Phương trình Schrodinger phi tuyến

N THẠC SĨ TỐN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TSKH. NGUYỄN MINH TRÍ THÁI NGUYÊN – 2009 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 2 - MỤC LỤC Trang Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bất đẳng thức Holder…………………………………………….. 4 1.2. Khơng gian L p……………………………………………………. 5 1.3. Khơng gian Sobolev……………………………………………… 8 1.4. Một số kết quả đã cĩ của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger….. 10 1.5. Sự đánh giá cho đạo hàm cấp phân số của tốn tử phi tuyến……. 12 Chƣơng 2 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT 2.1. Định lý duy nhất………………………………………………….. 16 2.2. Bổ đề 2.2…………………………………………………………. 22 2.3. Chứng minh định lý 2.1………………………………………….. 25 2.4. Hệ quả……………………………………………………………. 27 Chƣơng 3 SỰ TỒN TẠI ĐỊA PHƢƠNG CỦA Hs - NGHIỆM H s NGHIỆM TỒN CỤC VỚI ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU NHỎ 3.1. Sự tồn tại địa phƣơng của Hs - nghiệm…………………………... 29 3.2. H s nghiệm tồn cục với điều kiện ban đầu nhỏ…………………... 42 3.3. Định lý duy nhất cho Hs - nghiệm ………………………………. 47 KẾT LUẬN…………………………………………………………….. 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………….. 51 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 3 - MỞ ĐẦU Phƣơng trình Schrodinger là một trong những phƣơng trình cơ bản nhất trong lý thuyết cơ học lƣợng tử. Từ khi xuất hiện phƣơng trình này đã cĩ một số lớn các cơng trình nghiên cứu các tính chất của nĩ. Trƣớc đây phần lớn các nghiên cứu tập trung vào phƣơng trình Schrodinger tuyến tính. Gần đây một số các chuyên gia nhƣ T. Kato, T. Tao, C. Kening, … đã tập trung vào nghiên cứu :Phƣơng trình Schrodinger phi tuyến. Mục tiêu của luận văn này là giới thiệu cơng trình của T. Kato, một trong những cơng trình quan trọng trong hƣớng nghiên cứu này. Nội dung luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ, bao gồm bất đẳng thức Holder, khơng gian L p, khơng gian Sobolev và một số ký hiệu hình học đƣợc sử dụng trong luận văn. Ngồi ra phần mở đầu cịn trình bày về một số kết quả đã cĩ của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger dựa theo các tài liệu [11, 12, 14]. Chƣơng 2 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT, bao gồm định lý duy nhất (phát biểu và chứng minh định lý), một số chú ý và Hệ quả của nĩ về tính đặt chỉnh khơng điều kiện. Chƣơng 3 SỰ TỒN TẠI ĐỊA PHƢƠNG CỦA HS – NGHIỆM. HS – NGHIỆM TỒN CỤC VỚI ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU NHỎ, bao gồm định lý về sự tồn tại của Hs – nghiệm, với một vài sự hạn chế khi s  0, nếu m  7 và F() khơng là đa thức của  và  . Thêm vào độ trơn của F, giả thiết chính ở đây, là k  1 + 4 2m s nếu s < 2 m , k <  nếu s = 2 m và k =  (khơng cần giả thiết) nếu Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 4 - s > 2 m . H s – nghiệm đã đƣợc nghiên cứu chi tiết bởi Cazenave – Weissler [3], ở đây, khơng gian loại Besov đã đƣợc sử dụng nhƣ những khơng gian phụ trợ. Ta sử dụng các khơng gian loại Lebesgue để thay thế, mà sự xuất hiện của nĩ thì thích hợp hơn cho vấn đề này. Khi đĩ chúng ta thu đƣợc những kết quả sau sự đánh giá cho khoảng T* của Hs – nghiệm u chỉ phụ thuộc vào ||  u(0)||2 (trong đĩ,  = (–)1/2) với giá trị nhất định nào đĩ của  < s, khơng phụ thuộc vào || (0) || sHu . Những đánh