng tôi chỉ tìm thấy một kiểu nhiệm vụ duy nhất, đó là vempT : Vẽ (phác họa) một mặt phẳng có phương trình cho trước Ax + By + Cz + D = 0. Ví dụ: (Ví dụ 4 trang 689) Vẽ phác đồ thị của 12x + 15y + 20z = 60. GIẢI Vì đây là phương trình bậc nhất, đồ thị của nó là một mặt phẳng. Ba điểm xác định mặt phẳng. Để tìm ba điểm, chúng ta chia cả hai vế của 12x + 15y + 20z = 60 cho 60 : 1 5 4 3 x y z + + = . Ở dạng này, nó dễ dàng thấy rằng các điểm (5, 0, 0), (0, 4, 0) và (0, 0, 3) thỏa mãn phương trình. Chúng là những điểm mà đồ thị cắt các trục tọa độ. Hình 8.49...” Hình 8.49 Kỹ thuật vempτ : + Dùng phép biến đổi đại số đưa phương trình về dạng 1x y z a b c + + = + Suy ra ba điểm thoả mãn phương trình của mặt phẳng: (a, 0, 0), (0, b, 0) và (0, 0, c) + Vẽ mặt phẳng đi qua ba điểm đó. Công nghệ vempθ : phép biến đổi đại số và điều kiện xác định mặt phẳng. Nhận xét: • Phương trình tổng quát của mặt phẳng được tiếp cận từ các trường hợp đặc biệt thông qua hình ảnh trên hệ trục tọa độ Đề-các. • Dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng chỉ được công nhận mà không chứng minh. Cũng như phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, SGK không giới thiệu cách thiết lập phương trình tổng quát của mặt phẳng. Chính vì vậy mà không tìm thấy kiểu nhiệm vụ viết phương trình mặt phẳng. 3. Phương trình đường thẳng trong không gian (trong M2) M2 trình bày đường thẳng trong không gian ngay sau khi giới thiệu vectơ trong không gian. Vectơ trong không gian được đưa vào rất đơn giản chỉ nhằm mục đích chính là phục vụ cho việc xây dựng phương trình đường thẳng. Trong không gian, cũng như trong mặt phẳng, đoạn thẳng được định hướng (hay tia) là một vectơ. Chúng được dùng để biểu diễn lực, chuyển động, và vận tốc trong ba chiều. Trong không gian, chúng ta dùng bộ ba có thứ tự để ký hiệu vectơ: v = . (…) Vectơ v biểu diễn bởi tia từ P(a, b, c) đến Q(x, y, z) là v = PQ  = (…) Một vectơ v có thể nhân với một số thực c như dưới đây: cv = c = .” Nhiều tính chất của vectơ được tổng quát một cách tự nhiên từ hai chiều sang ba chiều: (…). (M2, 690) Sau đây là phần thiết lập phương trình của đường thẳng trong không gian. Giả sử l là một đường thẳng qua điểm P0(x0, y0, z0) và theo hướng của một vectơ khác không v = (Hình 8.51). Với bất kì điểm P(x, y, z) nằm trên l, 0P P  = tv t là một số thực nào đó. Vectơ v gọi là vectơ định hướng của đường thẳng l. Nếu r = OP  = và r0 = 0OP  = , thì r – r0 = tv. Vì vậy một phương trình của đường thẳng l là r = r0 + tv. Phương trình của đường thẳng trong không gian Nếu l là một đường thẳng qua điểm P0(x0, y0, z0) và theo hướng của một vectơ khác không v = , thì một điểm P(x, y, z) nằm trên l khi và chỉ khi • Dạng vectơ : r = r0 + tv, trong đó r = và r0 = ; hoặc • Dạng tham số : x = x0 + at, y = y0 + bt, và z = z0 + ct, trong đó t là một số thực. y z x Po(x P(x, y, z) l v = (a, b, c) Hình 8.51 Đường thẳng l song song với vectơ định hướng v = . (M2, trang 692) Rõ ràng, vectơ hình học là công cụ để thiết lập phương trình đường thẳng trong không gian. Tính chất cùng hướng của hai vectơ, phép cộng và phép trừ vectơ, phép nhân một số với một vectơ được sử dụng trong quá trình thiết lập đó. Đặc trưng định hướng của vectơ hình học đã được thể hiện. Cách thiết lập này hoàn toàn khác với phương trình đường thẳng trong mặt phẳng. Nó không cho thấy được sự tương tự và tổng quát hóa từ mặt phẳng lên không gian. Đây là cách tiếp cận hình học. Như vậy, đã có sự gián đoạn trong quá trình nghiên cứu phương trình đường thẳng từ mặt phẳng vào không gian.  TCTH gắn liền với phương trình đường thẳng Chỉ có một kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương trình đường thẳng, đó là 2.ptdtT : “Viết phương trình đường thẳng”. Có hai nhiệm vụ cụ thể: vt2.ptdtT - viết phương trình đường thẳng dạng vectơ và ts 2.ptdt T viết phương trình đường thẳng dạng tham số. Ví dụ 7 trang 692 Viết phương trình của đường thẳng Đường thẳng qua P0(4, 3, –1) với vectơ định hướng v = có thể được viết • ở dạng vectơ là r = + t ; hoặc • ở dạng tham số là x = 4 – 2t, y = 3 + 2t, và z = –1 + 7t. Ví dụ 8 trang 692 Viết phương trình của đường thẳng Dùng vectơ đơn vị chuẩn i, j, và k, viết phương trình vectơ của đường thẳng chứa các điểm A(3, 0, –2) và B(–1, 2, –5), và so sánh nó với các phương trình tham số của đường thẳng. GIẢI Đường thẳng theo hướng của v = AB  = = . Vì thế dùng r0 = OA  , phương trình của vectơ của đường thẳng trở thành: r = r0 + tv = + t = xi + yj + zk = (3 – 4t)i + 2tj + (–2 – 3t)k Các phương trình tham số là ba phương trình thành phần x = 3 – 4t, y = 2t , và z = –2 – 3t. Kỹ thuật 2.ptdtτ : + Tìm vectơ định hướng của đường thẳng : v = + Dạng vectơ : r = + t, P(x0, y0, z0) là một điểm thuộc đường thẳng + Dạng tham số : x = x0 + at, y = y0 + bt, và z = z0 + ct. Công nghệ 2.ptdtθ : Công thức phương trình đường thẳng.  