Phương trình ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự

h giảng dạy trong thời gian tôi học tập tại trường Đại học Sư phạm Tp HCM và đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tp. HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Phan Tự Vượng MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1 Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG ......................... 3 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón .................................................. 3 1.2 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị ............................................................................ 10 1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát ......................................................................... 14 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG ......................... 19 2.1 Điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng ........................................................... 19 2.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị lõm............................................................ 27 Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ ........................................................................................ 39 3.1 Véctơ riêng của ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự............................. 39 3.2 Nhánh liên tục của tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số ..................................................................................... 43 KẾT LUẬN ............................................................................................................ 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 47 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết Phương trình với ánh xạ đơn trị trong không gian có thứ tự đã được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1940 trong các công trình mở đầu của M.Krein và A.Rutman và được phát triển rực rỡ vào khoảng 1950-1980 trong các công trình của M.A.Krasnoselskii , H .Schaffer, H.Amann, N.E.Dancer …….Các kết quả trừu tượng của lý thuyến này đã có rất nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu định tính và định lượng nhiều lớp phương trình và bất phương trình vi phân xuất phát từ vật lý, hoá học, y-sinh học… Đặc biệt các định lý về điểm bất động của ánh xạ đơn trị trong không gian có thứ tự được chứng minh và áp dụng rộng rãi trong lý thuyết phương trình vi phân. Sử dụng bổ đề Zorn , nguyên lý Entropy , nguyên lý đệ quy tổng quát, … các nhà toán học đã bỏ được giả thiết liên tục và compact của các ánh xạ. Do đó, một cách rất tự nhiên ngưới ta tìm cách mở rộng các kết quả này sang đa trị và tìm ra các ứng dụng của nó trong lý thuyết phương trình. Một số định nghĩa và định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị được Nishnianidze, W. V. Petryshyn, P. M. Fitzpatrick….. đưa ra đầu tiên trong các công trình của họ vào những năm 1970. Trong những năm gần đây các tác giả S.Carl , S.Heikkila , Nguyễn Bích Huy….. đã chứng minh một số kết quả mới và ứng dụng của nó trong phương trình vi phân , bài toán kinh tế và lý thuyết trò chơi….. Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các nguyên lý trên và phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng cũng như phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm và vectơ riêng của ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự cùng áp dụng của nó trong phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số.Các kết quả này gần giống với các kết quả ở trong đơn trị. 2 2. Nội dung luận văn Nội dung của luận văn gồm có 3 chương: Chương 1 nhắc lại các khái niệm, kết quả được sử dụng.Trong đó gồm có các khái niệm về không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón ; Bậc tôpô của ánh xạ đa trị và Nguyên lí đệ quy tổng quát. Các kết quả này được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo. Chương 2 gồm các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị . Phần 2.1 trình bày điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng và áp dụng vào phương trình dạng  1Lu Nu trong đó :L V P là ánh xạ đơn trị và  : 2 \PN V   là ánh xạ đa trị với V, P là các tập được sắp thứ tự, phần này chúng tôi tham khảo trong [3] , [4]. Phần 2.2 trình bày về điểm bất động của ánh xạ đa trị lõm. Đây là một số mở rộng của một kết qủa cổ điển và một số kết quả trong [10],[11]. Chương 3 gồm các kết quả về phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số. Phần 3.1 sử dụng bậc tôpô của ánh xạ đa trị cô đặc trình bày các kết quả về vectơ riêng của ánh xạ đa trị cô đặc trong không gian có thứ tự . Các kết qủa này chúng tôi tham khảo trong [8]. Phần 3.2 trình bày mở rộng của một kết qủa cổ điển về nhánh liên tục của tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số. 3. Phương pháp nghiên cứu 1. Sử dụng các nguyên lí tổng quát về tập có thứ tự như bổ đề Zorn, nguyên lí Entropy, nguyên lí đệ qui. 2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng. 3. Phương pháp bậc tôpô. 3 Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM - KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach và K là tập con của X. K được gọi là nón nếu: i) K đóng, khác rỗng và  K  . ii) , ; , 0; ,a b a b x y K ax by K      . iii) à 0x K v x K x     Ví dụ 1: Cho nX  .Ta xét   1 2, ,..., : , 0, 1,2,...,n i iK i n        Khi đó K là nón trong n . Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian Banach X với nón K, ta xét quan hệ  như sau: , ,x y X x y y x K      Khi đó quan hệ  có các tính chất: 1) Phản xạ: 0 ,x x K x x x X       2) Phản xứng: , ,x y K  nếu à y xx y v  thì y x K  và .x y K  Do iii) ta có 0y x  nên x y 3) Bắc cầu: , ,x y z X  nếu và y zx y  thì ày x K v z y K    Do ii) ta có    z x y x z y K      . Do đó x z . Vậy  là quan hệ thứ tự trên X. 4 Mệnh đề 1.1.1 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó: i) 0, , , ; x y x y z X x y x z y z             ii) Nếu , và lim , lim x y.n n n nn nx y n x x y y thì      iii) Nếu dãy  nx tăng (giảm) và hội tụ về x thì  , .n nx x x x n   Chứng minh i) Ta có   .x y y x K y x y x K x y               Tương tự     .x y y x K y x y z x z K x z y z               ii) .n n n nx y y x K    Vì  lim n nn y x y x    và K đóng nên y x K  .Do đó x y . iii) Giả sử  nx tăng. Với mỗi n, ta có n n mx x  . Cho m  ta có , .nx x n  Định nghĩa 1.1.2 i) Nón K trong X được gọi là nón miniheral mạnh nếu mọi tập M bị chặn trên trong X đều tồn tại supM. ii) Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón chuẩn nếu 0N  sao cho , ,  x y X x y thì x  N y Khi đó số N được gọi là hằng số chuẩn của K. iii) Nón K trong X được gọi là nón đều (chính qui) nếu mọi dãy đơn điệu tăng bị chặn trên trong X đều hội tụ. iv) Nón K trong X được gọi là nón tách (nón sinh) nếu , , :x X u v K x u v      5 Ví dụ 2: 1)   1 0,1 : 0K f C f   không là nón chuẩn trong  1 0,1C . 