giá này dẫn tới một cách tự nhiên định lý về độ trơn. Ngồi ra định lý tồn tại tổng :Quát đã đƣợc chứng minh cho Hs – nghiệm tồn cục với điều kiện ban đầu nhỏ, dƣới điều kiện thêm vào chính là F() = O (||1+4/m) với  nhỏ; F() khơng cần phải là thuần nhất hoặc là lũy thừa giới hạn. Ở đây, lặp lại tính nhỏ của H ||u(0)||  với  < s là đủ trong hầu hết các trƣờng hợp. Nếu F là một đa thức, thì khoảng biến thiên chấp nhận đƣợc của  đƣợc mở rộng. Luận văn đƣợc thực hiện với sự hƣớng dẫn nhiệt tình và đầy trách nhiệm của PGS.TS. Nguyễn Minh Trí. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy. Cuối cùng tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ trong Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy trong phịng Phƣơng trình Vi phân của Viện Tốn học đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt quá trình học tập và viết đề tài này. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 5 - Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bất đẳng thức Holder Cho một khơng gian E và một độ đo  trên một  – đại số  các tập con của E. Nếu f(x), g(x) là những hàm số đo được xác định trên E, và p, q là hai số thực sao cho 1 < p <  và 1 1 1 p q   thì (1.1.1) 1 1 | | | | | | p q p q E E E fg d f d g d                 . Để chứng minh định lý trƣớc hết ta cĩ Bổ đề sau Bổ đề. Cho a, b khơng âm và p, q là là hai số thực sao cho 1 < p <  và 1 1 1 p q   thì ta cĩ (1.1.2) ab  pa p + qb q . Thật Vậy Xét hàm 1 1 ( ) p t t t p q     (t  0), ta thấy (1) = 0 và 1 11 1 '( ) pt t p p     dƣơng với t > 1, âm với t < 1, vậy ( )t đạt cực tiểu tại t = 1. Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 6 - Do vậy, với mọi t  0 ta cĩ 11 pt t p q    (1) = 0. Đặc biệt t = .p pa b  0 (cĩ thể giả thiết b > 0 vì nếu b = 0 thì (1.1.2) hiển nhiên đúng) ta cĩ . 1 0 p p p qa b ab p q     hay pa p + qb q – ab  0 đĩ chính là bất đẳng thức (1.1.2). ■ Chứng minh bất đẳng thức (1.1.1). Áp dụng bất đẳng thức (1.1.2) cho     1 1 | | | | , | | | |p qp q f g a b f g     , ta đƣợc         1 1 | | | | | | | | | | | | | | p q p q p qp q fg f g p f q g f g       . Lấy tích phân hai vế ta cĩ         1 1 | | | | | | 1 1 1 | | | | | | | | p q p q p qp q fg f g p qp f q g f g            từ đĩ suy ra bất đẳng thức (1.1.1). ■ 1.2. Khơng gian L p 1.2.1. Định nghĩa. Cho một khơng gian E và một độ đo  trên một  – đại số  các tập con của E. Họ tất cả các hàm số f(x) cĩ lũy thừa bậc p (1  p  ) của mođun khả tích trên E, tức là sao cho | |p E f d   được gọi là khơng gian Lp(E, ). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 7 - Khi E là một tập đo đƣợc Lebesgue trong k , và  là độ đo Lebesgue, thì ta viết là Lp(E). Nếu E = [a, b]  1 , và  là độ đo Lebesgue thì ta viết L p [a, b] hoặc p [a, b]L và nếu E = [0, 1] thì ta viết đơn giản là Lp. Ta cĩ Tập hợp Lp(E, ), trong đĩ, ta khơng phân biệt các hàm tương đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một khơng gian vectơ định chuẩn. Với các phép tốn thơng thƣờng về nhân hàm số với số và cộng hàm số, và với chuẩn là 1 || || | | p p E f f d       . 