Phương trình sóng phi tuyến với một đầu biên chứa Memory

ang tính khoa học của Thầy hướng dẫn, TS. Nguyễn Thành Long, tơi đã dần khắc phục được các khĩ khăn trên để hồn thành đề tài này. Trước tiên, tơi xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long, người đã tận tình dìu dắt tơi vượt qua nhiều trở ngại trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Tơi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cơ trong và ngồi trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh, những người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cũng như tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu của mình cho tơi trong suốt thời gian tơi học tập và làm việc. Tơi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cơ trong Hội đồng đã dành thời gian để đọc và cho những nhận xét rất cĩ giá trị khoa học đối với luận văn của tơi. Cuối cùng, tơi xin gửi lịng biết ơn của mình đến gia đình và các bạn tơi, những người đã tạo điều kiện tốt nhất cho tơi hồn thành luận văn này và cho tơi những lời khuyên, lời động viên vơ cùng hữu ích. Hồng Quốc Cơng Chương 1 PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tơi xem xét phương trình sĩng phi tuyến với điều kiện biên và điều kiện đầu dưới đây    22 , , 0 1 , 0qptt xx t tu t u K u u u u f x t x t T          (1.1)           0 0, 0, , 1, 0 t xt u t k t s u s ds u t    (1.2)        0 1,0 , ,0tu x u x u x u x  (1.3) trong đĩ , 2, , 0p q K   là các hằng số cho trước và 0 1, , , ,f k u u là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Bài tốn (1.1) – (1.3) cĩ nhiều ý nghĩa trong Cơ học mà nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây [3] – [10]. Về mặt tốn học, ta cĩ thể nĩi rằng bài tốn (1.1) – (1.3) là sự kết hợp những đặc điểm quan trọng của hai bài báo đã được cơng bố trước đây [3] và [4]. Trong [3], Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, và Nguyễn Thị Thảo Trúc đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như tính chính quy, tính ổn định và khai triển tiệm cận nghiệm của bài tốn  ( ) , , 0 1, 0 ,tt xx tu t u Ku u f x t x t T         (1.4) 1 1 0 ( ) (1, ) ( ) (1, ) ( ) (1, ) ( ) ( ) (1, ) , (1, ) 0, t x tt u t K t u t t u t g t k t s u s ds u t          (1.5) 0 1( ,0) ( ) , ( ,0) ( ),tu x u x u x u x  (1.6) trong đĩ ,K  là các hằng số, và 1 1 0 1, , , , , , ,f K g k u u  là các hàm cho trước. Như vậy, số hạng 22 qp t tK u u u u   trong (1.1) là sự tổng quát hĩa từ số hạng tKu u trong (1.4). Các điều kiện biên (1.2) – (1.3) cũng chính là (1.5) – (1.6) sau khi đã hốn đổi 2 đầu biên 0x  và 1x  , đồng thời làm triệt tiêu các hàm K1, λ1 và g. Sự đặc biệt hĩa này tưởng chừng sẽ mang lại thuận lợi cho chúng ta khi nghiên cứu (1.1) – (1.3), nhưng thật ra nĩ lại khiến chúng ta gặp đơi chút khĩ khăn hơn trong các ước lượng khi mà điều kiện cực tiểu cho hàm λ1 lúc này khơng cịn là một giá trị dương nữa. Trong [5], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, và Trần Ngọc Diễm đã khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính chính quy, và khai triển tiệm cận của nghiệm của bài tốn sau đây  , , 0 1, 0 ,tt xx t tu u K u u u u f x t x t