Phương trình vi phân đối số lệch loại trung hòa

n chân thành cảm ơn quí thầy, cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quí thầy, cô và các anh, chị làm công tác quản lý ở phòng sau đại học, những người đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa học. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Nguyễn An Ninh, quí thầy cô và các bạn đồng nghiệp cùng khóa học cũng như các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa học, đặc biệt là thầy Trần Quang Huy. Người viết Võ Văn Thảo MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bài toán về phương trình vi phân ,sự tồn tại nghiệm và dạng tiệm cận của nghiệm đã được nhiều tác giả nghiên cứu ,đó là lí do để tôi chọn đề tài này. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn này trình bày lại toàn bộ nội dung của bài báo [1] và [2], mà phần chính là phương trình vi phân đối số lệch và dạng tiệm cận của nghiệm. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Đối tượng bao gồm: Phương trình vi phân đối số lệch và dạng tiệm cận của nghiệm, trong không gian Banach. Về nội dung nghiên cứu trình bày lại toàn bộ nội dung của bài báo [1] và[2]. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Dạng tiệm cận của nghiệm dùng để chứng minh phương trình trình vi có nghiệm và phương trình vi phân là một trong những công cụ ứng dụng nhiều trong vật lý. 5. Cấu trúc của luận văn Luận văn được chia thành các mục như sau: Mở đầu, nêu lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và nội dung nghiên cứu, cũng như ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1: Những khái niệm và kết quả dùng trong chứng minh. Chương 2: Các bổ đề và định lí. Chương 3: Dạng tiệm cận của phương trình vi phân trung hòa. Chương 1 : NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ DÙNG TRONG CHỨNG MINH 1.1. Các kí hiệu - 1( , ) ( )R A I A    và *e x e x   được xác định như sau: * ( ) ( )( )e x e x e x     với x E ,   . - ( , )BC R X là không gian Banach của các hàm liên tục, bị chặn từ R đến X. - ( , )BUC R X là không gian con đóng của các hàm liên tục, bị chặn. - Nếu :f R X  tập tất cả các tịnh tiến ,được gọi là bao của f là  ( ) : (. ) :H f f t t R   - Một hàm f  ( , )BC R X được gọi là tiệm cận hầu như cộng tuyến tuần hoàn nếu: ( )H f là compact tương đối trong ( , )BC R X . - ( ) ( ) ( ) ( ) ( );t Sx t A t x t L t x f t x     , 0t s  (1.1) - ( ) ( ) ( )x t A t x t t s Với  x s x E  . (1.2) 1.2. Định nghĩa Họ các toán tử tuyến tính   0( ) tT t  xác định trên không gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu: - ( ) ( ) ( )T s t T s T t   , 0t s  - (0)T I - Mỗi x X , (.)T x liên tục trên 0,  Ngoài ra nếu ( )t T t là liên tục theo tôpô của hội tụ đều thì ta gọi   0( ) tT t  là một nửa nhóm liên tục đều. 1.3 . Định nghĩa   0( ) tT t  là nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X với 0h  , ta định nghĩa toán tử tuyến tính hA xác định như sau: ( ) h T h x xA x h  , x X . Ký hiệu: ( )D A là tập tất cả các x X sao cho 0 lim hh A x tồn tại, xác định toán tử A trên ( )D A như sau: 0 lim h h Ax A x , ( )D Ax . Ta gọi toán tử A xác định như trên là toán tử sinh