Kết luận Việc phân tích SGK Mỹ ở trên cho phép rút ra các kết quả sau : + Vectơ chỉ thể hiện là vai trò công cụ trong việc xây dựng phương trình đường thẳng trong không gian. Về cách thiết lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, phương trình mặt phẳng trong không gian và các kiến thức liên quan như vị trí tương đối, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng,… đều không được giới thiệu. Như vậy quan điểm vectơ được thể hiện rất mờ nhạt trong nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng. Thể chế đã không đặc biệt chú ý khai thác đối tượng vectơ trong nghiên cứu hình học giải tích. + Đặc trưng của công cụ vectơ thể hiện trong việc thiết lập phương trình đường thẳng trong không gian đó chính là đặc trưng định hướng – chỉ thể hiện qua phương của vectơ. + Với cách tiếp cận đơn giản như vậy nên các dạng toán liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt phẳng là rất hạn chế. Không xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. + Việc SGK không chủ trương sử dụng vect ơ để thiết lập các kiến thức về phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã dẫn đến một số khó khăn và hạn chế sau : 1. Đối với phương trình đường thẳng trong mặt phẳng • Không trình bày cách thiết lập phương trình tham số • Phương trình tổng quát không được xây dựng một cách tổng quát, chặt chẽ và triệt để • Khó khăn trong việc giải thích mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng với hệ số góc của chúng. Có lẽ vì thế mà theo chúng tôi SGK đã không trình bày vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. 2. Đối với phương trình mặt phẳng ._. 3 − ta có phương trình tổng quát của d là : 2x 1 3 − y – 5 = 0 hay 6x – y – 15 = 0 3.2.2. Phân tích a-priori bài toán 2 3.2.2.1. Biến didactic, giá trị được chọn và giải thích sự lựa chọn  Biến V2.1: Tính chất của hình tổng thể Trong hình hộp, việc xác định một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước và xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là khá quen thuộc và dễ dàng đối với học sinh. Vì thế chiến lược hình học có thể dễ xuất hiện hơn.  Biến V2.2: Cho biết hay không cho biết toạ độ các điểm A, B Nếu không cho biết toạ độ các điểm A, B thì chiến lược vectơ bị khóa. Và như thế thì thực nghiệm không thể kiểm nghiệm được giả thuyết đã nêu.  Biến V2.3: Vị trí của điểm M và mặt phẳng ( )α M được chọn là trung điểm của BC và ( )α là mặt phẳng song song với một mặt của hình hộp. Các vị trí được chọn đó tạo điều kiện rất thuận lợi cho việc xác định giao điểm I của đường thẳng A’C với ( )α và tính chất của điểm I bằng hình vẽ. Cách chọn này sẽ giúp cho chiến lược hình học được thực hiện hết sức dễ dàng. 3.2.2.2. Các chiến lược có thể  Shh: Chiến lược “hình học” N I P M O O' D' C'B' A' D CB A Mp ( )α chính là mp(MNP). Vì A’PCM là hình bình hành nên A’C cắt MP tại trung điểm I của chúng. Từ đó suy ra toạ độ của I là 5 3;1; 2 2 I      . (Hoặc I là giao điểm của A’C và OO’).  Svt: Chiến lược “vectơ” - 5 ;3;1 2 M      , ( )3;0;0BC =  , ( )0;4;0AB =  , ( )' 0;0;1AA =  , ( )' 3;4; 1A C = −  - Vì . . ' 0BC AB BC AA= =     nên BC  là một vectơ pháp tuyến của mp ( )α (hoặc mp ( )α có một vectơ pháp tuyến là ( )1 , ' 1;0;0 4 n AB AA = =     ) - Phương trình mp ( )α là: 5 0 2 x − = - Phương trình tham số của A’C là: 1 3 1 4 2 x t y t z t = +  = − +  = − - Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình 1 3 1 4 2 5 0 2 x t y t z t x = +  = − +  = −   − =  - Giải được 5 3;1; 2 2 I      3.2.3. Phân tích a-priori bài toán 3 3.2.3.1.Biến didactic, giá trị được chọn và giải thích sự lựa chọn  Biến V3.1: Cách đặt câu hỏi Bài toán có thể yêu cầu “chứng minh A, B nằm khác phía đối với d”. Và như thế, học sinh sẽ chỉ tập trung vào lí luận và tính toán mà không chú ý đến tính trực giác của hình học, tức là các em sẽ vận dụng công cụ vectơ để giải bài toán. Chúng tôi chọn cách hỏi của bài toán với các lí do sau: - Về mặt hình học thì đây là bài toán tương đối quen thuộc đối với học sinh. Học sinh sẽ suy luận tương tự như dạng toán thường gặp