Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên

hương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 8 2 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 10 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.7 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên chỉ số 1 14 3.1 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.5 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.6 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.7 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 23.8 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.9 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.10 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.11 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.12 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.13 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 3LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay, có nhiều bài toán, chẳng hạn như mô tả hệ động lực, mô tả hệ thống mạng điện, những vấn đề trong điều khiển,...đòi hỏi chúng ta phải quan tâm giải quyết những hệ phương trình dạng A(t)x′ +B(t)x+ f(t) = 0 (1) trong đó A, B là những ma trận hằng hoặc ma trận hàm liên tục cấp n, detA(t) = 0, gọi là phương trình vi phân đại số (DAE) (chú ý rằng nếu detA(t) 6= 0 thì đưa về dạng x′ = −A−1Bx là phương trình vi phân thường). Một trong những cách phân lớp hệ phương trình này là khái niệm chỉ số của chúng (xem tài liệu tham khảo như [1], [2], [6], [7] . . .). Ngay từ những năm cuối thế kỉ 20 đã có nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu về phương trình vi phân đại số, như nhóm các nhà toán học ở đại học Humboldt Đức và ở đại học Sư phạm, đại học khoa học tự nhiên như Phạm Kì Anh, Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh... Để đưa nhiễu vào (1), ta xét phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Adx+ (Bx+ f)dt+G(t, x)dt = 0, t ∈ J (2) trong đó det A(t) = 0, xt là quá trình ngẫu nhiên trên J,W quá trình Weiner m chiều xác định trên không gian xác suất (Ω,F ,P) với bộ lọc (Ft)t∈J . Công cụ tự nhiên để nghiên cứu (2) là tính toán ngẫu nhiên Ito. Tuy nhiên do A suy biến nên ta phải chọn cách tiếp cận phù hợp. Trong [9] ta đã xét một lớp phương trình (2) có chỉ số 1 với A hằng và chỉ tập trung vào phương pháp số, đưa ra khái niệm nghiệm cũng như không gian nghiệm. Trên cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúng tôi chọn đề tài "Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên". 4Luận văn gồm 3 chương : Chương 1: Phương trình vi phân ngẫu nhiên. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm tích phân Ito, các tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên Ito, công thức Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên. Đây là những kiến thức cơ bản để nghiên cứu những chương tiếp theo. Chương 2: Phương trình vi phân đại số. Trong chương 2 trình bày khái niệm về Phương trình vi phân đại số tuyến tính có chỉ số 1, nhắc lại các khái niệm đã biết như chỉ số và một số tính chất của phép chiếu dùng để giải loại phương trình này. Chương 3: Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên. Nội dung chính của khoá luận đựơc trình bày trong chương này bao gồm các định nghĩa, bổ đề và các định lí về phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của cô giáo Th.S Nguyễn Thị Thế. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô về sự tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo TS. Lê Văn Thành, thầy giáo Dương Xuân Giáp đã đóng góp những ý kiến quý báu, giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và toán ứng dụng, các thầy cô giáo trong Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành khoá luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do năng lực còn hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung và hình thức. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo của quý thầy cô và những góp ý giúp đỡ của bạn đọc để khoá luận này được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 5 năm 2010. Tác giả. 5Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 1.1 Tích phân Ito Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất. Bây giờ ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]× Ω→ R. 1.1.1 Tích phân Ito của lớp hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT • Khái niệm lớp hàm ngẫu nhiên NT : Giả sử Ft = σ(ws, s ≤ t) , s, t ∈ [0,T] là σ_ trường tự nhiên từ quá trình Wiener {Wt, t ∈ [0, T ]}. Kí hiệu NT là lớp hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]× Ω→ R thoả mãn (i) f(t, w) là hàm đo được theo hai biến, (ii) f(t) là tương thích đối với Ft, tức ft là Ft_ đo được, (iii) E( ∫ T 0 | f(t, w) |2) <∞. Hàm φ ∈ NT được gọi là hàm sơ cấp nếu nó có dạng φ(t, ω) = λI{0} + n−1∑ k=0 λkIFk (1.1) trong đó, 0=t0 < t1... < tn=T, k = 0, 1, 2, ..., n − 1, IA là hàm chỉ tiêu của tập F . • Tích phân của hàm φ với φ có dạng (1.1), đặt I(φ) = ∫ T 0 φ(t, ω)dW t = λW0 + n−1∑ k=0 λk(Wtk+1−Wtk ). (1.2) 6• Tích phân phụ thuộc cận trên. Vì W0 = 0 nên với 0 ≤ t ≤ T∫ T 0 φ(s, ω)dW s = tm+1<t∑ 0<k<m λk(Wtk+1 −Wtk) + λm+1(W t −Wtm+1). Đặt It = ∫ t 0 φ(s, ω)dW s, t ∈ [0, T ]. Ta có It là quá trình ngẫu nhiên liên tục của quá trình Wiener. • Với 0 ≤ s ≤ T, ta định nghĩa∫ t s φ(u, ω)dW u = ∫ t 0 φ(u, ω)dW u − ∫ s 0 φ(u, ω)dW u. • Đẳng cự Ito EI(φ) = 0. (1.3) EI2(φ) = E( ∫ T 0 | φ(t, ω) |2dt). (1.4) • Ta định nghĩa tích phân Ito ngẫu nhiên theo công thức sau: I(f) = ∫ T 0 f(t, ω)dW t = lim n→∞ ∫ T 0 φndWt. 1.1.2 Các tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên Ito 1. I : NT → L2(Ω) là tuyến tính. 2. I thoả mãn đẳng thức Ito, nghĩa là với 0 ≤ s < T , ta có E( ∫ T s f(t, ω)dW t) 2 = E( ∫ T s | f(t, ω) |2 dt). 3. E(I(t) | Fs) = ∫ s 0 f(u, ω)dWu. Đặc biệt, E(I(f)) = 0, với mọi f ∈ NT . 4. E(I(f), I(g)) = E( ∫ T 0 f(t, ω), g(t, ω)dt). 5. Với 0 ≤ s < u ≤ T ,∫ T s f(t, ω)dW t = ∫ u s f(t, ω)dW t + ∫ T u f(t, ω)dW t. 71.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên và công thức Ito 1.2.1 Khái niệm quá trình Ito và vi phân ngẫu nhiên Ito Giả sử, X = (Xt, t ≤ 0) là một quá trình ngẫu nhiên thoả mãn: (i) Hầu hết các quỹ đạo t→ Xt là liên tục, (ii) Hầu chắc chắn có thể biểu diễn Xt = X0 + ∫ t 0 h(s, ω)ds+ ∫ T 0 f(s, ω)dWt, (1.5) trong đó h và f là quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân trong biểu diễn (1.5) tồn tại. Khi đó ta nói X là một quá trình Ito và có vi phân Ito kí hiệu một cách hình thức bởi: dXt = h(t, ω)dt+ f(t, ω)dW t, (1.6) hay dX = hdt+ fdW, 1.2.2.Mệnh đề Nếu X(t) là quá trình Ito với hai cách biểu diễn dX(t) = h1(t, w)dt+ f1(t, w)dWt và dX(t) = h2(t, w)dt+ f2(t, w)dWt thì hầu chắc chắn có thể biểu diễn h1(t, w) = h2(t, w), f1(t, w) = f2(t, w) 1.2.3. Định lí Cho X là một quá trình Ito với dXt = hdt + fdW t. Giả sử g(x, t) : R2 → R là một hàm hai biến hai lần khả vi liên tục. Khi đó, Yt = g(t,Xt) là quá trình Ito có vi phân cho bởi: dYt = ∂g ∂t (t,Xt)dt+ ∂g ∂x (t,Xt)dXt+ 1 2 ∂2g ∂x2 (t,Xt)f 2(t, ω)dt. Công thức trên gọi là công thức Ito và có dạng tương đương như sau: Yt = g(0, X0) + ∫ t 0 ∂g ∂s (s,Xs)ds+ ∫ t 0 ∂g ∂x (s,Xs)dXs + 1 2 ∫ t 0 ∂2g ∂x2 (s,Xs)f 2(s, ω)ds. (1.7) 81.