T         (1.7)    0, ,xu t P t (1.8)      1 11, 1, 1, 0,x tu t K u t u t   (1.9)        0 1,0 , ,0 ,tu x u x u x u x  (1.10) trong đĩ 1 1, , , , ,K K    là các hằng số cho trước; 0 1, ,f u u là các hàm cho trước; hàm  ,u x t cần tìm và giá trị biên chưa biết  P t thỏa mãn bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường dưới đây           2 0 1 0, , 0 0 , 0 ttP t P t hu t t T P P P P        (1.11) với 0 10, 0, ,h P P   là các hằng số cho trước. Từ (1.11), nếu ta giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng, ta sẽ cĩ           0 0, 0, t P t g t hu t k t s u s ds    trong đĩ                0 0 1 110 cos 0 sin , sin .g t P hu t P hu t k t h t        Ta nhận xét thấy phương trình (1.1) mà ta đặt ra là một trường hợp tổng quát hơn của phương trình (1.7) trong bài tốn (1.7) – (1.11), cĩ được bằng cách thêm hàm hệ số  t vào trước số hạng ttu . Hai điều kiện biên (1.3) và (1.10) là như nhau, trong khi điều kiện biên (1.2) lại là trường hợp đặc biệt của (1.8) – (1.9), (1.11). Nội dung chính của luận văn gồm các chương mục được trình bày theo thứ tự sau: Chương 1 là phần mở đầu tổng quan về bài tốn mà ta sẽ khảo sát trong luận văn, chỉ ra vài kết quả quan trọng đã cĩ trước đĩ, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 2 trình bày một số kết quả chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một số khơng gian Sobolev, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các khơng gian. Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài tốn (1.1) – (1.3). Chương 4 nghiên cứu tính trơn của nghiệm đối với dữ kiện ban đầu. Chương 5 nghiên cứu tính ổn định của nghiệm đối với dữ kiện ban đầu, tức là hàm    0 1 0 1, , , , , , , ,f k u u u f k u u  , nghiệm yếu của bài tốn (1.1) – (1.3), là liên tục theo nghĩa mà ta sẽ chỉ ra khi xem xét vấn đề này. Chương 6 nghiên cứu bài tốn nhiễu theo hai tham số bé  ,K  :                   22 , 0 0 1 ( ) ( , ), 0 1, 0 , ( ) 0, 0, , 1, 0, ,0 , ,0 , qp tt xx t t t K x t u t u K u u u u f x t x t T P t u t k t s u s ds u t u x u x u x u x                    trong đĩ các tham số 0 1, , , ,f k u u cho trước. Cụ thể như sau a/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu ,Ku u  của bài tốn  ,KP  khi 0K  và 0  . b/ Nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ,Ku u  của bài tốn  ,KP  theo hai tham số bé K, λ, cĩ nghĩa là cĩ thể xấp xỉ nghiệm ,Ku  bởi một đa thức theo hai biến K, λ:     , , , i jijK i j N u x t U x t K      theo nghĩa cần phải chỉ ra các hàm   ,ijU x t và thiết lập đánh giá      12 2, * , N i j ijK N i j N u U x t K C K         theo một chuẩn thích hợp *|| || , với các tham số dương K, λ đủ bé và hằng số NC độc lập đối với các tham số bé này. Chương 7 trình bày một bài tốn cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm tiệm cận của bài tốn nhiễu ở trên. Sau cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Ta đặt các kí hiệu:    0,1 , 0, , 0TQ T T     . Chúng ta bỏ qua các định nghĩa của các khơng gian hàm      ,, , m p m pC L W   . Ta cĩ thể xem trong [1]. Để tạo thuận lợi khi trình bày và làm cho luận văn gọn gàng, ta sẽ quy ước một vài kí hiệu vắn