hơn đó là: “Cho hai điểm A, B không thuộc mp(P), tìm trên (P) điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất”. Với bài toán này các em phải xét xem A và B nằm ở cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng d. Vì d là giao tuyến của (P) và (ABC) nên chỉ cần kiểm tra A và B nằm cùng phía hai khác phía đối với (P). Từ đó bài toán trở nên rất đơn giản. - Nếu giải bằng phương pháp toạ độ, tức sử dụng công cụ vectơ thì sẽ gặp một trong hai khó khăn. Thứ nhất là việc kiểm tra A, B nằm cùng phía hay khác phía đối với d. Thứ hai, nếu không xét vị trí của A, B đối với d thì phải dùng đạo hàm hoặc bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Điều này sẽ rất khó khăn do biểu thức của tổng độ dài hai đoạn thẳng tính theo tham số là rất phức tạp. - Tuy với cách đặt câu hỏi như thế sẽ giúp học sinh có ý thức hướng đến việc khai thác tính trực quan của hình học (không cần sử dụng công cụ vectơ). Nhưng như đã phân tích ở phần thể chế, chúng tôi vẫn cho r ằng học sinh sẽ chỉ sử dụng công cụ vectơ để giải bài toán này.  Biến V3.2: Tọa độ của ba điểm A, B, C Ba điểm A, B, C cho tuỳ ý hay được chọn đặc biệt? Chúng tôi chọn A, B, C nằm trên ba trục tọa độ. Điều này sẽ hướng học sinh vẽ mp(ABC) trên hệ trục tọa độ nhằm có thể khai thác yếu tố trực quan để có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn, nó hoàn toàn thoát khỏi công cụ vectơ. Ngoài ra, việc lựa chọn đó còn gợi cho học sinh ý tưởng chuyển phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) về phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn để có thể vẽ nó trên hệ trục tọa độ. Từ đó có thể khai thác yếu tố trực quan của hình học để giải bài toán.  Biến V3.3: Phương trình của mp(P) - Chúng tôi chọn phương trình của (P) sao cho (P) cắt ba trục tọa độ tại các điểm có tọa độ nguyên và tương đối gần với không. Như thế sẽ giúp cho việc vẽ (P) trên hệ trục tọa độ được dễ dàng. - Hai điểm A và B sẽ nằm về hai phía đối với giao tuyến d của (ABC) và (P). Bài toán sẽ trở nên hết sức đơn giản khi kiểm tra được kết quả này. 3.2.3.2.Các chiến lược có thể  Shh: Chiến lược “hình học” • Mp(P) được viết lại: 1 2 6 6 x y z + + = − . Vẽ mặt phẳng (P) ((P) chính là (IJK)) và xác định các điểm A, B, C trên hệ trục toạ độ Oxyz. Từ đó xác định được giao tuyến d của (P) và (ABC). Đồng thời cũng xác định được A và B nằm khác phía đối với d • Từ đó suy ra M cần tìm chính là giao điểm của d với đường thẳng AB • Vì O là trung điểm của BJ và IA = 2IO nên I là trọng tâm của tam giác ABJ. Suy ra M là trung điểm của AB. Từ đó M có tọa độ là M(3; 3; 0). O 2 -6 6 6 4 6d M I J (P) K C B A x y z  Shh-vt: Chiến lược “hình học – vectơ” • Dựa vào hình vẽ suy ra A và B nằm khác phía đối với d hay A và B nằm khác phía đối với mp(P). Từ đó suy ra M cần tìm chính là giao điểm của mp(P) với đường thẳng AB • Viết phương trình đường thẳng AB: Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là ( )6;6;0AB = −  hay chọn vectơ chỉ phương là ( )1; 1;0u = −  . Phương trình tham số của đường thẳng AB là: 6 0 x t y t z = +  = −  = Toạ độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình: 6 0 3 6 0 x t y t z x y z = +  = −  =  − + − = 1 2 3 3 0 t x y z  =  =⇔   =  = Vậy ( )3;3;0M .  Svt: Chiến lược “vectơ” Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng AB và d: Để viết phương trình của d trước hết ta viết phương trình mp(ABC). Mp(ABC) có một vectơ pháp tuyến là ( ), 24;24;36AB AC  =    hay chọn ( )2;2;3n =  . Từ đó phương trình mp(ABC) là: 2 2 3 12 0x y z+ + − = . d là giao tuyến của mp(P) và mp(ABC) nên d qua điểm ( )3;3;0M (có thể chọn điểm khác) và có vectơ chỉ phương là ( )( ) ( ), 5;7; 8ABC Pn n  = −    . Từ đó phương trình tham số của d là: 3 5 ' 3 7 ' 8 ' x t y t z t = +  = +  = − • Tọa độ giao điểm I của d và đường thẳng AB là ( )3;3;0I • IA (3; 3;0)= −  , ( )IB 3;3;0= −  ngược hướng nên A và B nằm khác phía đối với d. Vậy điểm M cần tìm chính là I. Cách 2: • Viết phương trình đường thẳng AB và d • Tìm tọa độ giao điểm I của d và đường thẳng AB • IA + IB = 6 2 = AB nên A và B nằm khác phía đối với d. Vậy điểm M cần tìm chính là I. Cách 3: • Viết phương trình đường thẳng d theo tham số t: 3 5 3 7 8 x t y t z t = +  = +  = − • Gọi M ( )3 5 ;3 7 ; 8t t t+ + − là điểm bất kì trên d • f(t) = MA + MB = 2 2138 12 18 138 12 18t t t t− + + + + . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: f(t) 4 24 42 19044 4824 324 2 324t t≥ + + ≥ = 6 2 , dấu bằng xẩy ra khi t = 0. • Suy ra điểm M cần tìm là ( )3;3;0M . Cách 4: • Viết phương trình đường thẳng d theo tham số t • Gọi M là điểm bất kì trên d có tọa độ theo tham số t • Sử dụng đạo hàm tìm được giá trị nhỏ nhất của f(t) = MA + MB = 2 2138 12 18 138 12 18t t t t− + + + + là 6 2 khi t = 0 • Suy ra điểm M cần tìm là ( )3;3;0M . Cách 5: • Ta có: (3.6 – 0 + 0 – 6)(0 – 6 + 0 – 6) < 0 nên A, B nằm khác phía đối với (P). Từ đó, điểm M cần tìm chính là giao điểm của đường thẳng AB và (P) • Tương tự như Shh-vt, ta có toạ độ của điểm M là ( )3;3;0M . Nhận xét: Như đã phân tích ở kiểu nhiệm vụ d-mpvtrT , cách giải trên là không hợp thức. 3.2.4. Phân tích a-priori bài toán 4 3.2.4.1.Biến didactic, giá trị được chọn và giải thích sự lựa chọn  Biến V4.1: Tính chất của hình tổng thể Hình lập phương rất quen thuộc với học sinh khi xét quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng. Các tính toán vectơ cũng như các bài toán về vectơ gắn với hình này học sinh cũng đã gặp khá nhiều trong các bài học trước. Việc lựa chọn hình lập phương có thể làm cho chiến lược dùng vectơ dễ xuất hiện hơn. Bài toán cũng có thể chuyển sang ngôn ngữ toạ độ rồi sử dụng công cụ vectơ để giải.  Biến V4.2: Cách đặt câu hỏi Lựa chọn chứng minh ( )' 'AC A BD⊥ là hướng học sinh đưa về chứng minh hai đường thẳng vuông góc. AC’ và các đường thẳng A’B, A’D và BD trong mặt phẳng (A’BD) là chéo nhau nên hạn chế sử dụng các tính chất trong hình học phẳng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Từ đó, nếu sử dụng phương pháp tổng hợp để chứng minh hai đường thẳng vuông góc học sinh phải đưa về chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Như thế thì bài toán càng trở nên khó khăn hơn. Vì vậy mà chiến lược vectơ được chú ý sử dụng. 3.2.4.2. Các chiến lược có thể  Svt : Chiến lược “vectơ” D' C'B' A' D CB A Ta có ' 'AC AB AD AA= + +     và BD AD AB= −    . Vậy ( ) ( )'. ' . 0.AC BD AB AD AA AD AB= + + − =        Tương tự, ta có '. 'AC BA   = 0. Vậy ( )' 'AC A BD⊥ .  Svt-tđ : Chiến lược “vectơ-toạ độ” Chọn hệ trục toạ độ sao cho B’ trùng với gốc toạ độ, tia B’A trùng với tia Ox, tia B’A’ trùng với tia Oy, tia B’C’ trùng với tia Oz và đơn vị là độ dài cạnh hình lập phương. Khi đó ta có : ( )' 0;0;0B , ( )' 1;0;0A , ( )0;0;1B , ( )1;1;1D , ( )1;0;1A và ( )' 0;1;0C . ( )' 1;1; 1AC = − −  , ( )1;1;0BD =  và ( )' 1;0; 1BA = −  . 'AC  . BD  = 0, '. 'AC BA   = 0. Vậy ( )' 'AC A BD⊥ .  Shh : Chiến lược “hình học” Cách 1 : AB C D A' B' C' D' Ta có ' 'A B AB⊥ và 'A B AD⊥ (do ( )' 'AD ABB A⊥ ). Suy ra ( )' ' 'A B ADC B⊥ . Từ đó ' 'AC A B⊥ . Tương tự, ta có ' 'AC A D⊥ . Vậy ( )' 'AC A BD⊥ . Cách 2: • AC là hình chiếu của AC’ lên mp(ABCD) và AC BD⊥ nên 'AC BD⊥ • AB’ là hình chiếu của AC’ lên mp(ABB’A’) và ' 'AB A B⊥ nên ' 'AC A B⊥ Từ đó, ( )' 'AC A BD⊥ . Cách 3: N M D' C'B' A' D CB A Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và A’D’. Ta có AMC’N là hình thoi nên 'AC MN⊥ . Từ đó ' 'AC A B⊥ . Tương tự, ta có ' 'AC A D⊥ . Vậy ( )' 'AC A BD⊥ . Cách 4: O N M D' C'B' A' D CB A Không mất tính tổng quát, giả sử cạnh của hình lập phương là 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và A’D’. Gọi O là giai điểm c ủa AC’ và MN. Ta tính được 2 2 1' 2 NO OC+ = + 3 4 25 ' 4 NC= = . Suy ra tâm giác ONC’ vuông tại O hay 'AC MN⊥ . Từ đó ' 'AC A B⊥ . Tương tự, ta có ' 'AC A D⊥ . Vậy ( )' 'AC A BD⊥ . 3.2.5. Phân tích a-priori bài toán 5 3.2.5.1.Biến didactic, giá trị được chọn và giải thích sự lựa chọn  Biến V5.1: Cách đặt câu hỏi: Yêu cầu chứng minh BD SA⊥ hay yêu cầu tính góc giữa đường thẳng BD và đường thẳng SA ? Cách hỏi thứ nhất là quen thuộc hơn và giúp học sinh định hướng được cách giải. Nó thuận lợi cho cả chiến lược vectơ lẫn chiến lược hình học. Với cách hỏi thứ hai học sinh sẽ hướng sự chú ý đến việc xác định góc giữa hai đường thẳng trên hình vẽ vì đây là bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học rất quen thuộc. Hơn nữa, trong bài này góc giữa hai đường thẳng BD và SA cũng rất dễ xác định. Chính vì thế mà chiến lược hình học được ưu tiên sử dụng.  Biến V5.2: Cho giả thiết  ASB ASD= hay ABCD là hình thoi ? Các ví dụ và bài tập về chứng minh hai đường thẳng vuông góc đầu tiên trong SGK đều chứa giả thiết hai góc bằng nhau. Giả thiết này tạo điều kiện thuận lợi khi tính tích vô hướng của hai vectơ. Nếu chọn giả thiết ABCD là hình thoi thì ngay lập tức học sinh sẽ sử dụng tính chất hai đường chéo của hình thoi vuông góc để giải bài toán. Với mong muốn chiến lược vectơ được ưu tiên sử dụng nên chúng tôi đã chọn giả thiết  ASB ASD= . 