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Kí hiệu Wt là quá trình Wiener m chiều với thành phần độc lập xác định trên không gian xác suất (Ω,F ,P) . Kí hiệu (Ft)t∈J là bộ lọc tự nhiên của Wt. 1.3.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình có dạng dxt = f(t, x)dt+G(t, x)dWt, t ∈ J, (1.8) hoặc có dạng tích phân như sau: xt − x0 = ∫ t t0 f(s, x(s))ds+ ∫ t x0 G(s, x(s))dWs, t ∈ J, (1.9) trong đó x0 là Rn biến ngẫu nhiên độc lập với Wt. Nghiệm của (1.8) và (1.9) trên J là quá trình x(.) = (x(t))t∈J với quỹ đạo liên tục thoả mãn các điều kiện sau: (i) x(.) là thích nghi của bộ lọc (Ft)t∈J , (ii) Với xác suất 1, ta có∫ T 0 | f(s, x(s)) |ds <∞ và ∫ T 0 | G(s, x(s)) |ds <∞, (iii) (1.9) thoả mãn với t ∈ J với xác suất 1. 1.3.2 Định lý. Giả sử rằng phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.8) thoả mãn điều kiện tồn tại hằng số K > 0 sao cho (i) (Điều kiện Lipschitz) ∀t ∈ J, x, y ∈ Rn, | f(t, x)− f(t, y)+ | G(t, x)−G(t, y) |≤ K | x− y |, (ii) (Hạn chế sự tăng trưởng) ∀t ∈ J và x ∈ Rn | f(t, x) |2 + | G(t, x) |2≤ K2(1+ | x |2), khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên x0 độc lập với Wt, phương trình (1.8) có nghiệm duy nhất xt , liên tục với xác suất 1, thoả mãn điều kiện ban đầu x0, nếu x(t) và y(t) là nghiệm liên tục của (1.8) , cùng giá trị ban đầu x0, khi đó P [sup t∈J | x(t)− y(t) |> 0] = 0. 9Nếu thêm điều kiện E | x0 |2<∞, thì E | x(t) |2≤ (1 + E | x0 |2)eCt, và E | x(t)− x0 |2≤ D(1 + E | x0 |2)teCt, trong đó, C và D là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào K,T . Chú ý rằng, điều kiện của định lí 1.3.2, nghiệm của phương trình (1.8) là một quá trình Ito. 10 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1 Xét phương trình vi phân tuyến tính: A(t)x′ +B(t)x = f(t), t ∈ J, (2.1) với các ma trận hệ số A,B ∈ C(J,L(Rn)), f(t) ∈ C(J,Rn). A(t) có hạng hằng rankA(t) = r, r < n, ∀t ∈ J . 2.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân (2.1) được gọi là phương trình vi phân đại số (DAE) nếu ma trận A(t) suy biến với mọi t ∈ J . Chú ý rằng A(t) không suy biến thì (2.1) là phương trình vi phân thường x′(t) = −A−1(t)B(t)x+ A−1f(t), t ∈ J. Khi đó nếu vế phải thoả mãn điều kiện Lipschitz, liên tục theo cả hai biến, thì qua mỗi điểm tuỳ ý của điều kiện ban đầu (x0, 0) đều có duy nhất nghiệm. Còn đối với phương trình vi phân đại số thì khác, ta không thể yêu cầu chọn điểm ban đầu tuỳ ý x0 và đòi hỏi x(t) thoả mãn điều kiện ban đầu bởi đẳng thức x(0) = x 0 được. Ví dụ. Xét phương trình( 1 0 0 0 )( x y )′ + ( 1 0 0 1 )( x y ) = ( f1(t) f2(t) ) với f1, f2 liên tục. Khi đó phương trình tương đương với hệx′ + x = f1(t),y = f2(t) Suy ra điều kiện ban đầu chỉ lấy được cho x(0) còn y(0) luôn phải là f2(0) Trong nhiều năm qua, phương trình vi phân đại số đã được nhiều nhà toán học quan tâm, họ đưa ra các định nghĩa và khái niệm về "chỉ số ", 11 "nghiệm", "tính giải được" . . . Trong nghiên cứu về phương trình vi phân đại số thì các nghiên cứu về phương trình vi phân đại số tuyến tính là thu được nhiều kết quả sâu sắc và