Phương thức sóng phi thuyến bị nhiễu xấp xỉ tuyến tính và dáng điệu tiệm cận của nghiệm

NG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CÔNG TÂM Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy Nguyễn Công Tâm lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự giúp đỡ của Thầy trong việc hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hoàn Hóa và thầy Nguyễn Thành Long đã đọc và cho nhiều ý kiến đóng góp bổ ích. Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Đại học khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học. Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám hiệu trường THPT Chuyên Hùng Vương – Bình Dương đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học. Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học giải tích K16 cũng như các anh chị và các bạn trong nhóm xemina do Thầy Nguyễn Thành Long chủ trì đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu. Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 – 2008. Nguyễn Văn Ý MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ ...................................................... 5 1.1. Các không gian hàm thông dụng....................................................... 5 1.2. Không gian hàm (0, ; )pL T X , .1 p≤ ≤ ∞ ............................................ 6 1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach. .................................... 7 1.4. Đạo hàm trong (0, ; )pL T X ................................................................ 8 1.5. Bổ đề về tính compact của Lions. ..................................................... 8 1.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ( )qL Q . ................................................. 9 1.7. Một số kết quả khác .......................................................................... 9 Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM............................... 10 2.1. Giới thiệu ......................................................................................... 10 2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính............................................................. 10 2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm......................................................... 21 Chương 3: SỰ HỘI TỤ CẤP HAI............................................................... 25 3.1. Dãy lặp cấp hai................................................................................25 3.2. Sự hội tụ bậc hai..............................................................................34 Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI , .0 0+ +→ →λ δ ..................... 40 4.1. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số , .λ δ ............ 40 4.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo một tham số λ . ............. 42 4.3. Khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp 1.N + ....................... 45 Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ. ........................ 54 KẾT LUẬN .................................................................................................... 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 57 1 MỞ ĐẦU Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,...) rất phong phú và đa dạng. Đây là nguồn đề tài mà rất nhiều nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn như trong [2, 4 – 12, 14 – 22] và các tài liệu tham khảo trong đó. Chính vì vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và thực tiễn. Trong luận văn nầy, chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lí điểm bất động, phương pháp khai triển tiệm cận... nhằm khảo sát một bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong khoa học và ứng dụng. Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau (0.1) ( , ) ( , ), 0 1, 0 ,tt x tu u u u F x t x t Tx σ λ∂− + = < < < <∂ (0.2) (0, ) (1, ) 0,u t u t= = (0.3) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tu x u x u x u x= =  (0.4) ( , ) ( ),x xu u u f uσ δ= + trong đó ,λ δ là các hằng số không âm cho trước; , ,f F 0 1, ,u u  là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Trường hợp ( , )x xtu uσ σ= đã có rất nhiều công trình nghiên cứu. Khởi đầu với trường hợp ( , ) ( ) ,x xt x xtu u u uσ σ β λ= = + 0,λ > 2 ( ),Cβ ∈ \ (0) 0,β = 0,β ε′ ≥ > bài toán (0.1) – (0.3) đã được xét bởi Greenberg, MacCamy, Mizel [10]. Đây là mô hình toán học mô tả dao động dọc của một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến, ( , )u x t là độ dịch chuyển so với vị trí cân bằng. Từ khi xuất hiện 2 công trình [10], đã có rất nhiều công trình công bố liên quan đến bài toán nầy, chẳng hạn như: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6], Andrews [2], Clements [4]. Phương trình (0.1) với (0.4) về mặt hình thức có dạng (0.5) ( , , , , ),tt xx x tu u f x t u u u− = trong đó ( , , , , ) ( , ) ( ) ,x t x tf x t u u u F x t f u u uδ λ′= + − tuy nhiên về mặt ý nghĩa thì có những điểm khác biệt riêng. Trong [9], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (0.6) 31 22 ,xx tt tu u u u u bα α ε− − − = + với 0ε > bé. Trong bài báo của Caughey và Ellison [5], đã hợp nhất các xấp xỉ trong các trường hợp trước đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm cận của nghiệm cổ điển cho một hệ động lực phi tuyến liên tục. Trong [7], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận khi 0ε → của nghiệm yếu của bài toán (0.3), (0.5) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất (0.7) (0, ) (1, ) 0,u t u t= = trong đó các số hạng phương trình (0.5) cho bởi (0.8) 1( , , ).tf f t u uε= Nếu 21 ([0, ] ) Nf C∈ ∞ ×\ thỏa 1( ,0,0) 0f t = với mọi 0,t ≥ một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.3), (0.7), (0.8) đến cấp 1N + theo ε thu được với ε đủ nhỏ. Trong [14, 15], Long và Alain Phạm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5) với số hạng phi tuyến có dạng 1( , ).tf f u u= Trong [14], các tác giả xét nó với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất (0.9) (0, ) (0, ) ( ), (1, ) 0,xu t hu t g t u t= + = 3 trong đó 0h > là hằng số cho trước và trong [15] với điều kiện tổng quát hơn (0.10) 0 (0, ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) , (1, ) 0. t xu t g t hu t k t s u s ds u t= + − − =∫ Trong [16], Long và Diễm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5) với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất (0.11) 0 1(0, ) (0, ) (1, ) (1, ) 0,x xu t h u t u t hu t− = + = trong đó 0 1, h h là các hằng số không âm cho trước với 0 1 0h h+ > và các số hạng phi tuyến vế phải có dạng (0.12) 1( , , , , ) ( , , , , ).x t x tf f x t u u u f x t u u uε= + Trong trường hợp 2 3 1 31([0,1] [0, ) ), ([0,1] [0, ) )f C f C∈ × ∞ × ∈ × ∞ ×\ \ các tác giả đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu uε đến cấp hai theo ,ε với ε đủ nhỏ [16]. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán (0.1) – (0.4). Chứng minh được nhờ vào phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact. Tiếp đến chúng tôi khảo sát sự tồn tại của dãy lặp cấp hai và sự hội tụ của dãy này về nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4) tương ứng. Sau cùng chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu ,uλ δ (phụ thuộc ,λ δ ) của bài toán (0.1) – (0.4) khi ( , ) (0 ,0 )λ δ + +→ cũng như sự khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo tham số nhiễu λ đến cấp 1,N + tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo λ (0.13) l 0 ( , ) ( , ) , N k k k u x t u x tλ λ = ≈∑ theo nghĩa cần chỉ ra các hàm l( , ), 0,1,..., ,ku x t k N= và thiết lập đánh giá theo dạng 4 (0.14) l l 2 1 0 1 0 0(0, ; ) (0, ; ) . N N k k N t k k Tt k kL T L L T H u u u u Cλ λλ λ λ ∞ ∞ + = = − + − ≤∑ ∑ Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn. ¾ Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm. ¾ Chương 2, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4). ¾ Chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai về nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4). ¾ Chương 4, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4) và sự khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp 1.N + ¾ Chương 5, minh họa cho khai triển tiệm cận theo λ ở chương 4 bằng một trường hợp cụ thể. 5 Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ. 1.1. Các không gian hàm thông dụng. Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau (0,1), (0, ), 0TQ T TΩ = =Ω× > và bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: ( ),mC Ω ( ),pL Ω ( ),mH Ω , ( ).m pW Ω Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau: ( ),p pL L= Ω ( )m mH H= Ω ,2 ( ),mW= Ω , , ( ).m p m pW W= Ω ( có thể xem trong [1, 3]). Ta định nghĩa 2 2 ( )L L= Ω là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.1.1) 1 2 0 , ( ) ( ) , , .= ∈∫u v u x v x dx u v L Kí hiệu . để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.1), nghĩa là (1.1.2) 1 1 22 2 0 , ( ) , . ⎛ ⎞= = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∫u u u u x dx u L Định nghĩa không gian Sobolev cấp 1 (1.1.3) { }1 2 2: .H v L v L′= ∈ ∈ Không gian này cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (1.1.4) 1, , , .Hu v u v u v′ ′= + Kí hiệu 1. H để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.4), nghĩa là (1.1.5) 1 1 1, , .H Hu u u u H= ∈ Ta có bổ đề liên hệ giữa hai không gian 2L và 1H sau Bổ đề 1.1. Phép nhúng 1 0 ( )H C Ω- là compact và (1.1.6) 0 1 1( ) 2 , .C Hv v v HΩ ≤ ∀ ∈ Chứng minh. Xem Adams[1]. 6 Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không gian (1.1.7) 11 1 0 ( ) ( ) . HH cH D C ∞= Ω = Ω Bổ đề 1.2. Ta có phép nhúng từ 1 00 ( )H C Ω- là compact và (1.1.8) 0 1 0 1 1 1 0 1 0( ) 1 0 , 1 . 2 xC H xH H H v v v v H v v v v v H Ω⎧ ≤ = ∀ ∈⎪⎨ ≤ = ≤ ∀ ∈⎪⎩ Chứng minh bổ đề 1.2 không khó khăn. Một cách đặc trưng khác để xác định 10H là (1.1.9) { }1 10 : (0) (1) 0 .H v H v v= ∈ = = Bổ đề 1.3. Đồng nhất 2L với 2( )L ′ (đối ngẫu của 2L ). Khi đó ta có 1 0H - 2 2( )L L ′≡ - 1 10( )H H −′ ≡ với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật. Chú thích 1.2. Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng ,⋅ ⋅ trong 2L để chỉ cặp tích đối ngẫu 1 1 0, , H H−⋅ ⋅ giữa 10H và 1H − . Chuẩn trong 2L được ký hiệu bởi . . Ta cũng ký hiệu X ⋅ để chỉ chuẩn trong không gian Banach X và gọi X ′ là không gian đối ngẫu của .X 1.2. Không gian hàm .(0, ; ), 1≤ ≤ ∞p pL T X Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là . X ⋅ Ta kí hiệu (0, ; ),pL T X 1 p≤ ≤ ∞ là không gian các lớp tương đương chứa hàm : (0, )u T X→ đo được sao cho 1 (0, ; ) 0 ( ) ,p T pp L T X X u u t dt ⎛ ⎞= < ∞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ nếu 1 p≤ < ∞ và 7 (0, ; ) 0 sup ( ) ,pL T X X t T u ess u t < < = nếu .p = ∞ Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy trong Lions[13]. Bổ đề 1.4. (0, ; ), 1≤ ≤ ∞p pL T X là không gian Banach. Bổ đề 1.5. Gọi X ′ là đối ngẫu của X. Khi đó, với , 1 pp p ′ = − 1 ,p< < ∞ (0, ; )pL T X′ ′ là đối ngẫu của (0, ; ).pL T X Hơn nữa, nếu X phản xạ thì (0, ; )pL T X cũng phản xạ. Bổ đề 1.6. 