1.2.2. Một số ký hiệu (i) L r (L q ) là L r ((0, T); L q ( m )), ở đây, 1  q, r   và 0 < T < , với chuẩn là 1 1 ( ) ( ) 0 0 || ( , ) || = ( , ) || ( , ) ||r q q m m r r T T rq r q L L L u x t u x t dx dt u x t dt                    . (ii) L  (L ) sẽ đƣợc hiểu nhƣ là L( T ), ở đây, T = (0, T)  m , với chuẩn là m ( ) (0, T) || ( , ) || = ess sup | ( , ) | L L u x t u x t   . (iii) a  b và a  b lần lƣợt là min{a, b} và max{a, b}. (iv) Để làm đơn giản các chứng minh trong các chƣơng sau ta sử dụng các ký hiệu hình học giới thiệu trong [12] và vài nơi khác. Ký hiệu P = (x, y); 0  x, y  1 là một điểm trong hình vuơng đơn vị  = [0, 1]  [0, 1]  2 . Ta viết x = x(P), y = y(P). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 8 - Đoạn thẳng nối P, Q   đƣợc kí hiệu bởi (PQ), [PQ], [PQ)... tùy theo nĩ là mở hoặc đĩng tại điểm cuối và kí hiệu độ dài của PQ bởi |PQ|. Ta cũng xem xét P   nhƣ một vectơ 2 chiều với gốc O = (0, 0), Vì vậy, aP (a  0) và P + Q là cĩ ý nghĩa (miễn là chúng vẫn thuộc ). Ta giới thiệu sự sắp xếp thẳng \ trong . Q\ P tức là Q là dƣới P, nghĩa là x(Q) = x(P) và y(Q)  y(P). Với bất kỳ đoạn thẳng  trong , R\  [\R] nghĩa là cĩ S   sao cho R\S [S\R]. Cĩ một vài điểm quan trọng đặc biệt trong  B = 1 ( ,0) 2 ; B ' = ( 1 2 , 1); C = (1 2 – 1 m , 1 2 ); C ' = ( 1 2 + 1 m , 1 2 ); (C = (0, 1 4 ); C ' = (1, 3 4 ) nếu m = 1). Đoạn thẳng l = [BC) và l' = [BC') là quan trọng nhất (l = [BC]; l' = [B'C'] nếu m = 1). Đĩ là các phần của các đoạn thẳng x + 2 y m = 1 2 và x + 2 y m = 1 2 + 2 m . (xem hình 1 và 1a). Hình.1. Hình.1a. m = 3 B' C' B C l l' m = 1 B' C' B C l l' O O Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 9 - Cuối cùng ta đặt L(P) = Lr(Lq) nếu :P = ( 1 q , 1 r ); Chuẩn trong L(P) đƣợc kí hiệu là || :L(P)||, hoặc đơn giản là || :P||. Cụ thể với P = ( 1 q , 1 r ); u  L(P) thì ||u :P|| = 1 1 ( ) 0 0 ( , ) || ( , ) || q m m r r T T rq r q L u x t dx dt u x t dt                    . BC biểu thị lớp các hàm số liên tục, bị chặn. C biểu thị là hằng số dƣơng bất kỳ. 1.3. Khơng gian Sobolev 1.3.1. Định nghĩa (i) Với s là số nguyên, s > 0, ký hiệu Hs() là khơng gian các hàm thuộc L 2 () cĩ đạo hàm suy rộng Du, ||  s, Du  L2(), với chuẩn là ||u||s = 1 2 2 | | | | s D u dx          . Chú ý Đây là khơng gian Hilbert với tích vơ hƣớng | | ( , ) ( ). ( ) s s u v D u x D v x dx      . Với s = 0 thì H0()  L2(). (ii) Nếu s là số thực tùy ý thì Hs(n) được định nghĩa là ( )s nH  {u  S ' | 1ˆ( ) ( )nlocu L   sao cho 2 2ˆ(1 | | ) | ( ) | n s u d    } < . ( )s nH  là khơng gian Hilbert với tích vơ hƣớng Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 10 - (u, v)s = 2 ˆ ˆ(1 | | ) ( ) ( ) n su u d     , 2 2 2ˆ|| || (1 | | ) | ( ) | n s su u d     . Chú ý Nếu u  Hs thì D(u)  | |( )s nH   . 1.3.2. Định lý nhúng Sobolev Định lý. Nếu u  ( )s nH  , s > k + 2 n , k là số nguyên khơng âm thì u  C k hầu khắp và || || || ||k sCu A u , A là hằng số khơng phụ thuộc u. Chứng minh Ta cĩ  ( , ) ( , )2 2 | | ˆ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ). n n i x i x k D u x D u e d u e d                  . Vậy ( , )2 2ˆ ˆ|| ( ) || (2 ) ( ). (2 ) ( ) n n i xD u x u e d u d             .     2 22 22 ˆ|| ( ) || (2 ) 1 ( ) 1 s sn D u x u d             1 1 22 22 2 2 2 ˆ(2 ) 1 ( ) 1 n s s u d d                       1 2 2 2 2(2 ) || || 1 n n s su d               . Mặt khác,         | |2 2 2 2 | | 2 1 1 ' 1 1 ' 1n n n s s s d C d C d                         . Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 11 - Mà s – ||  s – k > n 2 do ||  k  s – || > n 2 nên   | | 2 1 ' 1n s C d        < . Vậy | | | ( ) | || || sup | ( ) | || || || || || || .ks s sC x k D u x C u D u x A u u A u         ■ 1.4. Một số kết quả đã cĩ của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger Xét bài tốn về giá trị ban đầu của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger (NLS) tu = i(u – F(u)), t  0, x  m , m   . Với các giả thiết dƣới đây của F(u) (1.4.1) F  C1 ( ,  ); F(0) = 0, (1.4.2) DF() = O(||k – 1) với k  1, khi || → . Ở đây, đạo hàm DF là đạo hàm theo nghĩa thực, Vì vậy, nĩ cĩ thể đƣợc kiểm tra trên một ma trận thực vuơng cấp 2. Đơi khi (1.4.2) là thừa, trong trƣờng hợp nhƣ vậy ta đặt k = . Chú ý rằng (1.4.2) khơng xác định k một cách duy nhất. Nĩi chung khơng cĩ một quy luật bảo tồn nào cả. Ta bắt đầu với việc tổng :Quan lại về khái niệm tính đặt chỉnh. Theo nguyên lý Hadamard, ta nĩi rằng một vấn đề là (địa phƣơng) đặt chỉnh trong một khơng gian hàm số X đƣợc định nghĩa trên Rm nếu với mỗi   X cĩ T > 0 và một nghiệm duy nhất u  C ([0, T ); X) của (NLS) với u(0) = . (Trong định nghĩa này ta cĩ thể bao gồm sự phụ thuộc liên tục của u vào , nhƣng để đơn giản ta sẽ khơng để ý đến điểm này). Tuy nhiên, thực tế thƣờng thì một vài điều kiện (khơng gian) phụ trợ đƣợc cần đến để đảm bảo tính đặt chỉnh. Điều này đƣợc minh họa rõ nhất bởi các ví dụ. Nhắc lại hai định lý sau (theo [11, 12, 14]). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 12 - Định lý A. Trong (1.4.2) giả sử k < 1 + 4 2m  (khơng cần nếu giả thiết m=1). (i) Cho bất kỳ   H1 = H1( m ), khi đĩ cĩ T > 0 và một nghiệm duy nhất u C([0, T); H1) của (NLS) với u(0)= . (ii) u cĩ các tính chất thêm vào là u  Lr([0, T); Lq) với 1 q + 2 mr = 1, 1 2 – 1 m < 1 q < 1 2 . Định lý B. Cho k < 1 + 4 m . Với bất kỳ   L2 thì cĩ T > 0 và một nghiệm duy nhất u của (NLS) với các tính chất sau (i) u  C([0, T); L2) với u(0)= , (ii) u  Lr((0, T); Lq) với 1 q + 2 mr = 1, 1 2 – 1 m < 1 q < 1 2 . Để chứng minh sự duy nhất chỉ cần điều kiện (i), (ii) với một cặp (q, r) là đủ. Trong Định lý A, phần (i) cấu thành một định lý độc lập bởi chính nĩ. Phần (ii) là phần phát triển thêm, nĩ cĩ thể cĩ hoặc khơng xuất hiện trong định lý. Vì lý do này ta cĩ thể nĩi rằng (ii) là điều kiện phụ cĩ thể bỏ đƣợc, và (NLS) là đặt chỉnh khơng điều kiện trong H1. Trong hầu hết các trƣờng hợp nhƣ vậy, những điều kiện (khơng gian) phụ trợ phát sinh nhƣ những cơng cụ cho việc xây dựng nghiệm. Trong Định lý B, rL ([0, T); qL ) là các khơng gian phụ trợ. Khơng giống nhƣ Định lý A, phần (ii) là một phần cốt yếu của định lý; nếu khơng cĩ một điều kiện nhƣ vậy cho ít nhất một cặp (r, q) thì sự duy nhất cĩ thể khơng đạt đƣợc hoặc thậm chí khơng cĩ ý nghĩa. Trong trƣờng hợp này ta nĩi (NLS) là đặt chỉnh cĩ điều kiện trong L2, với một khơng gian phụ rL ((0, T); qL ). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 13 - 1.5. Sự đánh giá cho đạo hàm cấp phân số của tốn tử phi tuyến Bổ đề A1. Giả sử F  C1( ;  ); G  C( ;   ) sao cho (1.5.1) |F'( + (1 – )|  ()(G() + G()); ,    , 0    1, ở đây, (.)  