của nửa nhóm   0( ) tT t  Khi đó ta có kết quả sau: - ( )D A là trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng trên ( )D A . - Nửa nhóm liên tục mạnh   0( ) tT t  có một toán tử sinh là bị chặn khi và chỉ khi   0( ) tT t  là một nửa nhóm liên tục đều. 1.4. Định lí :(Hille-Yosida- Phillips) Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác định trù mật. Khi đó A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh nếu và chỉ nếu tồn tại các số thực M và  sao cho với   , ta có ( )A  và ( , ) ( )n nR A M     với *n  Trong đó : 1( , ) ( )R A I A    1.5. Định lí Cho   0( ) tT t  là nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X và A là toán tử sinh tương ứng. Khi đó ta có kết quả sau: ( , )lim R A x x   , Xx  Chương 2 : CÁC BỔ ĐỀ VÀ ĐỊNH LÍ 2.1. Bổ đề 1 2.1.1. Phát biểu Cho 0( , )t sU s t   là một họ tiến hóa bị chặn trên X,  là không gian con đóng của ( , )BUC R X . Giả sử ánh xạ : ( , )t U t s s x thuộc về  với mọi Xx và 0s  , t  . Nếu 1( , )L Xh  thì ánh xạ 0 ( , ) ( ) t Ut s t s h d    thuộc  với mọi 0s . 2.1.2. Chứng minh Với 0s  ,đặt 0 * ( ) ( , ) ( ) t sU f t U s t s f d     với 1( , )f L X Khi đó : ánh xạ *sf u f là tuyến tính, liên tục từ 1( , )L X vào ( , )BC R X Thật vậy Chứng minh *su f bị chặn: Ta có: 0 * ( ) ( , ). ( ) t su f t u t s s f d     11 0 ( )  LM f d M f  , 0t  Trong đó 0 sup ( , )M t s u t s   0 1 ( )Lf f d     Vậy * ( )su f t bị chặn Mặt khác với giả thiết: ( , ) ( , )t s u s t liên tục mạnh trên 2( , ) :t s t s  Nên *su f liên tục trên  Vậy *su f  ( , )BC R X - *su f tuyến tính (hiển nhiên) - *su f liên tục được suy ra từ kết quả: 1* Lsu f M f Xét , 1 a b h x      với 0 ,a b x X   Với , ,, , 1 ( ) 0 , t a b t a ba b x x t                 Khi đó: với 0t  Ta có: 0 ) ( )* ( ) ( , t b s h du h t b u t b s s          = ( , ) b a u t b s s xd    Mà ( , )u t b s s     ( , )u t b s b s   ( , )u b s s   ,a b     Vậy * ( )su h t b  ( , ) ( , ) b a u t b s b s u b s s xd      Vì t ( , )u t b s b s x   thuộc  , 0x X s    Nên * (. ) .su h b   do  là dịch chuyển (“bi-invariant” nên * (.)su h  , 0s   Nếu h là hàm đơn giản trên 1( , )L X thì do kết quả vừa chứng minh ở trên và tính tuyến tính của tích phân nên *su h   Nếu h 1( , )L X+ thì do tập các hàm đơn giản trên 1( , )L X là trù mật trong 1( , )L X . Nên tồn tại dãy ( )nh các hàm đơn giản 1Lnh h Mà *sf u f liên tục nên * *s n su h u h Do  đóng nên : *su h  (điều phải chứng minh). 2.2. Chuỗi DYSON-PHILLIPS và dáng điệu của tiệm cận của nghiệm trong trường hợp thuần nhất 2.2.1. Giới thiệu bài toán - Cho 0( ( ), ( ( )))tA t D A t  là một họ ổn định và sinh ra một họ tiến hóa 0( ( , ))t sV t s   trên một không gian Banach E thỏa: ( )( , ) . t sV t s M e  với  là các hằng số trên và 1M  . - Cho họ 0( ( ))tL t  các toán tử tuyến tính từ rC vào E với (.) ( , ( , ))s rL BC L C E , nghĩa là : ( )t L t là hàm liên tục mạnh và bị chặn. - Phương trình vi phân đối số lệch biến thuần nhất không tự điều khiển: ( ) ( ) ( ) ( ) tx t A t x t L t x  t s (2.1) Với : ( ,0 , )s rx c C r E       . được nhiều tác giả nghiên cứu trong 10,13,20,26   của bài báo  I , tác giả đã chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của (2 .1) Nghĩa là : hàm liên tục x thỏa : ,x s r E    ( )x t  ( , ) (0) ( , ) ( ) ( , ) t s v t s v t L xd t s s t s r t s              (2.2) và ( )tx là họ tiến hóa trên rC Trong phần này chúng tôi muốn chỉ ra rằng : bằng cách khác chúng tôi chỉ ra sự tồn tại nghiệm yếu của (2.1). Chính xác hơn chúng tôi chỉ ra họ nghiệm của (2.1), được biểu diễn dưới dạng Chuỗi DYSON-PHILLIPS và thỏa công thức biến thiên hằng số . Đồng thời nghiệm yếu của (2.1) có cùng dáng điệu tiệm cận với ánh xạ: ( , )t v t s s x , 0s  , x E , ( )t  . Trong các bài báo [2,5] đã chỉ ra rằng: họ nghiệm tiến hóa của phương trình không dừng ( ( ) 0)L t  được cho bởi: ( , ) ( )u t s    ( , ) (0) ( ) v t s t s t s s r t s                 (*) với rC Kết quả (*) được dùng nhiều trong các chứng minh ở phần sau. 2.2.2. Bổ đề 2 a) Phát biểu : Cho ( , )g C E Khi đó: *lim ( , ) . . ( , (0)) ( ) t s u t e R A g d      tồn tại đều trên rC trong các tập compact của  ( , ) : 0.t s t s  b) Chứng minh : Với 0  max( ,0) ( là hằng số đánh giá của họ  ( , )v t s trong chuổi Phillips). Và 0 s t T   ( 0T  cho trước) Đặt *( , ) : ( , ) ( , (0)) ( ) t s W t s u t e R A g d       Với ,0r t s r          Ta có *( , )( ) ( , ) ( , (0)) ( )( ) t s W t s u t e R A g d             + *( , ) ( , (0)) ( )( ) t t u t e R A g d         Do (*) ta có ( , )( ) ( , ) ( , (0)) ( ) t s W t s u t R A g d             + ( ) ( , (0)) ( ) t t t e R A g d          Do đó với 0,   ta có: ( , )( ) ( , )( ) ( , )[ ( , (0) ( , (0))] ( ) t s W t s W t s v t R A R A g d                  + ( ) ( )[ ( , (0)) ( , (0))] ( ) t t t t e R A e R A g d                  Khi t s  . và ( ) ( )( , )( ) ( , )( ) [ ( , (0) ( , (0))] ( ) t t t s W t s W t s e R A e R A g d                    khi t s  . Nhận xét: ( ) ( , (0) ( ) t t t e R A g d          ( ) ( , (0) . t t t e R A g d         với 0. sup ( ) T g g          ( , (0))R A  . g 1 ( , (0)) .R A g .M g   với   Do ( , (0)) MR A    với   (định lý Hill-Yosida-Phillips) Nên 0 ( , )( ) ( , )( ) ( ) ( , (0)) ( , (0))] ( ) T W t s W t s M t R A R A g d           + 0 ( ) ( )sup T M M g          0( ( ) ) TM T Me Sử dụng kết quả: lim ( , (0))R A x x x E      . lim ( , (0)) ( , (0))] ( ) 0R A R A g d         [0, ]T  . Theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgue, ta có: 0 , lim ( , (0)) ( , (0))] ( ) 0 T R A R A g d          Suy ra ,0 ( , )( ) ( , )( ) 0sup r W t s W t s               khi ,  Đều trên tập  0( , ) : s t Ts t    ( điều phải chứng minh)  Từ bổ đề trên ta đưa ra định nghĩa họ các toán tử 0( ( , ))n nu s t  như sau : 0( , ) ( , )u s t u s t  * 1( , ) lim ( , ) ( , (0)) ( ) ( ) t n n s u s t u t e R A L u d         với Cr , 1n và 0 s t  2.2.3. Định lí 1 a) Phát biểu : i. Chuỗi 0 ( , ) : ( , )nL n u s t u t s    , 0t s  hội tụ đều trên ( )rL C trên tập  ( , ) :0t s s t T   ( 0)T  và 0( ( , ))L t su t s   là họ tiến hóa trên Cr . Hơn thế nữa ta có công thức biến thiên hằng số: ( , ) ( , )Lu t s u t s   *lim ( , ) ( , (0)) ( ) ( , ) t s u t e R A L u s d        (2.3) Thỏa với mọi Cr và 0t s  ii. Với mọi rC và 0s  Hàm xác định bởi: ( , ) (0)( , , ) : ( ) Lu