2)         1 0,1 : 0, 0, 0,1K x C x t x t t      là nón chuẩn trong  1 0,1C . 3) Nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong  0,1L là nón đều trong  0,1L 4) Nón các hàm không âm trong  0,1C không là nón đều. Mệnh đề 1.1.2 Cho K là nón chuẩn trong X . Khi đó: i)  , , ì u,v :u v X u v th x X u x v       là tập đóng và bị chặn. ii) Nếu  , 1,2,... à lim lim limn n n n n nn n nx y z n v x z x thì y x        iii) Nếu dãy đơn điệu  n nx có dãy con  kn kx hội tụ về x thì  n nx hội tụ về x Chứng minh i) ,u v đóng: Giả sử , , à limn nnx u v n v x x   . Ta có , ,nu x v n u x v x u v        ,u v bị chặn: , thì u x v x-u K, v-u K và x-u v-ux u v        Vì K là nón chuẩn nên x u N v u x u N v u       Do đó x N v u u M    ii) Giả sử , 0n n n n n n nx y z n y x z x        Do K là nón chuẩn nên  *n n n ny x N z x   Vì nlim lim nên z 0.n n nn nx z x x     Từ (*) cho n  thì 0n ny x  Do đó    n n n ny y x x x n     6 iii) Giả sử  n nx là dãy tăng có dãy con  kn kx hội tụ về x Ta có 00 , : . k kn n x x k x x N      Ta có n n, và x nên x ,k kn nx x k x x n     Khi đó 0k n n  thì 0 0 0 0 k k k n n n n n n x x x x x x x x x N x x              Vậy lim nn x x  . Định lí 1.1.1 Trong không gian Banach X với nón chuẩn K tồn tại chuẩn . * tương đương với chuẩn ban đầu . sao cho , , 0 * *x y X x y x y      Chứng minh Đặt    0,1 0,1A B K B K           * Ta chứng minh:    0,1 0,B A B r  , với 0r  đủ lớn. + Do  0 K K   nên  0,1 .B A + Chứng minh  0, , 0A B r r  . Thật vậy, nếu ngược lại ta có thể xây dựng dãy  n nx A với  nà y , 0,1 , ,n n n nx n v z B u v K   sao cho n n n n nx y u z v    Vì n n n nu v z y   nên 2n nu v  Do K là nón chuẩn nên 2n n nu N u v N   Do đó 1 2 ,n n nn x y u N n      (vô lý) 7 * Xét phiếm hàm Minkovski của tập A: * inf 0 : xx A x A         * , 0,x X x   gọi 0 *x  thì   0 x0,1 à 2 x B v A x   . Theo trên ta có   0 xà 0, 2 x A v B r x   nên * 2 à * x x x v r x   1 * * 2 x x r x   Khi 0x  thì đẳng thức xảy ra. Do đó chuẩn . * tương đương với chuẩn ban đầu . * Giả sử 0 x y  , ta có 0 : 0 :y x               Thật vậy, xét  sao cho y A  Vì 0x  nên  0 0,1x x xK B K        Vì x y nên x y y x K       Mà y K  nên theo định nghĩa A ta có y u v   với  0,1u B K  Do đó x A  Vì vậy * *.x y 8 Định lí 1.1.2 i) K là nón đều khi và chỉ khi mọi dãy đơn điệu giảm bị chặn dưới đều hội tụ. ii) K là nón đều thì K là nón chuẩn. Chứng minh i)   Giả sử K là nón đều. Xét dãy 1 2 ... ...nx x x x     Ta có dãy  1 n nx x đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 1x x nên hội tụ Vậy  n nx hội tụ.   Xét dãy 1 2 ... ...nx x x x     Ta thấy dãy  1 n nx x đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên hội tụ. Vậy  n nx hội tụ. ii) Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử K không là nón chuẩn. Khi đó , , , 0N N N NN x K y K x y       nhưng N Nx N y Cho  2 1,2,...N n n  ta được các dãy    ,n nn nx K y K  thỏa 20 ,n n n nx y x n y   Rõ ràng 0nx  . Xét các dãy ,n nn n n n x yx y x y    Ta có 2 10 , 1,n n n nx y x y n        nên chuỗi 1 n n y    hội tụ. Đặt 1 n n y y     thì  1 2 ... ny y y y n       Ta thấy dãy 1 2 ...n nz x x x      tăng và bị chặn trên bởi y. Vì K là nón đều nên  n nz hội tụ. Dẫn đến 1 0n n nx z z     Điều này mâu thuẫn với điều kiện 1nx  . Vậy K là nón chuẩn 9 Mệnh đề 1.1.3 Nếu nón K trong X có điểm trong 0u thì i) 0  sao cho x X  thì 0 0x u x x u    ii) K là nón tách. Chứng minh