tắt như sau:        , , 0, ,2, , , 1 , 0,1,...m p m p p p p m mW W L L W H W p m            Chuẩn trong L2 kí hiệu là || || . Kí hiệu ,  chỉ tích vơ hướng trong L2 hay tích đối ngẫu của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của khơng gian hàm. Kí hiệu || ||X dùng để chỉ chuẩn trong một khơng gian Banach X, và X / là khơng gian đối ngẫu của X. Ta kí hiệu  0, ;pL T X là khơng gian Banach các hàm thực đo được  : 0,u T X sao cho     1 0, ; 0 p T pp L T X X u u t dt       với 1 p   và     0, ; 0 supL T X Xt Tu ess u t     khi p   Ta viết              , , , , t tt x xxu t u t u t u t u t u t u t   để chỉ  , ,u x t        2 22 2, , , , , , ,u u u ux t x t x t x tt t x x         , theo thứ tự đĩ. Ta lại đặt     1 0,1 : 1 0V v H v   và xét tích vơ hướng      1 0 , u va u v x x dx x x     Khi đĩ, V là một khơng gian con của H1, và trên V, chuẩn  , xVv a v v v  tương đương với chuẩn 1Hv cảm sinh trên V. Từ đây ta cĩ bổ đề sau Bổ đề 2.1. Phép nhúng V ↪  0C  là compact và   0 0,1 , C Vv v v V   Bổ đề 2.2. (Bổ đề Gronwall) Giả sử  và u là các hàm liên tục trên [ , ],a b trong đĩ  xác định khơng âm,  là một hằng số dương (khơng phụ thuộc t). Khi đĩ, nếu        , ,t a u t s u s ds t a b     thì      exp , ,t a u t s ds t a b       Bổ đề 2.3. [2] (Bổ đề về tính compact của Lions) Cho ba khơng gian 0 1, ,X X X thỏa 0 1,X X phản xạ, 0X ↪ X compact, X ↪ 1X liên tục Với 0 , 1 ,T p q      , ta đặt     0 10, ; : 0, ;p qW u L T X u L T X   và trang bị cho W một chuẩn    0 10, , 0, ,p qW L T X L T Xv v v  Khi đĩ, phép nhúng W ↪  0, ;pL T X là compact. Chương 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn (1.1) – (1.3) với những giả thiết về các dữ kiện đầu vào như sau: (GT1) , 0 ; , 2K p q   (GT2) 20 1, u H V u V   (GT3)  2,1 0,k W T (GT4)    2 0, ; 0oH T t     (GT5)  2, t Tf f L Q Định lý 3.1. Nếu các giả thiết (GT1) – (GT5) được thỏa thì bài tốn (1.1) – (1.3) cĩ duy nhất một nghiệm yếu u với các tính chất      2 1 20, ; ; 0, ; ; 0, ;t ttu L T V H u L T H u L T L      và    1,0, 0,u W T  Chứng minh. Gọi  jw là một cơ sở đếm được của khơng gian 2V H . Ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ theo phương pháp Galerkin của bài tốn (1.1) – (1.3) dưới dạng 1 ( ) ( ) , m m mj j j u t c t w    trong đĩ, các hàm hệ số  mjc t thỏa mãn hệ phương trình vi phân thường             0 , , 0 0, t m j mx jx j mu t w t u t w w k t s u s ds             2 2 , , ; 1p qm m m m j jK u t u t u t u t w f t w j m         0 0 1 ,0 m m m mj j j u u w u       mạnh trong 2H   1 1 1 ,0 m m m mj j j u u w u        mạnh trong 1H (3.1) Với các giả thiết (GT1) – (GT5) được thỏa, hệ phương trình vi phân (3.1) cĩ nghiệm um trên  0, mT tương ứng. Các ước lượng sau cho phép ta chọn mT T với mọi m. Ước lượng tiên nghiệm 1. Nhân lần lượt các phương trình thứ j của (3.1) 1 với  mjc t , sau đĩ cộng các vế tương ứng với nhau rồi lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta thu được đẳng thức sau              2 0 0 0 2 0, 0, 2 0 0, t t m m m m mS t S u t k t u d k u s ds                2 0 0 0 2 0, 0, t t s mx m ms u s ds u s k s u d ds             0 2 , t mf s u s ds  (3.2) trong đĩ            2 2 0 2 2p q t p q m m mx m mL L KS t u t t u t u t u s ds p        (3.3) Từ (3.3) và (GT4), ta thấy rằng      2 20m m mxS t u t u t  (3.4) Từ (3.4) và bổ đề 1, ta cĩ đánh giá          0 0 0,1 , mm m mxC S t u x t u t u t      (3.5) Dưới đây là các đánh giá vắn tắt cho từng số hạng trong vế phải của (3.2).             