có nhiều ứng dụng. Để nghiên cứu phương trình vi phân đại số, người ta thường chia chúng thành các lớp phương trình vi phân, chủ yếu dựa vào chỉ số của phương trình. Phương trình vi phân thường được coi là phương trình vi phân đại số có chỉ số 0. Sau đây ta chỉ xét phương trình vi phân đại số chỉ số 1, ngoài ra còn giả thiết thêm là không gian của A(t), N(t) = KerA(t) là trơn, nghĩa là tồn tại một phép chiếu Q(t) ∈ C1(J,L(Rn)) lên N(t), kí hiệu P := I−Q. Để đơn giản ta bỏ qua đối số t ở đây nếu không sợ nhầm lẫn. Ta có AQ ≡ 0, AP ≡ 0, kéo theo Ax′ = APx′ = A′{(Px)′ − P ′x}. (2.2) Do đó, từ (2.2) không cần thiết phải yêu cầu x khả vi, tính khả vi của P (x) đủ để xác định các số hạng trong (2.1) . Do đó chúng ta giới thiệu về không gian hàm sau đây, nó đủ để xác định nghiệm của phương trình (2.1) C1A(J) := {x ∈ C(J,Rn) : Px ∈ C1(J,Rn)}. 2.2 Nhận xét. C1A không phụ thuộc vào cách chọn C 1 - phép chiếu Q lên KerA. Chứng minh. Đặt Q = I − P và Q˜ = I − P˜ là hai phép chiếu C1 trơn vào kerA. Ta có P˜P = P˜ , vì vậy P˜ x = P˜Px. Vì thế, P˜ (x) ∈ C1(J,Rn)⇔ Px ∈ C1(J,Rn). 2.3 Định nghĩa. Giả sử KerA(t) là C1 trơn tức là tồn tại phép chiếu C1 trơn Q lên KerA. Một hàm x ∈ C1A(J,Rn) được gọi là nghiệm của (2.1) trên J nếu đẳng thức sau đây đúng ∀t ∈ J : A[(Px)′ − P ′x] +Bx+ f(t) = 0, khi đó, (2.1) trở thành A(Px)′ + (B − AP ′)x+ f = 0. (2.3) 12 2.4 Định nghĩa. Phương trình vi phân đại số (2.1) được gọi là chuyển được với chỉ số 1 nếu A1 := A + B0Q không suy biến trên J , trong đó B0 := B − AP ′. Đối với phương trình vi phân đại số có chỉ số cao ta có thể dùng phương pháp hạ chỉ số để quy về phương trình vi phân đại số có chỉ số thấp hơn. 2.5 Mệnh đề. Giả sử phương trình vi phân đại số (2.1) có chỉ số 1, khi đó  A−11 A = P, A−11 B0Q = Q, A−11 B0 = A −1 1 B0P +Q, A−11 B0P = A −1 1 BP, (2.4) Chú ý rằng nếu kí hiệu G := A + BQ thì A1 = G(I − PP ′Q). Vì Z = I − PP ′Q là khả nghịch với nghịch đảo của Z−1 = I + PP ′Q. Do đó A−11 là khả nghịch nếu và chỉ nếu G khả nghịch. Nhân hai vế (2.1) với A−11 ta được P (Px)′ + A−11 B0Px+Qx+ A −1 1 f = 0. (2.5) Nhân (2.5) với P và Q ta có hệ phương trình(Px)′ = (P ′ − PA −1 1 B)Px+ PA −1 1 f(t), Qx = −QA−11 BPx+QA−11 f(t). (2.6) Đặt u = Px, v = Qx, ta có x = u+ v. Từ (2.6) ta nhận được v = −QA−11 Bu−QA−11 f(t), và một phương trình vi phân thường đối với u u′ = (P ′ − PA−11 B)u+ PA−11 f(t). (2.7) 2.6 Định nghĩa. Phương trình vi phân (2.7) được gọi là phương trình vi phân thường tương ứng của phương trình vi phân đại số (2.1) đối với phép chiếu P . Hệ (2.6) cho ta cách xác định điều kiện ban đầu của (2.1) là P (0)x(0) = P (0)x0, x0 ∈ Rn. (2.8) 13 2.7 Nhận xét. imP (t) là không gian con bất biến của phương trình vi phân (2.7) theo nghĩa: Nếu u(0) ∈ imP (0) thì u(t) = P(t)u(t), ∀ ∈ J . Chúng ta giới thiệu Qcan = QA −1 1 B,Pcan = I −Qcan. Khi đó Qcan được gọi là phép chiếu chính tắc. Chú ý rằng nói chung Qcan chỉ là liên tục mà không là C1_ trơn như chúng ta yêu cầu đối với phép chiếu Q. Tuy nhiên, nghiệm của (2.1) được viết lại như sau: x = Px+Qx = u−QA−11 Bu+QA−11 f(t) = (I −QA−11 B)u+QA−11 f(t) = Pcanu+QA −1 1 f(t), trong đó, u ∈ C1 là nghiệm của phương trình (2.7) với điều kiện ban đầu (2.8). Hiển nhiên giá trị ban đầu phù hợp là x0 = x(0) = Pcan(0)x 0 +Q(0)A−11 f(0), Ta có P0(x0) = P (0)x0 nhưng không phải x0 = x0. 