t s t sx t s t s s r t s         (2.4) Là nghiệm yếu của (2.1) và ( , ) 0t Lx u t s t s   b) Chứng minh i) với 0n  ta có: 0 ( )( , ) 0t su t s Me t s    với 1n  , 0t s  và Cr ta có: 1( , )u t s   * 0lim ( , ) ( , (0)) ( ) ( , ) t s u t e R A L u s d        Nên 1( , )t su   * 0lim ( , ) ( , (0)) ( ) ( , ) t s u t e R A L u s d         Ta có : 0 ( )( , ) ( , ) ss u s Me t su        Với 1e  , 0,0 ( )r        ( , (0)) MR A    với   lim ( , (0))R A x x    Suy ra 1 ( )2( , ) (.) ( )t st s M L e t su    Nên ( )21( , ) (.) ( ) t su t s M L e t s   Bằng quy nạp ta chứng minh được 2( (.) ) ( )( , ) . .( ), ,! nM L t snu t s Me t s nn      0t s  Vì vậy chuỗi 0 ( , )n n u t s  hội tụ đều trong ( )L Cr trên ( , ) : .t s s t T  0( ( , ))L t su t s   liên tục do bổ đề (2) và chuổi hội tụ đều theo (chứng minh trên) Ngoài ra 0 ( , )( , ) : 0L n n u t su t s t s     ( , ) ( , )Lu t s u t s   1 ( , ) n nu s t   ; * 1( , ) lim ( , ) ( , (0)) ( ) ( , ) t n n s u t s u t e R A L u s d         Suy ra 1 ( , ) n k k u t s    * 1 0 lim ( , ) ( , (0)) ( ) ( , ) t n k ks u t e R A L u s d                 Cho n Ta có: ( , ) ( , )Lu t s u t s   *lim ( , ) ( , (0)) ( ) ( , ) t L s u t e R A L u s d        Vậy (i) đã được chứng minh ■ (ii) từ (2.3) ta có: (( , ) )Lu t s    ( , ) (0) ( , ) ( ) ( , ) ( ) L t s v t s v t L u s d t s t s s r t s                            ( 2.5) Nên ( , ) ( )Lu t s    (0( , ) )( ) Lu t s t s t s s r t s                 Bây giờ hàm (2.4) ( , , )x t s  thỏa ( , )Ltx u t s  Theo (2.2) thì tx là nghiệm yếu duy nhất của (2.1) (ii) được chứng minh ■ Bây giờ chúng ta xem xét tính bền của dáng điệu tiệm cận của phương trình (1.2). Cụ thể hơn chúng ta giả sử hàm ( , ) 0,t v t s s x s x E   nằm trong một không gian con đóng thuần nhất  nào đó của ( , )BUC R E Và sự tồn tại các hằng số 10 0 M o q s     thỏa 0 ( ) ( , )L t s u s s d q        (2.6) Với  Cr , os s Ta có kết quả chính sau 2.2.4. Định lí 2 a) Phát biểu : Giả sử (2.6) xảy ra và ( , ) ( 0, )t v t s s x s x E   nằm trong một không gian con đóng thuần nhất  nào đó của ( , )BUC R E . Khi đó: Nghiệm ( , , )t x t s s  của (2.1) cũng nằm trong  với mọi rC và 0s  b) Chứng minh Với 0t  os s và Cr Vì t s s  nên ta có kết quả đã biết (0)( , , ) ( , )Lx t s s u t s s     ( , ) (0) ( , ) ( ) ( , )L t s s v t s s v t s L u s d          theo (2.5)  0 ( , ) (0) ( , ) ( ) ( , )L t v t s s v t s s L s u s s d           (Đổi cận tích phân với u s  ) Theo bổ đề (1) ta chỉ cần chứng minh. 1(. ) (. , ) ( , )LL s U s s L E    Thật vậy theo công thức (2.3), ta có: ( ) ( , )LL t s u t s s    ( ) ( , )L t s u t s s    *( ) ( , ) ( , (0)) ( ) ( , )lim t s s L t s u t s e R A L u s d            Do đó: 0 ( ) ( , )L t L s u s s d      0 ( ) ( , ) t L s u s s d      * 0 ( ) ( , ) ( , (0)) ( ) ( , )lim L t s s L s u s e R A L u s d d                   0 ( ) ( , ) t L s u s s d       * 0 ( ) ( , ) ( , (0)) ( ) ( , )lim L d s st s L u e R A L u s d                    Do (2.6) , ta có: 0 ( ) ( , ) t L s u s s d      0 ( ) ( , ) t L s u s s d      * 0 ( ) ( , ) ( , (0)) ( ) ( , )lim L d t s s s L u e R A L u s d                     q   * ( , (0)) ( ) ( , )lim L t q e R A L u s d s         q   0 ( ) ( , )L t q L s u s s d     q   2q  k  Do đó với 0 os s  , Cr ta có : 1(. ) (. , ) ( , )LL s U s s L E    . Do bổ đề (1) ánh xạ : ( , , )t x t s s  thuộc  . với 0 os s  , 0t  , rC ta có thể viết 0( , ) ( )L ou t s s s    ( , )L o ou t s s s s   0( , ) ( )L ou s s s  vì o os s s  nên: Ta suy ra: ( , )L ot u t s s s   Do  thuần nhất nên 0( , ) ( )Lt u t s s    (Định lí được chứng minh)■ 2.3. Trường hợp không thuần nhất:công thức biến thiên hằng số và dạng tiệm cận 2.3.1. Giới thiệu bài toán Phương trình vi phân lệch không thuần nhất ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0tx t A t x t L t x f t t s     (2.7) sx Cr  Trong đó 0( ( ), ( ( ))tA t D A t  là họ ổn định, sinh ra họ tiến hóa liên tục mạnh 0( ( , ))t sv t s   trên một không gian Banach E và:  ( )( , ) t sv t s Me  ( , ) : 0t s t s   (với ,M là các hằng số, 1M  )  (.) ( , ( , ))sL BC L C Er và 1( , )locf L E . 2.3.2. Định nghĩa Một hàm liên tục : (., , ) : ,x x s r E     được gọi là nghịêm yếu của (2.7) nếu: ( )x t  0( , ) ( ) ( , )[ ( ) ( )] ( ) t v t s v t L x f d t s t s s r t s s                (2.8) Sự tồn tại nghiệm yếu của (2.7) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả [3,5]. Ở đây chúng ta muốn chỉ ra nghiệm yếu của phương trình (2.7) bởi công thức biến thiên hằng số. 2.3.3. Bổ đề 3 a) Phát biểu : 1( , )locf L E ( , ) : 0t s t s   Ta có: ( ) ( , (0)) ( ) 0lim t s s e R A f d         b) Chứng minh Nếu ([ , ], )f C s t E với  đủ lớn ta có: ( ) ( , (0)) ( )s t e R A f d s       ( )sup s s t tM e d s f          (định lý Hill-Yosida-Phillips) 1.. ( )( )supM s t ef s t            . .sup ( ) s t M f     Nên ( ) ( , (0)) ( ) 0lim s t e R A f d s           Nếu 1( , )locf L E thì 1([ ], ),f L Es t Khi đó tồn tại dãy ( )nf trong ([ ], ), Es tC : 1 [ , ] 0 s tL f fn   Do đó : ( ) ( , (0)) ( )s t e R A f d s       ( ) ( , (0))[ ( ) ( )]s t e R A f f dn s        ( ) ( , (0)) ( )s I t e R A f dn s        ( ) ( , (0)) . ( ) ( )s t e R A f f d In s         . . ( ) ( ) tM f f d In s         cho  rồi cho n Suy ra điều phải chứng minh■ 2.3.4. Bổ đề 4 a) Phát biểu : Với mỗi 1( , )locf L E *( , ) ( , (0)) ( )lim L t u t e R A f d s        hội tụ đều trong Cr trên các tập compact của tập  ( , ) : 0t s t s  b) Chứng minh : Theo bổ đề (3) để có bổ đề (4) ta chỉ cần xét ([0, ], )T Ef C ( 0T  là hằng số sao cho: 0T t s   ) Với max( , )o  Đặt *( , ) ( , ) ( , (0)) ( )L t s Z t s u t e R A f d       . Với [ , ],r o   t s  từ công thức (2.5) ta có: *( , )( ) ( , ) ( , (0)) ( )( )LZ t s u t e R A f d t s             *( , ) ( , (0)) ( )( )L t u t e R A f d t          ( , ) ( , (0)) ( )v t R A f d t s            ( ) ( , (0)) ( )t t e R A f d t           *( , ) ( ) ( , ) ( , (0)) ( )L I v t L U e R A f d d t t s                     (2.9) Mà *( , ) ( , ) ( , (0)) ( )I v t L e R A f d d t s s                 (đổi thứ tự lấy tích phân) *( , ) ( ) ( , ) ( , (0)) ( )LV t L U e R A f d d t s s                  ( , ) ( ) ( , )V t L Z s d t s            Nên với t s  ta có: ( , )( ) ( , ) ( , (0)) ( )Z t s V t R A f d t s              ( ) ( , (0)) ( )te