Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp: thuật giải, lặp đơn, lặp cấp hai, sự tồn tại, duy nhất và khai triển tiệm cận của nghiệm

N TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Thành Long. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Giải Tích, khoa Tốn – Tin trường ðại học Sư Phạm và ðại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên mơn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cám ơn quý thầy cơ phịng Khoa học Cơng nghệ và Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này. Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học. Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi gĩp ý và động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP. HCM tháng 8 năm 2008 Tác giả Bùi Cơng Sơn 2 MỤC LỤC Trang Lời cám ơn ........................................................................................... 1 Mục lục ................................................................................................ 2 MỞ ðẦU ............................................................................................. 3 Chương 1 : CÁC CƠNG CỤ CHUẨN BỊ ......................................... 7 1.1. Các kí hiệu về khơng gian hàm ......................................... 7 1.2. Các cơng cụ thường sử dụng ............................................. 7 Chương 2 : THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT...................................... 10 2.1. Giới thiệu.......................................................................... 10 2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính............................................... 10 2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm........................................... 25 Chương 3 : THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI........................................ 32 Chương 4 : KHAI TRIỂN TIỆM CẬN ............................................. 48 Chương 5 : KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ ............... 64 KẾT LUẬN ......................................................................................... 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 68 3 MỞ ðẦU Các bài tốn phi tuyến xuất hiện trong khoa học rất đa dạng, là nguồn đề tài mà nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu. Trong luận văn này chúng tơi muốn sử dụng các cơng cụ của giải tích phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận…nhằm khảo sát phương trình sĩng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất. Trong luận văn này, chúng tơi xét bài tốn giá trị biên và ban đầu sau tt xx tu µ(t)u λu f (x, t,u), x Ω, 0 t T,− + = ∈ < < (0.1) x 0 x 1u (0, t) h u(0, t) u (1, t) h u(1, t) 0,− = + = (0.2) 0 t 1u(x,0) u (x), u (x,0) u (x),= = (0.3) trong đĩ 0 1λ, h , h là các hằng số khơng âm cho trước; 0 1u , u , µ và số hạng phi tuyến f cũng là hàm cho trước thỏa mãn một số điều kiện mà ta chỉ ra sau. Trong [5], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của phương trình 3 xx tt 1 t 2u u 2α u α u εu b− − − = + , với ε 0> bé. (0.4) Rabinowitz [14] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hồn của phương trình xx tt 1 t x tu u 2α u f (x, t,u ,u ),− + = (0.5) trong đĩ ε là một tham số bé và f là một hàm tuần hồn theo thời gian. Trong [2], Caughey và Ellison đã hợp nhất các xấp xỉ trong các trường hợp trước đây để bàn sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm cận của nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ động lực phi tuyến liên tục. 4 Trong [3], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận khi ε 0→ của nghiệm yếu của bài tốn (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất u(0,t) = u(1,t) = 0, (0.6) trong đĩ các số hạng phương trình (0.1) cho bởi ( )11 1µ(t) 1, λ 0, f εf (t,u), f C [0, ) .