14 Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ NGẪU NHIÊN CHỈ SỐ 1 Xét phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên tuyến tính A(t)dx+ (B(t)x+ f(t)dt+G(t, x)dWt = 0, t ∈ J, (3.1) trong đó A, B: J → L(Rn,Rn) là ma trận hàm liên tục, có rank(A(t)) = r, với r là số nguyên không đổi r < n và f : J → Rn, G : J × Rn → JRn×m là hàm liên tục . Trong phần này chúng ta đưa ra định nghĩa nghiệm cho (3.1) và định nghĩa lớp phương trình chỉ số 1. Chú ý rằng đối với hệ DAE tất định thì không gian nghiệm là C1A(J) = {x : J → Rn liên tục và Px khả vi}. Vì vậy, xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito tương tự như phương trình vi phân thường. Xét C1A(J,Ω) := {x : J × Ω→ Rn là quá trình ngẫu nhiên liên tục, Px là quá trình Ito}. Chúng ta sẽ chỉ ra đây là không gian nghiệm thích hợp của (3.1). Kí hiệu N(t) := KerA(t). Gọi Q(t) là phép chiếu C1 lên N(t), P (t) := I −Q(t). 15 Ta gọi phương trình A(t)dx+ (B(t)xt + f(t))dt = 0, t ∈ J, (3.2) là phần tất định của (3.1). 3.1 Bổ đề. Không gian C1A(J,Ω) không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P . Bây giờ, tương tự với phương trình vi phân thường, ta chú ý rằng từ các đẳng thức hiển nhiên AQ = 0, AP = A kéo theo Adx = APdx = A(dPx− P ′xdt), (3.3) ở đây ta sử dụng đẳng thức dPx = Pdx+ P ′xdt, nó có ý nghĩa tương tự nhau nếu x là một quá trình Ito. Ta sẽ sử dụng (3.3) để định nghĩa số hạng Adx trong phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên (3.1). Theo cách đó để xác định số hạng Adx ta chỉ cần x ∈ C1A(J,Ω). 3.2 Bổ đề. Nếu x ∈ C1A(J,Ω) thì A(dPx - P’xdt) không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu trơn Q = I − P lên Ker A. Chứng minh. Giả sử Q = I − P và Q˜ = I − P˜ là hai phép chiếu trơn trên KerA. Do P = PP˜ , theo công thức Ito ta có d(Px) = dP P˜x = P ′P˜ xdt+ Pd(P˜ x). Sử dụng đồng nhất đẳng thức P ′ = (PP˜ )′ = P ′P˜ + PP˜ ′ ta được A(dPx− P ′xdt) = A(P ′PP˜xdt− Pd′P˜ x− P ′xdt) = A(P ′xdt− PP˜xdt+ PdP˜x− P ′xdt) = A(PdP˜x− PP ′xdt) = AP (dP˜x− P ′xdt) = A(dP˜x− P ′xdt). Như vậy ta sẽ hiểu (3.1) là AdPx+ ((B − AP ′)x+ f)dt+G(t, x)dWt = 0, t ∈ J. (3.4) Kí hiệu B0 = B−AP ′. Bây giờ ta định nghĩa nghiệm của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên (3.1). 16 3.3 Định nghĩa. Một quá trình ngẫu nhiên C1N (J,Ω) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên (3.1) nên với xác suất 1, ta có∫ t t0 A(s)dPx+ ∫ t t0 (B0x(s) + f(s))ds+ ∫ t t0 G(x(s), s)dWs = 0, t ∈ J. (3.5) 3.4 Nhận xét. Định nghĩa 3 không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu trơn Q = I − P lên Ker A. Chứng minh. Mệnh đề được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2. 3.5 Định lý. Giả sử rằng x(t) ∈ C1A(J,Ω) và Px có vi phân Ito biểu diễn dưới dạng dPx = a(t)dt+ b(t)dWt, (3.6) trong đó a, b là quá trình thích nghi của bộ lọc tự nhiên Wt. Khi đó x là nghiệm của (3.1) nếu và chỉ nếuA(t)a(t, ω) +B0x(t) + f(t) = 0,A(t)b(t, ω) +G(x, t) = 0. (3.7) Chứng minh. Giả sử rằng nghiệm của (3.1) với Px có tích phân Ito được biểu diễn như (3.6). Theo Định nghĩa 3 ta có∫ t t0 (A(s)a(s) +B0x(s) + f(s))ds+ ∫ t t0 A(s)b(s) +G(x(s), s)dW (s) = 0, (3.8) t ∈ J . Từ mệnh đề [1.2.2] ta thấy (3.7) tương đương với (3.8). Định lí được chứng minh. 3.6 Định nghĩa. Phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.1) gọi là chuyển được với chỉ số 1 nếu: (i) Phần tất định (3.2) của (3.1) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1. (ii) imG(t, x) ⊂ imA(t),∀(t, x) ∈ J × Rn. 3.7 Mệnh đề. Nếu bỏ giả thiết (ii) của định nghĩa [3.6], nghiệm của (3.1) có thể không là quá trình ngẫu nhiên thông thường. 