2 2 0 00 0 12 0, 0, 0, 0, t t m m m mu t k t u d u t k t u d                    22 0 0 0 1 t t m mS t k d S s ds      (3.6)        2 00 0 2 0 2 0 0, t t m m k k u s ds S s ds  (3.7)        2 00 0 t t mx m s s u s ds S s ds      (3.8)       0 0 2 0, 0, t s m mu s k s u d ds          22 00 0 0 0 1t t s s m mS s ds k d S d ds                   22 00 0 0 t t t m m tS s ds k d S d          (3.9)            2 0 0 0 0 2 , 2 t t t t m m mf s u s ds f s u s ds f s ds S s ds        (3.10) Từ (3.2) và (3.6)–(3.10), đồng thời chọn tham số 12  ta cĩ đánh giá          2 00 0 2 0 2 2 t t m m m s S t S f s ds S s ds               2 22 0 00 0 4 04 3 t t m k k t k d S s ds              (3.11) Do H1 ↪  0C  , nên từ (3.1)2,3 và (3.3) ta nhận được   12 0mS M với mọi m (3.12) trong đĩ hằng số M1 chỉ phụ thuộc vào μ, K, u0 và u1. Theo (3.12) và (GT5) ta cĩ   21 0 2 t TM f s ds A  với mọi  0,t T (3.13) Mặt khác, theo (GT3) ta lại cĩ       2 22 0 00 4 04 3 t T k k t k d B       với mọi  0,t T (3.14) Với các đánh giá (3.11), (3.13) và (3.14) vừa thu được, ta suy ra rằng       00 2t m mT T s S t A B S s ds          với mọi  0,t T (3.15) Áp dụng bổ đề Gronwall cho (3.15), rồi dựa vào (GT4) ta cĩ kết quả quan trọng sau     00 2 exp t m TT T s S t A B ds C               với mọi  0,t T (3.16) Ước lượng tiên nghiệm 2. Đạo hàm 2 vế của (3.1)1 theo biến thời gian, ta cĩ          , , ,m j mx jx mx jxu t w t u t w t u t w                 0 0 0, 0 0 0, t j m j mw k t s u s ds w k u t   (3.17)              2 21 1 , , ; 1p qm m m m j jK p u t u t q u t u t w f t w j m           Nhân lần lượt các phương trình thứ j với  mjc t , sau đĩ cộng lại rồi lấy tích phân 2 vế theo biến thời gian từ 0 đến t, ta cĩ             0 10 2 , 2 0 ,m m mx mx mx mxX t X t u t u t u u                2 0 0 2 , 3 t t mx mx mxs u s u s ds s u s ds                   0 0 0 2 0, 0, 2 0 0, 0, t s t m m m mu s k s u d ds k u s u s ds                 1 2 0 0 2 1 , , , t p m m mK p u x s u x s u x s dxds           0 2 , t mf s u s ds   (3.18) với               12 2 2 2 0 0 2 1 , , t q m m mx m mX t u t t u t q u x s u x s dxds           Từ đây và bổ đề 1, ta cĩ các đánh giá      2 20m m mxX t u t u t   (3.19)            0 0 0,1 , mm m mx mC V X t u x t u t u t u t          (3.20) Lấy tích phân từng phần cho 2 số hạng thứ 6 và thứ 7 trong vế phải của (3.18), ta cĩ                    20 10 2 0 0 0 0 0, 2 0 0, 0,m m m m m m mX t X k u u k u t k u t u t            0 12 0 , 2 ,mx mx mx mxu u t u t u t            2 2 0 0 2 0 0, 3 t t m mxk u s ds s u s ds                 0 0 2 , 2 0, 0, t t mx mx m ms u s u s ds u t k t s u s ds                 2 0 0 0 0, 2 0, 0, t s m m mk u t u s k s u d ds                1 2 0 0 2 1 , , , t p m m mK p u x s u x s u x s dxds           0 2 , t mf s u s ds   (3.21) Dựa vào (3.4), (3.5), (3.16), (3.19), (3.20) và bổ đề 2.1, ta cĩ những ước lượng về các số hạng trong vế phải của (3.21) như sau          22 0 2 0 0, 0, 0m m mT Ck u t u t k X t   (3.22)    0 1 0 12 0 , 2 0 . .mx mx m mV Vu u u u   (3.23)           22 0 2 , Tmx mx m Ct u t u t X t t      (3.24)        2 00 0 2 0 2 0 0, t t m m k k u s ds X s ds   (3.25)        2 00 0 33 t t mx ms u s ds s X s ds     (3.26)          22 00 0 0 2 , t t t mx mx m TCs u s u s ds s ds X s ds       (3.27)           2 2 00 0 2 0, 0, t t m m m TCu t k t s u s ds X t k d             (3.28)      2 2 0 0 0 0,m Tk Ck u t    (3.29)           2 2 00 0 0 0 2 0, 0, t s t t m m m TtCu s k s u d ds k d X s ds                (3.30)         1 2 0 0 2 1 , , , t p m m mK p u x s u x s u x s dxds               1 12 2 0 0 0 2 1 , , , p t p m m m TCK p u x s u x s u x s dxds                     2 1 1 0 00 2 1 , p t m mp TC K p X s u x s dxds                 2 1 00 2 1 p t m mp TC K p X s u s ds              2 1 00 2 1 p t mp TC K p X s ds      (3.31)        2 0 0 0 2 , t t t m mf s u s ds f s ds X s ds      (3.32) Từ (3.21) – (3.32), đồng thời chọn tham số 14  , ta cĩ                20 1 0 14 0 2 0 0 0 0 0, 8 0 . .m m m m m m mV VX t X k u u k u t u u             2 22 02 0 0 4+ 4 0 0 4 4 t TC k k t k d                 22 2 20 0 0 0 t t t T s ds f s ds t k d C                       2 1 0 00 0 8 0 12 8 1 12 p t mp TCk s K p X s ds                  (3.33) Từ (GT2) – (GT4) và (3.19), ta cĩ kết quả                   2 0 1 0 1 2 4 0 2 0 0 0 0 0, 8 0 . . 4 0 (3.34) m m m m m m m m V VX t X k u u k u t u u u M        trong đĩ hằng số M2 chỉ phụ thuộc vào μ, k, K, u0 và u1. Hơn nữa, từ (3.1) và (1.2), bằng phương pháp tích phân từng phần cho số hạng chưa μ của vế trái, ta cĩ            2 2 20 0 0 1 10 0 , 0 , 0 0 , 0p qm mxx m m m m m m mu u u K u u u u u f u         Do đĩ      2 20 0 0 1 10 0 0p qm mxx m m m mu u K u u u u f       Kết quả này cùng với (GT5) và (3.1)2,3 cho ta   30mu M  (3.35) trong đĩ hằng số M3 chỉ phụ thuộc vào μ, f, K, λ, u0 và u1. Mặt khác, do H1 ↪  0C  , nên ta cĩ   24 Tt D  a.e., trên  0,T (3.36) Tổng hợp các kết quả (3.33) – (3.36), ta cĩ đánh giá     0 ( ) , t m T mX t E q s X s ds   (3.37) trong đĩ          2 1 0 0 0 8 0 12 ( ) 8 1 12 p p TCk s q s K p            và ET là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Từ (GT3), (GT4), (3.37), theo bổ đề Gronwall, ta thu được kết quả sau 0 ( ) exp ( ) , t m T TX t E q s ds F  với mọi  0,t T (3.38) Qua giới hạn. Từ (3.4), (3.5), (3.16), (3.19), (3.20) và (3.38) ta suy ra các dãy hàm dưới đây bị chặn trên các khơng gian hàm L tương ứng. Từ đĩ, ta cĩ thể trích ra một dãy con của dãy  mu vẫn kí hiệu là  mu sao cho   trong 0, ;mu u L T V yếu *  1 trong 0, ;mu u L T H  yếu *  2 trong 0, ;mu u L T L  yếu *      1,0, 0, trong 0,mu u W T   yếu * (3.39) Nhờ bổ đề về tính compact của Lions [2], từ (3.38), ta lại rút ra được một dãy con của dãy  mu vẫn kí hiệu là  mu sao cho mu u mạnh  2trong TL Q mu u  mạnh  2trong TL Q    0, 0,mu u   mạnh   0trong 0,C T (3.40) Mặt khác, nhờ vào bất đẳng thức    1 , , , 0, 0x x y y R x y x y R R