L1(0, 1). Khi đĩ ta cĩ với 0 < s < 1 thì (1.5.2) ||sF()||r  c||G()|| q ||s||p ; 1 2 1 1 1 ( = ( ) ) r p q      , p, r  (1, ), q  (1, ], ở đây, c phụ thuộc vào , s, p, q , r ( ký hiệu một hàm số trong m ; trong luận văn ta áp dụng Bổ đề này chỉ cho  mà với nĩ sự tồn tại của s là hiển nhiên). Đây là một dạng biến đổi nhỏ của những kết quả do Christ – Weinstein [4] và Staffilani [13], và cĩ thể đƣợc chứng minh cùng phƣơng pháp nhƣ vậy. Bổ đề A2. Cho F  C1( ;  ), với (1.5.3) F(0) = 0; |F'()|  ||k – 1,    ở đây, k  1. Nếu 0  s  1 thì (1.5.4) ||sF()||r  1 1 1 1|| || || || ; r k s q p k c p q      ; p, q, r  (1, ), trong đĩ, c phụ thuộc vào s, p, q, r (nếu k = 1 đặt p = r và bỏ qua 1|| ||kq  ). Chứng minh Trƣờng hợp s = 0 là tầm thƣờng vì |F()|  c||k – 1 ||. Giống nhƣ vậy với s = 1, vì F() = F'() và ||||p là tƣơng đƣơng với ||||p, ... Vì vậy, ta cĩ thể giả sử rằng 0 < s < 1 thì |F'( + (1 – )|  | + (1 – )|k – 1  c(||k – 1 + ||k – 1). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 14 - Nhƣ vậy điều kiện (1.5.1) đƣợc gặp với G() = c||k – 1. Do đĩ, theo Bổ đề A1 thì (1.5.2) là đúng. Khi đĩ (1.5.4) đƣợc suy ra trong phép đặt 1 q q k   . ■ Bổ đề A3. Cho F  Cn( ,  ), n  .Giả rằng cĩ k  n sao cho (1.5.5) |D i F()|  ||k – i, i = 1, 2, ..., n Nếu 0  s  n thì (1.5.4) là đúng. Hơn nữa, (1.5.6) ||sF(u):R||  c||u:Q||k – 1||su:P|| với R = P + (k – 1)Q, P,Q,R  ', ở đây, c phụ thuộc vào s, P, Q, R .(u là một hàm số tổng :Quát trong (0,T)  m ; ' là  với 2 chiều dọc đã bị bỏ đi). Chứng minh (Theo G.Ponce) Nếu n = 1, (1.5.4) đƣợc chứng minh trong Bổ đề A2. Trƣờng hợp tổng :Quát kéo theo bởi phép qui nạp theo n . Giả sử (1.5.4) đã đƣợc chứng minh với n  1 và giả rằng k  n + 1 ( 2).Nếu s  n thì (1.5.7) ||s+1F()||r  c||  s F()||r = c||  s (F())||r = c||  s (F'())||r  c 1 (|| '( ) || || || || '( ) || || || )s sq p k F F            , 1 r = 1  + 1  ; ở đây, ta đã sử dụng một cơng thức Leibniz suy rộng với những đạo hàm bậc khơng nguyên ( xem ví dụ [4, 5, 9] ). Vì |F'()|  ||k –1, thành phần đầu tiên trong vế phải của (1.5.7) thỏa mãn (1.5.4) với s đƣợc thay thế bởi s + 1. Vì F' thỏa mãn các điều kiện của F với k đƣợc thay thế bởi k – 1, là thành phần thứ hai, bởi giả thiết qui nạp, đƣợc đánh giá trên bởi 2|| || || || || ||k sq       , trong đĩ, 1 1 2 1 1 1k q p q         (nếu k = 2 bỏ qua thừa số 2|| ||kq  ). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 15 - Ở trên ,  là tùy ý chỉ cần thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 p q     trong đĩ, p, q, ,   (1, ). Đặt 1 1 1 1 ; ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) s s s p s q s p s q        . Theo Định lý 3 đƣờng thẳng (xem [1, trang 168]), ta cĩ 1 1 1 1 1 1 1 1 || || || || || || , || || || || || || . s s s s s p q s s s s p q c c                     Kết quả đĩ đƣợc làm trội bởi ||s+1||p||||q . Điều này kéo theo (1.5.4), hồn thành quá trình qui nạp. ■ (1.5.6) đƣợc kéo theo từ (1.5.4) nhƣ cơng thức (1.5.2) đƣợc kéo theo từ bất đẳng thức Holder thơng thƣờng. Những kết quả trƣớc cĩ thể đƣợc chứng minh nếu F() là một đa thức của  và  . Bổ đề A4. Cho s > 0. Thì với bất kỳ số nguyên k  1, ||s(1 ... k)||r  1 1 2 1 22 1 2 (|| || || || ... || || ... || || || || ... || || k k s s p q k q q q k pc         ) với 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... k k kr p q q q q p          , pj  (1, ), qj  (1, ], j = 1, ..., k. Chứng minh Điều này đƣợc kéo theo bởi sự áp dụng lại của cơng thức Lepnit suy rộng đã nĩi đến ở trên. Bổ đề A5. Giả sử F() là đa thức thuần nhất của  và  bậc k  1. Thì (1.5.4) và (1.5.6) là đúng