17 Bây giờ ta xét định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của (3.1) trong trường hợp chỉ số 1. Nhân (3.7) với A−11 (chú ý A1 = A+ B0Q là chính quy) ta được Pa(t) + A −1 1 BPx+Qx+ A −1 1 f(t) = 0, t ∈ J Pb(t) + A−11 G(t, x) = 0, t ∈ J. (3.9) Nhân (3.9) với P và Q ta có hệ phương trình sau: Pa(t) + PA−11 BPx+ PA −1 1 f(t) = 0, QA−11 BPx+Qx+QA −1 1 f(t) = 0, P b(t) + A−11 G(t, x) = 0, QA−11 G(t, x) = 0. (3.10) Do phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên (3.1) là chỉ số 1, ta có im(t, x) ∈ A(t) từ đây QA−11 G(t, x) = 0;PA −1 1 G(t, x) = A −1 1 G(t, x). Kết quả (3.9) tương đương với Pa(t) + PA−11 BPx+ PA −1 1 f(t) = 0, Qx = −QA−11 BPx+QA−11 f(t), P b(t) + A−11 G(t, x) = 0. (3.11) Đồng nhất thức P = PP từ công thức Ito kéo theo dPx = dPPx = P ′Pxdt+ PdPx, (3.12) ở đây cũng như với phương trình (3.6) đưa đếna(t) = P ′Px+ Pa(t),b(t) = Pb(t). (3.13) Từ (3.11) và (3.13) ta thu được a(t) = P ′Px− PA−11 BPx− PA−11 f(t), b(t) = −A−11 G(t, x), Qx = −QA−11 BPx−QA−11 f(t). (3.14) 18 Do đódPx = (P ′ − PA −1 1 B)Px− PA−11 f(t)dt− A−11 G(t, x)dWt, Qx = −QA−11 BPx−QA−11 f(t). (3.15) Kí hiệu u := Px; v := Qx thì x = u + v và ta thu được biểu thức của v qua x v = −QA−11 Bu−QA−11 f, (3.16) và phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito (cổ điển) cho u du = {(P ′ − PA−11 B)u− PA−11 f(t)}dt − {A−11 G(t, (I −QA−11 B)u−QA−11 f)}dWt. (3.17) 3.8 Định nghĩa. Phương trình (3.17) được gọi là phương trình vi phân ngẫu nhiên chính quy của (3.1) đối với P . 3.9 Định nghĩa. Nếu phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên (3.1) là tuyến tính (thuần nhất, ôtônôm) thì (3.17) cũng vậy. 3.10 Nhận xét. imP (t) là không gian con bất biến của phương trình vi phân ngẫu nhiên chính quy (3.17) nếu với xác suất 1 ta có u(0) ∈ P (0) thì u(t) = P (t)u(t),∀t ∈ J . Hơn nữa, ta chú ý rằng phương trình (3.16) dẫn đến v(t) = Qv(t),∀t ∈ J . Rõ ràng, bài toán giá trị ban đầu (3.1) có thể giải được với u0 bất kì mà u0 ∈ imP (0) và v0 = −Q(0)A−11 (0)B(0)u0 −Q(0)A−11 (0)f(0). Trở lại thủ tục khử phía trên, chúng ta phát biểu điều kiện ban đầu thích hợp của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên (3.1) chỉ số 1 như sau  A(0)(x(0)− x0) = 0, x0 là Rn - biến ngẫu nhiên độc lập, mà A(0)x0 là F0 - đo được độc lập với quá trình Wt. (3.18) Giống như trường hợp phương trình vi phân thường, ta có u(0) = P (0)x(0) = P (0)x0. Nói chung, trừ khi A(0)x0 = Q(0)A−11 B0(0)u 0 + Q(0)A−11 f(0), giá trị ban đầu x(0) khác x0. Vì vậy, để giải (3.17) với điều kiện ban đầu (3.18) 19 và sử dụng (3.16), ta có biểu thức nghiệm của (SADE) (3.1) kéo theo x(t) = (I −QA−11 B)u(t)−QA−11 f(t). (3.19) 3.11 Nhận xét. Nếu ta sử dụng phép chiếu chính tắc Qcan thì công thức (3.17) và (3.19) được viết lại như sau v(t, u) = −Qcanu(t)−QA−11 f(t), t ∈ J, (3.20) du = {(P ′−PA−11 B)u−PA−11 f(t)}dt−{A−11 G(t, Pcanu−QA−11 f(t))}dWt, (3.21) và x(t) = Pcanu(t)−QA−11 f(t). (3.22) Bây giờ, ta chứng minh định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên chỉ số 1. 