i)  0 0int 0 : ,u K r B u r K     * Với 0x  ta có  0 0 ,2 rxu B u r x   nên 0 02 rxu x   Do đó 0 02 2x u x x ur r   * Khi 0x  thì bất đẳng thức trên vẫn đúng. ii) Theo i) , 0x X     sao cho 0 0x u x x u    Đặt 0 0à 2 2 x u x x u x u v v     thì 0, 0u v  và x u v  Do đó ta được , à x=u-vu v K v . Vậy K là nón tách. Định lí 1.1.3 Nếu K là nón tách thì tồn tại hằng số 0M  sao cho , , :x X u v K    , ,x u v u M x v x    10 1.2 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị Bổ đề 1.2.1 Cho X là không gian mêtric , Y là không gian định chuẩn và : 2YF X  là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có tập giá trị lồi đóng. Khi đó với mọi 0 tồn tại ánh xạ liên tục  :f X co FX  sao cho với mọi x X , tồn tại y X và z Fy sao cho  ,d x y  và ( )f x z   . Chứng minh Với x X và 0  do F nửa liên tục trên nên tồn tại 0x  sao cho    ( , ) ,xF B x B Fx  . Ta có thể giả sử x  Gọi  i i IU  là họ tập mở hữu hạn làm mịn địa phương của ( , ) : 2 xB x x X    và  i i I  là một phân hoạch phụ thuộc duy nhất vào  i i IU  Ta định nghĩa :f X Y  xác định bởi ( ) ( ) i i i I f x x y x X      ở đây , 2 x i iU B x      và i iy Fx Rõ ràng  :f X co FX  liên tục. Với x X cho trước đặt  0 : ( ) 0iI i I x   . Khi đó tồn tại 0 0i I sao cho  0 0maxi ix xi I  Đặt 0i y x . Với 0i I ta có , 2       ix i ix U B x  nên   0 , ii i x x B x  Do đó ta có  ( ) ( ) B ,i i i I f x x y Fy      Lấy z Fy sao cho ( )f x z   ta có điều phải chứng minh. 11 Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian Banach, X là tập mở bị chặn và : 2XF  là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có tập giá trị lồi đóng .Giả sử F là tập compact tương đối và x Fx với mọi x . Khi đó ta định nghĩa bậc tôpô của ánh xạ F trên tại 0 xác định bởi     0 deg , ,0 limdeg , ,0I F I f     Với f định nghĩa ở bổ đề 1.2 .1. Định lý 1.2.1 [7] Bậc tôpô xác định ở định nghĩa 1.2.1 có các tính chất sau: i)  deg , ,0I  = 1 khi và chỉ khi 0 ii) Nếu  deg , ,0 0I F   thì F có điểm bất động trên  . iii) Đặt  : 0;1 2XtF  là ánh xạ compact nửa liên tục trên có tập giá trị lồi đóng và tx F x    , 0;1t x   . Khi đó  deg , ,0tI F  không phụ thuộc vào  0;1t iv) Nếu 1 2 1 ,         và 1 2 , x Fx x    thì      1 2deg , ,0 deg , ,0 deg , ,0I F I F I F        Cho X là không gian Banach ta định nghĩa độ đo phi compact của một tập hợp bị chặn trong X là hàm số : 2X  thỏa các điều kiện sau: i) ( ) 0A  khi và chỉ khi A là tiền copmact ( tức là A hoàn toàn bị chặn) ii)       max ,A B A B    iii)    coA A  Hai ví dụ tiêu biểu của độ đo phi compact là độ đo phi compact Kuratowski: 12  A = inf{ r>0 : A được phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp có đường kính nhỏ hơn r } và độ đo phi compact Hausdorff:  A =inf{ r>0 : A được phủ bởi một số hữu hạn các hình cầu có bán kính nhỏ hơn r } Định nghĩa 1.2.2 Cho X là không gian Banach và : 2XF X  là xạ đa trị . Khi đó i) F gọi là cô đặc nếu    F    với X và   0   ii) F gọi là k-set co nếu    F k    với X và   0   Với là độ đo phi compact Kuratowski hoặc độ đo phi compact Hausdorff. Nhận xét Mọi ánh xạ cô đặc đều là ánh xạ k-set co với k=1. Mọi ánh xạ compact đều là ánh xạ cô đặc và cũng là ánh xạ k-set co vì vế trái của bất đẳng thức ở định nghĩa trên bằng 0. Cho X là không gian Banach và K X là tập lồi đóng, U X là tập mở và U K  . Ta ký hiệu KU K U  Giả sử : 2KKF U  là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên , cô đặc và ( )K Kx Fx x U   . Ta