1( (0, ; )) (0, ; ).L T X L T X∞′ ′= Hơn nữa, các không gian 1(0, ; ),L T X (0, ; )L T X∞ ′ không phản xạ. Chú thích 1.3. Nếu ( ) thì (0, ; ) ( (0, )).p p pX L L T X L T= Ω = Ω× 1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach. Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ ((0, ))D T vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong .X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là ((0, ; ))D T X′ = ( ((0, )); )L D T X = {u: ((0, ))D T →X: u tuyến tính, liên tục}. Chú thích 1.4. Ta kí hiệu (0, )D T thay cho ((0, ))D T hoặc ((0, ))cC T ∞ để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0, ).T Định nghĩa 1.2. Cho (0, ; ).′∈u D T X Ta định nghĩa đạo hàm du dt theo nghĩa phân bố của u bởi công thức (1.3.1) , , (0, ).= − ∀ ∈du du D T dt dt ϕϕ ϕ Bổ đề 1.7. (0, ; ) (0, ; )pL T X D T X′⊂ với phép nhúng liên tục. 8 Chứng minh của bổ đề 1.7 có thể tìm thấy trong Lions[13]. 1.4. Đạo hàm trong (0, ; ).pL T X Do bổ đề 1.7, u ∈ (0, ; )pL T X ta có thể coi (0, ; )u D T X′∈ và do đó du dt là phần tử của (0, ; ).′D T X Ta có kết quả sau: Bổ đề 1.8. Nếu , (0, ; )pu u L T X′∈ thì u bằng hầu hết một hàm liên tục từ [0, ]T vào .X Chứng minh của bổ đề 1.8 có thể tìm thấy trong Lions[13]. 1.5. Bổ đề về tính compact của Lions. Cho ba không gian Banach 0 1, , X X X với 0 1X X X- - với các phép nhúng liên tục sao cho (1.5.1) 0 1, X X là phản xạ, (1.5.2) Phép nhúng 0X X- là compact. Với 0 , 1 , 0,1.iT p i< < +∞ ≤ ≤ +∞ = Ta đặt (1.5.3) { }0 10 1(0, ) (0, ; ) : (0, ; ) .p pW T v L T X v L T X′= ∈ ∈ Ta trang bị cho (0, )W T chuẩn sau (1.5.4) 0 1 0 1(0, ) (0, ; ) (0, ; ) .p pW T L T X L T Xv v v′= + Khi đó (0, )W T là không gian Banach. Hiển nhiên (0, )W T - 0 (0, ; ).pL T X Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact. Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[13]). Với giả thiết (1.5.1), (1.5.2) và nếu 1 , 0,1< < ∞ =ip i thì phép nhúng 0(0, ) (0, ; )pW T L T X- là compact. Chứng minh. Có thể tìm thấy trong Lions[13], trang 57. 9 1.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ( ).qL Q Bổ đề 1.10. Cho Q là tập mở, bị chặn của N\ và , ( ), 1qmG G L Q q∈ < < +∞ sao cho, ,qm LG C≤ trong đó C là hằng số độc lập với m và mG G→ hầu khắp nơi trong Q. Khi đó, mG G→ yếu trong ( ).qL Q 1.7. Một số kết quả khác. Bổ đề sau đây liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất cần thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau. Bổ đề 1.11. (Bổ đề Gronwall). Giả sử [ ]: 0,f T →\ là hàm khả tích, không âm trên [ ]0,T và thỏa bất đẳng thức 1 2 0 ( ) ( ) t f t C C f s ds≤ + ∫ với hầu hết [0, ],t T∈ trong đó 1 2,C C là các hằng số không âm. Khi đó 21( ) , C tf t C e≤ với hầu hết [0, ].t T∈ Cuối cùng ta cần đến bổ đề sau. Bổ đề 1.12. Cho dãy m{ }η thỏa mãn (1.7.1) 0 10, 0 , 1,2,...m m mη η ζη τ−= ≤ ≤ + = trong đó 0 1, 0ζ τ≤ < ≥ là các hằng số cho trước. Khi đó (1.7.2) , 1m τη ζ≤ − với mọi 1.m ≥ Trong luận văn ta kí hiệu ( )u t , ( ) ( ),tu t u t=  ( ) ( ),ttu t u t=  ( ) ( ),xu t u t=∇ ( ) ( )xxu t u t= Δ để lần lượt chỉ 2 2 2 2( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ). u u u uu x t x t x t x t x t t t x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 10 Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM. 2.1. Giới thiệu. Trong chương này chúng tôi xét bài toán biên và giá trị đầu sau: (2.1.1) ( ) 0 1 ( ) ( , ), 0 1, 0 , (0, ) (1, ) 0, ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), tt