3.12 Định lý. Giả sử rằng (2.1) là phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên chỉ số 1 với A,B, f,G là liên tục và G là liên tục Lipschitz đối với x. Khi đó bài toán giá trị ban đầu (3.1) với điều kiện (3.18) có duy nhất nghiệm x(t) trên J, liên tục theo quỹ đạo cho bởi công thức x(t) = (I −QA−11 B)u(t)−QA−11 f(t), trong đó u(t) là nghiệm của phương trình vi phân chính quy (2.17) với điều kiện ban đầu u(0) = P (0)x0. Hơn thế nữa, nếu E | A(0)x0 |2<∞ thì E | x(t) |2≤ C0(t) + C1(t+ E | P (0)x0) |2 eCt, E | x(t)− x(0) |2≤ C3(t) + C2(1 + E | P (0)x0) |2 teCt, trong đó C0(·), C3(·) là hàm liên tục, C3(0) = 0 và C,C1, C2 là hằng số dương. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh với giả thiết của định lí 3 phương trình vi phân chính quy (3.17) trên J có nghiệm duy nhất, nó liên tục với xác suất 1. Ta sẽ chỉ ra điều kiện của định lí 1 thoả mãn đối với (3.17): (i) Điều kiện Lipschitz. Đặt f̂(t, u) := (P ′(t)−PA−11 B(t))u−PA−11 f(t). 20 Từ đây A−11 là liên tục . Ta có |f̂(t, u)− f̂(t, u¯)| ≤ |(PA−11 B(t)− P ′(t))(u− u)| ≤ ‖PA−11 B − P ′‖∞|u− u|. Do, J = [0, T ] nên ‖ PA−11 B − P ′ ‖∞= maxt∈J | PA−11 B(t)− P ′(t) | là hữu hạn. Từ đây f̂ thoả mãn điều kiện Lipschitz đối với u. Bây giờ ta đặt G(t, u) := −A−11 G(t, u+ v). Chú ý rằng v(t, u) = −QA−11 B(t)u−QA−11 f(t) là liên tục với t và thoả mãn điều kiện Lipschitz đối với u, với hàm hằng Lv :=‖ Qcan ‖∞. Suy ra G(t, x) thoả mãn điều kiện Lipschitz đối với x, với hằng số Lipschitz LG ta có Ĝ(t, u)− Ĝ(t, u¯)| = |A−11 (t)Ĝ(t, u+ v(t, u))− A−11 (t)Ĝ(t, u¯+ v(t, u¯))| ≤ |A−11 (t)|LG|(u+ v(t, u))− (u¯+ v(t, u¯))| ≤ ‖A−11 ‖∞LG|(u− u¯) + (v(t, u)− v(t, u¯))| ≤ ‖A−11 ‖∞LG{|u− u¯|+ Lv|u− u¯|} = ‖A−11 ‖∞LG(1 + Lv)|u− u¯|. Từ đây Ĝ(t, u) thoả mãn điều kiện Lipschitz với u. (ii) Hạn chế sự tăng trưởng: Ta cần chú ý, đối với hàm liên tục g(t, x), điều kiện Lipschitz đối với biến x kéo theo điều kiện hạn chế sự tăng trưởng. Thật vậy, với mọi (t, x) ∈ J × Rn ta có | g(t, x) | ≤ (| g(t, x)− g(t, 0) | + | g(t, 0) |) ≤ max(‖ g(·, 0) ‖∞, Lg)(1+ | x |), trong đó Lg là hằng số Lipschitz của g đối với biến x. 21 (iii) Điều kiện ban đầu: Ta có P (0)x(0) = A−11 A(0)x 0. Vì vậy u(0) := P (0)x0 là F0 - đo được và độc lập với quá trình Wiener Wt. Ta áp dụng định lí 1 đối với phương trình vi phân (3.17) thì (3.17) có nghiệm liên tục duy nhất u(t) với điều kiện ban đầu u(0) = P (0)x0. Do đó, x = (I −QA−11 B)U(t)−QA−11 f(t) = Pcan(t)u(t)−QA−11 f(t) là nghiệm của (3.1). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh nó là nghiệm duy nhất của (3.1). Thậy vậy, giả sử rằng x˜ = Pcanu˜(t)− Q˜A−11 f(t) là nghiệm của (3.1), trong đó u˜ là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân ngẫu nhiên chính quy đối với P˜ của phương trình đại số (3.1) với điều kiện u˜(0) = P˜ (0)x0. Dễ dàng kiểm tra z(t) = P˜ u(t) là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.17) đối với P˜ của phương trình vi phân đại số (3.1) thoả mãn điều kiện ban đầu z(0) = P˜ (0)u(0) = P˜ (0)P (0)x0 = P˜ (0)x0. Từ tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân chính quy SDE đối với P˜ của phương trình vi phân đại số (3.1), kéo theo z(t) ≡ u˜(t), từ đó P˜ u(t) ≡ u˜(t). Do đó Pcanu(t) ≡ Pcanu˜(t). Chú ý QA−11 f không phụ thuộc vào việc lựa chọn phép chiếu Q lên kerA. Suy ra x(t) = Pcanu(t)−QA−11 f = Pcanu˜(t)− Q˜A−11 f = x˜(t). Tính duy nhất nghiệm của phương trình (3.1) được chứng minh. Bây giờ, nếu E | A(0)x0 |2<∞ thì E(| u(t) |2) ≤ D(1 + E | u(0) |2)eCt, E | u(t)− u(0) |2≤ D(1 + E | u(0) |2)teCt. 22 trong đó t ∈ J , C và D không thay đổi chỉ phụ thuộc vào K,T . Từ đây x(t) = u(t) + v(t, u), ta áp dụng bất đẳng thức (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ta