R            (3.41) nên từ (3.5), (3.16), (3.20), (3.38) và (3.40)1–2, ta suy ra rằng m mu u u u   mạnh  2trong TL Q m mu u u u      mạnh  2trong TL Q (3.42) Trong (3.1), ta cho m  . Khi đĩ, dựa vào các kết quả (3.39), (3.40) và (3.42) ta chỉ ra rằng cĩ hàm u thỏa mãn bài tốn                       0 2 2 1 , , 0 0, , , , t x x p q u t v t u t v v k t s u s ds K u t u t u t u t v f t v v H               (3.43)   00u u và   10u u  (3.44) Từ (3.43) và các giả thiết (GT4) – (GT5) ta cĩ kết quả  2 2 21 0, ;p qxxu u K u u u u f L T L            (3.45) Do đĩ  20, ;u L T V H  . Việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu hồn tất. Tính duy nhất của nghiệm. Giả sử u1, u2 là hai nghiệm yếu của bài tốn (1.1) – (1.3). Khi đĩ, ta cĩ           2 1 2 1, 0, ; ; 0, ; ; 0, ; 0, 0, 1;2 i i i i u L T V H u L T H u L T L u W T i              Ta đặt 1 2u u u  . Khi đĩ, u thỏa mãn bài tốn sau                             0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 , , 0 0, , , 0, t x x p p q q u t v t u t v v k t s u s ds K u t u t u t u t v u t u t u t u t v v H                      (3.46) (0) (0) 0.u u  (3.47) Ta cho v u , sau đĩ lấy tích phân 2 vế theo biến thời gian từ 0 đến t và áp dụng cơng thức tích phân từng phần cho số hạng chứa k, ta cĩ                                           2 0 0 0 2 0 0 2 2 1 1 2 2 0 2 2 1 1 2 2 0 2 0, 0, 2 0 0, 2 0, 0, 2 , 2 , t t s x t t t p p t q q Z t s u s ds u s k s u d ds k u s ds u t k t s u s ds K u s u s u s u s u s ds u s u s u s u s u s ds                                (3.48) trong đĩ        2 2xZ t u t t u t  (3.49) Từ (3.49) cùng với (GT4) và bổ đề 1, ta cĩ      2 20 xZ t u t u t  (3.50)          0 0 0,1 , xC Z t u x t u t u t      (3.51) Mặt khác, ta lại cĩ       21 1 2 2 0 0 0 , , t u t u x t dx u x s ds dx            1 2 2 0 0 0 , t t t u x s ds dx t u s ds     (3.52) Dựa vào (3.41), (3.50) – (3.52), ta đánh giá từng số hạng ở vế phải của (3.48) như sau        2 00 0 1t t xs u s ds s Z s ds    (3.53)          22 00 0 0 0 2 0, 0, 1 t s t ttu s k s u d ds k d Z s ds                (3.54)        2 00 0 2 0 2 0 0, t tk k u s ds Z s ds  (3.55)            22 00 0 0 1 22 0, 0, 2 t t t u t k t s u s ds Z t k d Z s ds       (3.56)          2 21 1 2 2 0 2 , t p p K u s u s u s u s u s ds         2 0 2 1 t pK p R u s u s ds          2 22 0 1 t pK p R u s u s ds         2 22 0 0 1 t s pK p R s u d u s ds                     22 2 2 2 0 0 1 1 1 1 t t p pK p R t u s ds K p R t Z s ds        (3.57)              2 2 21 1 2 2 0 0 2 , 2 1 t t q q qu s u s u s u s u s ds q R Z s ds           (3.58) trong đĩ,   1, 11,2 0, ;max ii W T HR u  . Từ (3.48), (3.53) – (3.58), ta suy ra 0 ( ) ( ) ( ) t Z t F s Z s ds  (3.59) trong đĩ          2 22 2 0 0 0 00 0 2 4 02 42 T Ts kTF s k d k d                       2 2 2 12 1 1 4 1 0,p qK p R T q R L T       Theo bổ đề của Gronwall, ta suy ra từ (3.59) rằng 0Z  , nghĩa là 1 2u u . Định lý 3.1 đã được chứng minh xong. Nhận xét 3.1. Từ định lý 3.1, ta nhận thấy nghiệm yếu của bài tốn (1.1) – (1.3) thỏa               0 1 2 2 1 2 1, 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; , 0, ; 0, 