x tx t u u f u u F x t x t T u t u t u x u x u x u x δ λ− + + = < < < <⎧⎪ = =⎨⎪ = =⎩   trong đó ,λ δ là các hằng số không âm cho trước; 0 1, , , f F u u  là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lí tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Xét một cơ sở trực giao { }jw của 1 0H và trực chuẩn trong 2L gồm các hàm 2 sin( ), 1,2,...jw j x j= π = được lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace 2 2x ∂−Δ = − ∂ sao cho 2 1 2 0, , , 1,2,.... j j j j jw w j w H H jλ λ π−Δ = = ∈ ∩ = Hơn nữa, dãy { }/j jw λ cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của 10H đối với tích vô hướng (2.1.2) 1 0 , ( , ) , .x xHu v a u v u v= = 2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính. Ta thành lập các giả thiết sau: 1( )H 0, 0,λ δ> ≥ 2( )H 1 2 1 0 0 1 0, , u H H u H∈ ∩ ∈  3( )H 2, (0, ; ),FF L L x ∞∂ ∈ ∞∂ thỏa (0, ) (1, ) 0, 0,F t F t t= = ∀ ≥ 11 4( )H 2 ( )f C∈ \ và (0) 0.f ′ = Bài toán (2.1.1) được viết lại (2.2.1) i( , , , ), 0 1, 0 ,xx xu u u f x t u u x t Tλ− + = < < < <  (2.2.2) (0, ) (1, ) 0,u t u t= = (2.2.3) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),u x u x u x u x= =   trong đó (2.2.4) i( , , ( , ), ( , )) ( , ) ( ( , )) ( , ).x xf x t u x t u x t F x t f u x t u x tδ ′= + Với 0,M > 0,T > ta đặt: (2.2.5) { }( )( , ) sup ( ) : 2 ( 1, 2),ii iK K M f f u u M i= = ≤ = (2.2.6) 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 (0, ; ) (0, ; ) ( ) ( , ) { (0, ; ) : (0, ; ), ( ), , , }, T T L T H H L T H L Q W M T v L T H H v L T H v L Q v v v M∞ ∞ ∞ ∞ ∩ = ∈ ∩ ∈ ∈ ≤     (2.2.7) { }21( , ) ( , ) : (0, ; ) .W M T v W M T v L T L∞= ∈ ∈ Tiếp theo, ta xây dựng dãy { }mu trong 1( , )W M T bằng qui nạp và chứng minh nó hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với sự lựa chọn 0,M > 0T > thích hợp. Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau: Chọn số hạng đầu 0 1( , ).u W M T∈ Giả sử rằng (2.2.8) 1 1( , ).mu W M T− ∈ Ta liên kết bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với bài toán biến phân sau: Tìm 1( , )mu W M T∈ sao cho (2.2.9) 10( ), ( ( ), ) ( ), ( ), ,m m m mu t v a u t v u t v F t v v Hλ+ + = ∀ ∈   (2.2.10) 0 1(0) , (0) , m mu u u u= =   trong đó 12 (2.2.11) i 1 1 1 1 ( , ) ( , , ( , ), ( , )) ( , ) ( ( , )) ( , ). m m m m m F x t f x t u x t u x t F x t f u x t u x tδ − − − − = ∇ ′= + ∇ Sự tồn tại của mu được cho bởi định lí sau Định lí 2.1. Giả sử 1 4( ) ( )H H− là đúng. Khi đó, tồn tại các hằng số dương ,M T và một dãy qui nạp tuyến tính 1{ } ( , )mu W M T⊂ xác định bởi (2.2.9) – (2.2.11). Chứng minh. Gồm các bước sau. Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Xét một cơ sở trực giao Hilbert { }jw của 1 0H và trực chuẩn trong 2L như trong mục 2.1. Đặt (2.2.12) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , k k k m mj j j u t c t w = =∑ trong đó ( ) ( )kmjc t thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: (2.2.13) ( ) ( ) ( )( ), ( ( ), ) ( ), ( ), , 1 , k k km j m j m j m ju t w a u t w u t w F t w j kλ+ + = ≤ ≤  (2.2.14) ( ) ( )0 1(0) , (0) , 1 , k k m k m ku u u u j k= = ≤ ≤   trong đó (2.2.15) ( )0 0 1 k k k mj j j u w u = = →∑α  mạnh trong 1 20 ,H H∩ (2.2.16) ( )1 1 1 k k k mj j j u w u = = →∑β  mạnh trong 10.H Hệ (2.2.13), (2.2.14) có thể viết thành một dạng khác (2.2.17) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , (0) , (0) , 1 . k k k mj j mj mj m j k k k k mj mj mj mj c t c t c t F t w c c j k λ λ α β ⎧ + + =⎪⎨ = = ≤ ≤⎪⎩    Từ 1(2.2.17) ta có 13 ( ) 2 ( )( ( ) ) ( ) ( ), , 1 . k t k t tmj t j mj m jc t e c t e e F t w j k λ λ λλ′ + = ≤ ≤ Do đó ta suy ra rằng (2.2.18) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) (1 ) ( ) ( ), . k t r mjk k t s r k mj mj j mj t r s r m j c t e dr e c s ds dr e F s w ds λ λ λ βα λλ − − − = + − − + ∫ ∫ ∫ ∫ Bổ đề 2.1. Giả sử rằng 1mu − thỏa (2.2.8). Khi đó hệ (2.2.13) có nghiệm duy nhất ( ) ( )kmu t trên một khoảng 0 .