≡ = = ∈ ∞ ×ℝ (0.7) Bằng sự tổng quát hĩa của [3], Alain Phạm và Long [4] đã xét bài tốn (0.1), (0.3), (0.6) với µ(t) 1≡ và số hạng phi tuyến cĩ dạng 1 tf εf (t,u,u ).= (0.8) Trong [7,8], Long và Alain Phạm đã nghiên cứu bài tốn (0.1), (0.3) với µ(t) 1≡ , và số hạng phi tuyến cĩ dạng 1 tf f (u,u ).= (0.9) Trong [7], các tác giả xét nĩ với điều kiện biên hỗn hợp khơng thuần nhất xu (0, t) hu(0, t) g(t), u(1, t) 0,= + = (0.10) trong đĩ h > 0 là hằng số dương cho trước và trong [8] với điều kiện biên tổng quát hơn t x 0 u (0, t) hu(0, t) g(t) k(t s)u(0,s)ds, u(1, t) 0.= + − − =∫ (0.11) Trong [9], Long và Diễm đã nghiên cứu bài tốn (0.1), (0.3) với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất x 0 x 1u (0, t) h u(0, t) u (1, t) h u(1, t) 0,− = + = (0.12) trong đĩ h0, h1 là các hằng số khơng âm cho trước với h0 + h1 > 0 và các số hạng phi tuyến vế phải cĩ dạng x t 1 x tf f (x, t,u,u ,u ) εf (x, t,u,u ,u ).= + (0.13) 5 Trong trường hợp ( ) ( )2 3 1 31f C [0,1] [0, ) ,f C [0,1] [0, )∈ × ∞ × ∈ × ∞ ×ℝ ℝ các tác giả đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu εu đến cấp hai theo ε, với ε đủ nhỏ. Trong [12], Nguyễn Thành Long và Lê Thị Phương Ngọc cũng đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai, khai triển tiệm cận của bài tốn: ( ){ 2tt r rr r0 r r 0 1 2 2 0 t 1 r r0 0 1 u B u u u f (u, r), 0 r 1, 0 t T, r lim ru(r, t) ,u (1, t) hu(1, t) 0, u(r,0) u (r), u (r,0) u (r), u r u (r, t) dr, +→     − + = < < < <   <∞ + = = = = ∫ trong đĩ B, f, u0, u1 là các hàm cho trước, h > 0 là hằng số. Trong luận văn này chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài tốn (0.1) – (0.3). Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và tính compact. Chúng tơi cũng nghiên cứu sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai m{u } về nghiệm yếu u của bài tốn (0.1) – (0.3) thỏa một đánh giá sai số m2 mu u Cρ ,− ≤ (0.14) trong đĩ C, ρ là các hằng số dương và 0 < ρ < 1. Tiếp theo, chúng tơi khảo sát bài tốn nhiễu sau đây theo tham số bé ε : tt ε xx t ε x 0 x 1 ε 0 1 ε 1 ε 1 u µ (t)u λu F (x, t,u), 0 x 1, 0 t T, u (0, t) h u(0, t) u (1, t) h u(1, t) 0,(P ) u(x,0) u (x), u(x,0) u (x), F (x, t,u) f (x, t,u) εf (x, t,u), µ (t) µ(t) εµ (t),  − + = < < < < − = + =  = = = + = + ɺ ɺ 6 trong đĩ các hằng số h0, h1, λ là cố định và các hàm số u0, u1, 1 1µ, µ , f , f là cố định thỏa các giả thiết thích hợp. Luận văn sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài tốn nhiễu ε(P ) theo tham số bé ε, tức là ta cĩ thể xấp xỉ nghiệm u bởi một đa thức theo ε  N i i i 0 u(x, t) U (x, t)ε , = =∑ (0.15) theo nghĩa cần phải chỉ ra các hàm  iU (x, t), i 0,1,...,N= và thiết lập đánh giá:   12 N N N 1ii iε iε T i 0 i 0 L (0,T;H )L (0,T;L ) u U ε u ε U C ε , t t ∞∞ + = = ∂ ∂ − + − ≤ ∂ ∂∑ ∑ (0.16) với tham số ε đủ bé, hằng số CT độc lập với tham số ε. Luận văn được trình bày theo các chương sau đây: Phần mở đầu: tổng quan về bài tốn khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã cĩ trước đĩ, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1: nhằm giới thiệu một số kết quả chuẩn bị, các kí hiệu và các khơng