3.2.5.2.Các chiến lược có thể  Svt: Chiến lược “vectơ” - BD SD SB= −    -  . . . . cos . cos 0BD SA SD SA SB SA SD SA ASD SB SA ASB= − = − =       - Suy ra BD SA⊥ .  Shh: Chiến lược “hình học ” M O D C BA S Cách 1 : - BSD∆ cân tại S và SO là trung tuyến nên BD SO⊥ - ASB ASD∆ = ∆ (c-g-c) AB AD⇒ = ⇒ ABCD là hình thoi ⇒ BD AC⊥ - Suy ra ( )BD SAC⊥ . Từ đó BD SA⊥ . Cách 2 : - Gọi M là trung điểm của SC, ta có MO song song với SA - ASB ASD∆ = ∆ (c-g-c) AB AD⇒ = ⇒ BC CD= ⇒ SCB SCD∆ = ∆ (c-c-c) ⇒ MB MD= - MBD∆ cân tại M và MO là trung tuyến nên BD MO⊥ . Từ đó, BD SA⊥ . 3.3. Phân tích A-Possteriori Bài toán 1: Tổng số bài: 167; Không có lời giải: 3; Tổng số lời giải: 385 Đúng Sai Chưa đến kết quả Tổng số % Svt 239 32 17 288 74,81 Sds 59 3 3 65 16,88 Shsg 25 0 0 25 6,49 Chiến lược khác 2 2 3 7 1,82 Tổng số lời giải 325 37 23 385 Mặc dầu bài toán không được phát biểu tường minh bằng ngôn ngữ toạ độ, hình vẽ lại tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược hệ số góc. Thế nhưng có đến 161/167 ≈ 96,41% học sinh có lời giải sử dụng công cụ vectơ và chỉ có 25 lời giải dùng hệ số góc. Các chiến lược khác đều có kết quả sai hoặc chưa đến kết quả nhưng tất cả các lời giải dùng hệ số góc đều cho kết quả đúng. Điều này chứng tỏ cách giải sử dụng hệ số góc là rất đơn giản. Bài toán 2: Tổng số bài: 96; Không có lời giải: 8; Tổng số lời giải: 88 Đúng Sai Chưa đến kết quả Tổng số % Svt 30 21 36 87 98,86 Shh 1 0 0 1 1,14 Chỉ có 1/89 ≈ 1,14% bài sử dụng chiến lược hình học và cho kết quả đúng. Chiến lược vectơ do có sự tính toán khá phức tạp nên có 57/87 ≈ 65,52% học sinh làm sai hoặc chưa đến kết quả. Bài toán 3: Tổng số bài: 118; Không có lời giải: 28; Tổng số lời giải: 90 Đúng Sai Chưa đến kết quả Tổng số % Svt 3 39 48 90 100 Shh 0 0 0 0 0 Shh-vt 0 0 0 0 0 - 100% lời giải sử dụng chiến lược vectơ và chỉ có 3 bài (3,33%) có lời giải đúng. - Nếu sử dụng công cụ vectơ thì lời giải bài toán sẽ rất dài dòng và phải qua nhiều bước, chính vì thế mà hầu hết đều không cho kết quả đúng. Ngoài ra, trong ba lời giải cho kết quả đúng có hai bài giải cách 5 của chiến lược “vectơ” và đây là cách giải không hợp thức, bài còn lại tuy cho kết quả đúng nhưng phần lí luận thì lại sai sót. Cụ thể, chúng tôi trích dẫn một phần lời giải của ba học sinh này.  Học sinh thứ nhất: • ( 6;6;0) 6 ( 1;1;9)AB m= − = −   , ( 6;0;4) 2 ( 3;0;2)AC m= − = −   , ( ) (2;2;3)ABCn =  (ABC) 2x + 2y + 3z – 12 = 0 • Giao tuyến (d) 3 6 0 2 2 3 12 0 x y z x y z − + − =  + + − = • tA = 18 – 0 + 0 – 6 = 12, tB = 0 – 6 + 0 – 6 = –12 . Do tA.tB < 0 nên A, B nằm về hai phía của (P). • Vậy M = AB∩ (P) ⇒ (MA + MB)nhỏ nhất = MA + MB • (AB) 6 6 6 0 x t y t z = −  =  = • M = AB∩ (P) thoả hệ phương trình 16 6 2 6 3 0 3 3 6 0 0 x t t y t x z y x y z z = − =  =  =⇔ =  =  − + − = = • Vậy M(3; 3; 0).  Học sinh thứ hai: tương tự như học sinh thứ nhất nhưng em học sinh này còn viết cả phương trình tham số của đường thẳng d Hai học sinh trên đã sử dụng kết quả không được hợp thức. Hơn nữa việc viết phương trình mặt phẳng (ABC), phương trình của đường thẳng (d) là không cần thiết. Việc sử dụng công cụ vectơ để viết phương trình mặt phẳng (ABC) mặc dầu điều đó là thừa trong lời giải bài toán chứng tỏ rằng các em luôn sẵn sàng sử dụng công cụ vectơ khi gặp bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ toạ độ.  Học sinh thứ ba: • (ABC) 2x + 2y + 3z – 12 = 0 • Phương trình tham số của d: 60 6 6 2484 (60 ; 84 ; 96 ) 5 5 5 24 96 5 x t y t M t t t z t   =   = − + → − + −   = − • 6 24(6 60 ; 84 ; 96 ) 5 5 MA t t t− − − +  , 36 24( 60 ; 84 ; 96 ) 5 5 MB t t t− − − +  • Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2MA MB MA MB+ ≥ + . Dấu “=” xảy ra ⇔ MA = MB ⇔ … ⇔ 1 20 t = (3;3;0)M→ . Rõ ràng em học sinh này lí luận chưa hoàn chỉnh khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Hơn nữa các phép tính toán của em là rất cồng kềnh. Qua lời giải cho kết quả đúng của ba em học sinh trên chúng ta nhận thấy rằng khi gặp bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ toạ độ các em luôn có ý nghĩ phải vận dụng vectơ, không có em nào có ý tưởng thoát ly công cụ vectơ để giải. Bài toán 4: Lớp luyện thi đại học: Tổng số bài: 96; Không có lời giải: 34; Tổng số lời giải: 62 Đúng Sai Chưa đến kết quả Tổng số % Svt 0 0 0 0 0 Svt-tđ 8 0 3 11 17,74 Shh 20 20 11 51 82,26 Có 11/52 ≈ 21,15% lời giải với chiến lược “vectơ-toạ độ” nhờ vào việc chuyển đổi ngôn ngữ bài toán. Và có đến 8/11 bài cho kết quả đúng, chỉ có 3 bài chưa đến kết quả. Tuy nhiên, không có lời giải nào sử dụng chiến lược “vectơ”. Trong 51 chiến lược hình học thì có đến 31 (chiếm 60,78%) cho kết quả sai hoặc chưa đến kết quả. Lớp 12: Tổng số bài: 142; Không có lời giải: 28; Tổng số lời giải: 114 Đúng Sai Chưa đến kết quả Tổng số % Svt 1 0 0 1 0,88 Svt-tđ 2 0 0 2 1,75 Shh 59 20 32 111 97,37 Đây là đối tượng chưa học xong chương trình lớp 12 nhưng lại có 2 học sinh giải với chiến lược “vectơ-toạ độ”, trong khi đó chỉ có 1 học sinh giải với chiến lược “vectơ”. Cả ba học sinh giải với công cụ vectơ đều cho kết quả đúng. Chiến lược hình học cũng có đến 52/111 ≈ 46,85% lời giải cho kết quả sai hoặc chưa đến kết quả. Như đã giới thiệu ở phần trước, đây là bài tập được trích trong SGK và lời giải trong SGV là sử dụng công cụ vectơ. Thế nhưng trong cả hai đối tượng chỉ có duy nhất một học sinh giải với chiến lược “vectơ”. Điều này khẳng định rằng các em hầu như không chú ý đến việc sử dụng công cụ vectơ trong bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp. Chiến lược “vectơ-toạ độ” có 10 em sử dụng và đều cho kết quả đúng. Cho nên theo chúng tôi học sinh dễ dàng làm việc với vectơ khi đặt trong toạ độ nhưng lại hết sức khó khăn đối với vectơ hình học. Như vây, có thể nói rằng, phương pháp vectơ-toạ độ được học sinh ưu tiên sử dụng hơn phương pháp vectơ khi giải bài toán hình học tổng hợp. Bài toán 5: Tổng số bài: 142; Không có lời giải: 11; Tổng số lời giải: 131 Đúng Sai Chưa đến kết quả Tổng số % Svt 2 0 0 2 1,53 Shh 73 37 20 129 98,47 Không có lời giải 11 7,75 Tổng số bài 142 Tổng hợp 1. Tỉ lệ học sinh sử dụng công cụ vectơ để giải ba bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ toạ độ (bài toán 1, 2, 3) : Bài Tỉ lệ Bài toán 1 (Viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng) 161/167 ≈ 96,41% Bài toán 2 (Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) 87/96 ≈ 90,63% Bài toán 3 (Tìm toạ độ của điểm thuộc đường thẳng…) 90/118 ≈ 76,27% Cả ba bài 338/381 ≈ 88,71% Mặc dầu cả ba bài toán này chúng tôi đã cố gắng tạo đều kiện thuận lợi để học sinh sử dụng các chiến lược khác chiến lược vectơ, ngoài ra, nếu giải bằng công cụ vectơ thì sẽ gặp một số khó khăn như cách đặt câu hỏi, việc tính toán, thời gian… nhưng hầu hết học sinh có lời giải đều sử dụng công cụ vectơ – có 57/167 học sinh chỉ sử dụng chiến lược vectơ để giải cho cả ba bài toán. 2. Tỉ lệ học sinh sử dụng công cụ vectơ để giải hai bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp (bài toán 4, 5) Bài Tỉ lệ Bài toán 4 (Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng) 14/238 ≈ 5,88% Bài toán 5 (Chứng minh hai đường thẳng vuông góc) 2/142 ≈ 1,41% Cả hai bài 16/380 ≈ 4,21% Rõ ràng tỉ lệ học sinh sử dụng vectơ để giải các bài toán được phá t biểu bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp là quá thấp mặc dầu chúng tôi đã cố gắng tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược này trong cả hai bài toán. 3.4. Kết luận Kết quả phân tích các bài toán thực nghiệm đã khẳng định giả thuyết nghiên cứu của chúng tôi: Nếu bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ tọa độ thì vectơ sẽ được học sinh sử dụng. Thế nhưng, nếu bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp thì công cụ vectơ khó có khả năng được học sinh huy động. Ngoài ra, kết quả thực nghiệm cũng cho chúng ta thấy rằng khả năng lựa chọn công cụ và phương pháp giải toán của học sinh là thiếu linh hoạt. Việc chuyển đổi ngôn ngữ bài toán cũng không được học sinh chú ý. Với những lí do đó mà tính hiệu quả trong giải toán của đa số học sinh là còn thấp. Như vậy, đến đây chúng tôi đã trả lời được câu hỏi Q4 nêu ra trong phần mở đầu. KẾT LUẬN Nghiên cứu đề tài Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông, chúng tôi đạt được một số kết quả sau : 1) Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng và mặt phẳng được tiếp cận theo tinh thần của đại số tuyến tính. Vectơ của không gian vectơ tổng quát là công cụ để thiết lập phương trình m – phẳng và vị trí tương đối giữa chúng. 