xây dựng họ siêu hạn các tập hợp K như sau: 0 ( )KK coF U . Với mỗi số siêu hạn  mà K được định nghĩa với mọi   , khi đó ta đặt  1 KK coF K U   nếu  là số siêu hạn loại 1 và K K     nếu  là số siêu hạn loại 2. Ta có K giảm và do đó tồn tại  sao cho , K K      . Hơn nữa   Kx x U Fx K  và  KcoF K U K  13 mà F là cô đặc nên K là tập compact. Khi đó ta định nghĩa chỉ số điểm bất động  ,Ki F U của F trên U như sau: Nếu U K  thì  , 0Ki F U  Nếu U K   thì    1, deg , ( ),0Ki F U I F U    , với  là phép chiếu liên tục của X lên K và  1deg , ( ),0  I F U là bậc tôpô của ánh xạ đa trị xác định ở định nghĩa 1.2.1. Định lý 1.2.2 [ 9 ] Cho X là không gian Banach và K X là tập lồi đóng, U X là tập mở Ánh xạ đa trị : 2KKF U  là nửa liên tục trên , cô đặc và ( )K Kx Fx x U   . Khi đó: i) Nếu  , 0Ki F U  thì F có điểm bất động. ii) Nếu 0 Kx U thì  0, 1K Ki F U  với  0 0 KF x x x U   iii) Nếu 1 2 1 , U U U U U   và 1 2 , K Kx Fx x U U    thì      1 2, , ,K K Ki F U i F U i F U  iv) Nếu  : 0;1 2KKH U  là nửa liên tục trên và      0;1H    với KU thỏa   0   và      , 0;1 K Kx H t x t x U     thì      1, , = 0, ,K Ki H U i H U 14 Định lý 1.2.3 [ 9 ] Cho X là không gian Banach với nón K và  1 2, 0;r r   , đặt  1 2max ,r r r . Ánh xạ đa trị  : 0; 2KF B r K  là nửa liên tục trên và cô đặc . Giả sử ánh xạ F thoả : i) Tồn tại ,w K w   sao cho    1 >0, 0;Kx F x tw t x B r     ii)    2 >1, 0;Kx F x x B r     Khi đó F có điểm bất động 0x thoả    1 2 0 1 2min ; max ;r r x r r  1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát Định nghĩa 1.3.1 Cho tập hợp P   , khi đó  ,P  được gọi là tập sắp thứ tự một phần nếu trên P có quan hệ thứ tự  thỏa: i) Phản xạ: x x x P   ii) Đối xứng: Nếu à y xx y v  thì ,x y x y P   iii) Bắc cầu: Nếu à y zx y v  thì , ,x z x y z P   Ta ký hiệu x y nếu à x yx y v  . Ví dụ:      , , , , ,   là các tập được sắp thứ tự. Định nghĩa 1.3.2 Tập hợp có thứ tự P gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều có phần tử đầu tiên. Mệnh đề 1.3.1 (Nguyên lí đệ quy) Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự  ,P  , D và ánh xạ :F D P . Khi đó tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho: 1)    *xx C x F C   (với  ,xC y C y x   ). (1.3.1) 2) Nếu C D thì  F C không phải là cận trên chặt của C. 15 Chứng minh Đặt    0 2 1, min \x F P k y C C     Gọi M là tập tất các xích sắp tốt C của P có tính chất: x C thì  xx F C . Ta có M   vì  0C x M  Ta sẽ chứng minh M M  Bổ đề 1.3.1 Nếu 1 2 2 1, à CC C M v C  thì 1 2 xC C với  2 1min \x C C Chứng minh Vì  2 1min \x C C nên 2 1xC C . Thật vậy, lấy 2 xy C thì 2 à y < xy C v nên 2 1\y C C suy ra 1y C Giả sử 1 2\ xC C   đặt  1 2min \ xy C C . Ta có:  1 2 1 2y xC C C C   (do 2 1xC C ) Ta sẽ chứng minh 1 2y xC C Thật vậy, giả sử 1 2y xC C khi đó  2 1min \x yz C C  nên  2 1zx yC C suy ra 2 1z yC C (vì z x ) (1) Mặt khác  2 1 2xz C C C   nên 1z C Mà 1 yz C , do đó y z Ta có 1 2 y xC C nên 1 2 2y y zC C C  (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 1z yC C hay    2 1 ,z yz F C F C y   Mâu thuẫn vì 2 2,x xz C y C  Suy ra 2 1 x yC C hay    1 2y xy F C F C x   mâu thuẩn vì 1 1,y C x C  Vậy 1 2 1 2\ x xC C hay C C   16 Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 1.3.1: 1) Theo bổ đề trên thì hai xích bất kì thuộc M đều chứa nhau. Đặt C M  . Nếu ta chứng minh được C thỏa điều kiện (*) thì suy ra C chính là xích duy nhất của P thỏa mãn điều kiện của mệnh đề. a) Chứng minh C sắp