≤ ≤t T Chứng minh bổ đề 2.1. Bỏ qua các chỉ số m, k trong cách viết và ta viết ( ), , j j jc t α β lần lượt thay cho ( ) ( ) ( )( ), , .k k kmj mj mjc t α β Ta viết lại hệ (2.2.18) thành phương trình điểm bất động (2.2.19) ( ) ( )( ), 0 ,c t Uc t t T= ≤ ≤ trong đó (2.2.20) 1 1 ( ) 0 0 2 ( ) 0 0 ( ,..., ), (( ) ,...,( ) ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) (1 ) ( ), , ( ) ( ) ( ) , 1 . k k j j j t r j t s r j j m j t r s r j j j c c c Uc Uc Uc Uc t Vc t t e dr e F s w ds Vc t dr e c s ds j k λ λ λ γ βγ α λ λ − − − = =⎧⎪ = +⎪⎪⎨ = + − +⎪⎪ = − ≤ ≤⎪⎩ ∫ ∫ ∫ ∫ Ta chỉ cần chứng minh: tồn tại một số tự nhiên 0p sao cho toán tử 0 0: ([0, ]; )p kU X C T X= →\ là co, tức là tồn tại hằng số [0,1)∈ρ sao cho (2.2.21) 0 0 , ,p p XXU c U d c d c d Xρ− ≤ − ∀ ∈ ở đây, ta sử dụng chuẩn trong X như sau (2.2.22) 0 1 sup ( ) , . k jX t T j c c t c X ≤ ≤ = = ∈∑ Sau đây, bằng qui nạp ta sẽ chứng minh rằng ,p∀ ∈` ta có 14 (2.2.23) 2 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) , , [0, ] (2 )! pk p p j j X j tU c t U d t c d c d X t T p σ = − ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈∑ , với .kσ π= • Với 1,p = ta có (2.2.24) 2 1 10 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t) . 2! t rk k j j j j j j X Uc t Ud t k dr c s d s ds c d π σ = = − ≤ − ≤ − ∑ ∑∫ ∫ Vậy (2.2.23) đúng với 1.p = • Giả sử (2.2.23) đúng với 1,p ≥ tức là (2.2.25) 2 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) , , [0, ]. (2 )! pk p p j j X j tU c t U d t c d c d X t T p σ = − ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈∑ • Ta sẽ chứng minh (2.2.23) đúng với 1,p + nghĩa là (2.2.26) 2 2 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) , , [0, ]. (2 2)! pk p p j j X j tU c t U d t c d c d X t T p σ ++ + = − ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈+∑ Thật vậy (2.2.27) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) k k p p p p j j j j j j U c t U d t U U c t U U d t+ + = = − = −∑ ∑ 2 10 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t r k p p j j j dr U c s U d s dsσ = ≤ −∑∫ ∫ 2 2 0 0 ( ) (2 )! t r p X sdr c d ds p σσ≤ −∫ ∫ 2 2( ) , , [0, ]. (2 2)! p X t c d c d X t T p σ += − ∀ ∈ ∀ ∈+ Từ (2.2.27) suy ra (2.2.26) đúng. Như vậy (2.2.23) đúng .p∀ ∈` 15 Mặt khác, do 2( )lim 0 (2 )! σ →+∞ = p p T p nên tồn tại số tự nhiên 0p sao cho 02 0 ( ) 1. (2 )! pT p σ < Tức toán tử 0pU là co. Theo nguyên lý ánh xạ co, ta suy ra rằng hệ (2.2.13) có duy nhất nghiệm ( ) ( )kmu t trên 0 .≤ ≤t T Vậy bổ đề 2.1 được chứng minh., Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm. Đặt (2.2.28) 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ( ), ( )) 2 ( ) , t k k k k k m m m m mX t u t a u t u t u s dsλ= + + ∫  (2.2.29) 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ( ), ( )) ( ) 2 ( ) , t k k k k k m m m m mY t a u t u t u t u s dsλ= + Δ + ∇∫   (2.2.30) 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) .= + + ∫ tk k k km m m mS t X t Y t u s ds Đánh giá thứ nhất. Nhân (2.2.13) với ( ) ( )kmjc t và lấy tổng theo j, ta được (2.2.31) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ), ( ) .k k k k k km m m m m m mu t u t a u t u t u t F t u tλ+ + =     Do đó ( ) ( )1 ( ) ( ), ( ) . 2 = k km m md X t F t u tdt Suy ra (2.2.32) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) (0) 2 ( ), ( ) .