gian hàm thơng dụng, một số kết quả về phép nhúng compact. Chương 2: chúng tơi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài tốn (0.1) – (0.3) Chương 3: chúng tơi nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai và sự hội tụ của nĩ. Chương 4: chúng tơi nghiên cứu sự khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài tốn nhiễu ε(P ) theo một tham số bé ε. Chương 5: chúng tơi xét một bài tốn cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm của bài tốn trên. Tiếp theo là phần kết luận của luận văn và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. 7 Chương 1: MỘT SỐ CƠNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1. Các kí hiệu về khơng gian hàm Chúng ta bỏ qua định nghĩa các khơng gian hàm thơng dụng và để cho tiện lợi, ta kí hiệu: T(0,1), Q (0,T), T 0,Ω= =Ω× > p p m m m,2 m,p m,pL ( ) L , H ( ) H W , W ( ) W .Ω = Ω = = Ω = . , .,. lần lượt là chuẩn và tích vơ hướng trong L2. Ta kí hiệu X . là chuẩn trên khơng gian Banach X. Ta kí hiệu pL (0,T;X), 1 p≤ ≤∞ là khơng gian Banach các hàm u : (0,T) X→ đo được sao cho p 1 T p p L (0,T;X) X 0 u u(t) dt , (1 p ),   = <+∞ ≤ <∞   ∫ và L (0,T;X) X 0 t T u esssup u(t) , (p ).∞ < < = =∞ Ta viết t tt x xxu(t), u (t) u(t), u (t) u(t), u (t) u(t), u (t) u(t)= = =∇ =∆ɺ ɺɺ lần lượt thay cho 2 2 2 2 u u u u u(x, t), (x, t), (x, t), (x, t), (x, t), t t x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ theo thứ tự. 1.2. Một số cơng cụ thường sử dụng Cho ba khơng gian Banach X0, X, X1 với X0 ֓X ֓X1 với các phép nhúng liên tục sao cho X0, X1 phản xạ, (1.1) Phép nhúng X0 ֓ X là compact. (1.2) Với 0 < T < i, 1 p , i 0,1∞ ≤ ≤∞ = ta đặt { }0 1p P/0 1W(0,T) v L (0,T;X ) : v L (0,T;X ) .= ∈ ∈ 8 Ta trang bị cho W(0,T) chuẩn p0 p10 1 / W(0,T) L (0,T;X ) L (0,T;X ) v v v= + Khi đĩ W(0,T) là một khơng gian Banach. Hiển nhiên 0pW(0,T) L (0,T;X)⊂ Ta cũng cĩ kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact. Bổ đề 1.1 ( Bổ đề về tính compact của Lions). Với giả thiết (1.1), (1.2) và nếu i1 p , i 0,1< <∞ = thì phép nhúng W(0,T)֓ 0pL (0,T;X) là compact. Chứng minh bổ đề 1.1 cĩ thể tìm thấy trong [Lions[6], trang 57] Bổ đề 1.2 (Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong Lq(Q)). Cho Q là tập mở và bị chặn trong Nℝ và qmG ,G L (Q), 1 q∈ < <∞ sao cho qm L (Q)G C≤ , trong đĩ C là hằng số độc lập với m và →mG G a.e. trong Q. Khi đĩ . . ( )qmG G a e trong L Q→ yếu. Bổ đề 1.3 ( Bổ đề Gronwall). Cho 0 0f ,g :[t ,T ]→ ℝ là các hàm liên tục với g là hàm khơng giảm và cĩ c > 0 sao cho 0 t 0 0 t f (t) g(t) c f (s)ds, t [t ,T ],≤ + ∀ ∈∫ thì { }0 0 0f (t) g(t).exp c(t t ) , t [t ,T ].≤ − ∀ ∈ Tiếp theo chúng tơi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được áp dụng trong nhiều bài tốn biên. Trước hết ta thành lập các giả thiết sau: Cho V và H là hai khơng gian Hilbert thực thỏa các điều kiện i) Phép nhúng V ֓ H là compact, (1.3) ii) V trù mật trong H. (1.4) 9 Cho a : V V× →ℝ là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên V V× và cưỡng bức trên V. (1.5) Chính xác hơn, ta gọi a là: j) Dạng song tuyến tính nếu u a(u,v)֏ tuyến tính từ V vào ℝ với mọi v V∈ , và v a(u,v)֏ tuyến tính từ V vào ℝ với mọi u V∈ . jj) ðối xứng nếu a(u,v) a(v,u), u,v V,= ∀ ∈ jjj) Liên tục nếu V V M 0 : a(u,v) M u v , u,v V,∃ ≥ ≤ ∀ ∈ 4j) Cưỡng bức nếu 2 V α 0 : a(v,v) α v , v V.∃ > ≥ ∀ ∈ Khi đĩ ta cĩ kết quả sau: Bổ đề 1.4. Với giả thiết (1.3), (1.4), (1.5). Khi đĩ tồn tại một cơ sở trực chuẩnt j{w } của H gồm các hàm riêng wj tương ứng với giá trị riêng jλ sao cho 1 2 j jj 0 λ λ ... λ ..., limλ , →∞ < ≤ ≤ ≤ =+∞ ( )j j ja w ,v λ w ,v , v V, j 1,2...= ∀ ∈ ∀ =ɶ ɶ Hơn nữa, dãy { }j jw / λɶ cũng là một cơ sở trực chuẩn của V đối với tích vơ hướng a(.,.) Chứng minh bổ đề này cĩ thể tìm thấy trong [15: p.87, ðịnh lý 7.7].