2) Ở trường THPT, vectơ được đưa vào ngay từ đầu năm lớp 10 và nó gần như có mặt trong toàn bộ chương trình hình học phổ thông. Vectơ là công cụ chủ yếu để nghiên cứu các vấn đề hình học khác. Đặc biệt, với HHGT thì vectơ vừa là công cụ để thiết lập các kiến thức, vừa là công cụ để giải toán. 3) Có ít nhất hai cách tiếp cận để giải quyết bài toán viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng : tiếp cận đại số và tiếp cận hình học. SGK Hình học hiện hành lựa chọn cách tiếp cận hình học nhờ vào công cụ vectơ. Việc chuyển đổi didactique cách thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng được thực hiện thông qua vectơ hình học. Dấu vết điều kiện xác định của đường thẳng, mặt phẳng trong tri thức khoa học chính là điều kiện khác vectơ-không của vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến tương ứng. Thể chế không yêu cầu học sinh phải kiểm tra điều kiện này khi làm việc với phương trình đường thẳng, mặt phẳng. 4) Dựa vào việc đối chiếu với thể chế dạy học hình học của Mỹ ta thấy rằng nhờ có công cụ vectơ mà phương trình đường thẳng, mặt phẳng được thiết lập một cách dễ dàng, tổng quát và triệ t để. Cũng nhờ vào công cụ vectơ mà các TCTH trong thể chế của Việt Nam đa dạng và phong phú hơn nhiều so với thể chế của Mỹ. 5) Đặc trưng nổi trội của công cụ vectơ trong nghiên cứu hình học giải tích là đặc trưng số. Chính vì thế tính trực quan của hình học không được chú ý khai thác trong nghiên cứu và giải toán HHGT. 6) Vectơ cũng chính là công cụ để nghiên cứu quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. “Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn”. Thể chế mong muốn rằng có thể sử dụng vectơ như là công cụ vừa để nghiên cứu vừa để giải toán về quan hệ vuông góc. Tuy nhiên, so với phương pháp tổng hợp thì số lượng bài tập giải bằng phương pháp vectơ trong SGK và sách bài tập là quá ít và giảm dần. 7) Nghiên cứu ảnh hưởng của thể chế lên việc học của học sinh qua các bài toán thực nghiệm cho chúng tôi các khẳng định sau : • Khi gặp bài toán hình học được phát biểu bằng ngôn ngữ toạ độ học sinh luôn có ý niệm phải sử dụng công cụ vectơ để giải. Học sinh hoàn toàn không nghĩ có thể thoát ly vectơ mà vẫn giải được bài toán, mặc dầu đối với một số bài cách giải khác – cụ thể là phương pháp tổng hợp nhằm khai thác tính trực quan của hình học – lại cho kết quả nhanh và đơn giản hơn nhiều. Điều đó khẳng định, đối với mỗi học sinh, vectơ là công cụ vô cùng hữu hiệu và không thể không sử dụng khi giải bài toán hình học giải tích liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng. • Đối với bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp thì rất hiếm học sinh nghĩ đến việc sử dụng công cụ vectơ để giải. Mặc dầu thể chế đã cố gắng khắc sâu phương pháp vectơ cho học sinh nhưng dường như phương pháp tổng hợp đã được khắc sâu hơn nhiều và luôn ngự trị trong mỗi em. • Kết quả thực nghiệm cũng cho chúng ta thấy rằng, khả năng lựa chọn công cụ và phương pháp giải toán của học sinh là thiếu linh hoạt. Việc chuyển đổi ngôn ngữ bài toán cũng không được học sinh chú ý. Vì thế, tính hiệu quả trong giải toán hình học của đa số học sinh là còn thấp. Theo chúng tôi, thực trạng trên là do các nguyên nhân sau :  Thể chế chỉ chú trọng đến việc khai thác công cụ vectơ trong nghiên cứu và giải toán HHGT. Chính vì thế mà việc lựa chọn công cụ và phương pháp giải toán cho học sinh đã không được lưu ý. Mọi bài tập ở nội dung phương pháp toạ độ trong không gian đều sử dụng công cụ vectơ với đặc trưng số và không hề chú ý đến việc khai thác tính trực quan của hình học.  Về việc học sinh không chú ý sử dụng vectơ hình học để giải các bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp, theo chúng tôi là có hai lí do : Thứ nhất, số lượng bài tập không đủ nhiều và xuất hiện ít dần sau các bài học cũng như bài tập ôn chương. Thứ hai, theo kết quả nghiên cứu của nhiều tác giả, như PGS.TS Lê Thị H oài Châu và Th.s Hoàng Hữu Vinh,... học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc học và vận dụng vectơ để giải toán. H ọc sinh dễ dàng làm việc với vectơ khi đặt trong toạ độ hơn so với vectơ hình học. Như vây, có thể nói rằng, phương pháp vectơ-toạ độ được học sinh ưu tiên sử dụng hơn phương pháp vectơ khi giải bài toán hình học tổng hợp.  Việc lựa chọn công cụ, phương pháp giải và chuyển đổi ngôn ngữ bài toán của học sinh thiếu linh hoạt là do số lượng bài tập loại này quá ít. Có rất ít bài tập trong SGK và sách bài tập được giải bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ. Đặc biệt, không có bài tập nào được chuyển đổi từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học tổng hợp. Với những kết luận trên chúng tôi hy vọng sẽ nghiên cứu tiếp vấn đề này theo hai hướng : - Sử dụng linh hoạt công cụ vetơ trong giải toán hình học giải tích và hình học không gian. - Phát triển tư duy linh hoạt của học sinh trong học hình học thông qua sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh 1. Laurie E.Bass, Randall I. Charles, Basia Hall, Art Johnson, Dan Kennedy (2007), Prentice hall Mathematics Geometry. Boston, Massachusetts Upper Saddle River, New Jersey. 