với bất kỳ s  0. Chứng minh Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 16 - Chỉ cần đặt trong Bổ đề A4, j =  hoặc  và pj = p  (1, ), qj = q  (1, ) với 1 r = 1 p + 1k q  . ■ Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 17 - Chƣơng 2. ĐỊNH LÝ DUY NHẤT 2.1. Định lý duy nhất Để chỉ ra rằng, một điều kiện phụ cĩ thể bỏ đi đƣợc thì cần một Định lý duy nhất mạnh. Mục đích của phần này là để chỉ ra rằng định lý duy nhất (của (NLS)) khơng địi hỏi tính khả vi của nghiệm. Sử dụng định lý này sự tồn tại của các khơng gian phụ trợ đã đƣợc chỉ ra là cĩ thể bỏ đƣợc. Lời trình bày của định lý đƣợc biểu diễn trong dạng "Tính duy nhất trong khơng gian ." Nĩ cĩ nghĩa là (1) Chỉ ra rằng u  là một nghiệm của (NLS) với t  (0, T); (2) Giá trị ban đầu u(0) = 0 lim t u(t) tồn tại nhƣ một hàm suy rộng trên m ; (3) Cĩ cùng lắm là một nghiệm u  của (NLS) với một hàm suy rộng cho trƣớc nhƣ là giá trị ban đầu. Định lý 2.1 (Định lý duy nhất) Giả thiết (1.4.1 – 2). Nếu m  2, sự duy nhất là trong L(L2)  Lr(Lq) thỏa mãn với (2.1.1) 1 1 1 2 m q k   và 1 2 1 2 2 ( 1)q mr m k     trừ một số ngoại lệ sau Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 18 - Nếu k = 1, thì điều kiện 1 2 1 2 2 ( 1)q mr m k     được thay bởi 1 2 1 2q mr   . Nếu 4 1 2 k m     và r = , thay thế  trong (2.1.1) bởi <. Nếu k =  (xem phần1.4 chương 1 ), thay thế Lr(Lq) bởi L( T ). Nếu m = 1 thì sự duy nhất là trong L(L2)  Lr(Lq) thỏa mãn với (2.1.2) 1 q  1 k và 1 2 1 2 2 1q r k     . Chú ý (a) Nhắc lại rằng F khơng :Quyết định k; nếu k đã thỏa mãn (1.4.2) thì bất kỳ k nào khác lớn hơn cũng sẽ thỏa mãn. Điều kiện (2.1.1) trở nên mạnh hơn với k tăng. (b) Các điều kiện đĩ đƣa ra dạng đơn giản hơn khi đƣợc áp dụng với một k đặc trƣng. Ví dụ nếu k < 2 1 m  thì (q, r) = (2, ) đƣợc kéo theo; Do đĩ, sự duy nhất là trong L(L2). Cũng chú ý rằng 1 2 1 2 ( 1) 2m k    nếu 4 1k m   và bằng 2 ( 1)m k  nếu 4 1k m   . Điều kiện đầu tiên trong (2.1.1) là thừa nếu 4 1 2 k m    và r < , bởi vì, nĩ đã đƣợc suy ra bởi điều kiện thứ 2. (c) Sử dụng các ký hiệu hình học đã đƣa ở chƣơng trƣớc ta cĩ các cơng thức sau (theo [7, 8, 11, 12]) (CT1) Nếu R  [PQ] thì L(P)  L(Q)  L(R)  L(P) + L(Q), với Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 19 - || :R||  || :P||1 –  || :Q|| nếu  = |PR|/|PQ|. Thật Vậy Gọi 1 1 1 1 1 1 Q , ; , ; R ,P q p r                    . Khi đĩ L(Q) = Lq(L), L(P) = L p (L  ), L(R) = L r (L  ). Khơng mất tính tổng :Quát ta cĩ thể giả sử 1  q < r  p < , 1   <    < . Đặt  = | | | | PR PQ = 1 1 ( ) 1 1 ( ) q p rr p r p q q p      1 –  = | | | | QR PQ = 1 1 ( ) 1 1 ( ) p r qq r r p q q p     . Xét 1 1 ( ) 1 ( ) 1 . . ( ) ( ) q p r p r q q p q r p q p r p q r           .  (1 ) 1 r r q p     . Tƣơng tự ta cĩ (1 ) 1         .  u  L(P)  L(Q) xét (1 )| ( , ) | | ( , ). ( , ) | m m u x t dx u x t u x t dx          Q R P 1 q 1 r 1 p 1  1  1  Hình 2 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 20 - (1 ) (1 ) .. (1 ) (1 )| ( , ) | | ( , ) | | ( , ) | . | ( , ) | m m m u x t u x t dx u x t dx u x t dx                                 1 1 . .(1 ) | ( , ) | . | ( , ) | m m u x t dx u x t dx                          1 | ( , ) | m u x t dx             1 1 . .