Ta cũng dùng bổ đề đánh giá sau đây mà chứng minh khơng khĩ khăn. Bổ đề 1.5. Cho dãy { }mψ thỏa mãn m m 1ψ(0) 0, 0 ψ σψ δ, m 1,2,...−= ≤ ≤ + = trong đĩ 0 σ 1, δ 0≤ < ≥ là các hằng số cho trước. Khi đĩ m δ ψ , m 1. 1 σ ≤ ∀ ≥ − 10 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tơi xét bài tốn giá trị biên và giá trị đầu sau: tt xx tu µ(t)u λu f (x, t,u), x Ω, 0 t T,− + = ∈ < < (2.1) x 0 x 1u (0, t) h u(0, t) u (1, t) h u(1, t) 0,− = + = (2.2) 0 t 1u(x,0) u (x), u (x,0) u (x),= = (2.3) trong đĩ 0 1λ, h , h là các hằng số khơng âm cho trước; 0 1u , u , µ và số hạng phi tuyến f cũng là hàm cho trước thỏa mãn một số điều kiện mà ta chỉ ra sau. Trong chương này chúng tơi trình bày thuật giải lặp đơn: m m m m 1u µ(t)∆u λu f (x, t,u ), x Ω, 0 t T,−− + = ∈ < <ɺɺ ɺ (2.4) m 0 m m 1 mu (0, t) h u (0, t) u (1, t) h u (1, t) 0,∇ − =∇ + = (2.5) m 0 m 1u (x,0) u (x), u (x,0) u (x),= =ɺ (2.6) 0u là bước lặp ban đầu cho trước nằm trong một khơng gian hàm thích hợp. Trong phần một, chúng tơi thiết lập sự tồn tại của dãy lặp { }mu bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Phần hai đề cập đến sự hội tụ của dãy lặp { }mu về nghiệm yếu của bài tốn (2.1) - (2.3). 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Ta thành lập các giả thiết sau: (A1) 2 10 1u H (0,1), u H (0,1),∈ ∈ (A2) [ ] [ )( )1f C 0,1 0, ,∈ × ∞ ×ℝ (A3) 1 0µ C ( ), µ(t) µ 0,+∈ ≥ >ℝ (A4) 0 1 0 1λ, h , h 0, h h 0.≥ + > 11 Trên H1 ta sử dụng một chuẩn tương đương sau: 1 1 222 / 1 0 v v (0) v (x) dx .   = +    ∫ Trong chương này, ta sử dụng dạng song tuyến tính trên H1 như sau: 1 x x 0 0 a(u,v) u (x)v (x)dx h u(0)v(0)= +∫ 1 1h u(1)v(1), u,v H .+ ∀ ∈ (2.7) Ta cĩ các bổ đề sau: Bổ đề 2.1. Phép nhúng 1H ֓ 0C (Ω ) là compact và 0 1 (Ω) 12 , .Cv v v H≤ ∀ ∈ Bổ đề 2.2. Với giả thiết (A4), dạng song tuyến tính đối xứng xác định bởi (2.7) liên tục trên H1 1H× và cưỡng bức trên H1, tức là: i) 11 1 1a(u,v) C u v , u,v H ,≤ ∀ ∈ ii) 2 10 1a(v,v) C v , v H ,≥ ∀ ∈ trong đĩ 0 0 1 0 1C min(1,h ), C max(1, h , 2h ).= = Chứng minh i) 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 x 0 1 x 0 1 0 0 a(u,v) u dx h u (0) h u (1) v dx h v (0) h v (1)        ≤ + + + +         ∫ ∫ ≤ 1 1 1 12 2 2 2 2 2 x 0 1 x 0 11 1 0 0 u dx h u (0) 2h u v dx h v (0) 2h v        + + + +         ∫ ∫ ðặt C1 = max{1, h0, 2h1}, ta cĩ: 1 1 1 1 a(u,v) C u v , u,v H .≤ ∀ ∈ 12 ii) 1 2 2 2 x 0 1 0 a(u,u) u (x)dx h u (0) h u (1)= + +∫ 1 2 2 1 x 0 0 u (x)dx h u (0), u H .≥ + ∀ ∈∫ ðặt C0 = min{1, h0}, ta cĩ 2 10 1a(u,u) C u , u H .≥ ∀ ∈ Bổ đề 2.3. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn { }jw của L2 gồm các hàm riêng jw ứng với trị riêng jλ sao cho 1 2 j jj 0 λ λ ... λ ..., lim λ , →+∞ < ≤ ≤ ≤ ≤ =+∞ (2.8) ( , ) , , , , ,...1jj ja w v λ w v v H j 1 2= ∀ ∈ = (2.9) Hơn nữa dãy { }j jw / λ cũng là cơ sở trực chuẩn của H1 tương ứng với tích vơ hướng a(. , .). Mặt khác, chúng ta cũng cĩ hàm jw thỏa mãn bài tốn giá trị biên sau: −∆ =j jjw λ w trong Ω, (2.10) 0 1(0) (0) (1) (1) 0,jx j jx jw h w w h w− = + = (2.11) (Ω).jw C∞∈ (2.12) Bổ đề 2.3 được chứng minh bằng cách áp dụng bổ đề 1.4, chương 1, với V = H1, H = L2 và a (.,.) được cho bởi (2.7). Với M > 0, T > 0, ta đặt 0 0K K (M,T,f ) sup f (x, t,u) ,= = (2.13) ( )/ / /1 1 x t uK K (M,T,f ) sup f f f (x, t,u),= = + + (2.14) sup trong (2.13), (2.14) được lấy trên miền 0 x 1, 0 t T, u 2M.≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (2.15) 13 Với mỗi M > 0, T > 0, ta đặt: { }2 1 2 T 2 1 2 t tt T t ttL (0,T;H ) L (0,T;H ) L (Q ) W(M,T) v L (0,T;H ) : v L (0,T;H ),v L (Q ), v M, v M, v M ∞ ∞ ∞ ∞ = ∈ ∈ ∈ ≤ ≤ ≤ (2.16) { }21 ttW (M,T) v W(M,T) : v L (0,T;L ) .∞= ∈ ∈ (2.17) Trong phần này, với sự lựa chọn M, T thích hợp, ta xây dựng một dãy m{u } trong W1(M,T) bằng quy nạp và chứng minh nĩ hội tụ về nghiệm của bài tốn (2.1) - (2.3). Chọn số hạng ban đầu u0 1W (M,T)∈ . Giả sử rằng m 1 1u W (M,T).− ∈ (2.18) Ta liên kết bài tốn (2.1) – (2.3) với bài tốn biến phân tuyến tính sau: Tìm hàm um 1W (M,T)∈ thỏa bài tốn 1 m m m m u ,v µ(t)a(u ,v) λ u ,v F ,v , v H ,+ + = ∀ ∈ɺɺ ɺ (2.19) m 0 m 1u (0) u , u (0) u ,= =ɺ (2.20) trong đĩ m m 1F (x, t) f (x, t,u (x, t)).−= (2.21) Sự tồn tại của um cho bởi định lý sau đây: ðịnh lý 2.1. Giả sử (A1) – (A4) đúng. Khi đĩ tồn tại các hằng số M, T > 0 sao cho đối với mọi u0 1W (M,T)∈ cho trước, tồn tại dãy quy nạp tuyến tính m 1{u } W (M,T)⊂ xác định bởi (2.19) – (2.21). Chứng minh. Gồm các bước dưới đây: Bước 1: Xấp xỉ Galerkin. Gọi { }jw là cơ sở trực chuẩn của H1 như trong bổ đề (2.3) ( )jj jw w / λ .= Dùng phương pháp Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ (k)mu (t) của (2.19) – (2.20) theo dạng 14 k (k) (k) m mj j j 1 u (t) c (t)w , = =∑ (2.22) trong đĩ (k)mjc (t) thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: (k ) (k) (k) m j m j m j m j u (t),w µ(t)a(u (t),w ) λ u (t),w F (t),w , 1 j k, + + = ≤ ≤ ɺɺ ɺ (2.23) (k) (k) m 0k m 1ku (0) u , u (0) u ,= =ɺ (2.24) trong đĩ k (k) 0k mj j 0 j 1 u α w u = = →∑ mạnh trong H2, (2.25) k (k) 1k mj j 1 j 1 u β w u = = →∑ mạnh trong H1, (2.26) và Fm(t) = Fm(x,t) = f(x,t,um-1). Hệ (2.19) – (2.20) cĩ thể viết thành dạng khác như sau: (k) (k) (k) mj j mj mjc (t) µ(t)λ c (t) λc (t)+ +ɺɺ ɺ m j2 j 1 F (t),w ,1 j k, w = ≤ ≤ (2.27) (k) (k) (k) (k) mj mj mj mjc (0) α , c (0) β .= =ɺ (2.28) Từ (2.27) ta suy ra: ( ) t r (k) (k) (k) (k) mj mj mj mj m j2 0 0j t t r (k ) (k) mj j mj 0 0 0 1 c (t) α t β λα dr F (s),w ds w λ c (s)ds λ dr µ(s)c (s)ds, 1 j k. = + + + − − ≤ ≤ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.29) Bổ đề 2.4. Giả sử m 1u − thỏa (2.18). Khi đĩ hệ (2.26) – (2.27) cĩ duy nhất nghiệm (k)mu (t) trên một khoảng [ ](k)m0,T 0,T  ⊂   . 15 Chứng minh. Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết, ta viết j j jc (t), α , β lần lượt thay cho (k) (k ) (k)mj mj mjc (t), α , β . Ta viết lại (2.29) thành phương trình điểm bất động c(t) = H[c](t), (2.30) trong đĩ 1 kc (c ,...,c ),= ( )1 kH[c] H [c],...,H [c] ,= t t r j j j j j 0 0 0 H [c](t) γ (t) λ c (s)ds λ dr µ(s)c (s)ds,= − −∫ ∫ ∫ ( ) t r j j j j m j2 0 0j 1 γ (t) α t β λα dr F (s),w ds, 1 j k. w = + + + ≤ ≤∫ ∫ Với mỗi (k)mT (0,T]∈ và ρ 0> (sẽ chọn sau), ta đặt ( )0 (k) kmX C 0,T ; , =    ℝ { }XS c X : c ρ ,= ∈ ≤ ở đây ta dùng chuẩn trong X như sau: ( k ) m k jX 1 1 0 t T j 1 c sup c(t) , c(t) c (t) , c X. ≤ ≤ = = = ∈∑ Rõ ràng S là tập đĩng, khác rỗng và tốn tử H : X X.