R A f d t t           ( , ) ( ) ( , )V t L Z s d t s            Nên với t s  ta có: ( , )( )Z t s   ( ) ( , (0)) ( )te R A f d t s        Do đó với max( , )o o      ta có: ( , )( )Z t s  ( , )( )Z t s   ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )[ ( , (0)) ( , (0))] ( ) [ ( , (0) ( , (0))] ( ) ( , ) ( )[ ( , ) ( , )] [ ( , (0) ( , (0))] ( ) t t t t V t R A R A f d e R A e R A f d V t L Z s Z s d t s e R A e R A f d t s t s t t t s t s                                                                            Trường hợp t s  dễ dàng có được ( , )( ) ( , )( )Z t s Z t s    0 ( ) [ ( , (0)) ( , (0))] ( )M T t R A R A f d      [0, ] 1 1( ) T M f       .. . (.) ( , ) ( , ) tTM e L Z s Z s d s      Trường hợp t s  ta có: ( , )( ) ( , )( )Z t s Z t s    0 1 1( ) ( )sup T M f          (đánh giá tương tự như đánh giá bổ đề (2)) Mặt khác , ( , (0)) ( , (0)) ( ) 0 , 0,lim R A R A f T               Áp dụng định lí hội tụ bị chặn Lebesgue ta có: 0, ( , (0)) ( , (0)) ( ) 0lim T R A R A f d          Do đó với 0  bất kỳ, tồn tại 0  sao cho :nếu ,   thì ( , )( ) ( , )( )Z t s Z t s    .. . (.) ( , ) ( , ) ,0 t s TM e L Z s Z s d r            điều này tương đương với ( , ) ( , )Z t s Z t s   .. . (.) ( , ) ( , ) t s TM e L Z s Z s d     Áp dụng bổ đề Gronwall, ta suy ra: ( , ) ( , )Z t s Z t s   . (.) ... T L T M ee    Vậy ( , ) ( , ) 0Z t s Z t s   khi , 0  bổ đề được chứng minh. 2.3.5. Định lí 3 a) Phát biểu : Cho Cr và 0s  khi đó hàm x được định nghĩa bởi: ( )(0)( ) ( ) u t t sx t t s r s t s       Với * ( , (0))( ) : ( , ) lim ( , ) ( )L L R A t s u t u t s u t e f d t s       Là một nghiệm yếu của phương trình (2.7) Đảo lại nếu x Là một nghiệm yếu của phương trình (2.7) thì * ( , (0))( , ) ( , ) ( )limL L R A t t s x u t s u t e f d t s       (2.10) b) Chứng minh : Cho ,0r      với t s  áp dụng công thức (2.5) và định lí (1) ta có: ( )( ) ( , ) (0) ( , ) ( ) ( , )L t s u t v t s v t L u s d                ( , ) . ( , (0)) ( )lim t v t R A f d s            ( ) ( , (0)) ( )lim t te R A f d t             *lim ( , ) ( ) ( , ) ( , (0)) ( )Lx s v t L u e R A f d d t t                    Trong đó : ( , ) . ( , (0)) ( ) ( , ) ( )lim v t R A f d v t f d t t s s                     (do ( , (0)) , , ( , )lim ER A x v t sx x    liên tục mạnh và định lí hội tụ bị chặn Lebesgue). ( ) ( , (0)) ( ) 0lim t t e R A f d t             do bổ đề (3) *( , ) ( ) ( , ) ( , (0)) ( )lim Lv t L u e R A f d d t t s                     *( , ) ( ) ( , ) ( , (0)) ( )lim v t L u e R A f d d t s s                    *( , ) ( )[ ( , ) ( , (0)) ( ) ]lim Lv t L u e R A f d d t s s                   Từ đó ta có: ( )( ) ( , ) (0) ( , ) ( ) ( , )Lu t v t s v t L u s d t s                 ( , ) ( )v t f d t s          *( , ) ( )[ ( , ) ( , (0)) ( ) ]lim Lv t L u e R A f d d t s s                   ( , ) (0) ( , ) ( ) t s v t s v t f d          *( , ) ( )[ ( , ) ( , ) ( , (0)) ( ) ] ( ) lim LL s v t L u s u e R A f d d U t s                        (do định nghĩa của ( )u  ) ( , ) (0) ( , )[ ( ) ( ) ( )]v t v t f L u d t s                  . ( 2.11)  Với t s  : ( )( ) ( )u t t s      ( ) ( , (0)) ( )lim