tốt: Lấy D C  Chọn 1C M sao cho 1D C  , đặt  1minx D C  Lấy bất kì y thuộc D thì 2C M  để 2y C - Nếu 1y C thì x y -Nếu 1y C thì 2 1C C nên theo bổ đề trên ta có 1 2kC C với  2 1min \k C C , mà 2 1,y C y C  nên  2 1\y C C do đó k y . Suy ra 2 2 k yC C , tức là 1 2 2k yy C C C   . Do 1x C nên x y . Vậy ,x y y D   suy ra minx D tồn tại hay C là xích xếp tốt. b) Chứng minh C thỏa điều kiện (*): Lấy x C , chọn 1C M sao cho 1x C . Lấy xy C thì 2C M  để 2 xy C . - Nếu 2 1C C thì 1xy C . - Nếu ngược lại 2 1C C thì theo bổ đề trên 1 2kC C với  2 1min \k C C . Do 1x C nên 2kx C suy ra x<k Suy ra  1 2 2xx k xC C C  hay 1xy C Tức là 1 ,x xy C y C   hay 1x xC C Hiển nhiên có 1x xC C . Do đó 1x xC C Suy ra    1x xx F C F C  Vậy C thỏa điều kiện (*) và ta có điều phải chứng minh. Nếu C D , đặt  a F C 17 Ta sẽ phủ định mệnh đề ,x a x C   Thật vậy, nếu ,x a x C   thì    aa F C F C  Suy ra a C , mâu thuẫn . Vậy F(C) không phải là một cận trên chặt của C. Mệnh đề 1.3.2 Cho :G P P và c P khi đó tồn tại duy nhất tập sắp tốt C=C(G) trong P ( gọi là tập sắp tốt của phép lặp cG) sao cho   sup , xx C x c G C   (1.3.2) Chứng minh Đặt D  { /W P W là tập xếp tốt và tồn tại  sup( , )c G W } Định nghĩa :f D P xác định bởi  ( ) sup{ , }f W c G W thì f thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề 1.3.1 Áp dụng mệnh đề 1.3.1 ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.3.3 Cho  : 2 \PF P   và c P . Gọi M là tập tất cả các lựa chọn của F , tức là M  : ( ) ( ) G P P G x F x x P     (1.3.3) Với mỗi :G P P ta gọi GC là đoạn đầu dài nhất của tập sắp tốt C(G) của phép lặp cG sao cho hạn chế GC G của G lên GC là tăng . Định nghĩa quan hệ thứ tự trên M như sau: (o) F G nếu và chỉ nếu F GC C và F FC CG F Khi đó ( M ,  ) có phần tử lớn nhất. Chứng minh Lấy 0G M và gọi D là tập chứa tập  và các tập con W sắp tốt, có cận trên chặt của ( M ,  ) mà 0 minG W .Đặt :f D M là ánh xạ thoả   0f G  và f biến mỗi tập con khác rỗng W của D thành một cận trên chặt của nó. Theo mệnh đề 1.3.1 tồn tại duy nhất tập sắp tốt  của thoả  GG G f   . 18 Từ định nghĩa (o) của  thì , FC F  là họ chứa nhau các tập con sắp tốt của P do đó tập  FC C F  là sắp tốt . Hơn nữa cũng định nghĩa (o) thì các hàm , FC F F  chứa nhau nên  ,FCg F F  là hàm từ C vào P. Vì mỗi hàm F  là tăng trên FC nên g tăng và     g x F x x C   . Lấy GM sao cho CG g thì G tăng trên C. Nếu x C thì tồn tại F  sao cho Fx C . Vì F F FC C C F g G  nên      sup , sup ,x xF Fx c F C c G C  Điều này đúng với mọi F  mà Fx C do đó       sup , sup , : ,x xF F Fx c G C c G C F x C    (1.3.4) Điều này chứng tỏ GC C . Nếu GC C thì G là một cận trên chặt của  , do đó  f  tồn tại và là một cận trên chặt của  , điều này mâu thuẫn với kết quả ở mệnh đề 1.3.1. Vậy GC C Nếu F M và G F thì G GC C F G do CF g . Do đó theo chứng minh trên thì F GC C C  . Kết hợp với (o) suy ra G=F hay G là phần tử lớn nhất của ( M,  ) . 19 Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG 2.1 Điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng Trong phần này chúng ta khảo sát sự tồn tại điểm bất động lớn nhất và bé nhất của ánh xạ đa trị  : 2 \PF P   với P là tập được sắp thứ tự. Định nghĩa 2.1.1 a) Với , 2xA B  thì , :A B u A v B u v       b) Cho P X và ánh xạ đa trị  : 2 \PF P   . Khi đó v P gọi là điểm bất động của F nếu v Fv . * v Fv gọi là điểm bất động cực đại của F nếu u Fu và v u thì u v . * v Fv gọi là điểm bất động cực tiểu của F nếu u Fu