→ Ta chứng minh tồn tại ρ 0> và (k)mT 0> sao cho: i) H biến tập S thành chính nĩ. ii) Tồn tại n∈ℕ sao cho n n 1H H(H ) :S S−≡ → là ánh xạ co. Thật vậy: i) Với mọi 1 kc (c ,...,c ) S,= ∈ ta cĩ Xc ρ≤ và k j1 j 1 H[c](t) H [c](t) . = =∑ t t r j j j k j 0 0 0 H [c](t) γ (t) λ c (s) ds λ µ dr c (s)ds. ∞ ≤ + +∫ ∫ ∫i 16 Suy ra: t t r k1 1 1 1 0 0 0 H[c](t) γ(t) λ c(s) ds λ µ dr c(s) ds ∞ ≤ + +∫ ∫ ∫i 2 kT X 1 γ σ t t c , 2  ≤ + +    (2.31) trong đĩ T 1 0 t T 0 t T γ sup γ(t) , µ sup µ(t) , ∞ ≤ ≤ ≤ ≤ = = k kσ σ(k,T,λ,µ) λ λ µ .∞= = + Chọn T ρ 2 γ> và (k)mT (0,T]∈ sao cho (k)m k 10 T 1 1 . σ < ≤− + + Từ (2.31), ta suy ra: (k) (k ) 2 k m k mX ρ 1H[c] σ T σ (T ) ρ ρ, c S. 2 2  ≤ + + ≤ ∀ ∈   Vậy tốn tử H biến tập S thành chính nĩ. ii) Sau đây bằng quy nạp ta sẽ chứng minh rằng với mọi n ,∈ℕ với mọi c, d S∈ , với mọi (k)mt 0,T ∈    , ta cĩ n n 1 H [c](t) H [d](t)− ( ) 0 n 1 n 1 n 1 n n n n n n k X C t C t C t C σ t c d ...(2n)! (2n 1)! (n 1)! n! − −   ≤ − + + + + − +  (2.32) trong đĩ k k 0 t T σ λ λ µ , µ sup µ(t) . ∞ ∞ ≤ ≤ = + = Thật vậy: •Với n = 1, (k)mj 1,2,...,k, t 0,T ∀ = ∀ ∈    , ta cĩ 1 H[c](t) H[d](t)− 17 t t rk j j k j j j 1 0 0 0 λ c (s) d (s) ds λ µ dr c (s) d (s) ds ∞ =    ≤ − + −     ∑ ∫ ∫ ∫ ( ) t r k k j j j 10 0 σ dr c (s) d (s) ds = ≤ −∑∫ ∫ ( ) t k k j j j 10 σ c (s) d (s) ds = + −∑∫ ( ) t t k 1 0 0 σ dr c(s) d(s) ds≤ −∫ ∫ ( ) t k 1 0 σ c(s) d(s) ds+ −∫ 2 0 1 1 1 k kX X t C t C σ c d t (σ t) c d . 2 2! 1!      ≤ − + = + −         (2.33) Vậy (2.32) đúng với n = 1. • Giả sử (2.32) đúng với mọi n 1.≥ Ta chứng minh: (k)mc, d S, t [0,T ]∀ ∈ ∀ ∈ n 1 n 1 1 H [c](t) H [d](t)+ +− ( ) 0 n 1 1 n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 k X C t C t C t C σ t c d ... .(2n 2)! (2n 1)! (n 2)! (n 1)! + + + + + + +    ≤ − + + + + + + + +  (2.34) Thật vậy n 1 n 1 1 H [c](t) H [d](t)+ +− = ( ) ( )n n 1 H H [c] (t) H H [d] (t)− ( ) t r n n k 1 0 0 σ dr H [c](t) H [d](t) ds≤ −∫ ∫ ( ) t n n k 1 0 σ H [c](t) H [d](t) ds+ −∫ t r 0 2n 1 2n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n n n k X 0 0 C s C s C s C s σ c d dr ... ds(2n)! (2n 1)! (n 1)! n! − − + +    ≤ − + + + + − +  ∫ ∫ t 0 2n 1 2n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n n n k X 0 C s C s C s C s σ c d ... ds(2n)! (2n 1)! (n 1)! n! − − + +    + − + + + + − +  ∫ 0 2n 2 1 2n 1 n 1 n 3 n n 2 n 1 n n n n k X C t C t C t C t σ c d ...(2n 2)! (2n 1)! (n 3)! (n 2)! + + − + + +    ≤ − + + + + + + + +  18 0 2n 1 1 2n n 1 n 2 n n 1 n 1 n n n n k X C t C t C t C t σ c d ...(2n 1)! (2n)! (n 2)! (n 1)! + − + + +    + − + + + + + + +  0 2n 2 1 2n 1 n n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 k X C t C t C t C t σ c d ...(2n 2)! (2n 1)! (n 2)! (n 1)! + + + + + + + + + +    ≤ − + + + + + + + +  0 n 1 1 n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 k X C t C t C t C(σ t) c d ... .(2n 2)! (2n 1)! (n 2)! (n 1)! + + + + + + +    ≤ − + + + + + + + +  Vậy (2.32) đúng với mọi n ,∈ℕ (k )mt 0,T ∀ ∈    Từ (2.32) ta suy ra rằng: ( ) ( k ) m n n n n X 10 t T H [c] H [d] sup H [c](t) H [d](t) ≤ ≤ − = − ( ) 0 (k) n 1 (k) n 1 n 1 (k) n n(k) n m n m n m n k m X C (T ) C (T ) C T C σ T c d ... n! n! n! n! − −   ≤ − + + + +   (k) (k) n k m m X [σ T (T 1)] c d n! + ≤ − n k X [σ T(T 1)] c d . n! + ≤ − (2.35) Mà n k n [σ T(T 1)]lim 0 n!