te R A f d t s          0( )t s     (do bổ đề (3)) ( 2.12) Theo định nghĩa nghiệm yếu từ (2.11), (2.12) suy ra ( 0)( )t tx u t  là nghiệm yếu của (2.7) Đảo lại :Giả sử y(t) là nghiệm yếu của (2.7) cần chứng minh ( ) ( ) ( )y t u t t s  Với , ,0t s r      , theo (2.8), (2.11), (2.12) ta có: ( )( ) ( )( )y t u t   ( , ) ( )[ ( ) ( )] 0 t s v t L y u d t s s r t s                    Nên ,0r      ( )( ) ( )( )y t u t   ( , ) . (.) ( ) ( )t s v t L y u d      Hay ( ) ( )y t u t  (.) . ( , ) . ( ) ( ) t s L v t y u d       Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có: ( ) ( )y t u t t s   . Định lí được chứng minh■. 2.4. Dáng điệu tiệm cận các nghiệm của (2.7) 2.4.1. Định nghĩa Một họ tiến hóa ( ( , )) 0u t s t s  được gọi là có tính chất “Semi- Exponential dichotomy” Nếu hàm : ( )p R L X  sao cho hàm (.)p x liên tục và bị chặn với mỗi x X và các hằng số 0, ( ) 1N N    sao cho: i. ( ) ( , ) ( , ) ( )P t u t s u t s Q s . ii. ( , ) ( ) ( )u t s P s Ne t s   và ( , ) ( ) ( )Qu s t Q t Ne t s   với ,t sÎ và t s . Trong đó: (.) : (.)Q I P  và ( , )Qu t s là hạn chế của ( , )u t s trên Im ( )Q s . Họ tiến hóa 0( ( , ))t su t s   được gọi là có tính chất “Semi- Exponential dichotomy” nếu ngoài giả thiết trên có thêm tính chất (iii) iii. ( , )Qu t s là toán tử khả nghịch từ Im ( )Q s vào Im ( )Q t với ,t s . 2.4.2. Định nghĩa Họ các toán tử 0( ( , )) ( )t st s L X   được cho bởi: ( , ) ( ) ( , ) : ( , ) ( )Q u t s P s t s t s u t s Q s t s      được gọi là toán tử Green tương ứng của họ tiến hóa “Semi- Exponential dichotomy” 0( ( , ))t su t s   2.4.3. Định nghĩa Họ toán tử 0: ( ( , )) ( )t su u t s L X   được gọi là họ tiến hóa liên tục mạnh nếu: i. ( , ) ( , ) ( , )u t s u t r u r s và ( , )u s s Id với 0t r s   . ii. Đồ thị ( , ) ( , )t s u t s là liên tục với  ( , ) ( , ) : 0t s t s t s   . 2.4.4. Bổ đề 5 a) Phát biểu : Giả sử 0( ( , ))L t su t s   thỏa tính chất “Semi-Exponential dichotomy” và f  ( , )BC R E .Khi đó: * 0 ( , ) ( , (0)) ( )lim t e R A f d        (2.13) Hội tụ đều theo t trên mỗi tập compact của + b) Chứng minh : Lấy 0,t T   ( 0T  cho trước) ,ta có: * 1 0 : ( , ) ( , (0)) ( ) t I t e R A f d      * 0 ( , ) ( ) ( , (0)) ( )L t U t p e R A f d       * 0 ( ) ( , ) ( , (0)) ( ) . ( / )L t p t U t e R A f d t c i      Theo bổ đề (4) thì 1lim I hội tụ đều theo t trên  0,T * 2 : ( ) : ( , ) ( , (0)) ( ) t I t t e R A f d         *( , ) ( ) ( , (0)) ( )L t U t Q e R A f d        *( ) ( , ) ( ) ( , (0)) ( )L t Q t U t Q e R A f d        Nên với max,0 , ( ,0)r       ta có: *( ) ( ) ( , ) ( , (0)) ( )( )L t t Q t U t e R A f d           ( )( ) ( , (0)) ( )tQ t e R A f d t           Theo công thức (2.5) và t t    Suy ra ( )( )t   ( ) .Q t f  M ( ) ( ) t t e      ( ) . . MQ t f    Điều này tương đương với ( )t  ( ) . . MQ t f    0, ( ) . .sup s T M Q s f          Chứng tỏ ( )t có nghĩa 0,t T    và ( ) 0lim t    0,t T  (điều pcm) ■ Để chứng minh bổ đề trên ta chỉ cần dùng tính chất (i), trong định nghĩa “Semi-Exponential dichotomy”.Các tác giả trong bài báo chứng minh bổ đề này đã dùng cả tính chất (ii) và (iii). 