(1 ) | ( , ) | . | ( , ) | m m u x t dx u x t dx                        ( ) || ( , ) || mLu x t    ( ) || ( , ) || mLu x t    1 ( ) || ( , ) || mLu x t    . Vì r > 1 nên cĩ ( ) || ( , ) || m r L u x t    ( ) || ( , ) || m r L u x t    (1 ) ( ) || ( , ) || m r L u x t    . Tích phân hai vế ta đƣợc ( ) 0 || ( , ) || m T r L u x t dt   ( ) 0 || ( , ) || m T r L u x t     (1 ) ( ) || ( , ) || m r L u x t dt   ( ) 0 || ( , ) || m T r L u x t dt   . ( ) 0 || ( , ) || m r q qrT r L u x t dt               (1 ) (1 ) . (1 ) ( ) 0 || ( , ) || m r pT pr r L u x t dt               ( ) 0 || ( , ) || m T r L u x t dt   1 . ( ) 0 || ( , ) || m r q qT L u x t dt            . 1 .(1 ) ( ) 0 || ( , ) || m r T pp L u x t dt          1 ( ) 0 || ( , ) || m r rT L u x t dt            1 . ( ) 0 || ( , ) || m T qq L u x t dt          . 1 .(1 ) ( ) 0 || ( , ) || m T pp L u x t dt           ||u :R||  ||u :Q||. ||u :P||1 –  . Vì u  L(P)  L(Q)  ||u :Q|| < ; ||u :P||1 –  < .  ||u R|| <   u  L(R). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 21 -  L(P)  L(Q)  L(R). ■ (CT2) f L(P) và g  L(Q) suy ra rằng fa.gb  L (aP + bQ); với ||fa.gb :aP + bG||  || f :P||a . || g :Q||b, với a, b  0. Thật Vậy Gọi 1 1 1 1 Q , ; ,P q p              .  aP , ; bQ , . a a b b p q               aP + bQ = , ; a b a b p q         Đặt 1 1 , a b a b h k p q       , 1 ha hb ka kb p q     . Với f L(P) và g  L(Q) xét . . 1 1 . . | ( , ). ( , ) | | ( , ) | . | ( , ) | | ( , ) | . | ( , ) | | ( , ) | . | ( , ) | m m m m m m a b h ah bh ha hb ah bh ha hb ha hb f x t g x t dx f x t g x t dx f x t dx g x t dx f x t dx g x t dx                                                      1 | ( , ). ( , ) | m h a b hf x t g x t dx         1 1 . . | ( , ) | . | ( , ) | m m a b f x t dx g x t dx                     ( ) || ( , ). ( , ) || h m a b L f x t g x t   ( ) || ( , ) || m a L f x t   ( )|| ( , ) || m b L g x t     bQ P 1/q 1/p    Q aP aP + bQ Hình 3 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 22 -  ( ) 0 || ( , ). ( , ) || h m T k a b L f x t g x t dt   ( 0 || ( , ) || m T a L f x t   ( )|| ( , ) || m bk L g x t dt  . ( ) 0 || ( , ) || m ka pT pak ka L f x t dt          . ( ) 0 || ( , ) || m kb qT qbk kb L g x t dt          1 . ( ) 0 || ( , ) || m ka T pp L f x t dt         1 . ( ) 0 || ( , ) || m kb T qq L g x t dt         = ||f(x, t) P|| ka . ||g(x, t) Q|| kb  1 ( ) 0 || ( , ). ( , ) || h m T kk a b L f x t g x t dt          ||f(x, t) P||a. ||g(x, t) Q||b  || ( , ). ( , )a bf x t g x t :aP + bQ||  ||f(x, t) ::P||a. ||g(x, t) Q||b. Vì f L(P) và g  L(Q) nên || ( , ). ( , )a bf x t g x t :aP + bQ||  ||f(x, t) :P||a. ||g(x, t) :Q||b <   fa. gb  L(aP + bQ). ■ (CT3) Giả sử T <  và Q\P thì L(Q)  L(P) với đơn ánh bị chặn bởi T với  = y (P – Q). Thật Vậy Vì Q\P nên ta gọi 1 1 1 1 Q , ; ,P q p               L(P) = Lp(L); L(Q) = Lq(L) Khi đĩ  = y (P – Q) = 1 1 p q        1 1 1 p p p q q         P Q 1 p 1 q 1  Hình 4 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 23 -  u  L(Q) ta cĩ ||u :P|| = 1 ( ) 0 || ( , ) || m T pp L u x t          . Xét ( ) 0 || ( , ) || m T p L u x t   , áp dụng Bất đẳng thức Holder ta cĩ ( ) ( ) 0 0 1 . . ( ) 0 0 || ( , ) || 1 . || ( , ) || 1 || ( , ) || . || ( , ) : || m m m T T p p p L L p p qT T qp p p p L p p u x t dt u x t dt dt u x t dt T u x t Q                               ||u :P||  T.||u :Q|| Vì u  L(Q) nên ||u :P||  T.