và u v thì u v . Định nghĩa 2.1.2 Cho các tập sắp thứ tự X , P, ta nói ánh xạ đa trị  : 2 \PF X   tăng phía trước nếu x y trong X và  z F x thì    z F y   ; F tăng phía sau nếu x y trong X và  w F y thì    w F x   . Nếu F vừa tăng phía trước vừa tăng phía sau thì ta nói F tăng. Định nghĩa 2.1.3 Cho A là tập con khác rỗng của Y trong tập sắp thứ tự P. Ta nói A compact thứ tự phía trước trong Y nếu mọi xích C của P mà có supermum trong P thì   :y A y C    , trong đó   , y A y C     . Nếu mọi xích C của P , có infimum trong P mà   :y A y C    , trong đó   , y A y C     thì ta nói A compact thứ tự phía sau trong Y . Nếu A vừa compact thứ tự phía trước vừa compact thứ tự phía sau thì ta nói A compact thứ tự trong Y. Nếu Y=A thì ta nói A compact thứ tự . 20 Nhận xét: Mọi tập sắp thứ tự P là compact thứ tự.Nếu tập con A của P có phần tử lớn nhất ( bé nhất) thì A compact thứ tự phía trước ( phía sau) trong mọi tập con của P chứa A. Một tập compact thứ tự không nhất thiết phải compact tôpô cũng không nhất thiết phải đóng. Ngược lại một tập con A compact trong không gian tôpô có thứ tự thì hiển nhiên compact thứ tự trong mọi tập con chứa A. Bổ đề 2.1.1 Tập con A của tập sắp thứ tự P là compact thứ tự phía trước trong A khi và chỉ khi mỗi xích của A có supermum trong P đều có chặn trên trong A. Chứng minh Giả sử A compact thứ tự phía trước và C là một xích trong A có supermum trong P. Khi đó   , y y A y C    nên   , y A y C     . Suy ra tồn tại   :x y A y C   . Hơn nữa x A và y x do đó x là chặn trên của C trong A. Ngược lại nếu x A là một chặn trên của C trong A thì   , x y A y C    do đó   :x y A y C   . Điều này đúng với mọi xích C của A có supermum trong P nên A compact phía trước. Định nghĩa 2.1.4 Ta nói tập con A của tập sắp thứ tự P là đầy đủ tương đối theo xích trong P nếu mọi xích khác rỗng của A đều có supermums và infimums trong P. Tập hợp tất cả các supermums và infimums của các xích của A gọi là bao đóng thứ tự của A , ký hiệu bởi 0A 21 Định nghĩa 2.1.5 Ta nói tập con A của tập sắp thứ tự P có sup-center c trong P nếu c P và  sup ,c x tồn tại với mọi x A . Nếu  inf ,c x tồn tại với mọi x A thì c là inf- center của A trong P . Nếu c vừa là sup-center vừa là inf-center thì ta nói C là order- center của A. Mệnh đề 2.1.1 Giả sử  : 2 \PF P   tăng phía trước và có giá trị compact thứ tự phía trước trong F[P] với F[P} là tập đầy đủ tương đối theo xích trong P và 0[ ]F P có sup-center trong P. Khi đó tồn tại x P sao cho   x F x   . Chứng minh Gọi c P là sup-center của 0[ ]F P và M được định nghĩa như ở mệnh đề 1.3.3 cùng với quan hệ thứ tự  . Theo mệnh đề 1.3.3 thì ( M ,  ) có phần tử lớn nhất là G. Gọi C(G) là tập xếp tốt của phép lặp cG và GC C là đoạn đầu dài nhất của C(G) khi G tăng . Do C sắp tốt và G tăng trên C nên G[C] là tập xếp tốt chứa trong F[P]. Theo giả thiết thì w=supG[C] tồn tại trong P. Hơn nữa  sup ,x c w tồn tại do c là sup-center của 0[ ]F P . Suy ra =sup{c,G[C]}, kết hợp với (1.3.4) suy ra với mỗi x C thì      sup , sup ,xx c G C c G C x   .Điều này chứng tỏ x là một chặn trên của C. Cố định  y G C . Khi đó    y G x F x  với x C . Do x x và F tăng phía trước nên    y F x   .Điều này đúng với mọi y của xích G[C] trong F[P] và do  F x là compact thứ tự phía trước trong F[P] nên       :y F x y G C   . 