2.4.5. Định lí 4 a) Phát biểu : Giả sử 0( ( , ))L t su t s   thỏa tính chất “Semi-Exponential dichotomy”. * 0 [ ( ,0) (0) ( , ) ( , (0)) ( ) ](0) 0 ( ) : ( ) 0 lim          Lu t p t e R A f d tv t t r t          Với mỗi f  ( , )BC R E , hàm : 0, ( , )v u t s   định bởi:(2.14) là nghiệm yếu bị chặn ,duy nhất của (2.7), trong đó  là điều kiện đầu ứng với 0s  và  thỏa mãn: * 0 (0) (0, ) ( , (0)) ( )limQ e R A f d x           (2.15) Hơn nữa , nếu f  0( , )C R E thì v cũng thuộc 0( , )C R E . b) Chứng minh : Giả sử v là nghiệm của (2.7). Khi đó theo định lí (3) ta có: * 0 ( ,0) ( , ) ( , (0)) ( ) , 0limL L t tv u t u t e R A f d tx         . Ta sẽ chứng minh: * 0 ( , ) ( , (0)) ( )lim L t u t e R A f d x      * 0 ( , ) ( , (0)) ( )lim t e R A f d         * 0 ( ,0) (0, ) ( , (0)) ( ) (*)limL I u t e R A f d          Thật vậy Vế phải (*) 0 0 ( ,0) (0, ) ( ). ( , ) ( ). ( , ) ( ). lim lim lim L LL L T t u t u Q Id u t P Id u t Q Id                        00 ( , ) ( ). ( , ) ( ).limlim L L t u t Q Id u t P Id            0 ( , )[ ( ) ( )].lim L t u t Q P Id      0 ( , ).lim t Lu t Id    * 0 ( , ) ( , (0)) ( )lim t Lx u t e R A f d      = vế phải của (*) Nên ta được: * 0 ( ,0)( ( , ) ( , (0)) ( ) )limLVt u t t e R A f d          * 0 ( , ) ( , (0)) ( )lim t t e R A f d          * 0 ( ,0)( (0) ) ( , ) ( , (0)) ( )limLu t Q t e R A f d            * 0 ( ,0) (0) ( , ) ( , (0)) ( )limLu t P t e R A f d          Vậy v có dạng giống (2.14) Chứng minh v bị chặn: Thật vậy ( ,0) (0) (0) ( ) ( ,0) (0)L LU t P P t U t  ( ,0) (0) (0) ( ,0) (0) . (0)L LU t P U t P  ( 0)tNe   . (0) . (0)N  . Mặt khác : theo bổ đề (5), ta có: * 0 ( , ) ( , (0)) ( ) ](0)[lim t e R A f d         bị chặn với 0t  Nên *( ) (0) ( ,0) (0) (0) [ ( , ) ( , (0)) ( ) ](0) 0 limt LV t V u t P t e R A f d            bị chặn với 0t  Vậy phương trình (2.7) có duy nhất nghiệm yếu bị chặn. Nếu f  0( , )C R E thì 0( , )v C R E . Thật vậy Ta đã có: ( ,0) (0) (0)LU t P  . .N e t  (0) Suy ra ( ,0) (0) (0) 0lim Lu t P   (vì 0  ) Nên ( ) 0 ( ) 0lim lim t t v t t    Với ( )t  * 0 ( , ) ( , (0)) ( )lim t e R A f d         Theo bổ đề (5), ta có: * 0 ( ) [ ( ,0) ( , (0)) ( ) ](0)lim t W t t e R A f d         * 0 [ ( , ) ( ) ( , (0)) ( ) ](0)lim L t U t P e R A f d           * 0 [ ( ) ( , ) ( , (0)) ( ) ](0)lim L t P t U t e R A f d          0 ( ) ( , ) ( , (0)) ( )lim t LP t U t R A f d         theo (2.5) 0 ( , ) ( ) ( , (0)) ( )lim L t U t P R A f d           Theo giả thiết ( ) 0tf t  Suy ra : 00 2 0, 0: ( ) MN t f t t t       . Khi đó với 0t t ta có: 0 ( , ) ( ) ( , (0)) ( )L t U t P R A f d       0 0 ( , ) ( ) ( , (0)) ( )L t U t P R A f d       0 ( , ) ( ) ( , (0)) ( )L t t U t P R A f d      0 0 ( ). .M tf N e d t          + 0 2 ( ). .M MN t tN e d        0( )1 . ( )MN t t tf e e         + 0 ( ). (1 ) 2 t te      Do đó: 02 ( )( ) .MN t tt f e      , 0t t  Suy ra: ( ) 0lim t t  Vậy ( ) 0lim t v t  hay 0( , )v C R E  (điều phải chứng minh)■. Chương 3 : DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HOÀ 3.1. Giới thiệu Phương trình vi phân trung hoà lệch : [x(t) – p(t)x(t - )]’ + Q(t).x(t - ) = 0 , t  to. (3.1) với ,   (0, ), p  C([to, ), ) và Q  C(._.