được | x(t) |2≤ 2(‖ Pcan ‖2∞| u(t) |2 +QA−11 f(t)2). Vì vậy, E | x(t) |2 ≤ 2{‖ Pcan ‖2∞ E | u(t) |2 + | QA−11 f(t) |2} ≤ 2 ‖ Pcan ‖2∞ (1 + E | u(0) |2)eCt + 2 | QA−11 f(t) |2 = C0(t) + C1(1 + E | u(0) |2)eCt. trong đó, | x(t)− x(0) | =| (Pcan(t)u(t)−QA−11 f(t))− (Pcan(0)u(0)−QA−11 f(0)) | ≤| Pcan(t) || u(t)− u(0) | + | Pcan(t)− Pcan(0) || u(t) | + | QA−11 f(t)−QA−11 f(0) | . Ta áp dụng bất đẳng thức (a+ b+ c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2), ta có E | x(t)− x(0) |2 ≤ 3E{| Pcan(t) |2| u(t)− u(0) |2 + | Pcan(t)− Pcan(0) |2| u(0) |2 + | QA−11 f(t)−QA−11 f(0) |2} ≤ 3{‖ Pcan ‖2∞ E | u(t)− u(0) |2 + | Pcan(t)− Pcan(0) |2 E | u(0) |2 + | QA−11 f(t)−QA−11 f(0) |2}, ≤ 3{‖ Pcan ‖2∞ D(| 1 + Eu(0) |2)teCt + | Pcan(t)− Pcan(0) |2 E | u(0) |2 + | QA−11 f(t)−QA−11 f(0) |2}. = C2(1 + E | u(0) |2)teCt + C3(t). trong đó, C2 = 3D ‖ Pcan ‖2∞ 23 và C3(t) = 3{| Pcan(t)− Pcan(0) |2 E | u(0) |2 + | QA−11 f(t)−QA−11 f(0) |2} Rõ ràng C0(·) và C3(·) là liên tục, và C3(0) = 0. Định lí được chứng minh. 3.13 Nhận xét. (i) Nếu A(t) là khả nghịch ∀t ∈ J thì khi nhân với A−1 (3.1) trở thành dx+ A−1(B(t)x+ A−1f(t)dt+ A−1G(t, x)dWt = 0,∀t ∈ J. và ta được kết quả đã biết đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito. (ii) Nếu G(t, x) = 0 thì (3.1) trở thành xác định phương trình vi phân đại số DAE. Trong trường hợp này, ta được kết quả đã biết đối với phương trình vi phân đại số tất định. 24 KẾT LUẬN 1. Kết quả chính Khoá luận nghiên cứu về Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên.Khoá luận đã trình bày một số vấn đề cơ bản sau: +) Khái niệm, tính chất cơ bản của tích phân Ito, công thức Ito, khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên, định lí tồn tại và duy nhất nghiệm... +) Khái niệm về Phương trình vi phân đại số chỉ số 1. +) Định nghĩa phương trình vi phân ngẫu nhiên chỉ số 1, tính chất nghiệm, không gian nghiệm, cách giải, định lí tồn tại và duy nhất nghiệm, đánh giá momen nghiệm. 2. Hướng phát triển khoá luận Nghiên cứu phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên chỉ số bất kì và nghiên cứu các tính chất nghiệm định lí của nghiệm 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L. Arnold, Stochastic Differential Equations, Wiley, New York, 1974. [2] R. Ma¨rz, On linear differential algebraic equations and linearizations, Applied Numer. Math. 18 (1995), 267-292. [3] Trần Hùng Thao (2000),Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học và Kĩ thuật, Hà Nội. [4] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mô hình xác suất và ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [5] I. I. Gihman and A. V. Skorohod, Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag, Heidelberg New York, 1972. [6] E. Griepentrog, M. Hanke and R. Ma¨rz (eds), Berlin Seminar on Differential-Algebraic Equations. Seminarberichte [Seminar Re- ports], 92-1. Humboldt universita¨t, Fachbereich Mathematik, Berlin, 1992. [7] E. Griepentrog and R. Ma¨rz, Differential Algebraic equations and Their numerical treatment, Teubner-Tex Math. 88, Leipzig, 1986. [8] P. E. Kloeden and E. Platen, Numerical Solution of Stochastic Dif- ferential Equations, Springer, Berlin, New York, 1992. 26 [9] R. Winker, Stochastic differential algebraic equation of index 1 and applications in circuit simulatim Jounal of computation and applied mathematics 157(2003), 477-505. ._.