22 Chọn       :z y F x y G C   . Do    z y F x  và   ,y z y G C   nên w = supG[C] z Ta sẽ chứng minh maxx C . Thật vậy, giả sử ngược lại x là cận trên chặt của C . Lấy AM sao cho    ,C x C x zA G  . Do G tăng trên C và      A x G x w z A x    x C  nên A tăng trên  C x . Hơn nữa          sup , sup , sup , :x c G C c A C c A y C x y x        do đó  C x là tập con của đoạn đầu dài nhất FC của tập xếp tốt của phép lặp cA khi A tăng . Suy ra G AC C C  và G AC CA A hay G A , điều này mâu thuẫn vì G là phần tử lớn nhất của ( M ,  ) . Vậy maxx C . Do G tăng trên C nên      sup , sup ,x c G C c G x  . Ta có  G x x và    G x F x nên     G x x F x  . Tương tự mệnh đề 2.1.1 ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.2 Giả sử  : 2 \PF P   tăng phía sau và có giá trị compact thứ tự phía sau trong F[P] với F[P} là tập đầy đủ tương đối theo xích trong P và 0[ ]F P có inf- center trong P. Khi đó tồn tại x P sao cho    x F x   . 23 Mệnh đề 2.1.3 Giả sử  : 2 \PF P   tăng phía trước có giá trị compact thứ tự phía trước trong F[P] với F[P] đầy đủ tương đối theo xích trong P và     S x P x F x      . Khi đó f có điểm bất động lớn nhất và là phần tử lớn nhất của S . Chứng minh Đặt D  { /W S W là tập xếp tốt và có cận trên chặt trong S } Ta có: D Xét ánh xạ :f D X xác định bởi:     [ )W f W y F x x    , trong đó x là một cận trên chặt của W trong S Hiển nhiên f được định nghĩa tốt. Áp dụng mệnh đề 1.3.1 thì tồn tại duy nhất tập xếp tốt C của P thỏa điều kiện: 1)    *xx C x f C   (với  ,xC y C y x   ). 2) Nếu C D thì  f C không phải là cận trên chặt của C. Do  C F P là tập đầy đủ tương đối theo xích nên tồn tại supz C P  . Vì F tăng phía trước nên     y F z y C    . Mặt khác vì F(z) compact thứ tự phía trước trong F[P] nên tồn tại     w y F z y C   . Suy ra y w y C   do đó w là một cận trên của C, mà supz C nên z w , suy ra    w z F z  . Vậy z S . Ta chứng minh maxz C , thật vậy vì nếu không thì f(C) tồn tại và là một cận trên chặt của C, điều này mâu thuẫn với mệnh đề 1.3.1. Chứng minh tương tự ta có maxz S . Lấy    x z F z  thì x S và z x , mà maxz S nên  z x F z  Nếu  x F x và z x thì x S nên x=z . Vậy z là điểm bất động lớn nhất của F. 24 Tương tự mệnh đề 2.1.3 ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.4 Giả sử  : 2 \PF P   tăng phía sau có giá trị compact thứ tự phía sau trong F[P] với F[P] đầy đủ tương đối theo xích trong P và     S x P x F x       . Khi đó F có điểm bất động bé nhất và là phần tử bé nhất của S . Sử dụng các kết quả trên ta khảo sát sự tồn tại điểm bất động lớn nhất và bé nhất của ánh xạ  : 2 \PF P   Định lý 2.1.1 Giả sử  : 2 \PF P   tăng ,có giá trị compact thứ tự trong F[P] với F[P] đầy đủ tương đối theo xích trong P. Khi đó nếu  0F P có sup-center hoặc inf- center thì F có điểm bất động cực đại và cực tiểu. Chứng minh Giả sử  0F P có sup-center. Khi đó các điều kiện của mậnh đề 2.1.1 được thoả nên tồn tại x P sao cho   x F x   . Suy ra các điều kiện của mệnh đề 2.1.4 thoả nên F có điểm bất động bé nhất . Nếu  0F P có inf-center . Khi đó các điều kiện của mệnh đề 2.1.2 được thoả nên tồn tại x P sao cho    x F x   . Suy ra các điều kiện của mệnh đề 2.1.3 thoả nên F có điểm bất động lớn nhất . 25 Sau đây ta sẽ mở rộng một số kết quả được trình bày ở trên. Ta xét phương trình dạng:  1Lu Nu Trong đó :L V P là ánh xạ đơn trị và  : 2 \PN V   là ánh xạ đa trị với V, P là các tập được sắp thứ tự. Trên V ta định nghĩa thêm một thứ tự như sau ( gọi là thứ tự theo graph của V ) u v u v  và Lu Lv Định lý 2.1.2 Giả sử P có sup-center hoặc inf-center và các ánh xạ._.