||u :Q|| <   u  L(P)  L(Q)  L(P). ■ (CT4) Tốn tử tích phân G xác định bởi Gf(t) = 0 ( ). ( ) t i U t f d    , là bị chặn từ L(P') bất kỳ với bất kỳ P'  l' vào L(P) bất kỳ với bất kỳ P  l, với biên độc lập với T. Ở đây, L(B) cĩ thể được thay thế bởi BC ([0, T); L2). (CT5) Tốn tử  xác định bởi (  )(t) = U(t), với U(t) = exp(it) là bị chặn từ L 2 vào L(P) với bất kỳ P  l, với biên độc lập với T. Nhắc lại L(B) cĩ thể được thay thế bởi BC ([0, T); L2) trong trường hợp cận là 1. Định lý 2.1 sẽ đƣợc suy ra từ Bổ đề và các cơng thức sau 2.2. Bổ đề 2.2 Giả sử P, Q, R   thỏa mãn (2.2.1) [BQ]\P  l, R = P + (k – 1)Q \ l' (xem hình 5) Khi đĩ sự duy nhất là trong  = L(B)  L(Q). Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 24 - O Q Q P R S Chứng minh. Bước 1. Đầu tiên ta chỉ ra   L(P). Thực Vậy CT1 cho thấy  ( )L Q với bất kỳ Q  [BQ]. Do đĩ, từ giả thiết ta cĩ Q \ P, từ CT3 suy ra   L(P). Tiếp theo ta chỉ ra rằng (NLS) là cĩ nghĩa với u  . Để làm đƣợc điều đĩ ta chỉ ra F cĩ thể viết dƣới dạng tổng của hai thế vị lũy thừa đơn (2.2.2) F = F1 + Fk, (2.2.3) |F1()|  M||, |DF1()|  M, (2.2.4) |Fk()|  N|| k , |DF()|  N||k – 1. trong đĩ, M, N  0 là các hằng số. Điều này cĩ thể cĩ đƣợc bằng cách nhân F với những hàm số cắt trơn đã biết. Giả sử u   . Hiển nhiên, F1(u)  L(B). Vì u  L(P)  L(Q) và R = P + (k – 1)Q, theo CT2 Fk(u)  L(R). Do đĩ, F(u)  L(B) + L(R)  L1(L2 + L1), Vì vậy, (NLS) là cĩ nghĩa với tu  L 1 (H –2 + L 1 + L 2 )  L 1 (H –m – 1 ). Từ đĩ dễ dàng kết luận rằng u(0)  H–m – 1  S' tồn tại. Vì vậy, (NLS) là tƣơng đƣơng với phƣơng trình tích phân sau Hình 5 Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 25 - (2.2.5) u =  (u(0)) + GF(u), trong đĩ, (2.2.6) (  )(t) = U(t), Gf(t) = 0 ( ) ( ) t i U t f d    , U(t) = e it . Bước 2 Để chỉ ra tính duy nhất trong , giả sử cĩ 2 nghiệm u, v  của (INT) với u(0) = v(0). Bằng phép trừ ta thu đƣợc w = u – v, (2.2.7) w = G(F1(u) – F1(v)) + G(Fk(u) – Fk(v)). Từ đĩ ta sẽ kết luận w = 0 nếu T đủ nhỏ (thƣờng thì độ lớn của T là khơng :Quan trọng trong Định lý duy nhất). Từ (2.2.3 – 4), (sử dụng Định lý giá trị trung bình) ta cĩ (2.2.8) |F1(u) – F1(v)|  M|w|, |Fk(u) – Fk(v)|  cN|w| (|u| k –1 + |v| k – 1 ). Giả sử S  l' sao cho R\S (điều này là tồn tại vì R\ l'). Do đĩ, theo CT4, G là bị chặn từ L(B') vào L(B) và từ L(S) vào L(P). Theo CT3, L(B)  L(B') với phép đơn ánh bị chặn bởi T, và L(R)  L(S) với phép đơn ánh bị chặn bởi T, trong đĩ,  = y(S – R)  0. Do đĩ, ||G(F1(u) – F1(v)) :B||  ||G(F1(u) – F1(v)) :P||  c|| F1(u) – F1(v) :B'||  cT|| F1(u) – F1(v) :B||  cTM|| :B||; Chú ý rằng w  L(B) cho nên || G(Fk(u) – Fk(v)) :B||  || G (Fk (u) – Fk(v)) :P||  c|| Fk(u) – Fk(v) :S||  cT θ || Fk(u) – Fk(v) :R||  cTN || |w|(|u|k – 1 + |v|k – 1) :P + (k – 1)Q|| (theo (2.2.1), (2.2.8))  cT N|| w :P|| (||u :Q||k – 1 + || v :Q||k –1); (theo CT2) Nhắc lại rằng u, v  L(P)  L(Q). Nếu ta đặt  = || w :B||  || w :P||, ta thu đƣợc từ (2.2.7) Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 26 -   c(MT + NTK), K = || u :Q||k – 1 + ||v :Q||k –1. Hệ số của  trong vế phải cĩ thể làm nhỏ tùy ý bằng cách lấy T nhỏ, thậm chí lấy  = 0. Thực vậy  = 0 kéo theo R  l', vì P  l, ta cĩ (k – 1)y(Q) = y(R) – y(P) > 0, Do đĩ, y(Q) > 0. Vì || Q|| là chuẩn tích phân và k trở thành nhỏ tùy ý với T nhỏ tùy ý. Điều đĩ chứng minh rằng  = 0, D._.