→+∞ + = nên tồn tại n0 Ν∈ sao cho 0n k 0 [σ T(T 1)]0 1. n ! + ≤ < Tức là tốn tử 0nH :S S→ là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co H cĩ điểm bất động duy nhất trong S, tức là hệ (2.26) – (2.27) cĩ duy nhất nghiệm (k) mu (t) trên (k)m[0,T ]. Bổ đề 2.4 được chứng minh xong. Các đánh giá sau đây cho phép ta lấy (k)mT T= với mọi m và k. Bước 2: ðánh giá tiên nghiệm ðánh giá thứ nhất: Nhân (2.23) với (k)mjc (t)ɺ và lấy tổng theo j ta được: (k ) (k) (k) (k) (k) (k) m m m m m mu (t),u (t) µ(t)a(u (t),u (t)) λ u (t),u (t)+ +ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ 19 (k) m mF (t),u (t)= ɺ (2.36) Do đĩ ta cĩ: ( )2 2(k) (k) (k) (k)m m m m (k) m m 1 d 1 d u (t) µ(t) a(u (t),u (t)) λ u (t) 2 dt 2 dt F (t),u (t) + + = ɺ ɺ ɺ hay 2(k) (k) (k) / (k) (k) m m m m m 1 d 1 u (t) µ(t)a(u (t),u (t)) µ (t)a(u (t),u (t)) 2 dt 2  + −   ɺ 2(k) mλ u (t)+ ɺ (k)m mF (t),u (t) .= ɺ (2.37) ðánh giá thứ 2: Trong (2.23) thay jw bởi j j 1 w , λ − ∆ sau đĩ đơn giản jλ ta cĩ: (k ) (k) (k) m j m j m ju (t), w µ(t)a(u (t), w ) λ u (t), w−∆ + −∆ + −∆ɺɺ ɺ m jF (t), w .= −∆ (2.38) Hơn nữa ta cĩ: m j m jF (t), w a(F (t),w ),• −∆ = (k) (k) m j m ju (t), w a u (t),w ,• −∆ =ɺ ɺ (k) (k) m j m ja u (t), w u (t), w ,• −∆ = ∆ ∆ (k) (k) m j m ju (t), w a u (t),w .• −∆ =ɺɺ ɺɺ Như vậy (2.38) được viết lại như sau: (k) (k) (k) m j m j m ja u (t),w µ(t) u (t), w λa u (t),wɺɺ ɺ+ ∆ ∆ + m ja(F (t),w ).= (2.39) Trong (2.39) thay jw bởi (k)mu (t)ɺ , ta được: (k) (k) (k) (k) m m m ma u (t),u (t) µ(t) u (t), u (t)+ ∆ ∆ɺɺ ɺ ɺ 20 (k) (k) (k) m m m mλa u (t),u (t) a(F (t),u (t)),+ =ɺ ɺ ɺ hay 2 2(k) (k) (k) / (k) m m m m 1 d 1 a(u (t),u (t)) µ(t) u (t) µ (t) u (t) 2 dt 2  + ∆ − ∆   ɺ ɺ (k) (k) (k) m m m mλa(u (t),u (t)) a F (t),u (t) .+ =ɺ ɺ ɺ (2.40) ðặt t 2(k) (k) (k ) (k) m m m m 0 S (t) X (t) Y (t) u (s) ds= + +∫ ɺɺ , (2.41) trong đĩ 2(k) (k) (k) (k) m m m mX (t) u (t) µ(t)a(u (t),u (t)),= +ɺ (2.42) 2(k) (k) (k) (k) m m m mY (t) a(u (t),u (t)) µ(t) u (t) .= + ∆ɺ ɺ (2.43) Từ (2.37), tích phân theo t ta được: t t 2(k) (k) / (k) (k) (k) m m m m m 0 0 X (t) X (0) µ (s)a(u (s),u (s))ds 2λ u (s) ds= + −∫ ∫ ɺ t (k) m m 0 2 F (s),u (s) ds.+ ∫ ɺ (2.44) Từ (2.40), tích phân theo t, ta được: t t 2(k) (k) / (k ) (k) (k) m m m m m 0 0 Y (t) Y (0) µ (s) u (s) ds 2λ a(u (s),u (s))ds= + ∆ −∫ ∫ ɺ ɺ t (k) m m 0 2 a F (s),u (s) ds.+ ∫ ɺ (2.45) Suy ra: 21 t 2(k) (k) / (k) (k) (k) m m m m m 0 S (t) S (0) µ (s)[a(u (s),u (s)) u (s) ]ds= + + ∆∫ t 2(k) (k) (k) m m m 0 2λ u (s) a(u (s),u (s)) ds − +  ∫ ɺ ɺ ɺ t t (k) (k) m m m m 0 0 t 2(k) m 0 2 F (s),u (s) ds 2 a F (s),u (s) ds u (s) ds + + + ∫ ∫ ∫ ɺ ɺ ɺɺ = (k) m 1 2 3S (0) I I I+ + + + I4 + I5. (2.46) Sau đây ta sẽ lần lượt đánh giá các tích phân trong vế phải của (2.46). • Tích phân thứ nhất t 2/ (k ) (k ) (k) 1 m m m 0 I µ (s) a(u (s),u (s)) u (s) ds = + ∆  ∫ t 2/ (k) (k) (k ) m m m 0 µ a(u (s),u (s)) u (s) ds ∞  ≤ + ∆  ∫ t / (k) m 0 0 1 µ S (s)ds. µ ∞ ≤ ∫ (2.47) •Tích phân thứ hai t 2(k) (k) (k) 2 m m m 0 t (k) m 0 I 2λ u (s) a(u (s),u (s)) ds 2λ S (s)ds.  = − +   ≤ ∫ ∫ ɺ ɺ ɺ (2.48) • Tích phân thứ ba t t (k) (k) 3 m m m m 0 0 I 2 F (s),u (s) ds 2 F (s) u (s) ds= ≤∫ ∫ɺ ɺ 22 t (k) 0 m 0 2K S (s)ds.≤ ∫ (2.49) • Tích phân thứ tư t t (k ) (k) 4 m m 1 m m1 1 0 0 I 2 a(F (s),u (s))ds 2C F (s) u (s) ds.= ≤∫ ∫ɺ ɺ Ta cĩ 2 2 m 0F (0,s) K ,≤ 21 2 2 2 m m 1 1 0 f fF (s) u dx K (1 M) . x u −  ∂ ∂ ∇ = + ∇ ≤ +  ∂ ∂∫ Suy ra 2 22 2 2 2 m m m 0 11F (s) F (0,s) F (s) K K (1 M) .= + ∇ ≤ + + Vậy [ ] t (k)1 4 0 1 m 0 0 2CI K K (1 M) S (s)ds. C ≤ + + ∫ (2.50) • Tích phân thứ năm (2.23) cĩ thể viết lại như sau: (k ) (k) (k) m j m j m j m j u (t),w µ(t) u (t),w λ u (t),w F (t),w , 1 j k. − ∆ + = ≤ ≤ ɺɺ ɺ (2.51) Trong (2.50) thay jw bởi (k)mu (t)ɺɺ , ta được: 2(k) (k) (k ) (k) (k) m m m m mu (t) µ(t) u (t),u (t) λ u (t),u (t)− ∆ +ɺɺ ɺɺ ɺ ɺɺ (k ) m mF (t),u (t) , 1 j k.= ≤ ≤ɺɺ Suy ra 2 2 2(k) 2 (k) 2 (k) 2 m m m mu (t) 3µ (t) u (t) 3λ u (t) 3F (t).