0, t tt u C T V C T L L T V H u L T H u L T L u W T              Nhận xét 3.2. Trong trường hợp 2p q  và       , , ,K K t t k k t s    , chúng ta xét bài tốn        , , 0 1, 0tt xx tu t u K t u t u f x t x t T         (1.1/)             0 0, , 0, , 1, 0 t xt u t g t k t s u s ds u t    (1.2/)        0 1,0 , ,0tu x u x u x u x  (1.3) Bây giờ ta đưa ra những giả thiết cho các hàm K, λ và k như sau (GT1/)    1 20, , 0,K H T H T  (GT3/)    2 2 *1 1 1 2, , Tk kk D k D D k L Qt t     ,   1 0,k H T và   21 0,D k L T với     ,k t k t t ,     1 1 ,D k t D k t t và   * , : 0TQ t s s t T    . (GT6/)  2 0,g H T Bằng những đánh giá và lý luận tương tự với những gì mà ta đã thực hiện trong quá trình chứng minh định lý 3.1, ta cĩ định lý 3.2 dưới đây Định lý 3.2. Giả sử (GT1/), (GT2), (GT3/), (GT4), (GT5) và (GT6/) được thỏa. Khi đĩ, bài tốn (1.1/) – (1.2/) – (1.3) cĩ duy nhất một nghiệm yếu u, và               0 1 2 2 1 2 1, 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; , 0, ; 0, 0, t tt u C T V C T L L T V H u L T H u L T L u W T              (3.60) Chứng minh. Gọi  jw là một cơ sở đếm được của khơng gian 2V H . Ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ theo phương pháp Galerkin của bài tốn (1.1) – (1.3) dưới dạng     1 m m mj j j u t c t w    trong đĩ, các hàm hệ số  mjc t thỏa mãn hệ phương trình vi phân thường               0 , , 0 , 0, t m j mx jx j mu t w t u t w w g t k t s u s ds                  , , ; 1m m j jK t u t t u t w f t w j m        0 0 1 ,0 m m m mj j j u u w u       mạnh trong 2H   1 1 1 ,0 m m m mj j j u u w u        mạnh trong 1H (3.61) Với các giả thiết (GT1/) – (GT2) – (GT3/) – (GT4) – (GT5) – (GT6/) được thỏa, hệ phương trình vi phân (3.1) cĩ nghiệm um trên  0, mT tương ứng. Các ước lượng sau cho phép ta chọn mT T với mọi m. Ước lượng tiên nghiệm 1. Nhân lần lượt các phương trình thứ j của (3.61)1 với  mjc t , sau đĩ cộng các vế tương ứng với nhau rồi lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta thu được đẳng thức sau                  20 0 0 0 2 0 0 0 2 0, , 0, t m m m m m mS t S u g K u u t g t k t u d                     2 1 0 0 0 2 0, , 0, t t s mx m ms u s ds u s g s D k s u d ds                        2 22 0 0 2 0, t t m m mk s u s ds K s u s ds K t u t           2 0 0 2 2 , t t m ms u s ds f s u s ds     (3.62) trong đĩ        2 2m m mxS t u t t u t  (3.63) Từ (3.63) và (GT4), ta thấy rằng      2 20m m mxS t u t u t  (3.64) Từ (3.64) và bổ đề 1, ta cĩ đánh giá          0 0 0,1 , mm m mxC S t u x t u t u t      (3.65) Dưới đây là các đánh giá vắn tắt cho từng số hạng trong vế phải của (3.62).         2 0 12 0,m mu t g t S t g t   (3.66)             2 2 0 00 0 12 0, , 0, 0, , 0, t t m m m mu t k t u d u t k t u d                   22 0 0 0 1 , t t m mS t k t d S s ds      (3.67)        2 00 0 t t mx m s s u s ds S s ds      (3.68)         2 0 0 0 2 0, t t t m mu s g s ds S s ds g s ds     (3.69)      1 0 0 2 0, , 0, t s m mu s D k s u d ds         212 00 0 0 0 1 , t t s s m mS s ds D k s d S d ds                  2 *12 00 0 1 T t t m mL Q S s ds D k S d     (3.70)          2 00 0 22 0, t t m mk s u s ds k