= + ∫ tk k km m m mX t X F s u s ds Đánh giá thứ hai. Trong (2.2.13) thay 2 1 ,j j j w wλ= − Δ sau đó đơn giản cho 2 jλ ta được 16 (2.2.33) ( ) ( ) ( )( ), ( ( ), ) ( ), ( ), .k k km j m j m j m ju t w a u t w u t w F t wλ−Δ + −Δ + −Δ = −Δ  Hơn nữa, ta có: (2.2.34) ( ) ( )( ), ( ( ), ),k km j m ju t w a u t w−Δ =  (2.2.35) ( ) ( )( ( ), ) ( ), ,k km j m ja u t w u t w−Δ = Δ Δ (2.2.36) ( ) ( )( ), ( ( ), ),k km j m ju t w a u t w−Δ =  (2.2.37) 1 0 1 1 0 0 ( ), ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ( ), ). m j m j m j m j m j F t w F x t w x dx F x t w x F x t w x dx a F t w −Δ = − Δ = − ∇ + ∇ ∇ = ∫ ∫ Nhờ vào (2.2.33) – (2.2.37) ta có (2.2.38) ( ) ( ) ( )( ( ), ) ( ), ( ( ), ) ( ( ), ).k k km j m j m j m ja u t w u t w a u t w a F t wλ+ Δ Δ + =  Trong (2.2.38) thay jw bởi ( ) ( )kmu t ta được (2.2.39) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ), ( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )). k k k k k k m m m m m m k m m a u t u t u t u t a u t u t a F t u t λ+ Δ Δ + =       Do đó ta có (2.2.40) ( ) ( )1 ( ) ( ( ), ( )). 2 k k m m m d Y t a F t u t dt =  Tích phân theo t , ta được (2.2.41) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) (0) 2 ( ( ), ( )) . t k k k m m m mY t Y a F s u s ds= + ∫  Từ (2.2.32) và (2.2.41) suy ra 17 (2.2.42) 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 1 2 3 ( ) (0) 2 ( ), ( ) ( ) 2 ( ( ), ( )) (0) . t t k k k k m m m m m t k m m k m S t S F s u s ds u s ds a F s u s ds S I I I = + + + = + + + ∫ ∫ ∫    Sau đây, ta sẽ lần lượt đánh giá các tích phân trong (2.2.42). Tích phân thứ nhất ( )1 0 2 ( ), ( ) . t k m mI F s u s ds= ∫  Ta có (2.2.43) ( ) ( )1 0 0 2 ( ), ( ) 2 ( ) ( ) . t t k k m m m mI F s u s ds F s u s ds= ≤∫ ∫  Do (2.2.8) nên từ (2.2.5) – (2.2.7) ta suy ra (2.2.44) ( ) ( )1( ( , )) sup ( ) , 1,2, ( , ) . i i m i T z M f u x t f z K i x t Q− ≤ ≤ ≤ = ∈ Do đó, từ (2.2.11) và (2.2.44) ta có (2.2.45) 1 1( , ) ( , ) ( , ) .m mF x t F x t K u x tδ −≤ + ∇ Suy ra (2.2.46) ( ) 2 22 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1(0, ; ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 . m m L T L F t F t K u t F t K M F K M δ δ δ∞ −≤ + ∇ ≤ + ≤ + Sử dụng bất đẳng thức (2.2.47) 2 212 , , 0,ab a b a bε εε≤ + ∀ ∈ ∀ >\ ta suy ra từ (2.2.43) và (2.2.46) rằng 18 (2.2.48) 2 2 2 22 ( ) 1 0 0 22 2 2 2 ( ) 1(0, ; ) 0 2 2 2 2 ( ) 1(0, ; ) 0 2 2 2 2 ( ) 1(0, ; ) 0 1 ( ) 3 ( ) 3 2 2 3 ( ) 3 3 2 2 3 ( ) 3 3 2 2 3 ( ) . 3 3 t t k m m t k mL T L t k mL T L t k mL T L I F s ds u s ds T F K M T u s ds T F K M T X s ds T F K M T S s ds δ δ δ ∞ ∞ ∞ ≤ + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫   Tích phân thứ hai 2( ) 2 0 ( ) . t k mI u s ds= ∫  Ta có phương trình (2.2.13) được viết lại (2.2.49) ( ) ( ) ( )( ), ( ), ( ), ( ), .k k km j m j m j m ju t w u t w u t w F t wλ− Δ + =  Do đó thay thế jw bởi ( ) ( ), kmu t ta được ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )k k km m m mu t u t u t F tλ≤ Δ + +  . Do đó (2.2.50) 2 2 2( ) 2 ( ) 2 0 0 0 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) . t t t k k m m mI u s ds u s ds F s dsλ≤ Δ + +∫ ∫ ∫ Do (2.2.28) – (2.2.30) và (2.2.46), ta suy từ (2.2.50) rằng (2.2.51) ( )2 2 ( ) 2 ( ) 2 0 0 2 2 2 2 1(0, ; ) 0 22 ( ) 2 2 2 1(0, ; ) 0 3 ( ) 3 ( ) 3 2 2 3(1 ) ( ) 6 6 . t t k k m m t L T L t k m L T L I Y s ds X s ds F K M ds S s ds T F K M T λ δ λ δ ∞ ∞ ≤ + + + ≤ + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Tích phân thứ ba ( )3 0 2 ( ( ), ( )) . t k m mI a F s u s ds= ∫  19 Ta có (2.2.52) ( ) ( )3 0 0 2 ( ( ), ( )) 2 ( ) ( ) . t t k k m m m mI a F s u s ds F s u s ds= ≤ ∇ ∇∫ ∫  Ta có (2.2.53) 0 11 1 1( ) 2 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( ) 2 2, ( ) ( ) ( ( ))( ( )) ( ( )) ( ). m m mC H m m m m m u x t u t u t M F t F t f u t u t f u t u tδ δ − − −Ω − − − − ∇ ≤ ∇ ≤ ∇ ≤ ′′ ′∇ = ∇ + ∇ + Δ Do (2.2.5), (2.2.6) và (2.2.44), ta suy từ (2.2.53) rằng (2.2.54) 0 2 2 2 1 1 1( ) 2 1(0, ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 ). m m mC L T L F t F t K u t K u t F M K M K δ δ δ∞ − −Ω∇ ≤ ∇ + ∇ + Δ ≤ ∇ + + Do đó từ (2.2.52) kết hợp với (2.2.28) – (2.2.30), (2.2.47) và (2.2.54) ta được (2.2.55) ( )2 2 22 ( ) 3 0 0 2 2 2 2 ( ) 2 1(0, ; ) 0 0 2 2 2 2 ( ) 2 1(0, ; ) 0 1 ( ) 2 ( ) 2 1 2 2 (2 ) 2 ( ) 2 (2 ) 2 ( ) . t t k m m t t k mL T L t k mL T L I F s ds u s ds F M K M K ds Y s ds T F M K M K T S s ds δ δ ∞ ∞ ≤ ∇ + ∇ ≤ ∇ + + + ≤ ∇ + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  Từ (2.2.42), (2.2.48), (2.2.51), (2.2.55) ta có (2.2.56) ( ) ( ) 2 ( )1 0 ( ) (0) ( , ) (8 3 ) ( ) , t k k k m m mS t S D M T S s dsλ≤ + + + ∫ trong đó (2.2.57) 2 2 2 2 1 (0, ; ) (0, ; ) 2 2 2 2 1 1 2 20( , ) 3 20 ( 2 ) . 3 L T L L T LD M T T F T F M T K K MKδ ∞ ∞= + ∇ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ Bây giờ ta đánh giá số hạng: 20 (2.2.58) 2 2( ) 1 0 0 1 1 0(0) ( , ) ( , ) . k m k k k k k kS u a u u a u u u= + + + Δ      Do (2.2.15) – (2.2.16) nên tồn tại 0M > độc lập với k và m sao cho (2.2.59) 2 ( ) (0) , . 2 k m MS k m≤ ∀ Tiếp theo ta chọn hằng số 0T > sao cho (2.2.60) ( )2 2 21( , ) exp (8 3 ) .2M D M T M Tλ+ ≤ − + Từ (2.2.56), (2.2.58) – (2.2.60) ta suy ra (2.2.61) ( )( ) 2 2 2 ( ) 0 ( ) exp (8 3 ) (8 3 ) ( ) , t k k m mS t M T S s dsλ λ≤ − + + + ∫ 0 .t T≤ ≤ Do bổ đề Gronwall, ta suy ra từ (2.2.61) rằng (2.2.62) ( ) ( )( ) 2 2 2 2( ) exp (8 3 ) exp (8 3 ) ,kmS t M T t Mλ λ≤ − + + ≤ 0 .t T≤ ≤ Vậy ta có (2.2.63) ( ) ( , ) , .kmu W M T m k∈ ∀ Bước 3. Qua giới hạn. Từ (2.2.63) ta có thể lấy từ dãy { }( )kmu một dãy con { }( )ikmu sao cho: (2.2.64) ( )ikm mu u→ trong 1 20(0, ; )L T H H∞ ∩ yếu*, (2.2.65) ( )ikm mu u→  trong 10(0, ; )L T H∞ yếu*, (2.2.66) ( )ikm mu u→  trong 2 ( )TL Q yếu, (2.2.67) ( , ).mu W M T∈ Qua giới hạn trong (2.2.13), (2.2.14) và nhờ vào (2.2.64) – (2.2.67) ta có mu thỏa (2.2.9) – (2.2.11) trong 2 (0, )L T yếu. Mặt khác, ta suy từ (2.2.9) – (2.2.11) rằng (2.2.68) 21 1( , , , ) (0, ; ).m m m m mu u u f x t u u L T Lλ ∞− −= Δ − + ∇ ∈  Do đó 1( , ).mu W M T∈ Vậy định lí 2.1 được chứng minh xong., 21 2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Trong phần này ta sẽ chứng tỏ rằng bài toán (2.2.1) – (2.2.3) có duy nhất một nghiệm yếu. Ta giới thiệu không gian (2.3.1) { }1 21 0( ) (0, ; ) : (0, ; ) .W T v L T H v L T L∞ ∞= ∈ ∈ Chú ý rằng 1( )W T là một không gian Banach đối với chuẩn (2.3.2) 2 2 1( ) (0, ; ) (0, ; ) .W T L T L L T Lv v v∞ ∞= ∇ +  Định lí 2.2. Giả sử 1 4( ) ( )H H− là đúng. Khi đó tồn tại các hằng số 0,M > 0T > sao cho bài toán (2.2.1) – (2.2.3) có duy nhất nghiệm yếu 1( , ).u W M T∈ Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính { }mu được xác định bởi (2.2.9) – (2.2.11) hội tụ mạnh về u trong không gian 1( ).W T Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số (2.3.3) 2 2(0, ; ) (0, ; ) , m m m TL T L L T Lu u u u Ck m∞ ∞∇ −∇ + − ≤ ∀  trong đó (2.3.4) 1 22 ( 2) 1,Tk K MK Tδ= + < và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào 0 1, , T u u và .Tk Chứng minh. (i) Sự tồn tại nghiệm. Ta sẽ chứng minh { }mu là một dãy Cauchy trong 1( ).W T Đặt 1 .+= −m m mv u u Khi đó mv thỏa bài toán biến phân sau (2.3.5) 1 1 0( ), ( ( ), ) ( ), ( ) ( ), , (0) (0) 0. m m m m m m m v t v a v t v v t v F t F t v v H v v λ +⎧〈 〉 + + 〈 〉 =._.