2. Demana, Waits, Foley, Kennedy (2007), Precalculus Graphical, Numerical, Algebraic. Boston, Massachusetts Upper Saddle River, New Jersey. Tiếng Việt 1. Lê Thị Hoài Châu , Phương pháp Dạy (2004), Học hình học ơ trường trung học phổ thông, NXB Đại học quốc gia TP. HCM. 2. Văn Như Cương, Trần Đức Huyên, Nguyễ n Mộng Hy, Hình học 11 (sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000), NXB Giáo dục. 3. Văn Như Cương, Tạ Mân Hình học 12 (sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000),NXB Giáo dục. 4. Trần Văn Hạo, Vũ Thiện Căn, Cam Duy Lễ (1998), Hình học 10, NXB Giáo dục. 5. Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục. 6. Nguyễn Mộng Hy (2001), Bài tập Hình học cao cấp, NXB Giáo dục. 7. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị (2006), Hình học nâng cao 10 , NXB Giáo dục. 8. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn N ghị , Sách giáo viên 8. Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam (2006), Bài tập Hình học nâng cao 10 , NXB Giáo dục. 9. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007) , Hình học nâng cao 11 , NXB Giáo dục. 10. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Sách giáo viên Hình học nâng cao 11, NXB Giáo dục. 11. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài tập Hình học nâng cao 11, NXB Giáo dục. 12. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2008) , Hình học nâng cao 12, NXB Giáo dục. 13. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2008), Sách giáo viên Hình học nâng cao 12, NXB Giáo dục. 14. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ M ân (2008), Bài tập Hình học nâng cao 12, NXB Giáo dục. 15. Lê Văn Tiến (2005) , Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông , NXB Đại học quốc gia TP. HCM. 16. Hoàng Hữu Vinh (2002), Nghiên cứu didactic toán về hoạt động của công cụ vectơ trong hình học lớp 10. PHỤ LỤC Trường :.................................................... Lớp :.......................................................... Họ và tên :................................................. Các em có 45 phút để giải bài toán dưới đây Lưu ý Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có đồ thị như hình dưới. Viết phương trình tổng quát của d. : Các em làm bài ngay trên giấy đã phát và không được dùng bút xóa Hãy tìm ít nhất ba lời giải cho bài toán trên. -1 -1 2 2 1 1 x y 3 3 5 d 0 Bài giải .... : Phiếu số 1 Trường :.................................................... Lớp :.......................................................... Họ và tên :................................................. Các em có 45 phút để giải hai bài toán dưới đây Lưu ý : Các em làm bài ngay trên giấy đã phát và không được dùng bút xóa Bài toán 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SB = SD và :  ASB ASD= . Chứng minh rằng BD SA⊥ . Bài giải .... : Bài toán 2 Cho hình lập phương : . ' ' ' 'ABCD A B C D . Chứng minh rằng đường thẳng 'AC vuông góc với mặt phẳng ( )'A BD . Bài giải .... : Phiếu số 2 Trường :.................................................... Lớp :.......................................................... Họ và tên :................................................. Các em có 60 phút để giải các bài toán dưới đây Lưu ý : Các em làm bài ngay trên giấy đã phát và không được dùng bút xóa Bài toán 1 Cho hình lập phương : . ' ' ' 'ABCD A B C D . Chứng minh rằng đường thẳng 'AC vuông góc với mặt phẳng ( )'A BD . Bài giải ... : Bài toán 2 Trong không gian Oxyz cho hình hộp : . ' ' ' 'ABCD A B C D biết ( )1; 1;1A − , ( )1;31B , ( )4;3;1C và ( )' 1; 1;2A − . Gọi ( )α là mặt phẳng qua trung điểm M của BC và song song với mặt phẳng ( )'ABA . Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng A’C với ( )α . Bài giải ... : Bài toán 3 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(6; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 4) và mặt phẳng (P): 3x – y + z – 6 = 0. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (P). : Tìm trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài giải …. : Phiếu số 3 ._.