s S s ds  (3.71)        2 20 0 2 t m m mK t u t K t u t S s ds      (3.72)        2 20 0 0 0 2 t t s m m mK s u s ds K s u s S d ds              20 0 0 0 2 t t t m mu K s ds s K s ds S s ds      (3.73)        2 0 0 2 2 t t m ms u s ds s S s ds    (3.74)            2 0 0 0 0 2 , 2 t t t t m m mf s u s ds f s u s ds f s ds S s ds        (3.75) Từ (3.62) và (3.66) – (3.75), đồng thời chọn tham số 13  ta cĩ đánh giá                220 0 0 93 0 6 0 0 3 0 6m m m mS t S u g K K t u g t          2 220 0 0 0 3 6 3 t t t mg s ds u K s ds f s ds           2 *2 12 2 0 0 00 0 39 39 , T t t L Q s k t d D k                      0 0 6 6 3 6 t mk s t K t s K s ds s S s ds      (3.76) Từ (GT1/), (GT2), (GT4), (GT5), (GT6/) và (3.61) – (3.63) ta nhận được kết quả               2 220 0 0 0 93 0 6 0 0 3 0 6 3 t m m mS u g K K t u g t g s ds           220 0 0 6 3 t t m Tu K s ds f s ds A    với mọi  0,t T (3.77) Ta đặt           2 *2 12 2 0 0 0 00 39 3 69 , T t L Q s s k t d D k k s                  0 6 3 6 t t K t s K s ds s   Như vậy ta cĩ       0 t m T mS t A s S s ds   (3.78) Mặt khác, từ giả thiết (GT3/) ta lại cĩ      2 1,1 0 , 0, 0, t k t d W T L T    Do đĩ, kết hợp với giả thiết (GT1/), ta suy ra      22 0 0 0 3 , 2 t t Tk t d t K t s K s ds B      (3.79) Từ (3.79), (GT1/), (GT3/), (GT4), ta cĩ  1 0,L T  (3.80) Từ (3.80), lại áp dụng bổ đề Gronwall, ta cĩ     0 exp t m T TS t A s ds M     với mọi  0,t T (3.81) Ước lượng tiên nghiệm 2. Đạo hàm 2 vế của (3.61)1 theo biến thời gian, ta cĩ          , , ,m j mx jx mx jxu t w t u t w t u t w                 0 0 , 0, , 0, t j t m mw g t k t s u s ds k t t u t       (3.82)                  , , ; 1m m m m j jK t u t K t u t t u t t u t w f t w j m             Nhân lần lượt các phương trình thứ j với  mjc t , sau đĩ cộng lại rồi lấy tích phân 2 vế theo biến thời gian từ 0 đến t, ta cĩ             0 10 2 , 2 0 ,m m mx mx mx mxX t X t u t u t u u                2 0 0 2 , 3 t t mx mx mxs u s u s ds s u s ds                   0 0 2 0, , 0, , 0, t s m s m mu s g s k s u d k s s u s ds                        0 0 2 , 2 , t t m m m mK s u s u s ds K s s u s u s ds                  2 0 0 2 2 , t t m ms u s ds f s u s ds      (3.83) với        2 2m m mxX t u t t u t   Từ đây và bổ đề 1, ta cĩ các đánh giá      2 20m m mxX t u t u t   (3.84)            0 0 0,1 , mm m mx mC V X t u x t u t u t u t          (3.85) Lấy tích phân từng phần cho 2 số hạng thứ 6 trong vế phải của (3.83), ta cĩ               1 0 0 10 2 0 . 0 0 0 2 0 ,m m m m mx mxX t X u g k u u u                   0 2 , 2 , t mx mx mx mxt u t u t s u s u s ds                   2 2 0 0 0 3 2 0, 2 0, t t t mx m ms u s ds g s u s ds k s u s ds                      1 0 2 0, 0, , 0, t m m mu t g t k t u t D k t u d                 1 0 2 , 0, 0, t m mD k s s k s u s u s ds              1 1 0 0 2 0, , 0, t s m mu s D D k s u d ds                    0 0 2 , 2 , t t m m m mK s u s u s ds K s s u s u s ds               2 0 0 2 2 , t t m ms u s ds f s u s ds      (3.86) Dưới đây là các đánh giá vắn tắt cho các số hạng trong vế phải của (3.86).           22 0 2 , Tmx mx m Mt u t u t X t ._.