≤ ∆ + +ɺɺ ɺ 23 Tích phân theo t ta được t t t 2 2 2(k) 2 (k) 2 (k) m m m 0 0 0 u (s) ds 3 µ (s) u (s) ds 3λ u (s) ds≤ ∆ +∫ ∫ ∫ɺɺ ɺ t 2 m 0 3 F (s)ds.+ ∫ (2.52) Vậy t t 2 (k) 2 (k) 2 5 m m 0 0 0 0 3I µ Y (s)ds 3λ X (s)ds 3TK µ ∞ ≤ + +∫ ∫ t 22 2 (k) 0 m 0 0 13TK 3 µ λ S (s)ds. µ ∞   ≤ + +   ∫ (2.53) Từ (2.47), (2.48), (2.49), (2.50), (2.53), ta cĩ t (k) (k) (k) / (k) m m m m 0 0 1S (t) X (0) Y (0) µ 2λ S (s)ds µ ∞   ≤ + + +   ∫ [ ] t (k) 0 m 0 t (k) 21 0 1 m o 0 0 2K S (s)ds 2C K K (1 M) S (s)ds 3TK C + + + + + ∫ ∫ t 2 2 (k) m 0 0 13 µ λ S (s)ds, µ ∞   + +   ∫ (2.54) hay t (k) (k) (k) (k) m m m 1 2 m 0 S (t) X (0) Y (0) d (M,T) d (M) S (s)ds,≤ + + + ∫ (2.55) trong đĩ 2 2 1 1 0 0 0 1 0 Cd (M,T) 3TK T K (K K (1 M)) , C   = + + + +    (2.56) 24 2/ 2 2 0 0 1 1d (M) 1 µ 2λ 3 µ λ . µ µ ∞∞   = + + + +    (2.57) Tiếp theo chúng ta đánh giá số hạng (k) (k)m mX (0) Y (0).+ Ta cĩ: ( ) ( ) 2(k) (k) (k) (k) (k) m m m m m 2(k) (k) (k) m m m X (0) Y (0) u (0) µ(0)a u (0),u (0) a u (0),u (0) µ(0) u (0) + = + + + ∆ ɺ ɺ ɺ 22 1k 0k 0k 1k 1k 0ku µ(0)a(u ,u ) a(u ,u ) µ(0) u .= + + + ∆ (2.58) Từ (A1) và (2.25), (2.26) ta suy ra tồn tại M > 0 ( độc lập k và m) sao cho 2 (k) (k) m m MX (0) Y (0) , 2 + ≤ với mọi m, k. (2.59) Chú ý rằng với giả thiết (A2) ta suy ra từ (2.13), (2.14): iT 0 lim TK (M,T,f ) 0, i 0,1. +→ = = (2.60) Khi đĩ từ (2.56), (2.57) và (2.60) ta luơn chọn được hằng số T 0> sao cho ( ) 2 2 1 2 M d (M,T) exp Td (M) M , 2   + ≤    (2.61) và { } { } / 1 0 0 0 µ 2λ1 2 2K T1 exp .T 1. C min 1,µ min 1,µ ∞    +   + <         (2.62) Cuối cùng ta suy ra từ (2.55), (2.59), (2.61) rằng: ( ) t (k) 2 (k) m 2 2 m 0 S (t) M exp Td (M) d (M) S (s)ds,≤ − + ∫ (k) m0 t T T.≤ ≤ ≤ (2.63) Áp dụng bổ để Gronwall ta suy ra từ (2.63) rằng: 25 ( ) ( )(k) 2 2m 2 2S (t) M exp Td (M) exp Td (M) M ,≤ − ≤ (k) m0 t T .≤ ≤ (2.64) Vậy ta cĩ thể lấy (k )mT T ,= với mọi m, k. Do đĩ, ta cĩ (k ) m 1u W (M,T)∈ , với mọi m, k. (2.65) Từ (2.65) ta cĩ thể trích ra từ dãy (k)m{u } một dãy con mà ta vẫn ký hiệu là (k)m{u } sao cho (k) 2 m mu u trong L (0,T;H )∞→ yếu *, (2.66) (k) 1 m mu u trong L (0,T;H )∞→ɺ ɺ yếu *, (2.67) (k) 2 m m Tu u trong L (Q )→ɺɺ ɺɺ yếu, (2.68) mu W(M,T).∈ (2.69) Từ (2.65) – (2.68), qua giới hạn trong (2.23), (2.24) ta cĩ um thỏa (2.19), (2.20) trong 2L (0,T) yếu. Cuối cùng, ta cĩ từ (2.19), (2.20) và (2.69) rằng m m m m u µ(t) u λu F= ∆ − +ɺɺ ɺ 2L (0,T;L )∞∈ , do đĩ m 1u W (M,T).∈ ðịnh lý 2.1 được chứng minh hồn tất. 2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm ðịnh lý 2.2. Giả sử (A1) – (A4) đúng. Khi đĩ tồn tại M 0> và T 0> sao cho bài tốn (2.1) – ( 2.3) cĩ duy nhất nghiệm yếu 1u W (M,T).∈ Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính m{u } xác định bởi (2.19), (2.20) hội tụ mạnh về nghiệm yếu u trong khơng gian { }1 21W (T) u L (0,T;H ) : u L (0,T;L ) .∞ ∞= ∈ ∈ɺ (2.70) Hơn nữa ta cĩ đánh giá sai số: 1 2 m m m TL (0,T;H ) L (0,T;L )u u u u Ck ,∞ ∞− + − ≤ɺ ɺ với mọi m, (2.71) 26 trong đĩ hằng số { } { } / 1 T 0 0 0 µ 2λ1 2 2K Tk 1 exp T 1, C min 1,µ min 1,µ ∞    +   = + <         C là hằng số chỉ phụ thuộc vào T, u0, u1, kT. Chứng minh a) Sự tồn tại nghiệm. Ta cĩ 1W (T) là khơng gian Banach đối với chuẩn 1 2 1W (T) L (0,T;H ) L (0,T;L ) v v v .∞ ∞= + (2.72) Ta chứng minh m{u } là dãy Cauchy trong 1W (T). ðặt vm = um+1 – um. Khi đĩ vm thỏa bài tốn biến phân sau: 1 m m m m 1 mv (t),v µ(t)a(v (t),v) λ v (t),v F F ,v , v H ,++ + = − ∀ ∈ɺɺ ɺ (2.73) vm(0) = mv._.